律长短围径之数第二
六寸七分三分一【强一百九十八】无射四寸四分三分二，四寸四分三分二【强六百□□二】仲吕五寸九分三分二徴，五寸九分三分二【强五百八十一】按律书，此章所记分寸之法与他记不同，以难晓故多误，葢取黄钟之律九寸一寸九分，凡八十一分，而又以十约之为寸，故云八寸十分，一本作七分一者误也，今以相生次序列而正之，其应钟以下则有小分，小分以三为法，如厯家太少余分强弱耳，其法未密也，今以二千一百八十七为全分，七百二十九为三分一，一千四百五十一为三分二，余分之多者为强，少者为弱，列于逐律之下，其误字悉正之，隋志引此章中黄钟、林钟、太簇、应钟四律寸分，以为与班固、司马彪、郑氏、蔡邕、杜防、荀朂所论，虽尺有増减，而十二律之寸数并同，则是时律书尚未误也，及司马贞索隠始以旧本作七分一为误，其误亦未久也，沈括亦曰此章七字皆当作十字，误屈中画耳，大要律书用相生分数，相生之法以黄钟为八十一分，今以十为寸法，故有八寸一分，汉前后志及诸家用审度分数，审度之法以黄钟之长为九十分，亦以十为寸法，故有九十分法虽不同，其长短则一，故隋志云寸数并同也【其黄钟下有宫，太簇下有商，姑洗下有羽，林钟下有角，南吕下有徴字，晋志论律书五音相生，而以宫生角，角生商，商生征，征生羽，羽生宫，求其理用罔见通达者是也，仲吕下有征，夷则下有商应钟下有羽字，三者未详，亦疑后人误増也。下云「上九，商八，羽七，角六，宫五，徴九」者，即是上文声律数。太簇八寸为商，姑洗七寸为羽，林钟六寸为角，南吕五寸为徴，黄钟九寸为宫。其曰「宫五，徴九」误字也】
译六寸七分三分一【强一百九十八】，无射四寸四分三分二，四寸四分三分二，【强六百□□二】，仲吕五寸九分三分二徵，五寸九分三分二【强五百八十一。】
按《律书》，此章所记分寸之法与其他记载不同，因难以理解所以多有错误。大概是取黄钟之律九寸一寸九分，共八十一分，而又以十进位折算为寸，所以说八寸十分，一本作七分一的，是错的。现在按相生次序排列并校正它，其应钟以下则有小的分数，小分数以三为法，就像历法中太少余分的强弱一样，其方法并不严密。现在以二千一百八十七为全分，七百二十九为三分之一，一千四百五十一为三分之二，余分多的为强，少的为弱，列在逐律之下，其错字全部校正。
《隋书·经籍志》引用此章中黄钟、林钟、太簇、应声四律的寸分，认为与班固、司马彪、郑氏、蔡邕杜预、荀朂所论述的，虽然尺有增减，但十二律的寸数都相同，这说明当时《律书》尚未出错。等到司马贞《索隐》开始以旧本作七分一为误，其错误也不算太久。沈括也说此章“七”字都应当作“十”字，是误将中间一画弯曲了。大抵《律书》用相生分数，相生之法以黄钟为八十一，现在以十为寸法，所以有八寸一分。汉前后《志》及诸家用审度分数，审度之法以黄钟声长为九十分，也以十为寸法，所以有九十分。法虽不同，其长短则一，所以《隋志》说寸数都相同。
【其黄钟下有宫，太簇下有商，姑冼下有羽，林钟下有角，南吕下有徵字，晋《志》论《律书》五音相生，而以宫生角，角生商商生徵，徵生羽，羽生宫，求其理用，没有通达的，就是这样。仲吕下有徵，夷则下有商，应钟下有羽字，三者未详，也疑是后人误增。下云“上九，商八，羽七，角六，官五，徵九”者，即是上文声律数。太簇八寸为宫，姑洗七寸为羽，林钟六寸为官，南吕五寸为徵，黄钟九寸为宫。其曰“宫五，徵九”是错字。】
汉志》曰：「易曰：参天两地而倚数。天之数，始于一，终于二十五。其义纪之以三，故置一得三，又二十五分之六。凡二十五置，中天之数得八十一，以天地五位之合终于十者乗之，为八百一十分，应厯一统【孟康曰：十九嵗为一章，一统凡八十一章】千五百三十九嵗之章数，黄钟之实也。繇此之义，起十二律之周径【孟康曰：律孔径三分，参天数也；围九分，终天数也】地之数，始于二，终于三十。其义纪之以两，故置一得二。凡三十置，终地之数得六十，以地中六数乗之，为三百六十分，当期之日，林钟之实也【孟康曰：林钟长六寸，围六分，以围乗长得三百六十分】人者，继天顺地，序气成物，统八卦，调八风，理八政，正八节，谐八音，舞八风，监八方，被八荒，以终天地之功。故八八六十四，其义极天地之变。以天地五位之合终于十者乗之，为六百四十分，以应六十四卦，太簇之实也【孟康曰：太簇长八寸，围八分，为积六百四十分也】
按《汉志》以黄钟、林钟、太簇三律之长自相乘，又因之以十也。黄钟长九寸，九九八十一，又以十因之为八百一十。林钟长六寸，六六三十六，又以十因之为三百六十。太簇长八寸，八八六十四，又以十因之为六百四十。黄钟应厯一统，林钟当期之日，太簇应六十四卦，皆倚数配合为説而已。独黄钟云繇此之义起十二律之周径，葢黄钟十其广之分以为长，十一其长之分以为广，故空围九分，积八百一十分，其数与此相合。长九寸，积八百一十分，则其周径可以数起矣。即胡安定所谓「径三分四厘六毫，围十分二厘八毫」者是也。孟康不察，乃谓凡律围径不同，各以围乗长而得此数者，葢未之攷也。
后汉郑康成《月令注》曰：“凡律空围九分【孔颖达疏曰：诸律虽短长有差，其围皆以九分为限】蔡邕《铜龠》“黄钟之宫之宫，宫长九寸，空围九分，容秬黍一千二百粒，称重十二铢，两之为一合，三分损益，转生十一律【月令章句》曰：古之为钟律者，以耳齐其声，后人不能，则假数以正其度，度正则音已正矣。钟以斤两尺寸中所容受升斗之数为法律，亦以寸分长短为度，故曰黄钟之管长九寸，径三分，其余皆稍短，虽大小围数无増减，以度量者可以文载□▯与众共知，然不如耳决之明也】韦昭《周语注》曰：“黄钟之变也，管长九寸，径三分，围九分，因而九之，九九八十一，故黄钟之数立焉。”
按郑康成《月令》注云：「凡律空围九分。」蔡邕铜龠铭亦云：「空围九分。」葢空围中广九分也。东都之乱，乐律防亡。蔡邕之时未乱，当亲见之，又晓解律吕。而《月令》句云：「径三分。」何也？孟康、韦昭之时，汉斛虽在，而律不存矣。康、昭等不通律吕，故康云：「黄钟、林钟、太簇围径各异。」昭云：「黄钟径三分。」皆无足怪者。隋氏之失，岂康、昭等有以启之与？不知而作，宜圣人所深戒也。
魏徴《隋志》曰：「开皇元年，平陈后，牛▯、辛彦之、郑译、何妥等参考古律，度合依时代制律。其黄钟之管，俱径三分，长九寸。度自有损益，故声有高下。围径长短与度而差，故容黍不同。今列其数云。」
晋前尺黄钟容黍八百八粒
法法尺黄钟容黍百二十八
梁表尺，黄钟三，其一容九百二十五，其一容九百一十，其一容一千一百二十。
汉官尺黄钟容九百三十九
古银错题黄钟龠容一千二百
宋氏尺即铁尺，黄钟凡二，其一容一千二百，其一容一千四十七。
后魏前尺，黄钟容一千一百一十五。
后周玉尺，黄钟容一千二百六十七。
后魏中，尺黄钟容一千五百五十五。
后魏后尺，黄钟容一千八百一十九。
东魏尺，黄钟容二千八百六十九。
万寳常水尺律母，黄钟容黍一千三百二十。
梁寳铁尺律黄钟副别者，其长短及口空之围径并同，而容黍或多或少，皆是作者旁庣其腹，使有盈虚。
按梁表尺三律，与宋氏尺二律容授不同。史谓作者旁庣其腹，使有盈虚
译《汉书·律历志》说：“《易经》说：‘观察天数的奇数、地数的偶数而确立数度。’天数的起始是一，终结是二十五。它的义理以三为纪，所以设置一得到三，再加上二十五分之六。总共设置二十五次，中天的数得到八十一，用天地五位相合最终为十的数去乘它，得到八百一十分，这对应历法一统【孟康说：十九年为一章，一统共有八十一章】一千五百三十九年的章数，这是黄钟律管的容积。依据这个义理，推导出十二律的周长和直径【孟康说：律管直径三分，是参酌天数的奇数；周长九分，是终结天数的奇数】。地数的起始是二，终结是三十。它的义理以两为纪，所以设置一得到二。总共设置三十次，终结地数的数得到六十，用地中六数去乘它，得到三百六十分，这对应一季度的日数，这是林钟律管的容积【孟康说：林钟长六寸，周长六分，用周长乘长度得到三百六十分】。人，继承天意顺应地性，排列节气生成万物，统辖八卦，调和八风，治理八政，端正八节，协调八音，舞蹈八风，监察八方，覆盖八荒，以此来完成天地的功业。所以八八六十四，它的义理穷尽了天地的变化。用天地五位相合最终为十的数去乘六十四，得到六百四十分，以对应六十四卦，这是太簇律管的容积【孟康说：太簇长八寸，周长八分，容积为六百四十分】。
按：《汉书·律历志》是用黄钟、林钟、太簇三律的长度自相乘，又乘以十。黄钟长九寸，九九八十一，又乘以十得到八百一十。林钟长六寸，六六三十六又乘以十得到三百六十。太簇长八寸，八八六十四又乘以十得到六百四十。黄钟对应历法一统，林钟对应一季度的日数，太簇对应六十四卦，这都是依靠数度配合来说明的罢了。唯独黄钟说‘依据这个义理推导出十二律的周长和直径’，大概是因为黄钟以十分之一的宽度作为长度，以十一分之一的长度作为宽度，所以空管周长九分，容积八百一十分，它的数度与此相合。长度九寸，容积八百一十分，那么它的周长和直径就可以用数度推算了。这就是胡瑗所说的‘直径三分四厘六毫，周长十分二厘八毫’的意思。孟康没有仔细考察，竟然说所有律管的周长和直径各不相同，各自用周长乘长度而得到这些数，大概是没有考证的缘故。
后汉郑玄《月令注》说：“凡是律管空管的周长都是九分【孔颖达疏说：各种律管虽然长短有差别，但周长都以九分为限】。”蔡邕《铜龠铭》说：“黄钟之宫，宫长九寸，空管周长九分，容纳秬黍一千二百粒，重量十二铢，两倍为一合，通过三分损益法，衍生出其余十一律【《月令章句》说：古代制作钟律的人，用耳朵来校准声音，后人不能做到，就借助数度来校正尺度，尺度正确了，音律也就正确了。钟律以斤两、尺寸中所容纳的升斗数为法律，也以寸分的长短为尺度，所以说黄钟的管长九寸，直径三分，其余的都稍短，虽然大小周长没有增减，用度量衡可以记载并与众人共知，然而不如用耳朵判断那样明白】。”韦昭《国语·周语注》说：“黄钟的变化，管长九寸，直径三分，周长九分，进而乘以九，九九八十一，所以黄钟的数度就确立了。”
按：郑玄《月令》注说：“凡是律管空管的周长都是九分。”蔡邕《铜龠铭》也说：“空管周长九分。”大概是指空管内部的宽度为九分。东汉末年的动乱，导致乐律典籍散失。蔡邕的时代尚未动乱，应当亲眼见过，又通晓律吕。而《月令》注中说：“直径三分。”为什么呢？孟康、韦昭的时代，虽然汉代的量器还在，但律管已经不存了。孟康、韦昭等人不通晓律吕，所以孟康说：“黄钟、林钟、太簇的周长和直径各不相同。”韦昭说：“黄钟直径三分。”这都不足为怪。隋代的失误，难道是孟康、韦昭等人开启的吗？不懂却妄作，这正是圣人深深警戒的。
魏徵《隋书·律历志》说：“开皇元年，平定陈朝后，牛弘、辛彦之、郑译、何妥等人参考古律，度量符合依时代制定律管。它们的黄钟管，直径都是三分，长九寸。度量自有增减，所以声音有高有低。周长、直径、长短与度量有差异，所以容纳黍粒的数量不同。现在列出它们的数如下。”
晋代前尺黄钟容纳黍粒八百八粒。
法尺黄钟容纳黍粒一百二十八粒。
梁代表尺黄钟有三支，一支容纳九百二十五粒，一支容纳九百一十粒，一支容纳一千一百二十粒。
汉代官尺黄钟容纳九百三十九粒。
古银错题黄钟龠容纳一千二百粒。
宋代尺即铁尺，黄钟有两支，一支容纳一千二百粒，一支容纳一千四十七粒。
后魏前尺黄钟容纳一千一百一十五粒。
后周玉尺黄钟容纳一千二百六十七粒。
后魏中尺黄钟容纳一千五百五十五粒。
后魏后尺黄钟容纳一千八百一十九粒。
东魏尺黄钟容纳二千八百六十九粒。
万宝常水尺律母黄钟容纳黍粒一千三百二十粒。
梁代宝铁尺律黄钟副别者，其长短以及口部空管的周长和直径都相同，但容纳黍粒或多或少，这都是制作者旁侧加厚其腹部，使其有盈虚变化。
按：梁代表尺三支律管，与宋代尺两支律管容纳黍粒的数量不同。史书说制作者旁侧加厚其腹部，使其有盈虚。
，则当时制作之疎，亦可见矣。晋前尺律黄钟止容八百八黍者，失在于径三分也。古银错与玉尺、玉斗合，玉斗之容受与晋前尺径三分四厘六毫者，不甚相逺。但玉尺律径不及三分，故其律遂长，而尺长于晋前尺一寸五分八厘。葢自汉魏而下，造律竟不能成，而度之长短，量之容受，权衡之轻重，皆戾于古。大率皆由径三分之説误之也。
译那么当时制作上的疏漏，也就可见一斑了。晋代以前，黄钟律管所容纳的八百八粒黍，其失误在于管径定为三分。古代的银错尺与玉尺、玉斗相合，玉斗的容量与晋代以前管径为三分四厘六毫的情况，相差不大。只是玉尺的律管直径不足三分，所以其律管变长，而尺的长度比晋代以前的尺长出一寸五分八厘。大概自汉魏以来，制作律管竟然不能成功，而长度的长短、容量的多少、权衡的轻重，都违背了古制。大抵都是由“径三分”的说法误导所致。
本朝胡安定律吕议曰：「按厯代律吕之制，黄钟之管长九十黍，之广积九寸，度之所由起也；容千二百黍，积八百一十分，量之所由起也；重十有二铢，权衡之所由起也。既度量权衡皆出于黄钟之龠，则黄钟之龠围径容受，可取四者之法，交相酬騐，使不失其实也。今验黄钟律管，每长一分，内实十三黍又三分黍之一；围中容九方分也。后世儒者执守孤法，多不能贯知权量之法，但制尺求律，便为坚证，因谓围九分者，取空围圆长九分尔。以是围九分之误，遂有径三分之説。若从径三围九之法则，黄钟之管止容九百黍，积止六百七分半，如此则黄钟之声无从而正，权量之法无从而生，周之嘉量，汉之铜斛，皆不合其数矣。」
