尚史卷一百　　　　　　　志八

译朋友于是最终会有福庆，这是应和的道理。至于以黄钟为宫时，太族、姑洗、林钟、南吕都以正声相应，没有细微的残分【孟康注：正声没有残余的分数】，不再作为其他律的附属者，这是同心一统的意义。若不是黄钟而是其他律处在相应月份，从该律起宫，那么与它和应的声音便会有空积忽微【孟康注：十二个月的气各以本月之律为宫；若不是五音中的正声，声音便有高低差别。空积，是郑氏把一寸分成数千份】，不能得到正声。这说明黄钟最为尊贵，没有其他律可以与它并列。《易》说：“三分天数、两分地数而设置数。”天的数从一开始，到二十五结束；用三来纪数，所以置一得到三，再加上二十五分之六，共置二十五次，按天数得到八十一；再乘以天地五位之数相合而终于十，得到八百一十分，对应历法一统【孟康注：十九年为一章，一统共八十一章】、一千五百三十九年一章的数目，这就是黄钟的实数。由此义理建立十二律管的周长和直径【孟康注：律管孔径为三分，是三分天数；周长为九分，是终极天数】。地的数从二开始，到三十结束；用二来纪数，所以置一得到二，共置二十次，终结地数得到六十；再乘以地的中数六，得到三百六十分，相当于一周年的日数，这就是林钟的实数【孟康注：林钟长六寸，周长六分，以周长乘长度得到积三】。【百六十分】人承接天而顺应地，调序四时之气以成就万物，统摄八卦，调和八风，治理八政，匡正八节，协调八音，舞八佾，监察八方，覆盖八荒，以完成天地的功业。所以八乘八为六十四，它的义理穷尽天地的变化。把天地五位相合而终于十的数乘进去，得到六百四十分，以对应六十四卦，这就是太族的实数【孟康注：太族长八寸，周长八分，积为六百四十分】。《尚书》说：“天的功业，人来代行。”天兼有地和人，所以天数还要乘以五位相合之数。只有天最伟大，只有尧能效法它，这是太族所象征的意义。地用中数相乘，是阴道主内、主持中馈的象征。三统彼此相通，所以黄钟、林钟、太族三律的长度都是整寸，没有余分。天的中数是五，地的中数是六，二者相合。六是虚数，五是声音之数，声音在六虚之间周流。所谓虚，是指爻和律中阴阳的升降运行；排列为十二，律吕便协调了【汉志】。广莫风位于北方。“广莫”的意思是阳气在地下，阴气不能压倒广大强盛的阳气，所以称为广莫。向东到达虚宿。所谓“虚”，是说它能实能虚；意思是阳气在冬天弯曲收藏于虚宿，到了冬至，一阴向下潜藏，一阳向上舒展，所以称为虚。向东到达须女宿。意思是万物发生变动时，阴阳之气尚未分离，仍然彼此相近，所以称为须女。此为十一月。律应黄钟。黄钟，是说阳气沿着黄泉向上而出。它在十二地支中对应子。子，就是滋生；滋生，是说万物在地下滋长【汉志：在子时滋生萌芽】。它在十天干中对应壬、癸。壬的意思是任，指阳气在地下任养万物；癸的意思是揆，指万物可以测度，所以称为癸。《汉志》说，万物在壬时怀藏孕育，在癸时陈列而可测度。又说：黄钟，黄是中央的颜色，也是君主服色。钟，就是种。天的中数是五，五属于声音，声音以宫声为最高，五声没有比它更大的。地的中数是六，六属于律；律有形有色，颜色以黄色为尊，五色没有比它更盛的。因此阳气在黄泉之下施种，滋生萌发万物，成为六气的本源。用黄色为元气命名，律则显现宫声。宫声以九应六，变化运行而不停留，周流于六虚之间，始于子，在十一月。郑玄《周礼注》说：声音的阴阳各有相合，黄钟是子月之气；十一月建子，星辰位于星纪。《白虎通》说：黄钟是中和之气。“钟”有发动之意，是说阳气在黄泉之下发动，养育万物。向东到达牵牛宿。牵牛，是说阳气牵引万物使其出土。牛，有覆盖之意，是说地面虽然冻结，万物仍能破土而生；牛又有耕种之意，表示耕作、种植万物。向东到达建星。建星，是说建立并促成各种生物。十二月，律应大吕。大吕【《史记》缺少对大吕的解释】在十二地支中对应丑。丑，就是纽，意思是阳气在上方尚未下降，万物受到束缚，尚不敢出土。《汉志》说，万物在丑时抽出嫩芽。又说：大吕，“吕”是旅的意思，指阴气大力辅助黄钟宣发阳气，使万物萌芽。大吕位于丑，在十二月。《周礼》注说：大吕是丑月之气，十二月建丑，星辰位于玄枵。《白虎通》说：“太”就是大；“吕”就是拒绝，意思是阳气想要出来，阴气却不允许。“吕”之所以有拒绝之意，是因为阴气旅抑阳气，阻拒其出。又说：太阴出现在亥位；亥，就是仰。律应应钟，阳气在子时壮盛；子，就是滋生。律应黄钟，到了丑时便衰退；丑，就是纽。律应大吕。十天干中对应壬、癸：壬，是阴气开始；癸，是揆度。季节是冬季；冬的意思是终结。方位在北方，颜色为黑色，声音属羽。羽有舒展之意，表示万物开始滋生。其帝为颛顼；颛顼有寒冷收缩之意。其神为玄冥；玄冥有进入幽冥之意。其精为玄武，象征掩藏、起伏和阴阳离合，包括泉龟、蛟、珠、蛤等。条风位于东北方，主管万物出土。“条”的意思是条理治理万物，使它们出土，所以称为条风。向南到达箕宿。箕，是说万物的根基像棋局一样，所以称为箕。此为正月。律应太簇。太簇，是说万物聚集而生，所以称为太簇。它在十二地支中对应寅；寅，是说万物开始像蠕虫一样萌动，所以称为寅【汉志：万物通达于寅】。