本纪第四十七（2/2）

译日躔盈缩定差：张胄玄把它称为损益率、盈缩数，刘孝孙把盈缩数称为朏朒积，《皇极》称为陟降率、迟疾数，《麟德》称为先后、盈缩数，《大衍》称为损益、朏朒积，《崇天》称为损益、盈缩积。所谓古历平朔之日，有时月亮早晨出现在东方，有时傍晚出现在西方，史官就称为朏朒。现在把太阳运行的盈缩、月亮运行的迟疾都列入损益，有时推进或退后一日，用来确定定朔；这样舒缓或急促的程度，是运行形势和数值造成的，并不是政治失误导致的。新历以七千一为盈缩极限，其数值与月亮离日的度数交错；称为损益、盈缩，文字简约而意义显明。升降分：《皇极》在日躔衰减中有陟降率，《麟德》用日影差、陟降率和日晷影的消长来计算，意义与轨漏相通。冬至以后，太阳运行的位置逐渐升高，距离北极较近，所以日晷变短，万物都繁盛；夏至以后，太阳运行的位置逐渐下降，距离北极较远，所以日晷变长，万物逐渐衰落。从《大衍历》以下都遵循《麟德历》。现在以日影消长来表示太阳运行的升降，积累起来成为盈缩。赤道宿：汉百二年，商议制作历法，于是确定东西方向，设立晷仪，设置漏刻，用来考察二十八宿在四方之间的相距，赤道各宿的度数，就是按照这种方法测定的。赤道宿度为：斗二十六度及分，牛八度，女十二度，虚十度，危十七度，室十六度，壁九度，奎十六度，娄十二度，胃十四度，昴十一度，毕十六度，觜二度，参九度，井三十三度，鬼四度，柳十五度，星七度，张十八度，翼十八度，轸十七度，角十二度，亢九度，氐十五度，房五度，心五度，尾十八度，箕十一度，后来历代相承，沿用这一数据。到了唐朝初年，李淳风制作浑仪，也没有改动。开元年间，浮屠一行编作《大衍历》，诏令梁令瓒制作黄道游仪，测得毕、觜、参和舆鬼四宿的赤道宿度与旧数据不同：毕十七度，觜一度，参十度，鬼三度。一行以后，历代因袭沿用，下面经过五代，也没有增减。到仁宗皇祐初年，才诏令制造黄道浑仪，用铜铸成。此后测验赤道宿度，又有十四宿与一行所测不同：斗二十五度，牛七度，女十一度，危十六度，室十七度，胃十五度，毕十八度，井三十四度，鬼二度，柳十四度，氐十六度，心六度，尾十九度，箕十度。大概古今之人想用八尺大的圆形器具来穷尽天体，确实知道这是困难的。何况图本所指的距星，传习过程中又有差异，所以如今的赤道宿度与古代不同。从汉代太初以后到唐代开元初年治理历法时，八百年间一直没有更改。如今虽然测验结果与旧法不同，但相隔的岁月还不长。新历把两套数值都保留下来，以表示遵从李淳风沿用旧法的意思。月度转分：《洪范传》说：“晦日月亮出现在西方，称为朏。月亮尚未到合朔，本应在太阳之后；如今却在太阳之前，是运行太快。朏象征君主宽缓，臣下骄纵、满盈而专权。朔日月亮出现在东方，称为侧匿。合朔时月亮应与太阳相合，如今却在太阳之后，是运行太慢。侧匿象征君主严厉急迫，臣下危惧不安。盈时便推进，缩时便退后；月亮运行在九道之间，约三十日一周，考察它的变动运行，自有固定的数值。《洪范传》所说君主有宽缓、急迫的变化，却没有通晓月亮本有迟速的常数。后汉刘洪大略通晓了其中的旨意。此后研究历法的人多沿用旧法，都考察月亮迟疾的分数，增减平会之朔，得到月亮在太阳之后追赶到太阳的时刻，于是制定定朔。至于加时的早晚，有时快、有时慢，都是转分强弱造成的。旧历考察转分，以九分之五为强率，以一百一分之五十六为弱率，在强弱之间求取秒数。新历转分为二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一，按一百万平均，得到二十七日五十五万四千六百二十六，最接近中平之数。旧历置日余来求朏朒之数，衰减次序不合规律。如今依照月亮运行的度数，使迟疾逐渐变化，考察月亮运行，已稍微符合天体运行的度数。转度母：转法、会周附列。原本把朔分和周天相加，称为会周，即一个朔月的通常度数，称为周本母。除去朔差，便成为转终；朔差就是转终以外的数值。各自用等数约简，就得到实际使用的数值。再用等数约简本母，成为转度母，即相齐的数值。又用等数约简月分，成为转法，也称转日法。用转法约除转终，得到转日及余数。这是本历创立的新数，古代历法从来没有。约简后得到：转度母八千一百一十二万，转终分二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一，会周三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一，转法一十亿八千四百四十七万三千，朔差二十一亿四千二百八十八万七千。月离迟疾定差：《皇极》有加减限、朏朒积，《麟德》称为增减率、迟疾积，《大衍》称为损益率、朏朒积，《崇天》也称为损益率、朏朒积。所谓太阳运行不足平行度数就减，超过平行度数就加，这是顺从阳气的道理；月亮运行不足平行度数就加，超过平行度数就减，这是驾驭阴气的方法。阴阳交错，所以称为损益、迟疾。新历以一万四千八百一十九为迟疾极限，得到五度八分；其数值与日躔交错，可以据此知道合朔、交食加时的早晚。

译进朔：进朔的方法兴起于《麟德历》。此后各历沿用并制定法则，彼此有所不同。假如仲夏月朔日月亮运行到最疾的时候，合朔本应在亥正；如果不进朔，清晨就会看见月亮在东方；如果依照《大衍历》，在戌初进朔，那么朔日傍晚月亮便会在西方出现。新历考察朔日余数，验证月亮运行的迟疾，改变并制定率法，参照验证加时，通常察看定朔小余：秋分以后超过四分之三的，进一日；春分以后，若定朔晨分的差值等于春分日的数值，就把它三等分，用来减去四分之二；定朔小余达到这一数值以上的，也进一日，以次日作为朔日。这样使运行循环符合度数，月亮不会在朔日清晨出现；交会没有差错，月亮一定隐藏在朔日傍晚。加时在午中，晦日清晨和第二日傍晚都可能看到月亮；加时在酉中，晦日清晨仍能看到月亮，第二日傍晚尚未出现；加时在子中，晦日清晨看不见月亮，第二日傍晚已经出现。确定晦日、朔日，便能知道月亮出现的早晚；考察小余，便不会错失加时的早晚。这样使推算明白无惑，触类旁通。消息数：因漏刻而得名，意义与日晷影长相通。《麟德历》称这种历差为屈伸率。天地的昼夜，是《易》所说的进退之象。冬至时一阳爻产生，日晷影道逐渐上升，夜漏逐渐减少，象征君子之道增长，所以称为息；夏至时一阴爻产生，日晷影道逐渐下降，夜漏逐渐增加，象征君子之道消退，所以称为消。日晷影与阳气相冲，属于晦暗的一方，所以与夜漏的长短相应。如今用屈伸表示太阴运行，刻数的差值称为消息数。黄道距离北极有远近，太阳运行有南北，因此日晷和漏刻有长短。不过日影差值的迟疾不同，是勾股关系造成的。日影正处于晷器中部时，差值变化慢；与勾股数相齐时，差值变化快；并且随北极高度不同，所遇情况也不同。把黄道距极度数与日影、漏刻、昏晚中星反复相求，以消息率推算日影、考察黄道；又由黄道推算漏刻，从而校正中星。四种方法循环互相校验，以符合九服的差异，约简后容易明白，也容易遵行。六十四卦：十二月卦出自孟氏，七十二候源于《周书》。后来宋景业依据刘洪所传的卦法，李淳风依据旧历元图，但都没有看透阴阳的深奥。到开元年间，浮屠一行考察扬子云《太玄经》，交错综合其中的数理，探究周公三统之说，校正时令训释，参照阴阳变化，把它写入爻象；如果不是深通《易》象的人，谁能做到这一点呢？如今修订历法，遵循一行的旧义，至于周策的分率，则随数值变化而改变。六十卦中，值常度全次交接处的是诸侯卦；经过六日三千四百八、十六秒后由大夫卦承接，再由九卿卦承接，再由三公卦承接，最后由天子卦承接。五卦与六卦交错，又与通常月份的次序相合。凡九三与上九相应，天象便微微安静；六三与上六相应，地气便沉郁而安定。九三与上六相应就温暖，六三与上九相应就寒冷。上爻属阳就有风，属阴就有雨。各自观察所值的爻，考察不可更改的天象，就可以知道五等诸侯以及君主在政事上的得失、过度和不足。七十二候方面，从李业兴到《麟德历》，共有七家历法，都把“鸡始乳”作为立春初候，把“东风解冻”作为次候，其余依次承接。拿它与《周书》校对，相差二十多天，错误更加严重。一行改为遵从古义，如今也以《周书》为正确依据。岳台的日晷：岳台就是今天京城的岳台坊，所在地叫浚仪，是古代观测日影的地方。《尚书·洛诰》所说的“东土”就是这里。《礼》记载玉人之职说：“土圭长一尺五寸，用来测定太阳。”这说明太阳运行有固定的尺度。司徒之职规定用圭来校正日晷，说：“冬至的日影长一尺五寸，称为地中。”这就是说，地中之地测得的日影，正好与土圭相等。然而，表若不长八尺，见于《周髀》，夏至日一尺五寸的影又怎能测得出来？所以经典记载夏至日影，是说明表有固定的长度。新历以八尺之表测验一年中日影的长短，所得的数值称为中晷常数。日月交会，在天上形成天象，用来辨明尊卑秩序：太阳代表君道，月亮代表臣道。日食、月食等变异，都同人事相应。如果君主修德来消除灾异，就可能本应发生食而没有发生。因此，太阴改变运行位置以避开太阳，就不会发生食；五星潜行在太阳下方，为太阴抵御侵害、加以扶救，也不会发生食；如果交会的程度很浅，或者月亮运行在阳历，太阳光明盛强而阴气衰弱，也不会发生食；君主的德行美善光明而只出现小的过失，上天为此加以遮掩，因此光线微弱、食象被遮蔽，虽然发生交会也看不见食。这四种情况，都是德行感应所导致的。考察《大衍历议》：开元十二年七月戊午朔，本应发生日食。当时从交阯到朔方，在同一天测量日影、观测天象，天空晴朗无云，却没有发生日食。按历法推算，这一天月亮进入交限七百八十四分，应食八分半。开元十三年，天正南至，东封礼完成后，返回途中驻扎在梁、宋，史官说：“十二月庚戌朔应当发生日食。”皇帝说：“我正在修明先王、先后的职分，天上出现日食，是我的不敏，没有办法报答并宣扬上帝的美意。”于是撤去膳食，穿素服等待日食，最终却没有发生。在位群臣无不称庆，认为德行感动上天，不必等到一天终了就已应验。按历法推算，这个月月亮进入交限不足二度，应食十五分之十三，但太阳光照一如平常，丝毫没有变化；即使计算方法有误，也不应差到这种程度。大凡制定历法的方法，关键在于把分数定得极其精细；如果损益相差毫厘而没有得到正确数值，那么向上考察《春秋》以来日月交食的记载，必定会出现偏差。假如制定历法的人因为开元年间两次日食的变化而改变交限来迁就它们，那么能够协调的地方很少，而造成的差错却很多。由此可见，《诗经》所说的“这太阳渐渐暗弱”，并不是天体运行的恒常尺度。旧历只直接推求月亮运行进入交限的位置；现在则先考察交初所在的位置，再同月亮的运行相互参照，务求使计算精密贯通。

译四种正食差：月亮正好经过交点时，好像层层相叠；逐渐偏离交点，就会产生差异。在交点内侧，食分较多；在外侧，食分较少。交会浅，间隔就远；交会深，彼此就接近。观测地点又有偏差，发生食的时间也不同。如果不是地中的位置，各地都会随着所在地点而逐渐不同。即使交分相等、都在南方，冬季发生食时食分多，夏季发生食时食分少。即使把冬夏因素平均，早晚也有差异；处在南北方向时位置较高，处在东西方向时位置较低。观测有斜有正，按道理不能一概而论。月亮运行在阳历时，核验古今交食记录，亏蚀不超过月面的一半。把四种正食差合并考虑，斜正的差异取在卯、酉之间，损益取在子、午的位置，务求接近实际，以考察最精微的差别。五星立率：五星的运行，也依据太阳来制定计算比例，以显示尊卑的意义。太阳运行周遍四时，无处不照，是君道；星辰分别运行于列宿之间，是臣道。阴阳的进退，就从这里取法。因此，运行当阳时前进，当阴时后退，都符合常规，所以要设置加减。古代推算星度，全部认为星体顺行，到了秦代才有金星、火星按逆行计算的说法。《大衍》说：“木星的运行与其他星辰略有不同：商、周之际，大约一百二十年超越一次；到了战国时期，它的运行逐渐加快；及至中平以后，每八十四年超越一次，从此以后便以此作为通常的周期。”木星运行时，起初与太阳相合，一十八日运行四度，于是早晨出现在东方。随后顺行一百八日，计算运行二十二度有余，停留二十七日。接着退行四十六日半，退行五度有余，与太阳相对。绕过太阳后又退行四十六日半，退行五度有余，再停留二十七日。然后顺行一百八日，运行十八度有余，于是傍晚隐没在西方。又经过十八日运行四度，再次与太阳相合。” 火星的运行：开始与太阳会合，七十日运行五十二度，于是清晨出现在东方。随后顺行二百八十日，共运行二百一十六度半略少，停留十一日。接着退行二十九日，退行九度，与太阳相对。绕过太阳继续退行，又二十九日，退行九度，再停留十一日。然后顺行二百八十日，运行一百六十四度半略少，于是傍晚伏没在西方。又七十日运行五十二度，再次与太阳会合。土星的运行：开始与太阳会合，二十一日运行二度半，于是清晨出现在东方。顺行八十四日，共运行九度半有余，停留三十五日。接着退行四十九日，退行三度半，与太阳相对。于是绕过太阳继续退行，又四十九日，退行不到三度，再停留三十五日。又顺行八十四日，运行七度有余，于是傍晚伏没在西方。又二十一日运行二度半，再次与太阳会合。金星的运行：开始与太阳会合，五十八日半运行四十九度有余，于是傍晚出现在西方。随后顺行二百三十一日，共运行二百五十一度半，停留七日。接着退行九日，退行四度半，于是傍晚伏没在西方。又六日半，退行四度有余，再次与太阳会合。又六日半，退行四度有余，于是清晨出现在东方。又退行九日，逆行四度半，再停留七日。然后重新顺行二百三十一日，运行二百五十一度半，于是清晨伏没在东方。又三十八日半，运行四十九度有余，再次与太阳会合。水星的运行：开始与太阳会合，十五日运行三十三度，于是傍晚出现在西方。随后顺行三十日，共运行六十六度，停留二日，于是傍晚伏没在西方。接着退行十日，退行八度，再次与太阳会合。又退行十日，退行八度，于是清晨出现在东方，再停留三日。然后顺行三十三日，运行三十三度，于是清晨伏没在东方。又十五日运行三十三度，再次与太阳会合。一行说：“五星伏没、出现、留、逆行的效验，以及表里、盈缩的运行，全都同时间联系，并在政事上得到验证。过失小，变化就小；过失大，变化就大。事情细微，天象也细微；事情明显，天象也明显。这大概是皇天降下谴责来警醒、启发君主。有时计算者不明白天象，占卜者又迷惑于数字，看到五星运行失常，便都说是历法错误；把数与象互相参照，反而两方面都失去真实。大凡校验的方法，必须考察古今的注记，使上下相隔的记录相互参照，反复求证；如果只有一处异常，就可以知道是星体运行失常。” 星行盈缩：五星运行有差异，其中火星尤其明显。它有时向南侵入狼宿，向北进入匏瓜宿，变化超越常态，独自不同于通常运行，因此每日运行的分数本来就有盈有缩。这是因为天体运行的度数有宽有窄不相等，气候时序的升降也有差异；考察当今升降的分数，累积起来就是盈缩之数。五星进入各气时的加减法，始创于张子信；其后方士各自增加或减少数值，以求更加接近实际。《开元历》另立四象六爻，平均处理进退；现在则另立盈缩法，同旧法不同。五星见伏：五星出现和伏没，都以太阳运行的度数为准则。太阳运行的进退本来就不恒定，星辰运行的差异也随之增减。因此推算五星出现和伏没，先考察太阳运行；现在则审察太阳运行的盈缩，研究星辰运行的进退，所以五星见伏大都更加接近实际。旧说，水星在清晨应当出现而未出现的情况，发生在雨水之后、谷雨之前；傍晚应当出现而未出现的情况，发生在处暑之后、霜降之前。又说，五星在卯、酉以南时出现较迟、伏没较早，在卯、酉以北时出现较早、伏没较迟，大概是天体形势造成的。推算节气和朔日的方法。推演纪元：上元甲子年距治平元年甲辰，累计七十一万一千七百六十年，计算时不包括起始年。向上推算古代，每年减一算；向下推算未来，每年加一算。元法：三万九千。岁周：一千四百二十四万四千五百。朔实：一百一十五万一千六百九十三。岁周：三百六十五日，余九千五百。朔策：二十九，余二万六百九十三。望策：一十四，余二万九千八百四十六半。弦策：七，余一万四千九百二十三，秒四半。气策：一十五，余八千五百二十，秒一十五。中盈分：一万七千四十一，秒一十二。朔虚分：一万八千三百七。闰限：一百一十一万六千三百四十四，秒六。岁闰：四十二万四千一百八十四。月闰：三万五千三百四十八，秒一十二。没限：三万四百七十九，秒三。纪法：六十。秒母：一十八。

