卷七　学术七测算上

译卷七 学术七 测算上

算学撷取精华百篇

任测：想要测定一颗恒星的北极出地高度，方法是什么？

汪凤藻

* 图略

如图所示，甲己乙丙为子午圈。甲乙为地平圈，丙为天顶，丁为所求的北极，那么戊己为赤道。任意测量一颗恒星如子星，想要确定北极高出地平的角度，方法如下：先测得子星的赤道北纬度（子庚）、星距午线的赤道经度（戊庚）以及子星的高度（子辛）。然后取丁子丙斜弧三角形，使用垂弧法作子丑垂弧。如果高弧与地平圈的交点靠近子星，则垂弧在三角形内部，北极出地高度较小；如果交点靠近午点，则垂弧在三角形外部，北极出地高度较大。将原三角形分为丁子丑、子丑丙两个直角弧三角形。已知丁子弧为象限减去北纬，丙弧为象限减去高度，角为戊庚赤经度，以及丑角为直角。先求出子丑垂弧，再求出丁丑弧和丑丙弧，两者相加得到丁丙弧，用象限（丙甲）减去丁丙，剩余的丁甲弧即为所求的北极出地高度。

金星二百二十又五日绕日一周。某日金星与地球同处一行，试推算需要等待多少天金星再次与地球同处一行？

蔡锡勇

答曰：“五百八十四日，又五分日之二。”

按：金星绕日一周的时间，是地球绕日一周时间的八分之五，由此建立比例关系。

一率：八分之五

二率：三百六十五又四分之一日

三率：一

四率：五百八十四又五分之二日

地球距离太阳一万二千倍地球直径，求地球所受阳光热量占太阳总辐射量的几分之几？

马呈忠

答曰：“二十三亿零四百万分之一。”

方法是用天球面积除以地球面积，即可得出。

* 算式略

以地球直径为一单位，太阳直径为一百零六单位，太阳距离地球一万二千单位，月球距离地球三十单位。当月食发生时，推算地球影子尖端距离月球有多远？

贵荣

答曰：八十四又七分之二。

* 图略

如图所示，甲乙为太阳直径，丁戊为地球直径，壬辛为月球直径，丙己为太阳距离地球一万二千单位，两中心相距己子；月球距离地球三十单位，两中心相距己丑。由此建立等量关系。

* 算式略

求得己丑为一百一十四又一百零五分之三十，约简后得一百一十四又七分之二，减去己子（月球距离地球三十），剩余子丑为八十四又七分之二，即为地球影子尖端距离月球的度数。

已知月球与地球的距离，测量日食时的东西视差，以此推算太阳与地球的距离，方法是什么？

杨兆蓥

* 图略

如图所示，甲乙为地面两个观测点，丙为月球中心。在甲地观测到月球在日面，丑为观测者；在乙地观测到月球在日面。方法如下：先测量两地月球经过太阳面出入的时刻，将两地时刻之差转化为角度，量得子甲丑或子乙丑为视差角。又通过甲乙两地的距离弧求得通弦甲乙，而甲丙等于乙丙，均为地面到月球中心的距离，因此构成甲乙丙三角形。已知三边求得丙角，用半周角减去丙角得到甲丙子角。既然得到了甲丙子角，就可以得到丙子甲角。于是以子角的正弦与甲角的正弦之比，等于甲丙（月球距离地球）与丙子（月球距离太阳）之比，求得丙子加上乙丙，即为太阳与地球的距离。

测量月球与地球距离的方法是什么？

王宗福

* 图略

如图所示，子为月球，甲为地面观测点，心为地心，心子甲角为视差，乙为天顶，子甲乙角为月球距天顶角，其外角为子甲心角方法。利用心甲子三角形，已知三个角及甲心边（地球半径），求得子心边，即为月球与地球两中心的距离。

太阳和月球的视直径相等，用什么方法测量它们的真实直径？

徐广坤

方法是以半径为一率，地心到日月中心的距离为二率，视角（即从地心观察日月，以日月半径为对边的角）的正弦为三率，求得四率，将其加倍，即为日月的真实直径。

* 图略

如图所示，甲为日心，甲丙为日半径，乙为己心，乙甲为地心到日心的距离。从乙观察甲，构成甲乙丙三角形，乙角可测量而知，丙为直角，求甲丙边有如下比例：

一率：半径

二率：乙角正弦

三率：甲乙边

四率：甲丙边

求得甲丙为太阳的真实半径，加倍后得到太阳直径。测量月球同理。

关于设置闰月的方法与道理，请详细论述。

陈寿田

考察闰月，是因为日月运行速度不齐，圣人设立四季中星来测定，用璇玑玉衡来协调，职责就在于此，这是参赞天地化育之道、调和四时之理，不可不慎重。大抵其方法是以岁实三百六十五日四分之一，太阳每天运行天一度，太阴每天运行天十三度十九分度之七，以此确定三年一闰，五年再闰，十九年七闰的万古不变之理。现在用方法计算，将每天太阳运行一度与月亮运行十三度十九分度之七相减，余数十二度十九分度之七为一日月亮距离太阳的度数，用通分法通分为二百三十五分为法，以周天三百六十五又四分之一度亦通分为六千九百三十九分，小余七十五为实，以法除实，得二十九日，二百三十五分日之一百二十四，小余七十五，约为二十九日，九百四十分日之四。

译以一百九十九又九百四十分之七十五作为朔策。于是用每年的三百六十日与岁实三百六十五日又四分之一日相减，余下五日又四分之一日，通算为五日又九百四十分之二百三十五日，这是一年的气盈。用朔策二十九日又九百四十分之四百九十九与三十日相减，余下九百四十分之四百四十一日，这是一月的朔虚。用十二去乘它，得到五千二百九十二分，用九百四十分去收它，得到五日又九百四十分之五百九十二日，这是一年的朔虚。于是将一年的气盈和朔虚日数合并，得到十日又九百四十分之八百二十七，这就是一年的闰率，依次累加得到每年的闰率，观察哪一年哪个月没有中气，就可以确定闰月了。这就是置闰的方法。至于其中的道理，乃是气盈和朔虚积累而成的。什么叫做气盈？气指中气，盈指有余。朔指月亮与太阳会合，月光耗尽而后恢复。虚指不足。一年有十二个月，每月有三十日，三百六十日，是一年的常数。太阳在黄道运行一周，太阳与天会合，则是三百六十五日五时三刻三分有余，比常数多出五日五时三刻三分有余，这叫做气盈。这里用时刻分与前文一样以周日分来计算，得到前述方法中的气盈；月亮与太阳会合，一个月则是二十九日十二时二刻十二分有余。如果十二次会合，则是三百五十四日三刻三分有余，比常数少五日十五时十一分有余，这叫做朔虚。因此置闰，必须以气盈和朔虚为主。然而为什么三年一闰？因为还不足以完全容纳余分，五年再闰，则又太过。必须到十九年七闰，其闰余已经足够朔策的七倍，那么气数分齐，才称为一章。它的数目有常而不变，这都是以平气来说的。如今节气和合朔，都是日常使用的实气，以没有中气的月份为闰月。凡是闰月必定对应一个节气，太阳有盈缩，月亮有迟疾，其节气和合朔有进退，所以置闰的远近，与平气相比又有参差。然而到了十九年，那么盈缩迟疾已经过了数周，合并计算，实气与平气的数目也能大致吻合了。