向南到达尾宿，是说万物开始生长，形状如尾。向南到达心宿，是说万物开始生长，并在中心开花。向南到达房宿；房，是说万物的门户，到了门户便要出来。《汉志》说，太族的“族”是奏的意思，指阳气大力冲击大地，使万物通达。太族位于寅，在正月。《周礼》注说：“太族，是寅月之气；正月建寅。”星辰位于娵訾。《白虎通》说：“太，也是大的意思；簇，是凑集。意思是万物开始大规模聚集于大地并出土。” 明庶风位于东方。“明庶”的意思是光明普照，众多万物全都出土。这是二月。律应夹钟。夹钟，是说阴阳相互夹杂并辅佐。它在十二地支中对应卯。卯的意思是茂，表示万物茂盛【汉志：万物在卯时冒出嫩芽】。它在十天干中对应甲、乙。甲，是说万物破开甲壳而出；乙，是说万物曲折而生，发出轧轧之声。

译《汉志》说，万物从甲中破出，在乙时奋力曲折生长。又说：夹钟，是说阴气夹辅太族，宣发四方之气，使种子和万物出土。它位于卯，在二月。《周礼》注说：夹钟是卯月之气，二月建卯，星辰位于降娄。《白虎通》说：夹，是孚甲；意思是万物包裹在甲壳中，种类开始分化。向南到达氐宿。氐，是说万物都已到达。向南到达亢宿。亢，是说万物都显著出现。向南到达角宿。角，是说万物都有枝条格状的形态，如同角一样。这是三月。律应姑洗。姑洗，是说万物洗涤而生。它在十二地支中对应辰。辰，是说万物蜿蜒生长。《汉志》说，万物在辰时振作而美盛。又说：姑洗，“洗”是洁净，意思是阳气洗涤万物，使其除去污秽。它位于辰，在三月。《周礼》注说：姑洗是辰月之气，三月建辰，星辰位于大梁。《白虎通》说：姑是故旧，洗是鲜明；意思是万物都除去旧的而趋向新的，无不鲜明。又说：少阳出现在寅位；寅，是演化。律应太簇。“律”的意思是率领，用来率领气，使万物生长。卯，是茂盛。律应夹钟，到了辰时衰退；辰有震动之意。律应姑洗。其日配甲、乙，表示万物包藏在甲中；乙表示万物繁茂而弯曲，有节理，正要破土而出。季节是春季；春的意思是万物不断振动。方位在东方，颜色为青色，声音属角。角，是气机振动。其帝为太皞；太皞，是使万物大规模兴起而纷纷扰动。其神为勾芒，象征万物开始生长；芒的意思是萌发。其精为青龙，表示阴中有阳。清明风位于东南角，主管风吹万物向西生长。轸轸，是说万物更加壮大，呈现出轸轸的样子。向西到达翼宿。翼，是说万物都有羽翼。这是四月。律应仲吕。仲吕，是说万物都聚集而向西运行。它在十二地支中对应巳。巳，是说阳气已经达到尽头。《汉志》说，万物在巳时已经盛大。又说：中吕，是说微小隐伏之物开始出现，尚未完全显著于其中；太族加以辅助，姑洗宣发阳气，使万物整齐。它位于巳，在四月。《周礼》注说：“中吕是巳月之气。”四月建巳，星辰位于实沈。《白虎通》说：“阳气将要达到极点，内部充实而广大。”所以又称“中”。向西到达七星宿。七星，是说阳数在七时成就，所以称为七星。向西到达张宿。张，是说万物都张开。向西到达注宿【索隐：注就是咮。《天官书》说柳宿属鸟，味宿则是注、柳二星】。注，是说万物开始衰落，阳气向下流注，所以称为注。这是五月。律应蕤宾。蕤宾，是说阴气还幼少，所以称为蕤；阳气衰微而不再发挥作用，因此称为宾。景风位于南方。景，是说阳气运行已到尽头，所以称为景风。它在十二地支中对应午。午，是阴阳交会之时，所以称为午【汉志：在干位大为分布】。它在十天干中对应丙、丁。丙，是说阳道显明，所以称为丙；丁，是说万物正值壮盛，所以称为丁。《汉志》说，光明在丙时显现，到了丁时最为盛大。又说：蕤宾，蕤是继承，宾是引导；意思是阳气开始引导阴气，使阴气继续养育万物。它位于午，在五月。《周礼》注说：蕤宾是午月之气，五月建午，星辰位于鹑首。《白虎通》说：蕤有向下之意，宾有敬意；意思是阳气上升到极点，阴气开始恭敬地承接它。向西到达弧宿。弧，是说万物零落，并且将要走向死亡。向西到达狼宿。狼，是说万物可以被度量，并能防护万物，所以称为狼。凉风位于西南角，主管大地；大地，是使万物之气下沉并耗夺的。此为六月。律应林钟。林钟，是说万物走向死亡，气息呈现出林林然的衰败状态。它在十二地支中对应未。未，是说万物都已成熟，具有滋味。《汉志》说，万物在未时昧暗而相爱。又说：林钟，“林”是君的意思，指阴气承受任养，辅助蕤宾之君，主管种植万物，使其长大并茂盛。它位于未，在六月。《周礼》注说：林钟是未月之气，六月建未，星辰位于鹑火。《白虎通》说：林是众多，意思是万物成熟，种类繁多。又说：太阳出现在巳位；巳表示万物必定兴起。律应仲吕，到了午时壮盛；午表示万物充满而生长。律应蕤宾，到了未时衰退；未有滋味之意。律应林钟。天干丙、丁表示万物光明显著；丁表示强盛。季节是夏季；夏的意思是广大。方位在南方，颜色为赤色，声音属徵；徵有止息之意，表示阳气的运行达到极点。其帝为炎帝，就是太阳。其神为祝融；祝融有连续相属之意。其精为鸟，离卦所象为鸾。向北到达罚宿。罚，是说万物的气势已经被夺，可以加以攻伐。向北到达参宿。参，是说万物可以参验，所以称为参。这是七月。律应夷则。夷则，是说阴气侵害万物。它在十二地支中对应申；申，是说阴气开始主持事务，在申时侵害万物，所以称为申。