新法算书卷八十五
新法算书卷八十五
钦定四库全书新法算书卷八十六。明。徐光启等。撰。几何要法。
界説章第一【凡八则】
第一界方形者，四直线，两纵，两横，相遇所成，亦谓之四边形，如上甲图。
第二界四边形之四线等而四直角者，为直角方形，如上甲图。
第三界四边两两相等而俱直角者，为长直方形，如上乙图。
第四界四边等，但非直角者，为斜方形，如上丙图。
第五界四边两两相等，但非直角者，为长斜方形。
如上丁图第六界已上方形四种，谓之有法。四边形四种之外，他方形皆谓之无法。四边形如上。戊图等本卷多以直方形为论，为其多有用也。
第七界凡形毎两边有平行线，为平行线，方形如上已图。
第八界凡平行线方形，若于两对角作一直线，其直线为对角线。又于两边纵横各作一平行线，其两平行线与对角线交罗相遇，即此形分为四平行线方形。其两形有对角线者为角线方形，其两形无对角线者为余方形。如甲乙丙丁方形，于丙乙两角作一线为对角线，又依乙丁平行作戊巳线，依甲乙平行作庚辛线，其对角线与戊巳、庚辛两线交罗相遇于壬，即作大小四平行线方形矣。则庚壬巳丙及戊壬辛乙谓之角线方形，而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形。
审矩章第二凡作方形，必欲用矩，故先论审矩法，后论弃矩求方之法。矩以两尺纵横而成，然必成直角方准，若稍出入，必为鋭钝两角而不成矩。今欲审直角，先审两尺之棱，如首卷第一法，后于他坚体上作半圜，中画径线，次以矩角倚半圜之界，视二尺棱正切径线与圜相交处，则矩准而可用矣。若有出入，则当更改。或于坚体上作一直线，更作一垂线，四边作直角，以一矩准四直角，不爽则至准矣。一直线上求立直角方形章第三。如甲乙线上求立直角方形，先于甲乙两界各立垂线，为丁甲，为丙乙，皆与甲乙线等；次作丁丙线相联，即得所求。有直线形，求作直角方形与之等。章第四。甲直线无法四边形，求作直角方形与之等。先作乙丁形与甲等【本卷第五、第六章】而直角。次任用一边引长之，如丁丙引之至己，而丙己与乙丙等。次以丁己两平分于庚，其庚防或在丙防，或在丙防之外。若在丙，即乙丁是直角方形与甲等矣。若庚在丙外，即以庚为心丁己为界，作丁辛己半圜，末从乙丙线引长之，遇圜界于辛，即丙辛上直角方形与甲等，如上图，丙辛壬癸。有三角形，求作平行方形，与之等，而方形角又与所设角等。章第五。设甲乙丙角形，丁角，求作平行方形与甲乙丙角形等，而有丁角。先分一边为两平分，如乙丙边，平分于戊。次作丙戊己角与丁角等。次自甲作直线与乙丙平行，而与戊己线遇于己。末自丙作直线与戊己平行为。丙庚，而与甲己线遇于庚，则得己戊。丙庚平行，方形与甲乙丙角形等，而有丁角。有多边直线形，求作一平行方形与之等，而方形角又与所设角等。章第六设甲乙丙五边形丁角，求作平行方形与五边形等而有丁角。先分五边形为甲乙丙三【三角】形，次依前章法作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角，次于戊辛、己庚两平行线引长之，作庚辛壬癸平行方形与乙等而有丁角，末复引前线作壬癸子丑平行方形，与丙等而有丁角，即此三形并为一平行方形，与甲乙丙并形等而有丁角，自五边以上可至无竆，俱仿此法。有多直角方形，求并作一直角方形与之等。章第七。如五直角方形，以甲乙丙丁戊为边，任等不等，求作一直角方形与五形等。先作己庚辛直角，而己庚线与甲等，庚辛线与乙等。次作己辛线，旋作己辛壬直角，而辛壬与丙等。次作己壬线，旋作己壬癸直角，而壬癸与丁等。次作己癸线。