皇朝文献通考卷二百五十七

译两仪、七政、恒星总论 【臣】等谨按：前代史书中记载天文的，大体上详于七政、恒星，而对于两仪只记载其变化，不记载其常态。我国 本朝编纂《明史·天文志》，认为恒常天象虽然古今没有不同，但后世谈论天文的胜过前代，应该标明其中的要旨，作为纲领。因此先讲两仪，其次讲七政、恒星。恭敬地想到 圣祖仁皇帝撰成《历象考成》一书，综合上古《周髀》《宣夜》《浑天》诸。原文疑误：“家之同异而折衷一是我”应为上接“诸家”，意为对诸家学说的异同加以折中，确定一种正确说法；我 皇上又依据近来的实测数据，剖析其源流，撰成后编。这些成就都是自蜚疏仡以来，三极常道训说中所未有的。现在恭敬地辑录总论各篇，汇编为一卷，用以说明进行推步测验的人所依据的内容。御制《历象考成》上编《论天象》《虞书·尧典》说：“敬慎地顺应昊天，推算日月星辰。”《楚辞·天问》说：“圆。” 那么九重天是谁营造和测度的呢？后世历法家说天有十二重，并不是说天实际上真有这样多的层次，而是说日月星辰在天中运行，各自有运行的轨道，也就是《楚辞》所说的“圆”。要明白各重天运行的道理，必须详细考察各重天的运动；要考察各重天的运动，必须以最为静止、不动的东西作为标准，然后才能知道它们的盈缩，因为天道以静止专一为体，天的运行以直行为用。最为静止的自有一重天，与地相互为表里，因此各种运动都在其中运行而不停止。如果没有最为静止的东西来验证最为运动的东西，即使圣人也无法有所作为。人始终站在地面上测量天象，而七政的运行没有不能测得的，正是因为以静止来验证运动。十二重天中，最外层是最为静止、不动的天；其次是宗动天，南北极和赤道由此分界；再次是南北岁差天；其次是东西岁差天。这两重天的运动非常微小，历法家姑且置而不论；其次是三垣、二十八宿经星运行的天；其次是填星运行的天；其次是岁星运行的天；其次是荧惑运行的天；再其次是太阳运行的黄道；其次是太白运行的天；其次是星辰运行的天；最内层则是太阴运行的白道。总的来说，是以距离地面的远近作为各重天内外的依据。不过，知道距离地面远近，又是从各曜相互掩食以及运行度数的迟速中得到的。凡是被掩食的必定在上方，进行掩食的必定在下方；月体能够遮蔽日光而使太阳发生食，这是太阳远、月亮近的证明。月亮能够掩食五星，月亮和五星又能掩食恒星，这是五星高于月亮而低于恒星的证明。五星又能相互掩食，这是五星各有远近的证明。宗动天以广大混沌之气挈带各重天向左旋转，运行非常快，所以接近宗动天的左旋较快而右移的度数较慢；逐渐远离宗动天，左旋就较慢而右移的度数转快。如今右移的度数，只有恒星最慢，土星、木星其次，火星又其次，太阳、金星、水星较快，月亮最快；这又是各天依次接近的证明。因此，恒星与宗动天相对运动而产生岁差；太阳与恒星相会而产生岁实；黄道与赤道出入而产生节气；太阳与太阴循环而产生朔望盈亏；黄道与白道交错而产生薄蚀；五星与太阳离合而产生迟速顺逆；地心与各圆的圆心不同而产生盈缩。历代专门研究历法的人从多方面测量、制定方法、布置计算，时间越久越详细，已经取得 大体规律。其中有时存在极其细微的差异，各种学说也不免有相同和不同之处。这大概是因为用仪器仰测苍穹，误差极其细微，年久之后才显著，即使有圣人也不能预先确定。只有建立穷究源头、考察末流的方法，随时进行实测，取其精密而相近的数值，折中采用，每隔数十年修正一次，这才是治理历法的通用方法，而古代圣人敬顺天道的原则，或许可以在今天恢复。御制《历象考成》上编《论地体》要明白天道的运行，先要通晓地球的圆体。日月星辰每天在地平线上升落一次，但天下各地不可能同时升落。居于东方的人先看见，居于西方的人后看见。东西相距一万八千里，东方人看见太阳正当午正时，西方人看见太阳却正当卯正。周天三百六十度，每一度相当于地面二百里。因此推验大地的经纬度分，都与天象相应。测量纬度，使用午正日晷或测量南北二极；测量经度，则必须从月食中取得。月食与日食不同，日食的食限分数因地而异，月食的食限分数天下相同，只是进入食限时有昼夜之分，人有看见和看不见的区别。此处月食在子时达到食甚，向东三十度的地方必在丑时达到食甚，向西三十度的地方必在亥时达到食甚。因此相距九十度时，此处在子时看见月食，彼处在酉时看见；相距一百八十度时，此处在子时看见月食，彼处应在午时发生月食，虽然发生月食却看不见。御制《历象考成上编·论黄道赤道》。天包围着地，外面的圆体不停旋转。南北两极是运行的枢纽，地处在天的中央，形体圆而静止。人环绕地面居住，随着所在位置不同，恰好只能看见天体的一半。中华的地面接近北方，所以北极常常可见，南极常常隐没。平分南北两极之间、横贯天腰的，是赤道。赤道距天顶的度数，就是北极出地的度数。赤道以北为内、为阴，赤道以南为外、为阳。斜交赤道、一半出现在赤道以南、一半出现在赤道以北的，是黄道，也就是太阳一年运行的轨迹。黄道与赤道相交的两个界点是春分、秋分；距离赤道以南二十三度半的是冬至，距离赤道以北二十三度半的是夏至。七政运行的轨道纷然不齐，只有依靠黄道、赤道作为推测的根本。太阳沿黄道向东运行，并出入于赤道南北；太阴与五星各沿自己的轨道向东运行，又出入于黄道南北。因此黄道、赤道的位置一经确定，昼夜长短、寒暑进退，以及晦朔弦望、薄蚀朏朒，都可以由此考察。御制《历象考成》上编《论经纬度》恒星和七政各有经纬度。这是因为天周的弧线纵横交错，就像布帛的经纬一样。因此以东西为经，以南北为纬。然而有在天上的经。

译纬度随着地点而有不同的经纬划分。在天上，经纬表现为赤道和黄道；对于各地来说，则表现为地平圈。赤道均分为三百六十度，平分为两半周，每半周各一百八十度；四分为象限，每象限九十度；六分为纪限，每纪限六十度；十二分为宫和时，每宫、每时三十度。这就是赤经。从经度上引出弧线，与赤道交叉相交，并将各弧线延长到南北两极，都会形成完整的圆周，也分为三百六十度；两极之间各相距一百八十度，两极距赤道都为九十度，这就是赤纬。依照纬度作圆，与赤道平行，称为距等圈。这些圈的大小不一，距离赤道越近就越大，距离赤道越远就越小；其度数也都是三百六十度，并且都与赤道的度数相对应。赤道的作用有动、静两种：动赤道随着天体向左旋转，与黄道相交，太阳运行在南北方向上的范围由此确定；静赤道是太虚中的位置，自古至今不移动，昼夜的时刻由此确定。黄道的宫度与赤道相同。黄道与赤道相交的两个点，是春分和秋分；两点相距半周，平分两交点之间的中点为冬至和夏至，冬夏至各距两交点一个象限；将一个象限六等分为节气，每十五度一个，这就是黄经。从经度上引出弧线，与黄道交叉相交，并将各弧线延长，环绕天体，便形成完整的圆周。各圆周相互会合的地方，不在赤道的南北两极，而另有其枢纽中心，这就是黄极。黄极距赤极的度数，就是黄道与赤道之间相距的度数；黄极距黄道也都是九十度，这就是黄纬。月亮和五星出入黄道南北的情况，都是由此加以辨别的。所以，凡是经过赤道两极的南北圈，必定与赤道成直角，却不能与黄道成直角；经过黄道两极的南北圈，也必定与黄道成直角，却不能与赤道成直角。只有经过黄道、赤道两极的圆圈，它经过黄道、赤道时，必定处在冬至、夏至的度数上，因此同时与两道成直角，称为极至交圈。又如以赤道度数为主，而以黄道度数作为准则，那么二者为什么会互见大小不同呢？浑圆的形体，在中部腰部的度数最宽，逐渐接近两端便逐渐变窄【这就是距等圈的度数】。冬至、夏至时，黄道以腰部的度数对应赤道距等圈的度数，所以黄道一度相当于赤道一度有余；春分、秋分时，两道虽然都是腰部的度数，但赤道平直而黄道倾斜，所以黄道一度相当于赤道一度不足。这就是所谓同升之差，七政升降的倾斜或端直，以及伏见的先后，都由此推求。至于地平圈，其经纬则以各人居住地的天顶为极。这是因为人所居住的地方不同，所以天顶各不相同，经纬也随之变化。