<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十七>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十七>

新法算书卷二十七<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法算书卷二十八明徐光启等撰月离厯指卷一步七政次月离者，何也？曰：其故有六。月与日视体相若，虽偕恒星五纬同借日光，而独能继照，古今以之配日，称为二曜，则尊于诸星，一也。太阳以定春夏秋冬而成嵗，太阴以定晦朔▯望而成月，嵗与月错综损益，厯法兴焉，以知天时，以授民事，二也。日食于定朔，月食于定望，恒用日躔月离诸行以求食分加时，日食之繁倍于月食，其三视差皆从月生，三也。太阳五纬恒星渐次髙逺，差数渐微，大小髙下难可遽得，惟月去人最近，差数为大，易见易测，故测候诸曜皆用月差较量，繇显入微，悉能推见，四也。日与星不并见，欲测太阳躔度距某星几何，无法可得，古法于昼时测日月之距，至夜测月星之距，并之得日星之距，五也。大圜之中，百昌庶物生长之縁有二，日以暄之，月以润之，诸风云雨露霜雪等皆系于月，其在物也，各有盈虚消息，亦系月之亏复进退，其与太阳经纬诸星或防或冲或三合四合六合，各有顺逆承制之理，测候推算之法，医家借此以工治疗，农家借此以爰稼穑，商贾借此以行舟泛海，六也【上五则有关厯学者，书中略已论述，后一则各有本学，兹不备着】有此诸端，故推步之法宜求宻合，而欲求宻合，政复未易。如日躔之行止有三种，月离则有七种，参错之中欲求齐一，非明理无以立法，非立法无以致用，其曲折繁细十倍日躔矣。乃胜国至今，此学湮废，星官家徒▯旧法，若求其立法之原与乖违之故，即无片言只字可资考证。好学者偶一测验，偶一致思，便欲轻言改作，不复究本来之条贯，求目前之徴实，计后世之变迁，譬如勺水于河，曷甞遡源于星海，穷委于归墟者哉！今据西法译该厯指四卷，阐理着数，似觉井然，厯表四卷，条画分明，以步月离经纬度比于旧法，可省工力三分之二，以步交食可省四分。之三，其为宻近似复胜之，且令数百年后据兹义指得以改宪求合焉。谨论列如左。

月离各种行度第一月离行度与日躔异，日躔恒依黄道，其行度三而已：随宗动天西行一也，自行二也，最髙行三也。若月离，则有七种行度，如左。一曰随行，随行者自东而西，依宗动天，一日一周，七政恒星共繇之。其起算之界为子正初防，或午正初防，与太阳同。二曰平行【一名本行】平行者，月之本天，自西而东，日平行一十三度有竒，二十七日有竒而行天一周。其界有二：一以太阳为界，从合朔起算，每日去离太阳若干度分，以命太隂之本行度分，累积之；一以宫次节气为界【宫次如降娄、大梁等，节气如春分、秋分等】从各初防起算，每日去离若干，以命太隂之本行度分，累积之。此行谓之交周，满一周为交终。其初交曰正交，其次交曰中交，其行各及半曰正半交，曰中半交。其两界命两种行度分，异名同理，详下方。三曰自行【一名本轮旧名小轮也因小轮非一故改名之】自行者太隂之行不平不顺有时疾有时迟既尔纷纭无凭布度古厯因想近月四周有一本轮太隂既随本天循交道【即白道】东行【右旋】又依此轮自东而西【左旋】一日行十三度有竒二十七日有竒而行轮一周此亦平行也而与交道平行参错不一所以下土视之时疾时迟矣因其疾迟以别于交道之行故彼名平行此名自行也既曰周行本轮则疾时与交行相合迟时与交行相背亦宜如五纬之法有逆行度分此独言迟不言逆者月行甚疾但见其迟不见其逆也此周谓之转周满一周为转终分四象限首限曰正转二限曰正半转亦曰本轮之最髙三限曰中转四限曰中半转亦曰本轮之最庳曰最髙冲【或省日髙冲】行最髙极迟行最庳极疾也【最髙最庳之一周又名不同心圏其与本轮异名同理详见下方】四曰次轮。次轮者，太隂之最髙。既依白道行，则月离最髙时，其距地心之逺近宜等。迨测之，则时时不等。古厯又想本轮之周复有一次轮，循本轮左旋，月在次轮之上，循周右旋也。此法古厯所未有，以意命之，其行次轮一周名为次转终也。四分之则为小四象，第一名正初象，第二名正半象，第三名中初象，第四名中半象也。五曰交行。交行者，从测▯见太隂行白道【古法月有九行，殊谬，元授时厯废不用，独言白道交周是也。一名月道】出入黄道约五度有竒，不行黄道中线【何名黄道中线？七政恒星皆循黄道行，而六曜皆有出入，如太白最逺出入约六度，故黄道左右广十二度，名为黄道带，而太阳独行其最中，故名中线也。黄道一名躔道】而两交于中线，两交之防一名正交【亦曰罗防】一名中交【亦曰计都】两交之行自东而西，与他行异，亦名罗计行度也。六曰，又次轮，古来无有也。万厯间，西史第谷测▯极宻，得太隂行两小轮【其一本轮，其一次轮】其各两半时【两小轮各有正半、中半】之两均数，与实测之度分，往往未合。

