新法算书卷五十七

新法算书卷五十七

钦定四库全书新法算书卷五十八明徐光启等撰恒星厯指三以恒星之黄道经纬度求其赤道经纬度，第一三章前论恒星以本行依黄道渐移而东，既有平行经度，而纬度南北移就为数甚少，非歴嵗久远不可得见，以此互相推较其经度差无时不同，纬度相距远近又无从可改，必至数百年后测騐差数，乃得依法推变也。若论赤道经纬度则否，星行既依黄道，其向赤道时时迁改，欲从赤道求之，无法可得，故求赤道经纬必用黄道经纬。盖星之去离赤道无恒，而去离黄道有恒，黄道赤道之相去离也又有恒，以两有恒求一无恒，无患不得矣。其推步则有多法：或用曲线三角形依乘除三率推算，为第一，此初法也；或用曲线三角形加减推算，为第二，此约法也；或用简平仪量度加减推算，为第三，此简法也；或造立成表简阅得数，并免临时推算之烦，为第四，此因法也。第一法前第一卷已备论之，今所论者每具二则为第二、第三法如左方。若立成表作者甚难，用者甚佚，但恐狥末忘本，则繇而不知者多矣，今附载之。求恒星赤道纬度前法【即第二法】前法用曲线三角形加减推算，如图，有星在甲，甲辛为黄。道纬度，其余弧甲乙，为甲乙丙三角形。之一边，辛戊为黄道经度，以加戊己象。限得甲乙丙角，又乙丙为两极距度，则是甲乙丙角形，有甲乙、乙丙两边，有乙。角可求甲丙边，甲丙之余弧甲丁，则本星距赤道之纬度也。其法以三角形内之小弧加于大弧之余弧，得总弧，求其正▯【求纬恒用正▯求经恒用切线】为先得数。其总弧或正得九十度，或较多，或较寡。若正得九十度，即半先得之▯为次得之▯又以大小两弧所包之见角，求其倒▯【为角之弧过象限，故用倒▯倒▯者对本角过弧之正▯】则后得之▯也。今用三率法：为全数与次得之▯若后得之倒▯与他▯既得他▯以减先得之▯所存为三角形内第三弧之余▯即所求赤道纬之正▯也。假如参宿腰星之西有五等小星，其黄道经度于崇祯元年推得七十四度二十二分，其纬度距黄道南二十三度三十二分，使黄道在南距赤道二十三度三十二分【云使者假设之数，不用实分秒】则三角形内甲乙大弧得六十六度二十八分乙丙，小弧二十三度三十二分，甲乙。丙角对辛戊经度弧，及戊己象限弧，共得。一百六十四度二十二分，甲辛为甲乙大。弧之余，弧得二十三度三十二分，依法加。于乙丙小弧二十三度三十二分得四十七度○四分，其正▯七三二一五为先得之▯即半之【适足一象限故】得三六六○七为次得之▯次求甲乙丙角之倒▯【即己辛弧之▯】一九六三○一【首一者己戊全▯也】为后得之▯依三率法，以乘次得之三六六○七，得七一八五九为他▯以减先得之七三二一五，余一三五六为甲丙弧之余▯即甲丁弧之正▯为本星距赤道圏纬度四十六分三十五秒。

若三角形内之总弧过一象限，即次得之▯非折半可得，法以大弧之余弧减小弧所存，求其▯以加于先得之总▯半之为次得之▯其后得者甲乙丙角之倒▯依前用三率法，但所求得之他▯若小于先得之▯其法同前；若等则所求三角形内第三弧之▯正为九十度之▯而星必在赤道上，无距度；若他▯大于先得之▯则以小▯减大▯【不论何▯但以小减大】余为本星距赤道之▯假如毕宿大星于崇祯元年距黄道。南五度三十一分，在甲，其黄道经度为。辛戊六十四度三十五分三十秒，即甲。乙为大弧八十四度二十九分，乙丙为小弧二十三度三十一分三十秒【两极之距度】两弧所包甲乙丙角一百五十四度三十五分三十秒。依法以大弧甲乙之余弧甲戊五度三十一分加于小弧乙丙二十三度三十一分三十秒，共得二十九度○二分三十秒。求其▯四八五四四，为先得之总▯。又以余弧甲戊减小弧乙丙，存一十八度○分三十秒，其▯三○九一五，以加先得之总▯四八五四四，得七九四五九，然后半之得三九七二九，为次得之▯。其后得者甲乙丙角之倒▯一九○三二八，依三率法以乘次得之三九七二九，得他▯七五六一四。因他▯大于先得之▯，故于他▯内减先得之四八五四四，存二七○七○，查得十五度四十二分为甲庚弧，是本星距赤道之度。若总弧不及一象限，则如前求先得之总▯，次以小弧减大弧之余弧所存，查其正▯，又以减先得之▯，所存半之为次得之▯，其余同前第一法。假如崇祯元年，大角星距黄道北三十。一度○二分三十○秒，其经度，过秋分。一十九度○二分三十○秒，其两弧间。之角甲乙丙得一百○九度○二分三。十秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十秒，乙丙小弧二十三度三十一分三十秒。今大弧之余弧甲己三十一度○二分三十秒，以加乙丙二十三度三十一分三十秒，得五十四度三十四分，其▯八一四七九为先得数。又甲己内减乙丙小弧，存七度三十一分，其▯一三○八一，以减先得之▯，存六八三九八，半之得三四一九九为次得之▯。次依三率法，以乘甲乙丙角之倒▯一三二六一二，得四五三五一为他▯，以减先得之八一四七九，存三六一二八为本星距赤道之▯。查得甲己弧二十一度一十○分五十四秒。求赤道纬度后法【即第三法】后法用简平仪或量度或加减推算【简平仪者以圆平面当浑仪也圆平面者以极至交圈为界作过心平面也以面当球与平浑仪同意论球则半在面前可见今以直线当弧半在面后不可见其直线当弧与前半同理下文言某线为某弧或言前弧后弧等俱本此】量度者用规器量度所有之见度分即于分度等圈上量取所求之隐度分也加减者亦于本仪取数其算法即前法也量度则省算然每星当作一图亦不能得细分秒加减则一图能算多星可省图可得细分秒特未免乘除之烦总之先得各星之黄道经纬度即从星作直线与赤道平行至外周从线尾起算至赤道为本星之赤道纬度弧可量亦可算也今并具二法用者择焉试先解仪上诸线如丙壬寅子大圈为极至交圏壬丑线为赤道大圏辛寅线为黄道大圏春秋二分俱在癸若星距黄道北则辛为夏至寅为冬至星距黄道南则寅为夏至辛为冬至今所测星为乙癸甲线为星之黄道纬度对丙辛弧甲乙线为星之黄道经度对。

