皇朝经世文续编卷七

译顾观光

大正方形分为十六个小正方形，小正方形分为三、四、六、四，奇数正方形为十二个。两个正方形的面积差为四，其边长二与大正方形相等。半个小正方形为一、七、三、二，奇数正方形为三个。在大正方形上作一个比它少一个正方形的矩形，与半个小正方形的正方形等长三，宽一。

译大小两数相分，相加得到七四六四，奇数为第一合名，第二、第三合名相同。

相减，余数为五三五，奇数为第一断名，第二、第三断名相同。

假设有一个比例数八，与大分相等，用它乘以矩形的长得到二十四，其边长为四八九八奇；用它乘以矩形的宽得到八，其边长为二八二八奇。这两个数相加得到七七六奇，作为合名，自乘得到五九七一奇，这就是第一合名乘以比例所得的矩形面积。这两个数相减得到二七奇，作为断名，自乘得到四二八五奇，这就是第一断名乘以比例所得的矩形面积。

假设有一个比例数六九二八奇，与小分相等，用它乘以矩形的长得到二十七八奇，其边长为四五五八奇；用它乘以矩形的宽得到六九二八奇，其边长为二六三二奇。这两个数相加得到七一九奇，作为第一合中数，自乘得到五一七一奇，这就是第二合名乘以比例所得的矩形面积。这两个数相减得一九二六奇，作为第一中断数，自乘得到三七九奇，这就是第二断名乘以比例所得的矩形面积。

假设有一个比例数七，与大分和小分都不相等，用它乘以矩形的长得到二十一，其边长为四五八二奇；用它乘以矩形的宽得到七，其边长为二六四五奇。这两个数相加得到七二二七奇，作为第二合中数，自乘得到五二二四奇，这就是第三合名乘以比例所得的矩形面积。这两个数相减得一九三七奇，作为第二中断数，自乘得到三七五二奇，这就是第三断名乘以比例所得的矩形面积。

大分为四一，二三奇，其平方为十七；小分为三六，五奇，其平方为十三。两个平方数的差积为四，其边长为二，与大分不相等。取半小分一八二，奇，其平方为三二五。在大分上作一个比它少一个平方数的矩形，与半小分的平方等长，长为三六一，奇，宽为一六一奇。

大小两数相分，相加得到七七二八，奇数为第四合名，第五、第六合名相同。

相减，余数为五，一八奇为第四断名，第五、第六断名相同。

假设有一个比例数八二四六奇，与大分相等。用它乘以矩形的长，得到二十五二四奇，其边长为五二三奇。用它乘以矩形的宽，得到八七四九奇，其边长为二九五七奇。这两个数相加，得到七九八奇，作为太自乘数，得到六三七二奇，这就是第四合名乘以比例所得的矩形面积。这两个数相减，得到二六六，作为少自乘数，得到四二六八奇，这就是第四断名乘以比例所得的矩形面积。

假设有一个比例数七二一奇，与小分相等。用它乘以矩形的长，得到二十二七，其边长为四六九七奇。用它乘以矩形的宽，得到七六五，其边长为二七六五奇。这两个数相加，得到七四六二奇，作为比中方自乘数，得到五五七一奇，这就是第五合名乘以比例所得的矩形面积。这两个数相减، 得一九三二奇，作为合比中方自乘数，得到三七三二奇，这就是第五断名乘以比例所得的矩形面积。

假设有一个比例数七，与大分和小分都不相等。用它乘以矩形的长得到二十一四二七，其边长为二七二三奇。这两个数相加得到七三五一奇，作为两中面之自乘数，得到五四九奇，这就是第六合名乘以比例所得的矩形面积。这两个数相减得不九五奇，作为合中中方自乘数，得到三六二九奇，这就是第六断名乘以比例所得的矩形面积。

大分为十五，其平方为二百二十五；小分为十一一八奇，其平方为一百二十五。两个平方数的差积为一百，其边长为十，与大分相等。大小两数相减，余数为三八二奇，作为第一断名。即以差积的方边作为比例，用圆的半径乘以第一断名，得到三十八二奇，开方得到断名六一八奇，这就是圆内接十边形的一条边。

大分为十二，五，其平方为一百五十六，二五；小分为五五九，奇，其平方为三十一，二五。两个平方数的差积为一百二十五，其边长为十一一八，与大分不相等。大小两数相减，余数为六九一，奇，作为第四断名。有一个比例数二十，圆的直径与大分相等，用它乘以第四断名，得到一百三十八，奇，开方得到少十一七五，奇，这就是圆内接五边形的一条边。

大分为十七三二奇，其平方为三百；小分为十二九一奇，其平方为一百六十六六六。两个平方数的差积为一百三十三三三，其边长为十一五四奇，与大分相等。大小两数相减，余数为四四一奇，作为第一断名。即以差积的方边为比例，用球内接六面体的一条边乘以第一断名，得到五十八九奇，开方得到断名七一三奇，这就是球内接十二面体的一条边。

大分为十一，一八奇，其平方为一百，二十五；小分为五，其平方为二十五。两个平方数的差积为一百，其边长为十一，与大分不相等。大小两数相减، 余数为六一八奇，作为第四断名。有一个比例数十七，八八奇，容纳二十面体上五边形的圆的直径与大分相等，用它乘以第四断名، 得到一百十四九奇，开方得到少十五一奇，这就是球内接二十面体的一条边。

圆锥三曲记

顾观光

凡是圆锥体横向剖切形成平圆，斜向剖切形成椭圆。平圆只有一个中心，其圆周距离中心始终相等。椭圆则有两个中心，从两个中心出发抵达圆周的两段距离之和必定等于长径。称椭圆的长径为横轴，短径为纵轴，那么

译在圆周上任作一条纵线作为股，被截得的长半径的横线作为句，股的平方乘以长半径的平方，加上句的平方乘以短半径的平方，总和恒等于两半径平方相乘的数值。经过圆心的两倍股长，就是长轴方向的通径。以长径作为连比例的首率，短径作为中率，那么通径就是末率。股的平方与长径被分成的两部分相乘所得的平方，如果短径的平方与长径的平方在长径上作平圆，则相同。句的平圆股与椭圆的股，如同长径与短径的比例关系。在圆周上任作两条斜线，抵住横轴的两端，作为正弦和余弦的通弦，那么这两条通弦对角正切的平方相乘，就等于长径平方除以短径平方的数值。从圆周作两条斜线与这两条通弦平行，那么这就是椭圆的切线。延长横轴与切线相交形成直角三角形，切线为弦，纵线为股，那么其句就是次切线。用横线的平方减去长半径的平方作为实数，横线作为法数，实数除以法数，就得到次切线。从切点作一条线抵住横轴并与切线成直角，这叫做法线。法线为弦，纵线为股，那么其句为次法线。用短半径的平方乘以横线作为实数，长半径的平方作为法数，实数除以法数，就得到法线。椭圆的法线平分切点到两个焦点的连线所成的角，因此切线与到两个焦点的连线所成的角也相等。既然两条切线与两条通弦平行，那么从两个对应点经过中点的斜径也与两条通弦平行，称之为相切径。在圆周上任作一条纵线与一半径平行，截得另一半径为横线，与横轴上的句股比例相同，因此相属径的两个平方之和与长短径的两个平方之和恒相等。径端点到两个焦点距离相乘的平方等于半径的平方，相属径四个端点的四条切线构成平行四边形，其面积也等于长短两径相乘的平方。如果用两径的平圆面积作为首末率来求其中率，就是椭圆的面积。

译凡是圆锥体，沿着一条母线的方向，从对侧斜着剖到底部，形成单曲形。将这个形状横放，画出经过中心的横轴，并延长至顶点之外。如果顶点到中心的距离，就作一条垂直于轴的垂线，这就是准线。在曲线上任意作一条水平线交于准线，它到准线的距离必然等于该点到中心的距离。在曲线上任意作一条竖直线作为股，截断横轴的部分作为句，以句作为连比例的首项，股作为中项，那么通径就是末项。通径是指经过中心的两倍股长。取其一半，就是中心到准线的距离。从竖直线的上端作斜线作为曲线的切线，延长横轴与它相交，也与次切线构成直角三角形。再作法线垂直于切线，也与次法线构成直角三角形。单曲形的次切线是横坐标的两倍，而次法线恒为通径的一半。用纵坐标除以次法线，或者用次切线除以纵坐标，都是切线与横轴交角的正切。切点到中心的连线与法线的夹角，恒等于法线与横轴的夹角，所以法线两端到中心的距离也相等。切点到中心的连线与切线的夹角，恒等于切线与横轴的夹角，所以切线两端到中心的距离也相等。从中心作斜线交于切线，这就是切点和顶点到中心距离的中项。任意作一条通弦与切线平行，再从切点作一条横径与横轴平行，必然将通弦平分。半通弦作为纵坐标，截断横径作为横坐标，与横轴上的直角三角形比例相同。如果句和股相乘，取三分之二，就是所截单曲形的面积。

凡是圆锥体，沿着垂直方向，从一边直着剖到底部，形成双曲形。将这两个相等的形状横放，两个顶点之间的距离，就是横径。在曲线上任意一点向两个中心连线，这两条线段的差必然等于横径。从横径的中点作垂直于横径的直线，即为纵径。中点到中心的距离为弦，它到顶点的距离为句，求得股为半纵径。从横径的上下截取，再作两个相等的曲线形，称为相属双曲。引出纵横两条直径作为两个轴，都经过曲线的两个中心。以横径作为连比例的首项，纵径作为中项，那么通径就是末项，即横轴上经过中心的两倍股长。在曲线上任意作一条竖直线作为股，截取横径的延长线作为句，股的平方乘以半横径的平方与句的平方乘以半纵径的平方之差，恒等于两个半径平方相乘的数值。股的平方与句加上横径再乘以句的平方之比，如同纵径的平方与横径的平方之比。从纵径的上端作切线和法线两条线，也与次切线和次法线两条线构成直角三角形，求切线与横轴交角的方法与单曲形相同。双曲形的切线平分切点到两个中心连线的夹角，所以法线也平分切点到两个中心连线的外角。在曲线上任意作两条斜线到达横径的两端，为正余两条通弦。两条通弦对角正切相乘的平方，就是横径的平方除以纵径的平方的数值。从横径的中点再作两条斜线与两条通弦平行，四个端点都到达曲线，称之为相属径。将这两条径延长。在曲线上任意作一条竖直线与一半径平行，截取另一半径的延长线作为横坐标，与横轴上的直角三角形比例相同，所以相属径的两个平方之差与纵横径的两个平方之差恒相等。相属径四个端点的四条切线构成平行四边形，其面积等于纵横两条径相乘的平方。纵横径四个端点的四条切线构成长方形，作两条对角斜线并延长，与四条曲线逐渐接近但永远不相合，称之为渐近线。用横径除以纵径，就是渐近线与横径交角的正切。在曲线上任意作一条竖直线与一条渐近线平行，截取另一条渐近线作为横坐标，纵横两个坐标相乘的平方恒为中心到原点距离平方的四分之一。延长纵坐标以四条曲线为界，补成平行四边形，其面积恒为纵横两条径相乘平方的一半。在曲线上任意作切线，以两条渐近线为界，必然在切点处平分，所以切点上的相属径也与切线相等。如果用股乘以半横径与句乘以半纵径两个平方之和乘以纳皮尔对数2.718282，再减去句股相乘的平方，就是所截双曲形的面积。

这三种曲线都是圆锥体的分割形状，它们的曲率应当以吻合圆的程度来衡量。在曲线上任意一点，作许多圆形与曲线在该点相切，那么圆周中曲率半径小的变化较快，半径大的变化较慢，而在这些圆形中必然有一个圆周与曲线吻合无间，这就是吻合圆。称圆的半径为曲率半径，那么各点曲率半径之比同于法线立方之比。法线的立方为实，半通径的平方为法，实除以法得一，就是曲率半径。椭圆两个中心距离的一半称为两心差，用长半径去除，则为椭率。取圆周率3.14159265，用长径乘以它为实，椭率自乘作为累乘数，依次取四分之一、十六分之三、三十六分之十五，从实中减去，就是椭圆的周长。取圆周率，用长短两个直径相乘的平方乘以它为实，椭率自乘作为累乘数，依此取六分之一、二十分之三、四十二分之十五，从实中减去，就是椭圆体的曲面面积。用法线乘以纵坐标并用通径去除，在上法线加上纵坐标并除以二，乘以纳皮尔对数，加上上位，就是单曲形的长度。用通径去除圆周率，四因三除，乘以法线和次法线两个立方之差，就是单曲体的曲面面积。椭圆的体积等于外切圆柱的三分之二，单曲体的体积等于外切圆柱的二分之一。单曲体内容纳的最大长方体，其横径恒为轴的三分之二。圆锥体内容纳的最大单曲体

译那它的轴心总是保持与斜边四分之三的比例。推而广之，触类旁通而加以引申，弯曲所能达到的功用就全部完成了。

译静重学记

顾观光

重学的根本，始于权衡。当权与物重量相等，而衡杆平衡时，左臂长度与右臂长度相等。如果重量不相等，而衡杆依然平衡，那么左臂长度乘以左侧重量等于右臂长度乘以右侧重量。比例的方法，由此产生。杠杆不同于衡杆的地方，不仅在于其平衡，更在于其固定。直杠杆无论是平放还是倾斜，都与衡杆相同。曲杠杆则要看力与杠杆的交角，若角度正好是九十度，比例同于直杠杆。若角度不是九十度，那么左臂长度乘以左侧重量再乘以右角正弦，等于右臂长度乘以右侧重量再乘以左角正弦。如果有曲杠杆的折角，而要求左右两角，那么左臂长度乘以左侧重量为实数，右臂长度乘以右侧重量为法数，实数除以法数得一，减去折角的余弦，再除以折角的正弦，即得左角的余切。求右角的方法，仿照此例。

两个力牵引重物运动时，两力方向相同则用它们的和，两力方向相对则用它们的差。如果两力既不相同也未完全相对，就用这两个力补成一个平行四边形，作对角线作为两力的合力。三个力以上，道理也是一样的。

牵引重物的机械有七种，它们的助力各不相同。杠杆的助力是右臂长度与左臂长度之比；轮轴的助力是轴径与轮径之比；齿轮的助力是小轮齿数与大轮齿数之比；单滑车的助力是一与二之比；连滑车的助力是一与二依滑车数减一的乘方积之比，或者是一与绳索股数之比，或者是一与二依动滑车数的乘方积减一之比；斜面的助力是股与弦之比；劈的助力是劈背与劈边之比；螺旋的助力是两螺距与以柄长为半径所成圆周之比。这七种机械或分或合，或复或单，都能以小力运动大重，其力与重皆如同重物运动速度与力运动速度之比。

单独物体和组合物体都有重心，从重心作垂线，必定与地平线成直角。凡是三角形，在各边中点作对角线，三条线相交的点就是重心，它距离角与距离边的比例如同二与一，两两相等。四边形，在相等边的中点作连线，两条线相交的点就是重心，它距离两边的距离恒相等。对于四条边都不相等的四边形，用对角线将其分为两个三角形，分别用上述方法求出各自的重心，将两个重心连成一线，那么大三角形的垂线与小三角形的垂线之比，如同小三角形重心距离与大三角形重心距离之比。凡是尖锥体，先求底面的重心，从底面中心到尖端作连线，其四分之一处为底面中心的距离，重心若离开尖端，则以上下两个重心作连线，整体的重心必定在这条线上。假设多面体的各个角都是质点，并用线连接起来，或者断开而不连接，或者运动而不固定，也必定有这个重心。牵引重物的机械，将力与重连成一体，力下降则重物上升，而连线上必定有定点，即重心。既然有了重心，可以阐明定理：物体固定于一点时，从悬挂点作垂线，必定经过重心；物体固定于一个面时，从重心作垂线，必定与固定点重合；物体固定于一点及一个面时，从重心作垂线为一边，从面上的固定点作垂直于面的直线为另一边，面上固定点到重心的距离为底，那么两个固定点之间的距离就是三角形的最大边；物体固定于两点时，将这两点延伸，必定与重心所作的垂线相交；物体固定于两个面时，两个固定点的抵抗力各自与其面成直角，延伸后，也必定与重心的垂线相交。

凡是物体已经固定，稍微移动它，要么恢复原处，要么离开原处，这就是固定与非固定的区别。假设小半球切于大半球的凸面，其重心恒为球半径的五分之八。从切点作与地平线成直角的线，重心在此线内侧的为固定，在此线外侧的为非固定。方法是用两半径相乘为实数，两半径相加为法数，实数除以法数得一为固定率。如果切于大半球的凹面，那么两半径相乘为实数，两半径相减为法数，实数除以法数得一为固定率

屋梁相互固定的原理，三根梁合成两个等边三角形，在顶点加重物。从顶点作垂线，分为两个直角三角形，那么直角边为梁水平力的比率，两倍的另一条直角边为梁垂直力与加重物的比率。三根梁相连，依次递减。从下梁重心作直线，引中梁与之相遇。再从相遇点至下梁下端作斜线，那么与地平线形成直角三角形，直角边为下梁水平力的比率，斜边为下梁垂直力的比率。四根梁相连，长短轻重如一，与地平线合成五边形。从顶点作垂线，那么与地平线形成大直角三角形。再从下梁上端作地平线，那么与垂线形成小直角三角形。小直角三角形对角线的正切，与大直角三角形对角线的正切，比例为一与三。

桥环相互固定的原理，先令各块石料的大小、形状、左右都相等。从桥顶作垂线，将各块石料的左右切面延伸，必定与垂线相交于一点，此点即环心。各切面与垂线的交角，其切线比为各块石料重量的比率，割线比为各块石料抵抗力的比率。不符合此比率，而又没有面阻力，桥必定倒塌。从石料的重心作垂线，从切面的中点作垂直于切面的直线作为抵抗力，延伸后，与左右两垂线相遇，必定在石料行进的中点。如果超出石料之外，而又没有胶固力，桥必定倒塌。桥的下面为圆形时，从圆心作地平线，又以圆半径为股，桥顶至圆心的垂线为弦，取其勾

译在垂线上，从圆心处截断，再作一个水平面。这个平面从中部到边缘逐渐与桥的上部曲线相近，但永远不相重合。任意在此平面上作一条垂线，与下方的水平面相交，再从圆心作一条斜线，就在斜线上量取交点距离桥顶的长度，从圆心处截断，这就是上部曲线所到达的位置。如果桥的上下两面都是水平的，那么中间必定是垂直面。各个切面与垂线的夹角，其切线比值就是各部分的重量比率，也就是各部分的面积比率。抵抗力不会超出劈形体外，这与桥环的情况相同。

译凡是粗糙的表面存在两种阻力，一种在平面上，一种在斜面上。光滑的表面则只有平面上的阻力。任何物体在平面上运动，其重力即为抵力（正压力）。如果两个面都是木头且纹理平行，取抵力的二分之一；如果两个面都是木头且纹理纵横相交，或者两个面都是金属，取抵力的四分之一；如果一个面是木头一个面是金属，取抵力的五分之一。分别用这些比例乘以抵力，即为平面阻力。斜面上的阻力，则是将物体置于平面上，然后慢慢抬起一边，在物体即将下滑而未下滑之时，测量斜面与水平面的夹角，其全数与角的正切之比，等于抵力与面阻力之比。如果桥环等劈裂物的重力不符合切线角度，则抵力与切面斜交。尝试在抵力的末端作一条垂直于抵力的直线，又在这条垂线的中间，依据斜面阻力的角度，左右各作一个角，这就是斜交的最大限度。切面在这两个限度之间，环也就确定了。

有小圆柱在大圆柱内部旋转，其接触处也会产生面阻力。两个面都是木头的，取抵力的十二分之一；一个面是铜一个面是铁的，取抵力的七分之一。分别用这些比例乘以抵力作为面阻力，轮轴、滑车通常都遵循这个原则。

动重学记

顾观光

凡是运动，如果没有其他力施加，那么方向必定是直的，快慢必定是均匀的。如果施加了其他力，而方向与原本的运动方向不同，就用两个方向补成一个平行四边形，作对角线作为两个速度的合率。力施加于物体而产生运动。不论是正面施加还是侧面施加，其动力总是等于抵力。所以左边的重力与右边的重力，如同右边的速度与左边的速度，两个物体相互牵引，那么速度大的必定减小，速度小的必定增加。分别用它们的重力乘以所增减的速度，其数值也是相等的。

凡是球在平面上运动，产生的是平力（非弹性力）。两个球相互撞击，它们的体形平坦而又凸起，产生的是凸力（弹性力）。球没有凸力的，比如铅球或瓦球，撞击时两个速度完全消失，两个球必定停止而不运动。凸力等于平力的，称为全凸力；凸力小于平力的，称为朒凸力（不完全弹性）。呢绒等球的凸力是平力的九分之五，象牙球是九分之八，玻璃球是十六分之十五。正面撞击后，两个球向两个相反的方向分开，各自产生新的速度，撞击前的速度与撞击后的速度之比，如同平力与凸力之比。假设两个球都是全凸力，正面撞击后，小球的速度必定减小，而大球的速度必定增加。两个重量的和与两个重量的差之比，等于两倍大球重量与减速之比，也等于两倍小球重量与增速之比。分别用它们的重力乘以速度并相加，撞击前与撞击后也是相等的。两个球的凸力相等且正面撞击后，小球停止而不运动，那么大球与小球之比必定如同平力与凸力之比。如果用运动的球撞击静止的球，而两个物体质量相等，且都是全凸力，那么它们的动与静必定互相交换。运动的球小于静止的球，那么小的球会反向运动，而大的球向前运动；其速度必定小于小球之前的速度。运动的球大于静止的球，那么小球的速度必定大于大球之前的速度，而大球跟随运动，其速度小于之前的速度。三个球在一条直线上，依次从小到大排列，中间两个球中较大的那个与较小的那个之差，大于中间球与较小球之差时，大球通过中间球将速度传递给小球，必定大于直接传递给小球。如果中间球是大球和小球的比例中项，那么传递的速度最大。

从撞击点经过两个球的球心作一条直线。符合球运动方向的称为正面撞击，不符合的称为侧面撞击。两个球的方向，一直一横，那么撞击后横向的球会斜向运动。将撞击前的两个方向延长，补成一个平行四边形，作对角线，就是斜向运动的方向。两个球都是斜向运动，那么撞击后的两个方向与撞击前的两个方向互为平行。从方向的末端作垂线，在交点前后各形成两个直角三角形，这两个直角三角形必定各自相等。又将撞击前的两个方向延长相交，那么交角的对边，就是撞击时的两个半径之和。

两个球相距，必定有重心。到相互撞击时，重心就是撞击点。两个球相对而行，那么重心始终不动。所以左边的重力与右边的重力，如同右边的距离与左边的距离相随而行，而后面的速度大于前面的速度，那么重心就随之向前运动。方法是用两个重力分别乘以速度并相加作为实数，相加两个重力作为法数，实数除以法数得一，就是重心的运动。假设两个球平行于两个斜面，重心必定平行于一条直线。将两个斜面延长相交，取两个速度的度数，从交点截取作为两腰，作连线作为三角形的底，那么左边的速度与右边的速度之比，如同右边的分边与左边的分边之比。于是从分边处到交点作垂线，就是重心的运动。

凡是有凸力的球，斜向撞击不动的平面，那么撞击后必定斜向运动。从撞击点经过球心作一条直线，又从方向的末端作垂线垂直于这条直线，形成前后两个直角三角形。凸力完全的，两个直角三角形相等，而方向与直线的夹角前后也必定相等。凸力不完全的，后角与前角的正切之比，等于平力与凸力之比；后角与前角的正弦之比，等于前速与后速之比。没有凸力的，撞击后沿平面边缘运动，其前速与后速之比，如同全数与角的正弦之比。

凡是运动有两种，一种是匀速运动，一种是逐渐加速运动。匀速运动形成长方形，速度为宽，时间为长，那么路程为长方形的面积。逐渐加速运动形成堑堵形（楔形体），力为高，时间为长与宽，那么速度为长方形的面积，路程为堑堵形的体积。物体在空中被地球引力牵引而下坠，越往下速度越快，这就是逐渐加速。地球形状是椭圆的，长径经过赤道，短径经过两极，直径的平方与地球引力成反比。

译按照这个比例，所以两极处的地力与赤道处的地力之比，如同145与144之比。在两极与赤道之间，地力处于适中状态，在一秒钟内，物体下落的距离为16尺，再加上万分尺的697倍，这就是一秒钟内的地力数值。依据堑堵形（直角三角形）来推算，速度和路程都可以求得。声音的传播是匀速的，一秒钟内传播1017尺。假设将石头投入井中，经过几秒后听到水声，那么用地力除以2，再开平方，得到石头经过井深所需时间的比率；用声速除以1，得到声音经过井深所需时间的比率。将这两个比率相加，与所经历的时间相比，就能得出井口到水面的深度。

大小两个重物悬挂在固定的滑车上，较重的物体必然随着地力而下降，两个重物的总和与两个重物的差值之比，如同地力与长加力（重力加速度）之比。物体从斜面上下滑，如果两面都是光滑的，必然会沿着斜面切线方向滑行，而不是旋转着下降。斜面的斜边（弦）代表重率，直角边（股）代表力率。力乘以地力，就是斜面的长加力。利用堑堵形的比例关系，用地力乘以股，再除以2倍的弦的平方，就得到时间的平方。用地力乘以股，就得到速度的平方。因此，无论斜边的长短如何，只要直角边（股）相等，速度也就相等。

用一个重物牵引另一个重物在斜面上运动，垂直面上的重物较大，则重物向上运动；垂直面上的重物较小，则重物向下运动。用垂直重物乘以弦，减去斜面重物乘以股，再乘以地力作为分子（实），将两个重物的和乘以弦作为分母（法），分子除以分母，就得到长加力。

假设有一个圆形平面垂直于地平线，从顶点到圆周作多条通弦，那么物体无论沿着哪条通弦运动，从顶点到终点的时刻都是相等的。大小两个圆形平面的顶点重合于一点，且都垂直于地平线，从顶点到大圆周作多条大通弦，其中包含多条小通弦，那么物体沿着大通弦与小通弦的差值部分运动，从小圆周到大圆周的时刻都是相等的。所有这些相等的原理，都是由地力产生的。

译将物体抛向空中，向上运动到极限后弯曲向下，其两端始终相等，这叫做抛射。抛射轨迹与地平面的交角恰好为四十五度时，抛射距离最大，其左右两侧逐渐变小且两两相等，到了九十度就没有抛射距离了。如果将物体抛向斜面，那么根据斜面与九十度角的夹角来看，平分这个角的抛射方向，抛射距离最大，其左右两侧也逐渐变小且两两相等，到了九十度就没有抛射距离。以抛射轨迹的切线作为弦，垂直高度作为股，地平面作为句。切线产生于水平速度的抛射力，所以速度乘以时间得到弦；垂直高度产生于逐渐加速的地心引力，所以地心引力的一半乘以时间的平方得到股。用平面三角的比例来推导，抛射轨迹与地平面交角的两倍的正弦乘以速度的平方作为实数，地心引力作为法数，实数除以法数，就是平面上的抛射距离。抛射轨迹与地平面的交角和抛射轨迹与斜面的交角相加为和角，相减为差角，和角与差角两正弦之差乘以速度的平方作为实数，差角的余弦的平方乘以地心引力作为法数，实数除以法数，就是在斜面上的抛射距离。九十度的抛射即为抛射高度，将其加倍即为平面上的最大抛射距离，再用斜面与九十度角夹角的最大矢高去除，即为斜面上的最大抛射距离，所以平面上的抛射距离比斜面上的大。从抛射高度的上端作水平线作为规距，规距到抛射顶点的距离与抛射顶点到中心的距离相等，从中心作垂直线交于规距，两端都抵住抛射轨迹，这必定是中心到规距距离的两倍，即末率。中心到规距的距离以两倍抛射高度为最大，所以末率以四倍抛射高度为最大。抛射轨迹与地平面的交角，从地平面上逐渐变小，到抛射顶点时与地平面合而为一，没有交角了。垂直线所截的地平面作为实数，抛射轨迹与地平面交角的余弦的平方乘以两倍抛射高度作为法数，实数除以法数，再减去抛射轨迹与地平面交角的正切，就是交角的正切。如果用相同的速度抛出各个物体且在同一平面上，经过若干秒，各物体所到达的点连接起来形成平面圆形；如果不在同一平面，则形成立体圆形，其抛射点距离圆心的距离就是若干秒内地心引力向下运动所经过的路程。