大地位于天体中央，形体圆而小；随着人站立的位置不同，凡是目力所能达到的地方，恰好得到大圆的一半，因此大地虽然是圆的，却与平面没有区别，所以称为地平。地平是各星曜出没的界限，也是昼夜明暗交替的地方。地平也分为三百六十度，四分为四方【子午卯酉】，彼此各相距九十度；二十四分为二十四个方向，每个十五度，这就是地平经。从经度上引出弧线，直到天顶，各段都为九十度【从地平向下直到天顶的对冲点也为九十度】，这就是地平纬，又称高弧。高弧从地平正午处经过天顶的，其完整圆周必定经过赤道和南北两极，称为子午圈。它是各星曜出入地平的适中界限，北极高度的高低、日影长短、中星位置的推移，都由此测定。因此，经纬的相互求取、黄道与赤道的相互转换，以及由黄赤道求地平或由地平求黄赤道，都是历象学的重要事务，也是推算测量所取的准则。御制《厯象考成上编》论述七政的宿度。太阳、太阴和五星都有宿度。古代以十二宫确定于二十八宿之中，所以宿度逐年不同，经度也随之不同。现在把二十八宿运行于十二宫来确定，因此宿度逐年有差异，而经度始终不变。其方法是：把岁差五十一秒按年累积，与各宿第一星的黄道经度相加，作为本年黄道宿钤。然后在七政的黄道经度中减去相应的黄道宿度，余数就是七政的黄道宿度。因为七政和恒星都以黄道为准，所以宿度也用黄道来推算。至于日食、月食，则一并使用赤道宿，这是因为它们与天体运行的关系最为明显，所以在推算时尤其详细。然而各宿的赤道经纬度逐年不同，必须依照推算恒星赤道经度的方法，求得本年各宿第一星的赤道经度，作为本年赤道宿钤。然后在太阳、太阴的赤道经度中减去相应的赤道宿度，余数就是太阳、太阴的赤道宿度。御制《厯象考成上编》论述北极高度。北极是天体的枢纽，处在它的位置上而不移动。北极出地面的高度有高有低，是因为人所居住的地方有南北不同。因此，寒暑的进退、昼夜的长短，也各不相同。历法以太阳运行出入赤道的度数来确定各个节气，而北极出地的度数，就是赤道距天顶的度数。倘若推算测量不精确，高度相差达到一分，那么春分、秋分必定相差一个时辰，冬至、夏至必定相差一两天。太阳运行的位置既然有差错，那么月亮和五星的经纬也没有不出错的。因此，测量北极出地的高低，最应当精密，不能有丝毫疏忽。御制《厯象考成上编》论述地半径差：“ 凡是求算七曜出地面的高度，都必须进行测量。但测量所得的数值与推步所得的数值，往往不相符合。这是因为推步所得的是七曜距地心的高度，而测量所得的是七曜距地面的高度。距地心的高度是真高，距地面的高度是视高。人处在地面，不在地心，所以视高必定小于真高，这是因为有地半径差【有时视高大于真高，则是濆防气所造成的】。七曜、恒星虽然都附丽于天，但它们的高低又各不相同。只有恒星所在的天层最高，距离地面最远，地半径相对很小，所以没有视高与真高的差别。至于七曜所在的各层天，则都有地半径差。御制《厯象考成上编》论述地影半径。

译太阳照射大地而产生地影，太阴遇到地影而产生月食。凡是食分的深浅、食时的长短，都取决于地影半径的大小，这一关系确实十分重要。但地影半径的大小随时变化，原因有两个：一是太阳距离大地有远近，距离大地远，影子就大而长；距离大地近，影子就小而短，这是由太阳的远近造成的变化。二是地影是尖圆体，靠近地面的地方粗大，远离地面的地方细小；太阴运行得最低时，距离地面近，经过地影粗大的地方，影径就大；运行得最高时，距离地面远，经过地影细小的地方，影径就小，这是由太阴的位置造成的变化。御制《厯象考成上编》论述日月的实际直径与地球直径。太阳最大，地球次之，月亮最小。《新法厯书》记载：太阳直径是地球直径的五倍有余，月亮直径是地球直径的百分之二十七强。现在依照这种方法，用太阳、月亮高卑两限的各项数值推算，所得实际直径数值为：太阳直径是地球直径的五倍又百分之七，月亮直径是地球直径的百分之二十七弱，都与旧有数字大体相符，足以证明这种说法有根据，并不是诬妄。御制《厯象考成上编》论述清防气差。清▯气差，古代从未听说过。明万历年间，西方人第谷首先发现了它。他说：清▯气是地面中游动的气体，时时向上升腾；它的质地轻微，不能阻隔人的视线，却能把小的映照得大，把低的映照得高。因此，太阳、月亮在地平线上与位于中天时相比显得更大，星座在地平线上与位于中天时相比显得更宽广，这就是把小的映照得大的情况。定朔望时，地球位于太阳、月亮之间，人在地面上，按理说不可能同时看到两者，但实际上常常能同时看见；有时太阳还没有在西方落下，却已经在东方看见月食；太阳已经从东方升起，却还在西方看见月食，这就是把低的升高来看的情况。他又说：清▯气有厚有薄，有高有低；气势盛时就厚而高，气势微弱时就薄而低，升高物象的高度也因此不同。它有厚薄、高低的原因，是各地地势不同。像海洋或江湖，水气多，清▯气就一定厚而且高。因此，要确定七政的纬度，应先确定当地的清▯气差。第谷说，他所在国家北极出地五十五度有奇，测得地平线上最大的差为三十四分；从地平线以上开始，差数逐渐减少，到四十五度时差为五秒，再高处就没有差了。这就是《新法厯书》所采用的表。近来西方人又说，在北极出地四十八度的地方，测得太阳高度为四十五度时，防气差仍有一分多；从地平线直到天顶都有▯气差。由此看来，更能看出▯气差随地点而不同，也说明第谷的话并没有错。御制《厯象考成上编》论述曚影的刻分。曚影，就是古人所说的晨昏分。太阳出来以前、落下以后，距地平十八度以内都有光，所以把十八度作为曚影的界限。然而北极出地有高低，太阳距赤道有南北之分，因此曚影的刻分随着时间和地点而不同。随时间不同，是春分、秋分时的刻分少，冬至、夏至时的刻分多。随地点不同，是越往北刻分越多，越往南刻分越少。若北极出地五十度，那么夏至半夜仍然有光；北极出地越高，逐渐就没有黑夜了。到了赤道以南，情况正好相反。御制《厯象考成上编》论述时差。时差，就是平时与用时相比较所得的时分。推步所得的是平时，测量所得的是用时【用时就是视时】。两者通常不相符合，原因有两个：一是由于太阳的实际运行，使时刻随之进退，这是以高卑作为加减的界限；二是由于赤道的升度，使时刻随之增减，这是以春分、秋分和冬至、夏至作为加减的界限。《新法厯书》把这两项合起来制成表，称为日差。但高卑每年都有行分，宫度和引数就不可能相同。如果合制一张表，年久之后便不能使用。现在仍分作两张表，分别进行两次加减，这样在法则上可以更加精密。御制《厯象考成上编》论述岁差。岁差，就是太阳每年与恒星相距的差分。例如今年冬至，太阳运行到某宿的度数；到明年冬至时，不能再运行到原来的宿度，而会有未达到的差分。但这种差分非常微小，古人起初没有察觉。到了晋代虞喜才知道这种现象，于是创立岁差法，历代研究历法的人都遵从它。然而各家所确定的数值各不相同：虞喜认为五十年差一度，刘宋何承天认为一百年差一度，祖冲之认为四十五年差一度，隋代刘焯认为七十五年差一度，唐代傅仁均认为五十五年差一度，僧一行认为八十二年差一度。只有宋代杨忠辅认为六十七年差一度，以周天三百六十度、每度六十分、每分六十秒计算，约得每年差五十二秒半。元代郭守敬沿用了这一数值，比各家都精密。现在依照新法实际测量日影，并以中星验证，得到七十年有余差一度、每年差五十一秒的结果。这个差数，在古法中叫作冬至向西移动的度数，在新法中叫作恒星向东运行的度数。从天象加以验证，恒星本来就有移动，所以新法的道理更为正确。御制《厯象考成上编》论述历元。制定历法的人必须有一个开始计算的起点，这叫作历元。历元有两种方法：一种是远溯上古，把冬至时七曜会齐的那一天作为历元；自汉代太初年以来各部历法所使用的积年，就是这种方法。另一种是截取某一时点作为历元，例如元代《授时历》以至元辛巳年天正冬至为历元，今天的《时宪历》以崇祯元年戊辰年天正冬至为历元。这两种方法虽然都作为计算的起点，但积年法实际上不如截算法简便。所谓七曜齐元，就是追溯上古冬至之时，年、月、日、时都是干支甲子，日月如同合璧，五星如同联珠，因此把它作为制定历法的起点。假如确实有这样的时刻，即使万世沿用也可以。然而二十一史所记载的各家历元没有一个相同，这说明它们所使用的积年或长或短，都没有实际承传，只是用巧妙的计算取得罢了。它们在开始制定历法时，也一定根据近世测量有所验证，于是援引这些结果制定方法；然后向上推溯，直到数千万年以前，希望各星曜的运行位置能够彼此相齐。然而既想使它向上符合历元，又想使它不违背近世测量，奇零分秒的数值绝不可能完全相同，势必不能不略作迁就，以求得表面上的巧合。开始时，是根据近世测量来求积年；