辰、卯、弧、丙、乙、子线为过星之距等。小圏与黄道平行，丙卯辰子即过。星距等圏之半，在仪上为立面与？仪面为直角，在弧为丙卯辰子，在仪面为丙乙甲子。自人视之，卯▯即乙▯，辰▯即甲▯也。卯辰为星之黄道经度弧。夫卯即乙，乙即星。若有乙丁线与赤道平行，截极至交圏于午，即从午至赤道壬为所求本星之赤道纬度弧矣。今用规器量度，则先定黄道纬度之丙辛弧，经度之辰卯弧，从经纬线相交之乙星上出乙午线，则壬午弧必所指赤道距度也。以加减推算，则用直线三角形。先从丙出垂线至己，半之得己戊。从戊作线与丁乙平行，必至甲【丙甲为丙子之半，故丙戊为丙己之半】又从子出子己底线，偕丙己垂线作丙己子直角，即成三角形者三，而求丙丁▯以减丙庚正▯，存丁庚▯为星之赤道纬度。假如乙为句陈大星，其黄道经于崇祯元年为八十三。度二十五分二十七秒，黄道纬六十。六度○二分，当用第二图推本星距。赤道之纬度，法以星距黄道之丙辛。【六十六度○二分】加于黄道距赤之壬辛【二十】【三度二十一分三十○秒】得丙壬弧八十九度二十三分三十秒。其正▯丙庚九九九九七。今欲推己庚线【己庚者，子丑弧之正▯子丑者，星距等圏近赤之弧】法以黄道距赤之丑寅【二十三度三十一分三十○秒】减星距黄道之子寅【六十六度○二分】得丑子弧四十二度三十分三十秒。其正▯己庚六七五六九。以减丙庚，余丙己三二四二八。半之得丙戊▯一六二一四。又勾陈黄道经度甲乙八十三度二十五分二十七秒，以减全数十万【一率】存乙丙六五八【二率】以乘丙戊▯【三率】得一○六为丙丁▯【四率】也。次以一○六减丙庚正▯得丁庚九九八九一。其弧八十七度一十九分，为勾陈大星距赤道之度。其比例，甲丙与乙丙若戊丙与丙丁也。更之，甲丙与戊丙若乙丙与丙丁【几何六卷四】算恒星赤道纬度，以右法为例。若各星纒度不同，即加。减法亦异今。为六图畧，率论次如。

左凡星距黄道北，其纬在二十三度。三十一分三十○秒以内，其黄道经度自春分起至秋分止，用第一。图推算，或星距黄道南，亦在二十。三度三十一分三十秒以内，而经。

度过秋分至春分止者同凡星距黄道北过二十三度三十。一分三十○秒，而不过六十六度。二十八分三十○秒【在本象限之内】其黄道经度，自春分至秋分，用第二图。推算，若星距黄道南过二十三度。三十一分三十○秒，又不过六十。六度二十八分三十○秒而过秋。

分至春分者同凡星在黄道北，其纬过六十六度。二十八分三十秒，经度自春分至。秋分用第三图推算，若在黄道南。纬度同前，而经度自秋分至春分。亦用三图为两至距赤度星距黄。度并之【壬丙弧也】过九十度而丙庚正。

