卷九十六　格物部二　算学

译卷九十六 格物部二 算学

振兴算学论

这篇论述是友人金匮华世芳先生所撰写，刊登在报纸上，供大众阅览。文中说：数学是六艺之一，权度始于隶首，而在《周官》保氏中记载得最为详细。孔子门下七十位弟子，都通晓其中的道理。自秦汉以来，历代都不乏人才，如洛下的张衡、刘焯、祖冲之等人，各有著作，号称专家。唐代设立明算科，相关书籍颁行于学校，命令博士弟子分年学习。沿袭到宋元时期，这门学问大为兴盛。自从明代人崇尚八股文，才开始轻视《九章算术》为小道，有的鄙夷不屑，有的学习了却不精通。唐代顾野王等人凭借私智奋发，但学问中途衰落。我朝崇尚文治、考据古学，振兴算学。圣祖仁皇帝聪明天亶，在政务之余，旁涉象数，御纂《数理精蕴》五十三卷，确立纲领阐明本体，分条列举以达实用，以点线面体为经，以加减乘除为纬，贯通中西的异同，阐发天人的微妙深奥。伟大啊，圣人的创制，固然应当超越万古而居一时之首。继承学业的人士，如薛仪甫、王晓庵、梅征君等人，都甄别明了八线法，透彻了解六宗法，而梅氏著书多达七十余种，阐明各种方法，意境清晰明朗，因此尊崇他学问的人越来越多。乾嘉以来，人才辈出，自戴东原表彰古籍，而算经诸书由张古愚、李尚之、罗茗香等人传承，核算细致推演，而天元四元之术由明静庵、董方、项梅侣、戴谬士、徐钧卿等家阐明，发挥杜术，而多次乘除之法由李壬叔精通，研读徐、李的学业，而几何、曲线、重学、代数、微分积分之学完备。算学到今天，古义已经明了，新法层出不穷，这确实是古今未有的奇特景象，汇聚了中外一家的盛况。然而以中国地大物博、人才众多，而国内精通此学的不过十余家，而嘉道年间阮文达公编辑《畴人传》一书只有四十六卷，罗氏续写得到六卷，但仍然借助异代的人才、异地的人才，以中原文献之邦，竟然不如泰西各国的兴盛，为什么呢？西方国家的算学列于书院，每月有考试评定高低从而决定进退，大书院学习的人多至数百人，聚集数百人的心思才力，相互计议研究，其用力少而成功快，这是显而易见的。中国则不然，律令有天文禁令，朝廷没有考试条例，而钦天监大多任用世袭职务，默守成法，习惯其所应当做的，却不知道其所以然。追求功名的人，谁肯舍弃当务之急，而做这不急之务呢？即使有一两个笃志嗜学的人，或者身处穷乡僻壤，既缺少书籍考证，又没有朋友讲习，暗中搜索，劳精疲神，哪有不至于半途而废的呢？同治年间，大臣有上书请求诏令开设算学科，被部议阻碍，未见施行。看礼部原奏说：“昔日康熙年间，杨光先与汤若望在午门赌测日影，九卿中没有一人知道其方法，由此推论。现在如果开科，将不仅应试者人数不足，即使主试者也恐怕骤然难以选择。唉！也可慨叹了。”幸好近年来当权诸公，看到西方人制造器具的精妙，无不以算学为本，而尤其惋惜从事于此的人太少。思考有振兴的方法，于是京师设立同文馆，福建、上海两船厂也开学堂，招收学生，讲明算法。而学政岁科两试，开始有录取算学的条例，可以说是寻求根本了。现在两广张制军讲求实用，为国家储备人才，创建算学馆，广泛招致算师，诱导奖进。俗话说：“城中喜欢高髻，四方高一尺。”我知道有志之士，必定争着学习有用的学问。不久将看到家家有其书，人人自学，实事求是，精益求精，将向上观察天星的高远，向下辨别地域的广轮，用于制造测量的学问。西方人引以为独得秘传的，更不难打开其门径而开辟其深奥。谁还能将其视为小道而忽视呢？

推广算学议

礼乐射御书数，六艺之中，数学居其一。《正字通》《周髀算经》二卷，注释说：数学始于包牺氏，周公传授给商高，以九数、勾股、重差，计算日月周天行度远近之数。《算经》说：黄帝定三数为十，任命隶首作数，以统率其盈余，总括其会合，隶首因此著《九章》。《周礼》说：保氏教养国子以道，于是教他们六艺，曰九数。注释：数即《九章算术》也。汉代征召天下历算小学，所在地方提供车马，一封又张苍善于计算，所以以列侯居相位，综理上计。唐代李淳风明步天历算，制造浑天仪，著《法象书》七篇。又江本撰写三位乘除法，位算法二卷。宋代祖暅有度景量竿法，都本于勾股重差为乘除。元代《博极书》凡是天文地理历算，无不研究。明代洪武定科举格，中式后十日，以骑射、书、历五术测试。郑善夫说：汉宋以来，都设立算学，与儒算同科，称为四门博士，古人往籍，历历可证。算学的推行，已非一朝一夕，即使列入考试令典，也早有

译这其中的缘由。朝廷的既定法度应当遵循，近来在经古考试中，也允许诸生报考算学。然而勾股开方、弦和测量等术数，仍然没有超出《周髀算经》所遗留的范围，况且出题的人并非全都精通历法算术，不过是抄录前人的说法，依样画葫芦。所以各地所出的算学题目，如果幕僚中没有熟习的人，大都不脱离这个范围，千篇一律，没有翻新的花样。

意见独特的人认为，自从利玛窦进入中国，与徐光启翻译《几何原本》之后，才知道算学这一门学问，其用途非常广泛。一是天文，行星的度数，昼夜的运行，风雨阴晴的变化，推算迁移没有差错。二是地理，经纬的分明，道路的远近，山川江海的高低深浅，都有一定的道理。三是制造，构件的配合连接，大小轻重，马力有多有少，运动有快有慢。四是军战，枪炮的准头，火药弹丸的增减，纬度的平直，地势的高低。以上这四方面，如果仅仅用旧法来应对，必定会在遇事时茫然无措，格格不入。而西方学问中没有不需要算学的，想要使事情有所成效，如果不精通这门技艺，绝对无法成功。

中兴以后，国家风气革新，努力消除积习，知道西方的学问，实在是富强的根源，于是竭尽才智聪明，有心效法。十年以前，又批准臣工的奏请，特设算学一科，将算学生员咨送总理衙门复核，作为算学生员。等到乡试之年，按名册咨取录取送顺天乡试，每二十名中取中一名。会试则与其他士子仍归入大号。一旦考中贡士，就成为洋务人员。这样破格选拔人才，朝廷已经非常郑重。

然而算法包罗万象，罗茗香先生平生研习算学，以至于没有休息的空闲，曾说要研习算学的人必须精神充足，从童年到壮年中间不能间断，才能旁通曲证，参透精微。如果想在文章八股的余暇中兼习这门技艺，认为这是寻常的小学，不必非常专一，这是大错特错的。人的记忆领悟能力全在幼年，如果年华已老，心思涣散，怎么能深入显出，体会深微之处呢？算学变化无穷，纵然探讨非常勤奋，尚且恐怕不能精到。如果偶然涉猎，怎么能达到最高境界呢？

当今天子求取人才，崇尚有用的学问，张香帅雄才大略，又能对国家尽心，应当在各省设立公塾，招集子弟专门教授西方算学。西方算学既已习得，考取之后，将进取的学生分隶各种学堂，或习天文，或习地理，或直接制造、开矿等技艺，不必诵读西方文字。应当由朝廷明确制定章程，将已有的西方各种算书钦定为全集，不足的翻译来补充，务必使内容简括详明，一看就能明白。

最妙的是，各县都设立时务西学书院，其中另设算学斋，让有志者学习，那么人才易于培养，而算学就可以推行了。有人说中国幅员辽阔，州县众多，如果全部聘请西方教师，不仅经费太多，而且有人才难得的感叹。然而子弟启蒙之初，不必非要良师。现在想到一个简易的方法，天主、耶稣教堂遍布中国，都由中国加以保护。这些教士性情诚恳真挚，好学多才，而且立志大公，毫无私弊。既然蒙受我朝恩宠，难道没有报答之心吗？现在提议各学堂就聘请这些人来充当教师，代为教化引导。每县各立学堂，各延请教士，等到子弟学问已有进步，挑选优秀的送入省会学堂，再求深造。这样就能节省费用而取得实效，广泛造就而培养真才。将来润色太平盛世，栋梁之才难道不是国家的福气，自强的基础吗！

译学习算术笔谈序

华蘅芳

孟子说仁、义、礼、智有四种发端，我认为算术也有发端。算术的发端是什么？就是计较之心。儿童分果子必定争抢大的，农夫走路必定趋向捷径，这些显而易见的计较就不必说了。其他如裁缝做工，补短截长，长短宽窄合乎尺度，这就有了面积的概念；烹饪做工，味道咸了就加水调和，味道淡了就加盐调剂，这就有了比例的概念。这些都是人生来就具备的算术发端。因此，有了这种发端却不知道扩充它，就会局限于一种技艺或能力的末节；有了这种发端并且知道如何扩充它，就能统领万事万物的纲领。所以凡是天文的高远，地理的广袤，居家生活中的布帛粮食，为官治事中的军事、水利、盐政、漕运，乃至儒者读书考证经史，商人持筹权衡资本利息，没有不依赖算术来治理的。这又是算术与日常生活密切相关，片刻也不能离开的缘故。既然算术与日常生活如此密切，人生来又具备这样的发端，按理说每个人都应该知道它，每个人都应该能够掌握它。然而世上的学者却往往惊叹它是绝妙的技艺，并苦恼于它难以明白，这是为什么呢？我私下认为，上古的算术本来简捷而容易明白。自从后世事物日益变化，人的心智思虑日益增多，于是设置的题目越来越难，布列的算式越来越繁杂，而精通这一行当的人各自凭借心得体会著书立说，又喜欢用隐晦曲折、杂乱糅合的方式，穷尽极其微妙深奥的道理，不屑于用浅显近人的方式示人，甚至有的隐藏其根源以炫耀奇异，改变其名目以托附古法，这是古今从事算术之人的积习，也是作者常有的情态。算术的境界因此而更加深奥，而学习算术的人自然会对它望洋兴叹了。咸丰、同治年间以来，风气稍开，四方学习的人逐渐增多，引导初学者的书籍也逐渐出现。但是有的力求简易，却说得不够详尽；有的抄袭拼凑成书，不值得观看；有的固执地随问随演草稿，因题立术，也算曲尽其能事了。然而无论用疏朗通达的语言去解释，去贯通透彻，学习者都嫌它烦琐，读不完一篇就疲倦得想睡觉了。我鉴于这种情况，又惋惜人人都有扩充的能力，却没有找到用力的途径。想着要诱导扶持并引进他们，于是列举学习算术的次第大纲，以及心中想要说的话，一一写在笔端并著成篇章。演算为算式来练习数字，设置问答来穷尽趣味。方法由浅入深，语言虽然繁多但容易理解，姑且用来扩充人们具备的算术发端罢了。至于词句的俚俗，体例的不整齐，被高明的人讥笑，是不在意的。刻印完成后，因此在简册上写下缘起，以质询海内游艺的君子。

总论算法之理

华蘅芳

人的心中，如果果然懵懵懂懂毫无知觉，那么也就不必谈及算术了。如果稍有知觉而能够思维计较，就已经有了算术的道理，与生命一同到来。试看孩童嬉戏，见到果子必定争抢大的，这是因为他们心中已经存有多寡的观念了。由此可知，算术的道理，是人心本身固有的，并非从外部进入的。所以拿算书中不太繁重的题目，告诉不熟悉算法的人，他们也能通过深思熟虑得到所求的数字，只是快慢难易与擅长算术的人大不相同罢了。这是因为算术没有掌握方法，那么各个数字都从心中计算得出，所以必定非常困难。如果知道算法，那么无论设定的数字如何，都可以用方法驾驭它，而心中不必思索，所以能够事半功倍。一切算法，起初都是从算术道理中产生的，但既然掌握了方法，那么道理就蕴含在方法之中，可以从方法中得到道理，也可以舍弃道理而使用方法。如果方法不错误，那么道理也必定不错误。

识数之法

万物产生而后有形象，有了形象而后有滋生，有了滋生而后有数目。那么万物之所以有数目，乃是人们强行设立名目，来记录事物的多寡罢了。所以也称之为数目。

数目的名称，就是一、二、三、四、五、六、七、一、九、十这些字。然而数目可以多到无穷，如果每个数目都要设立一个名称，就承受不了这种繁杂，而且终究不能全部记录完所有的数目。所以又设立了一种简便的方法，把从一到九命名为单位数，满十就进一位，仍然用从一到九的各个字来记录，而命名为当十的位。满百就再进一位，也仍然用从一到九的各个字来记录，命名为当百的位。由此百进为千，千进为万，进而十万、百万、千万，它们的位都是以下一位的数满十而进为一，那么无论数目有多少，都可以用这种方法来记录。

之所以必须用十进制，是因为人手有十个手指，便于屈指计算。凡是常用的数目，大体上以十进制为多。只有天文学家度量分秒的数目，则用六十进制。

各位的数既然都可以用从一到九的各个数来记录，那么空位应当用“零”字来记录，或者画一个圆圈代替“零”字也可以。

凡是学习算法，必定先从认识数目开始。所以认识数目是算术中第一步功夫。不认识数目的人，不可以学习算术。只是数目的字，并没有意义可寻，起初必定从强行记忆中获得。所以人从孩童时候，父母就教他们认识数目。聪明的人，有几岁就能认识数目的；愚蠢的人，有几十岁仍然不认识数目的。认识数目的方法，先将从一到十的十个字读到极其熟练，能够一气贯注而不凌乱

译杂乱交错，便能从十个物品中任意取出几个，数一数就知道是什么数。再从十一数到一百，就能数出一百个铜钱，又知道十个一百是一千，十个一千是一万等道理，那么这个人就可以成为懂得算术的人。

译识别数量的功夫，是靠练习而成的，不仅要在口中熟练，也要在眼中看惯，才能敏捷。比如把五个圆子放在桌上，儿童不能随口说出它的数量，必须用手一个一个数过才知道，这是因为眼光没有经过练习的缘故。等到看惯了，那么数量不满十个的东西，普通人一眼就能知道。正因为眼中也能识别数量，所以数东西不必一个一个地数，可以任意几个几个地数。然而也有各自的数法，比如数钱、数圆子，就以五个为一组，口中念一五、一十、十五最为方便。比如数鸡蛋，手中不能拿五个鸡蛋，只能两个两个地数，口中念一双、两双，最后说几双或几双多一个。这固然是平常习惯用的方法，其中已经暗含了加法和乘法的妙用。只是没有点破，人们也不察觉罢了。

大抵能够随手移动的东西，数起来容易；不能随手移动的东西，数起来稍难。因为不能把已经数过的东西另外放到一边。比如进入山林数成丛的树，往往数了几次也弄不清楚，因为已经数过的和没有数过的容易看错，不是遗漏就是重复，所以得不到真实的数量。然而这也有办法，可以用其他东西在每数过的一棵树上依次做标记，那么没有标记的就是没数过的树，容易全部数完并全部做上标记，从而得到确切的数字。做标记的意思，就如同另外放到一边一样。

做标记的方法，只有手能触及的东西，或者手虽然够不着，但可以用长竿触及的东西，才可以。如果东西既不是手也不是竿能触及的，那么这种方法就不能用。比如想要数清天空中的星星，那事情就很难，因为不能在星星上做标记。

人虽然不能在星星上做标记，但可以在纸上画点，来模拟星星，所以可以观察星宿的形状，一个一个地画在纸上，制成星图。那么数图上的星星和数天上的星星，没有区别。所以星星也有数量，这都是识别数量之后的巧思。算法也是各种巧思，所以遇到一个难算的题目，就一定有一个方法来解答。解答了这个难题，又有一个难题在前面，就一定又有另一个方法来解答。这样由浅入深，步步都有难点，而步步都有巧妙的方法，所以无论题目多么深奥，都可以在纸上写下来计算，与他人共同明白。

论加减乘除开方之用

华蘅芳

算学中各种题目，如果不运用加减乘除、开方等方法来驾驭，就不能得到所求的数量。可见这五种方法，实在是算学中各种利器，凭借它们可以攻克难点、深入探究。有了这五种方法，那么在寻常浅近的算学中，已经没有不能推算的题目了。

然而学算的人，往往不把加减乘除、开方本身当作难事，而是把运用这五种方法当作难事。因为题目中提到的各个数字，只有它们彼此相关的道理，却没有明确说明哪个数是实数、哪个数是法数、哪个数应当加减、哪个数应当乘除、开方。题目的形式变化无穷，知道了一种未必知道另一种，通晓了这个未必通晓那个。那么加减乘除、开方虽然已经练习得非常熟练，但不懂得运用的方法，也几乎与没有练习过的人没有区别了。

那么怎么做才可以呢？只有将从古至今所有的各种算学题目，由浅及深，分门别地，一一列出方法演算草稿，或者加上图解说，以明白为什么应当加减，为什么应当乘除，为什么应当开方？那么题意明白了，驾驭题目的方法也明白了，就不会遇到题目就束手无策了。

我且合上书思考一下。古今流传于世的所有算学书，何止数百种？我曾经看过的，也有数十种。这数十种书，哪一种不是将算学题目由浅入深，分门别地，按题目列出方法，演算草稿并附图，以明白加减乘除开方的原因呢？与其抄录前人的书，来扩充我的卷帙，何不请学算的人自己观看各种算书，以明白加减乘除开方的用处呢！

果真如此说，那么《笔谈》的写作就可以从此停止了。然而仍然不能停止，为什么呢？我在算学中沉浸钻研已经几十年，其中的甘苦知道得最清楚，所以想要将已经经历过的境界、已经见到的地步，为学者详细叙述，以帮助他们读书的功效，节省他们白费力气，不至于像我那样完全从暗中摸索得来，那么我的心愿就满足了。

我平生学习算学，没有向人拜师学习。即使与善于算学的人交好，也没有多次问难。只是喜欢观看各种算学的书。自十五六岁时，偶然在旧书中检得坊间刻印的算法书，心里暗自欢喜，早晚翻阅玩味，不到几个月就完全通晓了它的意义。我父亲见我对这门学问如此嗜好，一定是天性相近，于是为我购买求取算学的书，于是得到了《周髀》《九章》《孙子》《伍曹》《张邱建》《夏侯阳》《缉古》《海岛》《益古》《演测园》《海镜》，让我广泛观看。除了《益古》《海镜》两本书以外，其他用常规方法能通晓的，用加减乘除开方的方法驾驭，无不迎刃而解。只有对于天元术，则格格不入，几乎过了一年，才豁然开朗。后来

译我又得到了《秦氏数书九章》《梅氏历算全套》《罗氏观我生室》《季氏遗著》《董方立遗著》《衡斋算学》《焦理堂学记》《骆春池游艺录》，这才知道算学有古今、中西的不同与相同之处。而《几何原本》当时还没有翻译完整，其前六卷世间没有单独刊行的版本，只有《数理精蕴》中有收录。等到购得《数理精蕴》，于是能够通晓几何之学，而我的年纪也已经二十岁了。这时海内算学名家，如项梅侣、徐君青、戴崿士、李秋纫，他们所著的各种书籍尚未出版。因此我去墨海书馆拜访李秋纫，见他正与西方传教士伟烈亚力对译《代数学》和《代微积拾级》，还没有完成。李秋纫对我说：“这是算学中上乘的功夫，这本书一旦出版，不仅中国传统算法几乎可以全部废弃，即使是西方算法中古老的部分也没有用处了。”我于是知道在天元术之外，还有代数、微分、积分的方法。于是从他们的译稿中抄录了几条来看，却始终不能理解其中的用意。又过了几年，他们的译本先后刊印完成，送给我一部。翻阅了几页之后，已经不知道他们在说什么了。〇那种格格不入的感觉，就像当初初读《海镜》时一样。询问李君，他说：“其中的精妙之处，不是可以用言语形容的，方法全在书中，我没有什么隐瞒的。多看自然就会明白。”这难道是朝夕之间就能通晓的吗？我相信他的话，反复研读不停，才稍微得到一点头绪。譬如傍晚的星星，刚看见一点，接着看见几点，又看见几十点、几百点，以至于灿烂地布满天空。我对于代数的理解，就是逐渐明白的，不像天元术那样，不悟则已，一旦领悟便豁然开朗。然后才知道代数的方法，其层层累积、曲折变化多于天元术，所以其应用之处也比天元术更广。从此以后，无时无刻不潜心研究代数，常觉得李氏所译的两种书，实在不是容易入门的书。所以我又与西方传教士傅兰雅翻译出《代数术》《微积溯源》《三角数理《代数难题解法》，流传于世。于是现在谈论算学的人，都知道西方算法的代数就是中国算法的四元术，而其深浅难易，则不可同日而语了。

译有人问道：“按照你的说法，那么必须先搜集大量书籍，然后才能学习算术吗？还是不必搜集大量书籍，也可以学习算术呢？”

回答说：“学习算术不必依赖大量书籍，只要选择重要的书籍阅读就可以了。最容易入门的，是程大位的《算法统宗》和屈大均的《九数通考》。这两本书对于加减乘除、开方的运用，讲解得极为详细，因此最适合初学者。而且通过这两本书，还可以学会开带纵平方和正立方的方法，也能稍微了解西方算法中的各种名目。《九章算术》是中国古代最古老的算术书，它的文义与古代典籍相互印证，也是学者不可不读的。能够读懂《九章算术》，那么所有的古代算术书就没有不能读懂的了。这本书有钟祥人李云门演算的细草图说，极为详细，市面上已有刻本。”

《几何原本》是西方算法中最古老的书籍，它不谈论具体法则而谈论原理，不谈论具体数字而谈论图形，彻底贯通了立法的本源。凡是《九章算术》所没有涵盖的，它无不包含。不读《几何原本》，就不能明白点、线、面、体的道理，而对于加减乘除、开方的运用，最终也不能在心目间完全了然。这本书第十卷的道理很深，不是初学者所能通晓的，只阅读前六卷就可以了。

《几何原本》中的定义和各道题目，字字有力，其解释题目的语言，没有一个字不周到，没有一句话没有来历。学者读惯了这本书，心思自然能够缜密，那么看各种算术题目，就像禹鼎照出奸邪一样，可以没有隐藏的了。

论看题的方法

华蘅芳

初学者对于题目中的各句话，句子中的各个字，往往模糊地看过去，不能每个字都看清。虽然把题目看了多次，算了数遍，仍然有一两个最要紧的字没有看清。并不是真的没有看见这几个字，而是看见了却不知道它们的用意所在，那么这几个最要紧的字，依然漠不关心，也就等于没有看见罢了。

题目中的字句，有非常用力的，有不那么用力的，又有可有可无的。只有那些可有可无以及不那么用力的字，往往都显露在面前，一眼就能看见；而那些非常用力的字，则藏伏隐匿在各字之间，使人不容易看见。这在于看题的眼光，能够识别它们。在辞语气息的轻重之间，最有关系，所以对于虚字尤其不可忽略。

凡是看算术题目，务必将每句话每个字都看完全，不可有一个字遗漏，也不可有一个字不从心上经过，那么就能知道题目所说的是什么，注意的地方在哪里，就能知道某句话某个字是否用力，于是题目中暗藏的意思可以全部显现，而各个数字相互关联的原因也确凿可指，不至于有游移两可的看法，这样之后，题目中的各个数字才能为我所用，而我的加减乘除、开方等方法也肯为题目中的各个数字所用，不至于格格不入。

算术中各种题目，譬如用线结成各种花样的结，加减乘除、开方等方法，就像各种可以用来解结的工具。但是想要用各种工具来解结，必须先看清结的丝缕，才能有下手的地方。看题的方法，也是这样罢了。

既然能看清题目中的丝缕，那么就可以将题目中不要紧的闲字闲句，逐渐删去，而变成另一种说法。只是各个数字相互关联的道理，不可与原题稍有违背。

假如有题目说：“某日买笔两支，用钱十四文；某日买墨一锭，用钱二十文；某日买纸十张，用钱二十文。请问：共用钱多少？”

题目所问的是共用的钱，而不计算花费的日期，所以笔墨纸三样东西虽然不是一天买的，但其共用的钱与一天用完的没有区别。因此题目中的三个“某日”二字都与算法无关，可以删去。又因为题目所问的是共用的钱，不是问笔每支、墨每锭、纸每张的价格是多少，所以可以改题目为：“笔十四文，墨十文，纸二十文，共用钱多少”。

然而所买的物品，实际上与所用的钱也没有关联。因为买笔、买墨、买纸的钱，可以当作买茶、买酒、买浆的钱来计算，共用的钱没有区别。即使当作一次买物、二次买物、三次买物来计算，共用的钱也没有区别。所以又可以改题目为：“先用十四文，后用十文，又用二十文，请问用钱多少？”那么人人都知道，应当将这三个数相加，得到共用的钱四十四文。

只有一种题目，其字句一气呵成，不能稍微删节，那么只能看明题意，而将题目中的各个数字另作一种简易的说法。

假如《九章算术》中的题目说：“五只雀六只燕，放在秤上称。雀都重，燕都轻。一只雀一只燕交换位置，秤恰好平衡。雀和燕总共重一斤，请问雀和燕一只各重多少？”

那么这道题目的意思，是说五只雀重于六只燕。五只雀六只燕的总重为十六两。又说一只雀五只燕与四只雀五只燕的重量相等。只是因为一只雀五只燕与四只雀一只燕合并，就是五只雀六只燕，所以可以将十六两分为两个八两，一个为

译一只麻雀的重量等于五只燕子，一只燕子的重量等于四只麻雀和一只燕子的总重量。那么可以将题目的说法改为：一只麻雀和五只燕子总共重八两，四只麻雀和一只燕子也总共重八两，问一只麻雀和一只燕子各重多少？

译凡是看几道题时，如果发现这道题与那道题相似，一定要将这两道题看得极其透彻，究竟其中是否有略微不同的地方？〇题目有表面形式虽然不同但算法相同的，也有表面形式相似但算法不同的。

假如有两道题，第一道题说：原来有一千文钱，已经用去了四百文，现在剩下多少钱？第二道题说：原来有一千文钱，现在剩下四百文，已经用去了多少钱？

那么这两道题的说法虽然不同，但算法是相同的。因为用去的钱和现在剩下的数目，都是从原有的总数中减去的，现在剩下的数目就是用去的数目。

假如《九章算术》中的题目说：“现在有兔子先跑了一百步，狗追了二百五十步，还差三十步没追上就停下了，问狗不停下来再跑多少步能追上兔子？”

又如代数术中的题目说：“有野兔被猎犬追赶，兔子在狗前面五十步，狗每走三步，兔子能走四步，而兔子的三步等于狗的两步，问狗追多少步能抓到兔子？”观察这些，知道中国和西方都有狗追兔子的题目，它们的说法和算法略有不同，但所求的数目都是狗的步数。第一道题中“还差三十步没追上就停下了”这句话，其中的三十是兔子的步数，如果认为是狗的步数，那就错了。

数学题目，大概以涉及比例的居多。只是它们相互比较的道理，常常隐藏在所陈述的各种事情之中；它们相互比较的数目，又颠倒错乱，混杂交织在各种数字之内。观看的人最容易因此被混淆。

就以四率比例的题目为例，第一率、第二率、第三率有的按顺序排列在各句中，有的不按顺序排列。试着列出六道题如下。

第一道题说：“原来有二十千文钱，买到了十石米。现在有五十千文钱，问可以买多少石米？”

第二道题说：“先把十石米卖掉得到二十千文钱，现在又想要得到五十千文钱，问需要卖掉多少石米？”

第三道题说：“现在有五十千文钱，想要用来买米，先用二十千文钱买到了十石米，问这些钱总共可以买多少石米？”

第四道题说：“现在有五十千文钱，想要用来买米。已知每十石米，价格是二十千文。问可以买多少石米？”

第五道题说：“甲有二十千文钱，乙有五十千文钱，都想要买米。甲用他的钱买到了十石米，问乙的钱可以买多少石米？”

第六道题说：“甲有十石米，乙有五十千文钱。甲把他的米卖掉，得到二十千文钱。问乙的钱可以买多少石米？”

那么以上六道题，它们比例中的率，都是二十与十之比，也就是五十与二十五之比。

总之，数学中所有的题目，那些平正通达、简明直捷的固然很多，而那些暗藏机关、有意难为人的也不少。看题的人，就像审理疑难案件，就像搜捕潜伏隐藏的人，即使具备明察的才能、精细的心思，如果不是经验丰富、洞悉其中奥妙的人，也不能完全了解其中的真假情况。

还有一种难题，在出题的时候，已经将题目中重要的意义隐藏在人不容易留意的地方，而将题目中不应该有的计算原理明显地显露出来，使人容易误认。如果不反复审慎地观察，然后才开始解题，很少有不受其愚弄的。

假如有题目说：“现在有一匹布，总共长二十尺，每天剪取一尺使用，问几天剪完？”

那么乍一看这道题，一定会回答说二十天，殊不知这个数目已经错了。因为题目所问的是几天剪完，不是问几天用完。如果问几天用完，那么每天用一尺，那二十尺的布应当是二十天用完。现在问几天剪完，那么每天剪去一块，长一尺，到第十九天已经剪去了十九块，计算总共已经剪去了十九尺，剩下的一块，正好是一尺，可以作为第二十天使用。而第二十天取这块布时，不必再动剪刀，所以是十九天剪完。

由此可见，前题中最后一句的“剪”字，是最有力的字，绝对不能轻视。看题的时候，如果读到最后一句，不能看出这个“剪”字，而认为它与“几天用完，几天可以完成，几天而完成，几天才完成”没有区别，那么怎么能不计算错误呢？

之所以容易出错的原因，是因为题目中所说的各个数目都是整齐易算的数目，那二十尺是一尺的二十倍，而一天剪一尺，又明明有一个比例的道理摆在面前，那么观看的人来不及转念，已经不知不觉脱口而出说：“二十天。”这是话一出口就收不回来了。

假如有题目说：“现在有一根竿子高十尺，有虫子从平地开始，沿着竿子爬行，每天能向上爬二尺，而夜间必定缩下一尺，问这只虫子几天能到达竿顶？”

看到这道题而不仔细思考其中的缘故，一定认为每天向上爬二尺而向下滑一尺，那就是只向上爬一尺。一天向上爬一尺，那么十天必定向上爬十尺而到达竿顶了。所以一定会回答说：十天。

殊不知，到了第八天，虫子的脚已经到达了九尺的地方，等到缩下而在八尺高处过夜。到了第九天，用尽全天的力气，再向上爬二尺，已经到达竿顶了。题目所问的，是能到达竿顶的日子，它已经到达而再

译缩下则不计了。

前题之所以容易出错的原因，在于起初想法的偏差，只知道每天只上升一尺，却忘记了第一天上升的高度已经达到二尺之处。如果以第一天能到达二尺，且每天能上升一尺来计算，确实是九天到达顶端。

译大抵看题的方法，不过是心思细密，又能练习眼光，使人不能乘我的懈怠罢了。并非一定要每题每法，一一都能强行记住。

论驾驭题目的方法

华蘅芳

学者既然能够看清题目的道理，就能运用加减乘除、开方等方法来驾驭题目。只是题目的形态变化无穷，那么驾驭题目的方法也应当随机应变，不能固执一种观点来论述。

普通的算学书，每题下面必定有答案，又必定有专门计算此题的方法，或者还有详细的草稿图说附在后面。那么依照它的方法来演算数字，固然很容易。只是每题各有一种方法，苦于不能记忆。学算的人，如果不是胸有成竹，那么一合上书本就不能计算了。于是有人将各种方法分明别类，编成歌诀，以便于记诵。殊不知所记住的乃是死板的方法，题目一变，就无用了。

既然明白算理的人，对于书中所有的各种题目，可以不必看它的方法是如何，自然能确立方法来驾驭题目。他所确立的方法，或许与本书的方法吻合，或许出于本书之外，而能殊途同归。只是只明白几何而没有学习天元的人，他所确立的方法，必定枝枝节节地去做，不能有一以贯之的道理，所以他用心辛苦，而用力劳顿。

不论题目如何变化，而一概用一种方法驾驭它的，只有天元之术能做到。然而天元仍然凭借几何来发挥作用，所以虽然有天元，但几何的道理不可以完全废弃。

算学中有几种常用的方法，它们的道理都从几何中产生，它们的方法必定由于学习，而后才能掌握；如果没有这些方法，那么加减乘除、开方就无处施展技艺，而天元也不能使用了。这里设立几道题，以说明各种方法的用途。

第一题：有大小两数之和，以及大小两数之差，求大小两数。

方法：用和与差相加，除以二得到大数；用和与差相减，除以二得到小数。

第二题：有四率比例中的一、二、三率，求第四率。

方法：用二、三两率相乘，以一率去除，得到第四率。

第三题：有正方形或长方形的纵横两边，求长方形的面积。

方法：用纵横两边相乘，得到长方形面积。

第四题：有直角三角形，求其面积。

方法：用勾与股相乘，除以二，得到直角三角形面积。

第五题：有平面三角形，求其面积。

方法：用底边与中垂线相乘，除以二，得到三角形面积。

第六题：有圆的周长和直径，求其面积。

方法：用周长与直径相乘，除以四，得到圆的面积。

第七题：勾股弦面积相等的道理。

凡是勾的平方与股的平方相加，必定等于弦的平方。

第八题：求正立方形及带纵立方形（长方体）的体积。

方法：用长与宽相乘，又用高乘之，即得到立方形体积。

第九题：求堑堵、阳马、臑的体积。

堑堵的体积，占立方体的一半；阳马的体积，占立方体的三分之一；臑的体积，占立方体的六分之一。

第十题：求高台（棱台）的体积。

方法：将上底长加倍加上下底长，用上底宽乘之；又将下底长加倍加上上底长，用下底宽乘之，两数相加，又用高乘之，除以六，得到台体的体积。

以上十题，仅选择算书中最重要者，略举几项罢了。读者触类旁通，就可以了。

论学习算学的方法

华蘅芳

算学中，门径很多，歧途百出，不是备尝其中艰苦的人，不能洞悉其曲折，所以学习算学也不能没有方法。

学习算学的人，其志向各有不同，所以他们所学的事情，也就从此分开了。综合计算，大约可分为两类：一类是阐明数理，以完成著作；一类是推演各种数字，应用于实用。

算学中可应用于实用的，都没有难做的事。如推算田亩的面积步数，仓库的容积斛数，工程建筑的体积尺数，测量高深广远，推算日月五星的运行，都已有成法在前。依照它的方法来演算，只需要知道加减乘除及比例的方法，就已经绰绰有余。需要用到开方的，本来就不多见。

即使进而论述造表的方法，如八线与弧背互相求，真数与对数值互相求，或者从纵横两线求各曲线的长度及其所含的面积、表面积、体积。如果已有本题的级数式，依照它的式子来演算，也不过是用加减乘除、开方而已，并没有难做的事。

所以学习算学的人，如果只求见用于当世，为衣食名利打算，那么只需要熟习整数、分数、小数这三种的加减乘除、开方，再从各书中摘录测量、推算各种成法，藏在箱中，便已无所不能算了。天元代数之术，都可以不必究心。

如果不是急于求用，而务必想要阐明数理，那么他所学习的事情，不是株守成法者所能比拟的。因为数学中深奥的道理无穷，那么阐明道理的方法，也不是一个方面所能穷尽的，所以必须兼综各种方法，才能在道理上没有障碍之处。

一切算法，都从条理的道理中产生。所以算学中浅近的道理，都可以用几何的方法来阐明。只是笃信几何的人，每每自恃其点线面体的学问，而不

译天元术精妙，且不肯再研习天元术。这是因为被几何学所局限，而不能自我解脱。

用几何的方法来阐明算理。每道题必定要画一张图，每张图必定要附上解说。有图没有解说，有解说没有图，都不足以阐发题目的含义。然而到了立方以上，那些条状的原理已经无法绘图，那么几何的方法就穷尽了。天元术不必处处谈论条状原理，而一切条状的原理，无不包含在其中。这就是《益古演段》得名的原因。至于像积相互抵消，而条状的原理终究不会紊乱，所以无论有多少乘方，也无论怎样带有纵项，不必分别它们的形象，而一概用一个例子来推演。

译李冶所著《天元玉鉴》一书，其中所设立的各种题目，大抵追求深奥，而不切于实用。学习天元术的人不能不研习这些题目，于是由此又产生了障碍。这并非被天元术所误导，而是被天元术书中的题目所误导。

就像直角三角形的勾、股、弦，可以互相推求，又能通过和、差互相推求，还能通过和、差的和、差互相推求，也可以说是极尽变化之妙了。然而还不肯罢休，于是将同一种类型的勾、股、弦，又构成和、差，并一一识别它们彼此相关的道理，标名立目，条分缕析地加以解释。创立者自诩神奇，传授者共同推崇为绝学。老师以此教导学生，官员以此考核士子，聚集古今善于计算的人才，让他们困顿老死在勾股运算之中，而不自知悔改醒悟，这是李冶（李栾城）造成的后果。

几何学，是从定理来阐明题目的道理，所以定理明了，题目的道理也就明了。天元术，是从题目的道理来阐明定理，所以题目的道理明了，定理也就明了。只是几何的定理，必须借助图形；天元的定理，则不需要借助图形。因此天元所阐明的道理，能够比几何更深。

然而天元术只能将未知的数，阐明其定理，而对于已知的数，则混同于太极之中，不能一眼看出其定理如何。只有代数的方法，无论是已知的数，还是未知的数，其定理的道理，没有不清晰分明的。所以代数所阐明的道理，又能比天元更广。

学者既然明白了代数的方法，那么对于数理中深奥隐秘的内容，本来没有不能明白的。然而仍有论述过于繁琐，求解过于困难，而不能得到简易的方法来概括的情况，为什么呢？因为代数只能推演一切常数，而不能推演变数。只有微分、积分的方法，才能推演一切变数，所以有了微分、积分的方法，代数的作用就更为广泛了。

有人问道：“按照您的说法，天元胜于几何，代数胜于天元，微分、积分又胜于代数，那么学者为什么不直接学习微分、积分，而一定要从几何、天元、代数以及微分、积分开始呢？”

回答说：“不学习几何，那么对于积分的道理就不能完全明白，所以不能直接学习天元。不学习天元，那么对于正负开方的道理就不能完全明白，虽然从代数中得到了相等的式子，也不容易求出相同的数。微分、积分的算式，仍然依赖代数来使用。不学习代数，怎么能直接学习微分、积分？所以几何、天元、代数、微分、积分这些学问，必须循序渐进地达到，不能越级而进。”

又有人问道：“微分、积分必定由代数而产生，这固然没有疑问。如果说学习代数的人必须先知道天元，学习天元的人必须先明白几何，这是欺人之谈。天元，是中国的方法；几何、代数，都是西方的方法。中西各自创立方法，曾经没有彼此商量。那么创立天元的人，本来不知道有几何；创立代数的人，也不知道有天元。不知道的人尚且能创立，而说反而不能学习，天下有这样的道理吗？”

回答说：“我所说的循序渐进，是说这样学习就容易入门。并不是说舍弃这些就不能学习。创立天元的人，固然没有见过几何的书，而天元的道理无非就是几何的道理。创立代数的人，虽然没有见过天元的书，而代数的道理也就是天元的道理。那么几何、天元、代数，它们阐明道理的方法虽然不同，但它们所阐明的道理是相同的。只有几何对于初学者最容易明白，所以必须从几何入手。天元的书难于几何，而易于代数，因为它有数字可以核对。代数的方法繁于天元，而它的作用则广于天元，所以明白了天元，才可以学习代数。”

又有人问道：“演算数字与阐明道理，既然分为两途，那么演算数字的人本来不必阐明道理了。只是不知道阐明道理的人，也能演算数字吗？况且不知道阐明道理的人所演算的数字，与不阐明道理的人所演算的数字，有区别吗？”

回答说：“阐明道理的人只是不喜欢演算数字罢了，并不是不能演算数字。如果强迫阐明道理的人去做演算数字的事，他演算出的数字也与演算数字的人所演算出的数字没有区别。只是专门演算数字的人，因为已经演算得非常熟练，所以快速而且准确，这是阐明道理的人所不能及的。”

又有人问道：“算法这件事，所用的是数字。明白道理而不善于演算数字，那就是能说而不能行了。又何必取用阐明道理呢？”

回答说：“演算数字的人，只能使用方法；而阐明道理的人，则能创造方法。凡是演算数字的人所用的方法，都是阐明道理的人所创造的。算法，古代疏略现代精密，古代笨拙现代巧妙。如果不明白道理而精益求精，怎么能达到这样呢？阐明道理的人，譬如创业；演算数字的人，譬如守成。他们的劳逸难易，有不可同日而语的。阐明道理的人，不仅能创造前所未有的方法，又能以因为创，而将从前已有的方法加以改进，使其更便于使用。所以有极其困难的方法，一变而为极其容易的；也有极其繁琐的方法，一变而为极其简单的。就像圆直径求周长，古代用割圆的方法，开方数十次，仅能得到几位密率；现在用反复乘除，可以任意求取若干位密率，而不必开方。又如求三角函数（八线）的方法，古代用六宗三要二简法，而不能任意求取某角的线；现在则弧背与三角函数能互相推求。又如真数求对数，”

译古代使用中比例的方法，来代替开数十上百次方的运算；如今使用级数可以随意求解，而不必使用中比例。其简便程度不知要高出多少倍了！」

译又有人问道：“明白事理才能创立法则，那么创立法则的人没有不明白其中道理的。我看到近代的算学书籍，常常只说所创立的各种方法，而对于创立方法的道理却不加一字赘述。难道这些道理只能自己明白而不能与他人共同明白吗？还是隐藏了创立方法的道理而惟恐别人明白呢？”

回答说：“你所说的这些书，在创立法则的时候，运用天元术来推演各种尖堆的体积，一步步地去做。其中的曲折原因，只有创立法则的人自己明白。如果想要与他人共同明白其中的道理，那么取道迂回，布算繁重，推演不容易，说明很难，不能像微分、积分那样直捷简明。卷帙既多，那么刊印校对都不是容易的事，所以先刊印各种方法，而解释方法的书籍，将等待后续出版。后来因为已经见到微积分的方法，觉得自己的方法不足以传示后世，于是焚弃了草稿，这也是可能的。或者亲身遭遇战火，就义成仁，而遗稿飘零散失这也是可能的。”

又有人问道：“有几种算学书籍，它们所创立的方法虽然没有隐藏其中的道理，但是看它们解释方法的话，终究不能明白晓畅，这是什么原因呢？”

回答说：“创立方法的道理，如果不是从大公至正的路径悟入，常常觉得可以意会，而不能言传。所以自己明白其中的道理容易，想要使他人共同明白其中的道理则难。这些人虽然有深远的思考，但是笔墨所达到的，未能完全尽其妙处，那么他人观看，仍然不能明白。这也是因为观看这些书的人功夫尚浅，未能领略其中的话语罢了。”

又有人问道：“现在的算术，精密了，巧妙了，简便容易了，没有什么可以超过的了。我担心从此以后，即使有钻研数学的人，也未必能再创新方法了。”

回答说：“其他事情都有止境，而算学没有止境。古人创立方法的时候，何尝不自己认为巧妙精密？等到有比古法更精密的人，那么就把古法视为笨拙了。后人看现在，也就像现在看过去，怎么知道此后没有更巧妙更精密的方法，而把现在的巧妙精密视为笨拙呢？”

论比例的作用

华蘅芳

中法的不同，乘同除，就是西法的四率比例。《九章算术》之中，只有粟米一章，真正是四率比例的题目。方田、差分、商功、均输，虽然不是全是比例，但是其中藏有比例的道理，所以都可以用比例贯通。至于少广、盈朒、方程、句股，每一章各有专门的方法，不必强行用比例来阐明。罗茗香作《比例汇通》，把一切算法都归于比例，有见识的人讥讽他。

题目中所隐藏的比例，其道理未必完全显现。这在于学者探索题意，而得到相互比较的道理，那么就能将题目中的各数用加减乘除造成比例的率。有只用一次比例的，也有必须用数次比例的。所以比例的名称很多，有正比例、转比例、合率比例、按比例递折比例、递加递减比例、超位加减比例和较比例等名称。名目越多，头绪越乱。我认为比例只有一种方法，乃是二三两率相乘，以一率除之，从而得到四率。其名称之多，乃是创造这些率的方法，随着题目不同而略有分别罢了。

新译《几何原本》序代曾文正公

张文虎

《几何原本》前六卷，明代徐文定公从西洋利玛窦那里接受，同时李凉庵汇入《天学初函》中，而《圜容较义》《测量法义等书，其引用几何颇有超出六卷之外的，学者因此以不见全书为遗憾。咸丰年间，海李壬叔开始与西方人士伟烈亚力续译后九卷，又为其订正错误，此书于是成为完整的版本。松江韩绿卿曾经刻印，印行不多，而版毁于寇乱。壬叔跟随我在安庆军中，说：“这是算学家不可缺少的书，现在不刻印发行，又要断绝了。”恰逢我移驻金陵，于是嘱托壬叔取后九卷重新校对付刊。接着想到没有前六卷，那么初学者无从得到入门的路径，而战乱后书籍荡然无存，《天学初函》世间也很少见到。近时广东海山仙馆刻印，错误实在很多，不足以珍贵，于是一并取前六卷嘱托校对刊印。我国算书以九章分目，都因事立名，各为一种方法，学者拘泥于方法而寻求，往往毕生学习算学，知其然而不知其所以然，于是有苦于繁杂而视为绝学的，没有其他原因，只是被方法所迷惑而不知道寻求其中的道理。传曰：“事物产生而后有形象，有形象而后有滋生，有滋生而后有数。”那么数出于形象，观察其形象而通晓其道理，然后立法来寻求其数，那么即使前人没有已经成立的方法而设立它，也如同符合符契。至于探求深奥隐秘，推广古法所未备之处，那么更加深远而无穷。《几何原本》不谈方法而谈道理，概括一切有形之物而总称为点、线、面、体。点、线、、面、体，是形象。点相互牵引而成线，线相互相遇而成面，面相互重叠而成体。而线与线、面与面、体体，其形有相合、兼有相似；其数有和、有差、有相等、有无相等、有比例、有无比例。洞悉点、线、面、体而驾驭

译用加减乘除的方法，就像关起门来造车，出门后却能与车辙吻合一样。何必辛辛苦苦地追逐外物去寻求呢？那么《九章算术》可以废弃吗？不是的。学者通晓声音训诂的门径，然后古书中深奥广博的内容才能读懂。明白点、线、面、体的道理，然后繁难复杂的数学才能通晓。《九章算术》的方法各自适合其用途，《几何原本》则彻底贯通了《九章算术》立法的本源，凡是《九章算术》没有涉及的地方，没有不涵盖的。在此处推致其知识，而在彼处验证其应用，这难道不像致力于小学（文字音韵训诂之学）而在经籍上收到成效一样吗？

译象数一原序一

项名达

方形与圆形的比率，古代未能相通。通过直径求圆周，用勾股定理推演计算，不如切割圆弧求弦矢之率，这又比西方人的八种妙法更为精妙。求取那八种比率必须借助六宗、三要、二简法，不能直接求得。之所以如此，是因为方形有尽头，圆形无穷尽，形势上难以强行吻合。自从杜氏的方法出现，方形与圆形的比率才开始相通。他的方法使用连比例：第一率是半径，第二率是通弦，第三率是倍矢，由此依次推求各种比率，有了直径就能得到圆周，有了弦和矢就能得到弧，有了弧也能得到弦。他的计算快捷，数值也最为真实。然而这种方法，梅氏在《赤水遗珍》中记载了它，却没有解释；明静庵先生解释了它的快捷方法，却没有揭示其本源。应当单独成书，并非正确的解释。自从董氏的方法出现，方形与圆形比率相通的道理才开始显现。方法共有四种：叫做求倍分弦矢，求析分弦矢，审定制乘除法，以明确比率数值。倍分率，是圆形用来贯通方形的方法；析分率，是分割用来贯通圆形的方法。他解释倍分率，使用方锥堆，而方锥堆实际上出自三角堆。弦的第二率，就是两堆根相加的数；第四率，就是两立积相加的数；矢的第三率，就是两平积相加的数；第五率，就是两三乘积相加的数。第四、第五率以下的多重乘积，无一不是这样，所以依次乘除都是求取堆积的方法。并借此来求取弦和矢。弦的分割有奇数没有偶数，矢的分割奇偶俱全。到了析分率，三角堆中没有这样的数，就假借倍分的比率进行较量并反过来解释它，可以说是独具只眼了。我所疑惑的是，堆积既然与比率数值相合，为什么有倍分却没有析分？倍分中的弦率为什么又有奇分而没有偶分？而且弦和矢连接在圆形中，与三角堆有什么关系？积蓄这些疑惑已有多年。丁酉年我从苕南归来，在船中偶然想到此事，恍然大悟说：三角堆的数从一开始，依次加一，得到堆根；依次加堆根，得到平积；依次加平积，得到立积；这是依次相加的数。弦矢的比率由圆形中两个等边三角形依次比例而产生，也从半径的一开始。半径就是第一率，依次加第一率得到第二率，依次加第二率得到第三率，依次加第三率得到第四率，这也是依次相加的数。数有整数必有零数，从整数分开始的叫整数，依次相加只有一种格式，即三角堆相连两根积相并，与倍分矢率、倍分中奇分弦率相等的数。从零数分开始的叫零数，依次相加有无量种格式，不能用三角堆命名，依照格式推演倍分中偶分弦率及析分弦矢的比率，实际上参列其中。不仅如此，倍分是将一分弧分为几常，以一为分母；析分是将几分弧分为一，常以一为分子。现在得到了零分，那么分子分母不必固定为一，任意设定几分弧之几，没有不能求取的。因此创立了由已知弧求其他弧的两种方法，以补充未曾完备之处。还不止如此，分子分母既然可以任意设定，那么六十度通弦、倍矢与半径等诸率齐同，取作分母，任意设定某度为分子，并诸率的本数可以省去不求，只求依次相加的差数，就能得到逐度分秒的正弦、正矢。因此又创立了由半径求弦矢的两种方法，以备制表之用，似乎便于使用。弧简而言之，弦矢诸率的比例产生于两个等边三角形，其数值基于依次相加的两个等边三角形尖象。依次相加的数，就是尖数。贯通方形和圆形必须依靠尖，所以自古以来切割圆形的方法不离开勾股而得其象，却未得其数。取数不免繁重，自从有了零整分的依次相加，然后象与数才分开。于是确定比率也就于是通分，即依次相加数的根率，即依次相加数的积分，以分子分母管辖外圆涵容方形。比率以奇偶应和内方就圆。切割圆形的方法到此才开始没有剩余的蕴义。于是趁着几个月的闲暇，著成图说两卷。友人王子琴逸喜爱算术，遍涉中西，见到这种方法喜爱它，想与杜、董的方法合刊为一册，嘱咐我序其大意。我因此详细叙述方法的由来，不嫌言辞繁琐，也是因为以此贯通方形与圆形的比率，没有董氏的道理无从彰显，没有杜氏的方法无从自立，没有勾股割圆等方法作为引导，也无从观察象数以达到至精。那么古人创始的艰难，岂可忽视呢！