译求天正冬至：取所求年的累计年数乘以岁周，作为天正冬至的节气积分；除以元法，商为累计日数，余数为小余。用纪法除去日数的整周，余数按甲子起算，计算时不包括起始数，即得到所求年前天正冬至的日辰和余数。求下一个节气：取天正冬至的大余、小余，加上气策，就得到下一个节气的大余、小余。如果秒数超过秒母，就进到小余；小余满元法，就进到大余；大余满纪法，就除去一周。以甲子为大余起算，计算时不包括起始数，即得到下一个节气的日辰和余数。依次累加各个节气来推求。求天正经朔：取天正冬至的节气积分，除去其中满朔实的部分，商为累计月数，余数为闰余；用元法除闰余，商为日数，余数为小余；以此从天正冬至的大余、小余中减去，得到天正经朔的大余、小余。大余不足减时，加纪法；小余不足减时，大余退一，并加元法后再减。以甲子为大余起算，计算时不包括起始数，即得到所求年前天正经朔的日辰和余数。求弦、望以及下一个经朔日：取天正经朔的大余、小余，依次累加弦策，按前法起算，即得到弦日、望日以及下一个经朔日的日辰和余数。求没日：取有没之气的小余，二十四气的小余达到没限以上的，就是有没之气。用秒母乘它，并把秒数加进去。用七十一万二千二百二十五减去它，所得余数除以一万二百二十五，商为没日，除不尽的为余数。以没日加到该节气的大余上，按甲子起算，计算时不包括起始数，即得到该节气没日的日辰。求减日：取有减经朔的小余，经朔小余不满朔虚分的，就是有减之朔。用三十乘它，除以朔虚分，商为减日，余数为余。以减日加到经朔大余上，按甲子起算，计算时不包括起始数，即得到该月减日的日辰。推算发敛的方法。候策：五，余二千八百四十，秒五。卦策：六，余三千四百零八，秒六。土王策：三，余一千七百零四，秒三。辰法：三千二百五十。刻法：三百九十。半辰法：一千六百二十五。秒母：一十八。求七十二候：分别取中节的大余、小余，以甲子起算，这是初候；加上候策，是次候；再加一次，是末候。分别按甲子起算，计算时不包括起始数，即得到各候的日辰。求六十四卦：分别根据中气的大余、小余起算，这是公卦用事日；加上卦策，就是下一个卦的用事日；在诸侯卦上加土王策，得到十二节初始外卦的用事日。求五行用事日：分别根据四立节气的大余、小余起算，即得到春季木、夏季火、秋季金、冬季水开始用事的日期；从四季中气的大余、小余中减去土王策，按甲子起算，计算时不包括起始数，即得到该月土开始用事的日期。求发敛加时：分别取小余，除以辰法，商为辰数；余数除以刻法，商为刻；再余下的为分。以子正为起点按辰数起算，计算时不包括起始数，即得到所求发敛的时辰。如果加上半辰的数目再起算，就得到从辰初以后所进入的刻数。求发敛距经朔：取天正经朔的闰余，依次累加月闰，即得到每月的闰余；除以元法，商为闰日，余数为小余，于是得到该月中气距经朔的日数、余数和秒数。闰余达到闰限，就设置闰月；以月内没有中气作为确定置闰的标准。求卦候距经朔：分别依次累加或减去卦策、候策及余数和秒数；在中气以前用减法，中气以后用加法。这样就分别得到卦、候距经朔的日数、余数和秒数。推算太阳运行位置的方法。日度母：六百二十四万。周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。周天：三百六十五度，余一百六十四万四百四十七，约分二千五百六十四，秒八十二。岁差：八万四百四十七。二至限：一百八十二度，余二万四千二百五十，约分六千二百一十八。一象度：九十一，余一万二千一百二十五，约分三千一百零九。求朔、弦、望进入盈缩度：取二至限的度数和余数，减去天正闰日及余数，所得就是天正经朔进入缩度的度数和余数；依次累加弦策，满二至限的度数和余数就除去，便由盈入缩、由缩入盈，循环得到相应数值。这样就得到弦日、望日以及下一个经朔日所进入的盈缩度数和余数。再把余数乘一万，除以元法，就得到约分。求朔、弦、望的盈缩差和定差：分别取朔、弦、望所进入的盈缩度数及约分；如果在一象度分以下，就是在初限；达到一象度以上，就用二至限减它，所得就是末限。把初限、末限的度分列在上面，把二至限列在下面；用上数减下数，再用所得余数乘上数，得到积数。积数除以四千一百三十五，商为度；不足部分继续退位除，所得为分，这叫作盈缩差的度和分。如果把积数乘四百，除以五百六十七，就是盈缩定差。若使用立成表，就用相应度数的损益率乘度后相除，满元法取一，所得数用来增减该度下的盈缩积，得到定差的度数；如果损益的是初限、末限的分而成为二日，就分别按照初限、末限的数值乘除。以后各项都依照这个例子。求定气日：冬至、夏至是盈缩的起点，以常数作为定值。其余节气，则用该节气所得的盈缩差度数和分数，盈时从常气日中减去，缩时加上常气日，再加上约分，即为该节气的定日和分数。赤道各宿的度数。斗：二十六。牛：八。女：十二。虚：十及分。危：十七。室：十六。壁：九。北方七宿共九十八度，余一百六十万四百四十七，约分二千五百六十四。奎：十六。娄：十二。胃：十四。昴：十一。毕：十七。觜：一。参：十。西方七宿共八十一度。井：三十三。鬼：三。柳：十五。星：七。张：十八。翼：十八。轸：十七。南方七宿共一百一十一度。角：十二。亢：九。氐：十五。房：五。心：五。尾：十八。箕：十一。东方七宿共七十五度。以上都是赤道度数；自《大衍历》以来，采用仪器测定，把它作为恒常数值。赤道是恒常的天道，横贯天空中部，用来校准黄道。求天正冬至时太阳在赤道上的度数：用岁差乘所求年的累计年数，满周天分就除去；用周天分减去余数，再用度母除，商为度，不足部分为余数。把余数乘一万，再用度母退位相除，得到约分。从赤道虚宿六度起算，依次除去各宿的度数，直到余数不足以再除某宿，即为所求年份天正冬至加时太阳在赤道上所在宿的度数和分数。

译求夏至加时太阳在赤道上的度数：取天正冬至加时太阳的赤道度数，加上二至限的度数和分数，满赤道各宿度数就除去，即得到夏至加时太阳的赤道度数。如果要求冬至、夏至日黄昏以后半夜的赤道太阳度数，就分别用二至日的约余数减去一万，把所得数加到二至加时的赤道度数上，即为二至初日黄昏以后半夜的赤道太阳度数；以后每日加一度，满赤道各宿度数就除去，即可得到每日黄昏以后半夜的赤道太阳度数。求赤道各宿的累计度数：取冬至加时赤道宿的完整度数，减去冬至赤道加时太阳的度数，余数就是距冬至后的度数和分数；依次累加赤道各宿度数，即分别得到赤道各宿的累计度数和分数。求赤道各宿累计度数进入初限、末限：分别取赤道各宿的累计度数和分数，满九十一度三十一分就除去；余数在四十五度六十五分半以下的，以日为分母。这就是进入初限；超过这个数的，就用九十一度三十一分减去它，余数就是进入末限的度数和分数。求二十八宿的黄道度数：分别取赤道各宿进入初限、末限的度数和分数，用一百一十一度三十七分减去它，再用所得余数乘初限、末限的度数和分数，进一位后以一万约除，所得称为黄赤道差的度数和分数。在冬至以后、分界以前用减法，在分界以后、冬至以前用加法；将所得数加减赤道各宿的累计度数和分数，作为该宿的黄道累计度数和分数；再以前一宿的黄道累计度数减去本宿的黄道累计度数，得到本宿的黄道度数和分数。分数按接近的数取太、半、少。黄道各宿的度数。斗：二十三度半。牛：七度半。女：十一度半。虚：十度少，秒六十四。危：十七度太。室：十七度少。壁：九度太。北方七宿共九十七度半，秒六十四。奎：十七度太。娄：十二度太。胃：十四度半。昴：十度太。毕宿：十六度。觜宿：一度。参宿：九度少。西方七宿共八十二度。井宿：三十度。鬼宿：二度太。柳宿：十四度少。星宿：七度。张宿：十八度太。翼宿：十九度半。轸宿：十八度太。南方七宿共一百一十一度。角宿：十三度。亢宿：九度半。氐宿：十五度半。房宿：五度。心宿：四度。尾宿：十七度。箕宿：十度。东方七宿共七十四度太。七曜按照这些黄道宿度运行，须依据今天历法的变化加以校定。若要上考往古、下验将来，就应根据岁差；每移动一度，便依照此法换算为当时的宿度，然后才能推算太阳、月亮和五星，知道它们停留或侵犯某宿的情况。求天正冬至加时的黄道日度：用冬至加时的赤道日度及分，减去一百一十一度三十七分；所得余数乘以冬至加时的赤道日度及分，再进一位，满一万除作度，不满的作分，这叫黄赤道差；用它减去冬至赤道日度及分，便是所求本年天正冬至加时的黄道日度及分。求冬至当天晨前夜半的日度：置一万分，加上当天的升分，用它乘冬至约余，满一万除之；所得数减去冬至加时黄道日度，便是冬至当天晨前夜半的黄道日度及分。求逐月定朔当天晨前夜半的黄道日度：置该朔距冬至的日数，按该度的盈缩积度，盈则加、缩则减；所得余数加上天正冬至晨前夜半日度，按度数推算，即为该月定朔当天晨前夜半太阳所处的宿次。求每天晨前夜半的黄道日度：分别置各定朔当天晨前夜半的黄道日度，每天加一度；再按当天的升降分，升则加、降则减，满黄道宿度便除去，即得每天晨前夜半太阳运行所在的宿度及分。若次年冬至的小余满法，则加上升分的最大数。《志》第二十八，律历八。明天历。推算日影和漏刻的方法。二至限：一百八十一日六十二分。一象度：九十一度三十一分。消息法：一万六百八十九。辰法：三千二百五十。刻法：三百九十。半辰法：一千六百二十五。昏明刻分：九百七十五。昏明：二刻一百九十五分。冬至岳台日影常数：一丈二尺八寸五分。夏至岳台日影常数：一尺五寸七分。冬至后初限、夏至后末限：四十五日六十二分。夏至后初限、冬至后末限：一百三十七日。求岳台日影处于二至之后的日数：计算从二至以后经过的日数，用二至约余减去它，再加上半日的分数，即为从二至以后到当天正午所积的数及分。求岳台正午日影定数：置所求正午积数；若在初限以下，就是初限；若已超过初限，则用二至限反减，所得为末限。属于冬至后初限、夏至后末限的，用入限日减去一千九百三十七半，所得为泛差；再用入限日分乘当天的盈缩积，盈缩积见“日度术”。把所得乘五再除以一百，用它减去泛差，所得为定差；然后将入限日分自乘，再乘定差，满一百万作尺，不满的依次作寸、分及小分；用所得减去冬至常晷，余数就是当天正午日影的定数。若所求属于冬至后末限、夏至后初限，则将入限日分除以三，用它减去四百八十五少，所得为泛差；再用盈缩差减去极数。所得余数若在春分以后、秋分以前，就直接除以四，用所得加泛差，作为定差；若在春分以前、秋分以后，就用距二分的日数及分乘它，满六百除一次，用所得减去泛差，余数作为定差。然后将入限日分自乘，再乘定差，满一百万作尺，不满的依次作寸、分及小分；把所得加到夏至常晷上，便是当天正午日影的定数。求每天的消息定数：置所求当天正午的日度分；若在二至限以内，就是息；超过二至限则除去二至限，余数就是消。又看进入消息度后是否加一象度还不到；若不到，就是初限；若超过，则用二至限反减，余数就是末限。将初、末限度数自乘，乘一万后再折半，满消息法除之，所得为常数。另置一份副数，用一千九百五十减它，所得乘副数，满八千六百五十除之；把所得加常数，便是所求的消息定数。