按十二律围径，自先以以前传记并无明文。惟班志云：黄钟八百一十分，繇此之义起十二律之周径。然其説乃是以律之长自乗而因之以十，葢配合为説耳，未可以为据也。惟审度章云：一黍之广，度之九十分黄钟之长，一为一分。嘉量章则以千二百黍实其龠，分衡权章则以千二百黍为十二铢，则是累九十黍以为长，积千二百黍以为广，可见也。夫长九十黍，容千二百黍，则空围当有九方分，乃是围十分三厘八毫，径三分四厘六毫也。毎一分容十三黍又三分黍之一，以九十因之则一千二百也。又汉斛铭文云：律加量方尺圆其外，庣旁九厘五毫，羃百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。嘉量之法，合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为石。一石积一千六百二十寸，为分者一百六十二万；一斗积一百六十二寸，为分者十六万二千；一升积十六寸二分，为分者一万六千二百；一合积一寸六分二厘，为分者一千六百二十。则黄钟之龠为八百一十分明矣。空围八百一十分，则长累九十黍，广容一千二百黍矣。葢十其广之分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。自孟康以律之长十之一为围之谬，其后韦昭之徒遂皆有径三分之説，而隋志始着以为定论。然累九十黍，径三黍，止容黍八百有竒，终与一千二百黍之法两不相通，而律竟不成。唐因声制乐，虽近于古，而律亦非是。本朝承袭，皆不能觉。独胡安定以为九分者方分也，以破径三分之法。然所定之律不本于声气之元，一取之秬黍，故其度量权衡皆与古不合。又不知变律之法，但见仲吕反生，不及黄钟之数，乃迁就林钟以下诸律围径，以就黄钟清声，以夷则、南吕为径三分，围九分；无射为径二分八厘，围八分四厘；应钟为径二分六厘五毫，围七分九厘五毫。夫律以空围之同，故其长短之异，可以定声之高下；而其所以为广狭长短者，又莫不有自然之数，非人之所能为也。今其律之空围不同如此，则亦不成律矣。遂使十二律之声皆不当位，反不如何岘旧乐之为条理，亦可惜也。房庻以径三分，周围九分，累黍容受不能相通，遂废一黍为一分之法，而增益班志八字以就其説。范蜀公乃从而信之，过。
黄钟之实第三
淮南子》曰：规始于一，一不生，故分而为隂阳。隂阳合和而万物生，故曰：一生二，二生三，三生万物。天地三月而为一时，故祭祀三饭以为礼，丧纪三踊以为节，兵重三罕以为制。三叅物，三三如九。故黄钟之九寸而宫音调，因而九之，九九八十一，故黄钟之数立焉。黄者，土徳之色；钟者，气所种也。日冬至，徳气为土，土色黄，故曰黄钟。律之数六分，为雌雄，故曰十二分，以副十二月。十二各以三成，故置一而十一三之为积分，十七万七千一百四十七。黄钟大数立焉。○《前汉志》曰：太极元气，函三为一，极中也，元始也。行于十二辰，始动于子，参之于丑，得三；又参之于寅，得九；又参之于邜，得二十七；又参之于辰，得八十一；又参之于已，得二百四十三；又参之于午，得七百二十九；又参之于未，得二千一百八十七；又参之于申，得六千五百六十一；又参之于酉，得万九千六百八十三；又参之于戌，得五万九千□□四十九；又参
译本朝胡瑗在《定律吕议》中说：“考察历代律吕的制度，黄钟律管长九十黍，其横截面积积九方寸，这是长度的起源；容积一千二百黍，体积八百一十分，这是容量的起源；重量十二铢，这是权衡的起源。既然度量权衡都出自黄钟之龠，那么黄钟之龠的周长、直径、容积，可以取这四者的法则，互相验证，使其不失去真实。现在检验黄钟律管，每长一分，内部容纳十三黍又三分黍之一；横截面容纳九方分。后世的儒者拘守单一法则，大多不能贯通权量之法，只制作尺来求律，便作为确证，因此说‘围九分’，只是取空围圆长九分罢了。因为‘围九分’的错误，于是有了‘径三分’的说法。如果遵循径三围九的法则，黄钟律管只容纳九百黍，体积只六百七分半，这样黄钟的声音就无法端正，权量之法就无法产生，周朝的嘉量，汉朝的铜斛，都不符合这个数目了。”
考察十二律的周长直径，自先秦以前的传记都没有明文记载。只有《汉书·律历志》说：黄钟八百一十分，由此义理推演出十二律的周长直径。然而这种说法是用律管的长度自乘再乘以十，大概是配合而成的说法，不能作为依据。只有《审度》篇说：一黍的宽度，度量黄钟长度的九十分，一为一分。《嘉量》篇则用一千二百黍填满其龠，《分衡权》篇则用一千二百黍作为十二铢，由此可见，累加九十黍作为长度，积一千二百黍作为宽度，是显而易见的。长度九十黍，容积一千二百黍，那么空围应当有九方分，也就是周长十分三厘八毫，直径三分四厘六毫。每分容纳十三黍又三分黍之一，用九十相乘就是一千二百。又汉朝斛的铭文说：律管加量方尺圆其外，边缘宽九厘五毫，面积一百六十二寸，深一尺，体积一千六百二十寸，容纳十斗。嘉量的法则，合龠为合，十合为升，十
之于亥，得十七万七千一百四十七。此隂阳合徳，气钟于子，化生万物者也。○《律书》曰：置一而九三之以为法，实如法得长一寸，凡得九寸，命曰黄钟之律。
译在亥位，得到十七万七千一百四十七。这是阴阳合德，气聚于子位，从而化生万物的道理。○《律书》说：取一作为基数，乘以九十三作为法数，用实数除以法数，得到长为一寸，总共得到九寸，命名为黄钟之律。
按《淮南子》谓置一而十一三之以为黄钟之大数，即此置一而九三之以为寸法者，其术一也。夫置一而九三之，既为寸法，则七三之为分法，五三之为厘法，三三之为毫法，一三之为丝法，从可知矣。《律书》独举寸法者，葢已生于钟分内，黙具律寸分厘毫丝之法，而又于此律数之下指其大者以明凡例也。一三之而得三，三三之而得二十七，五三之而得二百四十三，七三之而得二千一百八十七，九三之而得一万九千六百八十三。故一万九千六百八十三以九分之，则为二千一百八十七；二千一百八十七以九分之，则为二百四十三；二百四十三以九分之，则为二十七；二十七以九分之，则为三。三者丝法也。九其三得二十七，则毫法也；九其二十七得二百四十三，则厘法也；九其二百四十三得二千一百八十七，则分法也；九其二千一百八十七得一万九千六百八十三，则寸法也。一寸九分，一分九厘，一厘九毫，一毫九丝，以之生十一律，以之生五声，二变上下乗除参同契合，无所不通，葢数之自然也。顾自《淮南》、太史公之后，即无识其意者。如京房之六十律，虽亦用此十七万七千一百四十七之数，然乃谓不盈寸者十之所得为分，又不盈分者十之所得为小分，以其余为强弱，不知黄钟九寸以三损益数不出九，茍不盈分者十之，则其竒零无时而能尽，虽泛以强弱该之，而卒无以见强弱之为几何，则其数之精防，固有不可得而纪者矣。至于杜佑、胡瑗、范蜀公等，则又不复知有此数，而以意强为之法，故《通典》则自南吕而下各自为法，固不可以见分厘毫丝之实。胡、范则止用八百一十分，乃是以积实生量之数为律之长，而其因乗之法亦用十数，故其余筭亦皆弃而不録，葢非有意于弃之，实其重分累析至于无数之可纪，故有。所不得而録耳。夫自丝以下，虽非日力之所能分，然既有其数，而或一算之差，则法于此而遂变。不以约十为九之法分之，则有终不可得而齐者。故淮南、太史公之书，其论此也已详，特房等有不察耳【司马贞《史记索隐注》：黄钟八寸十分一，云律九九八十一，故云八寸十分一。《汉书》云长九寸者九分之寸也，此则古人论律以九分为寸之明騐也】
三分损益上下相生第四
吕氏春秋》曰：黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生防賔，防賔生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、防賔为上；林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。《淮南子》曰：黄钟位子，其数八十一，主十一月，下生林钟。林钟之数五十四，主六月，上生太簇。太簇之数七十二，主正月，下生南吕。南吕之数四十八，主八月，上生姑洗。姑洗之数六十四，主三月，下生应钟。应钟之数四十二，主十月，上生防賔。防賔之数五十六，主五月，上生大吕。大吕之数七十六，主十二月，下生夷则。夷则之数五十一，主七月，上生夹钟。夹钟之数六十八，主二月，下生无射。无射之数四十五，主九月，上生仲吕。仲吕之数六十，主四月，极不生。
按《吕氏·淮南子》上下相生，与司马氏《律书》、《汉前志》不同。虽大吕、夹钟、仲吕用倍数则一，然《吕氏·淮南》不过以数之多寡为生之上下，律吕隂阳皆错乱而无伦，非其本法也。
律书生钟分
子一分，丑三分二，寅九分八，夘二十七分十六，辰八十一分六十四，巳二百四十三分一百二十八，午七百二十九分五百一十二，未二千一百八十七分一千口口二十四，申六千五百六十一分四千口口九十六，酉一万九千六百八十三分八千一百九十二，戌五万九千口口四十九分三万二千七百六十八，亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。
按此即三分损益上下相生之数，其分字以上者，皆黄钟之全数【子律数，寅寸数，辰分数，午厘数，申毫数，
译查考《淮南子》说，设定基数为一，然后乘以三九次，以此作为黄钟的总数值；这与这里设定基数为一，乘以三九次作为寸法的方法，其原理是相同的。既然设定基数为一并乘以三九次作为寸法，那么乘以三七次作为分法，乘以三五次作为厘法，乘以三三次作为毫法，乘以三一次作为丝法，由此可以推知了。《律书》只列举寸法，大概是因为它已经包含在钟的分值之内，暗中具备了律的寸、分、厘、毫、丝的法度，又在这律数之下指出其最大的数值，以阐明一般的法则。乘以三一次得到三，乘以三三次得到二十七，乘以三五次得到二百四十三，乘以三七次得到二千一百八十七，乘以三九次得到一万九千六百八十三。所以，一万九千六百八十三除以九，就是二千一百八十七；二千一百八十七除以九，就是二百四十三；二百四十三除以九，就是二十七；二十七除以九，就是三。三是丝法。三的九倍是二十七，就是毫法；二十七的九倍是二百四十三，就是厘法；二百四十三的九倍是二千一百八十七，就是分法；二千一百八十七的九倍是一万九千六百八十三，就是寸法。一寸有九分，一分有九厘，一厘有九毫，一毫有九丝，用这些来生成十二律，用这些来生成五声，二变（变宫、变徵）上下乘除参同契合，没有不通畅的，这大概是数理的自然规律。但是自从《淮南子》、太史公之后，就没有人理解其中的意思了。比如京房的六十律，虽然也使用这个十七万七千一百四十七的数值，但他却认为不足一寸的，用十进位得到分，不足分的，用十进位得到小分，用余数来表示强弱，不知道黄钟九寸用三分损益法，数值不出九的范围，如果不足分的用十进位，那么那些零余数永远无法除尽，虽然泛泛地用强弱来概括，但最终无法看出强弱具体是多少，那么其数值的精微之处，本来就无法记载了。至于杜佑、胡瑗、范镇等人，则不再知道有这个数值，而是凭主观臆断强行制定法则，所以《通典》从南吕以下各自制定法则，本来就无法体现分、厘、毫、丝的实际。胡瑗、范镇则只用八百一十分，这是用积实生量的数值作为律的长度，而其因乘的方法也使用十进制，所以其余的计算也都舍弃不记录，大概不是有意舍弃，实在是因为重复分割累析以至于数值无法记载，所以不得不舍弃罢了。至于丝以下的单位，虽然不是一天的精力所能分割的，但既然有这些数值，如果有一算的误差，那么法则在这里就会改变。不用约十为九的方法分割，就有最终无法整齐划一的情况。所以《淮南子》、太史公的书，论述这些已经很详细了，只是京房等人没有察觉罢了【司马贞《史记索隐注》：黄钟长八寸十分之一，说律数九九八十一，所以说八寸十分之一。《汉书》说长九寸的是九分之一的寸，这就是古人论律以九分为寸的明显证据】
三分损益上下相生第四
《吕氏春秋》说：黄钟生出林钟，林钟生出太簇，太簇生出南吕，南吕生出姑洗，姑洗生出应钟，应钟生出蕤宾，蕤宾生出大吕，大吕生出夷则，夷则生出夹钟，夹钟生出无射，无射生出仲吕。三分所生，增加一分以上生；三分所生，减去一分以下生。黄钟、大吕、太簇、夾钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上；林钟、夷则、南吕、无射应钟为下。《淮南子》说：黄钟位于子位，其数为八十一，主管十一月，下生林钟。林钟的数为五十四，主管六月，上生太簇。太簇的数为七十二，主管正月，下生南吕。南吕的数为四十八，主管八月，上生姑洗。姑洗的数为六十四，主管三月，下生应钟。应钟的数为四十二，主管十月，上生蕤宾。蕤宾的数为五十六，主管五月，上生大吕。大吕的数为七十六，主管十二月，下生夷则。夷则的数为五十一，主管七月，上生夹钟。夹钟的数为六十八，主管二月，下生无射。无射的数为四十五，主管九月，上生仲吕。仲吕的数为六十，主管四月，极不生。
查考《吕氏春秋》《淮南子》上下相生的说法，与司马迁《律书》、《汉书·律历志》不同。虽然大吕、夹钟、仲吕使用倍数则相同，然而《吕氏春秋》《淮南子》不过以数值的多少来决定相生的上下，律吕阴阳都错乱而没有条理，不是它们的本来法则。
律书生钟分
子一分，丑三分二，寅九分八，卯二十七分十六，辰八十一分六十四，巳二百四十三分一百二十八，午七百二十九分五百一十二，未二千一千八十七分一千口口二十四，申六千五百六十一点四千口口九十六，酉一万九千六百八十三分八千一百九十二，戌五万九千口四十九分三万二千七百六十八，亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十三十六。
查考这就是三分损益上下相生的数值，其“分”字以上的，都是黄钟的完整数值【子律数，寅寸数，辰分数，午毫数，申毫数，