译求半球体的重心

王锺祥

* 图略

如图所示，子丑寅为半球体，作出丑子、丑寅两条线，构成丑子寅圆锥形，取丑辰的四分之一处午点作为圆锥的重心。既然已经求得圆锥的重心，用反比例法计算，即可得到半球体的重心，比例关系如下。

一率 半球体积

二率 圆锥体积

三率 圆锥重心

四率 半球体重心

求半周有质弧线的重心

王宗福

* 图略

如图所示，甲丙乙为半周。有质量的弧线，丙心为半径。半径自乘，除以象限周长，得到重心与圆心之间的距离。丁心，丁点，即为重心。

* 算式略

有一个半圆面被截去一部分，六十度的截线与圆直径垂直，求剩余部分的面积重心。

王宗福

* 图略

如图所示，甲丙乙为半圆面，丙乙为六十度，丙丁垂直，甲乙为直径，求甲丙丁剩余部分的面积重心。先作出圆心丙的半径，将剩余部分分为甲心丙、丙心丁两部分。丙心丁直角三角形的短直角边为半径的一半，求得丙心丁部分的重心为卯。再求得半圆重心比例，得到一百二十度，甲心丙面积部分的重心如子。作出子卯线，甲丁丙面积与丙心丁面积之比，如同子卯与子丑之比，丑即为所求的重心。

有一块端砚，长一尺，宽五寸，厚二寸，凿出一个圆池，距离三边各五分，深一寸二分，求重心距离各边多少。

博勒洪武

* 图略

如图所示，甲乙丙丁为砚台，丙戊庚丁，甲乙庚戊两个正方形相等。壬子为圆池，圆池距离丙戊、丙丁、丁庚三边均为五分。方法先求得壬子面积与丙戊庚丁面积相减，余数为三二四。八甲乙戊庚面积也为五十平方寸，则有比例如下。

一率 总体积

二率 总长度

三率 丙戊庚丁剩余面积三二四八

四率 丁心一九

求得丁心一九后，距离甲乙边三寸四分多，距离丙丁边六寸六分，距离甲丙、乙丁均为二寸五分。

有一根杠杆长二十七尺，用一百斤的人力，想要移动一千二百五十斤的石头，试推算支点应该在哪里？

杜法孟

答曰：距离石头二尺以内

* 图略

方法是将力与重相加作为一率，杆长作为二率，力作为三率，求得四率，即得支点位置。

有四个铁锤，其重量分别为三、四、五、六之数，依次悬挂在直杆上，每两个锤相距一尺，试求固定点。

杨兆鋆

* 图略

如图所示，甲乙丙为直角三角形面，取甲乙直角边的三分之一于丁，甲丙另一直角边的三分之一于戊，分别作垂线丁己、戊庚，交点“心”即为直角三角形面的重心切心点。垂直于乙丙作线，辛壬作辛点为合力弦水平地平之点。而戊辛等于甲丁，戊心辛与原图形同式，故比例如：直角边与戊心，直角边三分之一相乘，除以另一直角边得戊辛，加上戊丙得辛丙，大分减去甲戊得甲辛，小分。另一种方法用心庚己形求解，有等式。

* 算式略

求得辛丙，即大分减去；另一直角边得小分。

有一个直角边为八、另一直角边为十五的直角三角形面，在斜边上取两点悬挂它。使一直角边水平如地平，另一直角边水平如地平，其方法如何？

席淦

* 图略

如图所示，先求直角三角形重心。甲自甲作直角三角形的垂线，延长至悬挂斜边于丙、辛两点，则直角三角形合地平。丙己为斜边的三分之一，辛己为斜边的三分之二。为什么呢？甲丁为庚丁的三分之二，乙丁必为戊丁的三分之二。丙乙与戊己平行，丙丁必为己丁的三分之二，而丙己必为三分之一。又己甲为己癸的三分之二，己壬必为己戊的三分之二。辛壬与丁戊平行，则辛己必为乙己的三分之二。丙己五六六六六，辛己一一三三三四。

有一个膛径为一尺五寸的火炮，如果铁比水重八倍，求其炮弹重量如何？

贵荣

方法是以方圆边线相等，体积不同。定率立方一·九九八五九三一七为一率，球体积一为二率，膛径以一·五自乘再乘，得三·三七五为三率，求得四率一·七六七寸又一·九九八五九三一七之二·七八五八六八六一为球体积。再以水每立方尺率七十六斤化为一千二百一十六两，以一千方寸除之，得每立方寸十二线又二十五分之四，乘以球体积得二一二四，再八倍之得一六九六七二，以十六除之，得一千六百斤多，即为炮弹重量。

有炮弹向上垂直发射，二十秒后才落下，求其升高多少，并作图说明其理。

文续

答曰：一千六百尺

方法是将二十秒折半，自乘，得一百，以第一秒所过的路程十六尺乘之，得一千六百尺，即为所求的高度。

* 图略

如图所示，甲乙丙三角形。甲乙等纵线代表时间，乙丙等横线代表速度。十秒内所过的路程，即为甲乙丙三角形面积。

有物体下落，数秒后，最后一秒的路程为全程的三分之一

译，试着求出它的秒数。

当时永清

回答说：七秒又 一七八二

二的平方根为一四一四，二的立方根为一六四三，一与两的根数相比为二二八九，于是存在比例关系。

译一率：两根之差；二率：二又二八九。

二率：三方根一六四三一。

三率：一秒。

四率：七秒又一七八二。

* 图略

如图，甲乙丙为全程；甲丁戊的面积占三分之二，戊丁乙丙的面积占三分之一。甲乙为共用时间，丁乙为一秒。甲乙丙的面积与甲丁戊的面积之比，如同三与二之比。甲乙丙的面积与甲丁戊的面积之比，又如同甲乙的平方与甲丁的平方之比，即三与二之比。若甲乙的平方与甲丁的平方之比，也就是三方根与二方根之比。若甲乙与甲丁之比，故三方根与二方根之差与三方根之比。若甲乙与甲丁之差，即丁乙一秒与甲乙共用时间之比。

有一最远界限二十里，移至高山顶，高出平地四十里，向下测量一敌营，须用四十五度方向方能到达，求营距离多远？

王宗福

答曰：四十里。

* 图略

如图，甲为甲，壬为四十五度方向，未为抛物线顶点，甲辛即山高，丁为敌营。未五与丙未方一百之比。若未加己，丁四五与己未方九百之比，得己三十，即得甲己（即辛丁）距离四十里。