悬挂物体在空中，左右限制以曲线，让物体一来一回，那么物体与曲线时而贴合时而分离，而其运动又形成曲线，这叫做摆。两倍圆直径为摆长，再加倍为摆周，那么圆周就是摆的界限，即横直径。在横直径的中点作垂直线，必定到达摆的底点，以此垂直线为圆直径，作平面圆形，那么在垂直线上任意作水平线，它所截平面圆的弧，必定等于平面圆外的水平线，而它所截的摆周，必定是平面圆内通弦的两倍。物体从摆的下端运动是被地心引力牵引，其速度与垂直线相等，用来测量各地地心引力的大小，非常容易看清。一秒的地心引力作为实数，圆周率3.141592653作为法数，实数除以法数就是秒摆的长度。秒摆，就是一秒钟摆动一次。假设地心引力为定数，那么摆长的平方根与时刻成正比例；摆长为定数，那么地心引力的平方根与时刻成反比例。所以用秒摆长去除摆长，或者用地心引力去除原地心引力的平方根，都是摆动一次的时刻。如果用比较数来求，那么摆长则运动迟缓，摆短则运动快速。用摆长与秒摆长的差乘以一昼夜八万六千四百秒作为实数，两倍秒摆长作为法数，实数除以法数，就是一昼夜摆动的加减次数。地形高低，处处不同，高则摆动迟缓，低则摆动快速。一昼夜加减次数是两处高低差的比率，加倍就是两处地心引力差的比率。摆的用途尽在于此。

有多个质点，各自连接在平面上。力加在一点，那么各点随之运动。这与单独运动不同，因为各质点各有阻力。围绕轴旋转时必定互相感召，或产生运动，或阻碍运动。距离轴越远，用力越少，力与距离的乘积相等，那么速度也相等。从轴心作地平面作为句，从各点分别作垂直线作为股，各点距离轴为弦。各以质重乘以弦的平方并加在一起，就是各点的质阻率。力乘以距离的平方作为实数，质阻率作为法数，实数除以法数，就是实际产生的力。各质点被地心引力牵引，也各有长加力。从轴心作直线，就将各点分为左右两边。各以质重乘以句，看各点在直线一边的相加，在两旁的相减。乘以地心引力，又以所求点距离轴的距离乘以它，作为实数，质阻率作为法数，实数除法数，就是所求点的长加力。各质点相距必定有重心，其距离轴为弦，垂直线为股，所截的地平面为句。合并各质重乘以重心的句，与质重各乘以距离轴的句并加在一起，其数正好相等。牵引重心距离轴并延长，就是摆心。重心、摆心两距离轴相乘，就是环绕轴的半径的平方。从重心作直线，与距离轴成直角，也将各质点分为左右两边。而各点距离重心为弦，直线为股，所截的距离轴为句。各以质重乘以句，其在重心两边的也相等。合并各质重乘以重心距离轴的平方，又以质重各乘以弦的平方并加在一起，也与质阻率相等。重心距离轴与距离摆心相乘，就是环绕重心的半径的平方。合并各质重乘以它，与质重各乘以弦的平方并加在一起，其数也相等。以重心为心，轴心为界，作平面圆形。任意在圆上取一点为悬点，摆动次序相同。如果以摆心为界，其道理也相同，所以悬挂

译“点”与“摆心”的“点”可以互相替换。

译两个重物，一个加在轮缘，一个加在轴缘，位于轮缘的重物向下运动，位于轴缘的重物向上运动。轮轴的长度（即半径）与所加之力，各自与其半径成正比。三个轮轴相互连接，或用绳索串联，或用齿轮啮合，两个重物分别加在第一个轮缘和第三个轴缘上。轮轴的长度与所加之力，如同三个轮缘半径连乘积与三个轴缘半径连乘积之比，并不相等。两个重物加在杠杆两端时，两个重物的长度与所加之力，各自与它们距离重心的距离成反比。凡是圆形物体有转动，就有平动（过面动），这两种运动常常相互关联。将绳索的一端缠绕在圆形物体上，另一端绕过定滑轮并悬挂重物。假设是质量均匀的实心圆柱，那么圆柱重量乘以重力加速度作为分子，三倍悬挂重物重量加上圆柱重量作为分母，相除即得平动的加速度。悬挂重物重量乘以圆柱直径再乘以重力加速度作为分子，三倍悬挂重物重量加上圆柱重量再乘以圆柱直径平方八分之一作为分母，相除即得转动的加速度。如果圆柱是空心且极薄的，那么圆柱重量乘以重力加速度作为分子，两倍悬挂重物重量加上圆柱重量作为分母，相除即得分母为两倍悬挂重物重量加上圆柱重量再乘以圆柱半径作为分母，相除即得转动的加速度。假设绳索的一端缠绕在圆形物体上，另一端固定在定点，那么平动的加速度，实心圆柱为重力加速度的三分之二，空心圆柱为二分之一，球体为七分之五。圆形物体沿斜面滚下，两面都是粗糙面，使圆形物体不发生平动而发生转动，那么不使用重力加速度而使用平动的加速度，其比例与此相同但不相等。两个重物加在定滑轮上，使重物向下运动的加速度等于使轻物向上运动的加速度。如果加在两个滑轮上，一个定滑轮一个动滑轮，那么动滑轮的加速度是定滑轮的二分之一，因为速度减半的缘故。如果加在滑轮组上，一个定滑轮多个动滑轮，那么第一个动滑轮的加速度是定滑轮的二分之一，第二个动滑轮是四分之一，第三个动滑轮是八分之一。既然得到了各种机械的加速度，用和分法推导，就可以知道各种机械的运动了。

凡是两个物体相互接触摩擦，都能产生表面阻力，使运动速度逐渐减小，如果牵引力与表面阻力相等，那么物体的运动就恒为匀速了。车辆在石路上行驶的牵引力，小的为物体重量的千分之十六，大的为二千分之三十九，路面极不平整处高达千分之二十四，火石路为千分之六十四，铁路的牵引力或是物体重量的二百四十分之一，或是三百分之一，平坦石路为七十分之一，石子路为十五分之一。如果车辆在斜面上行驶，所加的牵引力等于以斜面高度为分子，斜面长度为分母。假设斜面长二丈，高一尺，那么比在平面上行驶的牵引力增加了物体重量的二十分之一。陆路不论速度大小，阻力始终相同；水路则速度越大，阻力也越大。所以车辆无论是五小时行十里，还是一小时行十里，牵引力都相同；而船只一小时行十里，比五小时行十里，牵引力应当增加二十五倍。但是一小时行十里以上，阻力增加率很小，因为船速很快而高出水面。运动的力有六种：叫定质重，叫流质重，叫定质凸力，叫流质动力，叫流质涨力，叫人畜能力。都以力乘以路程作为当程功。定质重的动力，斜面与垂直面不同。假设自行车路高一百尺，长四千尺，空车一千斤，用重车四千斤下行的力牵引它上行，表面阻力为物体重量的二百分之一。方法是用重量差三千斤乘以高度一百尺，得到三十万作为当程功。用二百除一千得到五斤作为上行阻力，用二百除三千得到十五斤作为下行阻力，两者相加乘以长度四千尺，得到八万作为实程功。这是当程功比实程功弱四倍。用于垂直面，那么用重量乘以路程，当程功即为实程功了。流质重的动力，以水为例，其当程功与定质相同，而水中又有横向流动的水相互推荡，不能用来计算当程功。所以水冲击上半轮，当程功与实程功之比如同五与四；水冲击下半轮，当程功与实程功之比如同十与三。捕鸟鼠的巧妙机械，能产生暂时运动；精巧钟表中的发条，能产生持续运动，都是凸力。发条运动时，阻力恒有改变，所以用绕轴逐渐释放时所经过的微小路程乘以每秒中所加阻力所走的路程作为当程功。风的力量有两种，风枪利用涨力，风帆利用动力，水气也有涨力与动力。其动力大小之比，都如同速度立方大小之比。人畜的能力以静止时最大，人力二十八斤又五分斤之四，马力一百四十斤。行走时力必减小，走到极速时力就不能产生当程功。而一小时中极速的限度，人行六里，马行十二里。所以求人所产生的当程功，用一小时里的里数与六里相减，余数自乘，四倍后除以五为人力；求马所产生的当程功，用一小时里的里数与十二里相减，余数自乘为马力。各自乘以里数作为当程功。

车辆以匀速在平路上行驶，其力必然等于表面阻力。如果有障碍物如小石之类，而车体很坚硬，障碍物与轮缘仅接触于一点，过此点时车必然减速并增加力，那么速度就不会减小了。车辆越过障碍物上行时所加的力为重阻力，车辆

译车辆突然改变方向或震动时所施加的力，称为震阻力。计算方法如下：用轮半径去除阻物高度，得到的商为第一数；用轮半径的平方乘以阻物高度的平方，得到的积为第二数；用这两个数的差值乘以水平速度的平方，即为震阻力率；用地心引力乘以阻物高度，即为重阻力率；将这两种阻力率相加，再乘以车重，就是车辆越过阻物时所增加的力。如果阻物高度小于轮半径，那么水平速度的平方即为震阻力率，轮半径乘以地心引力即为重阻力率。或者在车轴下方附着薄铁片，利用其凸起的弹力，使车轮中心逐渐偏离直线而不产生震动，这样阻力可以减少一半。

译用物体撞击物体，被撞击物体产生的反作用力是由两物接触而产生的。因此，铁锤的力量大于纱球，铁墩产生的反作用力大于软枕。而锤子的动能消耗于铁墩的反作用力，它们作用的时间又有长短不同：时间越短，反作用力必然越大；而物体性质越不易凹陷，作用的时间也就越短。钢铁的弹性模量为九百万尺，如果用铁锤敲击铁墩，将锤高加上墩高乘以锤高，再乘以锤下落的高度并加倍作为分子，以弹性模量为分母，分子除以分母得商，再开平方，就是锤和墩共同凹陷的深度。将锤高乘以弹性模量，再乘以锤下落的高度并加倍作为分子，以锤高加上墩高为分母，分子除以分母得商，再开平方就是铁墩的反作用力。如果用锤子敲击钉子进入木头，那么力是均匀分布的，而钉子能够移动，反作用力必然较小。将钉长加上锤高乘以木头直径，再除以两倍的弹性模量，就是钉子进入木头的深度。将锤高乘以平行系数，除以木头直径，再减去钉子进入木头的深度，就是锤子和钉子共同凹陷的深度。

流质重学记

顾观光

万物各自有其质地，木石之类属于固体，风水之类属于流体。而流体又有轻重之分，轻如风空气体，重如水液体。它们的体积都能受热而膨胀，受寒而收缩。但水的性质独特，在寒暑表四十度时体积最小，再冷反而体积增大，到三十二度时就结冰了。结冰的时候，体积增大最快，所以瓶盆装水常常因为结冰而破裂。流体在容器中受地球引力的作用，必然与水平面平行。地球旋转产生离心力，地心向下吸引产生向心力。这两种力又有合力，而水面必然垂直于合力，所以海面在赤道处比球形更弯曲，在两极处比球形更平坦。月亮经过的地方有引力，又与地球引力结合产生合力，必然使水面发生变化，这就是潮汐的道理。少量的水等同于平面，所以测量两地的高低以水面为标准。如果两处流体相通，必然上升到同一平面。用方法激发它，能使水从下往上流，能使水承载重物而上升。或者不用水而用风空气体，道理也是一样的。固体的反作用力，只在引力所施加的方向上。流体的反作用力，处处都相同。假设水在容器中，在四周开四个相等的小孔，用短木塞堵住，使其可以进退。一个木塞逐渐推进，其余木塞必然逐渐退出，它们的反作用力之比等于小孔大小之比。去掉一个木塞，容器必然向对侧倾斜，因为那一侧没有反作用力。流体越深，反作用力越大。一立方尺的水，反作用力为六十二斤半，乘以体积，就是水反作用力的重量了。流体的反作用力必然有重心。假设上下不等，正方体容器中装满水，重心必然靠近大的一边。让大的一边在下，则重心低而反作用力大；大的一边在上，则重心高而反作用力小。如果有两个容器底面积相同、高度相同，不论形状是方是斜、是尖是直，其底部的反作用力都相同，侧面的反作用力必然在重心之下。假设是平行四边形，则反作用力中心的高度为高度的三分之一；假设是两个等边三角形，角尖在上，则为中垂线的四分之一；角尖在下，则为中垂线的二分之一。凡是水闸在反作用力中心处，必然多加力量以阻挡水。

固体被流体承载，重的必然变得轻，所以竹木入水必然上浮，铁入水银也上浮，因为等体积的流体重于固体。固体的重量是向下的力，流体的重量是向上的力，两种力在同一垂直线上相等，那么物体必然静止。由此可以得到体积相等、轻重不等的比率，比如金重三十五分，入水中则重三十一分所少的四分，就等于金体积的水重，由此知道水与金的重量比为一与八七五。如果不符合相平衡的道理，那么物体在水中或升或降，使物体升降的力，就是等体积的水重与物体重量的差值。人入水中，身体重量小于等体积的水重，又胸部中空处能大能小，头昂起则胸部变大，两重之差更大，而且双手入水必然不沉。如果手出水，则身体重量大于等体积的水重，而身体必然下沉，沉到水底，反作用力越大，身体体积越小，而不能再次上浮。人从桅杆顶端坠落入水必然很深，因为身体重量大于等体积的水重。死后身体膨胀变大而再次上浮，因为身体重量小于等体积的水重。气球上升也是同样的道理，其上升的力，就是球重与等体积风空气体重量的差值。风空气体又有冷热之分，而热空气轻于冷空气，又热则体积必然增大，而等体积的冷空气更重，两重之差，就是使热空气上升的力。聚集火的地方开烟囱，让烟快速向上排出，就是这个道理。烟囱高则热空气向上直冲，常常高于烟囱顶数尺之外，风不能抵挡它；低则热空气也低，或者不能抵挡外风而回流到室内。

凡是空处都有风空气体，风空气体的膨胀力向四面扩散，直到遇到物体阻挡才停止。假设冷热相等，则膨胀力大小与空体大小成反比。如果有长长的圆柱，一端通一端塞，将通的一端入水，则柱中空体被水逼迫，逐渐向下变小，而让柱向下行的力必然逐渐加大。这就是风空气体的膨胀力，因为膨胀力与反作用力恒相等。水热到寒暑表的二百十二度，其膨胀力与风空气体相等，每平方一尺抵

译力量达到二千一百二十斤。如果继续加热，膨胀的力量就会极大，即使是极其坚硬的东西也无法抵挡了。

译地球外围的空气，层层包裹着地球。靠近地面的空气最厚，越高处越薄。到达一百五十里的高空，就没有空气了。使用一根玻璃管，长三十二寸，内径极细，不过八分寸之一。管子一端开口一端封闭，装满水银，倒置在水银容器中，那么管中的水银必然下降，最低降至二十八寸，最高升至三十一寸。它不能再下降的原因，是受到空气的支撑。而空气的厚薄，时刻不同，所以水银的升降也时刻不同。海面上的水银柱高二十九寸九分二厘二毫，在高山上必然下降，因为那里的空气稀薄而轻；在深谷中必然上升，因为那里的空气浓厚而重。大致每升高九百尺，水银柱下降一寸，这又是测量高度的简便方法。水在容器中，有时倒悬而水不流出，是因为管口有空气的支撑力。虹吸管两边倒悬的水都想向下流，在顶点有向两边分流的意思，但顶点没有空隙，形势上不能分开，一边短一边长，必然迫使短的一边逆流而上，这是因为没有空隙的地方有空气支撑。如果顶点超过三十二尺，就会有空隙了。最大的虹吸管高度不能超过三十二尺。

空气的冷热，各处不同。赤道之下，阳光直射，热量进入必然多；斜射则热量少，越斜越少。所以一年中热量的平均数，赤道之下寒暑表显示八十四度，两极之下仅得四度。那么赤道之下的空气，比其他地方热而轻，所以必然上升；而其下方南北方向的冷空气流入，又受热上升；而其下方的冷空气再次流入，如同水流一样，终古不断，于是产生上下两股气流。上方从赤道流向两极，下方从两极流向赤道，称之为风。空气总是随着地球运动，地球自西向东旋转的趋势，靠近赤道的较快，靠近两极的较慢。所以上方气流速度快而下方气流速度慢。当它们降到地面时，速度慢的与地球自转方向相反，北半球形成东北风，南半球形成东南风；速度快的与地球自转方向相同，北半球形成西南风，南半球形成西北风，它们的趋势正好相反。赤道之下有飓风，也是由于这个原因，因为上下方向相对，于是形成回旋的风。摆使用流体与定质相同，其运动的比例同于长度平方根的比例。水从容器中出口，其速度的比例同于出口离水面距离平方根的比例。如果在容器旁边开两个口，一个离水面一尺，一个离水面一百尺，那么一百尺处的速度必然是一尺处速度的十倍。如果有少于这个比例的，是因为阻力的缘故。口在容器底部，水就向下直行；口在容器旁边，水就沿抛物线运动。假设是一个直径一寸的圆形平口，那么靠近口处直径一寸，逐渐远离逐渐变小，小到八分寸之五，称之为截面。这个面距离口有一定的距离，超过这个距离形状就不变了。所以测量流体出口量的多少，不用口的面积，而用截面积。

船在水中行驶，阻力的比例同于速度幂的比例，而阻力又有大小的不同，完全在水中则大，一半在水中则小，在宽阔处行驶则大，在狭窄处行驶则小。如果在狭窄处，一小时行驶十余里，船行驶越快，出水越高，其阻力必然大大减小。水在河流中流动，上面比下面快，中间比两边快，这是因为河底与两岸有表面阻力，而且多有弯曲之处。弯曲处凹边的流速比凸边快，因为各点有离心力，能使水积聚在凹边。上下流动速度不同，方向或许不同，甚至有对流的，如海口潮水来时，咸水从下面流入，淡水从上面流出，因为重的在下而轻的在上。波浪是略高的水，在水面行驶，与水流动的方向不同，如同桅杆上的旗帜因风而生，波浪也与旗帜行驶的方向不同，所以水浮在水面，波浪虽然冲击而水并不流动。波浪常因风而生，水面宽二三百尺，深三四尺，波浪高不过三寸；水深二三十尺，波浪高约尺半，所以可以根据波浪的高低来测量水的深浅。潮汐的高低，由于日月引力，朔望时合力作用，两弦时差力作用，而两种引力的大小时刻不同，因为日月距离地球的时刻不同，而引力与距离地球的立方成反比。日引力大小从十九到二十一，月引力大小从四十三到五十九，所以潮汐的最高与最低，如同两个大数的和与两个小数的差，即如同十与三的比例。各地早晚不同，需要考察的有五件事：一是月过中天差，潮涨在月过中天后若干时刻，日日不同，大致应以朔望为准；二是半月差，月过中天又因距离太阳而产生差异，应当在日月赤道纬度及地心差为中等数时测量，这个差异半月重复一次，所以名叫半月差；三是潮距朔望差，大潮不在朔望，而在朔望后的第三次潮上，潮距月过中天的平均数，就是潮距朔望；四是日差，一天两次潮汐高低不等，或者早潮高，或者晚潮高，应当在各地测量；五是日月地心差不同，赤道纬度不同，潮汐的高低时刻也随之变化。测量久了，才知道变化的都是常态。有些海港合而又分，水道屡次变化，有时形成环绕的流向，水道变化则迟速也变化，这又应当同时测量水道了。

天重学记

顾观光

太阳居中央而不动，地球

译地球环绕着它。它绕着地心旋转，一天转一圈，这是昼夜交替的原因。它沿着本道运行，一年转一圈，这是寒暑更替的原因。旋转的趋势依据赤道，运行的趋势依据黄道。这两条道的交角现在是二十三度二十八分，交点每年向西移动五十秒一。所以地球在黄道上运行一圈需要三百六十五日五小时四十八分四十九秒七，再加上二十分十九秒九之后才回到恒星原来的位置，这就是岁差。黄道是椭圆形的，而太阳并不在椭圆的中心，两个中心的距离差是167836。近日点每年向东移动十一秒八。所以地球绕太阳一圈需要三百六十五日六小时九分九秒六，再加上四分三十九秒七之后才回到近日点，这就是历周。近日点差与岁差总共是一分一秒九，积累两万九百八十四年，近日点就在黄道上转完一圈，于是恢复初始状态。地球在椭圆轨道上运行，每天移动五十九分八秒三三，所经历的时间相等，所扫过的面积也相等。而在近日点半个周期的角度小于累积的角度，那么实际运行就会落后而变慢；在远日点半个周期的角度大于累积的角度，那么实际运行就会超前而变快。所以太阳距离地球的平方与速率成反比例，太阳距离地球的面积与时间成正比例。在平均距离时，太阳的视直径是三十二分三秒三，距离高时变小，距离低时变大，大小的比例与太阳距离地球的反比相同。黄道是椭圆形的，而地球的形状也是椭圆形的，长径穿过赤道，短径穿过两极。两条直径的比例如同二百九十九比二百九十八。地球的旋转在靠近赤道时逐渐变快，而向下的引力减小；在靠近两极时逐渐变慢，而向下的引力增加。所以物体在两极比在赤道重一百九十四分之一，各纬度加重量的比例与纬度正弦的幂的比例相同。地球直径与太阳直径的比例如同1比1115，地球直径与黄道直径的比例如同1比23984。所以太阳的地平视差是八秒六，各纬度的视差比例与视线距离天顶正弦的比例相同。赤极环绕黄极两万五千八百六十八年转一圈，受到众星的摄动。而黄赤大距古代大现在小，大约一百年相差四十八秒，其最大差值是一度二十一分。赤极又受到月亮的摄动，形成小椭圆形的运行，长径十八秒五，短径十三秒七四每十九年转完长径一圈。始终指向黄极，所以大距又有微小的差别。地球以二十四小时旋转一圈，而考察钟表，也有微小的差别：一是椭圆迟疾差，靠近近日点时运行慢，而自转有减分；靠近远日点时运行快，而自转有加分。二是黄赤升度差，靠近春分秋分时，黄道一度相当于赤道不足一度，所以自转有加分；靠近夏至冬至时，黄道一度相当于赤道一度有余，所以自转有减分。将这两种差值加减到平太阳时上，就是真太阳时。光传播的速度，一秒大约五十五万五千里，而地球在黄道上运行一秒仅五十五里，所以光速率与地球速率的比例如同半径与二十秒五的正切，这就是光行差。靠近地球常有大气层，能使日月五星的升起和落下显得更高，地平视差三十三分，地平线以上逐渐变小，而且这种差值随时随地都不同，这必须通过实际测量来验证，不是算术所能控制的。

译月亮既绕着地球转，又绕着太阳转，它绕自身中心旋转与环绕地球公转，都是二十七日七小时四十三分十一秒点五完成一周，所以月亮朝向地球的一面永远不变。月亮运行的白道与黄道斜交，夹角为五度八分四十八秒，交点在黄道上退行，每天三分十秒点六四，所以月亮在南北方向上二十七日点二一二一完成一周，这就是交点周期。白道是椭圆形的，而地球并不恰好在椭圆的中心，两中心距离的最大值与最小值之比如同三比二，其中数为五四八四四二，拱点每天顺行六分四十一秒点八，所以月亮在快慢上二十七日点五五四五完成一周，这就是拱点周期。月亮在椭圆轨道上运行，每天十三度点一七六四，也是以面积为平行，角度为实行，与太阳具有相同的中距。月亮的视直径为三十一分七秒，其大小之比也等于月亮距离地球的反比。月亮与地球每天运行的差值为十二度点一九七五，累积二十九日十二小时四十四分二秒点八七后再次重合，这就是一个月。地球直径与月亮直径之比如同一点二七二九，地球直径与白道直径之比如同一点五十九九六四三五，所以月亮的地平视差其中数为五十七分六秒。太阳和月亮的两个半径之和加上月亮的地平视差，其最大值为一度三十四分二十七秒，如果太阳和月亮的两心距离小于这个数值，那么地面上必然有发生日食的地方，所以日食的限距交点为十六度五十八分。方法是从太阳本体的两边各作与月亮本体相切并延长，形成尖圆，其尖端或者越过地球或者不及地球，如果以两个交点互相切于月亮并延长至地球范围内，就产生淡影，人在淡影中就看见日食，在尖圆中就看见日食既。月亮与内虚的两个中心距离等于月亮外虚的两个半径之和，即月亮进入外虚的时候，等于月亮内虚的两个半径之和，即月亮进入内虚的时候，所以月食的限距交点为十一度二十一分。方法是从太阳本体的两边各作与地球相切并延长，形成尖圆，这就是内虚。如果以两个交点互相切于地球并延长越过月亮本体，这就是外虚。日光透过大气层，就折射而下，它与外虚相交的角度就是两倍的地平大气差，它与内虚相交的角度就是两倍的大气差与太阳视直径的差值。月亮在外虚时为昏黄色，进入内虚则浅色的为蓝绿色，深色的为红紫色。凡是引力的大小与距离的平方成反比例。月亮距离地心大约是地球半径的六十倍，所以地球吸引月亮的力是地面引力三千六百分之一。太阳的引力远大于地球，而日地距离大于月地距离大约四百倍，所以太阳吸引月亮的力仅得到地球吸引月亮力的一百七十九分之一。白道的长径与地球每天运行的差值为五十二分二十七秒点二五，累积二百五日点八九四后再次重合。在这一次重合中，两中心距离有增减，长径也有进退，而增减进退的差值在拱点处较大，在卑点处较小，大小之比如同二十八比二十五。朔望前的两个象限，切力总是使速率增加，那么长径变长；朔望后的两个象限，切力总是使速率减小，那么长径变短。另外，在朔望左右各五十四度四十四分，引力向外，使曲率略小；在两弦前后各三十五度十六分，引力向内，使曲率略大。其最大差值为一度四分，一个月后重复，称为二均差。月亮受到太阳的引力，在朔时距离太阳近而略大，在望时距离太阳远而略小，所以日心斜交地月之令，月亮在椭圆运行中有增减，其最大差值为二分，称为月角差。地球在椭圆轨道上运行，在拱点后距离太阳逐渐接近，那么太阳吸引月亮的力逐渐增大；在卑点后距离太阳逐渐远离，那么太阳吸引月亮的力逐渐减小。其最大差值为十一分，一年后重复，称为年差。在两千年间，地球轨道的两中心距离总是变小，大约每百年差二万五千分之一，那么年差也略有不同，而月亮的平均速度总是变大，大约每百年差十一秒点九，它的一个周期时间很长，未能通过实测验证。两个物体相距必然有重心，其距离两个物体中心的远近之比如同两个物体轻重之比。连接太阳和地球成一直线，它们的共同重心在太阳本体中；连接月亮和地球成一直线，它们的共同重心在地球中。所以月亮和地球的共同重心绕着太阳和地球的共同重心旋转，从人的视角看仿佛月亮绕着地球转，而地球又绕着太阳转。然而因此太阳的经度也有微小差值，一个月后重复，因此称之为月差，其最大值不能超过八秒点六，八秒点六是太阳的地平视差。白极环绕黄极十八年点六完成一周，而赤道既在黄道上退行，又在白道上退行，那么赤极所行的方向总是垂直于赤白两极的距离，所以不成正圆，而是次摆。其速率也时大时小，两道所产生的两个差值之比，如同二比五。

五大行星绕着太阳运行，轨道都是椭圆，与地球具有相同的两中心距离，各自以长半径为标准：水星二五五一四九，金星六八六七，火星星九三三七，木星四八一六二一，土星五一五五。距离太阳的中数，以地球轨道半径为标准：水星三八七九八一，金星七二三三三一点六，火星一五二三六九二三，木星五二三七七六，土星九五三八七八六一。地球与五大行星周期平方的比，各自