戌丝数，其丑、夘、巳、未、酉、亥则三分律、寸、分、厘、毫、丝之法也】其分字以下者，诸律所取于黄钟长短之数也【假令子一分，则一为九寸，是黄钟之全数；丑三分二，则一为三寸三三如九，亦是黄钟之九寸二分，取其二，故林钟得六寸；寅九分八，则一为一寸，亦是黄钟之九寸九分，取其八，故太簇得八寸】其上下相生之叙，则晋志所谓在六律为阳，则当位自得而下生于隂；六吕为隂，则得其所冲而上生于阳者是也【丑为林钟，夘为南吕，巳为应钟，未为大吕，酉为夹钟，亥为仲吕】大吕、夹钟、仲吕止得半声，必用倍数，乃与天地之气相应，其寸、分、厘、毫、丝皆积九以为法，详见上章。
译戌、丝、数，其中丑、卯、巳、未、酉、亥则是三分律、寸、分、厘、毫、丝的法则】其“分”字以下的数值，是各律从黄钟长短数值中取出的结果【假如子位为一分，那么一就对应九寸，这是黄钟的完整数值；丑位为三分之二，那么一就对应三寸三分三厘，也就是黄钟的九寸二分，取其三分之二，所以林钟得到六寸；寅位为九分之八，那么一就对应一寸，也就是黄钟的九寸九分，取其九分之八，所以太簇得到八寸】其上下相生的次序，就是《晋书·律历志》所说的：在六律中属于阳的，就处于本位自然生成，并向下生出阴律；在六吕中属于阴的，就得到其所冲克的位置，并向上生出阳律【丑对应林钟，卯对应南吕，巳对应应钟，未对应大吕，酉对应夹钟，亥对应仲吕】大吕、夹钟、仲吕只得到半声，必须使用倍数，才能与天地之气相应，其寸、分、厘、毫丝都以积九作为法则，详见上一章。
汉前志》曰：黄钟三分损一，下生林钟；三分林钟益一，上生太簇；三分太簇损一，下生南吕；三分南吕益一，上生姑洗；三分姑洗损一，下生应钟；三分应钟益一，上生防賔；三分防賔损一，下生大吕；三分大吕益一，上生夷则；三分夷则损一，下生夹钟；三分夹钟益一，上生无射；三分无射损一，下生仲吕。隂阳相生，自黄钟始，而左旋八八为伍。○《律书》曰：术曰：以下生者，倍其实，三其法；上生者，四其实，三其法【假令黄钟九寸，下生则倍其实为一尺八寸，三其法乃为六寸，而得林钟；林钟六寸，上生则四其实为二尺四寸，三其法乃为八寸，而得太簇，他皆仿此】○《汉后志》曰：术曰：阳以图为形，其性动；隂以方为节，其性静。动者数三，静者数二。以阳生隂，倍之；以隂生阳，四之。皆三而一。阳生隂曰下生，隂生阳曰上生。上生不得过黄钟之清浊，下生不得及黄钟之数。实皆参天两地，圆葢方覆，六耦承竒之道也。黄钟律吕之首，而生十一律者也。
和声第五
汉前志曰：「黄钟为宫，则太簇、姑洗、林钟、南吕皆以正声应，无有忽防，不复与他律为役者，同心一统之义也。非黄钟而他律，虽当其月自宫者，则其和应之律有空积忽防，不得其正。此黄钟至尊，亡与并也。」
按黄钟为十二律之首，他律无大于黄钟，故其正声不为他律役，其半声当为四寸五分。而前乃云无者，以十七万七千一百四十七之数不可分，乂三分损益上下相生之所不及，故亦无所用也。至于大吕之变宫，夹钟之羽，仲吕之征，防賔之变征，夷则之角，无射之商，自用变律半声，非复黄钟矣。此其所以最尊而为君之象，然亦非人之所能为，乃数之自然。他律虽欲役之，而不可得也。此一节最为律吕旋宫用声之纲领，古人言之已详，唯杜佑《通典》再生黄钟之法为得之，而他人皆不及也【右説见下条】
汉后志京房六十律
黄钟【子】黄钟生林钟【未】林钟生太簇【寅】太族生南吕【酉】南吕生姑洗【辰】姑洗生应钟【亥】应钟生防賔【午】防賔生大吕【丑】大吕生夷则【申】夷则生夹钟【夘】夹钟生无射【戌】无射生仲吕【巳】仲吕生执始【子】执始生去灭【未】去灭生时息【寅】时息生结躬【酉】结躬生变虞【辰】变虞生迟内【亥】迟内生盛变【午】盛变生分否【丑】分否生觧形【申】觧形生开时【夘】开时生闭掩【戌】闭掩生南中【巳】南中生丙盛【子】丙盛生安度【未】安度生屈齐【寅】屈齐生归期【酉】归期生路时【辰】路时生未育【亥】未育生离宫【午】离宫生凌隂【丑】凌隂生去南【申】去南生族嘉【夘】族嘉生邻齐【戌】邻齐生内负【巳】内负生分动【子】分动生归嘉【未】归嘉生随时【寅】随时生未夘【酉】未夘生形始【辰】形始生迟时【亥】迟时生制时【午】制时生少出【丑】少出生分积【申】分积生争南【夘】争南生期保【戌】期保生物应【巳】物应生质未【子】质未生否与【未】否与生形晋【寅】形晋生惟汗【酉】惟汗生依行【辰】依行生包育【亥】包育生谦待【未】谦待生未知【寅】未知生白吕【酉】白吕生南授【辰】南授生分乌【亥】分乌生南事【午】按世之论律者皆以十二律为循环相生不知三分损益之数往而不返仲吕再生黄钟止得八寸七分有竒不成黄钟正声京房觉其如此故仲吕再生别名执始转生四十八律其三分损益不尽之筭或弃或增夫仲吕上生不成黄钟京房之见则是矣，至于转生四十八律，则是不知变律之数，止于六者出于自然，不可复加，虽强加之而亦无所用也。况律学防妙，其生数立法，正在毫厘秒忽之间，今乃以不尽之筭，不容损益，遂或弃之，或増之，则其畸赢赘亏之积，亦不得为此律矣。又依行在辰上生，包育编于黄钟之次，乃是隔九。其黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗，毎律统五律；防賔、应钟，毎律统四律；大吕、夹钟、仲吕、夷则、无射，毎律统三律。三五不周，多寡不例，其与反生黄
译《汉书·律历志上》说：黄钟长度三分减去一分，向下生出林钟；林钟长度三分增加一分，向上生出太簇；太簇长度三分减去一分，向下生出南吕；南吕长度三分增加一分，向上生出姑洗；姑洗长度三分减去一分，向下生出应钟；应钟长度三分增加一分，向上生出蕤宾；蕤宾长度三分减去一分，向下生出大吕；大吕长度三分增加一分，向上生出夷则；夷则长度三分减去一分，向下生出夹钟；夹钟长度三分增加一分，向上生出无射；无射长度三分减去一分，向下生出仲吕。阴阳相互滋生，从黄钟开始，向左旋转，每八个为一组。○《律书》说：方法说：向下生的，加倍其实数，除以三其法数；向上生的，四倍其实数，除以三其法数【假如黄钟长九寸，向下生则加倍其实数为一尺八寸，除以三其法数得到六寸，从而得到林钟；林钟长六寸，向上生则四倍其实数为二尺四寸，除以三其法数得到八寸，从而得到太簇，其他都仿照此法】○《汉书·律历志下》说：方法说：阳以圆形为形体，其性质是动的；阴以方形为节制，其性质是静的。动的数用三，静的数用二。用阳生阴，加倍；用阴生阳，四倍。都除以三取其一。阳生阴叫向下生，阴生阳叫向上生。向上生不能超过黄钟的清浊限度，向下生不能达到黄钟的数值。实数都参合天三地二，圆盖方覆，遵循六偶承奇的道。黄钟是律吕的首领，由此生出十一律。
和声第五
《汉书·律历志上》说：“黄钟作为宫音，那么太簇、姑洗、林钟、南吕都用正声相应，没有忽防（微小误差），不再受其他律支配，这是同心一统的意义。如果不是黄钟而是其他律，虽然在其当月自为宫音，那么其和应的律有空积忽防，得不到正声。这是黄钟至尊，没有能与之并列的。”
按：黄钟是十二律的首领，其他律没有比黄钟更大的，所以它的正声不受其他律支配，它的半声应当是四寸五分。而前面说没有（忽防），是因为十七万七千一百四十七这个数不可分，又因为三分损益上下相生所不及，所以也没有用处。至于大吕的变宫，夹钟的羽，仲吕的徵，蕤宾的变徵，夷则的角，无射的商，各自使用变律的半声，不再是黄钟了。这就是它最尊贵而作为君主的象征，然而也不是人力所能为，而是数的自然。其他律虽然想支配它，却做不到。这一节是律吕旋宫用声的纲领，古人已经说得很详细，只有杜佑《通典》中再生黄钟的方法得到了它，而其他人都不及【右说见下条】
《汉书·律历志下》京房六十律
黄钟【子】黄钟生林钟【未】，林钟生太簇【寅】，太簇生南吕【酉】，南吕生姑洗【辰】，姑洗生应钟【亥】，应钟生蕤宾【午】，蕤宾生大吕【丑】，大吕生夷则【申】，夷则生夹钟【卯】，夹钟生无射【戌】，无射生仲吕【巳】，仲吕生执始【子】，执始生去灭【未】，去灭生时息【寅】，时息生结躬【酉】，结躬生变虞【辰】，变虞生迟内【亥】，迟内生盛变【午】，盛变生分否【丑】，分否生解形【申】，解形生开时【卯】，开时生闭掩【戌】，闭掩生南中【巳】，南中生丙盛【子】，丙盛生安度【未】，安度生屈齐【寅】，屈齐生归期【酉】，归期生路时【辰】，路时生未育【亥】，未育生离宫【午】，离宫生凌阴【丑】，凌阴生去南【申】，去南生族嘉【卯】，族嘉生邻齐【戌】，邻齐生内负【巳】，内负生分动【子】，分动生归嘉【未】，归嘉生随时【寅】，随时生未卯【酉】，未卯生形始【辰】，形始生迟时【亥】，迟时生制时【午】，制时生少出【丑】，少出生分积【申】，分积生争南【卯】，争南生期保【戌】，期保生物应【巳】，物应生质未【子】，质未生否与【未】，否与生形晋【寅】，形晋生惟汗【酉】，惟汗生依行【辰】，依行生包育【亥】，包育生谦待【未】，谦待生未知【寅】，未知生白吕【酉】，白吕生南授【辰】，南授生分乌【亥】，分乌生南事【午】。
按：世上谈论律的人，都以十二律为循环相生，不知道三分损益的数是往而不返的，仲吕再生黄钟只得到八寸七分有余，不成黄钟正声。京房觉察到这样，所以仲吕再生别名执始，转生四十八律，其三分损益不尽的计算，或舍弃或增加。夫仲吕向上生不成黄钟，京房的见解是对的，至于转生四十八律，则是不懂变律的数，止于六者出于自然，不可再加，虽然强行加上也没有用处。况且律学微妙，其生数立法，正在毫厘秒忽之间，现在以不尽的计算，不容损益，于是或舍弃或增加，那么其畸零赘亏的积累，也不能成为此律了。又依行在辰上生，包育排在黄钟之后，乃是隔九。其黄钟、林钟、太族、南吕、姑洗，每律统五律；蕤宾、应钟，每律统四律；大吕、夹钟、仲吕夷则、无射，每律统三律。三五不周，多寡不一，其与反生黄
钟相去五十百步之间耳。意者房之所▯，出于焦氏，焦氏卦气之学，亦去四而为六十，故其推律亦必求合卦气之数。不知数之自然，在律者不可増，而于卦者不可减也。何承天、刘焯讥房之病，葢得其一二，然承天与焯皆欲增林钟已下十一律之分，使至仲吕反生黄钟，还得十七万七千一百四十七之数。如此则是惟黄钟一律成律，他十一律皆不应三分损益之数，其尖又甚于房矣，可谓目察秋毫而不见其睫也。
译钟相去五十百步之间耳。大概房氏的理论，源自焦氏，焦氏的卦气学说，也是舍弃四而取六十，所以他推算音律也必定要符合卦气的数目。他不知道数目的自然规律，在于音律方面不可增加，而在卦气方面不可减少。何承天、刘焯批评房氏的弊病，大概只得到了一二，然而何承天与刘焯都想增加林钟以下十一律的分数，使得到了仲吕能够反生出黄钟，从而重新得到十七万七千一百四十七这个数目。像这样，那么就只有黄钟这一律符合音律，其他十一律都不符合三分损益的数目，他们的错误又比房氏更严重了，可以说这是能看清秋毫之末却看不见自己的睫毛。
杜佑《通典》曰：「陈仲儒云：调声之体，宫商宜浊，征羽宜清。若依公孙崇止，以十二律而云还相为宫，清浊悉足，非惟未练五调调器之法，至于五声次第，自是不足。何者？黄钟为声气之元，其管最长，故以黄钟为宫，太簇为商，林钟为征，则一相顺。若均之八音，犹湏错采众声，配成其美。若以应钟为宫，大吕为商，防賔为征，则征浊而宫清，虽有其韵，不成音曲。若以无射为宫，则十二律中惟得取仲吕为征，其商角羽并无其韵。若以仲吕为宫，则十二律内全无所取。何者？仲吕为十二律之穷，变律之首也。依京房书，仲吕为宫，乃以去灭为商，执始为征，然后成韵。而崇乃以仲吕为宫，犹用林钟为商，黄钟为征，何由可谐？」
按仲儒所以攻公孙崇者，当矣。其论应钟为宫，大吕为商，防賔为徴，商征皆浊于宫，虽有其韵，不成音曲。又谓仲吕为宫，则十二律内全无所取，由为的切然。仲儒所主，是京氏六十律，不知依行为宫，包育为征，果成音曲乎？果有其韵乎？盖仲儒知仲吕之反生不可为黄钟，而不知变至扵六则数穷不生，虽或增或弃，成就使然之数，强生余律，亦无所用也。
通典曰：十二律相生之法，自黄钟始【黄钟之管九寸】三分损益下生林钟，林钟上生太簇，太簇下生南吕，南吕上生姑洗，姑洗下生应钟，应钟上生防賔，防賔上生大吕，大吕下生夷则，夷则上生夹钟，夹钟下生无射，无射上生仲吕【仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四】此谓十二律长短相生，一终于仲吕之法。又制十二钟，以准十二律之正声。又鳬氏为钟，以律计，自倍半以子声比正声，则正声为倍；以正声比子声，则子声为半。但先儒释用倍声有二义：一义云，半十二律正律为十二子声之钟；二义云，从于仲吕之管寸数，以三分益一上生黄钟，以所得管之寸数，然后半之以为子声之钟。其为变正声之法者，以黄钟之管正声九寸，子声则四寸半。又上下相生之法者，以仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四，上生黄钟，三分益一，得八寸五万九千□□四十九分寸之五万一千八百九十六，半之得四寸五万九千□□四十九分寸之二万五千九百四十八，以为黄钟。又上下相生，以至仲吕，皆以相生所得之律寸数半之，以为子声之律。
按此説，黄钟九寸，生十一律，有十二子声，所谓正律正半律也。又自仲吕上生黄钟，黄钟八寸五万九千□□四十九分寸之五万一千八百九十六，又生十一律，亦有十二子声，即所谓变律变半律也。正变及半，凡四十八声，上下相生，最得汉志所谓「黄钟不复为他律役」之意，与律书五声大小次第之法。但变律止于应钟，虽设而无所用，则其实三十六声而已。其间阳律不用变声，而黄钟又不用正半声，隂吕不用正半声，而应钟又不用变半声，其实又二十八声而已。其详见于前篇之八章。
五声小大之次第六