▯亦不在癸辛象限之内故凡星距黄道南二十三度三十一分三十○秒以内，而经度自春分至秋分，用第四图。若星距黄道北，亦二十三度三十一分三十○秒以内，而经度自秋分至春分者，同。凡星距黄道南过二十三度三十一分三十○秒而不过六十六度二十八分三十○秒，其经度自春分至秋分用第五图。若星距黄道北，纬度同上，而经度反过秋分至春分，亦用五图。凡星距黄道南过六十六度二十。八分三十○秒，其经度自春分至秋分用第六图，若星距黄道北纬。度同前而经度自秋分至春分即壬丙总弧过九十度，亦用六图。总之，星距黄道之弧，任在南在北，其与黄赤距弧于图右推算即相加，于图左推算即相减，为恒法也。凡星黄距度大于黄赤距度，则以其较弧之正▯减先得总弧之正▯；若小，则以较弧之▯加先得总弧之正▯。如第三图子寅【星黄距】大于丑寅【黄赤距】则以其较弧【子丑】之正▯【子未或己庚】减丙壬总弧之正▯丙庚，而得丙己；若小，如第一图子丑【星赤距】为寅丑【黄赤距】之较弧，则以较弧之正▯庚己加丙壬总弧之正▯丙庚，而得丙己。凡星黄距黄赤距之总弧大于一象限，用其通余弧之正▯。如第三图壬丙过九十度，壬丙丑为通弧，丙丑为通余弧，则用其正▯丙庚。凡星之经度弧少不及二至圏则取其正▯加减于全数以得其余矢。若大而过二至之圏则取其通余弧之正▯求其余矢。求法在前三图用减，在后三图用加。如各图从甲辰分节起算至卯乙辰卯为经度弧，其正▯甲乙【俱在前半圏】若过至节之界，或子或丙至卯乙，则卯辰为经度之加弧【在后半圏】又前三图内甲乙减甲丙得乙丙，后三图内加之得乙丙，皆为余矢也【以正▯减半径为余矢，大弧过九十度，其限外弧为加弧，并九十度为过弧】各图皆以丙丁▯减丙庚正▯，惟星在两道间，如第四图丙丁大于丙庚，则以丙庚减丙丁而得丁庚【赤道纬】其余法简，各图自明。求恒星赤道经度前法【第二法】前法求纬度，用曲线三角形，并两腰分盈缩，适足三等加减得之。此为黄经纬求赤经纬，以二求二，故也。既得赤纬，则以三求一，故不拘大小，皆归一法，止用两纬度之余弧及见角之余角，以推他角所对赤道经度之余弧。如图，甲丙为星赤道纬之余弧，甲乙为黄道纬之余弧。甲、乙、丙为对黄经度之见角，丁、乙、庚其余角是甲乙丙三角形内，有三边有乙。角今求甲、丙、乙，他角以推戊、己，是为赤。

道经度之余弧假如甲为大角星，其赤道纬于崇祯元年得二十一度一十分五十一秒，为甲戊，其余弧甲丙六十八度四十九分，得正▯九三二四四，为第一率，黄道纬三十一度○二分三十秒，为庚甲，其余弧甲乙五十八度五十七分三十秒，得正▯八五六七九，为第二率，其黄道经度过秋分辛一十九度○二分三十秒，为辛庚，即甲乙丙角之余弧庚丁，必七十度五十七分三十秒，得正▯九四五二八，为第三率，求得八六八五六，为戊己弧之正▯，查得戊己弧六十度一十七分三十○秒，以减象限，存二十九度四十二分三十○秒，为大角星秋分后之赤道经度。

求赤道经度后法【第三法】用简平仪与前求纬法同，今所求者为辰卯弧，而先得者赤黄二纬度，故三角形之底线与黄道平行，星纬弧与两道距弧，在图之左即相加，在图之右即相减。如图乙，为勾陈大星，其黄道纬六。十六度○二分，其先得之赤道纬。甲癸八十七度一十九分，辛壬为黄赤距弧【二十三度三十一分三十秒】以加赤。道纬度弧壬丙【八十七度一十九分】得辛丙【一百一十度五十分三十秒】总弧其通余弧丙寅之正▯【九三四五七】为丙庚也。又因星在图之右，应以星纬弧两道距弧相减，得【六十三度四十七分三十秒】为寅子弧，其正▯【八九七二○】为子未或己庚，以减丙庚正▯，余【三七三七】为丙己，半之存【一八六八】为丙戊。今本星黄道纬弧【六十六度○二分】为辛午，其▯【九一三七八】为丁庚，以减丙庚正▯，得丙丁【二○七九】因以丙戊为第一率，丙甲全数为第二，丙丁为第三，得丙乙▯【一一一二九六】去其首位【丙甲全数】存【一一二九六】为甲乙▯，所对辰卯弧【六度二十九分一十秒】即本星之赤道经度，并求恒星赤道经纬度【第四法】依前法，用立成表，可并求经纬度，且省算。如图，星在甲，其黄道纬甲丁，经丁庚，而求赤道纬甲乙，经乙庚，即用此。两曲线三角形，取之其法于甲乙丙三。角形内，因三表可得，甲乙弧为赤纬及。丙乙弧，以得乙庚赤经，先用赤道升度。表查取相当之黄道经度，如图，戊庚为赤道弧辛庚为黄道弧，今反之，以辛庚为赤道，即原黄道之丁庚升度，今以当赤道之弧，即可得相当之庚丙上度也。次以黄赤距度表，用其经弧查其纬弧，既得经弧之度丙庚，即知两道相距之纬度丙丁也。更用过极圏截黄交角表，因辛庚当赤道，即星上过极之壬丙弧截，见当黄道之戊庚弧于丙，则得甲丙乙交角。次以黄纬甲丁加两道距丁丙，得甲丙为第一三角形之弧。夫甲乙丙既为直角，又有后得之甲丙乙角，即先推甲乙弧为星之赤道纬，后得乙丙，以减先得。之丙庚，存乙庚，为星距分；节之经弧。假如娄宿东星于崇祯元年距黄道北。【九度五十七分】距春分节【三十二度二十九分四十八秒】为见。当赤道上之黄道升度丁庚也，而在大梁宫，查升度表于大梁宫，得其度分，其相当者为见，当黄道上之度【三十四度四十八分】庚丙也。又用两道距度表，以庚丙弧四度四十八分于大梁宫，查其相当之距纬，得【一十三度一十○分】为黄赤距度丙丁。又以庚丙弧之度分于交角表，查大梁宫之四度四十八分，得【七十度二十○分二十四秒】为甲丙乙角。今以甲丁【九度五十七分】加于丁丙【十三度一十分】得【二十三度○七分】为三角形之弧甲丙，其正▯【三九二六○】为第二率，甲丙乙角之正▯【九四一六七】为第三率，甲乙丙直角全数为第一率，求得【三六九九九】为四率，即甲乙弧之正▯，查得【二十一度四十二分五十三秒】为本星距赤道之纬弧。

