性理大全书卷二十二

译士大夫们因循守旧、简陋粗疏，于是再也没有人把钟律之事放在心上，这已经太过分了。我的朋友建阳蔡元定，字季通，在这个时候，却独自内心喜好钟律之说，并且极力探求。他广泛搜集、远取博采，无论巨细都不舍弃，积累多年，才像防契一样契合。他撰写了两卷书，共有若干字。我曾经得到并阅读了它，喜爱它明白而渊深，缜密而通畅，不做强行牵合附会的言论，而横斜曲直如同珍珠不出于盘之外。他的言论虽然多出于近世未曾讲习的内容，但实际上没有一个字不是本于古人已经验证过的成法。比如黄钟围径的数值，可以通过汉代量器的积分来考证；以九分为一寸的法则，可以通过淮南太史和小司马的学说来推演。五声二变的数目，变律半声的条例，杜佑的《通典》中都有记载。变宫变徵不能成为调式，孔颖达的《礼记正义》中也可见到。至于先寻求声气的本源，然后依据律吕来产生尺度的方法，更是所谓卓然出众之处，而且也零星见于两代的制度、蔡邕的学说，以及本朝《会要》和程子、张子的言论中。只是读者不深入考证其中，即使在这里有所得，又难免在那里有所失，因此晦涩混乱，没有定论。大体上不拘泥于习熟见闻的浅近，就放纵胸臆，妄加穿凿而没有依据。季通却能发挥独到的见解，超然远览，爬梳剔抉，参互考证，用尽半生之力，以至于一旦豁然开朗、融会贯通，这也可以说是勤奋了。等到他著论时，又能推究本源，排列条理，撮取机要，阐发精微，不用浮词滥说扰乱其间，也差不多符合著书的体例了。我认为国家即将平定中原，以开启中天的运势，必定会审音协律，以调和神人。在这个时候，受诏典领的臣子，如果能得到这本书并上奏，那么东京郊庙的音乐，将不必等待公孙述的瞽师才完备，而参摹四分之书，也不必等待后世的扬雄才知道喜好它了。况且季通写这本书，言辞简练、道理明白，起初并不难读，而读者往往没读完，就已经打哈欠想睡觉，当然无法了解其旨趣。只有我因为愚钝不敏，才能反复阅读多次，而仅仅得到其指意的大概。季通于是也认为我能了解他的志向，所以嘱托我写序引，而我不能推辞。季通还想均调节族，施加于管乐器，另外编写乐书，以完成他的事业，而又用其余力，发挥武侯六十四阵的图绪，校正邵雍《皇极经世》的历法，以大大完备他的一家之书，他的用意也很强健了。我虽然老病，倘若能等到见到它，那难道不是千古的一大快事吗！淳熙丁未年正月朔日，新安朱熹序。

译朱熹说：蔡元定（字君谟，号北山，世称北山先生，此处“荼神与名发”疑为“蔡元定字君谟”之误或异文，结合下文“季通”即蔡元定，字季通，故此处应指蔡元定）博学强记，性格高洁简远、旷达不拘，不能随世俗俯仰迎合，于是离开家乡游历四方，见闻日益广博，于是对于《易经》象数、天文、地理、三式（遁甲、太乙、六壬）的学说没有不通晓的，而且都能考订其得失。他闭门谢客，专心以读书、教育儿子为事。蔡季通（蔡元定）十岁时，就教他读《西铭》，稍大一些就给他看程颐的语录、邵雍的《皇极经世》、张载的《正蒙》，并告诉他说：“这是孔孟的正统道脉。”蔡季通继承父亲的志向，在学问品行之余，尤其精研律历，经过讨论考订，终于自成一家之言，使千古以来的谬误豁然一新，而追溯其源流，都有确定的法则，因此足以使他的父亲显扬于无穷后世。○蔡季通在律历方面的法度非常精严，近世的儒者都没有人能比得上。○蔡季通的律历著作分明是好的，却不是主观臆断，自有根据。○蔡季通在理数、乐律方面，很有心力，读了很多书。○刘文简公刘爚说：先生天资高，闻道早，对于书籍没有不读的，对于事理没有不探究的，通晓阴阳消长的运数，通达古今盛衰的道理，上考察天时，下考证人事。朱文公曾说：“别人读《易经》很难，季通读难书却很容易。”又说：“造化的精微奥妙，只有深明道理的人才能认识。”我和季通交谈，从来没有感到厌倦。○西山真德秀说：先生曾经被特别征召，坚决推辞不出仕，世人称他为“聘君”。聘君以师礼侍奉朱文公，而朱文公却说：“季通是我的老朋友。”凡是关于性与天道的精妙之处，其他弟子不能听到的，朱文公必定告诉季通。不同篇章的传注，微言大义，先今探讨研究而后亲自折中判断。先生对于经学没有不通晓的，曾经对三个儿子说：“渊（蔡渊）你应当继承我的易学，沉（蔡沉）你应当推演我的皇极数，而《春秋》则交给知方（蔡知方）。”○黄瑞节说：按照蔡氏祖孙三代在学术上的传承可以看出，而盛时逵引证三世一脉相承。朱子说：蔡元定教导他的儿子不追求利禄，而是用圣贤之学开导他们，他的志向见识高远，不是世人所能企及的。西山先生推辞征聘不出仕，九峰先生（蔡沈）三十岁就放弃科举业，一以圣贤为师。九峰的儿子蔡抗才考中进士，在理宗宝祐年间担任参政。○《律吕新书》大概是朱熹和蔡元定师徒共同完成的。朱子给西山的信中说：“只使用古书古语，或者注疏，而把自己的意思附在下面，非常简约而极其周全详尽，学者一看就可以了解大概，其他推论的泛滥、旁证的异同就不完全记载了。”