译这与距离太阳的立方之比相同。推算得出五星的恒星周期：水星为87.969258日，金星为224.7787日，火星为686.979646日，木星为4332.584821日，土星为10759.219817日。它们与黄道相交的角度：水星为7度9.1秒，金星为3度23分28.5秒，火星为1度51分6.2秒，木星为1度18分51.3秒，土星为2度29分35.7秒。它们的交点与拱点运行都非常缓慢，因此将两个交点连起来，就形成了一条平分黄道的恒定线。外行星受到内行星的摄动。在内行星轨道上取两点，这两点距离外行星等于太阳距离外行星；内行星从等距点运行到交点时，交点退行；而从交点运行到等距点时，交点进动。而内行星受到外行星的摄动。如果两轨道之间的距离小于内行星轨道到太阳的距离，在内行星轨道上取两点，这两点距离太阳与外行星相等，其交点的进退情况与外行星摄动内行星时相同。如果两轨道之间的距离大于内行星轨道到太阳的距离，两星位于交点的两侧时，交点退行；而位于交点同一侧时，交点进动。而前述情况下，如果两星中有一星正好位于交点，则交点不动。两轨道逐渐靠近，而摄动力又将其拉近，两轨道逐渐远离，而摄动力又将其推远，则交角变大；两轨道逐渐靠近，而摄动力反而将其推远，两轨道逐渐远离，而摄动力反而将其拉近，则交角变小。被拉近时交点退行，被推远时交点进动，所以交角的大小与交点的进退并不一致。法向力能改变曲率，向内则曲率增加，向外则曲率减小；切向力能改变速率，顺向则速率增加，逆向则速率减小。所以法向力向内且行星靠近拱点时，长轴退行；靠近近地点时，长轴进动；从拱点到近地点，两心差增加；从近地点到拱点，两心差减小。法向力向外的情况则相反。切向力顺向且行星靠近拱点时，两心差减小；靠近近地点时，两心差增加。从拱点到近地点，长轴退行；从近地点到拱点，长轴进动。切向力逆向的情况则相反。因此，两心差与拱点运动互为消长，而切向力和法向力也互为消长。所以五星的椭圆轨道，古今相差不大。人们观察五星，看到它们有时顺行有时逆行，有时停留，似乎没有规律，这是因为地球不在星道中心，而且绕太阳旋转的缘故。如果从太阳观察，则只有迟疾而无留退。所以求地心经纬度，应当以日心经纬度为基础。先利用弧三角形，以直角为一角，星道与黄道交角为一角，最卑点与交点的经度差为两角所夹的弧，求得对直角的弧，用来加减星距最卑度，即得星距交度。仍以直角为一角，星道与黄道交角为一角星距交度为两角所夹的弧，求得对交角的弧，即日心纬度。又求得对直角的弧，用来加减交点距春分点的经度，即日心经度。接着利用平三角形，以直角为一角，日心纬度为一角，星距太阳为对直角的边，求得纬度角的对边为星距黄道。又求得两角所夾的边为星对边。再以星对边为一边，地距太阳为一边，星与地两日心经度差为两边所夹的角，求得对角的边为日对边。又求得地距太阳的对角，加上两日心经度差，再加上地的日心经度，即得星的地心经度。又以日对边与星距黄道作为夹直角的两边，求星距黄道的对角，即地心纬度。土星与木星互相摄动。两星一次会合为7253.4日，积累到三次会合，则土星运行两周，木星运行五周多8度6分。用360度除以这个余数，再乘以一次会合的天数，得到322373日，约883年。然而其误差因积累时间久而变大，所以918年为一周期。在这个周期中，一星速率增加而周期变短，则另一星速率减小而周期变长。其最大误差，土星为49分，木星为21分。两星经度之比，如同两星体积各自乘以长轴平方根的反比。金星摄动地球，一次会合为583.92日，积累到五次会合，则地球运行八周，金星运行十三周少2度24分。用360度除以这个余数，再以一次会合的天数乘以它，得到87588日，约240年为一周期。在这个周期中，地球速率减小，则日地平均距离变大；地球速率增加，则日地平均距离变小。其差异很小，但因此月球的速率也有增减。其最大误差为23秒。金星的摄动力，还有直接作用于月球的。地球转动三终，则金星转动五终多27日13小时7分35.6秒。比月球转动一终少10分56.7秒，约为3625分之一个月球转动一终。凡273年为一周期，其最大误差为27秒。这又是除了太阳和地球摄动力之外的因素了。五星的地心视差，都小于月球，测量非常困难。而将太阳、行星与地球连成三角形，则星距太阳与地距太阳之比，如同星距太阳度数的正弦与地心视差正弦之比。这个差异一年为一周期，与光行差相似。如果以光行

译星与地道差构成夹直角的两边，而求地道差的对角，即是星所在的度数。

译彗星的运行规律与五大行星相同，但其椭圆轨道的长径非常长，两个焦点之间的距离差非常大，所以有的彗星几十年才出现一次，其差异很大，无法完全知道它们的根本数据。例如，因格彗星的半长径为二二一六四，两焦点之差为八四七四三六，与黄道相交的角度为十三度七分三十四秒，大约每三年一一完成一周天。迪未谷彗星的半长径为三九九四六，两焦点之差为六一七二五六，与黄道相交的角度为二度五十四分四十五秒，大约每五年一六七完成一周天。勃陆孙彗星的半长径为三一五二一，两焦点之差为七九三六二九，与黄道相交的角度为三十度五十五分七秒，大约每五年二一六完成一周天。比乙拉彗星的半长径为三五一八二，两焦点之差为七五五四七一，与黄道相交的角度为十二度三十四分十四秒，大约每六年二二完成一周天。飞彗星的半长径为三八一一七九，两焦点之差为五五五九六二，与黄道相交的角度为十一度二十二分三十一秒，大约每七年一六一完成一周天。达唳彗星的半长径为六三二六六，两焦点之差为七五六七二，与黄道相交的角度为三十一度二分十四秒，大约每十五年三二五完成一周天。好里彗星的半长径为一七九八七九六，两焦点之差为九六七三九一，与黄道相交的角度为十七度四十五分五秒，呈逆行状态，大约每七十六年一六完成一周天。还有乾隆三十五年的彗星，两焦点之差为七八五八，与黄道相交的角度为一度三十四分，大约每五年半完成一周天。道光二十三年的彗星，近日点距离太阳五五八，与黄道相交的角度为三十五度三十六分二十九秒，呈逆行状态，大约每二十一年八七五完成一周天。还有顺治十八年的彗星，大约每百二十九年完成一周天。嘉靖三十五年的彗星，大约每二百九十二年完成一周天。康熙十九年的彗星，大约每五百七十五年完成一周天。向上考证古代，有应当出现却没有出现的，一定是因为靠近太阳而在白天出现；有虽然出现但时间提前或推后一两年的，则是被其他星体摄动所致。从乾隆五十一年到道光十八年，因格彗星已经运行了十五周，每周减少百分日之十一。从洪武十一年到道光十五年，好里彗星已经运行了六周，每周增加千分年之四百四十五。增减的原因，未能详细得知。彗星的头部像星星，气体逐渐靠近，中心逐渐变厚，尾巴总是背向太阳，这是因为太空中的稀薄气体所致。它借日光而发光，有时隔着彗星能看到恒星，由此知道它是稀薄气体而不是实体。

代微积拾级序

李善兰

几何学，自从欧几里得至今，专门从事此学的名家，代代都有。追溯古代，希腊人最用心研究这门学问。那时认为圆锥曲线等曲线的原理最为精深。阿基米德之后，这门学问日益进步。到了法国，笛卡尔设立纵横两个坐标轴，推导曲线内各点距离坐标轴的远近，自从有了这种方法，所有的曲线没有不能推导的。所以曲线的数量多到无穷，但以直线为界限，一律用处理曲线的方法来驾驭它们。既然得到了各种曲线，依据代数的原理推导它们，可以得到各种平面、各种曲面、各种立体。那些已经推导确定的曲线，略举其名称如下：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、半立方抛物线、摆线、余摆线、和音次摆线、弦切诸指数、对数、阿基米德螺线、对数螺线、等角螺线、交互螺线、两端悬挂的卡西尼卵形线、平行移动以及圆锥曲线，与其他曲线统归为一类，没有稍有不同的。这就是代数几何学。自从有了代数几何，微分学的作用更加巨大。微分学并非一时一国一人所创立，其源流深远。数学中有已知数求未知数、代数中无数求数，但所推导的都是常数。微分能够推导一切变数。创立方法的不止一家，道理相同而方法不同。探究其本源，是德国人。他们定义说：将小到无穷的点积累到无穷多，推导其几何意义，称为推导无穷小点法。质疑者说：无穷小的点即使积累到无穷多，也不能构成几何图形。解答者说：只要将无穷小改为任意小，就有积可以推导了。所以这种说法虽然看似难以理解，但其道理并非不合逻辑。而英国人牛顿创立首末比例法，不使用无穷小的长度，而是使用有穷最小长度的比例，来推导其逐渐减损的极限。其几何变大则为末限，变小则为首限。这种方法便于几何而不便于代数。后来创立流数术，弃用前法，而认为万物都在变化，其变化都有速率。凡是几何图形都可以用直线显示出来，所以速率的增减可以用直线的界限显示出来。这种说法学者们都尊崇。嘉庆末年，法国人特浪勃创立极限法，自称不过是使用牛顿的首末比例罢了。而兰顿另外创新方法，凡是微分都凭借代数，不说任意接近极限，而说已经得到极限，名为剩理。拉格朗日也创立多种方法，依附戴老的原理，大致与兰顿相同。总括来说，微分不过是求变化几何最小变化率的比较罢了。学派虽然众多，道理实际上是一致的。牛顿到来之前，原本同时各自精心思考创立方法，未曾互相商议。互相为师，牛顿在元上加点，以显示流数，如申为甲的流数是这样。用来推算，觉得不便，所以使用莱布尼茨的符号以显示之。积分者，是合并无数微分之积，也使用莱布尼茨的符号以显示之。微分积分，是中国算书中所没有的。然而观察

译当今的算学专家，如董方立、项梅侣、徐君青、戴鄂士、顾尚之以及李秋纫所著的各书，其原理有非常接近微分的，因为不使用代数式，所以有时论述非常繁琐，推导非常困难。现在特意与李君一起翻译这本书，作为学习微分和积分的入门辅助。将来中国算学日益兴盛，未必不是这本书奠定了坚实的基础。

译《代微积拾级》序

伟烈亚力

中国数学中的四元术，就是西方数学中的代数。各种未知数、各种乘方、各种互乘积，四元术用位次来区分，代数学用符号来区分，方法虽然不同，道理却没有差异。我们清朝康熙年间，西方来的牛顿、莱布尼茨两位学者，又创立了微分和积分两种方法，它们的方法也借助于代数，其道理确实揭示了千古未有的奇妙奥秘。代数学用甲、乙、丙、丁等字代表已知数，用天、地、人、物等字代表未知数；微分和积分用甲、乙、丙、丁等字代表常数，用天、地、人、物等字代表变数。其道理的大要，凡是线、面、体都假设为由小逐渐变大，一刹那中所增加的积，就是微分；它的总积就是积分。所以积分逐层分解为无数微分，合并无数微分仍然成为积分。其方法的大要，总是假设纵横两个方向，用“天”代表横向，用“地”代表纵向；用“dx天”代表横向的微分，用“dy地”代表纵向的微分。凡是代数式都用方法求出它的微系数，系在“dx天”或“dy地”的左边，作为一切面体的微分。所以一切面体的微分与纵横的微分都有比例，而层层求出微系数，可以得到面体级数曲线的各种特殊点，这叫做微分术。既然有了面体的微分，就可以反过来求出它的积分；而最神妙的是，凡是同类的题目都有一个公式，而每个题目又各自有一个基本式。公式中通常兼有“天”和“地”，或者兼有“dx天”和“dy地”，只要求出基本式中“天”与“dx天”相同的数，或者“地”与“dy地”相同的数，代入其中，再求出它的积分，就得到了本题的总积，这叫做积分术。由此，一切曲线所包围的面积，曲面所包围的体积，过去所谓没有方法计算的，现在都有了方法；一切求弧长、由弧长求其他量、真数求对数、对数求真数，过去视为极其困难的，现在都变得极其容易。唉！算术到了这个地步，真是登峰造极，无以复加了。罗密士先生，是美国的数学名家，他把代数、微分、积分三种方法合编为一书，分条列项设置题目，清晰如眉毛排列，对后学的恩惠很大。伟烈亚力先生听说后认为很好，急忙购买寻求这本书，请我共同翻译并在中土发行。伟烈先生的功劳，难道在罗先生之下吗？这本书先讲代数，次讲微分，再次讲积分，由易到难，像台阶一样逐渐升高。翻译完成后，就命名为《代微积拾级》。当时是《几何原本》刊行之后的一年。

《谈天》序

李善兰

西方谈论天文学的人说：“恒星和太阳不动，地球和五大行星都绕着太阳运行。所以一年，是地球绕太阳一周；一昼夜，是地球自转一周。”议论的人说：“认为天是静止的，地是运动的，动静颠倒，违背经典正道，不可相信。”西方人又说：“地球和五大行星以及月亮的轨道都是椭圆，而且经过的时间相等，那么所扫过的面积也相等。”议论的人说：“这是假象。用本轮均轮推算而符合，就假设它的现象是本轮均轮；用椭圆面积推算而符合，就假设它的现象是椭圆面积。其实不过是借用来推算，并非真有这种现象。”我认为议论的人不曾精心考察，而拘泥于经义，妄加议论，非常没有意义。古今谈论天文学的人，没有比孟子更好的了。如果寻求“求其故”这句话的含义，西方人大概是善于寻求原因的。旧法中火星、木星、土星都有岁轮，而金星、水星则有伏见轮，同为行星，为什么运行方法不同？哥白尼寻求原因，才知道地球和五大行星都绕着太阳，火星、木星、土星的岁轮是因为地球绕太阳而产生的，金星、水星的伏见轮则是它们本来的轨道。由此五大行星的运行都归于一个规律。然而它们绕太阳并非平行，古人加一个本轮推算，不符合又加一个均轮推算，推算月亮甚至加到三轮、四轮，然而仍然不能完全符合。开普勒寻求原因，才知道五大行星和月亮的轨道都是椭圆，它们的运行方法中面积与时间恒有比例。然而都只知道它应当如此，而不知道它为什么如此。牛顿寻求原因，则认为这都是力学原理。凡是两个球体在空中环绕运行，必定共同绕着它们的重心。而太阳的质量很大，五大行星和地球都很微小，它们的重心与太阳中心很近，所以绕重心就是绕太阳。凡是物体在空中直行，有其他力量从旁边施加，物体就绕着力量的中心运行；而物体直行的速度与旁边力量的大小恰好符合圆周率，那么环绕运行的轨道就是圆周；稍微不符合就总是椭圆，只是经过时间相等，所扫过的面积也相等，与圆周相同。现在地球和五大行星本来在空中直行，太阳的吸引力施加于它们，它们的运行与力量不能恰好符合圆周，所以都运行在椭圆轨道上。由此定论如山，不可动摇。又用距离太阳的立方与周期平方的比例，以及恒星的光行差、地球轨道半径视差来证明，地球绕太阳运行更加可信；用矿井中坠落的石头来证明，地球的自转更加可信；用彗星的轨道、双星的相互环绕，大多符合椭圆来证明，地球和五大行星以及太阳运行在椭圆轨道上更加可信，我和伟烈先生所翻译的《谈天》一书，都主张地动和椭圆说。这两个原因如果不明白，那么这本书就不能阅读，所以先详细论述。

《谈天》序

伟烈亚力

天文学，它的渊源深远了。太古时代，已经知道耕种，每

译观察天星以确定农时。而靠近赤道的各个游牧国家，气候炎热，多在夜间放羊，因此借以观察天象。其间曾向上考证那些有文字记载的国家，自从有了书契，就记录天文。如《旧约》中屡次提及天星，希腊古史也是如此，而中国《尧典》也提到中星，历法家据此确定岁差。此后积累观测、反复推算，到汉代太初三统历，确立了七政统母等数值，从此一代比一代精密。到了郭守敬的《授时历》术法，已经完美完备，只是观测仪器不够精密，得出的数值不够严密，这是它的缺陷。中国谈论天道的有三家：叫浑天说，叫盖天说，叫宣夜说。然而它们推算历法，只讲数值不讲天象，而西方国家从古至今，总是依据天象来确立法则。从前多禄某（托勒密）说地球居于中心，外面包裹着诸天，层层硬壳，他的学者又创立了本轮、均轮等天象，法则极其繁杂。后代观测天象的仪器更加精密，得出的数值更加严密，往往与多氏的说法不合。哥白尼于是创立新法，说太阳居于中心，地球和各行星环绕它。第谷虽然讥讽他不对，但常常得到确切的证据，人多相信他。等到开普勒推导出三条定律，哥白尼的说法才成为定论。然而开普勒只说明了它应当如此，到了牛顿进一步推求它之所以如此的原因，他的学说更加不可动摇了。地球很大，统辖四大洲，计算一下能遍历其表面的人，没有几个。然而地球只是行星之一，而且不是最大的。计算环绕太阳的小行星有五十多个，大行星八个，其中最大的体积能容纳一千四百个地球，次之的能容纳九百个地球。假如把五百个地球平排，土星的光环能覆盖它们。而各行星又有月亮环绕，总计各月亮共有二十多个。假如把所有行星及月亮的体积加起来，不及太阳体积的五百分之一。太阳的体积能容纳六千万个月亮，可以说大到极致了。而恒星从天上看，也不过只是一个点。假如人能像最快的子弹一样在空中飞行，也需要四百万年，才能到达最近的恒星。所以眼睛能看到的恒星，最小的可以与太阳相比，大的或许超过太阳数十万倍。恒星多到不可计数，秋冬晴朗的夜晚，抬头仰望九霄，眼睛能看到的约三千颗。假如一颗恒星算作一个日，各有行星环绕它，其行星数量当不少于十五万。况且恒星又有双星及三星、四星等，那么行星的数量应当更不止于此。然而这只是谈论眼睛能看到的恒星罢了。古人谈论银河，都说那是气。近代望远镜出现，知道那是无数小星。望远镜视野内已经测见的星，比肉眼在普天空能看到的星多两万倍。银河一带假如都像望远镜所测的一个视野那样，其数量应当有两千零十九万一千颗。假如一颗星算作一个日，各有五十颗行星环绕它，那么行星的数量应当有十亿零九百五十五万颗。想必都有动植物，像我们的地球一样。伟大的造物主，其力量的神奇，能力的巨大，真是不可思议。而用更精密的望远镜观测，知道银河也有界限，并非布满虚空。而其界限外另有无数星气，想必银河也是一种星气。无数星气实际上就是无数银河。我们所居住的地球，在本银河中，因为近所以觉得它大；在别的星气外，因为远所以觉得它小。星气已经测得的有三千多个，想必其中一定有比我们的银河更大的。起初人们怀疑星气是未成星的物质，等到罗斯伯的大望远镜制成，才知道也是无数小星聚集而成。而更看见无数星气，则也只觉得像气，不能辨认为星的聚集。假如将来望远镜更精密，现在所见的都能分辨，恐怕还会看见无数遥远的星气，仍然不能分辨。这样层层推演，不可思议。运动法则也是如此。月亮环绕行星，行星环绕太阳。近代有人说太阳率领各行星又环绕其他恒星，与双星相同。那么怎么知道各双星不又共同环绕一颗星，而所环绕的星不又环绕别的星呢？这样层层推演，也不可思议。伟大的造物主，神妙到这种地步，浩荡啊，百姓无法用言语形容了。

译割圆八缀术序

左

学术八类，文学四类附于算学

圜率考真图解跋

曾纪鸿

从前阅读古今人的数学书籍，没有不谈论割圆之难的。《数理精蕴》中所记载的圆周率，与西方人固灵所求得的三十六位数字相同，都采用内接和外切多边形，屡次开平方的方法。想要求得这三十六位的圆周率，不下数十年的工夫，也是极其艰难的。后来有泰西人杜德美特立，创立了屡次相乘、屡次相除的方法，省去了开平方，比起旧方法来稍为快捷。然而秀水朱君小梁，用他的方法去求四十位的圆周率，只有二十五位没有错误，其后十五位全部错误，足以见得繁杂深奥，容易混淆错乱。果臣先生嘱托纪鸿等人凝神构思，幸而创制了这种巧妙的方法，收敛速度极快，按照等级推求，一目了然。近来精于算法的人，探究事理的功夫多，演算数字的功夫少，反而觉得不切合日常应用。如今左君壬叟、黄君玉屏，竟然用这种方法推得各弧背的真实数值，多达百位，或许可以平息各家关于圆周率的争论，而为古代困于圆周率的人提供一个可靠的依据。

对数序

刘彝程

没有人不知道对数的用途，世上也不缺乏求对数的书籍，何必等待后来再有论述呢？然而这本书不能不写的原因，主要有两点：其一，自古以来求对数的人，求一个对数只能得到一个对数，现在想出一个方法，求一个对数可以同时得到两个对数。大概以前用开方第二术求大于本数的对数比较容易，正负相间的诸数都是正的，即为小于本数的对数比较；以前用开方第三术求小于本数的对数比较容易，诸数都是正数的为正负相间，即为大于本数的对数比较。用这种方法求各种对数，以便建立对数表，比起前人的各种方法不是更加快捷吗？这是第一卷重要的原因。其二，近来西方书籍求对数，半数比较其方法颇为快捷，而创立法则的根本不详细，偶尔用开方的道理去推究，才知道也是开方的方法，只是这个开方与以前开方各种方法不同，大概是用中间方根求大小两个方根半比较的方法。于是从平方到无量数九乘方，各自用率数阐明，无不显然一贯，而开方的说法可以据此作为定论无疑，这是第二卷重要的原因。至于这本书中逐事逐节阐发精微、揭示隐奥，对于对数的道理都感觉并非小补，然而与最重要的要点相比，则还是次要的事情了。

论对数根

刘彝程

第一问

问什么是对数根？答：命单一一下带无数空位零一之数为方根，求得它无量数九乘方的积为真数。其次放置方根零数，即零一之一，用一个无量数乘它，得到单一为真数的自然对数。由自然对数求得定准对数（常用对数），即是对数根。方法以十的自然对数为首率，十的定准对数单一为中率，求得末率为对数根本。大概十的自然对数与十的定准对数单一之比，如同以单一为自然对数与其定准对数之比，而这所得的定准对数用来乘一切方根零数，可以得到一切数的定准对数，因为它是一切对数的来源，所以叫对数根。

第二问

问用对数根乘一切数的方根零数，而得到一切数的定准对数，其道理如何？而且求一切定准对数，除了对数根，还有别的方法吗？答：一切数的方根零数，既然是一切数的自然对数，那么放置本数的方根零数，任意用若干数的定准对数乘它，用若干数的自然对数除它，必定得到本数的定准对数。然而这种方法必须一乘一除，不如只有乘法没有除法，或者只有除法没有乘法那样方便。有乘无除的，以用对数根为乘法是也；有除无乘的，以用十的自然对数为除法是也。大概自然对数单一，与定准对数、对数根本之比，同于一切自然对数与一切定准对数的比，而所适宜放置的一率是单一，可以省去除法，适宜以单一为一率，对数根本为二率，一切自然对数为三率，求得四率即为一切定准对数。所以用对数根本乘一切方根零数，即得到一切定准对数。又十的自然对数与十的定准对数的比，同于一切数的自然对数与一切定准对数的比，而十的定准对数是单一，可以省去乘法，所以用十的自然对数除一切方根零数，即得到一切定准对数。（位数少的数）乘法便于除法，（位数多的数）除法便于乘法，似乎以十的自然对数为除法，比较以对数根本为乘法更为方便。十的自然对数与对数根本都是位数多的数，然而乘除方根零数乃是乘除于得数之后，得数即是方根。乘除所借用的根单一为乘根，在第一数之前，第一数即是连比例的第一数，乘除于后与乘除于前原本没有多少差异，那么与其用十的自然对数除方根零数，哪里比得上用对数根本乘借根单一那样方便呢？这就是求对数的人总是将对数根本作为第一数实数的原因。将对数根本作为第一数的实数，就如同用对数根本乘单一一样。

第三问

问

译问：求对数根，共有几种方法？答：旧法以十为底数，连续开五十四次平方，然后以方根作为真数，以方根的零数作为自然对数，以单一折半五十四次作为定准对数，将单一乘以定准对数，再除以自然对数，得到对数根，这是第一种方法。戴氏以十为底数，先连续开三十一次乘方作为用数，然后用用数开九次无限乘方，求得方根的零数，用三十一次乘方的廉率乘以它，即乘以三十二，得到十的自然对数，用十的自然对数除以定准对数单一，得到对数根，这是第二种方法。李纫叔氏以二为底数，求得自然对数，乘以三，得到八的自然对数，又求得四与五的自然对数差，命名为八与十的自然对数差，因为四、五与八、十的比例相同，所以对数差也相同，将其加到八的自然对数上，得到十的自然对数，然后用十的自然对数除以单一，得到对数根，这是第三种方法。旧法极其繁琐，不可作为准则，戴、李二人的方法因为十的自然对数不能直接求得，所以一个借用用数来求，一个分两次来求，都是极好的方法。

译第四问

又问：“求对数根，另有方法吗？”回答说：“无论用多少数的自然对数去除本数的定准对数，都能得到对数根。既然用对数根乘以各自然对数，就能得到各定准对数，那么用各自然对数去除各定准对数，必定能得到对数根。但是，各数的自然对数与定准对数，很难同时具备。比如二，可以得到自然对数，却得不到定准对数；十的平方根，可以得到定准对数，却得不到自然对数。试着想想什么数能同时得到自然对数和定准对数，就能得到对数根了。”我曾在戴法、李法之外，另外创立了两种方法。这两种方法与戴法、李法相比，也大致相似。前一种方法与戴法相似，后一种方法与李法相似。这种方法任意选取略大于1的数，都可以作为求对数根的凭借。明白了这一点，然后才觉得求取的方法途径很宽广，不是单一格式所能限制的。方法如下。

一、任意选取略大于1的数作为借根，反复自乘直到比10略大或略小为止，作为借积。以10为本积，看借根反复自乘了多少次，就用10开多少次方得到数，即十的若干次方根。接着用这个方根作为本数，用若干次方的廉率去除十的定准对数。1是本数的定准对数，再从本数求得自然对数，然后用自然对数去除定准对数，得到对数根。

假如任意选取1.1作为借根，自乘得到1.21为平方，用平方自乘得到1.4641为三次方，用三次方自乘得到2.14358881为七次方，用七次方自乘得到4.5949729863为十五次方，又用七次方乘它，得到9.849732675为二十三次方，这种方法比用1.1累乘二十三次略快，看二十三次方的数与10相近而略小，于是用这个数作为借积，10作为本积，求十的二十三次方根，方法是用借积减去本积，得到1.5267325为屡次乘法，10为屡次除法，放置借根1.1作为第一数，乘法乘第一数，除法去除它，得到1.6529458，用廉率24去除它，得到6.887253作为第二数，除法去除它，得到1.3493，用25乘它，48去除它，即廉率加1乘它，2倍廉率去除它，得到5.394作为第三数，乘法乘第三数，除法去除它，得到8.1，用49乘它，72去除它，得到5.51作为第四数，乘法乘第四数，除法去除它，得到8，用73乘它，96去除它，得到6作为第五数，各数相加得到1.16941714为十的二十三次方根，以上使用开方第一术。

接着用十的二十三次方根作为本数，用廉率24去除十的定准对数，得到4.16666667为本数的定准对数。仍然用开方术求本数的自然对数，方法是用1作为借积，即为屡次除法。用借积减去本数，得到1.6941714为较积，即为屡次乘法。放置借根1，借积1，借根必定仍为1，用乘法乘它，除法去除它，得到1.6941714。合用一个无穷小去除它，现在不除，寄作为分母，即为第一数。正本系第二数，因为只求方根零数，所以直接用第二数作为第一数。乘法乘第一数，除法为1，除与不除无异，所以可以省去，得到1.1393161。又用1乘它，2去除它，1乘2除与一个无穷小乘2个无穷小除相等，得到5.696581作为第二数。负乘法乘第二数，得到5.1485，又用2乘它，3去除它，得到3.43233作为第三数。正乘法乘第三数，得到3.42685，又用3乘它，4去除它，得到2.5714作为第四数。负数如此求得2.74作为第五数。正数1.738作为第六数。负数1.5作为第七数。正数1.3作为第八数。负数1作为第九数。正数各正数相加，各负数相减，得到9.5941456。合用一个无穷小乘它，因为第一数已寄一个无穷小作为分母，是这个数已为一个无穷小与方根零数相乘的数，所以即为借积与本数的对数差。又这个对数差合加上借积的对数为本数的对数，而借积系1，无对数可加，各数之中只有1无对数，所以这个对数差即为本数的自然对数。放置本数的定准对数4.16666667，用自然对数9.5941456去除它，得到4.34294482，即对数根。以上使用开方第二术。

一、任意选取略大于1的数作为本数，求得自然对数，接着用本数反复自乘直到比10略小或略大为止，再求得此数与10的自然对数差，接着放置先前所求自然对数用反复自乘的次数加1乘它，用后所求自然对数差加上它，得到10的自然对数，然后用10的自然对数去除10的定准对

译数，单一，得对数根。

译假如任意取一个数作为本数，求它的自然对数，方法是用1作为借积，这就相当于进行多次除法；用借积减去本数，得到1作为较积，这就相当于进行多次乘法。设置借根为1，降低一位，多次乘法和除法都相当于一次乘除所得的数值，只是降低一位而数值不变，所以用降低一位来代替一次乘除。得到1作为第一个正数，这里寄母及得数之后，不再用无限数相乘的说法，前面都已经讲过了。设置第一个数降低一位，乘以1，除以2，得到0.5作为第二个负数。设置第二个数降低一位，乘以2，乘以3，得到0.333333作为第三个正数。设置第三个数降低一位，乘以3，除以4，得到0.25作为第四个负数。像这样求得0.2作为第五个正数，0.166667作为第六个负数，0.142857作为第七个正数，0.125作为第八个负数。所有正数相加，所有负数相减，得到0.953118作为11的自然对数。以上使用开方第二术。

接着用11连续乘方23次，得到9849732675作为11的23次幂，看这个数与10相近但略小，于是把这个数作为小积，10作为大积，再次开无限数9次方，求大小两积的对数差的方法。设置大积自除得到1作为大借积，用大积除以小积得到9849732675作为小借积，用大借积减去小借积得到15267325作为较积。然后用较积除以小借积得到600554867，第二位是单数，所以标记为多次除法，合并较积作为乘法，小借积作为除法。现在用乘法除以除法作为除法，那么多次乘法就可以省去了。设置大借积的根为1，用除法去除它得到1525598作为第一个数，正除法去除第一个数乘以1，除以2得到116375作为第二个数，负除法去除第二个数乘以2，除以3得到1184作为第三个数，正除法去除第三个数乘以3，除以4得到14作为第四个数。负第一个数与第三个数相加，用第二个数与第四个数相减，得到151478作为大借积与小借积的自然对数差，也就是大积与小积的自然对数差。大小两借积都寄大积除法为母，同一个寄母则与原大积、小积的比例仍然相同，比例相同所以对数差也相同。接着设置11的自然对数，用23次幂的廉率24乘以它，也就是用累乘的次数加1乘以它，得到228744432作为小积的自然对数，加上大小两积的自然对数差得到2325852作为10的自然对数。设置标准对数1，用10的自然对数去除它得到434294482，这就是对数根。以上使用开方第四术。

