新法算书卷七十九

新法算书卷七十九

钦定四库全书新法算书卷八十。明徐光启等撰。交食表卷九。

算时气差简法治厯一书，交食为最。乃交食中，诸法所难者，尤在视差。西史从天仪图，以三角形算，此常法也。间有用表者，亦云简矣。然就中所列，非一表所求，非一端，终不得为简也。刻白尔【第谷友也】反覆三差之原，总其理而撮其要，依之作表，力省功倍，故名曰简法。太阴距目等得，极出地髙，黄道交地平限，则气差周亦皆等。云太阴则太阳五星同一理。云极出地髙，因极髙低不等，则天顶之距黄道，人目之距日月五星本体逺近不一，视差无不因之有变。云黄道交地平，因黄道未定，随天左旋，时距顶逺，时距顶近，而日月五星从之，虽距地心同，距目微有异，亦得视差之变，故以定黄道，定极髙求。

七曜逺近则视差可得而论矣如图甲为地心以乙丙丁为地靣以丙为人目所居故甲丙线上至戊为天顶设丁正居黄极下则乙丁为黄轴，与己壬作垂线，而己壬乃黄道也。今使太阴距天顶最近视度在己为丙，目以丙己直线所望者，则因戊己为髙弧，而庚己髙下视差，以丙己辛角或己丙庚角量之【两角为平行线内相对角故等】故凡从丙出直线居己戊癸过顶圏之平靣与丙己相等者，至己壬黄道周边所作角周亦等？何也？丙辛既为己壬之垂线，则己壬黄道于过顶圈相交之公界，两圈以直角交，必丙辛线与诸黄道平靣上之线等，为垂线，其得丙辛己、丙辛壬及诸黄道靣上线凡为丙辛所至之角，安得不等为直角？夫使丙己周至黄道皆等【因太阴距目等故】则丙辛底同余丙己辛角之所周必等【几何一卷八题】盖本角原以戊己当髙弧，能量髙下视差，今复以之当出黄极经圏于黄道上定气差，则同一角也，同一量也。角周等，得气差无不等。太阴距地心等，虽距目不等，其气差周略等。人目正居黄道下，则月随黄道圏行，絶无气差可求。惟目或居黄极下，则以黄轴去地心，太阴周距地心等，必距目亦等，而气差自等。故目在黄圏、黄极之中，周视太阴之行，虽时近时逺，而逺近之最差在正中处，其距黄圏、黄极皆等，彼此约有四十五度。如图，太阴距地心以甲己线一周等，则距目以己乙线正前，所谓居黄道下，絶无气差者也。然或以己丁线，则目在黄极下矣，得丁己。

丁壬周距太阴线者皆等而其不等之距必在丁乙两限之间最不等者在丙即丁乙限之正中气差之有变易者此也今目在丙欲求太阴将出地平，与其至正午两处差异同若干，设太阴距地心最近得地半径五十四，在黄道己或壬，则甲己较甲丁有五十四与一之比例【细算甲己作五四○○○○○，甲丁即一○○○○】故丙乙四十五度，查正▯七○七一一为丙辛，必与丙癸等，因而甲辛亦等，甲己减甲辛余五三二九二八九为辛己，甲壬加甲辛得五四七○七一一为辛壬，先求丙己辛角【气差角也】则辛己与辛丙若全数与本角之切线，算得四十五分三十八秒，次求丙壬辛角，则辛壬与辛丙若全数与本角之切线，算得四十四分二十六秒，两角差止一分一十二秒，第前设己角在正午而壬实与之对，则壬角必在子矣，此不须论差，惟以丙辛为底，其上立辛戊与甲丙辛平靣为垂线，自甲出甲戊与甲己等，以定其短长，自丙出丙戊与甲戊等，得丙戊辛、甲戊辛两角亦等【甲辛与辛丙等，甲辛戊及丙辛戊皆直角，而辛戊又同，故见几何一卷八题】葢因己辛戊为直角，设太阴在戊，必去己正九十度出地平上，而丙戊辛角则能量气差矣，欲算之与前同，丙戊与丙辛若全数与本角，得四十五分○一秒，较己角差三十七秒可见。太阴距地心等，虽距目差地半径，所得气差亦庶几等。太阴距地心等，虽距目不等，而目视之若在视黄道下，得气差实等。何云视黄道如图？甲丙为地半径较，真黄道天之逺，絶无比例。故目在丙与在己壬线同，而戊乙平行线亦可当。