律吕本原

黄钟第一【以《汉书·律历志》斛铭文确定】

长九寸，内径周长九分，容积八百一十分。

按照天地的数，始于一，终于十。其中一、三、五、七、九为阳数，九是阳数的极成；二、四、六、八、十为阴数，十是阴数的极成。黄钟是阳声的开始，是阳气的发动。所以它的数是九。分寸的数，蕴含在声气的本源中，不可直接看见。等到截断竹子做成律管，吹它而声音和谐，测量它而气机相应，然后数才开始显现。均定它的长度，得到九寸；审察它的周长，得到九分【本章凡是说“分”的，都是十分寸之一】计算它的容积，得到八百一十分。长九寸，周长九分，容积八百一十分，这就是律的本原。度量衡权，从这里接受法则。十二律由此而增减变化【算法：设定八百一十分，分成九重，每重得九分。圆田术，三分之一增加，得一十二，用开方法去除，得三分四厘六毫强作为直径的数，不尽二毫八丝四忽。现在求圆积的数，用直径三分四厘六毫自相乘，得十一分九厘七毫一丝六忽，加上开方不尽的数二毫八丝四忽，得一十二分。用管长九十分乘以它，得一千八十分作为方积的数，取四分之三作为圆积，得八百一十分。朱子说：本原第一章关于周长和直径的数，这是最大的关键，不可草率。又说：古人只说内径周长九分，不说直径三分，大概不止三分，还有余数。鲁齐彭氏说：黄钟律管有周长，有直径，有面积，有内径容积，有长度。如《史记》论长度，《律历志》论长度及容积，东汉郑氏注《月令》论面积，东汉蔡氏《月令章句》论长度，都是不可改变的理论。唯独周长直径的说法，汉朝以前都没有明文。《汉书·律历志》听闻开端而未完结，东汉蔡氏才开始创立直径三分的说法，晋代孟氏以后的儒者继续提出直径三分、周长九分的说法，宋代胡氏、蔡氏又提出直径三分四厘六毫、周长十分三厘八毫的说法。然而考察古代的方、周、径、面积、容积的比率，都没有符合的。曾经依照东汉蔡氏所说的直径三分，用《九章算术》少广篇中祖氏密率乘除，只得到内径面积七分七厘余，少了约一分九十二厘余。内径容积实际只得到六百三十六分余，少了约一百七十三分余。这样那么黄钟的律管，岂不是太窄了？大概黄钟内径的细微差别，如果直径内差一忽，那么面积及容积所差的忽数就非常多。这就是东汉蔡氏的说法所以不符合的原因。晋代孟氏等儒者说直径三分、周长九分，又用直径一、周长三的方法，虽然是古率，但古人大概以此计算圆田。如果用密率推演，直径一那么周长三有余，假如直径七那么周长应当是二十二。现在依照孟氏】