今有台长六百九十七尺，对面有敌国兵船，从此端观看，成角八十四度四十分；从彼端观看，成角八十六度三十分。求船距两端及台与船最近之处各相距多少。

杨枢

答曰：“船距此端四千五百三十一尺，距彼端四千五百一十九尺。台与船最近之处相距四千五十尺。”

* 图略

先求乙角之法，以丙角八十四度四十分与丁角八十四度三十分相加，以半周一百八十度减去，余八度五十分，为乙角的度数。

次求乙丁边：

一率，乙角正弦，九、一八六二八一。

二率，丙丁边，二八四三二三。

三率，丙角正弦，九九九八一一。

四率，乙丁边，三六五五六。

查表得乙丁边四千五百一十九尺。

次求乙丙边：

一率，乙角正弦，九、一八六二三。

二率，丙丁边，二八四三二。

三率，丁角正弦，九九九九一八。

四率，乙丙边，三六五六一三。

查表得乙丙边四千五百三十一尺。

末求乙戊中垂线：

一率，半径，一0000000。

二率，丙角正弦，九九九八一一。

三率，乙丙边，三六五六一九。

四率，乙戊垂线，三六五四三0。

查表得四千五百一十一尺，即台与船最近之处。

今有兄弟三家，欲掘井使距离各家相等。甲乙相距二十丈，乙丙相距二十二丈，丙甲相距二十四丈。试推井应在何处？与距各家之远近如何？

左秉隆

答曰：“井与各家相距十二丈五尺有余。”

* 图略

如图，以甲丙为一率，甲乙与乙丙之和为二率，甲乙与乙丙之差为三率，求得四率为底边之差，三丈五尺与甲丙相减，取一半为勾，以甲乙为弦，求得股十七丈四余，为甲乙丙三角形之中垂线。再以中垂线为一率，甲乙为二率，乙为三率，求得四率二十五丈有余为圆直径，取一半为井，即与各家相距之数。

今有弧矢田，试作一界线，平分为二分。

杜法孟

* 图略

如图，丙乙甲为弧矢田。先作乙甲直线，自乙弧折半丁点至壬，作丁壬小弧。自壬至丙作壬丙线，以丁、壬、丙（为界）（乙）即分弧矢田为两平分。

解曰：丁壬甲等于丁壬乙，自壬与乙丙平行，作壬戊线；与甲丙平行，作壬辛线，则形成壬戊甲、壬戊丙、辛壬乙、辛丙四句股形等式等积。甲丙、乙丙皆得二句股积，故相等。

又解曰：丁壬甲等于丁壬乙、甲丙、乙丙二三角形，其底相等，甲壬等于乙壬，其高又相等，同以壬丙为高，故其面积相等。

弧矢形内求作相切二圆，其圆心俱在弧背，其圆周俱切弦，其法如何？

杨兆鋆

* 图略

法自大圆心作心甲，半径取甲点，作戊辛之垂线甲丙，以甲为圆心，甲乙为半径作圆，乙即甲圆周切弦之一点。延长甲丙线至丁，作丁甲半径，甲即甲圆心切弦之一点。自丁到戊作丁戊线，割甲圆周于己，即为二圆切点，乃作甲己线，延长至弧背得庚点，即为庚圆心，以己为半径作圆，其切弦点为壬，即丁线交弦之点也。

三角内求作相等相切六圆

懿善

* 图略

平分三边形之三边，于

译一、二、三构成乙一丙，两条直径的三条中垂线相交于丁。平分角丁甲，作角平分线交丁一线于子。以丁为圆心，以丁子为半径，在三、二两线上截取，分别交于丑和寅。那么丑、子、寅即为所求的三个圆心，而子一为其半径。如果过子点作一条与甲丙边平行的线，交甲三、丙二两线于卯、辰。再从卯、辰分别作与甲乙、乙丙两线平行的线，则又得到三个圆心。

译有长椭圆体与圆锥体，椭圆体的短径等于圆锥体的底径，长径等于圆锥体的高，这两个几何体的体积之和等于等底等高的圆柱体体积，试解释其中的道理。

蔡锡勇

* 图略

如图所示，甲乙丙丁为圆柱体的体积，其长度甲乙、戊己丙丁均相同，即戊己庚辛椭圆体的长径，戊己丁为圆锥体的高。其宽度甲丙、庚辛乙丁均相同，即椭圆体的短径，圆锥体的底径。浑圆球体原本等于同直径圆柱体体积的三分之二，圆锥体等于三分之一，椭圆体也是如此。现在以甲丙短径求得甲壬丙癸圆形面积，乘以甲乙得到圆柱体体积，将其除以三得到戊庚辛半椭圆体体积，也等于戊乙丁圆锥体体积。那么戊庚己辛整个椭圆体体积，必然等于圆柱体体积的三分之二，戊乙丁圆锥体体积必然等于圆柱体体积的三分之一，所以两者相加即等于圆柱体体积。

在大球截得的球缺内部，求能容纳的三个相等且相切的小球。

蔡兆熊

* 图略

如图所示，子辰午为大球，截得的子午部分为球缺，通弦己午为正弦，取丑未为已午的两倍作丑未，构成寅等边三角形。其中垂线寅己，延长己申至卯。现在申卯等于己申的一半，以卯为圆心，寅为半径，截辰卯线于酉，则酉己为小球的直径。然后在球缺的平面圆面上，以圆心己为圆心，酉己为边长作等边三角形，其三个顶点即为小球的切点。

又如图所示，设三个小球，球心分别为乙、丙、甲，作三条线相连，构成乙甲丙等边三角形，其中心为戊，丁为大球球心，作丁、戊、丁丙连线，构成戊丙丁直角三角形，于是设立小球半径为未知数，用代数方法求解。

* 算式略

根据公式，是三正弦的平方，正弦上方大矢为长宽之差，开四次方，得到小球半径。三大矢为长宽之差，开一次方，为小球直径。寅己的平方乘以三，加上午己的平方，己卯为差的一半，得到酉己即为小球直径。

六面体内接八面体，这两个几何体的体积比例如何？

汪凤藻

* 图略

如图所示，甲乙为正六面体，先求作内接的八面体。方法是取子乙、乙丑、丑卯、卯子四个面的中心，即丙、丁、戊、己四点。作丙己、已戊、戊丁、丁丙四条线，构成丙戊直角四边形，即内接八面体半个锥体的底面。接着取子丑、乙卯两个面的中心，即庚、辛两点，作庚丙、庚丁、庚己、庚戊，以及辛戊、辛丁、辛己、辛丙共八条线，构成庚辛丁己八面体，其六个角均与六面体的面心相切。想要明确两个几何体的比例，设六面体的一边长为甲，八面体的一边长为乙，用数字来说明。