又以甲乙丙角全数为一率，甲丙乙余角【一十九度三十九分三十六秒】之▯【三三六四四】为二率，甲丙弧之切线【四二六八八】为三率，而求乙丙底弧之切线，得【一四三六四】为四率，查得【八度一十分二十六秒】以减庚丙弧【三十四度四十八分】存【二十六度三十七分三十四秒】为本星赤道之经弧乙庚。若经少纬多，星越赤道极之轴线戊丁。而近黄道极法，当先用升度表，次用黄赤距表，又次用交角表，以三率求乙丙。则甲丙乙角之余▯与甲丙弧之切线相乘，得数为乙丙弧之切线。内减先升度表所取之丙丁弧余，丁乙以减三百六十度，所余环周之大丁乙，即赤道经也。再以丙角甲丙正▯相乘，得数即赤道纬甲乙。若黄纬过九十度之外，诸法同前，但去九十度而用零数法，以零数之余弧取其正▯乘丙角之正▯得甲乙纬。又以零余弧之切线乘两角之余▯得丙乙之余切线。又以所去九十度加丙乙内，减升度丙丁所存，以减全周所存通弧，为本星之赤道经度。假如紫微垣新増少弼，外南星其黄经五十○度○九。分黄纬八十○度三十八分，查升度表。得五十二度三十五分，为丙丁，查距度。表得一十八度二十九分，为丙己，查交。角表得七十五度一十二分为丙角，今以距度丙己加黄纬甲己得甲丙九十九度○七分，为过象限则去九十度，独用其零数九度○七分，以其余弧八十○度五十三分查八线表，得九八七三七为正▯以乘丙角之正▯九六六八二，得九五四五○一为赤纬甲乙之正▯查得七十二度三十九分。又查零余弧八十○度五十三分，其切线六二三一六○，以乘丙角之余▯二五五四五，得一五九一○六为丙乙之余切线，查得三十二度○九分，以加前所去九十度，得一百二十二度○九分，内减升度丙丁五十二度三十五。分存六十九度三十四分，以减全周，三百六十存，二百九十○度二十六分。为本星之赤道经度若星在黄赤道之间，法以黄纬减黄赤。距度其余同前，用相乘之数减丙丁所得数为赤经数。若星在两道南，丙丁为赤经法，当以乘出之乙丙数加乙丁为赤道经度，是黄经短，赤经长也。前所求在降娄、大梁、实沈三宫，则可若。在鹑首、鹑火、鹑尾，其法异，是何也？此星。方位出象限之外，经度已转过至节故。前减者，此宜加；前加者，此宜减。又前黄。纬过九十度，即越北极轴线，故减于三百六十度内，方得所求。今从春分转至秋分，虽过九十度，而无轴线可越【不得至黄南极故也】故不必减于全周。自秋分以往，对待六宫，如寿星至娵訾，俱同前法。但星在南左，用北右法；星在南右，用北左法。此为异耳。