译所说的，直径三分，那么周长应当是九分四厘二毫一秒强，不仅仅止于九分。如果按照九分周长的数值，那么直径应当只有二分八厘六毫二秒六忽强，又达不到三分。这就是晋代孟氏等儒者的说法之所以不合的原因。宋代胡氏不主张直径三、周长九的说法，大概是因为怀疑这样的管子太窄。然而他所说的直径三分四厘六毫，周长十分三厘八毫，也是采用直径一、周长三的比率。如果按照他所说的三分四厘六毫的直径，应当得到周长十分八厘七毫六秒二忽强，不仅仅止于十分三厘八毫。如果按照十分三厘八毫的周长数值，那么直径只能得到三分三厘多，又达不到三分四厘六毫。这就是宋代胡氏的说法之所以不合的原因。宋代蔡氏关于直径和周长的分数与胡氏相同，至于计算方法，使用圆田术中的“三分益一”得到十二，开方去除以求直径，又用直径相乘再乘以管长，采用“三分益一、四分退一”的方法求体积。现在暂且依照他的说法，将九分平放作为周长，又“三分益一”以三方分割置于九方分之外，这样总共面积十二方分，其纵横可得三分四厘六毫强，余不尽二毫八丝四忽。确实如蔡氏所说，但依照此直径用密率相乘，那么空围内面的面积不仅仅止于九方分，而是得到九方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽多。空围内的体积不仅仅止于八百一十分，而是得到八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百多忽。这样那么黄钟的管子未免太大了，仔细考察，方形内的圆形所占的不止四分三，圆形外的方形应当退去的又不及四分一。用这种“三分益一、四分退一”的方法，是虚加实退，是数学家的大致方法。这就是宋代蔡氏的说法之所以不能完全吻合的原因。现在想要求得黄钟律管长度、周长、面积、体积的确切定数，必须依照蔡氏多截竹管以验气的说法，又用祖冲之的密率乘除，才可以。祖冲之是古今数学家中最优秀的，而蔡氏多截竹管以验气的说法，确实得到了造律的本原。他的说法有前人未阐发的，现在应当依照此说法。先多截竹管，来模拟黄钟的管子，或短或长，长短之间，每有细微差别，各为一管。全部将这些管子埋入地下，等到冬至时验证。如果诸管中有应气的，就取那根管子来计算，知道这根管子符合造化自然，不是人力所能为。就以此管分为九寸，寸分为九分，分分为九厘，厘分为九毫，毫分为九秒，秒分为九忽，以符合八十一终天之数及元气运行，从子到亥得到十七万七千一百四十七的数值。凡是使用此管三分损益，上下相生，由此又取此九寸的管子，寸分为十分，分分为十厘，厘分为十毫，毫分为十秒，秒分为十忽，以符合天地五位终于十的数值。于是用十乘以八十一得到八百一十分，用八百一十分分配给九十分长的管子，知道此管长九十分，空围中容纳八百一十分，即十分长的管子，空围中容纳九十分，一分长的管子，空围中容纳九分。凡是求度量衡都由此而来，就以此管面空围中所容纳的九分，用平方面积法推演，知道一分有一百厘，厘有一百毫，毫有一百秒，秒有一百忽，累积计算。一平方分通共有面积一万万忽，九平方分通共有面积九万万忽。于是将这九万万忽依照《算经》少广章所载宋代祖冲之的密率乘除，得到圆周长的计十分六厘三毫六秒八忽及万分忽之六千三百一十二。又求一圆的直径，计三分三厘八毫四秒四忽及万分忽之五千六百四十五。又用半径与半周长相乘，仍然得到九万万忽内一忽弱，总共得到面积九平方分。既然用周长与直径相乘，复得面积如此，那么黄钟的宽度与长度以及空围内的体积都可以计算了。故而面积计九方分，深一分的管子那么空围内应当有九立方分，深九十分即九寸的管子，那么空围内应当有八百一十立方分。这就是黄钟一管的实体，其数与天地造化没有不相合的。这就是算法之所以成立的原因。算法成立之后，或用竹，或用铜，另外制作，依照其长度各作八十一分，作为十二律相生的方法。又依照其长度作九十分，就取九十分中的三分三厘八毫四秒四忽及万分忽的五千六百四十五，以符合孔径。这样那么圆长面积与空围内的体积，自然无不协调。只是直径数自八毫以下，不可细分，而算法累积忽与秒不容不如此】黄钟的实体二【用《淮南子》、《汉书·律历志》确定其寸分厘毫】