译到了后来，反而将要根据积年去改变近世测量的结果了。杜预说：“研究历法，应当顺应天象来求得符合，不应当先制造出符合来验证天象。”积年法就是先制造符合来验证天象，怎么能算是制定历法的完善方法呢？至于截算法，不使用积年这种虚假的数值，而完全以实际测量为依据，确实是顺应天象来求得符合的方法，是研究历法的人所应当取法的。御制《厯象考成上编》论述太阳的运行度数。太阳运行于天空，每年周行一周，万古不变。按理说它每天应当平均运行，不应有盈缩。然而以实际测量验证，却发现从春分到秋分，太阳运行半周而历经的日数较多；从秋分到春分，太阳运行半周而历经的日数较少。太阳在本天所运行的度数本来是均等的，但人居住在地面上所看到的时间和日数却不同。现在就根据这种不平均运行的数字。推求其中的原因，只有本天高卑的学说能够完全说明。本天高卑有两种解释：一种是不同心。天盖在大地之外，以地心为中心；太阳所在的本天也包围着大地，却不以地心为中心。由于两心之间存在差异，于是形成高卑。从春分经过夏至到秋分，太阳运行本天的大半周，所以历经的日数较多；但从地心计算，只运行黄道半周，所以称为运行收缩。从秋分经过冬至到春分，太阳运行本天的小半周，所以历经的日数较少；但从地心计算，也运行黄道半周，所以称为运行盈余。太阳在本天中原本是平均运行的，只因从地心计算，而不是以太阳本天的中心计算，于是出现高卑、盈缩的差异。因此，高卑是盈缩的根源，而两心的差异又是高卑产生的原因。另一种是本轮。大体说来，本天与地同心，而本天的圆周之外又有一个本轮。本轮的中心沿着本天圆周向东运行，太阳沿着本轮圆周向西运行，两者运行的度数相等。太阳在本轮的下半周时，距离地面近而处于卑位，于是顺着本轮中心运行，所以看起来比平均运行更快；在本轮的上半周时，距离地面远而处于高位，于是背向本轮中心运行，所以看起来比平均运行更慢；太阳在本轮的左右两侧，距离地面不远不近，处于高卑适中的位置，所以称为中距，其运行与平均运行相等。本轮沿本天向东运行，叫作平行度；太阳沿本轮向西运行，从下方经过左方、上方、右方，最后又回到下方，叫作自行度。太阳在本轮下方、距离地心最近时，就是最卑；太阳在本轮上方、距离地心最远时，就是最高。最高点、最卑点都与本轮中心和地心处在同一直线上。它们的平行实行度相同，所以是计算盈缩的起点。太阳从本轮下方向左、顺着本轮中心运行时，能够增加向东运行的度数，因此比平行度更显盈；到达半个象限以后，所增加的部分逐渐减少；等到本轮中心运行一个象限、太阳也沿本轮圆周运行一个象限时，便没有增加而重新与平行运行相合，这称为中距。然而，积累的盈度最多正在中距，因为从地心计算，这是盈差最大的地方。从中距以后，太阳运行到本轮的上半周，背向本轮中心运行，所以实际运行逐渐收缩；但由于已有积累的盈度，必须依次逐渐消除，实际运行仍在平行运行之前。等到运行满一个象限、到达最高点时，便达到最缩，积累的盈度也开始完全消尽，实际运行才与平行运行合为一线。所以，从最卑到最高，这半周全都是盈；从太阳由本轮上方向右背离轮心运行开始，它能够削减向东运行的度数，因此与平行度相比便有所缩短。到了半象限以后，所削减的数值逐渐减少，等到轮心运行一个象限，太阳也运行本轮周的一个象限，就没有再削减的部分而恢复到平行，这就是中距。然而，积累的缩减数值最多也在中距，因为从地心计算，这是缩差的最大值。从中距以后，太阳运行本轮的下半周，顺着轮心运行，所以实际运行逐渐增加；但由于还有积累的缩减度数，必须依次加以补偿，其实际运行仍然落后于平行运行。等到运行满一个象限，到达最卑时盈达到最大，而积累的缩减度数才完全补足，实际运行才与平行运行合成一条直线。所以，从最高到最卑的半周全都是缩。求得两心之间的差距，本轮的直径自然就能确定。明白本轮的原理，盈缩的道理就更加清楚了。这些道理彼此相通，作用相互辅助，可以互相参照考核、相互验证。御制《厯象考成上编》论述太隂运行的度数：太隂的运行度数有九种，不包括它随着宗动天向西旋转的运行。一是平行。太隂的本天带有一个本轮，本轮的轮心沿本天自西向东运行，每日平行运行一十三度有余；二十七日有余运行一周天，这就是白道经度。二是自行。本轮心沿白道自西向东运行【即平行经度】，太隂又依本轮周边自东向西运行，每日也运行一十三度有余，只是略微赶不上本轮心的运行；它与本轮心的运行相互顺逆交错，人眼观察时便产生迟疾，所以称为自行，以区别于平行运行。《授时厯》称为转。运行满一周称为转终，由此产生的迟疾差称为初均数。三是均轮行。西人第谷说，用一个本轮来调齐太隂的运行，往往与实际测量不相符合，因此把本轮半径分成三份，保留其中两份作为本轮半径，取一份作为均轮半径。均轮沿本轮周边自东向西运行【即自行转周度】，太隂又沿均轮周边自西向东运行，每日运行二十六度有余，是轮心运行度数的两倍【均轮心运行一度，月运行均轮周二度】；由此产生的迟疾差，就是现在所用的初均数。四是次轮行。用本轮、均轮推算出的迟疾最大差为四度有余，在朔望时测量，数值恰好符合；但在上下▯时测量却不符合，其最大差达到七度有余。因此又在均轮周边设置一轮，沿均轮周边运行，称为次轮。次轮心自西向东运行，太隂又沿次轮周边自西向东运行，每日运行二十四度有余，是本轮心距太阳运行度数的两倍【本轮心距太阳运行一度，月运行次轮周二度】，称为倍离。倍离所产生的迟疾差称为次均数。

译五是次均轮行。已有初均、次均来推算朔望并确定两▯，这样已经相合了；但在两▯前后测量，又有许多不相合之处，于是考虑次轮上必定还要有一个轮，来调节次均数，现在称为次均轮。它的轮心沿次轮周边自西向东运行倍离的度数，而太隂则沿此轮周边自东向西运行同样的倍离度数，用它所产生的差数加减次均数，就与太隂在两▯前后的运行恰好相合。六是交行。太隂运行在白道上，出入黄道以内外，最大距离为五度有余。它从黄道南面越过黄道北面的交点称为正交【即如春分时从赤道南面越过赤道北面】；从黄道北面越过黄道南面的交点称为中交【即如秋分时从赤道北面越过赤道南面】。每次交会之间不能再沿原来的次序运行，而是少于一度有余，逐日计算退行三分有余，称为两交左旋的度数【自东向西】，也称罗计行度【正交为罗喉，中交为计都】。七是最高行。最高是本轮上半周中离地心最远的地方，所谓最高行，就是平行与自行相比较所得的分度。均轮心从最高点向左旋转，略微赶不上平行运行，每日六分有余，因此称为最高左旋的度数，也称月孛行度。八是距日行。在每日平行度中减去太阳的运行度数，就是每日太隂距太阳的运行；经过二十九日有余，太隂又与太阳相会，这就是朔会。九是距交行。把每日平行度与每日交行相加，得到太隂每日距交的度数；经过二十七日有余运行一周交点，称为交周。太隂的运行度数，用四个轮来推算。这四轮的法则，都是通过实际测量得到的，并不是任意设置的。西人第谷以前，推算月离只使用本轮、次轮，因为朔望时的运行有迟疾，所以知道有本轮；而两▯时的运行不同于朔望，所以知道有次轮。其方法是，次轮与本轮两周相切，太隂运行在次轮上。朔望时，太隂正好处在两周相切的地方，所以说朔望时太隂沿本轮周边运行；两▯时，太隂则从两周相切处运行次轮半周，距离本轮心最远。因此，次轮全径就是两▯时大于朔望时平行实际运行的最大差。