《汉志》说，万物在申时坚实。又说：夷则，“则”是法度，意思是阳气制定法度，使阴气伤害那些应当受伤的万物。它位于申，在七月。《白虎通》说：“夷则，是申月之气。”七月建申，星辰位于鹑尾。《白虎通》说：“夷，是伤害；则，是法度。意思是万物开始受伤，遭受刑法。” 向北到达浊宿【《尔雅》说浊就是毕宿】。“浊”有触犯之意，是说万物都触及死亡，所以称为浊。向北到达留宿【索隐：留就是昴宿，《毛传》也把留解释为昴】。“留”是说阳气停滞留连，所以称为留。这是八月。律应南吕。南吕，是说阳气成群地进入收藏之中。它在十二地支中对应酉；酉，是万物衰老的阶段，所以称为酉【汉志：万物在酉时成熟】。阊阖风位于西方。“阊”是倡导，“阖”是收藏，意思是阳气引导万物闭藏于黄泉。它在十天干中对应庚、辛。庚，是说阴气更改万物，所以称为庚；辛，是说万物辛苦而生，所以称为辛。《汉志》说，万物在庚时收敛变化，在辛时全都更新。又说：南吕，南有任养之意，意思是阴气旅助夷则，任养并成就万物。它位于酉，在八月。《周礼》注说：南吕是酉月之气，八月建酉，星辰位于寿星。《白虎通》说：南是任养，意思是阳气仍在任养万物，包藏并孕育大型的生物以及荠、麦。向北到达胃宿。胃，是说阳气将要收藏，万物都处于胃胃然的状态。向北到达娄宿。娄，是呼唤万物并将它们收入。向北到达奎宿。奎，主管毒虫螫伤，杀害万物。经过奎宿后便收藏万物。这是九月。律应无射。无射，是说阴气旺盛并主持事务，阳气已经没有余力，所以称为无射。它在十二地支中对应戍；戍，是说万物全部消灭，所以称为戍。

译《汉志》说，万物在戍时完全进入收藏。又说：无射，“射”是厌弃，意思是阳气使万物达到终极，阴气便把它们全部剥落；终结之后又重新开始，永远没有厌倦和停止。它位于戍，在九月。《周礼》注说：无射是戍月之气，九月建戍，星辰位于大火。《白虎通》说：射是终结，意思是万物随着阳气终结，还应当随着阴气重新兴起，没有终止。又说：少阴出现在申位；申，就是身。律应夷则，到了酉时壮盛；酉，是老物收敛。律应南吕，到了戍时衰退；戍，是灭亡。律应无射；无射，是没有声音。其日配庚、辛；庚，是万物更替；辛，是阴气开始成形。季节是秋季；秋的意思是忧愁和衰亡。方位在西方，颜色为白色，声音属商；商有刚强之意。其帝为少皞；少皞，是使万物稍稍收敛。其神为蓐收；蓐收，是收缩。其精为白虎；虎有搏击讨伐之意。不周风位于西北方，主管杀伐和生长；东壁宿位于不周风的东面，主管开辟生气。再向东到达营室宿。营室，是说它主管聚集、孕育阳气并使其产生。向东到达危宿。危，就是高危倾斜，意思是阳气处于危险倾覆之中，所以称为危。这是十月。律应应钟。应钟，是说阳气的应时已经过去，不再主持事务。它在十二地支中对应亥；亥，就是该，意思是阳气收藏在地下，所以称为该【《史记》】。《汉志》说，应钟配于亥。又说：应钟，是说阴气应合于无射，闭藏万物，同时又阻隔阳气、使种子萌动。它的位置在亥，在七月。《周礼》注说：应钟，是亥的气。十月建立亥位，而辰在析木。辰与建交错相处，就像表里相合一样，这就是它们相合的情况。《白虎通》说：“应”就是应合，意思是万物应顺阳气而活动，随后向下闭藏。考察：汉初以十月为岁首，所以史书从应钟开始。现在依照众说，从黄钟开始，以应钟结束。律的数值。九九八十一，用作宫。三分去掉一分，得五十四，用作征【八十一分成三份，每份二十七，去掉一份，得到现在的数值】；三分增加一分，得七十二，用作商【五十四分成三份，每份十八，增加一份，得到现在的数值】；三分去掉一分，得四十八，用作羽【七十二分成三份，每份二十四，去掉一份，得到现在的数值】；三分增加一分，得六十四，用作角【四十八分成三份，每份十六，增加一份，得到现在的数值】。黄钟长八寸七分一，属宫【《索隐》说：“七”应作“十”。上文说律数九九八十一，所以长度应是八寸十分之一；《汉书》说黄钟长九寸，是以九分为一寸。刘歆、郑玄都认为长九寸就是十分之一寸，并不采用这里的算法。说它属宫，是因为黄钟是诸律之首，宫是五音之长；十一月以黄钟为宫，声音就取得了五音之首】。黄钟长九寸，所有律管的空腔周围为九分【康成《礼》注】。龠就是黄钟之宫，长九寸，空腔周围九分，能容纳秬黍一千二百粒，重量为十二铢。两个龠合为一合，按照三分损益法转生十一律【蔡邕《铜龠铭》】。黄钟的管长九寸，直径三分【孟康《月令章句》】。黄钟由变化而成：管长九寸，直径三分，周围九分；因此以九相乘，九九八十一，黄钟的宫音便确立了【韦昭《国语注》】。黄钟长八寸十分之一，空腔周围九分，是说空腔内部的横向宽度为九分。康成、康昭不通晓律学，所以对周长和直径的说法不同【蔡沉《律吕新书》】。大吕长七寸五分三分一【“一”应作“二”。《索隐》说：十一月以黄钟为宫，五行依次相生，大吕为商；大吕的作用是辅助阳气、宣达教化】。大吕长八寸，是二百四十三分之一百零四寸【郑注】。大吕长七寸五分三分二强，数为四百。○ ○五【《律吕新书》】太簇长七寸七分二，属角【《索隐》说：“七”应作“十”】。太簇长八寸【郑注】。太簇长七寸十分二【《律吕新书》】。夹钟长六寸一分三分一【“一”应作“十”】。