代数术序

华蘅芳

《代数术》二十五卷，是我与西方人士傅兰雅共同翻译的。傅君本来精通这门学问，我也大致明白算法，所以傅君口述，我记录，一天几千字，不嫌其艰苦，经过两个月才脱稿，抄写付印，经过一年才完成。于是展阅一遍并为之作序说：数的名称始于1，终于9，所以到10就进位，但仍然用从1到9的数字名称来称呼；到100又进位，仍然用从1到9的数字名称来称呼，像这样直到千万亿兆，其规律是一样的。古人创造数字时，之所以一定要以十为纪，实在是因为数的多少可以无穷，如果每个数都给它一个名称，那么我们的名称必定有穷尽的时候，而且杂乱无序，将无法记忆，不如极限于9，而用十进位，那么举手示意，屈指记忆，即使是愚笨的人都能做到，所以便于民生日用，流传数千百年至今不变。看那市场贸易的地方，百货罗列，精粗美恶，贵贱不同，那么它们的数量就不同；多寡长短，大小不同，那么它们的数量又不同。凡是想要用自己拥有的东西交换自己没有的东西，必定要拿着算具计算，他们斤斤计较的，无非是数量。假如有人说我可以用其他方法来代替这些数量，天底下谁能相信呢？实在是因为乘除加减不过是举手之劳，顷刻之间就能得到结果，没有深奥难明的道理在其中，本来不需要借助代数。只是数理幽深，最耐探索，数学家演算，务必阐明精微，于是题目设置得越来越难，布算越来越繁，甚至经过十天半月不能完成一个数的计算，而且所求的数往往混杂隐匿于各个数之中，其原理也迂远而不易明白。如果每件事都设置一个题目，每个题目都确立一种方法，枝枝节节地去做，方法之多将不可胜计，仍然不足以穷尽数理的变化，那么不如任凭数理的万变，而我确立一种通用方法来驾驭它，这就是中法的天元，西法的代数所由产生的原因。代数的方法，其已知和未知的数都用字母代替，而乘除加减各有记号作为区别，可以随着题目的曲折而相应变化，等到层次累积已经明白，阶级已经显现，就把所代替的数代入，所求的数就出来了，所以可以节省算学的工夫，心里也比较轻松，因为可以不借助思索而得到结果。虽然，代数的方法确实简便了，确实便利了，试问精通这门方法的人难道能不生病吗

译这繁琐吗？那又做不到。人的用心，是日日进取而不停止的，只要不陷入昏花迷乱，就一定不肯中途停止。所以起初是因为繁琐而追求简捷，等到已经简捷了，必定会进一步深入，从而又遇到繁琐。即使迭代几十次，难道能避免吗？由此可知，代数的用意，是作为数学中探索深奥隐秘的工具，而不是为浅显近便的算法而设立的。如果对于像米盐那样琐碎繁杂的事情，都一概想用代数来处理，没有不被市井商人所耻笑的。至于代数与天元术的异同优劣，读这本书的人自然能够明白，不需要我再多说了。

译论四元相消之理

汤金铸

四元术的著作，现今留存下来的，以元代朱汉卿的《四元玉监》最为古老。然而四元术实际上是由天元术推广而来的，而天元术则在宋代秦道古的《数学九章》、元代李镜斋的《测圆海镜》和《益古演段》、郭邢台的《授时历草》中都记载了其方法，如今这些书都还存在。唐代王孝通的《辑古算经》中所确立的各种算法，大多与天元术、四元术所推演得到的相同，怀疑也是依据这些方法而作的。考察《九章算术》少广章说：“借一算作为法，逐步推演”，这似乎就是设立天元一的起源。虽然天元术是凭借“借一”而建立的，但所借的仅仅是一个，用途还不够广泛，所以推演扩展为四元术。而四元术的方法，全都以方程术为基础来运用。大概天元、地元就是方程中的一色、二色，而今式、云式就是方程中的一行、二行。所以方程每多一色，就必须多一行，就像天元术每多一元，就多一式一样。四元的相消，与方程的互乘对减没有区别。方程对减一次，去掉一色从而省去一行；四元相消一次，也去掉一元从而省去一式。那么，对减是方程的枢纽，而相消实际上是四元的关键。相消原本与常规方法的相减没有不同，但道理却有差异。因为相减时数字有大小之分，就会有相减后剩余的数；而相消必须两个数参差相等，相消后成对的数就剔除，不成对的数列为正负保留，所以得到的结果必定正负相当而等于无数。天元术、四元术如此，方程术也是如此。相消法，设立一元时，必须得到两个相等的积进行相消。遇到寄左的数需要开平方才与另一个数相等时，即另一个数等于寄左数的平方根。所以用另一个数自乘，就与寄左数相等。因为自乘必定没有奇零，开方数常常除不尽，所以用这种方法来贯通。或者遇到寄左的数应当用某个数去除才与另一个数相等时，即另一个数比寄左数小若干倍。就用这个数乘以另一个数，使其变大若干倍，就与寄左数相等。因为积常常不能直接相除，所以用这种方法来贯通。两个数既然相等，就可以消为一行，得到开方式。如果设立二元，既然有两个积相消而得到一个式子了。然而式中又有两个元的和数或差数，那么两个元仍然无法确定。所以必须再求两个积相消而得到另一个式子，然后用这两个式子相消得到开方式。其方法是将得到的两个式子左右排列，用右式最左边的一行乘以左式，用左式最左边的一行乘以右式，那么两个式子最左边的一行必定相同而相消必定尽净，就像方程的互乘对减，必定减去最上面的一层一样。知道它必定尽净，所以不必相乘，也不必相减，这是为了节省计算。像这样屡次相乘屡次相消，直到消剩下一行为止，即为开方式。如果遇到两个式子中左边的数，那个比这个大若干倍的情况，可以用约率来求，不必互乘。因为互乘是为了齐同，现在这个既然比那个小若干倍，那么依照若干倍来调整，就与那个齐同了。遇到两个式子的行数不同，比如左式有三行，右式只有两行，就用右式向左移一行来相消。能够向左移的，就像用地元一乘以它一样。遇到层数高低不同的，也是如此。比如右式有数在太上一层，左式在太下一层才有数，可以让右式降下来跟随它，或者让左式升上去跟随它。能够任意升降的，就像用天元一除以它，或者乘以它一样。如果设立三元，就可以任意升降，但不能任意左右移动。因为地元和人元互相牵制。必须消去人元或地元，才可以任意左右移动。设立四元则牵制更多，升降和左右移动都不能任意进行。必须消去天元或物元，才可以升降；消去人元或地元，才可以左右移动。所以三元、四元的方法，遇到行数和层数不齐整的情况，必须用剔消法来驾驭。剔消的道理，因为各式的数字既然正负相当，那么任意用一个数乘以它，或者除以它，其相当性固然不变。即使将这个数任意分为二，各自相乘再相减所得，仍然相当不变。所以三元法遇到各式行数多少不齐整，就将行数少的式子直接剔分为二，各自相乘而相消，那么原本作为元的数，可以增加为面体及高次幂，就可以与行数多的式子相消了。四元法遇到各式行数和层数都不齐整，就直接剔分一个式子，使行数少的增加为行数多；又横向剔分一个式子，使层数少的增加为层数多，也可以与行数多、层数多的式子相消了。至于旧法，天元和物元相乘，地元和人元相乘，得到的数都记录在夹缝中。式中有这样的数，就查看它是由什么数相乘得到的，就用那个数去除而去掉它。如果不能整除，就乘以其他式子来齐同。凡此种种，都不超出通分齐同的意义，而能充分发挥相消的作用。

正负相当，等于无数，那么任意用数乘以它，除以它，或者自乘开方，或者剔乘相消，必定仍然相当而等于无数。作者用这个来解释相消的道理，实在是因为对四元代数贯彻纯熟，所以说话必定切中要害。

九减法及任用他数减试说

沈善蒸

检验乘除的错误，旧传除了九减之外，三、四、六、七、八都可以作为减试的方法，只有一、二、五不可用，因为乘除的错误常常相差一、二、五等数。梅氏算书中只有九减、七减两种方法，因为使用其他

译论海洋深浅之理

沈善蒸

依据重心的原理来推论，大西洋必定比太平洋深，赤道以北的海洋必定比赤道以南的海洋深。为什么呢？凡是地球的吸引力并非仅由地心产生，而是地球整体各个质点都具有吸引力，各点相互吸引，其力量必定汇聚于公共重心。这就好比一个重物，各个质点都有重量，而重心必定归于一点。凡是万物具有重力，都是由于地球吸引力所致，而重力与吸引力原本不是两样东西，所以吸引力的中心就是重心，毫无疑问。因此，地面上有物体坠落，必定朝向地球的公共重心，而海面始终与从重心到地面的半径线保持垂直，所以重心也就是球心。又因为地球以两极作为轴，每天向东旋转一周而产生离心力，所以北半球的垂线都朝向重心但略微偏向南方，垂线也就是悬挂的线；南半球的垂线都朝向重心但略微偏向北方，只有赤道和两极地方的垂线才直直地朝向重心，因此地球是略微扁平的形状。现在查看地图，北半球的陆地多于南半球，如果假设海洋的深浅大致相同，那么北半球的地质就多于南半球，这是北半球重而南半球轻，其公共重心必定偏向北半球，海水也会随之向北移动，于是北半球的低地淹没成为海洋，南半球的浅海变成陆地，怎么能形成现在的形状呢？以我的推测，北半球的海洋应该比南半球的海洋深一倍，所以北半球虽然洋面较少，但凭借深度来弥补，仍然不算少；南半球虽然洋面较多，但凭借浅度来抵消，仍然不算多，于是两个半球的地质轻重相等，而重心也没有偏向北方的趋势，这才能够形成现在的形状。大西洋应该比太平洋深的道理也是如此，不知道这个论断是否正确？必须向西方测量海洋的专家请教，用实际测量来验证，才可以自信。如果并非如此，必定是因为地质有疏松和致密的区别，北半球地质多而疏松，南半球地质少而致密，也能使轻重相等，从而使重心不偏向一边。

质点

韩应陛

欧洲人的光学理论说：“物体的微小部分，人也能分割，但不能达到不可分割的地步。”我认为人不能分割，并不是物体不可分割。用几何学的道理来说，物体虽然大，合并它可以达到无穷；虽然微小，分割它可以达到无穷。这是尺规测量的说法。而认为物体有不可分割的地步，为什么呢？固体、质点大，水、质点小；水、质点小，气、质点更小。气体中的各类应该再细分，哪类质点大，哪类质点小？九和黍米大小悬殊啊。用圆仓盛放弹丸，用盆盛放黍米。圆仓底部有孔，弹丸就聚集落下，直到圆仓排空才停止；盆底有孔，黍米就聚集落下，直到盆排空才停止。它们落下的形状与水落下的形状没有不同。但是圆仓的孔必定大于弹丸，盆的孔必定大于黍米。圆仓的孔不大于弹丸，弹丸就不能落下；盆的孔不大于黍米，黍米就不能落下。所以弹丸和黍米，用网盛放就会落下，用布帛盛放就不会落下。布帛用来盛水就会落下，陶器算是致密了。用陶器盛水久了水会渗到外面，陶器的孔大，水粒小啊。〇比陶器更加致密了。〇质地较疏松的用来盛水，水不会渗到外面；用来盛油久了油会渗到外面，〇孔大，油粒小啊。水粒的大小大于〇孔，油粒的大小不大于〇孔。据此可知，凡是物质都有质点，质点都有原始尺度，不仅固体、重流体也有。那么也可以由此推知，不仅重流体，轻流体也有。轻流体有质点，虽然没有证据，难道就不能再有其他器具猛烈地测量而知晓它吗？而现在还没有这样的器具可以测量而知晓它。

极说

韩应陛

凡是可论述的事物，有有极限的，有无极限的，有两端都有极限的，有一端有极限、一端无极限的，一端有极限、一端无极限的，这是数，这是度。数始于一，一是数的最小值，不能再减少，所以就把这作为小极限，由此依次增加而达到无穷，这是小有极限、大无极限。度终于三百六十，三百六十度是度的最大值，不能再增加，所以就把这作为大极限，由此依次减少而达到无穷，这是大有极限、小无极限。两端都有极限的，南北极是，几何学的道理也是。几何学的道理始于点，终于体。点不可减少，所以是小极限；体不可增加，所以是大极限。点不但不可减少，也不可增加，假如点可以增加，增加成为线，这是点虽然本来不大，但确实可以使其变大，正因为它不可增加使其变大，所以终于点，终于小，所以是小极限。体不但不可增加，也不可减少，假如体可以减少，减少成为面，这是体虽然本来不小，但确实可以使其变小，正因为它不可减少使其变小，所以终于体，终于大，所以是大极限。这是两端都有极限的。而在几何学中，线加减不脱离线，递减达不到点，递加达不到面；面加减不脱离面，递减达不到线，递加达不到体；体加减不脱离体，递减达不到面，递加减达不到其他形状。这是线、面、体，小也无极限，大也无极限。这是两端都无极限的。而线以两点为界限，即以两点为极限

译然而两端可以牵引至无穷，这说明两端都是无极的。平面以中心一点为心，以线为界；立体以重心一点为心，以面为界。中心是小极，线是大极；重心是小极，面是大极。而平面的中心只有一个，其界限的线依次增加而无穷，依次减少而无穷；立体的重心只有一个，其界限的面依次增加而无穷，依次减少而无穷。这又是小处有极、大处无极，一端有极、一端无极的情况。将物体投入水中，水波层层相生，直至无穷，投入物体的地方是有极的，那层层相生而无穷的是无极的。声音也是如此，发声的地方是有极的，声音逐渐远去而逐渐微弱的是无极的。光也是如此，发光的地方是有极的，光线逐渐远去而逐渐暗淡的是无极的。地球的规律也是这样，地球以地心为极，水附着在土上共同构成一个球体，气又附着在水土上共同构成一个更大的球体。地心吸力极大，逐渐减弱。地心吸力与地质点的滞力作用相反，力量足以相互抵消，力量相等所以保持平衡。距离地心一里的球面，吸力是多少？那么距离地心加倍，即距离二里的球面，其吸力必定减少四倍。为什么呢？因为距离地心二里的球面，必定比距离地心一里的球面大四倍。那么距离地心二里的球面质点的滞力，必定比距离地心一里的球面质点的滞力大四倍。地心吸力施加于地质，依次增加并推进，直到地面，也施加于水，依次波及水面。在地水之上，地心吸力又施加于风气，如果地心吸力不施加，风气就会按照其本性，凭借自身产生的膨胀力，推动各点向四面散开并逐渐远去。地心、地水向心，风气离心，方向相反，地上的气向下，应该产生空隙。现在并非如此，足以证明上述假设是错误的。地心吸力施加于地质，逐渐远去逐渐减弱，直到地面，地面之上又施加于风气，逐渐远去逐渐减弱，直至无穷。为什么呢？地面风气的膨胀力有多少重量，可以测量得知。如果用玻璃方器抽出风气，外面的风气挤压逼迫，方器立刻破碎。试问这个方器如果不使用风气，需要多少力量才能挤压破碎？假设说是十六两，那么风气的挤压力极小，应当不会少于十六两。挤压力和膨胀力名称不同但实质相同，并非有两种含义。从地心到地面一万五千里，根据上述所说，距离加倍就是三万里，面积大四倍，力量减少四倍，吸力与膨胀力成为四两。如果再次加倍就是六万里，面积大四倍，力量减少四倍，吸力膨胀力成为一两。距离依次增加，力量依次减少，增加的数量可以至无穷，减少的数量去多存少，去掉三份存留一份，最终存留四分之一，也自然是无穷。譬如一尺长的木椎，每天取它的一半，万世也不会耗尽；如果不取一半，每天取四分之三，万世之后，最终仍存留四分之一。因此地心吸力最大，逐渐远去逐渐减弱，直到地面，又施加于风气，逐渐远去逐渐减弱，直至无穷，永远没有界限。地心是有极的，那逐渐远去逐渐减弱而无穷的是无极的。所以关于风气界限的说法称，风气越高越稀薄，膨胀力越小，膨胀力能推动各点向四面散开并逐渐远离地心，其方向与地心力相对，这话是对的。至于称膨胀力逐渐变小直到与地心力相等，风气的各点不再推开而有界限的，这种说法是不对的。

译翻译《航海通书》原本

金楷理

本书所列出的日月行星每日的度数，全都依照英国都城外的观象台，地名格林尼治，作为标准，由经度局所测定。该地处在赤道北纬五十一度二十八分三十八秒。凡是日月星辰从正午向西旋转，再回到正午，算作一天。所经历的太阳平时间，日月星辰的多寡各不相同。对于太阳来说，称为太阳日二十四时；对于月亮来说，称为太阴日，大约二十五时弱，即今天过午到明天过午算作一天。对于行星来说，各有行星日；对于恒星来说，则有恒星日二十三时五十六分三秒半弱它们确定时间，全都以太阳平时间为标准。假设太阳是不动的，那么地轴的旋转以及绕日运行，其方向永远不变。月亮和星辰绕日运行，从地心看它们的快慢不一，从而形成各自不同的星日。

测算有平时间、真时间的区别。按照钟表走时，平分的就是太阳的平时间；日晷测时不平分，就是太阳真时间。其道理见《译之航海通书》。

凡是钟表应当照平时间校准，因为真时间是由观测星辰而得到的，平时间则是人为均分的。之所以称为平时间，是为了区别于真时间。

平时间与真时间的比较称为时差，每天正午将所差的数值列成表格。

假设在一千八百七十年正月初一日，在该地测量日心正交正午所得的正午时间，即为该地的真时间。查此时的时差为三分五十一秒四零，依据符号加于真时间，便知道日交正午的平时间为正午三分五十一秒四零。

凡是推算，必须先确定一个地方作为起算的起点。如此表以英国为标准，移用到其他地方，都根据距离该地的远近进行加减。相距十五度，就相差一点钟。假设同一时间，在该地是正午的，其西十五度的地方，还是午初。因为同一时间太阳不能同时处于两个地方的正午。

行船表，即度时表，在该地校准的，无论到什么地方，想知道该地的时间，查表即可得到。验证实际测量，还需要推算其时差，以进行加减。凡是算学家所定的表，应当各自按照其测量地点的正午作为标准。

通常使用以夜半子正开始，到第二天子正结束算作一天，而在正午平分，为午前十二点，午后十二点。本书则以正午开始，到第二天正午结束，经历二十四点算作一天。如通常使用在正月初二日午前七点钟四十九分，本书则为在正月初一日十九点四十九分。其余以此类推。每月月末必须多列出一天，即下月初一的数据，以便于中间比例的使用。

每月第一页所列出的各种数值，是日心正交该地正午时的数值。其赤道经度，从春分点开始记录，太阳距离赤道南北若干度，称为纬度。

若干其他时间，求太阳的赤道经纬度及时差的方法，应当依次在下一行所记的一点较数上求得。表中所列的数值，是正午前后一点中太阳所移动的数值。如果计算其他时间的比较，取距离正午折中的位置，而比较其比较中的比较，视下一日比较数的大小，以区别加减，然后加减于本日比较数内，即为所求时间每点应移动的数值，而与所求时间相乘，即得到其正午后所移动的准确数值，以加本日正午。如果太阳的赤纬度及时差在退行时，则减去本日正午，即得到所求的数值。考察其所列出的每点比较数，是合并上下两日的行分，乃以两日共四十八点归除，即得到下一日的一点较。

假设是年正月十六日在该地四点钟时求太阳的赤道纬度，则查表内十六日正午的一点较为二十八秒七六，十七日正午的一点较为二十九秒七五。两较相减，得到比较中的比较为零秒九九。以二十四点归除，得到每点差百分秒之四有奇。于是以求正午后四点折半为二点，即其中处，与百分之四有奇相乘，约得百分之八。于是视其下一日的较为逐渐变大，故加于十六日一点较数上，总共为二十八秒八四，即所求四点钟时每点应移动的赤道纬度。于是以四点乘之，得一分五十五秒四。查十六日交正午时在赤道南二十度五十五分五秒，看十七日纬度小于十六日，则知道逐渐减少，以减去十六日的纬度，余为南二十度五十三分十秒，即为所求四点钟时的赤道纬度。求经度及时差的方法，都仿照此法。

太阳半径每日过午所经历的恒星时，因太阳距离赤道南北而改变。及半径有大小之别，所经历的时间因此不等。考察其测量太阳过午，必须测量太阳的外环相切于正午，加上此半径所经历的时间而得到日中心过午的时间，故设此表。首页时差表，为真时间改平时间之用。假设是年正月十六日该地真时间为午后三点，求其平时间。查正月十六日时差次行一点较，为百分秒之八百四十四；十七日为百分秒之八百十五。则十六日三点的较应为百分秒之八百四十二。方法见前，以三点乘之得二秒二六，以加十六日时差一分零三秒七五，总共为

译十分零六秒二八。再加上三点，得到三点十分零六秒二八，这就是所求的平时。

译四月首页的时差表，有加法也有减法，十五日之前为加，十五日之后为减，中间用粗线作为标记。每月第二页的表，是该地平均正午时刻太阳的赤道经度和纬度。按照此表，从太阳的黄道经度、纬度及黄道交角等数值计算得出，记录真太阳所见位置距离地球赤道及真春分点的数值。

在任何地方任何时间计算太阳赤道经度和纬度的方法。假设在当年三月初一日，在英国偏西九十八度的地方，平时为二十一点二十分，求太阳的赤道经度。按照偏西九十八度应加上六点三十二分，即为英国三月初二日三点五十二分。查三月初二与初三两日经度的差值为三分四十三秒九五，以二十四点对应三分四十三秒九五，若三点五十二分对应三十六秒八，凡四率比例皆用于比较。若与四字括之以，即一率对应二率，若即三率对应四率，以下仿此以加三月初二的经度二十二点五十二分三十八秒一二，总共为二十二点五十三分十四秒二零，即为所求的经度。如果求纬度，也查初二与初三两日纬度的差值为二十二分五十七秒六，以二十四点对应二十二分五十七秒六，若三点五十二分对应三分四十一秒九，查两日的纬度逐渐减少，从初二日纬南七度九分五十三秒六中减去，得到纬南七度六分十一秒七，即为所求的赤道纬度。如果更追求精细，依照前法求两日每点的差值比例，则更加精密。因为各行星在一日之内的迟速并非均匀分布，必须逐渐改变太阳的半径，因距离地球远近而异。夏至后十余日在其最高点，故半径最小；冬至后十日在其最低点，故半径最大。每日列表如测量太阳的高度，如果测量其上边缘必须减去此半径，如果测量其下边缘则加上此半径，或者测量日月相距的度数，则合并日月两半径以加减之，即得到其中心的距离度数。

第二页，时差表用于将平时改为真时，故其加减符号与真时条目下的相反。两数有微小差别的，乃是时差中应当移动的数值，即时差行。太阳的赤道经度和纬度也相同。

既然有了平时，如加上或减去符号，即得到真时。假设在当年四月初二日，在该地的平均正午时刻，欲求其真时，查此日正午时差表，应减去三分三十七秒七零，从初二日正午减去，即为四月初一日二十三点五十六分二十二秒三 zero，即为所求的真时。又如在该地偏东一百零五度的地方，四月十五日平时为十五点，即十六日午前三点钟时，这是偏东地方平时求真时。偏东一百零五度，应减去七点，即为英国的四月十五日八点。查十五与十六两日时差的差值为十四秒七九，因为一为加一为减，故合并为一日的差值，以二十四点对应十四秒七九，若八点对应四秒九三，而十六为应当加之日，十五为应当减之日，其十五日表内减去后剩余的数值只剩零秒四六，少于应当减去的数值，于是以比例得到的数值反减零秒四六，余四秒四七，符号即变为加，加于十五点，总共得到十五点零四秒四七，为所求地方的真时。

恒星时者，乃是每日该地平均正午时刻，午上赤道经度距离春分起点的数值，乃是太阳平分赤道经度。假设太阳不动，则地轴每日旋转一周，又加上绕日运行的影响，视恒星所居的原点已西移三分五十六秒半。逐日累积，则形成恒星时。

本书所载恒星时，乃是算家常用的表，以明确正午观测时距离春分点偏西的度分秒。恒星时与平点，其差别甚微，故称为真恒星时，而不称平恒星时。如果以太阳有平时，而欲求恒星平时，即太阳的平经度，除以十五，即为平恒星时。恒星真时与恒星平时的差值，十九年中仅差二秒，差别甚微细，故不另立表。算家测量各恒星经度，其表已全部订正无误，本书沿用之。倘若想要变更测量，凡章动的数值，都须改易。

凡是测量以求太阳的平时，即以平均正午的恒星时为准。如果用恒星时求太阳的平时，或者用太阳的平时求恒星时，都用五百零四至五百零七页的等时表查之，即得。假设在当年正月初二日二十一点九分二十四秒零四的恒星时，求该地正午相当之太阳平时。

方法是以现在的恒星时内减去本日正午的恒星时十八点四十七分四十一秒，剩余为本日正午后的恒星时二点二十一分四十三秒零四，检查等时后表，即得到其相当之太阳平时为二点二十一分十九秒八二。盖因恒星时一点对应太阳平时五十九分五十秒一七零四，如果本日午后恒星时二点二十一分四十三秒零四与所求之太阳平时二点二十一分十九秒

译（前文省略），与表中的数据多次吻合。

又如正月初二日二点二十一分十九点八二秒的太阳平时刻，求该地正午时对应的恒星时。

译法则如今有太阳平时，查表得相应的恒星时为二点二十一分四十三秒零四。将此数加上本日平午正时的恒星时十八点四十七分四十一秒，合计为二十一点九分二十四秒零四，即为所求。这是因为太阳平时一点相当于恒星时一点零九秒八五六五。若今有太阳时二点二十一分十九秒八二与所求的恒星时二点二十一分四十三秒零四与表数相符，即加于本日午正时的恒星时即可。

凡进行测算，若地点在该处之西，其平午正时的恒星时，每点需增加九秒八五六五；若在该处之东，则减少，方法相同。

假设在该处偏西九点十分六秒的地方，十五度为一点。求正月初二日平午正时的恒星时，需以一点比恒星时长于太阳平时的差值九秒八五六五来计算。若偏西九点十分六秒对应一分三十秒三七，偏西应增加。将表内是日平午正时的恒星时十八点四十七分四十一加上此差值，合计为十八点四十九分十一秒三七，即为所求。

每月第三页，列出太阳黄道经度，从春分点起算。由于光行有差，故所记经度的真数，为平午正时之数值。

假设以囷为连半径，将四百九十七秒九八与囷相乘，减去余数即为日之经度的真实位置。因光行之差，其过见处较真处滞后。

太阳黄道纬度，乃自太阳中心作一弧，与黄道面相交成直角，其弧度即为太阳黄道纬度。

考察日之黄道纬度，根源于自转。日之本体，推测亦为椭圆。二十六日有余，自转一周，与表内交终的比率恰好吻合，由此领悟而得。

带半径的对数，乃平午正时地心与日心真影相距的对数，即黄道之长半径，也就是日距地心的对数。

以上诸条，为测量日之准则，而行星及彗星的行度，皆借此推测其距日心的位置。求地之经度，须查太阳经度并订正其光行差，即可测算。

光行差表，见二百四十二页《黄道交角等表》内，每十日列一数值，其余详见五百三十二页内。

凡于太阳黄道经度，既得其光行差数值，其章动数值可求之于恒星之位。

月半径者，乃自月心至地心，如同半径。则月之半径，如正切所成的角，如同从地心所见。

地平视差者，乃自地心至月心，如同半径，则地球半径如正切所成的角，如同从月心所见。

凡测见月之外环，而欲求其中心者，可用月半径表。至于地之各纬度，观测月亮求其视差，必以月在地平时最大的视差为比例。因为地为扁球，则随处可以测月，即使高出地平之处，其差亦能计算。故于地面测月，可改为不异地心测月。

两项较中之较，相加共一秒七，折半得到百分秒之八十五，为中较。再以八除之，得百分秒之十一，则所较之差不超过百分秒之十一。

照此细推，视差之差为十分秒之四。

每月第四页，月行黄道经度、纬度之数值，其正交分点处，乃自地心推算，所载表数对航海之人无用。黄道经度乃专为章动而设。盖月之运动，迟速不一，欲于子午两正之外测月之黄道经纬二度，则须比较其秒数，甚有比较至三四次始得其准者。月年者，乃是日月合朔一周之日数。如中历每月日数，月过子午圈者，乃是太阴中心每日过该处上子午的平时，表数仅记十分之一，不再求其细微。依表测月，可定行船经度以推测潮信。至于欲求月出月入之时，亦用此表，而参以半弧表。表中记有○此符号者，乃表明此日太阴不过该处子午圈。月行之数多于日，太阴行一过太阳，尚未及一周。太阳在月行一周之中，故每月有一日不过子圈。