* 算式略

不等面立体三角形，求其重心的方法如何？

汪凤藻

方法是任意取一个面作为底面，求出其重心点，从此点到顶角作连线，必然经过立体三角形的重心，再取另一个面同样方法作图，得到两条线的交点，即为所求的重心。按照这个标准，从底面取重心线的四分之一处，即为重心。

现在有正圆球三个，角垛共有十个球，球直径为一尺，求垛顶到平面的高度是多少？

杜法孟

答曰：二尺六寸三分强

* 图略

方法是从上层一球与中层三球、四球的球心作六条线，构成六边形，边长与球直径相等。以一边为弦，半边为勾，求得股为每一条线的中垂线。又以一边为弦，中垂线的三分之二，即分角线为勾，求得股为六边形从尖端到底部中心的垂直线。将其加倍并加上球直径，即为垛顶到平面的高度。

如图所示，子丑辰卯己午未寅酉申为十个球，子为上层，辰丑卯为中层，已午未寅酉申为下层。试着从子辰、丑卯四个球心作甲乙丙丁六边形，棱角六角平铺，则面也有四个。如壬辛各构成一个等边三角形。试着以乙丙丁一面为底，取乙丙一边为斜边，丁丙一边折半为勾，求得乙戊股为底面的中垂线。又以甲丙一边为斜边，己丙中垂线的三分之二为勾，求得甲己股为从尖端到底部中心的垂直线，即六边形的高，也就是上层球心到中层球心的高度，也是中层球心到下层球心的高度。所以将其加倍，加上上下两个半径，得到垛顶到平面的高度。

另一种方法，以两倍球直径为边长，作六边形，如前法求得垂直线，加上球直径即得，如前图，甲乙边长加倍，则甲己垂直线必然加倍，所以加上球直径即得。

另一种方法，将每边自乘，除以三乘以二，开平方，即得到从尖端到底部中心的垂直线。如前图，戊丙为甲丙线的二分之一，则戊丙的平方为甲丙平方的四分之一，甲戊的平方必然为甲丙平方的四分之三，也就是十二分之九。又己戊线为甲戊线的三分之一，则己戊的平方为甲戊平方的九分之一，甲己的平方必然为甲戊平方的九分之八，也就是甲丙平方的十二分之八，即甲丙平方的三分之二。所以将每边自乘，除以三乘以二，开平方得到垂直线。

现在有官府依照平方数招募士兵，第一天边长为四尺，以后每天增加二尺，每人

译每日供给银一两二钱，已经支用银二万六千零四十两，推算招募了多少天？已经招募了多少士兵？

译黎子祥

答曰：共招十四日。

招兵四千九百五十六名。

* 算式略

瓜和豆在同一天发芽，长出藤蔓。瓜蔓第一天长一尺六寸，以后每天增长的长度依次减半；豆蔓第一天长一寸，以后每天增长的长度依次增加一半。两条藤蔓在第几天长度相等？

蔡锡勇

答曰：第五日。

解曰：这就是连比例率。将瓜蔓第一天增长的长度设为末率，豆蔓第一天增长的长度设为首率，求得若干率数，即两蔓长度相等。天数用代数来阐明。

* 算式略

由此可知，未之指数，必定比层数减一，将层数赋予天元，则末率恒为●。即●依据代数的原理，上式可变为●为首率，1的对数等于2的对数，用103去除瓜蔓第一天增长长度一尺六寸的对数4021，得4，加1得5，即为相等的天数。

有平句有明股，求圆径。

长秀

* 算式略

有边股有平句，股较求圆径。

廷铎

* 算式略

有底句有明股，求圆径。

长秀

* 算式略

有底弦较和，有高句股较，求圆径

辛泽贤

* 算式略

有断句股较有，大弦和和，求圆径。

联印

* 算式略

有明弦有底句，求圆径。

斌衡

* 算式略

有明句有平弦，求圆径。

巴克他讷

* 算式略

有平句股较有，弦求圆径。

李逢春

* 算式略

有底弦和较有，句弦较，求圆径。

左庚

* 算式略

有断句，股较有句，弦较，求圆径。

韩常泰

* 算式略

有断句股较有，明弦较较，求圆径。

王镇贤

* 算式略

有大差弦和较，有断句股较，求

任敬和

* 算式略

有断句股较有，大弦和和，求

王锺祥

* 算式略

有股弦较有，明句弦较，求

王镇贤

* 算式略

有虚句股和有，大中垂线，求

赓善

* 算式略

有容方边有[]句股较，求

王镇贤

* 算式略

有圆城，甲从北门出来，向东走二百步站立。乙从南门出来，直行，回望看见甲与城墙参相直，又斜行走到甲处，共走了五百六十步。求城的直径是多少？

廷俊

答曰：二百四十步。

设立天元一为半径，加倍即为大弦和较。甲行走的路程等于底句，乙总共行走的路程等于底弦。明股和底句内减去天元，得甲[元]为大股弦较。两个底弦明股和内减去两个底句，得「」为二明三事和，也就是二大句弦较。用「乘大股弦较，得「寄左。另外用大弦和较自乘，得元「为同数，与左边相消，得二「」。开方得半径，加倍即为全径。

* 算式略

二明股弦较等于虚弦和较，尝试作图解释。

陈寿田

* 图略

如图所示，甲乙丙为明句股，卯丙午为虚句股。尝试从图心己到切点作己戊线。癸午与午戊相等，丙乙与丙戊相等，那么丙午虚弦与丙乙午癸之和相等。加上卯丙午卯虚句股和，得到卯乙卯癸之和为虚和和，与乙丑相等。尝试取丁点，令甲丁等于明弦，那么乙丁为明股弦较。因为甲己与甲午相等，甲丁、甲丙同为明弦。用甲己减去甲丁，得丁己；用甲午减去甲丙，得丙午为虚弦。依据显见丁己也为虚弦。再取己子，令其与丁己相等，那么子丑也为明股弦较，与乙丁必定相等。丁子必定为二虚弦。用乙丑虚和和减去它，得到乙丁、子丑二者的虚弦和较，也就是二明股弦较。所以二明股弦较等于虚弦和较。

虚句弦较，等于句股较，尝试作图解释。

英铎

* 图略

如图所示，子丑为虚句，丁戊为弦。将子丑与丑戊句相加，得到子戊为平句。将丁戊与地丁股相加，得到地戊也为平句。尝试在子戊平句内减去丁戊弦，剩余必定等于地丁弦。再在地丁股内减去[丑戊]句，剩余即为句股较。

大股内减边弦，等于平句股较，尝试作图解释。

陈寿田

* 图略

如图所示，戊为圆心，甲乙为大股，作丁戊线并与丑戊正交，戊丁丙为平句股，甲丁壬为边句股，甲为边，弦丙丁为平句，丙戊为平股与丙乙相等，那么丁乙即为平句股较，用甲乙减去甲丁得丁乙，即平较，所以大股减去边弦等于平句股较。

