卷五十二 志第四
其年十一月十四日己亥，景长七丈九尺四寸八分五厘五毫；至二十一日丙午，景长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，景长七丈九尺四寸五分五厘。以己亥、丁未二日之景相校，余三分五毫为晷差，进二位；以丙午、丁未二日之景相校，余八分六厘为法；除之，得三十五刻；用减相距日八百刻，余七百六十五刻；折取其中，加半日刻，共为四百三十二刻半；百约为日，得四日；余以十二乘之，百约为时，得三时，满五十又作一时，共得四时；余以十二收之，得三刻；命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。此取至前后四日景。
十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五厘五毫；至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相减，复以辛亥、壬子景相减，准前法求之，亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸丑，景七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑二日之景与甲午景，准前法求之，亦合。此取至前后八九日景。
十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六厘五毫；二日丁亥，景七丈六尺三寸七分七厘；至十二月初六日庚申，景七丈五尺八寸五分一厘。准前法求之，亦在辰初三刻。此取至前后一十七日景。
十月二十一日丙子，景七丈九寸七分一厘；至十二月十六日庚午，景七丈七寸六分；十七日辛未，景七丈一寸五分六厘五毫。准前法求之，亦得辰初三刻。此取至前后二十七日景。
六月初五日癸亥，景一丈三尺八分；距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八厘五毫；初二日甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。准前法求之，亦合。此取至前后一百六十日景。
推十五年戊寅岁夏至
五月十九日辛丑，景一丈一尺七分七厘五毫；距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，景一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌二日之景相减，余二厘五毫，进二位为实；复用庚戌、辛亥景相减，余二分五厘五毫为法；除之，得九刻，用减相距日九百刻，余八百九十一刻；半之，加半日刻，百约，得四日；余以十二乘之，百约，得十一时；余以十二收为刻，得三刻；命初起距日辛丑算外，得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前后四日景。
十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分三厘；距十五年十一月初二日辛巳，景七丈七寸五分九厘五毫；初三日壬午，景七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午景相减，以辛巳、壬午景相减除之，亦合。此用至前后一百五十六日景。
十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，景七丈一尺九寸九厘；距十五年十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申，景七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉，景七丈三尺三分三厘五毫。前后互取，所得时刻皆合。此取至前后一百五十八九日景。
十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分七厘；初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六厘；距十五年十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫；初十日己丑，景七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，景七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己丑景相减为实，以辛酉、壬戌景相减为法，除之；或以壬戌、癸亥景相减，或以戊子、己丑景相减，若己丑、庚寅景相减，推前法求之，皆合。此取至前后一百六十三四日景。
推十五年戊寅岁冬至
其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八厘五毫；距闰十一月初九日戊午，景七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十日己未，景七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午二日景相减，余四分五厘为晷差，进二位，以戊午、己未景相减，余二寸八分一厘为法，除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻，百约，得十日；余以十二乘之，百约为时，满五十又进一时，共得七时；余以十二收为刻；命初起距日己亥算外，得戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。此取至前后十日景。
十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，景七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，景七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子景相减为实，以辛卯、壬辰景相减为法，除之，亦得戊申日未初三刻。或用甲子、乙丑景相减，推之，亦合。若用辛卯、乙丑景相减为实，用乙丑、丙寅景相减，除之，并同。此取至前后十六七日景。
译这一年十一月十四日己亥，日影长七丈九尺四寸八分五厘五毫；到二十一日丙午，日影长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，日影长七丈九尺四寸五分五厘。比较己亥、丁未两日的日影，差三分五毫，进两位；比较丙午、丁未两日的日影，差八分六厘，作为除数；除得三十五刻。用它从相隔八百刻中减去，余七百六十五刻；取其中值，加半日刻，共四百三十二刻半；以一百刻折算一日，得四日；余数乘十二，再以一百折算为时，得三时，满五十又进一时，共得四时；余数再乘十二折算，得三刻。从起算日己亥日之外开始计算，得到癸卯日辰初三刻为丁丑年的冬至。这是取冬至前后四天的日影推算的。十一月初九日甲午，日影长七丈八尺六寸三分五厘五毫；到二十六日辛亥，日影长七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，日影长七丈八尺五寸五分。按照前面的方法，先以甲午、壬子的日影相减，再以辛亥、壬子的日影相减，推算也得到癸卯日辰初三刻。到二十八日癸丑，日影长七丈八尺三寸四厘五毫；用壬子、癸丑两日的日影与甲午日的日影，按照前法推算，结果也相合。这是取冬至前后八九天的日影。十一月丙戌朔，日影长七丈五尺九寸八分六厘五毫；二日丁亥，日影长七丈六尺三寸七分七厘；到十二月初六日庚申，日影长七丈五尺八寸五分一厘。按照前法推算，也在辰初三刻。这是取冬至前后十七天的日影。十月二十一日丙子，日影长七丈九寸七分一厘；到十二月十六日庚午，日影长七丈七寸六分；十七日辛未，日影长七丈一寸五分六厘五毫。按照前面的方法计算，也得到辰初三刻。这里取的是前后二十七日的日影。六月初五日癸亥，日影长一丈三尺八分；到十五年五月癸未朔，日影长一丈三尺三分八厘五毫；初二日甲申，日影长一丈二尺九寸二分五毫。按照前法推算，结果也相合。这是取冬至前后一百六十天的日影。推算十五年戊寅年的夏至。五月十九日辛丑，日影长一丈一尺七分七厘五毫；到二十八日庚戌，日影长一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，日影长一丈一尺八寸五厘五毫。比较辛丑、庚戌两日的日影，差二厘五毫，进两位作为被除数；再比较庚戌、辛亥的日影，差二分五厘五毫，作为除数；除得九刻。用它从相隔九百刻中减去，余八百九十一刻；取一半，加半日刻，按一百刻折算，得四日；余数乘十二，按一百折算，得十一时；余数乘十二折算为刻，得三刻。从起算日辛丑日之外开始计算，得到乙巳日亥正三刻为夏至。这是取夏至前后四天的日影。十四年十二月十五日己巳，日影长七丈一尺三寸四分三厘；到十五年十一月初二日辛巳，日影长七丈七寸五分九厘五毫；初三日壬午，日影长七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午的日影相减，再以辛巳、壬午的日影相减所得的数除之，结果也相合。这是取夏至前后一百五十六天的日影。十四年十二月十二日丙寅，日影长七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，日影长七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，日影长七丈一尺九寸九厘；到十五年十一月初四日癸未，日影长七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申，日影长七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉，日影长七丈三尺三分三厘五毫。前后互相取值推算，所得时刻都相合。这是取夏至前后一百五十八九天的日影。十四年十二月初七日辛酉，日影长七丈五尺四寸一分七厘；初八日壬戌，日影长七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九日癸亥，日影长七丈四尺四寸八分六厘；到十五年十一月初九日戊子，日影长七丈四尺五寸二分五毫；初十日己丑，日影长七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，日影长七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己丑的日影相减作为被除数，以辛酉、壬戌的日影相减作为除数进行计算；或者以壬戌、癸亥相减，或以戊子、己丑相减，或以己丑、庚寅相减，按照前法推算，结果都相合。这是取夏至前后一百六十三四天的日影。推算十五年戊寅年的冬至。这一年十一月十九日戊戌，日影长七丈八尺三寸一分八厘五毫；到闰十一月初九日戊午，日影长七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十日己未，日影长七丈八尺八分二厘五毫。比较戊戌、戊午两日的日影，差四分五厘，进两位；比较戊午、己未的日影，差二寸八分一厘，作为除数；除得十六刻。加上相隔的二千刻，取一半，再加半日刻，按一百刻折算，得十日；余数乘十二，按一百折算为时，满五十再进一时，共得七时；余数乘十二折算为刻。从起算日己亥日之外开始计算，得到戊申日未初三刻为戊寅年的冬至。这是取冬至前后十天的日影。十一月十二日辛卯，日影长七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，日影长七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，日影长七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，日影长七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，日影长七丈五尺五寸四厘五毫。以壬辰、甲子的日影相减作为被除数，以辛卯、壬辰的日影相减作为除数，计算也得到戊申日未初三刻。或者以甲子、乙丑的日影相减推算，结果也相合。如果以辛卯、乙丑的日影相减作为被除数，以乙丑、丙寅的日影相减后除之，结果也相同。这是取冬至前后十六七天的日影。