以度数图星象第二　三章平浑仪义古之作者造浑天仪，以准天体，以拟天行，其来尚矣。后世増修递进，乃有平面作图，为平浑仪者，形体不甚合，而理数甚合。为其地平圏、地平距等圏及过天顶横截之弧，与天夫黄赤二道、黄赤距等圏及过两极横截之弧，皆确应天象，故以此言天，特为着明，能毕显诸星之经纬度数也。厯家称为至公至便，超絶众器。今详其应用多端，不后于浑仪，其要约简易则胜浑仪。且浑仪所用大环，欲其纤毫不爽，势不可得，未若平面之直线，当一环圆界当一环，直者必直，圆者必圆，无可疑也。然论其本原，即又从浑仪出。何者？凡于平面图物体，若依体之一面绘之，定不合于全体，必依视学以物影图物体，或圆或方，或长短各用其远近明暗斜直之比例，则像在平面，俨然物之元体矣。但光体变迁，出光之处无数，则所作影亦无数，而受影之半面有正有偏，则影之变态又无数。故视学家分为二品，一为有法物像，一为无法物像【以可用为有法，不则无法】今论浑仪之影能生平仪，仪本于此，必求平面之上能为实用，可显诸曜之度数，以资推算者，则为有法，而于诸无法像中择其有法者，特有三：一设光于最远处照浑仪，正对春分或秋分，则极至交圏为平面之圏界，以面受影，即显赤道及其距等圏皆如直线，而各过极经圏皆为曲线之弧，此有法之第一仪也。次设光切南极，则赤道为平面之圏界，诸赤道距等皆作平面上圆形，而极至交圏又如直线，此为有法之第二仪也。又次设光切春分或秋分，在极分圏与赤道之交，则亦以极至交圏为平面之圆界，以面受影，即赤道与极分交圏为直线，而其余皆为曲线之弧，此有法之第三仪也。今绘星图惟用第二仪，次则第三，以其正对恒星之度，其第一仪不用也。为是平浑所须，并论之总星。图义。设浑仪以北极抵立平面，其轴线为平面之垂线，有光或目切南极正照之，仪上设▯，其影或像必径射于平面，即北极居中，设防之影去北极渐远者，其在平面之两距亦渐远，乃至南极，则为无穷，影终不及。于平面矣，又平面之上，北极所居，▯为过。两极轴线之影，为浑仪众圏之心，平面上。诸赤道距等圏，离此愈远，即其影愈寛大。至近南极者，则平面无可容之地也。假有浑仪为甲，丙乙，丁甲为南极，乙为北极，以乙极抵丑，乙子平，面有光，或目在甲极先。照近北极之圏，辰己即其影，自己迄辰为。本圏之全径，因以乙为心，己辰为界，即平。面作圏，准浑仪之实环也。又照夏至圏癸壬之圆界，其影至卯寅，即以卯寅为径。次照赤道圈丙丁之圆界，影至己戊，以己戊为径。各如前作圏，各得准其本环。次有冬至圏辛庚，虽近甲南极，小于赤道之丙丁圏，而影在平面为丑子，反大于赤道影己戊。盖乙甲丑角大于乙甲己角故也。若至午未南极圏，其影在平面更远，而终竟可至。惟甲南极为左右直影，与子丑平行，终不至于平面也。今作星图，不用两至两极圏，独用赤道之左右度分。度分近乙北极，即平面上影相距亦愈近，远亦愈远。经度既尔，纬度亦然。盖经度从心向外出线，其左右各侣线愈远心，相距亦愈广。纬度从心向外作圏，其内外各侣圏愈远心，相距亦愈寛也。问经度远心即愈广，易见矣。何以知星之纬度在平仪之上，愈远心相距愈寛乎？曰以几何徴之。设有甲乙丙丁圏，以全径甲丙抵戊己平面为垂线。若平分圏界如一十二，从甲出直线各过所分圏界至戊己庚辛平面上各▯，得戊庚寛于庚辛，面庚辛又寛于辛壬，余线尽然。盖从甲出各侣线至平面，以各防线连之，其各腰与各底为比例，则甲庚与庚辛若甲壬与壬辛也。今甲庚大于甲壬，则庚辛必大于辛壬【见几何第六卷第三题】试以丙为心，作壬辛庚三侣圏，其在仪各所分圏界，则为距等，而壬辛之相距与辛庚之相距广狭大异矣。依此作图，则去心远者各所限经纬度渐展渐大，与近心者不等，而经纬度之比例恒等，即所绘星之体势与天象恒等。不然者，经度渐展，纬度平分，依经纬即失体势，依体势即失经纬，乖违甚也。斜圏图圆义浑仪诸圏有正有斜，正者如赤道圏、赤道距等圏及诸过极经圏也，斜者如黄道圏、地平圏及其各距等圏也。以视法作为平面图，设照本【或光或人目】在南极，则正受照之圏影至平面必成圏形或直线，如前说矣。若斜受照之圏，其影在平面当作何形像乎？此当用角体之理明之。按量体法【测量全义六卷】中论角体有正角有斜角，两者皆以平圆面为底，皆以从顶至底心之直线为轴线，其为正与斜则以垂线分之。若自角下垂线至底与轴线为一，如第一图甲乙垂线，即甲丙丁戊角形之轴线，则甲丙丁戊为正角体，若两线相离，如第二。图甲己为轴线，甲乙为垂线，则甲丙戊、庚、丁为斜角体也。更以斜角体上。下反截之为甲辛壬小角体【既斜截为上下】两体更若从轴线自上而下纵截之，为两平分，其截面三角形大小比例】【相似则名反截之角体若不合比例则为无法】依斜角体之本理，则小体之底与大体之底相似，不得不成圆形。今欲推黄道等斜圏，不能正受照本之光，则于平仪面所显何像法？依第二斜角图，以甲当南极，照本之▯壬辛为浑仪上斜圏丙。戊庚为平面上斜圏之影，次用三图徴。

为圆影焉假如甲乙丙为极至交圏，甲当南极，为照本之防，斜受光之圏，为乙丁，从甲照。之过乙丁边，直射至己戊平面，为甲己。甲戊两线，即得甲己、戊及甲乙、丁皆直。线三角形，此为浑仪平面形影之体势。以角体法论之，己戊为乙丁圆圏之影。即甲己戊为全角体，而甲乙丁其反截之小角体矣。又甲丙垂线，非甲庚枢线。即甲己戊为斜角体，而己戊其底，自与甲乙丁小角体其底乙丁各相似也。问：反截之角体与平面所得三角形，何云两相似乎？凡相似两三角形，必三角各等，三边之比例各等，此有诸乎？曰：有之。甲为共角，从乙作直线至辛，与己戊为平行，即甲丙之垂线，而甲乙辛角与甲己戊角俱在平行线上，必等。又甲乙辛、甲丁乙俱在界乘圏之角，而所乘之甲乙、甲辛两弧等。即两角必等，而甲丁乙与甲己戊两角亦等，其余角甲乙丁及甲戊己亦等，则乙丁小角体之底与其所照平面上之己戊必相似也。凡斜圏之弧近于照本，其影必长，距远则短。如从南极照黄道斜圏，其半弧乙在赤道南，近甲，即甲己必长于甲戊。然分较之虽南影长于北影，合较之则平面上圆影不失黄道之圆影矣。问以视法图黄道既为圆形，从何知其心乎？曰：从照本之▯出直线，为斜圏径之垂线，引至平面，则黄道之心也。盖本图大小三角形既相似，而甲丙与甲庚两线又相离，即各分为两三角形各相似。其甲丙戊与甲丙己一偶也，甲辛乙与甲辛丁一偶也。是以甲己庚角与己甲庚角等，而甲庚线与庚己线亦等。又甲戊庚角与戊甲庚角等？何者？因前图得己角与丁角等此。图得丁角与乙甲辛角等，即己角与乙甲辛角亦等，因得乙戊两角等。又得乙角与庚甲戊角等，即戊角与庚甲戊角亦等，而戊庚与甲庚两线亦等，因得戊庚与庚己两线等，而庚为己戊径之心。