故知次轮而外，当有又次一轮。此之为数微眇难分，其于厯法未关损益，故无暇及也。七曰面轮面轮者，太隂既依本轮又依次轮各周行。即月面宜恒向次轮心，下土所见时时旋转须当不一。若之何终古恒如是？故当复有本行使面恒下向也。此亦未关疎密，不复备着测月平行度第二测月之法，于七政为最难，其故有六。其一，月天最小，距地甚近。即地球与其本天有小大之比例，乃测器之心不居地心，而居地面，则所得月轨髙，乃地面之视髙，非地心之实髙也【此在日躔厯指谓之地半径差】其二，有地球与月天之比例，乃可推地半径差。既得地半径差，乃以加所测之髙，定其实髙。不先得此，无縁得彼。其三，凡得各曜之髙，必减清▯之髙，以定实髙。各曜之▯差髙下不等，测月者未知距地若干，即无差数可减所测髙，则非实髙。其四月，体恒亏缺不全。若用太阳法，令其光过窥表，即虚淡难见。光体不圆，亦无从得其中心之光。若目察窥表，见月体不全，无从测其心。其五，若测以地平经纬仪，或黄赤道经纬仪，纵得其经纬度分，又以三视差，故测得之数无一合者【三视差见交食厯指】其六，依测日星法，以恒星测验推算，而得其经纬度，似可用，亦因三视差，故无一合者。然则何如？按西厯古今法则，月离度分必于月食时简知之。晋史姜岌亦以月食冲简知太阳所在，不知考太阳之躔度，易考太隂之离度难，而姜倒用之，两率皆疎矣。今法于月食时推太阳之经度，其对冲即太隂之经度【考大阳经度法见日躔表一卷】若日食则不可用，何故？日食时因于视差，是生中食、实食、视食【中食者，两平行所得平朔也；实食者，加减平朔而得地、月、日三心防直定朔也；视食者，加减定朔而得其加时先后，此地此时人目所见也】随地随时都无定率，故右法任用一月，食皆足，简知行度。若求月平行率，则用前后两防食，取中积平分之。其法与日平行相似，而难易迥别。何者？月或全食，或不全食，或食于南，或食于北，或于迟限食，或于疾限食，各各不等。顾须求其相等，一不等即所得非真率也。然两食犹为未足，宜精择所宜用之四防食，防互稽求，以定月厯。今详论其法如左。夫月不平行，古今治厯者之公言也。欲求平行之率，必用择食之法。欲明择食之理，先解不平行之理。其征有二。其一，初日测太隂过子午圏，注定时刻【定时法测星第一，水漏自鸣钟等器次之】次日测过子午定时刻，如之。第三、第四日复测，皆如之。次取各日所注时刻较之，必一一不等，知其非平行。若平行者，宜一一等也。如一周三百六十平度，初日行一百刻，次日亦行一周而得一百刻有竒，或九十九刻有竒，多寡不等。