己壬线则己壬为真黄道而戊乙其视黄道也今以丙目设太阴居戊居乙其目必以丙戊丙乙不等之线，始能视之，则因此在视黄道距地心，以甲戊、甲乙两直线皆等，即本线至视黄道周所作角亦等，何也？甲乙戊三角形，因得两腰等，则戊乙底线两端之两角亦无不等【几何一卷五题】而周两腰所作角自等，则本角因丙在黄极所出圏之平靣，皆当气差可见。气差周等时差变，必以太阴距九十度限为主。如前图，甲乙丁过天顶圏之平靣上，立戊丙垂线，得戊丙甲、戊丙己皆为直角。又本靣上，于癸立戊癸直线，则因戊在己戊壬圏，而己戊壬圏与本平靣以直角相交【当竪立之圏】必甲癸戊角为直角。与甲癸己、甲等太阴居戊，甲戊甲己相等，而甲癸同，则两三角形内余相当之腰及余角皆等必全甲癸戊三角形能当全甲癸己三角形因以本形显气差为甲癸线所对而甲癸丙亦直角则丙戊癸三角形内亦显气差为戊角所量，丙癸线所对也【甲癸以直角横黄道行，丙癸顺黄道行，故】苐前设戊丙甲为直角，则戊庚相距九十度【此庚戊当髙弧】太阴居戊，正在地平，以丙戊癸形所显，即其最大时差【癸丙为黄极距顶之正▯，使其距度不变，则其弧不异而时差亦同，又使黄极距天顶或逺或近，时差亦必依之为大为小，而大小皆太阴在地平，是其最大时差也】今太阴或去地平逺，所得时差渐变，又无髙弧可测，则不必以戊丙庚角，而惟以戊丙己角量其多寡可也。葢己癸壬视黄道圏以直角交丁乙出黄极经圏【与庚己戊外圏同靣，此当倒圏】得九十度限在己，故太阴在戊，就己愈近，得戊丙己角愈小，因而戊丙癸三角形中余丙角大，则对角亦小，虽丙癸线不异，其时差为戊角所量，无不异矣【丙戊癸三角形以丙癸底线合己壬黄经上，又以两腰在黄道圏同靣上】至太阴正居限中，则丙戊、丙己及癸戊三线者，皆归一直线，絶无戊角，亦絶无时差也。或问：丙、戊、癸三角形，全在视黄道平靣上？代辛、戊、甲在实？

黄道靣上三角形故甲戊线较之癸戊线微长未免癸戊丙角较之甲戊辛角略异即时差何能真乎？曰：试以丙丁弧得半象▯为四十五度，此即差之极逺处【若丙目在乙，则两底线及两角形全合为一；若丙目在丁，则两腰归一，全无时差可论】欲求两差同异，设太阴距地五十四，地半径为甲己算【法同前】得甲己癸角为四十五分○一秒，因而癸己线【与癸戊线同】五三九九五三二，与丙癸底线【四十五度之正▯】合算，得丙戊癸角为四十五分；若甲戊合甲辛同算，得甲戊辛角亦四十五分弱半秒，又不待言矣。