绘总星图第三古法绘星图，以恒见圏为紫微垣，以恒隐圏界为总图之界。过此南偏之星，不复有图矣。西歴因恒见圏南北随地不同，又渐次不同，故以两极为心，以赤道为界，平分为南北二图，以全括浑天可见之星。此两法所繇异也。赤道平分南北二总星图。以规器作赤道圏，即本图之外界也。纵横作十字，二径平分为四象限，限各九十。又三分之分，各三十。又五分之分，各六。又六分之分，各一。此为全周三百六十度矣。次从心至界上，依度数引直线，为各经度。其作纬度有二法，一用几何则，依界上经度，于横径之左定尺，于横径之右上下游移之，每得一界限度【界限度者，或一度、二度为一限，或五度、十度为一限，以至九十】即于直径上作识，则直径上下所得度与界限度各相应而疎密不等，经纬相。称矣，用数则依切线表，求界限度。之相，当数以规器取之【用比例规甚便，无规先作半径百平分之，用以取数】若表中求一十度即径上下得二十度，表中求二十。径上下得四十，所得比所求恒多一倍也。假如欲依界限度以分径，如第一图，甲乙丙丁为赤道，所分径为甲丙，于乙上定尺，从右径末丁向上移尺至一十二十等限，于甲丙径上作戊己等一十二十诸识，各识愈离心其侣距愈远矣。若以数分之，依第二图，如求四十度癸庚，则表中查二十度之切线相当数为三十六，用规器向庚辛直线取庚子三十六，移至甲乙径上，自中心乙至己。为三十六，即得四十度矣。盖以丁为心，作乙丙象弧，其半弧乙壬之切线，为平面之半径。甲乙即乙己，为二十度弧乙戊之切线。若引丁戊割线至庚，则癸庚得四十度，与前法合也。

见界总星图见界总星图者，以北极为心，以恒隐圏为界，此巫咸、甘石以来相传旧法也。然两极出入地平，随地各异，而旧图恒见、恒隐各三十六度，三十六者，嵩高之北极出地度耳。自是而南，江淮间可见之星，本图无有也。更南闽粤黔滇可见之星，本图更无有也。则此为嵩高之见界总图，而非各省直之见界总图也。又赤道为天之大圏，其左右距等侣圏以渐加小，至两极各一▯耳。于平面作图，而平分纬度，自极至于赤道，纬度恒平分，而经度渐广，广袤不合，即与天象不合，向所谓得之经纬，失之形势；得之形势，失之经纬者也。况过赤道以南，其距等纬圏宜小而愈大，其经度宜翕而愈张，若复平分纬度，即不称愈甚，其相失亦愈甚矣。今依此作图，宜用滇南北极出地二十度为恒隐圏之半径，以其圏为隐见之界，则各省直所得见之星无不备载，可名为总星图矣。又依前法为不等纬距度，向外渐寛，则经纬度广袤相称，而星形度数两不相失矣。但前以赤道为界，设照本在南极所求者止九十纬度，则所用切线半之止四十五度至赤道止矣，用为平图之半径，经纬度犹未甚广，足可相配。若此图则否，其半径过赤道而外尚七十度，并得一百六十度，半之为八十度，从南极▯出直线，必割圆八十度，乃合于百六十度之切线也。此其长比赤道内之半径不啻五倍，经纬皆愈出愈寛，以比近北极之度分大小殊絶矣。如图，甲为平图之心，乙为南极，甲丙为半径亦即为四十五度甲戊弧之切线若从乙出直线割八十度之弧甲丁，然后与甲丙引长百六十度之线遇于己，其长于甲丙几及六倍也。如是而依本法作图，若图幅少狭，即北度难分；若北度加寛，即图广难用矣。今改立一法，设照本稍出南极之外，去极二十度起一直线，以代乙己，其与甲丙之引线不交于己，而稍近丙，以敛所求之度，定平图之半径，则广狭大小皆适中矣。但照本所居宜有定处，去极远则切线太促，不能分七十度之限；太近则半径过长，畧同前说也。今法如上图，甲为平图之心，欲其外界出丙己壬赤道之外远至七十度先求照本随所照光图之作甲丙直线去赤道径甲癸七十度正次作乙丙垂线为二十度之正▯次作丙丁线为二十度之切线，令丁▯在南极之外为照本，则甲丙与乙丙若丙丁与乙丁。何者？甲乙丙、乙丙丁两三角形相似故也。次引丁丙切线与甲癸之引长线遇于辛，则辛▯定百六十度之限，为平图之半径矣。次以纬度分甲辛线，恒令丁戊与戊己若丁甲与甲庚，则赤道内庚分向北之纬度，赤道外庚分向南之纬度也。欲得各丁戊线以加减取之，向南距度之正▯以减甲丁割线，得小丁戊，因得大甲庚；向北距度之正▯以加甲丁割线，得大丁戊，因得小甲庚也。盖正▯虽在癸己左右，因甲戊其平行线，即与正▯等故【左边为北，右边为南】