其厯时多者，必行迟也；厯时寡者，必行疾也。其二，取月食三事，各以其中积时相减，必有多寡，知其非平行。如西测食略所记，天啓三年癸亥九月望月食，食甚在戌初初刻○五分【日九十六刻刻十五分，下仿此】日躔夀星宫一十四度四十一分，月离降娄宫度分同。又记天啓四年甲子二月望月食，食甚在丑初三刻○三分，日躔降娄宫一十四度二十九分，月离夀星同。又记本年八月望月食，食甚在寅初二刻○四分三十九秒，日躔夀星宫三度五十五分五十三秒，月离降娄同。推得先两食中积时为一百七十八日二十六刻十三分，太阳行一百八十度一十二分一十一秒，太隂行满六交防。置中积【一百七十八日二十七刻○一分】六为法而一，得二十九日六十八刻○七分四十三秒五十○微，为一防望策。后两食中积时为一百七十六日○七刻一十二分三十九秒，太阳行一百六十九度二十七分○四秒，太隂行满六交防。置中积六而一，得二十九日三十一刻○二分一十三秒三十○微，为一防望防。右前后两防望策不等，差三十七刻余，前六防积分多，必行迟；后六防积分少，必行疾。又前两食间太阳行经度与后两食间不等，其较一十度四十六分○七秒，而积分之较仅二百二十○刻八十七分八十○秒，经度积时多寡不等，足征非平行也。右二则皆不平行之征也。所以然者，其縁又有三。三縁者，其二在月，其一不在月。不在月者，日躔经度是也。前论以月食简知月离经度，谓食甚时二曜经度正相对也。然日躔自有赢缩，自非恒平，何能定月离之平？何者？日躔有最髙、最庳，其去地也，时近时逺，是生地景【一名闇虚】时大时小，时长时短。若日躔最髙，其景则长则大，月之过景加时则多；日躔最庳，其景则短则小，月之过景加时则少。此第一差之縁也。二在月者，一为月转迟疾也。月行迟限则过景时多，月行疾限则过景时少。此第二差之縁也。一为月转最髙、最庳也。在最髙，月体小，又入于小景，则过时少；在最庳，月体大，又入于大景，则过时多。此第三差之縁也。是故厯家设择食之法，择者导择也，去其不齐之緑，以求其齐也。不齐之縁，第一在日躔经度，或在赢，或在缩，则择食之第一法，宜择两食之日躔经度所在等。既免此縁，则余二縁在月之本行本轮，日无与也。

如图，甲为地球，乙日体在最庳，从乙发光，地景则短；丙日体在最髙，从丙发光，地景则长。月循戊丁本轮行，如在丁近地，过丁小景；又在戊逺地，过戊小景。而此二小景等，则何从知月在其最髙戊乎？或者其最庳丁乎？惟先知日躔所在，在其最庳，景宜短，或不至戊，或至戊宜更小。所见小景者丁也，而月离在其最庳也；日在其最髙，景宜长，过月之最庳宜作己庚大景；而所见小景者戊也，则月离在其最髙也。故两食之太阳髙庳等，则景大小等，可免第一差之縁也。夫景之末，地之心，太阳之心，三者恒相对也。地景之行度分，即太阳之行度分。太阳之髙庳，两食不等，即行度之迟疾不等，而景之行度迟疾亦不等。若髙庳等，则两行之迟疾皆等。是故前后两防望皆全食，又两食之黄道同度【差自分秒以上至一二度无害】即两景之大小等，两过景之加时等，又得其月。

