志第三

译表格略去。求朔、弦、望进入转限后的朓棵定数。取入转小余，用该日的日余数（不计当天）乘损益率，除以日法，所得数连同损益积作为定数。若余数在四七日限以下，就用初率乘余数，除以初数，所得数连同损益朓棵积作为定数。若余数在初数以上，就用初数减去它，所得余数乘末率，除以末数，所得即为朓棵定数。求定朔、定弦、定望的日期。取经朔、经弦、经望的小余，用朓减朒加、朒加朓减的方法加入气入转朓棵定数；达到满数或不足满数时，进退大余，以甲子为起点（不计当天），分别得到定朔、定弦、定望的日辰和余数。定朔前一日的干名与后一日的干名相同，该月为大月；不同，该月为小月。一个月内没有中气的，就是闰月。察看定朔小余：秋分以后，若达到日法四分之三以上，就进一日。春分以后，将定朔日出分减去春分日出分，所得数除以三，再用四分之三减它；定朔小余达到此数以上的，也进一日。若有交会，且食亏初亏发生在日落以前，就不进这一日。定弦、定望的小余在日出分以下，就退一日。望日如果有交会，且初亏发生在日出以前，即使小余在日出以后，也要退一日。如果望日在十七日，还要比较定朔小余距四分之三以下的数；春分以后则用前面减定所得的数。将它与定望小余在日出分以上的数相比较：朔日所少的数小于望日所多的数，望日不退，而朔日仍进；望日所少的数小于朔日所多的数，朔日不进，而望日仍退。日月运行有盈有缩，迟疾加减的数，有时会出现四个大月、三个小月；若依通常规律推算，应考察其时刻的早晚，按接近的情况进退，使之不超过三大二小。求定朔、定弦、定望的中积。取定朔、定弦、定望的大小余分别减去经朔、经弦、经望的大小余，将所得数加入或减去经朔、经弦、经望入气的日余数；经数较少就加，较多就减。这就是定朔、定弦、定望入气的日数。再加上该气的中积，就是定朔、定弦、定望的中积。余数用日法退除，换算为分、秒。求定朔、定弦、定望加时的太阳黄道度数。设置定朔、弦、望的约余数，用所入气日的损益率相乘，求出盈缩损益数。以万相约，按照损益数增减其下的盈缩积，于是盈则加、缩则减定朔、弦、望的中积；再加上冬至加时太阳运行于黄道宿度的度数，依照宿次除去周天度数，即得到定朔、弦、望加时太阳所在的度数及分秒。又设置定朔、弦、望的约余数，另抄置一份。用它乘以当天盈缩的损益率，以万相约；应当增加的，盈则加、缩则减；应当减少的，盈则减、缩则加到这份副数上，满百化为一分，分满百化为一度，再加到当天夜半（半日）的太阳度数上，依次计数，便各自得到当天加时太阳运行所在的黄道宿次。如果预先在历注中确定每日夜半（半日）的太阳度数，那就更为精妙了。求定朔、定弦、定望加时的月度。凡合朔加时，太阳和月亮在同一度，定朔加时的黄道太阳度数就是定朔加时的黄道月度。弦、望分别用弦、望度数加定弦、定望加时的黄道太阳度数，按宿次除去周数，即得到定朔、定弦、定望加时的黄道月度及分秒。求夜半、午中进入转限的数值。取经朔入转数，减去经朔小余，就是经朔夜半入转数。又取经朔小余与半日法相减的余数，加入或减去经朔加时入转数：经朔小余少于半日法就加，多于半日法就减。这就是经朔午中入转数。若定朔大余有进退，也要相应进退转入数；否则就沿用经朔数作为定朔数。每月累加一日，满终日及余秒就除去，并按前法起算，分别得到每天夜半、午中入转数。求夜半数，就从定朔夜半入转数逐日累加；求午中数，就从定朔午中入转数逐日累加。求加时入转数，依照求加时入气的方法。求加时及夜半的月度。取当天入转的算外转定分，用定朔、定弦、定望小余相乘，除以日法，所得为加时转分；每满一百分为一度。用它减去定朔、定弦、定望加时月度，所得就是夜半月度。将所得转定分逐日累加，即得到每天夜半月度。无论从朔日到弦、望，还是到下一朔日，都可以逐日累加。不过相距近时误差小，相距远时误差大。取所求前后两个夜半相距的月度作为行度，计算相距期间入转的积度，将它减去行度，余数除以相距日数，得到日差。行度较多，就将日差加到每日转定分上；行度较少，就从每日转定分中减去日差，然后使用，便能较为准确。若想快速求算，可用这个数；若要探究原因，应采用后面的算法。求早晨和黄昏的月度。取当天晨分，乘以当天算外的转定分，除以日法，得到晨转分。用转定分减去它，余数就是昏转分。又用朔、弦、望定小余乘转定分，除以日法，得到加时分。分别用它减晨转分和昏转分，所得为前数；若不足，就反过来用它减，所得为后数。于是将前数加、后数减于加时月度，即得到早晨和黄昏月亮所在的宿度及分秒。求朔、弦、望早晨和黄昏的定程。