问赤道纬度其内外广狭既尔不齐则欲作黄道圏用何法乎曰此因照本不切南极以照黄道斜圏之边，不能为直角，即不能为轴边之心，而有二心，故其影不能为正圆，而微成撱圆，与前南北平分总图稍异法也。当于甲辛径上，从赤道向内数黄赤距二十三度三十一分三十○秒，若所得为子午，即作午壬直线平分之于未，从未出垂线，向甲辛径上得黄道向北半圏之心为下庚，而其边依纬度之狭则小，次于赤道外，自癸至辛数得二道距度，如前求得黄道向南半圏之心为上庚，其边因纬度之寛则大也。

极至交圏平分左右二总星图前分有法物象三仪，其第一照本在最远者，星图所不用，其用者第二第三也。第二法照本在南极，以赤道圏为平面界，则前説赤道平分二图是己。第三法照本在二分，以极至交圏为平面界。今解之，设照本切春分，即用所照平面之心，以准秋分，以极至交圏为界，赤道圏极分交圏则为直线，诸赤道距等圏，诸过极经圏则为曲。线之弧，以此定经纬度及半天恒。星之方位也，又设照本切，秋分则以春分为心，其余圏影皆同上可。定余半天恒星之方位矣，图法先。作极至交圏为图界，假设甲乙丙。丁圏为赤道【本极至交圏假为赤道借用第一图】平分三百六十度，借丙▯为赤道与极分圏之交，从丙向己庚等边界引直线，过乙丁径作辛壬等识，即各过极圏之经度限也。次即用甲乙丙丁圏为极至交圏【即第一图】则甲辛丙、甲壬丙等。过极经圏之弧，可定恒星之赤道。经度矣，次欲作赤道距等圈，先假设甲乙丙丁为极分交圏【本极至交圈假】为极分，借用第二图】借乙▯为赤道，与极分。圈之交，从乙向己、庚等边界引直。线过甲丙径上作辛壬等识，即各赤道距等圏之纬度限也。次即用甲乙丙丁为极至交圏【即第二图】则己辛庚壬等皆赤道距等之弧，而丁戊乙为赤道，可定恒星之赤道纬度也。若欲以黄道为心作图，则以乙丁线当黄道，甲丙为黄道之两极，而乙丁上下距等之弧皆可定恒星之黄道纬度。平面界圏亦为过黄道极之经度圏，如前所作赤道平分二图，皆改赤道极为黄道极，赤道面为黄道面，皆可定恒星之黄道经纬度也。

恒星有等无数第四　三章恒星以芒色分，气势以大小分等第。所载者有数，不能载者无数，可尽也。今畧论其体等，及其大数，别定黄赤二道之经纬度，作图作表，如后卷。

恒星分六等古多禄某推太阳太阴本体之容积，先测其视径及月食时之地影及地球之径容，展转相较乃能得之【详见三大论】后巴徳倪借用其法，以考五星及恒星离地之远，又测诸大星之视径。如图，甲辛为太阳离地之远，其视径甲乙为太阳居最高及最高冲折中之半径也。今设丙为镇星，其离地为辛丙，即太阳之半径。至此见如丙戊而镇星居此所见大仅得太阳视半径一十八分之一为丙丁用三率法辛丙与丙戊，若辛甲与甲乙，次以地径推得丙戊总线数，即可得丙丁分线数。古法推七政及恒星之体，大畧如此。盖因其视径及距地之远，可得浑体之容积也。但恒星已知离地最远，而无视差可考，止依其视径以较五星，即其体之大小，十得七八矣。第谷则以镇星较之，因测镇星得其视径一分五十秒，亦微有视差为一十五秒弱，推其离地以地半径为度，得一万○五百五十，因得其全径大于地之全径二倍又一十一分之九，是镇星之浑体容地之浑体二十有二矣。此测为镇星居最高最高冲折中之数也。若在最高测其距地为地半径一万二千九百【后论五星更详此理】而恒星更远居其上，设加一千，即约为一万四千，因以所测之视径分其等差○先测明星如心宿中星、大角、参宿右肩等，其视径二分，即得大地四径有奇。何也？因设星离地一万四千，依圏界与圏径之比例【径七围二十二】即星所居之圏界得八万八千三百六十分之每度得二百四十四○九分之四又六十分之每分得四，视径二分得八有奇，是恒星之全径二分当浑地之八半径也，即四全径也。又以立圆法推之，即此星浑体之容大于浑地之容六十有八倍，此为第一等星也。此一等内尚有狼星、织女等，又见大一十五秒，其体更加二十余倍；若见小一十五秒，如角宿距星等，即反之，其体减二十余倍。次测北斗上相、北河等，其视径一分三十秒，设其距地与前等，推其实径大于地径三倍有奇，而其浑体大于地之浑体二十八倍有奇，此为第二等。又次测娄箕尾三宿等星，其视径一分○五秒，依前距地之远，其实径大于地径二倍又五分之一，其体大于地体近一十一倍，为第三等。又次测参旗、柳宿、玉井等星，其视径四十五秒，其实径与地径若三与二，其体大于地体四倍有半，为第四等。又次测内平、东咸、从官等小星，得视径三十秒，其实径与地径若五十与四十九，其体比于地体得一又一十八分之一，为第五等。又次测最小星如昴宿左更等，得视径二十秒，其实径与地径若一十五与二十二，即其体比于地体得三分之一，为第六等。右恒星相比，约分六等。若各等之中，更有微过或不及，其差无尽，则匪目能测，匪数可算矣。问：前言恒星居镇星之上，离地皆等，故依其视径以推其体之大小，则不等。若设其远近不等，即其实径不随其视径，从何推知其体乎？曰：假令诸恒星之体实等，因其中更有远近不等，故见有大小不等。即以六等星比第一等，所见小大乃尔，必更远于前，率十余倍矣。盖测此大小星比其视径，如天田西星与大角星差一分五十五秒，即其远近距当得一十四万一千大地之半径，与镇星最高及大角之距地畧等。此中空界安所用之？且小大彬彬杂以成文物之理也。若何舍此而强言等体乎？七政恒星远近大小，皆从视径视差展转推测，理数实然，无庸不信。然而宏濶已甚，犹有未经测算，难于遽信者焉。况此远近等体之说，非理非数，则是虚想戏论而已，又谁信之哉？