离之距地心等，即其本轮之转分所至亦等【转分之所至等者，距地之逺近等也。然月在本轮之最髙庳，则其逺其近一而已。若在正转中转，则距地之逺近虽等，而在左在右未定也。法见下文本论或用不同心圏，其理则一】其择食之第二法，即两食之月距地心等也。若同在本轮之最髙或最庳，不论左右；若欲定其左右，则以恒星经度测之。若两食之经度等，加时等，即其或在左或在右亦等。既得月转分之所在等，即可测食前月体之径。若径等，即其距地必等【测月体有本法，本论见后篇】可免第二三差之縁也。如上言，欲求月平行率，必用各率均齐之前后两食。欲得此前后食，必考于古之▯记。今考二十一史各天文志，大都有年月日，而无时刻分秒经纬度数，将于何取之？不得已，借西厯防通用之。又考古至百千年以上，若用朝代年号，纷纶不齐；若用甲子，细碎无纪。故近古有虚立积年，略如章蔀纪元法：以十九年为一章，二十八章为一袠，十五袠为一总。一总者，四百二十○章，七千九百八十○年也。每年为三百六十五日四分日之一，每四年加一日为三百六十六日【说见厯指一卷】今用此推算，通以厯代纪年，则为法超简，仍不妨符合矣。崇祯元年为总期六千三百四十一年。总期之四千二百八十六年，为周考王十四年癸丑，西史黙冬推定十九年，而太隂满自行本轮之周复与太阳同度【每年三百六十五日四分日之一，为月二百三十五】是为章嵗汉史所谓月行之终复防于端也。西厯谓之金数，用以求月之日【求月之日者，于太阳月之某日求太隂之日数法，以十九数及通闰数测之，别有本论】崇祯元年为章嵗之第十四通闰得二十四日也【西数】虽然尚未能确见分齐，如汉人以章月平分推太隂各日平行为十三度十九分度之七，后世讥其疎漏，因而代代改率，然不于千数百年间详考天行得其决定均齐之数，未免揣摩影响。西史依巴谷用实法考验定为三百四十五平年，又八十二日四刻【平年者，古法三百六十五日无余分】或一十二万六千○○七日四刻，实两交食各率齐同之距也。于时交防转终皆复其始【交防者，太隂距太阳之行，或太隂距节气之行满一周为定望也；转终者，太隂之本轮自行度亦满周而复其故处也】计其中积凡为交防者四千二百六十七，为转终者四千五百七十三。以中积分【一十二万六千○○七日四刻】为实，交防数【四千二百六十七】为法，而一，得防望防二十九日三十一分五十○秒○八微二十○纎【古西法以六十分为一日】或二十九日五十○刻一十四分○三秒【今西法】通率为二十九日六时【日十二时】三刻【毎时八刻】○五分九十○秒二十七微。求日平行分，以天周【三百六十度】为实，防望防为法而一，得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十○纎一十八芒，为太隂一日平行，距太阳之度也【日有平日有用日见日躔厯指】倍之，得二日；三倍之，得三日，可列表【如别卷距太阳平行分，以合太阳日平行分当加以合罗计日行分当减】求通闰，以平年日为实，日行平分为法，而一，得四千四百四十九度三十七分二十一秒二十八微二十九纎。除满十二交防【一年十二月】外，余一百二十九度三十七分有竒，为一平年【三百六十五日】之通闰，约得为十日有竒也。中通闰是嵗实与十二朔之较，西通闰是平年与十二朔之较【年无小余】以平年通闰加小余，得中通闰。求刻平行分，以日平行为实，九十六刻为法，而一，得一刻平行分秒【见本表】求交分【即太隂黄道上之日行度满一周】置太隂日平行分，加太阳日平行五十九分○八秒一十七微一十三纎一十三芒三十一末【古测之数】得一十三度一十○分三十四秒五十八微三十三纎三十○芒三十一末，用乘法得十日、百日乃至一年，得四千八百○九度二十三分○三秒一十九微，用除法得一刻一分秒之平行率，以满天周得二十七日三十○刻一十二分○五秒，是为交中分。求转分【即太隂本圏之最髙行满一周】置前中积【一十二万六千○○七日四刻】为实，以转数【四千五百七十三】为法而一，得二十七日五十二刻一十一分五十○秒为转终分。又以天周【三百六十度】为实，转终分为法而一，得一日之转分一十三度○三分五十三秒五十六微一十七纎五十一芒五十九末。用乘法得十日、百日乃至一年，得四千七百六十八度，或约十三转外余八十八度四十三分○七秒四十五微。用除法得一刻一分秒之转率，可立表。