分别用该朔日的昏定月度减去上弦日的昏定月度，余数为朔日以后至上弦的昏定程；用上弦日的昏定月度减去望日的昏定月度，余数为上弦以后至望日的昏定程；用望日的晨定月度减去下弦日的晨定月度，余数为望日以后至下弦的晨定程；用下弦日的晨定月度减去下一个朔日的晨定月度，余数为下弦以后至下朔的晨定程。求每天的转定度数。累计各段相距日数以下的转积度，减去晨昏定程，余数除以相距日数，得到日差；定程较多就加上它，定程较少就减去它。将所得数加减每日转定分，就是转定度。以朔、弦、望的晨昏月度为起点，每日累加，满一宿就除去，便得到每天晨昏月度及分秒。凡编注历书，朔日以后注昏月，望日后一天注晨月。古历有九道月度，虽然数值繁复，也难以删去，具体算法如下。求平交的日辰。取交终日及余秒，减去该月经朔加时入交的泛日及余秒，得到经朔加时以后平交所入的日数及余秒。将它加到该月经朔的大小余上，大余以甲子为起点（不计当天）起算，就是平交日辰及余秒。求下一次交会，就加上交终日及余秒；大余满纪法就除去，按前法起算，即得下一次平交日辰及余秒。求平交进入转限后的朓棵定数。取平交小余，加上当天夜半入转的余数，乘当天损益率，除以日法；所得数对其下的朓朒积作损益，得到定数。求正交的日辰。

译取平交小余，按照平交入转朓棵定数，朓时减、朒时加；满数或不足满数时进退日辰，即得正交日辰及余秒。与定朔日辰相距的日数，就是所在月的日期。求经朔加时的中积。分别取该月经朔加入气的日数及余数，加上该气的中积余数；日数起算为度，余数用日法退除，换算为分秒，即为经朔加时的中积度及分秒。求正交加时月亮所在的黄道宿度。取平交进入经朔加时以后所经的日数及余秒，用日法通日并纳入余数，向前进两位，除以三万九千一百二十一，所得为度；不足部分退除为分秒。将它加到该月经朔加时中积上，再加冬至加时黄道太阳度数并起算，即得到该月正交加时月亮运行在黄道上的宿度及分秒。求下一次交会时，加上交终度及秒并起算，即得所求。求黄道各宿的积度。取正交时黄道宿的整度，减去正交加时月亮所在黄道宿度及分秒，余数为距交后度数及分秒。逐宿累加黄道宿度，即分别得到正交后黄道宿积度及分秒。求黄道宿积度进入初限、末限。取黄道宿积度及分秒，满交象度及分秒就除去；若在半交象以下，就是初限；若在其以上，就用交象度及分秒减它，余数就是进入末限的度数。入交积度和交象度见交会算法。求月亮运行于九道各宿的度数。月亮所经过的交点，冬季进入阴历、夏季进入阳历时，月亮运行在青道。冬至、夏至以后，青道的半交点在春分所在宿，与黄道相交于东方；立冬、立夏以后，青道的半交点在立春所在宿，与黄道相交于东南方；与此相冲的宿位也相同。冬季进入阳历、夏季进入阴历时，月亮运行在白道。冬至、夏至以后，白道的半交点在秋分所在宿，与黄道相交于西方；立冬、立夏以后，白道的半交点在立秋所在宿，与黄道相交于西北方；与此相冲的宿位也相同。春季进入阳历、秋季进入阴历时，月亮运行在朱道。春分、秋分以后，朱道的半交点在夏至所在宿，与黄道相交于南方；立春、立秋以后，朱道的半交点在立夏所在宿，与黄道相交于西南方；与此相冲的宿位也相同。春季进入阴历、秋季进入阳历时，月亮运行在黑道。春分、秋分以后，黑道的半交点在冬至所在宿，与黄道相交于北方；立春、立秋以后，黑道的半交点在立冬所在宿，与黄道相交于东北方；与此相冲的宿位也相同。四季分离为八节，冬至、夏至和阴阳交接之处，都同黄道相会，所以月亮运行有九道。各取所入初限、末限的度数及分秒，减去一百一度；余数乘所入初限、末限的度数及分，除以二并退一位作为分；每满一百分为一度，起算后就是月道与黄道的泛差。太阳以赤道以内为阴、以赤道以外为阳；月亮以黄道以内为阴、以黄道以外为阳。因此月亮运行到正交点时，进入夏至以后宿度以内属于同名，进入冬至以后宿度以内属于异名。属于同名的，取月道与黄道泛差，乘九除八，所得为定差；半交以后、正交以前用定差相减，正交以后、半交以前用定差相加。这种加减的出入不超过六度，属于同名，是黄道、赤道同名相交时的差数；若比较起来逐渐不同，就会随交点所在位置而变化。再以正交度距秋分度数相乘定差，除以象限，所得为月道与赤道定差。前面用加法的这里改用减法，用减法的这里改用加法。属于异名的，取月道与黄道泛差，乘七除八，所得为定差；半交以后用定差相加，正交以后至半交以前用定差相减。这种加减的出入不超过六度，属于异名，是黄道、赤道异名相交时的差数；若比较起来逐渐相同，就会随交点迁移而不断变化。再以正交度距春分度数相乘定差，除以象限，所得为月道与赤道定差。前面用加法的这里改用减法，用减法的这里改用加法。分别将这些差数加减黄道宿积度，就是九道宿积度。用前一宿的九道积度减去它，余数就是该宿的九道度及分；其中的分按接近值约成太半、少半。