测量全义卷一

测量全义卷一

第一题通▯与通弧，正▯与正弧比例等【比例等后省曰若】解曰：有己、庚、乙、丙、丁圏，其通径己戊、丁戊，上作乙戊垂线，别作庚甲丙线与己丁平行，则庚甲丙为庚乙丙通弧之对▯，题言。庚甲丙通▯与庚乙丙通弧之比例，若丙甲正▯与乙丙正弧。论曰：戊心上垂线，作直角平分庚乙丙弧，则庚甲戊、丙甲戊两角形等。何者？庚戊、丙戊从心至界等，甲两旁直角等，甲戊同邉，则两形必等。两角之对弧亦等【几何三卷二十六】故庚甲丙偕庚乙丙两全，与丙甲偕丙乙两半比例等。

第二题圏内正弧等，正▯亦等；反之，正▯等，正弧亦等。解曰：有全圏，丁丙乙寅己丁寅为径。设丁丙乙寅两正弧等，从丙从乙作丙戊、乙己两垂线，截径于辛于壬。作直角平分两▯。【三卷第三】亦平分丙丁戊乙寅己两弧【三卷三十】是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各两半与丙丁戊偕乙寅己之两全比例等，则其▯丙辛戊乙壬己之两全与丙辛辛戊偕乙壬壬己之各两半比例亦等。题言丁丙乙寅两正弧既等，则丙辛乙壬两正▯必等。论曰：丙丁与乙寅两弧既等，则作丙庚、乙庚，自心至界之两等线，得丙庚丁角与乙庚寅角等【三卷二十七】丙辛庚与乙壬庚两直角亦等，而丙辛庚、乙壬庚两三角形必等，故丙辛、乙壬两正▯必等。反之，丙辛与乙壬、丙庚与乙庚各等，丙辛庚、乙壬庚两直角等，则丙庚辛、乙庚壬两角亦等【一卷第八】而丙丁、乙寅两对弧必等【三卷第二十六】

第三题圏之内，大弧大▯，小弧小▯，反之，大▯大弧，小▯小弧，各相对。解曰：甲乙丙丁圏，甲己大弧，丙庚小弧。题言：己卯▯大于庚寅▯。论曰：试取甲辛弧与丙庚弧等，从庚乙己辛各作垂线，过甲丙径，至于丑，于丁，于癸，于子。其庚寅、辛壬两半等【本卷二】即庚丑、辛子两全亦等【三卷第三】己癸近心，大于辛子【三卷十五】是全大于其全也【五卷十五】己卯视辛壬半，不大于其半乎？次论曰：试截卯己于午，与庚寅等。午上作垂线至辛，与丙甲径平行。午卯、庚寅既等，自与辛壬等【皆在两平行线内】甲辛、丙庚两弧亦等。己甲全弧大于辛甲分弧，己卯大▯必大于辛壬小▯。是大▯对大弧，小▯对小弧也。第四题圏径截▯，亦截弧。任分▯之两分，与两弧之正▯各相似。解曰：有圏径乙辛，截丙丁通▯于己，截丙乙丁通弧于乙。其丙乙、乙丁两分弧之各正▯为丙甲、戊丁。题言丙己、己丁两分▯。

与甲丙戊丁两正▯比例等论曰：丙甲、己丁、戊己两角形相似，何者？两形有相等之己交角，有相等之两直角，即丁角与丙角必等【一卷三十二】是形与形，邉与邉俱相似，而丙己、己丁两分▯之比例，与丙甲、丁戊两正▯自相似。

第五题【三支】三不等角形作垂线，任分底为二，其大分依大邉，大邉上方大于小邉上方，其较为底全线，偕分余线矩内形。先解曰：丁乙丙角形，三邉不等，丁乙小，丁丙次之，乙丙大，为底【凡邉大者为底】从丁角作垂线至底，题言分底为二者，谓垂线之甲▯在形内，盖乙丙邉大，即对角之乙丁丙角。亦大，乙丙两角必小。如谓▯在形外，即以乙丙邉引长于己，而令己作直角。将丁己乙三角形内有丁乙己钝角【甲乙丁为锐角故也】又有己直角，是两角大于两直角，也可乎？次解曰：丁甲垂线，任分乙丙底题，言甲丙大分依丁丙大邉。论曰：丁丙邉既大于丁乙邉，即其上方形亦大，而丁丙上方与甲丁、甲丙上两方幷等【一卷四十七】则甲丁、甲丙两邉幷亦大于甲丁、甲乙两邉幷，试减同用之甲丁，则所存甲丙亦大于甲乙，是甲丙大分依丁丙大邉也。三解曰：丁丙方大于丁乙方，其较乙丙偕戊丙矩内形。论曰：试截甲戊与甲乙等，其乙戊线平分于甲，有引增戊丙线，则乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷与甲丙上方形等【二卷第六】次各加一甲丁上方形，则乙丙偕戊丙矩内形及乙甲【即甲戊也】甲丁上两方形，或丁乙上方形【乙甲甲丁两方幷与丁乙方等一卷四七】与甲丙甲丁上两方幷或丁丙上方形俱等。夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上两方形，独少乙丙偕戊丙矩内形，则丁丙上方大于丁乙上方形之较为乙丙偕戊丙矩内形。

第六题【四支】三不等角形，从角作垂线，任分底为二，知其邉数，即知各分数。解曰：同前图，乙甲、甲戊等，戊丙为任分之较。法曰：丁乙、丁丙上两方之实相减，余者以底数而一，得戊丙；以减底数，余者半之，得乙甲。小分如丁丙十五，丁乙十，乙丙底十八，丁丙自之得二百二十五，丁乙自之得一百，相减存一百二十五，以底十八为法而一，得六又十八之十七，戊丙也，以减十八，存十一又十八之一，乙戊也，半之得五又三十六之十九，乙甲也。次解曰，依二卷十三题，乙丙为两锐角，则丁丙上方小于丁乙，乙丙上两方，其较为乙丙偕乙甲矩内形。二法曰，用前数，乙丁一百，乙丙三百二十四，两方形幷为四百二十四，减去丁丙方形之数二百二十五，存一百九十九为实，底数一十八为法而一，得乙甲之数，约之为五又三十六之十九者二。三解曰：以丁大角为心，丁乙小邉为界，作全圏。截丁丙于己，乙丙于戊。丁丙引长于辛。丁乙、丁辛两半径等，则辛丙偕己丙与乙丙偕戊丙两矩内形等【三卷三十六】乙甲、甲戊又等【三卷三】丙乙大邉，有戊丙分在圏外。法曰：用前数，丁丙十五，加丁乙十，或丁辛得辛丙二十五，丁己与丁乙等，则辛己径为二十，以己丙五乗辛丙得一百二十五为实，乙丙十八为法，而一得六又十八之。十七为戊，丙有戊，丙得乙，戊平分乙，戊得乙，甲四解曰：以丁大角为心，丁丙大邉为界，作全圈，乙丙底引长于戊，丁乙邉引长于庚，于己即庚乙，乙己矩内形与丙乙，乙戊矩内形等【三卷三十五】丙甲甲戊既等，庚丁丁丙亦等，庚乙邉二十五，丁丙丁乙两邉幷亦二十五，丁己丁丙各十五，减丁乙十，存乙己五。与庚乙相乗得一百二十五为实，乙丙十八为法，而一得六有竒，为戊乙，以加乙丙十八，得戊丙，平分得丙甲。第七题断比例之四率，以三推一，名三率法。解曰：四几何为两比例等，先有三推得第四，或同类，或异类，其前其后，不得更易。用反理，亦用转理。列第一、第二、第三率，即可推第四率。依七卷十九题，中率相乗，与首尾两率相乗得数等。故二三相乗为实，第一为法，而一得四率也。昔人因其用，大算家必需，称为全法焉【同类、异类、反理、转理俱见几何四卷】

