步月离第四

译转差为一日九千七百五十九分九十三秒。弦策为七日三千八百二十六分四十八秒少。上弦为九十一度三十一分四十三秒太。望为一百八十二度六十二分八十七秒半。下弦为二百七十三度九十四分三十一秒少。转应为一十三万一千九百零四分。推算天正经朔入转。列出中积，加上转应，减去闰余，满转终分就除去；余数用日周约除，所得为日数，不足一日的为分，这就是天正经朔入转的日数和分。（向上考查时，在中积中加上所求的闰余，减去转应，满转终就除去；余数不尽时，用转终减去它，其余同上。） 求弦、望以及下一个朔的入转。列出天正经朔入转的日数和分，逐次加上弦策，满转终就除去，即得弦、望以及下一个朔入转的日数、分和秒。若直接求下一个朔，就加上转差。求经朔、弦、望所入的迟疾历。分别查看入转的日数、分和秒：在转中以下的，属于疾历；在转中以上的，减去转中，属于迟历。迟疾转定及积度。（表格略。） 求迟疾差。列出迟疾历的日数和分，用十二限二十分乘它；在初限以下的属于初限，超过初限的再从中限中减去，余数为末限。列出立差三百二十五，用初限和末限相乘，加入平差二万八千一百；再用初限和末限相乘，以所得数从定差一千一百一十一万中减去；余数再乘初限和末限，满亿作为度，不满亿的退位换算为分和秒，这就是迟疾差。另一种算法是：列出迟疾历的日数和分，用迟疾历日率减去它，余数乘以其所在限下的损益分，再除以八百二十；将所得数增加或减去其所在限下的迟疾度，也可得到所求的迟疾差。求朔、弦、望的定日。将经朔、弦、望的盈缩差与迟疾差按同名相加、异名相减（盈迟、缩疾为同名，盈疾、缩迟为异名），乘以八百二十，再除以所入迟疾限下的行度，便是加减差（盈迟为加，缩疾为减）。将此加减差加到或减去经朔、弦、望的日数和分上，便是定朔、定弦、定望的日数和分。若定弦、定望的分在日出分以下，就退后一日；以该日按甲子日序推算，各自得到定朔、定弦、定望的日辰。定朔的天干与下一个朔的天干相同，该月为大月；不同则为小月；一个月内没有中气的，就是闰月。推算定朔、定弦、定望加时的日月宿度。列出经朔、弦、望所入盈缩历的日数和分，按加减差加减，便是定朔、定弦、定望所入的历数；在盈时即为中积，在缩时加上半岁周，便为中积。以日数推为度数，再按盈缩差盈时加、缩时减，得到加时定积度；加上冬至加时日躔黄道宿度并推算，各自得到定朔、定弦、定望加时的日度。凡是合朔加时，太阳和月亮处于同一度，这就作为定朔加时的月度；弦、望则分别把弦望度加到定积上，作为定弦、定望月行的定积度，依照上法相加推算，各自得到定弦、定望加时的黄道月度。推算定朔、定弦、定望加时的赤道月度。分别列出定朔、定弦、定望加时黄道月行定积度，满一个象限就除去，用其黄道积度减去它，余数乘赤道率，再除以黄道率；将所得数加上相应的赤道积度及所除去的象限，分别作为赤道加时定积度；加上冬至加时赤道日度并推算，各自得到定朔、定弦、定望加时的赤道月度、分和秒。（象限以下及半周，除去它，是至后；满象限及三象，除去它，是分后。） 推算朔后平交所入的转迟疾历。列出交终的日数和分，减去经朔入交的日数和分，得到朔后平交日；加上经朔入转，得到朔后平交入转；在转中以下的属于疾历，超过转中的除去转中，属于迟历。求正交的日辰。列出经朔，加上朔后平交日，依照前法求得迟疾差；迟时加、疾时减，得到正交的日数和分。该日以甲子日序推算，各自得到正交日辰。推算正交加时的黄道月度。列出朔后平交日，以月平行度相乘，得到距交后的度数；加上经朔中积，得到冬至到正交的定积度；再加上冬至日躔黄道宿度并推算，得到正交加时月亮运行所在的黄道宿度、分和秒。