论定春、夏、秋、冬四时，以太阳所在宿度为准。求正交加时月亮所在的九道宿度。用正交加时黄道太阳度数及分减去一百一度，余数乘正交度数及分，除以二并退一位作为分；满一百分为一度，起算后就是月道与黄道的泛差。同名的，取月道与黄道泛差，乘九除八为定差，加上它；再以正交度距秋分度数乘定差，除以象限，所得为月道与赤道定差，减去它。异名的，取月道与黄道泛差，乘七除八为定差，减去它；再以正交度距春分度数乘定差，除以象限，所得为月道与赤道定差，加上它。取正交加时黄道月度及分，将两种差数加减其上，即为正交加时月亮所在九道宿度及分。求定朔、定望加时月亮所在的度数。取定朔加时太阳运行在黄道上的宿次。凡合朔加时，月亮隐伏在太阳下面，与太阳同度，这就是加时月亮所在的宿次。分别将弦、望度数及分秒，加到相应弦、望加时月亮运行的黄道宿度上，满一宿就除去，按前法起算，分别得到定朔、定弦、定望加时月亮所在的黄道宿度及分秒。求定朔、定弦、定望加时的九道月度。分别将朔、弦、望加时月亮离开黄道的宿度及分秒，加上前一宿正交后的黄道积度，得到定朔、定弦、定望加时正交后的黄道积度。依前法求九道积度，再用前一宿九道积度减去它，余数就是定朔、定弦、定望加时月亮在九道上的宿度及分秒。合朔加时时，若不是正交，太阳在黄道，月亮在九道；虽然所入宿度多少不同，但考察两极，仍如同绳墨准绳。因此说月亮隐伏在太阳下面、与太阳同度，就是加时九道月度。求晨、昏、夜半月度，都依照前面的方法。○推算交会，第六。交终分：十四万二千三百一十九，秒九千三百六十八。交终日：二十七日，余一千一百九分，秒九千三百六十八。交中日：十三日，余三千一百六十九，秋九千六百八十四。交朔日：二日，余一千六百六十五，秒六百三十二。交望日：十四日，余四千零二，秒五千。秒母：一万。交终：三百六十三度，七十九分，三十六秒。交中：一百八十一度，八十九分，六十八秒。交象：九十度，九十四分，八十四秒。

译半交象：四十五度，四十七分，四十二秒。日食既前限：二千四百。定法：二百四十八。日食既后限：三千一百。定法：三百二十。月食限：五千一百。月食既限：一千七百。定法：三百四十。分、秒的分母：一百。求朔、望进入交限。取天正朔积分，用交终分除去；余数除以日法，所得为日数，不足部分为余数。这就是天正十一月经朔加时进入交限的泛日及余秒。加上交朔，得到下一朔；加上交望，得到下一望；再加一个交望，也得到下一朔。各自就是朔、望入交的泛日及余秒。求定朔每天夜半进入交限的数值。分别取入交泛日及余秒，减去经朔、经望小余，就是定朔、定望夜半入交的泛日及余秒。若定朔、定望有进退，也相应进退交日；否则沿用经朔、经望数作为定数。大月加二日，小月加一日，其余都加四千一百二十秒六百三十二，即为下一朔夜半入交数。逐日累加，满交终日及余秒就除去，即得每天夜半入交的泛日及余秒。求定朔、定望加时进入交限的数值。取经朔、经望加时入交泛日及余秒，按照入气入转朓棵定数作朓减、朒加，即为定朔、定望加时入交泛日及余秒。求定朔、定望加时入交的积度及阴阳历。取定朔、定望加时入交泛日，用日法通日并纳入余数，向前进两位，除以三万九千一百二十一，所得为度；不足部分退除为分秒，即为定朔、定望加时月亮进入交限的积度。再用定朔、定望加时入转的迟疾度，迟时减、疾时加，即为月亮入交的定积度。在交中度以下，属于入阳历积度；在交中度以上，除去交中度，余数为入阴历积度。每日夜半也依此求算。求月亮距黄道的度数。察看月亮进入阴、阳历的积度及分；在交象以下，称为少象；在交象以上，就用交中减它，余数称为老象。把所入老象、少象的度数列在上面，交象度数列在下面，相减后相乘，乘二并退一位作为分，满一百分为一度；用它减去所入老象、少象的度数及分。所得余数再与交中度相减后相乘，乘八除以一百一十，所得为分，满一百分为一度，即为月亮距黄道的度数。求朔、望加时入交的常日和定日。朔、望入交泛日，按照入气朓棵定数作朓减、朒加，就是入交常日。又取入转朓棵定数，向前进一位，除以一百二十七，所得数按朓减、朒加法加入交常日，就是入交定日及余秒。求人交阴阳历前后的分数。察看入交定日，在交中以下属于阳历；在交中以上，除去交中，余数属于阴历。若在一日上下，就用日法通日换算为分，作为交后分。若在十三日上下，就用交中减它，作为交前分。求日食、月食的定余。取朔、望入气入转朓棵定数，同名相加，异名相减；乘以一千三百三十七，再用定朔、定望加时算外的转定分除，所得数按朓减、朒加法加入经朔、经望小余，作为泛余。日食：察看泛余，在半日法以下为中前分；在半日法以上，减去半日法，为中后分。取中前、中后分分别与半日法相减后相乘，乘二除以一万，称为时差。