夹钟长七寸，是二千一百八十七分之一千零七十五寸【郑注】。夹钟长六十七分三分一强，数为一百九十八。姑洗长六寸七分，属四羽【《索隐》说：“七”应作“十”，“羽”字依据金生水之义】。姑洗长七寸九分之一寸【郑注】。姑洗长六寸十分四【《律吕新书》】。仲吕长五寸九分三分二，属征。仲吕长六寸，是一万九千六百八十三分之一万二千九百七十四寸【郑注】。仲吕长五寸九分三分二强，数为五百八十二【《律吕新书》】。蕤宾长五寸六分三分一【“一”应作“二”】。蕤宾长六寸，是八十一分之二十六寸【郑注】。蕤宾长五寸六分三分二强，数为四百八十六【《律吕新书》】。林钟长五寸七分四，属角【《索隐》说：“七”应作“十”；水生木，所以属角】。林钟长六寸【郑注】。林钟长五寸十分四【《律吕新书》】。夷则长五寸四分三分二，属商。夷则长五寸，是七百二十九分之四百五十一寸【郑注】。夷则长五寸三分二弱，数为二百五十六【《律吕新书》】。南吕长四寸七分，属八征【《索隐》说：“七”应作“十”】。南吕长五寸三分之一寸【郑注】。南吕长四寸十分八【《律吕新书》】。无射长四寸四分三分二。无射长四寸，是六千五百六十一分之六千五百六十四寸【郑注】。无射长四寸四分二强，数为六百。○ ○二【《律吕新书》】应钟长四寸二分三分二，属羽。应钟长四寸，是二十七分之二十寸【郑注】。应钟长四寸二分三分二【《律吕新书》】。

译律的数值，《史记》和郑注不同。《史记》以九分为一寸，郑注以十分为一寸。郑注把一寸分为十分，再把一分分为厘，把厘分为毫，把毫分为丝，把丝分为忽，全部以十进位。其中损益的过程都有余数，即使有巧妙的历法计算，最终也不能完全除尽。因此从分以下便不能再分，只能直接以九相乘，推算十二管，直到把一寸分成一万九千多分，才大略可以记录下来。然而这种方法难以记忆而容易出错，终究不如太史公的方法抓住要领、容易考察。大概它以子为一，连续十一次乘三，到亥便得到一十七万七千一百四十七这个数，由此可知子是一整套律的实际数值。以寅表示子的寸数，以酉作为寸的法数，就可知该律有九寸。以辰表示子的分数，以未作为分的法数，就可知一寸有九分。以午表示子的厘数，以巳作为厘的法数，就可知一分有九厘。以申表示子的毫数，以卯作为毫的法数，就可知一厘有九毫。以戌表示丝数，以丑作为丝的法数，就可知一毫有九丝。再往下为忽，也是由丝乘九得到的。虽然这是权宜办法，却不妨碍得到自然的数值。按照这种方法进行损益，三分法的数值就整齐、简明、直接，记载下来也不会出错【朱子《钟律解》】。考察：黄钟下生宫，太簇下生角，姑洗下生羽，仲吕下生征，林钟下生角，夷则下生商，南吕下生征，应钟下生羽，这些说法没有详细说明。晋志也说没有见到通达其理的人，于是都认为这是错误。索隐把大吕列为商，《考要》认为太簇下生角是“商”字的错误，这些都不对。大概这是运用五声相生、四时相承而另有其义。五声相生而说黄钟为宫、林钟为角、太簇为商、南吕为征、姑洗为羽，与黄钟一均的次序“宫、征、商、羽、角”不同，有两个道理：一是依照十二律本来位置的次序，林钟角承接南吕征，南吕征承接黄钟宫，黄钟宫承接太簇商，太簇商承接姑洗羽，依次向左旋转，正好符合五行的次序。二是依照十二律相生的次序：黄钟在子，得到水气，生林钟角；林钟在未，得到土气，生太簇商；太簇在寅，得到木气，生南吕征；南吕在酉，得到金气，生姑洗羽。五音交替承接，又反过来克制生养自己的母音，所以林钟角克黄钟宫，太簇商克林钟角，南吕征克太簇商，仲吕羽克南吕征。《尚书》所谓“六府水、火、金、木、土、谷”，也是以所克者为所生者，说的就是这个道理。四时相承而说太簇为角、仲吕为征、夷则为商、应钟为羽，这些音分别处于寅、申、乙、亥的冲位，用来记载四个孟月的音。《月令》所说孟春之月音为角、孟夏之月音为征、孟秋之月音为商、孟冬之月音为羽，就是这个意思。这样说来，太簇下面本应把商、角并列书写；现在只写角而不写商，是因为五声的次序不写商，则人们不能自行贯通；四时的次序不写角，则其意义不能彰明。详细情况见后面的图。黄钟律的本数。长九寸，空腔周围九分，体积为八百一十分。黄钟的实际数值。子为一。丑为三，作为丝的法数。寅为九，作为寸数【以酉的数值为法数，约取亥的数值，得到寅的寸数】。卯为二十七，作为毫的法数。辰为八十一，作为分数【以未的数值为法数，约取亥的数值，得到辰的分数】。巳为二百四十三，作为厘的法数。午为七百二十九，作为厘数【以巳的数值为法数，约取亥的数值，得到午的厘数】；未为二千一百八十七，作为分的法数。申为六千五百六十一，作为毫数【以卯的数值为法数，约取亥的数值，得到申的毫数】；酉为一万九千六百八十三，作为寸的法数。戊为五万九千。○ ○四十九，作为丝数【以丑的数值为法数，约取亥的数值，得到戌的丝数】；亥为一十七万七千一百四十七。黄钟九寸，按照三分损益法，所以连续以三乘十二辰，得到一十七万七千一百四十七，这就是黄钟的实际数值。十二辰所得的数值中，子、寅、辰、午、申、戌六个阳辰，是黄钟寸、分、毫、厘、丝各级的法数。