十一月初八日丁亥，景七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，景七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，景七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳景相减为实，以己巳、庚午景相减，除之，亦同。此取至前后二十一日景。
六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八厘；至十六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一厘。以二戊寅景相减，用后戊寅、己卯景相减，推之，亦同。此取至前后一百五十日景。
五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；至十六年四月二十九日乙巳，景一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午景相减，以乙巳、丙午景相减，推之，亦同。此取至前后百七十八日景。
推十六年己卯岁夏至
四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三厘五毫；至五月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四厘。以丙申、乙丑景相减，余二分九厘五毫为晷差，进二位；以乙未、丙申景相减，得七分六厘为法；除之，得三十八刻；加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百约，得十五日；余以十二乘之，百约，得二时；余以十二收之，得二刻；命初起距日丙申算外，得辛亥日寅正二刻为夏至。此取至前后十五日景。
三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，景一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，景一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳景相减，以壬辰、癸巳景相减，准前法推之，亦合。此取至前后四十二日景。
三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五厘；至七月初七日壬子，景二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子景相减，以壬子、癸丑景相减，如前法推之，亦合。此取至前后六十一二日景。
三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一厘；至七月初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九日甲寅，景二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸丑景相减，以癸丑、甲寅景相减，准前法推之，亦同。此取至前后六十二三日景。
二月十八日乙未，景二丈六尺三分四厘五毫；至七月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，景二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅景相减，以丙寅、丁卯景相减，如前法推之，亦同。此取至前后七十五六日景。
二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五厘五毫；至八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，景三丈二尺二分六厘五毫。用前庚辰与辛巳景相减，以后庚辰、辛巳景相减，如前推之，亦同。此取至前后九十日景。
正月十九日丁卯，景三丈八尺五寸一厘五毫；至八月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相减，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。此取至前后一百三四日景。
推十六年己卯岁冬至
十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，景七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳景相减，余一寸六分为晷差，进二位；以己巳、庚午景相减，余四寸三分七厘五毫为法；除之，得三十六刻；以相减距日三千一百刻，余三千六十四刻；半之，加五十刻，百约，得一十五日；余以十二乘之，百约为时，满五十，又进一时，共得十时；余以十二收之为刻，得二刻；命初起距日戊戌算外，得癸丑日戌初二刻冬至。此取至前后十五六日景。
十月十八日壬辰，景七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，景七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，景七丈五尺二分五厘；至十一月二十八日壬申，景七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，景七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉景相减，癸巳、甲午景相减，如前推之，亦同。若以壬申、癸酉景相减为法，推之亦同。此取至前后十八九日景。
若用癸巳与甲戌景相减，以壬辰、癸巳景相减，推之，或癸巳、甲午景相减，推之，或用甲戌、癸酉景相减，推之，或甲戌、乙亥景相减，推之，或以壬辰、乙亥景相减，用壬辰、癸巳景相减，推之并同。此取至前后二十日景。
十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，景七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，景七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁丑景相减，以丙子、丁丑景相减，推之亦同。此取至前后二十三日景。
译十一月初八日丁亥，日影长七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，日影长七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，日影长七丈三尺六寸一分四厘五毫。以丁亥、己巳的日影相减作为被除数，以己巳、庚午的日影相减后除之，结果也相同。这是取冬至前后二十一天的日影。六月二十六日戊寅，日影长一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，日影长一丈四尺六寸三分八厘；到十六年四月二日戊寅，日影长一丈四尺四寸八分一厘。比较两个戊寅日的日影，再用后一个戊寅日与己卯日的日影相减进行推算，结果也相同。这是取冬至前后一百五十天的日影。五月二十八日庚戌，日影长一丈一尺七寸八分；到十六年四月二十九日乙巳，日影长一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，日影长一丈一尺七寸八分三厘。以庚戌、丙午的日影相减，再以乙巳、丙午的日影相减进行推算，结果也相同。这是取冬至前后一百七十八天的日影。推算十六年己卯年的夏至。四月十九日乙未，日影长一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，日影长一丈二尺二寸九分三厘五毫；到五月十九日乙丑，日影长一丈二尺二寸六分四厘。以丙申、乙丑的日影相减，差二分九厘五毫，进两位作为晷差；以乙未、丙申的日影相减，得七分六厘，作为除数；除得三十八刻。加上相隔的二千九百刻，取一半，再加半日刻，按一百刻折算，得十五日；余数乘十二，按一百折算，得二时；余数再乘十二折算，得二刻。从起算日丙申日之外开始计算，得到辛亥日寅正二刻为夏至。这是取夏至前后十五天的日影。三月二十一日戊辰，日影长一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，日影长一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，日影长一丈六尺三寸一分一厘。以戊辰、癸巳的日影相减，再以壬辰、癸巳的日影相减，按照前法推算，结果也相合。这是取夏至前后四十二天的日影。三月初二日己酉，日影长二丈一尺三寸五厘；到七月初七日壬子，日影长二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，日影长二丈一尺四寸八分六厘五毫。以己酉、壬子的日影相减，再以壬子、癸丑的日影相减，按照前法推算，结果也相合。这是取夏至前后六十一二天的日影。三月戊申朔，日影长二丈一尺六寸一分一厘；到七月初八日癸丑，日影长二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九日甲寅，日影长二丈一尺九寸一分五厘五毫。以戊申、癸丑的日影相减，再以癸丑、甲寅的日影相减，按照前法推算，结果也相同。这是取夏至前后六十二三天的日影。二月十八日乙未，日影长二丈六尺三分四厘五毫；到七月二十一日丙寅，日影长二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，日影长二丈六尺二寸五分九厘。以乙未、丙寅的日影相减，再以丙寅、丁卯的日影相减，按照前法推算，结果也相同。这是取夏至前后七十五六天的日影。二月三日庚辰，日影长三丈二尺一寸九分五厘五毫；到八月初五日庚辰，日影长三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，日影长三丈二尺二分六厘五毫。