象数一原序二

项名达

向来玩味弦矢诸率，会得依次相加的数，又分析圆形，得到两个等边三角形，其象恰好与数相合，因此草成图解一册，聊以表达心意，但脱漏很多。丙午年冬天，我辞去紫阳书院的讲席，笔墨得以空闲，逐渐编定整分半分起度两种弦矢比率，而梁楚香中丞又以紫阳大小课艺嘱咐我选编，推辞不掉，于是又受阻挠。杨缃芸农都在京城，见到旧刻《割圜捷术》序中提到图解，急切想见一见。丁未年冬天来杭州拜访我，因此将所编的示给他看，缃芸说书未编完一半，而您年事已高，这本书断然不可不成，而且不可迟缓完成，限期一年，临别时还谆切嘱咐。我感激他的心意，为此定书名为《象数一原》。卷一叫整分起度弦矢率论，卷二叫半分起度弦矢率论，卷三、卷四叫零分起度弦矢率论，卷五叫诸术通诠，卷六叫诸术明变。随即将卷三编定，选编课艺完毕，又因病受阻。今年夏天才将卷四著了六纸，不料病体又感湿热，兼有肝乘脾之症，几乎不可救药，医治两月没有起色

译面色（病状），却又再次感受燥火之邪，导致脏腑没有不生病的，全身血脉运行不畅，医生们都束手无策，自己知道如同残灯微焰，断难长久维持，于是这本书从此搁笔了，残缺而不完整。世间事大多如此，何必留恋不舍？所遗憾的，是辜负了缃芸殷切嘱托的心意罢了。然而书虽然没写完，但零分各腰率、零分递加数，在卷三中已经推演出了它们的公式，只是义理深奥头绪繁多，打算在卷四中分条详细论述。已经论述到易率法中的相当率，寄分论述完毕，接着论述用率寄分、定率寄分，都应当分别奇偶来论述，这样易率法就论述完了。其次论述推演递加数的方法，也论述寄分，论述子母，论述正负，论述奇行偶行积的子母互异，论述直行并行积的子母互异，这样递加数就论述完了。其次论述递加数就是各种形状的腰率，而正负不同，论述心角形腰与腰的较率正负相反，论述并积即弦矢率，校正正负有确定的方法，论述矢率、弦率子母全半的不同，这样弦矢率就论述完了。最后依据半分起度式分为六种术数，以阐明其算法，特别那论述全半，这里论述子母异同之处稍微分别一下就可以了。至于卷五、卷六都有旧稿，而且已经编定，只须按照格式抄录即可。现在将各卷总束为一卷，假设有秉承我的意图而续写完成的人，只是分条论述稍难，六种术数则容易着手，如果没有续写完成的人，卷四作为未完之书，也未尝不可。

译对数简法跋

项名达

求对数的旧法，论述得极为详尽，但层次重叠、头绪繁多，初学者往往难以明白。鄂士先生揭示其精要并加以变通，著成《对数简法》。首先论述开方，由浅入深，归纳为七种方法。接着又创立累除法，省去数十次开方查表的步骤，已经极尽其能事。尤其巧妙的是，舍弃开方而直接求取，假设一个数。因为对数折半，真数开方，一直开到小数点后一位，后面空出多位零数，于是真数与对数就得以会通。这就是开方之所以重要的原因。但是必须反复开方不止，才能会通。何不直接在会通之处，假设一个数来贯通呢？等到辗转相通，七十二个对数的等差，已经具备在假设的各个数中。通过一次比例，就能确定标准数值。由此可知，数学的运用中，带着零数去求整数很难，假设整数来驾驭零数容易；凭借已知的去推算未知的，顺推而入很难；借助未知的去贯通已知的，逆转而出容易。如果领悟了这一点，就可以掌握运用数学的方法，这哪里只是对对数这一门学科有益于后学呢？

对数简法识

戴煦

对数用加减代替乘除，使用起来非常方便，但求取却非常困难。旧法求取各种对数，都是先求取自一至九，直到小数点后一位九、空位零一至九的九十九个数，而求取的方法大致有三种。先确定十、百、千万的对数，而其中的零数则用中比例法累次求取而得。用首率、末率两个真数相乘开方得到中率的真数，用首率、末率两个假数相加折半得到中率的假数，逐渐求取逐渐接近，直到完全适合。例如旧法求取九的假数，用中比例法求取到二十六次而得到八位对数，这是第一种方法。凡是假数的首位，因为真数的位数而依次增加，用真数依次自乘到多位，而其位数就是假数首位以前的数，然后用自乘的次数去除，就得到真数第一率的假数。例如旧法求取二的对数，自乘到一千三百余亿，用率数去除自乘的位数四百十余亿位，而得到十二位的假数，这是第二种方法。既然确定十的对数为一，就用真数十开方五十四次三十三位，用假数折半五十四次作为逐次假数，列为开方表。于是用第五十四次真假两数的比例得到小数点后一位十五空位零一的假数作为率数。于是用应求对数的真数开方四五十次，求得十五空位与之作为比例，然后用开方第几次的率数乘之，而得到二十二位的假数。或者真数开方二十余次，求得九空位与表中九空位开方数作为比例，也用率数乘之，而得到十三四位的假数。例如旧法求取二与六的对数，这是第三种方法。但是这些方法布算极其繁琐，甚至经过十天半个月也不能求完一个数，所以谈论数学的人很少有不对它望而生畏的。如果设立的方法太繁琐，那么比较计算就不容易，深深忧虑时间久了会失去其真值。于是又详细探索，才开始领悟求取十一二位对数，开方表只需要二十一次，十四位已经足够使用。而既然有了开方表，那么求取各种对数就不必再开方，比起旧法节省计算数倍。而且不仅如此，凡是各种对数都确定于十的对数，而实际上产生于小数点后一位五六空位零一的对数。现在想要用十的对数求取小数点后一位五六空位零一的对数，势必要屡次开方。如果借一个数作为小数点后一位五六空位零一的对数，转而求取十的借数，就可以得到比例之率。知道累除法，可以代替开方而使用。二十一次的开方表，还属于舍弃容易追求困难。但是这种方法，立法特别简单，用意并非深刻。西方人士如往讷白尔等人，既然能创立对数，恐怕没有不知道这一点的。大概当时欧洲人，故意隐藏其容易而夸大其困难来夸耀于中国吧？现在将其揭示出来，使求取对数的人有所取用。

续对数简法

戴煦

前年秋天，我把对数简法呈给梅侣项先生。第二天，他对我说：“递求数可以开平方，也可以开各种乘方，我领悟了两种方法，起草尚未确定。”我回去思考，也得到两种方法，呈给先生。而先生也把定稿给我看，他的逐个数都是正的，一种方法与我的正负相间不同。他的第一个数是正的，而以下都是负的，一种方法则如同符节相合。于是开各种乘方，就有了三种方法。我思考既然有三种方法，必定还有另一种方法，于是补充推演，将要呈给先生。而先生恰好也把补充推演的一种方法给我看，又如同符节相合。只是先生用乘数加一作为廉率，说是各种乘方第一个廉与最后一个廉的数。而我用连比例率推演，也一一吻合。因此用他的方法用代累乘求积，也没有不通的。于是知道廉率本产生于连比例率。对数开平方，多次用开方旧法，到十二乘已经属于繁重，断难开至亿兆乘，所以用平方代替开方。现在开各种乘方，既然通为一种方法，可以不必代替开方。于是由繁得简，又推导出开极多位九乘方的方法，而对数的简法就出现了。前术用假设对数，乃立天元一法，即西方人的借根方。但天元一可以乘而不受除，常寄除法为母。现在必须累除数

译计算百次，则寄母极为繁复，无法计算，不得不直接使用除法，那么数百次计算中产生的零头累积起来，其误差就会非常大，因此难以求得多位小数。不如采用连比例法逐步推算，这样数值的差异极其微小。至于对数还原，即是代替累乘求积的方法并加以变通，因此也属于同类情况。

译对数产生于连比例率。假如设定一个数作为本数即第一率，称之为方根，那么它自乘的积就是倍大的第二率，再次自乘的积就是倍大的第三率，第三次自乘的积就是倍大的第四率。因此，用本数的对数乘以二，就是自乘积的对数；乘以三，就是再次乘积的对数；乘以四，就是第三次乘积的对数。如果反过来讲，设定一个数作为本数即第一率，称之为方积，而它开平方的根就是折小的第二率，开立方的根就是折小的第三率，开三次方的根就是折小的第四率。因此，用本数的对数除以二，就是平方根的对数；除以三，就是立方根的对数；除以四，就是三次方根的对数。推广到多次乘方，其倍大与折小的比例率，没有不是这样的。然而倍大的各率与连比例率相应，而折小的各率不相应，这是因为：第二率的平方积自乘，用第一率的方根去除，得到第三率的立方积；第二、三率的平方与立方两积相乘，用第一率的方根去除，得到第四率的三次方积。推广到各率都是如此。分析折小的各率则不是这样。倍大的率是率数，所以求对数用乘法；折小的率是率分，所以求对数用除法。倍大不仅有率数，也有率分，例如用第二率的二去除第一率的一得到0.5，这就是倍大第二率的率分；用第三率的三去除第一率的一得到0.3330，这就是倍大第三率的率分。折小不仅有率分，也有率数，例如0.5就是折小第二率的率数，0.3330就是折小第三率的率数。它们倍大与折小同一率的率分与率数，总是两两互为倒数。对于每一率的率分与率数，总是与第一率的一构成三率连比例，并且必定以第一率为中率，所以用率分去除，或者用率数相乘，得到的数必定相同。不仅如此，率有整数，也有零数。整数率，例如倍大折小的第一、二、三、四等率，如果不是率分为整数，就是率数为整数。零数率，例如有一个数，比较本数开平方根则不足，比较本数开立方根则有余，其率分必定是二以下带有零碎小数；或者比较本数自乘积则有余，比较本数再次乘积则不足，其率数也必定是二以下带有零碎小数。而用这种带有零碎的率分或率数作为首率，以第一率为中率，求其末率，必定仍然带有零碎。这种倍大折小的率，分率和率数都带有零碎，从而成为零数率。如果现在所使用的对数，正是真数的率数，而不是率分，而它的本数作为第一率，为10，所以10的对数为1，即第一率的一；而100为本数倍大的第二率，其对数也为2；1000为本数倍大的第三率，其对数也为3。如果是一以上、十以下，从二到九，则不满第一率，所以对数首位为0，而下面带有零碎；十以上、一百以下，从十一到九十九，则不满第二率，所以对数首位为1，而下面带有零碎。这就是所谓的零数率。知道了对数是连比例的率数，那么求对数的方法就可以论述了。

倍大率

率数1000，2000，3000，4000，5000，6000，7000，8000，9000，10000。

第一率

方根

第二率

平方积

第三率

立方积

第四率

三次方积

第五率

四次方积

第六率

五次方积

第七率

六次方积

第八率

七次方积

第九率

八次方积

第十率

九次方积

率分1，0.0005，0.000333，0.025，0.002，0.000166，0.0142，0.0125，0.0111，0.0100

折小率

率数1，0.0005，0.00333，0.025，002，0.000166，.0142，0.0125，.0111，0.0100。

第一率

方积

第二率

平方根

第三率

立方根

第四率

三次方根

第五率

四次方根

第六率

五次方根

第七率

六次方根

第八率

七次方根

第九率

八次方根

第十率

九次方根

率分1000，2000，300 0，4000，5000， 6000，7000， 8000，9000， 10000。

以本数为积求折小各率

第一术

方法：查本率乘数的开方初商表，取其中较小于本数者，以其根作为第一数的正值。接着以本数为除数，用初商的实数减去本数，其减去的余数作为乘数，所求的第几率名为率分。于是用乘数乘以第一数，用除数去除，又用率分去除，得到第二数的正值。用乘数乘以第二数，用除数去除，又用率分加一相乘，用两倍的率分去除，得到第三数的正值。用乘数乘以第三数，用除数去除，用两倍的率分加一相乘，用三倍的率分去除，得到第四数的正值。用乘数乘以第四数，用除数去除，用三倍的率分加一相乘，用四倍的率分去除，得到第五数的正值。如此依次推算至

译需要求取的位数，就将所有正数相加，得到所求的结果。

此算法由项氏制定

第二种算法

方法是查验本率乘数的开方初商表，选取其中略小于本数的数值，将其根作为第一个正数；接着以初商实作为除数，用初商实减去本数，所得的减余数作为乘数，然后用乘数乘以第一个数，再除以除数，最后除以率分，得到第二个正数；用乘数乘以第二个数，除以除数，再用率分减一后的结果去乘，最后除以二倍的率分，得到第三个负数；用乘数乘以第三个数，除以除数，再用二倍的率分减一后的结果去乘，最后除以三倍的率分，得到第四个正数；用乘数乘以第四个数，除以除数，再用三倍的率分减一后的结果去乘，最后除以四倍的率分，得到第五个负数；像这样依次推算直到达到需要求取的位数，然后将所有正数相加，再减去所有负数之和，便得到所求的结果。

译考察此法，是我所确定的。

第三法

方法是：查检原本率乘数的开方初商表，选取其中大于本数的那个，以其平方根作为第一个正数。接着以初商实作为除数，初商实减去本数，其减去的余数作为乘数。于是用乘数乘以第一个正数，除以除数，再除以率分，得到第二个负数。用乘数乘以第二个负数，除以除数，再用率分减一后乘以它，除以两倍的率分，得到第三个负数。用乘数乘以第三个负数，除以除数，再用两倍的率分减一后乘以它，除以三倍的率分，得到第四个负数。用乘数乘以第四个负数，除以除数，再用三倍的率分减一后乘以它，除以四倍的率分，得到第五个负数。像这样依次推算到需要求得的位数，然后将所有负数相加，减去第一个正数，便得到所求的结果。

考察前面的开平方七法，就是此法。

第四法

方法是：查检原本率乘数的开方初商表选取其中大于本数的那个，以其平方根作为第一个正；接着以本数作为除数，初商实减去本数，其余数作为乘数。于是用乘数乘以第一个数，除以除数，再除以率分，作为第一个负数；用乘数乘以第二个数，除以除数，再用率分加一后乘以它，除以两倍的率分，作为第三个正数；用乘数乘以第三个数，除以除数，再用两倍的率分加一后乘以它，除以三倍的率分，作为第四个负数；用乘数乘以第四个数，除以除数，再用三倍的率分加一后乘以它，除以四倍的率分，作为第五个正数；像这样依次推算到需要求得的位数，然后将所有正数相加，再减去所有负数的和，便得到所求的结果。

考察前两种方法，我所确定的与项氏所确定的暗中吻合。

以本数为根求倍大各率

第一法

方法是：任意截取本数的几位，依照本率乘数累乘得到一个正数。接着以本数作为除数，本数减去截去的数作为乘数，所求的第几项率名为率数。于是用乘数乘以第一个数，除以除数再用率数乘以它，作为第二个正数。用乘数乘以第二个数，除以除数再用率数加一后乘以它并除以二，作为第三个正数。用乘数乘以第三个数，除以除数再用率数加二后乘以它并除以三，作为第四个正数。用乘数乘以第四个数，除以除数再用率数加三后乘以它并除以四，作为第五个正数。像这样依次推算到单位以下，然后将所有正数相加，便得到所求的结果。

第二法

方法是：任意截取本数的几位，依照本率乘数累计相乘，作为第一个正数。接着以截去的数作为除数，本数减去截去的数，其减去的余数作为乘数。于是用乘法乘以第一个数，除以除数再用率数乘以它作为第二个正数。用乘法乘以第二个数，除以除数再用率数减一后乘以它并除以二，作为第三个正数。乘法乘以第三个数，除以除数再用率数减二后乘以它并除以三，作为第四个正数乘法乘以第四个数，除以除数再用率数减三后乘以它并除以四，作为第五个正。像这样依次推算到率数减尽为止，然后将所有正数相加，便得到所求的结果

第三法

方法是：任意截取本数的几位，在末位加一，依照本率乘数累乘作为第一个正数。接着以截去的数加一作为除数，截去的数加一减去本数，其减去的余数作为乘法。于是用乘法乘以第一个数，除以除数，再用率数乘以它作为第二个负数。乘法乘以第二个数，除以除数，率数减一乘以它，除以二作为第三个正数。乘法乘以第三个数，除以除，率数减二乘以它，除以三作为第四个负数。乘法乘以第四个数，除以除数，率数减三乘以它，除以四作为第五个正数。像这样依次推算到率数减尽而止，然后将所有正数相加，再减去所有负数，便得到所求的结果。

第四法

方法是：任意截取本数的几位，依照前法加一，依照本率乘数累乘之，作为第一个正数。接着，以本数为除数，截去的数加一减去本数，其余数作为乘法。于是用乘法乘以第一个数，除以除法，再用率数乘以它，作为第二个负数。乘法乘以第二个数，除法除之，率数加一乘以它，除以二，作为第三个正数。乘法乘以第三个数除法除之，率数加二乘以它，除以三，作为第四个负数。乘法乘以第四个数，除法除之，率数加三乘以它，除以四，作为第五个正数。像这样依次求到单位以下，然后将所有正数相加，再减去所有负数之和，便得到所求的结果。

考察有本数，求倍大折小各率，本来通为一种方法，并非有两种含义。其第二个数倍大，用率数乘的，是因为率分、率数与单一构成三率连比例，率分为首率，则单一是中率，率数是末率，所以用率分除之的数，即等同于用率数乘之的数；而折小各率，率分是整数而率数是零，所以用率分比较方便；倍大各率，率数是整数而率分是零，所以用率数比较方便。其第三个数以率数加减一乘之再除以二的，是因为连比例首率与中率之比等同于中率与末率之比，前四种方法中，首率内加减中率乘之，再除以两倍的首率；后四种方法中，中率内加减末率乘之，再除以两倍的中率，所得的数必定相同。以下各数的含义仿照此理。其第二、三法与

译前面第二、第三种方法中，正负结果之所以不同，是因为乘法虽然说是用率数减去一，实际上是用一减去率数，减去的余数作为负算，所以乘法成为负乘；既然成为负乘，那么相乘后的正负必然改变，所以能够将逐个数都是负的变为正的，负数相间变化的，正负相间的变为逐个数都是正的。那些率数减完就停止的，凡是算法条例都以恰好足够为实数，无论用正数还是负数去乘除它，必定仍然是恰好足够；或者以正负数为实数，用恰好足够的数去乘除它，也仍然是恰好足够，所以率数减完，下面就没有数了。又查考前面四种方法可以作为开方的快捷方法，后面四种方法所求的只需要用本数连续相乘就能得到，而依次逐步求解，似乎比较繁琐，然而开方与连续相乘只能求出倍数增大、折半减小等各种整数比率，如果前面八种方法，凡是第一个数已知的，即使是零数比率也可以求出，用在反对数上尤其重要。又查考每个数通用的乘法除法，如果先用除法去除乘法，用作递次乘法法则，一次相乘可以代替一次相乘一次相除；如果先用乘法去除除法，用作递次除法法则，一次相除可以代替一次相乘一次相除。

译论对数根

所谓对数根，是各种对数的本源，也就是单一后面跟着无数空位（即小数点后无数位）的零一的对数。旧法以10为被开方数，开五十四次方，将其方根在单一后面所带的零的位数作为第一率；将单一连续折半五十四次，即一兆八千多亿，作为第二率；将单一后面十五位空位后的零一作为第三率，求得第四率即为对数根。如果用10作为被开方数，开五十四次方，就是以10为本数、第一率，去求折小到一兆八千零一十四万三千九百八十五亿九百八十四万一千九百八十四这个比率。现在有了本数，就可以求出折小的各种比率，那么第五十四次开方的数就可以直接求得了。既然可以直接求得，那么求一兆八千多亿的比率，就不如求一“无量数”的比率。所谓一“无量数”，就是说一千或一万，为什么呢？因为一兆八千多亿的比率是第五十四次开方数的比率，其位数非常多，用连比例求得的比率数，也有多位，也就是第五十四次开方数的对数，而计算过程非常繁琐。一“无量数”虽然数值极大，但仍然是一，只不过下面有无数空位罢了。把它作为第一率，用连比例求末率，必然得到单一后面无数空位的零一，这就是求对数根第四率的第二率数。既然是一，可以省去一次多位数的乘法，而且一“无量数”比一兆有余更为精密。

现在确定10的对数为单一，来求对数根。

方法：先以10开平方五次，或者开平方三次、开立方一次，或者开平方一次、开立方两次，都可以，只是取其降低位数容易罢了。得到折小的第三十二率107460782321317497，作为对数根的计算用数。用数见后，第三十二率以前的各率作为用数，则降低位数稍难。如果三十二率以后都可以作为用数，不必一定用三十二率。放置用数减去首位，用单一去除用数，得到144034192188686539，作为递次除法的用数。作为通田除法的用数，减去首位作为通用乘法。这就是前面所说的以乘法代除法，递次除法中一次除法可以代替一次乘法和一次除法。于是用除法去除单一，用折小率三十二去乘它，得到222169469024963266，作为第一个正数。用除法去除第一个数，乘一，除二，得到7712386401067830，作为第二个正数。用除法去除第二个数，乘二，除三，得到356970164925122，作为第三个正数。用除法去除第三个数，乘三，除四，得到18587782499805，作为第四个正数。用除法去除第四个数，乘四，除五，得到1032409442083，作为第五个正数。像这样依次求得，得到59731733741作为第六个正数，03554616313作为第七个正数。215941046作为第八个正数。13326530作为第九个正数，0832710作为第十个正数。52557作为第十一个正数。3345作为第十二个数。

正214作为第十三个数，正14作为第十四个数，正1作为第十五个数，正数合并所有正数得到230258509299404577，作为第一率，单一作为中率，求得末率0434294481903251811，这就是对数根。

用数：1074607828321317497。

除法：144, 03, 4192, 1886, 86539。

第一数：2221694690249六三二六六，用除法去除它，乘一除二得到。

二，77123864010六七八三0，同上，乘二除三。

三，35, 697016492五一二二，同上，乘三除四。

四，1858, 7782, 499805，同上，乘四除五。

五，10324094420八三，同上，乘五除六。

六，59731733741。同上，乘六除七。

七，3554616313，同上，乘七除八。

八，215941046，同上，乘八除九。

九，13326530，同上，乘九除十。

十，832710，同上，乘十除十一。

十一，52557，同上，乘十一除十二。

十二，3345，同上，乘十二除十三。

十三，214，同上，乘十三除十四。

十四，14，同上，乘十四除十五。

十五，1

得数，第一率：23, 0258, 50

译九二，九九四０，四五七七。

中率一

末率，０四三四二九四四八一九Ｏ三二五一八一一。

译按照此法，即以10作为本数，第一率，依据第一术求出折小第一无量数率。其第一数原本为单一，凡是求极多率时，初商恒为单一，依照对数的规律，以单一下的零数为比例而截去首位，因此放置第一数不用，而最终将第二数作为第一数。之所以用三十二去乘它，是因为所用数系本数的折小第三十二率，应当在求得数之后用三十二去乘得到所求数，而用三十二去乘第一数，所得结果也是相同的。不同的是，求法既然依据第一术，那么第二数应当用一无量数加一去乘，用二无量数去除，为何要用一乘二除呢？不知道求极多率时没有加一的误差。现在试着以九乘方来说明，其率分为十，其乘法十一与除法二十的比较，一与二的比例，所差尚大。如果是两位九乘方，即九十九乘方，其率分为百，而一百零1与二百的比较，一与二的比例，所差较微。如果是三位九乘方，即九百九十九乘方，其率分为千，而1001与二千的比较，一与二的比例，其差更微。由此推之，多位九乘方则其差必定极微，因而可以不计了。这不仅仅是可以不计，比如割圆中有大弧弦求析分小弧弦，每次数乘有分子的减差，析分得越小，减差越微。如果求弧则有分母无分子，连这减差都没有，稍有减差则也就稍有棱角而非真正的弧了。求对数根也是如此，必须开无穷无尽极多位九乘方，连这加差都没有，然后求至数百千位而无不合。如果稍有加差，则必定滞留在第几率，而求至多位反而不合了。就像开平方五十四次，而所求的对数根不过十五六倍，如果想要增加求一位，必须再开三十四次，不能像前法那样求几位即得几位，因为它滞留在18000多亿率上。那么一乘二除，二乘三除，正是开无穷无尽极多位九乘方的方法，无法给它命名，暂且称它为折小第一无量数率罢了。

论用数

前言：有本数，求折小第一无量数率时，可以直接求得，这是立下的法则。而法则有所穷尽，必须先求三十二率，为什么呢？多率的开方，初商表示其数极其繁杂，只有初商为单一，那么任意折小到多率，而初商实际上也必定仍然为单一。幸好求折小多率时，其首位必定为单一，所以使用第一、第二两术，其第一数必定为单一，而初商实际上还可以知道。如果使用第三、第四术，那么初商必定为二，而初商实际上就极其繁杂而无法求得了。然而即使使用第一、第二术，其中又有阻碍。现在试着以10为本数，依据第一术求之，则以10为除法，初商实为一，减去10，得到9为乘法，乘除法相差甚微，而位数不降低，位数不降低即不能递推求得。依据第二术，则一除九乘，位数不仅不降低，反而升高，更不能递推求得，这就是阻碍。求折小多率时，其本数必须为单一，下面有空位，空位后带有零数，那么减余数小而可以求得。现在本数10，既不是单一，又没有零数，那么必定要借助一个单一下有空位带零数的数来求得，这就是用数的由来。而求用数大约有四种方法：以本数先求折小第几率作为用数，其第一数以折小率若干去乘，然后递推求得，这是第一种方法。以本数首位降为单位，以从二到九、从十一到十九诸数累除作为用数，求得数后，以除法对数加上，看降了几位，再在首位加几，这是第二种方法。以本数先求倍大第几率，以首位升为单位作为用数，求得数后，看升了几位，则在首位加几，然后以倍大率若干去除，这是第三种方法。放置本数，以从二到九累乘，以首位升为单位作为用数，求得数后，视升几位，首位加几，然后以乘法之对数减去，这是第四种方法。然而第一种方法取数不易，而有畸零，只有求对数根时，不得已才使用。第二种方法也有畸零。第三种方法虽然没有畸零，但不能必定得到诸数的倍大率，不能随即得到首位为一而下有空位的情况。只有第四方法既无畸零，且可必定得到，所以求用数可以用倍大率求的，就用倍大率；其不可用倍大率的，则用借数累乘法较为方便。

假如以倍大率求二之用数

方法是以二自乘九次得到1024，为二的倍大第十率，降三位得1024，为二之用数。

假如以累乘法求七之用数

方法是以七用，二乘之得十四；又以八乘之得一12；又以九乘之得1008，降三位得1008，为七之用数。

假如兼用倍大率及累乘法，求三之用数的方法

方法是以三自乘，再乘得27，为三的倍大第三率。以四乘之，得一08，降二位得108，为三之用数。

译论借数

所谓借数，是指从二到九这八个数字，借用它们作为连续相乘的基数。凡是各种数字，只要选取这八个数字中的某一个去乘，都能得到首位为一、后面有空位的数，因此借数不必广泛寻求，仅用这八个数字就足够了。但是，由使用数字所求得的对数，必须加上乘法对应的对数，那么就必须先求出借数的对数。而借数虽然有八个，实际上只相当于三个，为什么呢？因为二、五、四、八本质上相通为一个数，三、六、九也相通为一个数，只有七单独成为一个数，所以只要有这三个数的对数，八个数的对数就已经完备了。有了八个数的对数，那么各种数字的使用数也就无一不备了。

译假如有对数，要求二、四、五、八的对数。

方法依照前法求得二的用数1024，减去单一得0024，作为递次乘法。于是用乘法乘以对数根，得0010423067565678043，这是第一数，为正；乘法乘以第一数，再乘以一，除以二，得125076810788137，这是第二数，为负；乘法乘以第二数，再乘以二，除以三，得2001228972610，这是第三数，为正；乘法乘以第三数，再乘以三，除以四，得36022121507，这是第四数，为负。如此依次求得691624733，这是第五数，为正；013832495，这是第六数，为负；284554，这是第七数，为正；5976，这是第八数，为负；127，这是第九数，为正；3，这是第十数，为负。于是合并所有正数得0010425069486560067，又合并所有负数得0000125112846748118，用正数减去负数得0010299956639811949，这就是用数的对数。因为用数相当于小数点左移三位，所以在首位加上三，得30102999566398011949，这是一千零二十四的对数。因为一千零二十四是二的十倍，所以用十去除它，得03010299956638119，余数四九舍去，这就是二的对数。

求四的对数，因为四是二的二倍，即第二率，所以用二的对数乘以二，得06020599913279623000。

求五的对数，0000相乘即得十，所以用十的对数单一减去二的对数，得069897，0004336，0188，031，这就是五的对数。

求八的对数，因为八是二的三倍，即第三率，所以用二的对数乘以三，得09030899869919435847，这就是八的对数。

用数 1024

乘法 0024

第一数，0010423067565578043，乘法乘以它，一乘二除得。

二，1250768107881037，同，二，三。

三，20012，2897，2610同，三，四。

四，36022121507，同，四，五。

五，691624733，同，五，六。

六 13832495 同 六 七

七 284554 同 七 八

八 5976 同 八 九

九 127 同 九 十

十 3

正数，0010425069485560067。

负数，0000125112845748118。

减得，0010299956539811949。

首位加三，3010299956539511949。

十除之，0301029995539511949，二的对数。

二乘之，06020599913579523898，四的对数。

以减单一，06989700043350188051，五的对数。

三乘之，09030899859919435847，八的对数。

假如求三与六与九的对数

方法依照前法求得三的用数108，减去单一得008作为递次乘法，于是用乘法乘以对数根得0347435585522601449为第一数，为正；乘法乘以第一数，一乘二除得13897423420904058为第二数，为负；乘法乘以第二数，二乘三除得741195915781550为第三数，为正；乘法乘以第三数，三乘四除得44471754946893为第四数，为负；如此依次求得2846192316601为第五数，为正，0189746154440为第六数，为负，013011164876为第七数，为正；910781541为第八数，为负；64766687为第九数，为正；4663201为第十数，为负；339142为第十一数，为正；24870为第十二数，为负；1837为第十三数，为正；136为第十四数，为负；10为第十五数，为正；1为第十六数，为负，于是

译将各正数相加，得到03438179640706972152；再将各负数相加，得到00013942085837475140。用正数和减去负数和，得到03342375548694970112，这是所用数的对数。将所用数的小数点向左移动两位，并在首位加上2，得到2033423755486970112，这是一百零八的对数。用这个对数减去4的对数，得到14313637641589873114，这是二十七的对数。因为二十七是第三率，且是三的三倍，所以用三去除这个对数，得到04771212547196624371，这就是三的对数。

译求6的对数，用2与3相乘，即得6，于是将2的对数加上3的对数，得到0.778151250383643632，即为6的对数。

求9的对数，因9是3的倍数，作为第二率，于是将3的对数乘以2，得到0.9542425094393248742，即为9的对数。

用数 108

乘法 008

第一数，00347435985522601449，用乘法乘之，乘1后除以2得到。

第二数，13897423420904058，与第二数、第三数相同。

第三数，741195915781550，与第三数、第四数相同。

第四数，44471754946893，与第四数、第五数相同。

第五数，2846152316601，与第五数、第六数相同。

第六数，1897，4615，4440，与第六数、第七数相同。

第七数，13011164876，与第七数、第八数相同。

第八数，910781541，与第八数、第九数相同。

第九数，64766687，与第九数、第十数相同。

第十数，4663201，与第十数、第十一数相同。

第十一数，339，142，与第十一数、第十二数相同。

第十二数，24870，与第十二数、第十三数相同。

第十三数，1837，与第十三数、第十四数相同。

第十四数，136，与第十四数、第十五数相同。

第十五数，10，与第十五数、第十六数相同。

第十六数，1

正数，00348179640706972152。

负数，00013942085837475140。

相减得到，00334237554869497012。

首位加2，203342375548697012。

减去4的对数，14313637641589873114。

除以3，47712125，47196624371，即为3的对数。

加上2的对数，0778151250383636320，即为6的对数。

2乘以3的对数，0954242509439248742，即为9的对数。

假如求7的对数

方法依照前述求得7的用数1008减去1得到0008作为递次乘法，于是用乘法乘对数根得到00034743558552260145作为第一正数；乘法乘第一数，乘1后除以2得到13897423420901作为第二负数；乘法乘第二数，乘2后除以3得到741195915782作为第三正数；乘法乘第三数，乘3后除以4得到4447175495作为第四负数；如此递推求得28461923作为第五正数；189746作为第六负数；1301作为第七正数；9作为第八负数。于是合并所有正数得到00034744299776639151；又合并所有负数得到00000138978681574291，用正数减去负数得到0003460532109506486，即为用数的对数。因用数降低了三位，于是在首位加3得到303460532109564860作为1008的对数。因它是2、8、9连续相乘所得，于是合并2、8、9的三对数得到21583624910952496538减去它得到08450980400142568322，即为7的对数。

用数 1008

乘法 0008

第一数，0003474355852260145，用乘法乘之，乘1后除以2得到。

第二数，13897423409041，与第二数、第三数相同。

第三数，74119591582，与第三数、第四数相同。

第四数，4447175495，与第四数、第五数相同。

第五数，28461923，与第五数、第六数相同。

第六数，189746，与第六数、第七数相同。

第七数，1301，与第七数、第八数相同。

第八数，9

正数，00034744259776639151。

负数，

译000001389，7868，1574，29。1

减去后，000346，0532，1095，06486，0。

译首位加上三，得到三〇〇三，四六〇五，三二一〇，九五〇六，四八六〇。

三的对数，二一五八三六，二四九二零九五二四九六五三八。

相减得到，〇八四五〇九八〇四〇〇一四二五六八三二二，这是七的对数。

按照这种方法，使用第二种方法开取极多位数的九次方根。旧法求二的对数，也以一〇二四作为用数，而以小数点后十五位为零一的一作为第一率，小数点后十五位为零一的对数即现在所用的对数根作为第二率，用数开平方四十七次，以其小数点后的零数作为第三率，求得第四率，然后用开平方四十七次后缩小的一百四十余万亿倍去乘它，得到用数的对数。既然第一率中的一本来可以省略去除，现在既然开取极多位数的九次方根，其缩小的比率分为一个无穷大数，而一个无穷大数中的一也可以省略相乘。开方既然使用零数，那么第一个数也可以放置不用，而直接将第二个数作为第一个数，只须求得开方后的零数，用对数根去乘它，就得到用数的对数，而依次求数的规则，在求得数后乘以它，与乘以第一个数得到的结果必然相同，所以干脆用乘法乘以对数根作为第一个数。本应该用对数根乘以不用的第一个数，然后用乘法去乘它，而不用的第一个数是单一，所以可以省略相乘。求对数根使用第一种方法，而这里使用第二种方法，这里使用第二种方法，是因为对数根的用数系多位零散数，凡是多位零散数，除了便于相乘，所以用一次除法代替一次乘法。既然一次除法使用除法，那么用第一种方法与第二种方法同样是零散数，除法不如第一种方法降低位数稍微容易。如果现在所求的用数位数少而没有零散数，不仅乘法只有一两位数，而且用第二种方法则除法就是单一，可以省略除法，所以虽然降低位数稍微困难，但最终还是以第二种方法为便利。

假如有借数求二十三的对数

方法：放置二十三，用五乘以它，得到一百十五，又用九乘以它，得到一千零三十五，降低三位得到一〇三五，作为二十三的用数，减去首位的单一，得到〇〇三五，作为递次乘法，于是用乘法乘以对数根，得到〇〇一五二〇〇三〇六八六六六一三八一三四，作为第一个正数；乘法乘以第一个数，一乘之，二除之，得到二六六〇五三七〇一六五七四一七，第二个负数；乘法乘以第二个数，二乘之，三除之，得到六二〇六七九一九七〇五三四〇，作为第三个正数；乘法乘以第三个数，三乘之，四除之，得到一六二九二八二八九二二六五，第四个负数；如此依次求得，得到四五六一九九二〇九八三，作为第五个正数；〇一三三〇五八一〇二九，作为第六个负数；三九九一七四三一，作为第七个正数；一二二二四七一，作为第八个负数；三八〇三二，作为第九个正数；一一九八，作为第十个负数；三八，作为第十一个正数；一，作为第十二个负数；于是合并所有正数，得到〇一五二〇六五一八二二四五七一九九五八，又合并所有负数，得到〇〇〇〇二六六一六八四三一六三五四三八一，用负数减去正数，得到〇一四九四〇三四九七九二九三六五五七七，作为用数的对数，因为降低了三位，于是在首位加上三，得到三〇一四九四〇三四九七九二九五五七七，作为一千零三十五的对数，因为这是五与九连续相乘所得，于是将五与九两个对数相并，得到一六五三三一二五一三七七五三四三六七九，相减得到一三六一七二七八三六〇一七五九二八七八四，这就是二十三的对数。

用数 一〇三五

乘法 〇〇三五

第一数，〇〇一五二，〇〇三〇六，八六六，六一三，八一三，四，乘法乘以它，一乘二，除得。

二，二六六〇〇五三七〇一六五七四一七同二三。

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三，六二〇六七九一九七〇五三四〇同，三，四。

四，一六二九二八二八九二二六五十，同，四，五。

五，四五六一九九二〇九八三同，五，六。

六，一三三〇五八一〇二九同，六，七。

七 三九九一七四三一 同 七 八

八 一二二二四七一 同 八 九

九 三八〇三二 同 九 十

十 一一九八 同 十 十一

十一 二八 同 十一十二

十二 一

正数，〇〇一五二〇六五一八二二四五七一〇九五八。

负数，〇〇〇

译零，二六六一，六八四三，一六三五。

译减得，00149403497929365577。

首位加三，3014940349792929365577。

二与九的对数之和，1653，21，25，13，77，53，43，67，93。

减得，13617278360175928784，这是23的对数。

按，求10万的对数，前面的方法比较简便，因为真数没有零头。如果求8的对数，那么真数本来就有零头，应当依照求对数根的方法来求才简便。大抵求对数的方法，难在开始，以后求各数，审察选择使用就可以了。又现在所求的对数，是十八位小数减去两位，所以必须依次求多数；如果求十一、二位，就更不必依次求多数了。

附对数还原

论借用本数

对数是真数的比率数，而常以10为本数。第一比率既有本数，第一比率又有比率数，那么依照以本数为根，求倍大各比率的方法来求就可以了。然而其中有阻碍，而10不可用作本数，为什么呢？整数比率的第一数可以截去本数，依照本比率乘数累乘而得。如果是零数比率的第一数，那么在累乘中没有这个数。对数作为比率数，都是零数比率，所以其第一数不可知。不可知即不可求了。但在不可知之中，自有可知的存在。凡是整数比率的首位为1的，那么无论倍大多少比率而累乘所得的第一数，必定仍然为1而不改变。整数比率遇到1而不改变，那么零数比率遇到1其第一数必定仍然为1而不改变，这是毫无疑问的。所以凡是零数比率而第一数可用1的，那么可知而也可依次求得。第一数既然必须用1，那么以10为第一比率内减去1，其减余数太大而不能依次求得了。这就是借用本数的由来。而借用的本数，没有比1000001更好的了。为什么呢？用第二种方法，那么其首位的1为通用除法，既可省去除法，而减去1得000001为通用乘法，只须降六位，也可省去乘法而降位又容易，所以以1000001为简便。只是各对数系以10为第一比率的比率数，现在用1000001为第一比率，那么比率数就不符合了。方法先求得1000001的对数，用作除法。凡是各对数用此除法去除，其所得数即以1000001为本数第一比率的比率数。

假如以1000001为借用本数，求其对数作为除法。

方法以对数根降六位得0000004342944819033为第一数正，以第一数降六位乘1，除以2，得1271472为第二数负，以第二数降六位乘2，除以3，得1为第三数正，于是将第一、第三两数相加，内减第二数，得00000004342942647562为借用本数的对数，即求比率数的除法。

本数 1000001

乘法 0000001

第一数，0000000434294819033，乘法乘之，1乘2除。

2 2171472 同 2 3

3 1

得数，0000000434204819034。

减得，00000004342647562，1000001的对数。

论借用比率数

前面说以1000001的对数除所设对数为比率数，而1000001的对数单位下有七个空位，各对数最小的只一个空位。现在以借用本数的对数去除，其比率数必定很大。比率数既大，那么每次通用乘法虽降六位，而每次用比率数的乘法且不止升六位，那么位数仍然不降而不可求了。所以必须参用旧法，先求得自2至9，自11至19，自101至109，自1001至1000009各对数列为表。看所设对数有首位的，先去掉首位，其余足够减去哪个数的对数，依次减去，减到有六七个空位，然后以借用本数的对数去除，作为借用比率数，那么比率数小而可求了。求得数后，再以递减对数的真数累乘之，再看首位所减哪个数，依数升多少位，即得所求的真数。

求备减表

自2至9各对数依照前面所求列之，自11至19各对数内，其12与14与15与16与18均可加减而得，只有11与13与17与19须仍按前面求得用数，然后依次求。如果001至109，那么原数即可依次求，不必再用数。至于1001至1009，那么依次求各数与101至109相同，只须逐数依次降一位并减

译这样就能得到结果。如果是10001到10009，则再降一位并减去它，之后的各个数字都遵循同样的方法。

译真数 假数 小余

二，03010299956639811949。

三，0477，12，125，471，966，24371。

四，06020599913279623898。

五，06989700043360188051。

六，07781512503836436320。

七，0845，098，0400，1425，68322。

八，09030899869919435847。

九，09542425094393248742。

十一，00413926851582250417。

十二，007918，1246，0476，2482，69。

十三，01139433523068367696。

十四，01461280356782480271。

十五，01760912590556812422

十六，02041199826559247796。

十七，02304489213782739278。

十八，0255，2725，0510，3306，0691。

十九，0278，7536，0095，2828，9619。

真数 假数 小余

一百零一，00043213737826425665。

一百零二，00086001717619175598。

一百零三，00128372247051722046。

一百零四，00170333392987803543。

一百零五，00211892990699380744。

一百零六，00253058652666841264。

一百零七，00293837776851096402。

一百零八，00334237554869497012。

一百零九，00374264979406236338。

一千零一，00004340774793186407。

一千零二，00008677，2153，1226，9125。

一千零三，00013009330104181146。

一千零四，0001733，712809，0005297。

一千零五，00021660617565076762。

一千零六，00025979807199086122。

一千零七，0003029，47055，36180070。

一千零八，0003，4605，32109，5064，860。

一千零九，000389，1166，2369，1052，16。

真数 假数 小余

一万零一，00000434272768626696。

一万零二，00000868502116489572。

一万零三，00001302688052270609。

一万零四，00001736830584649187。

一万零五，00002170929722302082。

一万零六，00002604985473903469。

一万零七，00003038997848124919。

一万零八，00003，4729，6685，3635，408。

一万零九，00003908，6924，9910，1310。

一万零一，00000043429231043084。

一万零二，00000086858027806263。

一万零三，00000130286390284893。

一万零四，000001737，1431，8498092。

一万零五，00000217，1418，1245，1551。

一万零六，00000260568872153969。

一万零七，00000303995497613986。

一万零八，0000034

译七四二一六八八八四０三三三

一００００九，０００００，三九０八四七四四五八四一六七五

真数 假数 小余

译一〇〇〇〇〇一〇〇〇〇〇〇四三四二九四二六四七五六二

一〇〇〇〇〇二，〇〇〇〇〇〇八六八五八八〇九五二一八七。

一〇〇〇〇〇三〇〇〇〇〇〇一三〇二八八一四九一三八八五

一〇〇〇〇〇四〇〇〇〇〇〇一七三七，一七四四，五三二六四。

一〇〇〇〇〇五，〇〇〇〇〇〇二一七一四六六九八〇八五三三。

一〇〇〇〇〇六，〇〇〇〇〇〇五六〇五七五九〇七四一五〇一。

一〇〇〇〇〇七，〇〇〇〇〇〇三〇四〇〇五〇七三三一五七七。

一〇〇〇〇〇八〇〇〇〇〇〇三四七四三四一九五六八七六七

一〇〇〇〇〇九〇〇〇〇〇〇三九〇八六三二七四八三〇八三

假如有〇〇〇〇〇〇〇七八三六〇一七五九二八七八四，求借用率之数值。

方法是将所设的对数去掉首位的一，得到〇三六一七二七八三六〇一七五九二八七八四；查备减表，用足以减去二的对数，即以二的对数去减它，得到〇〇六〇六九七八四〇三五三六一一六八三五；再查表，用足以减去十一的对数去减，得到〇〇二九三五一五五一九五三八六六四一〇；再用足以减去一百零四的对数去减，得到〇〇〇二二七一八一五八九六六〇六二八七五；再用足以减去一千零五的对数去减，得到〇〇〇〇一〇五七五四一四〇九八六一一三；再用足以减去一千零二对数去减，得到〇〇〇〇〇一八九〇三九二八四四九六五四一；再用足以减去一万零四的对数去减，得到〇〇〇〇���一五三二四九六五九九八四四〇九；再用足以减去十万零三的对数去减，得到〇〇〇���〇〇〇二二九六一五一〇八四五六四；前面已得到七个空位，于是以借用本数的对数四三四二九四二六四七五六二来除它，得到〇五二八七〇八五九〇二一二〇，这就是借用率之数值。

一三六一七二七八三六〇一七五九���八七八四，首位减去一得到。

〇三六一七二七八三六〇一���五九二八七八四，内部减去二的对数。

〇三〇一〇二九九九五六六三九八一一九四九���减得。

〇〇六〇六九七八四���三五三六一一六八三五，内部减去十一的对数。

〇〇四一二九二六八五一五八二二五〇四一七，减得。

〇〇，一九三〇，五一五，五一九，五三八，六六�，一八内部减去一百零四的对数。

〇〇一七〇三三三三九二九八七八〇三五四三，减得。

〇〇〇，二二七，一八一，五八九，六�〇，六二八，七五内部减去一千零五的对数

〇〇〇，二一六八，〇六一七，五六五〇，七六七六，二减得。

〇〇〇〇一〇五���五四一四〇〇九八六一一三，内部减去一千零二的对数。

〇〇〇〇〇，八六八五，〇二一一，六四八九，五七二减���。

〇〇〇〇〇一���九〇三九二八四四九六五四一，内部减去一万零四的对数。

〇���〇〇〇，一七三七，一四三一，八四九�，〇九二减得。

〇〇〇���〇〇一五三二四九六五九九八四四�，内部减去十万零三的对数。

〇���〇���〇，一三〇二，八八一四，九一三八，�五减得。

���〇���〇〇二二九六一五一〇���四五六四，以借用本数的对数。

���〇���〇���四三四二九四二六四七���六二，除之得到。

���五二八七���八五九���二一二���借用率之数值

假如有对数一三六一七二七八三���〇一七五九二八七八四���求其真数。

方法是依照前面求得借用率之数值���五二八七���八五���〇二一二���，于是以借用本数首位单一之下加十九个空位���得一〇���〇���〇���〇���〇〇���〇���〇���为第一正数；其次以借用本数减去单一���得���〇���〇���一为乘法���以乘法乘第一数���又以率数乘之���得五二八七���八五���〇二一二〇为第二正数���乘法乘第二数���又以率数反减一���得���四七一二九一四一截用九位���乘之���二除之���得一二四五九二九为第三负数���乘法乘第三数���又以率数反减二���得一四七截用三位���乘之���三除之���得一为第四正数���于是合并各正数���得一���〇���〇���五二八七���八五���〇二一���一���内部减去第三负数���得一���〇���〇���〇五二八七���八四六五六一九二���于是以前求借用率时递减各对数之真数一���〇���〇���三与一���〇���〇���四与一���〇���〇���二与一���五与一���四与一一与二

译连续相乘，得到二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八；舍弃零数并进位，得到二三；又因为此前在求取比率数时曾减去首位的一，应当提升一位得到二十三，这就是所求的真实数值。

译本数：1000001

乘数：1000001

第一数，10000000000000，降低六位，用率数相乘得到。

二，5287085902120，降低六位，用率数减一，相乘，再除以二，得到。

三，1245929，降低六位，用率数减二，相乘，再除以三，得到。

四：1

本数，10000005287085902121。

减去后得到10000005287084656192，用1000003相乘，得到。

1000035287100517446，用100004相乘得到。

10000435288512001467，用10002相乘，得到。

1000，243，537，556，970，386，7。用1005相乘，得到。

10052447552447552448，用104相乘得到。

10454545454545455481，用11相乘得到。

114999999999999928，用2相乘得到。

22999999999999828，舍弃零头进位，提升一位。

23

按照此法，即是运用求倍大各率的第二种方法。其中第三数变为负数的情况，凡是整数率必定大于单一，其减一、减二都是正减，直到率数减尽为止，而没有所谓的反减，所以逐个数都是正的。现在所用的率数小于单一，其减一、减二都是反减，反减则为负，作为乘法，所以能将逐个数都为正的变为正负相间。又凡是对于数递减得到三个空位，已经可以依次推求，只是逐个数使用率数的乘法，多位零头，不免繁重，所以必须减到七个空位，但这也是为了求十八位对数的真数而设置的。如果求十一、二位，那么1001即可借为本数，而对数递减到四个空位即可求，借用率数了。