第八题三邉直角形，锐角为心，底为界，作象限圏，半径为全数，在心角对邉为其弧之正▯其旁为正弧之余，余弧之正。解曰：如前图，甲乙丙直角形，乙锐角为心，乙丙底为界，作丁己象限圏，引乙甲邉于丁，从心作乙己垂线。题言甲直角，乙丙为对邉，作全数【本界说八】丙甲邉为在心角之对邉，即丁丙弧。之正▯【本界说五】而甲乙邉为丁丙正弧之余▯为丙己余弧之正▯所以然者，试从丙作丙戊，与甲乙平行，甲直角，丙戊乙亦直角，则丙戊、甲乙两线等【一卷三十四】丙己弧为丁丙正弧之余弧，丙戊为丙己余弧之正▯为丁丙正弧之余▯【甲乙同】又如后图，用锐角丙为心，乙为界，则乙甲。为丙角之对邉，为乙丁正弧之正▯，甲丙，其余▯【乙戊同】第九题三角形邉与邉之比例，若各对角之正▯。解曰：题一言，直角形，依前论，各邉为对角之正▯。在心角与正弧与正▯俱同理，则弧与弧▯与▯角与角，其比例俱等。二言，三邉等，即三角俱等【一卷五】角之正▯亦等，则邉与邉皆若角与角。三言，己乙丙杂角。形三邉形不等则以己乙小邉引长于丁为乙丁与己丙等，丙为心，己为界，作己庚弧；又乙为心，丁为界，作丁戊弧。末作丁辛、甲己两垂线至乙丙底。论曰：丁辛、乙甲、己乙两直角形之丁辛甲己平行，同用乙角，即各邉俱相似【六卷四】则乙丁与乙辛若乙己与乙甲。又先设乙丁己丙等，是丙己邉与丁辛若己乙邉与甲己也。夫丁辛为乙角之正▯，甲己为丙角之正▯，更之则丙己邉与己乙邉若乙角正▯之丁辛与丙角正▯之甲己也。

第十题有三角即有三邉之比例解曰：直角形，设一锐角，自有其二【一卷三十二】三邉等形，设一邉，自有其三。两邉等形，有腰间角，以减两直角，平分其较，自得底上角。杂角形，有两角幷，以减两直角，其较为第三角【杂角者，总直钝锐也，下文以直角为例】如乙角四十二度，查正▯得六六九一三；丙角四十八度，得七四三一四。则丙甲邉与乙甲邉若六六九一三与七四三一四，约之为三十三与三十。七有竒也，其乙丙与丙甲若，全数与乙角之正▯六六九一三也，钝角同理。

第十一题三角形有设角之比例，即有各角之几何。解曰：乙丙丁角形，丁角与乙角若三与四，乙角与丙角若四与六。题言可得各角之几何。论曰：三几何分之有比例，幷之亦有比例【五卷十八】乙丙丁三角幷得十三，其与丙若十三与六，与丁若十三与三，与乙若十三与四如求每角几度，则用三率法，三角幷为第一，两直角幷一百八十为第二，每角之分数为第三，推之得第四。

或用四卷八题之法，三与四，四与六，四数横列之，以第一第三相乗所得为第一率，以第二第三相乗所得为第二，以第三第四相乗所得为第三【再用前法】又如乙与丙若三与四，丙与丁若五与六，列数如图。

第十二题　论直角三邉　【四支】三角形有锐角及直角之对邉，求余邉。一法曰：置▯【三角形之▯，直角之对邉也】如乙丙二丈五尺，乙角三十六度五十二分，丙角必五十三度○八分，求丙甲邉，以乙角为心，作丁丙戊象限弧，则乙丙全数也。丙甲邉，乙角之正▯也。一率甲直角之全数，十万。二率丙乙邉外数二十五尺【言内者八线表数言外者今所求得数如丈尺等】三率乙角【三十六】一度五十二分或用丙角五十三度正▯内数五九九九五，其正▯内数八○○○三。四率得一，四九九约得一丈四尺。四率得二丈。

为甲丙邉外数　　　　　为甲乙邉外数用加减法凡全数为第一率，如置十万，即第二、第三率之数，进为万，加○。若过万，则退位，两率各当正▯，向各表上取其弧，两弧幷而相减，求总，存两弧之各余▯。若总数过九十者，两余▯相加，其半为第四率；总数不过九十者，两余▯相减，所存半之为第四率。如全数与二十五，若五九九九五与所求数法，二十五作二万五千，正▯表取其弧得十四度二十九分，查第三率得三十六度五十二分，两弧幷得五十度二十分，其余▯为六三八三三，相减存二十二度二十四分，其余▯九二四五五，两余▯之较二八六二三，半之得一四三一为第四率，与三率乗除所得同。

用切割两线二法曰：丙乙角为心，甲为界，作甲戊己。弧截乙丙于戊，则乙甲邉全数也，甲丙。乙角之切线也，乙丙，乙角之割线也，有。乙设角即有其切线与割线，而求甲乙邉，则乙角之割线与乙丙【外】若乙甲全数与乙甲【外】又求甲丙邉，则乙角之割线与乙角之切线若乙丙【外】与丙甲【外】一乙角三十六度五十二分之割线三、四九九五二，乙丙外邉二十五或二乙角之切线七、四九九一。三全数十万，○三乙丙外邉二十五四，得二十为外甲乙邉，四得十五为外甲丙邉。三法曰：设直角傍之一邉如乙丙，甲角。五十三度八分，用正▯则乙丙为全数。其法为丙角之正▯与乙甲外数若甲。

直角之全数与乙丙底外数丙角五十三度八分之正▯八○○○三。

乙甲邉外数二十乙丙全数十万，乙角之正▯五九九九五，得二十五强，即乙丙底外数。得一十五强，乃甲丙邉外数。

用割切二线四法曰：设乙甲邉与乙角，则甲乙全【内数】与其外数；若乙丙割线【内数】与其外数，或若甲丙切线【内数】与其外数底与邉俱得。

乙甲全数十万乙甲邉数二十乙角割线内数一，二，四，九，九，五乙角切线内数七，四，九，九，一，得二十五强，即乙丙外数得一十五强，即甲丙外数第十三题【三支】

有两邉求余邉又求其角一支两邉在直角之傍一法曰：先求邉用勾股法，两邉数自之，幷而开方得直角之对邉【一卷四十七】次以邉求其角。因角与角之比例，若邉与邉。用正▯数，为丙乙邉之外数与甲角之全数，若丙甲邉外数与乙角之正▯，亦若甲乙邉外数与丙角之正▯。

丙乙外数五全十万甲乙外数三　　　　甲丙邉外数四用剖切线二法曰：丙锐角为心，丙甲为全数，甲乙其切线，丙乙割线也。先求角，则甲丙邉。外数与全数，若甲乙邉，外数与丙角之切线，丙甲外数四。

全十万甲乙邉外数三得七五○○○，为丙角之切线，查得三十六度五十二分。有丙角，自有乙角，而求丙乙邉，则全数与甲丙外数，若丙角之交线与丙乙外数。

全十万甲丙外数四丙角交线一二五○二二得五为丙乙邉外数二支一邉为直角之对一邉在直角之傍。三法曰：先用勾股法，两设邉，各自之相减，余开方得所求邉。有邉求角，则角与角之比例若邉与邉。四法曰：不用开方，用第一支求角法。有二邉，即有对角之数。次求邉，则丙乙全数与丙乙外数，若乙角之正▯与丙甲外数。