以前一个庚辰日与辛巳日的日影相减，再以后一个庚辰日与辛巳日的日影相减，按照前法推算，结果也相同。这是取夏至前后九十天的日影。正月十九日丁卯，日影长三丈八尺五寸一厘五毫；到八月十八日癸巳，日影长三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，日影长三丈八尺三寸一分五毫。以丁卯、甲午的日影相减，再比较癸巳、甲午的日影，按照前法推算，结果也相同。这是取夏至前后一百三四天的日影。推算十六年己卯年的冬至。十月二十四日戊戌，日影长七丈六尺七寸四分；到十一月二十五日己巳，日影长七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，日影长七丈六尺一寸四分二厘五毫。以戊戌、己巳的日影相减，差一寸六分，进两位作为晷差；以己巳、庚午的日影相减，差四寸三分七厘五毫，作为除数；除得三十六刻。以相隔的三千一百刻减去，余三千零六十四刻；取一半，加五十刻，按一百刻折算，得十五日；余数乘十二，按一百折算为时，满五十再进一时，共得十时；余数乘十二折算为刻，得二刻。从起算日戊戌日之外开始计算，得到癸丑日戌初二刻为冬至。这是取冬至前后十五六天的日影。十月十八日壬辰，日影长七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，日影长七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，日影长七丈五尺二分五厘；到十一月二十八日壬申，日影长七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，日影长七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，日影长七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，日影长七丈三尺八寸七分一厘五毫。以甲午、癸酉的日影相减，再以癸巳、甲午的日影相减，按照前法推算，结果也相同。若以壬申、癸酉的日影相减作为除数推算，结果也相同。这是取冬至前后十八九天的日影。如果以癸巳、甲戌的日影相减，再以壬辰、癸巳的日影相减后推算；或者以癸巳、甲午的日影相减后推算；或者以甲戌、癸酉的日影相减后推算；或者以甲戌、乙亥的日影相减后推算；或者以壬辰、乙亥的日影相减，再以壬辰、癸巳的日影相减后推算，结果都相同。这是取冬至前后二十天的日影。十月十六日庚寅，日影长七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，日影长七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，日影长七丈二尺八寸四分二厘五毫。以庚寅、丁丑的日影相减，再以丙子、丁丑的日影相减进行推算，结果也相同。这是取冬至前后二十三天的日影。
十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，景七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑、戊寅景相减，以戊子、己丑景相减，推之，或用己丑、庚寅相减，推之亦同。此取至前后二十四日景。
十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，景六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，景六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙酉，景六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉景相减，以辛巳、壬午相减，推之，壬午、癸未景相减，推之亦同。此取至前后三十一二日景。
十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，景六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，景六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰景相减，以辛卯、壬辰景相减，推之亦同。此取至前后三十八日景。
九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛丑，景五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑景相减，以辛丑、壬寅景相减，推之亦同。此取至前后四十七八日景。
九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二厘五毫；至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘；至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相减，壬寅、癸卯景相减，推之亦同。此取至前后五十日景。
右以累年推测到冬夏二至时刻为准，定拟至元十八年辛巳岁前冬至，当在己未日夜半后六刻，即丑初一刻。
岁余岁差
周天之度，周岁之日，皆三百六十有五。全策之外，又有奇分，大率皆四分之一。自今岁冬至距来岁冬至，历三百六十五日，而日行一周，凡四周，历千四百六十，则余一日，析而四之，则四分之一也。然天之分常有余，岁之分常不足，其数有不能齐者，惟其所差至微，前人初未觉知。迨汉末刘洪，始觉冬至后天，谓岁周余分太强，乃作《乾象历》，减岁余分二千五百为二千四百六十二。至晋虞喜，宋何承天、祖冲之，谓岁当有差，因立岁差之法。其法损岁余，益天周，使岁余浸弱，天周浸强，强弱相减，因得日躔岁退之差。岁余、天周，二者实相为用，岁差由斯而立，日躔由斯而得，一或损益失当，讵能与天叶哉？
今自刘宋大明壬寅以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，取相距积日时刻，以相距之年除之，各得其时所用岁余。复自大明壬寅距至元戊寅积日时刻，以相距之年除之，得每岁三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明历》减去一十一秒，定为方今所用岁余。余七十五秒，用益所谓四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定为天周。余分强弱相减，余一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，日却一度，以六十六年除全度，适得一分五十秒，定为岁差。
复以《尧典》中星考之，其时冬至日在女、虚之交。及考之前史，汉元和二年，冬至日在斗二十一度；晋太元九年，退在斗十七度；宋元嘉十年，在斗十四度末；梁大同十年，在斗十二度；隋开皇十八年，犹在斗十二度；唐开元十二年，在斗九度半；今退在箕十度。取其距今之年、距今之度较之，多者七十余年，少者不下五十年，辄差一度。宋庆元间，改《统天历》，取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，为日却行一度之差。施之今日，质诸天道，实为密近。
然古今历法，合于今必不能通于古，密于古必不能验于今。今《授时历》，以之考古，则增岁余而损岁差；以之推来，则增岁差而损岁余；上推春秋以来冬至，往往皆合；下求方来，可以永久而无弊；非止密于今日而已。仍以《大衍》等六历，考验春秋以来冬至疏密，凡四十九事，具列如后。
冬至刻
《大衍》 《宣明》 《纪元》 《天》 《大明》 《授时》
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。
丙辰（22） 乙卯（88） 丁巳（33） 乙卯（2） 丁巳（35）甲寅（99）
僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥（94） 辛亥（66） 壬子（74） 辛亥（27） 壬子（89）辛亥（14）
昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
己丑（45） 己丑（2） 庚寅（25） 戊子（92） 庚寅（29）戊子（83）
宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。
戊辰（35） 戊辰（32） 戊辰（39） 戊辰（51） 戊辰（41）戊辰（47）
元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。
癸酉（59） 癸酉（57） 癸酉（63） 癸酉（75） 癸酉（65）癸酉（71）
元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申景长。
甲申（8） 甲申（6） 甲申（十2） 甲申（24） 甲申（14）甲申（19）
元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑景长。
译十月十四日戊子，日影长七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，日影长七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，日影长七丈二尺二寸七分二厘五毫。以己丑、戊寅的日影相减，再以戊子、己丑的日影相减进行推算；或者以己丑、庚寅的日影相减推算，结果也相同。这是取冬至前后二十四天的日影。十月初七日辛巳，日影长六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，日影长六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，日影长六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙酉，日影长六丈八尺一寸四分五厘。以壬午、乙酉的日影相减，再以辛巳、壬午的日影相减进行推算；以壬午、癸未的日影相减推算，结果也相同。这是取冬至前三十一二天的日影。十月乙亥朔，日影长六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，日影长六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，日影长六丈三尺六寸二分五厘。以乙亥、壬辰的日影相减，再以辛卯、壬辰的日影相减进行推算，结果也相同。这是取冬至前三十八天的日影。九月二十二日丙寅，日影长五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛丑，日影长五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，日影长五丈六尺九寸一分五厘。以丙寅、辛丑的日影相减，再以辛丑、壬寅的日影相减进行推算，结果也相同。这是取冬至前后四十七八天的日影。