第谷遵照这一方法使用，但仍不能与太隂的运行完全密合，所以又在本轮上加设一个均轮；又因为两▯前后的运行不同于两▯时，所以又加设一个次均轮。用本轮推算朔望时平行实际运行的最大差，得到本轮半径为四度五十八分有余；用实际测量验证，只有自行在三宫、九宫初度的一个点上相合，在最高前后两个象限则偏小，在最卑前后两个象限则偏大。因此第谷把本轮半径分成三份，保留其中两份作为本轮半径，取其中一份作为均轮半径，用来求平行实际运行的差数作为初均数，于是便与天象密合。至于两▯时平行实际运行的最大差为七度二十五分有余，虽然是新本轮半径加均轮半径，再加上次轮全径的数值，但也就是旧本轮半径与次轮全径相加的数值。次均轮运行于次轮，就像初均轮运行于本轮，只是所运行的度数不同【初均轮运行的是引数的度数，次均轮运行的是倍离的度数】。总而言之，本轮用来推算本天的高卑；均轮用来调节本轮的运行度数；次轮用来确定朔望、两▯的远近；次均轮又用来分别确定朔望、两▯前后的加减。因此，本轮的运行度数与初均轮的倍引相合而产生初均数，区分高卑左右而成为朔望的加减差；次轮的运行度数与次均轮的倍离相合而产生二、三均数，区分远近上下而成为两▯及两▯前后的加减差。所以，如果不通过实际测量验证，就无法知道四轮的精妙；明白四轮的作用，对于太隂迟疾的原因也就大体明白了。御制《厯象考成上编》论述：“朔望有平、实的不同。” 日月相会称为朔，彼此相对称为望。朔望又有平、实的不同：平朔望，是日月的平行度相会或相对；实朔望，是日月的实际运行度相会或相对。所以，平朔望与实朔望相距的时刻，以两者实际运行相距的度数为准。两者实际运行相距的度数，是把两个均数相加或相减得到的；而两个朔望相距的时刻，则是把两者实际运行相距的度数换算为时刻，加到平朔望上或从平朔望中减去，从而得到实朔望。因此，两者实际运行相距没有固定的度数，两个朔望相距也就没有固定的时刻。御制《厯象考成上编》论述晦朔、▯望。太隂的晦、朔、▯、望，虽然与自行的迟疾没有直接关系，但自行的迟疾，实际上正是由朔望和两▯而得以了解的。它经过二十七日有余运行一周，是太隂的自行；经过二十九日半强与太阳相会，是朔会；其中还分为望和上、下两▯。太隂的形体依靠太阳发光，朝向太阳的一面始终明亮，背向太阳的一面始终昏暗；它的运行又远快于太阳。当它与太阳相会时，人在地上正好看见它的背面，所以称为朔。朔以后逐渐远离太阳，人可以逐渐看见它的正面，月光逐渐增多。到距离朔七日有余时，它距太阳九十度，人可以看见它的一半；太阳在后，太隂在前，月光向西，月魄向东，所以称为上▯。上▯以后，距离太阳越来越远，月光逐渐充满；到一百八十度时，正好与太阳相望，人处在两者之间，正好看见它的正面，所以称为望。望以后又逐渐接近太阳，人不能正面看见它，月光逐渐减少，月魄逐渐显现。到距离望七日有余时，它距太阳也是九十度，人又只能看见它的一半；太阳在前，太隂在后，月光向东，月魄向西，所以称为下▯。下▯以后，距离太阳越来越近，月光逐渐消失；到重新与太阳相会时，月光完全昏暗，又成为朔。御制《厯象考成上编》论述太隂隐没、出现的迟疾。

译合朔以后，通常在第三日月亮出现在西方，所以《尚书》注释说，月亮在第三日开始出现光明。然而也有朔后第二日就看见月亮的，更有晦日早晨月亮出现在东方、朔日傍晚月亮出现在西方的，唐代历家于是创立进朔法，导致日食竟然发生在晦日。宋、元史已经辨明这种说法不对，但还没有说明其中的原因。月亮的隐没和出现有一定的规律，本来可以按照数理推算，大概是由于天体运行、地理度数造成的，不必勉强迁就改动。至于汉、魏历家没有弄清盈缩迟疾的差异，采用平朔编制历书，所以才有晦日月亮出现在西方、朔日月亮出现在东方的情况；这属于推步粗疏，不能用隐见迟疾来解释。隐见的迟疾，一是因为黄道、赤道升降有斜有正。大约春分前后各三宫【从星纪到实沈共六宫】，黄道斜升而正降，月亮运行经过这六宫时，朔后出现得早；秋分前后各三宫【从鹑首到析木共六宫】，黄道正升而斜降，月亮运行经过这六宫时，朔后出现得迟。如太阳运行到降娄初度，月亮运行到降娄一十五度，属于正降，日落时月亮在地平线上高一十四度有余，就可以看见；这是因为它入地较迟而出现较早。太阳运行到寿星初度，月亮运行到寿星一十五度，属于斜降，日落时月亮在地平线上高六度有余，却已经看不见；这是因为它入地较快而出现较迟。秋分前后各三宫【从鹑首到析木共六宫】，黄道正升而斜降，月亮运行经过这六宫时，朔后出现得迟。比如太阳运行到降娄初度，月亮运行到降娄一十五度；若月亮距黄道北面，则它距离地平线的度数较多，入地较迟而出现较早；若月亮距黄道南面，则它距离地平线的度数较少，入地较快而出现较迟。若在晦日前月亮距黄道北面则隐没较迟，距黄道南面则隐没较早，道理也是一样。又一个原因是月亮距黄道的纬度有南北之分：月亮距黄道北面，朔后出现得早；距黄道南面，朔后出现得迟。比如太阳运行到降娄初度，月亮运行到降娄一十五度而距黄道北面，则月亮距地平线的度数较多，入地较迟而出现较早；距黄道南面，则距地平线的度数较少，入地较快而出现较迟。若在晦日前距黄道北面则隐没较迟，距黄道南面则隐没较早，道理也是一样。又一个原因是月亮自行的度数有迟疾：月亮自行迟，朔后出现得迟，晦日前隐没得迟；自行疾，朔后出现得早，晦日前隐没得早。月亮运行在正降宫的度数，距离太阳一十五度就可以看见；按每日平行一十二度有余计算，朔后一日有余就会出现，在西方开始显明。因此，如果合朔发生在甲日亥子之间，月亮运行在正升宫的度数，距黄道北面而且运行较迟，那么甲日太阳尚未出来时，月亮也会出现在东方；如果月亮运行在正降宫的度数，距黄道北面而且运行较快，那么乙日太阳已经落下时，月亮也会出现在西方。御制《厯象考成上编》论述恒星东行。恒星运行，就是古人所说的岁差。古人说恒星不动而黄道向西移动；现在说黄道不动而恒星向东运行。假如恒星不动而黄道向西移动，那么恒星的黄道经纬度应当每年不同，赤道经纬度则应当永远不变。如今测量恒星，发现其黄道经度每年向东运行而纬度不变；至于赤道经度则逐年不同，纬度的变化尤其明显。从星纪到鹑首六宫，位于赤道南面的星，其纬度古代较大而现在逐渐减小；位于赤道北面的星，其纬度古代较小而现在逐渐增大。从鹑首到星纪六宫，位于赤道南面的星，其纬度古代较小而现在逐渐增大；位于赤道北面的星，其纬度古代较大而现在逐渐减小。凡是距赤道二十三度半以内的星，位于赤道北面的都可能越过赤道到南面，位于赤道南面的也可能越过赤道到北面；由此可见，确实是恒星沿黄道向东运行，而不是黄道向西移动。《新法厯书》记载，西人第谷以前关于恒星东行的数值，有的说一百年运行一度，有的说七十多年运行一度，有的说六十多年运行一度，随着时间不断修改，这与古代多次修改岁差的意思相同。到第谷确定恒星每年向东运行五十一秒，大约七十年有余运行一度，而元代郭守敬所确定的数值也接近这一结果。直到现在，经过一百四十多年用天象验证，虽然没有差错，但星体运行极其微小，必须经过多年才能显现出差异。这样看来，第谷确定的数值也不能拘泥地当作固定准则，只有随时测量验证，依照天体运行来推算它的数值才可以。御制《厯象考成上编》论测量恒星。恒星向东运行既然是依照黄道进行的，就先测定一年中的黄道经纬度，以后逐年的黄道经纬度都以此为依据。然而要测量各个恒星，必须以一颗星作为参照；要测定黄道经纬度，必须以赤道经纬度为根本。因为各天体随着天向左旋转，只有赤极不动；赤道经纬度既与黄道相对应，又与地平相应，时刻的早晚由此记录，太阳运行所在的宫次也由此辨别。没有赤道，就无从考核黄道。具体方法是选择较大的恒星，测定它方中时刻以及正午高度弧，然后把该时太阳的赤道经度与太阳距午正的赤道经度相加，就是该星的赤道经度；再用正午高度弧减去赤道高度，就是该星的赤道纬度。得到赤道经纬度后，再用弧三角法推得黄道经纬度。得到一颗星的黄道、赤道经纬度后，就以这颗星作为参照：或者使用黄道、赤道的各类仪器测量彼此相距的经纬度，或者使用地平象限等仪器测量偏度和高度弧，这样各个恒星的黄道、赤道经纬度都可以求得。总之，测量恒星的方法，是先测定一颗星作为标准，而这颗星的经度必须取定于太阳。如果时刻相差四分，那么天体运行就相差一度，所以必须相互参照、反复考核，才能取得严密符合。也有人用太隂和太白作比较测量，但它们都有视差，不如用太阳作为准确的标准。御制《厯象考成上编》论述恒星出入地平。恒星随着宗动天向东升起、向西落下，旋转有固定规律；由于节气有冬夏之分，昼夜有长短之别，人居有南北之异，所以所看见的恒星出入地平的时刻因时而异，也随所在地不同。每个时刻都有出入地平的恒星，每颗星也都有出入地平的时刻；这些既可以通过测候得到，也可以通过推算知道。具体方法是利用当地北极高度和该星的赤道经纬度，求得该星与赤道同时出入地平的度数，再与该时太阳的赤道经度相减，就得到该星出入地平的时刻。御制《厯象考成上编》论述弧三角形。