中前分用时差减泛余，所得为定余；再用半日法减定余，余数为午前分。中后分用时差加泛余，所得为定余；再减去半日法，余数为午后分。月食：察看泛余在日落以后、半夜以前的情况；若不超过日法四分之三，就减去半日法，作为酉前分；若超过日法四分之三，就用日法减它，余数为酉后分。又察看泛余在半夜以后、日出以前的情况；若不超过日法四分之一，就是卯前分；若超过四分之一，就用半日法减它，余数为卯后分。将卯前、卯后、酉前、酉后分各自相乘，乘四并退一位，除以一万，所得加泛余，作为定余。分别以定余按照发敛加时法推算，即可得到日月食发生的时辰和刻数。求日食、月食食甚时太阳、月亮运行的积度。取定朔、定望食甚的大小余，分别减去经朔、经望的大小余，将余数加入或减去经朔、经望入气日小余；经朔、经望日数较少就加，较多就减。这就是食甚入气数。加上该气的中积，就是食甚中积。又取食甚入气小余，乘所入气日的损益率所代表的盈缩损益，除以日法，将所得数对该日盈缩积作损益；盈时加、缩时减食甚中积，即为食甚时太阳、月亮运行的积度及分。求气差。取日食食甚时太阳运行的积度及分，满中限就除去；余数在象限以下为初限，在象限以上就用中限减它，作为末限。初限、末限都各自相乘，向前进两位，除以四百七十八，所得数用一千七百四十四减它，余数为气差恒数。再乘午前、午后分，除以半昼分；所得数用恒数减它，作为定数。不足相减时，反过来相减，仍为定数。应加的减去，应减的加上。春分以后，阳历减、阴历加；秋分以后，阳历加、阴历减。春分前、秋分后各二日二千一百分作为定气，在此基础上加减。求刻差。取日食食甚时太阳运行的积度及分，满中限就除去；余数与中限相减后相乘，向前进两位，除以四百七十八，所得为刻差恒数。再乘午前、午后分，除以日法四分之一，所得为定数。若所得超过恒数，就将恒数加倍，用所得数减去它，作为定数，依照相应的加减规则处理。冬至以后，午前阳时加、阴时减，午后阳时减、阴时加。夏至以后，午前阳时减、阴时加，午后阳时加、阴时减。求日食距交前后的定分。将气差、刻差两种定数同名相加、异名相减，得到食差。依照加减规则从交前分、交后分中扣除，得到距交前后的定分。察看前后定分：在阳历就不发生日食，在阴历就发生日食。交前阴历若不足相减，就反过来相减食差，成为交后阳历；交后阴历若不足相减，就反过来相减，成为交前阳历，即不发生日食；交前阳历若不足相减，就反过来相减，成为交后阴历；交后阳历若不足相减，就反过来相减，成为交前阴历，即当天发生日食。求日食的食分。

译察看距交前后的定分：在二千四百以下，为既前分，除以二百四十八，所得为大分；在二千四百以上，就用五千五百减它，不足相减的就不发生日食。所得为既后分，除以三百二十，所得为大分；不足部分退除为秒，即得到日食的分秒。求月食的食分。察看距交前后的分数，不使用气差、刻差。低于一千七百则月食既。超过一千七百，就用五千一百减它，不足相减的就不发生月食。余数除以三百四十，所得为大分；不足部分退除为秒，即为月食的分秒。距交分在既限以下时，用既限减它，也除以三百四十，所得为既内大分。求日食的定用分。取日食大分，与三十分相减后相乘，再乘二千四百五十，除以定朔入转算外的转定分，所得为定用分。用定余减它，得到初亏分；用定余加它，得到复圆分。分别按照发敛加时法推算，即得到日食三限的时辰和刻数。求月食的定用分。取月食大分，与三十分相减后相乘，再乘二千一百，除以定望入转算外的转定分，所得为定用分。以定余加减它，得到初亏、复圆分。分别按照发敛加时法推算，即得到月食三限的时辰和刻数。月食既时，取既内大分与十五相减后相乘，再乘四千二百，除以定望入转算外的转定分，所得为既内分。用定用分减它，所得为既外分。取月食余数减定用分，作为初亏；再加既外分，作为食既；再加既内分，作为食甚。这就是既定余分。再加既内分，作为生光；再加既外分，作为复圆。分别按照发敛加时法推算，即得到月食五限的时辰和刻数。求月食发生在更、点中的时刻。取食甚所在日的晨分，乘二后除以五，得到更法；再将更法除以五，得到点法。然后取月食初亏至复圆的各分数：超过昏分的减去昏分，低于晨分的加上晨分。若不足一更法，就是初更；若不足一点法，就是一点。依此逐次推算，即可得到各时刻所在的更、点数。求日食从哪个方位开始。日食发生在既前时，初亏起于西南，食甚在正南，复圆在东南；发生在既后时，初亏起于西北，食甚在正北，复圆在东北。食分达到八分以上的，都从正西开始，在正东复圆。这是以正午时太阳所在的地平方位来论。求月食从哪个方位开始。月亮在阳历时，初亏起于东北，食甚在正北，复圆在西北；月亮在阴历时，初亏起于东南，食甚在正南，复圆在西南。