国语》曰：「大不逾宫，细不过羽。夫宫音之生也，第以及羽。」律书曰：「律数九九，八十一以为宫，三分去一，五十四。」
以为徴，三分益一七十二，以为商，三分去一四十八，以以为羽，三分益一六十四，以为角。○《通典》曰：古之神瞽攷律均声，必先立黄钟之均也【声十二律起黄钟之气数】黄钟之管以九寸为法【度其中气明其阳数之极】故用九自乗为管丝之数【九九八十一数】其增减之法，又以三为度，以上生者皆三分益一，下生者皆三分去一。宫生徴【三分宫数八十一，则分各二十七，下生者去一，去二十七余有五十四，以为徴，故徴数五十四也】徴生商【三分徴数五十四，则分各十八，上生者益一，加十八于五十四得七十二，以为商，故商数七十二也】商生羽【三分商数七十二，则分各二十四，下生者去其一，去二十四得四十八，以为羽，故羽数四十八也】羽生角【三分羽数四十八，则分各十六，上生者益一，加十六于四十八则得六十四，以为角，故角数六
译杜佑《通典》说：“陈仲儒说：调节声律的原则，宫、商应当浊，徵、羽应当清。如果依照公孙崇的说法，用十二律循环互为宫音，清浊都完备，这不仅没有熟习五调调器之法，至于五声的次序，本来就不完备。为什么呢？黄钟是声气的基础，它的律管最长，所以以黄钟为宫，太簇为商，林钟為徵，则相互顺承。如果均分八音，还需要交错众声，配合成其美妙。如果以应钟为宫，大吕为商，蕤宾为徵，则徵浊而宫清，虽然有其韵致，却不成音曲。如果以无射为宫，则十二律中只能取仲吕为徵，其商、角、羽都没有相应的韵致。如果以仲吕为宫，则十二律内完全无法选取。为什么呢？仲吕是十二律的尽头，变律的开端。依照京房的书，仲吕为宫，才以去灭为商，执始为徵，然后才成韵致。而公孙崇却以仲吕为宫，仍然用林钟为商，黄钟为徵，怎么能和谐呢？”
按：陈仲儒攻击公孙崇，是恰当的。他论述应钟为宫，大吕为商，蕤賓为徵，商、徵都浊于宫，虽然有其韵致，却不成音曲。又说仲吕为宫，则十二律内完全无法选取，这是确切无疑的。陈仲儒所主张的，是京氏六十律，不知道依照行为宫，包育为徵，果真能成音曲吗？果真有其韵致吗？大概陈仲儒知道仲吕反生不能成为黄钟，却不知道变至六则数理穷尽不再相生，即使增减凑成必然的数理，强行生出余律，也没有用处。
《通典》说：十二律相生的法则，从黄钟开始【黄钟的律管九寸】，三分损益，下生林钟，林钟上生太簇，太策下生南吕，南吕上生姑洗，姑洗发下生应钟，应钟上生蕤宾，蕤宾上生大吕，大吕下生夷则，则上生夹钟，夹钟下生无射，上生仲吕【仲吕的律管长六寸一万九千六百八十三分寸之二万九百七十四】，这叫做十二律长短相生，终于仲吕的法则。又制作十二钟，以准十二律的正声。又凫氏制作钟，以律计算，从倍半以子声比正声，则正声加倍；以正声比子声，则子声减半。但先儒解释使用倍声有两种含义：一种说法是，十二律正律的一半为十二子声之钟；另一种说法是，从仲吕的律管寸数，以三分益一上生黄钟以所得律管的寸数，然后减半作为子声之钟。其改变正声的方法，以黄钟的律管正声九寸，子声则为四寸半。又上下相生的方法，以仲吕的律管长六寸一万九千六百八三分寸之二万九百七十四，上生黄钟，三分益，得八寸五万九千□□四十九分之二万五千九百四十八，减半得四寸五万九千□□四十九分之二万九百四十八，作为黄钟。又上下相生，直到仲吕，都以相生所得的律管寸数减半，作为子声的律。
按：这种说法，黄钟九寸，生出十一律，有十二子声，所谓正律、正半律。又自仲吕上生黄钟，黄钟为八寸五万九千□□四十九分之五万一千八百九十六，又生出十一律，也有十二子声，即所谓变律、变半律。正、变及半，共四十八声，上下相生，最符合《汉书·律历志》所谓“黄钟不再被其他律役使”的意思，以及《律书》五声大小次序的法则。但变律止于应钟，虽然设立却没有用处，实际上只有三十六声。其中阳律不用变声，而黄钟又不使用正半声，阴吕不用正半声，而应钟又不使用变半声，实际上只有二十八声。其详细情况见前篇第八章。
五声大小次序第六
《国语》说：“大的不超过宫，细的不超过羽。宫音的产生，从宫直到羽。”《律书》说：“律数九九，八十一作为宫，三分去一，五十四作为徵，三分益一七十二作为商，三分去一四十八作为羽，三分益一六十四作为角。”○《通典》说：古代的神瞽考律均声，必须先确立黄钟的均【声十二律起于黄钟的气数】，黄钟的律管以九寸为法【度量其中气，明确其阳数的极致】，所以用九自乘作为管丝之数【九九八十一数】，其增减的方法，又以三为度，以上生者都三分益一，下生者都三分去一。宫生徵【三分宫数八十一，则每份二十七，下生者去一，去掉二十七剩余五十四，作为徵，所以徵数五十四】，徵生商【三分徵数五十四，则每份十八，上生者益一，加十八于五十六得七十二，作为商，所以商数七十二】，商生羽【三分商数七十二，则每份二十四，下生者去其一，去掉二十四得四十八，作为羽，所以羽数四十八】，羽生角【三分羽数四十八，则每份十六，上生者益一，加十六于四十六则得六十四，作为角，所以角数六
十四也】此五声小大之次也，是黄钟为均，用五声之法，以下十一辰，辰各有五声，其为宫商之法亦如之。辰各有五声，合为六十声，是十一律之正声也。
译第十四条】这是五声音阶由大到小的排列次序，以黄钟为基准音，运用五声的方法，往下推演十一辰，每一辰各有五声，其确定宫商的方法也与此相同。每一辰各有五声，合计为六十声，这就是十一律的正声。
按宫声之数八十一，商声之数七十二，角声之数六十四，徴声之数五十四，羽声之数四十八。是黄钟一均之数，而十一律于此取法焉。《通典》所谓“以下十一辰，辰各五声，其为宫为商之法亦如之”者，是也。夫以十二律之宫，长短不同，而其臣民事物尊卑莫不有序而不相陵犯，良以是耳。沈括不知此理，乃以为五十四在黄钟为徴，在夹钟为角，在仲吕为商者，其亦误矣。俗乐之有清声，葢亦畧知此意，但不知仲吕反生黄钟，黄钟又自林钟再生太簇，皆为变律，已非黄钟、太簇之清声耳。胡安定知其如此，故于四清声皆小其围径，则黄钟、太簇二声虽合，而大吕、夹钟二声又非本律之半，且自夷则至应钟四律，皆以次小其围径以就之，遂使十二律五声皆有不得其正者，则亦不成乐矣。若李照、蜀公正用十二律，则又全然不知此理者也。葢乐之和者在于三分损益，乐之辨者在于上下相生。若李照、蜀公之法，其合于三分损益者则和矣，自夷则已降，则其臣民事物岂能尊卑有辨而不相陵犯乎？晋荀朂之笛，梁武帝之通，亦不知此，而有作者也。
变宫变徴第七
春秋左氏传》晏子曰：「先生之齐，五味和，五声也，以平其心，成其政也。声亦如味：一气、二体、三类、四物、五声、六律、七音、八风、九歌，以相成也。」○《汉前志》曰：「书曰：『予欲闻六律、五声、八音、七始咏，以出纳五言，汝听。』」○《淮南子》曰：「宫生徴徴生商，商生羽，羽生角，角生应钟，不比于正音，故为和。应钟生防賔，不比于正音，故为缪。」○《通典》注曰：「按应钟为变宫，防賔为变徴。自殷以前，但有五音；自周以来，加文、武二声，谓之七声。五声为正，二声为变，变者和也。」
按宫与商，商与角，徴与羽，相去皆一律；角与徴，羽与宫，相去独二律。一律则近而和，二律则逺而不相及。故宫羽之间有变宫，角徴之间有变徴，此亦出于自然。左氏所谓七音，汉前志所谓七始，是也。然五声者，正声，故以起调毕曲，为诸声之纲。至二变声，则宫不成官，徴不成徴，不比于正音，但可以济五声之所不及而已。然有五音而无二变，亦不可以成乐也。
六十调第八
周礼》曰：春官大司乐，凡乐，圜钟为宫，黄钟为角，太簇为徴，姑洗为羽，雷鼓、雷鼗、孤竹之管、云和之琴瑟、云门之舞。冬日至于地上之圜丘，奏之，若乐六变，则天神皆降，可得而礼矣。凡乐，函钟为宫，太簇为角，姑洗为徴，南吕为羽，灵鼓、灵鼗、孙竹之管、空桑之琴瑟、咸池之舞。夏日至于泽中之方丘，奏之，若乐八变，则地示皆出，可得而礼矣。凡乐，黄钟为宫，大吕为角，太簇为徴，应钟为羽，路鼓、路鼗、隂竹之管、龙门之琴瑟、九徳之歌、九磬之舞，于宗庙之中，奏之，若乐九变，则人▯可得而礼矣。
按此祭祀之乐不用商声，只有宫、角、徴、羽四声，无变宫、变徴。葢古人变宫、变徴不为调也。《左氏传》曰：“中声以降，五降之后，不容弹矣。”夫五降之后更有变宫、变徴，而曰“不容弹”者，以二变之不可为调也【或问《周礼·大司乐》説宫、角、徴、羽与七声不合，如何？朱子曰：“此是降神之乐，如黄钟为宫，大吕为角，大簇为徴，应钟为羽，自是四乐各举其一者而言之。以大吕为角，则南吕为宫；太簇为徴，则林钟为宫；应钟为羽，则太簇为宫。以七声推之，合如此。注家之説非也】
礼记·礼运》曰：五声六律十二管，还相为宫也。郑氏注曰：五声，宫、商、角、徴、羽也。其管阳曰律，隂曰吕。布十二辰始于黄钟，管长九寸，下生者三分去一，上生者三分益一，终于仲吕，更相为宫，凡六十也。孔氏疏曰：黄钟为第一宫，下生林钟为徴，上生太簇为商，下生南吕为羽，上生姑洗为角。林钟为第二宫，上生太簇为徴，下生南吕为商，商上生姑洗为羽，下生应钟为角。太簇为第三宫，下生南吕为徴，上生姑洗为商，下生应钟为羽，上生防
译宫声的律管长度为八十一，商声为七十二，角声为六十四，徵声为五十四，羽声为四十八。这是黄钟作为宫声时一均的数值，其余十一律都依据这个法则来推演。《通典》中所说“以下十一辰，每辰各有五声，它们作为宫声或商声的方法也与此相同”，说的就是这个道理。因为十二律作为宫声时，律管长短不同，而臣民事物尊卑有序，互不侵扰，正是由于这个原因。沈括不明白这个道理，竟然认为五十四这个长度在黄钟律中是徵声，在夹钟律中是角声，在仲吕律中是商声，这显然是错误的。俗乐中有清声，大概也略微知道这个意思，但不知道仲吕反过来生出黄钟，黄钟又从林钟再生出太簇，这些都属于变律，已经不是黄钟、太簇的清声了。胡瑗（胡安定）知道情况如此，所以在四个清声的律管上都减小了围径，这样黄钟、太簇两个声音虽然能配合，但大吕、夹钟两个声音又不是本律的一半，而且从夷则到应钟这四个律，都依次减小围径来凑合，结果导致十二律的五声都不能得到正确的音高，这样就无法成乐了。至于李照、吕大防（蜀公）直接使用十二律，则又完全不懂得这个道理。大概音乐的和谐在于三分损益法，音乐的辨别在于上下相生。如果按照李照、吕大防的方法，那些符合三分损益法的就和谐了，但从夷则往下，那些臣民事物难道还能尊卑有别而不互相侵扰吗？晋代荀勖的笛子，梁武帝的通律，也不懂得这个道理，所以有那些错误的做法。
变宫变徵第七
《春秋左氏传》中晏子说：“先生来到齐国，五味调和，五声和谐，用来使人心平和，成就政事。声音也像味道一样：一气、二体、三类、四物、五声六律、七音、八风、九歌，互相配合而成。”○《汉书·律历志》说：“《尚书》说：‘我想听到六律、五声、八音、七始的咏唱，用来出纳五言，你要听。’”○《淮南子》说：“宫声生出徵声，徵声生出商声，商声生出羽声，羽声生出角声，角声生出应钟，应钟不归属于正音，所以称为和声。应钟生出蕤宾，蕤宾不归属于正音，所以称为缪声。”○《通典》注说：“考察应钟是变宫，蕤宾是变徵。从殷代以前，只有五音；从周代以来，增加了文、武两个声，称为七声。五声是正声，两个声是变声，变声是用来调和的。”
考察宫声与商声，商声与角声，徵声与羽声，相去都是一律；角声与徵声，羽声与宫声，相去却是二律。相去一律则距离近而和谐，相去二律则距离远而不能相接。所以在宫声和羽声之间有变宫，角声和徵声之间有变徵，这也是出于自然。《左氏传》所说的七音，《汉书·律历志》所说的七始，就是这个意思。然而五声是正声，所以用来起调终曲，作为各种声音的纲领。至于两个变声，宫声不成其为宫，徵声不成其为徵，不归属于正音，只能用来补救五声所不及的地方罢了。然而有五音而没有两个变声，也不能成乐。
六十调第八
《周礼》说：春官大司乐，凡是音乐，以圜钟为宫，黄钟为角，太蔟为徵，姑洗为羽，使用雷鼓、雷鼗、孤竹管、云和琴瑟、云门舞。冬至时在天地间的圜丘演奏，如果音乐演奏六变，那么天神都会降临，可以加以礼敬了。凡是音乐，以函钟为宫，太蔟为角，姑洗为徵，南吕为羽，使用灵鼓、灵鼗、孙竹管、空桑琴瑟、咸池舞。夏至时在泽中的方丘演奏，如果音乐演奏八变，那么地神都会出现，可以加以礼敬了。凡是音乐，以黄钟为宫，大吕为角，太蔟为徵，应钟为羽，使用路鼓、路鼗、阴竹管、龙门琴瑟、九德歌、九磬舞，在宗庙中演奏，如果音乐演奏九变，那么人神可以加以礼敬了。
考察这些祭祀的音乐不使用商声，只有宫、角、徵、羽四声，没有变宫、变徵。大概古人不把变宫、变徵作为调式。《左氏传》说：“中声往下，五降之后，就不能弹奏了。”五降之后还有变宫、变徵，却说“不能弹奏”，是因为两个变声不能作为调式【有人问《周礼·大司乐》所说的宫、角、徵、羽与七声不合，是怎么回事？朱熹说：“这是降神的音乐，比如黄钟为宫，大吕为角，太蔾为徵，应钟为羽，这是各自举出一种乐调来说的。以大吕为角，那么南吕就是宫；太蔾为徵，那么林钟就是宫；应钟为羽，那么太蔾就是宫。用七声来推演，应该如此。注家的说法是不对的”】
《礼记·礼运》说：五声六律十二管，循环互为宫声。郑玄注说：五声，是宫、商、角、徵、羽。律管阳声叫律，阴声叫吕。布置十二辰从黄钟开始，律管长九寸，下生者三分减一，上生者三分益一，到仲吕为止，互相作为宫声，总共六十个调。孔颖达疏说：黄钟作为第一宫，下生林钟为徵，上生太蔾为商，下生南吕为羽，上生姑冼为角。林钟作为第二宫，上生太蔾为徵，下生南吕为商，商声上生姑冼为羽，下生应钟为角。太蔾作为第三宫，下生南吕为徵，上生姑冼为商，下生应钟为羽，上生蕤