译弧三角形，是由球面弧线构成的三角形。古代历家有黄道、赤道相互校准的比例，大体上根据浑仪的度数测量，只能得到概略数值，不能形成计算方法。只有元代郭守敬用弧矢来计算黄道、赤道之间的关系，才有了确定的比例，比古法精密。但他的办法要用三乘方取数，十分困难。自西人利玛窦、汤若望等翻译历书以后，才有了曲线三角形的方法。三条弧线相交形成三角形，三弧三角各自都有相应的八线。弧与弧相交，就如同线与线相遇，于是产生勾股比例。这样便可以由黄道求知赤道，由赤道求知黄道，由经度求知纬度，由纬度求知经度。历象之法到这里就完备了，勾股之法的作用到这里也达到极致。正弧三角形必定有一个直角。这是因为南北二极是赤道的枢纽，都距离赤道九十度；所以凡是经过南北二极的经圈与赤道相交所成的角，全都是直角；与之相应的弧也都是九十度，又凡是 有一个圆，就有两个极点。通过这两个极点的经圈与本圈相交，也必定成直角。由此形成的三角形，必定都是正弧三角形。正弧三角形中已知的三个弧角，对于彼此相对的弧角，就用弧角的八线所形成的勾股关系来求算。为了求比例而弧角又不相对的，就使用次形。因为由弧角的八线形成的勾股比例，不是产生于本形，而是产生于次形。所谓次形，就是用本形与象限相减所得的余度形成的，所以使用本形的余▯、余切，也就是使用次形的正▯、正切。这种方法可以把弧换成角，也可以把角换成弧【如果是斜弧三角形，就可以把大形换成小形，把大边换成小边，把钝角变成锐角】；边与角虽然不相对，也可以转换为相对关系，而且已知三个量，就可以求出边来。其道理实际上是一以贯之的。弧三角形有斜弧形，就像直线三角形有锐角形和钝角形一样。但直线三角形的锐钝形只有两种：一种是三个角都锐，另一种是一钝两锐；斜弧形却不是这样，可能三个角都锐，也可能三个角都钝，也可能两锐一钝，也可能两钝一锐。它的三条边，有的都大于九十度，有的都小于九十度，有的两大一小，有的两小一大，错综形成的形状很多。而《新法历书》所记载的推算方法，又更加繁杂而难以考核。因为三角的三个角和三条边各有八线，只要线与线之间的比例相当，就可以互相求算，所以有时同样是推一步星体，有时同样是推算一个数值，所使用的方法却彼此不同，于是使学习者不知道该遵从哪一种。现在约定用三种方法来求算，不论角是锐是钝、边是大是小，都根据先已知道的三个量来决定。第一，已知的三个量中有一组相对的边角，并且还有与所求边角相对的边角，就使用边角比例法；第二，已知的三个量中有一组相对的边角，但没有与所求边角相对的边角【或者求角而没有与之相对的边，或者求边而没有与之相对的角】，就使用垂弧法；第三，已知的三个量中没有相对的边角【或者由三边求角，或者有两边一角且该角在已知的两边之间，或者由三角求边，或者有两角一边且该边在已知的两角之间】，就使用总较法。明白这三种方法，斜弧三角形的用法就完备了；七政的升降出没，以及经纬的纵横交错，就没有不能推测而知的了。臣等谨慎考察：《考成上编》开头先论述仪器和天象，其次就详细讲解弧三角形，完备列出纲领条目、图说，以及相求比例和总较的方法。确实因为太阳运行、月亮运行、日食、月食、五星、恒星，都要借助这些方法来推算。现摘录总论和分论、正形和斜形各一篇，这些方法神妙明晰而又简易的功用，大概可以由此看到了。御制《历象考成后编》论岁实 太阳运行一周天就是一年，一周岁中的日数分数就是岁实。古法认为太阳每日运行一度，所以周天是三百六十五度四分度之一，岁实是三百六十五日四分日之一。《尧典》说：“一周年有三百六十六日。”杜预说，这是举整数而言，实际是三百六十五日四分日之一。汉末刘洪首先觉察到冬至在天象上逐渐后移，认为岁实太大，于是把岁余分从二千五百减为二千四百六十二。晋代虞喜、宋代何承天、祖冲之认为岁实本来就有差异，于是减少岁余而增加天周，岁差的方法由此建立。元代郭守敬取刘宋大明戊寅年以来相距的累计日数和时刻，求得岁实为三百六十五日二千四百二十五分，比四分日之一少七十五分，因此天周就是三百六十五度二千五百七十五分。西法的周天是三百六十度，第谷确定的岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒，以一周日一万分通算，得到三百六十五日二四二一八七五，比郭守敬的数又少万分之三有余。用这个数除周天三百六十度，得到每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】。岁差则认为恒星每年向东运行五十一秒；这不只是天自为天、岁自为岁，而且星又自为星，其中的道理很清楚。后来西方人柰端等多次测定岁实，又认为第谷减得太多，于是斟酌确定岁实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘，以一周日一万分通算，得到三百六十五日二四二三三四四二 ○一四一五，比第谷所定的数多万分之一有余。用这个数除周天三百六十度，得到每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】；比第谷所定的数少五纤有余，每年少三十微有余。大体上，岁实的分数增加，太阳运行的分数就减少。根据现在的表推算雍正元年癸夘天正冬至，比第谷旧表迟二刻，太阳运行的平行根数比旧表少一分一十四秒；第谷距今已有一百四十多年，按数值计算，这个差异正好相合。这也是取前后两个冬至相距的累计日数和时刻而平均分配，并不是有意增加或减少。御制《历象考成后编》论黄赤距纬。

译黄道与赤道的距纬，古今测量所得不同。自汉代以来，都说黄道出入赤道南北二十四度。元代郭守敬测得二十三度九十分三十秒，以周天三百六十度、每度六十分折算，得到二十三度三十三分三十二秒。第谷测得二十三度三十一分三十秒。康熙五十二年。皇祖圣祖仁皇帝命和硕庄亲王等率同儒臣，在畅春园防养斋设局测量太阳高度，得到黄赤大距为二十三度二十九分三十秒。现在监臣戴进贤等历考西方史料，第谷的测量大概在明代隆万年间；而汉代多禄亩测得二十三度五十一分三十秒，比第谷的数大。我国朝顺治年间，刻白尔改为二十三度三十分，后来利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分，都比第谷的数小。前后数值有多有少的原因，有人认为各家所用蒙气差、地半径差的数值各不相同，所以所确定的距纬也不同。然而综合考察中西情况，第谷以前还不知道有蒙气差，而多禄亩的数值与古代较为接近；到郭守敬时则与第谷相近，但与多禄亩相比已经相差十几分。康熙年间所用蒙气差、地半径差仍沿用第谷的旧数，与刻白尔、噶西尼等所用的数值不同，但测得的大距又相差不远；由此看来，黄赤距度在古今确实有所不同，并不是由于所用差数不同，应当随时考察测量，以符合天象。