九月二十日甲子，日影长五丈六尺四寸九分二厘五毫；到十二月二十九日壬寅，日影长五丈六尺九寸一分五厘；到十七年正月癸卯朔，日影长五丈六尺二寸五分。以甲子、癸卯的日影相减，再以壬寅、癸卯的日影相减进行推算，结果也相同。这是取冬至前后五十天的日影。以上根据多年推算观测得到的冬至、夏至时刻为准，确定至元十八年辛巳年之前的冬至，应当在己未日夜半之后六刻，即丑初一刻。年余与岁差。周天的度数和一年的日数，都是三百六十五。除完整的周天数外，还多出余分，大约都是四分之一。从今年冬至到明年冬至，经过三百六十五日，太阳运行一周；经过四周，共一千四百六十日，就多出一日；把这一日分成四份，就是四分之一。然而，天周的余分通常有余，一年的余分通常不足，二者的数值不能完全相等，只是差别极其微小，前人起初没有察觉。到了汉末刘洪，才发现冬至以后天象逐渐落后，认为岁周余分过强，于是制定《乾象历》，把岁余从二千五百减为二千四百六十二。到晋代虞喜、宋代何承天和祖冲之，认为岁周本来就会产生差异，因而创立岁差法。这种方法减少岁余，增加天周，使岁余逐渐减弱、天周逐渐增强；二者的强弱相减，便得到太阳运行每年退行的差数。岁余和天周二者实际上相互作用，岁差由此确立，太阳运行的位置也由此推得；如果其中一项增减失当，怎么能够与天道相符合呢？现在从刘宋大明壬寅年起，凡是通过测量日影、验证节气而得到冬至时刻准确数值的，共有六次。取这些时次之间相隔的总日数和时刻，再用相隔的年数除它们，分别得到各时代所采用的岁余。又从大明壬寅年到至元戊寅年，取相隔的日数和时刻，用相隔的年数除之，得到每年三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明历》减少一十一秒，确定为现在所用的岁余。剩下七十五秒，加到所谓四分之一上，共为三百六十五度二十五分七十五秒，确定为天周。把余分的强弱相减，剩下一分五十秒；用它除完整的一度，得到六十六年有余，太阳退行一度。以六十六年除一整度，正好得到一分五十秒，于是确定为岁差。再根据《尧典》所记的中星来考察，当时冬至太阳在女宿、虚宿交界处。考察前代史书，汉元和二年冬至，太阳在斗宿二十一度；晋太元九年，退到斗宿十七度；宋元嘉十年，在斗宿十四度末；梁大同十年，在斗宿十二度；隋开皇十八年，仍在斗宿十二度；唐开元十二年，在斗宿九度半；现在退到箕宿十度。把各时代距今的年数和度数相互比较，多的超过七十年，少的也不低于五十年，通常相差一度。宋庆元年间改定《统天历》，取《大衍历》八十二年的岁差率和开元年间测得的五十五年差数，折中取其平均，得到六十七年作为太阳退行一度的差数。把它用于今天，与天道相验证，确实十分精密。但是，古今历法，符合今天的未必能够通用于古代，精密于古代的未必能够验证于今天。现在的《授时历》，用来考察古代，就增加岁余而减少岁差；用来推算未来，就增加岁差而减少岁余。向上推算春秋以来的冬至，往往都相符合；向下推求未来，可以永久使用而没有弊病；它并不只是对今天精密而已。于是仍用《大衍》等六种历法，考察春秋以来冬至推算的疏密，共四十九项，详细列在下面。冬至时刻 《大衍历》《宣明历》《纪元历》《天》《大明历》《授时历》鲁献公十五年戊寅年，正月初一甲寅日早晨为冬至。丙辰（22）；乙卯（88）；丁巳（33）；乙卯（2）；丁巳（35）；甲寅（99）。鲁僖公五年丙寅年，正月初一辛亥日早晨为冬至。辛亥（94）；辛亥（66）；壬子（74）；辛亥（27）；壬子（89）；辛亥（14）。鲁昭公二十年己卯年，正月初一己丑日早晨为冬至。己丑（45）；己丑（2）；庚寅（25）；戊子（92）；庚寅（29）；戊子（83）。宋元嘉十二年乙亥年，十一月十五日戊辰日影最长。戊辰（35）；戊辰（32）；戊辰（39）；戊辰（51）；戊辰（41）；戊辰（47）。元嘉十三年丙子年，十一月二十六日甲戌日影最长。癸酉（59）；癸酉（57）；癸酉（63）；癸酉（75）；癸酉（65）；癸酉（71）。元嘉十五年戊寅年，十一月十八日甲申日影最长。甲申（8）；甲申（6）；甲申（十2）；甲申（24）；甲申（14）；甲申（19）。元嘉十六年己卯年，十月二十九日己丑日影最长。
己丑（33） 己丑（3） 己丑（37） 己丑（48） 己丑（37）己丑（44）
元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午景长。
甲午（57） 甲午（55） 甲午（61） 甲午（72） 甲午（63）甲午（68）
元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥景长。
己亥（82） 己亥（79） 己亥（85） 己亥（97） 己亥（87）己亥（93）
元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳景长。
乙巳（6） 乙巳（4） 乙巳（十） 乙巳（21） 乙巳（11）乙巳（17）
大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至。
甲申（7） 甲申（68） 甲申（73） 甲申（89） 甲申（74）甲申（79）
陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅景长。
庚寅（12） 庚寅（13） 庚寅（5） 庚寅（24） 庚寅（ 8）庚寅（17）
光大二年戊子岁，十一月乙巳景长。
乙巳（8） 乙巳（86） 乙巳（79） 乙巳（97） 乙巳（81）乙巳（ 9）
太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯景长。
丙寅（83） 丙寅（78） 丙寅（77） 丙寅（95） 丙寅（98）丙寅（87）
太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑景长。
丁丑（32） 丁丑（33） 丁丑（25） 丁丑（43） 丁丑（27）丁丑（36）
太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰景长。
癸巳（4） 癸巳（6） 壬辰（99） 癸巳（16） 癸巳（空）癸巳（ 8）
太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌景长。
戊戌（3） 戊戌（3） 戊戌（23） 戊戌（4） 戊戌（24）戊戌（33）
隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳景长。
己巳（77） 己巳（78） 己巳（69） 己巳（86） 己巳（71）己巳（86）
开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥景长。
乙亥（1） 乙亥（2） 甲戌（92） 乙亥（11） 甲戌（55）乙亥（10）
开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰景长。
庚辰（25） 庚辰（26） 庚辰（18） 庚辰（34） 庚辰（19）庚辰（34）
开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉景长。
乙酉（5） 乙酉（51） 乙酉（42） 乙酉（59） 乙酉（44）乙酉（59）
开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午景长。
丙午（48） 丙午（49） 丙午（43） 丙午（57） 丙午（41）丙午（56）
开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。
壬戌（21） 壬戌（22） 壬戌（13） 壬戌（ 3） 壬戌（14）壬戌（29）
唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉景长。
甲申（43） 甲申（45） 甲申（31） 甲申（ 5） 甲申（32）甲申（44）
贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥景长。
庚戌（65） 庚戌（68） 庚戌（53） 庚戌（72） 庚戌（54）庚戌（66）
龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未至戊午景长。
戊午（83） 戊午（86） 戊午（69） 戊午（88） 戊午（71）戊午（82）
仪凤元年丙子岁，十一月壬申景长。
壬申（25） 壬申（28） 壬申（10） 壬申（28） 壬申（12）壬申（22）
永淳元年壬午岁，十一月癸卯景长。
癸卯（72） 癸卯（75） 癸卯（57） 癸卯（76） 癸卯（58）癸卯（68）
开元十年壬戌岁，十一月癸酉景长。
癸酉（49） 癸酉（54） 癸酉（31） 癸酉（ 5） 癸酉（32）癸酉（46）
开元十一年癸亥岁，十一月戊寅景长。
戊寅（74） 戊寅（77） 戊寅（55） 戊寅（74） 戊寅（56）戊寅（ 7）
开元十二年甲子岁，十一月癸未冬至。
癸未（98） 甲申（3） 癸未（8） 癸未（99） 癸未（81）癸未（95）
宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日南至。
戊辰（15） 戊辰（26） 丁卯（74） 丁卯（82） 丁卯（74）丁卯（ 8）
皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑景长。
癸丑（65） 癸丑（79） 癸丑（22） 癸丑（25） 癸丑（22）癸丑（23）
元丰六年癸亥岁，十一月丙午景长。
丙午（73） 丙午（85） 丙午（26） 丙午（27） 丙午（26）丙午（26）
元丰七年甲子岁，十一月辛亥景长。
辛亥（97） 壬子（10） 辛亥（5） 辛亥（51） 辛亥（ 5）辛亥（51）
元祐三年戊辰岁，十一月壬申景长。
壬申（94） 癸酉（8） 壬申（48） 壬申（48） 壬申（48）壬申（48）
元祐四年己巳岁，十一月丁丑景长。
戊寅（19） 戊寅（32） 丁丑（72） 丁丑（72） 丁丑（72）丁丑（72）
元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。
癸未（44） 癸未（56） 壬午（96） 壬午（97） 壬午（96）壬午（96）
元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。
癸巳（92） 甲午（5） 癸巳（45） 癸巳（45） 癸巳（45）癸巳（45）
元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。
乙丑（39） 乙丑（52） 甲子（91） 甲子（91） 甲子（91）甲子（91）