割圜连比例术图解序

董佑诚

元代郭守敬《授时草》使用天元术求弧矢，直径一圆周三，仍然沿用旧率。西方人用六宗三要二简术求八绵，理密数繁，凡是遇到布算，都依赖表格。梅文穆公《赤水遗珍》记载了西方人士杜德美《圜径求周》等术语，但不详细，很少人通晓其缘故。曾想另创通法，使弦矢与弧可以径直求得。潜心研究多年，终究没有所得。己卯年春，秀水朱鸿先生将杜氏《九术》全本示我，这是海张豸冠先生所写的，《九术》以外别无图说。听说陈际新曾经为之作注，被某氏秘藏已经失传，于是反复寻绎，探究其立法的本源，即是圜容十八觚之术，引申类比，求其累积，实际上兼有差分的列衰、商功的堆垛，而会通以穷尽句股的变化。《周髀》经说：“圜出于方，方出于矩，矩出于九九八十三，圜弧也，方弦矢也。”九九八十一递加递减递乘递除的差也。方圆是天地的大体，奇偶相生，出于自然。现在得到此术，而方圆的率就通了。于是分图著解，冠以《九术》原文，并设立弦矢互求四术，总共为三卷，言辞取易明，有伤芜冗。其中尚未领悟的，等待有道者纠正。

割圜连比例后序

董佑诚

割圜解写成后的第二年，朱先生又在锺祥李氏处得到割圜密率捷法四卷。乾隆初年，钦天监监正明图所解，而其门人陈际新所续成的。该书解释连比例诸率，分弦矢为二术，都先设百分、千分、万分诸弧，如同本法乘除之，舍弃其零头，以求合于矢之十二、三十五、十六、弦之二十四、八十、百六十八诸数，于是为递加一数以为除法者，特别取其易知而便于记忆，那么其于立法之原似乎未尽。然而反复推衍，使弧矢奇偶率可互通，隐探赜杂而不越，师生相承积三十余年之久，推其用心可谓勤且深的。陈氏序言：“圜径求周及弧球弦矢三术，为杜德美氏所作；其余六术则明图氏补之，与张先生所传的互异。又借弧、借弦二术，并在陈氏书中，范氏所作，其暗合吗？”我以垛积释比例，而三角及方锥堆三乘以下的旧无其术。近来读元朱世杰《四元鉴》菱草、形、果垛、迭藏诸问，才知道递乘递除之术，近古所有，而远方西方的人士尚能守其遗法，有足珍贵的。于是一并记之。

少广缒凿

夏鸾翔

开平方捷术一

小初商为一借根，以一借根除本积得到二借根，合并一二借根半之为三借根，以三借根

译用四借根的一半得到五借根，用五借根去除本积得到六借根，以下都按照这种方法求解，直到借根中较小的逐渐变大，较大的逐渐变小，与方根紧密吻合为止。

译这种方法中，第一、第四、第七等次借根，总是略微小于平方根；第二、第三、第五、第六、第八、第九等次借根，总是略微大于平方根。

算例

假如已知平方积为一百二十一，求其平方根。

取较小的初始商0.0作为第一借根。用第一借根去除原积，得到1.021作为第二借根。将第一、第二借根相加并取半，得到1.0105作为第三借根。用第三借根去除原积，得到1.00950，因为结果偏大，所以舍去末尾零以便计算，凡借根、借积皆如此处理，得到1.0095作为第四借根。将第三、第四借根相加并取半，得到1.00995作为第五借根。因为前面的借根舍去了零，所以第五借根恰好符合平方根，即为平方根。

开平方快捷法二

取较大的初始商作为第一借根，用第一借根去除原积得到第二借根，将第一、第二借根相加并取半得到第三借根，用第三借根去除原积得到第四借根，将第三、第四借根相加并取半得到第五借根，用第五借根去除原积得到第六借根，以下都照此办理，求至借根中较大的逐渐变小，较小的逐渐变大，与平方根紧密吻合时停止。

这种方法奇妙，借根总是略微大于原根；隅借根总是略微小于原根。

算例

假如已知平方积为九十九，求其平方根。

取较大的初始商1，作为第一借根。用第一借根去除原积得到99，作为第二借根。将第一、第二借根相加，取半得到95，作为第三借根。用第三借根去除原积得到99.497，作为第四借根。将第三、第四借根相加，取半得到99.4987。这已经消尽了六位，所以六位以下舍去，作为第五借根，即为平方根。

开各种乘方快捷法一

取较小的初始商作为第一借根，以略大于原积的积作为外积，其根作为外根，用外积减去外根加一的积，再减一作为递次除法。用第一借积减去原积的余数，用除法去除，得到的数加上第一借根作为第二借根。用第二借积减去原积的余数，用除法去除，得到的数值加上第二借根作为第三借根。以下都照此办理，求至借根逐渐变大与平方根紧密吻合时停止。或者设置外根降一乘积，本乘乘数加一的乘积作为递次除法，更加快捷。

算例

假如已知平方积为五十，求其平方根。

以71的平方积5041作为外积，71作为外根，求得42作为递次除法。取较小的初始商7作为第一借根，第一借积49，减去原积的余数，用除法去除得到0.0704，以此加上第一借根得到7.0704作为第二借根。第二借积49.990556，减去原积的余数，用除法去除得到0000.665，以此加上第二借根得到7.071065作为第三借根，截去末尾两位得到7.0710即为平方根。

开各种乘方快捷法二

取较大的初始商作为第一借根，以略大于原积的作为外积，其根作为外根，用外积与外根加一的积相减，再减一作为递次除法。用第一借积分内减去原积，余数用除法去除，得到的数减去第一借根作为第二借根。用第二借积分内减去原积，余数用除法去除，得到数减去第二借根作为第三借根。以下都照此办理求至借根逐渐变小与平方根紧密吻合时停止。

算例

假如已知平方积为八十八，求其平方根。

以3的平方积9作为外积，3作为外根，求得6作为递次除法。取较大的初始商3作为第一借根。第一借积9内减去原积的余数，用除法去除得到3.33333，以此减去第一借根余2.966481作为第三借根，截去末尾两位得到2.9664即为平方根。

开各种乘方快捷法三

取较小的初始商作为第一借根，以略小于原积的作为内积，其根作为内根，用内积与内根加一的积相减，再减一作为递次乘法。用第一借积减去原积的余数，以除法去除，得到的数加上第一借根作为第二借根，用第二借积分内减去原积的余数，以除法去除，得到数减去第二借根，以下逐数皆一加一减相间作为第三借根。以下都照此办理，求到借根小的逐渐变小，与平方根紧密吻合时停止。

算例

假如已知平方积为五十，求其平方根

以7的平方积49作为内积，7作为内根，求得4作为递次除法，取较小的初始商7作为第一借根，第一借积四十九减去原积的余数，以除法去除得到0.00665，以此加上第二借根得到707106作为第三借根，截去末尾一位得到70710即为平方根

开各种乘方快捷法四

取较大的初始商作为第一借根，以略小于原积的为内积，其根为内根，以内积与内积加一的积相减，再减一为递次除法。第一借积分内减去原积，余数以除法去除，得到的数减去第一借根作为第二借积。第二借积减去原积，余数以除法去除，得到的数加上第二借根，以下逐数皆一减一加相间，以下都照此办理，求至借根大的逐渐变小，小的逐渐变大，与平方根紧密吻合时停止。

算例

假如已知平方积为八十八，求其平方根

以29的平方积841作为内积，29作为内根，求得58作为除法。取较大的初始商3作为第一借根

译用内减本积余除以除数，得到□〇三四四八二七，用以减去根余□〇九六五五，得到二借根。二借积为□〇八七九四一九。用减本积余除以除数，得到０００一００一七二，加到二借根上，得到□〇二九六六五，作为三借根。三借积为□〇八八００一二二二，用内减本积余除以除数，得到００００二一，用以减去三借根，得到□〇二九六六四七，作为四借根。截去末一位，得到□〇二九六六四，即为方根。

译天元开诸乘方捷术，一较数余积用此术。

小初商为一借根，以略大于本积的积为外积，其根为外根。以外积与外根加一后的积相减，再减一，作为递次除法的借积。凡是天元借根求借积的方法，以借根乘隅，加减长廉；再以借根乘之，加减平廉；又再以借根乘之，加减立廉；又再以借根乘之，直到加减方之后，又再以借根乘之，即为借积。外根之于外积也是如此。减去本积的余数，用除法去除，所得的数加上一借根，即为二借根。二借积减去本积的余数，用除法去除，所得的数以加二借根，即为三借根。以下都如此，求得借根逐渐增大，与元数紧密吻合时停止。

算例

假如平方负积十六，正方二，正隅一，求真数。

以□〇三二的积，一□〇六六四为外积，以□〇三二为外根，求得□〇五四为递次除法。小初商□〇三一为一借根，一借积一□〇五一，减去本积余数，用除法去除，得□〇〇一一九〇，以此加一借根，得□〇三一〇九，为二借根。二借积一□〇五六六一六一，减去本积余数，用除法去除，得〇〇〇四〇二八，以此加二借根，得□〇三一〇三，为三借根。三借积一□〃五九九九一二九，减去本积余数，用除法去除，得〃〇〇〇一〇三，以此加三借根，得□〇三一〇三一〇三，为四借根，截去末三位，得到□〇三一〇三，即为元数。

天元开诸乘方捷术，二和数余积用此术。

小初商为一借根，以略大于本积的数为外积，其根为外根。以外积于外根加一后的数相减，再加一，作为递次除法。一借积减去本积，除以递次除法去除，所得的数加上一借根，为二借根。二借积内减去本积，余数用除法去除，所得的数减去二借根，为三借根，以后逐数都是一加一减相间。以下都如此，求得借根小的逐渐变大，大的逐渐变小，与元数紧密吻合时停止。

算例

假如平方负，积二九，正方四，负隅二，求小元数。

以□〇一的积□〇三为外积，□〇一为外根，求得□〇二为递次除法。小初商九为一借根，一借积□〇二七八，减去本积余数，用除法去除得〇〇五五，以此加一借根得九五五为二借根。二借积〇九〇七九七五，内减去本积余数，用除法去除得□〇〇〇〇三九八七，以此减二借根余〇九五〇一〇一为三借根。三借积□〇二八九九六一九九，减去本积余数，用除法去除得□〃〇〇〇〇一九〇五，以此加三借根得〇九五〇一二〇为四借根。四借积□〇二九〇〇〇一八五六，内减去本积余数，用除法去除得〇〃〇〇〇〇九二八，以此减四借根得九五〇一一九为五借根，截去末一位，得〇九五〇一一九，即为小元数。

天元开诸乘方捷术，三益积用此术。

大初商为一借根，以略大于本积的数作为外积，其根为外根。以外积与外积加一后的数相减，再减一，作为递次除法。一借积内减去本积，余数用除法去除所得的数减去一借根，为二借根。二借积内减本积余数，用除法去除所得的数减去二借根，为三借根。以下都如此，求得借根渐小与元数密合而止。

算例

假如平方负积一百六十八，负方二十二，正隅二，求元数。

以三〇的积二四〇为外积，三〇为外根，求得三□〇八为递次除数。大初商三〇为一借根，一借积二四，内减去本积，余数用除法去除，得□〇一八九四七三，以此减一借根，余二□〇八一〇五为二借根。二借积一七□〃〇一五八一，内减去本积，余数用除法去除得〇〇九四二三，以此减二借根，余二□〇八〇一〇为三借根。三借积一六□〃〇八三四，内减去本积，余数用除法去除得〃〇〇〇八九四，以此减二借根，余二□〃〇八〇〇一为四借根。四借积一六〇〇八〇三，内减去本积，余数用除法去除得⁃〇〇〇〇七八九，以此减四借根，余二□〃〇八〃〇〇一为五借根，弃零得二〇〇八即元数。

天元开诸乘方捷术，四翻积用此术。

小初商为一借根，以略大于本积的为外积，其根为外根。以外积与（外根减一后的）积相减，再加一，作为递次除法。一借内减去本积，余数用除法去除，所得数加一借根为二借根。二借内减去本积，余数用除法去除，所数减二借根为三借根。以下都如此，求得借根小者渐大，大者渐小与元数密合而止。

算例

假如平方负积二九，正方四，负隅一，求元数。

以

译□〇三之积□〇三为外积，□〇三为外根。求得□〇二为递次除法，小初商。□〇三为一借根，一借积。□〇三内减本积余，以除法除之，得００五。以加一借根，得□〇三０五为二借根。二借积□〇二八九七五，减本积余，以除法除之，得０００一二五。以减二借根，得□〇三０四八七五为三借根。三借积□〇二九００一二三四三，内减本积余，以除法除之，得０〇〇〇六一七一。以加三借根，得□〇三０四八八一一七一为四借。截去末三位，得□〇三０四八八一为大元数

译天元开诸乘方捷术五

按照前述四种方法求得元数的位数后，如果还想增加求取的位数，就将已求得的位数作为外根，再次求得除法。然后用已求得的位数演算出借积，与本积相减，余数用新求得的除法去除，再与已求得的位数相加减得到元数，这样可以降低位数。如果还想再求更多位数，就另外求取除法，依照此法连续求取，直到数十位，也并非难事。

算例

假如平方负积为十六，正方为二，正隅为一。已求得元数为三一二三，想要增加求取位数。

先用前除法〇八四增求一位得〇一二三一，仍作为借根演算出借积一〇五九九九九五三六一，减去本积得到余积〇〇〇〇四六三九〇，于是用前得元数〇三一二三。又作为外根，如前求得除法〇八一四六二，在末位加一数，因为前得元数略微少于元数，尚不是外根，所以必须在末位加一，才是外根，除法也得八二四六三作为除法。除法去除余积得〇〇〇〇〇五六二五五五，截去末两位，加到前得元数上，得到〇三一二三一〇五六二五作为元数。如果还想再增加求取，就把现得的十位数又作为外根，再求其除法，用来去除余积，这余积是现得十位数的积减去本积的余数，得到的数又可以消去九位了。

按：只有正诸乘方才能使用上述方法。

天元开诸乘方捷术六

将方、廉、隅合并，减去后去除本积，得到一个借根。一个借根步进到方法，步进法用借根乘隅，加减长廉；又用借根乘之，加减平廉；又用借根乘之，直到加减方为止，用来去除积，得到两个借根。两个借根步进到方法，用来去除积，得到三个借根，下面都这样求取，直到借根与元数紧密吻合为止。

算例

假如平方负积为十八，正方为二十〇〇九，负隅为一，求小元数。方隅相减得到一〇九九，用来去除本积得到〇〇九〇四五二，为一个借根。一个借根步进到方法，得到一〇九九九五四八，用来去除本积得到〇0九〇〇二，为两个借根。〇二借根步进到方法，得到一〇九九九九，用来去除本积得到〇〇九〇〇〇九，舍弃零得到〇〇九，即小元数。

凡是天元开方，如果方太大，突然不能得到初商，一定是元数远远小于奇数，有悬殊之势。用上述方法求取，降低位数颇为容易，而且不需要使用初商。如果方不是很大，就不能使用此法，使用的话降低位数就困难了。

如果元数与隅数相同，一次除尽，没有零头，例如后面所示。

又算例

假如立负方积为一亿，正方为一亿，〇〇十万，〇一千；负廉为十万，〇一千，〇一；正隅为一，求元数。

方、廉、隅正负合并相减，得到一亿，用来去除本积，得到〇一，即元数。

右题见于汪氏《衡斋算学》，说一与十万相差太远，茫然没有进退的界限。初商怎么能计算而知其翻为同名与否？据此则对原本的方法也不甚了解。现在用此法求取，如此容易。

天元开诸乘方捷术七

以方为递次除法，除法去除本积得到一个借根。一个借根各数加减本积，用借根平积乘第三层，用借根立积乘第四层，用借根三乘积乘第五层，这样乘到隅为止，各数都与本积同名相加，异名相减。用除法去除得到两个借根。两个借根各数加减本积，用除法去除得到三个借根。下面都这样求取直到借根与元数紧密吻合为止。

右法也适用于方大的情况，使用较为方便。

算例

假如平方负积为一百六十，正方为八十二，负隅为一，求小元数。

用方去除本积得到〇一九五一二为一个借根，一个借根乘隅得到〇三八〇七一八，加本积用方去除得到〇一九九七六为两个借根，乘隅得到〇三九九〇四〇，加本积用方去除得到〇一九九九八八为三个借根，收零进一得到〇二为小元数。

又算例

假如立方负积为一千兆，正方为三百亿，廉空，负隅为一，求元数。

用方去除本积得到三三三三〇三为一个借根「一个借根立积乘隅得到三十兆七〇三五九二五九加本积用方去除得到三四五六〇七为两个借根」两个借根立积乘隅得到四十兆一三〇三三三〇一加本积用方去除得到三四七一〇为三个借根「三个借根立积乘隅得到四十兆一八一八〇五六一加本积用方去除得到三四七二〇七为四个借根」四个借根立积乘隅得到四十兆一八七九五三〇一加本积用方去除得到三四七二〇九为五个借根即元数

又算例

假如立方负积为一千兆，正方为二百亿，正廉为十万，负隅为一，求元数。

用方去除本积得到五万为一个借根「一个借根平积乘廉得到二百兆五以减本积一个借根立积乘隅得到一百兆二五以方

译除去本积，得到五万，作为一借根。一借根的平方乘以廉，得到二百兆五，用来减去本积；一借根的立方乘以隅，得到一百兆二五，用来加上本积。用减去后的余数除以方，得到四三七五，作为二借根。二借根的平方乘以廉，得到一百兆九一四〇六二五，用来减去本积；二借根的立方乘以隅，得到八十兆三七四〇二三，用来加上本积。用减去后的余数除以方得到四四六一〇六，作为三借根。三借根的平方乘以廉，得到一百兆〇九〇五八七四，用来减去本积；三借根的立方乘以隅，得到八十兆八八一二〇四，用来加上本积。用减去后的余数除以方得四四四八〇七，作为四借根。四借根的平方乘以廉，得到一百兆九七九〇九三一，用来减去本积；四借根的立方乘以隅，得到八十兆八〇四三九一，用来加上本积。用减去后的余数除以方得出四四五〇〇六，作为五借根。五借根的平方乘以廉，得到一百兆九八〇七八四，用来减去本积；五借根的立方乘以隅，得到八十兆八一五六七七，用来加上本积。用减去后的余数除以方得出的四四五〇〇三，作为六借根。六借根的平方乘以廉，得到一百兆九八〇五一七〇，用来减去本积；六借根的立方乘以隅，得到八十兆八一三八九四，用来加上本积。用减去后的余数除以方的四四五〇〇四，作为七借根，即为元数。

译右边这两道题，过去用“益实、减实归除”的方法求数非常困难，这种方法似乎比较容易。

天元开各种乘方的快捷方法八

像前面的各种方法一样，先求出元数，数位为一借根。之前求得的元数，数位又作为外根，再求出递次除法。一借积减去本积，余数再作为积，变换方、廉、隅一次，用除法去除它，得到次小根，用加减一借根作为二借根。次小根的积减去变积，余数再作为积，又变换方、廉、隅一次，用除法去除它，得三小根，用加减二借根作为三借根。三小根的积减去次变积，余数再作为积，又变换方、廉价隅一次，用除法去除它，得四小根，用加减三借根作为四借根。下面都这样，求到借根与元数紧密吻合为止。

按：正各种乘方也可以使用右边的方法。

天元开方到第五术已经很快了，然而依次累加求解，位数越多，乘法也越繁复。求到十余位，得到借积已经很难，再求不是更难吗？现在用这种方法截取求解，每次得到四五位，就换一种式子，乘法不至于过于繁复，降位也很容易。

算例

假如平方负积一百亿，正方十万，正隅一。（注：此处“一”应为“一”之误，或指系数为一，结合后文“正一为正隅”，应理解为正隅系数为一）。已经求得元数六一八〇□〇三，想要增加位数求解。

以六一八〇□〇三作为外根，像前面一样又求得二二三六〇，作为递次除法。六一八〇□〇三为一借根，一借积九九九九九九一〇八〇□〇九，减去本积余八九一九□〇一，这种方法不能割零作为初变积，负倍前得五位加上前方得二二三六〇□〇六作为初变方，正一作为正隅。放置初变积用除法去除它得三九八八七有余数，截取四位得□〇〇三九八八作为次小根，用加上前得五位得六一八〇□〇三三九八八作为二借根。次小根借积八九一七〇四二三一八四一四四，减去初变积余一〇六七六八一五八五六作为次变积，负倍前得九位加上原方得二二三六〇〇六七九七六作为次变方，正一作为正隅。放置次变积用除法去除它得七四九八九有余数，截取四位得〇〇〇〇〇七四九八作为三小根，用加上前得九位得六一八〇〇三三九八八七四九八作为三借根。三小根借积一〇六七六六〇三七六八九六七〇〇〇〇四，减去次变积余〇〇〇二一二〇八七〇三二九九九九六作为三变积，负倍前得十三位加上原方得二二三六〇〇〇六七九七七四九九六作为三变方，正一作为正隅。放置三变积用除法去除它得〇〇〇〇〇〇〇九四八四八有余数，截取四位得〇〇〇〇⁰〇〇九四八四作为四小根，用加上前得十三位得六一八〇〇三三九八八七八〇七四八四作为四借根，就是元数。

按：右边例子所得的十六位数，就是理分中末的大分数。

截球解义

徐有壬

《几何原本》说球与同直径同高的圆柱，其外表面积相等，截球与截圆柱同高，那么它们的外表面积也相等，但没有直接揭示其中的原因。查阅梅文鼎的各种著作，也不能明确解释它。心中存疑，很久了。最近读李锐的《九章注》，才得到解答，因此解释它来告诉志同道合的人。虽然如此，凭借戴震善于读古书，却还说李锐的这个注应当有脱漏错误，寻求理解的人太难了。现在解释《几何原本》，而李锐的注因此得以阐明，李锐用方形，现在用圆形，其道理没有两样。叙述截球解义。

假设直径与高相等的圆柱内包含同直径的圆球，这个球必定占据圆柱的三分之二。用什么来证明呢？试着将圆柱横切为二，就成为扁圆柱，内包含半圆球。又将扁圆柱十字直切为四，就成为圆柱的八分之一，内也包含圆球的八分之一。这个圆柱上下两个平面都是圆的四分之一，其外的圆柱立面是圆柱外表面积的八分之一。其中心两个直立面本来属于圆柱的半径乘以半高，即球的半径自乘的面积。因为球在圆柱内，球壳因直切处切成一个四分之一圆，这是球半径的面积。内包含一个四分之一圆作为这个体的中心立面各一个。

图略于此，立面任意横截，那么都有正弦，有余弦，有矢，有半径。

图略，在这个体横切它，去掉上面截去的部分，那么高为余弦。

图略，下半截，上面截成两个四分之一圆，一大一小。

图略

这个下半截上下两个平行面，仍然是圆的四分之一，而上面一个四分之一圆，因为内有球壳界限，成为一个小四分之一圆，其半径就是所截的正弦。正弦者，勾也；余弦者，股也；半径者，弦。以勾为半径，作一个四分之一圆；以股为半径，作一个四分之一圆。两个四分之一圆合并，作一个大四分之一圆，必定以弦为半径。勾方、股方合并为弦方，勾圆、股圆也合并为弦圆，勾四分之一圆、股四分之一圆也合并为弦四分之一圆。以方圆比例推导，其道理容易看见。

那么截体上面的大四分之一圆，球半径弦为半径，内减球壳界限的小四分之一

译以正弦句作为半径，所剩余的环形面积必然等于以余弦股为半径所作的小象限的面积。在立面上，一个象限从高处到低处所截得的余弦是不均匀的。上方大象限减去小象限所得的环形面积也是不均匀的。而以余弦为半径所作的象限，其面积必然与这个环形面积相等。这个环形面积总体上等于弦上象限与句上象限的差值，这里没有高低之分，没有大小之别，没有任何地方不是这样的。

译再试着以圆囷的底面为底，也就是球体中间最大的圆面，以圆囷高度的一半为高，也就是球的半径，制作一个圆锥体，将其十字切开得到象限锥的体积，以象限面为底，这个锥体底面两侧的边，就是圆囷的半径，也就是球的半径。

底面边的半径作为勾，锥体高的半径作为股，这就是勾股相等。

在这个锥体中，任意横向截成许多小锥体，没有不是底边与高相等的锥体。如果以小锥体的高为半径，制作象限面，没有不与小锥体底面面积相等的。这也没有高低、大小、合适与否的区别。

小锥体的高，相当于余弦。小锥体的底面，相当于大象限减去小象限的环形面积。以小锥体的高为半径制作象限，必定与小锥体的底面相等。这就如同以余弦为半径的象限，必定与环形面积相等。

余弦从大到小依次递减，截得越高则余弦越大，截得越低则余弦越小。在最高处几乎与半径相等，在最低处几乎没有余弦。它们的长短有序不乱，现在分别以它们为半径，制作各个象限层层叠加累积，必定形成一个象限锥，与上面的锥体相等，而余弦对应的各个象限，就是球体内各个象限减去圆囷各个象限后的剩余部分。将圆囷薄薄地切开，都是相等的象限面。将圆球横向切开，各自形成以正弦为半径的象限面。由此可知球体与圆囷相比，必定少了一个锥体。

因此，一个锥体和一个球体合并，必定与圆囷相等，而锥体占圆囷的三分之一，球体必定占圆囷的三分之二。

因此，三倍球体体积，两倍圆囷体积，它们的体积必定相等。

圆囷求体积，以圆囷的外表面面积为底，以半径为高，制作的立方体是圆囷体积的两倍。球体求体积，以球体的外表面面积为底，以半径为高，制作的立方体是球体体积的三倍。现在既然知道球体体积的三倍与圆囷体积的两倍相等，那么这两个立方体也就相等了。又知道两个立方体的高相同，都以半径为高，那么它们的底面也必定相等。因此，球体的外表面面积与圆囷的表面面积必定相等。因此，球体中间的大圆周长乘以直径，就是球体的外表面面积。

再从之前的截体来看，以球心为中心，依据球壳所截出的上面小象限弧为界限，以半径环绕切割，剜出一个象限锥。这个锥体以小象限为底，这个象限以正弦为半径，以余弦为高，这是内锥。

再依照前面的方法，将截球壳外圆囷所包含的体积割出，根据前面的论述知道，这也是一个象限锥。这个锥体以大象限球半径为半，小象限截球的止弦为半径的面积差为底，也就是以余弦为半径制作的象限，也以余弦为高，这是外锥。内锥和外锥合并为一个大锥，也以余弦为高，即原截体的高，而以大象限半径，即球半径为底，也就是原截体的底。这个锥体必定是原截体体积的三分之一，上下两面平行的柱体与锥体同底同高，那么锥体必定占三分之一，而剩余的部分必定占三分之二。

圆囷既然剜去了内锥，那么剩余的就是圆球，截积空中如同外表面，上小下大，必定占圆囷的三分之二。

求圆囷截积，以圆囷外表面截积为底，半径为高，制作的立方体是截囷体积的两倍。求圆球截积，以球体外表面截积为底，半径为高，制作的立方体截球体积的三倍。现在既然知道截囷与截球的比例是三比二，那么截囷两倍的立方体与截球三倍的立方体也必定相等了。又知道立方体的高为相等的半径，那么它们的底面也必定相等了。

因此，截球的外表面面积，与截囷的外表面面积，必定相等。

因此，截球余弦高乘以球的中周，大圆就是截球的外表面截积。

整个球体的外表面面积，就是直径乘以周长。半球的外表面面积，就是余弦乘以周长。上截球的外表面面积，就是矢乘以周长。

球径求积术

直径自乘再乘以二分之一作为第一数，取第一数的四分之一，又减去二分之一的三分之一作为第二数，取第二数的四分之一，又减去四分之一的五分之二作为第三数，取第三数的四分之一，又减去六分之一的七分之二作为第四数，取第四数的四分之一，又减去八分之一的九分之二作为第五数，将这些数相加就是球体体积。

球径求球壳积术

直径自乘三作为第一数，取第一数的四分之一，又减去二分之一的三分之二作为第二数，取第二数的四分之一，又减去四分之一的五分之一作为第三数，将这些数相加就是球体外表面面积。

截球余弦求截球积术

识别得到余弦，乘以周长，再乘以半径，作为截球体积的三倍；半径自乘，内部减去余弦自乘，余下的是正弦自乘，求其圆面积，再乘以余弦，作为截球内锥体积的三倍；两个体积相加，就是截球体积。

半径自乘，三倍内部减去余弦自乘，再用余弦乘以它作为第一数。取第一数的四分之一，又减去二分之一的三分之二作为第二数。取第二数的四分之一，又减去四分之一的五分之一作为第三。将这些数相加就是截球体积。

截球矢求截球上积

识别得到矢乘以周长，再乘以半径，作为锥体体积的三倍。矢乘以矢与直径的差，是正弦的平方。求

译那个圆形底面，乘以余弦，等于内部锥体体积的三倍。两个锥体相减，剩下的就是所求的体积。

译用弦减去半径，再加上直径，用弦的平方乘以这个和，作为第一数；取第一数的四分之一，再减去一半，减去三分之二，作为第二数；取第二数的四分之一，再减去四分之一，减去五分之二，作为第三数；将这些数相加，就是球冠的体积。

附录：椭圆求周长的方法

椭圆求周长，没有固定的公式可以驾驭，借用圆周来求取，有三种方法：用长轴求大圆的周长，再与周长差相减，这是项名达先生的方法；用短轴求小圆的周长，再与周长差相加，这是戴煦先生的方法。我也领悟到一种方法，把椭圆周长当作圆周长，求出它的直径，再求周长，这就是椭圆求周长的方法，更加直接快捷，而且可以把三种方法贯通为一种方法，如后文所述。

堆垛术说：一作为第一数。一乘以三乘以第一数，除以四，作为第二数。三乘以五乘以第二数，除以九，作为第三数。五乘以七乘以第三数，除以十六，作为第四数。七乘以九乘以第四数，除以二十五，作为第五数。九乘以十一乘以第五数，除以三十六，作为第六数。依次排列作为初始表。

招差术说：“短轴各自平方，相减，除以四，作为乘法。一次乘以初始表第一数，二次乘以第二数，三次乘以第三数，四次乘以第四数，五次乘以第五数，六次乘以第六数，仍然依次排列作为表根。”

招差另一种方法说：“作为除法，一次除表根第一数，三次除第二数五次除第三数，七次除第四数，九次第五数，十一次除第六数，相加作为长轴与短轴的差，用长轴减去它作为借圆直径。”

堆垛另一种方法说：三倍借圆直径作为第一数，取第一数的四分之一，减去一半，减去三分之二，作为第二数，取第二数的四分之一，减去四分之一，减去五分之二，作为第三数，取第三数的四分之一，减去六分之一，减去七分之二，作为第四数，取第四数的四分之一，减去八分之一，减去九分之二，作为第五数，取第五数的四分之一，减去十分之一，减去十一分之二，作为第六数，依次求到若干位，相加作为椭圆周长。

上述方法分为四层，即用项氏方法变通得到。其图示说明的详细情况，已在项氏书中见到，这里不再赘述。如果用戴氏方法贯通，前后三层都与原来一样，只有第三层不同，如下。

招差另一种方法说：用短轴作为除法，一次除表根第一数为正，三次除第二数为负，五次除第三数为正，七次除第四数为负，九次除第五数为正，十一次除第六数为负，依次求到若干位。正数相加，减去负数，余数为短轴与直径的差，加到短轴上也是借圆直径。

这就是戴氏方法变通得到的，其余三层都与前面相同。

如果把第四层移到第一层，先求大圆周长，或者用短轴求小圆周长，然后依照初始表、表根以及招差另一种方法，各自得到周长差加减所得，结果相同，这就是项、戴两位先生的方法。

四元解序

顾观光

四元术到明代就失传了，近来得到徐有壬、罗士琳等先生相继阐发，才开始有门路可寻。然而按照法则去求解，常常苦于困难，而不适合应用。概括其主要弊端有三点：天、物相乘与地、人相乘并用，寄位则幂与幂相乘，推而上去，几乎有无方位置的地方，这是第一点；剔消的方法，把一个式子截分为二，左右斜正，起初没有一定的规则，不熟悉方法的人怎么能没有错误，这是第二点；次式、副式、通式以及上中下诸式的名称，任意标记，容易滋生学者的疑惑，这是第三点。翻阅之余，常常想要改易算式，但找不到途径。乙巳年冬天，海盐李君秋纫把他所著的《四元解》给我看，我接受并阅读它，见他以面、体的自乘、再乘确定算式而相消，所得直接命名为初消、次消、三消，那么向来所难的三件事都已经没有了。起身感叹说：“心的神明竟然如此，如日出而无穷尽吗？”没有四元就无法穷尽天元的变化，没有天元就无法穷尽少广的变化，而没有少广的面、体，也就无法确定四元的位置，而直接阐明其所以然。我私下用一句话来概括它说：“分析堆垛成为广隅罢了。”古法把太极置于中心而环绕以八，又环绕以十六，它的递增，都是以八堆垛的样式。新法把太极置于一角而附加以三，又附加以五，它的递增，都是以二廉隅的意象。把太极置于中心，那么上下左右动不动就有牵制；把太极置于一角，那么升降进退无往不宜。由此四元相乘都有位置，没有寄位；四元作为法则都可以除，没有剔消。而且它的定位图，既把各种乘方化为平方相乘相消的图，又把各种乘方化为立方，反复辩论，都能借助形象来通达难以显现的情理。为什么李君的心思如此曲折而善于深入呢！李君还有《弧矢启秘》《对数探原》等书，都基于天元术而引申扩展，确实阐发了前人所未阐发的。我希望它们全部合在一起流传，作为谈论算法的人的一大快事。

对数探原序

顾观光

《对数探原》是海盐李君秋纫所著的。西方人的对数表，用加减代替乘除，使用它很容易，而制造它很难。

译李先生巧妙地借助各种乘方尖堆，来确定它们的数值，又将各种乘方尖堆转化为同高同底的平尖堆，以描绘其形状，由此通过递加递减，各种对数顷刻间便可求得，这是深思熟虑所达到的境界，开辟了全新的局面。探究他创立方法的根本原理，没有超出用天元术以虚求实的道理。因此，尖堆的底面，就是天元；尖堆的高度，就是正数。将尖堆的高度平分为若干份，依据这些份数分别作横线，来截取它的体积，而对数的方法便由此产生。为什么呢？对数的首位，只从一到九。一的对应数为0，而百亿的对应数也为0，所以尖堆下部的体积不可求，总体积也不可求，并非没有体积，而是因为其极大，一到九的数字不足以命名，所以反而命名为0。这是盈虚消长、如环无端的妙理。二到十的总和为一，十一到一百的总和为一，一百零一到一千的总和也为一，推演到万亿，没有不是这样的。这是尖堆逐渐向上变窄、逐渐向下变宽的道理。用加倍代替自乘，那么二的体积不得不与三、四两数的体积相同；用三因代替再乘，那么二的体积不得不又与五、六、七、八、四的体积相同。这是尖堆二以上体积相等的道理。尖堆的底面无穷无尽，体积也随之无穷无尽，而求两个对数的差，所得的都是最上面的一个体积，所以二十个尖堆已经足以充当亿万尖堆的作用。西方人不懂这个道理，于是用正数屡次开方、对数屡次折半的方法来求取，这也是只知末流而蒙昧其本源了。《易经》不也说吗：“平易就容易了解，简约就容易遵循。”李先生深思熟虑，没有幽深之处不被启发，确实有通达《易经》简约本源、体现神明创作之处。西方人见到这些，应当也会自悔徒劳无功吧。

译数学跋

顾观光

江氏的《数学》，是继梅氏《历书》之后撰写的著作。它对于日月五星运行的道理，岁实消长的根源，阐述得透彻通达，确实足以弥补梅氏著作中尚未完备的地方。自从钱大昕说宣城（梅文鼎）能够运用西方天文学，而江氏则是被西方人所用，并且极力诋毁江氏关于冬至权度的说法，就像公孙龙说“臧有三只耳朵”一样，言辞艰深而实际上并非没有见识的人，往往被这种说法所迷惑。平心而论，江氏拘泥于西法固然没错，钱氏的说法却又拘泥于中法，都不是实事求是的学问。关于日月五星盈缩迟疾的根源，有人说用小轮，有人说用不同心天，世上没有能凌驾云气、驾驭长风的人，谁能判定哪个正确呢？然而假使小轮的作用仅限于解释盈缩迟疾，那么说它是巧妙的计算而非真实的天象，也未尝不可。无奈的是，当太阳月亮在小轮的上半周时，距离地球远，看起来也小；在小轮的下半周时，距离地球近，看起来也大。视直径有大有小，地半径差也就有增有减，而影径分的多少，也因此而不同。由此可见，日月五星有高有低，不必等到出现盈缩迟疾的现象才相信。既然有高有低，那么除了小轮和不同心天之外，本来就没有其他方法了。两心差有大有小，西方人早就说过。《日历指》中记载，意罢阁在汉景帝时测量两心差为十万分之四千一百五十一；九执历推算定日法，将一象限分为六份，计算其累积差共二度十四分，用正切求两心差得到十万分之三千九百。江氏推算刘宋大明年间两心差为四〇三五，与意罢阁所测的非常接近。唐开元年间冬至减时比现在大四刻有余，那么比九执历稍大一些罢了。钱氏说两心差古代大现在小，仍然是杨忠、郭守敬百年消长的方法，不知道消长是以确定冬至为根本，而两心差的加减是以平冬至为根本，根本既然不同，计算怎么能吻合呢？元明以来岁实由消而逐渐增长，议论纷纷。江氏精妙地理解算理，因为《授时历议》中所述丁丑至庚辰四年冬至自相矛盾，知道其刻下小余有三十分，断定这是增长到极点而开始消减的界限，证据非常明确，恐怕善于辩论的人也难以替郭守敬辩解。西法实行已久，不可能没有误差，江氏的书确实有主持过度的弊端。然而元嘉十三年甲戌冬至，各种历法都得到癸酉；大明五年乙酉冬至，各种历法都得到甲申；而江氏所推算的唯独与古人吻合。元嘉十八年己亥冬至，则依据《隋书·天文志》来纠正《宋书·天文志》；光大二年乙巳冬至，则依据太建四年丁卯冬至，而怀疑其测量不真实，这些都是从古籍中参证考察而得到的，并非仅仅为了标新立异。钱氏考察得不仔细，于是认为江氏理屈词穷而逃避，这是算术不值得相信，而史书文字必然没有一字错误，有这样的道理吗？两心差，古代大现在小。江氏没有确定的比率，而修改最卑点，每年向东移动一分三秒，那么精思所到，竟然与噶西尼的新法不约而同。可见考察古代而没有疑问的，对照现在自然吻合。如果符合古代而不符合现在，那么它的符合也只是侥幸罢了。《易经》不说过吗？“天地之道，贞观者也。”天有恒常的运行，不因古今而不同。说西方人的方法一定不能用来考察古代，这是说古代的天象运行不同于现在。说古代的天象运行不同于现在，这是说古代和现在应当各自有一个天，难道是这样吗？江氏的书世上没有善本，关于七政小轮等论述纷乱如丝，恐怕久而久之失传，无法作为治历者的先导。现在特别详细地加以校正，书中精确不可磨灭的地方，读者应当自己知道。只是不要以“是古非今”的成见先横亘在心中，这是我早晚都会遇到的情况啊。

岁实消长，其原因有二：一是因为两心差有大有小，二是因为黄赤距有远有近。吴江王氏、青州薛氏都曾论述过。现在薛氏的《天学会通》没有见到足本，《晓庵新法》又删去了补遗，不知道他的说法如何。江氏的说法得到其一而失去其一，考察得不仔细了。黄极环绕，赤极二万五千八百六十八年绕行一周，这就是岁差。黄道既然在赤道上退行，那么岁实必定逐渐消减。只是西方人的旧说，都将岁差视为恒星东行，于是与最高点的运行两个数值混淆，无法分析。中法知道岁差是岁不及天，却又不知道最高点有运行，所以岁实消长历经千余年而没有定论。近日西方人新测量，春秋分点每年西行五十一秒，最高点每年东行十一秒八。两心差，古代大现在小，大约百年差二万五千分之一。黄赤道，古代远现在近，大约百年差四十八秒。咸丰庚申年，最卑点超过冬至十度二十八分五十三秒三〇，黄赤大距二十三度二十七分二十七秒三八。

五星岁轮与伏见轮之不同

顾观光

西法推算五星，土星、木星、火星使用岁轮，金星、水星使用伏见轮。梅勿庵说五星都有岁轮，而伏见轮就是岁轮上星体绕日运行的圆形轨迹。婺源江氏跟随他，撰写《金水二星发微》，绘图列算，条理清晰，并用等边等角的两个三角形来证明其道理。两家的说法，可以说详细且明白了。我曾经仔细翻译历书，才知道岁轮与伏见轮

译计算行星的方法，有四点不能强行统一，试详细论述如下：土星、木星、火星的次均差，是用初实行减去太阳实行得到的，因此次均差的大小，一方面取决于太阳的盈缩，另一方面取决于本天的高卑；而金星、水星仅用初均差加减伏见平行，不使用太阳盈缩差，这是第一点不同。土星、木星、火星用初实行减去太阳实行，如果初均差是加数，那么距日度反而减少；如果初均差是减数，那么距日度反而增加。这是因为这三颗行星运行速度慢于太阳，所以这样立法；如果金星、水星运行速度快于太阳，初均差加则距日度也加，初均差减则距日度也减，却反而用初均差加减伏见平行，与上述三颗行星算法相同，但道理正好相反，这是第二点不同。使用岁轮，则圆心在本道，存在升度差；使用伏见轮，则圆心在黄道，没有升度差，这是第三点不同。土星、木星、火星用正交行减去初实行，是用次轮心距离正交的度数；金星、水星用正交行减去初实行，又加上伏见实行，而初实行与伏见实行合并的度数，即是平行与伏见平行合并的度数，从伏见轮来说这是星距离正交的度数，从本天来说即是本轮心距离正交的度数，这是第四点不同。因为这四点，可知岁轮与伏见轮的用途，分开使用则两者都完美，合并使用则两者都受损。那么梅氏、江氏的说法不对吗？回答说：不能说不正确。那四点不同之处，历书都已经说过：“说伏见轮虽然以太阳为圆心，实际上是以太阳本轮心为圆心。”“说伏见轮最远点没有固定的度数，它距离平远点的度数必定与初均差相等。”“说伏见轮最远点距离伏见轮正交的度数，必定与伏见轮心距离本道正交的度数相等。”这三点，如果不验证于实际观测，不容易判断其是非。只有说伏见轮在黄道上没有升度差，那么仅用伏见轮的道理来考察，就知道这必定行不通。为什么呢？伏见轮的圆心虽然运行在黄道上，但其平面与黄道斜交，一半在南，一半在北。只有正交、中交两点与黄道重合，连接这两点经过圆心成一条直线，这必定与黄道平行，而它距离伏见轮远近的度数，时刻不等。假设正交距离最远点九十度，那么伏见轮上下南北，呈偃卧之势，说它没有升度差，道理固然如此。如果正交与最远点重合，那么伏见轮左右南北，呈侧立之势，与土星、木星、火星本道斜交于黄道的情况，形象完全相同，又怎么能没有升度差呢？此时黄道如勾，视纬如股，伏见轮平面如弦，从黄极出发，抵达黄道，以及星在伏见轮右侧的，其度数必定偏差向东；在伏见轮左侧的，其度数必定偏差向西。历书一概不予讨论，仅用“本道即黄道”一句话带过，不思考经度与纬度相互依存而成，没有升度差，怎么能再有视纬？这可以用道理决断，不必等待实际观测才相信。总之，伏见轮的方法本源于岁轮，自从承用者逐影忘形，于是导致矛盾不合。回回历五星都使用太阳平行，并没有升度差，岁轮与伏见轮通用为一种方法。西方人在土星、木星、火星三星上屡次改进更加精密，而金星、水星仍然同于回回历，由于拘泥于伏见轮在黄道上的说法，不再深入思考改进方法，已经不知道伏见轮是岁轮上星行绕日的圆象了。梅氏、江氏的说法觉悟绝伦，表彰并指出它，来告诉天下后世那些读古人书而死于句下的学者。

译《几何原本》第六卷与第六卷比较的解说

顾观光

大分是4，正方数是16；小分是3.464，奇数是12。两正方数的差是4，其边是2，与大分相等。半小分是1.732，奇数是3。在大分上作一个比它少一个正方数的矩形，与半小分的正方数等长，长为3，宽为1。

大小两分相加，得7.464，奇数作为第一合名，第二、第三合名相同。

相减，余数是5.35，奇数作为第一断，第二、第三断相同。

假设有比例数8与大分相等，用它乘以矩形的长，得24，其边是4.898，奇数；用它乘以矩形的宽，得8，其边是2.828，奇数。两数相加，得7.76，奇数作为合名，自乘得59.71，奇数，即第一合名乘以比例数的矩形。两数相减，得2.07，奇数作为断，自乘得4.285，奇数，即第一断乘以比例数的矩形。

假设有比例数6.928，奇数，与小分相等，用它乘以矩形的长，得20.78，奇数，其边是4.558，奇数；用它乘以矩形的宽，得6.928，奇数，其边是2.632，奇数。两数相加，得7.19，奇数，作为第一合，中间自乘得51.71，奇数，即第二合名乘以比例数的矩形。两数相减，得1.926，奇数，作为第一中断，自乘得3.709，奇数，即第二断乘以比例数的矩形。

假设有比例数7与大分、小分都不相等，用它乘以矩形的长，得21，其边是4.582，奇数；用它乘以矩形的宽，得7，其边是2.645，奇数。两数相加，得7.227，奇数，作为第二合，中间自乘得52.24，奇数，即第三合名乘以比例数的矩形。两数相减，得3.937，奇数，作为第二中断，自乘得3.752，奇数，即第三断乘以比例数的矩形。

大分是4.123，奇数，正方数是170；小分是3.605，奇数，正方数是13。两正方数的差是4，其边是2.1，与大分不相等。半小分是1.802，奇数，正方数是3.25。在大分上作一个比它少一个正方数的矩形与半小分的正方数等长，长是3.061，奇数，宽是1.061，奇数。大小两分相加，得7.728，奇数，作为第四合名，第五、第六合名相同。

相减，余数是5.18，奇数，作为第四断，第五、第六断相同。

假设有比例数8.246，奇数，与大分相等。用它乘以矩形的长，得25.24，奇数，其边是5.023，奇数。用它乘以矩形的宽，得8.749，奇数，其边是2.957，奇数。两数相加，得7.98，奇数，作为太，自乘得63.72，奇数，即第四合名乘以比例数的矩形。两数相减，得4.066，作为少，自乘得4.268，奇数，即第四断乘以比例数的矩形。

假设有比例数7.21，奇数，与小分相等，用它乘以矩形的长、得22.07，其边是4.697，奇数；用它乘以矩形的宽、得7.65，其边是2.765，奇数。两数相加、得7.462，奇数，作为比中方，自乘得55.71，奇数，即第五合名乘以比例数的矩形；两数相减、得1.932，奇数，作为合比中方，自乘得3.732，奇数，即第五断乘以比例数的矩形。

假设有比例数7与大分、小分皆不相等，用它乘以矩形的长、得21.427，其边是2.723，奇数；两数相加、得7.351，奇数，作为两中面之，自乘得54.09，奇数，即第六合名乘以比例数的矩形；两数相减、得3.905，奇数，作为合中中方，自乘得3.629，奇数，即第六断乘以比例数的矩形。

大分是15，正方数是225；小分是11.18，奇数，正方数是125。两正方数的差是100，其边是10，与大分相等。大小两分相减，余数是3.82，奇数，作为第一断。即以差的正方数的边为比例，圆的半径乘以第一断，得38.2，奇数，开方得断6.18，奇数，即圆内接十边形的一边。

大分是12.5，正方数是156.25；小分是5.59，奇数，正方数是31.25。两正方数的差是125，其边是11.18，与大分不相等。大小两分相减，余数是6.91，奇数，作为第四断。有比例数20，圆的直径与大分相等，用它乘以第四断，得138.2，奇数，开方得少11.75，奇数，即圆内接五边形的一边。

大分是17.32，奇数，正方数是300；小分是12.91，奇数，正方数是166.66。两正方数的差是133.33，其边是11.54，奇数，与大分相等。大小两分相减，余数是4.41，奇数，作为第一断。即以差的正方数的边作为比例，球内接六面体的一边乘以第一断，得50.89，奇数，开方得断7.13，奇数，即球内接十二面体的一边。

大分是11.18，奇数，正方数是25；小分是5，正方数是25。两正方数的差是100，其边的10，与大分不相等。大小两分相减，余数6.18，奇数，作为第四断。有比例数17.88，奇数，容纳二十面体上五边形的圆的直径与大分相等，用它乘以第四断，得210.49，奇数，开方得少10.51，奇数，即球内接二十面体的一边。

译圆锥三曲记

顾观光

凡是圆锥体，横向剖切得到圆形，斜向剖切得到椭圆。圆形只有一个中心，圆周上各点到中心的距离始终相等。椭圆则有两个焦点，从两个焦点出发到达圆周上任意一点的两段距离之和，必定等于长轴的长度。

将椭圆的长轴称为横轴，短轴称为纵轴，那么在圆周上任取一点，作纵坐标为股，所截得的长半轴方向的横坐标为句，股的平方乘以长半轴的平方，加上句的平方乘以短半轴的平方，其和始终等于长半轴平方与短半轴平方的乘积。

经过中心的纵坐标的两倍，即为长轴方向的通径。以长轴作为连比例的首项，短轴作为中项，那么通径就是末项。

股的平方与长轴被分成的两段之积的平方相比，如同短轴的平方与长轴的平方相比。如果在长轴上作一个圆，那么对于相同的句（横坐标），这个圆中的股（纵坐标）就对应于长轴与短轴的比例关系。