求正交位于冬至、夏至后的初限或末限。列出冬至到正交的积度和分，在半岁周以下的属于冬至后，超过半岁周的除去半岁周，属于夏至后。两至以后，若在象限以下为初限，超过象限则减去半岁周，余数为末限。求定差、距差和定限度。列出初限或末限的度数，乘十四度六十六分，再除以象限，得到定差；用十四度六十六分反减它，余数为距差。定差乘二十四，再除以十四度六十六分；所得数在冬至后称为减，在夏至后称为加，都与九十八度相加或相减，得到定限度、分和秒。求四正的赤道宿度。列出冬至加时的赤道度，推作冬至正度；逐次加上象限，分别得到春分、夏至、秋分的正积度；分别从赤道宿次中推算并除去，得到四正的赤道宿度、分和秒。求月亮运行到赤道正交时的宿度。用距差加上或减去春分、秋分两正的赤道宿度，得到月离赤道正交宿度、分和秒。冬至后，初限加、末限减，以春分正度为准；夏至后，初限减、末限加，以秋分正度为准。求正交后赤道积度所入的初限或末限。分别列出春分、秋分两正所对应宿的整度和分，减去月离赤道正交宿度及分，余数为正交后积度；按赤道宿次逐次累加，满象限就除去，得到半交后；再除去一个象限，得到中交后；再除去一个象限，又得到半交后。查看各交的积度，在半象以下为初限，超过半象则用象限减去它，余数为末限。求月离赤道正交后半交的白道（旧称九道）出入赤道内外度及定差。列出各交的定差度和分，乘二十五，再除以六十一；所得数视月离黄道正交在冬至后还是夏至后宿度，冬至后减、夏至后加，都与二十三度九十分相加或相减，得到月离赤道后半交白道出入赤道内外的度数和分；再除以周天六分之一，即六十度八十七分六十二秒半，得到定差。月离赤道正交后为外，中交后为内。求月亮出入赤道内外时白道距极度。

译列出每日月离赤道交后所入的初限或末限，用象限减去它，余数为白道积；用白道积度减去该余数，所得差值乘差率；所得数除以一百，以加上相应的积差，便是每日积差；用周天六分之一减去每日积差，余数乘定差，得到每日月离赤道内外度；内减、外加象限，便是每日月离白道距极度、分和秒。求每一交月离白道的积度和宿次。列出定限度，和初限、末限相减后相乘，退位换算为分，得到定差；正交、中交后加，半交后减。将差加上或减去正交后赤道积度，得到月离白道定积度；再用前一宿的白道定积度减去它，各自得到月离白道宿次和分。推算定朔、定弦、定望加时月离白道宿度。分别以月离赤道正交宿度到所求定朔、定弦、定望加时月离赤道宿度之间的距离，作为正交后积度；满象限就除去，得到半交后；再除去一个象限，得到中交后；再除去一个象限，又得到半交后。查看交后积度，在半象以下为初限，超过半象则用象限减去它，为末限。初限或末限与定限度相减后相乘，退位换算为分，分满一百换为度，得到定差；正交、中交后加，半交后减。将差加上或减去月离赤道正交后积度，得到定积度；加上正交宿度，再从中除去所对应的月离白道宿次，各自得到定朔、定弦、定望加时月离白道宿度、分和秒。求定朔、定弦、定望加时以及夜半、晨、昏所入的转。列出经朔、弦、望入转的日数和分，按定朔、定弦、定望的加减差加减，得到定朔、定弦、定望加时入转；减去定朔、定弦、定望日下的分，得到夜半入转；加上晨分，得到晨转；加上昏分，得到昏转。求夜半月度。列出定朔、定弦、定望日下的分，以其入转日的转定度相乘，除以一万，得到加时转度；从加时定积度中减去它，余数为夜半定积度。依照前法加算推命，各自得到夜半月离宿度、分和秒。求晨、昏月度。