等人所用的数值不同，但所测得的大距又相差不远；由此看来，黄赤距度在古今确实有所不同，并不是由于所用差数不同，应当随时考察测量，以符合天象。御制《历象考成后编》论地半径差：“ 噶西尼等人说，太阳天的半径距离很远，没有地半径差，而测量所涉及的只在秒、微之间，又有蒙气混杂其中，最难确定。因此想到，太阳、月亮、星辰在天上，只有恒星没有地半径差；如果拿太阳同恒星相比较，就可以得到准数，但太阳和恒星不能同时看见，所以测太阳不如测五星。土星、木星在太阳上方，距离地面尤其远，地半径差更加微小；金星、水星虽然有时在太阳下方，但它们运行环绕太阳而接近太阳光，也都难以测量。只有火星环绕太阳而又环绕地球，能够与太阳相冲，所以半夜时火星正对着子午线，在南北两处测量，并且都同一颗恒星相比较。如果它们与恒星的距离相等，就是没有地半径差；如果距离不相等，就是有地半径差，其不相等的数值就是两处地半径差的差异。而且火星与太阳相冲时，它距地球比太阳近，所以太阳的地半径差一定更小于火星的地半径差。噶西尼用这种方法推得，火星在地平线上的最大地半径差为二十五秒；按比例得到太阳在中距时地平线上的最大地半径差为一十秒，用交食来验证，果然相合。近来西方历法也都遵从这种说法。现在用所确定的地半径差求地半径与太阳天半径的比例，中距为一与二万零六百二十六，最高为一与二万零九百七十五，最卑为一与二万零二百七十七。用来求地平线上最大的地半径差，最高为九秒五十微，最卑为一十秒一十防。御制《历象考成后编》论日月实径。历来的算家认为，太阳、月亮在天上的实际直径本来是固定的数值，而视直径的大小则因距离地面有远近而时时不同。但所谓实际直径，仍然是按照视直径的大小与距离地面的远近比例求得的。如今太阳、月亮本天中心到地心的距离数值都同旧说不同，那么太阳、月亮距地面的远近也因而各不相同。而且视直径的大小，古今测量所得只相差在分、秒之间，在仪器上不过争毫厘，在数值上却已经相差千百倍，那么实际直径终究也没有一个固定的数值。西法认为太阳实际直径是地球直径的五倍有余，中距时太阳天半径与地半径的比例为一与一千一百四十二。月亮实际直径是地球直径的百分之二十七强，中距朔望时月天半径与地半径的比例为一与五十六又百分之七十二。上编仍采用这些数值，推得最高时太阳天半径与地半径的比例为一与一千一百六十二，最卑时为一与一千一百二十一；最高朔望时月天半径与地半径的比例为一与五十八又百分之一十六，最卑朔望时为一与五十四又百分之八十四。现在监臣戴进贤等根据西方人近年测量的结果，太阳天半径与地半径的比例，最高为一与二万零九百七十五，中距为一与二万零六百二十六，最卑为一与二万零二百七十七。月天半径与地半径的比例，最高为一与六十三又百分之七十七，中距为一与五十九又百分之七十八，最卑为一与五十五又百分之七十九。又用远镜仪【西方人默爵所制，用远镜加横杆作为窥管】测得太阳视直径，最高为三十一分四十秒，中距为三十二分一十二秒，最卑为三十二分四十五秒。月亮视直径，最高为二十九分二十三秒，中距为三十一分二十一秒，最卑为三十三分三十六秒。用这些数值推算，太阳实际直径是地球直径的九十六倍又十分之六，月亮实际直径是地球直径的百分之二十七小余二六强。月亮实际直径与旧说大致相符，而太阳实际直径相差达到十九倍，是因为现在测得的太阳距地数值比旧说大十八倍有余，所以太阳实际直径比旧说大十九倍，只是大十八分之一；因此现在太阳的视直径也比旧说大十八分之一。这样看来，视直径的大小，固然各自得到实测依据，也必须同推算相合，才能成为一家之言。至于太阳本体属纯阳之体，它的光芒常常超出通常直径之外，《新法算书》说四周都大一分，现在的说法是大一十五秒，所以推算日食的方法，必须在合并直径中减去太阳光分一十五秒，剩余的数再同视纬相比，才是受食的分数。而太阳本身的直径，则仍然把光分计算在内，道理本来就应当如此。御制《历象考成后编》论日月影半径及影差。

译太阳、月亮两者的地半径差相加，就等于太阳半径与影半径相加的数值。太阳、月亮的地半径差以及太阳半径，都是推算交食必定要用的数值。而且这些数值都由距离地面的高低远近产生，所以近来的西法都不再另行求算影半差，只把太阳、月亮两者的地半径差相加，再从中减去太阳半径，余数就是实际影半径，因为影差已经包含在其中。此外还有视影的说法：地面上有蒙气差，能够把小的映照得大，所以太阳实际直径必定小于视直径；实际直径小，影就大。又在月食时，太阳位于地下，蒙气转而遮蔽太阳光，因此地影的视直径必定更加大于实际直径。计算它增大的部分，大约是太阴地平径差的六十九分之一，所以又把这个数作为影差，同实际影半径相加，成为视影半径。这样，所谓影差，名称虽然相同，意义实际上却不同。总之，算家立说，古今未必相同，但测验都以符合天象为目标，推步也必须归结于有根据。旧说认为太阳有光分，能够侵入地影使它变小；现在的说法认为地球周围有蒙气，能够遮挡地影使它变大，这也是极不相同的地方。然而最大影半径，旧说为四十六分四十八秒，现在为四十六分五十一秒，相差不过三秒；最小影半径，旧说为四十二分三十八秒，现在为三十八分二十八秒，相差四分有余。地影的大小，固然由于太阳距地面的远近以及太阴距地面的高低而变化，但太阴所起的作用尤其重要。最卑时太阴距地面的今昔差异不过地半径百分之九十五，最高时太阴距地面的差异则达到地半径百分之五百六十一。月亮距地面的距离既然因两心差而不同，那么月径和影径也就随之各不相同。这些都只是根据某一时刻的测量，设法推步以求得相合，并不是凭空臆说。御制《历象考成后编》论清蒙气差。监臣戴进贤等历考西方史料，第谷所确定的地平线上的蒙气差，他的门人刻白尔就认为稍微偏大，但仍未确定准确数值；到噶西尼才加以改正。他的说法是，蒙气环绕地球四周，太阳、月亮、星辰照耀在蒙气之外；人在地面上被蒙气映照，必定能够看见它，使它显得更高；而太阳、月亮、星辰的光线进入蒙气之中，必定反射而使它显得更低，所以光线与视线在蒙气之内就合为一条，在蒙气之外则分岔为两条。这两条线相交的角，就是蒙气差角。第谷已经领悟其中的道理，但还没有计算方法。噶西尼反复精密推求，认为视线与光线虽然分岔的位置不同，但相合之处却有固定的位置。从地心通过相合处作一条线直到圆周，这条线就是蒙气的割线。视线与割线成一个角，光线与割线也成一个角，两个角相减，就得到蒙气差角。于是他在北极出地高度四十四度处多次精密测量，得到地平线上最大的差为三十二分一十九秒，蒙气的厚度为地半径的千万分之六千零九十五。视线角与光线角的正弦之比，通常为一千万与一千万零二千八百四十一，凭此推算每一度的蒙气差。到八十九度时仍有一秒；用实际测量验证，比第谷的结果更精密。近来的西法都遵从这一说法。御制《历象考成后编》论：“太阳运行的度数，钦若认为，制定历法首先要务是推算太阳运行。太阳升起便是白昼，落下便是黑夜；太阳与月亮会合便形成朔日，运行一周天便成为一年。年、月、日都由此记录，所以《尧典》以宾日、饯日以及昼夜长短来确定制定历法的大原则，这一原则万世不能改变。推算运行的方法，三代以前已经无法考知。汉、晋各家都认为太阳每日运行一度，三百六十五日又四分之一日运行一周天。自北齐张子信开始发现太阳运行有入气的差异，于是制定损益的比例。隋代刘焯制定了盈缩躔度与四时相应升降的方法，这套方法更加详细。到元代郭守敬，才把盈缩的初、末分为四限，比前代更加精密。西法从多禄亩直到第谷，建立了本天高卑、本轮、均轮等学说，用三角形进行推算。近世西方人刻白尔、噶西尼等又相互推究考察，进一步把本天设为椭圆，将其面积均分为平行度，与旧法大不相同。然而用来求盈缩的数值，仍处于本轮、均轮所得数值之间。大概这种方法虽然在巧妙吻合之处似乎与第谷不同，但其原理仍然是本天高卑的学说。至于岁实逐渐增加、距纬与两心差逐渐接近，以及地半径差、防气差相互有大小变化，也都是由于积候损益旧数，从而形成一家之说。现在采用他们的方法。太阳的运行有盈缩，是由于本天有高卑。春分到秋分运行在最高的半周，所以运行较慢而历日较多；秋分到春分运行在最卑的半周，所以运行较快而历日较少。这种学说，一种称为不同心天，一种称为本轮；而不同心天的两心差就是本轮的半径，所以二者名称虽然不同，原理却相同。第谷用本轮推算盈缩差，只有在中距时与实测相合；在最高前后，误差偏小，在最卑前后，误差偏大。又因为最高点高于本天半径、最卑点低于本天半径的数值，并不是两心差的全部，而只是其中一半，所以又使用均轮来调节其中的差异，这样以后，高卑的数值和盈缩的运行才与当时的实测相合。然而天体运行不能没有差异，元代郭守敬确定盈缩的最大差为二度四。○一四，以周天三百六十度计算，每度六十分，约合二度二十二分。