译求每天黄道距北极的度数及赤道内外度：置当天消息定数，乘四，满三百二十五除作度；不满的退位除作分。所得数在春分后加六十七度三十一分，在秋分后减一百一十五度三十一分，即为当天黄道去极度及分。用黄道去极度减一象度，余数为赤道内外度。去极度较少，表示太阳在赤道以内；去极度较多，表示太阳在赤道以外。求每天的晨昏分及日出入分：以当天消息定数为基础，春分后加六千八百二十五，秋分后减一万七百二十五，所得为当天晨分；用元法减它，余数为昏分。以昏明分加晨分，就是日出分；用昏明分减昏分，就是日入分。求每天距中、距子的度数及每更的差度：置当天晨分，乘七百，满七万四千七百四十二除作度，不满的退位除作分，命名为距子度；用半周天减去它，余数为距中度。若将距子度加倍，再除以五，便是每更差度及分。若依照司辰星漏历，则将距子度加倍，减去待旦三十六度五十二分半，再将余数除以五，便是每更差度。求每天夜半的定漏：置当天晨分，用刻法除作刻，不满的作分，就是所求当天夜半定漏。求每天昼夜的刻数及日出入的辰刻：将夜半定漏加倍，再加五刻，便是夜刻；用一百刻减去它，余数便是昼刻。以昏明刻加夜半定漏，满辰法除作辰数；不满的用刻法除作刻，再有不满就是刻分。辰数从子正开始计，越过起点计算，即为日出辰刻；以昼刻加在其上，按前法推算，即为日入辰刻。若加上半辰刻，则从辰初开始计。求更点的辰刻：将夜半定漏加倍，除以二十五，所得为一点差刻；乘五，便是每更差刻。以昏明刻加日入辰刻，就是甲夜辰刻；再逐次加上更点差刻，满辰刻及分便除去，分别得到各更各点所入的辰刻及分。若与司辰星漏历相同，则将夜半定漏加倍，减去待旦一十刻，余数依本法推算，即与内中更点相同。求昏晓及五更的中星：置距中度，加上当天昏后夜半的赤道日度并按宿次推算，即为当天昏时中星所对的宿次；昏中星也就是初更中星。再加每更差度并按宿次推算，即为乙夜所对的中星；逐次相加，便得到各更中星所对的宿次。又将距子度加倍，加在昏中星上推算，即为晓时中星所对的宿次。若依司辰星漏历的中星法，则将距子度加倍，减去待旦十刻的度数三十六度五十二分半，再将余数折算为五更，即与内中更点的中星相同。求九服的距差日：分别在各地立表测候。若该地在岳台以北，测得冬至后日影与岳台冬至日影相同，就从冬至后起逐日计算到当天，作为距差日；若该地在岳台以南，测得夏至后日影与岳台日影相同，就从夏至后起逐日计算到当天，作为距差日。求九服的日影：若该地在岳台以北、冬至前后，以冬至前后的日数减距差日，所得为余日；余日减一千九百三十七半，所得为泛差；依照前面的算法推算，再加岳台冬至日影常数，就是该地当天正午日影常数。若冬至前后的日数多于距差日，就减去距差日，余数依前法推算，也可得到该地当天正午日影常数。若该地在岳台以南、夏至前后，以夏至前后的日数减距差日，所得余数除以三，再减四百八十五少，所得为泛差；依照前法推算，用岳台夏至日影常数减去所得，就是该地当天正午日影常数。如果夏至前后的日数多于距差日，就从岳台夏至常晷中减去所得，余数就是日影在表的南面。若夏至前后的日数多于距差日，就减去距差日，余数依前法推算，分别得到各地当天正午日影常数。若要求定数，则依照立成表求当天正午日影定数。求九服各地的昼夜漏刻：冬、夏二至时，分别在各地用漏壶测水，确定当地二至的夜刻；两者相减，余数为冬夏至差刻。置岳台的消息定数，乘以当地二至差刻，再除以岳台二至差刻二十，所得就是当地的消息定数。将消息定数加倍，满刻法除作刻，不满的作分；然后加减当地二至夜刻：秋分后到春分前减冬至夜刻，春分后到秋分前加夏至夜刻。所得就是该地当天的夜刻；用一百刻减去它，余数就是昼刻。当天日出的辰刻、日入的辰刻、距中度以及五更中星，都依照前面的算法推求。推算月亮运行的方法。转度母：八千一百一十二万。转终分：二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一。朔差：二十一亿四千二百八十八万七千。朔差：二十六度；余数三千三百七十六万七千，约余四千一百六十二半。转法：一十亿八千四百四十七万三千。会周：三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一。转终：三百六十八度；余数三十八万二千二百五十一，约余三千七百八。转终：二十七日；余数六亿一百四十七万一千二百五十一，约余五千五百四十六。中度：一百八十四度；余数一千五百四万一千一百二十五半，约余一千八百五十四。象度：九十二度；余数七百五十二万五百六十二太，约分九百二十七。月平行：十三度；余数二千九百九十一万三千，约分三千六百八十七半。望差：一百九十七度；余数三千一百九十二万四千六百二十五半，约分三千九百三十四。弦差：九十八度；余数五千六百五十二万二千三百一十二太，约分六千九百六十七。日衰：一十八，小分九。求月亮运行进入转度的位置：用朔差乘所求的积月数，满转终分就除去，不尽的作为转余。满转度母除作度，不满的作余数；若将余数乘一万，满转度母除之，便得到约分；若用转法除转余，便得到进入转度的日数及余数。

译这就得到所求月亮在加时进入转度的度数及余数。若逐次加上弦度及余数，便得到上弦、望、下弦以及下一个朔在加时进入转度的度数及分；若度数满转终度及余数，就除去。进入转度若在中度以下，表示月亮运行在疾历；若超过中度，就减去中度及余数，所得表示月亮进入迟历。求月亮运行迟疾的差度及定差：置所求月亮运行进入迟速历的度数；若在象度以下，就是初限；若超过，则用中度反减，余数为末限。度数的余数以约分一百作分母。把初限、末限的度数置于上方，把二百一度九分列于下方；用上数减下数，再用余数乘上数，得到积数。满一千九百七十六除作度，不满的退位除作分，命名为迟疾差度。处于疾历时减去，处于迟历时加上。将积数乘一万，满六千七百七十三半除之，所得为迟疾定差。疾历加、迟历减。若使用立成表，就用该度下的损益率乘度余，满转度母除一次，所得按损益加减，便得到迟疾差及定差。若迟疾的初限、末限损益分别跨越两日，就各自加上初限、末限的数值后再乘除。求朔、弦、望所对应度数下月亮运行的定分：置迟疾所进入的初限、末限度分，进一位，满七百三十九除之；用一百二十七减所得，余数为衰差。然后，疾初迟末时减去衰差，迟初疾末时加上衰差；所得都与平行度分相加减，便是该度所对应的月亮运行定分。该度以一百度作为一分。求定朔、弦、望的日期：分别将太阳运行的盈缩、月亮运行迟疾的定差，加减于经朔、经弦、经望的小余；满则进大余，不足则退大余，以甲子为起点、起点之外计数，分别得到定朔、定弦、定望的日辰及余数。若定朔的干名与下一个朔的干名相同，则本月为大月；不同则为小月；一个月内没有中气的，就是闰月。凡编注历书，查看定朔小余：秋分以后达到四分之三以上的，进一日；春分以后，若定朔晨分与春分当天相差，则将其除以三，用来减四分之三；若定朔小余达到这个数及以上，也进一日。朔日若正逢交会有食，而初亏发生在日入以前，该朔日不进。弦、望的定小余若不到日出分，退一日；望日若正逢交会有食，而初亏发生在日出以前，即使定望小余已达到日出分，也仍然退一日。月亮沿九道运行有迟疾，历法中本有三大二小；再加上太阳运行盈缩的累积增损，就形成四大三小，这是数理自然如此。若完全遵循常规，还应察看加时的早晚，随着最接近的情况进退，使月份大小不至于连续超过三个月。旧说，正月初一若有交会，必须根据前后一两个月的消息调整，把食移到晦日或初二。况且日食发生在朔日，月食发生在望日，这是自然的道理。日食大概是上天垂示的警诫，用来警醒当时的政事；如果道德教化得当，就能把灾变转为祥瑞。国家应当以至公之心治理天下，不可私自移动晦朔日期，应当顺从上天的警诫。因此《春秋传》记载日食，是为了纠正朔日，不能专门把日食移到晦日或初二。正月初一有交会时，应完全依从近代典制，不可为了回避而移动。求定朔、定弦、定望加时的日度：置朔、弦、望的中日及约分，按太阳运行的盈缩度及分，盈则加、缩则减；又用元法退位除迟疾定差，疾则加、迟则减；所得就是朔、弦、望加时的定日日度。加上天正冬至加时黄道日度并按宿次推算，即为所求朔、弦、望加时定日所在的宿次。朔、望若有交会，则依照后面的算法。求月亮运行的九道：凡日月合朔时的交会，冬季在阴历，夏季在阳历，月亮运行白道。冬至、夏至以后，白道的半交点在秋分所在的宿，位于黄道以西；立冬、立夏以后，白道的半交点在立秋所在的宿，位于黄道西北；与此相冲的宿也相同。冬季在阳历、夏季在阴历时，月亮运行白道。冬至、夏至以后，白道的半交点在秋分所在的宿，位于黄道以西；立冬、立夏以后，白道的半交点在立秋所在的宿，位于黄道西北；与此相冲的宿也相同。春季在阳历、秋季在阴历时，月亮运行朱道。春分、秋分以后，朱道交点在夏至所在的宿，位于黄道以南；立春、立秋以后，朱道的半交点在立夏所在的宿，位于黄道西南；与此相冲的宿也相同。春季在阴历、秋季在阳历时，月亮运行黑道。春分、秋分以后，黑道的半交点在冬至所在的宿，位于黄道正北；立春、立秋以后，黑道的半交点在立冬所在的宿，位于黄道东北；与此相冲的宿也相同。四时分离为八节，到了阴阳交会的地方，都与黄道相会，所以月亮有九道运行。分别观察月亮进入正交时的积度，再看正交九道所入的宿度属于哪个节候，就能确定该道、该节的起点。满象度及分就除去，余数就是入交积度；象度的计算见交会术。若在半象以下，就是初限；若超过半象，则用象度及分反减，余数为末限。用一百一十一度三十七分减去它，再以所入初限、末限的度及分乘之，退一位后折半，满一百作度，不满作分，所得就是月亮运行与黄道的差数。距半交以后、正交以前，用差数减；距正交以后、半交以前，用差数加。这里加减所得是出入六度、仅与黄道比较的数；若与赤道比较，则随情况迁变而不固定。计算自二至以来所经过的度数，乘以黄道差数，除以九十，所得就是月亮运行与黄道的差数。凡太阳以赤道以内为阴、以赤道以外为阳；月亮则以黄道以内为阴、以黄道以外为阳。因此月亮运行到宿度时，进入春分交点以后运行阴历、秋分交点以后运行阳历，都是同名；若进入春分交点以后运行阳历、秋分交点以后运行阴历，都是异名。同名时，差数应加就加、应减就减；异名时，差数应加则减、应减则加。都将所得加减黄道宿积度，得到九道宿积度；以前一宿的九道宿积度减本宿九道宿积度，余数就是本宿九道宿度及分。分数按接近值约为太、半、少三种。求月亮沿九道进入交点的度数：置该朔加时定日度，减去该朔交初度及分，余数就是该朔加时月亮进入交点的度数及余数。余数乘一万，再用元法退位除之，就是约余。加上天正冬至加时黄道日度并按宿次推算，就是正交时月亮在黄道上所在的宿度。

译求正交加时月亮在九道的宿度：用正交度及分减一百一十一度三十七分，将余数乘正交度及分，退一位后折半，满一百作度，不满作分，所得名为定差。用定差加黄道宿度；计算自冬至、夏至以来的度数，乘定差，除以九十；所得依同名、异名法加减，满则进位、不足则退位，按前法推算，即为正交加时月亮在九道的宿度及分。求定朔、定弦、定望加时月亮所在的宿度：分别置当天加时太阳所在的宿度，改按九道依次相加。凡合朔加时，月亮隐在太阳之下，与太阳同度，这就是加时月亮所在的宿次。先置朔、弦、望加时黄道宿度，用正交加时黄道宿度减去它，余数加上正交加时九道宿度，从正交所在宿次起推算，起点之外计数，即为朔、弦、望加时所处的九道宿度。合朔加时若不接近正交，则太阳在黄道、月亮在九道，各自进入宿度虽有多少不同，但考察它们距北极的度数，仍符合准绳，所以说月亮隐在太阳之下，与太阳同度。分别将弦、望度及分加到它们所对应的九道宿度上，满一宿次就除去，便分别得到加时九道月亮所在的宿次。求定朔夜半进入转度的数值：用所求经朔小余减去该朔加时进入转度的日数及余数；其中经朔小余乘二万七千八百七，即为转法的分母。所得就是经朔夜半进入转度的数值。若定朔大余有进退，也要相应进退转日；没有进退，就沿用经朔的数值。余数退位收取，就是约分。求次月定朔夜半进入转度：沿用定朔夜半进入转度的数值，大月加二日，小月加一日；余数、分都加四千四百五十四，满转终日及约分就除去，即为次月定朔夜半进入转度。逐日累加一日，按前法去除并计数，便分别得到每天夜半进入转度的日数及分。求定朔、定弦、定望夜半的月度：分别置加时小余；若不是朔、望有交会的情况，就使用定朔、定弦、定望的小余。用当天月亮运行定分乘之，满元法除作度，不满的退位除作分，命名为加时度。用当天加时月度减去它，便分别得到所求的夜半月度。求晨月、昏月：用晨分乘当天月亮运行定分，满元法除作晨度；用月亮运行定分减晨度，余数为昏度。分别以晨度、昏度加夜半月度，即为所求晨时、昏时月亮所在的宿度。求朔、弦、望的晨昏定程：以该朔昏时定月减上弦昏时定月，余数为朔后昏定程；以上弦昏时定月减望昏时定月，余数为上弦后昏定程；以望晨时定月减下弦晨时定月，余数为望后晨定程；以下弦晨时定月减次朔晨时定月，余数为下弦后晨定程。求转积度：计算四个七日周期内月亮运行的定分，按日衰加减，得到每天月亮运行的定程；然后从所进入的日期起逐日计算定值，所得为该段行程的转积度分。所谓四七日月行定分是：初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八；再观察迟疾的极限差数加减，以一百为分母。求每天晨昏的月度：用转积度与晨昏定程相减，余数除以距下一个定程的日数，所得为日差。定程较多则加，定程较少则减。将日差加减每天月亮运行定分，得到每天转行的定度及分。把每天转行定度及分加到朔、弦、望的晨昏月度上，满九道宿次便除去，即为每天晨时、昏时月亮所在的宿度及分。凡编注历书，朔后注昏，望后注晨。以上月度都依照九道推算，以求尽算术的精微。若编注历书只求简便迅速，就依照下面的方法推求黄道月度。求天正十一月定朔夜半的平行月：用天正经朔小余乘平行度分，满元法除作度，不满的退位除作分秒，所得为经朔加时度。用它减去该朔的中日度数，便是经朔晨前夜半平行月的积度。若定朔有进退，则按平行度分相应加减。所得就是天正十一月定朔当天晨前夜半平行月的积度及分。求次月定朔当天夜半平行月：置天正定朔当天夜半平行月，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半；满周天度分便除去，即为每月定朔当天晨前夜半平行月的积度、分、秒。求定弦、定望夜半平行月：计算弦、望距定朔的日数，乘平行度及分秒，再加定朔夜半平行月积度及分秒，即为定弦、定望当天夜半平行月的积度及分秒。也可以直接求朔望，不再求度数，这样更为简便。求天正定朔夜半进入转度的度数：置天正经朔小余，乘平行月度及分，满元法除作度，不满的退位除作分秒，命名为加时度；用天正十一月经朔加时进入转度的度数及约分减去它，余数就是天正十一月经朔夜半进入转度的度数及分。若定朔大余有进退，也相应进退平行度分，即为天正十一月定朔当天晨前夜半进入转度的度数及分秒。求次月定朔及弦望夜半进入转度的度数：沿用天正十一月定朔夜半进入转度的度分，大月加三十二度六十九分一十七秒，小月加十九度三十二分二十九秒半，即分别得到次月定朔夜半进入转度的度及分。再分别用朔、弦、望相距的日数乘平行度分并加上，满转终度及秒便除去；在中度以下为疾，超过中度则除去中度，余数为进入迟历。这样便分别得到次朔、弦、望定日晨前夜半进入转度的度及分。若用平行月度及分收取，就得到定朔、定弦、定望进入转度的日数。