寸、分、厘、毫、丝的法数都采用九进制：九丝为一毫，九毫为一厘，九厘为一分，九分为一寸，这就是黄钟【《律吕新书》】。置一，连续九次乘三，以此作为法数和实数。按此法得到九寸，称为黄钟之律。圆运动始于一，一不能自身产生，所以分为阴阳。阴阳调和，万物便产生，因此说“一生二，二生三，三生万物”。三参合于万物，三三为九，所以黄钟九寸，宫音便调和。于是再以九相乘，九九为八十一，所以黄钟的数值确立。黄色，是土德的颜色；“钟”是气聚集、播种的意思。冬至这一天，德气属于土，土色为黄，所以称为黄钟。律数分为六，分成雌雄，所以有十二钟来配合十二个月。十二各自以三相成，所以置一并连续十一次乘三，所得积数为一十七万七千一百四十七，黄钟的大数由此确立【《淮南子》】。太极的元气包含三者而合为一。太极是极点，元是开始。它运行于十二辰，从子开始发动。在丑位乘三，得三；在寅位再乘三，得九；在卯位再乘三，得二十七；在辰位再乘三，得八十一；在巳位再乘三，得二百四十三；在午位再乘三，得七百二十九；在未位再乘三，得二千一百八十七；在申位再乘三，得六千五百六十一。在酉位再乘三，得一万九千六百八十三；在戌位再乘三，得五万九千。○ ○四十九。在亥位再乘三，得一十七万七千一百四十七。这就是阴阳合德，气聚集于子，化生万物的道理【《汉志》】。

译《淮南子》说：置一，连续十一次乘三，以此作为黄钟的大数；置一，连续九次乘三，以此作为寸的法数。既然置一连续九次乘三是寸法，那么连续七次乘三就是分法，连续五次乘三就是厘法，连续三次乘三就是毫法，连续一次乘三就是丝法，由此可以推知。一次乘三得到三，三次乘三得到二十七，五次乘三得到二百四十三，七次乘三得到二千一百八十七，九次乘三得到一万九千六百八十三。所以一万九千六百八十三除以九，得到二千一百八十七；二千一百八十七除以九，得到二百四十三；二百四十三除以九，得到二十七；二十七除以九，得到三。三就是丝法。三乘九得二十七，就是毫法；二十七乘九得二百四十三，就是厘法；二百四十三乘九得二千一百八十七，就是分法；二千一百八十七乘九得一万九千六百八十三，就是寸法。用它来生成十一律，生成五声，阴阳二变、上下乘除都能相互符合，没有不贯通的。这大概就是数的自然规律【《律吕新书》】。生成钟律的分数【以《史记》参照《律吕新书》】。子为一分【《索隐》说：以下十一辰都以三相乘，是黄钟积累所得的实际数】。一对应九寸【子就是黄钟，九寸就是黄钟管的长度】。丑为三分之二【《索隐》说：黄钟长九寸，林钟为衡，长六寸；九比六为三分少一，所以说丑三分二，就是黄钟三分去一而下生林钟的数】。一对应三寸【丑就是林钟。把黄钟九寸分成三份，每份三寸，取其中两份，得到林钟六寸的管长。林钟在阴位，没有增加或减少。以子的“一”乘三得到丑的“三”；以子的“一”加倍，三分中取两分，得到二丑。阴数使用加倍，是因为把黄钟三分而减去一分】。寅为九分之八【《索隐》说：太簇长八寸，周围八分；寅九分八，就是林钟三分增加一分而上生太簇的数】。一对应一寸【寅就是太簇。把黄钟九寸分成九分，每分一寸，取八分，得到太簇八寸的管长。以丑的三乘三得到寅的九，以丑的二乘四得到八，这是寅的阳数。阳数使用四，是因为把林钟三分而增加一分】。卯为二十七分之十六【《索隐》说：南吕在卯，管长为五寸三分之一。二十七约去三得九，正是黄钟的本数；十六约去三得五又三分之一，即南吕的长度，所以说卯二十七分十六。这也是太簇三分去一而下生南吕的数】。三对应一寸，一对应三分【卯就是南吕。把黄钟九寸分成二十七分，每三分为一寸，取十六分，得到南吕五寸三分之一的管长。以寅的九乘三得到卯二十七分，以寅的八乘二得到十六；这是太簇三分而减去一分】。辰为八十一分之六十四【《索隐》说：以下八辰都依照上面的例子】。九对应一寸，一对应一分【辰就是姑洗。把黄钟九寸分成八十一分，每九分为一寸，取六十四分，得到姑洗七寸一分的管长。以卯的二十七乘三得到辰八十一分，以卯的十六乘四得到六十四；这是南吕三分而增加一分】。巳为二百四十三分之一百二十八。二十七对应一寸，三对应三分，一对应三厘【巳就是应钟。把黄钟九寸分成二百四十三分，每二十七分为一寸，取一百二十八分，得到应钟四寸六分六厘。应钟在阴位，没有增加或减少。以辰的八十一乘三得到巳二百四十二分，疑原文数值有误；以辰的六十四乘二得到一百二十八。这是南吕三分而增加一分】。午为七百二十九分之五百一十二。八十一对应一寸，九对应一分，一对应一厘【午就是蕤宾。把黄钟九寸分成七百二十九分，每八十一分为一寸，取五百一十二分，得到蕤宾六寸二分八厘的管长。以巳的二百四十三乘三，得到午七百二十九分；以巳的一百二十八乘四，得到五百一十二。这是应钟三分而增加一分】。未为二千一百八十七分之一千零二十四。二百四十三对应一寸，二十七对应一分，三对应一厘，一对应三毫【未就是大吕。把黄钟九寸分成二千一百八十七分，每二百四十三分为一寸，取……】。【取一千零二十四分，得到四寸一分八厘三毫；在阳位加倍，得到大吕八寸三分六厘六毫的管长。以午的一百二十九乘三，得到未二千一百八十七分；以午的五百一十二乘二，得到一千零二十四。