合论三差列表因太阴距顶九十度，在戊，以戊丙甲为直角，以甲戊丙得其最大髙下视差为甲丙，则太阴距地与地半径若全。

数与本髙视差又因甲癸戊为直角而甲戊癸当气差必癸戊丙为时差欲求戊气差则太阴距地与九十度限距顶之正▯，若全数与本角之正▯，欲求戊时差，则先求癸戊腰线全数与甲角之正▯。若太阴距地与本线，乃癸戊线与丙余角。若丙癸底线与本戊角，苐最大时差为太阴近地平所得者，则以甲丙癸三角形求之。全数与黄极距顶之正▯，若最大髙差与最大时差。今列表其上，横两行：一地半径数，即从诸曜至太阴止为七政距地数也；一最大髙下视差，即诸曜近地平为本图甲戊丙角所推得也。表右行书九十度，即黄道九十度限距天顶，以查气差者，或本限距地平【限距地平与黄极距天顶同】以查时差者。故算表任用何距度大端，都归于一。假如九十度限距天顶五十度，或限髙五十度所推分秒皆同。试以太阴距地五十四地半径，得髙下视差六十三分，则全数与六十三分若五十度之正▯与四十八分一十六秒。此分秒时当气差时当时差，因度限距顶为五十度，或反距地平亦五十度故也。或问：「本表既别求九十度，限定其髙度及距天顶若干，然后查求视差，较诸法不甚大异，今独别之曰简法，此简之玅，可得言乎？」曰：「常法或依三角形算，或依表查。若三角形除九十度限及髙度外，须更算距子午圏日月髙弧、黄道过髙弧交角诸法，乃敢求髙气时三视差。查表则须太阳距赤道表、髙弧表、交角表，又须各视差本表，种种推求，亦綦繁▯。顾有一开卷而三差俱备，如是尚不谓简乎？」虽然，算交食者因其当然，求其所以然，必多方磨勘，而其故始明，其理始得，尤不当以简为定法用法。未算视差，先求定朔，以两曜实经及本食实时，查黄道九十度限表，求本限距天顶若干余度，即为距地平髙也。次求气差，则以限距天顶本度查右行，以太阴距地心查上第一横行【用视径表内太阴距地数】其下得本距地太阴所应最大髙视差，减太阳最大髙视差【大阳行最髙或近应一分，行最庳应三分，在髙庳之中应二分，俱因此改】以余数入表，两数相遇即得气差。次求时差，必两次查表，亦以限距顶之余度从右，以本髙视差从上至中得最大，为本太阴距地之时差【近地平所生为最大】又以太阴实经较限所躔宫度得其相距度，则以最大时差从上，以限曜两相距度从右查表至中格，得所正应时差。若成数有竒零，先以度查表得分秒，又以分查表得秒微。或求气差，或求时差，俱如此。假如崇祯七年甲戌岁三月朔日食，定朔在巳正○七分四十九秒，日月实防在降娄宫八度三十分，以本度查九十度限表，得应时三十一分，加巳正八分，总得二十二时三十九分【俱小时从午正起算】以此时复查九十度限表，得限距顶四十四度○四分，余四十五度五十六分，即限距地平髙度，以太阴引数【七宫一十四度】查表得太阴距地五十五地半径，又查本表得最大髙视差六十二分，减太阳在中距最大髙差二分，余六十○分，求气差，上以六十○分，右以四十四度入表中，得四十一分四十一秒，即食时所应得太阴气差也【较以三角形所得止差一十七秒】上行又以六十分，右以四十五度查表得四十二分二十五秒，因而限距地平髙度外尚有五十六分，故又上行以六十○分，右以五十六分查表得四十九秒四十四微，与前相加总最大时差四十三分一十五秒，今太阴在降娄宫八度三十○分，九十度限在降娄宫初度五十九分【查本表得】相距七度三十一分，则复查表以四十三分【最大时差】从上以七度从右得五分一十五秒，又以三十一分【相距之零数】从右本四十三分以下得二十二秒，次一十五秒从上【最大时差之零数】七度从右得一秒五十○微，总为时差五分三十九秒，较三角形所算止差一十五秒，他算俱凖此。列表之法，上两横行，一以地半径从多数逓至少数，一以髙下差从一逓至六十六，每数各列五次。旁以黄道九十度距天顶及距地平数，从九十逆书至一分五段焉。因上每一数通关旁之九十等数，一二行不能尽书，故分为五段。旁数既分五段，上方自不得不各列五次而【中方之时气，差亦以五段列出。用表时须防此意，查之】

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割圆八线表用法割圆八线表，即大测表也。其数之多，其用之广，于测量百法中皆为第一，故名大测。分言之，则有正▯数、切线数、割线数、矢数、余▯数、余切线数、余割线数、余矢数，皆于割圆之一分，以其相当之直线与其曲线相求，而为测量推算之用，故名割圆八线也。其义与法，畧见《大测》二卷中。今此刻与他本小异，故先述其列表法，次述用法一二如左。

列表法二条一、既称八线刻中，何以无矢？矢者，▯之互余相减即得也【法见后条】今所列者，以一弧之正▯、切线、割线彚为一方，又以其相反相对弧【如初度之相反相对则八十九】之三线彚为一方。两方平列，并为同面，一览可得。故于初右方为弧初度顺列至四十四度，皆在右方也。于初左方为弧之八十九度逆列至四十五度，皆在左方也。初右方之上下各一横行，上行顺书正弧某度，下行逆书余弧【正弧反对】某度。其中直列，第一格为本弧之分，自上而下书初【作○】至三十。第二格为本弧之正▯三十率，各与其本分横相直也。第二格书切线，第三格书割线，亦如之。初左方之上下亦各一横行，上行顺书余弧某度【度与右方之上行同】下行逆书正弧某度【度与右方之下行同】其中直列之末一格为本弧之分，自下而上书三○至六○，其顺列三线与右方同也。次右方中第一直行为本弧之分，顺书三一至六○。次左方中末行逆书○至三○，余同前。合二面为正余各一度，其六十分之各三线咸在目矣。次三左右方书次度，俱如前法。二大表之全数，或八位，或九位，十位。今小表止全数六位，以便推算。