食分达到八分以上的，都从正东开始，在正西复圆。这也是以正午时的地平方位来论。求日月食在日月出入时带食所能看见的食分。分别将食甚小余与日出分、日入分相减，余数为带食差；用它乘所食分，除以定用分，所得为带食分。月食既时，用既内分减带食差，余数乘所食分，除以既外分。若不足相减，就是带食既出入。用所食分减去它，即为日月出入时带食所能看见的食分。食甚在白天，早晨为食分逐渐增加，黄昏为食分已经减退；食甚在夜间，早晨为食分已经减退，黄昏为食分逐渐增加。求日食、月食食甚时所在的宿次。取日食、月食食甚时日月运行的积度；月食还要加半周天。加上天正冬至加时黄道太阳度数，依次起算并按黄道宿次除去周数，即分别得到日食、月食食甚所在的宿度及分。○推算五星，第七。木星。周率：二百八万六千一百四十二，五十四秒。历率：二千二百六十五万五百零七。历度法：六万二千零一十四。周日：三百九十八日，八十八分。历度：三百六十五度，二十四分，八十二秒。历中：一百八十二度，六十二分，四十一秒。历策：十五度，二十一分，八十七秒。伏见：十三度。以下表格略。火星。周率：四百零七万九千零四十一，秒九十七。历率：三百五十九万二千七百五十八，另有三十二秒。历度法：九千八百三十六又二分之一。周日：七百七十九日、九十三分、十六秒。历度：三百六十五度、二十四分、七十六秒。历中：一百八十二度、六十二分、三十八秒。历策：十五度、二十一分、八十六秒。伏见：十九度。以下表格略。土星。周率：一百九十七万七千四百一十二，另有四十六秒。历率：五千六百二十二万三千二百一十九。历度法：十五万三千九百二十八。周日：三百七十八日、九分、三秒。历度：三百六十五度、二十五分、六十六秒。历中：一百八十二度、六十二分、八十三秒。历策：十五度、二十一分、九十秒。伏见：十七度。以下表格略。金星。周率：三百五万三千八百零四，另有二十三秒。历率：一百九十万二百四十，另有十一秒。历度法：五千二百三十。周日：五百八十三日、九十分、十四秒。合日：二百九十一日、九十五分、七秒。历度：三百六十五度、二十四分、六十八秒。历中：一百八十二度、六十二分、三十四秒。历策：十五度、二十一分、八十六秒。伏见：十度又二分之一。以下表格略。水星。周率：六十万六千零三十一，另有八十四秒。历率：一百九十一万零二百四十二，另有三十五秒。历度法：五千二百三十。周日：一百一十五日、八十七分、六十秒。合日：五十七日、九十三分、八十秒。历度：三百六十五度、二十四分、七十一秒。历中：一百八十二度、六十二分、三十五秒又二分之一。历策：十五度、二十一分、八十六秒。晨伏夕见：十四度。夕伏晨见：十九度。以下表格略。求五星在天正冬至之后的平合时刻，以及各段的中积和中星。

译取通积分，分别用各星的周率除它。除后剩余数，作为前合分；再用周率减去这个剩余数，所得作为后合分。用日法除，除不尽的部分退位换算为分、秒，这就是该星天正冬至以后平合的中积和中星。以日为单位称为中积，以度为单位称为中星。把各段的日数逐段加到中积上，就是各段的中积；把平度逐段加到中星上，经过退位、减除，就是各段的中星。求五星平合时进入历法的度数，以及各段进入历法的度数。取前面的通积分，各自加上该星的后合分，再用历率除，除不尽的部分，分别用该星的历度法除为度；不足一度的退位换算为分、秒，这就是该星平合时进入历法的度数和分秒。再把各段的限度逐段相加，就得到各段进入历法的度数。求五星平合时以及各段的盈缩差。分别取该星、该段进入历法的度数和分秒。如果在历中以下，属于盈；在历中以上，则减去历中，余数属于缩。用该星的历策除，所得为策数，除不尽的为入策度和分；以策数从历策以下开始计算，把相应的损益率乘上，用历策除，所得换算为分，用它增减其下的盈缩积度，这就是该星该段的盈缩定差。求五星平合时以及各段的定积。分别取该星、该段的中积，按其盈缩定差在盈时加上、在缩时减去，即得该段的定积日及分。再加上天正冬至的大余和约分，满纪法六十就除去六十，剩下的就是定日及加时的分秒。不满一日的，按甲子顺序从算外开始计，即得到日辰。求五星及各段所在的月份和日期。分别取该段的定积日及分，加上天闰日及分，满朔策及约分就除去，所得为月数，剩下的为自进入本月以来的日数及分。以天正十一月为起点，从算外顺数月数，即得到该段入月以来距经朔的日数及分；再按日辰相距计算，就得到所在月的定朔日期。求五星平合时以及各段加时的定星。分别取中星，在盈时加上盈缩定差，在缩时减去；金星把这个差数加倍，水星把它乘三，然后按相应情况加减，即为五星各段的定星。