恒星无数自古掌天星者，大都以可见可测之星，求其形似联合而为象，因象而命之名，以为识别，是有三垣二十八宿三百座一千四百六十一有名之星焉。世所传巫咸、石申、甘徳之书是也。西厯依黄道分十二宫，其南北又三十七像，亦以能见能测之星联合成之，共得一千七百二十五。其第一等大星一十七，次二等五十七，次三等一百八十五，次四等三百八十九，次五等三百二十三，次六等二百九十五。盖有名者一千二百六十六，余皆无名矣。然而可图者止此，若依法仰观，所见实无数也。何谓依法？今使未谙星厯者漫视之，漫数之，樊然淆乱，未足实证其无数也。更使谙晓者按图索象，则依法矣。如是令图以内之星悉皆习熟，若数一二，然而各座之外，各座之中所不能图不能测者尚多有之。可见恒星实无数也。更于晴明之夜比蒙昧之夜又多矣，于晦朔之夜比▯朢之夜又多矣，以秋冬比春夏又多矣，以利眼比钝眼又多矣。至若用远镜以窥众星，较多于平时不啻数十倍，而且光耀粲然，界限井然也。即如昴宿传云七星或云止见六星而实则三十七星鬼宿四星其中积尸气相传为白气如云耳今如图甲为距星乙为本宿东北大星其间小星三十六，了然分明可数也。他如牛宿中南星，尾宿东鱼星。传说星觜宿。南星皆在六等之外，所称微茫难见者。用镜则各见多星列次甚远，假如觜宿南一星，数得二十一星，相距如图，大小不等，可徴周天诸星实无数也，天汉。浑天众圏有大有小，如黄赤二道、过极经圏、极至极分交圏、地平圏等，凡与地同心者，皆大圏也。如冬夏二至圏，常见常隐圏，各距等圏，凡与地不同心者，皆小圏也。若天汉者，论其界，不可谓圏。凡圏以圆线为界，此以广面为界，故也。论其心，实与黄赤二道相等，不可谓非大圏。盖其心必同地心，且两交黄道，两交赤道，旁过二极，皆一一相对，正与黄道相反，斜络天体，平分为二，故也。欲测其广，无定数，大约两至之外，广于两至之中。从天津又分为二至，尾宿复合为一，过夏至圏，以井宿距星为限，正切鹑首初度，过北极西距二十三度半，前过冬至圏，则星纪初度约居其中，又转至南极东距亦二十三度半，而复就夏至，总为过两至与黄道相反之斜圏也。古多禄某测其两涯所过星宿，与近世不异，在赤道北则从四凟始，南三星当其中，北一星不与焉。次水府，次井西四星切其左边，天关一星，五车口切其右，更前积水在左，大陵从北第二星在右，王良所居在其中，若洲渚然。次天津横截之，两端平出其左右，河鼓中星在右，其对边为天市垣齐星。此赤道北两涯所经诸星也。在赤道南者，以天弁东星为界，次斗第三星，次箕南二星，其对边则天市垣宋星，尾宿第一星而入于常隐之界。迨过南极以来，复起于天稷，过弧矢、天狼以至赤道，此为赤道南所经诸星也。问天汉何物也？曰：古人以天汉非星，不置诸列宿天之上也。意其光与映日之轻云相类，谓在空中月天之下，为恒清气而已。今则不然，远镜既出，用以仰窥，明见为无数小星。盖因天体通明映彻，受诸星之光，并合为一直，似清白之气，与鬼宿同理。不借此器，其谁知之？然后思天汉果为气类，与星天异体者，安能亘古恒存？且所当星宿，又安得古今寰宇觏若画一哉？甚矣，天载之▯而人智之浅也！温故知新，可为惕然矣。

新法算书卷五十八<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法算书卷五十九。明徐光启等撰。恒星表卷一。降娄宫【共计二等三，三等十六，四等三十五，等二十九，六等十八】

降娄宫降娄宫降娄宫<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷五十九>