表中用线相求法九条一设弧背上圆线之度分秒，求其相当之各正线法，先查取所设度于本度各直行，查所设正分于本行中横查，所求某号【正▯切线之数是也】其相对数即所求正数。若度分外有设秒，表中所无也，而求各正线，则用中比例法，取设秒上下之两正分相减，余为差，以差数乘设秒数为实，以全秒六十为法而一，得数以加于设分下所得数，并为所设度分秒数。假设三五度四十分之弧，求其正▯如法求本度分，本号得五八三○七，即是。又假设二十三度三十一分三十秒，求其割线，用中比例法则，所设秒在三十一分、三十二分之间也。查本度分本号，得三十一分之割线为一○九○五八，三十二分之割线为一○九○七二，相减余一四，以三十秒乘之得四二九为实，以六十为法而一得七，以加三十一分之割线为一○九○六五，所为求数【其比例则六十与一四若三十与七也】二设弧之度分秒，求其相当之各余线。假设二十三度三十一分之正弧，求其余▯查二十三度三十一分之他方，同行本号下取数，得九一六九四，若设秒用中比列，如前。三设正▯等直线数，求其弧之度分秒。法于本号横取所设数相合者，即其相当之本度分也。不合，则取表中一数与设数相近而较少者，以相减得差，以乘六十得数为实；以表中较多一近数与初近数相减得差为法，而一得数，以加初近数之弧度分为设数之弧度分。假设八八六八八为正▯求其弧，查得六十二度二十九分，正为适足。又假设七六五四二为正▯求弧，查近且少者，遇四十九度五十六分之正▯七六五二九，相减余一三，以六十乘之，得七八○为实，以多少两近数相减之较一八为法，而一得四十三，并得四十九度五十六分四十三秒二十防【其比例则一八与六十若一三与四三三也】四设某直线数为某弧之余某线，求其弧于设数本方本号，求得本线数，查他方本横行，得弧度分。五、若圏半径为不全数【满十为全数，余皆为不全数】而求某弧之各直线法，以设弧先求本表本线之数【第二率】乘不全之半径【第三率】以全数【第一率】而一，得所求设弧之某直线【第四率，其比例则第一与二若第三与四也】如测天句股説，谓用天径一百二十一度七十五分，今设二十三度三十一分之弧，求其正▯先于本表查本弧之正▯得三九九○一【第二率】以周天半径【第三率】乘之，减末五位，得二四二九○○○【第四率不用而一者，第一率为全数，故乘讫即是也】六求矢法，求设弧之余▯，以减全数，得正矢。如设二十三度三十一分，求正矢，查其余▯得九一六九四，以减全数，得○八三○六，为二十三度三十一分之正矢。若求余矢，则以正▯减全数，得余矢。

七有不全径之数设矢求其弧法以全数【第三率】乘设矢，以不全径【第率】一而一，得数【第四率】以减全数，为余▯，求其弧。如半径六十万【古法】为不全数，设四四一为正矢，求其弧法。以全数乘设数，得四四一○○○○○，以不全径六十万而一，得七三五。查得七十四度三十九分，为设矢之弧。八有弧，求其通▯，以设弧之半，求其正▯，倍之，即设弧之通▯。九求通▯之弧，以设▯之半为正▯查度，倍之，得通▯之弧。

表外用法八条一有天度【三百六十五度四分之一】弧求其各直线。先以天度通为平度【三百六十度用通率表】次依前法求之。如旧法，问半弧背二十四度黄道矢若干？先以二十四度通为平度，得二十三度二十九分一十秒，求矢得八四○一【第三率】以不全半径六○八七五【第三率】乘之，得数减后位，得五度一十一分四十一秒。二造简平仪，定时线、节气线，用正▯数，倍省工力。三造平浑仪等器，定经纬度圏之心，用切线数，甚便甚凖四造日晷，用切线、割线，可减多圏、多线，倍省工力。五测天、量地，俱以割圆八线为本【见本説】六圆线与直线异类也。亘古迄今，未有相通之比例。此割圆八种，本是直线，其原出于圆线，其用之也，可令异类之线相比相似，所差极防。故厯家推算，以为津梁，无能舍置也。七球面上大小圏最难得其比例，因此诸线可相比相凖，不失分秒。八地平上，用此诸线，可定诸方相距之里差，可定太阳出入时刻，可定昼夜长短时刻，可定日月交食真防、视防相距时刻【各有本论】右用法畧举一二，他用甚广，各见本法中【其造法见大测诸篇】

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