译求定朔、定弦、定望夜半的定月：用定朔、定弦、定望夜半进入转度的度分乘该度的损益衰，以一万除之作分，再以一百除之作秒；按损益加减该度下的迟疾度，得到迟疾定度。然后迟历加、疾历减夜半平行月，得到朔、弦、望夜半定月的积度。加上冬至加时黄道日度并按宿次推算，就是定朔、定弦、定望夜半月亮所在的宿次。若要计算晨昏月，就用当天晨昏分乘当天月亮运行定分，满元法除之，所得为晨昏度；加到夜半定月上，即得朔、弦、望的晨昏月度。求朔、弦、望定程：分别将朔、弦、望的定月相减，余数就是定程。若求晨昏定程，则用晨昏定月相减；朔后用昏月，望后用晨月。求朔、弦、望的转积度分：计算四个七日周期内月亮运行的定分，按日衰加减，得到每天月亮运行的定分；再从所进入的日期起计算，得到该段行程的转积度分。所谓四七日月行定分是：初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八；再根据迟疾的极限差数加减，分母取一百。求每天月亮所在的宿次：分别用朔、弦、望定程减转积度，余数为程差；用距下一个定程的日数除之，所得为日差。定程较多则增益程差，定程较少则损减程差。以日差加减月亮运行定分，得到每天月亮运行定分；再将每天月亮运行定分累加到定朔、定弦、定望夜半月亮所在宿次上，按宿次推算，即为每天晨前夜半月亮所在的宿次。若求晨昏宿次，就可得到每天晨昏的月度。推算日月交会的方法。交度母：六百二十四万。周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。朔差：九百九十万一千一百五十九。朔差：一度；余数三百六十六万一千一百五十九。望差：空度，余数为四百九十五万五百七十九又二分之一。半周天：一百八十二度；余数为三百九十二万二百二十三又二分之一，约合六千二百八十二分。日食限：一千四百六十四。月食限：一千三百三十八。盈初限、缩末限：六十度八十七分半。缩初限、盈末限：一百二十一度七十五分。求交初度：取所求月份的积数，用朔差乘它，满周天分数就除去；所得余数再用周天分数相减，满交度母就除之，所得为度，不满的为余数，即得所求月份交初的度数和余数。再加半周天，满周天就除去，余数就是交中的度数和余数。若减去望差，就得到该月望交初的度数和余数；减去朔差，就得到次月交初的度数和余数；用交度母退位除之，就得到余分。若加上天正黄道日度并按度数排定宿次，就分别得到交初、交中所在的宿度和分数。求日食、月食食甚的小余以及加时辰刻：根据该朔、望月亮运行迟疾的定差，迟则减、疾则加于经朔、经望的小余；若不够减，就退大余一，加元法后再减；若相加超过元法，就把所得数累积计算。用一千三百三十七乘它，满该度所对应的月行定分就除之，所得为月行差数；再根据太阳运行在盈缩方面的定差，盈则加、缩则减，余数就是该朔、望食甚的小余。凡加减后满数或不足，都要相应进退日期；这就是朔望加时用来推究月亮运行迟疾的数值。若没有交会，则直接以经定小余为定值。把所得数置于相应位置，依照前面所说的发敛加时法推入计算，就分别得到日食、月食食甚所在的辰刻。观察食甚小余，若在半法以下，就用半法减它，余数为午前分；若在半法以上，就减去半法，余数为午后分。求朔望加时的日月度数：用该朔、望加时小余减经朔、经望小余，把余数按元法退位收算，用来加减该朔、望中日及约分；经朔、经望数少则加，多则减。所得就是该朔、望加时的中日。再用所入日的升降分乘所入日的约分，以一万约除，所得数随之损益该日下的盈缩积，得到盈缩定度；盈则加、缩则减于加时中日，得到该朔、望加时的定日；望日还要再加半周天，作为加时定月。加上天正冬至加时的黄道日度并按宿次排定，就得到所求朔望加时太阳、月亮所在的宿度和分数。求朔望日月加时距交的度数和分数：取朔望日月加时定度，分别减去交初、交中度数，余数就是距交度分。取距离较近的一项相减，并把度数乘一百换算为分数。加时度数较多的为后，较少的为前，于是得到该朔望距交前、后的分数。交初以后、交中以前，是月亮运行在外道的阳历；交中以后、交初以前，是月亮运行在内道的阴历。求日食四正时的食差定数：取该朔加时定日，若在半周天以下，便属于盈；若在半周天以上，除去半周天，余数属于缩。再观察它，若在初限以下，便属于初限；若在初限以上，就用二至限减它，余数属于末限。取初限、末限的度数和分数置于上位；属于盈初限、缩末限的，就把它们加倍。把所得置于上位，下位列二百四十三度半；以上位减下位，再用余数乘上位，乘一百零六，满三千零九十三除之，得到东西食差泛数。用五百零八减去它，余数就是南北食差泛数。求南北食差定数时，再看午前、午后分，若在四分之一法以下，就用它本身参与计算；若在四分之一法以上，就除去四分之一法，以余数乘泛数；都满九千七百五十除之，所得为南北食差定数。属于盈初、缩末限时，若食甚在卯酉以南，就内减外加；若食甚在卯酉以北，就内加外减。属于缩初、盈末限时，若食甚在卯酉以南，就内加外减；若食甚在卯酉以北，就内减外加。求东西食差定数时，看午前、午后分，若在四分之一法以下，就用它乘泛数；若在其以上，就用半法减它，再以余数乘泛数；都满九千七百五十除之，所得为东西食差定数。属于盈初、缩末限时，若食甚在子午以东，就内减外加；若在子午以西，就内加外减。属于缩初、盈末限时，若食甚在子午以东，就内加外减；若在子午以西，就内减外加。这样就得到该朔四正时食差的加减定数。

译求日月食距交定分：观察该朔四正时食差的加减定数，同名相加，异名相减，余数为食差加减总数；用它加减距交分，余数就是日食距交定分。若距交定分不够减，就再用食差总数减它；若由阳历减入阴历，就是进入食限；若由阴历减入阳历，就是不进入食限。凡相加后超过食限的，也不进入食限。望日发生月食时，直接以望日距交分作为望月食距交定分。求日月食分：日食时，观察距交定分；若在食限三分之一以下，就加倍，作为阳历食分；若在其以上，就用食限减它，余数为阴历食分。都进一位，满九百七十六除之为大分，不满则退位除之为小分，以十为食限，这就是日食的大分、小分。月食时，观察距交定分；若在食限三分之一以下，就是食既；若在其以上，就用食限减它。余数进一位，满八百九十二除之为大分，不满则退位除之为小分，以十为食限，这就是月食的大分、小分。月食若不满一大分，虽有交会但程度很浅，可能看不见食。求日食泛用刻分：把阴历、阳历食分置于上位，下位列一千九百五十二；以上减下，余数乘上位，满二百七十一除之，所得为日食泛用刻、分。求月食泛用刻分：取距交定分，自乘；交初用四百五十九除，交中用五百四十除。所得数，交初用三千九百减它，交中用三千三百一十五减它，余数就是月食泛用刻、分。求日月食定用刻分：取日月食泛用刻、分，乘一千三百三十七，再用所对应度数下的月行定分除之，所得就是日月食定用刻、分。求日月食初亏、复满的时刻：用定用刻分减食甚小余，得到初亏小余；加上食甚小余，得到复满小余。分别满辰法除为辰数，不满的满刻法除为刻数，余数为分。以子正为起点按辰数排定，算外，即得到初亏、复末所在的辰、刻和分。若加半辰数，就从时初起算。求日月食初亏、复满的方位：日食在阳历时，初亏在西南，食甚在正南，复圆在东南；太阳在阴历时，初亏在西北，食甚在正北，复圆在东北。食分超过八分的，一律初亏在正西，复圆在正东。月食时，月亮在阴历，初亏在东南，食甚在正南，复圆在西南；月亮在阳历，初亏在东北，食甚在正北，复圆在西北。食分达到八分以上的，一律初亏在正东，复圆在正西。这些都要审察食甚所朝的方向，以午正为基准来判断；其余方位则考察斜正，这样才能确定初亏、复满的位置。求月食更点定法：把望日晨分加倍，除以五，得到更法；再除以五，得到点法。若依照司辰星注历，把它与宫中更点相同计算，则把晨分加倍，减去待旦十刻的分数，余数除以五为更法，再除以五为点法。求月食进入更点：分别取初亏、食甚、复满小余；若在晨分以下，就加晨分；若在昏分以上，就减去昏分。余数除以更法为更数，不满的再除以点法为点数。以初更为起点，算外，就分别得到所入的更、点。求月食既内、既外的刻分：取月食距交分，用食限三分之一减它；不够减的，就是食不既。余数置于上位，下位列三分之二；以上减下，再用余数乘上位，满一百七十除之，所得乘定用刻分，满泛用刻分除之，就是月食既内刻分；用定用刻分减去它，余数就是既外刻、分。求日月食带食出入时所能看见的食分：若食甚小余在日出分以下，就是月亮可以看见食甚、太阳看不见食甚；用日出分减复满小余。若食甚小余在日出分以上，就是太阳可以看见食甚、月亮看不见食甚；用初亏小余减日出分，分别得到带食差。若月食食既，就用既内刻分减带食差，余数乘食分，再除以既外刻分；不够减的，就是带食既出入。用所得余数乘所食之分，满定用刻分除之，便分别得到太阳带食而出、月亮带食而入时所能看见的食分。凡初亏小余大于或等于日出分，就是发生在白天；复满小余大于或等于日出分，就是发生在夜间，均不属于带食出入。若食甚小余在日入分以下，就是太阳可以看见食甚、月亮看不见食甚；用日入分减复满小余。若食甚小余在日入分以上，就是月亮可以看见食甚、太阳看不见食甚；用初亏小余减日入分，分别得到带食差。若月食食既，就用既内刻分减带食差，余数乘所差之分，再除以既外刻分；不够减的，就是带食既出入。用所得余数乘所食之分，满定用刻分除之，便分别得到太阳带食而入、月亮带食而出时所能看见的食分。凡初亏小余大于或等于日入分，就是发生在夜间；复满小余小于或等于日入分，就是发生在白天，都不属于带食出入。推算五星的方法。木星终率：一千五百五十五万六千五百零四。终日：三百九十八日；余三万四千五百零四，约分八千八百四十七。历差：六万一千七百五十。见伏常度：一十四度。火星终率：三千零四十一万七千五百三十六。终日：七百七十九日；余三万六千五百三十六，约分九千三百六十八。历差：六万一千二百四十。见伏常度：一十八度。土星终率：一千四百七十四万五千四百四十六。终日：三百七十八日；余三千四百四十六，约分八百八十三。历差：六万一千三百五十。见伏常度：一十八度半。金星终率：二千二百七十七万二千一百九十六。终日：五百八十三日；余三万五千一百九十六，约分九千零二十四。见伏常度：一十一度少。水星终率：四百五十一万九千一百八十四；改为九千一百九十四。终日：一百一十五日；余三万四千一百八十四，约分八千七百六十五。见伏常度：一十八度。

