新法算书卷八十四
新法算书卷八十四
钦定四库全书新法算书卷八十五。明。徐光启等。撰。几何要法。
界説章第一【凡十则】
第一界角者，两线纵横相遇所作。线有曲直两。直相遇，为直线角；两曲相遇，为曲线角。一直一曲，相遇为杂线。角曲杂，两线角。
更有别论今先明直线角第二界凡直线正垂于横直线之上，必成两直角相等，如上图，甲乙为垂线，丙丁为横。线而乙之左右两角相等，为两直角，若反以甲乙为横线，则丙丁为甲乙垂线也【如今用短尺，一纵一横，互相为直线，互相为垂线】
第三界垂线斜交于横直线之上，必成两不等角。两不等角，一大于直角一小，于直角大，为钝角；小为鋭角。如上图，戊己庚为钝角，戊己辛为鋭角。故直角惟一，而鋭钝两角，其大小不等乃至无数第四界凡二直线不能为有界之形，故直线之形有界者，至少有三角，有三直线为边，名曰三边形，亦曰三角形，如上图三边。
形止有三种第五界三边线相等，为等边三角形，亦为平边三角形。如上甲乙丙图。
第六界两边线相等，为一不等三角形，如上丁戊己图。
第七界三边线俱不等，为不等边三角形，如上庚辛壬图。
第八界三边形有一直角，为三边直角形；有一钝角，为三边钝角形；有三鋭角，为三边各鋭角形。如上三图。
第九界凡三边形，恒以在下者为底，在上边为腰。如上图，甲乙、甲丙为腰，乙丙为底。
第十界凡言角者，俱用三字为识，其第二字即所指角也。如甲乙。
丙角其乙字指角三髀规章第二规以二髀为常法，或倍之于两端为四髀，前卷己详之矣。兹有三髀规新式造法，两髀如常，如前二卷中所设是也。旁一髀即附于二髀之枢，稍引长之，出头其头端上有眼，衔旁一髀令其圆活，可上下左右，如下图，用法见后。
于有界直线上求立等边三角形，章第三。如甲乙直线上求立等边三角形，先以甲为心，乙为界，或上或下作一短界线；次以乙为心，甲为界，亦如之，两短界线。交处为丙末，自甲至丙，丙至乙各作直线，即所求。于有界直线上求立一不等三角形，章第四。如甲乙直线，以甲为心，任取一度，或长或短，于甲乙线上，用前法作一短界线。次以乙为心，用前度，亦如之，两短界线。交处为丙，从丙至甲，至乙各作直线，即所求。于有界直线上求立三不等角形章第五。如甲乙直线，以甲为心，或长或短，用一度如前，作短界线。次以乙为心，甲度长，今用短度；甲度短，今用长度于甲乙不。等作短界线交处为丙，从丙至甲，至乙作两直线，即所求。
有直线角求两平分之章第六如乙、甲、丙、角，求两平分之，先于甲乙线。任截一分为甲，丁次于甲丙线，截甲戊。与甲丁等次，或用元度，或任取一度以丁为心，向乙丙间作一短界线，次以戊。为心亦如之，两线交处为己，从甲至己。作直线，即所求。若向乙丙无地可作，短。界线则宜仍以丁以戊为心，向甲上作短界线为己，从己至甲作直线，即所求【如上图】
有直角求三平分之章第七如甲乙丙直角，求三平分之。先任于一。边立平，边角形为甲乙丁，次分对直角。一边为两平分，丁戊从此边对角作垂。
线至乙即所求有角任分为若干分章第八如乙甲丙角欲分为四，为八，为十六等分，则先分两分，又各两分之，得四，又各两分之，得八，又各两分之，得十六，愈分愈倍。如任欲分为几分，如三、五、七、九之类，则先以甲为心，向乙作一圜分，次以规分圜分，任作几何分，末从所分度。
至甲作直线即所求如上图有三直线，求作三角形，其三边如所设三直线等。章第九。如甲乙丙三线，毎两线并大于一线，任以一线为底，以底之甲为心，第【二三】线为度，向上作短界线，两界线交处为丙，次向下作丙甲丙乙两腰即所求设一三角形，求别作一形与之等。章第十。以所设三角形之三边当甲乙丙三线，以前法作之，即所求。或又用前所备三髀规，以规形所设三角形度，移于别处。
即所求一直线任于一防上，求作一角，如所设角等。章第十一如甲乙线上有丙防，求作一角如所设丁戊己角等。先于戊丁线任取一防为庚，于戊己线任取一防为辛。自庚至辛作直线，次以前法于甲乙线。上作丙壬癸角形与戊庚辛角等，即所求有三角形，求两平分之章，第十二。如有甲乙丙三角形，求两平分之任于。一边两平分之于丁，向角作直线，即所。
求凡角形，任于一边，任作一防，求从▯分两形，为两平分。章第十三。有甲乙丙角形，从丁防求两平分之，先自丁至相对甲角。作甲丁直线，次平分乙丙线于戊，作戊己线与甲丁平行，末作己丁直线，即分。
本形为两平分有三边直角形，以两边求第三边长短之数，章第十四。如甲乙丙三角形，甲边直角，先得甲乙、甲丙两边长短之数，如甲乙六，甲丙八，求乙丙边长短之数，其甲乙、甲丙上所作两直角方形并旣与乙丙上所作。直角方形等【原本卷四十七】则甲乙之羃【自乗之数】。曰：「羃】得三十六；甲丙之羃，得六十四。并之。」得百，而乙丙之羃亦百，百开方得十，即乙丙，数十也。又设先得甲乙，乙丙如甲。乙六，乙丙十，而求甲丙之数，其甲乙甲。丙上两直角方形并旣与乙丙上直角方形等，则甲乙之羃得三十六，乙丙之羃得百。百减三十六，得甲丙之羃六十四。六十四开方得八，即甲丙八也。求甲乙，仿此。