如正月三十日，月行多于日行五十二分三分，即两次月过午时之较。查其上上次过午时，乃在正月二十九日二十三点五分六秒，下次过午则在正月三十一日零点七分九秒。是知中间之一日，月尚未及一周。若日月相距在半周时，每月有一日不过下午。

三百九十页至四百二十八页记月，相近之星表中亦记月在何时常仅过该处午线一次。如三百九十三页记正月三十一日，月仅过上子午线一次；三百九十四页记二月十五日，月仅过下子午线一次之类。

无论何处，欲求月过子午圈之平时。设其地在该处之东者，则以昨日与今日过午时相较；如在该处之西者，则今日与明日过午时相较。乃以二十四点比两次过午之较，若所偏经度化时与所

译校正时，在东边的应当减去，在西边的应当加上。这是因为在东边的地方，月亮必定先经过正午。

译假设在当年正月二十六日午前，在该地以东六十度的地方，求月亮经过子午圈的平时。按照规则，二十六日午前的时刻，对应本书中的二十五日。查得月亮经过该地子午圈的时间为十九点三十六分三秒，与前一天经过子午圈的时间差为五十二分九秒。以二十四点比五十二分九秒，若四点（即六十度经度差对应的时间差），则偏东六十度所变化的时间为八分八秒，从十九点三十六分三中减去。因为偏东所以减去，得到十九点二十七分半，即为所求。假设在同一天再求偏西六十度月亮经过子午圈的平时，则将十九点三十六分三秒与后一天经过子午圈的时间差五十四分三秒相比。以二十四点比五十四分三秒，若四点，偏西经度变化的时间为九分一，加到十九点三十六分三中，得到十九点四十五分四秒，即为所求。

以上算法似乎不够精密，但日常使用，误差也不大，不必过分追求细节。

每月第五页至第十二页所记录的，是每日每点月亮在赤道上的纬度，以及纬度每十分的变化率，其纬度数值、时间数值、地平经度、月出、月入等项目，可以通过各页检算得出。至于表中列出的数值，是从地心推算出来的。

假设在当年正月十二日午后八点四十五分，在该地以东六十度的地方，求月亮的赤道经度。

方法是：将偏东六十度转换为四点，从八点四十五分中减去，得到该地正月十二日四点四十五分。查得当日四点表中的数值为三点二十七分二十八秒八五，五点表中的数值为三点二十九分二十九秒八零。两数相减，剩余二分零秒九五。以六十分比二分零秒九五若四十五分，则对应一分三十秒七一，加到四点表数值上，得到三点二十八分五十九秒五六，即为所求。

求纬度的方法也相同，只是时间差中的差值也不小，因此有每十分纬度的差值。如前所述的时间，求赤道纬度，查得当日四点纬度表，每十分的差值为八十六秒六九；五点纬度表，每十分的差值为八十六秒一四。在四点二十二分半之中，即四十五分的折中位置，其每十分的差值应为八十六秒四八。即将两个差值中的差值用六十去除，乘以二十二分半，从四点下每十分的差值中减去，即得所求。其原理与太阳运行一点差相同。以十分比八十六秒四八，若四十五分钟，则对应六分二十九秒二，查表可知纬度逐渐增加，加到四点表数值上，纬度北十三度五十三分二秒三，得到纬度北十三度五十九分三十一秒五，即为所求月亮的赤道纬度。太阴形状记载在每月第十二页所记的朔望两弦时刻，仅精确到十分之一。月亮的黄道经度与太阳没有距离度，为朔时距离太阳九十度，为上弦一百八十度，为望时二百七十度，为下弦。所列均为该地的平时。

月亮经过其本天最高、最卑两点，是距离地球最远、最近的划分点，其所列表数值，也是该地的平时。

每月第十三页至第十九页为月亮中心与太阳中心及行星、恒星之间的斜距度，是从地心推算的，每日按照该地平午正时起，每过三小时列一个数值。凡是已经测量得到月亮与恒星斜距度的，应当依据表格加上视差并减去蒙气差。因为推算的表数值是月亮与恒星的实际相距度，测量得到的是月亮与恒星的视相距度。对于月亮需要推算月亮的视差，使用太阴高弧视差表，只能将月亮的视高度改为实高度，其斜距弧上实距与视距的差值，须再用三角形计算。因为高弧视差就像高下差，再推算东西南北差，也可以凭借月亮中心与某恒星的实际相距度，依照下面的方法推算其为该地的何平时。诸星自西向东运行，表格以距离月亮最西的星开始列出，直到最东的星为止，西则在月亮的西侧，东则在月亮的东侧。

诸星距离月亮的度数，每三点有差值，即列出其比例对数，用以校准度数，从而得到该地的平时，方法详见后文。

在任何一天任何时刻测量得到月亮与恒星的斜距度，按照前面的方法改为实际相距度，然后查此表，是日月亮与其恒星相距度与所测略近者，取前一个数值相距度与所测度相比，余数求比例对数，见航海表内，减去前一个数值旁边所列的比例对数，余数检比例对数表所对之时分秒，加到前一个数值的时间上，即得该地的平时。比例对数表至三小时，其数值故省一，三小时乘之也。按照这一比例不用对数计算，也容易，以表中前后两距度化秒比历时三小时，若所测距度减前一个数值距度的差值不足减，反减之，与所求的历时恒加到前一个数值的时间上是也。

加月亮与恒星相距度数与前后比例对数的差值，其加减同率，则照前法自然没有谬误。若其加减异率者，欲求该地的时间，另应查一个准数法，详见下文。

一、如前法求。二、查表内某一度数前相近的一个数值或后相近的一个数值，得到两项比例对数相减而得到其差值。三、在第四百九十八页准数表内旁行查时间，即

译首先依照前述方法推算出零时分，然后用所得的零时分在此表中查找，通过比例对数的差值在表的横行中查对，找到与零时分纵横相交处的秒数，这就是所求的修正数。第四，如果比例对数逐渐减小，则加上这个修正数；如果逐渐增大，则减去这个修正数。将这个修正数加减到先前得到的零时分上，就能得到该地的平时。假设在当年正月初十日测得月亮与飞马甲西名星的实际距离为四十四度十九分五十秒，求该地的平时。查得初十日该星表中测得的相距度数在三点六点之间，那么三点就是相近的前一个数值，计算如下。

译三点时，月亮与星星相距四十三度四十五分二十九秒，其对应的比例对数为三千九百十九。

如今实测月亮与星星相距四十四度十九分五十秒。

两次距离的差值为三十四分二十一秒，对应的比例对数为七千一百九十四。

比例对数表所对应的时间为一点二十四分四十一秒，减去余数三千二百七十五。

查阅三点与六点的表格，得知前后比例对数的差值为四十九。再查阅第四百九十八页的准数表，发现一点二十分与计算出的时间最为接近，使用四十九，或者使用四十八也可以。向下查找纵横交叉处的准数为十五秒，因为比例对数逐渐减小，所以将其加到计算出的时间上，作为三点之后的零时，因此求得该地的平时为正月初十日四点二十四分五十六秒。如果不计算准数，经度就会相差三分四十五秒。准数表仅列至一百三十八，凡是遇到比例对数的差值大于此数的，可以折半来查表，查得准数后加倍，道理也是一样的。

假设在该年五月二十一日测得月亮距离飞马甲星，除去视差和蒙气差后，实际距离为三十度零八分零二秒，求该地的平时。

查阅二十一日该星的表数，所测得的距离在十八点与二十一点之间，那么十八点较为接近。前一个数计算如下。

十八点时月亮相距为三十度三十六分三十一秒，比例对数为五千一百五十。

如今实测距离为三十度零八分零二秒。

两次距离的差值为二十八分二十九秒，比例对数为八千零零七。

查表得到的时间为一点三十三分十四秒，减去余数二千八百五十七。

查阅十八点与二十一点的表格，其比例对数的差值为二百五十二，这个数大于一百三十八，所以折半为一百二十六。再查阅第四百九十八页的准数表，侧行中与计算出的零时分相近的是一点三十分。接着查找上方比例对数的差值，第一百二十六行与侧行时分纵横交叉处的准数为三十九秒，将其加倍，因为差数折半查表，所以得到的数加倍为七十八秒。因为比例对数逐渐增加，所以在计算出的时分内减去它，即为十八点之后的零时分。因此求得该地的平时为五月二十一日十九点三十一分五十六秒。如果不计算准数，经度相差十九分半，然而误差大到这种程度，也是很少见的。星星的比例差数越小，测量就越容易，因为月亮朝向星星或远离星星所行的加速，测量加倍准确，而且当比例对数逐渐减小时，必定其本数加大，所以对数逐渐减小，知道月亮运行逐渐远离，测量就较为便利了。比如该年正月二十日午正至三点钟时，土星最容易测量，查阅该日的比例对数仅为二千二百七十，数值较其他星星少，所以土星表从二十日起至二十六日止都容易测算。又如该年七月十六日九点至十二点内，从比例对数来说，容易测量的顺序如下。

第一土星 第二毕宿大星 第三木星 第四娄三

第五火星 第六太阳 第七金星 第八河鼓二

以上这些星星测量不易准确，如果想要验证其是否准确，必须测量多颗星星并进行比较，看其比例对数较小者，或许可以没有误差。按照各条用法，都是测得星星与月亮相距，以推算该地的平时，其使用比例对数的差值求准数一表，是巧妙而快捷的。因为月亮运行斜距迟疾逐渐改变，不可以平行来驾驭，所以再求准数加减，以此来整齐那些不整齐的情况。

每月第十九页，是算学家爱里氏所定，恒星准数是用下页甲乙等号对数及该地十二年星部算出的。西方算学家认为此法精于白水，而爱里氏因此恒用之，因为他不使用加减的符号，方法节省且便利。列如表。

下页也兼列白水，而爱里氏的方法各有其妙处。

假设在该年二月初五日，在该地平子正时，求某恒星距离赤道经度及距离北极度，并岁差、光行差、章动等准数，分点过午的平时者，乃是春分起度的点，每日过该地午时的恒星时，即恒星时当午正中时，分点距离午时的时数，所以此表称为恒星子午正中时。凡是已知恒星时想要求太阳平时，可以使用第五百零六、七页的等时表来计算。每月第二十页，是白水爱里氏恒星准数表，此表表明恒星的真实位置及其中间位置，有方程式或使用乘数，不依据恒星的位置作为众星公共的数值，大概只凭借日月黄道经度、月亮的交点。表内的对数为公共对数，算学家使用它，随着计算一颗星星可以符合方向，按照三百二十九页的表，已经于该地平子正时算合，只有丙丁二号内除二式。

此表与英国皇家天文历算合算，可以得到彼历所记载的恒星位置。凡是历算内未提及的星星，应先计算其与其他星星相合的对数，而后使用甲乙丙丁号内的数值，或者就按照第三百三十页及三百三

译十一页所列的表格，用于推算也是可以的。因为这张表无论对于哪颗星都适用。其中的数值是根据第三百二十九页的方程式计算得出的，举例列于左侧。在此申明使用这两张表的方法，使用星历的人千万不要忘记恒星赤道经度的校正数符号。

译假设在该年二月初五日，平子正时，于该处求取某星赤道经纬二度、岁差、光行差及章动的准确数值。此星即为英国星历第一千六百八十七号之星。

天△为经度准数，黄△为纬度准数值。

旧历数表，此表乃英国星士黑失而氏添入，称有此表可省去天算家查数的繁琐。

分日平时者，谓自春分后所过的平时也。以平午正时为准则，而记录其日的分数。该年正月初一日至三月二十二日，又百万分日的二十一万四千七百五十一，为一千八百六十九年的春分后。自二十一日又百万分日的二十一万四千七百五十一以后，即为本年春分年的始时。因春分年为三百六十五平日，又二百四十二万二千二百十六百万分平日。该年三月二十二日平午正时恰与春分相合，为三百六十五日又二万七千四百六十五百万分日。可知该年三月二十二日又二十一万四千七百五十一百万分日，乃春分年新旧之交也。日分者，即春分年日之总分数。如该年正月十九日平午正时，为三百零三日又一万七千四百六十五百万分日。以此类推，直至三月二十二日春分年终，才将总分数改为二十一万四千七百五十一百万分日。该年三月二十三日平午正时，为七十八万五千二百四十九百万分日。此总分数应加于每日春分时至明年为止。

凡日到平春分时，设在某处午线上，此处的平太阳时恰与春分时相合，周而复始，至明年春分年终日已过某处午线三百六十五次又二四二二一六次，则春分起点又应在别处午线上了。由此可知春分之末，每年必移二四二二一六次，即向西五点四十八分四十七秒四六。该年与明年之间，春分东过经度七十八万五千二百四十九百万分日，即该处西五点九分十四秒四八。

一千八百二十八年，《行海通书》开始附列此表。盖因天下各处仪象台的子午线远近不一，若概以春分时为准，则随处皆可得同一数值的日，而与日行迟速亦无差异。故历家观象论时，不必再详究何处之时。如该年正月初五日，彗星过最卑点，在英国平时为五点四十七分，在巴黎平时为五点五十六分二十秒六，而以春分时刻核之，则俱为一千八百六十九年二百八十日六点二十六分三十二秒九八。盖因两地测量，则有远近不同之数，而春分年乃是天下公共之时也。

凡已得太阳平时而求相合之春分时刻，如在该处相合的平时内加上此日该处平午正的春分时刻，其总数即所求时刻。如前彗星之例，巴黎在该处之东九分二十秒六，于五点五十七分二十秒六内减去九分二十秒六，得五点四十七分，与该处平时相合。加上该处正月初五日春分平午正时二百八十日又二万七千四百六十五百万分日，约其分数即三十九分三十二秒九八点，故当日彗星过最卑点时为二百八十日六点二十六分三十二秒九八点，即一千八百六十九年春分后之时刻也。

一千八百二十八年，《行海通书》附用德比尔氏平黄道经度，以定春分时刻。所定之时，每年长短一致，俱系三百六十五平太阳日又二四二三六四。以后推算太阳，纵使更加精密，此数亦无可更改。嗣后于一千八百三十四年至一千八百五十六年，《行海通书》则改用白塞尔氏平黄道经度，以定春分时刻。其时则每年长短不一。英国星士黑失而氏谓，一千八百二十八年至一千八百三十四年间，应将白、德二家之表不同之数较正。自一千八百五十七年以后，春分年应永定为三百六十五平太阳二四二二一六。若一千八百三十四年至一千八百五十六年的春分年长短，其差甚微，可以不计。因其差最大者，亦不过万分日之二也。

一千八百二十八年起，至一千八百三十四年止，较正白、德二家表数如下。

论年之日数，表列统年日数，自正月初一平午正起，故正月初一为零，而以初二平午正为满一日。论年的分数，此分数乃以万分为一年，而用二百四十二千分日的逐日登记其数，计日加二十七分半，以便利天算家也。

第二百四十二页，列黄道与赤道相交之角度，每十日记其数，记至明年正月初六日止，故于十二月则多六日，为三百

译十七日。这个角度的度数经常改变，这是因为存在中减率，地轴在旋转运动。凡是知道星辰距离这一面，无论是黄道还是赤道有多少度数，就可以依据表格计算出另一面的度数。比如从黄道的经纬度进行计算，可以得到赤道的经纬度；或者从赤道的经纬度进行计算，可以得到黄道的经纬度，就是这样。假如遇到表格上没有列出的日期，而想要求出这一天的交角度数，就用前后所记录的两个数值来求取每日的比例差数，这就是中比例。但是这个差数非常微小，所以平常测量时只取表格内相近的数值来使用。

译太阳的地平视差，是指从太阳中心到地球中心连成一直线，再从地球横向半径的顶端向太阳中心斜射，形成一个最大角，形状如同从太阳中心观察地球一样。此表每十日记录一次，地球中心距离太阳中心越远，这个角就越小。视差的作用，在于让人在地面观测太阳时，可以将数据修正到以地球中心为基准进行推算。

光行差

光线常在地球上流传，又常沿着轨道运行，因此所看到的太阳位置并非其真实位置，真实位置比看到的位置靠前，因此产生差异。差异的数值，表中也是每十日记录一次。凡是已知太阳看到的黄道经度，而要求其真实位置，依据表格加上此光行差，即可得到。如果从地球中心推算某颗恒星的位置，而要求太阳的真实黄道经度，也要加上此光行差。假设今年四月十一日平午正时列出的太阳看到的黄道经度为二十一度二十三分十一秒二，加上光行差二十秒四，得到二十一度二十三分三十一秒六，这就是真实的黄道经度。

岁差

春分点在赤道上后退的数值，即恒星向东移动的数值。每十日记录一次，用来校正平春分的经度。如今年四月十一日真春分之日，看到的黄道经度为二十一度二十三分十一秒二。其中光行差为丁（此处指减去）二十秒四。春分差为丁十六秒八，反过来用┴（此处指加上）此号为加法。加上这两个数值，得到二十一度二十三分四十八秒四，这是四月十一日平春分日的真实黄道经度。减去相合的岁差十三秒八，得到二十一度二十三分三十四秒六，这是四月十一日太阳的真实黄道经度。但这个数值是以今年正月一日平春分开始计算的。

春分差

凡是日月星辰所列的黄道、赤道各种表格，都是以平春分计算确定的。但是平春分点与真春分点不符，因此有春分差。差异的数值，每十日记录在平春分的黄道经度内，减去这个差数，即可得到真春分的黄道经度。

如果所指的某颗恒星，其黄道经度是根据真春分而言的，那么将这个差数反过来使用，即可得到平春分的黄道经度。假设今年四月十一日，真春分所对应的太阳黄道经度为二十一度二十三分十一秒二相合的春分差为丁十六秒八，反过来用⊥法（加法），得到二十一度二十三分二十八秒，这就是此日平春分的太阳黄道经度。

赤道经度的春分差，也照此法推算，即可得到与黄道相交的数值。然而其度数分数，必须通过燮点（交点）计算，变时表、恒星等时，也同此理。

月球正交点的平黄道经度，每六十日记录一次，以平春分计算。如果值表中未列出的零日，可用表末在表之下每日计┬（此处指加上）三分一八，按每日退行数计算。如果想要约算月球将平掩哪颗恒星，也需要此表。

第二百四十三页至二百五十页，太阳的纵横坐标，每日列出该地平午正时，太阳中心与地球中心的纵横坐标，用□〇天、□〇地、□〇人号标记之。○〇天为每日经过真春分，○〇地为赤道面朝向夏至点，○〇人为赤道面交股向北。数学家因为彗星难以推算，所以另外列出此表，变换真春分○〇天、○〇地、○〇人的纵横坐标，而使用今年正月一日的平春分纵横坐标。

第二百五十一页至三百页，是各大行星的表格，将水星、金星、火星、木星、土星以及天王星、海王星分列七张表。其赤道经纬度，都依据该地每日平午正时，从地球中心推算列表，意指恒星中心，如同从地球中心看到的一样。只有天王星、海王星两颗星，每隔四日列表。又各行星的黄道经纬度，都从太阳中心推算，意指恒星中心，如同从太阳中心望见的一样，以平春分记录之。其地球中心的赤道经纬度，有光行差，所以所记录的是其看到的位置。凡是求纬度时，罗盘偏东、偏西，就可以测望金星、火星、木星、土星四星而得到。因为能看到太阳时，也能看到这些恒星。其中金星、木星两颗星，尤其容易测量。行星经过该地午时的平时，也可以借此推算经过其他地方午时的平时。然而也有一日内不经过该地午时的，因为行星日比平太阳日长。行星如同月亮，也有不经过午时的日子，表中以○〇(〇＊)为标记。查今年四月十二日，水星不经过该地午时，是日水星日的开始，早于太阳日二分九，在十二日午时正之前；而其结束则迟于太阳日十分分之八，在十三日午时正之后。所以太阳一周日间，此星不及经过午时。如果按照中法从子正起算，水星无日不经过子午线。

也有一日经过午时两次的，这是因为行星日比太阳日短。因为行星日的开始在太阳日之后，而其结束则在太阳日之前，所以太阳一周日间，行星必定经过午时两次。表中也记录下来，但与月亮不同。因为太阴日恒长于太阳日，而行星有退行时短于太阳日的情况。如今年六月初四日，水星经过该地午时在午时正后一分，再于是日的二十三点五十四分九，即初五日前，再次经过午时。

求行星经过其他地方午时的平时，查前后两日经过午时的较量为行星二十四点中的加速率或减速率，既

译得到这个比率后，再将其与英国的经度相比以求得差值，这个差值称为正数，加到或减于行星经过英国子午线的时间之上。但计算者应当详细审察：如果观测地点在英国的东边，那么所有的加速率意味着行星经过观测地点子午线的时间早于英国；如果所有的减速率意味着行星经过观测地点子午线的时间晚于英国；在英国的西边则相反。

译假设在该年二月初四日午后六点钟进行观测，观测地点位于英国以西三十度处，求水星的赤道经纬度，以及水星经过观测地点子午线时的平时。

方法：偏西三十度，应加上二个小时，即为英国时间二月初四日八点钟，以此计算赤道经度。查得二月初四日水星赤道经度为20°55′35″.95，二月初五日为20°50′53″.81。两数之差为4′42″.14。以24小时比4′42″.14，则8小时对应1′34″.05。查表可知经度逐渐减小，将此数从初四日的经度中减去，余数为20°54′01″.90，即为所求的水星赤道经度。然而每小时的变化率不同，必须再计算差值的差值，方法见日躔篇，得到20°54′00″.58，为所求的赤道经度。

再求赤道纬度，查得二月初四日为南纬13°33′02″.9，二月初五日为南纬13°51′25″.9。两数之差为18′23″。以24小时比18′23″，则8小时对应6′07″.7，加到初四日的纬度上，得到南纬13°39′10″.6，即所求的赤道纬度。再推算差值的差值，应减去7″.9，方法见日躔篇。

求水星经过观测地点子午线时的平时，查得二月初四日，水星经过英国子午线时为23时49分2秒；二月初五日为23时40分9秒。其差为8分3秒。以24小时比8分3秒，则偏西三十度所换算的时间2小时对应7/10分。观测地点在英国之西，且变化率应减小，故从初四日的过午时中减去，得到二月初四日23时48分5秒，即得观测地点水星过午的平时。通常测算不必过于精确，使用此法则不会有太大误差。

第三百零一、二页，记载了水、金、木、火、土、天王这六颗行星的赤道视差、地平视差及半径，每五天记录一次，下方记载了水星、土星的乘数，用于计算极半径，木星、土星的极半径等于赤道半径乘以千分之九百二十七。

第三百零三至三百二十四页记载了五星及天王星、海王星经过该处子午线时的赤道经纬度及每小时的变化数，每隔一天记录一次，用于推算经过其他地方子午线时的赤道经纬度，应推算其与英国相距的度数，用每小时的变化数来求。如果设定的经度在英国以东，则取本日表数与前两日的表数核对其差值；如果设定的经度在英国以西，则与后两日的表数核对其差值。将两项每小时的变化数相减，得到差值的差值，以两天共48小时去除，再以两处相距的经度换算成时间折半取其中数相乘，视下一数每小时的变化数比本日变化数的大小以决定加减，加减于本日每小时的变化数，得到所求时间每小时变化数的准数。再以两处相距的度数换算成时间相乘，即得里差应移动的赤经度。道理与日躔每小时变化数的方法相同，再看下两日赤经度的进退以决定加减，加减于本日经度得到观测地点的赤经度。求纬度的方法仿照此法。

假设在该年三月初二日，在英国以东六十度的地方，求过午时的赤道经纬度。查第三百零四页内，是日水星经过英国子午线时，其赤道经度为21°13′42″.25。每小时经度的变化数为┴（此代数记号，西表作一，译改作减）11″.57。用上法推算得到相距六十度换算成时间时的每小时变化数为11″.54，与┬（减西作十，译改作加）4点相乘得到┬46″.16，从是日英国过午的赤道经度中减去。此逆推而上的方法道理也相同，得到21°12′56″.09，为水星经过观测地点子午线时的赤道经度。再查是日水星纬度表为南纬，以南为┬数16°47′37″.2，每小时变化数为┴28″.5。如上法推算得到准数为┴28″.2，与┬4点相乘得到┬1′52″.8，加到是日南纬度数上，得到南纬16°49′30″.1，即水星经过观测地点子午线时的赤道纬度。

再假设在三月初一日，计算其经度准数应为┴11″.18，纬度准数应为┴24″.7。

凡是观测到行星的环，而想要推算其到达中心的数据，可以使用半径过午时的恒星时表；如果要推算其纬度数据，则使用半径表、地平视差表，以便观测者改正到地心进行推算。

第三百二十五至三百八十九页，记载了一百四十七颗恒星的赤道平经纬度，以该年正月一日午正后千分日的四十八为起算的开端，记载其岁差。其赤纬南北各有记号，仅以北纬为┴，凡是北纬可依符号加减，南纬为┬，在南纬者须反用其符号。

假设在该年五月三十一日求毕宿大星的平赤道经度，查得经度岁差为┴3秒又万分秒之4353，再查五月第二十页末行万分年的分

译在数表中，其三十一日的相合分数为四千一百零七，依照原表加上万分之二十六，得到万分之四千一百三十三，这个数与三秒四三五三相乘，得到一秒四二，这就是从正月一日又千分日之四十八以后到五月三十一日岁差的比例分数。既然有┴号，就应当加在正月一日又千分日之四十八时刻所记录的赤道平经度四点二十八分二十七秒七八二之上，总共得到四点二十八分二十九秒二零二，这就是五月三十一日所求毕宿大星的赤道平经度。又查得赤道纬度岁差为┴七秒六二二，按照前面的方法与万分年之四千一百三十二相乘，得到三秒一五，既然是北纬度，就依照符号加在正月一日又千分日之四十八时刻所记录赤道平纬度北十六度十四分四十四秒一四中，总共得到北十六度十四分四十七秒二九，这就是五月三十一日所求毕宿大星的赤道纬度。

译又如今年六月初三日，求帝星（北极星）的平赤道经度和纬度。查得经度岁差为减万分秒之二千四百八十九。再查六月第二页，该日当年的分数为万分之四千一百八十九。依据原表加上万分之二十六，得到万分之四千二百十五。将此数与岁差相乘，得到千分秒之一百零五。依据符号减于正月初一又千分日之四十八时的平赤道经度十四点五十一分六秒八五二，减后余数为十四点五十一分六秒七五二，这就是六月初三日所求帝星的平赤道经度。

又查赤道纬度岁差为减十四秒七五七，与当年的分数四千二百十五相乘，得到六秒二二，依据符号减于正月初一又千分日之四十八时，平赤道纬度北七十四度四十一分十一秒二三，减后余数为北七十四度四十一分五秒二，这就是六月初三日所求帝星的平赤道纬度。

又如今年五月三十一日，求心宿中心的平赤道纬度，查得其岁差为减八秒三八七，与该日当年的分数万分之四千一百三十三（见前）相乘，得到三秒四七。因为纬度是南度，所以岁差的减号应反用，于是加于所记录的正月初一又千分日之四十八时该星的纬度南二十六度八分二十七秒六二，总共得到纬度南二十六度八分三十一秒九，这就是五月三十一日所求心宿中星的平赤道纬度。每月第二页所载白水而氏的推方表，已在第三百二十九页举例说明，此第三百三十页及第三百三十一页所用的英会星部恒数定星表，也在第五百二十九页内详细说明了其方法。勾陈第一星及第三星并逐日列出表格，其余一百四十五颗恒星皆每隔十日列一个数据，所列的数据都是以该日恒星经过该处午时（子午线）的经纬度。表之上面所列赤道经度的点分数与纬度的度分数，因为一年之中恒星赤道经度出入的数值只相差在秒，所以其大数总计于上端，只以秒数的小余数记在下面，因此其秒数即使有超过六十的，也不便进位收分，仍以秒计算。如第三百四十六页是年十二月十七日屏星第二所见的赤道经度为四点五十九分六十秒四二，实际上则是五点零四二秒。又如第三百四十八页是年十二月十七日厕星第一所见的赤道纬度为南十七度五十四分六十二秒七七，实际上则是南十七度五十五分二秒七。其不可移换大数的原因，限于篇幅而已。

每十日，并列其经纬较数，以便求零日，使用中间比例法。

恒星也有一日经过该处午时两次的情况，倘若遇到该日，也就记录其经纬度两次。如第三百五十四页七月三十日记录，柳宿第五星过午两次。凡是遇到恒星过午两次之日，如果不是表列之日，即在经度上下十日之中间别列小字指出，十日内的哪一日此星过该处午两次。那么太阳日十日内，其星既过午十一次，那么其所记录的较数也应作十一分比例。如第三百四十八页参宿第二星表内，六月初十与二十之间，傍注小字为十三，以说明六月十三日此星过午两次。查表傍较数为秒一二，作十一日分，每日应为千分秒之十一。其十三日的第一次过午为十日内第三次，应用三乘以千分秒之十一而得其较。十三日的第二次过午为十日内第四次，应用四乘以千分秒之十一而得其较。其十四日的过午为十日内第五次。虽然差数止于微小，其理固然是如此。