译求五星在天正冬至以后各段的中积和中星：取气积分，分别用该星终率除之；不尽的再用终率减它，余数满元法除为日，不满则退位除为分，这就是天正冬至以后该星平合的中积。再把这个数重列，作为前一段的初值，按照各段的变日、变度累加或累减，就得到各段中星。变日用来加减中积，变度用来加减中星。求木、火、土三星入历：用该星历差乘积年，满周天分数除去；余数用度母除为度，不满则退位除为分，称为差度。用该星平合中星减去差度，得到平合入历的度分；再加上该星该段的历度，满周天度分就除去，分别得到该星该段入历的度分。金星、水星附着太阳运行，不再求历差。木、火、土三星前一变为晨星，后一变为夕星；金星、水星前一变为夕星，后一变为晨星。求木、火、土三星各段盈缩定差：木星、土星取该星该段入历度分，若在半周天以下，属于盈；若在以上，减去半周天，余数属于缩。取盈缩度分，若在一象以下，属于初限；若在以上，用半周天减它，余数属于末限。把初限、末限的度分置于上位，下位列半周天；上减下，再用下位乘上位，木星进一位，土星乘九。都满一百化为一分，分满一百化为一度，称为盈缩定差。火星则取盈缩度分，若在初限以下，属于初限；若在以上，用半周天减它，余数属于末限。以四十五度六十五分半作为盈初、缩末限度，以一百三十六度九十六分半作为缩初、盈末限度分。把初限、末限度数置于上位；属于盈初、缩末的，乘三。下位列二百七十三度九十三分；上减下，余数用下位乘，再乘十二，满一百化为度，不满则以一百约为分，称为盈缩定差。若采用立成法，就用该度下的损益率乘该度下的约分；满一百的，就按损益加减该度下的盈缩差度，所得同样是盈缩定差。若处在留、退段，则是盈缩泛差。求木、火、土三星留退差：取后退、后留的盈缩泛差，分别置于上位；下位列各星的盈缩极度：木星极度为八度三十三分，火星极度为二十二度五十一分，土星极度为七度五十分。以上位减下位，余数用下位乘；水星、土星乘三，火星加倍。都满一百化为一度，称为留退差。后退段取其一半，后留段全部采用。对于留退差，在盈时，盈缩泛差有益则减、无益则加；在缩时，有损则减、有益则加于该段盈缩泛差，得到后退、后留定差。又把后退段定差作为后迟初段定差，都必须与前留定差类比会合，观察其盈缩，考察其降差。求五星各段定积：分别取该星该段中积，盈则加盈缩定差，缩则减盈缩定差，得到该星该段的定积和分数；再加天正冬至大余及约分，满纪法就除去，不尽的从甲子起排，算外，即得到日期。五星的合、见、伏，便是推算各段的定日；随后求出见、伏、合的定日，就把那一天记入历注。求五星各段所在的月日：分别取各段定积，加上天正闰日及约分，满朔策及分就除去，所得为月数；不满的就是入该月以来的日数和分数。月数从天正十一月起排，算外，即得到该星该段入该月经朔的日数和分数。定朔若有进退，日期也随之进退，以日辰作为定值。若用气策及约分除去定积，从冬至起排，算外，即得到该段入气的日数和分数。求五星各段加时定星：分别取该星该段中星，盈则加盈缩定差，缩则减盈缩定差，即得到五星各段定星。若加上天正冬至加时黄道日度并按宿次排定，就是该段加时定星所在的宿次。五星都以先留段作为前退初定星，以后留段作为后顺初定星。求五星各段初日晨前夜半定星：木、火、土三星，用该星该段盈缩定差减去下一度下的盈缩定差，余数为该度的损益差；用它乘该段初行率，以一百约除，所得数加减该段初行率；在盈时，有益则加、有损则减；在缩时，有益则减、有损则加。把所得乘一百，作为初行积分；另置一百分，也按所得数加减，用它除初行积分，得到初日定行分。用初日定行分乘该段初日约分，以一百约除；顺行时减、退行时加于该段定星，便是该段初日晨前夜半定星。加上天正冬至加时黄道日度并按宿次排定，就得到所求结果。金星、水星直接以初行率作为初日定行分。求太阳盈缩度：分别取各段定积，若在二至限以下，属于盈；若在以上，除去二至限，余数属于缩。再观察所入的盈缩度，若在一象以下，属于初限；若在以上，用二至限减它，余数属于末限。把初限、末限的度分置好，依照前面推求日度的方法计算，就得到所求结果。若采用立成法，直接用该度下的损益分乘度余，以一百约除，所得数损益该度下的盈缩差度，也能得到所求结果。求各段日度率：以两段晨日之间相隔的日数作为日率，再用两段夜半定星相减，余数就是该段度率及分数。求各段平行分：分别取该段度率及分数，用该段日率除之，就是该段平行分。求各段泛差：分别用该段平行分减后段平行分，余数为泛差；加上前段泛差，乘四并退一位，就是该段总差。五星前留的前一段、后留的后一段，都用平行分乘六并退一位作为该段总差，水星取总差的一半。处在退行段时，木、火、土三星用该段平行分乘十二并退一位作为总差。金星退行时，以该段泛差作为总差，后一变则反过来使用初、末。水星退行时，以该段平行分作为总差；若处在前、后顺行的第一段，就取下一段总差的一半作为本段总差。

译求各段初日、末日行分：分别取该段总差的一半，加减该段平行分，就是该段初日、末日行分。前一变加在初日、减在末日；后一变减在初日、加在末日。处在退行段时，前一段减在初日、加在末日；后一段加在初日、减在末日。若前后两段行分多少不合常理，就取平均数记载；若总差不足一个大分，也取平均数记载；都要类比会合前后的初、末数，不能失去递减的规律。求各段日差：用该段日率减一，再除该段总差，得到该段日差。后段行分少则为损，后段行分多则为益。求每天晨前夜半星体运行所在的宿次：取该段初日行分，按日差逐日递减或递增，得到每日行分。再将每日行分逐日加减于该段初日晨前夜半的宿次，按宿次排定，即得到每天星体运行所在的宿次。直接求某日宿次：取所求日数减一，乘日差，再加减初日行分；后段行分少则减，后段行分多则加。所得为所求日行分；再把它与初日行分相加后取一半，乘所求日数，得到直接求出的积度；加减该段初日宿次并按宿次排定，即得到该日星体所在的宿次。求五星定合、定日：木、火、土三星，用该段初日行分减一百分，余数除该日太阳盈缩余，得到日数；不满则退位除为分，称为距合差日及分。用差日及分减太阳盈缩分，余数为距合差度。盈时以差日、差度相减，缩时相加。金星、水星平合时，用一百分减初日行分，余数除该日太阳盈缩余，得到日数；不满则退位除为分，称为距合差日及分。用它减太阳盈缩分，余数为距合差度；盈时相加，缩时相减。金星、水星再合时，用初日行分加一百分，除该日太阳盈缩分，得到日数；不满则退位除为分，称为再合差日；用它减太阳盈缩分，余数为再合差度；盈时相加，缩时相减。差度则反过来采用加减法。都用相应的加减数加减定积，得到再合定日。加上天正冬至大余及约分并按干支排定，就得到定合的日辰。求五星定见、定伏：木、火、土三星，各用该段初日行分减一百分，余数除该日太阳盈缩分，得到日数；不满则退位除为分；盈时减，缩时加。金星、水星夕见、晨伏时，用一百分减初日行分，余数除该日太阳盈缩分，得到日数；盈时加，缩时减。处于晨见、夕伏时，用一百分加该段初日行分，除该日太阳盈缩分，得到日数；盈时减，缩时加。都把所得加减于该段定积，得到见、伏定日。再加冬至大余及约分，满纪法除去，从甲子起排，算外，即得到五星见、伏定日的日辰。琮又论历法说：“古今的历法，必须有超过前人的方法，并且能够成为万世通用的准则，才算优胜。比如一行制定《大衍历》，讨论历法的原则和条例，校正历代历法，以求得历法推算的强弱，掌握历法的纲要，取得平正适中的数值。刘焯悟出太阳运行有盈缩的差别。旧历推算太阳每天平行一度，到这时才悟出太阳运行有盈缩：冬至前后的定日为八十八日八十九分，夏至前后的定日为九十三日七十四分；冬至前后太阳每天运行超过一度，夏至前后每天运行不足一度。” 李淳风悟出定朔的方法，认为气、朔、闰余都可以归于同一套计算。旧历平定朔日，通常交替记一大月、一小月；到这时才根据太阳运行的盈缩、月亮运行的迟疾，对朔余加减，所得作为定朔、望的加时，用来确定大小月，误差不过三数。从此以后，日食必在朔日，月食必在望日，不再有发生在晦日、初二日的差误。旧历都必须使用章岁、章月的数值，使闰余产生差异；李淳风制定《麟德历》，把气、朔、闰余统一归入同一个分母。张子信悟出月亮运行有交道表里之分，五星有入气时的加减。北齐学士张子信因葛荣之乱，隐居海岛三十多年，专门用圆仪测量推求天道，开始悟出月亮运行有交道表里：在表为外道阳历，在里为内道阴历。月亮运行在内道，太阳就会发生日食；月亮运行在外道，就不会发生日食。若月亮外面的观测者处在北户向日之地，则从相反方向观察，反而会看见日食。旧历又都认为五星的运行没有盈缩，到这时才悟出五星全都有盈缩和加减的数值。宋代何承天最先悟出通过测量日影来确定节气次序。日影最长时是冬至，日影最短时是夏至。他开始设立八尺高的表，连续测量十多年，才知道旧《景初历》所定冬至总是比实际天象迟三日。于是制定《元嘉历》，把冬至加时比旧历提前改定三日。晋代姜岌最先悟出，可以用月食所冲的宿位确定太阳所在的度数。过去不知道太阳所在的宿度，到这时才以月食时月亮所在宿位所冲的宿位，作为太阳所在的宿度。后汉刘洪制定《乾象历》，最先悟出月亮运行有迟疾的数值。旧历认为月亮平行每天运行十三度又十九分之七；到这时才悟出月亮运行有迟疾差别：最迟时每天运行十二度有余，最快时每天运行十四度太，迟疾的极差超过五度。宋代祖冲之最先悟出岁差。《书·尧典》说：“日影短，昴星出现，用以确定仲冬；昼夜相等，虚星出现，用以确定仲秋。”到现在经过三千多年，中星位置相差三十多度，由此知道每年都有逐渐积累的差数；他制定《大明历》，规定四十五年九个月退差一度。唐代徐升制定《宣明历》，悟出日食有气差、刻差的数值。旧历推算日食都平求食分，多数与实际不相符合；到这时推算日食，加入或减去气差、刻差的数值，所测日食分数稍微接近实际天象。《明天历》悟出日月会合之处就是朔，所制定的日法，积年中存在自然形成的数值；又通过制定方法推求日影，知道节气加时所在的位置。自《元嘉历》以后所制定的日法，以四十九分之二十六作为强率，以十七分之九作为弱率，把强弱二数合为日法、朔余，此后的各历都仿效它。却不知道日月会合就是朔，并且把朔余的虚分列入日法，原来这是自然的道理。至于节气加时，晋、汉以来只是约略取值，误差可达半日；如今制定方法进行推求，才把它的数值全部求出。

译后世制定历法的人，没有不遵循采用这些方法的。其中疏漏错误最严重的，就是苗守信的《乾元历》、马重绩的《调元历》和郭绍的《五纪历》。大体上没有超出这些内容的。然而制定历法的人，都必须会合日月的运行，以此确定晦朔的日期；检验《春秋》所载日食，以明白强弱。对于节气次序，则取《左传》所载南至作为检验。太阳运行的盈缩、月亮运行的迟疾、五星的加减、日月食差、太阳宿位和月亮运行、中星与日影、数值和法则的制定，全都以先前所说的内容为依据。然后进行校验，从夏代仲康五年九月“辰星没有会集在房宿”，一直到现在，把三千年间的星辰、节气、朔望以及日月交食等情况推算得仿佛符合准绳。凡有先后、亲疏差别的，取其中平正的数值，才可以施用于后世。校验时依照一行、孙思恭的方法，取数值较多的一方而不取较少的一方，这样所得才较为亲密。比较日月交食时，一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上为远。历注记载有食而天象检验没有食，或者天象检验有食而历注没有记载，均为失误。比较星度时，与天象相差二度以下为亲，三度以下为近，四度以上为远；比较日影的长度，以相差二分以下为亲，三分以下为近，四分以上为远。若考察古代而得到的数值较多，又接近现在的天象，同时法则、数值的制定能够得其原理并贯通根本，就是最好的。”琮自称精通历法，曾说：“世上懂得历法的人很少，近世只有孙思恭最为精妙。”而孙思恭又曾推许刘羲叟是懂得历法的人。志第二十九 律历九。○皇祐浑仪。尧命羲和制作横箫来考察星宿度数；它的机衡用玉制成，是希望它不受干湿变化影响，运转有规律，坚固长久而不会废弃。到了后世，铸铜制成圆仪，用来模拟天体。自洛下闳制定《太初历》使用浑仪，到东汉孝和帝时，太史署只有赤道仪，用来按时观测天象，往往有进退误差。孝和帝以此询问典星待诏姚崇等人，他们都说：“星图有规矩法则，日月实际沿黄道运行，如今没有这种仪器，所以会有失误。”到永元十五年，贾逵才开始设置黄道仪。桓帝延熹七年，张衡重新制作黄道仪，以四分作为一度。此后陆绩、王蕃、孔挺、斛兰、梁令瓒、李淳风也都曾制作过。五代战乱灭亡，遗留下来的法式全都散失了。真宗祥符初年，韩显符制作浑仪，但只有游仪双环夹着望筒旋转，黄道、赤道固定不动。皇祐初年，又命日官舒易简、于渊、周琮等参照采用李淳风、梁令瓒的制度，改铸黄道浑仪，又制作漏刻、圭表；诏令翰林学士钱明逸详细审定其法，内侍麦允言总管工程。制成后，把浑仪安置在翰林天文院的候台，把漏刻安置在文德殿的钟鼓楼，把圭表安置在司天监。皇帝为此撰写《浑仪总要》十卷，评论前代的得失，后来留在宫中，没有颁行。现在把黄道游仪的制度详细记载在这里。第一重，名称是六合仪。阳经双环：外周长二丈三尺二寸八分，直径七尺七寸六分，宽六寸，厚六分。南北并立，两面各刻列周天三百六十五度少强，北极出地三十五度少强。阴纬单环：外周、直径、宽度都与阳经双环相同，外层厚二寸五分，内层厚一寸九分。上面刻列十干、十二支、八卦方位，用来校正地形。上面有水池，沿环流转，用来确定水平和准度。天常单环：外周长二丈零四寸六分，直径六尺八寸二分，宽、厚均为一寸二分。上面刻列十干、十二支以及四维、时刻的数值，用来测定辰刻；它与阳经、阴纬两环固定相连，像卵壳覆盖在外面一样。第二重，名称是三辰仪。璇玑双环：外周长一丈九尺五寸六分，直径六尺五寸二分，宽一寸四分，厚一寸。两面各均分周天三百六十五度少强，制作两个枢轴分别对准南北两极。赤道单环：外周长一丈九尺六寸八分，直径六尺五寸六分，宽一寸一分，厚六分。上面刻列二十八宿距度和周天三百六十五度少强，附在璇玑环上。黄道单环：外周长一丈九尺零二分，直径六尺三寸四分，宽一寸二分，厚一寸。上面刻列周天三百六十五度少强，均分二十四气、七十二候、六十四卦、三百六十策。它出入赤道二十四度，与赤道相交，每年沿黄道退差一分多。白道单环：外周长一丈八尺六寸三分，直径六尺二寸一分，宽一寸一分，厚五分。上面刻列交度，安置在黄道环中，进入黄道六度；每完成一个交点周期，沿黄道退行一度半稍弱；这些环都在六合仪内部旋转。第三重，名称是四游仪。璇枢双环：外周长一丈八尺二寸一分，直径六尺零七分，宽二寸，厚七分。两面各刻列周天三百六十五度少强，夹着直距以对准枢轴，在三辰仪内部东西运转，用来校测星宿度数。横箫望筒：长五尺七寸，外方内圆，中间贯通望孔，直径六分，环绕在日轮周围，处在璇枢直距之中，使它能够南北游移、俯仰转动，以窥察星辰宿位，无处不到。十字水平槽：长九尺四寸八分，前端宽一尺二寸七分，槽身宽九寸二分、高七尺。水槽宽一寸、深八分；四根柱子各长六尺七寸八分，竖立在水槽末端，用来辅助观测天体，全部用铜制成。由此可以校测七曜运行的远近、盈缩，了解昼夜长短的规律。所测二十八宿距度，记载在后文；周天星辰入宿以及距北极远近所主的吉凶，则详见《天文志》。角宿十二度，亢宿九度，氐宿十六度，房宿五度，心宿四度，尾宿十九度，箕宿十度，斗宿二十五度，牛宿七度，女宿十一度，虚宿十度，危宿十六度，室宿十七度，壁宿九度，奎宿十六度，娄宿十二度，胃宿十五度，昴宿十一度，毕宿十八度，觜宿一度，参宿十度，井宿三十四度，鬼宿二度，柳宿十四度，星宿七度，张宿十八度，翼宿十八度，轸宿十七度。皇祐年间的漏刻。

