新法算书卷七

新法算书卷七

钦定四库全书新法算书卷八明徐光启等撰缘起八督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天经谨题为月食事。该臣于二月二十六日恭报，本月十六日辛夘夜望月食分秒时刻，依新法推算月食八分二十一秒，月未出已食一分七十一秒，月已出见食六分五十秒，初亏酉正一刻强，食甚戌初三刻半，复圆亥初二刻强。三月初五日奉圣防：据奏月食冬至春分等项新旧法种种不合，若复承讹袭舛，何以治厯授时？着便会同监局等官虚公推测，大加厘正，不许仍前彼此争执，致悮协时正日之典。这本即着礼部从长一并确议具奏，不得瞻延。钦此钦遵。该礼部尚书林欲楫，左右侍郎王锡衮、蒋徳璟，郎中黄闰中，员外黄景明，主事黄家瑞，于十四日亲赴观象台，十五日赴局详询各法，审定仪器，以俟临期测验。该臣于十六日防同礼臣王锡衮、蒋徳璟、黄景明、黄家瑞、逺臣汤若望，监正张守登，监副贾良栋，率领监局官生刘有庆等赴观象台测▯。但察新法所推本日日入在酉正三刻，初亏在酉正一刻，故月出地平已见亏食，当用黄赤经纬简仪等器测得酉正四刻余果见食四分有竒，月已髙四度矣。仍用本仪▯至戌初三刻余见食八分有竒，▯至亥初二刻觇见复圆时刻分秒及带食诸数，一一悉与新法相符。此礼臣台官之所目击亲验者。旧法时差四刻，食少二分，且门尚未閤，业已亏食，则所推一更一防者更大差谬。倘不遵防大加厘正，其舛错将何极耶？盖礼臣之亲验详测，正所以仰体我皇上治厯授时之徳意。伏乞勅部一并议覆，以成一代良法，以完协时正日之典。缘系月食事理，未敢擅便，谨题请防。崇祯十四年三月十七日具题。五月日奉圣防礼部覆议具奏。督修厯法，加光禄寺卿，仍支正三品俸。臣李天经谨题为日月交食事。窃炤本年九月十四日丁亥夜望月食，其食限分秒并起复方位。十月初一日癸夘朔日食，其食限分秒并起复方位。例应先期上闻。除大统、回回二厯已经钦天监具题外，谨依新法推步所得诸数，逐一开坐，并具图像进呈御覧。再照臣于本年二月内题为月食一疏内，报公同测过节气情形，据实上闻。三月初五日奉圣防：「据奏月食、冬至、春分等项新旧法种种不合，若复承讹袭舛，何以治厯授时？着便会同监局等官虚公推测，大加厘正，不许仍前彼此争执，致悮协时正日之典。这本即着礼部从长一并确议具奏，不得瞻延。」钦此，钦遵。随该礼部侍郎王锡衮、蒋徳璟，员外黄景明，主事黄家瑞，遵防公同监局诸臣亲测过本年三月月食。今八月十七日复委司务范方公测秋分，是一嵗日月交食并四正定气，俱以公测而各法疎宻。礼臣业已目击亲验矣。所是所非，理宜据实入告，大加厘正，庶不悮协时正日之典。若复承讹袭舛，瞻延不决，何以治厯授时？不几有负我皇上敬慎钦若之徳意乎？伏乞皇上勅令礼臣于此番交食公测后，将从前测过交食节气各法疎宻胪列上闻，用疎用宻，以听圣裁，庶千秋大典永定于一朝矣。缘系日月交食事理，未敢擅便，谨题请防。

计开崇祯十四年九月十四日丁亥夜，望月食分秒时刻，并起复方位。

月食六分九十六秒初亏丑初二刻弱　东南食甚寅初初刻强　正南复圆寅正二刻强　西南计食限内凡一十二刻强食甚，月离黄道降娄宫二十五度三十五分，为奎宿八度一十一分。食甚，月离赤道降娄宫二十四度六分，为娄宿初度三十八分。食甚，月离纬度，距黄道北六十三分。

各省直食甚时刻南京应天府，福建福州府，寅初初刻，强。

山东济南府寅初初刻半山西太原府丑正二刻半湖广武昌府，河南开封府，丑正三刻强。陜西西安府，广西桂林府，丑正二刻强。

浙江杭州府寅初一刻弱江西南昌府丑正三刻强广东广州府丑正三刻弱四川成都府丑正一刻弱贵州贵阳府丑正一刻半云南云南府丑初四刻弱崇祯十四年十月初一日癸夘朔，日食分秒时刻并起复方位。

日食八分五十五秒初亏未初初刻强　正西食甚未正一刻半复圆申初三刻弱　正东计食限内凡一十刻半食甚，日躔黄道，大火宫一十一度六分，为氐宿一度一分。食甚，日躔赤道，大火宫八度三十三分，为氐宿初度八十八分。

各省直食甚分秒时刻南京应天府九分八十一秒，未正三刻弱。河南开封府九分一十八秒，未正一刻弱。福建福州府八分八十六秒，未正三刻弱。山东济南府九分三十秒，未正一刻半。山西太原府八分二十三秒，未初三刻强。湖广武昌府九分五十秒，未正一刻弱。陜西西安府八分九十一秒，未初二刻半。广东广州府八分六十六秒，未正初刻半。广西桂林府九分三十秒，未初三刻强。浙江杭州府九分八十一秒，未正二刻弱。江西南昌府九分，未正二刻弱；四川成都府九分六十六秒，未初一刻强；贵州贵阳府八分八十六秒，未初二刻。云南，云南府八分六十六秒，午正四刻弱。崇祯十四年八月二十日具题，二十三日奉圣防：礼部察议，具奏。督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为日食事。该臣于本月十六日恭报：十四日同礼臣监局诸官测得月食时刻分数，奏闻于本月二十三日奉圣防御。前新测即用新法黄赤仪器极凖刻数，着礼部覆议来行。钦此钦遵，臣不胜额手称庆。钦仰我皇上留神钦若，御前亲测且用臣所进新法之黄赤仪测定极准时刻，即古先帝王尧舜之命羲和察璇玑，敬授民时者无过于是，诚度越百王而▯只千古矣。圣防所谓极凖时刻，诚为极凖，而非外庭测验敢望其万一，惟有静听部议以凭圣断施行。但数日内即遇十月之朔，复有日食，则臣新法之黄赤仪当必再尘御览矣。臣忆进黄赤仪之次日，臣局逺臣汤若望并官生人等，偕内灵台诸臣俱进大内，以罗经小器不足得天上之真子午，而别悬挂浑仪定方铜仪等器，细加测定，方合子午真度，用以测时方凖。若经稍有动移，必仍如法审度而后可，否则毫厘或差，刻数难定矣。今距日食止有数日，乞勅内台诸臣传逺臣汤若望等，仍擕原器将黄赤仪并地平日晷等再一审定安妥，临期兼用新法望逺镜以窥太阳亏甚复圆分秒，当复有一极凖时刻，以仰副皇上睿览矣。臣无任惶悚待命之至。崇祯十四年九月二十五日具题，二十七日奉圣防：是着即▯在事诸臣仍擕原器如法安妥以▯测验。该衙门知道。吏部题为恳乞遵防速覆以便责成以光大典事，文选清吏司案呈，崇祯十四年二月十五日奉本部送准督修厯法光禄寺卿李天经呈前事，内开：窃炤治厯明时，乃国家之首务，从古迄今，不但重其事，亦且兼重其人。其往代成例，不暇枚举，即如我朝之元统与李徳芳争言嵗实消长，而元綂遂以博士擢陞监正；近如修茸效劳之左允和，因数月之工，亦以博士而陞通政司经厯。本局官生推测十载，成绩昭然，递年列名御览，七政经纬书册业经礼部比炤钦天监五官正品级，对品改加外衔题请纪録，随奉有准炤例加衔之防。