全数十万乙丙外数五乙角之正▯八○○○三得四为甲丙邉外数用割切两线五法曰：求角，用乙角之割线，则乙甲外。数与全数，若乙丙外数与乙丙内数，内。

乙丙者乙角之割线也乙甲邉外数三全数十万乙丙外数五得一六六六六六为乙角之割线，查得五十三度五十二分【丙角三十六度○八分】六法曰：求邉，用乙角之切线，则乙甲内全数与乙甲外数，若乙角之切线与甲丙外数。乙甲内全数十万，或乙角之割线一六六六七九。甲乙外数三，乙角之切线一三三三四九，乙角之切线一三三三四九，乙丙邉外数五，得四为甲丙邉外数，得四为甲丙邉外数。又问：「有一邉及两邉之比例，余邉几何？」法曰：设一邉与第二邉有比例，或大或小，则以大比例为前数，为第一率。设邉数为二率。比例之后，数为三率，用三率法得四率为第三邉之数。次用勾股法求第三邉，如乙甲一丈，乙甲与甲丙若二十与二十五，得甲丙一丈二尺五寸。次用开方求之。又问，设两邉总之较，问各邉若干？此测量不常用，见《勾股索隠》。又增题三邉直角形设两腰以求角法曰：设甲乙七十五，甲丙百，则以乙丙底平分于丁，作丁戊垂线交丙甲腰于戊，从戊至乙角作戊乙线，是与戊丙等【一卷十】次以戊为心，乙为界，作丙乙己半圏，丙甲腰引长至己，即乙甲为丙甲、甲己之中比例线【六卷十三】是乙甲上方形与丙甲、甲己矩内形等。次以乙甲邉自之，以丙甲邉而一，得甲己，知丙己径之。数即知丙戊及戊乙半径之数，用三率法。外戊乙与全数，若外乙甲与乙戊甲角之正▯。夫乙戊甲在心角也，丙在弧角也。弧角半于心角，则因乙【戊甲】角得丙角【三卷二十题】甲乙七十五，自之五千六百二十五，甲丙百而一，得五十六又四之一，与丙甲幷，得一百五十六又四之一，即丙己半之，得七十八又八之一，即丙戊半径。

戊丙七八又八之一全十万甲乙七五乙己弧正▯九六○○○查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一分，用切线，甲丙全数也。丙甲为丙乙甲角之切线，则甲丙一率也，全数二率也，甲乙三率也，所得丙角之切线也。

第十四题【论杂角三邉形】

有三角及一邉求第二第三邉解曰：依前论，邉与邉，若角与角。如设乙角六十○度，丁角三十六度，丙角八十四度，乙丙邉一十○歩。法曰：所有邉，其对角之正▯为第一率，邉数。为二率所求邉对角之正▯，为三率，得四率，即所求邉数。

丁角之正▯五八七七九乙丙邉数一十丙角之正▯九九四五二，乙角之正▯八六六○○一，得十七为丁乙邉，得十五为丙丁邉。若三角形有钝角，当借用其余角之正▯第十五题【三支】

有角及其旁两腰求余邉余角一支不论角之体势，如丁乙丙角形，乙丁邉一十二歩，丁丙一十五歩，丁角二十四度三十七分，而求乙丙邉，乙角，丙角。先以丙丁邉引长之，丁为心，乙为界，作乙壬辛戊弧，截引长邉于戊。次作戊乙通▯，从丁作丁庚辛线，与丙乙平行。末平分戊乙▯，作丁甲壬线。解曰：乙丁丙角，二十四度半强，则乙丁戊角。必一百五十五度半，弱庚丁戊角与丙角等【在平行线内】庚丁乙角亦与丁乙丙角等。盖丁乙线交两平行线，故其相对两内角等。则乙丁邉与丙角之正▯，或庚丁戊角之正▯，若丁丙与乙角之正▯，或庚丁乙角之正▯。依显戊庚▯与庚乙▯，若庚丁戊角之正▯与乙丁庚角之正▯，亦若乙丁【一十二】与丁丙【一十五】也【本卷四题】次以乙丁、丁丙同比例之，戊庚、庚乙幷得戊乙二十七半之，得甲戊一十三又半为外一率，甲丁戊角之切线为内二率，甲戊内减比例之小数戊庚，存甲庚一有半为外三率，求得甲丁庚角之切线为内四率，查得本角之度，知甲丁戊角则亦知甲戊切线，知甲庚、庚戊之比例则亦知甲丁庚角之切线，甲庚也，甲丁庚为乙丙两角之较，以加减得各角之数。乙丁邉十二，丁丙邉十五，总二十七。代以乙戊也，半之得十三半，甲戊也。减比例小数，即十二余一，半甲庚也。丁角二十四度三十七分，乙丙两角幷得一百五十五度二十三分，即戊丁乙也。其半七十七度四十一分，甲丁戊也。法曰：乙丁、丁丙两邉数幷半之为第一率，乙丁戊角之数半之为甲丁戊，其切线为二率，甲戊内减去比例之小数十二，所存甲庚为三率，得甲丁庚角之切线，查度以减甲丁戊外角，所存为庚丁戊角之度，即丙角之度。既得角，则用前法求邉【或两腰总数作第一率，两腰较作第三率】

甲戊十三有半甲丁戊角之切线，四五八○○一。

甲庚有一半得五○八一五，为甲丁庚角之切线，查得二十六度五十六分。甲丁乙角七十七度四十一分，加甲丁庚角二十六度五十六分，共一百○四度三十七分，即丁乙丙角也。又甲戊丁角七十七度四十一分，减甲丁庚角二十六度五十六分，余五十度四十五分，为丙角。则乙丁邉与丁丙邉若丙角与乙角。二支所设为钝角。解曰：如丁乙丙角形，丙钝角，一百三十度。丁丙邉一十二歩，丙乙邉一十五歩。用设邉，如乙丙引长之，从丁作垂线至引长邉，得甲▯在形外。何者？甲乙丁角形有甲直角，丁丙乙角形有丙钝。角则丙丁乙、丙乙丁两角小于甲丁乙、丁乙甲两角。盖每角形之三角幷等两直角，钝大于直，则所余两角幷必小于直角之两余幷矣。故丁甲线在丙丁之外，丁丙乙角既一百三十度，甲丙丁其余角也，必五十度，丙丁甲角必四十度。一法用正▯用开方。丁角为心，丁乙邉为界作戊乙辛圏分，又丁丙为界作午丙子象限圈。即甲丁丙直角形有丁丙邉十二歩甲丙丁角五十度，丙丁甲角必四十度，而求甲丁、甲丙两邉其法全数与丁丙若甲丙丁角之正▯与甲丁、甲丙亦如之。既得两邉开方求丁乙邉【甲丙、丙乙幷之得勾，丁甲为股故也】

全数十万丁丙邉外数十二甲丙丁五十度角之正▯七六六○四，甲丁丙四十度角之正▯六四二七九，得九又一百之十九为甲丁邉外数，得七又一百之七十一为甲丙邉外数【甲乙二十二又一百之七十一，甲丁九又一百之十】自之幷得一万之六○○二四三五，开方得一百之二四四九，即丁乙邉，约之得二十五不足，有三邉以求角，则丁乙邉与全数若丁丙邉与乙角之正▯，查得二十二度有竒。用割切两线，丁为心，作甲己象限圏。即丙丁为丙丁甲角之割线，甲丙其切线也。乙丁为乙丁甲角之割线，甲乙其切线也。甲丙丁角有五十度，其形内有丁丙两锐角，有丁丙邉十二歩，而求甲丁、甲丙两腰。得甲丁九歩又一百之一十九，甲丙七歩又一百之七十一。以丙乙、丙甲幷为甲乙邉二十二歩有竒，则甲丁乙三角形有甲丁、甲乙两邉，开方求丁乙底，得二十四歩。

半有竒甲丁丙角割线一三○五四丁丙邉外数十二全数十万，甲丁邉角切线八三九一○，得九又一百之十九，为甲丁邉外数。有三邉以求角，则甲丁邉外数与全数，若甲乙邉外数与乙丁甲角之切线。

甲丁邉数九歩一十九分全数十万甲乙邉之数，二十二歩七十一分。得二四七一一六，为乙甲丁角之切线，查得六十度五十分。三支所设为锐角，解曰：如丁乙丙角形，乙锐角二十四度二十七分，丁乙邉三十六歩，乙丙邉五十二歩十五之十一。一法用正▯数，亦用开方。从乙丙底之对角丁作垂线，分元形为甲乙丁、甲丙丁两形。次以丁为心，丙为界，作寅丙壬弧；又以乙为界，作辛乙庚弧。夫甲乙丁角形，丁乙为全数，设乙角，则甲丁为正▯，甲乙又丁角之正▯。用法求甲丁为一十五歩，求甲乙为二十二歩又一十五之一十一，则以甲乙减丙乙，存甲。丙线二十歩，依显丁甲丙角形，有丁甲一十五歩，甲丙二十歩，用开方法求丁丙，得五歩，末以三邉求甲丙丁角，得三十六度五十○分。