译己丑（33）；己丑（3）；己丑（37）；己丑（48）；己丑（37）；己丑（44）。元嘉十七年庚辰年，十一月初十日甲午日影最长。甲午（57）；甲午（55）；甲午（61）；甲午（72）；甲午（63）；甲午（68）。元嘉十八年辛巳年，十一月二十一日己亥日影最长。己亥（82）；己亥（79）；己亥（85）；己亥（97）；己亥（87）；己亥（93）。元嘉十九年壬午年，十一月初三日乙巳日影最长。乙巳（6）；乙巳（4）；乙巳（十）；乙巳（21）；乙巳（11）；乙巳（17）。大明五年辛丑年，十一月乙酉日为冬至。甲申（7）；甲申（68）；甲申（73）；甲申（89）；甲申（74）；甲申（79）。陈天嘉六年乙酉年，十一月庚寅日影最长。庚寅（12）；庚寅（13）；庚寅（5）；庚寅（24）；庚寅（ 8）；庚寅（17）。光大二年戊子年，十一月乙巳日影最长。乙巳（8）；乙巳（86）；乙巳（79）；乙巳（97）；乙巳（81）；乙巳（ 9）。太建四年壬辰年，十一月二十九日丁卯日影最长。丙寅（83）；丙寅（78）；丙寅（77）；丙寅（95）；丙寅（98）；丙寅（87）。太建六年甲午年，十一月二十日丁丑日影最长。丁丑（32）；丁丑（33）；丁丑（25）；丁丑（43）；丁丑（27）；丁丑（36）。太建九年丁酉年，十一月二十三日壬辰日影最长。癸巳（4）；癸巳（6）；壬辰（99）；癸巳（16）；癸巳（空）；癸巳（ 8）。太建十年戊戌年，十一月五日戊戌日影最长。戊戌（3）；戊戌（3）；戊戌（23）；戊戌（4）；戊戌（24）；戊戌（33）。隋开皇四年甲辰年，十一月十一日己巳日影最长。己巳（77）；己巳（78）；己巳（69）；己巳（86）；己巳（71）；己巳（86）。开皇五年乙巳年，十一月二十二日乙亥日影最长。乙亥（1）；乙亥（2）；甲戌（92）；乙亥（11）；甲戌（55）；乙亥（10）。开皇六年丙午年，十一月初三日庚辰日影最长。庚辰（25）；庚辰（26）；庚辰（18）；庚辰（34）；庚辰（19）；庚辰（34）。开皇七年丁未年，十一月十四日乙酉日影最长。乙酉（5）；乙酉（51）；乙酉（42）；乙酉（59）；乙酉（44）；乙酉（59）。开皇十一年辛亥年，十一月二十八日丙午日影最长。丙午（48）；丙午（49）；丙午（43）；丙午（57）；丙午（41）；丙午（56）。开皇十四年甲寅年，十一月初一辛酉日早晨为冬至。壬戌（21）；壬戌（22）；壬戌（13）；壬戌（ 3）；壬戌（14）；壬戌（29）。唐贞观十八年甲辰年，十一月乙酉日影最长。甲申（43）；甲申（45）；甲申（31）；甲申（ 5）；甲申（32）；甲申（44）。贞观二十三年己酉年，十一月辛亥日影最长。庚戌（65）；庚戌（68）；庚戌（53）；庚戌（72）；庚戌（54）；庚戌（66）。龙朔二年壬戌年，十一月四日从己未时至戊午时日影最长。戊午（83）；戊午（86）；戊午（69）；戊午（88）；戊午（71）；戊午（82）。仪凤元年丙子年，十一月壬申日影最长。壬申（25）；壬申（28）；壬申（10）；壬申（28）；壬申（12）；壬申（22）。永淳元年壬午年，十一月癸卯日影最长。癸卯（72）；癸卯（75）；癸卯（57）；癸卯（76）；癸卯（58）；癸卯（68）。开元十年壬戌年，十一月癸酉日影最长。癸酉（49）；癸酉（54）；癸酉（31）；癸酉（ 5）；癸酉（32）；癸酉（46）。开元十一年癸亥年，十一月戊寅日影最长。戊寅（74）；戊寅（77）；戊寅（55）；戊寅（74）；戊寅（56）；戊寅（ 7）。开元十二年甲子年，十一月癸未日为冬至。癸未（98）；甲申（3）；癸未（8）；癸未（99）；癸未（81）；癸未（95）。宋景德四年丁未年，十一月戊辰日太阳到达最南点。戊辰（15）；戊辰（26）；丁卯（74）；丁卯（82）；丁卯（74）；丁卯（ 8）。皇祐二年庚寅年，十一月三十日癸丑日影最长。癸丑（65）；癸丑（79）；癸丑（22）；癸丑（25）；癸丑（22）；癸丑（23）。元丰六年癸亥年，十一月丙午日影最长。丙午（73）；丙午（85）；丙午（26）；丙午（27）；丙午（26）；丙午（26）。元丰七年甲子年，十一月辛亥日影最长。辛亥（97）；壬子（10）；辛亥（5）；辛亥（51）；辛亥（ 5）；辛亥（51）。元祐三年戊辰年，十一月壬申日影最长。壬申（94）；癸酉（8）；壬申（48）；壬申（48）；壬申（48）；壬申（48）。元祐四年己巳年，十一月丁丑日影最长。戊寅（19）；戊寅（32）；丁丑（72）；丁丑（72）；丁丑（72）；丁丑（72）。元祐五年庚午年，十一月壬午日为冬至。癸未（44）；癸未（56）；壬午（96）；壬午（97）；壬午（96）；壬午（96）。元祐七年壬申年，十一月癸巳日为冬至。癸巳（92）；甲午（5）；癸巳（45）；癸巳（45）；癸巳（45）；癸巳（45）。元符元年戊寅年，十一月甲子日为冬至。乙丑（39）；乙丑（52）；甲子（91）；甲子（91）；甲子（91）；甲子（91）。
崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。
丙申（86） 丙申（99） 丙申（37） 丙申（36） 丙申（37）丙申（37）
绍熙二年辛亥岁，十一月壬申冬至。
癸酉（12） 癸酉（27） 壬申（57） 壬申（47） 壬申（57）壬申（46）
庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日南至。
甲辰（59） 甲辰（74） 甲辰（ 3） 癸卯（92） 甲辰（ 3）癸卯（92）
嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日南至。
丙子（5） 丙子（21） 乙亥（49） 乙亥（37） 乙亥（49）乙亥（37）
嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日南至。
癸亥（25） 癸亥（41） 壬戌（69） 壬戌（56） 壬戌（68）壬戌（56）
绍定三年庚寅岁，十一月丙申日南至。
丁酉（65） 丁酉（83） 丁酉（ 7） 丙申（63） 丁酉（ 7）丙申（92）
淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日南至。
壬午（94） 壬午（71） 辛巳（96） 辛巳（77） 辛巳（94）辛巳（78）
本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未夜半后六刻冬至。
己未（87） 庚申（ 5） 己未（25） 己未（ 4） 己未（24）己未（ 6）
右自春秋献公以来，凡二千一百六十余年，用《大衍》、《宣明》、《纪元》、《统天》、《大明》、《授时》六历推算冬至，凡四十九事。《大衍历》合者三十二，不合者十七；《宣明历》合者二十六，不合者二十三；《纪元历》合者三十五，不合者十四；《统天历》合者三十八，不合者十一；《大明历》合者三十四，不合者十五；《授时历》合者三十九，不合者十事。
今按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，《授时历》得甲寅，《统天历》得乙卯，后天一日；至僖公五年丙寅岁正月辛亥朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得辛亥，与天合；下至昭公二十年己卯岁正月己丑朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得戊子，并先一日，若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知《春秋》所书昭公冬至，乃日度失行之验。一也。《大衍历》考古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，《大衍》与《皇极》、《麟德》三历皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三历之差。今以《授时历》考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸历皆得甲申，殆亦日度之差。三也。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯景长，《大衍》、《授时》皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉岁十一月壬辰景长，《大衍》、《授时》皆得癸巳，是后一日；一失之先，一失之后，若合于壬辰，则差于丁酉，合于丁酉，则差于壬辰，亦日度失行之验。五也。开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长，《大衍》、《统天》、《授时》皆得丙午，与天合；至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而《大衍》、《统天》、《授时》皆得壬戌，若合于辛亥，则失于甲寅，合于甲寅，则失于辛亥，其开皇十四年甲寅岁冬至，亦日度失行。六也。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长，诸历得甲申，贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长，诸历皆得庚戌，《大衍历议》以永淳、开元冬至推之，知前二冬至乃史官依时历以书，必非候景所得，所以不合，今以《授时历》考之亦然。八也。自前宋以来，测景验气者凡十七事，其景德丁未岁戊辰日南至，《统天》、《授时》皆得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥岁甲戌日南至，《统天》、《授时》皆得乙亥，是后一日；一失之先，一失之后，若曲变其数以从景德，则其余十六事多后天，从嘉泰，则其余十六事多先天，亦日度失行之验。十也。
前十事皆《授时历》所不合，以此理推之，非不合矣，盖类其同则知其中，辨其异则知其变。今于冬至略其日度失行及史官依时历书之者凡十事，则《授时历》三十九事皆中，《统天历》与今历不合者仅有献公一事，《大衍历》推献公冬至后天二日，《大明》后天三日，《授时历》与天合。下推至元庚辰冬至，《大衍》后天八十一刻，《大明》后天一十九刻，《统天历》先天一刻，《授时历》与天合。以前代诸历校之，《授时》为密，庶几千岁之日至，可坐而致云。
古今历参校疏密
《授时历》与古历相校，疏密自见，盖上能合于数百载之前，则下可行之永久，此前人定说。古称善治历者，若宋何承天，隋刘焯，唐傅仁均、僧一行之流，最为杰出。今以其历与至元庚辰冬至气应相校，未有不舛戾者，而以新历上推往古，无不吻合，则其疏密从可知已。
宋文帝元嘉十九年壬午岁十一月乙巳日十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰岁，计八百三十八年。其年十一月，气应己未六刻冬至，《元嘉历》推之，得辛酉，后《授时》二日，《授时》上考元嘉壬午岁冬至，得乙巳，与元嘉合。
