皇朝经世文续编卷六

译堆数从一出发，依次加一，得到堆根；依次加堆根，得到平积；依次加平积，得到立积。这本质上就是依次累加的数。弦、矢、率由圆中两个等边三角形依次按比例生成，也起始于半径的一。半径即一率，依次加一率得到二率，依次加二率得到三率，依次加三率得到四率，这也是依次累加的数。数有整数必有零数，起始于整数部分的叫整数，依次累加只有一种形式，即三角堆相连两根积相并，以及倍分矢率、倍分中奇分弦率等的数。起始于零数部分的叫零数，依次累加有无量多种形式，不能用三角堆来命名，依据公式推演倍分中偶分弦率及析分弦矢率的数，实际上参列其中。不仅如此，倍分是指一分弧的几分，通常以一为分母；析分是指几分弧的一分，通常以一为分子。如今得到零分，那么分子分母不必固定为一，任意设定几分弧的几分，没有不可求的，因此创立了由已知弧求其他弧的两种方法，以弥补之前的不足。还不止于此，既然分子分母可以任意设定，那么六十度通弦、倍矢与半径等各种率都齐同，取作分母，任意设定某度为分子，各种率的原本数值可以省去不求，只求依次累加的差数，就能得到逐度分秒的通弦、倍矢，也就得到了逐度分秒的正弦、正矢。因此又创立了由半径求弦矢的两种方法，以备制作表格之用，似乎便于使用。弧大致说来，弦矢等各种率的比例产生于两个等边三角形，其数值基于依次累加两个等边三角形的尖角象，依次累加的数就是尖角的数。贯通方形和圆形必定要用尖角，所以自古以来割圆术不离开勾股定理而得到其象，却未得到其数，取数不免繁重。自从有了零数和整数的依次累加，象与数才相会合，分于是确定了率，也于是贯通了。分就是依次累加数的根率，也就是依次累加数的积分，用分子分母统管外圆，涵容方形；率以奇偶应和内方，顺应圆形。割圆术至此才没有剩余的蕴义。于是趁着几个月的闲暇，著成图说两卷。友人王子琴逸嗜好算术，遍涉中西，见到这种方法喜爱它，想与杜董术合刊为一册，嘱咐我序其大意。我因此详细叙述术的由来，不嫌言辞繁琐，也是因为这贯通方形和圆形的率，没有董氏的道理就无法自我彰显，没有杜氏的方法就无法自我确立，没有勾股、割圆等方法作为引导，也无法自我察象稽数以达到至精。那么古人创始的艰难，岂可忽视啊！

译象数一原序二

项名达

往日研习弦、矢等各种比率，领悟了递加数的规律，又分析圆，得到两种等边三角形，其图形恰好与数理相合，于是草拟成《图解》一册，姑且用来表达心意，但脱漏之处很多。丙午年冬天，我辞去紫阳书院的讲席，笔墨得以空闲，逐渐编定整理从整数分、半分起算的弦矢比率，而梁楚香中丞又嘱托我选编紫阳书院的大课和小课文章，推辞不掉，于是再次受阻。杨缃芸在京城任户部官职，见到旧刻《割圜捷术》序言中提到《图解》，急切想看一看。丁未年冬天他来到杭州拜访我，于是我把所编定的书给他看，缃芸说书还没编完一半，而您年纪已近衰老，这本书绝不能不完成，而且不能拖延完成，约定期限为一载，临别时还谆谆恳切地嘱托。我感激他的心意，为此定下书名叫做《象数一原》。卷一叫做整数分起算弦矢比率论，卷二叫做半分起算弦矢比率论，卷三、卷四叫做零分起算弦矢比率论，卷五叫做各种方法通释，卷六叫做各种方法明辨变化。随即把卷三编定，选编课业完毕，又因病受阻。今年夏天才把卷四写有六页，不料病体又感染湿热，兼有肝气乘犯脾土，几乎无法救治，医治两个月没有好转，于是又感染燥火，导致脏腑没有不生病的，全身血脉不通，医生都束手无策，自己知道残灯微焰，断难长久维持，而这书从此搁笔了，残缺而不完整。世间事大都如此，何必留恋？所遗憾的，是辜负了缃芸谆谆嘱托的心意罢了。然而书虽然没有完成，但零分各腰率、零分递加数，在卷三中已经推演成其公式，只是义理深奥头绪繁多，打算在卷四中分条详细论述。已经论述到易率法的相当率，寄分完毕，就论述用率寄分，论述定率寄分，都应该分别奇偶来论述，这样易率法就完毕了。接着论述推演递加数的方法，也论述寄分，论述分子分母，论述正负，论述奇行偶行积分子分母互异论，论述直行并行积分子分母互异而递加数就完毕了。接着论述递加数就是各种图形的腰率，而正负不同，论述心角形腰与腰的比率正负相反，论述并积就是弦矢率，改变正负有定法，论述矢率弦率分子分母全半的不同，这样弦矢率就完毕了。最后依据半分起算的公式分为六种方法，来阐明其算法，特别那里论述全半，这里论述分子分母异同之处稍微分别一下就可以了。至于卷五、卷六都有旧稿，而且经过编定，只需要按照格式抄录。现在将各卷总为一束，假设有秉承我的意思而续成的人，只是分条论述稍难，六种方法则易于着手，没有续成的人，卷四作为未完的书，也没有不可的。

对数简法跋

项名达

求对数的旧法，说得非常详细，但层次多重头绪繁多，初学者常常不容易明白。鄂士先生揭示其精要并加以变通，著成《对数简法》。首先论述开方，由浅入深，而概括为七种方法。接着又创立累除法，省去数十次开方用表，已经极其完备。尤其妙的是，舍弃开方而求假设数。因为对数折半，真数开方，开到单一下，空多位之零数，于是真数和对其数就得以会通。这就是开方之所以重要的原因。但是必须不断累次开方，才能会通。何不直接到会通处，假设一个数来贯通它？等到辗转相通，七十二对数的等差，已经具备在假设的各数中了。通过一次比例就得出定准的数了。由此知道数的作用，带着零数求整数难，假设整数来驾驭零数易。凭借已知的求未知的，顺推而入难；借未知的通已知的，逆转而出易。如果领悟这一点，就可以得到运用数的方法，难道只有对数这一门对后学有益吗？

对数简法识

戴煦

对数用加减代替乘除，使用非常方便，但求取非常困难。旧法求各种对数，都是先求从一至九递至单一下九空位零一至九的九十九个数，而求取的方法大致有三种。先确定十、百、千万的对数，而其中的零数则用中比例累次求取而得。用首率、末率两个真数相乘开方得到中率的真数，用首率、末率两个假数相加折半得到中率的假数，逐渐求取逐渐接近，直到适合。如旧法求九的假数，用中比例求到二十六次而得到八位的对数，这是第一种方法。凡是假数的首位，因为真数的位数而递加，用真数递次自乘到多位，而其位数就是假数首位以前的数，然后用自乘的次率去除，就得到真数第一率的假数。如旧法求二的对数，自乘到一千三百余亿率去除自乘的位数四百十余亿位，而得到十二位的假数，这是第二种方法。既然确定十的对数为一，就用真数十开方五十四次三十三位，用假数折半五十四次作为逐次假数，列为开方表。于是用第五十四次真假两数比例得到单一下十五空位零一的假数作为率。于是用应求对数的真数开方四五十次，求得十五空位与之作为比例，然后用开方第几次的率数乘之，而得到二十二位的假数。或者真数开方二十余次，求得九空位与表中九空位开方数作为比例，也用率数乘之，而得到十三四位的假数。如旧法求二与六的对数，这是第三种方法。

译然而这几种方法布置计算极为繁琐，甚至经过十天半月还不能求得一个数，所以谈论算法的人很少不望而生畏的。如果设立的方法太繁杂，那么比较计算就不容易，深切忧虑时间久了会失去它的真实。因此又详细加以探索，才领悟到求十一位、十二位的对数，开方表只需要二十一次，十四位已经足够使用。既然有了开方表，那么求各种对数就不必再开方，比起旧法节省计算几倍。而且不仅如此，凡是各种对数都确定于十的对数，而实际上产生于单一下五六空位零一的对数。现在想要用十的对数求单一下五六空位零一的对数，势必要多次开方。如果借一个数为单一下五六空位零一的对数，反过来求十的借数，就可以得到它的比例率。知道累除的方法，可以代替开方来使用。二十一次的开方表，还属于舍弃容易而追求困难。但是这种方法，设立的方法特别简单，用意并不深奥。西方人士如往讷、白尔等人，既然能创立对数，考虑没有不知道这个的。大概当时欧洲人，故意隐藏容易的方法而炫耀困难的方法，来向中原夸耀吧？现在把它揭示出来，使求对数的人有所取用。

译续对数简法

戴煦

前年秋天，我将对数简法呈给梅侣项先生。第二天，项先生对我说：“递求数法不仅可以开平方，也可以开各种高次方，我恰好悟出了两种方法，但草稿尚未定稿。”我回家后思考，也悟出了两种方法，呈给先生。而先生也将定稿展示给我看，其中的逐个数都是正确的，其中一种方法与我的正负相间的方法不同。另一种方法第一个数是正的，以下都是负的，这与我的方法如同符节相合。于是开各种高次方，就有了三种方法。我想既然有了三种方法，必定还有第四种方法，因此补充推演出来，准备呈给先生。而先生恰好也将补充推演的一种方法展示给我看，又如同符节相合。只是先生以乘数加一作为廉率，说是各种高次方第一个廉与最后一个廉的数值。而我用连比例率推导，结果也一一吻合。因此用这种方法通过代累乘求积，也没有不通畅的地方。这才知道廉率原本产生于连比例率。

用对数开平方，多次使用开方的旧法，到十二次方已经属于繁重，断难开到亿兆次方，所以用平方代替开方罢了。现在开各种高次方，既然通用于一种方法，就不必再代开。由此从繁复中得到简便，又推演出开极多位九次方的方法，而对数的简法就出现了。大概前面的方法使用假设对数，是立天元一术，也就是西方人的借根方。但是天元一术可以乘却不可以直接除，常常把除法寄托在分母上。现在需要连续除数百次，那么寄托在分母上极其繁杂，无法计算，不得不直接使用除法。既然使用除法，那么数百次的余数累积，其误差很大，所以难以求到多位数。不如连比例递求数的误差极微。至于对数还原，就是代累乘求积的方法加以变通，因此也类似。

对数产生于连比例率。比如假设一个数为本数第一率，称为方根，那么它自乘的积为倍大第二率，再自乘的积为倍大第三率，三次自乘的积为倍大第四率。所以用本数的对数乘以二，就是自乘积的对数，乘以三，就是再乘积的对数，乘以四，就是三乘积的对数。如果反过来说，假设一个数为本数第一率，称为方积，而它开平方的根为折小第二率，开立方的根为折小第三率，开三次方的根为折小第四率。所以用本数的对数除以二，就是平方根的对数，除以三，就是立方根的对数，除以四，就是三次方根的对数。推而广之到多次方，其倍大折小的比率，没有不是这样的。然而倍大各率与连比例率相应，而折小的各率不相应，这是因为二率的平方积自乘，用一率的方根去除，得到三率的立方积，二三率的平方立方两积相乘，用一率的方根去除，得到四率的三次方积，推而广之各率都是这样。折小各率则不是这样。因为倍大的比率，是率数，所以求对数用乘法；折小的比率，是率分，所以求对数用除法。倍大不仅有率数，也有率分，比如用二率的二去除一率的一得到五，就是倍大第二率的率分；用三率的三去除一率的一得到三三三零，就是倍大第三率的率分。折小不仅有率分，也有率数，比如五就是折小第二率的率数，三三三零就是折小第三率的率数。其倍大折小同一比率的率分率数，总是两两相反。对于每比的率分率数，总是与第一率的一构成三率连比例，而且必须以一为中率，所以用率分去除，或者用率数相乘，得到的数必定相同。