全数十万丁乙邉外数三十六乙角之正▯四六六七，乙角之余▯九○九○六，得十五为丁甲邉外数，得二十三又十五之十一为乙甲邉外数，丁丙邉二十五。

甲丁邉十五全十万得六○○○○为丙角之正▯，查得三十六度五十五分。用割切两线，丁为心，丁甲垂线为界，作己甲午半圏，丁。甲乙角形，丁甲为全数，丁乙邉为乙丁。甲角之割线，甲乙其切线也。又丁甲丙。角形丁甲为全数，丁丙邉为丙丁甲角。之割线，甲丙其切线也。丁乙，甲角形有。丁乙邉三十六歩，有丁角为乙之余角。六十五度二十二分，用法求丁甲、甲乙两邉于丙乙，减甲乙，存二十为甲丙邉。又丁甲丙角形，有丁甲、甲丙两邉，用法求丙角，亦求丁丙邉。乙、丁、甲角之割线，二三九九九九。

丁乙外邉三十六全数十万，乙丁甲角之切线二一八一七三，得十五为所求外丁甲。得三十二又十五之十一为外甲乙，求角甲丁邉十五。

全数十万甲丙邉二十得一三三三三三，为甲乙丙角之切线，查得五十三度○七分，求邉全数，十万。甲、丁、丙、角之割线，一六六六六五。

丁丙邉十五得二十五弱为丁丙邉甲丙、甲丁两邉之正方实幷，而开方得丁丙，二十五弱。第十六题【四支】杂角形设两邉及一邉之对角，求余邉余角。一、支不论角之体势，依邉与邉，若角与角比例之法。先求乙角，则丁乙为外一率，其对角【即丙角】之正▯为二率，丁丙为外三率，所得为乙角之正▯。以丁二十五歩弱，丁丙十二歩，丙角百三十度，列数得之。丁乙邉二十五歩弱。丙一百三十度，用五十度角之正▯七六六○四【为一▯，当大小两弧】

丁丙邉十二得三七五○○，为乙角之正▯。查得二十二度○二分。幷乙丙两角之度，以减一百八十余，二十七度五十八分，得丁角。次有角求丙乙邉则乙角之正▯与外丁丙，若丁角之正▯与外丙乙。

乙角之正▯三七五○○丁丙邉十二丁角之正▯四七○○○得十五为丙乙邉二支所设为钝角【数如前】用所设两腰间之丁角为心，以丙以乙为界，各作弧。用正▯数如十四题第一图，丁丙乙钝角一百三十度，则甲丙丁角必五十度，丙丁甲角必四十度【甲直角故】求甲丁邉，用前法【如一图】又甲丁乙角形，有甲丁邉九歩又百分之一十九分，丁乙邉二十四歩，求甲乙丁角【如二图】又丁丙乙角形，有乙角，有丁丙乙角依前法求丙乙邉【如三图】

全数十万丁丙邉十二甲、丙、丁五十度角之正▯七六六○四。得九又一百之十九，为甲丁邉数。丁乙邉二十四歩半，乙角之正▯三七五○。

全十万　　　　　　丁丙邉十二甲丁邉九歩又一百之十九，丙甲乙角之正▯四六八九六，得三七五一为甲乙丁角之正▯，得十五为乙丙邉。用割切两线，甲丁为全数，丁丙为甲丁丙角之割线，甲。丙，其切线也。丁乙为甲丁乙角之割线。甲乙其切线也，今有丁丙乙角一百三。十度余角，甲丙丁，必五十度，则甲丁丙。直角形有两角，有丁丙，对直角之邉而。

求甲丁邉一图甲、丁、丙四十度之割线一三○五四一。

丁丙邉十二全数十万得九又一百之十九，为甲丁邉外数。

二图或甲丁丙角之切线，八三九一○，为三率。

得七又半不尽为甲丙邉外数三图甲丁邉九有竒丁乙二四半全数得二六六五九四，为甲丁乙割线，查得六十七度二十三分【乙角之度二十二度○十○分】四图。

全数甲丁邉九有竒丙切线之较一六一三五得十五为丙乙邉又甲乙为甲丁乙角之切线，甲丙为甲丁丙角之切线，丙乙为两切线之较，则全数与甲丁邉若切线之较与丙乙【如四图】三支三角形有两邉及锐角，其二亦锐角。如丁乙丙形，有丁乙邉三十六歩，丁丙邉二十五歩，丁乙丙锐角二十四度三十七分，丁丙为其对邉。法用所设两腰间之丁角，作甲丁垂线至丙乙邉，用正▯数，丁为心，丙为界作。戊丙、弧乙为界，作己乙弧，即甲丁乙角形，有丁乙邉，有乙角，可求甲【丁、甲、乙两】邉【如一、二图】甲丁丙角形，有甲丁、丁丙两邉，可求丙角【如三图】可求丙甲邉【如四图】

一图全数十万丁乙邉三十六乙角之正▯四六六七得十五为甲丁邉外数二图或乙丁甲角之正，▯九○九○六，为三率。得三十二，又十五之十一，为甲乙邉外数。

三图丁丙邉二十五全数十万甲丁邉十五得六○○○○为甲丙丁角之正▯，查得三十六度五十○分，四图。

全数十万丁丙邉二十五○○○○甲丁丙角正▯八○○○○得十五为甲丙邉外数用割切两线，丁乙为乙丁甲角之割线，甲乙其切线也。即甲丁乙角形，有丁乙六十三歩，乙角二十四度三十七分，可求丁甲、甲乙两邉【如一二图】又甲丙丁角形，有甲丁、丁丙两邉，可求。甲丁丙角，甲丙邉【如三四图】

一图乙、丁、甲角之割线，二三九九九九。

全数十万丁乙邉三十六得十五为甲丁邉外数二图或乙丁甲角之切线，二一八二五一。得三十二，又十五之十一，为乙甲邉外数。

三图甲丁邉十五全数十万丙丁邉二十五得一六六六七九，为甲丁丙角之割线，查得五十三度八分，四图。

全数十万甲丁丙角之切线一三三四九甲丁邉十五得二十七，又十五之四，为甲丙邉外数。四支所设为锐角，有两邉，其旁为钝角。一法用正▯数，如丁乙邉二十四歩半，丁丙邉一十二歩乙锐角二十二度○二分，丙为钝角，用第二支图，作丁甲垂线，即甲丁乙直角形，丁乙二十四歩可求甲丁，甲乙两邉【如一二图】甲丁丙直角形，有甲丁、丁丙两邉，可求甲丁丙角【如三图】甲丙邉【如四图】

一图全数十万乙丁邉二十四歩半乙角之正▯三七五一五得九歩又一百之十九，为甲丁邉。

二图或甲丁乙角之正，▯九二六九七，为三率。得二十二又一百之七十一，为甲乙邉。

三图丁丙邉十二全数甲丁邉九又一百之十九得七六六○一，为甲丁丙角之正▯。查得五十度，四图。

全数丙丁甲角之正▯六四三○一丁丙邉十二得七又一百之七十五，为甲丙邉外数。

用割切两线法与前同第十七题三角形有三邉求三角三邉等，则三角亦等，各角皆六十度，于一百八十度为三分之一。或两邉等，如丁乙、丁丙，法从丁作丁甲垂线至乙丙底分，本形为甲丁乙、甲丁丙两角形，而等何者？丁乙、丁丙两腰等，乙甲、甲丙又等，丁甲同腰，则两形必等【一卷八】即甲乙丁角形，有丁乙腰，乙甲半底，依角与角若邉与邉，用三率法求之。先置各腰五歩，乙丙六半之，为乙甲三，推得乙丁甲角，倍之得乙丁丙角，以减两直角，余为乙丙两角幷之数，半之得两角数，为两角等，故。