译崇宁三年甲申年，十一月丙申日为冬至。丙申（86）；丙申（99）；丙申（37）；丙申（36）；丙申（37）；丙申（37）。绍熙二年辛亥年，十一月壬申日为冬至。癸酉（12）；癸酉（27）；壬申（57）；壬申（47）；壬申（57）；壬申（46）。庆元三年丁巳年，十一月癸卯日太阳到达最南点。甲辰（59）；甲辰（74）；甲辰（ 3）；癸卯（92）；甲辰（ 3）；癸卯（92）。嘉泰三年癸亥年，十一月甲戌日太阳到达最南点。丙子（5）；丙子（21）；乙亥（49）；乙亥（37）；乙亥（49）；乙亥（37）。嘉定五年壬申年，十一月壬戌日太阳到达最南点。癸亥（25）；癸亥（41）；壬戌（69）；壬戌（56）；壬戌（68）；壬戌（56）。绍定三年庚寅年，十一月丙申日太阳到达最南点。丁酉（65）；丁酉（83）；丁酉（ 7）；丙申（63）；丁酉（ 7）；丙申（92）。淳祐十年庚戌年，十一月辛巳日太阳到达最南点。壬午（94）；壬午（71）；辛巳（96）；辛巳（77）；辛巳（94）；辛巳（78）。本朝至元十七年庚辰年，十一月己未日过半夜后六刻为冬至。己未（87）；庚申（ 5）；己未（25）；己未（ 4）；己未（24）；己未（ 6）。以上自春秋鲁献公以来，共二千一百六十多年，使用《大衍》《宣明》《纪元》《统天》《大明》《授时》六种历法推算冬至，共四十九项。《大衍历》符合的三十二项，不符合的十七项；《宣明历》符合的二十六项，不符合的二十三项；《纪元历》符合的三十五项，不符合的十四项；《统天历》符合的三十八项，不符合的十一项；《大明历》符合的三十四项，不符合的十五项；《授时历》符合的三十九项，不符合的十项。现在考察鲁献公十五年戊寅年正月初一甲寅日早晨冬至，《授时历》推得甲寅，《统天历》推得乙卯，晚了一日；到僖公五年丙寅年正月初一辛亥日早晨冬至，《授时历》和《统天历》都推得辛亥，与天象相合；再到昭公二十年己卯年正月初一己丑日早晨冬至，《授时历》和《统天历》都推得戊子，提前了一日。如果曲意改变历法来迁就这一结果，那么献公、僖公两次就都不能相合了。由此可知，《春秋》所记昭公年间的冬至，正是太阳运行度数发生失常的证据。这是第一项。《大衍历》考察古代冬至，说刘宋元嘉十三年丙子年十一月甲戌日太阳到达最南点，《大衍》《皇极》《麟德》三历都推得癸酉，均提前一日，这是太阳运行度数失常，并不是三种历法的差错。现在用《授时历》考察，也推得癸酉。这是第二项。大明五年辛丑年十一月乙酉日冬至，各历都推得甲申，大概也是太阳运行度数的差错。这是第三项。陈太建四年壬辰年十一月丁卯日日影最长，《大衍历》和《授时历》都推得丙寅，提前一日；太建九年丁酉年十一月壬辰日日影最长，《大衍历》和《授时历》都推得癸巳，晚了一日；一次提前，一次推迟；如果与壬辰年相合，就会与丁酉年有差异；如果与丁酉年相合，就会与壬辰年有差异，这同样是太阳运行度数失常的证据。这是第五项。开皇十一年辛亥年十一月丙午日日影最长，《大衍历》《统天历》《授时历》都推得丙午，与天象相合；到开皇十四年甲寅年十一月辛酉日冬至，《大衍历》《统天历》《授时历》都推得壬戌；如果与辛亥年相合，就会在甲寅年出错；如果与甲寅年相合，就会在辛亥年出错。因此，开皇十四年甲寅年冬至也是太阳运行度数失常的表现。这是第六项。唐贞观十八年甲辰年十一月乙酉日日影最长，各历推得甲申；贞观二十三年己酉年十一月辛亥日日影最长，各历都推得庚戌。《大衍历议》根据永淳、开元年间的冬至推算，知道前面两次冬至是史官按照当时通行历法记录的，必定不是通过测量日影所得，所以与天象不合；现在用《授时历》考察，结果也一样。这是第八项。自前宋以来，测量日影、验证节气的事共有十七项，其中景德丁未年戊辰日太阳到达最南点，《统天历》《授时历》都推得丁卯，提前一日；嘉泰癸亥年甲戌日太阳到达最南点，《统天历》《授时历》都推得乙亥，晚了一日；一次提前，一次推迟；如果曲意改变数值来迁就景德年，那么其余十六项大多会晚于天象；如果迁就嘉泰年，那么其余十六项大多会早于天象，这同样是太阳运行度数失常的证据。这是第十项。前面十项看起来都是《授时历》不符合的地方，但按照这个道理推求，实际上并不能算不符合。因为归纳相同之处，就能知道其中的常态；辨别不同之处，就能知道其中的变化。现在对于冬至，略去太阳运行度数失常以及史官依照当时历法记录的情况，共有十项，那么《授时历》四十九项就全部符合；《统天历》与今历不合的只剩献公这一项。《大衍历》推算献公年间的冬至晚于天象二日，《大明历》晚于天象三日，而《授时历》与天象相合。向下推算至元庚辰年冬至，《大衍历》晚于天象八十一刻，《大明历》晚于天象一十九刻，《统天历》早于天象一刻，《授时历》与天象相合。拿前代各种历法来校验，《授时历》最为精密，或许千年以后的冬至，也可以安坐着推算出来了。古今历法相互校验其疏密 把《授时历》同古代历法相互校验，疏密优劣自然显现出来。因为向上能够与数百年以前的天象相合，向下就可以永久施行，这是前人的定论。古人所说善于制定历法的人，如宋代何承天、隋代刘焯、唐代傅仁均和僧一行这一类人，最为杰出。现在把他们的历法同至元庚辰年冬至的节气时刻相互校验，没有不发生差错的；而用新历向上推算古代，没有不完全相合的，那么它们的疏密优劣也就可以知道了。宋文帝元嘉十九年壬午年十一月乙巳日十一刻为冬至，距本朝至元十七年庚辰年，共八百三十八年。至元十七年这一年十一月，节气时刻为己未六刻冬至；用《元嘉历》推算，得到辛酉，晚于《授时历》二日；用《授时历》向上考察元嘉壬午年冬至，得到乙巳，与元嘉年间的记载相合。
隋大业三年丁卯岁十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百七十三年。《皇极历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时》上考大业丁卯岁冬至，得庚午，与《皇极》合。
唐武德元年戊寅岁十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百六十二年。《戊寅历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考武德戊寅岁，得戊辰冬至，与《戊寅历》合。
开元十五年丁卯岁十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计五百五十三年。《大衍历》推之，得己未冬至，后《授时》八十一刻；《授时历》上考开元丁卯岁，得己亥冬至，与《大衍历》合，先四刻。
长庆元年辛丑岁十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计四百五十九年。《宣明历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考长庆辛丑岁，得壬子冬至，与《宣明历》合。
宋太平兴国五年庚辰岁十一月丙午日六十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计三百年。《乾元历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考太平兴国庚辰岁，得丙午冬至，与《乾元》合。
咸平三年庚子岁十一月辛卯日五十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计二百八十年。《仪天历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时》上考咸平庚子岁，得辛卯冬至，与《仪天》合。
崇宁四年乙酉岁十一月辛丑日六十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百七十五年。《纪元历》推之，得己未日冬至，后《授时》十九刻；《授时历》上考崇宁乙酉岁，得辛丑日冬至，与《纪元历》合，先二刻。
金大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百一年。《大明历》推之，得己未冬至，后《授时》一十九刻；《授时历》上考大定己亥岁，己巳冬至，与《大明历》合，先九刻。（《大明》冬至盖测验未密故也。）
庆元四年戊午岁十一月己酉日一十七刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计八十二年。《统天历》推之，得己未冬至，先《授时》一刻；《授时历》上考庆元戊午岁，得己酉日冬至，与《统天历》合。
周天列宿度
列宿著于天，为舍二十有八，为度三百六十五有奇。非日躔无以校其度，非列舍无以纪其度，周天之度，因二者以得之。天体浑圆，当二极南北之中，络以赤道，日月五星之行，常出入于比。天左旋，日月五星溯而右转，昔人历象日月星辰，谓此也。然列舍相距度数，历代所测不同，非微有动移，则前人所测或有未密。古用窥管，今新制浑仪，测用二线，所测度数分秒与前代不同者，今列于左。
（表略）
日躔
日之丽天，县象最著，大明一生，列宿俱熄。古人欲测躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距，从考其所当；然昏旦夜半时刻未易得真，时刻一差，则所距、所当，不容无舛。晋姜岌首以月食冲检，知日度所在；《纪元历》复以太白志其相距远近，于昏后明前验定星度，因得日躔。今用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道九度有奇。仍自其年正月至己卯岁终，三年之间，日测太阴所离宿次及岁星、太白相距度，定验参考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，适与月食所冲允合。以金赵知微所修《大明历法》推之，冬至犹躔斗初度三十六分六十四秒，比新测实差七十六分六十四秒。
日行盈缩
日月之行，有冬有夏，言日月行度，冬夏各不同也。人徒知日行一度，一岁一周天，曾不知盈缩损益，四序有不同者。北齐张子信积候合蚀加时，觉日行有入气差，然损益未得其正。赵道严复准晷景长短，定日行进退，更造盈缩以求亏食。至刘焯立躔度，与四序升降，虽损益不同，后代祖述用之。
译隋大业三年丁卯年十一月庚午日五十二刻为冬至，距至元十七年庚辰年，共六百七十三年。用《皇极历》推算，得到庚申日冬至，晚于《授时历》一日；《授时历》向上考察大业丁卯年冬至，得到庚午，与《皇极历》相合。唐武德元年戊寅年十一月戊辰日六十四刻为冬至，距至元十七年庚辰年，共六百六十二年。用《戊寅历》推算，得到庚申日冬至，晚于《授时历》一日；《授时历》向上考察武德戊寅年，得到戊辰日冬至，与《戊寅历》相合。开元十五年丁卯年十一月己亥日七十二刻为冬至，距至元十七年庚辰年，共五百五十三年。用《大衍历》推算，得到己未日冬至，晚于《授时历》八十一刻；《授时历》向上考察开元丁卯年，得到己亥日冬至，与《大衍历》相合，但提前四刻。长庆元年辛丑年十一月壬子日七十六刻为冬至，距至元十七年庚辰年，共四百五十九年。用《宣明历》推算，得到庚申日冬至，晚于《授时历》一日；《授时历》向上考察长庆辛丑年，得到壬子日冬至，与《宣明历》相合。宋太平兴国五年庚辰年十一月丙午日六十三刻为冬至，距至元十七年庚辰年，共三百年。用《乾元历》推算，得到庚申日冬至，晚于《授时历》一日；《授时历》向上考察太平兴国庚辰年，得到丙午日冬至，与《乾元历》相合。咸平三年庚子年十一月辛卯日五十三刻为冬至，距至元十七年庚辰年，共二百八十年。用《仪天历》推算，得到庚申日冬至，晚于《授时历》一日；《授时历》向上考察咸平庚子年，得到辛卯日冬至，与《仪天历》相合。崇宁四年乙酉年十一月辛丑日六十二刻为冬至，距至元十七年庚辰年，共一百七十五年。用《纪元历》推算，得到己未日冬至，晚于《授时历》十九刻；《授时历》向上考察崇宁乙酉年，得到辛丑日冬至，与《纪元历》相合，但提前二刻。金大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻为冬至，距离至元十七年庚辰岁，共计一百一年。《大明历》推算这一时刻，得到己未日冬至，比《授时历》晚一十九刻；《授时历》向上推算金大定己亥岁，冬至在己巳日，与《大明历》相合，但早九刻。