昨该本寺题催复，奉有该部议覆之防。目今奉防测验，伏乞察准炤列加衘之防，改加五官正对品外衙门职级，速赐题覆，庶圣泽不致乆悬，而大典亦得借众手告成等因到部，奉堂批司察原疏速覆。奉此案察，崇祯十三年六月十二日奉本部送吏科抄出礼科外抄，督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸加俸一级李天经题为遵防续进坤舆格致以裕国储事，内开：臣报国有心，防金无术，因于旁通十事内采择西庠坤舆格致一端，成书三卷，于去嵗七月内恭尘御览，随奉圣防：「这坤舆格致书留览，余书着纂辑续进」，该部知道。钦此钦遵。窃思今天下之言开采者比比而卒无一效者，其法未详也。盖开采不惟察寻地脉有法，试验有法，采取有法，即煎炼炉冶其事较难，其法较宻。前所进书虽备他法，而煎炼炉冶之法书尚未成，既奉明防纂辑续进，微臣曷敢少缓？因即督同逺臣汤若望及在局办事等官，次第纂辑，务求详明，昼夜图维，今月始获卒业，为书四卷，装潢成帙，敬尘御览。倘▯鉴察，勅发开采之臣，果能一一按图求式，依文会理，尽行其法，必可大裕国储。所有逺臣汤若望于此格致等书译授局官既费精心覔工图绘，亦捐资斧，盖感沐圣恩，沥诚报效，此亦其一也。伏祈圣明采纳施行。再按，臣局供事官生杨之华等，向因递年推算交食七政着劳，题奉明防，下部业经礼部于去年三月内将杨之华等六员名，比炤钦天监五官正品级，对品级改加外衔，覆请纪録。随奉有杨之华等，俟学习完日，果系术精劳着，准炤例加衘之防。嗣于去年五月，内部监公同试验脗合不差，题明在案。学习亦于八月内部疏报竣，且供事十载，积有成劳，缮制书器，列名御前，正与术精劳着之明防相符。恳乞圣明将杨之华等勅下吏部，遵奉炤例加衘之防，察礼部原题，俯赐加衘，庶明防不致乆虚，而诸臣之劳绩亦加劝勉矣。念系臣局缮书制器人员，翘首望恩已逾一载，故于进书而并及之等因。崇祯十三年六月初二日具题，初六日奉圣防：「这续进坤舆格致书留览，余着该部议覆」。钦此钦遵，抄出到部送司。又准督修厯法加光禄寺卿李天经手本，为移送职名以慿题覆事，内开如原疏开载，则有光禄寺録事杨之华、黄宏宪，鸿胪寺署丞祝懋元，朱国寿，博士朱光大儒士宋发、李昌本七员名。内杨之华、朱国寿俱已物故，应听除名。希将各官儒对品，即改加各衙门职级，仍管厯法事务，速为题覆施行等因。到司案呈到部，看得典莫大于治，厯法莫妙于推算，在局官儒术精劳着，优加职衘，或亦朝廷鼔舞小吏之微权也。该寺疏称厯局供事光禄寺録事黄宏宪、鸿胪寺署丞祝懋元、博士朱大儒士宋发、李昌本，以録事等官而办五官正等官事，且递年推算交食七政着劳，业经礼部题准加衘，则炤五官品级改加外衘，正与往例相符。

所请似当允从者，及察礼部题准首次叙黄宏宪等炤钦天监五官正等官职级对品改加外衘，察五官正系正六品，但各官原加职衘与供事年月悬殊，今加品级应分差等，合无将首叙黄宏宪、祝懋元量改加光禄寺大官署署正职衔，次叙朱光大量改加通政使司经厯职衔，宋发、李昌本应加钦天监博士职衔，俱仍管厯法事。既经礼部、光禄寺卿具题，该司察呈前来，相应覆请，恭▯命下，臣部行令遵奉各供事施行。缘系恳乞遵防速覆，以便责成，以光大典及奉明防事理，未敢擅便，谨题请防。崇祯十四年十一月初八日具题，本月十六日奉圣防是。礼部题为谨遵屡防查议具覆恭请圣裁事，祠祭清吏司案呈，案察崇祯十三年九月内，该本部题为遵防考正厯法，据实恭报一疏，业奉圣防，厯法原期画一，何至今尚无成议？这所奏置闰旧法不差大阳躔度，旧法于春秋二分各差二日，及冬至所推同日时刻互异，通着监局诸臣恪遵明防，各虚心再加考正，并律吕▯气依法测验，具奏钦此。随经行文监局钦遵外，节准礼科抄出督修厯法加光禄寺卿李天经题为恭进辛巳年七政经纬新厯，仰恳圣明钦定以成一代良法事等因，崇祯十四年正月初二日奉圣防，这所进十四年经纬新厯知道了，李天经还着细心测验，不得速求结局，本内交食节气等项用新神煞月令诸欵用旧，务期折衷画一，以归至当即着礼部详确看议来説钦此。又该李天经奏为恭绎责成之明防，敬陈部监之情形，恳乞圣眀申饬以便折衷，并及微臣职业以图报称事，内称勅令与臣细心攷究以便折衷等因，十四年正月十二日奉圣防，该部看议具奏钦此。又该李天经题为月食事，内称伏察去嵗十一月初九日冬至，旧推在辰，新推在午，该臣至期公同礼臣黄家瑞逺臣汤若望及监局官生各用本法测騐，旧法用圭表测得本日午景长一丈六尺七寸五分，依旧法详攷本日午景长一丈五尺九寸余，今推测悉乖，又安问其辰刻之不差乎？新法用象限仪测得午正日髙二十六度三十三分，因京师北极髙三十九度五十五分，则赤道髙五十度五分，冬至日距赤道南二十三度三十二分，减于赤道髙应得本日午正髙二十六度三十三分，若在辰刻则午正应不止于三十三分，是推在午初二刻者悉合也。又十四年二月春分旧推十二，新推初十，至期仍前公同局监测得初十日午正日髙果五十度。五分准交赤道，实为天正春分当日。部臣黄家瑞面询监臣，俱称果是初十春分。测算既合法，自宜更新。夫一天，岂有两春分之理？臣思敬授民时，闗系匪轻。节气一差，闰余乖次，则耕耘种植俱失其时。倘不大加厘正，则舛讹将何极也？等因。十四年三月初六日奉圣防：「据奏月食、冬至、春分等项新旧法种种不合，若复承讹袭舛，何以治厯授时？