译第谷所确定的最大差为二度零三分一十一秒。自刻白尔以来，多次加以精密测量，盈缩的最大差只有一度五十六分一十二秒。又用来推算每一度的盈缩差时，在最高前后，本轮固然误差偏小，均轮又误差偏大；在最卑前后，本轮固然误差偏大，均轮又误差偏小。于是设本天为椭圆，把椭圆面积均分为每日平行的度数，这样高卑的原理既与旧说没有不同，而高卑前后的盈缩运行又都与现在的测量相符合。凡是平圆，从中心分割面积时，所分面积的度数就是其圆心角的度数，因为以圆周为圆心角的量度标准，而各处半径都相等。如果是椭圆，长短径不同，角度与面积就不相应了。何况实际运行的角度和平行的面积，都不是以本天的中心为中心，而是以地心为中心；太阳距地心的连线从最卑处逐渐变长，每一度都不相等，又怎么能知道面积可以作为度数来同角度比较呢？但是以长短径的中率作成平圆，其面积与椭圆相等；把平圆面积逐度分割，就可以按照面积考察度、分、秒。椭圆的总面积既然与平圆总面积相等，那么逐次分割的面积也必然相等。因此，分割椭圆面积虽然本来不是度数，也可以用度数来命名，度、分、秒也可以按照面积来考察。御制《厯象考成后编》论述太隂运行度数说：上编说太隂运行度数有九种，其实均轮运行的是自行度，次轮、次均轮运行的都是月距日的倍度，因此运行度数只有六种。自从西方人刻白尔创立椭圆的方法，专门以不同心天为依据，而不同心天的两心差以及太隂的各种运行，又都根据太阳运行和日天来调节，计算其运行度数：一是平均，用日引度；二是平均最高均，用日距月最高的倍度；三是平均正交均，用日距正交的倍度；初均仍用自行度；二均仍用月距日倍度；三均、末均用月距日兼月高距日高度；交角用日距正交兼月距日度。这些都是实际测量的数值，但总不离开本天高卑的中距四限，以及朔望两弦前后相互参照比较而得到。太隂的运行有迟疾，是由于本天有高卑；这种学说，一种称为不同心天，一种称为本轮与太阳同自。刻白尔创立椭圆的方法，专门以不同心天为依据，而不同心天的两心差以及最高行又随时不同。只有太阳处在月天中距时，最大的迟疾差为四度五十七分五十七秒，两心差为四三三一九。○，倍差就是八十六万有余，与旧数相差不远。如果太阳处在月天最高，或者处在月天最卑，那么最大的迟疾差为七度三十九分三十三秒，两心差为六六七八二。○。太阳经过月天高卑以后，两心差逐渐变小；经过中距以后，两心差逐渐变大。太阳距月天高卑前后四十五度时，两心差正好适中。又当太阳处在月天高卑时，最高点的运行一向较快，到高卑后四十五度时停止；当太阳处在月天中距时，最高点的运行一向较慢，到中距后四十五度时停止，这与日月的盈缩迟疾相似，而周转的数值是它的两倍。由此可知，太隂本天的中心一定还设有一个均轮，用来调节两心差以及最高行的数值。因此以地心为中心，把两心差最大、最小两个数相加后折半，得到五五。○五。○五为最高本轮的半径；两数相减后折半，得到一一七三一五，为最高均轮的半径。均轮中心沿本轮周向右旋转，运行最高平行度；本天中心沿均轮周向右旋转。日距月最高的倍度，用切线分外角法求得地心之角，即为最高均数，也就是最高行的差。求得两心相距的边，就是本天中心距地的数值，也就是这一时刻的两心差。至于测量所得的各种均数，必定在高卑、中距，或高卑与中距之间进行，其数值才整齐而容易辨认。总之，测得高卑与中距的差值，两心差的数值就已经显现；求得两心差的数值，高卑与中距的差值也就完全相合了。太隂初均数产生于两心差；两心差不相等，均数也不相等，但这与平行无关。自刻白尔把本天设为椭圆，把平行作为面积以后，两心差不相等，椭圆的面积以及太隂的平行也因此不相等。大概两心差大时，短径的数值小，面积也小；两心差小时，短径的数值大，面积也大。所以，虽然分割椭圆所得的度数相同，但每一度的面积各不相同。不先求出面积，就无法求得度数。现在取两心差的大、中、小三个数，求出它们的短径及面积，以确定平行，然后才能求得并推算均数。旧法用本轮、均轮推算初均数，太阳躔度和月离数虽然不同，但方法是一样的。自刻白尔把平行作为椭圆面积来求实际运行，噶西尼等人创立借角求角的方法，也极其巧妙地起到了补充作用。然而日天两心差为本天半径千万分之一十六万余，所造成的最大差不过百分秒之六十六；月天两心差最大者为本天半径千万分之六十六万余。如果仍然采用太阳躔度的法则，其最大差就达到四十秒；在数值上虽然不算疏略，但在方法上仍不够精密，所以又创立使用两个三角形的方法：先以半径为一边、两心差为一边，以太隂平引与半周相减【不足半周的与半周相减，超过半周的减去半周】作为夹角，求得对着两心差的小角；再与前一个夹角相加，重新作为夹角，仍以半径和两心差为两边，求得对着半径的大角，作为半圆引数。其次以大半径为一率、小半径为二率、平圆引数的正切线为三率，求得四率为正切线；以实引减去平引，余数就是初均数。

译按照太阳躔度借积求积的方法仔细推算，最大差不过一十秒，比借角求角的方法更加精密。旧法推算朔望，只使用初均数；自刻白尔以来，奈端等人多次加以测验，认为太阳在最卑以后，太隂平行总是较慢，最高平行、正交平行总是较快；太阳在最高以后，太隂平行总是较快，最高平行、正交平行总是较慢。因此确定太阳处于中距时，太隂平行差为一十一分五十秒，最高平行差为一十九分五十六秒，正交平行差为九分三十秒；其中每一度的差，都以太阳中距均数与太阳逐度均数作为比例，名为一平均。大概太阳平行从子正开始随天左旋，运行一周又回到子正，这就是一日；月距日每日顺行一十二度余，最高每日顺行六分余，正交每日退行三分余，都随着太阳平行为运行度数，所以称为平行。而太隂二均产生于月距日的倍度，最高均产生于日距月最高的倍度，正交均产生于日距正交的倍度，都是按照太阳实际运行来计算的。太阳实际运行有盈缩，各种运行也随之有进退，这是由于太阳右旋造成的差异。太阳右旋多一度，左旋时刻的差异就提前一度，各种运行也随之提前一度。太阳右旋少一度，左旋时刻的差异就迟后一度，各种运行也随之迟后一度。这是由于太阳随天左旋的早晚而产生的差异。由于这两种原因，所以有一平均的方法。可是太隂一平均，只是由于左旋时刻差异的缘故；最高平均与正交正均，则兼有左旋、右旋两种差异的缘故。以太隂一平均来说，太隂二均产生于月距日的倍度，而月距日的度数，是把太隂实际运行减去太阳实际运行得到的。太阳右旋的度数差异增加，月距日的度数差异反而减少；太阳右旋的度数差异减少，月距日的度数差异反而增加。因此月距日的运行并不随太阳右旋的盈缩而进退。只是太阳左旋的时刻差一度，月距日的倍度已经差二度，太隂又随之差二度，于是平行就差四度。时刻差而提前时，运行差应当减去；时刻差而迟后时，运行差应当加上。但是差而提前一度，是太阳尚未到子正一度，应当加上一度的时刻差运行；差而迟后一度，是太阳已经超过子正一度，应当减去一度的时刻差运行。这就是三倍的时刻差运行。