（这是因为《大明历》测定冬至大概不够精密。） 庆元四年戊午年十一月己酉日一十七刻为冬至，距至元十七年庚辰年，共八十二年。用《统天历》推算，得到己未日冬至，早于《授时历》一刻；《授时历》向上考察庆元戊午年，得到己酉日冬至，与《统天历》相合。周天各星宿的度数 列宿显现在天上，作为天区的宿舍共有二十八宿，分布的度数为三百六十五度多。若没有太阳运行的位置，就无法校定各宿的度数；若没有列宿作为标志，也无法记录度数。周天的度数，就是依据这两者测定的。天体浑圆，处在南北两极的中间，以赤道横贯其间；太阳、月亮和五星的运行，通常都出入于这一带。天体向左旋转，太阳、月亮和五星则逆着天体向右运行，古人观察日月星辰的运行，说的就是这个道理。然而各宿之间相距的度数，历代测量的结果并不相同；如果不是天体确有极其微小的移动，就是前人的测量还不够精密。古代使用窥管观测，如今新制浑仪，采用两条测线测量，所得度数、分数、秒数与前代不同，现列在左边。（表略） 太阳运行的位置 太阳附着于天空，形成的天象最为显著；太阳一出现，众星都熄灭了。古人想测定太阳运行所在的度数，必定根据黄昏、黎明和夜半时的中星，考察它与太阳相距多少，再推求太阳应当处在哪一宿；但黄昏、黎明和夜半的时刻不容易取得准确值，时刻稍有差错，所测的相距度数和所在宿位就不可能没有错误。晋代姜岌首先用月食时月亮与太阳相冲的位置来校验，知道太阳所在的度数；《纪元历》又用太白星记录它与太阳相距的远近，在黄昏之后、黎明之前验证确定星度，因而测得太阳运行的位置。如今以至元丁丑年四月癸酉望日发生月食且已达到食甚来推算，得到冬至时太阳位于赤道箕宿十度，黄道九度多。又从这一年的正月起，直到己卯年年末，在三年之间，每日测量太阴所离的宿次以及它与岁星、太白星相距的度数，互相确定、验证和参照，共得到一百三十四项结果，全都显示太阳位于箕宿，恰好与月食相冲的位置相符合。用金朝赵知微所修订的《大明历法》推算，冬至时太阳仍在斗宿初度三十六分六十四秒，与新测结果实际相差七十六分六十四秒。太阳运行的盈缩 太阳和月亮的运行，有冬季和夏季的差别，这是说日月运行的度数在冬夏各不相同。人们只知道太阳每天运行一度，一年周行一周天，却不知道它有盈缩损益，四季的运行并不相同。北齐张子信长期观测日食、月食发生时的时刻，察觉太阳运行存在入气差，但还没有正确测定损益。赵道严又依据日影长短，确定太阳运行的进退，并另行制定盈缩数据来推求日食、月食。到刘焯建立太阳运行度数与四季升降的关系，虽然损益数值有所不同，后代仍沿用他的说法。
夫阴阳往来，驯积而变，冬至日行一度强，出赤道二十四度弱，自此日轨渐北，积八十八日九十一分，当春分前三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而适平。自后其盈日损，复行九十三日七十一分，当夏至之日，入赤道内二十四度弱，实行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分尽损而无余。自此日轨渐南，积九十三日七十一分，当秋分后三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而复平。自后其缩日损，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，实行九十一度三十一分，复当冬至，向之缩分尽损而无余。盈缩均有损益，初为益，末为损。自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陆转而西，西而南，于盈为益，益极而损，损至于无余而缩。自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔自南陆转而东，东而北，于缩为益，益极而损，损至于无余而复盈。盈初缩末，俱八十八日九十一分而行一象；缩初盈末，俱九十三日七十一分而行一象；盈缩极差，皆二度四十分。由实测晷景而得，仍以算术推考，与所测允合。
月行迟疾
古历谓月平行十三度十九分度之七。汉耿寿昌以为日月行至牵牛、东井，日过度，月行十五度，至娄、角，始平行，赤道使然。贾逵以为今合朔、弦、望、月食加时，所以不中者，盖不知月行迟疾意。李梵、苏统皆以月行当有迟疾，不必在牵牛、东井、娄、角之间，乃由行道有远近出入所生。刘洪作《乾象历》，精思二十余年，始悟其理，列为差率，以囿进退损益之数。后之作历者，咸因之。至唐一行，考九道委蛇曲折之数，得月行疾徐之理。
先儒谓月与五星，皆近日而疾，远日而迟。历家立法，以入转一周之日，为迟疾二历，各立初末二限，初为益，末为损。在疾初迟末，其行度率过于平行；迟初疾末，率不及于平行。自入转初日行十四度半强，从是渐杀，历七日，适及平行度，谓之疾初限，其积度比平行余五度四十二分。自是其疾日损，又历七日，行十二度微强，向之益者尽损而无余，谓之疾末限。自是复行迟度，又历七日，适及平行度，谓之迟初限，其积度比平行不及五度四十二分。自此其迟日损，行度渐增，又历七日，复行十四度半强，向之益者亦损而无余，谓之迟末限。入转一周，实二十七日五十五刻四十六分，迟疾极差皆五度四十二分。旧历日为一限，皆用二十八限。今定验得转分进退时各不同，今分日为十二，共三百三十六限，半之为半周限，析而四之为象限。
白道交周
当二极南北之中，横络天体以纪宿度者，赤道也。出入赤道，为日行之轨者，黄道也。所谓白道，与黄道交贯，月行之所由也。古人随方立名，分为八行，与黄道而九，究而言之，其实一也。惟其随交迁徙，变动不居，故强以方色名之。
月道出入日道，两相交值，当朔则日为月所掩，当望则月为日所冲，故皆有食。然涉交有远近，食分有深浅，皆可以数推之。所谓交周者，月道出入日道一周之日也。日道距赤道之远，为度二十有四。月道出入日道，不逾六度；其距赤道也，远不过三十度，近不下十八度。出黄道外为阳，入黄道内为阴，阴阳一周，分为四象。月当黄道为正交，出黄道外六度为半交，复当黄道为中交，入黄道内六度为半交，是为四象。象别七日，各行九十一度，四象周历，是谓一交之终，以日计之，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每一交，退天一度二百分度之九十三，凡二百四十九交，退天一周有奇，终而复始。正交在春正，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。正交在秋正，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。中交在春正，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。中交在秋正，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。月道与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交宿度，东西不及十四度三分度之二。夏至在阴历内，冬至在阳历外，月道与赤道所差者多；夏至在阳历外，冬至在阴历内，月道与赤道所差者少。盖白道二交，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直者密而狭，斜者疏而阔，其差亦从而异。今立象置法求之，差数多者不过三度五十分，少者不下一度三十分，是为月道与赤道多少之差。
昼夜刻
译阴阳二气往来运行，逐渐积累而发生变化。冬至时太阳运行一度多，位于赤道以北二十四度少；从此太阳运行的轨道逐渐向北，经过八十八日九十一分，到春分前三日交会于赤道，实际运行九十一度三十一分，恰好平正。此后太阳运行的盈余逐日减少，又经过九十三日七十一分，到夏至这一天，进入赤道以内二十四度少，实际运行九十一度三十一分，太阳每天运行一度少，先前的盈余分数全部损尽而不再剩余。从此太阳运行的轨道逐渐向南，经过九十三日七十一分，到秋分后三日交会于赤道，实际运行九十一度三十一分，又恢复平正。此后太阳运行的缩减逐日减少，经过八十八日九十一分，运行到赤道以外二十四度少，实际运行九十一度三十一分，又到了冬至，先前的缩减分数全部损尽而不再剩余。盈缩都包含损益，开始时为增加，末尾时为减少。从冬至到春分、从春分到夏至，太阳所在位置由北陆转向西，再由西转向南；在盈的阶段先增加，增加到极点便转为减少，减少到没有余量便成为缩。从夏至到秋分、从秋分到冬至，太阳所在位置由南陆转向东，再由东转向北；在缩的阶段先增加，增加到极点便转为减少，减少到没有余量便又成为盈。盈的开始和缩的末尾，都是经过八十八日九十一分运行一个象限；缩的开始和盈的末尾，都是经过九十三日七十一分运行一个象限；盈缩的极限差额，都是二度四十分。这些数据由实际测量日影长短得到，再用算术推考，与实测结果相符合。月亮运行的迟疾 古代历法说，月亮平均每天运行十三度又十九分之七度。汉代耿寿昌认为，太阳和月亮运行到牵牛、东井时，太阳超过常度，月亮运行十五度；运行到娄、角时，才恢复平均速度，这是赤道造成的。贾逵认为，如今合朔、上弦、望和月食发生的时刻之所以推算不准确，大概是因为不懂得月亮运行有迟有疾的道理。李梵、苏统都认为月亮运行本来就应有迟疾，不一定只发生在牵牛、东井、娄、角之间，而是由于运行轨道有远近、出入而产生。刘洪撰作《乾象历》，精心思考二十多年，才领悟其中的道理，列出差率，用来包摄运行进退和损益的数值。后世制定历法的人，全都因循采用这一方法。到了唐代一行，考察九道迂回曲折的数值，才得到月亮运行快慢的规律。前代儒者认为，月亮和五星都在接近太阳时运行快，远离太阳时运行慢。历家制定历法，把月亮进入转周到完成一周的天数作为迟疾历，各自设立初、末两个限度；开始时为增加，末尾时为减少。在疾的开始和迟的末尾，月亮运行的度数通常超过平均速度；在迟的开始和疾的末尾，通常低于平均速度。进入转周的第一天，月亮运行十四度半多，从此逐渐减慢；经过七日，恰好达到平均运行度数，称为疾初限，累计度数比平均运行多五度四十二分。从这时起，运行速度每天减慢，又经过七日，运行十二度多一点，先前增加的部分全部减少而不再剩余，称为疾末限。从这时起又按迟速运行，再经过七日，恰好达到平均运行度数，称为迟初限，累计度数比平均运行少五度四十二分。从这里开始，运行速度每天减慢，运行度数逐渐增加；又经过七日，再运行十四度半多，先前增加的部分也全部减少而不再剩余，称为迟末限。月亮进入转周一周，实际为二十七日五十五刻四十六分；迟疾的极限差额都是五度四十二分。旧历以一日为一限，共使用二十八限。如今经测定验证，月亮转周的分数进退随时不同，所以把一日分为十二限，共三百三十六限；将其分为两半，叫作半周限，再分成四份，叫作象限。白道交周 处在南北两极中间、横贯天体以记录星宿度数的，是赤道。出入赤道、作为太阳运行轨道的，是黄道。所谓白道，是与黄道交错贯通、月亮沿此运行的轨道。古人随着方位分别命名，把它分为八道，加上黄道共为九道；究竟说来，其实是同一条轨道。只是它随着交点迁移，变化不定，所以勉强依方位和颜色来命名。月道出入日道，两者相交相值；在朔日，太阳被月亮遮掩；在望日，月亮受到太阳冲击，所以都会发生食。然而经过交点有远有近，食分有深有浅，都可以用数值推算。所谓交周，就是月道出入日道运行一周所需的天数。日道距离赤道最远为二十四度。月道出入日道，不超过六度；它距离赤道，最远不超过三十度，最近不低于十八度。月道出黄道之外叫阳，进入黄道以内叫阴；阴阳运行一周，分为四象。月亮运行到黄道处为正交，出黄道外六度为半交，又回到黄道处为中交，进入黄道内六度为半交，这就是四象。每象各七日，各运行九十一度；四象周遍运行一周，叫作一次交的终点，按日计算为二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每经过一次交点，月道相对于天体后退一度又二百分之九十三度；经过二百四十九次交点，后退一周天多一点，循环结束后又重新开始。正交在春分时，半交出黄道外六度，位于赤道内十八度。正交在秋分时，半交出黄道外六度，位于赤道外三十度。中交在春分时，半交进入黄道内六度，位于赤道内三十度。中交在秋分时，半交进入黄道内六度，位于赤道外十八度。月道与赤道正交时，距离春分、秋分两个正交点所在的黄道和赤道交会宿度，东西方向不到十四度又三分之二度。夏至在阴历之内、冬至在阳历之外时，月道与赤道的差距较大；夏至在阳历之外、冬至在阴历之内时，月道与赤道的差距较小。这大概是因为白道的两个交点，有的倾斜、有的平直；阴阳两历有的在内、有的在外。平直的交会处较密而狭，倾斜的交会处较疏而宽，差数也随之不同。如今建立象数、设置计算方法来求取，差数多的不过三度五十分，少的不低于一度三十分，这就是月道与赤道差数的大小。昼夜的刻数