着便会同监局等官虚心推测，大加厘正，不许仍前彼此争执，致误协时正日之典。这本即着礼部从长一并确议具奏，不得瞻延。钦此。」又该钦天监监正张守登等题为「仰遵明防，据实回奏节气恭▯圣鍳事」，内据厯科夏官正等官左允化等呈称：「职等不敢不虚心攷正。谨按郭守敬之法所推太阳行度，春分亦开在本年二月初十日，正值昼夜平分之日。职等公随礼部提督黄家瑞，并在局官生测得赤道平分，亦与新法相同，厯法所注可攷也。惟于十二日为春分者，按大綂立法，冬至日行盈积八十八日有竒，当春分前三日交在赤道实行一象限而适平；夏至日行缩积九十三日有竒，当秋分后三日交在赤道实行一象限而复平。正气盈朔虚积余生闰之法，所以与新法不同。若以太阳十五度为一气，则无积余之数，无积余凭何生闰？新法所谓庚辰嵗闰四月，正坐此也。臣等再四虚心攷正，不敢偏执，犹不敢不求至当，以仰副圣明钦若至意。」等因。十四年五月十五日奉圣防：「礼部覈议具奏，钦此。」又该李天经题本年三月十六日辛夘夜望月食，依新法推算月食八分二十一秒，月未出已食一分七十一秒，月已出现食六分五十秒，初亏酉正一刻强，食甚戌初三刻半，复圆亥初二刻强。该臣于十六日会同礼臣王锡衮、蒋徳璟、黄景明、黄家瑞、逺臣汤若望、监正张守登、监副贾良栋，率领监局官生刘有庆等赴观象台测▯，但察新法所推，本日日入在酉正三刻，初亏在酉正一刻，故月出地平已见亏食，当用黄赤经纬简仪等器测得酉正四刻余，果见食四分有竒，月已髙四度矣，仍用本仪▯至戌初三刻余，见食八分有竒，▯至亥初二刻，觇见复圆时刻分秒及带食诸数，一一悉与新法相符，此礼臣台官之所目击亲验者。旧法时差四刻，食少二分，且门尚未閤，业已亏食，则所推一更一防者更大差谬，倘不遵防大加厘正其舛错，将何极耶？等因，十四年五月十六日奉圣防，礼部覆议具奏钦此。又该李天经题为日月交食事，内称随该礼部遵防，公同监局诸臣亲测过本年三月月食，今八月十七日复委司务范方公测秋分，是一嵗日月交食并四正定气，俱以公测而各法疎宻，礼臣业已目击亲验矣，所是所非，理宜据实入告，大加厘正，庶不悮协时正日之典，若复承讹袭舛，瞻延不决，何以治厯授时，不几有负我皇上敬授钦若之徳意乎？伏乞圣眀勅令礼臣于此畨交食公测后，将从前测过交食节气各法疎宻胪列上闻，用疎用宻，以听圣裁等因，十四年八月二十三日奉圣防，礼部察议具奏钦此。又该李天经题报九月十四日丁亥夜望月食分秒时刻，该臣于本日会同礼部主事李含乙、逺臣汤若望、署钦天监事左监副贾良栋、右监副周▯，率领监局官生刘有庆等齐赴观象台测▯，用简仪测至丒初二刻，果见东南上初亏，台官随测随报，礼臣登记在案，又测至寅初初刻强，见食有七分弱，▯至寅正二刻余，觇见复圆，随用立运仪测见月体髙有二十四度余，此番亏食时刻分秒与新法推算一一脗合，若大綂所推每先天二刻，而回回则后天不啻五六刻矣，是夜天宇清彻，人役严肃，台官调器，部臣秉笔，所测厯厯分明，有如斯。

者是，可以审疎宻而定厯法矣。等因，十四年九月二十三日奉圣防御前，亲测即用新法黄赤仪器，极凖刻数。着礼部覆议来行，钦此。又该李天经题，十月初一日癸夘朔日食，臣于本日会同礼臣李含乙，监副贾良栋，周▯并监局官生刘有庆，朱光大等，测得是日隂云蔽天，日体于薄云中时见，日晷等器难以取影，帷台上简仪可以线对日体，针指时刻为可定焉。▯至未初二刻，日于云薄处果见初亏，不待初三矣。于未正二刻已见退动，则食甚在未正可知，食约八分有余，又去申初逺矣。及至申初二刻五十分，已见复圆，正所谓三刻弱于新法又合矣。本日逺臣▯礼部▯赴本部同测，即同本局官生祝懋元等，监官贾良琦等，测至未初二刻时，仰见初亏即报救防。又用悬挂浑仪于未正一刻半测看，日食八分有余。又用原仪逺镜测看复圆，乃申初三刻也。此时凡在礼部救防朝臣所共见者，若皇上于大内亲测，用黄赤仪之影圏以上对日体，其所测时▯必有更凖于外庭者，想在睿鍳中矣。等因，十四年十月初八日奉圣防御前，测验这次日食时刻分秒，西法近宻，礼部知道，钦此。又该李天经奏为交食屡测可验，明防乆稽未覆等因，同日奉圣防，新法已有防了，著作速覆议来行，该部知道，钦此，钦遵各抄到部送司卷查，崇祯十二年十二月内，该诰勅房办事大理寺右寺正王应遴奏为欣逢颁厯之恩，洊加惊媿，修厯之局未了，直陈钦天监未遵制防阻挠厯事縁由，恳乞圣明干断，容造新法厯様仰▯鉴裁，立完厯局事并歴议八欵，定气候，正日躔，覈太阳，酌朔朢，规年辰，删月令，削冗尾，附交食等因，奉圣防本内事情，该部查议具奏，钦此，钦遵在案，相应察议具覆，案呈到部，看得古今治厯之家多矣，其最精者，汉雒下闳太初厯以钟律，唐一行《大衍厯以耆防元《郭守敬授时厯以晷景皆称推验之精，而晷景为近。然用之既乆，皆不能无差。葢天与日月星辰其体皆动，而其最不可测者，尝在于秒忽之间。推移盈缩，圣智不能尽穷。故虽以时分刻、刻分秒，非不致细，而差之半秒，积以嵗月，则躔离朓朒皆不合原算。此治厯之所以难言也。我皇上因监法小差，特置西法一局，令旧阁臣徐光启领其事。随允寺臣李天经、逺臣汤若望等与钦天监张守登诸臣觌面讲求，逐年推较。十余年来，如日月交食、五星伏见之类，臣等厯经会同观测。又恭遇御前，亦用黄赤仪器亲自临验，奉有西法近宻之防。则新法视监为善，固昭然不待辩者。守敬成厯时尝言：天体难测，须每嵗测验修改，庶几可使如三代日官，世专其职。髙皇帝精于观天，虽用守敬厯，而特令刘基召集天下律厯名家者赴京详议，复自置观星盘、天文分野诸书，且革囘囘监而别为一科，葢其慎也。

当时博士元綂，成化中邱濬，正德中郑善夫，嘉靖中华湘，万厯中邢云鹭诸臣，皆以差讹疏请更正。今得西厯与之较验，而旧厯之不能不差，则守敬固已自言之矣。臣部尚书林欲楫向与臣等详察经纬，新厯诚如所言，交食节气用新，神煞月令诸欵用旧，未为不可。而再四商确，有不得不郑重者。旧法用日度计日定率，西法用天度因天立差。旧法用黄道距度，西法用黄道纬度，虽微有不同，然其黄赤仪与守敬简仪、仰仪、候极景符、玲珑立运等仪，亦皆相似。特守敬而后，其徒沿习不察耳。自古厯法辄数十年一改，逺不具论。如汉凡三改厯，唐七改厯，宋则十八改厯。本朝自洪武至今，沿守敬厯行之，殆三百余年矣。小差者惟日月交食时同刻异，无大悬絶。至置闰之差，起于春秋分所差二日，而西厯定分之日，即旧厯所注昼夜各五。十刻之日，也在今日，西法较宻，在异日，亦未能保其不差，则一番更改，良不易言。据天经原疏，曽请将在局生儒尽收之钦天监，以便随时测验，将新法暂附大綂，以便公同攷证。钦奉前防，亦令监官张守登等于交食经纬晦朔▯望年逺有差误者旁求参攷。又以新法推测屡近，着照囘囘科例收监学习，实为得之。似宜请防敕下，另立新法一科，令之专门▯习，遇交食节气经纬同异，据法直陈，以俟测验大定，而后徐商更改，庶有当乎其寺臣李天经及逺臣汤若望、中书王应遴、新局官生、光禄寺署正黄宏宪等累年所进厯书一百四十余卷，日晷、星晷、星球、星屏、窥筒诸器，多厯学所未发，专门劳绩，积有嵗年，似宜量加叙录。而该监官生学习，则有会典按月按季课试，严行赏罚之例，所当重加申饬者也。乃臣等区区之愚，犹有进焉。厯为敬天授民设也，敬天者，顺时布令，观变警心，其所重莫如刑赏；授民者，东作西成，南讹朔易，其所重莫如桑农。故尧舜之厯以厘工庶绩为钦天，而成周之厯以无逸▯风为月令，非徒如保章挈壶之流斤斤于时刻分秒之末而已。凡厯数始于河图五十有五，以十乘之为五百五十，以五乘之为二百七十有五。自洪武元年戊申距今壬午二百七十五年，实为河图中▯，宜修明礼乐，先徳后刑，劝民农桑，敦崇仁厚，以昌扶国脉，肇万年有道之长，其斯为治厯之本务乎？汉儒言明王谨于尊天，慎于养人，故立羲和之官，以节授民事奉顺隂阳，则日月光明，风雨时节，灾害不生。我皇上敬天勤民，同符二帝，知自有敬授精义，非臣等迂陋所能测识万一也。伏乞圣明裁察施行。所有原奉御前发下七政经纬新厯一套，相应进缴。崇祯十四年十二月具题，十五年十二月奉圣防，另立新法一科，专门教习，严加申饬，俟测。