丁乙邉五全数乙丙邉三得六○○○○为乙丁甲之正▯，查得三十六度五十二分。甲丁乙三十六度五十二分，即所倍乙丁丙为七十三度四十四分，以减一百八十，存一百○六度一十六分为乙丙两角之幷数，半之得五十三度○八分为乙丙两角之各本数。或各邉不等，如丁乙丙角形，丁乙一十歩，丁丙一十五歩，丙乙一十八歩，用丁角为心【此角在两小腰间】丁乙为界，作戊乙己辛圈，而以丙丁邉引长至戊，依五题求甲乙得五歩半，甲丙得一十二歩半，即甲丙丁直角形，有丁丙甲。丙两邉求得丙丁甲角【如一图】因得甲丙丁角。又甲丁乙直角形，有丁乙、甲乙，求得甲丁乙角【如二图】因得甲乙角。又幷两角得丙丁乙角，亦得丙乙两角为是丁上两角之余，故。

一图丁丙邉十五甲丙邉十二半全数得八三三三三为丙丁甲角之正▯，查得五十六度二十六分，二图。

丁乙邉十乙甲五半全数得五五○○○为甲丁乙角之正▯，查得三十三度二十二分，即丙角。

新法算书卷八十七<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法算书卷八十八。明徐光启等撰。测量全义二。

第一题平靣测远【三支】一支测两物之能到者，一法曰：「甲乙」。为地平靣上江河之广，或土田道里之远欲从甲测去乙几何？于甲角上平安。象限仪之心【后言象限，或言仪平安，言安省文】两边向。乙向丙作直角，次从甲向丙行，任取一十二步为丙防。丙上再安象限边，向甲窥衡，望乙，交象限之周线于丁。定丙角为四十八度，成甲乙丙直角形。此形有甲丙边、丙角，而求甲乙边，法为全数与甲丙边外数，若丙角之切线与甲乙边外数，也算得一十三步又三之一，为甲与乙平靣相距之远【象限仪法见本篇第三卷》，窥衡或作指尺，义同】二法曰，丁乙为两所不能作直角，或不欲，或地非平靣【山水林木屋舍所隔】则丁安象限边，向乙窥衡，向丙定丁角为六十二度，向丙行。任取一十二歩，丙上再加象限边，向丁窥衡，望乙定丙角爲八十度，成丁乙丙角形。此形有丁丙边，丁丙两角，自有乙角，而求乙丁边法：乙角之正▯与丁丙边外数，若丙角之正▯与丁乙边外数算得一十九。歩又五之一爲乙与丁相距之逺，丁爲钝角亦如之，三法曰：或从丁向。丙线持象限，前却取得甲直角，是乙。丁为直角之对边也，法全数与外甲。

丁若丁角之交线与外乙丁四法曰：「若丁爲钝角，上安象限面，移丁丙线外边向乙，衡向任取之，丙表定戊丁丙角爲五十度，以并戊丁乙直角，得钝角一百四十度，末定丙角二十四度，成丁乙丙角形。此形有丙丁边一丈二尺，丙角二十四度，法乙」。角之正▯与外丁丙若丙，角之正▯与外乙丁得一丈七尺七寸五法曰：「丁安，象限边向；乙衡向，任取。」之丙表得二丈，从丁直视过丙至己。任定丙己爲一丈以上，安象限边向。戊衡向丙令己角与丁角等末前却令戊过丙至乙作直线则丙己与己戊若丙丁与丁乙论曰：丁乙丙，丙己戊两角形相似。何者？己、丁两角等，丙上两交角又等，是形与？形相似【六卷四题】即相当边之比例必等，用。三率法：丙己一丈为一率，己戊三丈为次。率丁丙二丈为三，率算得六丈为乙丁。六法曰：「甲乙为两，所从乙引长，任取二。」十步为丙，又任作丙丁戊直线，任取丙。丁二十五步，丁安象限边，向乙衡向丙，定乙丁丙角。次持象限前却，取戊，令戊角与丁角等，量丁戊得六十一步。法丙丁与丁戊若丙乙与乙甲【六卷二】算得十二步又。

一十五之四不用布算法七法曰：乙丁为两所，乙安象限边，向任取之，丙衡向丁，得丁乙丙外角七十度。次从丙乙直线上求戊，令戊角半于丁乙丙角，则戊乙与乙丁等。论曰：丁乙丙外角，与相对之两内角等【一卷三十二】戊角半丁角，亦半两角等，两腰亦等。八法曰：乙上安象限，作六十度角；次于乙丙直线上，求丙，亦作六十度角，则乙丙与乙丁等。论曰：乙丙两角，各六十度，则丁角。亦六十度，而乙丁丙为三边等形。九法曰：「若乙丙短，则向乙、向丁求。」

甲直角得甲乙为乙丁之半论曰：丁乙甲直角形，乙角既六十，度则丁角三十度，因角与角之正▯若边与边，是三十度之正▯全数之半也，故乙甲为乙丁之半也。十法曰：任设乙角为四十度，次以半周上余度平分为七十度，于乙丙线上前却，令丙角亦七十度，则乙丙与乙丁等。论曰：丙角为外角之半，丁角亦半，乙丙与乙丁两线必等。用矩度法。用矩度者，以器上小形当所测大形也。如所测为甲乙，则矩度之边壬丙，或己辛，与甲乙平行，其相当数为比例，必等。所设两在边为甲丙，则矩度之边壬辛，或丙己，与甲丙平行，其相当数为比例，必等【一卷二十九、三十二题】置法同前，甲恒为直角。十一法曰：一解窥衡交线【后省曰交，或曰视交】在对角则丙甲与甲乙等。论曰：丙己辛，丙甲乙，两角形相似，何？者，两形有己，甲各直角，同用丙角，则两相似【六卷四题】而矩形丙己与己辛等。则丙甲与甲乙亦等，二解视交在两。所平行边如戊则丙己与己戊若丙甲与甲乙论曰丙己戊丙甲乙两角形相似何者两形有己甲各直角同用丙角则两形相似【六卷四题】而矩形之丙己与己戊若甲丙与甲乙三率法：丙己一百分为首率，己戊七十。分为二率，丙甲一十五步为三率，算得。甲乙十一步半【两所平行边后省曰平边】三解视交在两测平行边如丁，则丁壬。与壬丙、若丙甲，与甲乙【两测平行边后省曰立边】论曰：丁壬、丙丙、甲乙两角形相似，何者？两形有直角，有相等之壬丁、丙乙丙甲两角，在平行线内，则相当线之比例必等。三率法：丁壬六十分为一率，壬丙百分为次率，丙甲一十二步为三率，算得二十步为甲乙。省算法，十二法曰：交戊、甲、丙，六十。步即于丙己边，自己至未取六十分。与甲丙比例等，自未至视线作未子。为丙己之垂线，从子作子午为辛己。之垂线得子午戊形，戊午之若干分。

为甲乙之若干步论曰：子午、戊丙、甲乙两角形相似，何者？两形各有直角。有相等之戊角与乙角，则各边之比。例等先作，未己，或子午与甲丙比例。等则戊午甲乙比例亦等，若交在丁从壬至午，取六十分作午子垂线。

二支测两所之不能到者一法曰：乙丙为两所，俱不能到，独甲。可到，即于甲上立表，令甲、乙、丙为直。线安象限，边向乙向丁，行至丁得若干步，安象限于丁边，向甲衡，以次向乙向丙，成甲丁丙、甲乙丁两直角形。甲乙丁角形有甲丁边、丁角，可求甲乙边【本书首卷十二题二解】甲丁丙角形有甲丁边、丁角，可求甲丙边。末以甲乙减甲丙，所余乙丙，用切线可求乙丙边。如甲丁二十四步，乙丁甲角三十四度，丙丁甲角四十八度，则甲丁为全数，而甲乙为甲丁乙角之切线，甲丙为甲丁丙角之切线，两切线之较为乙丙，用三率法：全数一，甲丁二十四步；二，切线较；三，算得一十步一十五之七为乙丙。