旋作己癸子直角，而癸子与戊等，末作己子线，而己子线上所作直角方形，即所求。有平行方形，求作三角形与之等，而三角形角如所设角，等章第八。如有甲乙丙丁平行方形，戊角，先作丁乙己角与戊等，遇甲丙线于己；次以乙丁线引长之为庚，取丁庚度与乙丁等。末作己庚，直线乙丙庚，三角形与甲乙丙丁平行方形等，而有戊角，即所求。一直线上求作平行方形与所设三角形等，而方形角又与所设角等。章第九设甲线，乙角形，丙角。求于甲线上作平行方形，与乙角形等，而有丙角。先依本卷第五章法，作丁戊己庚。平行方形与乙角形等，而戊己庚角与丙角等次于庚己线，引长之作己辛线。次作辛壬线，与戊己平行；次于丁戊，引。长之与辛壬线遇于壬次，自壬至己作。对角线引出之，又自丁庚引长之，与对。角线遇于癸，次自癸作直线与庚辛平行，又于壬辛引长之，与癸线遇于子，末于戊己引长之，至癸子线得丑，即己丑子辛平行方形，如所求。如欲即于甲线立形，则先依本章法作己辛子丑方形，次于甲线一界作寅角，如辛己丑角等，次取寅卯如己丑等，末成平行方形，即得所求。设不等两直角方形，如一以甲为边，一以乙为边，求别作两直角方形自相等，而并之又与元设两形并等。章第十。先作丙戊线，与甲等；次作戊丙丁直角。而丙丁线与乙等次，作戊丁线相联，末。于丙、丁、戊角，丙、戊、丁角，各作一角，皆半。于直角己戊，己丁两腰相遇于己而等。即己戊、己丁两线上所作两直角方形自相等，而并之，又与丙戊、丙丁上所作两直角方形等。两直线形不等，求相等之较。几何章第十一。甲与乙两直线形，甲大于乙，以乙减甲，求较几何？先任作丁丙、己戊平行方形，与甲等；次于丙丁线上，依丁角作丁丙、辛、庚、平、行、方、形，与乙等，即得辛、庚、戊。
己为相减之较矣有圜，求作一直角方形与之等。章第十二。方，圆，圆，方之法，自古名贤究折而未准。吾师丁先生《几何》六卷之末，设此神法。其法之用甚广，今撮其要，以推作方圆。圆方之法，先设甲乙丙丁直角方形，次以乙为心，以甲为界，作甲丁限象，任分。为若干度，今姑分为九十度。又分甲乙丙丁两线，如前数为九十次。自乙心至象限，逐度皆作虚线。次从甲乙丙丁两线对望，作平行线，其与限象线交处俱作▯。次从甲作曲线贯诸防，贯诸防之线，则甲戊线为方圆圆方之根线，而乙甲为边，乙丁为底。次自甲至戊作一直线，若乙戊直线与所设欲方之圜半径等，则甲乙线为所设圜限象之界线。若圜半径长，则于乙丁线上截乙己与半径等，引长甲乙线作己庚与戊甲线平行，庚至乙即长径圜限象之界线。若圜半径短，则于乙丁线上截乙辛与半径等，作辛壬线与戊甲平行，则壬至乙即短径圜限象之界线。今有子丑圜，或大或小，其半径与乙辛等，先作一寅卯直线，立一辰己垂线，次从己。起取己午，午未各与乙壬等次，取己申。与乙辛等次两平分，申未于酉，以酉为心以申或未为界，作半圜，切垂线于辰。末取己辰作直角方形之一边，则此方形与所设圜等，以此可推。不特一方与一圜，即方之一边线与圜一限象等；方之半边线与圜半限象等。有直角方形，求作一圜与之等。章第十三。如有甲线为方之边，先取一圜，依前法。求其作方之线，如前度得申，己次作辰。申直线次，截戊己如所设甲线等，次自戊作戊卯线，与辰申平行，末以己卯为半径之度作一圜即得所求推用一法依两章方圆、圆方之法，可推任有直线形，可作一圜与之等。又任设一圜，可作直线形与之等。须先依前章法求多边直线形，作一方形与之等。次依本章法作一圜形与直角方形等，则得一圜与所设直线形等。若又有圜，求作一三角形，先依本章法作一方与所设圜等。次依前法作三角形如所设方形等，则所作三角形如原设圜等。