不仅如此，比率有整数，也有零数。整率者，比如倍大折小的一二三四第率，不是率分为整数，就是率数为整数。零率者，比如有一数较本数开平方根则不足，较本数的立方根则有余，其率分必定为二而下带零碎小余；或者较本数自乘积则有余，较本数的再乘积则不足，其率数也必定为二而下带零碎小余。而用这种带零碎的率分或率数作为首率，以一为中率，求其末率，必定仍然带零碎。这是这种倍大折小的比率，分率数都带零碎而成为零率了。如果现在所使用的对数，正是真数的率数，不是率分，而其本数第一率为一，所以一的对数为一，即一率的一，而一为本数倍大。第二率，其对数为二，一为本数倍大。第三率，其对数为三。如果一以上，一以下，从二到九，则不满一率，所以对数首位为点而下带零碎。一以上，一以下，从十一到九十九，则不满二率，所以对数首位为一，而下带零碎。这就是所谓的零率。知道对数是连比例率数，那么求对数的方法就可以论述了。

倍大率

率数

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

一率

方根

二率

平方积

三率

立方积

四率

三乘方积

五率

四乘方积

六率

五乘方积

七率

六乘方积

八率

七乘方积

九率

八乘方积

十率

九乘方积

率分

一

五

三三三

二五

二

一六六

一四二

一二五

一一一

一

折小率

率

译数

一

五

三三三

二五

二

一六六

一四二

一二五

一一一

一

一率

方积

二率

平方根

三率

立方根

四率

三乘方根

五率

四乘方根

译六率

五乘方根

七率

六乘方根

八率

七乘方根

九率

八乘方根

十率

九乘方根

率分

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

以本数为积求折小各率

第一术

方法：查本率乘数的开方初商表，取其中比本数小的那个数，以其根作为第一正数。接着以本数作为除数，用初商的平方减去本数，其减去的余数作为乘数，所求的第几项率称为率分。于是用乘数乘以第一正数，除以除数，再除以率分，得到第二正数。用乘数乘以第二正数，除以除数，再以率分加一乘之，除以二倍的率分，得到第三正数。用乘数乘以第三正数，除以除数，再以二倍的率分加一乘之，除以三倍的率分，得到第四正数。用乘数乘以第四正数，除以除数，再以三倍的率分加一乘之，除以四倍的率分，得到第五正数。如此依次推算至应求的位数，各正数之和即为所求。

按：此术由项氏所定

第二术

方法：查本率乘数的开方初商表，取其比本数小的那个数，以其根作为第一正数；接着以初商的平方作为除数，用初商的平方减去本数，其余数作为乘数，于是用乘数乘以第一正数，除以除数，再以率分除之，得到第二正数；用乘数乘以第二正数，除以除数，又以率分减一乘之，除以二倍的率分，得到第三负数；用乘数乘以第三负数，除以除数，又以二倍的率分减一乘之，除以三倍的率分，得到第四正；用乘数乘以第四正数，除以除数，又以三倍的率分减一乘之，除以四倍的率分，得到第五负数；如此依次推算至应求的位数，各正数减去各负数，即为所求。

按：此术由我所定

第三术

方法：查本率乘数的开方初商表，取自比本数大的那个数，以其根作为第一正数。接着以初商的平方作为除数，从初商的平方中减去本数，其余数作为乘数。于是用乘数乘以第一正数，除以除数再以率分除之，得到第二负数。用乘数乘以第二负数，除以除数，又以率分减一乘之以二倍的率分除之，得到第三负数。用乘数乘以第三负数，除以除数，二倍的率分减一乘之以三倍的率分除之，得到第四负数。用乘数乘以第四负数，除以除数，三倍的率分减一乘之以四倍的率分除之，得到第五负数。如此依次推算至应求的位数，用第一正数减去各负数，即为所求。

按：前述开平方七术即为此法

第四术

方法：查本率乘数的开方初商表取其比本数大的那个数，以其根作为第一正；接着以本数作为除数，从初商的平方中减去本数其余数作为乘数，于是用乘数乘以第一数除以除数再以率分除之得到第二负数；用乘数乘以第二数除以除数又以率分加一乘之除以二倍的率分得到第三正数；用乘数乘以第三数除以除数二倍的率分加一乘之以三倍的率分除之得到第四负数；用乘数乘以第四数除以除数三倍的率分加一乘之以四倍的率分除之得到第五正数；如此依次推算至应求的位数各正数减去各负数即为所求。

按：前二术，我所定与项氏所定暗合。

以本数为根求倍大各率

第一术

方法：任意截取本数几位，依本率乘数累乘作为第一正数，接着以本数作为除数，从本数中减去截去的数作为乘数，所求的第几项率名为率数，于是用乘数乘以第一正数除以除数再以率数乘之作为第二正数，用乘数乘以第二正数除以除数又以率数加一乘之除以二作为第三正数，用乘数乘以第三正数除以除数率数加二乘之除以三作为第四正数，用乘数乘以第四正数除以除数率数加三乘之除以四作为第五正数，如此依次推算至单位下，各正数之和即为所求。

第二术

方法：任意截取本数几位，依本率乘数累积相乘，作为第一正数。接着以截去的数作为除数，从本数中减去截去的数，其余数作为乘数。于是用乘数乘第一正数，除以除数，又以率数乘之，作为第二正数。用乘数乘第二正数，除以除数，率数减一乘之，除以二，作为第三正数。用乘数乘第三正数，除以除数，率数减二乘之，除以三，作为第四正数。用乘数乘第四正数，除以除数，率数减三乘之，除以四，作为第五正数。如此依次推算至率数减尽为止，各正数之和即为所求。

第三术

方法：任意截取本数几位，在末位加一，依本率乘数累积相乘，作为第一正。接着以截去的数加一作为除数，从截去的数加一中减去本数，其余数作为乘数。于是用乘法乘第一正数，除以除数，又以率数乘以之，作为第二负数。用乘法乘第二负数，除以除数，率数减一乘以之，除以二，作为第三正数。用乘法乘第

译用三数去除，用率数减二后的结果相乘，再除以三，得到第四数，为负数。用乘法乘以第四数，用除法去除，用率数减三后的结果相乘，再除以四，得到第五数，为正数。像这样依次推算，直到率数减尽为止，然后用所有的正数减去所有的负数，就得到了所求的结果。

译第四种方法

根据所要求的截断位数，依照前一种方法加一，再依照基本比率乘数连续相乘，得到第一个正数。接着，以本数作为除数，截断位数加一后减去本数，其减去的余数作为乘数。然后用乘数乘以第一个数，再除以除数，最后乘以比率数，得到第二个负数。用乘数乘以第二个数，除以除数，比率数加一后乘以二再除以三，得到第三个正数。用乘数乘以第三个数，除以除数，比率数加二后乘以三再除以四，得到第四个负数。用乘数乘以第四个数，除以除数，比率数加三后乘以四再除以五，得到第五个正数。如此依次推算，直到单位以下，然后将所有正数相加，再减去所有负数，便得到所求的结果。

按：如果有本数，要求倍大或折小的各种比率，本通为一种方法，并非有两种含义。其中第二个数倍大，使用比率数相乘，是因为比率分率与单一构成三率连比例，比率分为首率，则单一为中率，比率数为末率，所以用比率分除之的数，即等同于用比率数乘之的数；而折小各种比率，比率分是整数而比率数是零，所以用比率分比较方便。倍大各种比率，比率数是整数而比率分是零，所以用比率数比较方便。其中第三个数以比率数加减一后乘以二再除以三，是因为连比例中首率与中率之比同于中率与末率之比如前四种方法中，首率内加减中率相乘，再除以两倍的首率；后四种方法中，中率内加减末率相乘，再除以两倍的中率，所得结果必然相同。以下各数的含义仿照此类。其中第二、第三种方法与前第二、第三种方法正负各异，是因为乘数虽然说是比率数内减一，实际上是单一内减比率数，其减去的余数为负算，所以乘之为负乘，既然为负乘，则乘后的正负必然改变，所以能将逐数皆负者变为正，负相闲变，正负相间者变为逐数皆正。其中比率数减尽而停止，凡是算例以适足为实，任意以正数负数乘除之，必仍为适足以，或正负数为实，以适足数乘除，亦为适足以，所以比率数减尽则以下无数。

又按：前四种方法可作为开方的快捷方法，后四种方法所求，只需以本数连续相乘即可得到，而依次递求，似乎较为繁琐。然而开方与累乘，只能求倍大折小的各种整数比率；若是前八种方法，则凡是第一个数可知者，即使是零比率也可求。用于对数尤为重要。又按：每个数通用的乘数、除数，若先以除数除、乘数用作递次乘法，则一次乘可代替一乘一除；若先以乘数除、除数用作递次除法，则一次除可代替一乘一除。

论对数根

戴煦

对数根，是各种对数产生的根源，即单一之下无数空位零一的对数。旧法以一为积，开方五十四次，以其方根单一之下空位后所带的零数为一率，单一折半五十四次，即一千八百余亿，除以单一的数为二率，单一之下十五空位零一之一为三率，求得第四率为对数根。以一为积，开方五十四次，即以一本数为第一率，求折小第一兆八千零十四万三千九百八十五亿零九百八十万一千九百八十四率。今有本数，即可求折小各种比率，那么第五十四次开方数可以直接求得。既然可以直接求得，那么求第一兆八千余亿率，不如求第一无限数率。一无限数，犹如一千或一万，为什么呢？因为一兆八千余亿率为第五十四次开方数的比率，其位数很多，用连比例求得比率数，也有多位，即第五十四次开方数的对数，而布算很繁琐。一无限数虽然极大，但仍为一，不过单一之下有无数空位罢了。以此为首率，用连比例求末率，必为单一之下无数空位零一，这就是求对数根四率中的二率数。既然为一，可省去多位乘法一次，且一无限数较一兆有零更为精密。

现在确定一的対数为单一，求对数根。

方法：先以一开平方五次，或开平方三次、三乘方一次，或平方一次、三乘方二次，都可以，只是取其降位容易而已。得到折小第三十二率一七四六七八二八三四一三一七四九七，作为对数根的使用数。使用数见后，第三十二率以前各率为使用数，则降位稍难。若是三十二率以后皆可为使用数，不必一定用三十二率。放置使用数减去首位单一，以除使用数，得一四四三四一九二一八八六八九五三九，作为递次除法的使用数。作为通田除法的使用数，减去首位作为通用乘法。这就是前面所说的，以乘法除、除法为递次除法，则一次除可代替一乘一除的方法。然后用除法除单一，以折小率三十二乘之，得到二二二一六九四六九二四九八三二六六，作为第一个正数。除法除第一个数一乘之，二除之，得到七七一二三八六四一六七八三，作为第二个正数。除法除第二个数二乘之，三除之，得到三五六九七一六四九二五一二二，作为第三个正数。除法除第三个数三乘之，四除之，得到一八五八七七八二

译四九九八五是第四正数。用除法去除第四数，乘以四，除以五，得到一三二四九四四二八三，这是第五正数。像这样依次推求，得到五九七三一七三三七四一，这是第六正数。三五五四六一六三一三，这是第七正数。二一五九四一四六，这是第八正数。一三三二六五三，这是第九正数。八三二七一，这是第十正数。五二五五七，这是第十一正数。三三四五，这是第十二正数。二一四，这是第十三正数。一四，这是第十四正数。一，这是第十五正数。于是所有正数得出二三二五八五九二九九四四五七七作为首率，单一作为中率，求得末率四三四二九四四八一九三一五一八一一，这就是对数根。