在圆周上任取一点，引出两条斜线连接到横轴的两端，这两条线称为正弦通弦和余弦通弦，那么这两条通弦所对角的正切值的乘积的平方，等于长轴平方除以短轴平方的数值。

从圆周上作两条斜线，分别与这两条通弦平行，这两条线就是椭圆的切线。延长横轴与切线相交，构成直角三角形，切线为弦，纵坐标为股，那么其句（横坐标）就是次切线。

用横坐标的平方减去长半轴的平方作为被除数，横坐标作为除数，被除数除以除数，就得到次切线。

从切点作一条垂直于横轴的线，与切线构成直角，这条线称为法线。以法线为弦，纵坐标为股，那么其句就是次法线。

用短半轴的平方乘以横坐标作为被除数，长半轴的平方作为除数，被除数除以除数，就得到法线。

椭圆的法线平分切点到两个焦点的连线所成的夹角，因此切线与这两条连线所成的夹角也相等。

两条切线既然与两条通弦平行，那么从两个共轭点经过中心点的斜径也与两条通弦平行，称之为共轭直径。

在圆周上任取一点，作纵坐标与一个半径平行，截得另一个半径为横坐标，这与横轴上的直角三角形比例相同，因此共轭直径的两个半径的平方和，始终等于长轴和短轴的两个半径的平方和。

直径端点到两个焦点的距离之积的平方，等于半径的平方。共轭直径四个端点的四条切线构成平行四边形，其面积也等于长轴和短轴半径乘积的平方。

如果以两个直径所对应的圆的面积作为首项和末项来求中项，就得到椭圆的面积。

译凡是圆锥体，沿着一条母线的方向，从对侧斜着剖到底部，就形成抛物线形。将这个形状横放，作一条通过焦点的水平轴线，并延长到顶点之外。如果顶点到焦点的距离确定，就作一条垂直于轴线且与轴线成直角的直线，这就是准线。在抛物线上任意作一条垂直于准线的横线，它与准线的交点到焦点的距离，必然等于该点到焦点的距离。在抛物线上任意作一条纵线作为直角三角形的股，截得的横线作为句，以句为连比例的首项，股为中项，那么通径就是末项。通径，是通过焦点的两倍股长。取其一半，就是焦点到准线的距离。从纵线的上端作斜线作为抛物线的切线，引水平轴与之相交，也与次切线构成直角三角形。又作法线垂直于切线，也与次法线构成直角三角形。抛物线的次切线是横坐标的两倍，而次法线恒为通径的一半。用纵线除以次法线，或者用次切线除以纵线，都是切线与轴交角的正切值。切点到焦点的连线与法线的夹角，恒等于法线与轴的夹角，所以法线两端到焦点的距离也相等。切点到焦点的连线与切线的夹角，恒等于切线与轴的夹角，所以切线两端到焦点的距离也相等。从焦点作斜线垂直于切线，就是切点和顶点到焦点距离的比例中项。任意作一条通弦与切线平行，又从切点作横径与轴平行，必然将通弦平分。半通弦作为纵线，截得的横径作为横线，与横轴上的直角三角形比例相同。如果句和股相乘，取三分之二，就是所截抛物线的面积。

凡是圆锥体，沿着垂直方向，从一边直剖到底部，就形成双曲线形。将这两个相等的形状横放，它们两个顶点之间的距离，就是横径。在双曲线上任意一点向两个焦点连线，这两条线段的差必然等于横径。从横径的中点作垂直于横径的直线，就是纵径。中点到焦点的距离为弦，中点到顶点的距离为句，求得股为半纵径。从横径的上下截取，再作两个相等的曲线形状，就是共轭双曲线。引纵横两条直径作为两条轴，都经过双曲线的两个焦点。以横径为连比例的首项，纵径为中项，那么通径就是末项，即横轴上过焦点的两倍股长。在双曲线上任意作纵线作为股，截得的横径延长线作为句，股的平方乘以半横径的平方与句的平方乘以半纵径的平方的差，恒等于两半径平方相乘的数。股的平方与句加横径乘以句的平方，如同纵径的平方与横径的平方。从纵线上端作切线和法线，也与次法线构成直角三角形。求切线与轴交角的方法，与抛物线的切线平分切点到两焦点的夹角相同，所以法线也平分切点到两焦点的外角。在双曲线上任意作两条斜线到达横径的两端，为正余两条通弦。两条通弦对角正切相乘的平方，就是横径平方除以纵径平方的数。从横径的中点又作两条斜线与两条通弦平行，四个端点都到达双曲线，称为共轭直径。将这两条直径延长。在双曲线上任意作纵线与一半径平行，截得的另一半径延长线作为横线，与横轴上的直角三角形比例相同，所以共轭直径的平方差与纵横直径的平方差恒相等。共轭直径四端的四条切线构成平行四边形，与纵横两条直径相乘的平方相等。纵横直径四端的四条切线构成长方形，作对角两条斜线并延长，与四条双曲线无限接近但永远不相合，称为渐近线。用横径除以纵径，就是渐近线与横径交角的正切值。任意在双曲线上作纵线与一条渐近线平行，截得的另一条渐近线作为横线，纵横相乘的平方恒为中点到焦点平方的四分之一。延长纵线以四条双曲线为界，补成平行四边形，恒为纵横两条直径相乘平方的一半。任意在双曲线上作切线，以两条渐近线为界，必然在切点处平分共轭直径，也与切线相等。如果用股乘以半横径与句乘以半纵径两个平方的和乘以纳皮尔对数2.71828，再减去句股相乘的平方，就是所截双曲线的面积。

这三种曲线都是圆锥的截面形状，它们偏离切线的比率应当以吻合圆度为准。在曲线上任意一点，作许多圆形与曲线在该点相切，那么圆周偏离切线的半径越小越快，半径越大越慢，而在这些圆形中必然有一个圆周与曲线吻合无间，这就是吻合圆。称圆的半径为曲率半径，那么各点曲率半径之比同于法线立方的比。法线立方为实，半通径的平方为法，实除以法得一，就是曲率半径。椭圆两焦点距离的一半称为两焦点差，用长半径除之，就是离心率。取圆周率3.14159265，用长径乘之作为实，离心率作为乘数，依次取其四分之一、十六分之三、三十六分之十五，从实中减去，就是椭圆体的曲面积。法线乘以纵线而用通径除之，加上法线加纵线的一半，乘以纳皮尔对数，加上上面的结果，就是抛物线的长度。用通径除以圆周率，四乘三除，乘以法线；次法线两立方的差，就是抛物线体的曲面积。椭圆体积等于外切圆柱的三分之二，抛物线体积等于外切圆柱的二分之一。抛物线内能容纳的最大长方形，其横径恒为轴的三分之二；圆锥内能容纳的最大抛物线，其轴恒为斜距的四分之三。由此类推，触类旁通，曲线的功能就完备了。

静重学记

顾观光

重学的根本，始于权衡。权与物均等而衡平，则

译左边的力臂与右边的力臂相等。如果力臂不相等而杠杆保持平衡，那么左边力臂乘以左边重物等于右边力臂乘以右边重物。比例的方法，由此产生。杠杆不同于天平之处，不仅在于它的平衡，更在于它的确定。直杆无论是水平还是倾斜，都与天平相同。曲杆则要看力与杆的交角，如果这个角正好是九十度，比例就与直杆相同。如果不是九十度，那么左边力臂乘以左边重物与右边角的正弦，等于右边力臂乘以右边重物与左边角的正弦。如果有曲杆的折角，而要求左右两个角，那么左边力臂乘以左边重物作为被除数，右边力臂乘以右边重物作为除数，被除数除以除数得一，再减去折角的余弦，用折角的正弦去除，就得到左角的余切。求右角的方法，与此类似。

译两种力牵引重物行走时，若两力方向相合，则利用它们的合力；若两力方向相对，则利用它们的差力。如果两力既不相合也未完全相对，就用这两种力补成一个平行四边形，作对角线作为这两种力的合力。三个力以上，道理是一样的。

牵引重物的机械有七种，它们的助力各不相同。杠杆的助力是右臂长度与左臂长度之比；轮轴的助力是轴径与轮径之比；齿轮的助力是小轮齿数与大轮齿数之比；单个滑车的助力是一与二之比；连续滑车的助力是一与二的滑车数减一的乘方积之比，或是一与绳索股数之比，或是一与二的动滑车数乘方积减一之比；斜面的助力是直角边与斜边之比；劈的助力是劈背宽度与劈边长度之比；螺旋的助力是两个螺距与以柄长为半径所成圆周之比。这七种机械无论是单独使用、组合使用还是单一使用，都能用小力移动大重物，其力与重量的关系，就如同重物移动速度与施力点移动速度的关系一样。

单独物体和组合物体都有重心，从重心作垂线，必定与水平面成直角。凡是三角形，在各边中点作对角线，三条线相交的点就是重心，它到顶点的距离与到边的距离之比是二比一，且两两相等。四边形，在相等边的中点作连线，两条线相交的点就是重心，它到两边的距离总是相等的。对于四条边都不相等的四边形，用对角线将其分为两个三角形，分别用上述方法求出各自的重心，将两个重心连成一条线，那么大图形的垂线与小图形的垂线之比，等于小图形重心距离与大图形重心距离之比。凡是尖锥体，先求出底面的重心，从底面中心到尖端作连线，其四分之一处为底面中心的距离，重心就在此处；如果去掉尖端，以上下两部分的重心作连线，整体的重心必定在这条连线上。假设多面体的各个角都是质点，并用线连接，或者断开不连，或者运动不定，也必定存在这个重心。牵引重物的机械，将力与重物连成一体，力下降则重物上升，而在连线上必定有一个固定点，这就是重心。既然有了重心，就可以阐明定理：物体固定于一点时，从悬挂点作垂线，必定经过重心；物体固定于一个平面时，从重心作垂线，必定与固定点重合；物体固定于一点及一个平面时，从重心作垂线为一边，从平面上的固定点作垂直于平面的线为另一边，平面上的固定点到重心的距离为底边，那么两个固定点之间的距离就是三角形的最大边；物体固定于两点时，将这两点延伸，必定与重心所作的垂线相交；物体固定于两个平面时，两个固定点的支撑力各自与所在平面成直角，延伸后，也必定与重心的垂线相交。凡是物体已经固定而轻微移动，如果回到原处，或者离开原处，这就是固定与非固定的区别。假设小半球切于大半球的凸面，其重心恒为球半径的五分之八，从切点作与水平面成直角的线，重心在此线内侧的为固定，在外侧的为非固定。方法是用两半径相乘作为分子，两半径相加作为分母，分子除以分母得一为固定率；如果切于大半球的凹面，则两半径相乘作为分子，两半径相减作为分母，分子除以分母得一为固定率。屋梁固定的原理，三根梁相合成两个等边三角形，在顶点加重，从顶点作垂线，分为两个直角三角形，那么直角边为梁水平力的比率，两倍的另一条直角边为梁垂直力与加重量的比率。三根梁相连，依次向下延伸，从下梁重心作直线延伸，与中梁相遇。再从相遇点向下梁下端作斜线，那么与水平面形成直角三角形，直角边为下梁水平力的比率，斜边为下梁垂直力的比率。四根梁相连，长短轻重相同，与水平面形成五个不等边。从顶点作垂线，那么与垂线形成小直角三角形，小直角边对角的正切，与大直角边对角的正切，之比为一比三。

桥拱固定的原理，先让各块石料的大小、形状、左右都相等。从桥顶作垂线，将各块石料的左右切面延伸，必定与垂线相交于一点，此点就是拱心。各切面与垂线的交角，其正切值为各块石料重量的比率，割线值为各块石料支撑力的比率。不符合这个比率，又没有平面阻力，桥必定会倒塌。从石料的重心作垂线，从切面的中点作垂直于切面的线作为支撑力，延伸后，与左右两条垂线相遇，必定在石料行进方向的中点。如果超出石料范围，又没有胶固力，桥必定会倒塌。桥的下部为圆弧时，从圆心作水平线，又以圆半径为直角边，桥顶到圆心的垂线为斜边，取其另一条直角边在垂线上，从圆心截断，再作一条水平线。这条线从中间到边缘逐渐与桥的上部曲线接近，但永远不相合。任意在这条线上作一条垂线，交于下部水平线，再从圆心作一条斜线，然后取交点到桥顶的角度在斜线上，从圆心截断，就是上部曲线所到的位置。桥的上下表面都是水平线时，中间必定是垂直面。各切面与垂线的交角，其正切值既是各块石料重量的比率，也是各块石料面积的比率。支撑力不超出石料范围，与桥拱相同。

凡是粗糙表面有两种阻力，一种在平面，一种在斜面。光滑表面则只有平面的阻力。任何物体在平面上运动，其重量即为支撑力。两面都是木头且纹理平行的，取支撑力的二分之一；两面都是木头且纹理横直相交，或两面都是金属的，取支撑力的四分之一；两面一木一金的，取支撑力的五分之一。各自乘以支撑力作为面

译阻力。斜面上的阻力，则是将物体置于平面上，然后缓缓抬起平面的一边，在物体即将下滑但尚未下滑的时刻，测量斜面与水平面之间的夹角，此时全数与角的正切之比，等于抵力与面阻力之比。如果桥环等劈的重力不符合切向比例，那么抵力与切面就会斜交。尝试在抵力的末端作一条垂直于抵力的直线，又在这条垂线的中点，依据斜面阻力的角度，向左和向右各作一个角，这就是斜交的最大限度。切面位于这两个限度之间，环也就确定了。

译有小圆柱在大圆柱内旋转，其相切之处也会产生面阻力。如果两面都是木头，面阻力取抵力的十二分之一；如果一面是铜一面是铁，面阻力取抵力的七分之一。各自用抵力乘以相应的比例作为面阻力，轮轴、滑车等通常都遵循这个准则。

动重学记

顾观光

凡是运动，如果没有其他外力施加，那么方向必定是直的，快慢必定是均匀的。如果施加了其他外力，且方向与原本的运动方向不同，就用这两个方向补成一个平行四边形，作对角线作为两个速度的合成率。力施加于物体而产生运动，无论力是垂直施加还是侧向施加，其动力始终等于抵力。因此，左边的重量与右边的重量，如同右边的速度与左边的速度，两物相互牵引，那么速度大的必定减小，速度小的必定增加。各自用它们的重量乘以所增减的速度，其数值也是相等的。

凡是球在平面上滚动，这是平力。两个球相互撞击，它们的形体平坦而又凸起，这是产生了凸力。没有凸力的球，或者是铅球或者是瓦球，撞击时两个速度完全消失，两个球必定停止而不前行了。凸力有等于平力的，称为全凸力；有小于平力的，称为朒凸力。呢纱等球的凸力是平力的九分之五，象牙球是九分之八，玻璃球是十六分之十五。正面撞击后，两个球向两个相反的方向分开，各自产生新的速度，撞击前的速度与撞击后的速度之比，如同平力与凸力之比。假设两个球都是全凸力，正面撞击后，小球的速度必定减小，而大球的速度必定增加。两个重量的和与两个重量的差，如同两倍大球重量与减速之比，又如同两倍小球重量与增速之比。各自用它们的重量乘以速度然后相加，撞击前与撞击后也是相等的。两个球的凸力相等且正面撞击后，小球停止不前，那么大球与小球之比，必定如同平力与凸力之比。如果用运动的球撞击静止的球，且两个物体相等，又都是全凸力，那么动静必定互相交换。运动的球小于静止的球，那么小的球会反向运动，而大的球向前运动；其速度必定小于小球之前的速度。运动的球大于静止的球，那么小球的速度必定大于大球之前的速度，而大球跟随运动，其速度小于之前的速度。三个球在一条直线上，依次从小到大排列，中间两个球的差值大于中间和最小两个球的差值，大球通过中球将速度传递给小球，必定大于直接传递给小球的速度。如果中球是大球和小球的比例中项，那么传递的速度最大了。从撞击点经过两个球心作交线，符合球运动方向的是正面撞击，不符合的是侧面撞击。两个球的方向，一个直一个横，那么撞击后横向的球会斜向运动，将撞击前的两个方向延长，补成平行四边形，作对角线，就是斜行的方向。两个球都斜向运动，那么撞击后的两个方向与撞击前的两个方向互为平行。从方向的端点作垂线交于交线前后，各自形成两个直角三角形，这两个直角三角形必定自相相等。又将撞击前的两个方向延长相交，那么交角的对边就是撞击时两个半径的和。

两个球相距，必定有重心。到相互撞击时，重心就是撞击点。两个球相对而行，那么重心始终不动。因此，左边的重量与右边的重量，如同右边的距离与左边的距离相随而行，而后面的速度大于前面的速度，那么重心就随之向前移动。方法是用两个重量各自乘以速度然后相加作为实数，两个重量相加作为法数，实数除以法数得一，就是重心的运动。假设两个球平行于两个斜面，重心必定平行于一条直线。将两个斜面延长相交，取两个速度的度数，从交点截取作为两腰，作连线作为三角形的底边，那么左边的速度与右边的速度之比，如同右边的分边与左边的分边之比。于是从分边处到交点作直线，就是重心的运动。

凡是有凸力的球，斜向撞击不动的面，那么撞击后必定斜向运动。从撞击点经过球心作交线，又从方向的端点作垂线交于交线，形成前后两个直角三角形。凸力完全的，两个直角三角形相等，而方向与交线的交角前后也必定相等。凸力不完全的，后角与前角的正切之比，如同平力与凸力之比；后角与前角的正弦之比，如同前速与后速之比。没有凸力的，撞击后沿面边缘运动，其前速与后速之比，如同全数与角的正弦之比。

凡是运动有两种，一种是匀速，一种是逐渐加速。匀速运动形成长方形，速度为宽，时间为长，那么路程为长方形面积。加速运动形成堑堵形，力为高，时间为长与宽，那么速度为长方形面积，路程为堑堵形面积。物体在空中被地力吸引而下坠，越往下越快，这就是逐渐加速。地球形状是椭圆的，长径经过赤道，短径经过两极，直径的平方与地力成反比例，所以两极下的地力与赤道下的地力之比，如同145与144之比。两极与赤道之间的地力适中，在一秒钟中测量物体的下坠，16尺又万分尺之697倍为一秒钟的地力，依据堑堵形的比例来求，速度和路程都可以得到了。声音的传播是匀速，一秒钟中传播1017尺。假设将石头投入井中，经过几秒听到水声，那么用地力除以2再开平方作为石头过井的速率，用声速除以1作为声音过井的速率，两者相加与所经历的时间相比，就是井口距离水面的深度。大小两个重量悬挂在定滑车上，大重量必定随地力而下，两个重量的和与两个重量的差之比，如同地力与长加力之比。物体从斜面下行，两面都是光滑的，必定相切而行，不是旋转而下。斜面的弦是重量率，股是力率，力乘以地力就是斜面的长加力，用堑堵形的比例通用地力乘以股来除

译二弦的覆盖，即实时的覆盖。二地的力量以乘股的方式即为速度的覆盖，因此不论弦的长短，只要股相等，则速度也相等。用重物牵引重物使其在斜面上运动，垂直面上的重物较大则重物上行，垂直面上的重物较小则重物下行。用垂直重物乘以弦与斜重乘以股的差再乘以地力作为实数，将两重之和乘以弦作为法数，实数除以法数得一，即为长加力。假设有一个圆面垂直于地平，从顶点到圆周作多条通弦，则物体无论行于哪条通弦，从顶点到终点的时刻都相等。大小两个圆面的顶点合为一点，垂直于地平，从顶点到大圆周作多条大通弦，其中包含多条小通弦，则物体行于两通弦之差，从小圆周到大圆周的时刻都相等。所有这些相等的道理，都是由地力产生的。

译将物体抛向空中，向上运动到极限后弯曲向下，其两端始终相等，这叫做抛射。抛射线与地平面的交角恰好为四十五度时，抛射范围最大，其左右两侧逐渐变小且两两相等，到了九十度则没有抛射范围了。如果将物体抛向斜面，那么根据斜面与九十度角的夹角，平分此角的抛射方向，抛射范围最大，其左右两侧也逐渐变小且两两相等，到了九十度则没有抛射 range 了。以抛射线的切线为弦，垂线为股，地平线为句。切线产生于匀速的抛射力，所以速度乘以时间得到弦；垂线产生于逐渐加速的地心引力，所以地心引力的一半乘以时间的平方得到股。用平面三角形的比例关系来推导，抛射线与地平面交角的二倍角的正弦乘以速度的平方作为实数，地心引力作为法数，实数除以法数，即得到平面上的抛射范围。抛射线与地平面的交角和抛射线与斜面的交角相加为和角，相减为差角，和角与差角两正弦的差乘以速度的平方作为实数，差角的余弦的平方乘以地心引力作为法数，实数除以法数，即为斜面上的抛射范围。九十度的抛射即为抛射高度，加倍即为平面上最大的抛射范围。再用斜面与九十度角的大矢去除，即为斜面上最大的抛射范围，所以平面上的抛射范围比斜面上的大。从抛射高度的上端作水平线作为规距，规距到抛射顶点的距离与抛射顶点到重心的距离相等，从重心作水平垂直线交于重心到规距，两端都抵住抛射物，这必定是重心到规距距离的两倍，即末率。重心到规距的距离以两倍抛射高度为最大，所以末率以四倍抛射高度为最大。抛射物与平面的交角，从地平面向上逐渐变小，到抛射顶点时与平面合而为一，没有交角了。垂线所截的地平面作为实数，抛射物与地平面交角的余弦的平方乘以两倍抛射高度作为法数，实数除以法数，减去抛射物与地平面交角的正切，即为交角的正切。如果用相同的速度抛射各种物体且在同一平面上，经过若干秒，各物体所到达的点连接起来形成平面圆形；如果不在同一平面，则形成立体圆形，其抛射点距离圆心的距离即为若干秒内地心引力下行所经过的路程。

悬挂物体在空中，左右限制以曲线，使物体一来一去，则物体与曲线时而贴合时而分离，而其运动又形成曲线，这叫做摆。两倍圆直径为摆长，再加倍即为摆周，则圆周为摆的范围，即横径。在横径的中点作垂线，必定到达摆的最低点，以此垂线为圆直径，作平面圆形，那么在垂线上任意作水平线，其所截平面圆形的弧，必定等于平面圆形外的水平线，而所截的摆周，必定是平面圆形内通弦的两倍。物体从摆的下端运动是被地心引力吸引，其速度与垂线相等，用来测量各处地心引力的大小，非常容易看出。一秒的地心引力作为实数，圆周率3.141592653作为法数，实数除以法数即为秒摆的长度。秒摆者，一秒摆动一次。假设地心引力为定数，那么摆长的平方根与时间成正比例；摆长为定数，那么地心引力的平方根与时间成反比例。所以用秒摆长除以摆长，或者用地心引力除以原地心引力的平方根，都是摆动一次的时间。如果用比较数来求，那么摆长者运动慢，摆短者运动快。用摆长与秒摆长的差乘以一昼夜八万六千四百秒作为实数，两倍秒摆长作为法数，实数除以法数，即为一昼夜摆动加减的次数。地形高低，处处不同，高则摆动慢，低则摆动快。一昼夜加减的次数为两处高低差的比率，加倍即为两处地心引力差的比率。摆的用途尽在于此了。

有许多质点，各自以刚性连接在平面上。力加在一点，那么各点随之运动。这与单独运动不同，因为各质点各有抵抗力。绕轴转动时必定互相感应，或促进运动，或阻碍运动。距离轴越远，用力越少，力与距离的乘积相等，那么速度也相等。从轴心作地平线为句，从各点作垂线为股，各点到轴的距离为弦。各以质重乘以弦的平方并相加，即为各质点的质阻率。力乘以距离的平方作为实数，质阻率作为法数，实数除以法数，即为实际产生的力。各质点被地心引力吸引，也各有长加力。从轴心作直线，则将各点分为左右两边。各以质重乘以句，看各点在直线的一边则相加，在两边则相减。乘以地心引力，又乘以所求点到轴的距离，作为实数，质阻率作为法数，实数除法数，即为所求点的长加力。各质点相距必定有重心，其到轴的距离为弦，垂线为股，所截的地平面为句。合并各质重以乘以重心的句，与各质重分别乘以到轴的句并相加，其数正好相等。延长重心到轴的距离，即为摆心。重心与摆心到轴的距离相乘，即为绕轴半径的平方。从重心作直线，与到轴的距离成直角，也将各质点分为左右两边。而各点到重心的距离为弦，直线为股，所截的到轴的距离为句。各以质重乘以句，其在重心的两边也相等。合并各质重以乘以重心到轴距离的平方，又各以质重乘以弦的平方并相加，也与质阻率相等。重心到轴的距离与到摆心的距离相乘，即为绕重心的半径平方。合并各质重乘以之，与各质重分别乘以弦的平方并相加，其数也相等。以重心为心，轴心为界，作平面圆形。在圆上任意取一点为悬点，摆动情况相同。如果以摆心为界，其道理也相同，所以悬挂

译点与摆心，点可以互相替换。

译两个重物，一个挂在轮缘，一个挂在轴缘，轮缘处的重物下行，轴缘处的重物上行。轮与轴的半径之比，等于它们所加力之比。三个轮轴相连，或用绳索连接，或用齿轮啮合，两个重物分别挂在第一个轮缘和第三个轴缘上。轮轴所加力之比，等于三个轮轴半径连乘之比。两个不等重的重物挂在杆的两端，它们所加力之比，等于各自距离重心距离的反比。凡是圆体运动，既有平动，又有转动，这两种运动常常相互关联。将绳索一端系在圆体上，另一端绕过定滑轮，悬挂重物。如果是实心圆柱，以圆柱重量乘以重力加速度所得之积为分子，以三倍悬挂重量加上圆柱重量所得之积为分母，相除即得平动所加的力。以悬挂重量乘以圆柱直径再乘以重力加速度所得之积为分子，以三倍悬挂重量加圆柱重量所得之积乘以圆柱截面积八分之一所得之积为分母，相除即得转动所加的力。如果圆柱是空心且极薄的，以圆柱重量乘以重力加速度所得之积为分子，两倍悬挂重量加上圆柱重量所得之积为分母，相除以得平动所加的力。以两倍悬挂重量乘以重力加速度所得之积为分子，两倍悬挂重量加圆柱重量所得之积乘以圆柱半径所得之积为分母，相除以得转动所加的力。如果绳索一端系在圆体上，另一端固定在定点，那么平动所加的力，实心圆柱为重力加速度的三分之二，空心圆柱为二分之一，球体为七分之五。圆体沿斜面滚下，两面均为粗糙面，使圆体发生转动而非平动，则不使用重力加速度而使用平动所加的力，其比例也与上述不同。两个重物挂在定滑轮上，使重物下行的力等于使轻物上行的力。如果挂在两个滑轮上，一个定滑轮一个动滑轮，动滑轮的力是定滑轮的二分之一，因为速度减半的缘故。如果挂在连滑轮上，一个定滑轮多个动滑轮，第一个动滑轮的力是定滑轮的二分之一，第二个动滑轮是四分之一，第三个动滑轮是八分之一。既然知道了各种机械所加的力，用和分法推导，就可以知道各种机械的运动了。

凡是两个物体相切相磨，都能产生表面阻力，使运动速度逐渐减小，如果牵引力与表面阻力相等，物体的运动就保持匀速。车在石路上行驶的牵引力，小的为物体重量的千分之十六，大的为二千分之三十九，路面极不平整处达到千分之二十四，火石路为千分之六十四，铁路的牵引力或是物体重量的二百四十分之一，或是三百分之一，平石路为七十分之一，碎石路为十五分之一。如果车在斜面上行驶，所加的牵引力以斜面高度为分子，斜面长度为分母。假设斜面长二丈，最高一尺，那么比平面的牵引力增加了物体重量的二十分之一。陆地上无论速度大小，阻力总是相同；水面上则速度平方逐渐增大，阻力也逐渐增大。所以车无论是五小时行十里，还是一小时行十里，牵引力都相同，而船一小时行十里，比五小时行十里，牵引力应当增加二十五倍。但是每小时十里以上，阻力增加率很小，因为船速很快而高出水面。产生动力的有六种：叫定质重，叫流质重，叫定质弹力，叫流质动力，叫流质压力，叫人畜能力，都是以力乘以路程作为有效功。定质重的动力，斜面与垂直面不同。假设自行车路高一百尺，长四千尺，空车一千斤，用重车四千斤下行的力牵引它上行，表面阻力为物体重量的二百分之一。方法是用重量差三千斤乘以高度一百尺，得三十万作为有效功。用二百除一千得五斤作为上行阻力，用二百除三千得十五斤作为下行阻力，两者相加乘以长度四千尺，得八万作为实际功。这是有效功比实际功弱四倍。用于垂直面，则用重量乘以路程，有效功即为实际功。流质重的动力，以水为例，其有效功与定质相同，而水中又有横向水流互相推荡，不能用来计算有效功。所以水冲击上半轮，有效功与实际功之比是五比四；水冲击下半轮，有效功与实际功之比是十比三。捕鸟鼠的巧妙机械，能产生瞬时动力；精巧钟表中的发条，能产生持续动力，都是弹力。发条运动时，阻力常有变化，所以用绕轴逐渐释放时所经过的微小路程乘以每秒中所加阻力的路程作为有效功。风的力量有两种，风枪用压力，风帆用动力，水气也有压力与动力。它们的动力大小之比，都如同速度立方大小之比。人畜的能力以静止时为最大，人力二十八斤又五分斤之四，马力一百四十斤。行走时力量必然减小，走到极速时力量就不能产生有效功。而一小时中极速的限度，人行六里，马行十二里。所以求人所产生的有效功，用一小时里的里数与六里相减，余数自乘，四倍五除为人力。求马所产生的有效功，用一小时里的里数与十二里相减，余数自乘为马力。各自用里数乘以它们作为所产生有效功。

车以匀速在平路上行驶，其力必然等于表面阻力。如果有障碍物如小石之类，而车体非常坚硬，障碍物与轮缘仅接触于一点，经过此点时车必然减速加力，则速度不减小。车过障碍物上行时，所加的力为重阻力；车行突然改变方向震动时

译施加的力即为震动阻力。计算方法是用轮半径去除障碍物的高度，得到第一个数；用轮半径的平方倍去除障碍物高度的平方，得到第二个数，用这两个数的差乘以水平速度的平方，即为震动阻力率；用重力加速度乘以障碍物的高度，即为重力阻力率。将这两种阻力率相加后乘以车重，就是车辆越过障碍物时所增加的力。如果障碍物的高度小于轮半径，那么水平速度的平方即为震动阻力率，轮半径乘以重力加速度即为重力阻力率。或者在车轴下方附上薄铁片，利用其弹性，使轮心逐渐偏离直线而不再震动，这样阻力可以减少一半。

译用物体撞击物体，被撞击物体产生的抵抗力是由两物相遇而产生的。因此，铁锤的力量大于纱球，铁墩产生的抵抗能量大于软枕。而锤子的动能消耗在墩子的抵抗力上，所经历的时间又有长短不同，时间越短，抵抗力必然越大，而物体性质越不易凹陷，时间也就越短。钢铁的弹性模量是九百万尺，如果用铁锤敲击铁墩，那么将锤高加上墩高乘以锤高，再用锤下落的速度乘以二作为被除数，以弹性模量为除数，被除数除以除数得一，再开平方，就是锤和墩共同凹陷的深度。锤高乘以弹性模量，再用锤下落的速度乘以二作为被除数，锤高加上墩高作为除数，被除数除以除数得一，再开平方就是铁墩的抵抗力。如果用锤子敲击钉子进入木头，那么力是均匀分布的，而钉子能移动，抵抗力必然较小。将钉长加上锤高乘以木头直径，再除以两倍的弹性模量，就是钉子进入木头的深度。锤高乘以平行系数，除以木头直径，再减去钉子进入木头的深度，就是锤子和钉子共同凹陷的深度。

流质重学记

顾观光

物体各有其质地，木石之类属于固体，风水之类属于流体。而流体又有轻重的区别，轻如风气，重如水液。它们的体积都受热而膨胀，受寒而收缩。但水的质地独特，在寒暑表四十度时为体积最小的极限，更冷反而体积增大，到三十二度时就结成冰了。结冰的时候，体积增大最快，所以瓶盆装水常常因为结冰而破裂。流体在容器中受地球引力的牵引，必然与地平线平行。地球旋转产生离心力，地心向下牵引产生向心力。这两种力又有合力，而水面必然垂直于合力，所以海面在赤道处比球形更弯曲，在两极处比球形更平坦。月亮经过的地方有引力，又与地球引力结合产生合力，必然使水面发生变化，这就是潮汐的道理。少量的水等同于平面，所以测量两地高低以水面为标准。如果两处流体相通，必然上升到同一平面。用方法激发它，能使水自下而上，能使水承载重物而上升。或者不用水而用风气，道理也是相同的。固体的抵抗力只在引力所加的方向上，流体的抵抗力处处相同。假设水在容器中，在四周开四个相等的小孔，用短柱塞住，使其可以进退。一个柱塞逐渐推进，其余的柱塞必然逐渐退出，它们的抵抗力之比等于小孔大小之比。去掉一个柱塞，容器必然向对边倾斜，因为一边没有抵抗力了。流体越深，抵抗力越大。一立方尺的水重六十二斤半，乘以体积就是水的抵抗力重量了。流体的抵抗力必然有重心，假设上下不等，正方体中装满水，重心必然靠近大方。让大方在下，则重心低而抵抗力大；大方在上，则重心高而抵抗力小。如果有两个容器同底同高，不论形状是方是斜是尖是直，底部的抵抗力都相同，侧面的抵抗力必然在重心之下。假设是平行四边形，则抵抗力心的高度为高度的三分之一；假设是两个等边三角形，角尖在上则为中垂线的四分之一，角尖在下则为中垂线的二分之一。凡是水闸在抵抗力心的位置，必然多加力量以阻挡水流。

固体被流体承载，重的必然变得轻，所以竹木入水必然上浮，铁入水银也上浮，因为等体积的流体重于固体。固体的重量是向下的力，流体的重量是向上的力，两种力在同一垂直线上相等，那么物体必然静止。由此可以得到体积相等、轻重不等的比率，比如金子重三十五分，入水后重三十一分，减少的四分，就等于金子体积的水重，由此知道水与金的重量比率为一比八七五。如果不符合相等的道理，那么物体在水中或升或降，使物体升降的力，就是等体积的水重与物体重量的比较。人入水中，身体重量小于等体积的水重，又胸中空处能大能小，头昂起则胸部变大，两种重量的比较更大，而且双手入水必然不会沉没。如果手出水，则身体重量大于等体积的水重，而身体必然下沉，沉到水底，抵抗力越大，身体的体积越小，而不能再次上浮了。人从桅杆顶端坠落入水必然很深，因为身体重量大于等体积的水重。死后身体膨胀变大而再次上浮，因为身体重量小于等体积的水重。气球上升也是同样的道理，其上升的力，就是气球重量与等体积风气重量的比较。风气又有冷热之分，而热风气轻于冷风气，又热则体积必然增大，而等体积的冷风气更重，两种重量的比较，就是使热风气上升的力。在聚集火的地方开烟囱，让烟迅速向上排出，就是这个道理。烟囱高则热风气向上直冲，常常高于顶部数尺之外，风不能抵挡它；低则热风气也低，或者不能抵挡外面的风而回流到室内。

凡是空处都有风气，风气膨胀力向四面散开，直到遇到物体阻挡而停止。假设冷热相同，则膨胀力大小与空体大小成反比例。如果有长圆柱，一端通一端塞，将通的一端入水，则柱中空体被水逼迫，逐渐向下逐渐变小，而使柱向下行的力必然逐渐加大。这就是风气的膨胀力，因为膨胀力与抵抗力始终相等。水热到寒暑表二百十二度，其膨胀力与风气相等，每方一尺抵抗力二千一

译一百二十斤。如果更加加热，膨胀的力量就会极大，即使是极其坚硬的东西也无法抵挡它。

译地球外部的空气，层层包裹着地球，靠近地面的地方最厚，逐渐升高就逐渐变薄，到了一百五十里高就没有空气了。用一根长三十二寸的玻璃管，内径极小，不过八寸的十分之一，一端开口一端封闭，装满水银，倒立在水银槽中，那么管中的水银一定会下降，最低到二十八寸，最高到三十一寸。它不能再下降，是因为空气的托力，而空气的厚薄，时刻不等，所以升降也时刻不等。海面上的水银高二十九寸九分二厘二毫，在高山上一定会下降，因为空气稀薄而轻；在深谷中一定会上升，因为空气浓厚而重。大概每升高九百尺，水银就下降一寸，这又是测量高度的简便方法了。水在容器中，有时倒悬而水不流出，是因为瓶口有空气的托力。虹吸管两端倒悬的水都想要向下流，在顶点有分开的意思，但顶点没有空隙，形势上不能分开，两边一短一长，必然让短的那边逆流而上，所以没有空隙是因为空气托着它。如果顶点高过三十二尺就有空隙了，最大的虹吸管高度不能超过三十二尺。

空气的冷热，各处不同。赤道之下，日光直射而热，人必然多；斜射则热少，越斜则越少。所以一年热气的平均数，赤道之下寒暑表八十四度，两极之下仅有四度。那么赤道下的空气，比其他地方热而轻，所以必然上升；而其下方南北的冷空气流入，又受热上升；而其下方的冷空气又流入，像水流一样，永远不断，于是产生了上下两股气流。上面从赤道流向两极，下面从两极流向赤道，称之为风。空气总是随着地球运行，地球向右旋转的趋势，靠近赤道的较快，靠近两极的较慢。所以上面气流快而下面气流慢，等到降到地面，慢的与地球旋转方向相反，而北半球为东北风，南半球为东南风快的与地球旋转方向相同，而北半球为西南风，南半球为西北风它们的趋势正好相反。赤道下有飓风，也是因为这个原因，上下方向相对，于是形成了回旋的风。摆用流体和固体是一样的，其运动的比率同于长度平方根的比率。水从容器中出口，其速度的比率同于出口离水面距离平方根的比率。如果在容器旁开两个口，一个离水面一尺，一个离水面一百尺，那么一百尺的速度必然是一尺速度的十倍。如果有少于这个比例的，是因为阻力的缘故。口在容器底部，则水向下直行；口在容器旁边，则水沿抛物线运动。如果设为直径一寸的圆形口，那么靠近口处直径一寸，逐渐远离逐渐变小，小到八寸的五分，称之为截面。这个面距离口有一定的度数，超过这个度数形状就不变了。所以测量流体出口多少，不用口的面积，而用截面积。

船在水中行驶，阻力的比率同于速度平方的比率，而阻力又有大小的不同，完全在水中则大，一半在水中则小，行驶在宽阔处则大，行驶在狭窄处则小。如果在狭窄处，一小时行驶十余里，船行驶越快，出水越高，其阻力必然大大减少。水在河道中流动，上面比下面快，中间比两边快，是因为底部和两岸有表面阻力，而且多有弯曲的地方。弯曲处凹边的流速比凸边快，因为各点有离心力，能使水积聚在凹边。上下流速不同，方向或许不同，甚至有对流的，比如海口潮水来时，咸水从下面进入，淡水从上面流出，是因为重的在下而轻的在上。波浪是略高的水，在水面行驶，与水流动的方向不同，就像桅杆上的旗帜因为风而生，绮丽的波浪也与旗帜行驶的方向不同，所以水浮在水面，波浪虽然冲击但水并不流动。波浪常常因为风而生，水面宽二三百尺，深三四尺，波浪高不过三寸；深二三十尺，波浪高约尺半，所以可以用波浪的高低来测量水的深浅。潮汐的高低，由于日月引力，朔望时用其合力，两弦时用其差力，而两种引力的大小，时刻不等，因为日月距离地球时刻不等，而引力与距离地球的立方成反比。日力大小从十九到二十一，月力大小从四十三到五十九，所以潮的最高与最低，如同两大数之和与两小数之差，即如同十与三之比。各地早晚不同，应当考察的有五件事：一是月过中差，潮涨在月亮过中天后若干时刻，日日不同，大概应当以朔望为准；二是半月差，月亮过中天又因为距离太阳而产生差异，应当在日月赤道纬度及地心差为中数时测量，这个差异半月重复一次，所以名叫半月差；三是潮距朔望差，潮的大汛不在朔望，而在朔望后的第三次潮上，潮距月亮过中天的平均数，就是潮距朔望；四是日差，一天两次潮高低不等，或者早潮高，或者晚潮高，应当在各地测量；五是日月地心差不同，赤道纬度不同，潮的高低时刻也随之变化。测量久了，才知道变化的都是常态。有的海港合而复分，水道屡次变化，有时形成环绕的流动，水道变化则迟速也变化，这又应当同时测量水道了。

天重学记

顾观光

太阳居中而不动，地球

译地球环绕太阳运行。它绕自身中心旋转，一天转一圈，这是产生昼夜的原因。它沿着既定轨道运行，一年转一圈，这是产生寒暑的原因。旋转的趋势依据赤道，运行的趋势依据黄道。两道交角现在为二十三度二十八分，交点每年向西移动五十秒一。因此，地球沿黄道运行一周需要三百六十五日五小时四十八分四十九秒七，再加上二十分十九秒九之后才回到恒星原来的位置，这就是岁差。黄道是椭圆形的，而太阳并不在椭圆的中心，两个中心的距离差为0.0167836。近日点每年向东移动十一秒八。因此，地球绕太阳运行一周需要三百六十五日六小时九分九秒六，再加上四分三十九秒七之后才回到近日点。如果半个周期的角度小于累积的角度，那么实际运行的速度就会变慢；如果最远点半个周期的角度大于累积的角度，那么实际运行的速度就会变快。因此，太阳距离地球的平方与运行速率成反比，太阳距离地球的面积与时间成正比。在平均距离时，太阳的视直径为三十二分三秒三，距离高时视直径变小，距离低时视直径变大，大小的比例与太阳距离地球的反比相同。黄道是椭圆形的，而地球的形状也是椭圆形的，长径穿过赤道，短径穿过两极。两径的比例如同二百九十九比二百九十八。地球的旋转在靠近赤道时逐渐加快，而向下的引力减小；在靠近两极时逐渐减慢，而向下的引力增加。因此，物体在两极比在赤道重一百九十四分之一，各纬度增加重量的比例与纬度正弦的平方比例相同。地球直径与太阳直径的比例如同1比109.15，地球直径与黄道直径的比例如同1比23984。因此，太阳的地平视差为八秒六，各纬度视差的比例与视距天顶正弦的比例相同。天极环绕黄极二万五千八百六十八年转一圈，受到其他星辰的摄动，导致黄赤大距古代大现在小，大约每百年相差四十八秒，其最大差值为一度二十一分。天极又受到月亮的摄动，形成小椭圆的运行，长径十八秒五，短径十三秒七四每十九年转一圈。长径始终指向黄极，因此大距又有细微的差别。地球以二十四小时旋转一周，而考察钟表也有细微的差别，一是椭圆迟疾差，靠近近日点时运行缓慢而自转有减分，靠近远日点时运行快速而自转有加分；二是黄赤升度差，靠近二分点时，黄道一度相当于赤道不足一度，因此自转有加分；靠近二至点时，黄道一度相当于赤道一度有余，因此自转有减分。将这两种差值加减到平太阳时上，就是真太阳时。光传播的速度，一秒大约五十五万五千里，而地球沿黄道运行一秒仅五十五里，因此光速与地速的比例如同半径与二十秒五的正切，这就是光行差。靠近地球始终有大气层，能使日月五星的升起和落下比地平视差高出三十三分，地平以上逐渐变小，而且这种差值随时随地不同，这必须通过实际测量来验证，不是算术所能控制的。

译月亮环绕地球，同时又环绕太阳，它绕自身中心旋转与环绕地球公转，都需要二十七日七小时四十三分十一秒点五才能完成一周，因此月亮朝向地球的一面自古以来从未改变。月亮运行的白道与黄道斜交，夹角为五度八分四十八秒，交点在黄道上退行，每天退行三分十秒点六四，因此月亮在南北方向上运行二十七日点二一二一完成一周，这就是交点周期。白道是椭圆形的，而地球并不恰好在椭圆的中心，两个中心距离的最大值与最小值之比如同三比二，其中数为零点零五四八四四二，拱点每天顺行六分四十一秒点八，因此月亮运行速度的快慢变化在二十七日点五五四五完成一周，这就是拱点周期。月亮在椭圆轨道上运行，每天运行十三度点一七六四，也以面积为平行，角度为实行的方式，与太阳具有相同的中距。月亮的视直径为三十一分七秒，其大小之比也是月亮距离地球的反比。月亮与地球每天运行的角度差为十二度点一九零七五，累积二十九日十二小时四十四分二秒点八七后再次重合，这就是一月。地球直径与月亮直径之比如同一点零二七二九比一，地球直径与白道直径之比如同一点五九九六四三五比一，因此月亮的地平视差其中数为五十七分六秒。太阳和月亮的半径之和加上月亮的地平视差，其最大值为一度三十四分二十七秒，如果太阳和月亮两中心的距离小于这个数值，那么地面上必然有地方能看到食象，因此日食限距离交点为十六度五十八分。方法是从太阳本体的两侧各作与月亮本体相切的延长线，形成尖圆，其尖端或者越过地球或者不及地球，如果以两个交点互相切月亮并延长至地球边界内，就会产生淡影，人在淡影中则看到食象，在尖圆中则看到食既。月亮与内虚的两个中心距离等于月亮外虚的两个半径之和，即月亮进入外虚的时候；等于月亮内虚的两个半径之和，即月亮进入内虚的时候，因此月食限距离交点为十一度二十一分。方法是从太阳本体的两侧各作与地球相切的延长线，形成尖圆，这就是内虚。如果以两个交点互相切地球并延长越过月亮本体，这就是外虚。日光透过大气层则折射向下，其与外虚相交的角度即为两倍的地平大气差，其与内虚相交的角度即为两倍的大气差与太阳视直径的差值。月亮在外虚时为昏黄色，进入内虚则浅者为蓝绿色，深者为红紫色。凡是引力的大小与距离的平方成反比例。月亮距离地心约为地球半径的六十倍，因此地球吸引月亮的力为地面引力的三千六百分之一。太阳的引力远大于地球，而太阳与地球的距离大于月亮与地球的距离约四百倍，因此太阳吸引月亮的力仅为地球吸引月亮力的一百七十九分之一。白道的长径与地球每天运行的角度差为五十二分二十七秒点二五，累积二百五日点八九四后再次重合。在这一次重合中，两个中心距离有增减，长径也有进退，而增减进退的差值在拱点处较大，在卑点处较小，大小之比如同二十八比二十五。在朔望前后的两个象限，切向力总是使速率增加，则长径变长；在朔望后的两个象限，切向力总是使速率减小，则长径变短。又在朔望左右各五十四度四十四分范围内，引力向外，使曲率略小；在两弦前后各三十五度十六分范围内，引力向内，使曲率略大。其最大差值为一度四分，一个月后重复，称为二均差。月亮受到太阳的引力，在朔时距离太阳近而略大，在望时距离太阳远而略小，因此太阳中心斜交地月连线，使月亮在椭圆运行中有增减，其最大差值为二分，称为月角差。地球在椭圆轨道上运行，在拱点后距离太阳渐近，则太阳吸引月亮的力渐大；在卑点后距离太阳渐远，则太阳吸引月亮的力渐小。其最大差值为十一分，一年后重复，称为年差。在两千年间，地球轨道的两个中心距离恒变小，大约每百年差二万五千分之一，则年差也微有不同，而月亮的平均速度恒变大，大约每百年差十一秒点九，其一个周期时间很长，未能通过实测验证。两个物体相距必有重心，其距离两个物体中心的远近之比如同两个物体重量之比。连接太阳和地球成一直线，其公共重心在太阳本体中；连接月亮和地球成一直线，其公共重心在地球中。因此月亮和地球的公共重心绕太阳和地球的公共重心运行，从人的视角看似乎月亮绕地球，而地球又绕太阳。然而因此太阳的经度也有微小差值，一个月后重复，因此命名为月差，其最大者不能超过八秒点六，八秒点六是太阳的地平视差。白极环绕黄极十八年点六完成一周，而赤道既在黄道上退行，又在白道上退行，则赤极所行方向恒正交于赤白两极距离，因此不成正圆。而是次圆，摆动其速率也时大时小。两道所产生的两个差值之比，如同二比五。

五星环绕太阳运行，轨道都是椭圆，与地球具有相同的两个中心距离，各自以长半径为准。水星零点二零五五一四九，金星零点零零六八六零七，火星零点零九三三零七零，木星零点四八一六二一，土星零点五六一五零五。距离太阳的中数，以地球轨道半径为准。水星零点三八七零九八一，金星零点七二三三三一六，火星一点五二三六九二三，木星五点二零二七七六零，土星