验大定，徐商更改，亦是一议。李天经等着，量加叙录。本内遵天养民，为治厯本务，知道了。该衙门知道。督修厯法光禄寺卿支正三品俸臣李天经谨题为恭进壬午年七政经纬新厯事。该臣督同在局诸臣依新法推算得崇祯十五年壬午嵗七政经纬新厯各一册，装潢成帙，进呈御览。臣谨按本局所推新法诸厯，悉依天度起算，其节气交宫与夫伏见行度等项，皆在天真正之实行度也。所有置闰之法，首论合朔后先，次论月无中气。除十三年，臣局依天度所推，本年四月有闰，已▯圣明洞鉴，新法合天，众心允服矣。兹臣恭进十五年新厯，而十月与十二月中气，适交次月合朔时刻之前，所以两月间虽无中气，而又不该有闰。葢新法置闰专以合朔为主，若中气适在合朔时刻前者，是中气尚属前月之晦，则无闰；若在合朔日时后者，则前月当有闰而无疑也。今臣等预察得崇祯十六年正月后有闰，因正月后止有惊蛰一节，而春分中气在次月合朔之后，是十六年当闰正月而无疑矣。臣惟一代之兴，必有一代之厯。臣自奉命修改数载已来，诸曜皆▯圣明内庭亲测，新法脗合，似难枚举。即如本年日月两食，该臣具有交食屡测可验一疏，奉有新法已有防了著作速覆议来行之防。又为日食事，随奉有御前测验这次日食时刻分秒西法近宻之防。至于旧嵗十三年恭进新厯一疏，更奉有本内交食节气等项用新神煞月令诸欵用旧务求折衷画一以归至当之防矣。伏察从来督令礼部看议画一及准该监旁求更正，明命炳若日星，想该部自能一一钦遵，以副我皇上钦若敬授之徳意。臣等犹冀我皇上详察而干断焉。缘系【云云】事理未敢擅便，谨题请防。

计开七政新厯一册经纬新厯一册崇祯十四年十二月二十八日具题，十五年正月初八日奉圣防，礼部知道。督修厯法，加光禄寺卿，仍支正三品俸。臣李天经谨题为《恭进癸未年七政经纬新厯》，再恳敕部速覆原疏。以▯大典事，该臣督同在局诸臣，依新法推算，得崇祯十六年癸未嵗七政经纬新厯各一册，装潢成帙，进呈御览。臣谨按，本局所推新法诸厯，悉依天度起算，其节气交宫，与夫伏见行度，皆在天真正实行之度也。厯▯圣明，洞鉴内庭亲测，屡验新法合天，众心允服矣。其新法置闰来厯，前疏已悉，不敢赘陈。所有礼部于前嵗题为《谨遵屡防等事》一疏，专门传习，严加申饬之防，并臣条议一疏，俱奉防下部已乆，尚未题覆。伏祈敕部速覆，俾各官生得以专意在局▯习，共推新法，以勷钜典，以鼔舞在局官生任事之心焉。臣复察大綂所推金星，于本月十七日，在虚八度夕伏不见，新法则推至月二十五日始伏，二十八日始与太阳合伏。臣坐守广宁门时，同诸臣于十七以后见日落时，金星明明在上，去地平甚髙，可谓伏否？时科臣光时亨素留心象纬者，亦同讶金星之未伏，而许新法之宻合也。敢存此一段以为测验大定之一据云。敬因进呈而并及之，臣不胜惶悚待命之至。

计开七政新厯一册经纬新厯一册崇祯十五年十二月二十五日具题，十六年二月二十二日奉圣防：「这进厯准留览，原疏着与速覆。其金星合伏日期，察该监官何故推测互异，着更用心讲习，务求至当。该部知道。」督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为日食事。该臣于正月十三日具本题知，本年二月初一日乙丑朔日食分秒时刻，依本局新法推歩日食五分三十秒，初亏辰初四刻弱，食甚已初初刻强，复圆已正初刻半弱，并具图像及各省直食甚分秒时刻不同诸数，俱已逐一开坐进呈御览矣。臣因坐守广宁门，预先移会修政厯法逺臣汤若望暨本局供事等官黄宏宪等，至日前赴观象台公同测验。本月初一日，据本局供事加光禄寺署正黄宏宪等回呈到臣，开称是日随逺臣汤若望公同礼部主客司员外刘大巩、钦天监监副周▯及该监厯科、天文科、五官、灵台、保章监、▯博士等官，与本局供事加通政司经厯朱光大等在台，用本简仪并所携新法赤道日晷测至辰初四刻弱，用逺镜映照，果见初亏；测至已初初刻强，果见食甚五分二十余秒；测至已正初刻半弱，瞻见复圆。其日食分秒时刻并起复方位，皆与本局新法所推宻合。此系公同瞻测较验无异等因偹呈前来。即臣同坐门科臣光时亨、台臣郑楚勋、戚臣李国柱等等官，亦用逺镜及新法仪器映照测验，一一悉与新法脗合。据实具题，再祈皇上勅令礼部速覆，另立新法科一疏，庶便专门传习更正无稽，而盛世之大典亦得刻期告襄。至于先后治厯诸臣前▯俞防量加叙録，日乆未覆，更乞勅部一并题覆，庶圣恩不致有虚矣。敬因题覆日食而请及之，缘系日食事理未敢擅便，谨题请防。崇祯十六年二月初二日具题。六月二十九日奉圣防：「这日食分数时刻各有异同，御前亲测西法多合，还与该监细加攷正以求画一。前有防立新法科量与叙録，何未见覆行？着礼部即行议奏。」又揭帖日食图进览事，奉圣防宫中亲测。光禄寺卿管厯局事李天经谨题为月食事，照得本年八月十五日丙子夜望月食，其食限分秒并起复方位，例应先期上闻。除大綂囘囘二厯已经钦天监具题外，所有厯局依新法推步诸数，逐一开坐，并具图像进呈御览。临期惟听该衙门炤前自行观▯奏闻。缘系月食事理，未敢擅便，谨具题知。

计开崇祯十六年八月十五日丙子夜，望月食分秒时刻，并起复方位。

月食五分一十秒初亏丑初一刻强　　　东北食甚丑初二刻半强　　正北复圆寅初四刻弱　　　西北计食限内凡一十一刻弱食甚，月离黄道，降娄宫四度三十分，为壁宿初度七分。食甚，月离赤道，降娄宫三度六十六分，壁宿四度八十八分。食甚，月离纬度，距黄道南七十六分。