译用数：一七四六，七八二八，三二一三；一七四九，七。

除法：一四四，三四一，九二一；八八六，八六五，三九。

第一数：二二二一六九四六九二四九六三四六六。除法除之一乘二除得二，七七一二三八六四一六七八三。同，二，三。

三，三五，六九，七一，六四，九一，五，一，二二。同，三，四；

四，一八五八，七七八二，四九八五。同，四，五；

五，一三二四九四四二八三。同，五，六；

六，五九七三一七三三七四一。同，六，七；

七，三五五四六一六三一三。同，七，八；

八，二一五九四一四六。同，八，九；

九，一三三二六五三。同，九，十；

十，八三二七一。同，十，十一；

十一，五二五五七。同，十一，十二；

十二，三三四五。同，十二，十三；

十三，二一四。同，十三，十四；

十四，一四。同，十四，十五；

十五，一。

得数，首率，二三，二五，八五；九二，九九，四四，五七，七；

中率，一；

末率，四三，四二，九四；四八，一九，三二，五；一八，一，一。

按此即以一为本数，第一率，依第一法求折小第一无量数率也。其第一数原本为单一，凡求极多率者，初商恒定单一，依对数例，以单一下之零数比例而截去首位，故置第一数不用，竟以第二数为第一数也。其以三十二相乘者，缘用数系本数之折小三十二率，当于求得数后，以三十二相乘为所求数，而以三十二乘第一数，所得数亦同也。所异者，求法即依第一法，则第二数应以一无量数加一相乘，二无量数相除，而何以用一乘二除？不知求极多者无加一之差也。今试以九次方言之，其率分为十，其乘法十一与除数二十之比较，一与二之比，所差尚巨。若两位九次方，谓九十九次方，其率分为百，而一百零一与两百之比较，一与二之比，所差较微；若三位九次方，谓九百九十九次方，其率分为千，而一千零一与两千之比较，一与二之比，其差更微；由是推之，多位九次方则其差必极微，而可以不计了。且非特不计而已，譬如割圆有大弧弦求析分小弧弦，每逢乘法有分子之减差，析之愈细，减差愈微。若求弧则有分母而无分子，此减差便不存在，盖稍有减差则亦稍有棱角而非真弧了。求对数根亦然，必须开无穷无尽之极多位九次方，此加差而不存，然后求至数百千位而无不合。若稍有加法，则必滞于第几率，而求至多位反不合了。即如开平方五十四次，而所求对数根不过十五六位，若欲增求一位必须再开三四次，不能如前法求几位即得几位者，以其滞于一兆八千亿率也。然则一乘二除，二乘二除，正开无穷无尽极多位九次方之法，无以名之，姑名为折小第一无限数率耳。

论用数

戴煦

前言：有本数求折小第一无限数率可以径求，此立法也。而法有穷，必须先求三十二率，何也？盖多数之开方，初商表其数极繁，唯初商单一，则任折小至多数，而初商实亦必仍为单一；幸而求折小多数者，其首位必为单一，故用第一第二两法，其第一数必为单一，而初商实亦可知；若用第三第四法，则初商必为二，而初商即极繁而不可求了。然即用第一第二法，而其中又有阻碍。今试以一为本数，依第一法求之，则以一为除法，初商一，减一得九为乘法，乘除相差甚微，而位不降，位不降则不能递求；依第二法，则一除九乘，位不惟不降而反升，尤不能递求，此阻碍也。夫求折小多数者，其本数必须单一，下有空位，后带零数，则减余数小而可求；今本数一既非单一，又无零数则必假一单一下有空位带零数之……

译多次通过计算来求得它，这就是使用“用数”这一方法的由来。而求取“用数”大约有四种方法：

第一种方法是：先用基数求出缩小后的第几几率作为“用数”，用第一个数乘以缩小率若干倍，然后依次推求，这是第一种方法。

第二种方法是：将基数的首位降低作为单位，用从二到九、从十一到十九的各个数连续去除，以此作为“用数”；求得数值后，加上除法的对数，看降低了几位，就在首位加上几，这是第二种方法。

第三种方法是：先用基数求出放大后的第几几率，将首位降低作为单位作为“用数”；求得数值后，看降低了几位，就在首位加上几，然后用放大率若干倍去除，这是第三种方法。

第四种方法是：设置基数，用从二到九的各个数连续相乘，将首位降低作为单位作为“用数”；求得数值时，看降低了几位，就在首位加上几，然后减去乘法的对数，这是第四种方法。

然而，第一种方法取数不容易，且会有零头，只有在求对数根不得已时才使用。第二种方法也有零头。第三种方法虽然没有零头，但不能保证一定求得，因为各个数的放大率不能立即得到，且首位为一而下面有空位。只有第四方法既没有零头，又能保证一定求得，所以求取“用数”时，可以用放大率求取的，就用放大率；那些不能用放大率求取的，则用借数累乘法更为便利。

译假如用倍大率求二的用数：

方法是把二自乘九次，得到一千零二十四，作为二的倍大第十率；降低三位得到一二四，这就是二的用数。

假如用累乘法求七的用数：

方法是用七乘以二，得到十四；再用八乘以十四，得到一百一十二；再用九乘以一百一十二，得到一千零八。降低三位，得到一八，这就是七的用数。

假如兼用倍大率和累乘法，求三的用数：

方法是把三自乘，再乘一次得到二十七，作为三的倍大第三率。用四乘以二十七，得到一百零八，降低两位得到一八，这就是三的用数。

论借数

戴煦

所谓借数，是指从二到九这八个数字，借来作为累乘的基数。凡是各种数字，选择这八个数字中的任何一个去乘，都能得到首位为一且后面有空位的数，所以借数不必广泛寻求，仅这八个数字就足够了。但是，由用数求得的对数，必须加上乘法的对数，因此必须先求出借数的对数。而借数虽然有八个，实际上只相当于三个数，为什么呢？因为二、五、四、八本质上相通为一个数，三、六、九也相通为一个数，只有七自成一个数，所以只有三个数的对数。而这八个数的对数已经齐备，有了这八个数的对数，那么各种数的用数也就无不齐备了。

假如有对数，要求二、四、五、八的对数：

方法依照前述求得二的用数一二四，减去单一得到二四，作为递次乘法。于是用乘法乘以对数根，得到一四二三六七五六五六七八四三。凡是乘法在单位以下，则乘得数小于原数，作为第一正数。乘法乘以第一数，再除以二，得到一二五七六八一七八八一三七，作为第二负数。乘法乘以第二数，再除以三，得到二一二二八九七二六一，作为第三正数。乘法乘以第三数，再除以四，得到三六二二一二一五七，作为第四负数。如此依次求得六九一六二四七三三，作为第五正数。一三八三二四九五，作为第六负数。二八四五五四，作为第七正数。五九七六，作为第八负数。一二七，作为第九正数。三，作为第十负数。于是所有正数相加得到一四二五六九四八六五六六七，所有负数相加得到一二五一一二八四六七四八一一八。用负数减去正数，得到一二九九九五六六三九八一一九四九，这是用数的对数。因为用数是降低了三位，所以在首位加上三，得到三一二九九九五六六三九八一一九四九这是一千零二十四的对数。因为一千零二十四是二的倍大第十率，所以用十去除它，得到三一二九九九五六六三九八一一小余四九，这就是二的对数。

求四的对数：因为四就是二的倍大第二率，所以用二的对数乘以二，得到六二五九九九一三二七九六二三八九九，这就是四的对数。

求五的对数：因为二与五相乘等于十，所以用十的对数单一减去二的对数，得到六九八九七四三三六一八八五一，这就是五的对数。

求八的对数：因为八就是二的倍大第三率，所以用二的对数乘以三，得到九三八九九八六九九一九四三五八四七，这就是八的对数。

用数：一二四

乘法：二四

第一数：一四二三六七五六五六七八四三，乘法乘之一乘二除得

二：一二五七六八一七八八一三七，同二三。

三：二一二二八九七二六一，同三四。

四：三六二二一二一五七，同四五。

五：六九一六二四七三三，同五六。

六：一三八三二四九五，同六七。

七：二八四五五四，同七八。

八：五九七六，同八九。

九：一二七，同九十。

十：三

正数：一四二五六九四八六五六六七。

负数：一二五，一一二八，四六七，四八，一八。

减得：一二九九九五六六三九八一一九四九

首位：三一，二九九九，五六六三，九八一二，九四九。

加三

十除之：三一二九九九五六六三九八一一九四，二的对数。

二乘之：六二五九九九一三二七九六二三九八，四的对数。

以减：六九八九七四三三六一八八五一，五的对数。

单一

三乘之：九三八九九八六九九一九四三五八四，八的对数。

假如求三、六、九的对数：

方法依照前述求得三的用数一八，减去单一得到八，作为递次乘法，于是用乘法乘以对数根

译得到三四七四三五五八五五二二六一四四作为第一数，为正。乘法：用第一数乘以二，再除以一，得到一三八九七四二三四二九四五八作为第二数，为负。乘法：用第二数乘以三，再除以二，得到七四一一九五九一五七八一五五作为第三数，为正。乘法：用第三数乘以四，再除以三，得到四四四七一七五四九四六八九三作为第四数，为负。像这样依次求得：二八四六一九二三一六六一作为第五数，为正；一八九七四六一五四四四作为第六数，为负；一三一一一六四八七六作为第七数，为正；九一七八一五四一作为第八数，为负；六四七六六六八七作为第九数，为正；四六六三二一作为第十数，为负；三三九一四二作为第十一数，为正；二四八七作为第十二数，为负；一八三七作为第十三数，为正；一三六作为第十四数，为负；一作为第十五数，为正；一作为第十六数，为负。于是，所有正数之和为三四八一七九六四七六九七二一五三，所有负数之和为一三九四二八五八三七四七五一三，用负数从正数中减去，得到三三四二三七五五四八六九四九七一作为用数的对数。将用数的小数点左移两位，并在首位加上二，得到二三三四二三七五五四八六九四九七一，这是一百零八的对数。将用数乘以四，再减去四的对数，得到一四三一三六三七六四一五八九八七一，这是二十七的对数。因为二十七是三的三倍，即第三率，所以用三去除它，得到四七七一二一二五四七一九六六二四三七，这就是三的对数。

译求6的对数，用2与3相乘即得6，于是将2的对数加上3的对数，得到77815125383643632，这就是6的对数。

求9的对数，因为9是3的3倍，作为第二率，于是将3的对数乘以2，得到954242594393248742，这就是9的对数。

用数 18

乘法 8

第一数 34743598552261449，用乘法乘以它，再除以1乘2，得到

2，13897423429458，同号，2，3。

3，74119591578155，同号，3，4。

4，44471754946893，同号，4，5。

5，284615231661，同号，5，6。

6，1897，4615444，同号，6，7。

7，1311164876，同号，7，8。

8，91781541，同号，8，9。

9，64766687，同号，9，10。

10，466321，同号，10，11。

11，339，142，同号，11，12。

12，2487，同号，12，13。

13，1837，同号，13，14。

14，136，同号，14，15。

15，1，同号，15，16。

16，1

正数，3、4、8、1、7、9、6、4、7、6、9、7、2、1、5、2。

负数，139428583747514。

相减得到，33，42，37，55，48，69，49，71，2。

首位，233，423，755，486，949，712。

加上2

内部减去4，1431，3637，6415，8987，3114。

的对数

除以3，47712125，47196624371，3的对数。

内部加上2，7781512538364632，6的对数。

的对数

2乘以3，95，4242594393244742，9的对数。

的对数

假如求7的对数

方法依照前述求得7的用数18，减去单位1得到8，作为递次乘法。于是用乘法乘以对数根，得到3474355855226145作为第一正数。用乘法乘以第一数，再除以1乘2，得到1389742342941作为第二负数。用乘法乘以第二数，再除以2乘3，得到741195915782作为第三正数。用乘法乘以第三数，再除以3乘4，得到4447175495作为第四负数。如此递推求得28461923作为第五正数，189746作为第六负数，131作为第七正数，9作为第八负数。于是所有正数之和为34744299776639151，所有负数之和为138978681574291，用负数减去正数得到3465321956486作为用数的对数。因为用数需要降低三位，所以在首位加上3，得到3346532195648作为1008的对数。因为这是2、8、9连续相乘所得，于是289的三对数得到2158362492952496538，减去它得到845984142568322，这就是7的对数。