大股内减平句，股较等于边股平

懿善

* 图略

如图所示，甲乙丙为大句股，甲己丁为边句股，丁戊丙为平句股，甲乙为大股，甲己为边股，丁戊

译平股，己乙等取己。庚如丙戊作为平句，在己乙平股中减去己庚平句，即得庚乙平句股较，因此在甲乙大股中减去庚乙平句股较，等于甲己边股加上己庚平句。

句股和减去内减，虚股弦较等于弦。试着作图解。

译承霖

* 图略

如图所示，庚、壬、丙为半径，是股的平方，勾股形的弦则是庚己虚弦，己丙为弦和，其股则是庚戊虚股，戊壬为股和，其股与弦的差必定等于虚股与弦的差，股与弦的差之和而丁辛、乙辛同为半径，则平的股与弦的差又等于勾，依据勾股定理，和较小差相加为勾，则虚股与弦的差必定等于弦和的差，勾股和减去弦和的差，即虚小差因此相等，于弦。

证明股与勾相乘，等于虚勾股积。试阐述其道理。

王宗福

* 图略

如图所示，甲子己为大勾股，外部的丙天丁为虚勾股。现在从圆心作甲己的垂线，心地则丙地相等，丙辰；证明句地丁相等，丁戊；股天辰内部减去天丙虚勾，剩余为半虚差和。天戊内部减去天丁虚股，剩余为半虚差差。因为天辰、天戊均为半虚和和，所以按照差差乘差和等于二直积。则明句的半虚差和乘股的半虚差差，必定等于虚勾股积。只是明句乘股原本等于勾乘明股，所以明股与勾相乘等于虚勾股积。

高股乘平勾，等于明股弦和乘勾弦和。试作图解释。

胡玉麟

* 图略

如图所示，甲乙丙为大勾股，乙丁容纳圆方，从圆心到切点作戊己线，正交甲丙，那么辛己戊为高勾股，戊己庚为平勾股。以半径为勾，半径为股，所以己癸相等，癸寅、己子相等，子丑。那么辛己高股为明句弦和，己庚平勾即为股弦和，所以明句弦和，高股与勾弦和的比例，如同明股弦和与股弦和，平勾的比例。

大差勾乘小差勾，等于虚勾乘大股，也等于边股乘倍股。试作图解释。

胡玉麟

* 图略

如图所示，甲乙丙为大勾股，乙丁容纳圆方戊辰丙底勾股，癸午丙平勾股，子寅大差勾，己丑小差股。从圆心到切点作甲丙正交线，辛壬，那么戊壬辛为高勾股，辛壬癸为平勾股。以半径为勾，半径为股。所以壬癸等于丙午，壬丙即等于丙辰。那么戊丙底弦减去壬丙底勾，剩余戊壬等于甲庚，庚乙原本等于戊辰，那么甲乙大股即为底弦差和。又壬己等于己未，子壬即等于子卯。作己申线与丙乙平行，作子西线与丁丑平行，那么戊申等于戊壬，申辰即为底弦和差，等于申辰的己丑也为弦和差，子西癸也为平勾股。辛未等于丁未，那么未癸为平股弦差，未西即为平弦和差，等于未西的丁子也为其弦和差。夫寅丁全径原本为二平股内减去丁子平弦和差，那么子寅大差勾即平弦差和也。所以平弦差和大差勾与底弦差和大股的比例，如同平弦和差虚勾与底弦和差小差股的比例。

又壬子相等，子卯寅亥相等，寅卯甲壬即相等，甲亥则壬癸即为边股弦差。壬癸原本相等，癸酉则酉亥即为边弦和差。等于酉亥的子寅，也为其弦和差。又壬己原本相等，己未丑辰原本相等，丑未二壬丙即小差三事和各减去己丙小差弦[余]二己，壬股即小差弦和差。所以边弦和差，大差勾与小差弦和差[二股]的比例如同边股与小差股的比例。

弦和差乘弦和，和等于二直积，试作图解明其道理。

汪远焜

* 图略

如图所示，甲乙丙勾股形，以弦勾为半径，各作圆，引长乙丙股到己及丁末，作甲己、甲戊两条直线，那么形成甲丙己、甲丙戊大小两个同式勾股形。丁戊小勾股差，本形弦和差与甲丙[小股]本形勾的比例，如同丙壬、丙己内减去等丙戊的己壬，即得到大小两个勾股差和，本形二股与甲丙、丙己大小两股和，本形弦和和的比例。所以弦和差乘弦和和等于二直积。

中垂线乘弦等于圆径乘半和，试图解明其道理。

贵荣

* 图略

如图所示，甲乙丙勾股形，甲壬勾弦差，癸丙股弦差，壬癸为弦和差方，即圆径方。依据乙丁中垂线，平行作甲午、丙己两条线。其次依据甲丙平行作戊己线，连接它们，那么戊丙为中垂线乘弦。移动甲乙戊到丙庚辛，移动丙乙己到甲庚辛。戊丙中垂线乘弦，必定等于辛乙勾股直积。除去甲癸矩形不动外，移动子癸股弦差乘弦和差到癸丑。将辛寅股弦差乘勾弦差，改为甲卯弦和差半方，那么卯丑圆径乘半和。辰丑弦和差，即圆径，也等于辛乙勾股直积。卯丑与戊丙既然各自等于勾股直积，那么两个矩形应当没有不等的。所以中垂线乘弦等于容纳圆径乘半和。

三事和，乘边线，差等于圆径，乘边线，和。试图解，明其道理。

王锺祥

* 图略

如图所示，甲乙丙勾股形，乙丁中垂线，乙己、戊均为方边，从己作乙丁、丁丙的垂线，己庚、己辛，形成乙庚、己戊、辛己两个勾股形，

译这与本句的股形同式，都以方边作为弦，那么这两个图形必然相等。既然庚己相等，己辛也相等，庚丁则是乙、庚、己三者的和，即等于边线的和，而边线的差就等于弦的和差，所以大三事和与小弦和差相乘，等于小三事和，也就是边线的和与大弦和差，即圆的直径相未。

译句乘弦较，较等于三事和；乘股弦较，试作图，明其理。

贵荣

* 图略

如图，甲乙丙为直角三角形，以斜边为半径，作丙戊己丁圆。从丙角作丙丁及丙戊两条线，形成丁乙丙及丙乙戊两个大小相同的相似直角三角形。为什么呢？试着延长丙乙，作丙己线。丙己垂直平分丁戊，直至圆周。戊己弧等于戊丙弧，丁己弧等于丙丁弧。小三角形丙角所对的戊己弧，与大三角形丁角所对的戊丙弧相等。小三角形戊角所对的丁丙弧，与大三角形丙角所对的丁己弧相等。其余两个乙角，又都是直角。所以，相似的大直角三角形原形的勾，与大直角三角形原形三边之和的比，等于小直角三角形原形的股弦差，与小直角三角形原形弦较之差的比。