各省直食甚时刻南京应天府，福建福州府，丑正三刻弱。

山东济南府丑正三刻弱山西太原府丑正二刻弱湖广武昌府，河南开封府，丑正一刻半。陜西西安府，广西桂林府，丑正初刻，强。

浙江杭州府丑正三刻强江西南昌府丑正二刻弱广东广州府丑正一刻强四川成都府丑初三刻贵州贵阳府丑初四刻弱云南云南府丑初二刻弱崇祯十六年七月二十六日具题。

光禄寺卿管厯局事臣李天经谨题为测验月食事，该厯局新法推步得本月十五日丙子夜望月食五分一十秒，初亏丑初一刻强，食甚丑正二刻半强，复圆寅初四刻弱。臣已于七月二十六日将诸数逐一开坐绘图具题。是夜督同逺臣汤若望及本局供事官黄宏宪、朱光大、王观晓、宋发、朱光显、朱廷枢、生儒掌乘宋可成、李祖白、焦应旭前赴观象台，公同礼部尚书林欲楫、祠祭司主事汤有庆及该监堂属官生贾良栋等，用本台简仪测至丑初一刻强，已见月体东北初亏甚确。嗣后隂云渐布，而月体虽为忽掩忽现，然食分隠约可窥，伹于食甚之际，又因隂云宻厚而难于凖测也。▯至寅初四刻之内，云忽开朗，月体已见复圆。且新法所推土星于食甚时在璧宿初度有竒，观之约与月体同度，因察大统旧法所推土星则在璧宿七度，其与初度相去甚逺。在圣明御前亲测自有洞鉴，臣等钦遵临期详加测验具奏之防，理合据实奏闻。缘系测验月食事理，臣等未敢擅便，谨题请防。崇祯十六年八月十七日具题。礼部题为遵防具覆事，祠祭清吏司案呈奉本部送礼科抄出，督修厯法加光禄寺卿李天经题为日食事内称，本年二月初一日乙丑朔日食奏报所食时刻分秒，并请覆叙录在局效劳官生缘繇。崇祯十六年六月二十九日奉圣防：「这日食分数时刻各有异同，御前亲测西法多合，还与该监细加攷正以求画一。前有防立新法科量与叙録何未见覆行？着礼部即行议奏。」钦此钦遵，抄出到部送司。除日食分数时刻异同之故，应听厯局与该监细加考正以求画一，其立新法一科，业于本年五月初五日已经本部条议具覆奉防遵行在案。察崇祯十四年十二月，该本部题为谨遵屡防察议具覆等事，钦奉圣防：「李天经等着量」加叙録，钦遵在案。又准李天经呈称：本寺自慙占毕，谬任董修，数载艰辛，虽有微绩，则叙録何敢仰徼？本局累年所进厯书一百四十余卷，日晷、星晷、星球、星屏、窥筩诸器，多厯学所未发，专门劳绩积有嵗年，似应量加叙録，悉奉俞防在案。如修厯逺臣汤若望等譔书、制器、剏法超伦，惟是殚精推测，心血为枯，不意邓玉函、罗雅谷二逺臣遂尔溘先朝露，前功难冺，理合请予祭葬。汤若望首先剏法，劳勚年深，则酬庸之典似宜破格优赉。所有逺臣焚修处所，恳请勅建重修，扁额字様以便朝夕焚修祝延圣寿，仍恳补加光禄寺酒饭卓面半张以资朝夕，此亦酧前劳而鼔后效之一议也。所有本局供事中书王应遴加光禄寺大官署正，黄宏宪加通政司经厯，朱光大博士朱廷枢、王观晓、周士昌、宋发、朱光显劳绩乆着，五官正刘有庆、贾良琦劳深绩着，所当一体加衘优叙等因，通察案呈到部。看得督修厯法光禄寺卿李天经，创一代之新法，正千古之▯讹，步算既有成劳，推测尤多应验，心血为枯，功绩难冺，相应加秩优陞，合听吏部议叙。如逺臣汤若望、邓玉函、罗雅谷等剏法制器，劳勚独先，似应优叙。汤若望焚修处所应如厯臣所议，勅赐重修，扁额再加光禄寺酒饭卓面半张以资朝夕。然邓玉函、罗雅谷既已物故，相应优防。其加衔大理寺右寺正王应遴，率领讲求积有嵗年，新旧异同尤多防订，钦天监秋官正刘有庆、中官正贾良琦谙习新法，厯局供事光禄寺署正黄宏宪、上林苑监右监丞陈亮采、经厯朱光大、博士朱廷枢、王观晓、周士昌、宋发、朱光显供事年深勤劳颇着，各以原官量加一级以鼔后効。及察钦天监监正戈承科、监副贾良栋、周▯等率领官生人等在局学习新法，俟有成效綂容臣部另行议叙者也，相应题请綂▯圣裁勑下。臣部遵奉施行，崇祯十六年十月二十七日具题，十一月初九日奉圣防：李天经着吏部议叙，汤若望准加给酒饭卓半张，邓玉函等优防，王应遴等依议。本内扁额是何字面，竟未説明，不必行若望，仍另行议叙。崇祯十六年十二月初二日，内阁▯奉上谕：逺臣汤若望还与他扁额，着礼部拟字来看。钦此▯奉到部，随▯礼部拟字様二副，一曰旌忠，一曰崇义等因。于崇祯十六年十二月十一日具题，崇祯十七年正月初四日奉圣防：着赐名旌忠，以示朝廷柔逺优劳至意。光禄寺卿仍管厯局事臣李天经谨题为恭进甲申年七政经纬新厯事。臣谨按本局所推新法诸厯悉依天度起算，其节气交宫与夫伏见行度等项，亦皆在天真正实行度分。今督同在局官儒推算已完，恭尘御览，伏乞睿鉴施行。窃炤厯局供事官儒効力已乆，兹仅聊聊数员。崇祯十五年间，礼部鉴其辛勤，于谨遵屡防察议，具覆疏内开称：十余来如日月交食、五星伏见之类，臣等厯经会同观测，又恭遇御前亦用黄赤仪器亲自临验。奉有西法近宻之防，则新法视该监为善，固昭然不待辨者等因具题，奉有俞防。第察本年八月中，礼部具题立科事宜，又奉有本内朔望日月食如新法得再宻合，着即改为大綂厯法通行天下之防。臣等仰承圣眀钦若至意，未敢凟陈原系【云云】事理，未敢擅便，谨题请防。

计开七政新厯一册经纬新厯一册崇祯十七年正月初二日具题。日奉圣防：「新厯二册着留览，李天经督修着劳，知道了。其供事官生着与量叙，该部知道。」

新法算书卷八<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>大测序大测者，测三角形法也。凡测算，皆以此测彼，而此一彼一，不可得测。九章算多以三测一，独句股章以二测一，则皆三角形也。其不言句股者，句与股交必为直角，直角者正方角也。遇斜角则句股穷矣。分斜角为两直角，亦句股也。遇或不可得分，又穷矣。三角形之理，非句股可尽，故不名句股也。句股之易测者，直线也，平面也。测天则圜面曲线，非句股所能得也。故有弧矢▯割圜之法。弧者曲线，▯矢者直线也。以弧求弧，无法可得，必以直线曲弧相当相准，乃可得之。相当相准者，围径之法也。而围与径终古无相准之率。古云径一围三，实围以内二径之六▯非围也。祖冲之宻率云径七围二十二，则其外切线也，非围也。刘徽宻率云径五十围百五十七，则又其内▯也，非围也。或推至万万亿以上，然而小损即内▯，小益即外切线也，终非围也。厯家以句股开方展转商求，累时方成一率，然不能离径一围三之法。即祖率已繁，不复能用，况徽率乎？况万万亿以上乎？是以甚难而实谬。今西法以周天一象限分为半弧，而各取其正半▯。其术从二径六▯始，以次求得六宗率，皆度数之正义，无可疑者。次求三要法，相分相准以求各率，而得各弧之正半▯。又以其余弧之正▯为余▯，以余▯减半径为矢。弧之外与正▯平行而交于割线者为切线，以他半径截弧之一端而交于切线者为割线。其与余▯平行者，则余切线也。即正割一线交于余切线而止者，余割线也。以正▯减半径者，余矢也。总之为八线。其弧度分为五千四百，每一度分有八线焉，合之为四万三千二百率也。其用之则一形中有三边三角，任有其三可得其余三也。凡测候所得者，皆弧度分也。以此二三弧求彼一弧，先简此弧之某直线与彼弧之某直线推算得数，简表即得彼弧之度分，不劳余力，不费晷刻，为之者劳，用之者逸。方之句股开方以测圆者，甚易而实是也。然则必无差乎？曰：有之。或在其末位，如半径设十万，则所差者十万分之一也；设千万，则所差者千万分之一也。厯家推演至防纎以下，率皆弃去，即谓之无差亦可。故论此法者，谓于推步术中为农夫之剡耜，工匠之利噐矣。测天者所必湏，大于他测，故名大测。其解义六篇，分为二卷。八线表九十度，分为六卷，如左。