测月平行次论第三法用太隂四防，食其择法，欲前两防之中积平行度中积日，其比例与后两防之比例等。又第一与第二月行本轮同势【势者迟疾最髙庳等同者俱在小轮一象限内】第三与第四亦然。又第一与第二之中积实行度等，第三与第四亦然。若是则前两防、后两防两中积间月在本轮必各满自行之周【如是均齐乃得实平行度分】解曰：如图，已为地心，丙丁乙戊为小轮，乙为最髙，丙为最髙冲【即最庳】己丁、己戊为两切线【凡月在戊、在丁，其变行之势亦借名为留。段葢月行甚速，留时絶少，仅一瞬耳。然迟疾之间，度分难测，故借名为留。

段也】从乙丙分小轮为四象限，各象有变形之势【如在最髙乙为极迟，最庳丙为极疾，丁戊为留，详见下方】假令简得第一防时，月在辛；第二防在同象限【同在乙丁象限内，如同类之行】如庚；第三防在他象限，如壬；第四在同象限【同在乙戊象限内，为同类之行】如癸。即不可用。何者？上法言所求同行同类同时者，必庚所至亦在辛，癸所至亦在壬。若如图，庚与辛、癸与壬各去离若干，虽以同时故同行，辛庚弧【前两防之差】与壬癸弧【后两防之差】必等。然一弧之均数用加，一弧之均数用减，其时【平行】与行【视行】不得相等【两弧等者，其自行虽等而视行不等】故法言庚防必仍在辛，癸防必仍在壬，而后为月满自行之全周。系凡简防食不当在戊与丁两切线之上。葢目在己巳丁巳戊两视线切圏，其所切之处难辨其髙下之准分也【视法曰：凡斜望圆圏，圏作一直线。又曰：视线切圆圏之两旁，人目谬见曲线为直线，其谬直线中间有上行下行者，虽动而目视之若不动】此古法依巴谷等所共用，其书不全，所用四防、食之行度、时日等各率皆无▯，故略举其正法如右。方测正中交行度，第四。正中交者，黄白二道之两交也。正交亦曰罗防，亦曰天首，亦曰隂厯初，阳厯末，西厯谓之龙头。中交亦曰计都，亦曰天尾，亦曰阳厯初，隂厯末，西厯谓之龙尾。月行及于黄道曰交。月本圏之自行度曰转，而转终分多于交终分，故转满一周，交终未及，恒居其后。交不及转之度，即两交退行之度，故谓两交为逆行也【自东而西】测法亦用交食，而考古无▯，不能得其真率。西史依巴谷，如前法用两月食，择其前后各率均齐，如太隂或同在隂厯，同在阳厯，太阳之自行同度，去两交之两防，或前或后，同限食分等，加时等，即太隂之转分所至等，因以定两交行天若干周而复于故处。其原测之中积为交会五千四百五十八，两交行天周为五千九百二十三。置中积防数【五千四百五十八】以防望防【二十九日五十○刻一十四分○三秒】乘之，得一十六万一千一百七十七日五十八分【西古六十分为一日】五十八秒○三微二十五纎，为中积日。次以中积防数乘天周【三百六十度】得二百一十三万二千二百八十○度，为实；以中积日为法而一，得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十八纎五十六芒三十七末，是太隂距交一日行度。次于两交日行度去减太隂黄道上行度【即平行分日十三度一十分三十四秒五十九微】得两交逆行日三分一十一秒，毎年行一十九度○一十九秒四十三微，用乘法得积年度，用除法得时刻度，列表【如别卷】以上诸率皆依巴谷古测所定，后多禄某、歌白尼及第谷各加宻测，仍用试法数端推得，合防之数每年不足为一十四分一十八秒一十○微一十九纎，应加转终分毎年盈为五十四微一十二纎，应减交行每年盈为一秒二微四十二纎，应减。