如欲细算，五极星所见的位数，须寻一个准数。此准数当以代数零求之。

是表记星所见的位，不算准数的原因，是因为星的变率每日约二十六度，所变甚大，所以不记录。只有第三百八十八、八十九两页，对于月的黄道经度，则每度记录。表末申明其方法，正是每日光行差的方程式，记在序内。

第三百九十页至四百二十八页，是近月之星，谓其赤道经纬度距月不远。凡是想要计算地上东西二午的较数，即比较所测见的星与月相距的赤道经度而得到。盖月如不动，则星与月赤道经度的较数，无论何处午，皆可一例相同。只有月常行动，则过二处之午，已经自改其赤道经度。所改度数加于二处的午较数内，即知西边午应移若干度月才至。故知月赤道经度的较数，亦可算东西二午的较数。月明环的赤经度与月中心的赤经度，在过该处的上下午时，表列其数均有“上”字、“下”字作记号，“甲”、“乙”二字记月的左右二环。

星的等数表，即记星的大小的表。其左行，记其日数及十分日的几分。

每隔一点，即十五度，月改赤道经度表。即月过该处午

译这是当时每点所对应的数值。例如，月亮从英东七度半到英西七度半这两处之间的差值算作一点，这一点的移动数值，是从月亮明环的赤经度推测得出的，所以它的半径也常常改变。

译凡是东西两个子午线的经度差不大，即在一二度之间，可以用靠近月亮的恒星来计算。如果经度差很大，即相距十度以上，而想要详细计算其经度，应以东西两个子午线的中间子午线为标准，求出月亮所移动的赤道经度数从而推算出来。如果大约计算月亮明环经过其他地方子午线的赤经度，就用这种方法测量。方法是用英国子午线与测量地子午线的经度差，乘以月亮所移动的经度数，得到的数值根据测量地子午线位于英国的东或西来分别加减，在东方的减去，在西方的加上，然后加减于表内的赤经度，即为测量地子午线上月亮明环的经度。

假设在当年六月十八日，月亮经过英国上午子午线时，其乙明环的赤经度为二十二点四十七分四十七点二四秒，每一点的差值为一百二十四点五秒，求乙明环经过波士顿上午子午线的赤经度。查得波士顿偏东九分二十点六秒，化为千分点之一百五十六，与每一点的差值相乘得十九点四二秒，因为偏东所以减去表内的赤经度，余数为二十二点四十七分二十七点八二秒，这就是乙明环经过波士顿子午线时的赤经度。

凡是其他地方距离英国不太远的，月亮的赤纬度也可以像这样大约计算。只是地偏向东方以及纬度在南方的，都作为负数。即以前例说明：「当月经过英国时，上午赤纬为南十二度三分四十一秒八，每一点的差值为负六百二十三点一秒。此数与千分点之一百五十六相乘，得负一分三十七点三秒。此负数与南纬度相加，月亮的南纬度逐渐减少，因为偏东所以反而减去，得到南纬十二度五分十九点一秒。」这就是月亮经过波士顿子午线时的赤纬度。

星名表侧有＊号的，指这颗星不论在赤道南北，都可以与月亮同时测算，以确定月亮的视差。

月亮半径经过子午线所经历的恒星时，这个数值因月亮距离赤道南北而改变，时刻不等。凡是观测到月亮外环与子午线相切的时候，加上这个数值，就改为中心经过子午线的时候。

第四百二十九页至四百四十三页，记载日月食在何地、何时可以看见，记载其计算出的各种根数。

第四百四十四页至四百五十四页记载星的交食，其项目有五项：其一，记载一等至六等的恒星，在该地平均子正时被月亮掩食，在该地能够观测到的；其二，记载行星或恒星自一等至五等，不论在何处看见被月亮掩食的；其三，记载星与月亮应在该地何平均时具有相同的赤经度；其四，记载月亮与星合于同一经度时，其纬度有何差值；其五，记载在何纬度之外，月亮不掩星。

凡是计算月亮掩食哪颗星，可以使用各种表。表内所记星月数据，都是从地心推算的，所以地上不论何处，都可以通用。只是须计算其距离英国多少经度，变换时间来加减。在东方的加上，在西方的减去，即得月亮与星相合时测量地的平均时间。

假设在当年八月初四日，月亮掩食氏宿第三星，在英国平均时为十六点二十九分五十七秒，而在波士顿平均时为十六点三十九分十七点六秒，因为波士顿在英国东九分二十点六秒，所以如此。

纬限，是指从地上某度起，至某度止，能够看见月亮掩食哪颗星；超出此范围则看不见其掩食，这就是纬度的界限。

假设有人从星星望地球，而月亮在中间，则地面几乎被月亮所掩。而月亮自西向东移动过时，地面形成一带形，宽度与月亮直径相等。如果反过来说，则人在地面上于带形中望月亮，则星星被月亮掩食，在带的上下两限，只看见月亮与星相切而不相掩，这就是纬度限。在其上者为上限，在其下者为下限。

纬限表以明星在何度，应为月亮掩食之外，这不必布算。

如英国在赤道北五十一度二十八分三十八秒即北极高出地平度。假设在当年八月内，查第四百五十一页表，自十六日起查末行纬限，至十七日掩α星，只指一个希腊字母星名α，在赤道北二十六度之处起至九十度之间皆可看见。只是被掩食的时候在三点十一分四十四秒，是在午后日光逼迫之下，仍然不能看见。只是当日十二点四分二十一秒，月亮又掩食○星，在赤道北十四度至九十度之间可见。八月十九日十四点一分十七秒，月亮掩食毕宿第五星，在赤道南四度之处起至赤道北六十八之间可见。又是当日十四点三十五分三十八秒，月亮又掩食这颗星，在赤道北六度之处起至八十五可见。查第四百五十六页表，知以上三星的掩食，其中两颗在英国能看见，一颗不能看见。

第四百五十五页和四百五十六页的表，是恒星与行星在该地地平上被月亮掩食，记载其不见至再见的恒星时及平均时。记载星在月亮环内，开始隐没于某度，复见于某度。如果用翻影镜测量，凡是穿过月亮的北极与中心形成一个大圈，与月亮环成一个交点，靠近月亮环的星，距离交点若干度，应当从角之

译向北数其度数。穿过月亮的天顶与其中心形成一个大圆，也与月环形成一个交点，刚过月环上的星，距离交点若干度，则从角的顶点开始数起。利用这个角可以测量小星，而且当星星隐没后又出现时，也必须预先知道这个角，否则难以确定镜子的方向。

译表中记载了每月木星卫星被掩的次数，有时在观测地点无法看见，但只要距离该地不远，就能看见。

第四百五十七页至第四百七十六页是表中记录的木星卫星发生食、掩、卫星经过木星前方或影子经过木星等事件的次数，这些都依据该地的平时时刻，通过绘图来明确其隐现的位置。如果用反转影像的镜子观察，图中所显示的形态虽然对应着卫星的数目，但由于木星离地球非常遥远，肉眼无法看清，所以木星本体及其影子在一个月内的变化非常微小。除了与太阳对冲时形状有所不同外，其余时间整个月都是如此。比较两个月的图形，就可以清楚地明白。当木星在地平线上八度，太阳在地平线下八度时，其卫星的食现象以“米”字为标记，表示在该地可以进行观测。等到木星在地平线上，太阳在地平线下时，以“十”字为标记，也能看见。

“□〇甲”指的是木星卫星被木星影子遮蔽，即将隐没的时刻。“○〇乙”指的是卫星离开木星影子，再次显现的时刻。这是因为卫星距离木星稍远才会如此。如果是太阳与木星对冲时，则是卫星发生食。靠近木星本体的卫星，在日木对冲之前，卫星的隐现发生在木星的西侧；日木对冲之后，卫星的隐现发生在木星的东侧。用反转影像的镜子观察，则东西方向相反。日木对冲之前，只能看见第一颗卫星的隐没；对冲之后，才能看见它的显现。等到第二颗卫星被木星影子遮蔽时，其隐现很少能同时看见。第三、第四颗卫星或许可以同时看见。

如果在其他地方想要推算木星某颗卫星隐现的时间，就根据观测地的经度，相对于英国在东还是在西进行推算，在东则加上经度差，在西则减去经度差，即为所求的时间。但也必须查考木星在地平线上的高度以及太阳在地平线上的位置，如果太阳在地平线上，光芒耀眼难以看见，计算者应当使用半弧表，从东到西，计算太阳出入地平线的半弧，并借助半天球仪，才能确定太阳和木星距离地平线的方向。

通过测量木星卫星的食，可以确定地球上的经度。第一颗卫星最容易测量，但必须详细确切地测量其时刻。此时与英国时间的差值，就是经度的差值。将时间差转化为度数，如果观测地的时间比英国早，说明观测地在英国的西边；如果比英国晚，说明在英国的东边。

假设在这一年七月二十四日，在巴黎测得木星第一颗卫星隐没的平时时刻为十四点三分二十四秒九，查阅第四百六十六页表内英国的平时时刻为十三点五十四分四秒三，两者的差值为九分二十秒六，即两地的经度差。因为所测的时间比英国晚，所以知道观测地在英国的东边。

凡是测量木星卫星掩星，除了表中有差数外，还有其他的困难，不能精确确定地球的经度。而且不同望远镜的测量结果各不相同，如果想要精确计算经度，必须使用类似的望远镜计算地面的蒙气视差。如果不需精确计算，则通过观测木星被某颗卫星掩星，大约估计地球上的经度，如果能同时测得某颗卫星的隐没和显现，那就更好了。

表中大约估算了卫星食和卫星经过木星前方的情况，以便天文家准备测量并推验此表的误差。因为测量这两件事，必须使用最好的望远镜，而在海上尤其难以测量。“入”、“出”二字，记录卫星初次遇到木星环面为“入”，离开木星环面为“出”。

第四百七十七页至第四百八十七页，木星两颗卫星的连续表中，用数字记录，代替通常的“○”号，而不记录其黄道纬度，在上面的记在上面，在下面的记在下面。

表的右边为东，左边为西。如果看见木星的卫星自西向东移动，就知道木星在卫星和地球之间，而卫星运行在后半轨道，所以有食和掩。如果看见卫星自东向西移动，就知道卫星在木星和地球之间，而卫星运行在前半轨道，所以有卫星经过木星前方和影子经过木星。

假设在这一年正月二十七日，在英国八点钟时，用平时时刻和反转影像的镜子观测木星卫星，如图。第一、第二两颗卫星，实际上在木星的左侧，从反转影像的镜子看，则在右侧；第三、第四两颗卫星，实际上在右侧，反而在左侧。表首“西东”二字，是卫星实际上在木星的东西方向。木星常在该地天顶的南方，图左侧的卫星应见于木星的西侧，图右侧的卫星应见于木星的东侧，这是因为卫星的倒影所以方向相反。于是从木星中心起，直线距离相等，而左右互换，以此验证图形，可以得到卫星的真实方向。

表中的时分都指该地的平时，观察表和图可以辨别木星的各颗卫星，也可以区分其他靠近木星的星星。

第四百八十八页至第四百九十页。行星与月球，或者与其他行星合于同一赤经度，以及行星与恒星合于同一经度或同一纬度，都在每月一格中，记录其日期和时间。行星在这个时候，最容易观测，也以便天文家考验表是否正确。

第四百九十一页土星光环位置表中，每隔二十天记录一次，以明确其能否看见。“○”为光环的短轴，距离多少赤纬度？“∣∣∥∥甲乙”，甲乙为光环所见大小的数值，丑与∣丑之比，用来确定能否看见。因为太阳和地球同在环面的一边，高过环面时，光环自然能看见。如果不能看见的时候，原因有三：一是环面平过日心，则∣丑与“○”相等。二是，环面平过地心，

译即使是丑与○等，也都无法看见。第三种情况是，太阳位于环的一面，而地球又位于另一面，同样无法看见，这是因为环上没有经过阳光的一面朝向地球罢了。

译第四百九十二、三页，记载月亮的明环在何时侧动最大，记载火星、金星的环在何月中光显几分？至于月亮纬度侧动的数值，则不论何时，都可以按照第四百九十三页的方法计算。

第四百九十四页至四百九十七页，因为该处潮汐与中国无关，所以不译。

第四百九十八页的准数表，凡是测量月亮与星星距离的度数，已经推算了蒙气视差等予以校正，可以求得秒数的差值，即比例对数的差值，在表内查得一个准数，进行加减，即可得到该处相合的时间，其计算方法见后第五百二十五六页内。

第四百九十九页及第五百页，表内的数值用于计算月亮的侧动。

第五百一页至五百三页，是测量勾陈大星的方法，如果不在午线时，可以使用此表，能够计算地面纬度的方法，如下。

先将仪器误差及蒙气视差推算校正，从星星的高点减去。再按照第五百四页，将观测时的太阳平时改为恒星时。在此表内查得相合的第一个准数为⊥┬，按照符号加减于观测得到的高度，得到所求纬度的约数。再用计算出的恒星时查第二、第三表，得到相合的第二个准数。将这两个准数加到上面的约数内，就得到了真实的纬度。

航海通书改率说

贾步纬

这部书是从英国的《航海通书》翻译出来的，考察西方人的航海游历，确实是以这本书为向导。因为海船一旦驶向远洋，茫茫大海没有边际可以记录，罗盘只能辨别方向，不能测量当前所在的地方，只有依靠天体的度数才能辨认地球的经纬。根据《数理精蕴》，天上一度相当于地面二百里，共计三十六万尺，以天度的一秒相当于地面一百尺，这个说法对于南北纬度是正确的。如果东西经度不在赤道之下，每一度都不满大圈的里数，必须依据弧三角法来计算。白天测量太阳，夜晚观测月亮和星星，辅以算术，路程的距离便了如指掌，因此没有到达不了的地方。所以我国航海，也将翻译此书作为首要任务，特意聘请西方人士层层解析、分条陈述，阐明理数，删繁就简，翻译成了这部书，以引导后来学者。凡是我们的同道，都应该家中收藏一部，朝夕讲求，引申类比，制备仪器，随时测量，并且可以检验其算法的疏密是否正确，实在是为推步家特别开辟了门径。学者一定要由此而学习，那么大概就不会有差错了。

改率

考察《航海通书》，原本是根据英国伦敦观象台的中线建立算法，各种星星运行度数的表格都按照该地的平午正时解释，时差从地心开始计算，其天周以春分起步，与中国不同。现在翻译修改时，遵循京都顺天府作为中线，各种星星都从子正开始，天周以冬至起步，中西共同使用平时，都依据地心建立算法，三百六十度为一周天。中国的方法又分为十二宫，以冬至丑宫初度开始逆行十二支，每宫三十度，每度六十分每分六十秒。又一日二十四时，这本书遵循西方的惯例，以一点钟为一时，便于布算。所以凡是说一时，都是一小时，每时六十分。中国的方法又以十五分为一刻，一时为四刻，因为增加了位数，不便布算，暂且遵循西方的惯例，不命名刻，每分六十秒，秒下的小余则跟随秒，不以六十递进分析。

根据西方人士的实测，东西经线相距一百十六度二十七分，变化时见变化时表为七点四十五分四十八秒。因为英国午正已经是顺天七点四十五分四十八秒了。所以使用原书的本日午正星度，再加上四点十四分十二秒的星星运行度数，就凑满了半日十二时的数量。如果星星的经纬有退行的，则减去，就得到了明日顺天的子正度数。

中比例算法

星者，算法也。使用星星必须先明白算法，一二三四的四率比例，是西方算法的大宗。其方法以已知推未知，所以以原有的数为一率、二率，现有的数为三率。通常以二率与三率相乘的数为实，以一率为法归除它，得到所求的四率数。

时差

推算所得的称为平时，通书表数，都按照平时算定，如钟表行走，是平分的时间。中国又名实时，日晷所测的称为真时，中国又名用时。因为时刻都依据赤道，原本是平分的，黄道与赤道斜交，在赤道则度数有宽窄，太阳运行黄道，又有冬盈夏缩的差异。由于这两个原因，所以产生了时差，即平时与真时的差值。两个数相减称为差，其数列如表，加减于平时，就得到了真时。

钟表宜开平时说

西方书籍说：一昼夜，地球自转一周，则以北极为宗；一岁中，地球绕日一周，则以黄极为宗。两极相距二十三度二十七分，西方比率还有二十余秒零数。而且每年有行分，如同岁差一样。因为日晷测时，都依据绕日的轨道而出，所以与赤道自转的比率有差异。仔细比较，而且逐日不同。使用度时表、候之表极其准确，行船用来比较偏度，所以又名行船表。二十四时中，即一昼夜，甚至有差到半分的，所以设置时差加减。

然而钟表只

译能够平分昼夜的，与赤道的运行速率相同，就像太阳的盈缩变化一样，黄道与赤道升度的差异并不参与其中。因此，必须校准平太阳时，按照标记加减时差，以求符合日晷测量的关键要求。

译如果先前通过日晷测得了正午时刻，想要求得钟表的平时，就要将时差的符号反向使用：原本要加的改为减去，原本要减的改为加上，再对十二点进行加减，就能得到平时。

逐日测量北极高度，不论在何地

方法是观测日晷，在接近正午的前后，只要日晷指示正午，就不必询问地点的经纬度是多少，也不必考虑节气的早晚或仪器的精密程度，都可以一概适用。只有罗盘的指南针与日影存在偏向，而且随地不同，在中国通常偏向日影的东方，所以测量太阳高度时，宜在日晷指示正午前后几分钟进行观测。用纪限仪多次测量太阳高度，取其中最高的度数作为当日正午的太阳高度，从中减去蒙气差，加上地半径差，就将视高度改为实高度。随后查阅通书中当日太阳赤道纬度表的数值，这些数值都是从子正开始计算的，求取正午时应用中间比例，南纬加、北纬减于太阳实高度，得到赤道距离地平线的度数，也就是北极距离天顶的度数，再用九十度（一个象限）减去这个度数，就得到测量地点北极高出地平线的度数。如果测量恒星高度，赤纬的加减方法与太阳相同，只是恒星没有地半径差，只要减去蒙气差就是实高度。

另一种方法，任意选择一天，计算勾陈大星（北极星）经过上子午线的时间，测量其视高度，从中减去蒙气差，改为实高度，再减去距离极点的度数约一度二十二分半，剩下的就是北极高度；或者计算它经过下子午线的时间，测量其视高度，从中减去蒙氣差，加上距离极点的度数，也就是北极高度。

测量观测用时表说

凡是度时表，必须按照京师的平时来校准。因为各种天体黄道和赤道的经纬度表数，都是依据京师平时起算的。所以无论到什么地方，查看表内的时分与通书上星体运行的经纬度随时吻合，度时表实际上是节省计算的捷径。假如没有度时表，船到达某处，还不知道该地的经纬度是多少，用什么样的比例来求星体的位置，必然要任意假设多处进行逆向推求，岂不费事？所以西方人航海时，除了测天仪器外，度时表与通书两者相辅相成，缺一不可。

计算星体经过子午线的时间，也就是中星时间，将当日星体的赤道经度减去当日太阳平行的赤道经度，就是恒星时。如果不够减，就加上二十四小时再减，这是假设星体在正午太阳平行距离正午之后的时分。看这个数如果不满十二小时，就加上十二小时；超过十二小时，就减去十二小时。比例要从子正起算，所以加减十二小时是当日星体经过子午线的泛时。如果恰好在子正，就是平时。有距离的时分，因为太阳和星体都有运行度数，所以称为泛时。按照方法再求取明日星体经过子午线的泛时，将一日化为1440分作为第一率，两日的泛时差化为秒作为第二率，当日泛时化为分作为第三率，求第四率，就是泛时内应该运行的泛时差秒数。看两日泛时的顺逆来区别加减，如果明日的数值多，就加到当日的数值上；明日的数值少，就从当日的数值中减去。加减于当日泛时，就是京师星体经过子午线的平时。如果计算月亮经过子午线，每小时都有细微的运行，只需要用一小时内的数值作为比例，不用两个子正的比例。

有某地纬度用日晷测偏度

方法是用日晷按照该地的极高度测得时分，如果不是正午，日晷必须极其准确，才应该查看京师平时表内对应的是什么时分，加减当日当时的时差，改为京师日晷时，与所测得的日晷时相减，用时差化度的方法参见变时表，就得到该地距离京师的偏度。所测时间早于京师为偏东，迟于京师为偏西

测量月亮经过子午线计算偏度

无论到什么地方，测得月亮经过子午线，查看京师平时表内对应的是什么时分，随即检阅通书，当日月亮经过子午线是什么时分，与所测得的时分相减，余数就是两地测量处与京师经过子午线时分的差值，然后检阅通书明日经过子午线的时分减去当日经过子午线的时分，余数化为分，加上一日化为1440分作为第一率，一日化为1440分作为第二率，两地经过子午线时分的差值作为第三率，求第四率为偏度时分，检阅变时表得到偏东西的度数，早于京师为偏东，迟于京师为偏

因为测量月亮视差，情况繁多。只有它在正午时，只有南北视差，与经度无关，所以便于测算。各种天体每日经过子午线的时分差值，只有月亮最大，用来比例求偏度容易准确。如果恒星每日经过子午线的时分差，只有三分五十六秒，五六太阳平行度，也就是恒星时。所以测得两地经过子午线的时分差，每点钟减去十秒，就是偏度时分。西方人航海，常测月亮经过子午线的差值，作为计算偏度的捷径。

赤道经纬度说

按照西方书籍中七政的经纬度，都依据赤道建立算法，探究其原因，都是因为各种天体随着天向西旋转。西方说地球自西向东旋转，也是一样的。只有赤道极点不动，所以它的经纬度随地随时测算比较容易。如果黄道极点每日绕赤道极点一周，那么它的经纬度时刻不同，不仅观测很难，即使凭借它来推算地的经纬度也不容易。所以西方书籍说：“黄道经纬度对航海之人没有益处，考察它的数值，也是从赤道经纬度用斜弧算出的。”又那五星的黄道经纬度，都是从日心建立算法，常以星体出入黄道的南北交点终为一周

译天。像水星仅八十八日运行一周、金星二百二十余日运行一周之类，并没有逆行和留止的现象，若用于仰观天象则不相符合。因此这部书只选取赤道经纬度的数据制成表格。如果要求取黄道经纬度，钦天监既然已有《七政时宪书》颁布施行，所以省略了推算。

译计算日食的方法

贾步纬

推算进入食限

查看所求年份的干支，查阅首朔食应表，表中列于后文，可得到该年之前十二月朔日的食应数值。此后每个月的朔日，只需在月数上依次增加一月，小余保持不变，若满食周十一月七三七六五则减去，这就是月距交的平行度数，十三周天的月数余数即为所求朔日的食应，据此查看哪个月朔日进入食限。

二月三六五二三六以外

三月一三八五二八以内

八月六七五六四七以外

九月三七二四一三九以内

附推算望日食限

查看所求年份的干支，查阅首望食应表，得到该年之前十二月望日的食应数值。此后每个月的望日，依次增加一月的小余，保持不变，若满食中五月八六八八二五则减去，即可得到逐月望日的食应，据此查看哪个月望日进入食限。

二月五五六一一七八以外

三月三一二七七一八以内

上述平朔望可发生日食的界限，摘取自徐钧卿先生的方法。不过这只是列举大概，若要确定日食是否发生，必须运用日躔月离的方法，求出实朔望，以及太阴距交度，这才是准确的食限。

推算实朔的泛时

用平朔距离冬至日的天数，运用推算日躔月离的方法，方法见《考成后编》。分别求出它们子正时的黄道实行，将本日子正时的太阳实行与太阴实行进行比较，如果太阴实行还未追上太阳，那么平朔日就是实朔的本日；如果太阴实行已经越过太阳，那么平朔日就是实朔的次日，平朔的前一日才是实朔的本日。再用推算日躔月离的方法，分别求出它们子正时的黄道实行，将本日子正的太阳实行减去太阴实行，余数为月距日的度数，化为分秒，求对数的方法见《数理精蕴》。在日法一千四百四十分的对数内，减去一日月距日实行的对数，次日日的实行减去本日日的实行，余数为一日的日实行；又次日月的实行减去本日月的实行，余数为一日的月实行，再减去一日的日实行，余数为一日的月距日，求其对数，即得到距离本日子正分数的对数，查表得到真数，按时辰折算，得到实朔的泛时。如果次日月的实行仍未追上日，那么次日为实朔日，于是以次日日的实行减去月的实行，余数为月距日，化为秒求对数，加在一千四百四十分的对数内，减去前所得一日月距日实行的对数，得到距离次日子正后分数的对数。

推算泛时月距正交

次日月距正交减去本月月距正交，若不够减则加十二宫，减后的余数为一日的月距正交，化为秒，求对数，加上泛时距离子正分数的对数，再减去一千四百四十分的对数，得到距离本日子正的月距正交化为秒的对数，查表得到真数，按度分折算，加上本日子正的月距正交，得到泛时的月距正交。

推算准确的食限

查看月距正交，从初宫初度到初宫十八度二十六分，从五宫十一度三十四分到六宫六度二十二分，从十一宫二十三度三十八分到十一宫三十度，都进入食限，为有食；不进入此限内的，无食，即不必计算。

查看泛时如果在夜间，距离日出前、日入后五刻以内的，可见食；五刻以外的，全在夜间，不可见，即不必计算。如果泛时在日出入前后，必须先加减时差，审定昼夜。

推算实朔的实时

实朔泛时，上下设置前后两个时辰。例如泛时为丑正二刻，则设丑正初刻前时为前时，寅初初刻为后时。运用推算日躔月离的方法，分别求出它们的黄道实行。以前后两时的日实行相减，为一小时的日实行。以前后两时的月离黄道实行相减，为一小时的月实行。两实行相减，为一小时的月距日。于是以前时的日实行减去月的实行，余数为前时的月距日。化为秒求对数，加在一小时化为三千六百秒的对数内，减去一小时月距日化为秒的对数，得到距离前时秒数的对数。查表得到真数，按分折算，加在前时上得到实朔的实时。再用实朔实时运用推算日躔月离的方法，分别求出其黄道实行，那么日月必定同宫同度分秒无差异，才算准确。于是查看本时月距正交进入前述界限的，为有食。

推算均数时差

实朔日，引宫度，查看日躔均数时差表，即可得到并记下加减号。

推算升度时差

实朔日躔黄道宫度，查看升度时差表，表列于后，即可得到并记下加减号。

推算实朔用时

实朔实时加减两个时差，得到实朔用时。

推算日实行

前后两时，日躔黄道实行相减，得一小时的日实行。

推算月实行

前后两时，月离白道实行相减，得一小时的月实行。

推算实行总较

日实行与月实行相加，为实行总和；相减，为实行差值。

推算半外角

设置半周一百八十度，减去黄白大距，余数的一半，即为半外角。

推算半较角

实行差值的对数，凡是弧度求对数，都化为秒进行计算，求三差的方法

译仿照此例，如果要求八条线的对数，必须将弧度代入计算，加上半外角正切的对数，再减去实行的总对数，余数即为半较角正切的对数。

译求斜距交角差

取半外角，减去半较角，余数即为斜距交角差。

求斜距、黄道交角、黄白二经交角

在实朔时刻，黄白大距加上斜距，交角差即为斜距，黄道交角也即为黄白二经交角。在实朔时刻，月亮距离正交点位于初宫或十一宫，白道经度在黄道经度以西五宫或六宫，白道经度在黄道经度以东，需记录东或西的符号。

求两经斜距

将太阳实行的对数，加上实朔时刻黄白大距正弦的对数，再减去斜距交角差正弦的对数，余数即为两经斜距的对数。

求斜距对数较

一小时三千六百秒的对数，减去两经斜距对数的余数，即为斜距对数较。在由各限距弧求距时，加上对数较；由距时求距弧，减去对数较。因此使用对数较。

求食甚实纬

将斜距黄道交角余弦的对数，加上实朔时刻太阴黄纬化秒（以下同）的对数，再减去半径的对数，即前位所进之一余数，为食甚实纬的对数，查表得真数为秒，秒下必带有小余一位。求三差的方法，仿照此例，记录南或北的符号，与实朔时刻月亮纬度的南北相同。

求食甚距弦、食甚距时

将斜距黄道交角正弦的对数，加上实朔时刻太阴黄纬的对数，再减去半径的对数，余数为食甚距弧的对数。再加上斜距对数较，即为食甚距时的对数。查表得真数为秒，以分来收纳。月亮距离正交点位于初宫、六宫为减，位于五宫、十一宫为加，记录加或减的符号。