再加上天正冬至加时的黄道日度，按照宿次顺序计算，即得到该星该段加时所在的宿度及分秒。求五星各段第一日晨前夜半的定星。分别用该段初日行率乘该段定积日下的加时分，再除以一百，然后顺行时减去、退行时加上该日加时定星，即得到该段初日晨前夜半所在的宿度。求各段的日率和度率。分别以该段日辰与后段日辰相距的日数作为日率；以该段夜半的宿次与后段夜半的宿次相减，余数作为夜率。求各段的平行分。分别取该段的度率及分秒，用该段日率除，即得到该段平行的度数及分秒。求各段的总差和日差。以前后两段的平行分相减，余数就是本段的泛差。例如求木星次疾*差时，就用顺疾、顺迟的平行分相减，余数作为次疾泛差；其他情况都依此办理。把泛差加倍并退一位，作为增减差；用它加减该段平行分，得到初日、末日的行分。前者多、后者少，就在初日加、末日减；前者少、后者多，就在初日减、末日加。把增减差加倍作为总差，再用日率减一除，得到日差。求前后伏段、迟段、退段的增减差。前伏：取后段初日行分，加上日差的一半，作为末日行分；后伏：取前段末日行分，加上日差的一半，作为初日行分。再用伏段平行分减去它，余数就是增减差。前迟：取前段末日行分，减去两倍日差，作为初日行分；后迟：取后段初日行分，减去两倍日差，作为末日行分。再用迟段平行分减去它，余数就是增减差。前后两段接近留段的迟段，计算方法也相同。木星、火星、土星三颗星处于退行时，用平行分乘六，再退一位，作为增减差。金星处于前伏、后伏和退行时，用平行分乘三，再取一半并退一位，作为增减差。前退：取后段初日行分，减去日差，作为末日行分；后退：取前段末日行分，减去日差，作为初日行分。再用本段平行分减去所得数，余数就是增减差。水星以平行分的一半作为增减差；都用增减差加减平行分，得到初日、末日行分。前者多、后者少，就初日加、末日减；前者少、后者多，就初日减、末日加。再把增减差加倍作为总差，用日率减一除，得到日差。求每天晨前夜半星所在的宿次。分别取该段初日行分，按日差逐日递减或递增：后面少的就递减，后面多的就递增，得到每天的行度及分秒。然后顺行时相加、退行时相减，满一宿次就除去，即得到每天晨前夜半星所在的宿次。比较前段末日与后段初日行分的差数，最好不要超过一两倍日差。如果相差达到数倍日差，或前后颠倒不合规律，就应结合前后的增减差稍作损益，使其合乎规律后再使用。如果前后平行分都多或都少，就按平均数填写；如果总差的秒数不到一分，也按平均数填写；若原本不合规律而用平均数填写后合乎规律，也按平均数填写。求五星平合以及伏、见所处的节气。取定积，用气策及约分除，所得为气数；不足的为入气日及分秒。从天正冬至算外起数，即得到所求平合以及伏、见的入气日及分秒。求五星平合以及伏、见的行差。分别以该段初日星的行分减去太阳行分，余数为行差。如果金星处于退行、水星处于退合，就把两者相加作为行差。如果水星夕伏晨见，就直接以太阳行分作为行差。求五星定合、见、伏的泛积。木星、火星、土星三颗星，以平合晨疾、夕伏的定积，直接作为定合、定见、定伏的泛积。金星、水星取该段盈缩差，水星把它加倍；分别用行差除，所得为日数，不足一日的退位换算为分秒。如果处于平合夕见晨伏，就盈时减、缩时加；如果处于退合夕伏晨见，就盈时加、缩时减。都将所得加减定积，即得到定合、定见、定伏的泛积。求五星定合的定积、定星。木星、火星、土星三颗星，分别用平合行差除当天太阳的盈缩差，得到距合差日；用太阳盈缩差减它，得到距合差度。太阳在盈历，就减去差日、差度；在缩历，就加上。将所得加减该星定合泛积，即为定合定积、定星。

译金星、水星顺合、退合时，分别用平合、退合行差除当天太阳盈缩差，得到距合差日。顺合时，太阳盈缩差顺加、退合时退减，得到距合差度。顺合在盈历，差日、差度都加；在缩历，差日、差度都减。退合在盈历，差日减去、差度加上；在缩历，差日加上、差度减去。都将所得加减该星定合及再定合泛积，得到定合、再定合的定积和定星。再加上冬至大余及约分，满纪法就除去，从甲子起命数，即得到定合日辰。加上冬至加时黄道日度和定星，满宿次就除去，即得到定合所在宿次。其顺行、退行所在的盈缩，是指太阳的盈缩。求木星、水星、土星三颗星定见、定伏的日期。分别取该星定见、定伏的泛积，晨见时加、夕见时减象限日及分秒；以中限的一半为象限。若在中限以下，就把数值自乘；若在中限以上，就用岁周日及分秒减去它，余数也自乘。满七十五除，所得再乘该星的伏见度，除以十五，得到差。再用该段行差除，得到日数，不足一日的退位换算为分秒。见时加、伏时减泛积，得到定积。按前法加以命数，即得到日辰。求金星、水星两颗星定见、定伏的日期。分别用伏见日行差除当天太阳盈缩差，得到日数。