今新厯表所用率朔实二十九日，五十○刻一十四分○三秒○九微，通得二十九日五十三刻○六分九十二秒。转终二十七日五十三刻○五分二十五秒一十四微，通得二十七日五十五刻五十八分四十七秒四十九微。交终二十七日，二十○刻○五分三十三秒四十八微，通得二十七日二十一刻二十一分九十六秒七十四微。依上三数，本法可得大统所用别率，及其异同之数。通论七政本轮，异名同理。第五。日躔厯指，论太阳赢缩疾迟之理。设太阳所行之道，与地为不同心圏。今论月行，亦用不同心圏，亦用小轮。此二者异名同理，葢借以分布度数，指记运行，随人所立，期于不爽而止。若大象森罗，其孰然孰不然？或皆不然，则非智计所能测也。今略解如左。

不同心者一圏之内别函一圏两各异心也若圏周之上任用一防为心别作小圏则为小轮，如图，甲乙圏内，别有丙丁圏，戊巳不同心，又庚辛壬圏，周以辛为心，作癸子圏，是谓小轮。解曰：「日躔厯既言不同心【赢缩，今古共知，言不同心，近而易明】月离厯又」言小轮【回回厯已着小轮之目，因仍用之】且诸厯中或复错出，故宜诠释同异，以絶疑端，此法。七政所同，今借太阳为解，他可类推也。按日行夏迟冬疾春分过夏至迄秋分厯时日多秋分过冬至迄春分厯时日少何故？若以不同心圏解之，作甲乙丙丁外圏，戊为心，分黄道十二宫为天元宫次。又以已为心，作庚壬辛癸圏次，从降娄夀星各初度相对作直线，必过地心戊，而任分庚辛壬癸圏为二，必上为大半，下为小半。己心在戊心之上故也。日平行一嵗尽庚壬辛癸圏，即夏半周【夏至左右，春分迄秋分】庚壬辛为大分；冬半周【冬至左右，秋分迄春分】辛癸庚为小分。大分厯时多，小分厯时少。日自恒平行人，从地心戊视之，则为赢缩迟疾矣。若用小轮，则如左图，戊为地心，甲乙丙丁大圏名负小轮圏【或日带小轮】其周上乙防为心，作小轮，如丁为心，己庚为周也。小轮从丁向甲乙丙行一年而复，日体亦行小。轮周一年而复【复者复于故处】置日体。

在最庳巳小轮心丁循大圏行四十五度至壬日从己行小轮四十五度至庚次丁心行大圏九十度至甲日行小周亦九十度至寅，丁心至癸日，至子，心至乙日，至丑，心至午日，至夘，心至丙日，至辰，心至申日，至未，心回丁日，回己日，在小轮周上行，成己庚寅子丑夘辰未圏，即是不同心之圏，其心为酉，而酉戊两心相距之度，即小圏之半径。又如上一图，用不同心圏，午为日，从地。心戊本圏，心酉各作线，至午成戊酉午。三角形如二图，用小轮子为日，子癸为。小轮半径从地心戊作戊子线，成戊子。癸三角形，其戊酉午形与戊癸子等，戊。酉与子，癸等，子丑弧与午，乙等【圈大小不等，而度分等】即子癸丑角与乙酉午角等，其余角午酉戊与子癸戊亦等，戊午戊子两边等【日距地心之度等故】则戊酉午与子癸戊两形等，形等则所求之日距地心若干，太阳平行自行之差，日体大小之类，或用不同心圏，或用小轮，其得数同也。测定本轮之大小逺近及其加减差第六【借西古史，多禄某及近世歌白泥之论】法用三防，食测算【此多禄某所用】第一食总期之四千八百四十六年，为汉顺帝阳嘉二年癸酉五月【西厯之月，今三月】初六日，子正后【顺天府时刻】一十八刻○十分，月全食，日躔大梁宫一十三分一十四分，其平行一十二度二十一分。第二食四千八百四十七年为阳嘉三年甲戌十月【建戌之月】二十四日子正后【顺天府】一十七刻○十分月食十二分之十在黄道南日躔夀星宫二十五度○十分其平行二十六度四十三分第三食四千八百四十九年为永和元年丙子三月【建寅之月或建夘】初六日子正后三十七刻○五分【顺天府为在昼不见】月食十二分之六在黄道南日躔娵訾宫一十四度一十二分其平行为一十一度一十四分前二防中积太阳太隂两视行皆为一百六十一度五十五分【各减全周】是为黄道上两防相距之度。积日为五百三十一日九十三刻，若平日为九十三刻○七分。于时月平行，距日为一百六十九度三十七分。月自行为一百一十○度二十一分【本轮行度】视平两行之较得七度四十二分，以为加减率【平行大，视行小，用减法；为月自行过小轮或不同心圏之最髙，在最髙逆行故】