求食甚用时

实朔时刻的用时加上或减去食甚距时，得到食甚用时，即京师食甚的用时。

求太阳实引

在实朔时刻，太阳引数加上或减去太阳均数，得到太阳实引。

求太阴实引

在实朔时刻，太阴引数加上或减去太阴初均数，得到太阴实引。

求地平高下差

根据太阴实引的宫度，以及本天心距地，查《交食太阴地半径差表》，该表见于《考成后编》。得到太阴在地平时最大的地半径差，减去太阳地平地半径差十秒余，即为地平高下差。

求太阳实半径

根据太阳实引的宫度，查《交食太阳视半径表》，得到视半径，减去太阳光分十五秒，即为实半径。

求太阴视半径

根据太阳实引的宫度，以及本天心距地，查交食太阴视半径表，得到太阴视半径。

求并径

太阴实半径加上太阴视半径，得到并径。

求距时日实行

将太阳实行的对数，加上食甚距时的对数，再减去三千六百秒的对数，余数为距时。太阳实行对数的加减符号与食甚距时相同。

求食甚太阳黄道经度

实朔时刻太阳黄道实行加上或减去距时日实行，得到食甚太阳黄道经度。

求食甚太阳赤道经度

在食甚时刻，根据太阳黄道经度，查黄赤升度差表，得到黄赤升度差，加上或减去黄道经度，即为食甚太阳赤道经度。

求食甚太阳赤道纬度

在食甚时刻，根据太阳黄道经度，查《黄赤距度表》，得到食甚太阳赤道纬度，记录南或北的符号。

求食甚太阳黄赤道宿度

使用上元甲子列宿黄赤经纬度表，将列宿黄道经度加上岁差，每年五十二秒，计算至所求年份，查食甚太阳黄道经度，足以减去本年黄道宿钤内某宿的度分，则减去的余数为食甚太阳黄道宿度。又将赤道宿度按照赤经加上或减去岁差，计算至所求年份，查食甚太阳赤道经度，足以减去本年赤道宿钤内某宿的度分，则减去的余数即为食甚太阳赤道宿度。

求太阳距北极

设定九十度，南加北减太阳赤道纬度，得到太阳距北极。

求黄赤二经交角，即黄道赤经之交角之余

在食甚时刻，根据太阳黄道经度，查“黄赤二经交角表”，得到黄赤二经交角，冬至夏至之后，黄经在赤经以西或东，记录东或西的符号。

求赤白二经交角

黄赤二经交角与黄白二经交角（即斜距黄道交角），若东西同号则相加，东西仍之；若异号则相减，东西从数大者，得到赤白二经交角，记录东或西的符号，这里所说的东西，是指白经在赤经之东或西。若两角相等而减尽无余，则白径与赤经重合，无交角。若无黄赤二经交角，则黄白二经交角的东或西即为赤白二经交角，东西相同。

求北极距天顶

设定九十度，减去本地北极出地度，得到本地北极距天顶。

求半和弧、半较弧

日距北极与北极距天顶相加，取一半为半和弧；相减，取一半为半较弧。

求正弦对数较

半和弧正弦的对数，减去半较弧正弦的对数，得到正弦数较，其符号为减，因为要与半角余切相减。

求余弦对数较

半较弧余弦的对数，减去半和弧余弦的对数，得到余弦对数较，其符号为加，因为要与半角余切相加。这两个数在九限皆可通用，与旧法使用垂弧相比，简捷数倍。

求本地食甚用

译当时，设置京师食甚用时，加减本地偏东偏西的度数，时分偏东偏西的度数见《考成》下编，求得本地食甚用时。求用时，太阳距午赤道度即可，借作为前设时。

译在食甚发生时，若时刻在正午之前或之后，若时刻在正午之前，则取十二小时减去该时刻，余数为距正午前的时分；若时刻在正午之后，则用该时刻减去十二小时，余数为距正午后的时分。将赤道度数进行转换，若时刻距正午一小时，则转换为十五度；一分钟转换为十五分；一秒转换为十五秒。由此得到时刻太阳距正午的赤道度数，或者使用变时表，按时辰查取度数，该表见于冯林一先生《中星表》后半部分，其中列出的是距正午赤道度数的一半。

求设定时刻的半较角

取半距午赤道度数的余切对数，减去正弦对数，所得差值为半较角的正切对数。

求设定时刻的半和角

取半距午赤道度数的余切对数，加上余弦对数，所得差值为半和角的正切对数。

求设定时刻赤经与高弧的交角

半和角减去半较角，若北极高出地平线二十三度二十七分以内，且太阳在夏至前后位于天顶北方，则将两角相加得到设定时刻赤经与高弧的交角，午前记为东，午后记为西，并标注东西符号。

求设定时刻白经与高弧的交角

设定时刻赤经与高弧的交角与赤经、白经两经线的交角，若前后东西符号相同则相加，东西方向保持不变；若符号不同则相减，东西方向依数值较大者而定。得到设定时刻白经与高弧的交角，并标注东西符号，此处所说的东西，是指太阳在白平象限中的东西方位。若两角相等相减后无余数，则太阳正当白平象限，没有交角，设定时刻即为真实时刻，但存在高低差。若相加超过九十度，则与半周相减，取其余数，此时白平象限位于天顶北方。

求设定时刻太阳距天顶的距离，以及设定时刻的高低差。

取北极距天顶的正弦对数，加上设定时刻太阳距正午赤道度数的正弦对数，再减去设定时刻赤经与高弧交角的正弦对数，得到设定时刻太阳距天顶的正弦对数。加上地平高低差的対数，再减去半径对数，得到设定时刻高低差的対数。

求设定时刻的东西差

取设定时刻白经与高弧交角的正弦对数，加上设定时刻高低差的対数，再减去半径对数，得到设定時刻东西差的対数。

求设定时刻的南北差

取设定时刻白经与高弧交角的余弦对数，加上设定时刻高低差的対数，再减去半徑对数，得到设定时刻南北差的対数。若白经与高弧交角为九十度，则无南北差，实际纬度即视纬度，但存在高低差。

求设定时刻的视纬度

食甚的实际纬度，若在南则加，在北则减，加上或减去南北差得到设定时刻的视纬度；若不足减，则用南北差反向减去实际纬度，将北变为南。若白平象限在天顶北方则相反，并标注南北符号。

求设定时刻距分

设定时刻与食甚发生时刻相减，得到设定时刻距分。若以食甚发生时刻为前，设定时刻则无距分。

求设定时刻的实际距离弧

取设定时刻距分的対数，减去斜距的対数，所得差值为设定时刻实际距离弧的対数，在时刻前后为纬西东，标注东西符号。

求设定时刻的视距离弧

设定时刻实际距离弧加减设定时刻东西差，得到设定时刻视距离弧。

若月亮在界限上，东西方向的设定时刻，在时刻前则减后加，在时刻后则加后减。

若月亮在界限东，西方向的东西差大于实际距离弧，则为纬东西；若小于实际距离弧，则为纬西东，标注东西符号。若以食甚发生时刻为前，设定时刻无实际距离弧，其东西差即为视距离弧。界限东亦为纬东，界限西亦为纬西。

求设定时刻视距离与视纬度的差角

取设定时刻视距离弧的対数，加上半径对数，再减去设定时刻视纬度的対数，得到设定时刻视距离与视纬度差角的正切对数。

求设定时刻两心视相距

取设定时刻视距离弧的対数，加上半徑对数，再减去设定时刻视距离与视纬度差角的正弦对数，得到设定时刻两心视相距的対数。

以上各条，自太阳距正午赤道度数起，至两心视相距止，共十四项。凡是食甚发生时刻、近似时刻、真实时刻，以及初亏、复圆的时刻、近似时刻、真实时刻，名称相同而数值不同，故不重复列出。诸求其实，皆指设定时刻，故统以“设定时刻”冠之。其求三限真实时刻，并用前后两个设定时刻来求。

求食甚前后，两个设定时刻的视相距之和与差。

前设定时刻两心视相距与后设定时刻两心视相距相加为视距和，相减为視距差。

求对视行角

前设定时刻视距、视纬度差角加减后设定时刻视距、视纬度差角，东西方向相同则减，不同则加，得到对视行角，取其一半得到对视行半角。

求半和角

取对视行半角的余切对数，加上视距差的対数，再减去视距和的対数，得到半和角的余切对数。

求视行旁小角

半和角减去对视行半角，得到视行旁小角。

求两个设定时刻的视行

取对视行角的正弦对数，加上小视相距的対数，再减去视行旁小角的正弦对数，得到两个设定时刻视行的対数。

求视行差

取视距和的対数，加上视距差的対数，再减去两个设定时刻视行的対数，得到视行差的対数。

求食甚真实时刻的视行

两个设定时刻的视行加上视行差，取其一半，得到食甚真实时刻的视行。

求食甚真实时刻距分

取两个设定时刻差的対数，加上真实时刻视行的対数，再减去两个设定时刻视行的対数

译求食甚真实时刻两心视相距。

取视行旁小角正弦的对数，加上大视相距的对数，再减去半径的对数，便得到食甚真实时刻两心视相距的对数。

译再次以食甚的假设时刻作为设定时刻，求出两心视距离，以此考察是否相合。如果相合，那么食甚的假设时刻就是确定的真时刻；如果不相合，就再次求出视运动，以求得确定的真时刻，方法如前所述。

求食甚的确定真时刻

假设时刻的距分小于真时刻的距分，界限在西为加，界限在东为减。

放置食甚的假设时刻，加减真时刻的距分，得到食甚的确定真时刻。

求食分

将并径减去确定真时刻的两心视距离，求余数的对数，加上六百秒的对数，再减去太阳全径的对数（太阳实半径加倍即为全径对数），得到食分的对数。

求初亏和复圆前的假设时刻

食甚确定真时刻，两心视距离与并径相加为距径和，相减为距径差。

距径和的对数，加上距径差的对数，除以二，再加上确定真时刻距分的对数，减去确定真时刻视运动的对数，得到初亏和复圆前假设时刻距分的对数。

求初亏和复圆后的假设时刻

前假设时刻，两心视距离与并径相减为距径差。食甚时，两心视距离与前假设时刻两心视距离相减为视距差。距径差的对数加上前假设时刻距分的对数，减去视距差的对数，得到后假设时刻距分的对数。

求初亏和复圆的真时刻

两个假设时刻相减为假设时刻差，两个假设时刻的视距离相减为视距差。后假设时刻两心视距离与并径相减为距径差假设时刻差的对数加上距径差的对数，减去视距差的对数，得到真时刻距分的对数。

求初亏的确定交角

初亏真时刻，视距离、视纬度差角，即为并径白经交角，加减白经高弧交后，得到确定交角。初亏在界限东西方向的，纬度南北则加，与半周相减；纬度北南则减。南北以初亏的视纬度论，如果白道平象限在天顶北，则纬度南；如果纬度北，则纬度北如纬度南。如果没有初亏白经高弧交角，那么视距离、视纬度差角即为确定交角。如果两角相等，减尽无余，或者相加恰好一百八十度，那么交角为初度。

求复圆的确定交角

复圆真时刻，视距离、视纬度差角，即为并经白经交角，加减白经高弧交后得到确定交角。复圆在界限东西方向的，纬度北南则加，与半周相减；纬度南北则减，解法同初亏。

求初亏方位

初亏在界限东西方向的，确定交角初度为正，上下四十五度以内为上下偏差，右四十五度以外为右偏差，上下九十度为正右，超过九十度为右偏下。上白经高弧交大，反而减去交定角的，变右为左。白道平象限在天顶北，左右相反。

求复圆方位

复圆在界限东西方向的，确定交角初度为正，下上四十五度以内为上下偏左，四十五度以外为左偏下，九十度为正左，超过九十度为左偏上。下白经高弧交大，反而减去交定角的，变左为右。白道平象限在天顶北，左右相反

求食限总时

复圆确定真时刻，减去初亏确定真时刻，得到食限总时。

用对数尺以量代算，或者作量法代算。

贾步纬

西洋对数，能将乘除变为加减，其计算必须依赖对数表，制作实在困难，但使用非常便利，是当今学习算学的人不可缺少的。近来已用活字印刷发行，前面附有使用法则几条，使得打开书卷就能明白。事情完成后，又深入思考其原理，既然可以用两数相并来代替乘法，相减来代替除法，必定能应用于量法，于是变通其方法，制作直尺一千根，在尺的上面记下根数。于是按照假数的积，在尺内分别标记真数，以代替对数表，应用于民间贸易、日常普通的计算，乘除可以用量法驾驭，方法非常浅显容易，即使是妇人和小孩略识数字，也可以早上学会晚上就能运用，这难道不是在普通算法之外又出现了一个奇法吗？凡是学习使用这种尺，必须制作一根薄铜尺，或者用象牙或青竹都可以，将一边削薄如刀口，以便紧贴尺内的数字，必须取光滑的，那么所记录的墨迹计算完毕后，随时可以擦去。依照书中两根尺的尺度为长，以官尺三四分为宽，居中刻定一条线，平分为两根。凡是遇到乘法有两个零相并超过一根的，就将一根并入根数内，用其下余数来量，道理也相同。或者遇到除法有实数的零内不足减去法数的零的，就可以少记一根，移到尺的上半部分，将实数的零数接在下面，就可以减去了。

凡是初次学习使用这种尺，必须用算盘记下根数，便于加减，等到使用熟练后，根数的加减自然能在心中计算，无需算盘了。又这种尺只能以加减代替乘除的作用，如果有几个数叠加或递减，这种尺不能驾驭，仍然需要使用算盘。凡是确定所求位数的大小，用对数表的首位法辨别，如单位的首位为十，首位为一百，首位为二千，首位为三万，首位为四十万，首位为五之类。如百与十相乘，则二加一为三，其所得应为数千。如乘法遇到有两根相并超过一千根的，就可以减去一千根，用余数来量，得数也相同，只是其位数照常，必须升一位了。又除法遇到有实数的根数少于法数的根数，

译那么不足的部分减少，可以在实数内增加一千根来减去，仍然用减去后的余数来衡量，得到的结果也相同，只是其位数按常规，必定要降低一位。如果所求位数的多少可以凭直觉领会，否则就不需要寻找首位了。大凡有法数和实数两个数想要相乘的，先任意取一个数在尺内的真数中寻找对应，看尺上面标记的根数，再用铜尺的上端对齐尺上面的细界线，量到真数所在的位置，也就是该根数下面的零数，用墨线在铜尺上标记。再查找另一个数上面的根数，并加到所标记的根数上，再用铜尺上墨线标记的地方对齐尺上面的细界线，量到另一个数真数所在的位置，也就是该根数下面的零数，再用墨线在其下标记，那么两个零数也就连成一条直线了。于是查看两次合并后的根数，在尺上面的根数中寻找对应，再用铜尺的上端对齐尺上面的细界线，衡量下面所标记墨线处相遇的真数，就得到了两数相乘的结果。如果遇到两个根数合并超过一千根，以及两个零数相接超过一根的情况，都依照前面的方法衡量。

译大凡有法数和实数想要进行除法运算的，先在尺内的真数中找到与实数对应的刻度，看尺面上方标记的根数。另取铜尺，将其上端对齐尺面上方的细界线，量到实数真数所在的位置，即根数下方的零数，用墨线在铜尺上标记。再用同样的方法在尺内真数中找到与法数对应的刻度，看尺面上方标记的根数，也用铜尺上端对齐尺面上方的细界线，量到法数真数所在的位置，即根数下方的零数，在铜尺上方叠加墨线标记。先将实数的根数减去法数的根数，查看剩余的根数在尺面上方对应的刻度。再用铜尺上实数的零数减去法数的零数，用剩余的差数对齐尺面上方的细界线进行测量，其下方墨线标记处相遇的真数，就是两数相除得到的商。如果遇到实数的根数少于法数的根数，以及实数的零数少于法数的零数的情况，都按照前面的方法进行测量。

大凡计算四项比例，依照常规方法，第二率与第三率相乘的积作为实数，以第一率为法数进行归除，就得到所求的第四率数值。因此使用量法时，也将第二率与第三率的根数和零数像乘法那样合并，作为实数。再像归除法那样，减去第一率的根数和零数，查看剩余数值，依照前面的方法进行测量，就得到所求的第四率数值。其原理与使用对数表相同。

大凡开平方，先在尺内真数中找到与平方积对应的刻度，看尺面上方的根数。如果是偶数，就可以直接折半；如果是奇数，就少记一个根数，移到纸上。再用纸对齐尺面上方的细界线，量到平方积真数所在的位置，即根数下方的零数，用墨水在纸上标记。随即查看折半后的根数在尺面上方对应的刻度，再将纸上的零数对折，对齐尺面上方的细界线，测量其下方墨线标记处相遇的真数，就得到平方边长。但必须审察平方积的位数，一定要加上首位数到根数上，折半后再去掉首位数进行测量，这样平方边的数值才不会混乱。因为平方积两位确定平方边一位，所以如此。如果平方积只有单位数，那么首位数就是即将根数折半。如果平方积在一百以内是两位数，那么其首位数为一，必须加一千根到根数上折半才合适。如果平方积在一千以内是三位数，那么其首位数为二，必须加二千根到根数上折半才合适。依次类推，都是这样。

大凡开立方的根数，也一定要加上首位数，只是根数和零数各取其三分之一，像前面的方法那样测量其相遇的真数，就得到立方边长。多次乘方则依次数递推，如三次方取四分之一，四次方取五分之一之类。

中西历学源流异同论

叶耀元

我私下认为，天地之间有万古不变的真理，没有百世不变的方法，万事都是如此，在历法中最为明显。所以研究历法的人只应当顺应天道以求符合实际，不应当为了符合而验证天道。尧命令羲和，观测日月星辰的历象；舜使用璇玑玉衡，来协调七政。这都是随时考察测量，以符合天道。从未听说确立一种千古不变的方法，能够永远符合天象。虽然孟子所说：“如果探究其规律，千百年后的冬至可以坐着就知道”，但也仍然属于追求符合的说法。自古以来研究历法的有七十多家，疏密交替，详细推演各不相同，但探究其原理不外乎唐尧虞舜时所确定的模式。历法、天象、璇玑玉衡，就是算术图像以及测验的仪器。这是研究历法的大经，即使万世也不能改变。然而历书在夏商周三代以前，确实有原本，但师徒代代相传的学问最终都丧失在秦始皇的焚书之火中。只有《尧典》仅记载以三百六十六日为岁实。杜预说这是举全数而言，则有六日，其实为五日又四分之一日。《日躔论》说汉晋各家都以日行一度，三百六十五日又四分之一日，而绕一周天。自北齐张子信开始察觉有入气之差，而设立损益的比率。隋代刘焯设立盈缩躔度与四序为升降，其方法更加详细。到元代郭守敬乃将盈缩分为初末四限，定岁实为三百六十五日又一万分日之二千四百二十五，较前代更为精密。到前明西方历法逐渐传入中国，历数之学才开始称美完备。自汉代西人多禄亩，到明代第谷，则确立为本天高卑本轮均论等学说，用三角推算，其术尤其精妙，乃定岁实为三百六十五日又一千万分日之二百四十二万一千八百七十五，与郭守敬相比又减少了万分之三有余。本朝西人刻白尔噶西呢等人更相互推考，又以本天为椭圆，均分其面积为平角度。又月离古历都谓月每日行十三度又十九分度之七。汉代贾逵开始说月行有迟疾，到刘洪列为差率。元代郭守敬定为转分进退时各不同，犹如现在的初均。等到如今西方历法更加明晰，才知道太阴共有十种行度，都因日行盈缩及本天高卑两弦朔望而产生，均与旧法截然不同。只是因为古时历年既浅，所差甚微，不是一时所能看清的，等到岁月迁流，积微成著，然后共同看见而差法确立。这不是前人的智慧不如后人，而是前人不能预见后来的差异，而后人则能考察前代的度分。所以世愈以

译历法越往后发展越精密，其趋势本来就是这样。这就是历法之所以古代疏略而现代精密的原因，确实是有缘由的。考察西方历学起源于罗马国，罗马历从努马到凯撒，儒略历一年定为十二个月，是由祭司和官吏随意改定的。后来凯撒儒略征聘亚历山大天文学家索西琴尼制定历法，才开始创立三百六十五日及三百六十六日两种假岁实的方法，以三百六十六日为闰年，每四年一闰，与郭守敬、第谷等人所定的岁实大致相近。于是以耶稣降生前四十五年正月初一日为起点，改用新历。按照《史记》记载，这应当在汉宣帝、汉元帝年间，当时历法尚且混乱，所以史书称那几年为乱年。此后儒略的政令尚未实行他就去世了，死后祭司不明白历法，把当年作为第一个闰年，到第四年又设为闰年，如此每三年中一闰。历经三十六年，按法应当闰九日，却错误地闰了十二日。凯撒奥古斯都察觉其错误，下令十二年不置闰日，这才符合儒略的本意，此后不再更改。等到小余积累久了，自然产生误差，于是由格里高利加以改正。当汉孺子婴初始元年、新莽建国四年以及天凤三年等，都是闰日之年，历法家都依据这些向上推算。直到唐代才开始有九执历，元代末年才开始有回回历，这是统括回部各国、犹太等历法而言的。欧洲人又从回历中加以精进，近代卡西尼等人相继兴起，阐明精微，发掘奥妙，推测尤其详细。当时西方历法都尊崇他们。然而术数有疏密之分，古今途径不同，道理极其精微，中西是一致的。我国家恩泽遍及中外，一视同仁，于是聘请西方人协助管理历法，这就是《历象考成》等书产生的由来。

译然而对于历法推算等学问，都穷尽了精微之处。只是中国向来以设置闰月来确立四季、构成一年，其原因在于地球经历三百六十五日五小时三刻三分四十五秒绕太阳一周，月亮大约经历二十九日十二小时二刻十四分二秒绕地球一周。地球绕太阳一周，月亮绕地球十二次还多出十天左右，所以三年设置一个闰月，五年设置两个闰月，十九年设置七个闰月才刚好符合周期。至于二十四节气，古时都是平分一年的实际天数，所以称为“恒气”。现在根据太阳运行的盈缩来确定其增减，称为“定气”，而节气一个周期与一年的实际天数仍然相同。西方国家以太阳在恒星十二宫中的运行将一年分为十二部分，他们既然不以月亮圆缺为标准，所以没有正月、二月等名称。俗称的外国正月、二月，是中国人这样称呼的，就是这样罢了。在西方历法学家那里，本来就没有所谓“月”的概念。然而他们十二个月的天数也各不相同，因为黄道上有高卑之差，太阳的运行也就因此有加减。比如在磨碣宫（摩羯座）太阳运行位置最低，速度快，所以二十八天运行完一宫；如果在巨蟹宫太阳运行位置最高，速度慢，所以三十一天运行完一宫。总共以三百六十五天为一年，比起一年的实际天数还少五小时左右，所以每四年增加一天（闰日）。又因为四倍的五小时左右还不足一天的数量，所以又经历一百二十八年少增加一天。按规则应该增加三十二天的，只增加三十一天才符合周期。闰日是根据太阳运行的度数来纪年，闰月则是根据月亮运行的度数来纪年。虽然划分月份和设置闰法各不相同，但纪年纲纪没有细微差异，这叫做不约而同地契合。中国以正月初一为岁首，梅勿庵说西方国家以太阳运行到斗宿四度作为正月初一，有人说西方国家以地球处于最低点作为过年日期。两者相差尚且微小，因为最低点每年向东运行约六十二秒，恒星每年向东运行约五十一秒，仅差十一秒，需要积累到三百二十七年多才差一度。推算今年冬至最低点距离冬至点后十度五十八分四十一秒。注：此论是光绪丙戌年所作。冬至后二十天内，太阳运行最快，每天大约一度多一点，所以冬至过十天就是西方国家的过年日期，即中国十二月初八日。西方人常在过年前八天作为耶稣诞辰，即太阳运行到第十二宫第二十五天，所以耶稣诞辰在中国冬至后三天。虽然中西两种历法不同但实质相同，然而相同之中又有不同。耶稣诞辰在冬至后三天，在近今六十年中是这样。推究其根本原因，并非关乎理法的疏密，而是由于立法各异、天象变迁。只是西方国家总以地球处于最低点作为过年日期，最低点又每年向东运行约六十二秒，大约经历六十年差一度，所以六百年之间最低点距离冬至已经差了十度了。如果以太阳运行到斗宿四度作为过年日期，大致相同，如今年最低点后距离冬至十度零，过六百年将变为距离二十度零，那么西方国家过年日期也将在中国冬至后二十天，而耶稣诞辰也就因此变为后十三天了。大凡六十年中也有一两天的参差，今年交冬至节在十一月二十七日卯初，所以是后三天；假如在二十六日亥时交冬至，则变为后四天了。只是查康熙戊辰年瞻礼单，耶稣诞辰在冬至后四天，似乎是以太阳运行到斗宿四度作为过年日期。考察最低点与冬至同度，应当在宋理宗时，自宋以上又差而在前，所以上溯到汉哀帝庚申年，最低点以前距离冬至约二十二度十六分，所以耶稣降生的时辰应当在哀帝庚申年十月，即冬至前二十七或二十八年，为小雪后两三天。一千九百年之间，已经差了三十一天，这就是所谓相同之中更有不同。我依据最低点向东运行的道理推算，从今往后大约经历一万零一百四十年之久，那么地球绕日轨道的最低点和最高点将交换位置，最低点当在夏至点，而西方国家过年之日在中华夏至之期，即耶稣诞辰在中国夏至前三天了。当那时，北半球夏天产生酷暑，冬天有严寒，越靠近北极其苦痛越甚，因为最低点和最高点所受日光之比如同十六与十五之比，土地都环绕北冰海披离下垂，所以南半球多水，北半球多陆，水可以反射光线所以难受热也难散热，陆地能传热所以易受热而易散热。夏至北极朝向太阳，日光直射北半球，只有地球适当在最高点才相宜，然而那时适当在最低点其积热，应得百度者，增为一百零七度。冬至南极朝向太阳，日光斜照北半球，如果地球当在最低点，则尚且相宜。然而那时适当在最高点，其余热应有二十度者，减为十八度。虽然略能凭借运行度数的盈缩而交替消长，然而哪里比得上今天消长的自然呢？有人说：寒暑表上升降几度，在人似乎不大觉得，有什么苦痛呢？回答说：伏暑增加两三度，不能忍受；隆冬减少两三度，不能忍受。没看见那赤日当空，火伞方张的时候，竟然有多挂一丝而不能忍受的，这是什么缘故呢？又没看见云

译愁绪如水凝结，在灯火清冷、床榻寒凉的境况中，简直让人想要拿起刀剪却又难以忍受，这又是为什么呢？到了夏至时节，气温又将增加七度的炎热，难道有人不叫苦吗？从此再经历一万多年，又会回到今天这样的状况，这又是天体运行的循环，也是中西历法中岁月最大的不同之处。至于最低处与最高处的根源，以及最低处运行不息的原因，则其道理非常精微，一时难以揣测，即使是欧洲精通天文的专家，也不明白其中的奥妙。只是大概其原因必定在于恒星上。

译重新制定测量北极出地高度的简便方法

胡惟德

西方人颜家乐测量北极出地高度的简便方法，见于《赤水遗珍》，《畴人传》也记载了它。该方法首先在该地测量一颗恒星，从它升起地平线到正午所经历的时间，以及它的高度，将时间转换为赤道度数，以其大矢为第一比例项，正矢为第二比例项，高度的正弦为第三比例项，求得第四比例项为正弦，查表得到度数，从中减去星距天顶的度数，余数与九十度相加，折半后转减九十度，得到北极出地的高度。但此法必须满足北极出地高度不满半象限，且恒星过子午圈时位于天顶以南、赤道以北，否则不适用。李壬叔认为这不是通用的方法，因而加以修改，见于他所著的《天算或问》。他的方法根据恒星在赤道南北的不同，大矢、正矢也不同；其乘除运算根据恒星的高弧或深弧在南北的不同，两弧也不同；其加减法虽然大致完备，反而变得繁琐。所以颜氏的方法简便但不完备，李氏的方法完备但不简便，学者最终难以领悟。现在变通两家的方法，编成通用法则，各种题目都可以一以贯之，并在后面补充图表和演算草稿，推步之家或许会有所取用。光绪十二年丙戌年夏六月，丁澣在沪滨格致堂题识。

方法说：在一处任意测量一颗恒星，从它升起地平线到子午圈所经历的时间，以及它在子午圈的高弧，于是将时间转换为度数，以其本角的正矢为第一比例项，外角的正矢为第二比例项，高弧的正弦为第三比例项，求得第四比例项为正弦，检表得到度数，即为恒星的深弧，与高弧相加，减去半周，折半得到北极出地的高度。从地平圈南到恒星出地最高点为高弧，从地平圈北到恒星入地最深点为深弧，两弧如果有超过象限的，仍使用本角度，不使用外角度。