二法曰乙丙为两所直线上更任取两所如丁如庚次作庚壬线任取壬防安象限边向丙窥庚定壬角之度，次辛防上安象限，向乙向庚游移，令辛角与壬角等；次戊安象限，向丁【乙丙直线上】向庚游移，令戊角与壬角亦等。未量壬辛、戊庚及庚丁各几何？用三率法，与戊庚与辛壬若庚丁与乙丙。三法曰：乙丙直线上任至一处，如庚，庚上安象限边，向乙丙窥丁，定丁庚乙角之度。又从庚丁直线上至戊，戊。上安象限作庚、戊、己角，与丁、庚【乙角】等，即戊己线与丙庚平行，次于巳上，窥过丁。到丙、戊、己之间游移，窥过丁，到乙得辛。

则戊丁与辛己若丁庚与乙丙论曰：丙乙丁辛己丁两角形相似，戊辛。丁、乙、庚、丁两角形亦相似，则各边之比。

例自等省算四法曰：乙庚为两所，直线上取甲，安象限，作乙甲丁直角行，至丁，安象限，边向甲窥乙，窥庚，作甲丁乙甲。丁、庚两角，次甲、乙直线上，寻戊作。甲、戊、丁为乙、丁、甲之余角，寻巳作。甲、己、丁为甲、丁、庚之余角，则得戊。

己与乙庚等论曰：甲、乙、丁、甲、戊、丁两形等，何者？戊为甲、丁、乙之余角，则与乙角等。同用甲丁边，故两形等。依显甲庚、丁甲、丁己两直角形亦等。夫庚甲、甲己既等，减相等之甲乙、甲戊，所存戊己、乙庚亦等。五法曰：甲丁直线上，取戊安象限，窥乙。作戊角为四十五度，丁上窥庚，亦令丁。角为四十五，则戊丁与乙庚等【戊甲乙为直角】论曰：丁戊各半直角，则庚与乙亦如之。甲、丁、甲、庚，必等；又甲、戊、甲、乙，亦然。减相等之甲、乙、甲、戊。

则所存亦等六法曰：「若庚、乙、丁、戊两线上所得角未」眞则于乙庚线上，取丙安象限，作六十。度角，丙丁线上寻戊，寻丁，望乙，望庚作。戊丁二角，各六十度，则戊丁与乙庚等。论曰：丁丙庚角形之三角同为六十度，乙戊丙亦如之。减相等之戊丙、乙丙，所存丁戊、乙庚自等。七法曰：置丙角六十度，令戊丁为两直角则戊丁为庚乙之半论曰：庚丙丁乙，丙戊两直角形有。丙角六十度，乙角必三十度。因边与边若角与角之正▯则三十度之正▯戊丙为全数，乙丙之半又庚丙为全数，丁丙为庚角之正▯视全数亦半。庚丁乙戊既平行，则庚丙与丁丙若乙丙与戊丙。分之乙丙与戊丙若庚乙与戊丁。戊丙为乙丙之半，则戊丁亦乙庚之半。八法曰：若丙为钝角，则以丙角之余度平分之。次于丙丁线上寻戊，寻丁各作丙角余之半，则戊丁与乙庚等。论曰：乙丙、戊庚、丙丁两角形相似，乙戊、庚丁四角等，则边亦等。减相等之戊丙、乙丙，所存。

之戊丁乙庚亦等用矩度九法曰庚向乙直线上行取甲甲上安矩度作甲丁垂线行至丁得若干步安矩度边向甲窥乙与庚各交矩度边　一解交乙庚平行边于己于戊则丁壬与戊己、若丁甲与乙庚【戊己与乙庚平行，故曰平行边】论曰：己丁、壬庚、丁甲两直角形，同用丁角，则相似。是丁壬与壬己若丁甲与甲庚。又丁壬戊、丁甲乙两直角形，同用丁角，亦相似。是丁壬与壬戊若丁甲与甲乙。更之，丁壬与丁甲若壬戊与甲乙。夫壬戊、甲乙乃壬己、庚甲两全内所取之分也【五卷十一】则所余戊己与乙庚若壬己与甲庚，亦若丁壬与丁甲矣。三率法：丁壬一百分为首率，戊己四十分为次率，甲丁六步为三率。算得二步又十分之四为乙庚。

二解交立边于午于子论曰午丁辛丁庚甲两直角形相似以求甲庚边子辛丁丁甲乙两直角形相似以求甲乙边庚，甲内减甲乙，较为乙庚。省算于丁壬边，取丁寅之分数如丁甲之步数【每步取一分，或二，或三，俱得】寅上作垂线，交两视线于酉于卯，则卯酉之分数为乙庚之步数。论曰：「卯寅丁庚甲丁两形相似，酉寅丁乙甲丁两形亦相似。卯寅内减，酉寅庚甲内减，甲乙则丁寅与卯酉，若丁甲与庚乙。」三解互交，两边于己于戊，先求甲庚，次求甲乙。甲庚内减甲乙，余为乙庚边。其求甲庚为丙己与丙丁，若甲丁。

与甲庚求甲乙为丁壬与壬戊若甲丁与甲乙　省算丁壬边上取丁寅之分数如甲丁之步数寅上立垂线交两视线于午于子则午，子之分数如乙庚之步数。三支物莫能到，复不能作线与防直。一法曰：「乙己两物，不能到，复不能向。」乙己作直线，则于甲上安象限边向。乙窥己成，甲乙己角【形向丁次】行至丁得。若干步上，安象限边，向甲窥乙，成甲。丁乙角形，复窥己成。丁乙己角形，若乙甲，丁形有丁角，为三十八度，丁甲。十步而求甲乙边法为全数与外甲丁边若丁角之切线与外甲乙边算得七步又六十之四十九【若甲非直角则定其角之度】次己甲丁形有丁甲十步丁角七十七度甲角六十五度而求甲己边法为己角之正▯与外甲丁边若丁角之正▯与外甲己边算得一十五步又六十之四十九次甲乙己角形有甲角甲乙边七步又六十之四十九甲己边一十五又六十之四十九而求乙己边即从乙到戊作垂线分本形为两直角形其甲乙戊角形有甲角二十五度甲乙七步有竒而求甲戊边法为全数与外甲乙边若乙角之正▯与外甲戊边算得七步又六十之五次求乙戊边法为全数与外甲乙边若甲角之正▯与外乙戊边算得三步又六十之一十八末于甲己内减甲戊余八步又六十之四十四为戊己其乙戊己角形有乙戊戊己两边以句股法求之得乙己九步有竒二法曰：任内丙表，安象限边，向乙窥巳。定己丙【乙角】之度，丙乙直线上取丁，安象。限边向己窥，过丙到乙，定己丁丙角为。己丙、乙角之半，又于己丙直线上取戊。安象限边，向乙窥丙，到己，令乙戊丙之角为丙角之半，则得丁戊与乙己等。论曰：丙丁己角为乙丙己外角之半，则己角亦半夫角。等者腰亦等，则己丙与丁丙等。乙戊丙角为乙丙己外角之半，则乙角亦半而乙丙与丙戊等。夫乙丙己、丁丙戊两形之两腰等，两腰间角等，则乙己与戊丁两底亦等。

第二题斜靣测远【三支】

一支不论根之能到与否一法曰：乙甲为山之髙，其坡乙丙，欲测坡若于于丙，或左或右置象限，作直角一边向丁，至丁上置象限边向丙，窥乙，令丁为四十五度角，则得丙丁与乙丙等。论曰：乙丁丙直角形，丁角四十五度，则乙角亦四十五度。丁丙、乙丙，各等角之对边也，必等。

二支根之能到者　二法曰置丙象限边向甲根窥乙，定丙角之度。此形有甲丙边，丙角而求乙丙边。法为全数，与外甲丙若丙角之割。线与外乙丙，三法曰：丙甲直线上求丁，置象限令其角为乙丙甲角之半，则丙丁与乙丙等。