用数 18

乘法 8

第一数 347435585522645，用乘法乘以它，再除以1乘2，得到

2，13897423423941，同号，2，3。

3，741195915742，同号，3，4。

4，4447175495，同号，4，5。

5，28461923，同号，5，6。

6，189746，同号，6，7。

7，131，同号，7，8。

8，9

正数，34744259776639151。

负数，1389786815744291。

相减得到，346、532、195、648、6。

首位加上3，33、46

译、五三、二一、九五、六四、八6。

三个对数，二一五八三六，二四9二九五，二四9六五三八。

相减得到，八四五九八四一四二五六八三二三，即七的对数。

译按照此法，是使用第二术来开极高次位的九次方根的方法。旧法求二的对数，也以一、二、四作为用数，而以单一下十五空位零一的一作为一率，单一下十五空位零一的对数即今所用之对数根作为二率，对用数开平方四十七次，以其单一下的零数作为三率，求得四率，然后用平方四十七次折小率一百四十余万亿乘以它，得到用数的对数。一率中的一本来可以省略去除，现在既然开了极高次位的九次方根，其折小的率分为一无量数，而一无量数中的一也可以省略相乘。开方既已使用零数，那么第一数也可以放置不用，而直接将第二数作为第一数，只需求得开方的零数，用对数根乘以它，即得到用数的对数，而递求数的例子，在求得数后乘以它，与乘以第一数得到的数必定相同，所以干脆用乘法乘以对数根作为第一数。本应以对数根乘以不用的第一数，然后用乘法乘以它，而不用的第一数系单一，所以可以省略相乘。求对数根使用第一术，而这里使用第二术，大概是因为对数根的用数系多位畸零，凡是多位畸零的，除了便于相乘，所以用一次除法代替一次乘法。一次除法既已使用除法，那么使用第一术与第二术是相同的，畸零除法不如第一术的降位稍微容易些。如果现在所求的用数均位数少而没有畸零，不仅乘法只有一二位，而且使用第二术则除法即为单一，可以省略除法，所以虽然降位稍微困难，但最终仍以第二术为便利。

假如有借数求二十三的对数

方法：放置二十三，用五乘以它，得到一百十五；又用九乘以它，得到一千零三十五。降三位得一三五，作为二十三的用数。减去首位单一，得三五，作为递次乘法。于是用乘法乘以对数根，得一五二三六八六六六一三八一一四，作为第一数正。乘法乘以第一数，一乘之，二除之，得二六七五三七一六五七四一七，作为第二数负。乘法乘以第二数，二乘之，三除之，得六七九一九七五三四，作为第三数正。乘法乘以第三数，三乘之，四除之，得六二九二八二八九二二六五，作为第四数负。如此递求，得四五六一九九二九八三，作为第五数正；一三三五八一二九，作为第六数负；三九九一七四三一，作为第七数正；一二二二四七一，作为第八数负；三八三二，作为第九数正；一一九八，作为第十数负；三八，作为第十一数正；一，作为第十二数负。于是合并诸正数，得一五二六五一八二二四五七一五九五八；又合并诸负数，得二六六一六八四三一五三五四三八一。用负数减正数，得一四九四三四九七九二九三五五七七，作为用数的对数。因为系降三位，于是在首位加三，得三一四九四三四九七九五五七七，作为一千零三十五的对数。因为系五与九叠乘所得，于是用五与九两对数相减得一六五三三一二五一三七七五三四六九三，减去它得一三六一七二七八三六一七五九七八四，即二十三的对数也。

用数 一三五

乘法 三五

第一数 一五二三六八六六六一三八一一四 乘法乘之一乘二除得

二，二六七五三七一六五七四一七 同二三。

三，六七九一九七五三四，同，三，四

四，六二九二八二八九二二六五，同四，五。

五，四五六一九九二九八三，同五，六。

六 一三三五八一二九 同 六 七

七 三九九一七四三一 同 七 八

八 一二二二四七一 同 八 九

九 三八三二 同 九 十

十 一一九八 同 十 十一

十一 二八 同 十一十二

十二 一

正数，一五二六，五一八二，四五七，一九九五八。

负数，二六六一六八四三一五三五四三八一

减得，一四九四，三四九七，九五五七，七。

首位，三一四九四三四九七九五五七七。

加三

二与九，一六五三，二一二五，三七七，五四三，六七九三。

对数共

减得，一三六一七二七八三六一七八四，二十三之对数。

按，求十万对数，前法为便，因为

译真数没有零头。如果求八位对数，那么真数原本就有零头，应当依据求对数根的方法来求取更为方便。大抵求对数的方法，难在开始阶段，以后逐一求取各个数值，审慎选择使用即可。又如今所求的对数，是十八位小数减去两位，所以必须依次求取较多的数值；如果只求十一或十二位，就更不必依次求取较多的数值了。

译附录：对数还原

论借用本数

对数是真数的比率数，而通常以一作为本数。第一比率既然有本数，第一比率又有比率数，那么依照以本数为根、求倍数增大各比率的方法来求取就可以了。然而其中存在阻碍，使得一不能用作本数，为什么呢？整数比率的第一数可以截断本数，依照本比率乘数累乘而得到。如果是小数比率的第一数，那么在累乘过程中没有这个数。对数作为比率数，都是小数比率，所以它的第一数无法得知。无法得知也就无法求取了。但在无法得知之中，自然有可以得知的部分。凡是整数比率首位为单一的，那么无论倍数增大多少比率，累乘所得的第一数，必定仍然保持单一而不变。整数比率遇到单一而不变，那么小数比率遇到单一，其第一数必定仍然保持单一而不变，这是毫无疑问的。因此，凡是小数比率且第一数可以用单一的，那么就可以得知并且可以依次求取。第一数既然必须用单一，那么以一作为第一比率，内部减去单一，其减去的余数太大而不能依次求取了。这就是借用本数的由来。而借用的本数，没有比一一更好的了。为什么说一一呢？因为使用第二种方法，那么其首位的单一作为通用除法，既可以省去除法，而减去单一得一作为通用乘法，只须降低六位，也可以省去乘法，而且降低位数又容易，所以用一一是方便的。只是各种对数是以一作为第一比率的比率数，现在用一一作为第一比率，那么比率数就不相符了。方法先求得一一的对数，用作除法。凡是各种对数用这个除法去除，所得到的数，就是以一一为本数第一比率的比率数。

假如以一一作为借用本数，求它的对数作为除法。

方法是对数根降低六位，得到四三四二九四四八一九三三，作为第一数正；用第一数降低六位，一乘它，二除它，得到二一七一四七二，作为第二数负；用第二数降低六位，二乘它，三除它，得到一，作为第三数正；于是用第一、第三两数相内减第二数，得到四三四二九四二六四七五六二，作为借用本数的对数，也就是求比率数的除法。

本数 一一

乘法 一

第一数 四三四二九四四八一九三三 乘法乘之一乘二除

二 二一七一四七二 同 二 三

三 一

得数，四三，四二，九四，四八،一九，三四。

减得，四三、四二九四二六四七八六二，一一的对数。

论借用比率数

前面说过用一一的对数去除所设定的对数作为比率数，而一一的对数单位下面有七个空位，各种对数最小的也只一个空位。现在用借用本数的对数去除，其比率数必定非常大。比率数既大，那么每次通用乘法虽然降低六位，而每次用比率数的乘法而且不止升高六位，那么位数仍然不降低而无法求取了。所以必须参用旧法，先求得从二到九，从一一到一九，从一一到一九，从一一到一九，从一一至一九，从一一至一九，从一一至一九各对数列为表格。看所设定的对数有首位的，先去掉首位，其余足够减去什么数的对数，依次减去它，减到有六七空位，然后用借用本数的对数去除，作为借用比率数。那么比率数小就可以求取了。求得数后，再用递减对数的真数累乘它，再看首位减去了什么数，依照数升高若干位，就得到所求的真数了。

求备减表

从二到九各对数依照前面所求列出来，从一一到一九各对数里面，其中一二与一四与一五与一六与一八都可以加减而得到，只有一一与一三与一七与一九仍然需要前面求得用数，然后依次求取。如果是一一到一九，那么原数就可以依次求取，不必再求用数。至于从一一到一九，那么依次求取各数与从一一到一九相同，只须逐数依次降低一位减去它就可以得到。如果是一一到一九，那么再降低一位减去它，以后各数都同此法。

真数 假数 小余

二，三一，二九九九，五六六،三九八،一一九四九。

三，四七七،一二一،二五四七一九،六六二،四三七一。

四，六二五،九九九،一三二七،九六二三،八九八。

五،六九八九七四三三六一八八五一。

六،七七八،一五一،二五三،八三六،四三六،三二。

七「八四五九八四一四二五六八三二三」。

八،九三八،九九八六،九九一九،四三五八四七。

九،九五،四二،四二五،九四三،九三二،四八七،四二。

一一،四一三九二六八五一五八二二五四七。

一二،七九一八،一二四六،四七六二،四八二六九。

一三،一一三九四三三五二三六八三六七六七。

译一四，一四六一二八三五六七八二四二七一。

一五，一七六九，一二五九，五六八，一二四，二二。

译一六，二四一一九九八二六五五九二三七七九六。

一七，二三，四四，八九，二一，三八，八二，七三，九二，七八。

一八，二五五二七二五五一三二六六九一。

一九，二七，八七，五三，六八，五二，八二，八九，六一，九一。

真数 假数 小余

一一，四三二一，三七三七八，二五四二，五六六五。

一二，八六，一七，一七，八一，九一，七五，五九，八一。

一三，一二八，三七二，二四八，五一七，二二四六。

一四，一七三三三三九二八七八三五四三。

一五，二一，一八九二，九九八九，九三八七，四四。

一六，二五三五八六五二六八六八四一二六四。

一七，二九，三八，三七，七七，八八，五，一九，六四，二一。

一八，三三，四二，三八，五五，四八，六九，四八，七一，二一。

一九，三八，四二，六四，九八，九四，六二，三八，三三，八一。

一一，四三，四七，七四，八九，三一，八六，四八。

一二，八六七七，二一五三，一三，二六九，一二五。

一三，一三九三，三一四一八一一四六。

一四，一七三三，七一二八，九五四九七。

一五，二一六六六一七五八五七六七六二。

一六，二五九七，九八八一，九九八六，一二二。

一七，三二九，四七五，五四六，一八七。

一八，三四六五，三二二九，五六四八六。

一九，三八九一一六六二三八九一五二一六。

真数 假数 小余

一一，四三，四二，七二，八六，八六，二六，六九，六一。

一二，八六八，五二一，一八四，八九五，八二。

一三，一三二六八八五三二七六九。

一四，一七三六，八三五八，四五四九，一八七。

一五，二一七九，二九八二，二三二，八二。

一六，二六四九八五四八三九三四六九。

一七，三三八九，九七八四，八一二四，九一九。

一八，三四七，二九六，八八五，三八三，五四八。

一九，三九八六九二四九八一三一。

一一，四三，四二九，二八一，四三八四。

一二，八六，八五，八二，八，八六，二六，三一。

一三，一三二八六三九三八四八九三。

一四，一七三七，一四三一，八九八九九二。

一五，二一七一，四一八一，三四五一，五五一。

一六，二六五六八八八二一五三九六九。

一七，三三九九，五四九七，八一三九八六。

一八，三四七，四二一，八八八，八四三，三三。

一九，三九八四七四四五八四一八七五。

真数 假数 小余

一一，四三，四二，九四，三六，四七，五六，二一。

一二，八六八，五八八，九六二，一八七。

一三，一三二八八一四九，一二八八五。

一四，一七三七，一七四五五，三二六六，四一。

一五，二一七一四六六九八九五三三。

一六，二六，五七，五九，八四，一五，一一。

一七 三四五七三三一五七七

一八，三四七四，三四二九，五六八七，六七。

一九，三九八六，三二八四，八三八三。

假如有对数一、三、六、一、八、二、八、八、三、六、一、八、五、九、二、八、八、八、四，求借用率数。

方法：设置所给对数，去掉首位的一，得到三六一七二七八三六一八五九二八七八四，查备减表找到足以减去二的对数，于是用二的对数去减，得到六六九七八四三五三六一一八八三五，又查表找到足以减去一一的对数，减去后得到二九三五一五五一九五三八八六四一八，又找到足以减去一四的对数，减去后得到二二七一八一五八九六八六二八七五，又找到足以减去一五的对数，减去后得到一五七五四一四九八八一一三，又找到足以减去一二 的对数，减去后得到一八九三九二八四四九八五四一，又找到足以减去一四的对数，减去后得到一五三二四九六五九九八四四八，又找到足以减去一三的对数，减去后得到二二九六一五一八四五六四，前面已经得到七个空位，于是用借用本数的对数四三四二九四二六四八五六二去除，得到五二八