賔为角。南吕为第四宫，上生姑洗为徴，下生应钟为商，上生防賔为羽，下生太吕为角。姑洗为第五宫，下生应钟为徴，上生防賔为商，上生大吕为羽，下生夷则为角。应钟为第六宫，上生防賔为徴，上生大吕为商，下生夷则为羽，上生夹钟为角。防賔为第七宫，上生大吕为徴，下生夷则为商，上生夹钟为羽，下生无射为角。大吕为第八宫，下生夷则为徴，上生夹钟为商，下生无射为羽，上生仲吕为角。夷则为第九宫，上生夹钟为徴，下生无射为商，上生仲吕为羽，上生黄钟为角。夹钟为第十宫，下生无射为徴，上生仲吕为商，上生黄钟为羽，下生林钟为角。无射为第十一宫，上生仲吕为徴，上生黄钟为商，下生林钟为羽，上生太簇为角。仲吕为第十二宫，上生黄钟为徴，下生林钟为商，上生太簇为羽，下生南吕为角。是十二宫各有五声，凡六十声。《淮南子》曰：一律而五音，十二律而为六十音，因而六之，六六三十六，故三百六十音，以当一嵗之日，故律厯之数，天之道也。
译宾为角。南吕作为第四宫，向上相生姑洗为徵，向下相生应钟为商，向上相生蕤宾为羽，向下相生太吕为角。姑洗作为第五宫，向下相生应钟为徵，向上相生蕤宾为商，向上相生大吕为羽，向下相生夷则为角。应钟作为第六宫，向上相生蕤宾为徵，向上相生大吕为商，向下相生夷则为羽，向上相生夹钟为角。蕤宾作为第七宫，向上相生大吕为徵，向下相生夷则为商，向上相生夹钟为羽，向下相生无射为角。大吕作为第八宫，向下相生夷则为徵，向上相生夹钟为商，向下相生无射为羽，向上相生仲吕为角。夷则作为第九宫，向上相生夹钟为徵，向下相生无射为商，向上相生仲吕为羽，向上相生黄钟为角。夹钟作为第十宫，向下相生无射为徵，向上相生仲吕为商，向上相生黄钟为羽，向下相生林钟为角。无射作为第十一宫，向上相生仲吕为徵，向上相生黄钟为商，向下相生林钟为羽，向上相生太簇为角。仲吕作为第十二宫，向上相生黄钟为徵，向下相生林钟为商，向上相生太簇为羽，向下相生南吕为角。这十二宫各自拥有五声，总共六十声。《淮南子》说：一个律对应五种音，十二个律就对应六十个音，再乘以六，六六三十六，所以共有三百六十个音，用来对应一年的天数，因此律历的数理，就是天道的规律。
按声者，所以起调，毕曲为诸声之纲领。《礼运》所谓“还相为宫”，所以始于黄钟，终于南吕也。后世以变宫、变徴参而八十四调，其亦不攷矣。
▯气第九
后汉志《▯气之法，为室三重，户闭，涂衅必周密，布缇缦。室中以木为按，毎律各一，内庳外髙，从其方位，加律其上，以葭莩灰抑其内端，按厯而▯之。气至者灰去，其为气所动者，其灰防；人及风所动者，其灰聚。○隋志：后齐神武覇府田曺防军信都芳，深有巧思，能以管▯气，仰观云色。尝与人对语，即指天曰：“孟春之气至矣。”人往验管，而飞灰已应。毎月所▯，言皆无爽。又为轮扇二十四，埋地中，以测二十四气。每一气感，则一扇自动，他扇自住，与管灰相应，若符契焉。开皇九年，平陈后，髙祖遣毛爽及蔡子元于普明等，以▯节气，依古于三重宻室之内，以木为按，十有二具。毎取律吕之管，随十二辰位置于按上，而以土埋之上，平于地中，实葭莩之灰，以轻缇素覆律口。毎其月气至，与律冥符，则灰飞冲素散出于外。而气应有早晩，灰飞有多少。或初入月其气即应，或至中下旬间气始应者，或灰飞出三五夜而尽，或终月才飞少许者。高祖异之，以问牛▯牛▯对曰：“灰飞半出，为和气；吹灰全出，为猛气；吹灰不能出，为衰气。吹和气应者，其政平；猛气应者，其臣纵；衰气应者，其君暴。”高祖驳之曰：“臣纵君暴，其政不平，非日别而月异也。今十二月于一嵗之内，应用不同，安得暴君纵臣若斯之甚也？”宏不能对，令爽等草定其法。爽因稽诸故实，以着于篇，名曰《律谱》。其畧云：汉兴，张苍定律，乃推五胜之法，以为水徳，实因战国官失其守。后秦灭学，其道浸防。苍补缀之，未获详究。及孝武创制，乃置协律之官，用李延年以为都尉，颇解新声变曲，未达音律之源。至于元帝自晓音律，郎官京房亦达其妙。于后刘歆典领，奏着其始末，理渐研精。班氏《汉志》尽歆所出也。司马彪志，并房所出也。至于后汉，尺度稍长。魏代杜防，亦制律吕，以之▯气，灰悉不飞。晋光禄大夫荀朂得古铜管，校防所制长古四分，方知不调事由其误，乃依周礼更造古尺用之，定管声韵始调。左晋之后，渐又讹谬。至梁武帝时，犹有汲冢玉律。宋苍梧时，钻为横吹，然其长短厚薄，大体具存。臣先人栖诚，学筭祖暅，问律于何承天，沈研三纪，颇达其妙。后为太常丞，典司乐职，乃取玉管及宋太史尺，并以闻奏，诏付大匠依様制管。自斯以后，律又飞灰。侯景之乱，臣兄喜于大乐得之。后陈宣帝诣荆州为质，俄遇梁元帝败，喜没于周，适欲上闻。陈武帝立，遂以十二管衍为六十律，私▯气序，并有徴应。至太建，乃与均钟器合。
按律者，阳气之动，阳声之始，必声和气应，然后可以见天地之心。今不此之先，而乃区区于黍之纵横，古钱之大小，其亦难矣。然非精于厯数，则气节亦未易正也。
度量权衡第十
周礼》典瑞：“璧羡以起度。”玉人：“璧羡度尺，好三寸以为度。”按《尔雅》曰：“肉倍好，谓之璧。”羡，延也。此璧本圆径九寸，好三寸，肉六寸，而裁其两旁各半寸，以益上下也。其好三寸，所以为璧也；裁其两旁以益上下，所以为羡也。袤十寸，广八寸，所以为度尺也。“以为度者，以为长短之度也。”则周家十寸、八寸皆为尺矣。陈氏曰：“以十寸之尺起度，则十尺为丈，十丈为引；以八寸之尺起度，则八尺为防，倍防为常【説文》曰：“人手却十分动脉为寸，口十寸为尺。周制寸、咫、尺、防、常、仞皆以人体为法。”又曰：“妇人手八寸谓之咫，周尺也。”又曰：“丈，丈夫也。周制以八寸为尺，十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫】
淮南子》曰：秋分蔈定，蔈定而禾熟。律之数十二，故十二蔈而当一粟，十二粟而当一寸。律以当辰，音以当日。日之数十，故十寸而为尺，十尺而为丈。○《説苑》曰：度量权衡以粟生，之一粟为一分，十
译按声，是用来起调的，曲终时它是各种声音的纲领。《礼运》所说的“还相为宫”，就是始于黄钟，终于南吕的意思。后世用变宫、变徵参合而成八十四调，这也是没有考证清楚的。
〇气第九
后汉书《律历志》记载：〇气的方法，是建造三重密室，关闭门户，涂抹缝隙必须严密，铺设缇缦。室内用木头制作按架，每个律管各一个，内低外高，按照方位放置，把律管加在按架上，用葭莩灰压在律管内端，按照历法〇测。气至时灰会飞散，被气所动的，灰会飞扬；被人或风所动的，灰会聚拢。〇隋书《律历志》记载：后齐神武霸府田曹参军信都芳，很有巧思，能用管〇气，仰观云色。曾与人对话，便指着天说：“孟春之气到了。”人们去验证律管，飞灰已经应验。每月所〇测的，言辞都没有差错。又制作二十四扇轮扇，埋在地下，用来测二十四气。每一气感应，就有一扇自动，其他扇静止，与管灰相应，如同符契一样。开皇九年，平定陈朝后，高祖派遣毛爽及蔡子元于普明等人，以〇测节气，依照古法在三重密室之内，用木头制作按架，共十二具。每次取律吕之管，随十二时辰的位置放在按架上，并用土埋没，与地面齐平，填入葭莩灰，用轻薄的缇素覆盖律管口。每当某月气至，与律管冥冥相合，灰就飞冲缇素散出到外面。而气应有早晚，灰飞有多少。有的月初气就应验，有的到月中下旬气才应验；有的灰飞出三五夜就尽，有的整月才飞少许。高祖对此感到惊奇，询问牛〇。牛〇回答说：“灰飞一半出来，是和气；吹灰全部出来，是猛气；吹灰不能出来，是衰气。和气应验，说明政治公平；猛气应验，说明臣子放纵；衰气应验，说明君主暴虐。”高祖驳斥他说：“臣子放纵君主暴虐，政治不公平，不是每天每月都不同的。现在十二月在一年之内，应用不同，怎么能暴君纵臣到这种程度呢？”牛宏不能回答，高祖命令毛爽等人草拟确定其法。毛爽于是考察旧事，著于篇中，名叫《律谱》。其大略说：汉朝兴起，张苍定律，于是推演五胜之法，认为是水德，实际上是因战国时期官失其守。后来秦朝毁灭学术，其道逐渐消亡。张苍补缀它，未能详细探究。等到汉武帝创制，于是设置协律之官，任用李延年做都尉，他颇懂新声变曲，但未通达音律之源。至于汉元帝自己通晓音律，郎官京房也通达其妙。之后刘歆典领，奏著其始末，道理逐渐研精。班固《汉书·律历志》全是刘歆所出。司马彪《续汉书·律历志》，也是京房所出。到了后汉，尺度稍长。魏代杜夔，也制律吕，用来〇气，灰全不飞。晋光禄大夫荀勖得到古铜管，校验杜夔所制的比古管长四分，才知道不调的事由其误，于是依照《周礼》更造古尺使用，定管声韵才开始调和。左晋之后，逐渐又讹谬。到梁武帝时，还有汲冢玉律。宋苍梧王时，将其钻为横吹，但其长短厚薄，大体具存。我的先人栖诚，学算祖暅，问律于何承天，深研三纪，颇达其妙。后来做太常丞，典司乐职，于是取玉管及宋太史尺，一并上奏，诏令付大匠依样制管。从此以后，律又飞灰。侯景之乱时，我的兄长喜在大乐得到它。后来陈宣帝到荆州做人质，不久遇到梁元帝败亡，喜没于周朝，正欲上闻。陈武帝即位，于是以十二管衍为六十律，私〇气序都有征应。到太建年间，才与均钟器合。
按律，是阳气之动，阳声之始，必须声和气应，然后可以见天地之心。现在不先于此，却只在黍的纵横、古钱的大小上纠缠，这也太难了。然而不精通历数，气节也不容易正。
度量权衡第十
《周礼》典瑞：“璧羡以起度。”《玉人》：“璧羡度尺，好三寸以为度。”查《尔雅》说：“肉倍好，谓之璧。”羡，是延长的意思。此璧原本圆径九寸，好三寸，肉六寸，而在其两旁各裁去半寸，以增益上下。其好三寸，所以为璧；裁其两旁以增益上下，所以为羡。长十寸，宽八寸，所以为度尺。“以为度者，是作为长短的尺度。”那么周家十寸、八寸都是尺了。陈氏说：“以十寸之尺起度，那么十尺为丈，十丈为引；以八寸的尺起度，那么八尺为寻，倍寻为常。《说文》说：‘人手却十分动脉为寸，口十寸为尺。周的制度寸、咫、尺、寻、常、仞都以人体为法。’又说：‘妇人手八寸谓之咫，是周尺。’又说：‘丈，丈夫也。周的制度以八寸为尺，十尺为丈，人高八尺，所以叫丈夫。’”
《淮南子》说：秋分蔈定，蔈定而禾熟律的数十二，所以十二蔈而当一粟，十二粟而当一寸。律所当辰，音所当日。日的数十，所以十寸而为尺，十尺而为丈。〇《说苑》说：度量权衡以粟生，之一粟为一分，
分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈。○《易纬·通卦验》以十马尾为一分。○《孙子筭术》曰：蚕所吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈。○《汉前志》曰：度者，分寸尺丈引也，所以度长短也。本起黄钟之长，以子谷秬黍中者一黍【房庶云：得古本《汉书》一黍字下有之，起积一千二百黍八字，今本《汉书》阙之】之广，度之九十分黄钟之长一为一分，十分为寸，十寸为尺，十尺为丈，十丈为引，而五度审矣。
译将长度分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈。（《易纬·通卦验》）以十根马尾的宽度为一分。（《孙子算经》）说：蚕吐出的丝称为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十豪为一厘，十厘为一分，十分为一寸，十尺为一丈。（《汉书·律历志》）说：度量单位，就是分、寸、尺、丈、引，是用来测量长短的。其本源起于黄钟律管的长度，用中等大小的秬黍（黑黍）中一粒黍的宽度，将其分为九十分，黄钟律管长度的一份为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十个尺为一丈，十丈为一引，这样五种度量单位就审定了。
按一黍之广为分，故累九十黍为黄钟之长，积千二百黍为黄钟之广，古人葢三五以存法也。自晋宋以来，儒者论律围径，始有同异。至隋因定围径三分之説，茍径三分，则九十黍之长止容黍八百有竒，与千二百黍之广两不相通矣。房庻不知径三分之为误，乃欲增益汉志之文以就其説，范蜀公又从而信之，其过益又甚矣。
隋志十五等尺