这是蕤宾三分而增加一分】。申为六千五百六十一分之四千九十六。七百二十九对应一寸，八十一对应一分，九对应一厘，一对应一毫【申就是夷则。把黄钟九寸分成六千五百六十一分，每七百二十九分为一寸，取……】。【取四千九十六分，得到夷则五寸五分五厘一毫。以未的二千一百八十七乘三，得到申六千五百六十一分；以未的一千零二十四乘四，得到四千九十六。这是大吕三分而减去一分】。酉为一万九千六百八十三分之八千一百九十二。二千一百八十七对应一寸，二百四十三对应一分，二十七对应一厘，三对应一毫，一对应一丝【酉就是夹钟。把黄钟九寸分成一万九千六百八十三分，每二千一百八十七分为一寸，取八千一百九十二分，得到三寸六分六厘三毫六丝；在阳位加倍，得到夹钟七寸四分三厘七毫三丝的管长。以申的六千五百六十一乘三，得到酉一万九千六百八十三分；以申的四千九十六乘二，得到八千一百九十二。这是夷则三分而增加一分】。戌为五万九千四十九分之三万二千七百六十八。

译六千五百六十一对应一寸，七百二十九对应一分，八十一对应一厘，九对应一毫，一对应一丝【戌就是无射。把黄钟九寸分成五万九千四十九分，每六千五百六十一分为一寸，取三万二千七百六十八分，得到无射四寸八分八厘四毫八丝的管长。以酉的一万九千六百八十三乘三，得到戌五万九千四十九分；以酉的八千一百九十二乘四，得到三万二千七百六十八。这是夹钟三分而减去一分】。亥为一，实际数为一十七万七千一百四十七分之六万五千五百三十六。一万九千六百八十三对应一寸，二千一百八十七对应一分，二百四十三对应一厘，二十七对应一毫，三对应一丝，一对应一忽【亥就是仲吕。把黄钟九寸分成一十七万七千一百四十七分，每一万九千六百八十三分为一寸，取六万五千五百三十六分，得到三寸二分八厘六毫二丝三忽；在阳位加倍，得到仲吕六寸五分八厘三毫四丝六忽的管长。以戌的五万九千四十九乘三，得到亥一十七万七千一百四十七分；以戌的三万二千七百六十八乘二，得到六万五千五百三十六。这是无射三分而增加一分】。黄钟生出十一律。子、寅、辰、午、申、戌六个阳辰都向下相生；丑、卯、巳、未、酉、亥六个阴辰都向上相生。前面把黄钟连续乘三推过十二辰，都是黄钟的完整数值；下面阴数加倍【即算法中将其实际数加倍】，是把本律三分而减去一分；阳数用四【即算法中将其实际数乘四】，是把本律三分而增加一分【以上论述数值的实际情况，以下推算律管的长度】。六个阳辰各居本位而自得其数【子为阳辰，黄钟居其本位而自得其数】；六个阴辰则居于与其相冲的位置【丑与未相冲，林钟属于未，却居于丑位，所以说居其冲】。林钟、南吕、应钟三吕处在阴位，不作增减【从午到亥属于阴位，未、酉、亥是阴辰，三吕处在阴位中的阴位】；大吕、夹钟、仲吕三吕处在阳位，便使用加倍的数值【从子到巳属于阳位，丑、卯、巳是阴辰，三吕处在阴位中的阳位】。这样才与十二月的节气相应，大概就是阴顺从阳的自然位置【《律吕新书》】。考察《淮南子》的说法，从午位蕤宾以后，阴气开始掌事，上下损益，律吕交替变化，所以有“五上六下”的说法。这里说六个阳辰都向下相生，六个阴辰都向上相生；阴数加倍，是三分减一；阳数用四，是三分增一。这是以《汉志》不变化的说法为依据的，详见后文。“生黄钟，生黄钟。” 算法说：向下相生的，先将实际数加倍，再以三为法数【《索隐》说：蔡邕说，阳生阴叫下生，阴生阳叫上生。《律历志》说，阴阳相生从黄钟开始向左旋转，八八为伍。孟康注说，从子数辰到未，得八，这是下生林钟；从未数到寅，得八，这是上生太簇。上下相生都以此为比例。现在说下生，是指黄钟下生林钟。黄钟长九寸，实际数加倍为一十八；以三为法数约除，得到六，就是林钟的长度。焦延寿说，上生下都是三生二，下生上都是三生四，就是这个意思】。向上相生的，将实际数乘四，再以三为法数【《索隐》说：实际数乘四，是指林钟上生太簇。林钟长六寸，六乘四得二十四，以三约除得八，就是太簇的长度】。上为九，商为八，羽为七，角为六，宫为五，征为九【《索隐》说：这是五声的数值，也遵循上生三分增一的规律：上生宫；宫去一而下生征；征增加一而上生商；商去一而下生羽；羽增加一而上生角。但这段文字似乎数值有误。朱子说应当作：宫九，征六，商八，羽五，角七】。两种说法都把五数作为根本，是律管长度的数值，所以说原文数值有误。考察“上九、商八、羽七、角六、宫五、征九”，是承接上文律数、五声和四孟的意义来说的。说“上九”，大概是从黄钟到应钟，共得到一宫、二商、二角、二征、二羽九律。除去四时相生的角、征、商、羽四律之外，再依次推演，就得到宫五、角六、羽七、商八、征九，九律的次序便全部确定。用圆图考察，次序清楚，未必是错误。角六、征九，得到三五之数，属于老阴、老阳，位于右边，午以后阴气掌事。羽七、商八，也得到三五之数，属于少阳、少阴，位于左边，子以后阳气掌事。宫以五居中，正符合土寄居四时的意义。又把五数分成三和二，商增加三得八，羽增加二得七；把五数分成一和四，角增加一得六，征增加四得九。因此商、羽、角、征四律，分别取宫律五数的一半而形成商八、羽七、角六、征九。这里九律的位置，并不是说十二律管的长度数值，只是列举五声中的角、羽、商、征，说明它们不能与十二律的损益一起推算。到下文“置一而九三之”等语，才开始推算黄钟首律的管长数值【附图如下，以便说明】。