译九五三八七八六一。地球与五星绕日周期的平方之比，各自等于它们与太阳距离的立方之比。由此推算出五星的恒星周期：水星为八十七日九六九二五八，金星为二百二十四日七００七八七，火星为六百八十六日九七九六四六，木星为四千三百三十二日五八四八二一，土 star 为一万七百五十九日二一九八一七。它们轨道与黄道相交的角度：水星为七度九秒一，金星为三度二十三分二十八秒五，火星为一度五十一分六秒二，木星为一度十八分五十一秒三，土星为二度二十九分三十五秒七。由于它们的交点与拱点运行都非常缓慢，因此将两个交点连起来视为平分黄道的恒定线。外行星受到内行星的摄动。在内行星轨道上选取距离外行星等于日距外行星的两点，内行星从等距点运行到交点时，交点退行；随后从交点运行到等距点时，交点进动。内行星受到外行星的摄动。若两轨道间距小于内行星轨道距日的距离，在内行星轨道上选取距离太阳与外行星相等的两点，其交点的进退与外行星摄动内行星的情况相同。若两轨道间距大于内行星轨道距日的距离，当两星位于交点两侧时，交点退行；随后位于交点同侧时，交点进动。如果两星中有一星正好位于交点，则交点不动。两轨道逐渐靠近且摄力又将其拉近，两轨道逐渐远离且摄力又将其推远，则交角变大。两轨道逐渐靠近但摄力反而将其推远，两轨道逐渐远离但摄力反而将其拉近，则交角变小。被拉近时交点退行，被推远时交点进动，因此交角的大小与交点的进退并不相应。法向力能改变曲率，向内则曲率增加，向外则曲率减小。切向力能改变速率，顺向则速率增加，逆向则速率减小。因此，当法向力向内且行星靠近拱点时，长轴退行；靠近近地点时，长轴进动。从拱点到近地点时，两心差增加；从近地点到拱点时，两心差减小。法向力向外时情况相反，切向力顺向且行星靠近拱点时两心差减小，靠近近地点时两心差增加。从拱点到近地点时长轴退行，从近地点到拱点时长轴进动。切向力逆向时情况相反。因此，两心差与拱点运动互为消长，而切向力与法向力也互为消长。所以五星的椭圆周期古今相差不大。人们观察五星，见其时而顺行时而逆行，时而留止，似乎没有规律，这是因为地球不在行星轨道的中心，且又绕日运行所致。如果从太阳观察，则只有迟疾而无留退，因此求地心经纬度应当以日心经纬度为基础。首先利用弧三角形，以直角为一角，行星轨道与黄道交角为一角，最卑点与交点两经度差为两角所夹之弧，求得对直角的弧，用以加减星距最卑度，即得星距交度。仍以直角为一角，行星轨道与黄道交角为一角星距交度为两角所夹之弧求得对交角的弧，即日心纬度。又求得对直角的弧，用以加减交点距春分度，即日心经度。其次利用平三角形，以直角为一角，日心纬度为一角，星距日长为对直角之边，求得纬度角，该角的对边为星距黄道。又求得两角所挟之边为星对边。再以星对边为一边，地距日长为一边，星地两日心经度差为两边所挟之角，求得对角之边为日对边。再求得地距日长的对角，加上两日心经度差，再加上地球的日心经度，即得星的地心经度。又以日对边与星距黄道长为夹直角之两边，求星距黄道长的对角，即地心纬度。木星与土星的互相摄动，两星一次会合为七千二百五十三日四积。到三次会合时，土星运行两周，木星运行五周多八度六分。用三百六十度去除，再乘以一次会合的天数，得三十二万二千三百七十三日，约合八百八十三年。然而其误差因积累日久而变大，所以九百十八年为一周期。在此周期中，一星速率增加而周期变短，则另一星速率减小而周期变长。其最大误差，土星为四十九分，木星为二十一分。两星经度之比如同两星体积各乘长轴平方的根之反比。金星的摄动来自地球。一次会合为五百八十三日九二，积累到五次会合，则地球运行八周，金星运行十三周少二度二十四分。用三百六十度去除，再乘以一次会合天数，得八万七千五百八十八日，约合二百四十年为一周期。在此周期中，地球速率减小，则日地平均距离变大；地球速率增加，则日地平均距离变小。其差异极微，然而因此月球的速率也有增减。其最大误差为二十三秒。金星的摄动力，又有直接施加于月球者。地球运转三终，则金星运转五终，多二十七日十三小时七分三十五秒六。比月球运转一终少十分五十六秒七，约为三千六百二十分之一个月球运转终。凡二百七十三年为一周期。其最大误差为二十七秒。这又是在日、地两摄动力之外了。五星的地半径差，均小于月球，测量非常困难。而连接日、星、地构成三角形，则星距日与地距日之比，如同星距日度正弦与地道半径差正弦之比。

译这相差一年而完成一周，与光行差相似。如果把光行星与地道差作为夹直角的两边，而求地道差的对角，就是星所在的度数。

译彗星运行的规律与五大行星相同，但其椭圆轨道的长轴非常长，两个焦点之间的距离非常大，因此有的彗星几十年才出现一次，其差异很大，无法完全知道它们的根本数值。例如，因格彗星的半长轴为22164，两焦点间距为0.847436，与黄道面的交角为13度7分34秒，大约每3.11年绕行一周。迪未谷彗星的半长轴为39946，两焦点间距为0.617256，与黄道面的交角为2度54分45秒，大约每5.167年绕行一周。勃陆孙彗星的半长轴为315021，两焦点间距为0.793629，与黄道面的交角为30度55分7秒，大约每5.216年绕行一周。比乙拉彗星的半长轴为350182，两焦点间距为0.755471，与黄道面的交角为12度34分14秒，大约每6.202年绕行一周。飞彗星的半长轴为381179，两焦点间距为0.555962，与黄道面的交角为11度22分31秒，大约每7.161年绕行一周。达唳彗星的半长轴为632066，两焦点间距为0.75672，与黄道面的交角为31度2分14秒，大约每15.325年绕行一周。好里彗星的半长轴为1798796，两焦点间距为0.967391，与黄道面的交角为17度45分5秒且逆行，大约每76.106年绕行一周。还有乾隆三十五年的彗星，两焦点间距为0.7858，与黄道面的交角为1度34分，大约每5.5年绕行一周。道光二十三年的彗星，近日点距离太阳0.00558，与黄道面的交角为35度36分29秒且逆行，大约每21.875年绕行一周。还有顺治十八年的彗星，大约每129年绕行一周。嘉靖三十五年的彗星，大约每292年绕行一周。康熙十九年的彗星，大约每575年绕行一周。考察古代，有应当出现却没有出现的，一定是因为靠近太阳而在白天出现；有虽然出现但时间提前或推迟一两年的，那是受到其他星体引力的摄动所致。从乾隆五十一年到道光十八年，因格彗星已经绕行十五周，每周减少百分之十一的天数。从洪武十一年到道光十五年，好里彗星已经绕行六周，每周增加千分之四百四十五的年数。增减的原因，未能详细得知。彗星的头部像星星，气体逐渐靠近。中心逐渐变厚，尾巴总是背向太阳。太空中稀薄的气体，所以借助日光而明亮。有时隔着彗星，能看到恒星，由此知道它是稀薄的气体而非实体。

《代微积拾级》序

李善兰

几何学，自从欧几里得到现在，专门从事这一领域的名家，代代都有。追溯到古代，希腊人最用心研究这门学问。那时认为圆锥等曲线的原理最为精深。阿基米德之后，这门学问日益进步。到了法国，笛卡尔设立纵横两个坐标轴，推导曲线内各点距离坐标轴的远近，自从有了这种方法，所有的曲线没有不可推导的。所以曲线的数量多到无穷，而以直线为界限，一律用处理曲线的方法来驾驭它们。既然得到了各种曲线，依据代数的原理推导它们，可以得到各种平面、各种曲面、各种立体。那些已经推导确定的曲线，略举其名称如下：圆、椭圆、双曲线、半立方抛物线、抛物线、摆线、蚌线、余摆线、和音次摆线、弦切诸指数、对数、阿基米德螺线、对数螺线、等角螺线、交互螺线、两端悬挂的卡西尼卵形线、平行移动而形成的圆锥曲线，与其他曲线统一归为一类，没有少许差异。这就是代数几何学。自从有了代数几何，微分学的作用更加巨大。微分学不是一时一国一人所创立的，其源流深远。数学中有已知数求未知数、代数中无数求数，然而所推导的都是常数。微分能够推导一切变量。创立方法的不止一家，道理相同而方法不同。追溯本源，是德国人。他们界定说：将小到无穷的点积累到无穷多，推导其几何，称为推导无穷小点法。质疑者说：无穷小的点即使积累到无穷多，也不能构成几何。解答者说：只要将无穷小替换为任意小，就有可推导的积了。所以他们的说法虽然看似难以理解，但其道理并非不合。而英国牛顿创立首末比例法，不使用无穷小的长度，而是使用有穷最小长度的比例，来推导其逐渐减损的极限。其几何变大则为末限，变小则为首限。这种方法便于几何而不便于代数。后来创立流数术，弃用前法，而认为万物都在变化，其变化都有速率。凡是几何都可以用直线显示，所以速率的增减可以用直线的界限显示。这种说法学者都尊崇。嘉庆末年，法国特朗勃创立极限法，自称不过是使用牛顿的首末比例罢了。而兰顿另外创新方法，凡是微分都凭借代数，不说任意接近极限，而说已经得到极限，称为剩理。拉格朗日也创立多种方法，依附戴老（狄德罗）的道理，大致与兰顿相同。总括来说，微分不过是求变化几何最小变化率的比较罢了。学派虽然众多，道理实际上是一致的。牛顿到来之前，原本同时各人精心思考创立方法，未曾互相谋划商量。牛顿在元上加一点，以显示流数，如申为甲的流数即是如此。用来推算，觉得不便，所以采用莱布尼茨的符号来显示它。积分者，是合并无数微分的积，也采用莱布尼茨的符号来显示它。微分积分，

译这是中原地区算学著作中所没有的。然而观察当代的天算学家，如董方立、项梅侣、徐君青、戴鄂士、顾尚之以及李秋纫所著的各种书籍，其中的道理有非常接近微分的，因为不使用代数式，所以有时论述非常繁杂，推导非常困难。现在特意与李君一起翻译这本书，作为微分积分入门的辅助。将来中国算学日益进步，未必不是这本书奠定了坚实的基础。

译《代微积拾级》序

伟烈亚力

中法中的四元术，就是西法中的代数。四元术中的各种元、各种乘方、各种互乘积，四元术用位次来区分，代数用符号来区分，方法虽然不同，道理却没有差异。我朝康熙年间，西方来的奈端（牛顿）等人，又创立了微分、积分两种方法，其方法也借助于代数，其道理实际上揭示了千古未有的奇妙奥秘。代数以甲乙丙丁等元代表已知数，以天地人物等元代表未知数；微分、积分以甲乙丙丁等元代表常数，以天地人物等元代表变数。其道理的大致要点是，凡是线、面、体都假设为由小逐渐变大，一刹那间所增加的积，就是微分；其全部的积就是积分。所以积分逐层分解为无数微分，合并无数微分仍然是积分。其方法的大致要点，总是假设纵横两个方向，用“天”代表横，用“地”代表纵；用“d天”代表横的微分，用“d地”代表纵的微分。凡是代数式都用方法求出其微系数，系在“d天”或“d地”的左边，作为一切面体的微分。所以一切面体的微分与纵横的微分都有比例，而反复求取微系数，可以得到面体级数曲线的各种异点，这叫做微分术。既然有了面体的微分，就可以反过来求取它的积分；而最神妙的是，凡是同类的问题都有一个公式，而每个题目又各自有一个本式。公式中常常兼有天地，或者兼有d天、d地，只要求得本式中“天”与“d天”的相同数值，或者“地”与“d地”的相同数值，代入其中，再求取它的积分，就能得到本题的全积，这叫做积分术。由此，一切曲线所包围的面，曲面所包围的体，过去所说的没有方法计算的，现在都有方法了；一切求弧长，由弧长求其他量，真数求对数，对数求真数，过去视为极其困难的，现在都变得极其容易。唉！算术到了这个地步，可以说是登峰造极了，没有什么可以再加的了。罗君密士，是合众国（美国）的天算名家，将代数、微分、积分三种方法合为一书，分条设题，清晰如眉毛排列，对后学的恩惠很大。伟烈君亚力听说后认为很好，急忙购买寻求这本书，请我共同翻译刊行于中国。伟烈君的功劳，难道在罗君之下吗？这本书先讲代数，其次讲微分，再次讲积分，由易到难，像台阶一样逐渐升高。翻译完成后，就命名为《代微积拾级》。时间是《几何原本》刊行之后的一年。

《谈天》序

李善兰

西方谈论天文学的人说：“恒星和太阳不动，地球和五大行星都绕着太阳运行。所以一年，是地球绕太阳一周；一天一夜，是地球自转一周。”议论的人说：“认为天是静止的，地是运动的，动静颠倒，违背经典正道，不可相信。”西方人又说：“地球和五大行星以及月亮的轨道都是椭圆，而且经历的时间相等，那么所经过的面积也相等。”议论的人说：“这是假象。用本轮均轮推算而符合，就假设它的形象是大轮均轮；用椭圆面积推算而符合，就假设它的形象是椭圆面积。其实不过是假借来推算历法，并不是真有这种形象。”我认为议论的人没有精心考察，而拘泥于经典义理，妄加议论，非常没有意义。古今谈论天文学的人，没有比孟子更好的了。孟子所说的“求其故”这一句话，西方人善于探求事物原因。旧法中火星、木星、土星都有岁轮，而金星、水星则有伏见轮，同为行星，为什么运行方法不同？哥白尼探求其原因，才知道地球和五大行星都绕太阳运行，火星、木星、土星的岁轮是因为地球绕太阳运行而产生的，金星、水星的伏见轮则是它们本身的轨道。由此五大行星的运行都归于一种规律。然而它们绕太阳运行并非平行，古人加一个本轮来推算，推算月亮甚至加到三轮、四轮，然而仍然不能完全符合。开普勒探求其原因，才知道五大行星和月亮的轨道都是椭圆，它们的运行方法中面积与时间恒有比例。然而都只知道它们应当如此，而不知道它们为什么如此。牛顿探求其原因，则认为这都是力学原理。凡是两个球体在天空中环绕运行，必定共同绕着它们的重心运行，而太阳的质量非常大，五大行星和地球都非常微小，它们的重心与太阳中心非常接近，所以绕重心运行就是绕太阳运行。凡是物体在天空中直线运行，有其他力量从旁边施加，那么物体就绕着力量的中心运行，而物体直线运行的速度与旁边施加力量的大小适合正圆率，那么运行的轨道就是正圆；稍微不适合就总是椭圆，只是经历时间相等，所经过的面积也相等，与正圆相同。现在地球和五大行星本来在天空中直线运行，太阳的吸引力施加于它们，它们的运行与力量不能适合正圆，所以都运行在椭圆轨道上。由此定论如山，不可动摇。又用距离太阳的立方与周期平方的比例，以及恒星的光行差、地球轨道半径视差来证明，地球绕太阳运行更加可信；用煤矿坑中坠落的石头来证明，地球的自转更加可信；用彗星的轨道、双星的相互环绕，大多符合椭圆来证明，地球和五大行星以及太阳运行在椭圆轨道上更加可信。我与伟烈君所翻译的《谈天》一书，都主张地动及椭圆说。这两个原因如果不明白，那么这本书就不能读懂。所以先详细论述它们。

《谈天》序

伟烈亚力

天文学，其渊源深远了。太古时代，已经知道耕种收获，常常观察天星来确定农

译当时，靠近赤道的各个游牧国家，气候炎热，人们多在夜间放羊，借此观察天象。其间曾向上考证那些有文字记载的国家，自从有了书契，就开始记录天文。如《旧约》中多次提及天星，希腊古史也是如此，而中国《尧典》也提到中星，历法家据此确定了岁差。此后积累观测、连续推算，到汉代太初历确立三统历法并建立七政统母等数值体系，从此一代比一代精密。到了郭守敬制定《授时历》的方法，已经完美完备，只是观测仪器不够精密，所得数据不够严密，这是它的缺陷。中国谈论天道的有三家：叫浑天说、盖天说、宣夜说。然而它们推算历法只谈数值，不谈天象，而西方国家从古至今，总是依据天象来建立法则。从前多禄某（托勒密）说地球居于中心，外面包裹着诸天，层层硬壳，他的学生又创立了本轮、均轮等天象模型，法则极其繁杂。后代观测天象的仪器更加精密，所得数据更加严密，往往与多禄某的说法不符。哥白尼于是创立新法，说太阳居于中心，地球和其他行星围绕它运行。第谷虽然讥讽他不对，但常常得到确凿证据，很多人相信他。到开普勒推导出三大定律，哥白尼的说法才成为定论。然而开普勒只说明了现象如此，到了牛顿进一步推求其所以然，他的学说更加不可动摇。地球很大，统辖四大洲，计算一下能走遍其表面的人，没有几个。然而地球只是行星之一，而且不是最大的。计算围绕太阳运行的小行星有五十多个，大行星有八个，其中最大的体积能容纳一千四百个地球，其次的能容纳九百个。假设把五百个地球平排，土星的光环能覆盖它们。而各行星又有卫星围绕，总计卫星共有二十多个。假设把所有行星及卫星的体积加起来，不及太阳体积的五百分之一。太阳的体积能容纳六千万个月亮，可以说是大到极致了。而恒星在天空中看起来也不过只是一个点。假设人能像最快的子弹一样在空中飞行，也需要四百万年才能到达最近的恒星。所以肉眼能看到的恒星，最小的可与太阳相比，大的或许超过太阳数十万倍。恒星多到无法计数，秋冬晴朗的夜晚，抬头仰望九霄，肉眼能看到的约有三千颗。假设一颗恒星为一天，各自有行星围绕，其行星数量不会少于十五万。恒星又有双星以及三合、四合等星，那么行星的数量应当不止于此。然而这仅仅讨论肉眼能看到的恒星。古人谈论银河，都说那是气，近代望远镜出现，才知道那是无数恒星。望远镜视野内已经观测到的星星，比肉眼在天空中能看到的多两万倍。银河一带如果都像望远镜所测的一个视野那样，其数量应当有两千零十九万一千颗。假设一颗恒星为一天，各自有五十颗行星围绕，那么行星的数量应当有十亿零九百五十五万颗。推测它们必定都有动植物，如同我们的地球。伟大的造物主，其力量之神奇，能力之巨大，真是不可思议。而用更精密的望远镜观测，知道银河也有边界，并非布满虚空。而其边界外另有无数星云，推测银河也是一个星云，无数星云实际上就是无数银河。我所居住的地球，在本银河中距离近，所以觉得它大；在别的星云外距离远，所以觉得它小。星云已经测得的有三千多个，推测其中必定有比我们的银河更大的。起初人们怀疑星云是尚未形成恒星的物质，直到罗斯伯的大望远镜制成，才知道也是无数小恒星聚集而成，而又另外看到无数星云，则也只觉得像气，不能分辨为恒星的聚集。假设将来望远镜更精密，现在看到的都能分辨，恐怕还会看到无数遥远的星云，仍然不能分辨。这样层层推演，不可思议。运动法则也是如此，月亮围绕行星，行星围绕太阳。近代有人说太阳率领各行星再围绕其他恒星，与双星相同，那么怎么知道诸双星不再共同围绕一颗恒星，而所围绕的恒星不再围绕别的恒星呢？这样层层推演，也不可思议。伟大的造物主，神妙到如此地步，浩荡广阔，人们无法用言语形容。

译割圆八缀术序

左潜

自从泰西杜德美创立割圆九术，通过多次乘除，贯通了方圆之间的比率。我朝明氏、董氏各自创立一家学说，为之解说。而杜氏的理论推阐详尽无遗，然而八种相互求取的方法尚无通用的术数，不足以穷尽一个圆的变化。这并不是明氏、董氏的智力不足，不能根据已有的方法创立新的方法，以穷尽其变化。他们能够穷尽杜氏的理论，得益于借根方；他们不能推广杜氏的方法，也受限于借根方。借根方就是天元一的变法，而借根方不能建立算式，终究不如天元一那样巧妙多变、难以测度。这本书以杜氏为祖，以明氏为宗，又旁参董氏的方法，八种相互求取各建立一式。根据算式创立方法，不费审察顾盼的辛劳；根据方法代入计算，不费寻求的困苦。以前不能建立算法的，现在都能用方法驾驭。即使有不能立法布算的，但其算式终究存在，那么算式就能补救方法的穷尽，而度量圆的所有方法一以贯之，没有遗漏的方法了。推究其建立算式的缘由，所谓比例术，就是明氏定半径为一率，所有量为二率或三率的方法。所谓还原术，就是明氏由弧背求正矢，又由正矢求弧背的方法。所谓借径术，就是明氏借十分全弧通弦率数，求百分全圆弧通弦率数；借百分全圆弧通弦率数，求千分全圆弧通弦率数等各种方法。所谓商除法，又是还原术的变法。因此，缀术的产生，源于明氏，而又足以穷尽明氏的变化。明氏未能建立算式，是因为借根方方法取两个等数，其分母分子混杂繁重而不能贯通。其多号少号辗转互变而不能约简。试着取明氏的书用缀术来驾驭，其递降各率顷刻即可求得。那么这本书，难道真能根据方法创立方法，而更能树立旗帜于明氏、董氏之后吗？书是徐君青先生所作，吴君子登叙述而成。但书中详于算式而略于演算草稿，只有弦求矢、矢求弦、弦求切、切求求弦、弧求割、小切求大切、小求大弦、小割求大矢这八种算式有草稿，其余都有算式而无草稿。想要考求其建立算式的原由，不能立刻得到，学者感到困难。因此在闲暇时日，一一全部补上草稿，合为四卷。书既写成，丁果臣先生因为曾向徐先生学习算法，打算将这本书付梓印刷，因此在书前缀写数语。

缀术释戴序

左潜

我已经补订徐庄愍公的割圆缀术，丁果臣先生又拿戴氏的鄂士求表捷术给我看，图解详细清晰，立法巧妙多变于天地间自然的形数，曲尽精微。其中各种算式有足以补充徐氏未备之处的，如余弦求各式，有算式同于徐术而立法不同的，徐术先求差根，此术先求乘积，更为直捷。方法不同而道理相同，也都要以杜氏为祖、明氏为宗，使割圆的道理一以贯之。虽然各自有创术，但根据方法创立方法，互相发明，更足以见明氏的书是通术，而其道理本来无所不包。原书算式繁重，通分化分等各种方法，学者骤然难以通晓。我因而想到缀术是天元一的变法，用来建立算式，巧妙多变难以测度。于是依法改演各种草稿，不到一天各种算式就建立好了，而且与书中细审的各种草稿一一严密吻合。于是并取全书删繁就简，手录成册。至于求算式的各种方法，已在缀术草稿中详述，这里不再叙述。

缀术释明序

曾纪鸿

《易·系辞》说：穷尽它的数，于是确定天下的象。那么综合天下难以确定的象，以观察有定数的，没有比数更合适的了。在古代圣神制作器物崇尚象数，利于万物造福百姓，他们在数理方面，必定有究极精微、范围后世的。年代久远湮没，其数学逐渐失传。近三百年，泰西还能推阐古法，翻陈出新，而中国的才人智士，反而蹈袭其成法而遵循它。孔子说：“天子失官，学在四夷”，正是今日数学的情况。中国旧有弧矢算术，但没有标出角度八种名称，没有建立八种表。那么虽然有用其理入算的，但没有表可以凭借，那么每求一个数，必须百倍其功力才能求得，而且求得后仍不是密率。明代译出泰西八种表及八种对数表，核对其立法的源头，得数的初始，甚属繁难；而成表之后，一劳永益。大至于无外，细至于无微，没有不可以此表测度的，那么其用处的广大可想而知。然而得表之后，虽然无事于再求，但任举一数，怎能校核其讹误？若仍用旧术，那么不是经过月旬，不能得一个数。这是明静庵董方立推演杜德美弧矢快捷术的可贵之处。向来求八种数，例用六宗三要二简各种方法。如果任说一个弧度，必定不能考求其弦矢等各种数。直到杜氏创立屡乘屡除的法则，只要有弧径而八种数均可求得。董方立解释杜术，先取直线的极微者，令其与弧重合，而后用连比例以推至极大，又考证各种率数与尖锥理相合，故用尖锥来解释弧矢，而弧矢的道理得以显现，而数也显明。静庵解释杜术，先取四分弧通、十分弧通，弦直的极大者，用连比例以推至千分

译万分弧通弦之极微者，考察其乘除的比率数值，与杜氏原术乘除的道理相符合，所以用缀术来解释弧矢，从而得出弧矢的数值，其道理也随之显现。董、明两位先生，都是弧矢学中不可动摇的宗师，不必在他们之间分高下。近百年中，继起的人如戴鄂士、煦、徐君青、有仁、季壬、叔善、兰等人所著的各种书籍，虽然各自有新的创见，但都尊奉董、明二人为师承。我的朋友左君壬叟，是湘阴相国的侄子，年轻时就积累学问，在诗文赋字方面无不深厚纯正，每次应试必定位居同辈之首，而在数学这一道上尤其孜孜不倦，遇到疑难的题目，必定竭尽全力追索，务必彻底洞察其深奥之处才停止。他曾说方圆之理，是天地自然的常数。我的宗族中宗西，不必区分界限，直接认为这是自得的新法。他曾经解释徐君青氏的缀术，又解释戴鄂士求表的快捷方法，现在又解释明静庵弧矢的快捷方法，并将天元寄分之式一贯应用于圆率这一领域，三次表达其深意，可以说是勇敢了。我在癸酉年跟随丁果臣先生游学，开始认识壬叟，后来一起撰写《粟布演草》《圆率考真》两本书，相处非常愉快，不亚于古人所说的志同道合者。谁料上天厄运降临良才，壬叟竟然在甲戌年秋季未能长寿而去世，凡是同学中的人，无不叹息不止。我与壬叟两世神交，怎能不悲伤痛切呢？果臣先生是湖南数学的领袖，所刊行的二十一种算书，对士人阶层的好处，实在不浅薄。现在将壬叟的遗书编辑刊行，请新化黄君玉屏宗宪担任校勘的工作，订正精细严谨，毫发无憾。壬叟因此得以不朽了。至于诗古文词，古人的门径已经搜括殆尽，即使作为壬叟的余绪，刊刻尚需等待日后。

译圜率考真图解跋

曾纪鸿

从前阅读古今人的数学著作，没有不谈论割圆求圆周率之艰难的。《数理精蕴》中所记载的圆周率，与西方人固灵所求得的三十六位数字相同，都是采用内接多边形和外切多边形屡次开方的方法。想要求得这三十六位的圆周率，不下数十年的工夫，也是极其困难的。后来有泰西人杜德美特立，创立了屡次相乘、屡次相除的方法，省去了开方步骤，比旧法稍微快捷一些。然而秀水朱小梁先生运用这种方法来求四十位的圆周率，只有前二十五位没有错误，其后十五位全部出错，足以见得其中纷繁复杂、困难重重，容易混淆错乱。果臣先生嘱托纪鸿等人凝神构思，有幸创立了这种巧妙的方法，收敛速度很快，按照等级推求，一目了然。近来深谙算法的人，探究原理的功夫多，演算数字的功夫少，反而觉得不切合日常应用。如今左壬叟先生、黄玉屏先生竟然运用这种方法推求出各弧背的真实数值多达一百位，或许可以平息各家关于圆周率的争论，并为古代困于圆周率计算的人提供一个可靠的依据。

对数序

刘彝程

没有人不知道对数的用途，世上也不缺乏求对数的书籍，何必等待后人再作论述呢？然而这本书不能不写的原因，主要有两点：一是自古以来求对数的人，求一个对数只能得到一个对数，如今我想出一个方法，求一个对数可以同时得到两个对数。以前册中开方第二术求大于本数的对数比较容易，正负相间的诸数若全为正数，即为小于本数的对数比较；以前册中开方第三术求小于本数的对数比较容易，诸数全为正数的情况若变为正负相间，即为大于本数的对数比较。用这种方法求取各种对数，以便建立对数表，比起前人的各种方法不是更加快捷吗？这就是首卷重要的原因。二是近来西方书籍求对数，有一半比较其方法颇为快捷，但创立法则的根源不详细，偶尔用开方的道理去推演，才知道也是开方的方法，只是这种开方与前册开方的各种方法不同，是用中方根求大小两方根半较的方法。于是从平方到无量数九乘方，各自用率数阐明，无不明显且一贯相通，而开方的说法可以据此作为定论无疑，这就是次卷重要的原因。至于这本书中逐事逐节阐发精微、揭示隐奥，对于对数的道理都感觉不是小补，但比起最重要的要点，则还是次要的事情了。

论对数根

刘彝程

第一问

问：什么叫做对数根？答：命单一（即1）下带无数空位零一（即0.000...1）的数为方根，求其无量数九乘方的积为真数。其次放置方根的零数，即零一之一，以一无量数乘以它，得到单一作为真数的自然对数。由自然对数求得定准对数（即以10为底的对数），这就是对数根。方法是以十的自然对数为第一率，十的定准对数单一为第二率，求得第三率为对数根。十的自然对数与十的定准对数单一之比，如同以单一为自然对数与其定准对数之比。而由此所得的定准对数用来乘以一切方根的零数，可以得到一切数的定准对数。因为它是一切对数的来源，所以叫做对数根。

第二问

问：用对数根乘以一切数的方根零数，从而得到一切数的定准对数，其中的道理是怎样的？况且求取一切定准对数，除了对数根之外，还有别的方法吗？答：一切数的方根零数，既然是一切数的自然对数，那么放置本数的方根零数，任意用若干数的定准对数乘以它，再用若干数的自然对数去除它，必定得到本数的定准对数。然而这种方法必须一乘一除，不如只有乘法没有除法，或者只有除法没有乘法那样方便。有乘无除的，是以对数根作为乘法；有除无乘的，是以十的自然对数作为除法。自然对数单一，与定准对数、对数的比，同于一切自然对数与一切定准对数的比，而所适宜放置的第一率，是单一可以省去除法，适宜以单一为第一率，对数根为第二率，一切自然对数为第三率，求得第四率为一切定准对数。所以用对数根乘以一切方根零数，即得到一切定准对数。又十的自然对数与十的定准对数的比，同于一切数的自然对数与一切定准对数的比，而十的定准对数是单一可以省去乘法，所以用十的自然对数去除一切方根零数，即得到一切定准对数。（位数少的数）乘法便于除法，（位数多的数）除法便于乘法，似乎以十的自然对数作为除法，较之以对数根作为乘法更为方便。十的自然对数与对数根都是位数多的数，然而乘除方根零数是在得到结果之后进行的，得到的结果即是方根。乘除所借用的根，单一作为乘根在第一数之前，第一数即是连比例的第一数，乘除在后与乘除在先原本没有什么不同，那么与其用十的自然对数去除方根零数，哪里比得上用对数根乘以借根单一更为方便呢？这就是求对数的人，之所以常常将对数根作为第一数的实际值的原因。将对数根作为第一数的实际值，就如同用对数根乘以单一一样。

第三问

问：求对数根，共有几种方法？答：旧法以十为本，积开五十四次方

译先求出平方，然后以方根作为真数，以方根的零数作为自然对数，以单一折半五十四次的结果作为定准对数，将单一乘以定准对数，再除以自然对数，得到对数根，这是第一种方法。戴氏以十作为本数，积累先开三十一乘方作为用数，然后用用数开无量数九乘方，求得方根的零数，用三十一乘方的廉率乘以它，即乘以三十二，得到十的自然对数，用十的自然对数去除定准对数单一，得到对数根，这是第二种方法。李纫叔氏以二作为本数，求得自然对数，将其乘以三得到八的自然对数，又求得四与五的自然对数差值，命名为八与十的自然对数差值，因为四、五与八、十的比例相同，所以对数差值也相同，将其加到八的自然对数上得到十的自然对数，然后用十的自然对数去除单一，得到对数根，这是第三种方法。旧法极其繁琐，不足以作为准则，戴、李二人的方法因为十的自然对数不能直接求得，所以一个借用用数来求得，一个分两次来求得，都是极好的方法。

译第四问

又问：“求对数根，另有方法吗？”回答说：“无论用多少数的自然对数去除本数的常用对数，都能得到对数根。用对数根乘以各自然对数，就能得到各常用对数。那么用各自然对数去除各常用对数，必然得到对数根。但是各数的自然对数与常用对数，很难同时具备。比如2，可以得到自然对数，不能得到常用对数；10的平方根，可以得到常用对数，不能得到自然对数。试着想想什么数可以同时得到自然对数和常用对数，就能得到对数根了。”我曾经在戴法、李法之外，另外创立两种方法。这两种方法与戴法、李法相比，也大致相似。前一种方法与戴法相似，后一种方法与李法相似。这种方法任意选取略大于1的数，都可以作为求对数根的凭借。明白这一点，然后才觉得求对数根的方法途径很宽，不是单一格式所能限制的。方法如下。

一、任意选取略大于1的数作为借根，反复自乘直到比10略大或略小为止，作为借积。以10为本积，看借根反复自乘了多少次，就用10开多少次方得到数，作为10的多少次方根。接着用这个方根作为本数，用多少次方的廉率去除10的常用对数，1作为本数的常用对数。再由本数求得自然对数，然后用自然对数去除常用对数，得到对数根。

假如任意选取1.1作为借根，自乘得到1.21作为平方，用平方自乘得到1.4641作为三次方，用三次方自乘得到2.14358881作为七次方，用七次方自乘得到4.5949729863作为十五次方，再用七次方乘它得到9.849732675作为二十三次方。这种方法比用1.1累乘二十三次略快，看二十三次方的数与10相近而略小，于是用这个数作为借积，10作为本积，来求它。二十三次方根法，用借积减去本积，得到0.150267325作为屡次乘法，10作为屡次除法。放置借根1.1作为第一数，乘法乘第一数，除法除它，得到0.165294058，用廉率24除它，得到0.0006887253作为第二数，除法除它，得到0.0000103493，用25乘它，48除它，也就是廉率加1乘它，2倍廉率除它，得到0.00000053904作为第三数，乘法乘第三数，除法除它，得到0.000000081，用49乘它，72除它，得到0.00000000551作为第四数，乘法乘第四数，除法除它，得到0.00002000008，用73乘它，96除它，得到0.00000020006作为第五数。各数相加得到1.1006941714作为10的二十三次方根。以上使用开方第一术。

接着用10的二十三次方根作为本数，用廉率24余10的常用对数，得到0.0416666667作为本数的常用对数。仍然用开方术求本数的自然对数，方法是以1作为借积，也就是屡次除法。用借积减去本数，得到0.1006941714作为较积，也就是屡次乘法。放置借根1，借积1，借根必然仍然是1，用乘法乘它，除法除它，得到0.100694171。加上一个无穷小量除它，现在不除，寄作为分母，也就是第一数。正本系第二数，因为只求方根零数，所以直接用第二数作为第一数。乘法乘第一数，除法为1，除与不除无异，所以可以省去，得到0.0101393161。又1乘2除，1乘2除与1个无穷小量乘2个无穷小量除相等，得到0.00050696581作为第二数。负乘法乘第二数，得到0.0000510485。又2乘3除，得到0.00003403233作为第三数。正乘法乘第三数，得到0.00000342685。又3乘4除，得到0.00000257014作为第四数。负乘法求得0.0000002070004作为第五数。正0.0000001738作为第六数。负0.000000015作为第七数。正0.000000013作为第八数。负0.000000001作为第九数。正数各正数相加，加上各负数来减它，得到0.0959410456。加上一个无穷小量乘它，因为第一数已经寄一个无穷小量为分母，所以这个数已经是一个无穷小量与方根零数相乘的数，所以也就是借积与本数的对数差。又这个对数差加上借积的对数作为本数的对数，而借积是1没有对数可加，各数之中只有1没有对数，所以这个对数差也就是本数的自然对数。放置本数的常用对数0.04166666667，用自然对数0.09594104

译用五六去除它，得到0.434294482，这就是对数的底数。以上使用的是开方第二种方法。

译任意选取一个略大于1的数作为本数，求出它的自然对数；接着用这个本数反复自乘，直到结果比10略小或略大时停止；再求出这个结果与10的自然对数之差；然后把先前求得的自然对数乘以自乘的次数加1，再加上后求得的自然对数差，就得到了10的自然对数；最后用10的定准对数除以10的自然对数，就得到了对数根。

例如，任意选取11作为本数，求它的自然对数。方法是用1作为借积，进行反复除法：用借积减去本数，得到0.1作为较积，进行反复乘法；设置借根1，降一位，反复乘法和除法都相当于一次乘除所得的数，只是降一位而数值不变，所以用降一位来代替一次乘除，得到0.1作为第一个正数。此处关于寄母以及得数后不再用无限大数相乘的说法，前面已经讲过。设置第一个数降一位，乘以1，除以2，得到0.005作为第二个负数；设置第二个数降一位，乘以2，除以3，得到0.000333333作为第三个正数；设置第三个数降一位，乘以3，除以4，得到0.000025作为第四个负数；这样求得0.000002作为第五个正数，0.000000167作为第六个负数，0.000000014作为第七个正数，0.000000001作为第八个负数。把所有正数相加，再用所有负数之和去减，得到0.09531018，这就是11的自然对数。以上使用的是开方第一术。

接着用11连续自乘二十三次，得到9849732675，这是11的二十三次方。看这个数与10相近但略小，于是把这个数作为小积，10作为大积，再开无限大数的九次方，求大小两积的对数差的方法。设置大积自除得到1作为大借积，用大积除以小积得到9849732675作为小借积，用大借积减去小借积得到0.0150267325作为较积。用较积除以小借积得到6□05548067，第二位是单数，所以标记□作为反复除法，合并较积作为乘法，小借积作为除法。现在用乘法除以除法作为除法，那么反复乘法就可以省去了。设置大借积的根1，用除法去除它得到0.01525598作为第一个数，正除法去除第一个数乘以1，除以2得到0.000116375作为第二个数，负除法去除第二个数乘以2，除以3得到0.000001184作为第三个数，正除法去除第三个数乘以3，除以4得到0.0000000014作为第四个数，负第一和第三个数相加，用第二和第四个数相加去减，得到0.01514078作为大借积与小借积的自然对数差，也就是大积与小积的自然对数差。大小两个借积都寄大积除法为母，同一个寄母则与原大积小积的比例仍然相同，比例相同所以对数差也相同。接着设置11的自然对数，用二十三次方的廉率24去乘，也就是用自乘的次数加1去乘，得到2.28744432作为小积的自然对数，用大小两积的自然对数差加上它得到2.3025852作为10的自然对数。设置定准对数1，用10的自然对数去除它得到0.434294482，这就是对数根。以上使用的是开方第四术。

代数术序

华衡芳

《代数术》二十五卷，是我与西方人士傅兰雅共同翻译的。傅先生原本精通这门学问，我也略懂算法，所以傅先生口述，我记录，一天几千字，不嫌艰苦，两个月就脱稿了，抄写付印，经过一年才完成。于是翻阅一遍并为此作序说：数的名称始于1，终于9，所以到了10就进一位，仍然用1到9的数字来命名；到了100又进一位，仍然用1到9的数字来命名，像这样直到千万亿兆，其规律是一样的。古人创造数字时，之所以一定要用十进制，确实是因为数字多到无穷无尽，如果每个数字都给它一个名称，那么我们的名称必定有穷尽的时候，而且杂乱无序，将无法记忆，不如极限于9，而用十进制进位，那么举手示意，屈指记忆，即使是愚笨的人都能做到，所以便于民生日用，流传数千百年至今不变。看那市场贸易的地方，百货罗列，精粗美恶，贵贱不同，那么它们的数量就不同；多寡长短，大小不同，那么它们的数量又不同。凡是想要用自己所拥有的交换自己所没有的，必定拿着算具来计算，他们斤斤计较的，无非是数字。假使有人说我可以用其他方法来代替数字，谁能相信呢？实在是因为乘除加减不过是举手之劳，顷刻之间就能得到，没有深奥难明的道理在其中，本来不需要借助代数。只是数理幽深，最耐探索，数学家演算，务必阐明精微，于是题目越难，布算越繁，甚至经过十天半月不能完成一个数的计算，而且所求的数往往混杂隐匿于各个数之中，而其道理也迂回遥远而不容易明白

译如果每件事都设立一个题目，每个题目都确立一种方法，分门别类地去做，方法之多将多得无法计算，但仍然不足以穷尽数理的变化，那么不如任由数理千变万化，而我确立一种通用的方法来驾驭它，这就是中法的天元术和西法的代数术产生的原因。代数的方法，把已知和未知的数都用字母代替，而乘、除、加、减各有符号来加以区别，可以随着题目的曲折变化而相应处理，等到层层累积的道理已经明白，等级层次已经显现，就把所代替的数代入其中，所要求的数就出来了，所以可以节省算术的劳力，心思也较为轻松，因为可以不经过深思熟虑就能得到结果。虽然如此，代数的方法确实简便了，确实便利了，试问精通这种方法的人就能不嫌它繁琐吗？那也不能。人的用心，是日益进步而不停止的，只要不陷入昏花迷乱，就一定不肯中途停止。所以起初是因为繁琐而寻求简便，等到已经简便了，必定更进一步，却又遇到繁琐。即使反复迭代几十次，难道能避免吗？由此可知代数的用意，是作为数学中探究深奥隐秘之理的工具，而不是为浅显近便的算法而设立的。如果是像米盐那样琐碎零杂的事情，却一概想用代数来处理，没有不被市井商人所嘲笑的。至于代数和天元术的异同优劣，读这本书的人自然能够知道，不需要我再多说了。

译论四元相消的原理

汤金铸

四元术的著作，如今留存下来的，以元代朱汉卿的《四元玉鉴》最为古老。然而四元术实际上是由天元术推广而来的，而天元术则见于宋代秦道古的《数学九章》、元代李镜斋的《测圆海镜》，以及郭邢台的《授时历》中，这些书都记载了相关方法，如今都保存了下来。唐代王孝通的《辑古算经》中所确立的各种算法，大多与天元术、四元术推演所得的结果相同，怀疑也是依据这些方法而作的。考察《九章算术》少广章说：“借一算作为法，逐步推算”，这似乎就是设立天元一的起源。但是天元术因为借一而设立，然而所借的仅限于一个用途，还不够广泛，所以推演扩展为四元术。而四元术的方法全都以方程术为基础来运用。天元、地元，就是方程中的一色、二色；而现在的式子，就是方程中的一行、二行。所以方程多一色，就必须多一行，就像天元术多一元，就增加一式。四元术的相消，与方程术的互乘对减没有区别。方程术对减一次，去掉一色从而节省一行；四元术相消一次，也去掉一元从而节省一式。那么对减，是方程术的枢纽；而相消，实际上是四元术的关键。相消原本与常规减法没有不同，但道理却有差异。减法中数字有大有小，就会有减去的余数；而相消必须两个数字参差相等，消去后成对的数字剔除，不成对的列为正负保留，所以得到的结果必定正负相当而等于无数。天元术、四元术如此，方程术也是如此。相消法，设立一元时，必须得到相等的两个积进行相消，遇到寄左的数需要开平方才能与另一个数相等，即另一个数等于寄左数的平方根。所以用另一个数自乘，就与寄左数相等，因为自乘必定没有奇零，开方数常常除不尽，所以用这种方法来通解。或者遇到寄左的数应当用某个数去除才能与另一个数相等，即另一个数比寄左数小若干倍，那么用这个数乘以另一个数，使其增大若干倍，就与寄左数相等，因为积常常不能被整除，所以用这种方法来通解。两个数既然相等，就可以消为一行，得到开方式。如果设立二元，已经有两个积相消而得到一个式子了，但是式子中又有两个元的和数或差数，那么两个元仍然无法得知，所以必须再求两个积相消而得到另一个式子，然后用这两个式子相消得到开方式。其方法是将得到的两个式子左右排列，用右式最左边的一行乘以左式，用左式最左边的一行遍乘右式，那么两个式子最左边的一行必定相同而相消必定尽净，就像方程术的互乘对减，必定减去最上面的一层。知道它必定尽净，所以不必乘，也不必减，这是为了节省计算。像这样反复相乘反复相消，直到消剩下一行为止，即为开方式。如果遇到两个式子中左行的数，那个比这个大若干倍的，可以用约率来求，不必互乘。互乘是为了齐同，现在这个比那个小若干倍，那么按照若干倍来乘，就与那个齐同了。遇到两个式子的行数不同，比如左式三行，右式只有两行，就用右式向左移一行来消去。能够向左移的，就像用地元一乘一样。遇到层数高低不同的，也是如此。比如右式有数在太上一层，左式在太下一层才有数，可以让右式降下来跟随，或者让左式升上去跟随。能够任意升降的，就像用天元一去除，或者一乘一样。如果设立三元，就可以任意升降，但不能任意左右，地、人两个元互相牵制。必须消去人元或地元，才可以任意左右移动。设立四元，牵制更多，升降、左右都不能任意。必须消去天元或物元，才可以升降；消去人元或地元，才可以左右移动。所以三元、四元的方法，遇到行数、层数不整齐的，必须用剔消法来驾驭。剔消的道理，因为各个式子的数既然正负相当，那么任意用一个数去乘，或者去除，其相当性固然不变。即使将这个数任意分为二，各自相乘再相减所得，仍然相当不变。所以三元法遇到各个式子行数多少不整齐，就把行数少的式子直接剔分为二，各自相乘而相消，那么原本作为元的数，可以增加为面体及高次幂，就可以与行数多的式子相消了。四元法遇到各个式子行数、层数都不整齐的，就直接剔分一个式子，使行数少的增加为行数多；又横向剔分一个式子，使层数少的增加为层数多，也可以与行数多、层数多的式子相消了。至于旧法，天、物相乘，地、人相夹，得到的数都记在夹缝中。式子中有这个数，就查看它是由什么数相乘而得的，就用这个数去除而去掉它。如果不能被整除，就乘以其他式子来齐同。所有这些都不超出通分齐同的意义，而能充分发挥相消的作用。

正负相当，等于无数，那么任意用数去乘、去除，或者自乘开方，或者剔乘相消，必定仍然相当而等于无数。作者用这个来解释相消的原理，实在是因为对四元代数贯彻纯熟，所以言语必定切中要害。

九减法及任用他数减试说

沈善蒸

检验乘除的错误，旧传除了九减之外，三、四、六、七、八都可以作为减试的方法，只有二、一、五不可用，因为乘除的错误常常相差二、一、五等数所以。梅氏算书中只有九减、七减两种方法，

译因此，用其他数字进行减试的方法与七减相同，所以使用其他数字的减法就不都记载了。

按照九减法，无论检验加减乘除的错误，先将被除数（法数）的各位数字相加，满九的用九减去，减到不满九为止；又对实数、得数进行相加并减，也照此办理，相加并减后的数仍然作为实数。如果是检验乘法，就仍然相乘；检验除法，就仍然相除；检验加减法，就仍然加减。所得的数字如果满九，再用九减去，结果必定与之前减过的原得数相同，这就说明没有错误；如果不相同，就一定有错误了。

七减法则稍微不同，不能将各位数字直接相加，必须从首位开始依次用七去减，减到尾位不满七为止。减完之后，乘除加减的检验方法与九减相同。

试着说明其中的道理：数字从一产生，极于九，一加九成为十，十加九十成为百，所以一与十、百、千万的差数是九。九、十九、九百、九十九、九百九十九，按照这些差数都是九的倍数，用九去减都能除尽没有余数。又如三与三十的差数二十七，七与七十的差数六十三，也是九的倍数，所以无论任何数字退下一位或几位，就与用九减几次没有区别。譬如八十退下一位变成八，就如同八十用九减八次也是八，所以九减的方法，十、百、千万都可以并入单位，而其他减法就不能合并。

又根据这个道理，九减法可以改为用相加代替相减，更加简捷。假如是八百六十五万五千七百八十四，现在想用相加代替相减，将各位数字相加得到四十三，再相加得到七，这就与九减减得的数字相同。

如果讨论用其他数字减试，与九减相比哪个难哪个易，那么其他减法难而九减法易，因为九减可以合并相加的缘故。然而九减法有好处，也一定有弊端，凡是乘除的错误往往因为加错位次和减错位次的居多，而九减不能检验出这类错误，因为九减也不计算位次的原因，所以九减虽然被称为快捷的方法，确实不如七减那样尽善尽美。

译论海洋深浅之理

沈善蒸

依据重心的原理来推论，大西洋必定比太平洋深，赤道以北的海洋必定比赤道以南的海洋深。为什么呢？大凡地球的吸引力并非仅由地心产生，而是地球整体各个质点都具有吸引力，各点相互吸引，其力量必然汇聚于公共重心，这就好比一个重物，其各个质点都有重量，而重心必然归结于一点。大凡万物之所以存在重力，都是由于地球吸引力所致，而重力与吸引力原本不是两种不同的东西，所以吸引力的中心就是重心，毫无疑问。因此，地面上的物体坠落，必定朝向地球的公共重心，而海面始终与从重心到地面的半径线垂直，所以重心也就是球心。又因为地球以两极作为轴，每天向东旋转一周而产生离心力，所以北半球的垂线都朝向重心但略微偏向南方，垂线也就是悬挂的线；南半球的垂线都朝向重心但略微偏向北方，只有赤道和两极地方的垂线才直接指向重心，因此地球是略微扁平的形状。现在查看地图，北半球的陆地多于南半球，如果假设海洋的深浅大致相同，那么北半球的地质就多于南半球，北半球重而南半球轻，其公共重心必定偏向北半球，海水也会随之向北移动，于是北半球的低地淹没成为海洋，南半球的浅海变为陆地，怎么能形成现在的形状呢？以我的推测，北半球的海洋应当比南半球的海洋深一倍，所以北半球虽然洋面较少，但因深度弥补，总量并不少；南半球虽然洋面较多，但因浅而抵消，总量并不多，这样两个半球的地质轻重相等，重心也没有偏向北半球的趋势，才能形成现在的形状。大西洋应当比太平洋深的道理也是如此，不知道这个论点是否正确？必须向西方测量海洋的专家请教，用实际测量来验证，才可以确信。如果事实并非如此，必定是因为地质有疏松和致密的区别，北半球地质多而疏松，南半球地质少而致密，也能使轻重相等，从而使重心不偏向一边。

质点

韩应升

欧洲人关于旋光性的理论说：物体再微小，人也能分割，但不能分割到不可再分的程度。我认为人不能分割，并非物体不可分割。用几何学的道理来说，物体无论多大，合并它可以达到无穷；无论多微，分割它也可以达到无穷。这就是尺椎的说法。而认为物体有不可分割的限度，为什么呢？定质、质点，大小质点小，水质点小，气质点小。气中各类又应分为哪类质点大？哪类质点小？丸与黍大小悬殊。用囷（圆仓）装丸，用盂（盆）装黍。囷底有孔，丸就聚集落下，直到囷空为止；盂底有孔，黍就聚集落下，直到盂空为止。它们落下的形状与水落下的形状没有不同。但是，囷的孔必定大于丸，盂的孔必定大于黍。囷的孔不大于丸，丸就不能落下；盂的孔不大于黍，黍就不能落下。所以丸和黍，用网装就能落下，用布帛装就不能落下。布帛用来装水就能落下，陶器算是致密了。用来装水久了，水会渗到外面，这是因为陶器的孔大，水粒子小。〇比陶器更加致密了。〇质地较疏松的用来装水，水不会渗到外面；用来装油久了，油会渗到外面，〇这是因为孔大，油粒子小。水粒子的大小大于〇的孔，油粒子的大小不大于〇的孔。据此可知，凡是物质都有质点，质点有原始尺度，不仅定质、重流质有，也可以由此推知，不仅重流质有，轻流质也有。轻流质有质点，虽然没有证据，难道就不能再有其他器具可以测量而知晓吗？而现在还没有这样的器具可以测量而知晓。