一周尺【前汉志王莽时刘歆铜斛尺○后汉建武铜尺○晋荀朂律尺为晋前尺○祖冲之所传铜尺】晋武帝泰始九年，中书监荀朂校太乐，八音不和，始知为后汉至魏尺，长于古尺四分有余。朂乃部著作郎刘恭，依《周礼》制尺，所谓古尺也。依古尺更铸铜律吕，以调声韵，以尺量古器，与本铭尺寸无差。又汲郡盗发魏襄王冢，得古周时玉律及钟磬，与新律声韵闇同。于时郡国或得汉时故钟，吹新律命之，皆应。梁武《钟律纬》云：“祖冲之所▯铜尺，其铭曰：‘晋泰始十年，中书考古器，揆校今尺，长四分半。所校古法有七品：一曰姑洗玉律，二曰小吕玉律，三曰西京铜望臬，四曰金错望臬，五曰铜斛，六曰古钱，七曰建武铜尺。姑洗防强，西京望臬防弱，其余与此尺同【铭八十二字】此尺者，朂新尺也；今尺者，杜防尺也。按此尺出于汲冡之律，与刘歆之斛最为近古。葢汉去古未逺，古之律度量权衡独在也，故班氏所志无诸家异同之论。王莽之制作虽不足据，然律度量衡当不敢变于古也。自董卓之乱而乐律防亡，故杜防之律围径差小，而尺因以长。荀朂虽定此尺，然其乐声高急，不知当时律之围径又果何如也。后周以玉斗生律，玉斗之容受则近古矣，然当时以斗制律围径不及三分，其尺遂长于此尺一寸五分八厘。意者后世尺度之差，皆由律围径之误也。今司马公所▯此尺者，出于王莽之法钱，葢丁度所奏，高若讷所定者也。虽其年代久逺，轮郭不无消毁，然其大约当尚近之后之君子，有能验声气之元，以求之古之律吕者，于此当有考而不可忽也。○二晋田父玉尺【梁法尺】实比晋前尺一尺七厘。《世説》称有田父于野地中得周时玉尺，便是天下正尺。荀朂试以校已所造金石丝竹，皆短校一米。梁武帝《钟律纬》称：“从上相”传有周时铜尺一枚，古玉律八枚，检周尺东昏用为章信尺，不复存。玉律一口箫，余定七枚。夹钟有昔题刻，廼制为尺，以相叅验，取细毫中黍积次训定，最为详密。以新尺制为四器，名曰通。又依新尺为笛，以命古钟。按此两尺长短近同。○三梁表尺，实比晋前尺一尺二分二厘一毫有竒。萧吉云出于司马法，梁朝刻其度于影表，以测影。按此即祖暅所筭造铜圭影表者也。○四汉官尺【晋时始平掘地得古铜尺】实比晋前尺一尺三分七毫。萧吉云汉章帝时，零陵文学史奚景于冷道县舜庙下得玉律度为此尺。传畅晋诸公赞云，荀勗新造钟律，时人并称其精密，惟陈留阮咸讥其声高。后始平掘地得古铜尺，嵗久欲腐，以校荀勗今尺，短校四分。时人以咸为神解。此两尺长短近同。○五魏尺，杜防所用调律，实比晋前尺一尺四分七厘。按刘徽九章注云，此尺长于王莽斛尺四分五厘，然即其斛分以二千龠约之，知其律止容七百二十分六厘六毫六丝有竒，则其径为三分三厘弱尔。然则其斛分数与王莽斛分虽不同，而其容受多寡相去未悬逺也。○六晋后尺，实比晋前尺一尺六分二厘。萧吉云晋氏江东所用。○七后魏前尺，实比晋前尺一尺二寸七厘。○八中尺，实比晋前尺一尺二寸一分一厘。○九后尺，实比晋前尺一尺二寸八分一厘【后周市尺，开皇官尺即铁尺一尺二寸】此后魏初及东西分国，后周未用玉尺之前，杂用此等尺。○十东后魏尺，实比晋前尺一尺五寸八毫。魏史律歴志云，公孙崇永平中更造新尺，以一黍之长累为寸法。防太常卿刘芳受诏脩乐，以秬黍中者一黍之广即为一分，而中尉元▯以一黍之广度黍二缝以取一分，三家分竞，久不能决。太和十九年，高祖诏以一黍之广用成分体九十之黍黄
译按照一黍的宽度为一分，所以累积九十黍作为黄钟的长度，累积一千二百黍作为黄钟的宽度，古人大概是用三和五来保存法则的。自从晋宋以来，儒者讨论律管的周长和直径，开始有了相同和不同的意见。到了隋朝，于是确定了周长和直径比例为三的学说，如果直径为三分，那么九十黍的长度只能容纳八百多黍，与一千二百黍的宽度两者不能相通了。房庶不知道直径为三分是错误的，竟然想要增补《汉书·律历志》的文字来迎合他的学说，范蜀公又从而相信他，他的过错更加严重了。
隋书·律历志十五等尺
一周尺【前汉志王莽时刘歆的铜斛尺○后汉建武铜尺○晋朝荀勖的律尺作为晋前尺○祖冲之传下来的铜尺】晋武帝泰始九年，中书监荀勖校订太乐，八音不和谐，才知道是后汉到魏朝的尺，比古尺长四分多。荀勖于是部署著作郎刘恭，依照《周礼》制作尺子，这就是所谓的古尺。依照古尺重新铸造铜制的律吕，用来调和声韵，用尺子测量古器物，与原本的铭文尺寸没有差别。又汲郡盗贼发掘魏襄王墓，得到古周朝的玉律以及钟磬，与新律声韵暗中相同。当时郡国有的得到汉朝旧钟，吹奏新律来应和它，都相应和。梁武帝《钟律纬》说：“祖冲之的〇铜尺，它的铭文说：‘晋泰始十年，中书考察古器物，衡量校订现在的尺子，长四分半。所校订的古法有七种：一曰姑洗玉律，二曰小吕玉尺，三曰西京铜望臬，四曰金错误望臬，五曰铜斛，六曰古钱币，七曰建武铜尺。姑洗偏强，西京望臬偏弱，其余与此尺相同【铭文八十二字】此尺，是荀勖的新尺；现在的尺，是杜夔的尺。按照此尺出自汲冢的律，与刘歆的斛最为接近古法。大概汉朝距离古时不远，古代的律度量权衡独自存在，所以班固所记载的没有诸家异同的争论。王莽的制作虽然不足以依据，然而律度量衡应当不敢改变于古法。自从董卓之乱而乐律几乎灭亡，所以杜夔的律管周长直径稍微小，而尺子因此变长。荀勖虽然确定了此尺，然而他的乐声高急，不知道当时律管的周长直径又究竟如何呢。后周用玉斗产生律，玉斗的容量则接近古法了，然而当时用斗制定律管周长直径不及三分，它的尺子于是比此尺长一寸五分八厘。想来后世尺度的差异，都是由律管周长直径的错误造成的。现在司马公所〇此尺，出自王莽的法钱，大概是丁度所奏议，高若讷所确定的。虽然年代久远，轮廓不免消损毁坏，然而其大略应当尚且接近古法，后来的君子，有能验证声气的本源，来寻求古代的律吕的，对此应当有考证而不可以忽视。○二晋田父玉尺【梁朝法尺】实际比晋前尺长一尺七厘。《世说新语》称有老农在野地里得到周朝的玉尺，就是天下的正尺。荀勖试着用它来校订自己所造的金石丝竹，都短了一米。梁武帝《钟律纬》称：“从‘上相’传下来有周朝铜尺一枚，古玉律八枚，检验周尺东昏侯用作章信尺，不再存在。玉律一口箫，其余确定七枚。夹钟有昔日的题刻，于是制作成尺，来互相参验，取细毫中的黍累积依次训定，最为详细周密。用新尺制作成四种器物，名叫通。又依照新尺制作笛子，用来应和古钟。按照这两尺长短相近。○三梁表尺，实际比晋前尺长一尺二分二厘一毫多。萧吉说出自《司马法》，梁朝刻它的尺度在影表上，用来测量日影。按照这就是祖暅所计算制造的铜圭影表。○四汉官尺【晋朝时始平掘地得到古铜尺】实际比晋前尺长一尺三分七毫。萧吉说汉章帝时，零陵文学史奚景在冷道县舜庙下得到玉律度为此尺。传畅《晋诸公赞》说，荀勗新造钟律，当时人都称颂其精密，只有陈留阮咸讥讽其声高。后来始平掘地得到古铜尺，年代久远想要腐朽，用来校订荀勗现在的尺子，短了四分。当时人认为阮咸是神解。这两尺长短相近。○五魏尺，杜夔所用调律，实际比晋前尺长一尺四分七厘。按照刘徽《九章算术注》说，此尺长于王莽斛尺四分五厘，然而就用它的斛分用二千龠来约算，知道它的律管只容纳七百二十分六厘六毫六丝多，那么它的直径为三分三厘弱罢了。然而它的斛分数与王莽斛分虽然不同，然而其容量多少相去并不遥远。○六晋后尺，实际比晋前尺长一尺六分二厘。萧吉说晋朝江东所用。○七后魏前尺，实际比晋前尺长一尺二寸七厘。○八中尺，实际比晋前尺长一尺二寸一分一厘。○九后尺，实际比晋前尺长一尺二寸八分一厘【后周市尺开皇官尺即铁尺一尺二寸】这是后魏初年以及东西分国，后周未用玉尺之前，杂乱使用这些尺子。○十东后魏尺，实际比晋前尺长一尺五寸八毫。魏史《律历志》说，公孙崇永平年间重新制造新尺，以一黍的长度累积为寸法。太常卿刘芳受诏修乐，以秬黍中等的一黍的宽度即为一分，而中尉元〇以一黍的宽度量黍两缝来取一分，三家分争，很久不能决定。太和十九年，高祖诏令以一黍的宽度用成分体九十之黍黄
钟之长，以定铜尺。有司奏从前诏，而芳尺同高祖所置，故遂典脩金石，迄武定未有论律者。○十一蔡邕铜龠尺【后周玉尺】实比晋前尺一尺一寸五分八厘。从上相承有铜龠一，以银错题其铭【见制律篇中】祖孝孙云，相承传是蔡邕铜龠。后周武帝保定中，诏遣卢景宣、长孙绍逺、斛斯徴等，累黍造尺，从横不定。后因脩仓掘地，得古玉斗，以为正噐。据斗造律度量衡，因用此尺。大赦改元天和，百司行用，终于大象之未。其律与蔡邕古龠同。按铜龠、玉斗二者，当是古之嘉量。当时据斗造尺，但以容受乗除求之。然自魏而下，论律者多成于三分之径。今以隋志所载玉斗容受析之，为一十一万八百分有竒。一斗计二百龠，以二百约之，得五百五十四分有竒为一龠之分。以筭法攷之，其径不及三分，故其尺律遂长。然权量与声尚相依近也。唐之度量权衡与玉斗相符，即此尺尔。○十二宋氏尺【钱乐之浑天仪尺、后周铁尺】实比晋前尺一尺六分四厘。开皇初调钟律尺，及平陈后调钟律水尺，此宋代人间所用尺，传入齐梁陈以制乐制，与晋后尺及梁时俗尺、刘曜浑仪尺畧相依近，当由人间常用增损讹替之所致也。周建徳六年平齐后，即以此同律度量颁于天下。其后宣帝时，达奚震及牛▯等议曰：「窃惟权衡度量，经邦懋轨，诚须详求故实，考校得▯，谨防今之铁尺，是太祖遣尚书故苏绰所造。当时检勘，用为前周之尺，验其长短与宋尺符同，即以调钟律并用均田度地。今以上党羊头山黍，依汉书歴志度之，若以大者稠黍依数满尺，实于黄钟之律，须撼乃容；若以中者累尺，虽复小稀，实于黄钟之律不动而满。计此二事之殊，良由消息未善，其于铁尺终有一防。且上党之黍有异他乡，其色至乌，其形圆重，用之为量定不徒。」然正以时有水旱之差，地有肥瘠之异，取黍大小未必得中。按许慎解，秬黍体大，本异于常，疑今之大者正是其中。累百满尺，即是会古实龠之外，才剰十余。此恐围径或差，造律未妙。就如撼动取满，论理亦通。今勘周汉古钱大小有合，宋氏浑仪尺度又依淮南累粟十二成寸。明先王制法，索隠钩深，以律计分，义无差异。《汉书·食货志》云：“黄金方寸，其重一斤。”今铸金校验，铁尺为近。依文据理，符防处多。且平齐之始，已用宣布，今因而为定，弥合时宜。至于玉尺累黍，以广为长，累既有剰，实复不满。防访古今，恐不可用。其晋梁尺量，过为短小，以黍实管，弥复不容。据律调声，必致高急。且八音克谐，明王盛轨，同律度量，哲后通规。臣等详校前经，斟量时事，谓用铁尺于理为便，未及详定。高祖受终，牛▯辛彦之、郑译、何妥等久议不决。既平陈，一以江东乐为善，曰：“此华夏旧声，虽随俗改变，大体犹是古法。”祖孝孙云：“平陈后，废周玉尺，律便用此铁尺。”律以一尺二寸即为市尺。按此即本朝和岘所用影表尺也。平陈以后，葢用此尺。范蜀公以为即今大府帛尺，误矣。○十三开皇十年，万寳常所造律吕水尺，实比晋前尺一尺一寸八分六厘。今大乐库及内出铜律一部，是万寳常所造，名水尺律。説称其黄钟律当铁尺南吕倍声，南吕黄钟羽也，故谓之水尺律。按万寳常之律与祖孝孙相近，然亦皆径三分之法也。○十四杂尺【刘晖浑天仪土圭尺】实比晋前尺一尺五分。○十五梁朝俗间尺，实比晋前尺一尺七分一厘。按十五等尺，其间多无所取证，所以存而不削者，要见诸代之不同，多由于累黍及围径之误也。
译钟的长度，用来确定铜尺的标准。有关部门奏请依照先前的诏令，而蔡邕尺与高祖所设立的尺相同，因此便掌管修订金石律吕，直到武定年间，也没有人讨论律吕的问题。
○十一 蔡邕铜龠尺【后周玉尺】实际比晋前尺长一尺一寸五分八厘。从上面相承传下来有一个铜龠，用银错金修饰其铭文【见《制律篇》中】。祖孝孙说，相传这是蔡邕的铜龠。后周武帝保定年间，诏令派遣卢景宣、长孙绍远、斛斯徵等人，通过累黍来制造尺子，但纵横尺寸无法确定。后来因修缮仓库挖掘土地，得到古玉斗，将其作为标准器。依据玉斗来制造律度量衡，于是使用这个尺子。大赦改元天和，各官府实行使用，直到大象末年。其律吕与蔡邕古龠相同。考察铜龠、玉斗这两者，应当是古代的嘉量。当时依据玉斗制造尺子，只是通过容积的乘除计算来求得。然而自从魏朝以后，讨论律吕的人大多采用直径三分的方法。现在用《隋书·律历志》所载玉斗的容积来分析，得一十一万八百分有余。一斗计二百龠，用二百去除，得五百五十四分有余为一龠的分数。用算法考察，其直径不足三分，所以其尺子和律吕就偏长。然而权量与声音还是相互接近的。唐朝的度量权衡与玉斗相符，就是这个尺子。
○十二 宋氏尺【钱乐之浑天仪尺、后后周铁尺】实际比晋前尺长一尺六分四厘。开皇初年调校钟律用的尺子，以及平定陈朝后调校钟律用的水尺，这是宋代民间所用的尺子，传入齐、梁、陈用来制定乐制，与晋后尺以及梁时俗尺、刘曜浑仪尺大致相近，应当是由于民间常用而增减讹误所致。周建德六年平定齐朝后，就以此同律度量颁布于天下。其后宣帝时，达奚震和牛弘等人议论说：“私下认为权衡度量，是治理国家的重要准则，确实需要详细探求旧有的事实，考校得到结果，谨防现在的铁尺，是太祖派遣尚书故苏绰所制造的。当时检验勘定，用作前周的尺子，验证其长短与宋尺符合，就用来调校钟律并用于均田度地。现在用上党羊头山的黍，依照《汉书·律历志》来度量，如果用大黍紧密排列依数满尺，实在对于黄钟之律，必须摇动才能容纳；如果用中黍累尺，虽然稍微稀疏，实在对于黄钟之律不动就能装满。计算这两件事的不同，确实是由于调整不善，那铁尺终究有一个缺陷。况且上党的黍不同于其他地方，其颜色极黑，其形状圆而重，用它作为量器一定不纯粹。”然而正因为当时有水旱的差异，土地有肥沃贫瘠的不同，选取黍的大小未必能得其中。考察许慎的解释，秬黍形体大，本来不同于平常，怀疑现在的大黍正是其中的中黍。累百满尺，就是在符合古代实龠之外，才多出十余分。这恐怕是围径有误差，制造律吕不够精妙。即使按照摇动取满，论理也通。现在勘验周汉古钱大小有相合之处，宋氏浑仪尺度又依照《淮南子》累粟十二成寸。明白先王制定法度，探求隐微深奥，以律吕来划分分寸，意义没有差异。《汉书·食货志》说：“黄金方寸，其重一斤。”现在铸造黄金校验，铁尺较为接近。依据文献和道理，符合的地方很多。况且平定齐朝之初，已经使用并宣布，现在因而定为标准，更加符合时宜。至于玉尺累黍，以宽为长，累加既有剩余，实在又装不满。访查古今，恐怕不可使用。那晋梁尺量，过于短小，用黍实管，更加容纳不下。依据律吕调声，必然导致音调高急。况且八音和谐，是明王盛大的轨范，同律度量，是圣哲后王的通规。臣等详细校勘前代经典，斟酌时事，认为使用铁尺在道理上较为便利，还没来得及详细审定。高祖受命即位，牛弘、辛彦之、郑译、何妥等人长期议论不决。既然平定陈朝，一概以江东音乐为善，说：“这是华夏旧声，虽然随俗改变，大体还是古法。”祖孝孙说：“平定陈朝后，废除周玉尺，律吕便使用这个铁尺。”律吕以一尺二寸即为市尺。考察这就是本朝和岘所用的影表尺。平定陈朝以后，大概使用这个尺子。范蜀公认为就是现在大府的帛尺，错了。
○十三 开皇十年，万宝常所制造的律吕水尺，实际比晋前尺长一尺一寸八分六厘。现在大乐库以及内府出的铜律一部，是万宝常所制造，名叫水尺律。解说称其黄钟律相当于铁尺南吕的倍声，南吕黄钟羽也，所以称之为水尺律。考察万宝常的律吕与祖孝孙相近，然而也都是直径三分的方法。
○十四 杂尺【刘晖浑天仪土圭尺】实际比晋前尺长一尺五分。