译子位：黄钟的律管，丑位：三，作为丝的计算方法。

寅位：九，作为寸的数值；卯位：二十七，作为毫的计算方法；辰位：八十一，作为分的数值。

巳位：二百四十三，作为厘的计算方法。

午位：七百二十九，作为厘的数值。

未位：二千一百八十七，作为分的计算方法。

申位：六千五百六十一，作为毫的数值。

酉位：一万九千六百八十三，作为寸的计算方法。

戌位：五万九千四十九，作为丝的数值。

亥位：十七万七千一百四十七，这是黄钟的实数。

按照黄钟九寸的长度，以三分损益法进行增减，所以用三数遍历十二地支，得到十七万七千一百四十七作为黄钟的实数。这十二地支所得的数值，在子、寅、辰、午、申、戌这六个阳支，代表黄钟寸、分、厘、毫、丝的数值【子为黄钟的律管，寅为九寸，辰为八寸一分，午为一千七百二十九厘，申为六千五百六十一毫，戊为五万九千四十九丝】；在亥、酉、未、巳、卯、丑这六个阴支，代表黄钟寸、分、厘、毫丝的计算方法【亥为黄钟的实数，酉的一万九千六百八十三为寸，未的二千一百八十七为分，巳的二百四十三为厘，卯的二十七为毫，丑的三为丝】。寸、分、厘、毫、丝的计算方法，都使用九进位，所以九丝为一毫，九毫为一厘，九厘为一分，九分为一寸，构成黄钟。黄钟的实数十七万七千一百四十七，用三去除得到五万九千四十九作为丝，用二十七去除得到六千五百六十一作为毫，用二百四十三去除得到七百二十九作为厘，用二千一百八十七去除得到八十一作为分，用一万九千六百八十三去除得到九作为寸。由此通过三分损益法生出其余十一律。有人问：直径和周长的分数以十为进位，而生成的分、厘、毫、丝以九为进位，为什么呢？回答说：以十为进位，是天地完整的数；以九为进位，是因为三分损益法而确立的。完整的数，是从十中取九；相生的数，是将十约简为九。从十中取九，是本体得以确立的原因；将十约简为九，是功用得以施行的原因。本体，是用来确定中声的；功用，是用来生出十一律的【有人问：计算到十七万多这样的数，有什么用？朱熹说：用来确定律管的长短从而发出这个声音。大抵考究其方法就是这样】。

黄钟生出十一律第三

子位：一分

一为九寸

丑位：三分二

一为三寸

寅位：九分八

一为一寸

卯位：二十七分十六

三为一寸，一为三分

辰位：八十一分六十四

九为一寸，一为一分

巳位：二百四十三分一百二十八

二十七为一寸，三为一分，一为三厘

午位：七百二十九分五百一十二

八十一为一寸，九为一分，一为一厘

未位：二千一百八十七分一千二十四

二百四十三为一寸，二十七为一分，三为一毫，一为三毫

申位：六千五百六十一分四千九十六

七百二十九为一寸，八十一为一分，九为一毫，一为一毫

酉位：一万九千六百八十三分八千一百九十二

二千一百八十七为一寸，二百四十三为一毫，二十七为一毫，三为一毫，一为三丝

戌位：五万九千四十九分三万二千七百六十八

六千五百六十一为一寸，七百二十九为一毫，八十一为一毫，九为一毫，一为一丝

亥位：十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六

一万九千六百八十三为一寸；二千一百八十七为分；二百四十三为厘；二十七为毫；三为丝；一为三忽

按照黄钟生出十一律，子、寅、辰、午、申、戌六个阳支都是下生，丑、卯、巳、未、酉、亥六个阴支都是上生。上面用三数遍历十二地支的，都是黄钟的完整数值。下面阴数加倍的【即算法中加倍其实数】，是三分本律而减去其一。阳数乘以四的【即算法中四倍其实数】，是三分本律而增加其一。六个阳支当位自得，六个阴支则居于对冲之位。其中林钟、南吕、应钟三律在阴位，没有增减。大吕、夹钟、仲吕三律在阳位，则使用倍数，才与十二月的气候相应。这是因为阴顺从阳，是自然的道理。

【习轩吴氏说：子位一分，是因为数从子位开始得到一。丑位三分二，是将法数乘以三成为三分两，其实数为二。寅位九分八，是将法数乘以三成为九分四，其实数为八。以下生的加倍其实数，上生的四倍其实数。其方法是将子位析为三分，每分五万九千四十九。丑位在三分之中得到其二，为十一万八千九十八，积累六寸成为林钟，这是黄钟的实数，三分损一，下生出林钟。将子位一析为九分，每分得到一万九千六百八十三。寅位在九分之中得到其八，为十五万七千四百六十四，积累八寸成为太簇，