句弦和、乘弦和，较等于弦较；较乘股，试作图，明其理。

贵荣

* 图略

如图，甲乙丙为直角三角形。丁乙为弦和之差，丁戊为其平方，戊丙为股弦差，戊己为其两倍，乙己为弦较之差，甲丁为句弦差，甲己矩形为弦较之差乘以股，除去甲戊矩形不动，外试将庚辛两个股弦差乘以句弦差的矩形改为戊壬弦和之差的平方，再移动辛己两个股弦差乘以弦和之差的矩形补于壬癸，形成一个甲癸的积，其长即为句弦和，其宽即为弦和之差，与原积甲己的积必然相等。

倍股乘股弦差，等于弦和之差乘弦较之差。试作图，明其理。

杜法孟

* 图略

如图，甲乙丙为直角三角形，丙子为股弦差，丙丁为其平方，丙戊为勾，丙己为其平方，戊子为弦和之差，戊庚丁，曲折形为弦和之差乘弦较之差，丁辛壬曲折形为倍股乘股弦差，两形的积相等。试着各加一个丙丁正方形，则子辛壬为股弦差乘股弦和，丙己为勾的平方，其积原本相等。现在各减去一个丙丁正方形，其积仍然相等。

句弦差乘倍股，弦和等于弦较和的自乘，试作图明其理。

贵荣

* 图略

如图，甲乙丙为直角三角形，依斜边作戊丙己半圆，甲为圆心，从三角形中心作三分角线及三条垂线，再从丙作丙戊线，形成戊乙丙甲丁中心大小两个相似的直角三角形，可以按比例计算。

一率 小直角三角形差 原形句弦差

二率 倍小股 原形弦较和

三率 大直角三角形差 原形弦较和

四率 倍大股 原形倍股弦和

前题

李逢春

* 图略

如图，甲乙丙为边勾，股丁戊己为明勾股，甲庚己为大差勾股，戊辛为明勾的自乘，壬癸与边勾相等，庚壬为明勾乘边勾的积，加倍得丑壬为明勾乘边勾的倍积，必与子辛大差勾的自乘相等。为什么呢？因为丑辛为共同使用的积，所余子寅、寅壬两积也相等。因为卯寅为两明勾乘虚勾，寅辰也为两明勾乘虚勾，卯丑为平弦和差的平方，午壬为平股弦差乘两平句弦差，这两积又相等。故明勾乘倍边勾等于大差勾的自乘。明勾即勾。

前题

王文秀

* 图略

如图，甲乙丙为直角三角形，以股为半径，截弦于丁，丁丙与丙戊相等，乙戊为弦和之差，作己戊正方形，甲己为句弦差，庚己为其两倍，自庚作直线切辛角而至丙，即弦较和为股弦差、两句弦差的中项，故必切辛角，形成大小两个相似形，故庚己「小股」，即两句弦差与庚「己辛」小勾股和「即弦较和之比」，若庚乙」大股」，即弦较和与庚」乙丙」大勾股和「即股弦和之比」。

弦较边勾即股，弦和大差勾即弦较和股，弦和乘倍勾，弦较等于弦较和的自乘，试作图明其里。

汪凤藻

* 图略

如图，甲乙丙为直角三角形，甲丙为股，乙丁为股弦和，戊为其平方，己丁为弦较和，己庚为弦较和的自乘，己辛为倍句弦差，辛壬长方形为股弦和乘倍句弦差，为何己庚、辛壬两形的积相等呢？回答说：除去共同使用的己癸矩形，余丁癸弦和之差承弦较和，癸壬勾乘倍句弦差两长方形，试着在丁癸形内作庚子正方形弦和之差的自乘，在癸壬形内作癸丑矩形股弦差乘倍句弦差，为等积，尚余子丁、丑午两形，同为弦和之差乘倍句弦差，又相等，即丁癸与癸壬相等了。再各加一个己癸矩形，则己庚正方形不与辛壬长方形等积吗？

句弦差乘句弦，和再以勾乘之，与股乘倍句股积相等，试作图明其理。

杜法孟

* 图略

如图，庚己为勾，子辛等庚辛为股，己戊等已辛为直积，即两勾股积。再以己戊股乘之，得辛五一立方积。子壬为句弦差，乙丙等。子乙为句弦和，丙等。

译子丙作为勾弦和与勾弦差的乘积，再用子辛的勾去乘它，得到辛丙这一长立方的体积，与辛戊的体积相等。因为子丙的底面积是勾弦差乘以勾弦和，子戊的底面积是股的自乘方，它们的底面积原本就相等。庚己和子辛都是勾，它们的高度又相等，所以这两个立方的体积相等。

译前题

贵荣

图略

如图所示，甲乙丙为直角三角形，甲戊为股（直角边之一）的平方，乙丁为句（另一条直角边）与股的乘积，即两倍于句股面积，两者相加得到丁戊构成的矩形，其面积等于句与股之和乘以股的平方。己丁边代表句与股之和，尝试截取乙己的大正方形，其面积为股的平方，即句与弦（斜边）之差乘以句与弦之和，因为句与弦之差乘以句与弦之和原本就等于股的平方，与乙丁小正方形（代表两倍句股面积）相比，其比例如同甲己大边（股）与甲丁小边（句）之比，即股乘以股与股乘以句之比，如同股与句之比，因此句乘以股的平方[即句与弦之差乘以句与弦之和]等于股乘以两倍的句股面积。

直角三角形形状类似长方形，有句与股的差，有长与宽的和，有面积的差，求句、股以及长、宽。

陈寿田

算式略

右侧开平方得到句与股之和，加上句与股的差，除以二得到股；减去句与股的差，除以二得到句。句与股之和、句与股之差各自平方，相减后归入计算，得到句股面积。减去面积的差得到长方形的面积，乘以四，用长与宽之和的平方减去它，开平方得到长与宽的差。与长与宽之和相加，除以二得到长；与长与宽之和相减，除以二得到宽。