译自从黄帝观察漏水、制作漏刻器具并取法于此，夏、商、周三代沿用这一制度，并设置官职掌管它，这就是挈壶氏的职责。后世制作漏刻，有的用下漏法，有的用浮漏法，有的用轮漏法，有的用权衡法，制作各不相同。宋朝旧有刻漏以及以水作为权衡的漏器，放置在文德殿东廊。景祐三年，又加以考订，但水流有快有慢。根据有关官署的请求，增加平水壶一只、渴乌二只、昼夜箭二十一支。然而通常总是在四季日出时传报卯正一刻，又在每个时辰正时传报一刻，到了八刻便传报下一个时辰，以致相邻两个时辰的起止几乎相差一半而互相侵占。皇祐初年，诏令舒易简、于渊、周琮重新制作。新法使用平水重壶来均匀调节水势，使水流不再有迟速之差。把一百刻分配到昼夜：冬至白昼漏四十刻，夜间漏六十刻；夏至白昼漏六十刻，夜间漏四十刻；春分、秋分白昼和夜间各五十刻。日出前二刻半为晓，日落后二刻半为昏，从夜漏中减去五刻增加到昼漏中，称为昏旦漏刻。这些刻数都随着节气而增减。冬至和夏至之间，昼夜长短总共相差二十刻，每相差一刻，另设一箭，冬至和夏至彼此从箭首开始计算，共有四十一箭。白昼分为朝、禺、中、晡、夕，夜间分为甲、乙、丙、丁、戊，昏旦则以星中为标志，每一箭的刻数各不相同。凡黄道升降相差二度四十分，就随着历法增减而改换箭数。每个时辰从初刻开始，到四刻六分之一为时正；到八刻六分之二时，就交接到下一个时辰。现在列出二十四节气、昼夜日出日落的辰刻以及昏晓时分的中天星宿，以备互相参照核对。皇祐年间的圭表。观察天地阴阳的形体，用来校正方位、辨别方向、确定时刻和考察闰月，没有比圭表更合适的了。宋代何承天最早树立表杆来测候日影，经过十年，知道冬至比过去采用的《景初历》通常晚三天。唐代一行又编造《大衍历》，用圭表测得旧历的节气通常晚一天。现在司天监的圭表，是后晋时天文参谋赵延乂所建；表杆已经倾斜，圭尺也下陷，对天度已无法用来校正。皇祐初年，诏令周琮、于渊、舒易简改制，于是考察古法，树立八尺高的铜表，厚二寸，宽四寸，下面连接一丈三尺长的石圭，以充分测出冬至日影最长的数值。圭面有两条水沟用来校准水平，沟旁刻有尺寸分数，又刻上二十四节气在岳台测得的日影尺寸，放置在司天监。观测了三年，得知节气比旧历晚半日。因此写成三卷书，命名为《岳台晷景新书》，其中论述前代测候的是非和推步计算的方法，颇为详尽。书上奏后，诏令翰林学士范镇作序以记其事。周琮认为，二十四节气所测得的尺寸，比显德年间《钦天历》中王朴推算的结果更加精密。现在记载节气盈缩，全部采用它。小雪，皇祐元年己丑十月十九日戊寅。新表测得日影长一丈一尺三寸五分，王朴推算日影长一丈一尺三寸九分，新法推算日影长一丈一尺三寸四分小分四十八。。二年庚寅十月二十九日癸未，云层阴暗，无法测量。三年辛卯十月十日戊子。新表测得日影长一丈一尺三寸，王朴推算日影长一丈一尺四寸七分，新法推算日影长一丈一尺二寸九分小分九十八。。大雪，元年己丑十一月四日癸巳，云层阴暗，无法测量。二年庚寅十一月十五日戊戌。新表测得日影长一丈二尺四寸五分半，王朴推算日影长一丈二尺四寸五分，新法推算日影长一丈二尺四寸四分小分二十五。。冬至，元年己丑十一月十九日戊申。新表测得日影长一丈二尺八寸五分，王朴推算日影长一丈二尺八寸六分，新法推算日影长一丈二尺八寸五分。二年庚寅十一月三十日癸丑。新表测得日影长一丈二尺八寸四分，王朴推算日影长一丈二尺八寸六分，新法推算日影长一丈二尺八寸五分。三年辛卯十一月十二日己未，云层阴暗，无法测量。。小寒，元年己丑十二月四日癸亥。新表测得日影长一丈二尺四寸，王朴推算日影长一丈二尺四寸八分，新法推算日影长一丈二尺四寸小分十五。。二年庚寅闰十一月十五日戊辰，云层阴暗，无法测量。。三年辛卯十一月二十七日甲戌。新表测得日影长一丈二尺三寸七分，王朴推算日影长一丈二尺四寸八分小分二十六。。大寒，元年己丑十二月十九日戊寅，云层阴暗，无法测量。。二年庚寅十二月一日甲申。新表测得日影长一丈一尺一寸七分，王朴推算日影长一丈一尺四寸四分，新法推算日影长一丈一尺一寸八分小分四十。。三年辛卯十二月十二日己丑，云层阴暗，无法测量。。立春，二年庚寅正月六日甲午，云层阴暗，无法测量。。三年辛卯十二月十六日己亥，云层阴暗，无法测量。。四年壬辰十二月二十七日甲辰。新表测得日影长九尺六寸七分半，王朴推算日影长一丈一寸五分，新法推算日影长一丈六寸八分小分七。雨水，二年庚寅正月二十一日己酉，云层阴暗，无法测量。三年辛卯正月二日甲寅。新表测得日影长八尺一寸半分，王朴推算日影长八尺五寸，新法推算日影长八尺九寸小分七十六。四年壬辰正月十二日己未。新表测得日影长八尺一寸二分半，王朴推算日影长八尺六寸一分，新法推算日影长八尺一寸二分小分一十八。。惊蛰，二年庚寅二月七日甲子。新表测得日影长六尺六寸三分，王朴推算日影长六尺八寸五分，新法推算日影长六尺六寸三分小分三十九。。三年辛卯正月十七日己巳。新表测得日影长六尺六寸五分，王朴推算日影长六尺八寸五分，新法推算日影长六尺六寸五分小分六十八。四年壬辰正月二十八日乙亥，云层阴暗，无法测量。春分，二年庚寅二月二十三日己卯。新表测得日影长五尺三寸五分，王朴推算日影长五尺二寸七分，新法推算日影长五尺三寸四分小分七十七。三年辛卯二月四日乙酉，云层阴暗，无法测量。四年壬辰二月十四日庚寅。新表测得日影长五尺三寸一分，五朴推算日影长五尺二寸七分，新法推算日影长五尺三寸小分七十二。。清明，二年庚寅三月八日乙未。

译新表测得日影长四尺二寸，王朴推算日影长三尺八寸九分，新法推算日影长四尺一寸八分小分六十一。。三年辛卯二月十九日庚子，云层阴暗，无法测量。。四年壬辰二月二十九日乙巳。新表测得日影长四尺二寸二分，王朴推算日影长三尺九寸六分，新法推算日影长四尺二寸一分小分八十五。。谷雨，二年庚寅三月二十三日庚戌，云层阴暗，无法测量。三年辛卯三月四日乙卯。新表测得日影长三尺三寸，王朴推算日影长二尺九寸六分，新法推算日影长三尺二寸九分小分八十六。。四年壬辰三月十五日庚申。新表测得日影长三尺三寸一分半，王朴推算日影长三尺一寸，新法推算日影长三尺三寸一分小分一十六。。立夏，二年庚寅四月九日乙丑。新表测得日影长二尺五寸七分，王朴推算日影长二尺三寸，新法推算日影长二尺五寸六分小分二十八。。三年辛卯三月十九日庚午。新表测得日影长二尺五寸七分半，王朴推算日影长二尺三寸，新法推算日影长二尺五寸七分小分四十二。。四年壬辰三月三十日乙亥。新表测得日影长二尺五寸八分半，王朴推算日影长二尺三寸四分，新法推算日影长二尺五寸八分小分四十四。。小满，二年庚寅四月二十四日庚辰。新表测得日影长二尺三分，王朴推算日影长一尺八寸六分，新法推算日影长二尺三分小分五十一。。三年辛卯四月五日乙酉。新表测得日影长二尺三分半，王朴推算日影长一尺八寸六分，新法推算日影长二尺三分小分五十一。。四年壬辰四月十六日辛卯，云层阴暗，无法测量。。芒种，二年庚寅五月九日乙未。新表测得日影长一尺六寸九分，王朴推算日影长一尺六寸，新法推算日影长一尺六寸半分小分九十七。。三年辛卯四月二十一日辛丑。新表测得日影长一尺六寸七分，王朴推算日影长一尺五寸九分，新法推算日影长一尺六寸七分小分八十四。。四年壬辰五月二日丙午。新表测得日影长一尺六寸八分半，王朴推算日影长一尺六寸，新法推算日影长一尺六寸八分小分二十。。夏至，二年庚寅五月二十五日辛亥。新表测得日影长一尺五寸七分半，王朴推算日影长一尺五寸一分，新法推算日影长一尺五寸七分。三年辛卯五月七日丙辰，云层阴暗，无法测量。。四年壬辰五月十七日辛酉。新表测得日影长一尺五寸七分，王朴推算日影长一尺五寸一分，新法推算日影长一尺五寸七分。小暑，二年庚寅六月十一日丙寅，云层阴暗，无法测量。三年辛卯五月二十二日辛未。新表测得日影长一尺六寸九分半，王朴推算日影长一尺六寸，新法推算日影长一尺六寸九分小分七十五。。四年壬辰六月三日丙子，云层阴暗，无法测量。。大暑，二年庚寅六月二十六日辛巳。新表测得日影长二尺四寸，王朴推算日影长一尺八寸五分，新法推算日影长二尺四分小分九十七。。三年辛卯六月七日丙戌。新表测得日影长二尺二分太，王朴推算日影长一尺八寸五分，新法推算日影长二尺四分小分二十四。。四年壬辰六月十九日壬辰日。新表测得日影长二尺五分，王朴推算日影长一尺八寸七分，新法推算日影长二尺六分又小分五十三。。立秋：二年庚寅七月十一日丙申日。新表测得日影长二尺五寸九分，王朴推算日影长二尺二寸九分，新法推算日影长二尺五寸九分又小分五十一。。三年辛卯六月二十三日壬寅日。新表测得日影长二尺六寸一分半，王朴推算日影长二尺三寸三分，新法推算日影长二尺六寸二分又小分七十三。。处暑：二年庚寅七月二十七日壬子日，云层阴暗，无法测量。。三年辛卯七月九日丁巳日。新表测得日影长三尺三寸六分，王朴推算日影长三尺，新法推算日影长三尺三寸六分又小分六十五。。四年壬辰七月十九日壬戌日，云层阴暗，无法测量。。白露：二年庚寅八月十三日丁卯日，云层阴暗，无法测量。三年辛卯七月二十四日壬申日，云层阴暗，无法测量。四年壬辰八月五日丁丑日，云层阴暗，无法测量。秋分：二年庚寅八月二十八日壬午日，云层阴暗，无法测量。三年辛卯八月九日丁亥日。新表测得日影长五尺三寸八分，王朴推算日影长五尺二寸一分，新法推算日影长五尺三寸八分又小分六十九。。四年壬辰八月二十日壬辰日，云层阴暗，无法测量。寒露：二年庚寅九月十三日丁酉日，云层阴暗，无法测量。三年辛卯九月二十四日壬寅日。新表测得日影长六尺六寸七分，王朴推算日影长六尺零八分，新法推算日影长六尺六寸七分又小分八十八。。四年壬辰九月六日戊申日。新表测得日影长六尺七寸三分半，王朴推算日影长六尺九寸一分，新法推算日影长六尺七寸四分又小分八十四。。霜降：二年庚寅九月二十八日壬子日。新表测得日影长八尺一寸六分，王朴推算日影长八尺四寸五分，新法推算日影长八尺一寸四分又小分七十。。三年辛卯九月十日戊午日，云层阴暗，无法测量。四年壬辰九月二十一日癸亥日。新表测得日影长八尺二寸，王朴推算日影长八尺五寸六分，新法推算日影长八尺一寸九分又小分六十六。。立冬：二年庚寅十月十四日戊辰日。新表测得日影长九尺八寸半分，王朴推算日影长一丈一寸，新法推算日影长九尺八寸一分又小分二十五。。三年辛卯九月二十五日癸酉日。新表测得日影长九尺七寸九分，王朴推算日影长一丈一寸，新法推算日影长九尺七寸八分又小分六十三。。四年壬辰十月六日戊寅日。新表测得日影长九尺七寸六分，王朴推算日影长一丈一寸，新法推算日影长九尺七寸六分又小分一十。。测量日影以校正加时的早晚。