译七、八、五、九、二、一、二，是借用率的数值。

一、三、六、一、七、二、七、八、三、六、一、七、五、九、二、八、七、八、四，是在首位减一后得到的。

三、六、一、七、二、七、八三、六、一、七、五、九二、八、七、八、四，是减去二的对数后得到的。

译三一，二九九九，五六六三，九八一一，九四九减去，

得到六六九七八四三五三六一一六八三五三，其中减去一一的对数。

四一二九，二六八五一，五八二二三，四一七减去，

得到一九三五，一五五，一九五三，八六七四，一八。其中减去一四的对数。

一七三三三三九二九八七八三四三，减去，

得到二二七一八一五八九六六六二八七五六，其中减去一五的对数。

二一六八六一七五六五七六七六三，减去，

得到一五七五四一四九八六一一四，其中减去一二对数。

八六八五二一一六四八九五七三，减去，

得到一八九三九二八四四九六五四二，其中减去一四对数。

一七三七，一四三一，八四九八九三，减去，

得到一五三二四九六五九九八四五零，其中减去一三对数。

一三二八八一四九一三八八六，减去，

得到二二九六一五一八四五六五，作为借用本数的对数。

四三、四二九、四二六、四七八、六三，除之，得到

五二九，七八六，九二二，二，为借用率数。

假如已知对数一三六一七二七八三六一七六九二八七八五，求其真数。

方法依照前述求得借用率数五二八七八五九二一三，于是以借用本数首位单一，下加十九空位得一，作为第一数正；其次以借用本数减去单一得一，作为乘法，以乘法乘第一数，又以率数乘它，得到五二八七八五九二一三作为第二数正；乘法乘第二数，又以率数反向减去一，得到四七一二九一四二，截取九位乘它，再除以二，得到一二四五九三零作为第三数负；乘法乘第三数，又以率数反向减去二，得到一四八，截取三位乘它，再除以三，得一作为第四数正。于是各正数合计得一五二八七八五九二一三二，其中减去第三负数，得一五二八七八四六五六一九三，于是将前求借用率数时递减各对数的真数一三与一四与一二与一五与一一四与一一与二依次相乘，得到二二九九九九九九九九九九九九九九九八五六，舍弃零头进一，得到二三；又因为前求率数时曾减去首位之一，应升一位，得到二十三，即为所求的真数。

本数 一一

乘法 一一

第一数 一，降六位，率数乘之，得到

二，五二八七八五九二三，降六位，率数减一，乘之，除以二，得到

三，一二四五九三零，降六位，率数减二，乘之，除以三，得到

四 一

本数，一五二八，七八五九，二三一二。

减去，一五二八七八四六五六一九三，以一三乘之，得到

一三五二八七一五一七四四七，以一四乘之，得到

一四三五二八八五一二一四六八，以一五乘之，得到

一二四三五三七五五六九七三八六八，以一五乘之，得到

一五二四四七五五二四四七五六二四四九，以一四乘之，得到

一四五四五四五四五四五四五四四八二，以一五乘之，得到

一一四九九九九九九九九九九九九九九三九，以二乘之，得到

二二九九九九九九九九九九九九九九八七九，舍弃零头进一，升一位。

二三

按此即使用求倍大各率第二术。其第三数变为负数的原因，凡是整数率必大于单一，其减一、减二都为正，减至率数减尽为止，而没有所谓的反向减，所以逐数都为正。现在所用的率数小于单一，其减一、减二都为反向减，反向减则为负，作为乘法，所以能将逐数都为正的变为正负相间。又凡对数递减得到三空位，已可递求，只是逐数用率数的乘法，多位零头，不免繁重，所以必须减至七空位，然而这也是为求十八位对数的真数而设的。如果求十一、二位，则一一即可借为本数，而将对数递减至四空位即可求借用率数了。

割圜连比例术图解序

董佑诚

元代郭守敬《授时草》用天元术求弦矢，直径一圆周三，仍然沿用旧率。西方人用六宗三要二简术求八绵，理密数繁，凡是遇到布算，都依赖查表。梅文穆公《赤水遗珍》记载了西方人士杜德美《圜径求周》等术语，但不详细，很少人通晓其缘故。我曾想另创通法，使弦矢与弧可以直接求得，潜心研究多年，最终没有所得。己卯年春，秀水朱先生鸿将杜氏《九术》全本示我，这是海甯张先生豸冠所抄写的，《九术》以外别无图说。听说陈氏际新曾为之作注，被某氏秘藏，已经失传，于是反复寻绎，探究其立法的本源，大概即是圜容十八觚之术，引伸类比，求

译那些层层累积的实体，兼及差分排列的衰变，商功中的堆垛问题，融会贯通以穷尽勾股定理的变化。《周髀算经》说：“圆出自于方，方出自于矩，矩出自于九九八十一；圆是弧，方是弦，矢是直角三角形中的高。”九九八十一是递加、递减、递乘、递除的差数。方圆是天地的大体，奇偶相生，出于自然。如今掌握了这种方法，方圆之间的比率就相通了。于是分图著解，冠以《九术》原文，并设立弦、矢、亘、求四种方法，总共分为三卷，文辞力求简明易懂，若有芜杂冗长之处，那些尚未领悟的地方，等待有道德的人来匡正。

译割圆连比例后序

董佑诚

在《割圆解》成书两年之后，朱先生又在钟祥李氏处获得了《割圆密率捷法》四卷。这书大概是乾隆初年钦天监监正明图所推演，而其门人陈际新所续成的。书中阐释连比例的各种比率，将弦和矢分为两种方法，都是先设定百分、千分、万分等各种弧长，按照本来的方法乘除，舍弃其零头，以求符合矢的十二、三十五、十六，弦的二十四、八十、一百六十八等数值，于是作为递增加一作为除法者，特别取其容易理解且便于记忆，那么它在立法的本源上似乎没有完全阐明。然而反复推演，使得弧矢的奇偶比率可以互通，探求隐微深奥的道理，杂乱而不逾越。大概是师徒相承，积累了三十多年的时间，推究他们的用心，可以说是勤勉且深入了。陈氏的序言说：求圆周直径及弧求弦矢的三种方法，是杜德美所作；其余六种方法则是明图补上的，与张先生所传的互相不同。又借弧、借弦两种方法，并见于陈氏书中，是范氏所作，难道是暗中契合吗？我用垛积法来解释比例，而三角及方锥堆三乘以下的旧法没有这种方法。近来读元代朱世杰《四元玉鉴》中的菱草形段、果垛叠藏等问题，才知道递乘递除的方法，近古已有，而远西的人士尚能坚守其遗法，有值得珍视的地方。于是记下这些。

少广缒凿

夏鸾翔

开平方捷术一

取较小的初始商数作为一借根，用一借根去除本积得到二借根，一、二借根取半作为三借根，用三借根去除本积得到四借根，三、四借根取半得到五借根，用五借根去除本积得到六借根，以下都这样求取，直到借根小的逐渐变大，大的逐渐变小，与平方根紧密吻合为止。

此法中，一、四、七等借根，总是略微小于平方根；二、三、五、六、八、九、十等借根，总是略微大于平方根。

算例

假如平积一百二十一，求平方根。

取较小的初始商数一〇〇作为一借根，一借根去除本积得一〇二一作为二借根，一、二借根取半得一〇一五作为三借根，三借根去除本积得一〇〇九五〇，多的则舍弃，以便计算，凡是借根、借积都是如此，作为四借根，三、四借根取半得一〇一作为五借根，因为前面的借根舍弃了零头，所以五借根恰好适合平方根，即是平方根。

开平方捷术二

取较大的初始商数作为一借根，用一借根去除本得到二借根，一、二借根取半得到三借根，用三借根去除本积得到四接根，三、四借根取半得到五接根，用五接根去除本积得到六接根，以下都这样求取，直到借根大的逐渐变小，小的逐渐变大，与平方根紧密吻合为止。

此法中，奇数位的借根总是略微大于本根；偶数位的借根总是略微小于本根。

算例

假如平积九十九，求平方根。

取较大的初始商数一〇〇作为一接根，一接根去除本积得〇九九作为二接根，一、二接根取半得〇九九五作为三接根，三接根去除本积得〇九九四九七四作为四接根，三、四接根取半得〇九九四九八七，这已经消尽了六位，所以六位以下舍弃，作为五接根即是平方根。

开诸乘方捷术一

取较小的初始商数作为一接根，用略大于本积的积作为外积，其根作为外根，用外积与外根加一的积相减，再减一作为递次除法。一接积减去本积的余数，用除法去除，得到的数加上一接根作为二接根。二接积减去本积的余数，用除法去除得到的数加上二接根作为三接根。以下都这样，求取直到接根逐渐变大与平方根紧密吻合为止。或者设置外根降一乘积，本乘乘数加一的乘积作为递次除法，更加快捷。

算例

假如平积五十，求平方根。

用〇七一之平积五〇〇四一作为外积，〇七一作为外根，求得一〇四二作为递次除法，取较小的初始商数〇七作为一接根，一接积四〇九减去本积的余数，用除法去除得〇〇七四，以此加上一接根得〇七七四作为二接根，二接积四〇九九九五五六减去本积的余数，用除法去除得〇六六五，以此加上二接根得〇七七一六五作为三接根，截去末两位得〇七七即平方根。

开诸乘方捷术二

取较大的初始商数作为一接根，用略大于本积之积作为外积，其根作为外根，以外积与外根加一的积相减，又减一作为递次除法。一接积内减去本积，余数用除法去除，得到的数减去一接根作为二接根。二接积内减去本积，余数用除法去除得到的数减去二接根作为三接根。以下都这样求取，直到接根逐渐变小与平方根紧密吻合为止。

算例

假如平积八八，求平方根。

用〇三之平积〇九作为外积，〇三作为外根，求得〇六作为递次除法。取较大的初始商数〇三作为一接根。一接积〇九内减去本积的余数，用除法去除得〇三三三三三，以此减去一接根余〇二九六六六作为二接根。二接积〇八八七一五五内减去本积的余数，用除法去除

译□〇○一一九，以减去二借根后的余数□〇二九六六四八一作为三借根，截去末两位得到□〇二九六六四，即为方根。

译开诸乘方捷术三

以较小的初商作为一借根，用略小于本积的积作为内积，其根作为内根，用内积减去（内根加一）的积，再减一，作为递次除法。用一借积减去本积的余数，除以递次除法，得到的商数加上一借根，作为二借根。用二借积减去本积的余数，除以递次除法得到的商数，减去二借根，以下逐次计算都是一加一减相间，作为三借根。下面都这样计算，求得借根中较小的逐渐变大，较大的逐渐变小，与方根紧密吻合时停止。

算例

假如求平积五十的方根

以0.7的平积0.49作为内积，0.7作为内根，求得1.04作为递次除法，较小的初商0.7作为一借根，一借积0.49减去本积的余数，除以递次除法得到0.00714，加上0.7作为二借根，二借积0.5004697减去本积的余数，除以递次除法得到00.00335，减去二借根得到0.70716作为三借根，截去末一位得到0.707即方根

开诸乘方捷术四

以较大的初商作为一借根，用略小于本积之积作为内积，其根作为内根，以内积减去（内根加一）之积，再减一作为递次除法。一借积减去本积，余数除以递次除法，得到的商数减去一借根作为二借根。二借积减去本积，余数除以递次除法得到的商数，加上二借根作为三借根，以下逐次计算都是一减一加相间。下面都这样计算，求得借根中较大的逐渐变小，较小的逐渐变大，与方根紧密吻合时停止。

算例

假如求平积八八的方根

以0.29的平积0.0841作为内积，0.29作为内根，求得0.58作为除法。较大的初商0.3作为一借根。一借积0.9减去本积的余数，除以除法得到0.00344827，减去一借根余0.29655作为二借根。二借积0.879419减去本积的余数，除以除法得到00.001172，加上二借根得到0.29665作为三借根。三借积0.881222减去本积的余数，除以除法得到0.21，减去三借根得到0.296647作为四借根，截去末一位得到0.29664即方根。