四法用矩度一解曰：表在丁，窥交平边于辛为。

辛庚与辛丁若甲丁与乙丁二解曰：表在丙，窥交为对角线，依。句股法：丙甲自之，倍之，开方得▯。三解曰：「表在戊，窥交立边于己为」。

戊寅与戊己若甲戊与戊乙五法省算，矩边从丁到午，取分数。如丁甲之歩数，立午子，垂线成午。丁子角形与甲丁乙形相似，则丁子之分数为乙丁之步数，从戊亦如之。

三支根之不能到者　六法曰丙丁直线上，用象限两次，于丙，于丁。成乙、丙、丁形。此形有丁、丙边，丁、丙。

两角用正▯法得乙丙边七法曰：「以意置乙，甲垂线，用丁乙。」甲、丙乙甲两角之切线较，为一率。外丁、丙为次，率丙、乙、甲之割线为。三率所得为外率，乙丙【或丁乙甲交线为三】

【率所得四率乙丁】用矩度【八法】一解交平边法，曰：「在丙交辛于甲，丙直线上退至丁，得若干步而交己，则己辛与辛丁【即辛丙】若丁丙与丙乙」。论曰：壬辛丙角形与甲丙乙角形相似，丁己壬角形与乙丁甲角形相似。于壬己减壬辛，甲丁减甲丙，则丁丙与己辛相似。二解交立边法曰：在丙交辛，退丁交己，则于矩靣上作子午线，与丁戊平行，截辛丁线【即辛丙】于子，遇己丁线于午成子，午丁角形与丁丙乙角形相。似则子午与子丁，若丁丙与丙乙，或。矩靣外作辛庚线与丁戊平行则庚辛、丁形与乙、丁、丙形相似，是庚、辛与辛丁若丁丙与丙乙，次求辛丁线法。以辛、戊、戊、丁各自之并，而开方得所。求次，求辛庚线法。己戊与戊丁，若辛。己与辛、庚为丁、己、戊、辛、己、庚两直角。形有庚丁两角在平行线内，即相似，故。论曰：丁午、子丁、丙乙两形相似。葢子午、丁午、丁戊为平行线，内相对之两角等。辛子午、辛丙壬两角等【在平行线内】则乙丙、丁辛、子卯两余角自等。辛子卯、午子丁两交角。亦等既两形之各角俱等，即各边自相似，省算取子午之分数为丁丙。

之步数三解互交法曰：「在丙交辛，在丁交己。」以平边引长之，遇于庚成。庚辛，丁角。形则庚辛与辛丁，若丁丙与丙乙。论曰：庚辛、丁乙、丙丁两角形相似。葢辛庚丁、丙丁乙相对之两内角等，壬辛丁角与甲丙乙角等，其余角庚辛丁、乙丙丁自等。故庚辛与辛丁若丁丙与丙乙。第三题。

望高测远一支平靣上有余地，一法曰：甲乙为山或楼台而直线不能至，甲欲借乙顶。测丙与甲相距之远，则于丙上置象限。定角度，却从丙到丁，得若干步，置象限。定角度乙丙丁角形，有丁丙边，丁丙两角，可求乙丙边。有乙丙边而求甲丙边，法为全数与乙丙边，若乙角之正▯与甲丙边。二法用切线，乙为心，甲为界，作甲己戊弧，而得甲乙丙、甲乙丁两角切线之较，则丙丁切线较与外丙丁步数。

若甲丙切线与外甲丙步数三法曰：「丙外不能作直线，则或左或右。」作丁、丙、乙直角，行至丁，置象限，求作四。十五度角，即丙丁，得三十一步又三十。之二十三，以乙丙为全数，丙丁为丁乙丙角之切线，丙甲为甲乙丙角之正▯是丁丙切线与外丁丙之步数。

若丙甲正▯与外甲丙之步数四法省算，丙上置象，限定乙丙甲角六十四度，退至丁，定其角三十二度，为丙角之半，却于地平靣之丙丁线上作丙丁戊角。与甲乙丙角等为二十六度，丁戊线上求戊作直角，则丙戊之步数即甲丙之步数。论曰：丁、戊、丙、甲、丙、乙两直角形，有丁乙两角等。乙丁丙为乙丙甲外角之半，即丁乙丙角亦半。而丁丙、乙丙两腰必等丙丁戊形与甲乙丙形有等角有同边，即丁戊与甲丙必等。

用矩度　五交平边法曰丙上立矩度成午，壬丙形与甲乙丙形相。似丁、上立矩度、成午己丁形与丙。丁乙形相似，则己午与壬午若丁。

丙与甲丙六交立边法曰：「在丙，交午；在丁，交」己则午，己与己壬，若丁丙与丙甲。论曰：试从己作己戊线，与午丁平行，即午壬丁形【即午壬丙】与甲乙丙形相似，而午壬丁己、壬戊。两形亦相似，己、壬、丁、甲、乙、丁，两形亦相似夫戊己壬形之壬戊，为小甲丙。己、丁、壬形之丁、壬为小丁，甲、丁、壬之内减戊、壬、丁、甲之内，减甲、丙，则戊、丁。小丁、丙也。午、己与己、壬既若丁、戊与。

戊壬必若丁丙与丙甲矣七互交法曰：在丙交戊，在丁交午。即以壬戊边引长之，遇丁午线于子，成子戊丁角形，与乙丙丁相似。则子戊与戊壬若丁丙与丙甲。论曰：甲乙丁午己丁两形相似，午己丁丁壬子两形亦相似，则丁壬子甲丁乙两形亦相似。夫壬戊丙形【即壬戊丁】与甲乙丙形原相似，是壬子当甲丁，壬戊当甲丙，即戊子当丁丙矣。戊子与戊壬不若丁丙与甲丙乎？矩靣加庚午衡线同上论。二支平靣上无余地，一法曰：甲不可到丙外，复无余。地则立表柱于内，权线取直，上丁下丙。各置象限定丁、丙两角，成乙、丙、丁形，此。形有丁、丙，边有角，则乙角之正▯与外。丁丙，若丁角之正▯与外乙丙【如丁为钝角无】【正▯则以余角之正▯】次甲乙丙形，有乙丙边，有角，则全数与外。乙丙之步数，若乙角之正▯与外甲丙。

之步数用矩度，二法一解，交立边在丙，交己。成己壬丙形与甲乙丙形相似，在丁交。辛成己，辛丁形与乙丙丁形相似，则己辛与丁壬若丙丁与甲丙。论曰：丁壬边引至庚，得庚丁与甲丙平行。夫己壬当乙，甲辛壬当乙庚，则辛己丁丙皆当甲庚。

二解交平边在丙交己在丁交辛则以丁己戊庚两边各引长之遇于寅截丁乙视线于子而成寅子丁形，与乙丁丙形等角，又成寅庚己形，与甲乙丙形等角，则各相似，而寅戊丁形亦与寅庚己形相似，则寅子与戊丁若丁丙与丙甲。三解互交，平边交，己立边交，未则以丁、己、戊、庚两边各引之，遇于寅。因前论寅未与戊丁全边，若丁丙与丙甲五法曰省算，于矩面上两视线内加一直线与丁丙平行，其分数等如申酉，则丁酉之分数为丙甲之步数。第四题对坡测远法曰：有高为甲，乙于对坡丙上见乙，戊欲测甲丙相距。

几何于丙置象限向戊向乙向丁定戊丙乙乙丙丁两角之直次步于丁置象限向乙向戊向丙定乙丁戊戊丁丙两角之度末引长丁丙线遇乙戊线于甲而成角形，四曰乙，丙丁曰戊，丙丁曰乙，丙戊曰甲，乙丙其乙丙丁形，有丙丁边，丁丙两角，可求乙丙边。戊丙丁形，有丙丁边，丁丙两角，可求戊丙边。乙丙戊形，有乙丙、戊丙两边，有丙角，可求丙乙戊角。末甲乙丙形，有乙丙边，乙丙两角，即得甲丙边。如在丙作甲丙乙角四十八度，甲丙戊角三十六度；在丁作甲丁乙角三十八度，甲丁戊角二十八度。丁丙为一十步，即乙丙丁形有丁角三十八度，丙角一百三十二度【甲丙乙四十八度之余角】乙角一十度，而求乙丙边，则乙角之正▯与外丙丁之步数若丁角之正▯与外乙丙，得三十五步又四五四○。戊丙丁形有丁角二十八度，丙角一百四十四度，戊角○八度，而求戊丙边，则戊角之正▯与外丁丙之步数若丁角之正▯与外戊丙，得三十三步又九千七百九十○。戊丙乙形有乙丙、戊丙两边，丙角一十二度，而求乙角，则作戊辛垂线至乙丙边，其全数与外戊丙三十三步又九七九○若戊丙乙角之正▯与戊辛【七又○六三】亦若戊丙乙角之余▯与辛丙【三三一四】于乙丙三十五又四五四○内减辛丙三十二，余二又三一四○为乙辛。夫乙戊辛直角形有乙辛、戊辛两边，而求乙角，为乙辛与全数若戊辛与乙角之切线，得二八六三九五，查角之度为七十度四十五分。末甲乙丙形有乙丙三十五又四五四○，有乙角、丙角，则甲角必五十八度五十八分，而求甲丙，则甲角之正▯与乙丙边若乙角之正▯与甲丙边得。四十一步，又三七六一【一万分为步】值丙在坡下，法与前同。