译后汉熹平三年，《四分历》记载：立冬日中日影长一丈，立春日中日影长九尺六寸。不久又考察冬至时太阳运行到最南，日影最长；立冬、立春这两个节气距离冬至的日数既然相同，那么日中日影应当相等，但前者较长、后者较短，竟相差四寸。这就是《四分历》冬至置于实际冬至之后的验证。两个节气的日中日影每日相差九分半略少，进退均匀调和，几乎没有盈缩；按此比例计算，立冬、立春各自向冬至退二日十二刻，那么日影的数值中，立冬会更短、立春会更长，二者都相差二寸，两个节气的日中日影便都为九尺八寸，这就是立冬、立春的正确日期。由此推知，《四分历》所置冬至也在实际冬至之后二日十二刻。熹平三年，当时历法所定的丁丑日冬至，加时正值日中。减去二日十二刻，确定乙亥日为冬至，加时在夜半后二十八刻。《宋志》记载：大明五年十月十日，日影一丈七寸七分半；十一月二十五日，日影一丈八寸一分多；二十六日，日影一丈七寸五分强。取前后数值的中间数，则实际冬至应在十一月三日。要推求加时的早晚：将后二日的日影相减，所得就是一日的差率，再将它加倍作为除数；用前二日的日影差减去它，并乘一百刻作为被除数。用除数除被除数，得冬至加时在夜半后三十一刻，位于《元嘉历》所定冬至的后一天，这是天数的正确值。测量考察多年，所得加减始终均匀相同；比较不同年份，远近也都符合这个比率。考察两家的说法，大体上虽有道理却不够通达：熹平年间的做法取中间数，却遗漏了冬至前后余数的影响；大明年间的做法取左右两侧的比率，却错在被除数、除数的数值。至于比较日影、确定节气，这是历法家最急迫的事务。考察古代的校验方法，只是在冬至前后几天内测量，以确定加时的早晚。而且日影差的变化，在冬至、夏至前后，进退只在极细微之间；同时太阳还有自行变化，盈缩略有不同，若把它作为标准，加时便会互相抵牾。晋、汉的历法，多把冬至前后测得的日影取中间值，这也会相差半日以上。如今逐年校验，在立冬、立春时日影的移动超过一寸；若要比较并求取加时，应该把相近的数值合并计算，取其一半作为距离冬至的约略日数；再把两日的日影数相减，所得余数乘以除数，满一日的日影差算一刻；然后根据所得差刻推求冬至：若比前面的日影多，就减去；若比前面的少，就加上。求夏至时则反过来计算。用加减距离冬至的约略日数，得到确定的日期；再加上半日的刻数，从前一个距日的干支日开始顺数，超出所列日期即为二至加时的干支日及刻分。这样推求，就可以验证冬至、夏至加时的早晚了。皇祐岳台测量日影的方法。考察《大衍》所载的太阳运行数值和《崇天》所定的差率，虽然号称周密通达，但仍不能完全说明上下交相应验的道理，因此日影度数无法完全相合。现在建立新法，使上面符合太阳盈缩运行的规律，下面参照勾股计算的数值；所推算的尺寸与天象实测相互验证，没有先后差异。其方法是：计算冬至、夏至以后经过的日数，减去二至的约略余数，再加上半日的分数，就是所求日午时日影的中积数；把这个数列出，用来求进退差分。求进退差分时，列出中积数：若在一象九十一日三十二分以下，便属于前段；若超过一象，就用二至限一百八十二日六十一分减去它，所得属于后段。把前段、后段的度数列在上面，下面列二百；上数减去下数，再用余数乘上数，满四千一百三十五除，所得为分；不满的退位除，所得为小分。冬至以后这是进差，夏至以后这是退差。再列出初限、末限。求进入初限、末限的数值时，列出所求日午时中积数：冬至后初限、夏至后末限的数值若在四十五日六十二分以下，就是所求日进入初限；若超过此数，就用二至限减去它，余数就是所求日进入末限。冬至后末限、夏至后初限，以一百三十七日为标准。用这些数求午时日影数。求午时日影数时，先看所求日期：若进入冬至后初限、夏至后末限，就用进入限内的日数减去一千九百三十七半，所得为约略差；再用限内日数的分数乘进退差，乘五后除以一百，以所得减去约略差，得到确定差；然后将限内日数的分数自乘，再乘确定差，满一百万作为尺，不满的依次作为寸、分和小分；用这个数减去冬至常日影一丈二尺八寸五分，余数就是该日午时日影数。若所求日进入冬至后末限、夏至后初限，就将限内日数的分数除以三，所得用来减四百八十五少，余数为约略差；再用进退差减去极数。所得余数若处在春分以后、秋分以前，就直接除以四，用来加约略差，得到确定差；若处在春分以前、秋分以后，就用距离春分、秋分的日数及分数乘它，满六百除一，以所得减约略差，余数为确定差。再用限内日数的分数自乘，乘确定差，满一百万为尺，不满为寸、分和小分；把所得加到夏至常日影一尺五寸七分上，就是该日午时日影数。若采用周岁历法，就直接用该日日影盈缩差分乘以该日午时日影数的余数，满法除，依所得损益下列日影数，这就是该日午时的确定日影数。这样推求，那么上下相互应验的道理和勾股斜射的原理，都可以观察验证，于是便完备了岳台日影按周岁计算的数值。《志》第三十，《律历十》。○《观天历》。元祐《观天历》。推演上元甲子，到元祐七年壬申，累计岁数为五百九十四万四千八百八算。向上考察古代，每年减一；向下验证将来，每年加二。推算节气和朔望。统法：一万二千三十。岁周：四百三十九万三千八百八十。岁余：六万三千八十。气策：一十五，余二千六百二十八，秒一十一。朔实：三十五万五千二百五十三。朔策：二十九，余六千三百八十三。望策：一十四，余九千二百六，秒一十八。弦策：七，余四千六百三，秒九。岁闰：一十三万八百四十四。中盈分：五千二百五十六，秒二十四。朔虚分：五千六百四十七。没限分：九千四百二。闰限：三十四万四千三百四十九，秒一十二。旬周：七十二万一千八百。纪法：六十。以上各项的秒母都相同，均为三十六。推算天正冬至：列出距所求年份的累计年数，用岁周相乘，得到节气积分；满旬周就除去，不足一旬周的数用统法约除，所得整数为大余，不足部分为小余。用大余从甲子日开始顺数，超过甲子所列数即为所求年份天正冬至的日辰及余数。

译求下一个节气：列出天正冬至的大余、小余，逐次加上气策、余数和秒数；秒数满秒法就进一小余，小余满统法就进一大余，大余满纪法就除去。用甲子起算，超过所列数即分别得到下一个节气的日辰及余秒。推算天正经朔：列出天正冬至的节气积分，用朔实除它，除不尽的数为闰余；用天正冬至节气积分减去闰余，余数就是天正十一月经朔加时的积分；满旬周除去，不满的用统法约除，所得整数为大余，不足部分为小余。用大余从甲子起算，超过所列数即为所求年份天正十一月经朔的日辰及余数。求弦、望以及下一个经朔日：列出天正十一月经朔的大余、小余，逐次加上弦策，按照前面的方法除去并起算，就分别得到弦、望以及下一个经朔日的日期和余秒。求没日：列出有没之气的小余，乘三百六十；其中的秒进一位后并入计算，用岁周减去它，余数满岁余除，所得为日数，不足部分为余数。以该节气初日的日辰起算，超过所列数即为该节气没日的日辰。凡是节气小余在没限以上的，就是有没之气。求灭日：列出有灭之朔的小余，乘三十，满朔虚分除，所得为日数，不足部分为余数。以该月份经朔初日的日辰起算，超过所列数即为该月灭日的日辰。凡是经朔小余不满朔虚分的，就是有灭之朔。推算发敛。候策：五，余八百七十六，秒四。卦策：六，余一千五十一，秒一十二。土王策：三，余五百二十五，秒二十四。月闰：一万九百三，秒二十四。辰法：二千五。半辰法：一千二半。刻法：一千三百三。秒母：三十六。推算七十二候：分别以中节的大余、小余起算，所得为初候；加上候策，所得为次候；再加一次，所得为末候。求六十四卦：分别以中气的大余、小余起算，所得为初卦用事日；加上卦策，所得为中卦用事日；再加一次，得到终卦用事日。将土王策加到诸侯内卦上，得到十二节初外卦的用事日；再加一次，得到大夫卦的用事日；再加卦策，得到卿卦的用事日。推算五行用事：分别以四立节气的大余、小余起算，即得到春木、夏火、秋金、冬水开始用事的日期；用土王策减去四季中气的大余、小余，从甲子起算，超过所列数即为该月土开始用事的日期。求中气距离经朔的日期：列出天正冬至的闰余，逐次加上月闰，满统法约除为日数，不足部分为余数，于是分别得到每月中气距离经朔的日数及余秒。闰余满闰限的，表示该月内有闰；再确定朔日所在月份没有中气的月份为闰月。求卦、候距离经朔的日期：将卦策、候策逐次加减于中气距离经朔的日数及余数；中气以前减去，中气以后加上。这样就分别得到卦、候距离经朔的日数及余秒。求发敛的加时：将所求的小余加倍，用辰法除，所得为辰数；不足部分乘五，再满刻法除，所得为刻，不足部分为余数。辰数从子正起算，超过所列数即分别得到所求加时的时辰、刻数和分数。推算太阳在黄道十二宫的运行位置。周天分：四百三十九万四千三十四，秒五十七。周天度：三百六十五，余三千八十四，秒五十七。岁差：一百五十四，秒五十七。二至限日：一百八十二，余七千四百八十。冬至后盈初、夏至后缩末限日：八十八，余一万九百五十八。夏至后缩初、冬至后盈末限日：九十三，余八千五百五十二。求每日的盈缩分：列出进入冬至、夏至以后经过的整日数，分别在初限以下的归入初限；超过初限的，用二至限减去，余数归入末限。将初限、末限的日数及分数列在上面，将初、末限日数及约分加倍列在下面，相减后相乘。求盈缩分时，在盈初、缩末，用三千二百九十四除；在盈末、缩初，用三千六百五十九除；所得均为度，不足部分退位除，所得为分、秒。求朏朒积时，各退两位；在盈初、缩末用三百六十六除，在盈末、缩初用四百七除，分别得到所求之数。用盈分减去缩分，余数为升降分；盈初、缩末为升，缩初、盈末为降。用朏朒积相减，余数为损益率；在初限为益，在末限为损。求经朔、弦、望进入盈缩限的数值：列出天正的闰日及余数，减去缩末限的日数及余数，所得为天正十一月经朔进入缩末限的日数及余数；逐次加上弦策，满盈缩限日就除去，于是分别得到弦、望以及下一个经朔进入盈缩限的日数及余秒。求经朔、弦、望的朏朒定数：分别列出所进入盈缩限的日数和小余，用该日下的损益率相乘，再除以统法，所得数依损益规则加减该日下的朏朒积，便是定数。求定气：冬至、夏至以常气作为定气。此后各气，用该气限日下的盈缩分，在盈时加、缩时减常气的约余，所得就是所求节气的确定日期及分秒。赤道各宿的度数。斗宿：二十六度。牛宿：八度。女宿：十二度。虚宿：十度，少六十四秒。危宿：十七度。室宿：十六度。壁宿：九度。北方七宿共九十八度，另有六十四秒。奎宿：十六度。娄宿：十二度。胃宿：十四度。昴宿：十一度。毕宿：十七度。觜宿：一度。参宿：十度。西方七宿共八十一度。井宿：三十三度。鬼宿：三度。柳宿：十五度。星宿：七度。张宿：十八度。翼宿：十八度。轸宿：十七度。南方七宿共一百一十一度。角宿：十二度。亢宿：九度。氐宿：十五度。房宿：五度。心宿：五度。尾宿：十八度。箕宿：十一度。东方七宿共七十五度。前面所列都是赤道宿度，和古代不同。自《大衍历》以来，依据浑仪测量确定下来；以纮带标示天球的中部，仪器的极点作为依据，用来校定黄道。推算天正冬至加时的赤道日度：用岁差乘以所求年份的积年，满周天分就除去，不足一周的部分用周天分减去，再以统法除，所得为度数，不足一度的为余数。从赤道虚宿四度之外起算，依次除去各宿的度数，直到不足一个宿度时，这就是所求年份天正冬至加时的赤道日度及余数、秒数。求夏至的赤道日度：把天正冬至加时的赤道日度，加上二至限及余数，满一个赤道宿次就除去，即得到夏至加时的赤道日度及余数、秒数。由此求夏至以后每日黄昏后和夜半的赤道日度：用统法减去二至小余，把所得余数加到二至赤道日度的余数上，就是二至第一天黄昏后和夜半的赤道日度；以后每天累计加一度，按前面的起算方法除去各宿度数，便分别得到所求结果。

译求二十八宿的赤道积度：置二至加时太阳运行的赤道整度，减去二至加时的赤道日度及约分，余数就是距二至之后的度数。依照赤道宿次逐宿累加，就得到二十八宿的赤道积度及分、秒。求二十八宿赤道积度所入的初限、末限：分别置赤道积度及分、秒，满象限九十一度三十一分九秒就除去；如果在四十五度六十五分五十四半秒以下，就是初限；在其以上的，用象限减去它，余数就是末限。求二十八宿的黄道度：分别置赤道宿所入初限、末限的度数及分数，乘三，作为限分；用四百减去限分，所得余数乘以限分，再除以一万二千，所得为度数，称为黄赤道差。到初限时从赤道宿积度中减去，末限时加上，得到黄道积度；再减去前一宿的黄道积度，余数就是二十八宿的黄道度及分数。分数按接近值约为太、半、少；如果二至所在宿的度数不足以相减，就加上二至限后再减，余数仍按此法计算。黄道宿度。斗宿：二十三度半。牛宿：七度半。女宿：十一度半。虚宿：十度少，另有六十四秒。危宿：十七度太。室宿：十七度少。壁宿：九度太。北方七宿共九十七度半，另有六十四秒。奎宿：十七度太。娄宿：十二度太。胃宿：十四度半。昴宿：十一度太。毕宿：十六度。觜宿：一度。参宿：九度少。西方七宿共八十二度。井宿：三十度。鬼宿：二度太。柳宿：十四度少。星宿：七度。张宿：十八度太。翼宿：十九度半。轸宿：十八度太。南方七宿共一百一十一度。角宿：十三度。亢宿：九度半。氐宿：十五度半。房宿：五度。心宿：四度太。尾宿：十七度。箕宿：十度。东方七宿共七十四度太。前面所列黄道宿度，是按照现行历法根据岁差变化确定的。如果向上考察往古，向下验证将来，就应当依据岁差，每移动一度，按照历法推算变化，然后才能推步七曜，知道它们所在的位置。求天正冬至加时的黄道日度：置天正冬至加时的赤道日度及约分，乘三作为限分；用四百减去限分，所得余数乘以限分，再除以一万二千，所得为度数，称为黄赤道差；用天正冬至加时的赤道日度及分数减去它，就是所求年份天正冬至加时的黄道日度及分数。夏至日度也依此求得。求二至第一天晨前夜半的黄道日度：置一万分，用当天的升降分，日行上升时加、下降时减；再乘以二至小余，除以统法，所得从二至加时黄道日度中减去，余数就是二至第一天晨前夜半的黄道日度及分数。求每日晨前夜半的黄道日度：置二至第一天晨前夜半的黄道日度及分数，每天加一度；把当天的升降分除以一百，日行上升时加、下降时减，满黄道宿次就除去，这样便分别得到二至以后每天晨前夜半的黄道日度及分数。求太阳过宫的日期和时刻：置黄道过宫宿度，减去当天晨前夜半的黄道宿度及分数；余数乘以统法，再除以太阳当天的运行分数，所得为加时小余；按照发敛法推求，就得到太阳过宫的日期、时、刻及分数。“黄道过宫”这一段，是太史局吴泽等人补充修订的；开封进士吴时举、国学进士程憙和常州百姓张文进所进呈的底本中都没有这一段。危宿十五度少，进入卫国的分界，在亥。奎宿三度半，进入鲁国的分界，在戌。胃宿五度半，进入赵国的分界，在酉。毕宿十度半，进入晋国的分界，在申。井宿十二度，进入秦国的分界，在未。柳宿七度半，进入周国的分界，在午。张宿十七度少，进入楚国的分界，在巳。轸宿十二度，进入郑国的分界，在辰。氐宿三度少，进入宋国的分界，在卯。尾宿八度，进入燕国的分界，在寅。斗宿九度，进入吴国的分界，在丑。女宿六度少，进入齐国的分界，在子。推步月亮运行的位置。转周分：三十三万一千四百八十二分，三百八十九秒。转周日：二十七日，余六千六百七十二分，三百八十九秒。朔差日：一日，余一万一千七百四十分，九千六百一十一秒。弦策：七日，余四千六百零三分，二千五百秒。望策：十四日，余九千二百零六分，五千秒。以上各项的秒数分母都相同，都是一万。第七日：初数一万零六百九十，初约八十九；末数一千三百四十，末约十一。第十四日：初数九千三百五十一，初约七十八；末数二千六百七十九，末约二十二。第二十一日：初数八千零一十一，初约六十七；末数四千零一十九，末约三十三。第二十八日：初数六千六百七十二，初约五十五。上弦：九十一度三十一分，四十一秒。望：一百八十二度六十二分，八十二秒。下弦：二百七十三度九十四分，二十三秒。平行：十三度三十六分，八十七半秒。以上各项的秒数分母都相同，都是一百。求天正十一月经朔加时入转：置天正十一月经朔加时的积分，用转周分、秒除它；所得整数以统法约为日数，不足一日的为余数。以日数起算，日数之外不计，即得到所求年份天正十一月经朔加时的入转日及余数、秒数。如果加上朔差日及余数、秒数，满转周日及余数、秒数就除去，即得到下一次朔加时的入转日及余数、秒数。再分别用各月经朔的小余减去它，余数就是该月经朔夜半的入转。求弦、望入转：根据天正十一月经朔加时的入转日及余数、秒数，逐次加上弦策，按前面的起算方法除去，即得到弦、望的入转日及余数、秒数。求朔、弦、望入转的朏朒定数：置入转余数，乘以该日算外的损益率，除以统法；所得按损益加减该日下的朏朒积，得到定数。若在四日或七日之下，余数不超过初数，就用初率乘余数，除以初数，再按损益加减该日下的朏朒积，得到定数。若超过初数，就用余数减去初数，所得乘末率，除以末数，再用初率减去所得，最后加上该日下的朏朒积，得到定数。若在十四日之下，余数超过初数，就用余数减去初数，所得乘末率，除以末数，所得直接就是朏定数。