天元开诸乘方捷术，一较数余积用此术。

以较小的初商作为一借根，用略大于本积之积作为外积，其根作为外根，以外积减去（外根加一）之积，再减一作为递次乘法。一借积，凡是天元借根求借积的方法，用借根乘隅，加减长廉，用借根乘之，加减平廉，又用借根乘之，加减立廉，又用借根乘之，到加减方后，又用借根乘之，就是借积。外根之于外积也是如此，减去本积的余数，除以递次乘法，得到的商数加上一借根作为二借根。二借积减去本积的余数，除以递次乘法得到的商数，加上二借根作为三借根。下面都这样计算，求得借根逐渐变大与元数紧密吻合时停止。

算例

假如平方负积十六，正方二，正隅一求元数。

以0.32的积，1.0664作为外积，0.32作为外根，求得0.84作为递次除法。较小的初商0.3作为一借根，一借积15.05，减去本积的余数，除以除法，得到0.00119，加上一借根，得到0.3119作为二借根。二借积1.05966161，减去本积的余数，除以除法得到的商数，得到0.00428，加上二借根，得到0.3123作为三借根。三借积1.05999129，减去本积的余数，除以除法得到的商数得到0.0013，加上三借根，得到0.312313作为四借根，截去末三位得到0.3123即元数。

天元开诸乘方捷术，二和数余积用此术。

以较小的初商作为一借根，用略大于本之积作为外积，其根作为外根，用外积减去（外根加一）之积，再加一作为递次除法。一借积减去本积的余数，除以除法得到的商数加上一借根作为二借根。用二借积内减去本积的余数，除以除法得到的商数减去二借根作为三借根。以后逐次计算都是一加一减相间，下面都这样计算求得借根中较小的逐渐变大，较大的逐渐变小与元数紧密吻合时停止。

算例

假如平方负积二九，正方四，负隅一求小元数。

以0.1的积0.3作为外积，0.1作为外根，求得0.2作为递次除法。较小的初商0.09作为一借根。一借积0.279，减去本积的余数，除以除法得到0.55，加上一借根得到0.0955作为二借根。二借积0.297975，内减去本积的余数，除以除法得到0.3987，减去二借根，余0.09511作为三借根。三借积0.28996199，减去本积的余数，除以除法得到1.95，加上三借根得到0.09

译五与十二相乘得四借根。四借积为〇二九一八五六，从中减去本积余，用除法去除得到〇○九二八，再减去四借根得到〇○九五一一九，作为五借根，截去末一位得到〇○九五一一九，即为小元数。

译天元术开各种乘方的快捷方法，三益积，使用这种方法。

大初商作为一借根，用略大于本积的积作为外积，它的根作为外根，用外积与外根加一的积相减，再减一作为递次除法。一借积内减去本积，余数用除法去除，得到的数减去一借根作为二借根。二借积内减去本积，余数用除法去除，所得的数减去二借根作为三借根。以下都如此，求到借根逐渐变小与元数紧密吻合为止。

算例

假如平方负积一百六十八，负方二十二，正角一，求元数。

用三〇〇的积二四〇〇作为外积，三〇〇作为外根，求得三〇八作为递次除法。大初商三〇〇作为一借根，一借积二四〇〇内减去本积，余数用除法去除，得到〇一八九四七三，用来减去一借根，余二〇八一五作为二借根。二借积一七〇一五八一内减去本积，余数用除法去除，得到〇〇九四二三，用来减去二借根，余二〇八一作为三借根。三借积一六〇八三四内减去本积，余数用除法去除，得到〇八九四，用来减去三借根，余二〇八一作为四借根。四借积一六〇八三内减去本积，余数用除法去除，得到七八九，用来减去四借根，余二〇八一作为五借根。去掉零得到二〇八即为元数。

天元术开各种乘方的快捷方法，四翻积，使用这种方法。

小初商作为一借根，用略大于本积之积作为外积，它的根作为外根，以外积与外根减一的积相减，再加一作为递次除法。一借积内减去本积余数，用除法去除，所得的数加一借根作为二借根。二借积减去本积，余数用除法去除，所得数减去二借根作为三借根。以下皆如此，求到借根小的逐渐变大，大的逐渐变小，与元数紧密吻合为止。

算例

假如平方负，积二九，正方四，负角一，求大元数。

用〇三的积〇三作为外积〇三作为外根求得〇二作为递次除法，小初商〇三作为一借根，一借积〇三内减去本积余，用除法去除得到〇〇五，用来加一借根得到〇三五作为二借根，二借积〇二八九七五减去本积余，用除法去除得到〇一二五，用来减去二借根得到〇三四八七五作为三借根，三借积〇二九一二三四三内减去本积余，用除法去除得到〇六一七一，用来加三借根得到〇三四八八一一七一作为四借根，截去末三位得到〇三四八八一为大元数

天元术开各种乘方的快捷方法五

如前四术求得元数数位后，再想增加求其位，则就用已求得的数位作为外根，又求得除法。于是用以前求得的数位演算为借积，与本积相减，余数用现在求得的除法去除，又与以前求得的数位相加减作为元数，可降低数位。如果想再求多位，则又另求除法，依照此法累次求取，即使求到数十位，也不是难事。

算例

假如平方负积十六，正方二，正角一。已求得元数三一二三，想增加求取。

先用前除法〇八四增求一位得到〇三一二三一仍作为借根，用借根演算得到借积一〇五九九九九五三六一减去本积得到余积〇四六三九。于是用前得元数〇三一二三一又作为外根，如前求得除法〇八二四六二，在末位加一数，因为前得元数略微少于元数，尚不是外根，所以必须在末位加一方是外根除法，得到〇八二四六三作为除法。除法去除余积得到〇五六二五五五，截去末二位用来加前得元数得到〇三一二三一五六二五作为元数。如果再想增求，则以现得十位元数又作为外根，又求其除法，用来去除余积，这余积是现得十位元数之积减去本积的余数，所得数又可以消去九位了

按正各种乘方也可以使用右术

天元术开各种乘方的快捷方法六

方廉隅相减，用来去除本积，得一借根。一借根步进至方法，步法用借根乘角，加减长廉；又用借根乘之，加减平廉；又用借根乘之，至加减方为止，用来去除积，得二借根。二借根步进至方法，用来去除积，得三借根，以下都如此求取，到借根与元数紧密吻合为止。

算例

假如平方负积十八，正方二十〇〇九，负角一，求小元数。方角相减得一〇九九，用来去除本积得到〇九四五二，作为一借根。一借根步进至方法得一〇九九九五四八，用来去除本积得到〇九二，作为二借根。二借根步进至方法得一〇九九九九八，用来去除本积得到〇九九，去掉零得到〇九，即小元数。

凡是天元开方，它的方太大，突然不能得到初商的，必定是元数非常小于奇数，有悬殊的态势。用右术求取，降低数位颇为容易，而且不需要使用初商。如果方不

译如果数值非常大，就不能使用这种方法，因为使用这种方法会使降低数位变得困难。

如果元数与隅数相同，一次相除就能除尽，没有余数，例如后面所举的例子。

译又有一个算例：

假如设立负方积一亿，正方一亿，负廉十万一千，正隅一，求元数。

方、廉、隅的正负相减得一亿，用它去除本积，得到□〇一，这就是元数。

右边的题目见于汪氏《衡斋算学》，说一与十万相差太远，茫无进退的界限。起初商数为何能往下计算而知道它翻转为同名与否？根据这个，对于本来的方法也不甚明白。现在用这种方法来求，竟然如此容易。

天元开诸乘方捷术七

以方作为递次除法，除法去除本积得到一个借根。一个借根的各个数加减本积，用借根的平积乘第三层，用借根的立积乘第四层，用借根的三乘积乘第五层，像这样乘到隅为止，各个数都和本积同名相加，异名相减，用除法去除它得到第二个借根。第二个借根的各个数加减本积，用除法去除它得到第三个借根。下面都像这样求，直到借根与元数密合为止。

右边的方法也是方数大的时候使用它比较方便

算例

假如平方负积一百六十，正方八十二，负隅为一，求小元数。

用方去除本积得到□〇一九五一二为一个借根，一个借根〇〇廾乘隅得到□〇三八七一八，加上本积用方去除它得到□〇一九九七六为第二个借根，第二个借根〇〇廾乘隅得到□〇三九九四，加上本积用方去除它得到□〇一九九九八八为第三个借根，收零进一得到□〇二为小元数。

又有一个算例

假如立方负积一千兆，正方三百亿，廉为空，负隅为一，求元数。

用方去除本积得到三三三三□〇三为一个借根「一个借根的立积乘隅得到三十兆七三五九二五九，加上本积用方去除它得到三四五六□〇七为第二个借根」第二个借根的立积乘隅得到四十兆一三三三三一，加上本积用方去除它得到三四七一□〇○为第三个借根「第三个借根的立积乘隅得到四十兆一八一八五六一，加上本积用方去除它得到三四七二□〇七为第四个借根」第四个借根的立积乘隅得到四十兆一八七九五三一，加上本积用方去除它得到三四七二□○九为第五个借根，即为元数

又有一个算例

假如立方负积一千兆，正方二百亿，正廉为十万，负隅为一，求元数。

用方去除本积得到五万为一个借根「一个借根的平积乘廉得到二百兆五，用来减去本积」一个借根的立积乘隅得到一百兆二五，用来加上本积，减去余数用方去除它得到四三七五□〇○为第二个借根「第二个借根的平积乘廉得到一百兆九一四六二五，用来减去本积」第二个借根的立积乘隅得到八十兆三七四二三，用来加上本积，减去余数用方去除它到四四六一□〇六为第三个借根「第三个借根的平积乘廉得到一百兆九九五八七四，用来减去本积」第三个借根的立积乘隅得到八十兆八八一二四，用来加上本积，减去余数用方去除它四四四八□〇七为第四个借根「第四个借根的平积乘廉得到一百兆九七九九三一，用来减去本积」第四个借根的立积乘隅得到八十兆八四三九一，用来加上本积，减去余数用方去除得到四四五□〇六为第五个借根「第五个借根的平积乘廉得到一百兆九八七八四，用来减去本积」第五个借根的立积乘隅得到八十兆八一五六七七，用来加上本积，减去余数用方去除四四五□〇三为第六个借根「第六个借根的平积乘廉得到一百兆九八五一七，用来减去本积」第六个借根的立积乘隅得到八十兆八一三八九四，用来加上本积，减去余数用方除得到四四五□〇四为第七个借根，即为元数

右边两个题目旧时用益实、减实归除得到数很困难，这种方法似乎比较容易。

天元开诸乘方捷术八

像前面的各种方法，先求得元数，数位为一个借根。前面得到的元数，数位又为外根，又求得递次除数。一个借积减去本积，余数再作为积，变换方、廉、隅一次，用除数去除它，得到次小根，用加减一个借根作为第二个借根。次小根的积减去变换后的积，余数再作为积，又变换方、廉、隅一次，用除数去除，得到第三小根，用加减第二个借根作为第三个借根。第三小根的积减去再次变换后的积，余数再作为积，又变换方廉隅一次，用除数去除，得到第四小根，用加减第三个借根作为第四个借根。下面都像这样，求到借根与元数密合为止。

按正诸乘方也可以使用右边的方法

天元开方到第五术已经很快了，然而依次累求，位数越多，乘法也越繁杂。求到十余位，得到借积已经很难，再求不是更难吗？现在用这种方法分段来求，每次得到四五位，就换一种格式，乘法不至于过于繁杂，降位也很容易。

算例

假如平方负积一百亿，正方十万，正隅为一。已经求得元数六一八□三〇，想要增加求它。

以六一八□〇三为外根，像前面那样又求得二二三六□〇六为递次除数。六一八□〇三为一个借根，一个借积九九九九九一八□〇九，减去本积余八九一九□〇一，这种方法不可割零作为初变积，负倍前得五位加上前方得到二二三六□〇六为初