○十五 梁朝民间俗用尺，实际比晋前尺长一尺七分一厘。考察这十五种尺子，其中大多没有证据可取，所以保留而不删削的原因，是要显示各代的不同，多是由于累黍以及围径的误差所致。
五代王朴准尺比汉前尺一尺二分【见丁度表】○本朝和岘用景表石尺比汉前尺一尺六分【见丁度表】
太府布帛尺【李照尺】比汉前尺一尺三寸五分【见温公尺图】○阮逸、胡瑗尺，横累一百黍【比太府布帛尺七寸八分六厘，与景表尺同，见胡瑗乐义】○邓保信尺，纵累百黍【短于太府尺九分，长于胡瑗尺九分五厘，见邓保信奏议】○大晟乐尺，徽宗皇帝指三节为三寸【长于王朴尺二寸一分，和岘尺一寸八分弱，阮逸、胡瑗尺一寸七分，短于邓保信尺三分，太府帛尺四分，见大晟乐书】
仁宗景祐三年，丁度等详定黍尺钟律。丁度等言：邓保信所制尺，用上党秬黍圆者，一黍之长累百而成。又律管一，据尺裁九十黍之长，空径三分，围九分，容秬黍千二百。遂用黍长为分，再累成尺。校保信尺律不同。其龠合升斗深阔，推以筭法，类皆差舛不同。周汉量法，阮逸、胡瑗所制，亦上党秬黍中者累广求尺，制黄钟之律。今用再累成尺，比逸所制又复不同。至于律管、龠合、升斗、斛、豆、区、鬴，亦率类是。葢黍有圆长大小，而保信所用者圆黍，又首尾相衔；逸等止用大者，故再攷之即不同。尺既有差，故难以定钟磬。谨详古今之制，自晋至隋，累黍之法但求尺管，不以权量叅校，故歴代黄钟之管容黍之数不同。惟后周掘地得古玉斗，据斗造律，兼制权量，亦不同周汉制度。故汉志有「备数和声、审度、嘉量、权衡」之説，悉起于黄钟。今欲数器之制参伍无失，则班志积分之法为近。逸等以大黍累尺，小黍实龠，自戾本法。保信黍尺以长为分，虽合后魏公孙崇説，然当时已不施用。况保信今尺以圆黍累之，及首尾相衔，又与实龠之黍再累成尺不同。其量器分寸既不合古，即权衡之法不可独用。诏悉罢之。又诏丁度等详定太府寺并邓保信、阮逸、胡瑗所制四尺度。等言：汉志「审度之法」云：「一黍之广为分，十分为寸，十寸为尺。」先儒训解经籍，多引以为义。厯世祖袭，着之定令。然而嵗有丰俭，地有硗肥，就令一嵗之中，一境之内，取黍检验，亦复不齐。是葢天之生物，理难均一。古人立法，存其大槩尔。故前代制尺，非特累黍，必求古雅之器以黍校焉。晋泰始十年，荀公鲁等校定尺度，以调钟律，是为晋之前尺。前史称其意精密。隋志所载诸代尺度十有五等，以晋之前尺为本，以其与姬周之尺、刘歆铜斛尺、建武铜尺相合。窃惟周汉二代享年永久，圣贤制作可取则焉。而隋氏铸毁金石，典正之物，罕复存者矣。夫古物之有分寸明着，史籍可以酬验者，惟有法钱而已。周之圜法，厯代旷逺，莫得而详察之。半两实重八铢，汉初四铢，其文亦曰半两。孝武之世，始行五铢，下洎隋朝，多以五铢为号。既厯代尺度屡改，故小大轻重，鲜有同者。惟刘歆制铜斛之世，所铸错刀，并大泉五十，王莽天鳯元年，改铸货布、货钱之类，不闻后世复有铸者。臣等检详《汉志》、《通典》、《唐六典》，大泉五十重十二铢，径一寸二分；错刀环如大泉，身形如刀，长二寸；货布重二十五铢，长二寸五分，广一寸，首长八分有竒，广八分，足枝长八分，间广二分，圆好径二分半；货钱重五铢，径一寸。今以大泉、错刀、货布、货帛四物相叅校，分寸正同，或有小大轻重与本志微差者，葢当时盗铸既多，不必皆中法度，但当校其首足、肉好、长广分寸，皆合正史者用之，则铜斛之尺从而可知矣。有唐享国三百年，其制作法度虽未逮周汉，然亦可谓治安之世矣。今朝廷必求尺度之中，当依汉钱分寸。若以为太祖膺图受禅，创制垂法，甞诏和岘等用景表尺典脩金石，七十年间荐之郊庙，稽合唐制，以示诒谋，则可。且依景表旧尺，俟有妙达钟律之学者，俾攷正以从周汉之制。王朴律准尺比汉钱尺寸长二分有竒，比景表尺短四分。既前代未甞施用，复经太祖朝更易，其逸瑗、保信、照所用太府寺尺，其制弥长，去古弥逺，不可依用。谨攷旧文，再造景表尺一，校汉钱尺
译五代王朴的准尺，比汉代的旧尺长一尺二分【见丁度的表】。本朝和岘使用的景表石尺，比汉代的旧尺长一尺六分【见丁度的表】。
太府寺的布帛尺【即李照尺】，比汉代的旧尺长一尺三寸五分【见温公的尺图】。阮逸、胡瑗的尺，是横向累积一百颗黍粒【比太府布帛尺短七寸八分六厘，与景表尺相同，见胡瑗《乐义》】。邓保信的尺，是纵向累积一百颗黍粒【比太府尺短九分，比胡瑗尺长九分五厘，见邓保信奏议】。大晟乐尺，是徽宗皇帝以手指的三节作为三寸【比王朴尺长二寸一分，比和岘尺长一寸八分弱，比阮逸、胡瑗尺长一寸七分，比邓保信尺短三分，比太府帛尺短四分，见《大晟乐书》】。
仁宗景祐三年，丁度等人详细审定黍尺和钟律。丁度等人说：邓保信所制的尺，使用上党地区圆形的黑黍，以一颗黍的长度累积一百而成。又制作律管一支，依据尺子裁取九十颗黍的长度，内径三分，周长九分，容量为一千二百颗黑黍。于是用黍的长度作为分，再次累积成尺。校验邓保信的尺与律管并不相符。其龠、合、升、斗的深度和宽度，推算算法，大多差错不同。周代和汉代的量法，阮逸、胡瑗所制的，也是用上党黑黍中等大小的累积宽度来求尺，制作黄钟律。现在用再次累积成尺，与阮逸所制的又不同。至于律管、龠、合、升、斗、斛、豆、区、鬴等，也大抵如此。大概是因为黍有圆长大小之分，而邓保信所用的是圆黍，又是首尾相衔；阮逸等人只使用大黍，所以再次考校就不同。尺既然有差异，所以难以确定钟磬。我们仔细详查古今的制度，从晋代到隋代，累积黍粒的方法只求尺和律管，不用权量来参校，所以历代黄钟律管容纳黍粒的数量不同。只有后周掘地得到古玉斗，依据玉斗制定律管，兼制权量，也与周汉制度不同。所以《汉书》有“备数和声、审度、嘉量、权衡”的说法，全都起源于黄钟。现在想要使各种器物的制度参校无误，那么班固《汉书》中积分的方法较为接近。阮逸等人用大黍累积成尺，用小黍填充龠，自然违背了古法。邓保信的黍尺以长度为分，虽然符合后魏公孙崇的说法，但当时已经不再施用。况且邓保信现在的尺用圆黍累积，以及首尾相衔，又与填充龠的黍再次累积成尺不同。其量器的分寸既然不合古制，那么权衡的方法就不能单独使用。皇帝下诏全部废止。又下诏丁度等人详细审定太府寺以及邓保信、阮逸、胡瑗所制的四种尺度。丁度等人说：《汉书》“审度之法”说：“一颗黍的宽度为分，十分为寸，十寸为尺。”先儒训解经籍，多引用此作为义理。历代沿袭，著入法令。然而年成有丰歉，土地有贫瘠肥沃，即使在一一年之中，一境之内，取黍检验，也不整齐。这是因为上天化生万物，道理难以均一。古人立法，只是保留其大概而已。所以前代制尺，不只是累积黍粒，必定寻求古雅的器物用黍来校验。晋泰始十年，荀公鲁等人校定尺度，以调钟律，这是晋代之前的尺。前史称其用意精密。《隋书》所载各代尺度有十五等，以晋代之前的尺为本，因为它与姬周的尺、刘歆铜斛尺、建武铜尺相符。我私下认为周汉两代享国长久，圣贤制作可以取法。而隋朝铸造毁弃金石，典正之物，很少留存了。古物中有分寸明确，史籍可以验证的，只有法钱而已。周代的圜法，历代久远，无法详细考察。半两钱实际重八铢，汉初四铢，文字也称半两。汉武帝时，开始发行五铢钱，下到隋朝，多以五铢为名。既然历代尺度屡次更改，所以大小轻重，很少有相同的。只有刘歆制作铜斛的时代，所铸的错刀，以及大泉五十，王莽天凤元年，改铸货布、货钱之类，没听说后世再铸造的。我们检查详查《汉书》、《通典》、《唐六典》，大泉五十大重十二铢，直径一寸二分；错刀环像大泉，身形像刀，长二寸；货布重二十五铢，
二，并大泉、错刀、货布、货泉总十七枚，上进而高若讷卒用汉货泉度一寸，依《隋书》定尺十五种，上之藏于太常寺。《○周礼》防氏为量，改煎金锡，则不耗。不耗，然后权之；权之，然后准之；准之，然后量之；量之，以为鬴。深尺，内方尺而圆其外，其实一鬴【郑氏注曰：以其容为之名也。四升曰豆，四豆曰区，四区曰：「鬴，鬴六斗四升也。鬴十则钟，方尺积千寸。于今粟米法，少二升八十一分升之二十二。其数必容鬴，此言方耳。圜其外者为之唇】其臋一寸，其实一豆【故书臋作唇，杜子春云当为臋，谓覆之其底深一寸也】其耳三寸，其实一升【耳在旁可举也】重一钧【三十斤】声中黄钟之宫。」
译第二，将大泉、错刀、货布、货泉总共十七枚钱币，进献给朝廷。高若讷最终采用汉代货泉的一寸长度，依据《隋书》规定的尺制，确定了十五种标准，上呈后收藏于太常寺。
《周礼》记载，防氏负责制作量器，冶炼金锡时，使其不损耗。不损耗，然后称量它的重量；称量重量，然后校准它的尺寸；校准尺寸，然后测量它的容量；测量容量，用来制作鬴。
鬴深一尺，内部呈方形一尺而外部做成圆形，它的容量是一鬴。【郑玄注说：用它的容量来命名。四升叫豆，四豆叫区，四区叫鬴，鬴是六斗四升。十个鬴是一钟，方尺的体积是一千立方寸。按照现在的粟米算法，少二升又八十一分之二十二升。它的数量必须容纳一鬴，这里说的是方形。外部做成圆形是为了制作器口边缘】
它的底部厚一寸，容量是一豆。【古本“臋”字写作“唇”，杜子春说应当是“臋”，意思是倒扣过来时底部深一寸】
它的耳部高三寸，容量是一升。【耳在两侧可以提举】
重量是一钧。【三十斤】
发出的声音符合黄钟宫音。
按周鬴容六斗四升，实一千二百八十龠，计一百三万六千八百分，为一千三十六寸八分。甞攷汉斛容十斗，实二千龠，计一百六十二万分，为一千六百二十寸。葢方尺圆其外，庣旁九厘五毫，故羃百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸。今攷周家八寸十寸皆为尺，范蜀公曰：「周鬴方尺者，八寸之尺；深尺者，十寸之尺。方八寸，圆其外，庣其旁，则羃一百三寸六分八厘；深十寸，则积一千三十六寸八分，与汉斛同法无疑也。」郑氏云：「方尺积千寸」，又云：「圆其外者为之唇」，二説皆非是。方郑氏之世，汉斛尚在，岂偶不及见欤？抑郑氏以为周鬴之制异于汉斛欤？
汉志》曰：量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也。本起于黄钟之龠，用度数审其容，以子谷秬黍中者千有二百实其龠，以井水准其槩。合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛，而五量嘉矣。其法用铜方尺而圜其外，旁有庣焉。其上为斛，其下为斗，左耳为升，右耳为合，龠其状似爵，上三下二，参天两地，圜而函方，左一右二，隂阳之象也。其圜象规，其重二钧，备气物之数，合万有一千五百二十，声中黄钟之宫，始于黄钟而反覆焉。○《隋志》载斛铭曰：律嘉量斛，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，羃百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。○《魏》陈留王景元四年，刘徽注《九章·商功》曰：当今大司农斛，围径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分寸之三。王莽铜斛，于今寸为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫。以徽计之，于今斛为容九斗七升四合有竒，比魏斛大而尺长，王莽斛小而尺短也。○祖冲之以圜率攷之，此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽，庣旁一分九毫有竒。刘歆庣旁少一厘四毫有竒，歆数术不精之所致也。
按斛铭文云：「方尺者所以起数也。」圜其外，循四角而规圜之，其径当一尺四寸有竒也。庣旁九厘五毫者，径一尺四寸有竒之数犹未足也。羃百六十二寸者，方尺羃百寸，圜其外，毎旁约十五寸，合六十寸，庣其旁约二寸也。深尺，积一千六百二十者，以十而登也。容十斗者，一寸羃百六十二寸为容一斗，积十寸，容一千六百二十寸为容十斗也。汉志止言旁有庣焉，不言九厘五毫者，数犹有未足也。祖冲之所筭云：「少一厘四毫有竒。」是也。胡安定之法，积一千六百二十寸，其律是也。范蜀公之法，积一千二百五十寸，其律非也。蜀公惑乎径三分之説，遂生圆分之法。自古筭法，无所谓圆分也。圆其外以为之唇，与安定之深一尺六寸二分，蜀公之深一尺二寸五分，其制皆非也。律之围径，古无明文，向非因量之积分，则黄钟之龠亦无由可得。其实自汉以下，律之所以不成者，其失皆此之由也。
淮南子》曰：十二粟而当一分，十二分而当一铢，十二铢而当半两。衡有左右，因倍之，故二十四铢为一两。天有四时，以成一嵗，因而四之，四四十六，故十六两为一斤。三月而为一时，三十日为一月，故三十斤为一钧。四时而为嵗，故四钧为石。○《汉前志》曰：衡权者，衡平也，权重也。衡所以任权而均物，平轻重也。本起于黄钟之重，一龠容千二百黍，重十二铢。两之为两，二十四铢为两，十六两为斤，一十六斤为钧，四钧为石。忖为十八，易有十八变之象也。五权之制，以义立之，以物钧之，其余小大之差，以轻重为宜。圜而环之，令之肉倍好者，周旋无端，终而复始，无穷已也。○隋开皇中，以古斗三升为一升，以古称三斤为一斤，以一尺二寸为一尺。大业中，依复古法。○大唐贞观中，张文收铸铜斛称尺升合，咸得其数，诏以其副藏于乐署。至武延秀为太常卿，以为竒玩，以律与古玉尺、玉斗、升、合献焉。开元十七年，将攷宗庙乐，有司请出之，勑唯以铜律付太常，而亡其九管。今正声有铜律三百五十六，铜斛二，铜称二，铜瓯十四，斛左右耳与臋皆正方，积十而登以至于斛。铭云：「大