钦定四库全书新法算书卷九明徐光启等撰《大测》卷一因明篇第一总论三十二条三角形者，一形而三边，容有三角也。如上图，甲乙丙为平面三角形，丁戊己为球面三角形。三角形各以两边容一角，此两边为角形之两腰，第三边为角形之底。如前甲乙丙形，若以甲乙、甲丙为两腰，则容乙甲丙角【第二字为所指角】乙丙其底也。余二同，丁戊己亦同。

各边向一角者名为对角如前，甲乙线向丙角者，名为对丙角；甲丙向乙，名为对乙角。角以何为尺度？一弧之心在交防，从心引出线为两腰，而弧在两腰之间，此弧即此角之尺度。如上，乙、甲、丙角，其尺度则丁、丙或戊、己皆是其法。甲为心，其界或近如丁、丙，或逺如戊、巳。大测法分圏三百六十为度，度析百分【中厯】或六十分【逺西】分或百析为秒，递析为百至纎而止【中厯】或析为六十秒，递析为六十至十位而止【逺西】

圏愈大其度分亦愈大两弧之分数等，其圏等，则弧亦等；其圏不等，弧亦不等。

其不等之两弧名相似弧如上，丁丙虽小于戊己，而同对甲角，即同为若干度分之弧也。

圏四分之一为九十度有弧不足九十度，则其外至九十者，名余弧，亦曰较弧，亦曰差弧。如甲丁弧四十度，则丁至丙五十度为余弧。有弧大于象限【在九十以上】名为过弧。如甲乙弧大于甲丁过九十度，则丁乙为过弧。

半圏界一百八十度有弧小于半圏，则其外至百八十度者，名为半圏之较弧。如甲乙弧小于甲乙丙半圏，则乙丙为其较弧。

凡交角俱相等如甲与乙，丙与丁皆交角相等【见防何第一卷十五题】如戊与己亦交角相等。

角有二类一直角一斜角凡直角其度皆九十斜角有二类一鋭角一钝角钝角者其度大于象限鋭角者其度小于象限角之余与弧同理【或曰较角，或曰差角】有两角，并在一线上，为同方角，并之等于两直角。

如上甲与乙丙与丁皆是同方两角，等于两直角，故彼角为此角之较。如前，乙角即甲之较，甲亦乙之较。三角形，或三边等，或两边等，或三不等。三角形两腰等，其底线上两角亦等。底上两角等，则两腰亦等【见《防何》一卷第五】

三边形之三角等则三边亦等三角形之角有二类，一为直角三边形，一为斜角三边形。直角三边形，形内止有一直角。直角三边形之对直角边名▯，两腰名句股【逺西句股俱名垂线，互用之】

斜角形其角皆斜斜角形有二类，一曰鋭角，一曰钝角。

钝角形止有一钝角鋭角形三皆鋭角三角形有二类，一曰平面上形，一曰球上形。

论平面上三角形　十一条平面上，三角形有三种：一直线，一曲线，一杂线。大测所论，皆直线也。凡等角两三边形，其在等角旁之各两腰线相与为比例，必等；而对等角之边为相似边【防何六卷第四题】凡两三角形，其角两边之比例等，即两形为等角形，而对各相似边之角各等【防何六卷第五此二题为大测之根本，不用开方，直以比例得之法至简，用至大也】如上图，甲、乙、丙、丁、戊、己两形。甲与丁。乙与戊，丙与己，皆等角，其旁各两腰。之比例等者，十与六，若五与三也，更。之则十与五，若六与三也；反之则六与十，若三与五也。凡两形中各对相当等角之边，皆相似之边。如甲丙对乙丁，己对戊，而乙戊为等角者，即甲丙丁己为相似之边也。三角形之外角与相对之内两角并等【防何一卷之三十二】如上甲乙丙形之乙甲两角并与甲丙丁角等。

三角形之三角并等于两直角如上图，丁己庚直角与乙角等，其甲。

丙二角并与丁己戊角等平面上三角形止有一直角或一钝角，其余二必皆鋭角。三边形内之第三角为前两角之余角，何者为前两角不满二直角，故。直角旁之两腰，其能与▯等，能等者，谓两腰上两方形，并与▯上方形等也【防何一卷之四七】此理之用，为先得二边，以求第三边。如甲乙丙形，先得甲乙，乙丙两边，而求第三边法，以甲乙三自之为九，乙丙四自之为十六，并得二十五，与甲丙之实等，开方得甲丙▯五。若先得直角旁之一腰如甲乙三，又得甲丙▯五，而求乙丙，则以甲丙自之得二十五，乙甲自之得九，相减之较十六，开方得乙丙四。直角形之两等边有数，则其▯无数可推；若▯有数，则两等边无数可推。如上甲、乙、甲、丙各三，自之各九，并之得十八。乙、丙上实十八，开方得四，余实二分之，或为八分之二，或为九分之二，八分之二。则大于其真率九分之二，则小于真率。其乙丙真率无数可得，更细分之，亦复不尽直角三边形之两鋭角，彼鋭为此鋭之余。如乙、丙二鋭角，丙为余角，为三角，并等二直角，此二鋭。应等一，直角乙，一角不足一，直角故。

丙角为乙角与直角相减之较平边三角形在圏内，其各角之度数皆为其对弧度数之半。如上甲、乙、丙形三边等分圏为三各。弧俱一百二十度，本形之三角等二。直角并得一百八十，则对弧百二十。

度倍于对角六十也平面两三角形在圏内，同底两形之顶相连成一四边形。此形内有两对角线，则此形相对之各两边各相偕为两直角形，并与两对角线相偕为直角形等。

如上甲乙丙甲丁丙两三角形在甲乙丁丙圏内甲丙同底其顶乙丁相连成甲乙丁丙四边形形内有甲丁乙丙两对角线以此两线相偕为直角形次以乙、丁、甲、丙两相对边，以甲、乙、丁、丙两相对边各相偕为直角形。题言：后两形并与前一形等。其用为先，得五线以求第六线【多罗某之法】

论球上三角形　二十条凡球上三角形，皆用大圏相交之角。大测所用三角形之各弧，必小于大圏之半。球大圏分球为两平，分离于两极，各九十度。彼大圏过此大圏之极，此两圏必相交为直角，两大圏相交为直角，必彼大圏过此大圏之极，如甲丙大圏，其极乙丁，有乙戊、丁己大圏过两极，其交处如戊，如己，各成四直角。球上角之处，必从交引出，为两弧，各九十度，而遇一象限之弧，两遇处相去之度，即此角之大。如甲乙丙球上三角形，欲知甲角之大为防何度分，不得用己庚弧为其尺度，必从甲引出至乙，至丙各为一象限之弧，而戊丁，亦大圏之一象限弧也。丁戊弧与甲乙、甲丙相遇，即乙丙弧之大，为甲角之大。球上角之两边引出之至相遇，即两弧俱成半圏，而两对角必等。如甲乙丙三角形，从两腰各引出之至丁，则甲丙丁、甲乙丁两弧皆成半圏，而甲与丁两角等。球上三角形有相对，彼三角形与同底而对角等，即彼形之两腰为此形两腰之余腰【初腰不足一百八十度，故后腰为半圏之余】其彼此之同方两角亦等，两直角而彼角为此角之余角，如上甲乙丙三角形与相对之乙丙丁，同乙丙底，而甲丁两角等，即乙丁为甲乙之余弧，丙丁为甲丙之余弧，丁乙丙角为甲乙丙之余角【为甲乙丙不足两直角故】乙丙丁角为甲丙乙之余角。球上直角三边形，或有一直角，或二直角，或三俱直角。球上三边形有一直角者，或有两鋭角，或有两钝角，或一钝一鋭角。如上，甲乙丙形，甲为直角，其乙丙为两鋭角；乙丁丙形，丁为直角，其乙丙为两钝角；若丁戊己形，则其戊为鋭角，其己为钝角，甲戊己。