译改变开方方法，以正一作为正隅。将初始变换后的积用除数去除，得到□〇○三九八八七有余数，截取前四位得到□〇○三九八八作为第二个小根，将其加到前面得到的五位数字上，得到六一八□〇三三九八八作为第二个借根。第二个小根借用的积为八九一七□〇四二三一八四一四一四四，从初始变换后的积中减去它，余下一□〇六七六八一五八五六作为第二个变换后的积，负数加倍前面的数得到九位数字，加上原方得到二二三六□〇六七九七六作为第二个变换后的方，以正一作为正隅。将第二个变换后的积用除数去除，得到□〇〇七四九八九有余数，截取前四位得到□〇〇七四九八作为第三个小根，将其加到前面得到的九位数字上，得到六一八□〇三三九八八一四九八作为第三个借根。第三个小根借用的积为一□〇六七六六三七六八九六七四，从第二个变换后的积中减去它，余下□〇〇二一二八七三二九九九九六作为第三个变换后的积，负数加倍前面的数得到十三位数字，加上原方得到二二三六□〇六九七七四九九六作为第三个变换后的方，以正一作为正隅。将第三个变换后的积用除数去除，得到□〇九四八四八有余数，截取前四位得到□〇九四八四作为第四个小根，将其加到前面得到的十三位数字上，得到六一八□〇三三九九八八七五七四八四作为第四个借根，即为原数。

译按照上述例子所得的十六位元数，即是理分中末的大分数。

截球解义

徐有壬

《几何原本》说球与同直径同高度的圆柱，其外表面积相等；截球与截圆柱同高，则其外表面积也相等，但没有直接揭示其中的原因。查阅梅文鼎等人的著作，也不能明确解释这一点。心中存有疑惑，已经很久了。最近读李凤的《九章注》，才得到解答，因此解释出来告诉志同道合的人。虽然如此，以戴震擅长阅读古书，却还说李凤的这个注应当有脱漏错误，可见寻求解释的人是多么困难啊。现在解释《几何原本》，李凤的注因此得以阐明。大概李凤用的是方形，现在用的是圆形，其道理则没有两样。叙述截球的解释。

假设直径与高度相等的圆柱内包含同直径的球，这个球必定占据圆柱体积的三分之二。怎么证明呢？试着将圆柱横向切成两半，就成为扁圆柱，内部包含半球。再将扁圆柱十字垂直切成四份，就成为圆柱的八分之一，内部也包含球的八分之一。这个圆柱上下两个平面都是圆的四分之一，其外部的圆柱侧面是圆柱外表面积的八分之一。其中心两个垂直面原本属于圆柱的半径乘以半高，即球的半径自乘的幂。因为球在圆柱内，球壳因垂直切割处切成一个四分之一圆，这是球的半径幂。内部包含一个四分之一圆作为此体的中心垂直面各一个。

图略于此，垂直面任意横向切割，则都有正弦，有余弦，有矢，有半径。

图略，在此体横向切割，去掉上面截去的部分，则高度为余弦。

图略，下半截，上面截成两个四分之一圆，一大一小。

图略

这下半截上下两个平行面，仍然是圆的四分之一，而上面一个四分之一圆，因为内部有球壳界限，成为一个小四分之一圆，其半径就是所截的正弦。正弦者，勾也；余弦者，股也；半径者，弦也是。以勾为半径，作一个四分之一圆；以股为半径，作一个四分之一圆。两个四分之一圆合并，作一个大四分之一圆，必定以弦为半径。勾方、股方合并为弦方，勾圆、股圆也合并为弦圆，勾四分之一圆、股四分之一圆也合并为弦四分之一圆。以方圆比例推导，其道理容易看见。

那么截体上面的大四分之一圆，球半径弦为半径，内部减去球壳界限的小四分之一圆正弦勾为半径，所余环形面积必定与余弦股所作小四分之一圆余弦股为半径相等了。

垂直面一个四分之一圆，自高而下所截余弦极不均匀。上面大四分之一圆减小四分之一圆的环形面积，也极不均匀。而余弦为半径作四分之一圆，必定与此环形面积相等。此环形面积总共为弦上四分之一圆勾上四分之一圆的差。这没有高低，没有大小，没有不是这样的。

又试着依据圆柱的底为底，即球中腰大圆面，以圆柱的半高为高，即球的半径，作一个圆锥体，而十字切割为四分之一圆锥体积，以四分之一圆为底，此锥的底两旁之边，即圆柱半径，也就是球半径。

底边的半径为勾，锥高的半径为股，这是勾股相等。

在此锥体，任意横向切割为各小锥，没有不是底边与高相等的锥。如果以小锥高为半径作四分之一圆面，没有不与小锥底相等的。这也无高、无下、无小、无大、无不这样的。

小锥的高，如同余弦；小锥的底，如同大四分之一圆减小四分之一圆的环形面积。小锥的高为半径，作四分之一圆，必定与小锥底相等；如同余弦为半径的四分之一圆，必定与环形面积相等。

余弦自大而逐渐变小，截高则余弦大，截下则余弦大。极高则几乎与半径相等，极下则几乎没有余弦。其长短有序不乱，现在各自作为半径，作各四分之一层层累叠积，必定成为一个四分之一圆锥，与上锥相等，而余弦各四分之一圆即球内各四分之一圆减圆柱各四分之一圆的剩余。圆柱横向薄切，都是相等的四分之一圆面；圆球横向薄切，各成正弦为半径的四分之一圆面。用此知道球与圆柱相比，必定少一个锥体。

因此一个锥一个球合并，必定与圆柱相等，而锥占据圆柱三分之一，球必定占据圆柱三分之二。

因此三倍圆珠，两倍圆柱，其体积必定相等。

圆柱求体积，以圆柱的外表面积为底，以半径为高，作立方为圆柱的两倍。球求体积，以球的外表面积为底，以半径为高，作立方为球的三倍。现在既然知道球的三倍，圆柱的两倍为相等，则两立方相等了。又知道两立方的高相同，以半径为高，则其底也必定相等了。

因此球的外表面积与圆柱的外表面积必定相等。

因此球的中腰大圈乘圆径，即球的外表面积。

再就前截体观察，以球心为心，依据球壳所截上面小四分之一圆弧为界，以半径周遭切割，剜出一个四分之一圆锥。此锥以小四分之一圆为底，此四分之一圆以正弦为半径，以余弦为高，这是内锥。

再依前法，将截球壳外圆柱所多之积割出，准前论知道，这也是一个四分之一圆锥。此锥以大四分之一圆球半径为半径，小四分之一圆截球正弦为半径之

译面积较为底，即余弦为半径所作之象限（面积），亦以余弦为高，是为外锥。

内锥与外锥相并为一大锥，亦以余弦为高（即原截体之高），而以大象限半径（即球半径）为底（即原截体之底）。

此锥必为原截体三分之一。

上下两面平行体与锥体同底同高，

则锥必居三分之一，而所余者必为三分之二。

译圆囷既剜去内锥，割去外椎，则所余为圆球截积空中，如外表面则上小下大，必居圆囷的三分之二。

求圆囷截积者，以圆囷外表面截积为底，半径为高，作成的立方体是截圆囷体积的两倍。求圆球截积者，以圆球外表面截积为底，半径为高，作成的立立方体是截圆球体积的三倍。现在已知截圆囷与截圆球的体积比为三比二，那么截圆囷两倍体积对应的立方体与截圆球三倍体积对应的立方体也必然相等。又知这两个立方体的高都是相等的半径，那么它们的底面积也必然相等。

因此，截圆球的外表面截积，与截圆囷的外表面截积，必然相等。

因此，截圆球的余弦高乘以球的大圆周，大圆周即截圆球的外表面截积。

整个球的外表面截积，即直径乘以圆周。半球的外表面截积，即半径乘以圆周。截圆球的外表面截积，即余弦乘以圆周。上截圆球盖的外表面截积，即矢高乘以圆周。

球径求积术

直径自乘再乘一半作为第一数，取第一数的四分之一，又二分去一，三分去二作为第二数，取第二数的四分之一，又四分去一，五分去二作为第三数，取第三数的四分之一，又六分去一，七分去二作为第四数，取第四数的四分之一，又八分去一，九分去二作为第五数，将这些数相加即为球的体积。

球径求球壳积术

直径自乘三作为第一数，取第一数的四分之一，又二分去一三分去二作为第二数，取第二数的四分之一，四分去一五分去二作为第三数，将这些数相加即为球的外表面截积。

截球余弦求截球积术

识别得知余弦乘以圆周，再乘以半径，为截球体积的三倍；半径自乘，减去余弦自乘，剩余为正弦自乘，求其圆面积，再乘以余弦，为截球内锥体积的三倍；两积相加，为截球体积。

半径自乘，三之内减余弦自乘，再以余弦乘之为第一数。取第一数的四分之一，二分去一，三分去二为第二数。取第二数的四分之一，四分去一，五分去二为第三数。将这些数相加为截球体积。

截球矢求截球上盖积

识别得知矢高乘以圆周，再乘以半径，为锥体积的三倍。矢高乘以矢径差，为正弦幂。求其圆面积，乘以余弦，为内锥体积的三倍。两锥相减，剩余为盖积。

矢高减去半径，又加上全径，以矢高自乘乘之，为第一数。取第一数的四分之一，二分去一，三分去一，为第二数。取第二数的四分之一，四分去一五分去一，为第三数。将这些数相加，为截球上盖积。

附录椭圜求周术

椭圜求周，无法可驭，借平圆周长求之，则有三术：以长为直径，求大圆周长，及周长较相减，此项梅侣氏之术也；以宽为直径，求小圆周长，及周长较相加，此戴鄂士氏之术也。我也悟得一术，以椭圆周长为圆周长，求其直径，以求周长，即为椭圆的周长术，更直捷，兼可贯三术为一，如后方。

堆垛术曰：一为第一数。一乘三相乘第一数，四除之为第二数。三相乘五乘第二数，九除之为第三数。三相乘七乘第三数，十六除之为第四数。三相乘九乘第四数，二十五除之为第五数。三相乘十一乘第五数，三十六除之为第六数。依此列为初表。

招差术曰：“长宽各自乘，相减，四而一，为乘数。一次乘初表第一数，二次乘第二数三次乘第三数，四次乘第四数，五次乘第五次，六次乘第六数，仍依此列为表根。”

招差又术曰：以长为除数，一次除表根第一数，三次除第二数五次除第三数，七次除第四数九次除第五数，十一次除第六数相并为长径较，以减长为借圆径。

堆垛又术曰：三因借圆径为第一数，四分第一数之一二分去一三分去二为第二数，四分第二数之一四分去一五分去二为第三数，四分第三数之一六分去一七分去二为第四数，四分第四数之一八分去一九分去二为第五数，四分第五数之十分去一十一分去二为第六数，递求至若干位数，相并为椭圆周长。

右术分四层，即用项氏术变通得之其图说之详，已见项氏书中兹不复赘。若用戴氏术通之前后三层均如旧，惟第三层不同如下。

招差又术曰：以广为除数，一次除表根第一数正三次除第二数负五次除第三数正七次除第四数负九次除第五数正十一次除第六数负递求至若干位数。正数相并内减负数余为宽径较，以加广亦为借圆径。

此即戴氏术变通得之余三层皆同前。

若移第四层为第一

译刘徽首先通过大圆的周长来求取，或者通过大圆的直径来求取小圆的周长，随后依据最初的表根以及招差法，又用各种方法分别求得周长的差值，进行加减运算后所得的结果都相同，这就是项名达和戴煦两位先生的算法。