列出当日晨、昏分，以夜半入转日的转定度相乘，除以一万，得到晨、昏转度；分别加上夜半定积度，得到晨、昏定积度；依照前法加算推命，各自得到晨、昏月离宿度、分和秒。求每日晨、昏月离白道的宿次。累计相距日数的转定度，得到转积度；将它与定朔、定弦、定望晨、昏宿次前后相距的度数相减，余数除以相距日数，得到每日差（相距度多则加，相距度少则减）。把它加上或减去每日转定度，得到行定度；从定朔、定弦、定望的晨、昏月度开始逐日累加，依照前法加算推命，就是每日晨、昏月离白道的宿次。朔后用晨，望后用昏，朔、望当天则晨昏都用。卷五十五，志第七。历四。《授时历经》下。推算中星，第五。大都的北极星，出地平线四十度，超过一些。冬至时，距北极一百一十五度二十一分七十三秒。夏至时，距北极六十七度四十一分一十三秒。冬至的白昼、夏至的黑夜，为三千八百一十五分九十二秒。夏至的白昼、冬至的黑夜，为六千一百八十四分八秒。昏明时段为二百五十分。黄道出入赤道内外的距极度及昼夜各半的分数。（表格略。） 求每日黄道出入赤道内外的距极度。列出所求日晨前夜半的黄道积度，满半岁周就除去；在象限以下为初限，超过象限则再减去半岁周，余数为入末限。满积度就除去，余数乘该段的内外差，除以一百；所得数从内外度中减去，得到出入赤道内外度；内减、外加象限，即为所求距极度、分和秒。求每日昼夜各半的分数及日出、日入、晨、昏的分数。列出所求日所入的初限或末限，满积度就除去，余数乘昼夜差，除以一百；将所得数加上或减去该段昼夜各半的分数，便是所求日昼夜各半的分数（前多后少则减，前少后多则加）。半夜分即为日出分；用日周减去它，余数为日入分；用昏明分减去日出分，余数为晨分；加上日入分，便为昏分。推求昼夜的刻数以及日出、日入的辰刻。取半夜分，乘二，再除以一百，所得为夜刻；用一百刻减去夜刻，余数为昼刻；根据日出、日入分，依照发敛法推求，即得所求的辰刻。推求更率和点率。取晨分，乘二，除以五，所得为更率；再把更率除以五，所得为点率。推求各更各点所在的辰刻。取所求的更点数，用更率乘它，加上当天的昏分，依照发敛法推求，即得所求的辰刻。推求距中度和更差度。取半日周，减去当天的晨分，余数为距中分；用三百六十六度二十五分七十五秒乘它，再除以日周，所得为距中度；用一百八十三度一十二分八十七秒半减去它，所得乘二再除以五，便是更差度及分。推求昏时、明时以及五更的中星。取距中度，加上当天午中赤道日度，以此推定宿次，便是昏时中星所在的宿次；将更差度逐次累加，满赤道宿次就除去，便得到每更以及黎明中星所在的宿次、度、分、秒。各地昼夜的刻分以及中星的各种率数，都应按照各地北极出地的度数推算。（以上各率，与用晷漏推得的结果彼此相符。） 推求各地的漏刻。各自在当地用仪器测验，或使用下水漏，确定当地冬至或夏至的夜刻；用它与五十刻相减，余数为至差刻。取所求日期黄道距赤道的内外度及分，用至差刻乘它，进一位，再除以二百三十九；所得数内减、外加五十刻，即为所求的夜刻；用一百刻减去它，余数为昼刻。（当天日出、日入的辰刻以及更点等率数，依此法推求。） 推步交会，第六。交终分：二十七万二千一百二十二分二十四秒。交终：二十七日二千一百二十二分二十四秒。交中：十三日六千六十一分一十二秒。交差：二日三千一百八十三分六十九秒。交望：十四日七千六百五十二分九十六秒半。交应：二十六万一百八十七分八十六秒。交终：三百六十三度七十九分三十四秒。交中：一百八十一度八十九分六十七秒。正交：三百五十七度六十四分。中交：一百八十八度五分。日食阳历限为六度，定法为六十。阴历限为八度，定法为八十。