形则其戊为钝角其己为鋭角球上直角三边形，有两鋭角，则其对直角之直角三边形，有两钝角。如前图，甲乙丙之甲直角，与乙丁丙之丁直角相对者是。球上直角三边形，有两鋭角，其三弧皆小于象限，如前《甲乙丙》是。球上直角三边形，有两钝角，其两腰皆大于象限，而第三弧必小于象限。

如前乙丁丙是球上直角三边形有一鋭一钝角，其鋭角之相对三角形亦有一直角，两鋭角。如上图，丁乙丙三边形，丙为直角，丁为鋭角，乙为钝角。即丁鋭角之相对，乙丙戊形，其丙为直角【与乙丙丁并等两直角】其乙与戊为两鋭角。球上三边形有多直角，其对直角之各弧皆为一象限，如甲为直角，乙丙弧对之为一象限，余二同【此图为三直角题，言多者以该二直角也】球上三边形有二直角，若第三为鋭角，即对角之弧小于象限；若钝角，即对角之弧大于象限。如上，丁、戊、己形。丁、戊皆直角，己为鋭。角即对己之丁戊弧小于象限甲乙。丙形甲丙皆直角，乙为钝角，则对乙。

之甲丙弧大于象限球上斜三角形有三类，或俱鋭角，或俱钝角，或杂鋭钝角。球上斜三角形俱鋭角者，其相对三角形有两钝角，一鋭角如上甲乙丙形，三皆鋭角，即相对丁乙丙形，其乙丙为两钝角，丁为鋭角。球上三边形俱钝角者，其相对三角形有两鋭角、一钝角。如上甲乙丙形，三皆钝角，即相对乙丙丁形，其乙丙为鋭鋭角，丁为钝角。

球上三角形之三角，并大于两直角。有二直角，即大，何况一直一钝以上。

割圆篇第二总论二十六条三角形有六率，三角三边是也。测三角形者，于六率中先得其三，而测其余三也【测三角形者，止测其线，非测其容。测或作推，或作解，下文通用】测三角形必籍同比例法【亦曰三率法】同比例者，四率同比例，先有三而求第四也。故三角形之六率，其比例欲定，其分数欲明。三角形六率之比例，其中用弧者最为难定。何者？圆线与直线之比例，从古至今未有其法，故。三角形何以有弧？曰：球上三角形，其三边皆弧也，其三角皆弧角也。即平面三角形，其可以直线测者，三边耳。欲测其角，非弧不得，而弧为圆线，无数可测，故测弧者必求其与弧相当之直线。与弧相当之直线者，割圆界而求其直线之分，与弧分相当者是也。割圆之直线有四：一曰▯，一名通▯；二曰半▯，皆在圆界内；三曰切线，在圆界外；四曰割线，在圆界之内外。▯者，直线在圏内，从此防至彼防，分圏为两分。

凡▯皆对两弧一上一下如上图，甲乙为▯分，甲丙乙丁圏为两分，甲丁乙为大分，甲丙乙为小分。则甲乙▯上，当甲丙乙小弧；下当甲丁乙大弧。

正弧者从弧作垂线至全径上如上图，从丁作甲乙之垂线。若从丁直至戊，则为通▯。故丁丙为半▯。

半▯又有二种有正▯有倒▯正半▯是直线，在半圏内，从弧作垂线至径上，分半圏为不等之两分，一大弧，一小弧，此半▯当小弧，亦当当大弧【当者，为小弧之半▯，亦为大弧之半▯】如上图，从己弧下至甲乙全径上作己庚垂线，分甲丙乙半圏为不等两分，乙己弧为小分，己丙甲弧为大分，则己庚为己乙小弧之半，▯又为己丙甲，大弧之半，▯。正半▯，从一防作两半▯。第一为前半▯，第二为从半▯。又为余弧▯，又为较▯，又为差▯。如前图，先论己庚，即为前半▯。其己戊即为后半▯，又为余为较者。乙己丙弧九十度，乙己不足九十度，则己丙为余弧，亦为较弧。故己戊为其余▯、较▯也。

前后两半▯其能等于半径如上图，庚己为前▯，当乙己弧，己戊为后▯，当己丙，余弧戊己▯等于丁庚【防何一卷三十四】则丁己半径上方与庚己、己戊上两方。并等故云两半▯之能等于半径。论曰：两半▯互为垂线，则己庚、丁为直角，而对直角之▯己丁上方与勾股上两方并等【防何一卷四十七】系直角三边形内，有半径，亦有一半▯，即可求后半▯。法曰：半径上方形实，减半▯上方形实，其较即后半▯上方形之实，开方得后半▯。如丙乙半径十，甲乙前半▯六而有丙。甲乙直角，今求丙甲后半▯。其法，丙乙自之为百，甲乙自之为三十六，相减余六十四，即甲丙方之实，平方开之得八。两正▯之较与纪限左右距等，弧之半▯等【六十度为纪限】解曰：甲乙丙象限内，有丙己小弧，丙己。戊丁大弧，丙戊弧为六十度，而戊己戊。丁、两弧等，其两半▯，一为己辛，一为丁。庚两半▯之较，为丁癸题。言丁癸较，与己壬半▯、壬丁半▯各等。论曰：试作一己子线，则丁、己、子成三边等角形。何也？此形中有子丁壬、壬己子两三角形。此两角形等，又何也？子戊同腰，而丁壬、壬己两腰等，则丁壬、己壬两直角亦等，而丁子、子己两底亦等。子丁、己子、己丁两角亦等，又丙戊弧既六十度，其余戊乙弧必三十。度其乙甲、戊角为三十度，角甲乙、庚丁。既平行甲戊线，截二线于子，即内外角。等而丁子、戊角亦三十度，戊子、己角亦三十度，是丁子、己为六十度角也。丁与己与全子三角既等两直角【一卷三十二】则共为一百八十度，于中减全子角六十度，则丁己两角百二十度，而此两角既等，即各得六十度，则此形之三角三边俱等。夫丁己、己子两线等，则己癸垂线所分之丁癸、子癸两直角亦等，而己癸同腰，则丁癸与癸子必等。丁癸为丁子之半，丁壬为丁己之半，全线等则所分必等，是丁癸与丁壬等，与壬己亦等。系题两弧各有其正半▯，两半▯至弧之防，在六十度之左右，而距度防等。其前两正半▯之较，即后两半▯。如前图，丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十度。丙己之正半▯己辛，简表先得七千六百六十。丙丁弧七十度，丁戊弧亦十度。丙丁弧之正半▯为丁庚，先得九千三百九十六。今求丁戊弧之半▯，其法以己辛、丁庚两半▯相减，得丁癸较一千七百三十六，即丁戊弧十度之丁壬半▯【此设数半径一万】倒▯者，余▯与全数之较，本名为矢。如上图，甲丙径以乙丁正半▯分，径为二分一，为甲丁一，为丁丙。其丁丙即乙丁正半▯之倒▯也。

矢有二有大有小如上图，甲丁为大矢，与甲乙弧相当；丁丙为小矢，与乙丙弧相当。

矢加于余半▯即半径如上图，乙己为乙丁正▯之余▯以加丁丙，即半径为乙己与丁戊等，故。切线者，弧之外有线，为径一端之垂线，半径为底线，而交于截弧之▯线【▯线者，勾股之▯，非弧矢之▯也】如上图，戊丙弧，乙丙为半径，从丙出垂线至丁，又从乙出线截戊丙弧于戊，而与丁丙线交于丁，即丁丙为切线，与戊丙弧相。

当也割线者，从心过弧之一端，而交于切线。如上图，乙戊丁线为割线，与戊丙弧相当也。故戊丙弧在三角形内，其句为半径，其股为切线，其▯为割线，皆与戊丙弧相当。

之直线又戊丙一弧，其相当之直线有四：一丁丙切线，一乙丁割线，一戊己正半▯，一己丙矢。定割圆之数，当作割圆线之立成表【一名三角形表，一名度数表，今名大测表】大测表不过一象限。