有直积一百二十，有句与股两个正方形的差一百六十一，求句、股、弦各是多少。

联秀

答曰：句八，股十五，弦十七。

算式略

开平方得到八，为句。自身平方加上两个正方形的差，开平方得到股十五。使用由句股求弦的方法，得到弦十七。

现在有内接正方形、内接圆，两直径之和一百三十尺，两直径之差加上中垂线九十四尺，求边长、直径、中垂线各是多少。

胡玉麟

答曰：「方边六十尺，圆径七十尺中垂线八十四尺。」

算式略

开平方后乘以二，得到内接圆的直径，七十尺。在甲数中减去它，余下六十尺，为正方形边长。在乙数中减去两直径之差十尺，余下八十四尺，即中垂线。

前题

王宗福

答曰：「方边六十尺，圆径七十尺。中垂线八十四尺。」

图略

如图所示，甲己辛为直角三角形，卯辰、丁午均为圆的直径，丙庚、庚己均为正方形边长，己丁为中垂线。从庚点作庚子、庚癸两条垂线，形成丙庚子、己庚癸两个全等的直角三角形。既然弦相等，那么句和股也相等，而癸庚相等，庚子也相等。癸丁即己癸庚的句股之和，等于中垂线。又从小丑点作丑寅垂线，丑乙为半径，形成乙丑寅直角三角形，与本图形全等，即也与丑己、戊全等。己丑与丑乙同为半径，既然相等，那么寅丑等于戊己，寅乙等于戊丑。将乙丑移至乙卯，将寅卯移至戊丁，则乙丑寅三边之和等于中垂线，而乙丑寅的弦与句股之和的差等于线与径的差。用代数方法求解，有等式。

算式略

开平方得到边长六十，与和相减，余下七十，为圆直径。在九十四中减去两直径之差，十余八十四，为中垂线。

城墙根部有河，不知道它的宽度。从城楼顶拉绳子到河的外岸，绳长一百九十五尺，楼高一百六十九条。求河宽多少？

廷俊

答曰：九十七尺多一点。

算式略

有甲乙两物，都不知道价格。只说甲价的立方三倍，等于乙价的平方。而乙价的立方，等于甲价平方的八十一倍。求甲乙价格各是多少？

王文秀

答曰：甲三乙九。

天地二元细草

设立天元一为甲价，设立地元一为乙价。天元自乘，又用天元乘它，再用三乘它，得到●。于是用地元自乘，得到●，作为同数，与左侧相消，得到●为今式。放置天元自乘，用八十一乘它，得到●。于是用地元自乘，又用地元乘它，得到●，作为同数，与左侧相消得到●为云式。用地元乘今式，直接减去云式，得到●为右行。与今式的左一行相乘，得到●。又用今式与右行的左一行相乘，得到●。两个数相消，得到●为左行。放置左右两行，以内两行相乘，得到●，相消得到●。以外两行相乘，得到●，相消得到●

开四次方得到甲价，三乃用三自乘，再乘，又用三乘它，得到八十一，用平方开之，即得乙价九

现在有甲乙两数，不知道多少。只知道甲的三次方根等于乙，甲乙两数相乘，加倍等于四倍乙的自乘数。求甲乙数各是多少？

赓善

答曰：甲十六乙二

算式略

现在有人赎回抵押物，本金和利息共钱九千八百五十文。只说利息开平方，得到的数加上本金，共五千六百九十文。又开方的数为天数，一百二十五分之十三。求本金利息及天数，每十文月利多少？每月三十日，不使用小建。

王文灏

答曰：「本五千六百二十五文，利四千六百二十五文，日数六百二十五日。」

算式略

现在有人赌钱损失本金四分之一，又得到三两，随即损失三分之一，又得到

译二两，最终损失了七分之一，只剩下十二两，求原本的银两有多少。

王文灏

回答：二十两

* 算式略

现在有一位富翁有银子九万，分给四个儿子，每人分得的多少不同。只说：大儿分得的银子除以二，二儿分得的银子减去二千，三儿分得的银子加上二千，四儿分得的银子乘以二，结果都相等。求四个儿子各分得银子多少？

译塔克什讷

回答说：“大儿子四万，二儿子二万二千，三儿子一万八千，四儿子一万。”

* 算式略

现在想要建造正方形台基，共三座。甲台基的边长比乙台基多七尺，乙台基的边长比丙台基多五尺。确定使用的砖块边长为五寸，总共需要十二万一百八十四块。求三座台基各自的高度是多少？

贵荣

回答说：“甲台基高二丈二尺，乙台基高一丈五尺，丙台基高一丈。”

* 算式略

开方得到四，四折半得到二丈二尺，作为甲台基的高度；减去七尺，得一丈五尺，作为乙台基的高度；再减去五尺，得一丈，作为丙台基的高度。

大小月每十九年循环一次，共二百三十五个月，总计六千九百四十天，求大月和小月各有多少个月。

熊方

回答说：“大月一百二十五个月，小月一百一十个月。”

方法是用二百三十五乘以小月的天数二十九，得到六千八百一十五天，用六千九百四十减去这个数，余下一百二十五，即是大月的数量。用大月的数量减去二百三十五，余下一百一十，即是小月的数量。再用一百二十五乘以三十天，得到三千七百五十；用一百一十乘以二十九天，得到三千一百九十。两者相加，恰好得到六千九百四十，符合题意。

想要建造一座土台，上底宽二丈，长三丈，下底宽二丈三尺，长三丈五尺，高一丈八寸。每天每人完成八立尺的工程量，使用匠人七十二人，多少天可以完工？

沈铎

回答说：“二十一天，又八分之七日。”

方法是用上底长三丈，加倍得到六丈，加上下底长三丈五尺，共九丈五尺。用上底宽二丈乘以这个数，得到一九00尺。另外加倍下底长，得到七丈，加上上底长三丈，共得十丈。用下底宽二丈三尺乘以这个数，得到二三00尺。将两个数相加，得到四二00尺。用高一丈八尺乘以这个数，得到七五六00尺。用六去除这个数，得到一二六00作为被除数。用七十二人乘以每天每人完成八立尺的工程量，得到五七六作为除数。相除，得到二十一天又八分之七日。

现在有一座塔由石、砖、木造成，全高的三分之一是石，四分之一是砖，六分之一是木，只知道瓦顶高三丈六，求塔高是多少？

彦慧

回答说十四丈四尺

* 算式略

方法是将三分之一展开为六分之二，加上六分之一，得到六分之三，化简为四分之二，加上四分之一，得到四分之三，这是石、砖、木的高度，那么瓦顶三丈六，自然就是四分之一，用四乘以三丈六，得到十四丈四尺，即是塔高。

现在有一个长方形营盘，南北长一百八十丈，东西宽一百二十丈，四面壕沟的面积与营盘面积相同，求壕沟的宽度是多少。

联芳

回答说三十丈

* 算式略

某火药局藏有硝、炭、磺，不知道各自有多少斤，也不知道总共有多少斤。只说在总重量的一半加上二千五百斤，是硝的重量；在总重量的四分之一减去一千斤，是炭的重量；在总重量的十分之二减去一千斤，是磺的重量。试推算总重量有多少斤？

朱格仁

回答说一万斤

* 算式略

制造球形炸弹，直径一尺二寸，厚度三寸，求需要多少铁。

李逢春

回答说：“五千三百零三两，三钱强。”