因此以一小时六十分为一率，以一小时月距日平行一千八百二十八秒六二为二率，以太阳中距均数一度五十六分一十三秒变时【每度变为四分，十五分变为一分，十五秒变为一秒】所得七分四十五秒为三率，求得四率为二百三十六秒二。○，乘以三得到七百零八秒六。收为一十一分四十九秒，作为太隂一平均。太阳均数应加时就减去，应减时就加上，这就是太阳实际运行到子正时的太隂平行度。至于最高平均与正交平均，最高均产生于日距月最高的倍度，正交均产生于日距正交的倍度；而日距月最高和日距正交的度数，是把太阳实际运行减去月最高和正交所得的。太阳右旋的度数增加而变多，相距的度数也增加；太阳右旋的度数减少而变少，相距的度数也减少。因此最高点和正交点的运行确实随太阳右旋的盈缩而进退。又太阳左旋的时刻差一度，日距月最高与日距正交的倍度已经相差二度，最高点与正交点又随之相差二度，于是最高点与正交点就相差四度。时刻差而提前时，运行差应当加上；时刻差而迟后时，运行差应当减去。而且最高均与正交均都随太阳运行的相距倍度而变化，太阳实际运行差一度，最高点与正交点也随之差一度的运行；太阳又加倍，差一度，最高点与正交点又随之差半度的运行。因此右旋、左旋的差异都是一倍半；尚未到子正时应当加上的时刻差运行，又是处在外层的差异。太隂在本天高卑处虽然没有初均数，但太阳在本天高卑前后仍有一平均；如果太阳也处在本天高卑处，就没有一平均了。自奈端以来又多次加以精密测量，认为日天最高与月天最高同度，或相距一百八十度，日月又同在最高、最卑处时，实际运行与平行合成一线，没有各种均数。太阳虽然处在最高、最卑处，但处在月天高卑前后时，平行总是较慢，到高卑后四十五度时停止；处在月天中距前后时，平行总是较快，到中距后四十五度时停止。然而积累的迟、速差异正好在四十五度处，而太阳处在最高与最卑时，其差异又各不相同。因此确定太阳在最高处，距月天高卑、中距后四十五度时，最大差为三分三十四秒；太阳在最卑处，距月天高卑、中距后四十五度时，最大差为三分五十六秒。高卑后应减，中距后应加；其中太阳距月最高每一度的差，都以半径与日距月最高倍度的正弦作为比例；太阳距地每一度的差，又以太阳高卑距地的立方与本日太阳距地的立方之比作为比例，名为二平均。大概太隂本天中心沿最高均轮周运行；日距月最高的倍度中，太阳处在月天高卑时，两心差大而椭圆面积小，所以平行较慢；太阳处在月天中距时，两心差小而椭圆面积大，所以平行较快。太阳距月天高卑、中距四十五度时，两心差和椭圆面积都正好适中。太隂平行原本就是以适中的数值计算的，所以其平行没有迟速。

译太阳经过两交以后，平行稍慢；经过大距以后，平行稍快。其最大差为四十七秒，名为三平均。大概白极位于正交均轮周上，旧法认为它运行月距日的倍度；自奈端以来，认为它运行日距正交的倍度。所以只有太阳处在两交与大距时，白极与均轮中心相对成一直线，平行没有加减。太阳在两交以后，白极位于均轮中心的东面，白道经圈经过黄道的部位也偏向东面；黄道旧防所对应的白道度数就偏向西面，所以平行应当减去而运行较慢。太阳在大距以后，白极位于均轮中心的西面，白道经圈经过黄道的部位也偏向西面；黄道旧防所对应的白道度数就偏向东面，所以平行应当加上而运行较快。这种差异只在数十秒之间，虽然不容易通过仰观天象得到，却确实可以用仪器和天象加以考察。旧法推算太隂两弦的运行度数，只有初均、二均；两弦前后才有三均。初均最大的数值为四度五十八分余，二均最大的数值为二度二十七分余，三均最大的数值为四十二分余。计算两弦前后的最大差，共不足八度。自噶西尼以来多次加以测验，认为两弦时太隂的运行度数只有初均、三均，而三均又不完全是由于两弦造成的。二均的最大值不在两弦，而在朔、弦、弦、望之间。初均最大的数值为七度三十九分三十四秒，二均最大的数值为三十七分一十一秒。计算两弦前后的最大差，共超过八度。这就是说，现在的二均固然兼有旧法二均、三均的含义，但数值又有所不同。大概太隂距离地面很近，它的运行最为显著；又二十七日有余便运行一周天，一个月之中具备太阳运行四时的轨道，极其参差不齐。古人只重视交食，所以朔望以外的情况置之不论。西人第谷首先创立二均、三均的方法，他的门人不断精密测量，又经过几十年才加以改定，那么这些数值必定确实有所依据，而不是凭空臆说。他的方法确定：太阳在最高处，朔望前后四十五度时，最大差为三十三分一十四秒；太阳位于最下方、朔望前后四十五度时，最大差为三十七分一十一秒。朔望以后为加，两弦以后为减。在这期间，月亮距太阳每一度的二均，就以半径与月亮距太阳倍度的正弦为比例。太阳距最高每一度的二均之差，又以太阳最高与最低时距地距离的立方之比，同本日太阳距地距离的立方之比为比例，与二平均相同。旧法推算朔望和两弦，都没有三均数，而三均中最大的总是在朔、弦、望之间，所以知道三均之差产生于月亮距太阳的倍度。自噶西尼以来，把朔、弦、望之间的最大差归属于二均；但月亮距太阳九十度与月亮最高距太阳最高九十度时，差值正好相等，月亮距太阳四十五度与月亮最高距太阳最高四十五度时，差值又相等，那么三均之差就不专门取决于月亮距太阳了。于是，在月亮距太阳与月亮最高距太阳最高合计为九十度时进行测量，其差值与月亮距太阳或月亮最高距太阳最高单独为九十度时相等；又在两者合计为四十五度时进行测量，其差值与月亮距太阳或月亮最高距太阳最高单独为四十五度时相等，这才知道三均之差产生于月亮距太阳与月亮最高距太阳最高的总度数，在半周以内为加，半周以外为减。九十度与二百七十度时的最大差为二分二十五秒，其间每一度的差值以半径与总度数的正弦为比例，这样三均的法则就确定了。然而，必须是日月最高同度，或者日月同度；两者只有一种相距之差，才只有三均。如果月亮最高与太阳最高之间有相距的度数，日月之间又有相距的度数，那么除三均以外，朔以后还会出现差而迟，望以后还会出现差而速。等到月亮最高距太阳最高九十度、月亮距太阳也九十度时，反而没有三均而差值最大，所以知道三均以外还有末均。于是把月亮最高距太阳最高的九十度分为九限，在月亮距太阳九十度时分别测量；两最高相距九十度时差为三分，逐渐接近则逐渐减小。其间月亮距太阳每一度的末均之差，都以半径与月亮距太阳的正弦为比例，朔以后为减，望以后为加。这样，推算太阴经度的方法就纤细完备了。现在考察其测量结果，较小的数值只在秒分之间，而且这种情况几十年也未必遇到一次；然而其用意精密周详，学者如果通晓这些，哪里还担心推测没有方法呢？御制《历象考成后编》论交均及黄白大距。正交的运行有迟有疾，是由于黄白大距有大小。旧法规定，朔望时交角最小为四度五十八分三十秒，两弦时交角最大为五度一十七分三十秒，两种距度相差一十九分，交均最大为一度四十六分零八秒。自奈端、噶西尼以来，认为太阳在两交时交角最大为五度一十七分二十秒，太阳距交九十度时交角最小为四度五十九分三十五秒，两种距度相差一十七分四十五秒。朔望以后交角又有加分，因太阳距交与月亮距太阳逐渐远离而逐渐增大；到太阳距交九十度、月亮距太阳也九十度时，加二分四十三秒，交均最大为一度二十九分四十二秒，这些都与旧法不同。然而，历家测量黄白二距，必定在月亮距交九十度时进行。月亮距交九十度而适逢朔望，那么太阳距交也九十度；这就是现在所谓太阳距交九十度时交角小，与朔望时交角小的意义相同。月亮距交九十度而适逢两弦，那么太阳必定在两交；这就是现在所谓太阳在两交时交角大，与两弦时交角大的意义相同。只是太阳在两交而又适逢朔望时，交角关系到食分的深浅；太阳距交九十度而又适逢两弦时，加分关系到距纬的远近。这必须通过实际测量来验证；古今确实有不同之处，参照考察经纬数据，才形成一家之言，并不是轻率地加以改定。至于推算的方法，以五十九为边，以总数五十六为边较，求得黄极之角作为交均；以太阳距交、月亮距太阳的余弦比例求得加分，与最小交角相加便成为大距，也与旧法不同。由于这种方法容易计算，所以近来的西方人士都采用它。《皇朝文献通考》卷二百五十七