第五题登髙测远一支测根与他物之远一法曰：登乙山，欲测甲根与丙相距之远，乙置象限，向丙成甲乙丙，直角形，先得甲乙若干有角可得甲丙边二法曰：用矩度交立边为壬辛，与全边。若乙甲与甲丙交，平边为全边，与壬。

辛若乙甲与甲丙二支测两他物之远，三法曰乙山。上欲测丙与丁相距之远，乙置象限。作甲乙丙、甲乙丁两直角形，用正▯。法求甲丙，复求甲丁，以甲丙减甲丁。

所余为丁丙边若用切线为全数与外甲乙若丁乙甲丙乙甲两切线之较与外丙丁四法曰用矩度交平边则乙壬与己辛若乙甲与丙丁【一图】交立边则壬辛与壬乙若乙甲与甲丁【二三图】又壬己与壬乙若乙甲与甲丙【三图】次以甲丙减甲丁，余丁丙为两边之较，若先求甲丙，则乙壬与壬己；若乙甲与甲丙。【三图】又壬辛与壬乙，若乙甲与甲丁【三图】三支不知高欲测根与他物之远，五法曰：不知甲乙高，欲测根与丁相距之远，于戊、于乙两置象限，各向丁成甲乙丁、甲戊丁两形，以乙丁、甲戊丁甲两角切线之较为一率，外乙戊为二率，全数为三率，所得四率为外。

甲丁相距之远六法曰两交平边于己于辛【一二图】引长壬庚边遇乙丙戊丙两视线于寅于癸，则乙壬当甲丙，乙癸当丙戊，乙寅当乙丙。又壬癸当甲戊，壬寅当甲乙，则癸寅与乙壬，若乙戊与甲丙。两交立边于辛于己【三四图】则己辛当戊乙，己壬当戊甲，余如前。互交两边于己于辛【二三图】引长壬庚边，遇乙丙视线于癸，则辛癸当乙戊，辛壬当戊甲，余如前。

四支　七法曰乙戊上两置象限各向丙，向丁成乙丙，戊乙丁，戊丁。乙、丙三形，乙、丙戊形，有乙戊边，乙。戊，两角可求乙丙边，乙丁戊形有。乙戊边，乙戊两角可求，乙丁边末，丁乙丙形有丁乙、乙丙两边，乙角可求，丁丙边。八法曰：「在髙处，其对山有二坡，欲测」。其相距之远，法以丙丁变乙戊，反用。之【查四题一图】义同前，但甲角或钝，或鋭。

异耳第六题测髙之广法曰：有室欲量其檐广，如丁乙，先于丙求。丙丁、乙丙两，斜线次，向丁向乙，定丁丙乙角而成丙。丁乙形，此形有丙角。丙丁乙，丙两边可。

得丁乙边第七题测髙三支解曰：凡测高，以架承测器，距地面若干，所得高，器以上之高也，加距地度，得全高。或手持测器，加目至地之度。一支其底之能到者，一法曰人立。丙欲测甲乙山之髙，其底能到？目在丁测立象限，望乙成戊。丁乙直角形。此形有丁戊，步数有丁角为全数，与外丁戊若丁角之切线，与外乙戊加甲戊得甲乙全高，用正▯法亦如之。二法曰：于甲丙底线上，从丙向甲。或前或却，侧立象限，令丙为四十。

五度角得甲丙与甲乙等三法曰：「任得丙角后，于地面丙上。」立象限，作甲丙戊直角于戊，平置象限，令戊角与乙角等【丙余角即乙角】则甲乙丙、甲戊丙为两相等形，而丙戊之远即甲乙之高【侧置后省曰立】用矩度，立矩度以测高，立边当高平。边当远用三率法，视交在立边，则全。边与交边，若远与高，在平边则交边。

与全边若远与高四法曰：「在丙交平边，于己己壬得五。」十分甲丙，五步则己壬五十，与全边百。若五与甲乙之十，在丁交立边于戊，戊庚得八十分，则丁庚全边与戊庚之八十分，若甲丁一十二步与甲乙之九步○六分。依在丙法，或前或却，以定其分。如五十半也，二十五四分之一也，五二十之一也。欲测高而平边得五十，则高倍远得四之一，则高四倍于远。反之则髙一远四。二支其底之不能到者。五法曰：甲不可到丙外，又无直线。丙上立象，限定乙丙，甲角次转器。向乙，向丁命作丙左右两等角次。丙丁上进退，求丁安象限，向乙向丁，命作丁直角，则乙丙丁、乙丙甲两形等，丙丁当丙甲，乙丁当甲乙。六法曰：丙外无余，地上立象，限作甲。丙乙角，从丙至丁任若干步，加象限。

定甲丁乙角正▯切线任用之用矩度以所测高为底，法与测远同。七法曰：截髙如乙，甲求若干，以测远。

法反用之底不能至亦如之三支非平行非高之底八法曰：甲乙高人，在丁更高，测法立。象限作丙丁、乙丙、丁甲两角，其甲丙丁直角形，有丁丙边，丁角可求甲丁。边次丁乙甲角形有甲丁边丁甲两。角可得甲乙边，或先得甲丙，以丁为心作丁戊线，与甲丙平行戊为界，作弧丁戊为全数，以乙、丁、戊、甲、丁、戊两角之切线较，求之。九法曰：甲乙高人，在戊次高，求测之。先求甲丙，因成戊乙，甲形依地平作。戊丁线与甲丙等分，乙戊、甲为乙丁、戊甲、丁戊两直角形，各有戊丁边，有乙戊丁、丁戊甲角，以求乙丁、甲丁并之，得乙甲象限矩度，任用。

第八题因远测高一法曰：知甲丙之远，乙上立象限，作甲。

乙丙形测之二法曰：不知甲丁之远，山、上求树，求屋。作乙丙垂线，各向丁立象限，成乙丙丁。形意置甲丁地，平平行线，引乙丙垂线，至甲正▯切线，任用测之【亦重表法】三法曰：「在山上，知丙丁之远，测乙甲高。」乙立象限，成乙丙丁形。意置乙甲垂线。及甲丙地平平行线正▯切线任用。

测之四法曰：「丁高之上，欲测乙戊，先求甲。」

丙次作丁戊乙形测之五法曰：「次高戊上，测最高乙甲于丁。」戊上各立象限，成戊甲丁、丁甲乙两形测之。

第九题测井之深深者，立远也。去人而近，地心测深，与测高通。人，在物底为量；高，在物顶为量，深。一法曰：测井，从口一边垂线至底，或视口广狭，从口边投之以石，至底作。旋涡定，其处如甲戊丙丁井，甲戊口。丁丙底投石作旋涡，得乙为视线之界，戊立象限向乙。成甲戊乙直角形，有甲戊边，戊角得。

甲乙之深二法曰：不知井口，于口边立表，表端。

加象限作甲丁乙形测之第十题登山测谷之深一法曰：丁乙丙谷，在于欲测甲乙之深，于丙于丁各立象限，成甲丙乙、甲丁乙两形测之。二法曰：丙可到丁，于丁于丙立象限。成丁、丙、乙角形，有丁、丙两角，有丁、丙。

边用切线较得之