极说

韩应升

大凡可以论述的事物，有有极的，有无极的，有两端都有极的，有一端有极、一端无极的，一端有极、一端无极的，这是数，这是度。数始于一，一是数中最小的，不能再减少，所以就把这作为小极，由此依次增加而达到无穷，这是小有极、大无极。度终于三百六十，三百六十度是最大的，不能再增加，所以就把这作为大极，由此依次减少而达到无穷，这是大有极、小无极。两端都有极的，南北极是，几何学的道理也是。几何学的道理始于点，终于体。点不可减少，所以是小极；体不可增加，所以是大极。点不仅不可减少，也不可增加，假如点可以增加，增加成为线，这是点虽然本来不大，却可以使它变大，正因为它不可增加而变大，所以终于点，终于小，所以是小极。体不仅不可增加，也不可减少，假如体可以减少，减少成为面，这是体虽然本来不小，却可以使它变小，正因为它不可减少而变小，所以终于体，终于大，所以是大极。这是两端都有极的。而在几何学中，线加减不离线，递减不及点，递增不及面；面加减不离面，递减不及线，递增不及体；体加减不离体，递减不及面，递增不及其他形体。这是线、面、体，小也无极，大也无极。这是两端都无极的。而线以两点为界，即以两点为极

译可以牵引至无穷无尽，这是两端都没有极限的情况。平面以中心的一点为心，以线为边界；立体以重心的一点为心，以面为边界。心是小的极限，线是大的极限；重心是小的极限，面是大的极限。而平面的中心只有一个，其边界的线却可以不断增加至无穷，也可以不断减少至无穷；立体的重心只有一个，其边界的面却可以不断增加至无穷，也可以不断减少至无穷。这又是小的有极限、大的无极限，一端有极限、一端无极限的情况。将物体投入水中，水面的波浪层层相生，直至无穷，投入物体的地方是极限，那层层相生而无穷无尽的是无极限。声音也是如此，发出声音的地方是极限，声音逐渐远去而逐渐微弱的是无极限。光也是如此，发出光的地方是极限，光逐渐远去而逐渐暗淡的是无极限。地球的规律也是这样，地球以地心为极限，水附着在土上共同构成一个球体，气又附着在水土上共同构成一个更大的球体，地心的吸引力极大，随着距离增加而逐渐减弱。地心的吸引力与地质点的滞力作用相反，力量足够相互抵消，力量相互抵消所以保持平衡。距离地心一里的球面，其吸引力是多少则是相等的？距离地心增加一倍为二里的球面，其吸引力必然减少四倍，为什么呢？因为距离地心二里的球面必然比距离地心一里的球面大四倍，那么距离地心二里的球面质点的滞力必然比距离地心一里的球面质点的滞力大四倍。地心的吸引力施加于地质，层层递进，直至地面，也施加于水，层层波及水面。在地水之上，地心的吸引力又施加于风气，如果地心的吸引力不施加，风气就会因其本性产生自生的膨胀力，能推动各点向四面分散并逐渐远去。地心和地水趋向中心，风气背离中心，方向相反，地上的气向下，应该产生空隙。现在并非如此，足以证明上述假设是错误的。地心的吸引力施加于地质逐渐减弱，直至地面，地面之上又施加于风气，逐渐远去逐渐减弱，直至无穷。为什么呢？地面风气的膨胀力有多重，可以测量而知。如果用玻璃方器抽出风气，外面的风气挤压逼迫使其立刻破碎。试问此器如果不使用风气，需要用多大的力才能挤压破碎？假设说需要十六两，那么风气的挤压力极小，应当不能少于十六两。挤压力和膨胀力名称不同但实质相同，并非有两种含义。从地心到地面一万五千里，根据上面所说，其距离加倍是三万里，面积大四倍，力量减少四倍，吸引力和膨胀力成为四两。如果再加倍是六万里，面积大四倍，力量减少四倍，吸引力和弹性力成为一两。其距离不断增加，其力量不断减少，递增的数量可以至无穷，递减的数量去多存少，去掉三份存留一份，最终存留四分之一，也自然是无穷。譬如尺长的木椎，每天取其一半，万世也不会枯竭；如果不取一半，每天取四分之三，万世之后最终存留四分之一。因此地心的吸引力最大，逐渐远去逐渐减弱，直至地面，又施加于风气，逐渐远去逐渐减弱，直至无穷，永远没有尽头。地心是极限，那逐渐远去逐渐减弱而无穷无尽的是无极限。所以关于风气边界的说法称，风气越高越稀薄，膨胀力越小，膨胀力能推动各点向四面分散并逐渐远离地心，其方向与地心的力相对，这话是对的。至于称膨胀力逐渐变小至与地心的力相等，风气的各点不再推开而有尽头的说法，其含义是不对的。

译翻译航海通书原本

金楷理

本书所列日月行星每日的度数，全都依照英国都城外的观象台地名格林尼治为基准，由经度所定。该地在赤道北纬五十一度二十八分三十八秒。凡是日月星辰从正午向西旋转，再回到正午为一日，所经历的太阳平时，日月星辰的多寡不同。对于太阳来说叫做太阳日二十四时，对于月亮来说叫做太阴日约二十五时弱，即今天过午到明天过午为一日。对于行星来说各有行星日，对于恒星则有恒星日二十三时五十六分三秒半弱它们确定时间，全都以太阳平时为根本。假设太阳不动，那么地轴旋转及绕日运行，其方向永远不变。月亮和星辰绕日运行，从地心看它们的快慢不一，从而形成各星日。

测算有平时、真时的区别。按照钟表计时，走时均匀，即太阳的平时；用日晷测时，走时不均匀，即太阳真时。其原理见《译之航海通书》。

凡是钟表适宜按照平时校准，真时通过观测星辰获得。平时人为地均匀划分，称为平时，是为了区别于真时。

平时与真时的比较叫做时差，每日正午以所差的数列如表所示。

假设在一千八百七十年正月初一日，在该处测量日心正交正午所得的正午，即为该处的真时。查其时差为三分五十一秒四零，依符号加于真时，则知道日交正午的平时为正午三分五十一秒四零。

凡是推算，必须先确定一处作为起算的起点。如此表以英国为基准，移用到其他地方，都参照距离该处的远近进行加减。相距十五度，即差一个钟点。假设同一时间，在该处为正午的，其西边十五度的地方还是上午。同一时间太阳不能同时处于两处的正午。

行船表，即度时表，在那边校准的，无论到什么地方，想知道那里的时间，查表即可得到。各种实测还需要推算其时差，以进行加减。凡是算家所定的表，应当各自按照其测量地点的正午为准。

通常以夜半子正开始，到明天子正为一日，而在正午分为午前十二点，午后十二点。本书则以正午开始，到明天正午结束，经历二十四点为一日。如通常说在正月初二日午前七点钟四十九分，本书则说在正月初一日十九点四十九分，其余类推。

每月月末，必定多列一日，即下月初一的数据中比例之用。

每月第一页所列的各项数据，是日心正交该处正午时的数据。其赤道经度自春分点记起，太阳距离赤道南北若干度，谓之纬度若干。另外求太阳的赤道经纬度及时差的方法，应当以次行所记的一点较数上求之。表所列的数为正午前后一点中太阳所移动的数据，若算别时的比较，取距正午折中之处而比其较中之较，视下一日较数的大小以区别加减，然后加减于本日较数内，即为所求时每点应该移动的数据，与所求时间相乘，即得其正午后所移动的准确数据，加于本日正午。如太阳的赤纬度及时差在退行时，则从本日正午减去，即得所求的数据。考查其所列的每点较数，乃是合并上下两日的行分，以两日共四十八点归之，即得到下一日的点较。

假设是年正月十六日在该处四点钟时求太阳的赤道纬度，则查表内十六日正午的一点较为二十八秒七六，十七日正午的一点较为二十九秒七五。两较相减，得到较中之较为零秒九九。以二十四点除之，得到每点差百分秒之四有余。于是求正午后四点折半为二点，即其中处，与百分之四有余相乘，约得百分秒之八。于是看其下一日的较数逐渐增大，故加于十六日一点较数上，共计为二十八秒八四，即所求四点时每点应该移动的赤道纬度。于是以四点乘之，得到一分五十五秒四。查十六日正交正午时在赤道南二十度五十五分零五秒。看十七日纬度小于十六日，则知道逐渐减少，以减十六日的纬度，余为南二十度五十三分十秒，即为所求四点时的赤道纬度。求经度及时差的方法，都仿照此例。

太阳半径每日过午所经历的恒星时，因太阳距离赤道南北而改变。及半径有大小之别，所经历的时间因此不等。考查其测量太阳过午，必测太阳外环相切于正午，加上此半径所经历的时间而得到太阳中心过午的时间，故设此表。首页时差表，为真时改平时的用途。假设是年正月十六日该处真时为午后三点，求其实时。查正月十六日时差次行一点较，为百分秒之八百四十四；十七日为百分秒之八百十五。则十六日三点的较数应为百分秒之八百四十二。方法见前，以三点乘之得二秒二六，加于十六日时差十分零三秒七五，共计为十分零六秒二

译八。再加三点，得到三点十分零六秒二八，这就是所求的平时。

译四月的首页有时差表，其中有加有减，十五日之前为加，十五日之后为减，中间用粗线作为标记。每月的第二页表格，是该地平均正午时刻太阳的赤道经度和纬度。依据此表，从太阳的黄道经度、纬度及黄赤交角等数据计算得出，记录的是真太阳所见位置距离地球赤道及真春分点的数值。

任意地点任意时刻计算太阳赤道经度和纬度的方法。假设在某年三月初一日，在英国以西九十八度的地方，平时为二十一点二十分，求太阳的赤道经度。按照偏西九十八度应加上六点三十二分，即为英国的三月初二日三点五十二分。查三月初二与初三两日经度的差值为三分四十三秒九五，以二十四点对比三分四十三秒九五，如同三点五十二分对比三十六秒零八。凡是四率比例，都用“以”、“比”、“若”、“与”四个字括起来，即一率比二率，若三率与四率，下面仿照此例。加上三月初二的经度二十二点五十二分三十八秒一二，总共为二十二点五十三分十四秒二零，这就是所求的经度。如果求纬度，也查初二与初三两日纬度的差值为二十二分五十七秒六，以二十四点对比二十二分五十七秒六，如同三点五十二分对比三分四十一秒九。查这两日的纬度逐渐减少，从初二日纬南七度九分五十三秒六中减去，得到纬南七度六分十一秒七，这就是所求的赤道纬度。如果进一步探究细节，依照前面的方法求出两日每小时差值的比例，则更加精密。因为各行星在一日之内的快慢并非均匀分配，必然逐渐改变太阳的半径，因距离地球的远近而异。夏至后十余日太阳在其最高点，所以半径最小；冬至后十日太阳在其最低点，所以半径最大。每日列表如测量太阳的高度，如果测量其上边缘必须减去这个半径，或者测量其下边缘则加上这个半径，或者测量日月相距的度数，就合并日月两个半径进行加减，从而得到它们中心的距离度数。

第二页，时差表用于将平时改为真时，所以其加减符号与真时栏下的相反。两个数有微小差别的，是时差中应当移动的数量，即时差行。太阳的赤道经度和纬度也是如此。

既然有了平时，如号加减即得到真时。假设在某年四月初二日，在该地的平均正午时刻，想要求其真时。查此日正午的时差表，应减去三分三十七秒七零，从初二日正午减去，即为四月初一日二十三点五十六分二十二秒三 zero，这就是所求的真时。又如在该地偏东一百零五度的地方，四月十五日平时为十五点，即十六日午前三点钟时，这是偏东处平时求真时。偏东一百零五度应该减去七点，即为英国的四月十五日八点。查十五与十六两日时差的差值为十四秒七九，因为一个是加一个是减，所以相并作为一日的差值，以二十四点对比十四秒七九，如同八点对比四秒九三，而十六日是应当加的日子，十五日是应当减的日子，其十五日表内减去剩余的数量只剩零秒四六，少于应当减去的数量，于是用比例得到的数量反减零秒四六，余四秒四七，符号即变为加，加在十五点上，总共得到十五点零四秒四七，为所求地方的真时。

恒星时，是指每日该地平均正午时刻，午线在赤道经度距离春分起点的数值，即太阳平分赤道经度。假设太阳不动，那么地轴每日旋转一周，又兼绕日的运行，视恒星所居的原点已向西移动三分五十六秒半。逐日累积，就形成了恒星时。

本书所载的恒星时，是算家常用的表格，用以说明正午观测时距离春分点偏西的度分秒。恒星时与春分点的差异甚微，所以称为真恒星时，而不称平恒星时。如果以太阳有平时，而想要求恒星平时，即太阳的平经度，除以十五，即为平恒星时。恒星真时与恒星平时的差值，十九年中仅差二秒，差异甚微细，所以不另立表格。算家测量各恒星的经度，其表格已经全部订正无误，本书依循之。倘若想要变更测量，凡是章动的数值，都须改易。

凡是测量，以求太阳的平时，即以平正午的恒星时为准。如果用恒星时求太阳的平时，或者用太阳的平时求恒星时，都用五百零四至五百零七页的等时表查之，即可得到。假设在某年正月初二日二十一点九分二十四秒零四的恒星时，求该地午线相当的太阳平时。

方法是用现在的恒星时减去本日正午的恒星时十八点四十七分四十一秒，剩余为本日正午后的恒星时二点二十一分四十三秒零四，查等时后表，即得其相当的太阳平时为二点二十一分十九秒八二，即为所求。这是因为恒星时一点对比太阳平时五十九分五十秒一七零四，如同本日午后恒星时二点二十一分四十三秒零四对比所求的太阳平时二点二十一分十九秒八

译二，与表数相合。

译又如正月初二日二点二十一分十九秒八二的太阳平时，求该处子午线对应的恒星时。

方法是用现有的太阳平时查等时前表，即得其对应的恒星时为二点二十一分四十三秒零四，加上本日平午正时的恒星时十八点四十七分四十一秒，共计为二十一点九分二十四秒零四，即为所求。这是因为太阳平时一点相当于恒星时一点零九秒八五六五，如果现有太阳时二点二十一分十九秒八二，与其对应的恒星时二点二十一分四十三秒零四与表数相符，便加于本日午正时的恒星时即可。

凡是测算，在该处以西的地方，其平午正时的恒星时，每点照加九秒八五六五；该处在东的地方，则减去，方法相同。

假设在该处偏西九点十分六秒的地方，十五度为一点。求正月初二日平午正时的恒星时，乃以一点比恒星时长于太阳平时的差值九秒八五六五。若偏西九点十分六与一分三十秒三七，偏西应加上。加上表内是日平午正时的恒星时十八点四十七分四十二秒，共计为十八点四十九分十一秒三七，即为所求。

每月第三页列出太阳黄道经度，从春分点起算，因为光行有差，所以所记经度真数为平午正时的数值。

假设以囷为连半径，用四百九十七秒九八与囷相乘，减去余数为日之经度真处，因光行差的影响，其过见处较后于真处。

太阳黄道纬度，乃自太阳中心画一弧线，与黄道平面相交成股。其弧度，即为太阳黄道纬度。

考察日之黄道纬度，根源于自转。日之本体，想来也是椭圆。二十六日自转一周，与表内交终结率恰好吻合，因此领悟到此理。

带半径的对数，乃平午正时地心与日心真实距离的对数，即黄道的长半径，也就是日距地心的对数。

以上各条，为测量太阳的标准，而行星及彗星的运行度数，都借此推测其距日心的位置，而求地的经度，须查太阳经度，并订正其光行差，即可测算。

光行差表，见二百四十二页《黄道角等表》内，每十日列一数，其余详见五百三十二页内。

凡于太阳黄道经度，既得其光行差数值，并其章动数值，可求各恒星的位置。

月半径者，乃自月心至地心，如同半径。则月之半径，如正切所成的角，如同从地心所见。

地平视差者，乃自地心至月心，如同半径，则地球半径如正切所成的角，如同从月心所见。

凡是观测月亮的外环，而欲求其中心，可用月半胛表。至于地的各纬度，望月求其视差，必以月亮在地平时最大的视差为比例。因为地为扁球，则随处可以测月，即使高出地平之处，其差也能计算。所以在地面测月，可改为不异地心见月。

海上测月，常用赤道地平视差表，以计算高出地平的视差，不必以地为扁球。惟欲细推月掩及日食的数值，则必以地为扁球。

高出地平的视差，有太阴高弧视差表，将地平视差与蒙气差合为一表，更简明的见《航海简法》。

假设在是年二月十九日常午前六点钟时，在该处东经十五度的地方，求月半径及地平视差数值。此书从午正起算，午前六点尚为二月十八日十八点钟，偏经十五度，应减一点钟为该处的十七点钟，即过子正五点钟了。欲知五点较数，当视十二点的较数为比例。查十八日子正月半径表为十六分二十九秒，十九日午正为十六分二十七秒，十二点中的差值为二秒。以十二点比二秒，若五点则与十分秒之八，乃于十八日子正的数值内减去余数，十六分二十八秒半，即为所求的月半径数值。其次查地平视差表，二月十八日子正为六分钟二十四秒，十九日午正为六分钟十七秒，十二点的差值为七秒四。以十二点比七秒四，若五则与三秒一，亦于十八日子正的数值内减去余数，六分钟二十一秒半，即为所求的地平视差数值。

海上寻常测月，可用此法。如欲穷究其数值，方法尚不精密，因为秒数的减率不一。惟于所指之时前后各拣出两个半径比较，则其差亦不满十分秒之二。方法如下，即所谓较中之较也。

此半径数，名地平半径，外尚有每高度的加数。因太阳去地甚近，其高度越多半径越大。

二月十八日午正十六分三十秒四。

子正十六分二十九秒三，一秒一。

十九日午正十六分

译二十七秒三，二秒零，十分秒的九。

子正十六分二十四秒五，二秒八，十分 sec 的八。

译加秒0、1、3、4、6、7、8、9，0加秒1、2、3、4、5、5、6

一 一一一一一一一

高弧050505050，高度5050000。

度，1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、7、8、9。

将两项中间差值相加，共一秒七折半，得百分秒的八十五，作为中差。再用八去除，得百分秒的十一，那么所比较的误差不过百分秒的十一。

照此仔细推算，视差的误差为十分秒的四。

每月第四页，夏季月亮在黄道上的经度、纬度数值，其正交分点处，是从地心推算的，所载表数对航海之人没有用处。黄道经度是专为章动而设的，因为月亮的运行快慢不一，想要除了子午两正之外测量月亮的黄道经纬二度，就必须比较其秒数，甚至有的要比较三四次才能得到准确数值。月年，是指日月合朔一周的天数。如中历每月的天数，月亮经过子午圈者，是指太阴中心每日经过该处上子午的平时，表数仅记录十分之一，不再求其更细。依据表测量月亮，可以确定行船的经度，并推测潮汐到来，想要求出月亮升起和落下时候，也使用此表并参考半弧表。表中有○这个记号的，是说明这一天太阴不经过该处子午圈。因为月亮运行的度数多于太阳，太阴运行一周时太阳尚未及一周，太阳在月亮运行一周之中，所以每月有一日不经过子午圈。

如正月三十日，月亮运行比太阳运行多五十二分三，即两次月亮经过午时的差值。查其上次经过午时，是在正月二十九日二十三点十五分六，下次经过午时则在正月三十一日零点七分九。由此可知中间的一天，月亮尚未及一周。如果日月相距在半周时，每月有一日不经过下子午。

第三百九十页至第四百二十八页记载月亮，相近之星表内也记载月亮在何时，通常仅经过该处午线一次。如第三百九十三页记载正月三十一日，月亮仅经过下子午一次；第三百九十四页记载二月十五日，月亮仅经过上子午一次之类。

无论何处，想要求出月亮经过子午圈的平时，假设该地在该处的东边，就用昨天和今天经过午时的时间比较；如果在该处的西边，就用今天和明天经过午时的时间比较。然后用二十四点比两次经过午时的差值，如果所偏经度化成的时间与所求的差值，在东边应当减去，在西边应当加上。因为在东边，太阴必然先经过午时。

假设在这年正月二十六日午前，在该处东六十度，求月亮经过子午圈的平时。按二十六日在午前者，是本书的二十五日。查月亮经过该处午时为十九点三十六分三，与前一日经过午时的差值为五十二分九。用二十四点比五十二分九，如果四点，即偏东六十度所变化的时间，与八分八在十九点三十六分三中减去。因为偏东所以减去，得十九点二十七分半，即为所求。假设在这一天再求偏西六十度月亮经过午时的平时，则将十九点三十六分三与后一日经过午时的差值为五十四分三。用二十四点比五十四分三，如果四点，偏西度数变化的时间与九分一，加在十九点三十六分三上，得十九点四十五分四，即为所求。

以上算法似乎嫌不够精密，然而日常使用，误差也不大，不必过于追求其细节。

每月第五页至第十二页所记载的，每日每点太阴所行的赤道纬度，以及纬度每十分之差值，其纬数、时数、地平经度、月亮升起、月亮落下等项，可由各页检算。至于表列的数值，是从地心推出的。

假设在这年正月十二日午后八点四十五分，在该处东 sixty 度之地，求月亮的赤道经度。

方法是将偏东六十度变为四点以减去八点四十五分，作为该处正月十二日四点四十五分，查这一天四点表数为三点二十七分二十八秒八五，五点表值为三点二十九分二十九秒八零。两数相减，剩余二分零秒九五。用六十分比二分零秒九五，如果四十五分与一分三十秒七一，加在四点表数上得三点二十八分五十九秒五六，即为所求。

求纬度也同此法，只是有时差值中的差值也不甚小，所以有每十分纬度的差值。

如前所设，求赤道纬度，查这一天四点纬表，每十分的差值为八十六秒六九，五点纬表，每十分的差值为八十六秒一四，是四点二十二分半的中点，即四十五分折中的地方，其每十分的差值应为八十六秒四八，即将两差值中的差值用六十去除，二十二分半乘以它，从四点下十分的差值中减去，即得所求，道理与日一点差值相同，用十分比八十六秒四八，如果四十五分与六分二十九秒二，查表知道纬度逐渐增加，加在四点表数纬北

译十三度五十三分二秒三，得出北纬十三度五十九分三十一秒五，这就是所求月亮的赤道纬度。太阴历表中每月第十二页所记载的朔、望、两弦时刻，仅精确到十分之一。月亮在黄道上的经度与太阳没有距离差时，称为朔；距离太阳九十度时，称为上弦；一百八十度时，称为望；二百七十度时，称为下弦。所列出的数据均为该处的平时刻。

译月亮运行经过其轨道上最高点和最低点时，是划分其离地最远和最近的依据，表中列出的数值，也就是该地的平时。

每月第十三页至十九页，列出的是月心与日心以及行星、恒星之间的斜距度数，这是从地心推算的，每日照该地平午正时起算，每跨越三列列出一个数值。凡是观测到月亮与恒星之间的斜距度数，就应当依据表格加上其视差，减去其蒙气差。因为推算表中的数值是月亮与恒星的真实相距度数，而观测得到的是月亮与恒星的视相距度数。在月亮方面需要推算月亮的视差，使用太阴高弧视差表，只能将月亮的视高度改为真实高度，其斜距弧上真实距离与视距离的比较，必须再用三角形计算。因为高弧视差就如同高下差，再推算东西南北差，也可以凭借月心与某颗恒星的真实相距度数，依照下面的方法推算出它是该地的什么平时。众星自西向东运行，表格以距离月亮最西的星起列，至最东的星为序，西则在月亮的西边，东则在月亮的东边。

众星距离月亮的度数，每三点有比较，即列出其比例对数，用来比较确定度数，从而得到该地的平时，方法详见后文。

在任何一天任何时刻观测到月亮与恒星的斜距度数，按照前面的方法改为真实相距度数，然后查阅此表，找到当月月亮与该恒星相距度数与所测数值大致相近者，取前一个数值相距度数与所测度数进行比较，求余数的比例对数，见航海表内，减去前一个数值旁边所列的比例对数，余数再查阅比例对数表所对应的时间分秒，加在前一个数值的时间上，即得到该地的平时。比例对数表至三小时其数值为[0]，所以省去三小时相乘的步骤。按照这一比例不用对数计算，也容易，以表中前后两个相距度数化成秒数，与历时三点钟相比，如果得出的相距度数减去前一个数值相距度数的比较不足减，就反过来减，与所求的历时始终加在前一个数值的时间上是一样的。

加上月亮与恒星相距度数与前后比例对数的比较，其加减遵循相同的比率，则按照前面的方法自然没有错误。如果其加减比率不同，想要求得该地的时间，另外应当查阅一个准数法，详见下文。

一、按照前面的方法求算。二、查阅表内某度数前相近的一个数值或后相近的一个数值，得到两项比例对数相减而得到其比较。三、在第四百九十八页准数表内旁边一行查阅时间，即先按照前面的方法比较出其零时分，然后用所得的零时检查此表，而以比例对数的比较在表上横行查对，检查其与零时分纵横相遇的秒数，就是所求的准数。四、看比例对数逐渐减少，则加上这个准数；如果逐渐增加，则减去这个准数。加减于先得到的零时分，可以得到该地的平时。假设在当年正月初十日观测到月亮真实距离飞马甲西名星四十四度十九分五十秒，求得该地平时。查阅初十日该星表所测相距度数在三点与六点之间，则三点为相近的前一个数值，计算如下。

三点月亮与恒星相距四十三度四十五分二十九秒，其比例对数为三千九百十九。

现在观测月亮与恒星相距四十四度十九分五十秒。

两个相距度数的比较为三十四分二十一秒，比例对数为七千一百九十四。

比例对数表所对应的时间为一点二十四分四十一秒，减去余数三千二百七十五。

查阅三点与六点的表，知道前后比例对数的比较为四十九。再查阅第四百九十八页准数表内，一点二十分与计算出的时间最为接近，而以四十九，即用四十八也可以。下面查阅其纵横相遇的准数为十五秒，因为其比例对数由逐渐而减少，所以加在计算出的时间上，为三点以后的零时，所以求得该地平时为正月初十日四点二十四分五十六秒。如果不计算准数，就相差经度三分四十五秒。准数的表仅列到一百三十八，凡是遇到比例对数的比较大于此数的，可以折半来检查表，查得准数后加倍，道理也是一样的。假设在当年五月二十一日观测到月亮距离飞马甲星，除去视差蒙气差外，真实相距为三十度零八分零二秒，求得该地平时。

查阅二十一日该星表数所测相距度数，在十八点与二十一点之间，则十八点为接近的前一个数值，计算如下。

十八点月亮相距为三十度三十六分三十一秒，比例对数为五千一百五十。

现在观测相距度数为三十度零八分零二秒。

两个相距度数的比较为二十八分二十九秒，比例对数为八千零零七。

检查表的时间，为一点三十三分十四秒。

查阅十八点与二十一点的表，其比例对数的比较为二百五十二，此数大于一百三十八，所以减半为一百二十六。再查阅四百九十八页准数表，旁边一行内与计算出的零时分相近的为一点三十分。其次查阅上面比例对数的比较，第一百二十六的行与旁边一行时分纵横相遇的准数为三十九秒，加倍，因为比较数折半检查表，所以得到的数加倍为七十八秒。因为比例对数由逐渐而增加，所以在计算出的时分内减去它，即为十八点以后的零时分。所以求得该地平时为五月

译（这是）二十一日十九点三十一分五十六秒。如果不计算精确数值，就会在经度上相差十九分半，然而误差大到这种程度，也是很少见的。星体的比例数值越小，就越容易测量，因为月亮朝向或远离星体时所行的加速，使得测量加倍准确；而且当比例对数逐渐减小时，其本数必然增大，所以对数逐渐减小，可知月亮运行渐远，从而测量较为便利。像这一年正月二十日午正到三点钟这段时间，土星最容易测量，查这一天的比例对数仅二千二百七十，数值比其他星体少，所以土星表从二十日起到二十六日止都容易测算。又如这一年七月十六日九点到十二点内，从比例对数来说，容易测量的顺序如下。

译第一土星，第二毕宿大星，第三木星，第四娄三，第五火星，第六太阳，第七金星，第八河鼓二。

以上诸星观测难以准确，若想验证其准确性，须观测多颗星进行比较，查看比例对数中较小的那个，庶几可以没有误差。按照各条的使用方法，都是测得星月相距，以推算该地的平时，其使用比例对数比较求取准数的一表，是巧妙而快捷的。因为月亮运行在斜距线上，迟疾逐渐改变，不能用平行线来驾驭，所以再求取准数的加减，以此来齐整那些不齐整的情况。

每月第十九页，是算学家爱里氏所制定的，恒星准数是用下页甲乙等号对数以及该地十二年星部算出的。西方国家的算学家认为此法精于白水而氏，所以爱里氏恒常用之，因为此法不用加减的符号，方法简便且方便。列表如下。

下页也兼列白水而氏法，各有其妙处。假设在当年二月初五日，在该地平子正时，求某恒星距赤道的经度及距北极的纬度，并岁差、光行差、章动准数以及分点过午的平时等数，分点是春分起度的点，每日经过该地午线时的恒星时，即恒星时在午正中时，分点距午的时间数，所以此表称为恒星子午正中时。凡是已知恒星时而想求太阳平时，可用第五百零六、七百的等时表来计算。每月第二十页，是白水而氏恒星准数表，此表表明恒星的真实位置及其中间位置，有方程式或用乘数，不依据恒星的位置作为众星共同的数，大概只凭借日月黄道经度以及月亮的交点。表内对数为公共对数，算学家使用它，随算一颗星可合方向，照第三百二十九页的表，已经在该地平子正时算合，只有丙丁二号内除去二式。

此表与英国皇家星历合算，可得彼星历所记载恒星的位置。凡是星历内未涉及的星，应先算出它与其他星相合的对数，而后用甲乙丙丁号内的数，或者即照第三百三十页及三百三十一页所列的表推算也可以。因为此表不论何星都符合。其数系从第三百二十九页方程式算出，列举例于左。申明二表的方法，使用星历的人，切勿忘记恒星赤道经度准数的符号。

假设在当年二月初五日，平子正时，在该地求其星赤道经纬二度，岁差，光行差以及章动的准数。此星即英国皇家星历第一千六百八十七号之星。

天ㄙ为经度准数，黄ㄓ为纬度准数。

旧历日数表。此表是英国星士黑失而氏添入的，说有此表可以省去天算家查数的麻烦。分日平时者，是说自春分后所过的平时，以平午正时为准则，而记录其日的分数。当年正月初一日至三月二十二日又百万分日的二十一万四千七百五十一，为一千八百六十九年的春分后。自二十一日又百万分日的二十一万四千七百五十一以后，乃是本年春分年的始时。因为春分年为三百六十五平日又百万分平日的二十四万二千二百十六，当年三月二十二日平午正相合春分时，为三百六十日又百万分日的二万七千四百六十五。可知当年三月二十二日又百万分日的二十一万四千七百五十一乃是春分年新旧之交。日分者，乃是春分年日的共分。如当年正月十九日平午正时，为三百零三日又万分日的二万七千四百六十五，以此类推，直至三月二十二日春分年终，才改共分为百万分日的二十一万四千七百五十一。当年三月二十三日平午正时，为百万分日的七十八万五千二百四十九，此共分数应加在每日春分时至明年为止。

凡是日到平春分时，假设在某处午在线，此处午线的平太阳时，恰好与春分时相合，周而复始，到明年春分年终日已过某处午三百六十五次又二四二二一六，则春分起点又应在别处午上了。由此可知春分之末，每年必移二四二二一六即向西五点四十八分四十七秒四六。当年与明年之间，春分东过经度百万分日的七十八万五千二百四十九，即该地西五点九分十四秒四八。

一千八百二十八年，《行海通书》开始附列此表。大概天下各处仪象台的子午远近不一，一概以春分时，则随处皆可得一同数的日，而与日行迟速也没有异同。所以历家观象论时，不必再详细区分何处之时。如当年正月初五日，彗星过最卑的点，在英国平时为五点四十七分，在巴黎平时为五点五十六分二十秒六，而以春分时刻核之，则俱为一千八百六十九年二百八十日六点二十六分三十二秒九八。大概以两地测之，则有远近不同之

译历数推算，春分之年才是天下共尊为公的时候。

译凡是已经求得太阳平时，而要求与之相合的春分时，如果在该处相合的平时内，加上这一天该处平午正时的春分时，其总和即为所求之时。如前文彗星的例子，泼立司在该处之东九分二十点六秒，在五点五十六分二十点六秒内减去九分二十点六秒，得到五点四十七分，与该处平时相合。将其加到该处正月初五日春分平午正时的二百八十九日又百万分日之二万七千四百点六五，约简其分数即为三十九分三十二点九八秒，因此当日彗星经过最卑点时为二百八十九日六点二十六分三十二点九八秒，即一千八百六十九年春分后的日时。

一千八百二十八年，《行海通书》附带使用迪白而氏的平黄道经度，以此确定春分时。所确定的时间，每年长短一致，均为三百六十五平太阳日又零点二四二二六四。此后推算太阳，即使更加精密，此数亦不可更改。随后在一千八百三十四年至一千八百五十六年间，《行海通书》改用白水而氏的平黄道经度，以此确定春分时，此时每年长短不一。英国天文学家黑失而氏认为，一千八百二十七八年至一千八百三十三四年间，应校正白、迪两家表格的不同数值。自一千八百五十六年以后，春分年应永久定为三百六十五平太阳日零点二四二二一六。若一千八百三十四年至一千八百五十六年的春分年长短，其差异甚微，可以不计。因为其最大差异，也不过是万分日之二。

自一千八百二十八年起，至一千八百三十三四年止校正白、迪两家表格数值如下。

关于年的日数，表格列出统年日数，自正月一日平午正时起，故正月一日为零，而以初二平午正时为满一日。

关于年的分数，此分数是以万分为一年，并用三百六十五日又千分日之二百四十二分的逐日登记其数，计日增加二十七分半，以便天算家使用。

第二百四十二页，列出黄道与赤道相交的角度，每十日记录其数值，记至次年正月六日止，故十二月多六日，为三十七日。此角度数值常变，因有中减率及地轴施动（岁差）的缘故。凡是知道星距此一面，或黄道，或赤道多少数值，即可依表算得另一面的数值，例如从黄道经纬度可得赤道经纬度，或从赤道经纬度算得黄道经纬度，即是如此。若遇表上未列之日，而欲求该日之交角数值，则以前后所记两数求每日比例较分，即中比例。但此差异甚微，故平常测量只取表内相近的数值使用。

日之地平视差，乃日心至地心为一直线，地之横半径上再出一斜线射向日心，成一最大角，形如从日心所见。此表亦十日一记，地心距日心愈远此角愈小，视差的作用，乃人在地面测日，可改至地心推算。

光行差，光常流行于地，又常依轨道行，故所见日位置，非其真处，真处较在见处之先，是以有差。所差数值，表内亦十日一记。凡是已知日见的黄道经度，而求其真处，依此表加此光行差，即得。若从地心推算一星之处，而求日之真正黄道经度，亦加此光行差。假设是年四月十一日平午正时所列日见的黄道经度为二十一度二十三分十一点二秒，加光行差二十点四秒，得二十一度二十三分三十一秒点六，即为真正黄道经度。

岁差。春分点在赤道上所退的数值，即恒星东移的数值。十日一记，用以校正平春分的经度。如是年四月十一日真正春分之日，见黄道经度为二十一度二十三秒十二点二。光行差为零，此号为减二十点四秒。春分差为零十六点八秒。反用⊥，此别为加法。加上此两数，得二十一度二十三分四十八点四秒，为四月十一日平春分日的真正黄道经度。相合的岁差十三点八秒，为二十一度二十三分三十四点六秒，为四月十一日的日真正黄道经度。但此数系以是年正月一日的平春分算起者。

春分差，凡是日月星所列黄赤诸表，俱系以平春分算定。但平春分算定时，真正春分点不符，故有春分差。所差的数值，十日一记于平春分的黄道经度内，减去此差数，即得真正春分的黄道经度。

若所指一星黄道经度，据真正春分而言，则将此差数反用之，即得平春分的黄道经度。假设是年四月十一日真正春分所合太阳黄道经度为二十一度二十三秒十一秒点二，相合的春分差为丁十六点八秒，反用⊥法得二十一度二十分二十八秒，即为此日平春分的太阳黄道经度。

赤道经度的春分差，亦照此法推算，即得。

译与黄道相交。然而其度数，必须仔细推算，变时表、恒星等时，也与此相同。

译月正交点的平黄道经度为0，每六十日记录一次，以平春分点为基准进行计算。如果遇到表中未列出的零日，可以使用表末每日退行0.318度的数值进行推算。如果大约估算月亮将平掩哪颗星，也需要使用此表。

第二百四十三页至第二百五十页，是关于太阳纵横线的表格，每日列出该地平午正时，日心与地心的纵横坐标，分别用“〇〇天”、“〇〇地”、“〇〇人”符号标记。“〇〇天”表示每日经过真春分点，“〇〇地”表示赤道面向夏至点，“〇〇人”表示赤道面交股向北。由于天文学家认为彗星难以推算，因此另外列出此表，将真春分点的“〇〇天”、“〇〇地 ”、“〇〇人”纵横坐标列出以供使用，这是当年正月初一的平春分纵横坐标。

第二百五十一页至第三百页，是各大行星的表格，将水星、金星、火星、木星、土星以及天王星、海王星分别列为七张表。它们的赤道经纬度，都是依据该地每日平午正时，从地心推算并列表，指的是星体的中心，如同从地心所见。只有天王星和海王星这两颗星，每隔四日列表一次。另外，各行星的黄道经纬度，都是从日心推算，指的是星体的中心，如同从日心所见，以平春分点为基准记录。由于地心的赤道经纬度存在光行差，所以记录的是其视位置。凡是求纬度时，罗盘偏东或偏西，就可以通过观测金星、火星、木星、土星这四颗星而得到。因为能看到太阳的时候，也能见到这些星。其中金星和木星，尤其容易测量。

行星经过该地午正的平时，也可以借此推算经过其他地方午正的平时。但也有一日内不经过该地午正的情况，因为行星日比平太阳日长。行星如同月亮，也有不过午的日子，表中用“〇〇（〇＊）”标记。查当年四月十二日，水星不经过该地午正。这一天，水星日的开始比太阳日早2分9秒，在十二日午正之前；而其结束则比太阳日晚8/10分，在十三日午正之后。所以在太阳一周日期间，这颗星来不及经过午正。如果按照中国的方法从子正开始计算，水星没有一天不经过子午线的。

也有一日经过午正两次的情况，这是因为行星日比太阳日短。因为行星日的开始在太阳日之后，而其结束则在太阳日之前，所以在太阳一周日期间，行星必然经过午正两次。表中也有记录，但与月亮不同。因为太阴日总是比太阳日长，而行星有退行时比太阳日短的情况。如当年六月初四日，水星经过该地午正在午正后1分，再于当日的23点54分9秒，即初五午前，再次经过午正。

求行星经过其他地方午正的平时，查前后两天经过午正的差值，即为行星二十四点中的加速率或减速率。得到这个比率后，再根据距离英国经度的比例来计算这个差值，这个差值称为正数，加或减在行星经过英国午正的时间上，但计算者应当详细审查，如果观测处在英国的东边，那么所有的加速率意味着行星经过观测处午正早于英国，如果所有的减速率意味着行星经过观测处午正迟于英国，在英国的西边则相反。

假设在当年二月初四日午后六点钟，在位于英国偏西三十度的地方进行观测，求水星的赤道经纬度，以及水星经过观测处午正迟的平时。方法：偏西三十度，应加上六个小时，为英国的二月初四日八点钟，用来计算赤道经度。查二月初四日水星赤道经度是20点55分35秒95，二月初五日是20点50分53秒81。两个数的差值是4分42秒14。以24点比4分42秒14，如同8点对应1分34秒05。查表经度逐渐减少，从初四日的经度中减去，余数为20点54分01秒90，即为所求的水星赤道经度。然而其每点的减率不同，必须再计算差值中的差值。方法见日减之，得到20点54分00秒58，为所求的赤道经度。

再求赤道纬度，查二月初四日为南13度33分02秒9，二月初五日为南13度51分25秒9。两个数的差值是18分23秒，以24点比18分23秒，如同8点对应6分07秒7，加在初四日的纬度上，得到纬南13度39分10秒6，即所求的赤道纬度。再推差值中的差值，应减去7秒9，方法见日。

求水星经过观测处午正的平时，查二月初四水星经过英国午正为23点49分02秒，二月初五为23点40分09秒，其差值为8分03秒。以24点比8分03秒，如同2点对应偏西三十度所化的时间与0.7分，观测处在英国的西边，且又是减速率，应减在初四的过午时间上，为二月初四日23点48分05秒，即得观测处水星过午的平时。寻常测算不必求精，用此法则没有大误差。第三百零一二页，是水、金、木、火、土、天王六颗行星的赤道、地平视差及半径。每五日记录一次下载，水、土两颗星的乘数为算极

译在半径的应用中，木星和土星的极半径等于赤道半径乘以千分之九百二十七。

译第三百零三至三百二十四页记载了金星、木星、土星、天王星和海王星经过该地正午时的赤道经度、纬度以及每点的差数，每隔一天记录一次，用来比较计算经过其他地方正午时的赤道经度、纬度，应当推算其与英国相距的度数，用每点的差数来求得。如果所设定的经度在英国的东边，就取本日的表数与前两天的表数核对它们的差；如果所设定的经度在英国的西边，就与后两天的表数核对它们的差。将两项每点的差数相减，得到差数中的差，用两天共四十八点去除它，然后以两地相距的经度所对应的时差折半取其中数相乘，看下一数每点的差数比本日的差数是大还是小，以决定加或减，然后加或减于本日每点的差数，作为所求时刻每点差数的准数。再用两地相距的度数所对应的时差相乘，就得到里差应当移动的赤道经度。道理与太阳每点差数的方法相同，于是看下一日赤道经度的进退以决定加或减，加或减于本日的经度，得到观测地点的赤道经度。求纬度的方法与此类似。

假设这一年三月初二日，在英国东边六十度的地方求正午时的赤道经度、纬度，查第三百零四页内，这一天水星经过英国正午时，其赤道经度为二十一点十三分四十三秒二五，每点经度的差数为负十一秒五七，用上法推算得到四点相距六十度时差时的每点差数为负十一秒五四，与零点四相乘得到零点四十六秒一六，用这个数减去这一天英国正午时的赤道经度，这种逆推而上的方法道理也相同，得到二十一点十二分五十六秒零九，这就是水星经过观测地点正午时的赤道经度。再查这一天水星纬度表为南纬，以南为零，数为十六度四十七分三十七秒三，每点的差数为负二十八秒五，如上法推算得到准数为负二十八秒二，与零点四相乘得到零点一分五十二秒八，加到这一天的南纬度上，得到南纬十六度四十九分三十秒一，这就是水星经过观测地点正午时的赤道纬度。再假设在三月初一日计算，其经度准数应为负十一秒一八，纬度准数应为负二十四秒七。

凡是测量行星的环，而想要推算其到达中心的度数，可以使用半径经过正午时的恒星时表。如果推算其纬度，则使用半径表、地平视差表，以便观测者改正到地心进行推算。

第三百二十五至三百八十九页，记载了一百四十七颗恒星的赤道平均经度、纬度，以这一年正月一日正午之后千分日之四十八作为起算的开端，并记载其岁差。其赤纬南北各有记号，只有北纬为负，凡是北纬可以依照记号加或减，南纬为零，在南纬的必须反用其记号。

假设在这一年五月三十一日求毕宿大星的平均赤道经度，查经度岁差为负三秒又万分秒之四千三百五十三，再查第五十页末行万分年之分数表内，其三十日相合分数为四千一百零七，依照原表加万分之二十六，得到万分之四千一百三十三，这个数与三秒四三五三相乘，得到一秒四二，这就是从正月一日又千分日之四十八以后到五月三十一日岁差的分例比数。既然有负号，应当加到正月一日又千分日之四十八时候所记载的赤道平均经度四点二十八分二十七秒七八二上，总共得到四点二十八分二十九秒二零二，这就是五月三十一日所求毕宿大星的赤道平均经度。又查赤道纬度岁差为正七秒六二二，如前法与万分年的四千一百三十二相乘，得到三秒一五，既然是北纬度，则依照记号加到正月一日又千分日之四十八时候所记录的赤道平均纬度北十六度十四分四十四秒一四中，总共得到北十六度十四分四十七秒二九，这就是五月三十一日所求毕宿大星的平均赤道纬度。

又如在这一年六月初三日，求帝星的平均赤道经度、纬度。查经度岁差为零万分秒之二千四百八十九。再查第六十页，这一天年的分数为万分之四千一百八十九。依照原奏加万分之二十六，得到万分之四千二百十五。这个数与岁差相乘，得到千分秒之一百零五。依照记号减于正月一日又千分日之四十八时候平均赤道经度十四点五十一分六秒八五七上，减余为十四点五十一分六秒七五一二，这就是六月初三日所求帝星的平均赤道经度。

又查赤道纬度岁差为零十四秒七五七，与年的分数四千二百十五相乘，得到六秒二二，依照记号减于正月一日又千分日之四十二时，候平均赤道纬度北七十四度四十一分十一秒二四中，减余为北七十四度四十一分五秒零二，这就是六月初三日所求帝星的平均赤道纬度。

又如在这一年五月三十一日，求心宿中心的平均赤道纬度，查其岁差为减八秒三八七

译第三，见到前面的相乘得到三秒四七，因为纬度是南度，所以岁差的零号应当反向使用，于是加在记录的正月一日又千分日之四十八时刻上，该星的纬度是南二十六度八分二十七秒六二，总共得到南纬二十六度八分三十一秒零九，这就是五月三十一日所求的心宿中星的平均赤道纬度。

译每月第二十页所载白水而氏的推方表，已在第三百二十九页中举例说明。第三百三十页及第三百三十一页所使用的英会星部恒数定星表，其方法也在第五百二十九页中详细阐述。勾陈第一星和第三星每日都列出数据，其余一百四十五颗恒星则每隔十日列出一个数据。所列出的数据，都是当天恒星经过该地子午线时的赤经和赤纬。表上方列出的赤道经度点分数与纬度度分数，因为一年中恒星赤道经度的变化只相差几秒，所以大数总计在上方，仅用秒数的小余数记在下方。因此，即使秒数超过六十，也不方便进位到分，仍然以秒计算。例如第三百四十六页，当年十二月十七日屏星第二所见的赤道经度为四点五十九分六十秒四二，实际上则是五点零秒四二。又如第三百四十八页，当年十二月十七日厕星第一所见的赤道纬度为南十七度五十四分六十二秒七二，实际上则是南十七度五十五分二秒七二。之所以不能移动大数，是受限于篇幅。

每隔十日，同时列出经纬度的差数，以便求取零日，使用中间比例法。

恒星有时一天内经过该地子午线两次，如果遇到这种情况，也分别记录这两次的经纬度。如第三百五十四页，七月三十日记录柳宿第五星过子午线两次。凡是遇到恒星过子午线两次的日子，如果不是表中列出的日期，就在经度上下十日之间另列小字，指出这十日内哪一天该星过该地子午线两次。那么太阳日内该星既过子午线十一次，其所记录的差数也应按十一等分比例计算。如第三百四十八页参宿第二星表内，六月初十日与二十日之间，旁注小字为十三，以表明六月十三日该星过子午线两次。查表旁差数为0秒一二，作十一日分，每日应为千分秒之十一。十三日第一次过子午线为十日内第三次，应用三乘以千分秒之十一而得其差。十三日第二次过子午线为十日内第四次，应用四乘以千分秒之十一而得其差。十四日过子午线为十日内第五次。虽然差数微小，其道理原本如此。

如果要精细计算，五极星所见的位数，须寻找一个准数。此准数应当用代数〇〇来求得。

此表记录星星所见的位，不计算准数，是因为星星的〇〇变率每日约二十六度，变化很大，所以不记录。只有第三百八十八、八十九两页，对于月亮的黄道经度，则每度都记录。表末申明其方法，正是每日光行差的方程式，记录在序言内。

第三百九十页至第四百二十八页是近月之星，意思是它们的赤道经纬度距离月亮不远。凡是想要计算地上东西两个子午线的差，就是比较所观测到的星星与月亮相距的赤道经度而得到的。假如月亮不动，那么星星与月亮赤道经度的差，无论哪个子午线都可以一概相同。只有月亮经常运动，那么经过两个地方（的）子午线时，月亮已经改变了它的赤道经度，将改变的度数加到两个地方子午线的差数内，就知道西边的子午线应移动多少度月亮才到达，因此知道月亮赤道经度的差也可以计算东西两个子午线的差。月亮明环的赤经度与月亮中心的赤经度，在经过该地上下子午线时，表中列出的数都有天下字作为记号，“甲乙”二字记录月亮的左右两个环。

星星的等数表，即记录星星大小的表，左行记录其日数及十分日之几。

每隔一点，即十五度，月亮改变赤道经度表，就是月亮经过该地子午线时每点的差数。如月亮从英东七度半到英西七度半两处的差为一点，这一点所移动的数，即从月亮的明环赤经度推测，所以其半径也常改变。

凡是东西两个子午线的差不大，意思是在一二度之间，可以用近月之星计算。如果差数很大，意思是相距十度以上，而想要详细计算其经度，应以东西两个子午线的中间子午线为准，求得月亮所移动的赤道经度之数而推断得出。如想要约算月亮的明环经过其他地方子午线的赤经度，用此法测量。方法是以英国子午线与赤处子午线经度的差与月亮所移动的经度相乘，所得数根据测量处子午线距离英国的东西来区别加或减，在东者减，在西者加，然后加减于表内赤经度，即为测量处子午线上月亮明环的经度。

假设在当年六月十八日，月亮经过英国上午时，其乙明环赤经度为二十二度四十七分四十七秒二四，其每点差数为一百二十四秒五。而求乙环经过泼立司法都上午的赤经度，查泼立司偏东九分二十点六秒，化为千分点之一百五十六，与每点差数相乘得十九秒四二，因为偏东，所以减去表内赤经度，余二十二度四十七分二十七秒八二，这就是乙明环经过泼立司子午线的赤经度。

凡是其他地方距离英国不太远的，其月亮的赤纬度也可以如法约算。只有地偏于东及纬度在南的，都为负数。即用前面的例子说明：当月经过英国，上午

译南纬十二度三分四十一秒八，每点校正数为除⊥六百二十三秒一。将此数与〇千分点之一百五十六相乘得到〇一分三十七秒三。这个负数与南纬度数相加，月亮的南纬逐渐减少，因为偏向东方所以反而减少，得到南纬十二度五分十九秒一。这就是月亮经过泼立司午时时的赤纬度数。

译星名表旁标有米号者，即指此星；无论该星位于赤道之南或北，均可与月亮同时测算，并以此确定月亮的视差。

月亮半径经过子午线时所经历的恒星时，这个数值因月亮距离赤纬的南北位置不同而改变，时刻不等。凡是观测到月亮外环与子午线相切的时刻，加上这个数值，即改为月亮中心经过子午线的时刻。