译置一，连续九次乘三，以此作为法数【乐彦说：一气在子位产生，到丑位成为三，这是一次乘三；从丑到酉共九次，都以三相乘，这就是九次乘三】。实数按此法计算，得到长一寸【《索隐》说：所谓实数，是以子的一乘丑的三，直到亥得到一十七万七千一百四十七作为实数；所谓按此法，是用一万九千六百八十三作为法数除实，得到九，就是黄钟的长度。“得一”是算术设法的用语，“长寸”二字疑为衍文；韦昭说，是得到九寸的其中一位。考察：说“得长一寸”，就如同说得到寸这一位，只说“得一”，与下文“凡得”的意义并不相连】。总共得到九寸，称为黄钟之宫【《史记》】。黄钟三分去一而下生林钟【黄钟的实际长度为九寸；下生时将实际数加倍，得一十八作为法数，分成三份，取其中两份，每份六，得到六寸，作为林钟的长度】。黄钟在子位，数值为八十一，主管十一月，向下生林钟【《淮南子》】。黄钟是初九，下生林钟的初六【康成《周礼注》】。林钟三分增加一分而向上生太簇【林钟的实际长度为六寸；向上生时将实际数乘四，得到二十四作为法数，分成三份，取其中三份，每份八，得到八寸，作为太簇的长度】。林钟的数值为五十四，主管六月，向上生太簇【《淮南子》】。林钟向上生太簇的九二【郑注】。太簇三分去一而向下生南吕【太簇的实际长度为八寸；下生时将实际数加倍，得一十六作为法数；以三乘一得三，从法数中减去三，取十五，三分之，每份为五，得到五寸，余下一分为三分之一寸，合起来就是南吕】。太簇的数值为七十二，主管正月，向下生南吕【《淮南子》】。太簇向下生南吕的六二【郑注】。南吕三分增加一分而向上生姑洗【南吕的实际长度为五寸三分之一，折合为十六分；向上生时乘四，实际数得六十四作为法数；以三乘三得九，从法数中取六十三，三分之，每份为七，得到七寸，余下一分为九分之一寸，合起来就是姑洗】。南吕的数值为四十八，主管八月，向上生姑洗【《淮南子》】。南吕向上生姑洗的九三【郑注】。姑洗三分去一而向下生应钟【姑洗的实际长度为七寸九分之一，折合为六十四分；下生时将实际数加倍，得一百二十八作为法数；以三乘九得二十七，从法数中取一百零八，三分之，每份为四，得到四寸，余二十分，即二十七分之二十寸，合起来就是应钟】。姑洗的数值是六十四，主管三月下旬，生出应钟【《淮南子》】。姑洗下生应钟，数为六三【郑玄注】。把应钟分为三份并增加一份，向上生出防宾【防宾的实际数值为四寸又二十七分寸之二十，换算为一百二十八分；上生取四倍，得到五百一十二，作为分母；二十七的三倍为八十一，用来分这个分母；四百八十六中包含六个八十一，得六寸，余二十六，即八十一分寸之二十六，合起来就是防宾】。应钟的数值是四十二，主管十月，向上生出防宾【《淮南子》】。应钟上生防宾，数为九四【郑玄注】。把防宾分为三份减去一份，向下生出大吕【防宾的实际数值为六寸又八十一分寸之二十六，换算为五百一十二分；下生加倍其数，得一千零二十四。午时以后属阳律下生，再加倍，得二千零四十八，作为分母；八十一的三倍为二百四十三，用来分这个分母；一千九百四十四中包含八个二百四十三，得八寸，余一百四，即二百四十三分寸之一百四，合起来就是大吕】。〔原文数字、纪年保留：八十八寸〕 防宾的数值是五十七，主管五月，向上生出大吕【《淮南子》】。防宾上生大吕，数为六四【郑玄注：此后律吕上下相生的次序与《汉书·律历志》不同】。把大吕分为三份并增加一份，向上生出夷则【大吕的实际数值为八寸又二百四十三分寸之一百四，换算为二千零四十八分；阴吕上生取半数，减半后为一千零二十四分；上生取四倍，得四千零九十六，作为分母；二百四十三的三倍为七百二十九，用来分这个分母；三千六百四十五中包含五个七百二十九，得五寸，余四百五十一，即七百二十九分寸之四百五十一，合起来就是夷则】。大吕的数值是七十六，主管十二月，向下生出夷则【《淮南子》】。大吕下生夷则，数为九五【郑玄注】。把夷则分为三份减去一份，向下生出夹钟【夷则的实际数值为五寸又七百二十九分寸之四百五十一，换算为四千零九十六分；下生加倍其数，得八千一百九十二，再加倍，得一万六千三百八十四，作为分母；七百二十九的三倍为二千一百八十七，用来分这个分母；一万五千三百零九中包含七个二千一百八十七，得七寸，余一千零七十五，即二千一百八十七分寸之一千零七十五，合起来就是夹钟】。夷则的数值是五十一，主管七月，向上生出夹钟【《淮南子》】。夷则上生夹钟，数为六五【郑玄注】。把夹钟分为三份并增加一份，向上生出无射【夹钟的实际数值为七寸又二千一百八十七分寸之一千零七十五，换算为一万六千三百八十四分，取半数为八千一百九十二分；上生取四倍，得三万二千七百六十八，作为分母；二千一百八十七的三倍为六千五百六十一，用来分这个分母；二万六千二百四十四中包含四个六千五百六十一，得四寸，余六千五百二十四，即六千五百六十一分寸之六千五百二十四，合起来就是无射】。