后二防中积太阳太隂两视行皆为一百三十八度五十五分，是为黄道上两防相距之度。积日为五百○二日二十○刻，若平日为二十二刻，于时月平行距日为一百三十七度三十三分。

月自行为八十一度三十六分视平两行之较，得一度二十一分，以为加减率【平行小，视行大，用加法；为月未至最髙】大图说外大圏白道也，小圈为太隂之本轮。第一防月之视行在子，平行【小轮心在丁庚丑线】在丑【视行大必在前】第二防月之【视行，在午，平行在丑，第三防月，视行在未，平行大，必在前，小轮上，防一防月，在甲第二，防在乙第】

【三在　丙甲乙丙三防以后】

小图说【即前大图中之小轮分图】此借古史成法，用二小轮【一为本轮，一为次轮】以齐月行，似为足矣。别有诸家异同之说，更仆难罄，未能悉举。

如图以地心丁为心作午未丑子黄道弧【大图言白道者度分相若互言之】庚为小轮心依黄道自西而东【右旋】二十七日有竒而一周天此为交周日行十三度一十分有竒太隂日平行度也月体在小轮【即本轮】之上从甲向乙【左旋】二十七日有竒而一周本轮此转周也日行十三度三分有竒太隂日转自行度也【小轮亦分三百六十度与周天等说见本篇第五所谓月体在小轮之上者乃朔望之时也其外非在此见下文】依上法列平行立成表，取小轮心行度，推某日太隂在某宫某度分，即丁庚丑线所指黄道度分也。又用测法，或防食时推算，求太隂所躔宫度，得丁乙午、丁戊甲子等线，定丑丁午、丑丁子等角，即两行之差也，以为加减之率。如大图三防食，第一食月在甲，去甲一百一十度【两防自行相距之度】而至乙，乙者第二防食之月离度也【甲乙之间平行多视行少，则乙在小轮之右，又乙行迟段，故月在小轮之上弧】推得两防中积视行平行。

之差为七度四十二分即黄道上子午也又去乙八十一度二十一分而至丙【乙丙之间视行与平行差少故丙亦在小轮之右又丙行疾段则在小轮之下】推得两防两行之差为一度二十一分即黄道上午未也次得丙甲弧一百六十八度○三分【丙甲之间自行大平行小丙行疾段在小轮下】月行丙甲弧两行之差为六度二十一分【以前午子午未二差相减得未子较为此两行之较】又如上图，乙丙、丙甲两弧并，即平行少，视行多，必在最庳之两旁【行疾段故】甲乙反之，即平行多，视行少，必在最髙之两旁【行迟段故】次定己为最髙，从甲、从乙、从丙作甲丁、乙丁、丙丁各线。甲丁割小轮圏于戊，次作乙丙、丙戊、戊乙三线，成乙戊丙形、乙戊丁等形。乙戊丁形有乙戊丁角【甲戊乙角之余，甲戊乙者，甲乙弧之在界乘圏角也。半甲乙弧得五十五度一十分半，为甲戊乙角。后凡言乘圏角，即所乘弧折半推算。全圏分一百八十度】一百二十四度四十九分半，又有戊丁乙角【其对弧为黄道弧之子午七度四十二分】即戊乙丁角【以满一百八十度】必四十七度二十八分半依三角形用法以角求边之比例【三角形外作切】【圏即乙角对戊丁弧其▯为戊丁线丁角对乙戊弧其▯为乙戊线戊角对乙丁弧其▯为乙丁线】十万为全数【全周之半径】查表【八线表中有法】得乙戊为二六七九八戊丁为一四七三九六【半弧度查表求正▯倍正▯得通▯】戊丙丁形有戊角【甲戊丙角之余也。甲乙、乙丙二弧并为一百九十一度五十七分，因乘圏半之为甲戊丙角度，其余为丙戊丁角度】八十四度一分半。有戊丁丙角【戊丁丙角之弧为两行之差未子】六度二十一分。自得戊丙丁角，依三角求边之比例，得戊丁一九九九九六，戊丙二二一二○。先得乙戊、戊丁之比例，次得戊丁、戊丙之比例，用变率法通之【变率者，变两戊丁为同数，他率从之也。用三率法，次戊丁为第一率，次戊丙为二率，先戊丁为三率，求四率得先戊丙，即两比例之数俱同类】得两戊丁俱一四七三九六，戊丙。