译四元解序

四元术数到了明代便失传了，近来得到徐钧卿、罗茗香诸位先生相继阐发，才开始有门路可寻。然而按照法则去推求，常常苦于其难，而不适合实际应用。概括其主要弊端，大概有三点：天、物相乘与地、人相乘并用，寄位时幂与幂相乘，向上推导，几乎到了没有固定位置的地步，这是第一点；剔除消去的方法，用一个算式截分为二，左右斜正，起初没有一定的规则，不熟稔法则的人，怎能不出错？这是第二点；次式、副式、通式以及上中下各种算式的名称，随意标记，容易滋生学者的疑惑，这是第三点。在翻阅书籍的闲暇，我常想更改算式，但找不到途径。乙巳年冬天，海甯李君秋纫把他所著的《四元解》给我看，我接受并阅读它，见他以面体解释四元，以面体的自乘、再乘来确定算式，而相消所得，直接命名为初消、次消、三消，那么以前所难的三件事都已经没有了。我起身赞叹说：“心的神明，本来就像这样日出而不穷尽吗？没有四元无法穷尽天元的变数，没有天元无法穷尽少广的变数，而没有少广的面体，也就无法确定四元的位置，从而直接阐明其所以然。”我私下用一句话来概括它说：“分析堆垛成为广隅罢了。”古法将太极置于中心，而用八环绕它，又用十六环绕它，其递增，都是以八堆垛的样式。新法将太极置于一隅，而用三附着它，又用五附着它，其递增，都是以二廉隅的意象。将太极置于中心，则上下左右动辄受到牵制；将太极置于一隅，则升降进退无往而不适宜。由此四元相乘，都有位置而没有寄位。四元作为法则，都可以相除而没有剔除消去。而且其定位的图，既将各种乘方化为平方相乘相消的图，又将各种乘方化为立方，反复辩论，都能借助形象来达到难以显现的情理。为什么李君的心思如此曲折而善于深入呢！李君又有《弧矢启秘》《对数探究》等书，都本于天元术而引申扩展，实在阐发了前人所未阐发的。我希望他全部合并而流传下来，作为谈论算学的人的一大快事。

对数探原序

《对数探原》是海甯李君秋纫所著的。西方人的对数表，用加减代替乘除，使用它很容易，而制造它很难。李君巧妙地借助各种乘方尖堆，来确定其数值，又将各种乘方尖堆化为同高同底的平尖堆，以图示其形状，由此递加递除，而各种对数指顾之间就可以得到，精思所到，独开生面了。探究其立法的本源，不超过天元以虚求实的道理。因此尖堆的底，就是天元；尖堆的高，就是正数。平分其高为若干分，依照分各作横线，以截取其积，而对数的方法由此产生。为什么呢？对数的首位，从一到九为止。一的对数为零，而百亿的对数也为零，所以尖堆下段的积不可求，而总积也不可求，并非没有积，正是因为它极大，而一到九的数不足以命名，所以反而命名为此盈虚消息，如环无端的妙理。二到十的总积为一，十一到一百的总积为一，一百一十到一千的总积也为一，推演到万亿，没有不这样的，这是尖堆渐上渐狭，渐下渐阔的道理。用加倍代替自乘，则两段的积不得不与三四两段的积相同；用三因代替再乘，则两段的积不得不又与五六七八四段的积相同，这是尖堆两段以上积数相等的道理。尖堆的底无尽，积也与之无尽，而求两个对数的差，则所得都是最上一段的积，所以二十个尖堆已足够充当亿万尖堆之用。西方人不通达此理，于是用正数屡次开方，对数屡次折半来求取，也是识见流于表面而昧于本源了。《易经》不说过吗：“容易就易于了解，简约就易于遵循。”李君渺茫的思虑凝聚深思，没有幽深不启发的，大概实在有通达《易经》简约本源，而体悟神明撰述之处，西方人见到它，应当也会自悔其徒劳吧。

数学跋

江氏的《数学》，是继梅氏《历书》之后著作的。它对于七政运行的缘故，岁实消长的本源，曲畅旁通，实在足以弥补梅氏的未备。自从钱竹汀说宣城能用西学，江氏则是被西人所用，并且极力诋毁其冬至权度，像公孙龙说臧有三只耳朵一样，很难懂而其实并非没有见识的人，往往被迷惑。平心而论，江氏拘泥于西法，确实如此；钱氏的说法则又拘泥于中法，而不是实事求是的学问。七政盈缩迟疾的本源，有人说小轮，有人说不同心天，世上没有凌云御风的人，谁能为此定论？然而如果小轮所用仅在盈缩迟疾之间，那么说它是巧算而非真象，无不可也。无奈日月在小轮的上半周，则距地远而看起来也小；在小轮的下半周，则距地近而看起来也大。视径有大小，即地半径差有增减，而影径分数的多寡，也由此而不同。因此七政有高卑，不待盈缩迟疾而后相信。有高卑，那么舍弃小轮与不同心天，确实更没有其他方法了。

译两心差有大有小，西方人早已说过。日躔历的意罢阁在汉景帝时，测得两心差为十万分之四千一百五十一。九执推定日法将一象限分为六段，计算其积差共二度十四分，用正切求两心差，得十万分之三千九。江氏推算刘宋大明时的两心差为四三五，与意罢阁所测非常接近。唐开元时冬至减时比现在多四刻有余，则比九执历稍大一点。钱氏说两心差古大今小，仍是杨忠、郭守敬百年消长的方法，不知道消长以定冬至为根本，而两心差的加减则以平冬至为根本，根本既不同，计算怎能吻合？元明以来岁实由消而渐长，议论纷纷。江氏精妙地理解算理，因为《授时历议》所述丁丑至庚辰四年冬至自相矛盾，而知其刻下小余有三十分，断定这是长极而消的大界限，证据非常明白，恐怕善于辩论的人也难为郭氏辩解。西法实行已久，不能没有误差，江氏的书确实有过于坚持己见的弊端。然而元嘉十三年甲戌冬至，各历都推得癸酉；大明五年乙酉冬至，各历都推得甲申；而江氏所推却独与古人吻合。元嘉十八年己亥冬至，则依据《隋书·天文志》来纠正《宋书·天文志》的“光大二年乙巳冬至”；则依据“太建四年丁卯冬至”而怀疑其测验不真实，这都是从古籍中参证考察而得，并非仅仅为了标新立异。钱氏考察不审慎，竟以为理屈词穷而逃避，这是算术不足信，而史文必定没有一字差错，有这样的道理吗？两心差，古大今小，江氏没有确定常数，而改最卑点，每年向东移动一分三秒，这是深思熟虑的结果，于是与卡西的新法不约而同。可见考察古代而没有疑问的，对照现在自然吻合。如果符合古代而不符合现在，那么它的符合也只是侥幸罢了。《易经》不是说吗？“天地之道，以正固可观。”天有恒常的运行，不因古今而不同。说西方的方法必定不能考察古代，这是说古代的天象运行不同于现在。说古代的天象运行不同于现在，这是说古代和现在应当各有一个天，难道是这样吗？江氏的书世间没有善本，“七政小轮”等杂乱如乱丝，恐怕久而失传，无法作为治历者的先导。现在特别详细校正，书中精确不朽之处，读者自会知道。只是不要以“是古非今”的成见先横亘在心中，这是我早晚都会遇到的情况啊。

译岁实（回归年长度）的消长，其原因有二：一是由于两心差有大小变化，二是由于黄赤距（黄赤交角）有远近变化。吴江的王氏、青州的薛氏都曾论述过这个问题。如今薛氏的《天学会通》未见完整版本，《晓庵新法》又缺失了补遗部分，不知道他们的具体说法是怎样的。江氏的说法只得到其中一点而丢失了另一点，大概是因为考察得不够审慎。黄极环（黄道极圈），赤极（赤道极）二万五千八百六十八年运行一周，这就是岁差。黄道既然在赤道上退行，那么岁实必然逐渐缩短。只是西方人的旧说都以为岁差是恒星向东运行，于是与最高点（拱点）的运行两个数值混淆在一起，无法分析清楚。中国的方法知道岁差是岁不及天（回归年短于恒星年），却又不知道最高点也有运行，所以关于岁实消长的争论历经千余年也没有定论。近日西方人新测量，春秋分点每年向西运行五十一秒，最高点每年向东运行十一秒八。两心差，古代大现在小，大约每百年相差二万五千分之一。黄赤道，古代远现在近，大约每百年相差四十八秒。咸丰庚申年，最低点（拱点）超过冬至点十度二十八分五十三秒三，黄赤最大交角二十三度二十七分二十七秒三八。

清廷经世文续编卷七

学术七文学三附算学

五星岁轮与伏见轮的不同

顾观光

西方历法推算五星，土、木、火星使用岁轮，金、水星使用伏见轮。梅勿庵认为五星都有岁轮，而伏见轮就是岁轮上星体绕日运行的圆形轨迹。婺源江氏跟随这一观点，撰写《金水二星发微》，绘图列算，详细分析条理，并用等边等角的两个三角形来证明其原理。这两家的说法，可以说是详尽且明白了。我曾经仔细翻译历书，知道岁轮与伏见轮的计算，有四点不能强行等同，试着详细陈述如下：土、木、火星的次引数，是用初实行减去太阳实行得到的，所以次引数的大小，一方面取决于太阳的盈缩，另一方面取决于本天（恒星天）的高低；而金、水星只是用初均数加减伏见平行，不使用太阳盈缩差，这是不同之一。土、木、火星用初实行减去太阳实行，那么初均数为加数时，距日度反而减少；初均数为减数时，距日度反而增加。这是因为上三星的运行速度慢于太阳，所以这样立法；如果金、水星运行速度快于太阳，初均数加则距日度也加，初均数减则距日度也减，却反而用初均数加减伏见平行，与上三星算法相同，但道理正好相反，这是不同之二。使用岁轮则圆心在本道（行星轨道面），有升度差；使用伏见轮则圆心在黄道，无升度差，这是不同之三。土、木、火星用正交行减去初实行，这是用次轮心距离正交点的度数；金、水星用正交行减去初实行，又加上伏见实行，而初实行与伏见实行合并的度数，就是平行与伏见平行合并的度数，从伏见轮来说这是星体距离正交点的度数，从本天来说就是本轮心距离正交点的度数，这是不同之四。因为这四件事，知道岁轮与伏见轮的使用，分开则两者都完美，合并则两者都受损。那么梅氏、江氏的说法不对吗？回答说：不能否定。所不同的四件事，历书都已经说过：“说伏见轮虽然以太阳为圆心，实际上是以太阳本轮的圆心为圆心。”“说伏见轮最远点没有固定的度数，它距离平远点的度数，必定与初均数相等。”“说伏见轮最远点距离伏见轮正交点的度数，必定与伏见轮圆心距离本道正交点的度数相等。”这三条，如果不依据实测，不容易判断其是非。只有说伏见轮在黄道上没有升度差，那么就用伏见轮的道理来考察，就知道这必定行不通。为什么呢？伏见轮的圆心虽然运行在黄道上，但其平面与黄道斜交，一半在南，一半在北。只有正交、中交两点与黄道重合，连接这两点，经过圆心形成一条直线。这必定与黄道平行，而其距离伏见轮远近的度数，时时不等。假设正交距离最远点九十度，那么伏见轮的上下，一南一北，呈偃卧之势，说它没有升度差，道理固然如此。如果正交与最远点重合，那么伏见轮的左右，一南一北，呈侧立之势，与土、木、火星本道斜交于黄道的情况，其现象正好相同，又怎么能没有升度差呢？此时黄道如勾，视纬如股，伏见轮面如弦，从黄极出发，抵达黄道，以及星体在伏见轮右侧的，其度数必定偏差而向东；在伏见轮左侧的，其度数必定偏差而向西。历书一概不予讨论，只用本道即黄道一句话了事，不思考经度与纬度是相互依存形成的，没有升度差，怎么还能有视纬？这可以用道理决断，不必等待实测才相信。总之，伏见轮的方法，本源于岁轮，自从承用者逐影忘形，于是导致矛盾不合。回回历法五星都使用太阳平行，并无升度差，岁轮与伏见通为一法。西方人对土、木、火星多次修改日益精密，而金、水星仍同回回历法，是因为拘泥于伏见轮在黄道上的说法而不复深思，大概修改历法的人已经不知道伏见轮是岁轮上星体绕日运行的圆形轨迹了。梅氏、江氏的说法，聪慧绝伦，表彰并陈述出来，以告知天下后世那些读古人书却死于句读之下的人。

几何原本六和六较解