第四百二十九页至四百四十三页，记载日月交食在何地、何时可以观测到，并记载其计算出的各个根数。

第四百四十四页至四百五十四页记载星体的交食，共有五项内容。第一项，记载一等至六等的恒星，在该地平均子正时刻被月亮掩蔽，且在该地能够观测到的情况。第二项，记载恒星或行星自一等至五等，无论何处可见其被月亮掩蔽的情况。第三项，记载星体与月亮在该地何平均时刻具有相同的赤经度。第四项，记载月亮与星体合于同一经度时，其纬度有何差数。第五项，记载在何纬度之外，月亮不掩蔽星体。

凡是计算月亮掩蔽何星，可使用各种表册。表内所记录的星月数据，都是从地心推算的，因此地面上无论何处，皆可通用。只是计算时需距离英国若干经度，变换时间以加减之，在东者加，在西者减，即可得到月星相合时的测量平均时刻。

假设在当年八月初四日，月亮抵达氐宿第三星，在英国平均时刻为十六点二十九分五十七秒，而在波兰平均时刻为十六点三十九分十七秒六，这是因为波兰在英国以东九分二十秒六的缘故。

纬限，是指从地面上某纬度起，至某纬度止，能够看到月亮掩蔽何星；超出此范围则看不到掩蔽，这就是纬度的界限。

假设有人从星体望向地球，而月亮位于中间，则地面几乎被月亮所掩蔽，当月亮自西向东移过时，地面形成一带形区域，宽度与月亮直径相等。若反过来说，则人在地面上处于带形区域内观看月亮，星体被月亮掩蔽；在带形的上下两限，仅见月亮与星体相切而不相掩，这就是纬度界限，在其上者为上限，在其下者为下限。

纬限表以明星在何度应被月亮掩蔽，超出此范围则不必布算。

例如英国在赤道北五十一度二十八分三十八秒处，即北极高出地平线的度数。假设在当年八月内，查阅第四百五十一页的表，从十六日起查末尾行的纬限表，至十七日掩蔽α星（仅指一个希腊字母星名α，希腊字母），在赤道北二十六度之处起至九十度之间皆可看见。只是被掩蔽的时刻在三点十一分四十四秒，正值午后日光逼迫，仍不能看见。只是当日十二点四分二十一秒，月亮又掩蔽０星，在赤道北十四度至九十度之间可见。八月十九日十四点一分十七秒，月亮掩蔽毕宿第五星，在赤道南四度之处起至赤道北六十八之间可见。又是当日十四点三十五分三十八秒，月亮又掩蔽此星，在赤道北六度之处起至八十五之间可见。查阅第四百五十六页的表，可知以上三星的掩蔽情况，其中两颗在英国能够看见，一颗不能看见。

第四百五十五、五十六页的表，是恒星与行星在该地地平线上被月亮掩蔽，记录其不见至再见的恒星时及平均时刻，并记录星体在月亮环内始隐于某度，复见于某度的情况。若用反影镜观测，凡是穿过月亮的北极与中心成一大圈，与月亮环成一个交点，靠近月亮环的星体，距交点若干度，应当从角的北点数起。穿过月亮的天顶与其中心成一大圈，也与月亮环成一个交点，刚过月亮环的星体，距交点若干度，则从角的顶点数起。用此角，并可测量小星，且在星体隐而复见时，也须先知此角，否则难以确定镜子的方向。表内月亮掩蔽几颗星时，有在该地不得见的，然而离该地不远，即能看见。

第四百五十七页至四百七十六页的表，所记录的木星之月或食或掩或月过或影过的各种数据，都依据该地的平均时刻，并附图形以明其隐显之处。如自反影镜视之，图内的形状虽列举望日的数量，然而木星离地甚远，目力不及，故其本体与影子一月内更变甚微，除与日对峙时形状有异外，其余则通月皆然。试以两月图形较之，便可明白。当木星距该地地平上八度、日在地平下八度时，其月之食有此米为号，明该处可以测望；至木星在地平上、日在地平下时，有此十为记，则亦能望见。

〇〇甲者，指月木星，月亮被星影所掩，方隐之际。□〇乙者，指月亮离开星影，再显之时。此乃月亮距木星略远，则然。若日星对峙时、则月之食也近星之体。日星对峙之前，月之隐见在木星之西；日星对峙之后，月之隐见在木星之东。用反影镜视之，则东西相反。日星对峙之前，仅见第一月之隐；对峙之后，方见其显。至第二月被星影所蔽时，其隐见鲜能并见。第三、四月或可并见云。

凡在别处求木星某月隐见之时，即以此测处经度，在

译英国东西方向的推算，在东经度处，时间变化为减去经度差，即为所求的时间。但也必须查木星在地平线上的升降与太阳在地平线上的升降，如果太阳在地平线上，光芒耀眼难以看见，计算者应当用半弧表，从东到西，测量太阳出入的半弧，并借助半天球，才能确定太阳和星星距离地平线的方向。

译通过观测木星卫星的食象，可以确定地球上的经度。其中第一颗卫星最容易观测，只需详细准确地测量其发生时刻。将此时刻与英国时间进行比较，即可得出经度的差异。换算成度数后，若观测地的时间早于英国，则位于英国以西；若晚于英国，则位于英国以东。

假设在某年七月二十四日，在巴黎观测到木星第一颗卫星的隐没和出现时刻，为十四点三分二十四秒九。查阅第四百六十六页的表格，得知英国平时为十三点五十四分四秒三。两者的差值为九分二十秒六，这就是两地之间的经度差。因为观测到的时间晚于英国，所以知道该地位于英国以东。

凡是观测卫星掩蔽木星，除了表格中存在误差数值外，还有其他困难之处，难以精确测定地球的经度。而且不同望远镜的观测结果各不相同，若要精确计算经度，必须使用相似的望远镜，并计算地面的大气视差。如果不需要精确计算，那么通过观测木星被某颗卫星掩蔽，大致估算地球上的经度，或者像观测卫星的隐没与出现那样进行测量，就更为妙极了。

表格中大致估算了月食和卫星经过木星的情况，以便于天文学家预备测量，并推验此表的误差是否正确。因为观测这两件事，必须使用最好的望远镜，而在海上尤其难以观测。

“入”和“出”两个字，记录卫星初次接触木星环面称为“入”，初次离开木星环面称为“出”。

第四百七十七页至第四百八十七页，木星的两颗卫星毗连，表格内用数字记录，以代替寻常的0号，而不记录其黄道纬度，在上面的记于上方，在下面的记于下方，表格右侧为东，左侧为西。如果看到木星的卫星自西向东移动，则知道木星位于卫星与地球之间，而卫星运行在后半轨道，因此有食象和掩蔽；如果看到卫星自东向西移动，则知道卫星位于木星与地球之间，而卫星运行在前半轨道，因此有卫星经过和影子经过。

假设在某年正月二十七日，在英国八点钟时，使用平时制，用反射望远镜观测木星卫星，如图所示。其第一、第二两颗卫星，实际上在木星的左侧，通过反射望远镜观察，则在右侧；第三、第四两颗卫星，实际上在右侧，却反过来在左侧。表首的“西东”二字，乃是卫星实际上在木星的东、西方向。木星常在该处天顶的南方，图左侧的卫星应见于木星的西侧，图右侧的卫星应见于木星的东侧。由于卫星是倒影，所以方向就相反了。于是从木星中心起，距离远近相等，而左右互换，以此验证图示，可以得到卫星的真实方向。

表格内的时分都指当地平时，观察表格与图示可以辨别木星的各颗卫星，也可以区分其他靠近木星的恒星。

第四百八十八页至第四百九十页。行星与月球，或者与其他行星合于同一赤经度，以及行星与恒星合于经度或合于纬度，都每月一格，记录其日期和时间。行星在这个时候，最容易观测，也便于天文学家考验表格的正确与否。

第四百九十一页。土星光环的位置表中，每隔二十日记录一次，以说明其能否被看见。0表示光环的短轴，距离多少赤纬度？甲0∣乙0∣甲0∥乙0∥为光环所见大小的数值。丑丑0∣的比例，用来确定能否看见。因为太阳与地球同在一边，高出环面时，其光环自然能被看见。如果不能看见的时候，原因有三：一是环面平过日心，则丑0∣与0相等。

二是，环面平过地心，即丑与0相等，都不能看见。三是，太阳在环的面上，而地球又在一面，也不能看见，因为环上没有经过光线面向地球的一面。第四百九十二、九十三页，记录月球的明环大约在什么平时侧动最大，并记录火星、金星的环在什么月中光显几分至月球的纬度侧动的数值，则不论何时皆可照射。第四百九十三页计算之。

第四百九十四页至第四百九十七页 系该处潮汐与中国无关故不译

第四百九十八页的准数表，凡是观测到距星的度数，已经将大气视差等推算准确，可以求取秒数的比较，即比例对数的比较，在表内查一个准数，加以加减，即可得到该处相合的时间，其计算方法见后第五百二十六、二百七页内。

第四百九十九页至第五百页 表内的数值计算月球的侧动

第五百零一页至第五百零三页，为测量勾陈大星，若不在子午线时，可用此表，能计算地球纬度之法，如下。

先将仪器误差及大气视差推算准确，从星的高点减去，再按照第五百零四页将观测时的太阳平时改为恒星时，在此表内查得相合的第一个准数为⊥0，按号加减于观测到的高度，得到所求纬度的约数。再以所算的恒星时查第二、第三表得相合的第二个准数，将这两个准数加到上面的约数内，即得到真实纬度。

航海通书改率说

这部书是从英国航海通书翻译出来的，考察西方人的航海游历，确实以此书为向导。因为海船既已驶向远洋，茫茫无际没有岸边可记，罗盘只能辨别方向，不能测量当前所在之地，只有借助天度可以认识地球的经纬。数理精蕴，天上一度相当于地面二百里至三十六万尺，以天度的一秒相当于地面一百尺，此论南

译北纬度的情况就是这样。如果东西方向的偏度不在赤道之下，每一度都不满大圆的里程数，必须依据弧三角法来计算。白天测量太阳，夜晚观测月亮和星辰，辅以算术，距离的远近便了如指掌，因此没有到达不了的地方。所以我国航海也将翻译这本书作为首要任务，特意聘请西洋人士层层解析、条理分明，阐明其中的道理和数值，删减繁冗、提取精要，译成这部书集，以诱导后来学习者。凡是志同道合的人，都应当家中备有一部，早晚研习，引申推类、增长见识，制作仪器，随时测量，并且可以检验算法的疏密是否正确，这确实是给天文历算家特别开辟的门径。学者必定由此入手学习，那么大概就不会有差错了。

译改率

考察《海通书》，原本依据英国伦敦格林尼治天文台的中线进行计算，各种星体运行度数表都按照该地的平正午时刻来解释，所见时差从地心起算，其天周以春分点作为起点，这与中国的算法不同。现在翻译并修改时刻，遵循以京都顺天府作为中线，各种星体都从子正（半夜零点）起算，天周以冬至点作为起点，中西方共同使用平时，都尊崇从地心起算，三百六十度为一个周天。中国的方法又将周天分为十二宫，以冬至丑宫初度开始逆行十二地支，每宫三十度，每度六十分，每分 sixty 秒。又一天二十四时，这本书采用西方的惯例，以一小时为一时，以便于布算。所以凡是说一时，都是一小时，每小时六十分。中国的方法又以十五分为一刻，一时为四刻，因为增加了多位数，不便于布算，暂且遵循西方的惯例，不命名刻，每分六十秒，秒以下的小余数则跟随秒计算，不再以六十进制逐级细分。

根据西方学者的实际测量，得出东西经线相距一百十六度二十七分，换算成时间差为七点四十五分四十八秒。这是因为英国的正午时刻相当于顺天府的七点四十五分四十八秒。所以使用原书中的本日正午星度，再加上四点十四分十二秒的星体运行度数，就凑满了半日十二时的数量。如果星体的经纬度有退行的情况，则减去相应的度数，就能得到明日顺天府子正时刻的星度。

中比例算法

星者，即算法。使用星历必须先明白算法，一、二、三、四的比例关系，是西方算法的大宗。这种方法用已知数推导未知数，所以将原有的数作为一率、二率，将现有的数作为三率。通常以二率与三率的乘积作为被除数（实），以一率作为除数（法）去除，得到所求的四率数值。

时差

推算所得的结果说：平时通书表中的数值，都是按照平时计算确定的，就像钟表走动那样，是平分时间的。中国又称之为实时，日晷所测量的是真时，中国又称之为用时。因为时刻都尊崇赤道，原本就是平分的，黄道与赤道斜交，在赤道上度数有宽窄之分，太阳在黄道上运行，又有冬季盈余、夏季缩减的差异。由于这两个原因，所以产生了时差，即平时与真时之间的比较。两个数相减称为较，其数列如表所示，在平时的基础上加减这个较数，就能得到真时。

钟表宜开平时说

西方书籍说：一昼夜，地球自转一周，则以北极为基准；一年中，地球绕太阳一周，则以黄极为基准。两极相距二十三度二十七分，西方比率还有二十多秒的零数。而且每年有行分，就像岁差一样。因为日晷测量时间，都是依据绕太阳运行的轨道得出的，所以与赤道自转的比率不同。仔细计算，而且逐日不同。使用度时表、候之表极其精准，行船用来比较偏度，所以又名行船表。二十四时中，即一昼夜中，有时误差甚至达到半分，所以设置时差进行加减。

那么钟表只能走平分时间，与赤道同率，像太阳的盈缩、黄赤道升度差等都不包含在内。所以必须校准平时，按照符号加减时差，以求符合日晷测量的重要事项。

如果先测量得到日晷的正午时刻，求钟表的平时，则将时差的符号反用，加的减去，减的加上，再加减十二点，就能得到平时。

逐日测北极高度不拘何时

方法是用日晷观测，在接近正午的前后，只要日晷到达正午，可以不管地的经纬度是多少，节气的早晚，仪器的精密程度，都可以一概使用。只有罗盘（正）指南针与日影有偏向，而且随地不同，中国通常偏向日影的东方，所以测量太阳高度适宜在过正午几分后观测使用，用纪限仪多次测量太阳高度，取最高的度数作为本日正午太阳高度，内部减去蒙气差，加上地半径差，就将视高度改为实高度，随即查通书内本日太阳赤道纬度表数，都从子正起算，求正午用中比例，南加北减于太阳实高度上，得到赤道距地平的角度，也就是北极距天顶的角度，再与一个象限九十度相减，得到测量处北极出地的角度。如果测量恒星高度，赤纬的加减与太阳同法，只是恒星没有地半径差，只要减去蒙气差就是实高度。

另一种方法，任意在某日计算勾陈大星（北极星）过上子午线的时间，测量其视高度，内部减去蒙气差，改为实高度，再减去距极度约一度二十一分半，剩余的就是北极高度。或者计算它过下子午线的时间，测量其视高度，内部减去蒙宫差，加上距极度，也就是北极高度。

测候用时表说

凡是度时表，必须按照京师的平时校准。因为各种星体黄赤经纬表数，都依据京师平时起算。所以无论到哪里，看表内的时分与通书上星体运行经纬度随时吻合，时表实在是节省计算的快捷方式。如果没有时表，船到某处还不知道该地的经纬度是多少，用什么比例求星体的位置，必须任意设置多处逆向推测，岂不耗费计算？所以西方人航海除了测天仪器外，度时表与通书两者相辅相成，缺一不可。

算星过午线时即中星时

将本日星体的赤道经度内，减去本日太阳平行赤道经度，即为恒星时。如果不够减，加上二十四时再减，这是假设星体在正午太阳

译平行距离午正之后的时分。看这个数如果不满十二时，就加上十二时；如果超过十二时，就减去十二时。比例要从子正开始计算，所以加减十二时就是本日星体经过午线的泛时。如果恰好在子正，就是平时。因为有距离的时分，而且太阳和星体都有运行的度数，所以称为泛时。按照方法再求出明日星体经过午线的泛时，把一日化成一千四百四十分作为第一率，把两日泛时的差值化成秒作为第二率，把本日泛时化成分为第三率，求第四率，就是泛时内应该运行的泛时差秒数。看两日泛时的顺逆来区别加减，如果明日的数值多，就加到本日的数值上；如果明日的数值少，就减到本日的数值上。加减到本日的泛时上，就是京师星体经过午线的平时。如果计算太阴经过午线，每时都有细微的运行，只需要用一时之数值作为比例，不需要用两个子正的比例。

译某地纬度用日晷测偏度

方法是用日晷按照该地的极高度测得时辰，如果不是正午，日晷必须极其准确，才应当查看京师平时表内是几点几分，加减本日的时差，改为京师的日晷时间，与所测的日晷时间相减，用时间比较化为度数的方法参见变时表，就得到该地距离京师的偏度了。所测时间早于京师为偏东，迟于京师为偏西

测太阴过午线偏度

无论到什么地方，测得月亮过子午线，查看京师平时表内是几点几分，随即查阅通书，本日月亮过子午线是几点几分，与所测的时间相减，余数为两地所测处与京师过子午线时间的比较，于是查阅通书明日过子午线的时间减去本日过子午线的时间，余数化为分，加一日化为1440分为一率，一日化为1440分为二率，两地过子午线时间比较为三率，求四率为偏度时间，查阅变时表得到偏东西的度数，早于京师为偏东，迟于京师为偏

因为测量月亮视差，情况繁多。只有它在正午时，只有南北视差，与经度关系较多，所以便于测算。各星每日过子午线的时间比较数，只有月亮最大，用来比例求偏度容易准确。如果恒星每日过子午线的时间比较，只有3分56秒，五六太阳平行度，即是恒星时。所以测得两地午时时间比较，每点钟减10秒，即是偏度时间。西方人航海，常测月亮过子午线差，作为计算偏度的快捷方式

赤道经纬度说

按照西方书籍七政的经纬度，都依据赤道建立算法，探究其原因，都是因为各星随天向西转动。西方说地球自西向东，也相同。只有赤道极点不动，所以它的经纬度随地随时测算比较容易。如果黄道极点每日绕赤道极点一周，那么它的经纬度时刻不同，不仅观测很难，即使凭借它知道地的经纬度布算也不容易。所以西方书籍说：“黄道经纬度对航海之人没有益处，考查它的数值也从赤道经纬度用斜弧算出。”又那五星的黄道经纬度，都从日心建立算法，常以星出入黄道的南北交终为一周天。如水星只88日一周，金星220余日一周之类，并没有退留的运行，用于仰观不合。所以这个集子只取它的赤道经纬度列表。如果求黄道经纬度，钦天监既然有《七政时宪书》颁行，所以省去推算

表算日食法

求入限

所求年的干支，查看首朔食应表，表见后得到年前十二月朔食应，以后每朔，只在月数上递加一月，小余仍然不变，满食周11月73765的去掉，这就是月距交平行13周天月数余，为所求朔食应，查看某月朔入食限

二月365236以外

三月13008528以内

八月6075647以外

九月3724139以内

附求望食限

所求年的干支，查看首望食应表，得到年前十二月望食应，以后每望递加一月的小余，仍然不变满食中，5月868825的去掉，就得到逐月望食应，查看某月望入食限

二月5561178以外

三月31270718以内

右平朔望可食的界限，摘录徐钧卿先生的方法。不过举其大概，想要确定食的有无，须用日月离求实朔望，月亮距交度才为确切的食限

求实朔泛时

用平朔距冬至的日数，用推日月离的方法，方法见《考成后编》。各求其子时正黄道实行，将本日子时正太阳实行与月亮实行相比，如果月亮实行未及太阳，则平朔日就是实朔本日；如果月亮实行已过太阳，则平朔日就是实朔次日。平朔前一日为实朔本日

又用推日月离的方法，各求其子时正黄道实行，将本日子正太阳实行减去月亮实行，余数为月距日度，分化秒，求对数的方法见《数理精蕴》。加日法1440分对数内，减一日之月距日实行对数

次日日实行内减本日日实行，余数为一日之日实行；又次日月实行内减本日月实行余数为一日之月实行，内减一日之日实行余数为一日之月距日，求对数，就是得到距本日子时正分数的对数，检表得到真数，以时收之，得到实朔泛时。如果次日月实行仍未及日，则次日为实朔日于是以次日日实行内减月亮实行，余数为月距日，化秒求对数，加1440分对数内，减前所得一日之月距日实行

对距次日子时正后分数的对数

求泛时月距正交

次日月距正交内减本日月距正交不及减加十二宫，减之余为一日之月距正交，化秒求对数，加泛时距子时正分数之对数，内减1440分对数，得到距本日子时正之月距正交化秒

译根据表中的真实数值，用度分来收取，再加上本月从正月到正交的时间，就得到了泛时月距正交的时间。

译推算食限

观察月亮距离正交点之初，从宫度初度至第一宫十八度二十六分；从第五宫十一度三十四分至第六宫六度二十二分；从第十一宫二十三度三十八分至第十一宫三十度，都进入食限，表示有食；不进入此限内的，无食，即不必计算。

观察泛时如果在夜间，距离日出前、日落后五刻以内的，可见食；五刻以外的，全在夜间不可见，即不必计算。如果泛时在日出日落前后，必须先加减时差，审察昼夜。

推算实朔实时

实朔泛时，上下设置前后两个时刻。比如泛时为丑正二刻，则设置丑正初刻为前时，寅初初刻为前时。用推算日月离度的方法，各自求其黄道实行。以前后两时的日实行相减，为一小时的日实行。以前后两时的月离黄道实行相减，为一小时的月实行。两实行相减，为一小时的月距日。然后用前时的日实行内减月实行，余数为前时的月距日。将秒数化为对数，加上一小时化为三千六百秒的对数内，减去一小时月距日化秒的对数，得到距前后秒数的对数。查表得到真数，以分来收取，加于前数，得到实朔实时。用推算日月离度的方法，再以实朔实时各自求其黄道实行，则日月必定同宫同度分秒没有差异，方才准确。然后观察此时月距正交点进入前限的，表示有食。

推算均数时差

实朔日，引宫度，查日均数差表，即得到记加减号。

推算升度时差

实朔日，黄道宫度，查升度时差表，表见后，即得到记加减号。

推算实朔用时

实朔实时加减二时差，得到实朔用时。

推算日实行

前后两时，日黄道实行相减，为一小时的日实行。

推算月实行

前后两时，月离白道实行相减，为一小时的月实行。

推算实行总较

日实行与月实行相加，为实行总；相减为实行较。

推算半外角

设置半周一百八十度，内减黄白大距，剩余数减半，即为半外角。

推算半较角

实行较的对数，凡是弧度求对数，化皆秒入算，求三差分法，仿照此例如求入对数，必要弧度入算，加上半外角正切对数内，减去实行总对数，余数为半较角正切对数。

推算斜距交角差

半外角，减半较角，余数为斜距交角差。

求斜距，黄道交角，黄白二径交角。

实朔，黄白大距加斜距，交角差的斜距黄道交角，也就是黄白二径交角。实朔月距正交点初宫，十一宫，白经在黄道径西五六宫，白经在黄径东，记东西号。

推算两径斜距

日实行数对加实朔，黄白大距的正弦对数内减去斜距，交角差正弦对数余数为两径斜距对数。

推算斜距对数较

一小时三千六百秒，对数内减去两径斜距对数余，为斜距对数较。各个限距弧求距时，加对数较；距离时求距弧，减对数较。所以用对数较。

推算食甚实纬

斜距黄道交角的余弦对数加，实朔太阴黄纬化为秒（以下同），对数内减去半径对数，即前位所进的一余，为食甚实纬对数，查表得到真数为秒，秒下必定带小余一位。求三差分法，仿照此例记南北号，与实朔月纬南北相同。

推算食甚斜距弦 食甚距时

斜距黄道交角的正弦对数，加实朔太阴黄纬对数，内减去半径对数余，为食甚距弧对数。再加上斜距对数较，即食甚距时对数。查表得到真数为秒，以分来收取。月距正交点初宫、六宫为减，五宫、十一宫位加，记加减号。

推算食甚用时

实朔用时，加减食甚距时，得到食甚用时，即京师食甚用时。

推算太阳实引

实朔，太阳自变量加减太阳均数，得到太阳实引。

推算太阴实引

实朔太阴自变量加减太阴初均数得到太阴实引。

推算地平高下差

太阴实引宫度及本天心距地，见月离察交食，太阴地半径差见表见《考成后编》。得到太阴在地平时，最大地半径差内减去太阳地平地半径差十秒余，为地平高下。

推算太阳实半径

太阳实引宫度，察交食。太阳视径表，得到视半径内减去太阳光分十五秒，即实半径。

推算太阴视半径

太阳实引宫度，及本天心距地，查交食太阴视半径，表得到太阴视半径。

推算并径

太阴实半径，加太阴视半径，得到并径。

推算距时日实行

日实行对数，加食甚距时对数，，内减去三千六百秒对数，余数为距时。日实行对数加减号与食甚距离时相同。

推算食甚太阳黄道经度

实朔太阳黄道实

译进行加减运算，距离太阳实际运行的时间，得到食甚时太阳的黄道经度。

求食甚时太阳的赤道经度

在食甚时，根据太阳的黄道经度，查黄赤升度差表，得到黄赤升度差，对黄道经度进行加减，即为食甚时太阳的赤道经度。

译求食甚时太阳的赤道纬度

在食甚时刻，根据太阳的黄道经度，查黄赤距度表，得到食甚时太阳的赤道纬度，并记下南北方向。

求食甚时太阳的黄道宿度与赤道宿度

使用上元甲子的列宿黄赤经纬度表，将列宿的黄道经度加上岁差，每年五十二秒，推算至所求年份。查食甚时太阳的黄道经度，用本年黄道宿钤内某宿的度分去减，减后的余数即为食甚时太阳的黄道宿度。又将赤道宿度按照赤经加减岁差，推算至所求年份。查食甚时太阳的赤道经度，用本年赤道宿钤内某宿的度分去减，减后余数即为食甚时太阳的赤道宿度。

求太阳距离北极的角度

设置九十度，若太阳赤道纬度在南则加，在北则减，得到太阳距离北极的角度。

求黄道与赤经的交角，即黄道与赤经交角的余角。

在食甚时刻，根据太阳的黄道经度，查二经交角表，得到黄赤二经交角。冬至夏至之后，若黄经在赤经之西或东，记下东西方向。

求赤经与白经的交角

黄赤二经交角与黄白二经交角的差，即斜距黄道的交角。若东西方向相同则相加，方向仍不变；若方向不同则相减，方向从数值大者确定，得到赤白二经交角，记下东西方向。这里所说的东西，是指白经在赤经的东西方向。若两角相等而减尽无余数，则白经与赤经重合，无交角。若无黄赤二经交角，则黄白二经的交角即为赤白二经交角，东西方向相同。

求北极距离天顶的角度

设置九十度，减去本地北极出地的高度，得到本地北极距离天顶的角度。

求半和弧与半较弧

将日距北极的角度与北极距天顶的角度相加，取一半为半和弧；相减，取一半为半较弧。

求正弦对数差

半和弧的正弦对数，减去半较弧的正弦对数，得到正弦数差，其符号为减，因为要与半角余切相减。

求余弦对数差

半较弧的余弦对数，减去半和弧的余弦对数，得到余弦对数差，其符号为加，因为要与半角余切相加。这两个数在九限内皆可通用，比起旧法使用垂弧的方法，简捷数倍。

求本地食甚时刻

设置京师食甚时刻，加减本地偏东或偏西的度分时分，偏东或偏西的度数，见《考成下编》，得到本地食甚时刻。

求用时，太阳距离午正的赤道度即可，借作前设时刻。

以食甚时刻，午前、午后的时分，若时刻在午正之前，则设置十二小时，减去用时，余数为午前时分；若时刻在午正之后，减去十二小时，余数为距午正后的时分。转换为赤道度，若时刻距午正一小时，变为十五度一分；变为十五分钟，一秒变为十五秒，得到用时太阳距离午正的赤道度。或使用变时表，按时取度，表见冯林一的《中星表》后半部分，取一半为半距午赤道度。

求设时刻的半较角

半距午赤道度的余切对数内减去正弦对数差，得到半较角的正切对数。

求设时刻的半和角

半距午赤道度的余切对数加上余弦对数差，得到半和角的正切对数。

求设时刻赤经高弧交角

半和角减去半较角。若北极出地二十三度二十七分以内，且太阳在夏至前后位于天顶之北，则两角相加得到设时刻赤经高弧交角，午前为东，午后为为西，记下东西方向。

求设时刻白经高弧交角

设时刻赤经高弧交角与赤白二经交角，参见前文，东西方向相同则相加，方向仍不变；方向不同则相减，方向从数值大者确定。得到设时刻白经高弧交角，记下东西方向。这里所说的东西，是指太阳在白平象限的东西方向。若两角相等而减尽无余数则太阳正当白平象限，无交角，此时设时刻即真时刻。但若有高下一差者相加，超过九十度与半周相减，使用其余数则白平象限在天顶之北。

求设时刻太阳距离天顶的角度，以及设时刻的高下差。

北极距天顶的正弦对数，加上设时刻太阳距午赤道度的正弦对数，内减去设时刻赤经高弧交角的正弦对数，得到设时刻太阳距天顶的正弦对数。加上地平高下差的对数，内减去半径的对数，得到设时刻高下差的对数。

求设时刻的东西差

设时刻白经高弧交角的余弦对数，加上设时刻高下差的对数，内减去半径的对数，得到

译当时距的对数，减去斜距数的对数差，得到设时实距弧的对数；在用时前后，根据纬度确定西或东，并记下东或西的符号。

求设时视距弧

译设定时刻的实际距离弧的加减值，以及设定时刻的东西差，得到设定时刻的视距离弧。

月亮在界限内，东西方向的设定时刻，如果在用时之前则减加，在用时之后则加减。

月亮在界限的东西方向，东西差大于实际距离弧，为纬度东西；小于实际距离弧，为纬度西东。记录东西的符号，如果以食甚用时为前，设定时刻则没有实际距离弧，其东西差即为视距离弧。界限东也为纬度东，界限西也为纬度西。

求设定时刻视距离与视纬度的差角

设定时刻视距离弧的对数，加上半径的对数，再减去设定时刻视纬度的对数，得到设定时刻视距离与视纬度差角的正切对数。

求设定时刻两心视相距

设定时刻视距离弧的对数，加上半径的对数，减去设定时刻视距离与视纬度差角的正弦对数，得到设定时刻两心视相距的对数。

以上各条，从太阳距离午赤道度起，到两心视相距止，共十四项。凡是食甚用时、近时、真时，以及初亏、复圆的用时、近时、真时，都名称相同而数值不同，所以不重复列出。各种求取实际值，都是基于设定时刻，所以统一以“设定时刻”冠之。求取三限真时，都使用前后两个设定时刻来求取。

求食甚前后，两个设定时刻的视相距之和与差。

前设定时刻两心视相距与后设定时刻两心视相距相加为视距和，相减为视图较。

求对视行角

前设定时刻视距、视纬差角加减后设定时刻视距、视纬差角，东西相同则减，不同则加，得到对视行角，取一半得到对视行半角。

求半和角

对视行半角的余切对数，加上视距较的对数，减去视距和的对数，得到半和角的余切对数。

求视行旁小角

半和角内减去对视行半角，得到视行旁小角。

求两设定时刻视行

对视行角的正弦对数，加上小视相距的对数，减去视行旁小角的正弦对数，得到两设定时刻视行的对数。

求视行差

视距和的对数，加上视距较的对数，减去两设定时刻视行的对数，得到视行差的对数。

求食甚真时视行

两设定时刻视行加上视行差，取一半，得到食甚真时视行。

求食甚真时距分

两设定时刻较的对数，加上真时视行的对数，减去两设定时刻视行的对数，得到食甚真时距分的对数。

求食甚真时两心视相距

视行旁小角的正弦对数，加上大视相距的对数，减去半径的对数，得到食甚真时两心视相距的对数。

再以食甚真时为设定时刻，求取其两心视相距，以考察其是否吻合。吻合则食甚真时即为定真时，否则再次求取视行，以求取考察定真时，方法如前。

求食甚定真时

设定时刻距分小于真时距分，界限西为加减，界限东为减加。放置食甚设定时刻，加减真时距分，得到食甚定真时。

求食分

并径内减去定真时两心视相距的余数，求其对数，加上六百秒的对数，再减去太阳全径、太阳实半径倍之即全径的对数，得到食分的对数。

求初亏复圆前设定时刻

食甚定真时两心视相距与并径相加为距径和，减去为距径较。

距径和的对数，加上距径较的对数的一半，加上定真时距分的对数，减去定真时视行的对数，得到初亏复圆前设定时刻距分的对数。

求初亏复圆后设定时刻

前设定时刻两心视相距与并径相减为距径较；食甚两心视相距与前设定时刻两心视相距相减为视距较。

距径较的对数，加上前设定时刻距分的对数，减去视距较的对数，得到后设定时刻距分的对数。

求初亏复圆真时

两设定时刻相减为设定时刻较，两设定时刻视相距相减为视距较。后设定时刻两心视相距与并径相减为距经较。设定时刻较的对数加上距径较的对数，减去视距较的对数，得到真时距后设定时刻的对数。

求初亏定交角

初亏真时视距、视纬差角，即为并径白经交角，加减白经高弧交后，得到定交角。初亏在界限东西者，纬度南北则加，与半周相减；纬度北南则减。南北以初亏视纬度论。如果白平象限在天顶北，则纬度南；如果纬度北，则纬度北如同纬度南。如果没有初亏白经高弧交角，则视距视纬差角即为定交角。如果两角相等，减尽无余，或者相加恰好一百八十度，则交角为初度。

求复圆定交角

复圆真时视距、视纬差角，即为并经白经交角，加减白经高弧交角后，得到定交角。复圆在界限东西者，纬度北南则加，与半周相减；纬度南北则减，解释同初亏。

求初亏方位

初亏在界限东西者，定交角初度为正，上下四十五以内为上下偏，右四十五以外为右偏，上下九十度为正右，超过九十度为右偏下。上白经高弧交大，反减交定角者，变右为左白平象限在天顶北，左右相反。

求复圆方位

复圆在界限东西者，

译确定交角的初度为正，上下四十五度以内称为上下偏，左侧四十五度以外称为左偏，上下九十度称为正左，超过九十度称为左偏上。如果白道经高弧与交角较大，反而减去交定角，则左偏变为右偏。白道平象限位于天顶以北时，左右方向相反。

译求食限总时

用复圆定真时，减去初亏定真时，得到食限总时。

用对数尺来代替计算，或者称为“用量法代替计算”。

西洋的对数，能够将乘除运算转化为加减运算，其计算必须依赖对数表，制造对数表实际上很难，但使用起来非常方便，是当今学习算学的人所不可缺少的。近来已经用活字印刷出版，并在前面附上了几条使用方法，使得读者打开书卷就能明白。事情完成后，我又深入思考其中的道理，既然可以通过两个数相加来代替乘法，相减来代替除法，那么必然也能应用于量法，于是变通这种方法，制作了一千根直尺，在尺的上面标记数字。于是按照假数（对数）的积，在尺内分别标记真数，以代替对数表，应用于民间贸易和日常普通的计算，乘除运算可以通过测量来驾驭，方法非常浅显易懂，即使是妇女和小孩，只要略识数字，也可以早上学会晚上就能运用，这难道不是在普通算术之外，又出现了一种奇妙的方法吗？凡是学习使用这种尺，必须制作一根薄铜尺，或者用象牙，或者用篾青，都可以，将一边削薄像刀口一样，以便紧密贴合尺内的数字，一定要取光滑的材质，这样所记的墨迹在计算完毕后，随时可以擦去。依照书中两根尺的长度为标准，以官尺三四分为宽度，在中间刻定一条线，平分为两根。凡是遇到乘法，有两个零数相加超过一根尺的，就将一根尺并入根数内，用剩下的数量来测量，道理也是一样的。或者遇到除法，被除数的零数不足以减去除数的零数时，就可以少记一根尺，移到尺的上半部分，将被除数的零数接在下面，就可以减去了。

凡是初次学习使用这种尺，必须用算盘来记录根数，以便于加减。等到使用熟练后，根数的加减自然能够心算，就不需要算盘了。又因为这种尺只能用来以加减代替乘除，如果有几个数连续相加或递减，这种尺无法驾驭，仍然需要使用算盘。凡是确定所求位数的多少，用对数表的首位法来辨别。比如单位的首位是0，十的首位是1，百的首位是2，千的首位是3，万的首位是4，十万的首位是5等等。比如百与十相乘，那么2加1等于3，所得结果应该是千位数。如果乘法遇到两根尺相加超过一千根的，就可以减去一千根，用剩下的数量来测量，所得结果也是一样的，只是其位数照常，必须进一位。又如果除法遇到被除数的根数少于除数的根数，那么不足以相减，可以在被除数内加上一千根再减，仍然用减后的剩余数量来测量，所得结果也是一样的，只是其位数照常必须退一位。如果所求位数的多少可以意会，不意会就不需要寻找首位了。

凡是有两个数想要相乘，先任意取一个数在尺内的真数中寻找对应，看尺的上面标记其根数。另用铜尺的上端对齐尺的上面细界线，量到真数所在的地方，即其根数下的零数，用墨线标记在铜尺上。再查另一个数的上面根数，并入所记的根数上，再用铜尺上墨线标记的地方对齐尺的上面细界线，量到另一个数真数所在的地方，也是其根数下的零数，再用墨线标记其下，那么两个零数也就连成一条直线了。于是查看两次所合并的根数，在尺的上面根数中寻找对应，再用铜尺的上端对齐尺的上面细界线，量其下所记的墨线处。

相遇的真数，就是两个数相乘得出的结果。如果遇到两根数相加超过一千根，以及两个零数相接超过一根尺的，都依照前面的方法来测量。凡是有两个数想要相除，先将被除数在尺内的真数中寻找对应，看尺的上面记其根数，另用铜尺的上端对齐尺的上面细界，量到被除数的真数所在的地方，即其根数下的零数，在铜尺上用墨标记。再将除数在尺内的真数中寻找对应，看尺的面上记其根数，也用铜尺的上端对齐尺的上面细界线，量到除数的真数所在的地方，也是其根数下的零数，在铜尺上面用墨线标记。先将被除数的根数内减去除数的根数，查看其减后的剩余根数，在尺的上面查对，再用铜尺上被除数的零数内减去除数的零数，用其减后的差额对齐尺的上面细界线，量其下所记墨处，相遇的真数就是两个数相除得出的结果。如果遇到被除数的根数少于除数的根数，以及被除数的零数少于除数的零数，都依照前面的方法来测量。

凡是计算四率比例，依照常规方法，第二率与第三率相乘的数作为被除数，以第一率为除数进行归除，就得到所求的第四率数。所以用量法，也将二率与三率的根数与零数，像乘法一样合并，作为被除数。再像归除法一样，减去第一率的根数及零数，查看其余数，依照前面的方法测量，就得到所求的第四率数。其道理与使用对数表相同。

凡是开平方，先将平方积在尺内的真数中寻找对应，看尺的上面的根数。如果是偶数，就可以折半；如果是奇数，就少记一根，移到纸上。再用纸对齐尺的上面细界线，量到平方积真数所在的地方，即其根数下的零数，以墨标记在纸上。随即查看折半后的根数，在尺的上面寻找对应，再将纸上的零数对折，对齐尺的上面细界线，量其下墨处相遇的真数，就得到平方边。然而必须审察平方积的位数，必须将首位加在根数上，折半后再去掉首位来测量，这样平方边的数才不会混淆。因为平方积

译两位数的平方根，其首位数字是1，这是原因。如果平方数只有个位数，那么平方根的首位就是0，也就是将平方根折半。如果平方数在一百以内，是两位数，那么平方根的首位就是1，必须将平方根加上一千后再折半，才符合。如果平方数在一千以内，是三位数，那么平方根的首位就是2，必须将平方根加上两千后再折半，才符合。依次类推，都是这样。

译凡是开立方的积数之根，也必须在首位加上，只是根数与零数各自取其三分之一，按照前面的方法测量它们相遇的真实数值，就能得到立方体的边长。多次乘方则依据数字依次推导，比如三次乘方取四分之一，四次乘方取五分之一之类。

中西历学源流异同论

我私下认为，天地之间存在着万古不变的真理，却没有百世不变的方法，万事都是如此，在历法上最为显著。所以研究历法的人只应当顺应天象以求符合，不应当为了符合而验证天象。尧命令羲和观测日月星辰的历象，舜使用璇玑玉衡来协调七政，这都是随着时代考察测试以符合天象。从未听说确立一种千古不变的方法，就能永远符合天象。虽然孟子所说：“如果探究其缘故，千百年后的冬至也可以坐着知道”，但这仍然属于寻求符合的说法。自古以来研究历法的有七十多家，疏密交替，详细推演各不相同，但探究其原理不外乎唐尧虞舜时所确定的模式。历法、天象、璇玑玉衡，就是算术图像以及测验的仪器。这是研究历法的大纲，即使万世也不能改变。然而历法书籍在夏商周三代以前，确实有原本，只是师徒传授学习的书籍全部毁于秦始皇的焚书之火。只有《尧典》仅记载以三百六十六天为岁实。杜预说这是举全数而言，则有六天，其实为五天又四分之一天。日论说汉晋各家都以太阳每天运行一度，三百六十五天又四分之一天，而环绕一周天。从北齐张子信开始察觉有入气之差，而设立增减的比率。隋朝刘焯设立盈缩躔度与四季升降，其方法更加详细。到元朝郭守敬才将盈缩分为初末四限，确定岁实为三百六十五天又万分之二千四百二十五天，比前代更为精密。到前朝明朝西方历法逐渐传入中国，历数之学才开始称为完美完备。从汉朝时西域人多禄亩，直到明朝第谷，则确立为本天高卑、本轮均轮等学说，用三角推算，其技术尤其精湛，于是确定岁实为三百六十五天又千万分之二百四十二万一千八百七十五天，与郭守敬相比又减少了万分之三有余。本朝西方人刻白尔噶西呢等人互相推考，又将本天视为椭圆，均分其面积为平行度。又月亮离去，古历都说月亮每天运行十三度又十九分之七度，东汉贾逵开始说月亮运行有迟疾，到刘洪列为差率，元朝郭守敬定为转分进退时各不相同，就像现在的初均。等到如今西方历法更加明白，才知道太阴共有十种行度，都因为太阳运行盈缩及本天高卑两弦朔望而产生，都与旧法截然不同。只是因为古时历年尚浅，所差甚微。不是一时所能看清，等到岁月流逝，积累微小成为显著，然后共同看见而差法确立。这不是前人的智慧不如后人，而是前人不能预见后来的差异，而后人却能考察前代的度数。所以时代越往后，历法越明白，其趋势就是这样。这就是历法古代疏略而今天精密的原因，确实有缘由。考察西方历学起源于罗马国，罗马历从努马到凯撒，儒略一年为十二月，是由祭司和大吏任意更改确定的。后来凯撒儒略出征，请亚历山大天算家索西琴尼制定历法，才开始创立三百六十五天及三百六十六天两种假岁实的方法，以三百六十六天为闰日之年，每四年一闰，与郭守敬第谷等人所确定的岁实大致相近。于是以耶稣降生前四十五年正月初一日为开始，改用新历。

查考《史记》应当在汉宣帝、汉元帝之间，这时历法尚乱，所以史称其年为乱年。此后儒略的命令未实行而死，死后祭司不明历法，以本年为第一闰年，到第四年又为闰年，这样每三年中一闰，历三十六年中应当闰九日，而错误地闰了十二日。凯撒奥古斯都察觉其错误，下令十二年不置闰日，于是符合儒略的大意，后来不再更改。到小余积累久了，自然产生差异，于是由格里高利改正。当汉孺子婴初始元年、新莽建国四年及天凤三年等等，都是闰日之年，历法家都依据此上推。直到唐朝时才有九执历，元朝末年才有回回历，统括回部各国、犹太等历法而言。欧洲人又从回历加以精进，近代伽利略等人相继兴起，阐明细微发掘奥秘，推测尤其详细。当时西方历法都尊崇它，然而技术分疏密，今古殊途，道理极其精微，中西一致。我国家推恩中外，一视同仁，于是聘请西方人协助管理历法，这就是《历象考成》等书的由来。然而在历算诸学，都竭尽精微。只是中国向来以闰月确定四时成岁，其原因因为地球历三百六十五天五小时三刻三分四十五秒而绕太阳一周，月亮约二十九天十二小时二刻十四分二秒而追绕地球一周地绕太阳一周而月亮绕地球十二次有十天有余，所以三年一闰，五年再闰，十九年而七闰才符合其期限。只有二十四节气，古时都平分岁实，所以称为恒气，现在以太阳运行盈缩而确定其增减，称为定气，而节气一周与岁实仍然相同。西方国家以太阳、恒星十二宫分岁实为十二分。

译既然他们不以月圆作为标准，所以没有正月、二月等名称，俗称的外国正月、二月，是中国人这样称呼才有的。在西方历法学家那里，本来就没有“月”这个概念，然而他们十二个月的日数也各不相同，这是因为黄道上有高卑差，而太阳的运行速度因此有增减。比如磨碣宫（摩羯座）太阳运行位置最低，速度最快，所以二十八天就运行完一个宫；如果巨蟹宫太阳位置最高，速度最慢，所以三十一天才运行完一个宫。总共以三百六十五天为一年，比起实际的岁数还少五个多小时，所以每四年闰一天，又因为四个五小时多还不足一天的数量，所以又经过一百二十八年，少闰一天。按法则应该闰三十二天的，就闰三十一天，才符合它的周期。闰日是以太阳运行的度数来纪年，闰月则是以月亮运行的度数来纪年。虽然分月的闰法各有不同，但纪年的纲纪却没有丝毫差异，这叫做不约而同地相合。中国以正月初一为岁首，梅勿庵说西方以太阳运行到斗宿四度为正月初一，有人说西方以地球处于最低点作为过年的日期。这两者相差还很小，因为最低点每年向东运行约六十二秒，恒星每年向东运行约五十一秒，仅差十一秒，必须积累到三百二十七年多，才差一度。推算今年的冬至，最低点距离冬至点后十度五十八分四十一秒。按自注：此论系光绪丙戌年所作。冬至后二十天内，太阳运行最快，每天约一度有余，所以冬至过后十天就是西方过年的日期，即中国的十二月初八日。西方人常以过年前八天为耶稣诞辰，即太阳运行到第十三宫第二十五天，所以耶稣诞辰在中国的冬至后三天。

译虽然中西两种历法不同，但实际上是相同的，然而在相同之中又有不同之处。耶稣诞辰在冬至之后三天，这在近六十年间确实如此。推究其根本原因，并非关乎历法原理的疏密，而是由于立法原则的差异以及天象的变迁。西方各国总是以地球处于近日点作为过年之期，而近日点每年向东移动约六十二秒，大约六十年误差一度，所以在六百年之间，近日点距离冬至已经相差十度了。如果以太阳运行至斗宿四度作为过年之期，大致是相同的。例如今年近日点在冬至之后相差十度零，再过六百年应当变为相差二十度零，那么西方过年的日期也将在中国冬至之后二十天，而耶稣诞辰也就随之变为冬至之后十三天了。大凡在六十年中也有一两天的参差，今年交冬至节气在十一月二十七日卯初，所以是冬至后三天；假如在二十六日亥时交冬至，那就变为冬至后四天了。只是查考康熙戊辰年的瞻礼单，耶稣诞辰在冬至之后四天，似乎是以太阳运行至斗宿四度作为过年之期的。考据近日点与冬至同度，应当在宋理宗时期，从宋朝以上又提前了，所以上溯到汉哀帝庚申年，近日点在冬至之前相差约二十二度十六分，所以耶稣降生的时辰应当在哀帝庚申年十月，即冬至前二十七或二十八年，是小雪节后两三天。一千九百年之间已经相差到三十一天，这就是所说的相同之中更有不同之处。我依据近日点向东移动的道理推演，从今天起大约经过一万零一百四十年之久，那么地球绕日轨道的近日点和远日点将交换位置，近日点应当位于夏至点，而西方过年的日期就在中华夏至之期，即耶稣诞辰在中国夏至之前七天了。在那时，北半球夏季产生酷暑，冬季有严寒，越靠近北极其痛苦越严重，因为近日点和远日点所受日光的比例如同十六与十五之比，陆地都环绕北冰海披离下垂，所以南半球多水，北半球多陆，水能反射光线所以难受热也难散热，陆地能传热所以易受热也易散热。夏至时北极朝向太阳，日光直射北半球，只有地球适当位于远日点才相宜，然而那时正好位于近日点，其积聚的热量应当得到百度却增加为一百零七度；冬至时南极朝向太阳，日光斜照北半球，如果地球位于近日点，那还相宜，然而那时正好位于远日点，其剩余的热量应当有二十度却减少为十八度。虽然略微能够凭借行度的盈缩而交替消长，然而哪里比得上今天消长的自然呢？有人说：寒暑表上升降几度，对人来说似乎不太察觉，有什么痛苦呢？回答说：伏暑增加两三度不能忍受，隆冬减少两三度不能忍受，没看见那烈日当空，如火伞张开的时候，竟然有人多穿一丝衣服都不能忍受的吗，这是什么缘故呢？又没看见那云愁水结，灯寒榻冷的时候，简直有人想拿刀剪都难以忍受的吗，这又是什么缘故呢？夏至时将要增加七度的热，而人有不喊苦的吗？从此再经历万余年而又恢复今天的情况，这又是天运的循环，而中西岁月的大不同之处。至于近日点和远日点的根源，以及近日点的运行不停止，那么其原因非常微妙，一时不可思议。虽然欧洲精通天文的人，也不明白其中的奥妙。只是大概其原因一定在恒星上。