如果是晨伏夕见，太阳在盈历就加，在缩历就减；如果是夕伏晨见，太阳在盈历就减，在缩历就加。将所得加减该星泛积，作为常积。察看常积，若在中限以下，属于冬至后；在中限以上，则除去中限，余数属于夏至后。在二至后，若在象限以下，就将数值自乘；若在象限以上，就用中限减去它，也自乘。都按规定除，得到分。冬至后晨见、夏至后夕见，以十八为法；冬至后夕见、夏至后晨见，以七十五为法。再乘伏见度，除以十五，得到差。差满行差除，得到日数，不足一日的退位换算为分秒。将所得加减常积，得到定积。冬至后晨见夕伏时加，夕见晨伏时减；夏至后晨见夕伏时减，夕见晨伏时加。按前法加以命数，即得到定见、定伏的日辰。至于水星，若在大暑节气初日至立冬节气第九日三十五分以前处于夕疾，就不会出现。若在大寒节气初日至立夏节气第九日三十五分以前处于晨留，则春季不会晨见、秋季不会夕见，这种情况自古就有。浑象。古代谈论天体的学说有三家：一是盖天，二是宣夜，三是浑天。汉灵帝时，蔡邕在朔方上书说：“宣夜之学已经失传，完全没有师承法则；《周髀》的术数虽然完整保存，但考察验证天体形状，多有不合；只有浑天说较为接近实际，最能得到天体运行的真实情况，近世太史候台的铜仪就是这样。”它设置八根支柱，仪体呈圆形，具备天地的形状，用来确定黄道、赤道的表里位置，推算日月运行的度数，推步五星运行的迟速，观察节气变化的推移。这种仪器精微深奥，是百代都不能废弃的。但浑天仪流传年代久远，制造者很多，在测候和占察方面各有得失。张衡所制造的仪器，称为《灵宪》，史书失去了它的传本。魏、晋以来，官府虽有这种仪器，却没有原书，所以前代史志也缺载。吴郡常侍王蕃说：“浑天仪是羲和旧有的仪器，称作机衡。”历代相传，沿革不一。宋太平兴国年间，蜀人张思训首先创制这种仪器的样式，在宫禁中制造，历时一年多完成。诏令把它安置在文明殿东鼓楼下，称为“太平浑仪”。张思训死后，玑衡损坏，再也没有人知道它的制造法式。景德年间，历官韩显符依照刘曜时、孔挺、晁崇的法式仿制，但失于简略。景祐年间，冬官正舒易简于是采用唐代梁令瓚、僧一行的方法，制作得相当完备，但又失于过分严密而难以使用。元祐年间，尚书右丞苏颂与昭文馆校理沈括奉诏详细订定《浑仪法要》，于是上奏推荐吏部勾当官韩公廉。韩公廉通晓《九章勾股法》，常常用它推考天度，并与张衡、王蕃、僧一行、梁令瓚、张思训的法式相互参验，大体上可以考究。如果依据算术来考察仪器，也能制成，请设置专局，派官制造。诏令同意他们的意见。苏颂等又奏请郑州原武主簿王沇之、太史局官周日严、于太古、张促宣共同监督制造。制度制成后，诏令把它安置在集英殿，统称为浑天仪。韩公廉参与制造仪器时，先撰写《九章勾股验测浑天书》一卷，收藏在宫禁之中，如今已经失传，所以世上没有人知道它。旧制浑仪，以规法象天、以矩法象地，机件隐藏在内部；上面排列着经星运行的轨道，其次具备日月五星的运行度数，用来观察寒暑变化和进退情况，张衡的浑天仪、开元年间的水运铜浑仪就是这样。时间久了便与实际不合，不便施用。韩公廉的制度则制造三重轮：第一重叫六合仪，纵向安置在地浑中，就是天经环；它与地浑相连接，整体不动。第二重叫三辰仪，安置在六合仪内。第三重叫四游仪，安置在三辰仪内。在地浑下树立四根龙柱，又在六合仪下设置鰲云。四根龙柱下设置十字形水趺，凿通沟道，引水来校平高低。另在六合仪内设置天常单环，又设置黄道、赤道两道单环，都安置在三辰仪内，东西相交，随天运转动，用来验证列宿的运行。又制造四象环，附在三辰仪上，与天运环相连；黄道、赤道两道交线处设置两根直距，纵向安置在四游仪内。直距北端连接六合仪地浑的上部，用来校正北极出地的度数；南端连接六合仪地浑的下部，用来校正南极入地的度数。这就是这种仪器的大体形制。两根直距之间夹着一支轩望筒，在筒的中部设置关轴，附在直距上，使它能够转动、俯仰；筒始终指向太阳，太阳的形体始终位于筒孔中，还可以用来窥测四方星辰的度数。这些制度都斟酌采用了李淳风、孔挺、韩显符、舒易简的旧制。三辰仪上设置天运环，用水力使它运转。水运之法始于汉代张衡，唐代梁令瓚和僧一行使它制成，宋太平兴国年间张思训又加以恢复；如今韩公廉再次改正它的制度，设置天运环，在下方用天柱、关轴一类的机件带动浑仪，这是新的制度。