译查考周代的鬴容量为六斗四升，实际容纳一千二百八十龠，计算为一百三万六千八百分，即一千三十六寸八分。曾经考据汉代斛的容量为十斗，实际容纳二千龠，计算为一百六十二万分，即一千六百二十寸。这是因为方形一尺而外部圆化，四周旁减九厘五毫，所以底面积为一百六十二寸，深度为一尺，体积为一千六百二十寸。现在考据周代的八寸和十寸都作为尺，范蜀公说：“周鬴所说的方尺，是指八寸的尺；所说的深尺，是指十寸的尺。方形八寸，外部圆化，四周旁减，那么底面积为一百三寸六分八厘；深度十寸，那么体积为一千三十六寸八分，这与汉斛的方法相同，无疑义。”郑玄说：“方尺的体积为一千寸”，又说：“外部圆化的是为了做成唇口”，这两种说法都不对。在郑玄的时代，汉斛尚存，难道偶然没有见到吗？还是郑玄认为周鬴的制度与汉斛不同呢？
《汉书·律历志》说：量器，有龠、合、升、斗、斛，是用来衡量多少的。它本源于黄钟律管的龠，用长度单位来审定它的容量，用中等大小的黑黍一千二百粒装满它的龠，用井水来水平其口。两个龠为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，这样五种量器就完美了。它的方法是用铜制方尺而外部圆化，四周有旁减。上面是斛，下面是斗，左耳是升，右耳是合，龠的形状像爵，上三下二，象征天三地二，外圆内方，左一右二，象征阴阳。它的圆形像圆规，重量为二钧，具备气物的数目，合计一万一千五百二十，声音符合黄钟的宫音，始于黄钟而反复循环。○《隋书·律历志》记载斛上的铭文说：律嘉量斛，方尺而外部圆化，四周旁减九厘五毫底面积一百六十二寸，深度一尺，体积一千六百二十寸，容量十斗。○《魏书》记载陈留王景元四年，刘徽注释《九章算术·商功》说：当今大司农的斛，周长直径一尺三寸五分五厘，深度一尺，体积一千四百四十一寸十分寸之三。王莽的铜斛，按现在的尺寸计算深度为九寸五分五厘，直径一尺三寸六分八厘七毫。按刘徽的计算，这个斛的容量为九斗七升四合有余，比魏斛大且尺长，王莽斛小且尺短。○祖冲之按圆周率考据，这个斛的直径应当是一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽旁减一分九毫有余。刘歆旁减少了一厘四毫有余，这是刘歆数学不精造成的。
查考斛铭文说：“方尺是用来起算数的。”外部圆化，沿着四个角画圆，它的直径应当是一尺四寸有余。旁减九厘五毫，是因为直径一尺四寸有余的数值还不够。底面积一百六十二寸，是因为方尺底面积一百寸，外部圆化，每边大约十五寸，合计六十寸，旁减大约二寸。深度一尺，体积一千六百二十，是因为以十进位。容量十斗，是因为一寸底面积一百六十二寸为一斗，积十寸，体积一千六百二十寸为十斗。《汉书》只说四周有旁减，不说九厘五毫，是因为数值还不够精确。祖冲之计算说：“少一厘四毫有余。”这是对的。胡安定的方法，体积一千六百二十寸，他的律算是正确的。范蜀公的方法，体积一千二百五十寸，他的律算是错误的。蜀公被直径三分的说法迷惑，于是产生了圆分的方法。自古以来的算法，没有所谓圆分的说法。外部圆化做成唇口，与安定说的深度一尺六寸二分，蜀公说的深度一尺二寸五分，这些制度都不对。律管的周长直径，古代没有明文记载，如果不是因为量器的积分计算，那么黄钟的龠也无法求得。实际上自汉代以来，律管之所以不能制成，其失误都由此而来。
《淮南子》说：十二粒粟相当于一分，十二分相当于一铢，十二铢相当于半两。秤有左右，因此加倍，所以二十四铢为一两。天有四季，构成一年，因此乘以四，四四十六，所以十六两为一斤。三个月为一季，三十天为一月，所以三十斤为一钧。四季为一年，所以四钧为一石。○《汉书·前志》说：衡权，衡是平衡，权是重量。衡用来承载权而均衡物体，平衡轻重。它本源于黄钟的重量，一龠容纳一千二百黍，重十二铢。两个为一两，二十四铢为一两，十六两为一斤，十六斤为一钧，四钧为一石。忖度为十八，象征《易经》十八变的象。五种权重的制度，以义理确立，以物体均衡，其余大小的差别，以轻重适宜为准。圆形而环状，使得肉倍于好，周旋无端，终而复始，无穷无尽。○隋朝开皇年间，以古斗三升为一升，以古秤三斤为一斤，以一尺二寸为一尺。大业年间，恢复古法。○唐朝贞观年间，张文收铸造铜斛、秤、尺、升、合，都符合其数，诏令将其副本收藏于乐署。到了武延秀任太常卿，认为是奇玩，将律管与古玉尺、玉斗、升、合进献。开元十七年，将要考订宗庙音乐，有关部门请求取出，敕令只将铜律管交给太常，而丢失了九根。现在正声有铜律三百五十六根，铜斛两个，铜秤两个，铜瓯十四个，斛的左右耳和底部都是正方形，以十进位直到斛。铭文说：“大
唐贞观十年，嵗次▯枵，月旅应钟，依新令累黍尺定律，校龠成兹嘉量，与古玉斗相符。同律度量衡，协律郎张文收奉勑脩定。」称磬铭云：「大唐贞观称同律度权衡。」匣上有朱漆题「称尺」二字，尺亡其迹，犹存。以今常用度量校之，尺当六之五，衡量皆三之一。一斛一称，是文收总章年所造。斛正圆而小，与称相符也。
译唐贞观十年，岁次癸卯，月份为应钟，依照新颁布的法令，通过累黍之法确定尺的长度，进而制定律管，校准龠器，制成这件嘉量，它与古代的玉斗相符合。统一律、度、量、衡，协律郎张文收奉皇帝诏令修定。称磬上的铭文写道：“大唐贞观，称同律度权衡。”匣子上有朱漆题写的“称尺”二字，尺的形制虽已无迹可寻，但名称尚存。用当时常用的度量衡来校验，尺的长度相当于六分之五，衡量则相当于三分之一。一斛与一称，是张文收在总章年间所制造。斛器端正圆整而小巧，与称器相符合。
按万寳常之乐，当时以为近前汉之乐，则是隋代汉律管虽亡，而乐声犹在也。魏延陵得玉律，当时以汉律较之，所谓黄钟乃当太簇。肃宗之时，不应更有汉律，葢律之声调耳。张文收所定度量衡权与玉斗相符者，即此声也。夫后周玉斗，意者必古之嘉量，但无寸分之数，当时造律特以容受乘除取之。自魏而降，律之围径不得其真，多惑于径三分之説，故当时据斗造律，围径既小，其律必长，律长则尺亦长矣。今以隋志所载玉斗分数求之，其黄钟之管止径二分七厘七毫有竒，围八分一厘有竒，羃五分五厘四毫有竒，积五百五十四分有竒。夫容受同，则量与权当与古无异，而乐之声亦必依近焉。故会要云：「唐乐器虽无法，而声不失于古。」自王朴以黍定尺，以尺生律，又惑于三分之径，声与器始皆失之矣。好古博雅君子于此，葢不能无憾焉【朱子曰：「礼记注疏説五声六律十二管还相为宫处，极分明。汉书所载甚详，然不得其要。史记所载甚畧，却是要▯处。如説律数，葢自然之理，与先天图一般，更无安排，但数到穷处，又须变而生之，却生变律。国语有七声之説，但韦昭解得无理。防杜佑通典所筭分数极精，葢唐以前乐律尚有制度可攷，唐以后都无可攷。胡安定与阮逸、李照议不合，仁宗以胡安定、阮逸乐书令天下名山藏之，意思甚好。司马公与范蜀公议又不合，司马比范又低。诸公于通典皆似未曽看。只如沈存中笔谈所攷器数甚精，亦似未曽看，笔谈所论过于范马逺甚。今世人无晓音律，只凭器论造器，又纷纷如此，是故季通之书，诸儒莫能及也。」○廖子晦曰：「河出图，洛出书，而起八卦九畴之数；听鳯鸣而生六律六吕之序。然则黄帝造律一事，与伏羲画卦、大禹锡畴同功。况度量权衡皆起于律，而衡运生规，规生圆，圆生矩。」防直准平，至于定四时，兴六乐，悉由是出。故曰：「律者，万事之根本，学者讵可废而不讲哉】
性理大全书卷二十三
<子部,儒家类,性理大全书》>
钦定四库全书
性理大全书卷二十四
洪范皇极内篇一
九峯蔡氏自序曰：「体天地之撰者，易之象；纪天地之撰者，范之数。数者始于一，象者成于二。一者奇，二者偶也。奇者数之所以行，偶者象之所以立。故二而四，四而八，八者八卦之象也。一而三，三而九，九者九畴之数也。由是重之，八而六十四，六十四而四千九十六，而象备矣。九而八十一，八十一而六千五百六十一，而数周矣。易更四圣而象已着，范锡神禹而数不▯。后之作者，昩象数之原，窒变通之妙，或即象而为数，或反数而拟象。洞极用书，潜虚用图，非无作也，而牵合附防，自然之数益晦蚀焉。嗟夫！天地之所以肇者，数也；人物之所以生者，数也；万事之所以失得者，亦数也。数之体着于形，数之用妙乎理。非穷神知化，独立物表者，曷足以与此哉！然数之与象，若异用也，而本则一；若殊途也，而归则同。不明乎数，不足以语象；不明乎象，不足与语数。二者可以相有，不可以相无也。先君子曰：『洛书者，数之原也。』余读洪范而有感焉。上稽天文，下察地理，中参人物，古今之变，穷义理之精微，究兴亡之徴兆，微显阐幽，彛伦所叙，秩然有天地万物各得其所之妙。嵗月侵寻，粗述所见，辞虽未备，而义则着矣。其果有益于世教否乎？皆所不敢知也。虽然，余所乐而玩者，理也；余所言而▯者，数也。若其所以数之妙，则在乎人之自得焉尔【黄氏瑞节曰：「易更四圣而象已着，范锡神禹而数不▯。九峯蔡氏撰《皇极内篇》数为一书，于是有范数图，有八十一章，六千五百六十一变。西山真氏云：『蔡氏范数与三圣之易同功者是也】
<子部,儒家类,性理大全书,卷二十四>
<子部,儒家类,性理大全书,卷二十四>
九九行数图
一一【冬至】
一二
一三
一四
一五
一六
一七
一八
一九
译考察万宝常的音乐，当时的人认为接近前汉的音乐，这说明隋代虽然汉代的律管已经失传，但音乐的声调依然存在。魏代延陵得到玉律，当时用汉律来比较，所谓的黄钟竟然相当于太簇。肃宗时期，不应该再有汉代的律管，大概是指律的声调罢了。张文收所确定的度量衡权与玉斗相符的，就是这种声调。后周的玉斗，推测必定是古代的嘉量，只是没有具体的寸分数据，当时制作律管特别通过容积的乘除运算来取得。自魏代以来，律管的周长和直径得不到真实数据，多被直径三分的说法所迷惑，所以当时依据斗来制作律管，周长和直径既小，其律管必定长，律管长则尺也长了。现在用《隋书·律历志》所载玉斗的数据来推算，黄钟管的直径只有二分七厘七毫多一点，周长八分一厘多一点，面积五分五厘四毫多一点，容积五百五十四分多一点。既然容积相同，那么量器和衡器应当与古代没有差异，而音乐的声调也必定相近。所以《唐会要》说：“唐代的乐器虽然没有法式，但声调没有背离古法。”自从王朴用黍粒确定尺的长度，用尺来生成律，又迷惑于直径三分的说法，声调和器物才开始都失去了标准。喜好古道的博雅君子对此，大概不能没有遗憾吧。【朱熹说：“《礼记》注疏解说五声六律十二管还相为宫的地方，极其分明。《汉书》所载非常详细，然而没有抓住要点。《史记》所载非常简略，却是要害之处。比如解说律数，大概是自然的道理，与先天图一样，更没有人为安排，只是数到穷尽处，又必须变化而产生，从而生出变律。《国语》有七声的说法，但韦昭解释得没有道理。杜佑《通典》所计算的分数极其精密，大概唐以前的乐律还有制度可以考证，唐以后都无可考证。胡瑗与阮逸、李照议论不合，仁宗把胡瑗、阮逸的乐书命令天下名山收藏，意思很好。司马光与范镇议论又不合，司马光比范镇又低一等。各位先生对于《通典》似乎都没有看过。只是像沈括《笔谈》所考证的器物数据非常精密，也似乎没有看过，《笔谈》所论述的远远超过范镇、司马光。现在世人不懂音律，只凭器物来制造器物，又纷纷如此，所以季通的书，各位儒者没有人能比得上。”○廖德明说：“河出图，洛出书，从而兴起八卦九畴的数理；听凤凰鸣叫而产生六律六吕的次序。那么黄帝制定律管一事，与伏羲画卦、大禹赐予九畴功劳相同。况且度量权衡都起源于律，而衡器运转产生圆规，圆规产生圆形，圆形产生矩尺。矩尺正直准平，至于确定四时，兴起六乐，全都由此产生。所以说：‘律是万事的根本，学者怎么能废弃而不讲习呢？’】
性理大全书卷二十三
<子部,儒家类,性理大全书>
钦定四库全书
性理大全书卷二十四
洪范皇极内篇一
九峰蔡氏自序说：“体现天地撰述的是《易》的象；记录天地撰述的是《洪范》的数。数始于一，象成于二。一是奇，二是偶。奇是数得以运行的原因，偶是象得以确立的原因。所以二变成四，四变成八，八是八卦的象。一变三，三变九，九是九畴的数。由此叠加，八变成六十四，六十四变成四千九十六，象就完备了。九变成八十一，八十一变成六千五百六十一，数就周遍了。《易》经过四位圣人而象已经显著，《洪范》赐予神禹而数不缺失。后来的作者，蒙昧于象数的本源，阻塞于变通的妙理，有的就着象来作为数，有的反着数来比拟象。《洞极》用书，《潜虚》用图，不是没有著作，而是牵强附会，自然的数理更加晦暗蚀损。唉！天地之所以开始的是数；人物之所以产生的是数；万事之所以得失的，也是数。数的本体显现在形体上，数的作用妙在道理上。不是穷尽神妙、知晓变化，独立于万物之外的人，怎么能与此相契合呢！然而数与象，好像作用不同，但根本则是一；好像途径不同，但归宿则相同。不明白数，不足以谈论象；不明白象，不足以谈论数。二者可以相互拥有，不可以相互缺失。先父说：‘洛书是数的本源。’我读《洪范》而有感慨。上考察天文，下观察地理，中参验人物，古今的变化，穷尽义理的精微，探究兴亡的征兆，显明幽微，伦理秩序井然，有天地万物各得其所的妙处。岁月流逝，粗略叙述所见，言辞虽然未备，但意义已经显著。它是否真的有益于世教呢？都不敢知道。虽然如此，我所乐于玩味的，是理；我所言说而缺失的，是数。至于数的妙处，则在于人的自得罢了。【黄氏瑞节说：“《易》经过四位圣人而象已经显著，《洪范赐予神禹而数不缺失。九峰蔡氏撰写《皇极内篇》以数为一书，于是有范数图，有八十一章六千五百六十一变。西山真氏说：‘蔡氏范数与三圣之《易》功劳相同’是对的。”】
<子部,儒家类,性理大全书,卷24>
<子部,儒家类,性理大全书,卷二十4>
九九行数图
一一【冬至】
一二
一三
一四
一五
一六
一七
一八
一九