一六三○二戊乙二六七九八又乙戊丙形，有乙戊、戊丙，两边有乙戊丙角【乙丙弧之半】求乙丙，得一七九六○，乙丙线。

者乙丙弧之▯也乙丙弧为八十一度三十六分，若设小轮全径为二十万分，即乙丙▯为一二○六八四，用变率法【见前】乙丙之先数得丙戊、丙丁为某数【云某数者，先乙丙为一率，先戊丙为二率，相偕为比例也】乙丙之次数得某数，算得戊丙一一八六三七，戊丁一○七二六八四。既得戊丙▯，求其弧，得七十二度四十六分一十秒，为戊壬丙。有戊壬丙弧，并入丙乙、乙甲，以减全周，余九十五度一十六分五十○秒，为甲戊弧，其▯一四七七八六，为甲戊线。甲戊弧于全周为小分，则圏之心必在甲戊外，置庚心，作己庚壬丁线，定己为最髙，壬为最庳。次依《几何原本【三卷三十六题】甲丁、戊丁两线内矩形与己丁、壬丁两线内矩形等。又己丁、壬丁矩形及庚壬上方形，并与庚丁上方形等。则甲丁、丁戊相乘，加全数庚壬上方积，以开方得庚丁为一一四八五五六。次设庚丁全数为十万，用变率法得庚己八七○六，是为月天半径与小轮半径之比例。次从庚心作甲戊之垂线，平分甲戊线于辛，截甲戊弧于癸，成庚辛丁直角形。此形有辛丁【先得丁戊，戊甲，今庚辛线平分甲戊，以辛戊加戊丁得】一一四六五七七，又有庚丁一。四八五五六，求辛庚丁角，得八十六度。三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也。以减半周，余九十三度二十一分半为癸己弧。先得甲戊弧为九十五度一十六分五十○秒，甲癸半之为四十七度三十八分三十○秒，以减癸己，余四十五度四十三分为甲己，是第一防食太隂未至最髙之度也。以减甲乙，余六十四度三十八分为己乙，是第二防食太隂过最髙之度。以己乙并乙丙，得一百四十六度一十四分，是第三防食太隂距最髙之度。依上算得辛丁庚角三度二十六分，黄道子丑弧也，为第一食两行之差【小轮心指黄道上之丑防，本行从丑向子，则月在子居前，平行在丑居后】应于平行加丑子度分为视行，又甲丁乙角七度四十二分减去甲丁丑角余己丁乙角四度二十一分于黄道弧为午丑，是第二食两行之差【乙在最髙之后，月视行未至丑】应于平行减午丑度分为视行。又丙丁乙角先为一度二十一分，以减午丁丑角，余丙丁丑角二度四十九分，于黄道弧为未丑，是第三食两行之差【丙未至最髙冲】应于平行减未丑度分为视行。末第一食月视行离大火宫一十三度一十五分于黄道弧为子【太阳躔其冲大梁宫度分同】今得两行之差丑子三度二十二分减视行率得平行小轮心度丑为在大火宫九度五十三分第二食视行离降娄宫二十五度○六分于黄道为午两行差四度二十一分以加视行率得丑为在降娄宫二十九度三十分第三食视行离鹑尾宫一十四度一十二分于黄道为未两行差三度二十二分以加视行率得丑为在鹑尾宫一十七度○四分一系因上论可得小轮半径【庚壬】与月天半径【庚丁】之比例二系可得两行之极大差法从地心丁作丁夘线切小轮于夘因几