夹钟的数值是六十八，主管二月，向下生出无射【《淮南子》】。夹钟下生无射，数为上九【郑玄注】。把无射分为三份减去一份，向下生出中吕【无射的实际数值为四寸又六千五百六十一分寸之六千五百二十四，换算为三万二千七百六十八分；下生加倍其数，得六万五千五百三十六，再加倍，得十三万一千零七十二，作为分母；六千五百六十一的三倍为一万九千六百八十三，用来分这个分母；十一万八千零九十八中包含六个一万九千六百八十三，得六寸，余一万二千九百七十四，即一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四，合起来就是中吕】。无射的数值是四十五，主管九月，向上生出中吕【《淮南子》】。无射上生仲吕，数为上六【郑玄注】。

译把仲吕分为三份并增加一份，向上生出宫【中吕的实际数值为六寸又一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四，换算为十三万一千零七十二分，取半数为六万五千五百三十六分；上生取四倍，得五十二万四千二百八十八，作为分母；一万九千六百八十三的三倍为五万九千零四十九，用来分这个分母；四十七万二千三百九十二中包含八个五万九千零四十九，得八寸，余五万一千八百九十六，即五万九千零四十九分寸之五万一千八百九十六，合起来就是黄钟的变律】。阴阳相互生成，从黄钟开始，向左旋转，八八相乘而成为伍【《汉书·律历志》】。仲吕的数值是六十，主管四月，到此达到极点，不能再生【《淮南子》】。仲吕又向上生出黄钟的变律。同位的象征夫妇，异位的象征母子；所谓律娶妻，吕生子。下生是三分减去一分，上生是三分增加一分。五次下生、六次上生，就完成一个循环【《周礼》注】。黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生防宾，防宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生之数，增加一分，是上生；三分所生之数，减去一分，是下生。黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、防宾属上；林钟、夷则、南吕、无射、应钟属下【《吕氏春秋》】。声音从宫开始，到角结束；数从一开始，到十结束，以三而成。气从冬至开始，循环运行而再次产生。神产生于无，形体形成于有；有形体之后才有数，形体形成后才成为声音。所以说，神发动气，气依附形体，形体的条理按照类别形成，因而可以分类；尚未成形便尚未成类，或者形体相同而类别相同；既成类别便可以排列，也可以辨识。圣人知道天地万物的区别，所以从有推到未有，因而能够获得像气那样细微、像声音那样微妙的事物。然而圣人依凭神而保存它，虽幽微玄妙也必定加以验证，考察它的实质而核验其表象。道理是明白的；如果不是圣人的心智凭借聪明才智，谁能保存天地之神而使形体的实情得以形成呢？神这种东西，万物承受了它却不能认识它，直到它来去变化，因此圣人敬畏它而想保存它。正因为想要保存它，神才得以保存。能够想要保存它，所以没有什么比它更尊贵【《史记》】。考察黄钟到应钟这一段，阳气在起作用，所以律下生为吕、上生为律；到了防宾，阴气开始起作用，天地的枢纽也随之改变，所以律上生为吕、下生为律。从子到辰都下生，从巳到亥都上生。阳顺行，阴逆行，就像八卦：乾、兑、离、震顺行而向右旋转，巽、坎、艮、坤逆行而向左转。古书有下生加倍其数、上生取四倍其数的算法。《汉书·律历志》则逐条分列十二律上下相生，始终采用同一规则，不以防宾为界改变。到了《淮南子》和郑玄，才提出五次下生、六次上生的说法，义理相合、数值相符，就道理而言是正确的；而西山蔡氏专门采用《汉书·律历志》的说法，用加倍的数下生。防宾以下，如果按本律数加倍其实际数值，再依算法除以三下生，数值就不够；数值不够便不能再加倍，而把数值加倍，实际上又回到了四倍其数的做法【例如防宾的实际数值为六寸又八十一分寸之二十六，换算为五百一十二分；下生加倍其数得一千零二十四，作为分母；八十一的三倍为二百四十三，用来分这个分母，得四寸又五十二分，数值不足，所以采用加倍的数，得八寸又一百零四分，之后才与大吕的数值相合。它与用四倍其数作为分母、再用二百四十三分之所得数完全相同，实际上仍是四倍其数】。大吕以下，如果按本律数取四倍其实际数值，再依算法除以三上生，数值就会过多；数值过多便不能不取半，而取其半，实际上又回到了加倍其数的做法【例如大吕的实际数值为八寸又二百四十三分寸之一百四，换算为二千零四十八分；上生取四倍，得八千一百九十二作为分母；二百四十三的三倍为七百二十九，用来分这个分母，得十寸又九百分，数值过多，所以取半，得五寸又四百五十一分，之后才与大吕的数值相合。它与以加倍其数作为分母、再用二百四十三分之所得数完全相同，实际上仍是加倍其数】。这种用加倍、取半来求得与下生、上生名称相合的办法，在义理上反而是勉强解释后才勉强贯通的。至于《吕氏春秋》所说的七次上生、五次下生，又独自不同，没有人知道它所依据的本源。