图略

如图，午、癸、丙、丁为依据，子午圈剖成平圆面，乙丁是地平，癸是北极，癸乙是北极出地，午是赤道交子午圈的点，甲是恒星，甲丙是星道直径，甲丁是高弧，甲壬是它的正弦，乙丙是深弧，庚丙是它的正弦，甲辛是星道度本角的正矢，辛丙是星道度外角的正矢。恒星一昼夜绕一周，所以将时间转换为度数，即为星道度。甲辛壬与辛庚丙两个直角三角形为同式，所以星道度本角的正矢即甲辛弦与星道度外角的正矢即辛丙弦之比，如同高弧正弦即甲壬股与深弧正弦即庚丙股之比，由此比例得到深弧正弦的道理。甲癸与癸丙两弧相等，都是深弧加北极出地的度数，用甲丁高弧减去乙己丁半周，余下的甲乙弧是北极出地的倍度，又加深弧的度数，所以将高弧深弧相加减去半周折半，即为北极出地的度数，这是通过加减得到北极出地的道理。怎么知道星道度本角的正矢是甲辛，外角的正矢是辛丙呢？如甲卯丙未为依据星道剖成平圆面，甲丙是星道直径，丑甲是恒星从出地平到子午圈所过的度数，甲心丑是本角，其正矢为甲辛，丑心丙是外角，其正矢为辛丙。

在一处测得一颗恒星从出地平到子午圈，历时二十六刻二分，高弧六十三度。求北极出地的度数，草稿说：将恒星从出地平到子午圈的时刻转换为度数，得到九十八度，其本角正矢为一一三九九七三，外角正矢为八六八二七一。于是以本角正矢为第一比例项，外角正矢为第二比例项，高弧正弦八九一六五为第三比例项，求得第四比例项六七三二九八，为深弧正弦。检表得到四十二度十九分，与高弧相加得到一百零五度十九分，减去半周，得到七十四度四十一分，折半得到三十七度二十分三十秒，即为北极出地的度数。

对数草稿说：九十八度，本角正矢对数为一五五六八九七一，外角正矢对数为九九三四九一二八三。于是以本角正矢对数为第一比例项，外角正矢对数为第二比例项，高弧正弦对数九九四九八八七八为第三比例项，求得第四比例项九八二八二七为深弧正弦对数。

译四三七一五八五，是深弧正弦的对数。查表得到一百五十三度五十三分，按照前面的方法加减，便得出北极出地的高度。

译在一处观测，测得一颗恒星从地平线升起至经过子午圈历时四十二刻二分，其高度弧为一百二十一度，求北极高出地平的角度。

草稿说：将恒星从地平线升起至子午圈的历时换算成度数，得到一百五十八度。其本角的正矢为19271839，外角的正矢为728161。于是以本角正矢作为第一率，外角正矢作为第二率，高弧的正弦8571673作为第三率，求得第四率3238693，即为深弧的正弦。查表得到一度五十一分，与高弧相加得到一百二十二度五十一分。用此数减去半周（一百八十度），得到五十七度九分，再折半得到二十八度三十四分三十秒，这就是北极高出地平的角度。

对数草稿说：一百五十八度，本角正矢的对数为1.28492315，外角正矢的对数为8.86222767。于是以本角正矢对数作为第一率，外角正矢对数作为第二率，高弧正弦对数9.9336559作为第三率，求得第四率8.513711，即为深弧正弦的对数。查表得到一度五十一分，按照前面的方法加减，即可得到北极高出地平的角度。

附录：用真数和对数求正矢的方法

用真数求正矢，用余弦减去半径，即可得到。如果弧长超过象限，其余弦为负值，所以用加法代替减法。

用对数求正矢，无论弧长是否超过象限，将半弧正弦的对数加倍，加上2的对数3.12999，再减去半径的对数1，即可得到。因为首率是半径，中率是通弦，即半弧正弦的两倍，得到末率是正矢的两倍。所以通弦自乘后取一半，再除以半径，即为正矢；而通弦自乘取一半，也就是半弧正弦自乘后再乘以2。现在对数中加倍相当于自乘，加法相当于乘法，减法相当于除法，所以将半弧正弦的对数加倍，加上2的对数，再减去半径的对数，即为正矢的对数。

近代畴人著述记

华世芳

《畴人传》自罗茗香续写之后，再也没有人继续续写。近来数学家的著作序跋，足以继承前贤并开启后学的，并不缺乏。但是有的人身处偏僻角落，遗书未能显扬；有的人英年早逝且多故，著作未能完成，这样的情况也常常存在。想要搜访并续辑这些资料，确实不容易说。然而，潜心钻研数理的人，是名山中的绝代伟业；多方搜集记录的人，是仰慕先贤的苦心。我不揣浅陋，勉强效仿管窥之见，意在网罗人才，若有繁冗之处，谨分条整理如下。

仪征阮文达公元曾经依据虞翻的推演，认为《小雅·十月之交》发生在周幽王六年，因此使用时宪术士推演幽王六年十月朔日正值交食，在督理漕运时制定粮船盘粮尺的算法并颁行各省。他又曾追溯古今沿革的源头，探究中西异同的缘由，搜集史书，荟萃典籍，创立了《畴人传》。从黄帝以来，甄别并记录，得到二百八十人，综合了算学的大成，记载了步测天象的正轨，至今游艺之士奉为指南针。

甘泉罗茗香士琳年少时所著，有《比例汇通》四卷，摘录《九章算术》中切合日常使用的部分，汇编为《比例十二种》，意在阐发西方算法，后来更加专精于天元、四元之术，著有《观我生室汇稿》，已刻印的共有九种：一是《句股容三事拾遗》，依据博绘亭的方法，取句股中旧有的容方、边容圆、径，增加西方算法的容中垂、交互相求，一律用天元术驾驭；二是《三角和较算例》，取斜平三角中已知两边夹一角的方法，融入立天元一法，用和较推演成公式；三是《四元玉监细草》，因为朱松庭原书秘奥难懂，耗费十年精力，逐步写出全部草稿，补漏订讹，申明疑义；四是《演元九式》，概括《玉监》中进退、升降、消长等例子，借无数之数引入正负开方式；五是《台锥积演》，因为《玉监》中有茭草形、段果积垒藏二门，足以补充少广的缺失，于是取台锥形引申发挥；六是《周无专鼎铭考》，以四分周术为主辅，佐以三统、汉术，推演出宣王十六年九月既望甲戌日，与铭文相合；七是《续畴人传》，因为阮元传历时长久，有应续增入者，于是增补得到六卷；八是《弧矢算术补》，因为李四香《弧矢算术》其术未完备，于是增加二十七术，合成四十术；九是《增广新术》，推广正升、斜升、橫升的算法，以求得月亮随地随时之明魄方向分秒，又用其术通之，以求得交食限内之方向边分及所经历的边分；未刻印的有六种：一是《交食图说举隅》，遵循现行的椭圆法，在各求下缀以法解；二是《春秋朔闰考》，汇集黄帝以来六术及汉三统术，考证《春秋》自隐公至哀公共二百五十五年，总经传七百九十九日名，演算成书；三是《缀术辑补》，因为祖冲之的《缀术》久已失传，于是搜括各书，参以本法，演算得到二卷；四是《句股截积和较算例》，因为孔〇轩《少广正负术》所载未尽完备，推而广之，得到八十四术；五是《淮南天文训存疑》；六是《博能丛话》

译甘泉将易蓉湖的《瀚》书，因罗列茗香、玉监、细草等书在体裁上有所拘限，凡是四元术的条段混杂交错，开方术的头绪纷繁复杂，全都未能明确指出其义例，于是摘取开方以及天元、四元等各种算例，编成《四元释例》一书，附在《罗草》之后。

译山阳人骆春池名腾风，撰写了《开方释例》四卷，对于各种乘方、方廉、和较、大小、加减的道理，都质朴直白地加以阐述，并且推求各种元数的进退、确定商数的各种方法，足以弥补李四香《开方说》中未曾完备的地方。他又曾选取衰分、方程、勾股等方法，以及《九章算术》中未记载的，还有古今算书中未能全面涵盖的内容，追溯本源加以纠正，编成《艺游录》二卷。

全椒人江云椎名临泰，善于使用对数，所著的《弧三角举隅》在流传中被误认为是张作楠所作，其内容简明直截，附刻在张丹村的《翠微山房丛书》中。

黟县人俞理初名正燮，博览群书，擅长考订，兼通天文历算之学。他所著的《沟洫》《东田》等解说，以及关于恒星、七曜、古代历法、四分历等论述，都独具见识，是前人未曾说过的。

德清人许积卿名宗彦，是经学家而兼精通推步之理，著《太阳行度解》，用以辨正王寅旭、戴东原的错误。其篇目为：“解日本天”、“解日行黄道”、“解日经度”、“解日纬度”、“解求经纬度”、“解高卑盈缩”、“解用赤道度”、“解日度无阔狭”、“解日左右旋”，共九篇。

元和人沈狎鸥名钦裴，曾为李云门校勘《九章算术》的细草图说，其中均输一章多有增补修订，又补作了《海岛算经》的细草。晚年从张古愚家中得到秦道古《数书九章》的抄本，订补脱漏历时多年。著有《秦书刊误》，因年老多病未能完成，去世后其弟子宋勉之搜得残稿数卷，采纳他的说法编入札记。沈氏居住京师时，曾手抄徐氏所推演的《玉监细草》数段，因而想要补撰全草，遗留的四册手稿被长洲人马远林名钊收藏。我的老师张啸山先生曾见过，其细草与罗氏的大同小异，实际上不如罗氏详尽。然而四象朝元第三、第五两问，罗氏细草中方廉隅等数都与原术不符，竟然没有说法来处理这种情况。沈氏所推演的唯独与原术相合，这是胜过罗氏细草的地方。马君打算刊刻却未能实现，后来马君殉难，遗稿便再也找不到了。

江阴人宋勉之名景昌，著《数书九章札记》，以沈狎鸥所校明的抄本为主，参酌李四香所校的四库馆本，搜集众说而折衷判断，足以供后学考证。他又曾校勘《杨辉算法》六种，都刻入《宜稼堂丛书》中，其中未刻的有《开方之分还原术》一种。

无锡人邹敬甫名安鬯，精研琴理，著《琴律细草》一卷。他笃好天元一术，校读算书，每当有所心得，就题写在书页眉上。他曾认为郁刻的《秦道古数》《书九章》错误错乱层出不穷，演算不易，所以用力尤其勤苦，而辨正之处很多，有沈、李、毛、宋各家所未能涉及的。我私下打算编次他的说法为《数书校议》一册，或许乡先哲的学术可以不致埋没。

乌程人陈静杰著《算法大成》上编共十卷，门类分类，意在引导初学者。其中平弧三角数卷，颇能洞察本源。勾股求三整数法，尤为新得的道理。只是他把天元正负各种乘方当作算家故意设置的难题，不适于实用，未免被识者所讥笑。下编十卷，则是从方法到应用。但没有刻本，大概是未定稿。又有《缉古算经细草》一卷、图解三卷、《马义》一卷，刊行于世。又有《彗知谱》一册。他的弟子有乌程人张南坪名福禧、归安人丁宝书名兆庆，都通晓算学但未完成著述。《算法大成》中录有他们关于两边夹一角直接求对边术的解说，颇为明晰。

钱唐人项梅侣名达，其算学著作已刻印的称为《下学算书》，共三种，一是《句股六术图解》，变通旧法，将术分为六类，使题目相同的通为一术，图解明晰，比例精简；二是《平三角和较术》；三是《弧三角和较术》。在极数究理于无可比例之处，寻得比例，婉转妙合，是古所未有的。可惜其图解尚无成书，未刻的称为《象数一原》。项氏原书只有六卷，而卷四仅六页，是未完之书。去世后，其友人戴鄂士校补，才成为全书，共七卷。卷一曰《整分起度弦矢律论》，卷二曰《半分起度弦矢律论》，卷三、卷四曰《零分起度率矢论》，都以两等边三角形阐明其象，用递加法确定其数，最后申论其算法。卷五曰《诸术通诠》选取新立的此弧弦矢求他弧弦矢二术、半径求弦矢二术，以及董氏、杜氏诸术，按术加以阐释。卷六曰《诸术明变》，杂录所定的弦矢求八术、开各种乘方捷术、算律管新术、椭圆求周术，都是从递加数转变而得的。卷七曰《椭圆求周图解》，则是鄂士所补纂的。他的弟子钱唐人王吉甫名大有，笃好算术，涉猎中西两家学说，曾校刻《割图捷术合编》，不知是否有其他著述。

乌程人徐壮愍公名有壬，著《务民义斋算学》，已刻印的共七种：一是《测圆密率》，本于杜德美、董方立等人屡乘屡除

译《造表简法》，运用垛积招差的方法，来求得西方人建立数学表式的根本；《椭圆正术》，因为新法中关于盈缩迟疾的计算都以椭圆为基础，但取径迂回，计算繁重，于是撰写了这部著作，方法简捷而精密，尤其便于使用对数；《截球解义》，直接阐明了球体与等直径、等高度的圆柱体其外表面积也相等的道理，这是几何学未曾揭示的；《弧角拾遗》，概括了旧法中的垂弧、次形、矢较等条目，并统一归结为和较，应用于对数计算尤为便利；《表算日食三差》，因为西方历法推算多依赖数学表式，唯独日食没有建立推算方法，所以用新法加以补充；《朔食九服里差》，扩充了古代天文学家的旧法，作为各地州郡随时观测日食的标准。其中未刻印的，还有《堆垛测圆》三卷、《圆率通考》一卷、《四元算式》一卷、《校正九执术》一卷、《古今积年解源》二卷、《强弱率通考》一卷，毁于战火，无法再见到了。

译钱塘戴士煦，字鄂，在《粤雅堂丛书》中刻印了他所著的《求表捷术》三种，共九卷。第一种叫《对数简法》，是《对数简法》的续篇。起初用开方表来求各种对数，后来因为假设对数，即纳皮尔对数，来求确定的标准对数，即十进对数。接着领悟了开无限次乘方的方法，用连比例来求各种对数，而得到的数值更加快捷，这就是求对数表的快捷方法。第二种叫《外切密率》，用连比例、互比例，借助杜德美求弦矢的各种方法，变通用来求切割，两种割圆的方法于是完备，这就是求八表（割圆表）的快捷方法。第三种叫《假数测圆》，创立了负算对数，可以舍弃八表而直接用弧长代入计算，来求它的八表对数，这就是求八表对数的快捷方法。又有《四元玉鉴细草》，与罗茗香所著的略同，但图解明白通畅超过了他。《音分古义》二卷，用连比例建立算法，与古代律吕分数相合，都没有刻印。

吴县冯桂芬，字景亭，著有《弧矢算术细草图解》一卷，原本依据李四香的十三题而详细推演，天元加减乘除、开方等各种式子，意思浅显语言详细，对初学者有裨益，刻入《昭代丛书》中。咸丰末年，西方人的新算法刚传入中国，通晓其方法的人很少，而李壬叔所翻译的《代微积拾级》一书，尤其难读，于是取他的书逐节疏解，与上元陈子瑛共同撰写《西算新法直解》一书，只是轻率地改动了他所记录的符号、所替代的字，这正如同戴东原变更旧名，反而足以疑惑误导后学。又有《中星表》，按照咸丰辛亥年天正冬至的星度建立算法。

金山顾观光，字尚之，著书很多，全部稿件名叫《武陵山人杂著》。其中谈论算法的有十一种：叫《算剩初续编》共二卷，叫《九数存古》，依据《九章算术》分为九卷，而将堆垛、大衍、四元、旁要、重查、夕桀、割圆、弧矢等各种方法附在后面，都是从古书中采录而分门别类归入的。叫《九数外录》，则概括西方算法为对数、割圆、八平、三角、球面三角、各等面体、圆锥、三次曲线、静力学、动力学、流体静力学、天体力学。作记十篇：叫《六历通考》，根据《开元占经》所记载的黄帝、颛顼、夏、商、周、鲁的积年来进行考证。叫《九执历》，叫《回回历解》，都是就其方法而疏通证明。叫《推步简法》，叫《新历推步简法》，叫《五星简法》，都是就畴人（天文历算家）所用的方法将度改为百分，趋向简易而省去曲折。叫《算剩余稿》，叫《杂著》，则是他死后，我的老师张啸山先生为之分别编次的。

杭州夏鸶翔，字紫笙，遗书共四种，叫《万象一原》，叫《致曲术图解》，推究纵横的条理，研究微积分的奥秘，叫《洞方术》，探索递加数、尖堆底的原理，可以用加减代替乘除，作为求弦矢的捷径，叫《少广缒凿》，专门建立快捷方法来开各种乘方，通为一种方法，可以直接求数十位的方根，无论是益积、翻积，都视为平坦的道路了。

临川纪大奎，字慎斋，著《笔算便览》，他的书以笔算为名，而兼及筹算，阐述宣城梅氏的道理，全都显得简明。同治庚午年，南昌梅氏重新刊印《算经十书》，曾取他的书附刻在后面。

广州何梦瑶，字报之，曾删订《算法统宗》以及辑录梅定九、朱吟石两家的书，共为四卷。又抄录撮要《数理精蕴》，得到八卷，合为一书，共得十二卷，名叫《算迪》。现在伍氏刻本只有八卷，大概不是他的全部稿件。

南海邹伯奇，字特夫，遗书说：“学计一得以算术解释经义，作为治经者的辅助。”说补《小尔雅》解释度量衡三篇，广泛引用传注，考证详细明白。说《格术》补述《梦溪笔谈》的遗绪，作为算学的支流。说《对数尺记》因西方对数表而变通它，用尺代表表，制作简便使用广泛。说《乘方捷术》首先建立开方四种方法，以阐明其道理，又建立求对数比较四种方法，以探究其深奥，最后设置对数开方、计息等草稿，以显示其方法切合日常使用。说《存稿》，则是杂文。曾经绘制舆地全图，其经度没有盈缩，而纬度逐渐狭窄，相互比较都是半径与余弦的比例，横向九幅，纵向十幅，合在一起就成为地球，波涛四溃的形状，用圆绘制圆，其形状非常相似。又依据咸丰甲寅年前恒星的经纬度，绘制赤道南北恒星图二幅。其未定的书还有《测量备要》二册，他的弟子伊善卿、德龄有《求弦矢通解》一卷，刻入《传习录》中。

嘉定时，清夫说：“醇熟于求一的方法，曾经用大衍一术求等约分，头绪不一，撰写《求一术指》一书。晚年眼睛已经双目失明，还能用手按珠盘，口授给他的儿子，著《百术衍》二卷。用张邱建《百一题》衍为大、中、小二色，都有分子的题目，以尽通分之妙。每题分别设立两种方法，一种用方程驾驭，一种用求一驾驭，以显示术理相通。”

译每次提问各自列出三种答案，以保留其大概。然而疏漏简略之处很多，如果用代数方法去求解，那么符合问题的答案数量还不止这些。

译兴化人刘熙载，字融斋，撰写了《天元正负歌》四则，简明快捷且容易明白，最适合初学者。这些内容见于《昨非集》。

长沙人丁取忠，字果臣，是楚地南部算学学术的倡导者，曾经校勘刻印《白芙堂算学丛书》。他所撰写的著作有：《数学拾遗》，多阐发古今算学家未尽的旨意；《舆地经纬度里表》，依据魏源的《海国图志》来补充张氏的《揣龠小录》，为之分析旗部，增补《海国推距里》。只是魏源的地图辗转摹绘，所记载的经纬度不足以作为依据，而据此推算，难免有毫厘之差导致千里之谬的错误。就像如今实测英国伦敦为中国京师偏西一百十六度二十八分，而此表却说是偏西一百二十七度十分，相差达一千二百多里，其他各国的错误率也类似；《粟布演草》，该书以计算商业生息为题，汇辑各家的算法草稿，以阐明开方的方法，而邹特夫的截算、续商两种方法，也借此附带显现；《对数详解》，完全依据代数的方法，而阐明对数的原理与应用，算式繁重，演算不易，这是曾栗諴的功劳。

海甯人李善兰，字壬叔，曾与西方人士伟烈亚力继续翻译《几何原本》的后九卷，以完成徐光启未完成的事业，又翻译了《代数学》十三卷、《代微积拾级》十八卷、《重学》二十卷、《曲说》三卷、《谈天》十八卷，刊行于世。代数，就相当于中国算法中的天元、四元。只是天元、四元所重视的，在于行列位次，而代数则不论行列位次，一切都用符号来表明，所以其原理虽然相同，但应用更为广泛。微分积分，凡是平面和立体都假设为由小渐大，一刹那之间所增加的积，就是微分。其全部的积就是积分。一切曲线及曲线所包容的面，曲面及曲面所包容的体，八种弧背互相求取，真数与对数互相求取。过去所说的没有方法而难以求取的，现在都有方法求取，而且非常容易了。重学，这门学问分为动静两支，静重学所推演的是力相互平衡；动重学所推演的是力产生速度，速度有匀速、渐加速之分。而其原理的大要有二，一是分力合力，二是重心，这是静动两学所共有的。又有流质重学，其力有两种，一是互摄力，二是互推力。曲，指的是圆锥三曲线。一是椭圆，二是双曲线，三是抛物线。放置圆锥形截之，其截面与锥底交角小于锥腰与锥底交角的为椭圆，大于锥腰与锥底交角的为双曲线，等于锥腰与锥底交角的为抛物线。《谈天》，是西方人士候失勒所著的天文学著作。其中说太阳与恒星不动，而地球与五大行星都绕太阳运行。地球与五大行星绕太阳，以及月亮绕地球，其轨道都是椭圆，且历时相等则所过的面积也相等。这真是顺应天道以求契合，而不是为了契合来验证天道。凡这几种，都是西方人极其精深的造诣，中土未曾有过的奇特之处，与明代末年所翻译的相比，远远超过它们了。他自己撰写的有《则古昔斋算学》，共十四种：《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》，都以尖锥术立算，发掘古人未发掘的秘密；《垛积比类》，则本于玉监遗法，而分条别派，详细说明，在《九章算术》之外另树一帜；《四元解》，指明算例，改定算式格式，详细演算细草图解术，虽然深奥，读此可以豁然开朗；《麟德术解》，以李氏的盈朒迟速二法为授时术的平定二差，所依托的起始原因，取史志所载校正而解释明白；《椭圆正术解》，因为徐氏所立的正术都极其精深，逐术为之补图详解；《椭圆新术》，则是变通正术而更加趋于简易；《椭圆拾遗》，拾取西方学说的遗义，以探究曲线的极致；《火器真诀》，以抛物线的方法通用于平圆；《尖锥变法》，解释考察西方术数的异同，区别方法的正变，可以抉破对数的藩篱而没有剩余蕴藏；《级数回求》，作为一切级数互相求取的准绳；《天算或问》，则杂记其答问之词，单文剩义，剖析入微；《考数根法》，数根，就是唯一可度量而其他数不能度量的数，立法共有四种，可补充几何学的未备之处。

新化人邹汉勳，字叔积，与丁果臣一同研究算学，尤其研究天文推步的书籍，著有《颛顼宪考》。他的弟弟季深汉池，也通晓算学，丁氏的《度里表》多出自他的手笔。

长沙人李锡蕃，字晋夫，著有《借根句股细草》一卷，概括七十八题，分为二十五术。大旨与李四香的《天元句股细草》相仿，而西方算法的借根，就是中国算法的天元。本来可以相辅而行。

湘阴人左壬叟所著的《有割圜八缀术补草》、《缀术释》、《明缀术释》、《戴》等书，一贯使用天元寄分的方法，用来建立算式，巧妙变化莫测。又有《通分捷法》一帙，将要通分的分母分子析为极小数根，而相同的去掉，任意以多项通分，顷刻即可得到。

湘乡人曾纪鸿，字栗諴，是曾文正公的次子。著有《圆率通考》，依据

译西方人士尤拉的方法，见于《代数术》二十五卷，并创立了新算法，推算出圆周率一百位，这是自古以来未曾有过的。他其他的数学手稿尚未编成书籍，最终因用脑过度，吐血而死。

译算学发展到今天，可以说已经登峰造极了。中国的天元术、四元术，就是西方人的代数原理，只是不如代数的变化多端。代数又不如微积分那样穷尽变数的变化。十年前，项名达、戴煦等人所创立的方法，非常接近微分。此后，随着世代的积累、人才的汇聚、智慧的叠加，或许会在代数和微积分之外另树一帜的人，也许会有，但不能肯定。我的朋友崔聘臣先生，名朝庆，观察事理清澈透彻，在算学方面尤其深入精微。他曾经与我讨论算学说：“算学自从项名达、戴煦等先生出现后，就达到顶峰了。”这足以证明是他发自内心的感慨。现在选辑二十多人的著作，虽然不能全部像项名达、戴煦那样，但也大多接近他们的水平。我确实领略到他们著作的精妙，并非随便抄录。阅读这部选辑的人，从这篇文章就足以窥见一斑了。丁亥年秋天，湘乡葛道殷心水在江南机器制造总局翻译馆作识。

皇朝经世文续编卷九

学术九 师友

座师门生辨

康乃心

商海梁药亭先生佩兰，在丁酉年中了解元，与京城一位权贵号称同学，兄弟般的情谊非常深厚。梁先生从丁酉年到戊辰年坚决放弃仕途进取，已经三十多年了。权贵恳切地邀请他入京，让他参加礼部的考试。这一年权贵正好主持考试，梁先生考中进士后，以门生的礼节来拜见权贵，徘徊着微微环顾说：“我们本是老兄弟，怎么能这样呢？”接着又说：“不然的话，应当先拜故人。”于是两人互相行了四拜礼。好像断绝了以前的交情一样，拜礼结束后，权贵接受梁先生的拜礼如同师生礼仪。河山氏说：“君臣之道重于朋友，这是万古通行的义理。然而所谓的君臣，是经典礼仪、纲常名教的大界限罢了。如果在朝廷受爵位，却在私室拜谢恩德，那就是私情，不是公义。到了这种地步，友谊就显得重要了。国家的制度，对于座师门生的称呼有禁令，并不是有不可解除或万不可逃避的义理。”当初权贵邀请梁先生时，是为什么呢？因为他是故交老儒，而恳切地让他参加同学间的雅集，以人事君主的诚意。让他出自门下而成为弟子，这是把朝廷的爵位当作自己德名利禄的媒介。况且两人不做好朋友，更不用说了。如果说布衣之交几十年，用四拜礼就了结，抛弃得像追逐野兔一样，那么他们的友谊也就太浅薄了。安然坐着接受拜礼，把故人当作弟子，这是伤害友谊，这是欺名盗利。有所图谋而邀请他参加考试，这是以故人为名，以结党营私为实，没有一样是可以的。况且权贵之所以看重梁先生，难道仅仅是因为门人弟子尊贵吗？权贵作为门人，也已经很有名了。一定要说：“他是名士，而我能录取他。”与其以名士为弟子为荣，不如以名士为友、为兄弟更为重要且伟大。汲长孺说：“让大将军有作揖的客人，难道不尊贵吗？”唉，世风衰败，欺瞒上级谋取私利，一切都以富贵利达为归宿。权贵本来号称雄杰，却也不能免于此，那么流俗的卑鄙，古道的丧失，已经很久了。

寄鲁裕珊同年

俞德渊

分别后承蒙另示，关于胡公一事，节制相国说得最早，我也不理解他是怎么得知的。节制相国耳目灵通，有常情所不能及的地方。我们这些人虽然每天听他说话，但也莫名其妙。想必天分高的人，能力是常人的几倍，不仅仅是喜欢询问咨询罢了。再听说楚北传言，称阁下胆识过人，风骨凛然。这话节制相国早就知道了，极为赞赏。我反复诵读讲述，钦佩之至。但有一句话，私下想向您请教：秉持正道、嫉恶如仇，固然我们的本性；隐藏锋芒、收敛锐气，也是处世的微妙权宜。从前韩魏公包容小人，善恶黑白不大分明，所以忌恨他的人少。范仲淹、富弼、欧阳修、尹洙曾经想要区分君子小人，所以忌恨怨恨每天都有，朋党也由此兴起。官场本来就是险途，近世人情尤其多不可测。我们自我坚守应当严格，不妨像乔松一样孤立；待人则应当处于温和与耿介之间，不宜过于显露迹象。私下希望阁下做韩公，不希望他做范公。我性格刚直，有话必说。以前在长洲四年，直率行事，幸好遇到的都是君子，没有跌倒。自从道光五年卸任首邑后，回想以前的事，动不动就触及细微的危机，因此改号默斋来自我警戒。没想到这次复出，又担任首郡，想沉默也不能。去年摘取吕子《呻吟语》刻了两方图记：一方是“浑涵不露圭角最妙”，一方是“只气盛而色浮便浅”，大概是对症下药的话。虽然知道自省，终究也不能自我克制，常常在心中隐隐作痛。阁下英才卓越，固然不是庸碌之辈可比。但我以日夜的针砭，作为良友的药石，大概不啻以自爱之心来爱护阁下罢了。如果论及书信，本来不应当妄自附会知己；只是忝居谱末，又自忖气味略同，不觉率意陈述，以自托于古人神交之列。阁下听了，应该笑我做了十年官，尚未脱去书生之气，那么我的幸运就多了。

潘四农手札书后

朱琦

叶润臣中翰收集他老师的手札十多通拿出来给我看，并且说：“这就是我以前所说的潘四农先生。”先生是山阳人，名德舆，博学且有坚贞的品行，尤其擅长诗歌。他在手书上署名“生曰生”，这是当时老师对弟子的称呼。起初