先求大球的体积

一率，标准立方体积，一000000000

二率，标准球体积：五二三五九八七七五。

三率，现有立方体积 一七二八

四率，今求大球体积。九0四，又七七八六八三三08。

次求小球的体积

一率，标准立方体积，一000000

二率，标准球体积：五二三五九八七五。

三率，现有立方体积 二二六

四率，今求小球体积。一二三，又080三，三五四00。

既得大小两球相减，余七九一六九一三四七七00，用每立方寸铁重六两七钱乘以这个数，得到五千三百零三两，三钱强，即是所求。

现在有两匹马，一副马鞍，价值银二十两。加在这匹马上，则与那匹马价格相等；加在那匹马上，则与此马价格相倍。求两匹马各自的价格是多少？

贵荣

回答说：“此马价值四十两，彼马价值六十两。”

* 算式略

有人问渔夫得到了多少条鱼，渔夫回答说：“用鱼的数量自乘，加上十三，开平方，用十二乘以这个数，减去四，其数为八。十试推算鱼的数量。”

辛泽贤

回答说六条鱼

* 算式略

现在有钱不知道数量，想要平均分给若干人，每人十二文，多十二文；每人十四

译钱币的数量是筐数的两倍，每筐所盛的果子数量是筐数的三倍，求筐和果子各有多少。

王镇贤

回答说：“筐有十四只，果子有五百八十八枚。”

* 算式略

假设有一位高官有八名侍姬，每天让两人值班侍奉，循环往复，在一周内不允许有两人两次同时值班。求：一周内，每人每周值班几天？

译博勒洪武

回答说：“一周二十八天，每人每周值班七天。”

方法是用八减去一得到七，作为高。用八乘以七，得到五十六，折半得到二十八，即是一周的日数。题目又说：每周不能有两人两次同班，那么八减一得七，即是每周每人值班的日数。

有一艘船载着男人、女人和小孩共九十人，男人比女人多四个，小孩比男人和女人的总和多十个，求各类人数各是多少。

联第

回答说：“男人二十人；女人十八人；小孩五十人。”

方法是从男人、女人、小孩共九十人中减去十个小孩，剩余八十人，折半得到四十人，从中减去四个男人，剩余三十六人，折半得到十八人，即是女人的总数。加上四个男人，得到二十二，即是男人的总数。男人和女人的总数相加得到四十，再加上十个小孩，得到五十，即是小孩的总数。

现有桃、梅、李三种水果，只说三颗桃比两颗梅、两颗李的价格多二十四文，两颗桃和三颗李比五颗梅的价格少十二文，四颗桃和三颗梅比八颗李的价格多一百零八文，求三种水果的单价各是多少。

时南化

回答说：“桃的单价是四十八文，梅的单价是三十六文，李的单价是二十四文。”

* 算式略

问乡人种地多少亩？回答说：“如果把亩数加上四，开平方，再加上原来的亩数，得到二十六。求原来的亩数是多少？”

庆全

回答说二十一

* 算式略

试着将甲乙两数之和与甲乙两数之差，用代数法自乘。

长秀

* 算式略

现有绍酒三壶，高粱酒四壶，共值银二十六两；绍酒四壶，高粱酒三壶，共值银二十七两又十二分之一两。求两种酒每壶各值银多少。

联兴

回答说：“绍酒每壶值银四两又三分之一两；高粱酒每壶值银三两又四分之一两。”

* 算式略

有甲乙两人，各自买了五斤油，合在一起装在一个大瓶里，回家想要分开。既没有秤，也没有量具，只有两个小瓶，一个能装七斤就满了，一个能装三斤就满了，用来量取并分开油，方法如何？

王锺祥

方法是先以大瓶里的油，用三斤瓶灌出两瓶，都倒入七斤瓶内。接着再用三斤瓶，从大瓶里灌出一瓶，就用三斤瓶里的油，将七斤瓶续满，那么三斤瓶内必然剩下两斤。于是将七斤瓶里的油倒回大瓶，将三斤瓶内剩下的两斤，倒入七斤瓶内[最后]以大瓶内剩下的八斤油，再用三斤瓶灌出一瓶，也倒入七斤瓶内，那么七斤瓶内连同之前剩下的两斤共为五斤，大瓶内也剩下五[斤]

现有将军用实心方阵摆队，有人问每队士兵有多少？回答说：“如果在二十五万内减去全营士兵数，余数开平方，再用每队士兵数相乘，得到十二万，求每队士兵数是多少？”

杨兆鋆

回答说三百

* 算式略

有一个勾三股四的直角三角形。想在股上取一点，悬挂起来使弦平行于地面，使其平行的方法如何？

席淦

* 图略

如图所示，先求勾股面积的重心。从甲点作弦的正交线丙乙，悬挂于丙点，弦即与地平线平行。求丙戊线的方法是：将戊丁、戊己的平方倍之，相加后减去丁己的平方，除以四，开方得到戊庚四点二七。从庚点作庚辛垂线，求得戊辛大分边四点一。戊庚与辛戊，如同戊甲与乙戊之比二点七三。又丁戊与己戊，如同乙戊与丙戊之比三点四一。

前题

杨兆鋆

* 图略

如图所示，甲乙丙为勾股形。取甲乙勾的三分之一于丁点，乙丙股的三分之一于戊点，分别作线己丁、庚戊，交点为心。即是勾股面的重心。因为庚戊过重心点且正交于乙丙，己丁过重心点且正交于甲乙，所以取庚、己两点悬挂，股与勾必然都平行于地平线。又因为丁己为勾的三分之一，乙戊为股的三分之一，所以己丙、甲庚必然都是弦的三分之一。

卷八 学术八 测算中

傅法椭圆地图说

傅云龙

想要绘制完整的地形，严密贴合而没有丝毫误差，很难。难免没有误差，未必不能贴合。尺有所短寸有所长，可以偏废吗？除了墨加祷法之外，平分法误差较多，初学者容易操作，普通地图也方便使用。弦线法优于平分法，但靠近边缘狭窄；切线法又优于弦线法，误差较少。傅云龙认为，大地既然实测为椭圆形，详见地椭圆说。为什么地图一定要画成圆形？因为与大地实体不符，仍然难免有误差。不如创立椭圆地图法？也未必立刻能免除误差，但首先已经大致符合大地实体。虽然大地并非正椭圆，但从远处看大体，比起圆形地图已经觉得更接近真实。否则，大地如玑、如卵、如肺叶、如橘皮，而地图学家大多画成圆形，为什么呢？椭圆也不是凭空臆测。根据《谈天》说：“其南北短径约为赤道直径的三百分之一。”这本书的方法自李善兰以来的测算家都认为是正确的。由接近正确以求得完全正确，后来必有更加精通的人。凡是方法都是如此，难道只有椭圆地图法是这样吗？此法地图面可正，可平，而不可偏斜，就依照切线例改图为正面，有人不认为不对地说：“何不称傅法椭圆图