译旧制浑象，就是张衡所说安置在密室中的那种，用来推步七曜的运行，依照历法和浑象考察昏明时刻，校验二十四节气，考察昼夜刻漏，没有比浑象更好的。《隋志》说，梁代秘府中有宋元嘉年间制造的浑象，用木制成，圆形如弹丸，整个表面布列二十八宿、三家星色、黄道、赤道、天河等；另制横规环绕外部，分为上下两半，以象征地。开元年间，诏令僧一行与梁令瓚重新制造铜浑象，成为圆天的形象，上面具备周天列宿的度数；以水冲动轮轴，使它自动转动，一昼夜天转一周；又另设日月五星，使它们沿着天体外部运行。每天浑象向西转一周，太阳正向东行一度，月亮运行十三度有余；总共转二十九周，日月相会；转三百六十五周，太阳运行一周。又设置木柜作为地平，使浑象一半在地上、一半在地下；又在地平前立两个木偶人，设置钟鼓，使木人自动撞击，以报告时辰刻数，命名为《水运浑天俯视图》。制成后，诏令安置在武成殿。宋代太史局原来没有浑象。太平兴国年间，张思训依照开元年间的方法制造，并在上面设置紫宫作盖，旁边设置周天度数，使它东西转动，这是他新创的构思。韩公廉于是增删《隋志》所载的制度来制造它。上面排列二十八宿的周天度数，以及紫微垣内外的官星，用来俯视观察七政的运行；它被安置在六合仪的天经、地浑内部，并一同装在木柜中。浑象中贯有枢轴，南北两端伸出浑象外，南端较长、北端较短；地浑横置在木柜表面，以象征地。天经与地浑相连，纵向安置，一半在地上、一半隐在地下，以象征天。枢轴北端贯穿天经北杠的中部，末端与杠相平，伸出木柜外约三十五度，以象征北极出地；南端也贯穿天经，伸出南杠之外，进入木柜内约三十五度，以象征南极入地。以赤道作为牙距，设置四百七十八个轮齿与天轮相啮合，随同机轮、地毂正向东西运转；昏明时刻的中星都与度数相应，春分、秋分、冬至、夏至等节气也都能得到验证而没有差错。王蕃说：“浑象的制度，地本应在天的内部，但这样形势不便，所以反过来观察它的形状，把地制成外郭；这与已经解释的道理没有不同，只是形状奇异、体制特殊而合乎理，可以说是奇巧的制作。”如今把地浑设置在浑象外面，大概就是出自王蕃的制度。浑象下部则采用张思训的旧制，设有枢轮、关轴，以水激发转动，并用直轴带动神像摇铃、撞钟、击鼓；在轮上设置掌管十二时辰的十二神像。每到时初、时正，神像便执牌循环出现，按照刻数报告，以确定昼夜长短。到了冬季水结冰，运转迟滞，就用水银代替水。如今韩公廉所制造的浑仪、浑象共置于一座台上，台中有两层隔板，浑仪放在上层，浑象放在中层，利用水力运转，枢机、轮轴隐藏在下方。内部设置昼夜时刻机轮五重：第一重叫天轮，用来拨动浑象的赤道牙距；第二重叫拨牙轮，上面安装牙距，随天柱中轮转动，以带动上下四轮；第三重叫时刻钟鼓轮，上面安装时初、时正的一百刻拨牙，用来撞钟、击鼓、摇铃；第四重叫日时初正司辰轮，上面安装时初十二司辰和时正十二司辰；第五重叫报刻司辰轮，上面安装一百刻司辰。这五轮共同贯穿在一根轴上，上部用天束固定，下部用铁杵臼承托，前面用五层木阁遮蔽，比旧制稍有增改。五轮北侧又横向设置枢轮，轮上有七十二根辐条，组成三十六个洪，以三道轮辋束住，夹持三十六只受水壶。轮毂中横贯一根铁枢轴，轴向南北伸出成为地毂，用来转动、拨动地轮。天柱中轮转动，机轮便带动浑象，浑象又带动浑天仪。枢轮左侧设置天池和平水壶，平水壶承接天池的水，再注入受水壶，以水力推动枢轮。受水壶中的水流入退水壶。再由壶下北面的孔引水进入升水下壶，由升水下轮把水运入升水上壶；上壶内的升水上轮和河车一同带动上下轮，把水运入天河，天河又流回天地，每昼夜一周，循环往复。这就是韩公廉制造的浑仪、浑象两件器物而兼具三种用途，总称为浑天仪。金朝攻取汴京后，把这些器物都用车运到燕京。天轮、赤道牙距、拨轮、悬象、钟鼓、司辰、刻报、天池、水壶等器物，后来都长期弃置毁坏，只有铜浑仪还放在太史局候台。但从汴京到燕京相距一千多里，两地地势高低不同，用望筒观测极星时略有偏差，向下移动四度才得以窥见。明昌六年秋八月，风雨大作，雷电震击，龙从浑仪的鰲云、水趺下升起，台子忽然从中间裂开并坍塌，浑仪跌落台下。不久朝廷命有关部门修缮，重新放回台上。贞祐年间南渡时，浑仪若熔铸就能制成器物，又不忍拆毁；若以完整形体运输，又难以用车载运，于是只好弃置而去。兴定年间，司天台官员认为台中没有浑仪，而且测候人员数量不足，便把情况报告朝廷，说应当铸造仪象，增加、补充生员，这样或许可以充分进行占候考察。宣宗召礼部尚书杨云翼询问，杨云翼回答说：“国家一向严格禁止私自使用铜，纵然用尽公私所有的铜，恐怕也不能满足需要。如今各项调度正很繁重，财用不足，实在不能实行。”后来有一天，皇上又提起此事，于是只增加测候人员的名额，铸造仪象的议论就搁置了。当初，张行简任礼部尚书、提点司天监时，曾经制造莲花漏、星丸漏两种漏刻进献。章宗命令把两具莲花漏安置在宫禁中，星丸漏则在车驾巡幸时使用。贞祐年间南渡，两个漏刻都迁到汴京；汴京灭亡后，它们被废弃毁坏，再也没有资料可以考察其制度了。脱脱>《金史》>志第四。