日出为昼，日入为夜，昼夜一周，共为百刻。以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。无间南北，所在皆同。昼短则夜长，夜短则昼长，此自然之理也。春秋二分，日当赤道出入，昼夜正等，各五十刻。自春分以及夏至，日入赤道内，去极浸近，夜短而昼长。自秋分以及冬至，日出赤道外，去极浸远，昼短而夜长。以地中揆之，长不过六十刻，短不过四十刻。地中以南，夏至去日出入之所为远，其长有不及六十刻者；冬至去日出入之所为近，其短有不止四十刻者。地中以北，夏至去日出入之所为近，其长有不止六十刻者；冬至去日出入之所为远，其短有不及四十刻者。今京师冬至日出辰初二刻，日入申正二刻，故昼刻三十八，夜刻六十二；夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故昼刻六十二，夜刻三十八。盖地有南北，极有高下，日出入有早晏，所以不同耳。今《授时历》昼夜刻，一以京师为正，其各所实测北极高下，具见《天文志》。
卷五十三 志第五
◎历二
○授时历议下
交食
历法疏密，验在交食，然推步之术难得其密，加时有早晚，食分有浅深，取其密合，不容偶然。推演加时，必本于躔离朓朒；考求食分，必本于距交远近；苟入气盈缩、入转迟疾未得其正，则合朔不失之先，必失之后。合朔失之先后，则亏食时刻，其能密乎？日月俱东行，而日迟月疾，月追及日，是为一会。交值之道，有阳历阴历；交会之期，有中前中后；加以地形南北东西之不同，人目高下邪直之各异，此食分多寡，理不得一者也。今合朔既正，则加时无早晚之差；气刻适中，则食分无强弱之失；推而上之，自《诗》、《书》、《春秋》及三国以来所载亏食，无不合焉者。合于既往，则行之悠久，自可无弊矣。
《诗》、《书》所载日食二事
《书·胤征》：“惟仲康肇位四海。乃季秋月朔，辰弗集于房。”
今按《大衍历》作仲康即位之五年癸巳，距辛巳三千四百八年，九月庚戌朔，泛交二十六日五千四百二十一分入食限。
《诗·小雅·十月之交》，大夫刺幽王也。“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之丑。”
今按梁太史令虞絪云：十月辛卯朔，在幽王六年乙丑朔。《大衍》亦以为然。以《授时历》推之，是岁十月辛卯朔，泛交十四日五千七百九分入食限。
《春秋》日食三十七事
隐公三年辛酉岁，春王二月己巳，日有食之。
杜预云：“不书朔，史官失之。”《公羊》云：“日食或言朔或不言朔，或日或不日，或失之前或失之后，失之前者朔在前也，失之后者朔在后也。”《谷梁》云：“言日不言朔，食晦日也。”姜岌校《春秋》日食云：“是岁二月己亥朔，无己巳，似失一闰。
三月己巳朔，去交分入食限。”《大衍》与姜岌合。今《授时历》推之，是岁三月己巳朔，加时在昼，去交分二十六日六千六百三十一入食限。
桓公三年壬申岁，七月壬辰朔，日有食之。
姜岌以为是岁七月癸亥朔，无壬辰，亦失闰。其八月壬辰朔，去交分入食限。《大衍》与姜岌合。以今历推之，是岁八月壬辰朔，加时在昼，食六分一十四秒。
桓公十七年丙戌岁，冬十月朔，日有食之。
《左氏》云：“不书日，史官失之。”《大衍》推得在十一月交分入食限，失闰也。以今历推之，是岁十一月加时在昼，交分二十六日八千五百六十入食限。
庄公十八年乙巳岁，春王三月，日有食之。
《谷梁》云：“不言日，不言朔，夜食也。”《大衍》推是岁五月朔，交分入食限，三月不应食。以今历推之，是岁三月朔，不入食限。五月壬子朔，加时在昼，交分入食限，盖误五为三。
庄公二十五年壬子岁，六月辛未朔，日有食之。
《大衍》推之，七月辛未朔，交分入食限。以今历推之，是岁七月辛未朔，加时在昼，交分二十七日四百八十九入食限，失闰也。
庄公二十六年癸丑岁，冬十有二月癸亥朔，日有食之。
今历推之，是岁十二月癸亥朔，加时在昼，交分十四日三千五百五十一入食限。
庄公三十年丁巳岁，九月庚午朔，日有食之。
今历推之，是岁十月庚午朔，加时在昼，去交分十四日四千六百九十六入食限，失闰也。《大衍》同。
僖公十二年癸酉岁，春王三月庚午朔，日有食之。
姜氏云：“三月朔，交不应食，在误条；其五月庚午朔，去交分入食限。”《大衍》同。今历推之，是岁五月庚午朔，加时在昼，去交分二十六日五千一百九十二入食限，盖五误为三。
僖公十五年丙子岁，夏五月，日有食之。
《左氏》云：“不书朔与日，史官失之也。”《大衍》推四月癸丑朔，去交分入食限，差一闰。今历推之，是岁四月癸丑朔，去交分一日一千三百一十六入食限。
文公元年乙未岁，二月癸亥朔，日有食之。
译太阳升起就是白昼，太阳落下就是黑夜；昼夜运行一周，共为一百刻。按十二时辰分配，每个时辰得到八刻又三分之一刻。无论南北，所在地都相同。白昼短，黑夜就长；黑夜短，白昼就长，这是自然的道理。春分、秋分两日，太阳在赤道上升起和落下，昼夜正好相等，各为五十刻。从春分到夏至，太阳落入赤道以内，距离北极逐渐接近，夜短而昼长。从秋分到冬至，太阳从赤道以外升起，距离北极逐渐远离，昼短而夜长。以地中的地方测量，昼长不过六十刻，昼短不过四十刻。地中以南，夏至时距离太阳升落处较远，白昼长度有不到六十刻的；冬至时距离太阳升落处较近，白昼长度有不止四十刻的。地中以北，夏至时距离太阳升落处较近，白昼长度有超过六十刻的；冬至时距离太阳升落处较远，白昼长度有不到四十刻的。如今京师冬至太阳在辰初二刻升起、申正二刻落下，所以昼为三十八刻、夜为六十二刻；夏至太阳在寅正二刻升起、戌初二刻落下，所以昼为六十二刻、夜为三十八刻。这大概是因为各地有南北之别，北极有高低之差，太阳升落有早晚，所以会有所不同。如今《授时历》规定昼夜刻数，一概以京师为标准；各地实际测得的北极高度，详见《天文志》。卷五十三 志第五 历二 《授时历议》下 日月交食 历法推算是否精密，要用日月交食来验证；但推步的方法很难做到精密，加时有早晚，食分有深浅，要取得精密符合，不可能只是偶然。推算交食发生的时刻，必须以太阳运行位置和月亮运行迟疾为依据；考察食分大小，必须以距离交点的远近为依据。如果入气的盈缩、入转的迟疾还没有测定准确，那么合朔即使不是早了，也必然会晚；合朔时刻早晚有误，日月亏食的时刻能够精密吗？太阳和月亮都向东运行，但太阳慢、月亮快，月亮追上太阳，这叫作一会。交会所在的轨道有阳历、阴历之分；交会的时期有中前、中后之别；再加上地形有南北东西的不同，人的眼睛有高低、斜直的差异，因此食分多少，按理不能只有一个固定值。如今合朔时刻既然准确，那么交食加时就没有早晚的误差；入气刻数适中，那么食分就不会有强弱失误。由此向上推算，从《诗》《书》《春秋》以及三国以来所记载的日月亏食，没有不相符合的。既然与过去的记录相合，那么长期实行，自然可以没有弊病。《诗》《书》所记载的两次日食 《尚书·胤征》说：“惟有仲康开始统治四海。到了秋季最后一个月的朔日，日、辰二星没有会聚在房宿。” 现在按照《大衍历》推算，仲康即位的第五年是癸巳年，距辛巳年已有三千四百八年；九月初一为庚戌日，泛交二十六日五千四百二十一分，进入食限。《诗经·小雅·十月之交》，是大夫讥刺周幽王的诗句：“十月交会之时，朔日为辛卯，太阳发生了日食，这实在是非常丑恶的事。” 如今据梁朝太史令虞絪说：十月辛卯朔，在幽王六年乙丑朔。《大衍历》也认为如此。用《授时历》推算，这一年十月辛卯朔，泛交为十四日五千七百九分，进入食限。《春秋》所记载的三十七次日食 隐公三年辛酉年，春季周王二月己巳朔，发生了日食。杜预说：“没有记载朔日，是史官的疏失。”《公羊传》说：“日食有的记朔，有的不记朔；有的记日，有的不记日；有的把朔日记在前面，有的记在后面。记在前面的，是朔日在前；记在后面的，是朔日在后。”《谷梁传》说：“只说日期而不说朔日，是因为日食发生在晦日。”姜岌校勘《春秋》日食记录说：“这一年二月己亥朔，没有己巳，似乎是少置了一个闰月。” 三月己巳朔，距离交点的分数进入食限。”《大衍历》与姜岌的说法相合。如今用《授时历》推算，这一年三月己巳朔，交食加时在白昼，距离交点二十六日六千六百三十一分，进入食限。桓公三年壬申年，七月壬辰朔，发生了日食。姜岌认为，这一年七月癸亥朔，没有壬辰，也是闰月失误。八月壬辰朔，距离交点的分数进入食限。《大衍历》与姜岌的说法相合。用现在的历法推算，这一年八月壬辰朔，交食加时在白昼，日食六分一十四秒。桓公十七年丙戌年，冬季十月朔日，发生了日食。《左传》说：“没有记载日期，是史官的疏失。”《大衍历》推算在十一月，距离交点的分数进入食限，是闰月失误。用现在的历法推算，这一年十一月交食加时在白昼，距离交点二十六日八千五百六十分，进入食限。庄公十八年乙巳年，春季周王三月，发生了日食。《谷梁传》说：“既不说日期，也不说朔日，是因为发生了夜间日食。”《大衍历》推算这一年五月朔日距离交点的分数进入食限，三月不应发生日食。用现在的历法推算，这一年三月朔日不进入食限；五月壬子朔，交食加时在白昼，距离交点的分数进入食限，大概是把‘五’误写成了‘三’。庄公二十五年壬子年，六月辛未朔，发生了日食。《大衍历》推算为七月辛未朔，距离交点的分数进入食限。用现在的历法推算，这一年七月辛未朔，交食加时在白昼，距离交点二十七日四百八十九分，进入食限，是闰月失误。庄公二十六年癸丑年，冬季十二月癸亥朔，发生了日食。用现在的历法推算，这一年十二月癸亥朔，交食加时在白昼，距离交点十四日三千五百五十一分，进入食限。庄公三十年丁巳年，九月庚午朔，发生了日食。用现在的历法推算，这一年十月庚午朔，交食加时在白昼，距离交点十四日四千六百九十六分，进入食限，是闰月失误。《大衍历》也相同。僖公十二年癸酉年，春季周王三月庚午朔，发生了日食。姜氏说：“三月朔日，交点位置不应发生日食，列入错误条目；五月庚午朔，距离交点的分数进入食限。”《大衍历》也相同。如今用现在的历法推算，这一年五月庚午朔，交食加时在白昼，距离交点二十六日五千一百九十二分，进入食限，大概是把‘五’误写成了‘三’。僖公十五年丙子年，夏季五月，发生了日食。《左传》说：“没有记载朔日和日期，是史官的疏失。”《大衍历》推算为四月癸丑朔，距离交点的分数进入食限，相差一个闰月。用现在的历法推算，这一年四月癸丑朔，距离交点一日一千三百一十六分，进入食限。文公元年乙未年，二月癸亥朔，发生了日食。