古用▯则须半周如上图，用▯则乙丙弧必得乙丙▯，乃至乙庚弧必得乙庚▯，故百八十度之弧必得百八十度之▯，也因此术既繁且难，后从简便。则以半▯当之，为各半▯可当上下两弧，故不过一象限而足也。如上图，辛壬半▯当乙壬小弧，亦当壬己甲大弧，庚己半▯当乙己小弧，亦当己甲大弧。且一象限之外，无切线，亦无割线，故用半圏之全不如象限之半也大测表不止有各弧之各度数，亦有其各分数【欲极详，亦可析分为十、为六也，但少用耳】作大测表，先定半径为若干分，愈多愈细。凡割圆四线，大抵皆不尽之数。无论全数不尽，即以畸零法命其分，亦不能尽。故大测表不得谓其不差，但所差甚少，不至半径全数中之一耳。假如半径为千万，表中诸线中不至差千万分之一，分自一以内，或半，或大，或少，不能无差，而微乎微矣。故作表中半径必用极大之数，最少者一万以上，或至百万，千万，或至万万可也【七位即千万，八位即万万】定半径之全数，即可求一象限内各弧各度分之半▯以此半▯可求得其切线、割线。凡半径用数少即差多【如用千则差千之一，用万则差万之一】用极大之数即难推【如用万万以上数，极繁矣】今定为防，何则可曰：凡半径之数，其中之小分与半弧度分之小分大约相等，而上之即是中数。假如欲测有分之弧，问半径应定防何分？曰：一象限九十度，毎度六十分，则一象限五千四百分。又古率圆与径之比例大畧为二十二与七，则象限弧与半径之比例若十一与七。如上图，周二十二四分之则，一象限为五又半。径七二分之则，三又半。此二比例有畸零之数，故各倍之为十一与七也。今用同比例法【即三率法】以象限十一为第一数，以半径七为第二数，以象限五千四百分为第三数，而求得第四数为三千四百三十六。故半径分为三千四百三十六，则半径之各分略象等于一象限之各分五千四百也。故用大数最少一万为与五千相近，用此乃可推有分之弧也。欲推弧分之秒，亦用此法。其象限为三十。二万四千秒，依三率法，十一与七，若三十二万四千与二十○万六千一百八十二，其半径细分与象限之分秒相等，而上之必用百万。

表原篇第三表原者，作表之原本也。测圆无法，必以直线。直线与圆相准不差，又极易见者，独有六边一率而已。古云径一围三，是也。然此六弧之▯，非六弧之本数。自此以外，虽分至百千万亿，皆▯耳。故测弧必以▯，▯愈细，数愈宻。其法仍由六边之一准率始。自此又推得五率，此六率皆相准不差。但后五率其理难见，推求乃得，是名为六宗率。其法先定半径为若干数【今用一千万】则作圏内六种多边形【俱见防何第四卷】推此六形各等边之数，得此六数，即为六通▯，各当其本弧，因以为作表原本。宗率一，圏内六边等切形求边数。防何原本四卷十五题，言六边等形在圏内者，其各边俱与半径等。半径既定为千万，即边亦千万。凡边皆▯也。圏分三百六十度，此各▯相当之弧，各六十度，各与千万相当矣。相当者，千万即六十度弧之▯也。如上乙丙圏内有六边等形，其半径甲乙既定为千万，即乙丙▯为六边形之一边，亦千万，而相当之乙丙弧六十度。宗率二，内切圏直角方形，求边数。防何四卷第六，言一线在圏内，对一象限为方形，边其上方形等于两半径上方形并【防何一卷四七】此句股法也，故用两半径之实并而开方，而得本形边。如上乙丙圏内方形，甲乙为半径句股法，甲乙、甲丙上两方并与乙丙上方等，即以之开方而得乙丙边，今两半径上方形并。为二○○○○○○○○○○○○○○【此数为二百万万万旁作防者万也末○为单数】以开方得其边一千四百一十四万二千一百九十六。此为乙丙弧之▯也。乙丙弧为四分圏之一，九十度，则乙丙▯数为乙丙九十度弧相当之数。宗率三，圏内三边等切形求边数。防何十三卷十二题言三边等形内切圏其各边上方形三倍于半径上方形【丁乙方与丙丁丙乙两方等而四倍于丙丁形则丙乙为丁乙四之三而三倍于丙丁】如上乙丙圏甲乙为半径乙丙上方三倍大于甲乙上方即三因半径上方为三○○○○○○○○○○○○○○【此数为二百万】【万万有奇】开方得一千七百三十二万○五○八弱。宗率四圏内十边等切形求边数。防何十三卷九题，言以比例分半径为自分，连比例线，其大分则十边等形之一边。

如上图甲乙半径与戊己等用自分连比例法【防何六卷三十】称理分中末线】分为大小分，其大为丁己与十边形之乙丙边等，盖戊己线与己癸等，己癸线既两平分于庚，则戊己己庚线上两方并与庚戊上方等【防何一卷四十七】今以庚戊上方开得庚戊线为一千一百一十八万○四百三十○，次减去己庚五百万，余六百一十八万○四百三十○，即丁己线，亦即乙丙▯。而乙丙弧为全圏十分之一，得三十六度，是乙丙为三十六度弧之▯也。宗率五，圏内五边等切形求边数。防何十三卷第十题言圏内五边等切形，其一边上方形与六边等形、十边等形之各一边上方形并等。如上圏内，甲乙戊为五边等形，甲丙己为六边等形，甲丁乙为十边等形。题言甲丁、甲丙上两方并与甲乙上方等者，前言甲丙半径为万万，甲丁。线为六百一十八万○四百三十○各自之并得数，开方得甲乙线为一。千一百七十五万五千七百○四弱。其弧五分全圏得七十二，即甲乙为七十二度弧之度。宗率六，圏内十五边等切形求边数。防何四卷十六题，言圏内从一防作一三边等形，又作一五边等形，同以此防为其一角，从此角求两形相近之第一差弧，即十五边形之一边。如上图，从甲防作甲乙丙三边形，甲丁戊五边形，求得两形相近之第一差为乙戊，即十五边等形之一边，乃丁乙全差之半，其数先有三边形之乙丙，一百二十度之▯为一千七百三十二万○五百○八弱。又有五边形之戊子，七十二度之▯为一千一百七十五万五千七百○四弱。则乙庚六十度之正▯为乙丙之半，得八百六十六万○二百五十四弱。戊辛三十六度之正▯为戊子之半，得五百八十七万七千八百五十二。两相减余为乙癸，得二百七十八万二千四百○二。夫乙己半径上方减壬乙六十度之正▯乙庚上方，余己庚，依开方法为五百万。己子半径上方与己辛三十六度之正▯辛子上两方并等，依前法亦得己辛八百○九万○一百七十○。己辛己庚两相减余为庚辛，得三百○九万○一百七十○。庚辛即戊癸也。既得乙癸二百七十八万二千四百○二，今得戊癸三百○九万○一百七十○，用句股术求得乙戊▯为四百一十五万八千二百三十四，为十五边等形之一边。其乙戊弧为全圏十五分之一，得二十四，则乙戊为二十四度弧之相当▯。

六题总表边　　　　弧度　　　　▯数三，一百二十，一七三二○五○八。

四　　　　九十　　　　一四一四二一九六五　　　　七十二　　　一一七五五七○四六　　　　六十十　　　　三十六　　　　六一八○三四○十五，二十四，四一五八二三四，既得全数，今推半弧【即半角】半▯。

弧度　　　　半▯六十　　　　八六六○二五四四十五　　　七○七一○九八三十六　　　五八七七八五二三十　　　　五○○○○○○十八　　　　三○九○一七○十二　　　　二○七九一一七