更定测量北极出地高度的简便方法

西方人颜家乐的测量北极出地高度的简便方法，见于《赤水遗珍》，《畴人传》也记载了它。这种方法先在该地测量一颗恒星，从它升出地平线到正午所经历的时间，以及它的高度，用时间换算成赤道度数，以它的大矢为一率，正矢为二率，高度的正弦为三率，得到四率为正弦，查表得到度数，内部减去星距天顶的度数，余数与九十度相加，折半再减去九十度，得到北极出地的度数。但是这种方法必须北极出地不满半象限，星星经过子午圈在天顶南、赤道北才可以，否则就不符合。李士叔认为这不是通用的方法，而改进了它，见于他所著的《天算或问》。他的方法观察星星在赤道南北的不同，而大矢、正矢不同，其乘除法观察星星的高弧或深弧南北的不同，而两弧不同，其加减法虽然大致完备，反而失之繁琐。所以颜氏的方法简便而不完备，李氏的方法完备而不简便，学者最终难以领悟。现在变通两家的方法，编缀为通用的方法，各种题目都可以一以贯之，并补充图表演算草稿在后面，推步之家或许有取用之处。光绪十二年丙戌夏六月丁澣在沪滨格致堂识记。

方法说：在一个地方任意测量一颗恒星，从它升出地平线到子午圈所经历的时间，以及在子午圈的高弧，于是用时间换算成度数，以它的本角正矢为一率，外角正矢为二率的，高弧正弦为三率，得到四率为正弦，检表得到度数，为星的深弧，与高弧相加，减半周，折半得到北极出地的度数。从地平圈南到星出地最高点为高弧，从地平圈北到星入地最深点为深弧，两弧如果有超过象限的，仍然用本角度，不用外角度。

图略

如图，午、癸、丙、丁有据，子午圈剖成平圆面，乙丁为地平面，癸为北极，癸乙为北极出地高度，午为赤道

译交于子午圈之点，甲为星，甲丙为星道直径，甲丁为高弧，甲壬为其正弦；乙丙为深弧，庚丙为其正弦；甲辛为星道度本角之正矢，辛丙为星道度外角之正矢。星一昼夜运行一周，故以时间换算为度数，即为星道度。甲辛壬与辛庚丙两个直角三角形形状相同，故星道度本角之正矢即甲辛弦与星道度外角之正矢即辛丙弦之比，如同高弧正弦即甲壬直角边与深弧正弦即庚丙直角边之比，由此比例可得深弧正弦之理。甲癸与癸丙两弧相等，合并为深弧加上北极高出地平之度数；以甲丁高弧减去乙己丁半圆周，余下甲乙弧为北极高出地平之倍度，再加上深弧之度数，故将高弧与深弧之和减去半圆周再折半，即为北极高出地平之度数，由此加减可得北极高出地平之理。何以知星道度本角之正矢为甲辛，外角之正矢为辛丙呢？假如甲卯丙未为依星道剖成的平面圆，甲丙为星道直径，丑甲为星从地平升起至子午圈所经过的度数，甲心丑为本角，其正矢为甲辛；丑心丙为外角，其正矢为辛丙。

译在一处测得一颗恒星从升出地平线到经过子午圈，历时二十六刻二分，高弧为六十三度，求北极出地高度。

草稿说：将恒星从升出地平线到经过子午圈的时长转化为度数，得到九十八度。其本角正矢为1.139173，外角正矢为0.860827。于是以本角正矢作为第一比例项，外角正矢作为第二比例项，高弧正弦0.8910065作为第三比例项，求得第四比例项0.6722098，即为深弧正弦。查表得到四十二度十九分，与高弧相加得到一百零五度十九分，减去半周（一百八十度）得到七十四度四十一分，折半得到三十七度二十分三十秒，这就是北极出地的高度。

对数草稿说：九十八度本角正矢的对数为10.05658971，外角正矢的对数为9.93491583。于是以本角正矢对数作为第一比例项，外角正矢对数作为第二比例项，高弧正弦对数9.94988088作为第三比例项，求得第四比例项9.828207，即为深弧正弦对数。查表得到四十二度十九分，依照前述方法进行加减运算，得到北极出地高度。

在一处测得一颗恒星从升出地平线到经过自午圈，历时十四刻十二分，高弧为七度，求北极出地高度。

草稿说：将恒星从升出地平线到经过自午圈的时长转化为度数，得到五十五度三十分。其本角正矢为0.4335938，外角正矢为1.5664062。于是以本角正矢作为第一比例项，外角外矢作为第二比例项，高弧正弦0.1218693作为第三比例项，求得第四比例项0.4402665，即为深弧正弦。查表得到一百五十三度五十三分，与高弧相加得到一百六十度五十三分，减去半周得到十九度七分，折半得到九度三十三分三十秒，这就是北极出地的高度。

对数草稿说：五十五度三十分本角正矢的对数为9.63708301，外角正矢的对数为10.19490439。于是以本角正矢对数作为第一比例项外角正矢对数作为第二比例项，高弧外矢对数9.08589447作为第三比例项，求得第四比例项9.64371585，即为深弧正弦对数。查表得到一百五十三度五十三分，依照前述方法进行加减运算，得到北极出地。

在一处测得一颗恒星从升出地平线到经过午圈，历时四十二刻二分，高弧为一百二十一度，求北极出地高度。

草稿说：将恒星从升出地平线到经过午圈的时长转化为度数，得到一百五十八度。其本角正矢为1.9271839，外角正矢为0.0728161。于是以本角正矢作为第一比例项，外外角正矢作为第二比例项，高弧外矢0.8571673作为第三比例项，求得第四比例项0.3238693，即为深弧正弦。查表得到一度五十一分，与高弧相加得到一百二十二度五十一分，减去半周得到五十七度九分，折半得到二十八度三十四分三十秒，这就是北极出地的高度。

对数草稿说：一百五十八度本角正矢的对数为10.28492315，外角正矢的对数为8.86222767。于是以本角正矢对数作为第一比例外角正矢对数作为第二比例项，外弧外矢对数9.93306559作为第三比例项，求得第四比例项8.51037011，即为深弧正弦对数。查表得到一度五十一分，依照前述方法进行加减运算，得到北极出地

附录：真数与对数求正矢的方法

用真数求正矢，用余弦减去半径，即可得到。如果弧长超过象限，其余弦为负值，所以用加法代替减法。

用对数求正矢，无论是否超过象限，将半弧正弦的对数加倍，加上2的对数0.30102999，再减去半径的对数10，即可得到。因为首项是半径，中项是通弦，即半弧正弦的两倍，末项是两倍的正矢。所以通弦自乘后除以二，再除以半径，即为正矢；而通弦自乘后除以二，即等于半弧正弦自乘后再乘以二。现在对数加倍相当于自乘，加法相当于乘法，减法相当于除法，所以半弧正弦对数加倍，加上2的对数，再减去半径的对数，即为正矢的对数。

近代畴人著述记

《畴人传》自罗茗香续写之后，再也没有人继续续写。近来数学家的著作序跋，足以继承前贤并开启后学的，并不缺乏。然而有的僻处边远角落，遗书未能彰显；有的英才早逝，著作未能完成，这样的情况也常常存在。想要搜访并续辑，确实不容易做到。然而潜心钻研数理的人，是名山绝业；多方搜录的人，是崇尚友道的苦心。我不揣浅陋，勉强效法管窥，意在网罗，若有繁冗之嫌，谨分条梳理如下。

仪征阮文达公（阮元）曾经用虞喜的方法推演《小雅·十月之交》，认为在周幽王六年，因此用时宪术士推演幽王六年十月朔日正好进入交点，在督理漕运时设立粮船盘粮尺算法，颁行各省。他又曾追溯古今沿革的源头，探究中西异同的原因，搜集史书，荟萃典籍，创立《畴人传》。自黄帝以来，甄别并记录，得到二百八十人，综合算学的大成，记载步天的正轨，至今游艺之士奉为指南。

甘泉罗茗香（罗士琳）年少时

译著有《比例汇通》四卷，选取《九章算术》中切合日常应用的内容，汇编成《比例十二种》，宗旨在于阐明算法，西方数学方法随后传入，他更加专精于天元术、四元术，撰写了《观我生室汇稿》，已经刊刻的共有九种：一是《句股容三事拾遗》，依据博绘亭的方法，选取勾股形中原本就有的容方、容边、容圆、容径，增加西方数学中的容中垂、交互相求，统一用天元术来驾驭；二是《三角和较算例》，选取斜三角形和平三角形中两边夹一角的方法，融入立天元一法，用和较法推演成公式；三是《四元玉鉴细草》，因为朱世杰原书深奥难懂，他耗费十年精力，逐步写出全部演算过程，补充遗漏，纠正错误，阐明疑难之处；四是《演元九式》，概括《四元玉鉴》中进退、升降、消长等各种例题，借助无穷数引入正负开方式；五是《台锥积演》，因为《四元玉鉴》中有茭草形、果积、累藏两门，足以弥补少广术的不足，于是选取台锥形，引申发挥；六是《周无专鼎铭考》，以四分历法为主，辅以三统历、汉代历法，推算出周宣王十六年九月既望甲戌日，与铭文相符；七是《续畴人传》，因为阮元所撰《畴人传》年代久远，有应当续增的内容，于是增补得到六卷；八是《弧矢算术补》，因为李锐《弧矢算术》中的方法不完备，于是增加二十七种方法，合成四十种方法；九是《增广新术》，推广正升、斜升、平升的算法，以求得月亮随地、随时的明魄方向分秒，又用这种方法推演，以求得交食限内的方向边分以及所经过的边分；尚未刊刻的有六种：一是《交食图说举隅》，遵循现行的椭圆法，在各求下附上方法解释；二是《春秋朔闰考》，汇集黄帝以来六种历法及汉代三统历法，考证《春秋》自隐公到哀公共二百五十五年，总计经传七百九十九日的日名，推演成书；三是《缀术辑补》，因为祖冲之的《缀术》早已失传，于是搜集各书，参用本法，推演出两卷；四是《句股截积和较算例》，因为孔广森《少广正负术》所载不完备，推而广之，得到八十四种方法；五是《淮南天文训存疑》；六是《博能丛话》。

译甘泉人易蓉浦的《瀚》，因为罗列了《茗香玉鉴》中细草的格式，拘泥于体裁，凡是天元、四元等条目的混杂糅合，开方术的头绪纷繁复杂，全都未能指出其中的义例，于是摘取开方以及天元、四元等各种算例，写成《四元释例》一书，附在《罗草》之后。

山阳人骆春池名腾风，著《开方释例》四卷，对于各种乘方、方廉、和较、大小、加减的道理，都直言阐述，并且推求各元的进退、定商等各种方法，足以弥补李四香《开方说》中未曾完备的地方。他又曾取衰分、方程、句股等方法，以及《九章算术》中未记载的，还有古今算书中未能全面融洽的，追溯本源，著成《艺游录》二卷。

全椒人江云樵名临泰，善于使用对数，所著《弧三角举隅》，后来误传为张作楠所作，《简明直指》附刻在张丹村的《翠微山房丛书》中。

黟县人俞理初名正燮，博览群书，长于考订，兼擅天文算学。所著《沟洫》《东田》等解说，以及关于恒星、七曜、古历、四分历等论述，都独具见识，前人未曾涉及。道德清人许积卿名宗彦，是经学家而兼通推步之理，著《太阳行度解》，以辨正王寅旭、戴东原的错误。其目录为：解日本天，解日行黄道，解日径度，解日纬度，解求经纬度，解高下盈缩，解用赤道度，解日度无宽窄，解日左右旋，共九篇。

元和人沈狎鸥名钦裴，曾为李云门校勘《九章算术》细草图说，其中均输一章多有增补修订，又补写了《海岛算经》的细草。晚年从张古愚家得到秦道古《数书九章》的抄本，订补脱漏历时多年。所著有《秦书刊误》，因年老多病未能完成。去世后，他的子弟宋勉之搜得残稿数卷，采纳其说法编入札记。沈氏在京师时，曾手抄徐氏所推演的《玉鉴细草》数段，因而想要补撰完整的细草，遗稿四册，被长洲人马远林名钊所收藏。我的老师张啸山先生曾见过，其细草与罗氏的大同小异，实际上不如罗氏详细。然而“四象朝元”第三、第五两问，罗草中方廉隅等数都与原术不符，竟然没有说法来解释。沈氏所推演的唯独与原术相合，这一点则胜过罗草。马君打算刊刻却未能实现，后来马君殉难，遗稿于是踪迹全无。江阴人宋勉之名景昌，著《数书九章札记》，以沈狎鸥所校勘的明抄本为主，并参酌李四香所校勘的四库馆本，搜集众说而折衷裁定，足以供后学考证。他又曾校勘杨辉的《算法六种》，都刻入《宜稼堂丛书》中，未刻的有《开方之分还原术》一种。

无锡人邹敬甫名安鬯，精研琴理，著《琴律细草》一卷。酷爱天元一术，校读算书，每当有所心得，就题写在书页眉上。曾因为郁刻的《秦道古数》《书九章》错误谬误错杂出现，演算不易，所以用力尤其勤奋，而辨正之处较多。有沈、李、毛、宋各家所未能涉及的，我私下打算编次其说法为《数书校议》一册，或许乡先辈的学术可以不致埋没。

乌程人陈静杰著《算法大成》上编共十卷，分门别类，意在引导初学者。其中平弧三角数卷，颇能洞察本源。句股求三整数法，尤为新得的道理。只是将天元正负各种乘方视为算家故意设置的难题，不适于实用，未免被识者所嘲笑。下编十卷，则由方法而致应用。但没有刻本，大概是未定稿。又有《缉古算经细草》一卷，《图解》三卷，《马义》一卷，刊行于世。还有《彗星谱》二册。他的弟子有乌程人张南坪名福禧，归安人丁书兆名庆，都通晓算学但未成著述。《算法大成》中收录其两边夹一角，直接求对边的术解，颇为明晰。

钱唐人项梅侣名达，其算学著作已刻印的称为《下学算书》，共三种，一是《句股六术图解》，变通旧法，将术分为六种，使题目相同的通为一术，图解明晰，比例精简；二是《平三角和较术》；三是《弧三角和较术》。在极数究理于无形中，在比例中寻得比例，婉转妙合，古人所未有。可惜其图解尚无成书，未刻的称为《象数一原》。项氏原书只有六卷，而卷四仅六页，是未完之书。去世后，他的友人戴鄂士校补，才成为完整的一部，共七卷。卷一曰《整分起度弦矢律论》，卷二曰《半分起度弦矢律论》，卷三、卷四曰《零分起度率矢论》，都以两等边三角形阐明其象，用递加法确定其数，最后申论其算法。卷五曰《诸术通诠》选取新立的此弧弦矢求他弧弦矢两种术，半径求弦矢两种术，以及董氏、杜氏各种术，按术进行诠解。卷六曰《诸术明变》，杂乱列举所定的弦矢求八种术，开各种乘方捷术，算律管新术，椭圆求周长术，都是从递加数转变而得的。卷七曰《椭圆求周长图解》，则是戴鄂士所补纂的。他的弟子钱唐人王吉甫名大有，酷爱算术，

译他兼通中西两家的学说，曾经校勘刻印《割图捷术合编》，不知道他还有没有其他著作？

译乌程徐壮愍公名有壬，致力于民间义斋的算学，已刻印的著作共有七种：一是《测圆密率》，依据杜德美、董方立等人反复乘除的方法，而广泛推广为相互推求的术法；二是《造表简法》，运用垛积招差的方法，来求取西方人建立数表的根本；三是《椭圆正术》，因为新法中盈缩迟疾的计算都基于椭圆，但取径迂回，布算繁重，于是撰写此术，方法简便而精密，尤其便于使用对数；四是《截球解义》，直接阐明球体与等径等高的圆柱其外表面积也相等的道理，这是几何学未曾阐发的；五是《弧角拾遗》，概括旧法中垂弧、次形、矢较等条目，而统一归结为和较，应用于对数尤其便利；六是《表算日食三差》，因为西方历法推算多依赖数表，唯独日食没有建立推算方法，所以用新法加以补充；七是《朔食九服里差》，增广历代天文学家旧有的术法，作为各地州郡随时观测日食的准则。那些尚未测定的，还有《堆垛测圆》三卷、《圆率通考》一卷、《四元算式》一卷、《校正九执术》一卷、《古今积年解源》二卷、《强弱率通考》一卷，都毁于战火，无法再见到了。

钱塘戴鄂名士煦，在《粤雅堂丛书》中刻印了他所著的《求表捷术》三种，共九卷。第一种叫《对数简法》，是《对数简法》的续篇。起初用开方表求取各种对数，后来因为假设对数，即纳皮尔对数，来求取标准对数，即十进对数。接着领悟到开无限次乘方的方法，用连比例求取各种对数，而得到的数值更加快捷，这是求对数表的快捷方法。第二种叫《外切密率》，运用连比例、互相比例，借助杜德美求弦矢的各种术法，变通用来求取切割，两种割圆的方法于是完备，这是求八种数表的快捷方法。第三种叫《假数测圆》，创立负算对数，可以舍弃八种数表而直接用弧背入算，来求取它的八种对数，这是求八种对数表的快捷方法。又有《四元玉鉴细草》，与罗明香所著的略微相同，但图解明白通畅胜过他。《音分古义》二卷，用连比例建立算式，与古代律吕分数相合，都未曾刻印。

吴县冯景亭名桂芬，著有《弧矢算术细草图解》一卷，依据李四香的十三题而详细推演，天元加减乘除、开方等各种式子，意思浅显语言详细，对初学者有益，刻入《昭代丛书》中。咸丰末年，西方人的新术刚传入中国，通晓其方法的人很少，而李壬叔所翻译的《代微积拾级》一书尤其难读，于是取该书逐节疏解，与上元陈子玙共同撰写《西算新法直解》一书，只是轻率改动了他所记录的符号、所替代的字，这正如戴东原变更旧名，反而足以疑惑误导后学。又有《中星表》，按照咸丰辛亥年天正冬至的星度建立算式。

金山顾尚之名观光，著书很多，全部稿本名叫《武陵山人杂着》。其中谈论算学的有十一种：一是《算剩初续编》共二卷，二是《九数存古》，依据《九章算术》分为九卷，而将堆垛、大衍、四元、旁要、重查、夕桀、割圆、弧矢等各种术法附在后面，都是从古书中采集而分门别类隶属的。三是《九数外录》，则概括西方术法为对数、割圆、八平、三角、球面三角、各等面体、圆锥、三曲线、静力学、动力学、流体静力学、天体力学。作记十篇，四是《六历通考》，依据《开元占经》记载黄帝、颛顼、夏、殷、周、历代的积年，而为之考证。五是《九执历》，六是《回回历解》，都是就其方法而疏通证明的。七是《推步简法》，八是《新历推步简法》，九是《五星简法》，都是就天文学家所用的术法将度改为百分，趋向简易而省去其迂曲。十是《算剩余稿》，十一是《杂着》，则是他去世后，我的老师张啸山先生为之分别编次的。

杭州夏紫笙名鸾翔，遗书共有四种，一是《万象一原》，二是《致曲术图解》，推究纵横的条理，研求微积分的奥妙，三是《洞方术》，探索递加数、尖堆底的原理，可以用加减代替乘除，作为求弦矢的快捷方式，四是《少广缒凿》，专门建立快捷方法来开各类乘方，通为一种术法，可以直接求取数十位方根，无论益积、翻积，都视为平坦大道了。

临川纪慎斋名大奎，著有《笔算便览》。该书以笔算为名，而兼及筹算。阐述宣城梅氏的义理，都显得简明。同治庚午年，南昌梅氏重印《算经十书》，曾取该书附刻在后面。

广州何报之名梦瑶，曾删订《算法统宗》以及辑录梅定九、朱吟石两家的书，共为四卷。接着又抄撮《数理精蕴》，得到八卷，合为一书，共得十二卷，名叫《算迪》。现在伍氏刻本只有八卷，大概不是他的全部稿本。

南海邹特夫名伯奇，遗书说：“学计一得以算术解经义，作为治经者的辅助。”一是补《小尔雅》释度量衡三篇，博引传注，考证详细明白。二是《格述补述》，继承《梦溪笔谈》的遗绪，作为算学的支流。三是《对数尺记》，因为西方对数表而变通之，用尺代

译《表》这一部分，制作简便而用途广泛。其中“乘方捷术”一章，首先确立开方的四种方法，以阐明其原理；又设立求对数比较的四种比率，以探究其深奥之处；最后设置对数开方、计算利息等演算草稿，以彰显这些方法在日常应用中的切实有效。“存稿”则是杂文。我曾绘制过一幅完整的地图，其经度没有伸缩变化，而纬度逐渐变窄，相互对照都符合半径与余弦的比例关系，横向九幅，纵向十幅，合在一起就构成地球，那波涛四散的地貌形状，用圆形绘制圆形，形态非常逼真。又依据咸丰甲寅年之前的恒星经纬度，绘制了赤道南北的恒星图两幅。尚未定稿的书籍，还有《测量备要》两册。他的弟子伊善卿、德龄著有《求弦矢通解》一卷，被刻入《传习录》中。

译嘉靖年间，清夫说：“我精通‘求一’的方法，曾运用大衍术来求等约分，头绪繁杂不一，于是撰写了《求一术指》一书。晚年双目失明，仍能用手触摸算盘，口授给儿子，著成《百术衍》两卷。将张邱建《百一题》中的题目衍生为大、中、小三类，都包含有分子的题目，以穷尽通分的奥妙。每道题分别列出两种解法，一种用方程法，一种用求一法，以显示各种算法原理相通。每问各列出三个答案，以求其概略，然而疏漏简略之处很多。如果用代数法来求解，那么符合题意的答案数量还不止这些。”兴化人刘熙载（字融斋）著《天元正负歌》，加减乘除四则运算简捷明了，最适合初学者。见《昨非集》。

长沙人丁取忠（字果臣）是楚地南学派的倡导者，曾校刻《白芙堂算学丛书》，他所撰写的著作有：《数学拾遗》，多阐发古今数学家未尽的旨意；《舆地经纬度里表》，依据魏源《海国图志》来补充张氏《揣钥小录》，为其分析旗部，增补《海国推距里》。只是魏源的地图辗转摹绘，所记载的经纬度不足为据，而据此推算，难免有毫厘之差导致千里之谬。比如现在实测英国伦敦在中国京师偏西一百十六度二十八分，而此表却说是一百二十七度十分，相差多达一千二百多里，其他国家误差率也类似；《粟布演草》，该书以商业生息为题，辑录各家算法草稿，汇总以阐明开方之术，而邹特夫的截算、续商两种方法，也借此附载其中；《对数详解》，完全依据代数法，而阐明对数的原理与用途，算式繁重，演算不易，这得益于曾栗諴的努力。

海州人李善兰（字壬叔）曾与西方学者伟烈亚力继续翻译《几何原本》的后九卷，以完成徐光启未竟的事业，又翻译《代数学》十三卷，《代微积拾级》（即微积分入门）十八卷，《重学》（即力学）二十卷，《曲说》三卷，《谈天》（即天文学）十八卷，刊行于世。代数，相当于中国算法中的天元术、四元术。只是天元术、四元术所重视的是行列位次，而代数不论行列位次，一切都用符号表示，所以其原理虽然相同，但用途更为广泛。微分和积分，凡是平面和立体都假设为由小渐大，一刹那间所增加的积，就是微分。其全部积就是积分。一切曲线及曲线所围成的面，曲面及曲面所围成的体，八种弧背互求，真数与对数互求。过去所谓无法求解而难以求得的问题，现在都有方法求解，而且很容易。重学，其学科分为静力学和动力学两支，静力学所推导的是力的大小确定；动力学所推导的是力的速度。速度有匀速、渐速、加速之分，而其原理的大要有二：一是分力与合力，二是重心，这是静力学和动力学所共有的。又有流体静力学，其力有二：一是互摄力，二是互推力。曲线，指圆锥曲线。一是椭圆，二是双曲线，三是抛物线。放置圆锥形截之，其截面与锥底的交角小于锥腰与锥底交角的是椭圆，大于锥腰与锥底交角的是双曲线，等于锥腰与锥底交角的是抛物线。《谈天》，是西方学者侯失勒所著的天文书。书中说太阳和恒星不动，而地球和五大行星都绕太阳运行。地球和五大行星绕太阳，以及月亮绕地球，其轨道都是椭圆，而在相等的时间里，所扫过的面积也相等。这真是顺应天道以求吻合，而不是为了吻合去验证天道。这几部书，都是西方人最精深的造诣，是中国本土未曾有的奇书，比起明末所翻译的书籍，远远超过它们了。李善兰自己著作的有《则古昔斋算学》，共十四种：《方圆阐幽》，《弧矢启秘》，《对数探源》，都以尖锥术立算，发掘古人未发现的奥秘；《垛积比类》，则依据《玉鉴》遗法，而分条别类，详细论述，在《九章算术》之外另树一帜；《四元解》，指明算例，改定算式格式，详细推演细草图解，虽然深奥，读此可豁然开朗；《麟德术解》，以李淳风的盈朒迟速二法为授时术的平定二差，所依托的始因，取《史记》所载校正并解释明白；《椭圆正术解》，因为徐光启所立的正术，都极其精深，逐术为之补图详解。《椭圆新术》，则是变通正术，而更加趋向简易。《椭圆拾遗》，拾取西方学说的遗义，以探究曲线的极致。《火器真诀》，以抛物线的方法，通用于平圆。《尖锥变法》，解释考察西方算法的异同，区别方法的正变，可以突破对数的藩篱，而没有遗留的蕴义了。《级数回求》，作为一切级数互求的标准。《天算或问》，杂记其答问之词，单文剩义，剖析入微。《考数根法》，数根，是指唯一可度量，而其他数不能度量的数。立法共有四种，可补充几何学的不足。

新化人邹汉勋（字叔绩）与丁果臣一同研究算学，尤其研究天文推步之书，著有《颛顼宪考》。他的弟弟邹汉池（字季深）也通晓算学，丁氏的《度里表》多出自他的手笔。

长沙人李蕃（字夫锡）著《借根句股细草》一卷

译全书一卷，包含七十八道题目，归纳为二十五种算法。其主旨与李四香的《天元句股细草》相似，而西方数学中的借根法，就是中国数学中的天元术。因此两者可以相辅相成。

译湘阴左壬叟潜所著的著作，有《割圜八缀术补草》、《缀术释》、《明缀术释》、《戴》等书，一贯运用天元寄分的方法，用来建立算式，巧妙变化难以测度。又有《通分捷法》一卷，将分母和分子分解为极小的数根，相同的则去掉，任意用多项式通分，顷刻间就能得到结果。

湘乡曾栗諴纪鸿，是曾文正公的次子。他著《圆率通考》，依据西方学者尤拉的方法，参照代数术二十五卷，创立新法，推算出圆周率一百位，这是自古以来从未有过的。他其他的算学手稿尚未成书，最终因用心过度，吐血而死。

算学到今天可以说已经登峰造极了。中国的天元、四元，就是西方人的代数原理，只是不如代数的变化多端。代数又不如微积分那样穷尽变量的变化。十年前，项名达、戴煦所创的方法，非常接近微分。此后积累世代的智慧，在代数和微积分之外另树一帜，或许会有这样的人，但不能必然保证。我的朋友崔君聘臣，名朝庆，观察事理清澈透彻，对算学尤其深入精微。曾经和我谈论算学说：“算学自从项名达、戴煦等君子出现后，已经达到极致了。”足以证明这是心得之语。现在选辑二十多人的作品，虽然不能全都像项名达、戴煦那样，但也大多接近项名达、戴煦的水平。我确实领会他们著述的精妙，并非随便抄录。读这部选辑的人，通过这篇文章就足以窥见一斑了。丁亥年秋天，湘乡葛道殷心水在江南机器制造总局翻译馆中题识。

呈送会典馆测绘舆图书

第一是确定天度，用来确定州县的位置。地球是浑圆的，它的南北两点，正对着天空的南北两极。其中腰的大圈，也与天空的赤道相当。如果人在北极下面，就把北极当作天顶。人逐渐向南走，看见北极逐渐降低。到了赤道，北极就与地平线重合。南极也是这样。所以地球的南北不同，北极高出地平线的高低就不同。东边的地方日出日落，比西边的地方早。地球周长三百六十度，与天周相应。每度六十份，总共两万一千六百份。日历天周分为昼夜二十四小时。每小时六十份，总共一千四百四十份。所以时间的一分，等于度数的十五分。四分等于一度。这个地方在那个地方的东边一度，那么这个地方的日出日落就比那个地方早四分。所以地球的东西不同，日出日落的早晚就不同。而测量天度的人，必须先确定子午线。比如京师的子午线，英国的格林尼治，法国的巴黎，以前西方地图所用的福岛，都是这样。《考工记》说：“工匠建立国家，用水准测量地面，悬挂垂线放置标杆，用垂线和日影画圆，标记日出时的日影和日入时的日影，白天参照正午的日影，晚上考察极星。”按照这段话，工匠建立国家，在夏至日确定国家的子午线。“水准地面”是说用水来平整地面，就像西方人使用水平仪，悬挂垂线。说平整地面，一定要使地面与垂线成直角。槷，就是标杆。竖立标杆使其正如垂线，从而产生日影。日出的日影和日入的日影长度必须相等。担心所标记的日影端点可能不准确，于是任意取一个日影的长度为半径，以标杆底部为中心，展开圆规画成平圆，两个日影端点都交于圆边，这就严密契合，这就是用圆规标记日出日入的日影。再把两个日影端点之间的圆边中点折出，向标杆底部作直线，就是子午线的方向。郑玄注说：“测量两个交点之间的距离，中间弯曲用手指指向标杆，那么南北方向就正确了。”又正午的日影最短，必定与所画的子午线重合。所以既画了子午线，又用正午的日影来参照。极靠近北极的勾陈星，就是《尧典》中的璇玑。璇玑借指极星。说勾陈是环绕北极最近的星。其说法详见《尚书大传》、《周髀算经》等书。玉衡星就是《尧典》中的玉衡，星经中的斗六星，庄子中的维斗，尔雅中的斗极，晋以后天文志中所命名的黄道极星。晚上观察勾陈与玉衡形成垂直线，那么赤极与黄极相当，又与所画的子午线方向重合，那么子午线就准确。这就是晚上考察极星。大司徒用土圭的方法测量土地的深浅，校正日影。土深指南北，日影指东西。夏至日正午，日影向南短，说明这个地方在南边靠近太阳，所以土圭的日影短。日影向北长，说明这个地方在北边远离太阳，所以土圭的日影长。这是确定南北纬度的道理。日影向东傍晚，说明这个地方在东边，太阳经过该国的子午线时，东边的日影已经傍晚。日影向西早晨，说明这个地方在西边，太阳经过该国的子午线时，西边的日影还是早晨。这是确定东西经度的道理。西方人确定国家的子午线，也使用工匠的方法，并参照指南针，排除磁偏角，安置子午仪使其极其稳定，用来观测日星经过子午线。他们随时随地测量经纬度，从日晷将到正午到日晷过正午，用纪限仪或经纬仪多次测量太阳的高弧，取其最高度作为本处太阳过子午线距地平的高度，也就是本处的正午。然后用太阳距地平的高度减去蒙气差，加上地半径差作为实际高度，用象限九十度减去它，得到太阳距本处天顶的度数，与本日太阳赤纬度南加北减，就得到本处北极高出地平线的度数。于是先用极准时的钟表，

译如果太阳经过该国子午线的正午时刻，开启仪器进行观测，与本地已经测得的正午时刻相比，计算出早晚相差多少时分和度数，就能知道本地在该国的东边或西边多少度分。只要测定一次正午时刻，大地的南北和东西方位就都确定了，古今中外都如同符节相合一般吻合，其道理极其恰当，其用途极其广泛，这是绘制地图者应当首先致力于的工作。

译一曰测量地面，以确定州县所辖的各块地域。地面辽阔，远近不一，高低不齐，无法驾驭，不能绘制成图。其方法不外乎三角测量，即九章算术中的勾股定理。《周髀算经》中“卧矩知远，偃矩望高”这两句话足以概括其理。而西方人测量地面，也分为两方面：一是测量地面的平面形态，二是测量地面的高程形态。

测量平面形态时，所使用的仪器，最重要的是经纬仪和测向罗盘，二者都将圆周分为三百六十度，精密的能辨别分秒，粗略的也能辨别半度，都配有指南针。经纬仪有窥管，测向罗盘仅安装立表，将丝线系在窥管与立表的视孔上形成十字交点，观察交点遮蔽所测物体，方才指准。无论在哪一州县的城市城门树立柱子作为起点，用仪器测量左右距离城门甲、乙两物的方位，假设甲物在偏东二十度，乙物在偏西三十三十度，则所成的角度为五十度，将两物的方向及角度记录在册。于是测量起点至甲、乙两点的直线距离作为底边，又从甲、乙两点转向测量其他可见的物体，依次测量不停止，均记录其方向与角度，使大地形成无数个三角形。又每个三角形内部，若有可指认之处，仍一一记录，使大三角形包含无数小三角形。又有道路、河流的迂回曲折，均测量其曲折的方向，并用记里车记录各段曲折的远近，使其容纳于各三角形之内，这样测量平面形态的工作就完成了。

测量高程形态时，所使用的仪器，最重要的是纪限仪和瓶水地平仪。纪限仪为六十度的弧，也能辨别分秒，有活动半径及回光际线等镜片，有窥管，也系有十字线，以测量高低深度的总数。测量方法是在测量处设置两个定点，与山顶构成两个点，以两定点间的距离为底边，用平面测量三角法，已知三角形的一边，求得测量处至山顶的斜边长度。再用垂直测量三角法，以斜边为已知边，测得三角形，求出山顶高于测量处的数值。既然得到了山形的高度数值，就以测量处至山顶的斜线与高度数值为已知的两边，求得山顶垂直于平地成直角至测量处的水平距离数值。而山的斜度也必须测得，大致可以不计分秒。用红铜板制作象限仪，九十分度悬垂于板心，系上锤使之下坠，从弧的一角依据平边仰望高处，相切观察垂线所成的角，即为斜度。行军地图，斜度大约分为三等：十五度以下，车辆能通行；三十度以下，骑兵能通行；四十五度以下，步兵仅能通行。超过此限度就必须攀爬了。所以测量斜度止于四十五度。瓶水地平仪用来测量逐层的高低数值，仪器为长铜管，管的两端上方安装琉璃瓶，刻度盛水。瓶与管成直角，管的下方支撑三足架，当管中承托处为活节。将仪器置于高低之间，升降铜管，观察两端瓶中的水面等平而停止。在仪器的上方与下方相对，管口竖立长尺，从管中窥视上尺，恰当何尺寸；反向窥视下尺，恰当何尺寸。将两数比较，所余即为上尺处高于下尺处的数值。高低悬殊遥远的，多次测量并记录其逐层的数值。山势磅礴的，环绕测量并记录各点的方向。多次测量者，逐层的高度必须相等，以便确定共同的距离数值；环绕测量者，各点的高度也必须相等，以便形成平面剖面的形状。又山高与逐层高度之比，如同水平距离与各平面剖面水平距离之比，均计算出来记录在册，这样测量高程形态的工作就完成了。

测量工作完成后，于是开始谈论：绘制地图，应当首先明确比例尺。比例尺，是地面与地图的比例关系。地面周长三百六十度，每度二百里，每里一千八百尺。这样一尺实际为一万二千九百六十万分之一地面周长。凡是绘制地图，必须先开方，设定每方一寸代表十里。因此图上一尺，代表地面一千八百尺。其比例尺为一千八百分之一。然而制作总图者，不必如此之大，酌情使用，每方一寸代表五十里。因此图上一寸，代表地面九十万寸，比例尺为九十万分之一。其他或大或小，随人根据地图的详细程度来确定即可。比例尺确定后，才开始布置经纬线。测量经度，在赤道处，每度相距二百里，逐渐向北则逐渐变窄，应当使用八线表。以半径一千万为第一率，每度二百里为第二率，各地北极出地度数的余弦为第三率，求得第四率，为该地经度相距的里数。按度数推算，列为成表，以便查检使用。而绘制经纬线，方法也不统一。有经纬均作曲线的，有经线为曲线而纬线为直线的，有纬线为曲线而经线为直线的。其中经纬均曲与经曲纬直两种，虽然能符合球形的原理，然而不能没有误差。一种误差在东西两边，一种误差在北方，皆因经纬相交不成直角，对角线也不相等。所以绘制地图以纬曲经直者为无误差。其方法，应当求圆锥为公共中心，用圆规作各距离相等的圈。若制作一省一府的分图，距离圆锥过远，则用求零弧的方法来变通。又制作比例尺微分尺，如图为九十万分之一，用四又六十分之一，名为度尺；用四又二百分之一，名为里

译尺。均匀地画出对角斜线，以表示微分。又制作分度器，精密的用铜制成圆弧，以玻璃为中心，能够辨别六十度内的分秒；粗略的用透明角片制成半圆，分为一百八十度，每度再分半。如果要标注州、县、城的经纬度，可以展开圆规，按照度数分量分率度尺，纵横定点于图上，即可得到。经度距离赤道渐远的，则按照度数求出其相距的里数，用里尺测量，也能得到。如果要标注所测地面各三角点，必须用分度器的中心对准甲乙两点的起点，校正子午线，按照左右甲乙两点的方向作直线，再依据所测底边的远近按分率测量，以确定甲乙两点，于是转移分角器的中心，对准甲乙两点，根据所测各多点的方向，一一作直线，形成无数三角形。在所测地面上，凡是两线相交之处，就是各物体的定点，据此绘图，平面图就形成了。绘制高程的方法，大体上是将山各层的水平剖面水平距离数，依照分率录入图中，根据其远近方向作点，用曲线连接起来，形成从天空俯视山顶及各层水平剖面的形状。再在水平剖面之间补作垂线，在线下交于两水平剖面的边界，必定形成直角，其疏密有确定的比率。两垂线之间的距离等于两水平剖面边界距离的四分之一，垂线的方向就是斜度的方向。粗略地看，斜度小的地方其线稀疏，斜度大的地方其线密集。如果要辨别斜度的具体度数，就必须用等高距来说明。等高距，是山逐层增加的高度差。如果等高距为三十六尺，地图比例为一千八百分之一，就用一十八去除三十六，得到十分之二寸作为地图上的等高距，将其与垂线相比，斜度就得到了。等高距的长度小于垂线三四倍，则斜度达到十五六度；小于垂线两倍，则斜度达到三十度；与垂线相等，则斜度达到四十五度。凡是使用等高距的，比例尺越大，辨析就越清晰。如果采用德国人补作垂线的方法，不必用等高距来说明，而是通过黑白多少来确定斜度的大小。线为黑色，线间为白色。凡是图中全黑的为四十五度，八黑一白的为四十度，七黑二白的为三十五度，六黑三白的为三十度，五黑四白的为二十五度，四黑五白的为二十度，三黑六白的为十五度，二黑七白的为十度，一黑八白的为五度。线粗则黑多，线细则黑少，以此辨别度数也非常明确。西方人作垂线的方法，大抵有英国、德国、法国三种，英国的方法能使地图清晰，德国的方法能使地图准确，法国的方法则既清晰又准确。前面所说的疏密有确定比率，实际上是法国的方法。如果明白了这些，地图的高程形状就显现出来了。

译既然测量了天体度数，又测量了地面，再辅以绘图方法，而地图仍然不精妙的情况，是从来没有的。现将湖北测绘舆地图章程中相互阐发的内容，摘录如下：

一、测量天体度数。《周礼》中记载，大司徒使用土圭的方法测量土地深度，校正日影。所谓“土深”指南北方向，这就是确定纬度的原理；所谓“日影”指东西方向，这就是确定经度的原理。因为大地是球体，其南北两个极点正对着天空的南北两极，其中腰的大圆也与天空的赤道相当。人站在地面上，视力极限不过数十里，数十里之外就模糊不清了。天空虽然无边无际，但地平线广阔，可以通过仰观得知。所以必须将大地划分为三百六十度，与天体相合，借助天空中星辰的高弧来求得地面的度数，大地的圆形才能得以确定。如今会典馆开办绘制舆图，对经纬度再三强调，自然应该派遣精通算法、善用仪器的人，携带经纬仪、度时表前往六十八个州县的治所，通过观测天象来求得度数。而州县的疆域大的达到数百里，又应当在四周边界察看地势，在南北东西不呈平行之处，选择四个固定点测量其经纬度分。这样，一个州县的境内就有五个经纬度固定点。先用方法求出各经纬点之间直线距离，再用平面三角形将它们连接起来，互相支撑，即使广大的地域也不难纳入测绘规范之中。而那些名山的大川河口，以及古代郡县的旧治所、关隘险要之地，前人记载说在某县某方向多少里，等到名称改变，位置反而迷失，在测绘土地时如果能考证确切位置，确定其经纬度分，记录在册，对于考古研究也是有益的。而在一个县的区域内，在五个固定点之外，又增加各点，即求出各点之间的距离作为三角形的底线，尤其能够紧密吻合。

二、测量地面直线距离。湖北省六十八个州县，北至郧西，南至通城，西至利川，东至黄梅，估算其面积约为六十万平方里，不测量三个面就不能确定地面上各物的位置。如今在州县城郭的平地上量出底线长度，长的一里，短的半里，在底线两端安置测向仪，彼此互相测量，记录方向度数。开始各自测量所编号的标杆，并记录从某处测到某处几百几十几度几十几分在册子上。又将仪器移到已测三角形的另外两端，在未测的地方插下标杆进行测量，东西南北逐渐向前推进，各自记录到达边界后转向，而三角形的固定点必须连接互用，辗转形成形状，然后地面上都布满三角形，三角形之外才没有剩余的土地。凡是村院、镇集、山、山峡、断崖水源、水口、埧堰、桥梁、渡口、十字路口、关隘、税口、厘金卡、盐局、电局、电杆、军营汛地、驿站、塘铺、烟墩、营垒、旧垒、炮台、塔、庙、古迹以及山脉、水道、道路、界线这四者的转向处，都必须作为三角形的定线。定点密集的，三角形也密集。如果是旷野荒漠之地，只能凭视力所及，画几个大三角形罢了。

三、测量地面人行道路。凡是山脉、水道、道路、界线这四者的转向，都已经测量出来，本来已经很像真实形状。但三角形得到的是直线距离。这四者蜿蜒在三角形之中，其小弯曲的远近，不是直线边所能得到的，所以必须用人行道路来计算。如今用测向仪确定方向，用记里轮测量远近，一人测向，一人记里，并记录从某处出发多少度分走了多少尺，到某处转向多少度分走了多少尺，到某处。所经过的地方有驿站、塘铺、镇集、桥梁、埧、堰、矿山的，都分别注明。凡是边界为两县共有的，测定一县就可以旁及另一县，自然应当详细测量，不必求省事。只是道路的支路纷繁歧出，水流的溪涧交错出现，如果不选择要点，必定耗费时日。现在道路只测量其四至方向上有驿站、塘铺的道路，其余则省略。

水道则分别大小，考察利弊。湖北境内的水，长江、汉水最大。长江水西起巴东，东至黄梅，大约流经二千三百多里。汉水北起郧西，南至汉阳，大约流经一千九百多里。船只往来便利，水利关系重大，自然必须用人行道路计算其流向远近，并涉及水涨水落时的沙界、遥堤、内堤的基址。其他如流入长江、汉水的水流，行程五百里以上的进行测量。如果水口通船只、利于停泊的，则不论行程远近，都应当详细测量。长江、汉水沿岸，湖泊很多，防水造田，于是成为泽国。民生的利弊，都在于此，都应当沿着湖测岸，并逐一测量纵横交错的堤坝，都得到其方向、远近、高低、厚薄，以便按照比例绘入地图。水涨时不能识别水落时的边界，水落时可以观察水涨时的痕迹，所以测量水流适宜在水落时进行。淤塞的河流、废弃的渠道有可考证的，也进行测量。至于湖北境内的山，以郧阳、宜昌、施南最多，襄阳次之。嘉庆年间教匪作乱，贼寇踪迹出没其间，导致征讨迟缓。因为磅礴万山丛杂，西接四川、陕西，都是茂密的竹林。其他如大江南北，也是山势奔赴。如果必须逐层环绕测量，求出高度比较以表示倾斜陡峭，那么不是几年所能完成的。只有先考证旧地图，得知山脉的大致起始，选择要点进行测量。想要知道山的脉络，应当观察水的源头和归宿。水源分流的冈脊，必定是主干山脉，蜿蜒在两水之间，遇到两水合流

译至于那些停止的地方，必定是支山。支山与主干既已明确，方才有所把握。对于人迹已经到达的区域，则沿着人行道环绕测量山脚，盘查交错远近的地势以及山体的垂直距离、水平距离的数值。对于深山穷僻之处，只需用测向仪遥测其山，获得水平距离及山脉脉络曲折的态势罢了。论及测量的道理，以测量山最为困难，测量湖堤水道次之。谈论民生大计，湖堤水道最为重要，而山又次之。自然应当斟酌其缓急，先从事于湖堤水道的测量。除了测量三角应涉及山的部分，自不容迟缓，专门测量山址与山脉的事情非常耗费时日。等到办理有成效，斟酌期限的宽紧，再逐渐施行是可以的。

译第一，关于用人。如果不通晓算学的人，不足以充分发挥测绘的才能；仅通晓算学的人，大多未曾亲身从事过测绘工作，因此用人应以能够实施实际事务为标准。那些精通算学，能使用仪器测量天象和大地，并依据比例绘制地图的人为上等；仅能遵循既定方法，测量地面并依据比例绘制地图的人为次等。但湖北省地域广阔，想要进行实地测量，必定不是少数人所能胜任的。现在招募聪慧俊秀、能耐受劳苦的生童二十人，教给他们测绘的既定方法，练习三个月后，才开始外出从事测绘工作。学成之后，立即分配到局中。所有成材的十二人及学生二十人，分为四大路，每路计八人，共同测绘一个州县。每八人中，又分为四小路，两人负责测量天象和经纬度为一路，除了测量州县治所及各定点外，还应有一人负责测量地面三角和记录里程，与一名学生组成一路，测量人行道里程内外，也应测量地面三角。其余学生四人，分为两路，专门测量地面三角。只是测量地面非常繁重，虽然能辨别方向、划分角度，但插竿满目，反复测量不停，有时甚至会导致识别混乱。应当预先编制竿号，嘱咐插竿的人详细核查竿号的次序，不可颠倒插置。测量方向的人按号记录，这样才不至于混乱。凡是两路分段相交的地方，尤其需要留心。交点处，南路必须与北路测量的原点相交，北路必须与南路测量的原点相交，不可增加，也不可遗漏，这样才能吻合。其关键在于先考察旧图，预先估算每日所测量的地理范围，这样才有依据进行估算。每八人测绘一个州县，期望在一个月内完成。依次测绘各州县，以四大路测绘六十八个州县，风雨及极寒极暑的天气不计在内，大约经过两年应当完成测绘工作。再用一年作为绘图的时间，期限总计为三年。

第一，关于用器。古人测量没有不使用器具的。土圭用来测量天象，短度用来测量大地。缅怀旧制，必定称其精密，仿照制作，恐怕赶不上古人。近日西方人的器具尚属可用，如经纬仪、纪限仪、测角仪、夺材仪、度时表、记里鼓、纲练带尺、分角器、规笔、直尺、曲线板等物，都是测绘家所必需的。其中测量天象多用纪限仪，测量大地多用经纬仪。如测角仪、夺林仪则是行军之人使用的。测量水平三角及高深者，究其根本，纪限仪也可以测量大地，经纬仪也可以测量天象，二者俱备，自称为完美。只是耗费钱财既多，购置也不容易，不如酌情购买一种较为便利。纪限仪便于航海及测量天象。天空日月相距的弧长，若用于陆地测量正午，不如经纬仪易于操作。但必须像西方人那样使用经纬仪测量大地，虽然称其最精密，但用人既多，所需器具也多，所费甚巨。且经纬仪大的能辨别一秒，小的能辨别一分。如果测量地面三角，必定要求精确到分秒，那么地圆造成的弧角差、天空造成的蒙气差，都应当推算清除，然后才能得到真实的角度，这又不是几年所能取得成效的。现在酌情使用能辨别十秒的经纬仪，度时表用于测量天象，测角仪、夺林仪用于测量大地，虽然不如经纬仪精密，但将三百六十度分为两半，又能辨别三十分，即为七十二个方向了。比起我国旧法，其精密程度超过十倍。且弧角差、蒙气差，在地面肉眼所及之处，断无多至三十分的情况，所以使用测角仪均可不予计算。

第一，关于绘图方法。绘图者应当首先明确比例尺。会典馆所颁布的格式，原本是依据书籍版式的大小而设定的。外间测绘的原本，务必放大，以便详细测量、密集填绘。等到地图绘制完成后，才按照馆颁格式缩小成定本，送往馆中。仍将外间原本副本送一份，以备采择。现在酌情确定外间原本的比例尺：省府总图定为九十万分之一，即图上的一寸代表地面的五十里，五十里为九十万寸；州县分图为十八万分之一，即图上的一寸代表地面的十里，十里为十八万寸；随测随绘的草图定为一万八千分之一，即图上的一寸代表地面的一里，一里为一万八千寸。使用圆锥通径法制作纬度弯曲、经度笔直的样式，使经纬相交都成为直角，各自按照比例布置计算确定其南宽北窄的样式。使用分角器、微分尺填绘各点。凡是测角仪所成的子午线，必须与图的经线平行，以求得各点角度，这样才能得到各处距离等圈的真实形状，不至于因展开过宽而产生方向误差。图中作标记的方法：送往馆中的图自然应当按照馆颁格式所言。外间原本收录既详细，名目也很多，识别标记不嫌其繁杂，后另附表识图附注。此图尚未刊印。

第一，关于图说。《禹贡》一书，是千古以来记载地理者的祖本。在九州之后，紧接着就是导山导水。效法其意，有作者；有班固的《汉书·地理志》，伯益、夷坚的《山经》，曹魏时的《水经》。大概地志取法于九州，《山经》取法于导山，《水经》取法于导水。沿袭地志而作的，历史中的郡国、州郡、地形诸志皆是如此。而从唐到明，所存的《元和郡县图志》《太平寰宇记》、《元丰九域志》等书，记载虽有详略的不同，其体例固然本于孟坚（班固）。仿效《水经》而作的，则有……黄洲的《今水经》、齐次风的《

译《水道提纲》；模仿《山经》而创作的，则有《水道记》、黄岩戴东原的《李诚之万山纲目》，都是名作。如今会典馆所颁布的表格，其叙述沿革、疆域、乡镇，大概是仿照班固《汉书》等书的体例，叙述山则拟仿《山经》，叙述水则拟仿《水经》，又详细记载天文度数、道路里程，而山的矿产、要害关隘，水的圩田堤堰、桥梁渡口，都记载在相应地点之下，简明而清晰，精要而详尽，自然应当遵从，不必另生异议。