译求朔、弦、望的定日：分别根据入限、入转的朏朒定数，朏数从经朔、弦、望的小余中减去，朒数加上；满一日或不足一日时，进退大余，以甲子起算，日数之外不计。分别得到定日及余数。如果定朔的干支名称与下一朔的干支名称相同，该月为大月；不同则为小月；一个月内没有中气的，就是闰月。凡编注历书，要看定朔的小余：秋分以后若达到统法的四分之三以上，就进为一日；若春分以后定朔的晨昏差与春分当天相同，就除以三，用来减去四分之三；定朔小余达到这个数以上的，也进为一日；或者如果日食初亏发生在日入以前，该朔日不进。弦、望的定小余如果不足日出分，就退为一日；望日若发生日食，初亏在日出以前，即使定望小余达到日出分，也要退为一日。此外，月亮沿九道运行有迟有疾，历法中已有三大月二小月的情况；若依照盈缩逐月累加增减，便会出现四大月三小月，这在道理和数理上是自然的。如果勉强遵循通常的规则，就应当察看加时的早晚，按照接近的情况进退，使大月不超过三个月连续出现，小月也不超过两个月连续出现。求定朔、弦、望加时的日度：置定朔、弦、望的约分，另取一份作为副数；用它乘以当天的升降分，除以一万，所得数按日行升降加减副数；再加到当天夜半的日度上，按前面的起算方法，就分别得到定朔、弦、望加时太阳所在的黄道宿度及分、秒。求月亮沿九道运行：凡是日月合朔的初交，冬季进入阴历，夏季进入阳历，月亮沿青道运行。冬至、夏至以后，青道的半交点在春分所在的宿，向黄道东面出入；立冬、立夏以后，青道的半交点在立春所在的宿，向黄道东南面出入；直到与它相冲的宿，也都是这样。冬季进入阳历，夏季进入阴历，月亮沿白道运行。冬至、夏至以后，白道的半交点在秋分所在的宿，向黄道西面出入；立冬、立夏以后，白道的半交点在立秋所在的宿，向黄道西北面出入；直到与它相冲的宿，也都是这样。春季进入阳历，秋季进入阴历，月亮沿朱道运行。春分、秋分以后，朱道的半交点在夏至所在的宿，向黄道南面出入；立夏、立秋以后，朱道的半交点在立夏所在的宿，向黄道西南面出入；直到与它相冲的宿，也都是这样。春季进入阴历，秋季进入阳历，月亮沿黑道运行。春分、秋分以后，黑道的半交点在冬至所在的宿，向黄道北面出入；立春、立秋以后，黑道的半交点在立冬所在的宿，向黄道东北面出入；直到与它相冲的宿，也都是这样。四时分为八节，到了阴阳交会的地方，都与黄道相交，所以月亮运行有九道。分别查看月亮所进入的正交点积度，满交象就除去；入交积度和交象度，均列在交会术中。若在半交象以下，就是初限；在其以上，就用交象减去它，余数为末限。置初限、末限的度数及分数，乘三作为限分；用四百减去限分，所得余数乘以限分，再除以二万四千，所得为度数，称为月道与黄道的差数。距正交之后、半交之前，用差数相加；距半交之后、正交之前，用差数相减。这种加减所得，是月道出入黄道六度的数值，只是与黄道相校的数；如果用来与赤道相校，就会随着节气迁移变化，并不固定。还要计算自冬至、夏至以来所经过的度数，乘以差数，再除以九十，所得为月道与赤道的差数。凡太阳以赤道以内为阴、以赤道以外为阳；月亮则以黄道以内为阴、以黄道以外为阳。因此，月亮运行经过各宿时，在春分交点以后运行阴历、秋分交点以后运行阳历，都是同名；在春分交点以后运行阳历、秋分交点以后运行阴历，都是异名。属于同名的，差数应加时就加，差数应减时就减；属于异名的，差数应加时反而减，差数应减时反而加。将两种差数都用来增减黄道宿积度，得到九道宿积度；再减去前一宿的九道积度，就是该宿的九道度及分、秒。分数按接近值约为太、半、少。求月亮沿九道运行时平交点进入节气的时刻：分别把该月闰日及余数，加到经朔加时入交的泛日及余数、秒数上；满交终日及余数、秒数就除去，然后再用交终日及余数、秒数减去它。分别得到平交点进入该月中气的日数及余数、秒数；若满气策就除去，余数就是平交点进入下个月节气的日数及余数、秒数。若要求朏朒定数，就按照求朔、望朏朒的方法代入计算，即可得到所求结果。求平交点入转的朏朒定数：置所入节气的余数，加上当天夜半入转的余数，乘以该日算外的损益率，除以统法；所得按损益加减该日下的朏朒积，再乘以交率，除以交数，所得就是定数。求正交点进入节气的时刻：用平交点入气、入转的朏朒定数，朏数从平交点入气余数中减去，朒数加上；满一日或不足一日时进退该日，即得到正交点入气的日数及余数、秒数。求正交点加时的黄道日度：置正交点入气余数，另取一份作为副数；用它乘以当天的升降分，除以一万，按升降加减副数；再乘一百，除以统法，加到当天夜半日度上，即得到正交点加时的黄道日度及分、秒。求正交点加时月亮运行在九道上的宿度：置正交度加时的黄道日度及分数，乘三作为限分；用四百减去限分，所得余数乘以限分，再除以二万四千，称为月道与黄道差数。将它加到黄道宿度上；再计算自冬至、夏至以来的度数，乘以该差数，除以九十，得到月道与赤道差数。同名时相加，异名时相减；把两种差数都用来增减正交度，即得到正交点加时月亮运行在九道上的宿度及分、秒。求定朔、弦、望加时月亮所在的黄道宿度：置定朔、弦、望加时太阳所在的黄道宿度及分数。凡合朔加时，月亮正隐伏在太阳之下，与太阳同度，这就是加时月度。分别把弦、望的度数加到相应日期的度数上，满黄道宿次就除去，即分别得到定朔、弦、望加时月亮所在的黄道宿度及分、秒。求定朔、弦、望加时月亮所在的九道宿度：置定朔、弦、望加时月亮所在的黄道宿度及分、秒，加上前一宿正交之后的黄道积度，按前面求九道的方法计算；再减去前一宿定宿正交之后的九道积度，余数就是定朔、弦、望加时月亮所在的九道宿度及分、秒。凡合朔加时，如果不是正交，太阳就在黄道上，月亮就在它所进入的九道宿度上。虽然两者多少不同，但考察它们距天极的远近，若符合绳墨和标准，所以称为加时九道。求定朔午中的入转：分别查看经朔夜半的入转日及余数、秒数，加上半法；如果定朔日及余数有进退，入转日也随之进退，否则就以经朔作为定朔。由此求下一日，每日累加一日，满转周日及余数、秒数就除去，即得到每天午中的入转。

译求晨、昏时的月度：用晨分乘以当天算外的转定分，除以统法，得到晨转分；用转定分减去它，余数为昏转分。再用朔、弦、望小余乘以当天算外的转定分，除以统法，得到加时分；从晨、昏转分中减去它，余数为前；若不足以相减，就反过来相减，余数为后。用前数加、后数减定朔、弦、望的月度，便得到晨、昏时月亮所在的度数。求朔、弦、望时的晨昏定程：分别用朔日昏时定月减去上弦昏时定月，所得为朔后昏定程；用上弦昏时定月减去望日昏时定月，所得为上弦后昏定程；用望日晨时定月减去下弦晨时定月，所得为望后晨定程；用下弦晨时定月减去后一个朔日晨时定月，所得为下弦后晨定程。求每天月球运行的定度数：累计各段相距天数中的日转定分，用它减定程，所得为盈；若不够减，就反过来相减，所得为缩；再用相距天数除之，所得的数值，盈则加在每天的转定分上，缩则减去，便是每天转定的度、分、秒。求每天晨、昏时的月度：置入朔、弦、望时的晨昏月度，加上每天转定的度、分、秒，满一宿的度数就除去，所得就是每天晨、昏时的月度。凡是编注历书，从朔日注昏时的月度，从望日后第一天注晨时的月度。以上所推算的月度都依据九道推步，用来穷究算术的精微；如果只求快捷简要，就依照后面的算法计算。求天正十一月经朔加时的平行月：置岁周，减去天正闰余，所得用统法折算为度；不足一度的，再退位折算为分、秒，这就是天正十一月经朔加时平行月的积度、分、秒。求天正十一月定朔夜半的平行月：置天正经朔的小余，用平行月的度、分、秒乘它，除以统法，所得为度；不足一度的退位折算为分、秒，用它减去天正十一月经朔加时平行月的积度，即为天正十一月经朔晨前夜半的平行月。若定朔的大余有进退，也相应进退平行度；否则就以经朔作为定朔，所得即为天正十一月定朔晨前夜半平行月的积度、分、秒。求下一个定朔夜半的平行月：置天正十一月定朔晨前夜半平行月的积度、分、秒，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半，满周天的度数、约分和秒数就除去，所得即为下一个定朔晨前夜半平行月的积度、分、秒。求弦、望定日夜半的平行月：分别计算朔、弦、望相距的天数，乘以平行月的度、分、秒，再加到该月定朔晨前夜半平行月的积度、分、秒上，即得该月弦、望定日晨前夜半平行月的积度、分、秒。求定朔晨前夜半入转：置该月经朔晨前夜半入转的日数及余秒；若定朔大余有进退，也相应进退转日，否则就以经朔作为定朔。余数退位以统法折算为分、秒，即得该月定朔晨前夜半入转的日数、分、秒。由此求次日，累计加一日，满一转周二十七日五十五分四十六秒就除去，所得即为每天晨前夜半的入转。求定朔、弦、望晨前夜半的定月：置定朔、弦、望晨前夜半的入转分，乘以该日算外的增减差，除以一百为分，分满一百为度；将所得增减于其下所列的迟疾度，得到迟疾定度。迟则减、疾则加定朔、弦、望晨前夜半平行月的积度、分、秒，再加上天正冬至加时黄道日度，从该度起算，即分别得到定朔、弦、望晨前夜半月离所在宿的度、分、秒。若要求每天晨、昏时的月度，依照前面的算法推入，即可得到所求。推算晷影和漏刻。二至限：一百八十二日六十二分。一象：九十一日三十一分。消息法：九千七百零三。半法：六千零一十五。辰法：二十五。半辰法：一十二又二分之一。刻法：一千二百零二。辰刻：八，余四百零一。昏明分：三百太。昏明刻：二，余六百零一半。冬至岳台晷影常数：一丈二尺八寸五分。夏至岳台晷影常数：一尺五寸七分。冬至后初限、夏至后末限：四十五日、六十二分。冬至后末限、夏至后初限：一百三十七日、空分。求岳台晷影在二至之后的日数：计算自二至以来的日数，用二至限的约分减去它，再加上半日的分数五十，即得二至后到当天午中的日数和分数。求岳台午中晷影定数：置二至后的日数和分数，若在初限以下，便属于初限；若在初限以上，则反减二至限，所得属于末限。在冬至后初限、夏至后末限的情况下，用入限日数和分数减去一千九百三十七又二分之一，所得为泛差。仍用入限日数和分数乘该日的盈缩积；所谓盈缩积，就是用入盈缩限的日数和分数与二百相减后相乘所得。将泛差乘五后除以一百，用所得数减泛差，得到定差。再将入限日数和分数自乘，用定差乘它，满一百万折算为尺，不满则折算为寸、分；用所得数减去冬至岳台晷影常数，余数就是当天午中晷影定数。在冬至后末限、夏至后初限的情况下，将入限日数和分数除以三，减去四百八十五少，所得为泛差。再用盈缩差度减去极度，所得在春分后、秋分前时除以四，加到泛差上，作为定差；在春分前、秋分后时，乘以距二分的日数，除以六百，用所得数减泛差，作为定差。然后将入限日数和分数自乘，以定差乘它，满一百万折算为尺，不满则折算为寸、分；将所得加到夏至岳台晷影常数上，就是当天午中晷影定数。求每天午中的定积日：置当天午中入二至以来的日数和分数，盈则加上当天的盈缩分，缩则减去当天的盈缩分，即得每天午中的定积日和分数。求每天午中的消息定数：置定积日和分数，在一象以下时自乘；在一象以上时，用二至限减去它，所得也自乘；乘七并进二位，再除以消息法，所得为消息常数。另置此数，用六百零一半减去它，再用所得乘原副数，除以二千六百七十，加到消息常数上，所得为消息定数。冬至后称为息，夏至后称为消。求每天黄道距极度：置当天的消息定数，乘十六，满四百零一除之为度；不足一度的退位折算为分。春分后加六十七度三十一分，秋分后减一百一十五度三十一分，即得每天午中黄道距极度及分数。

译求每天太阳距赤道的内外度数：置当天黄道距极度及分数，减去一象的度数，余数就是太阳距赤道内、外的度数和分数。距极度较大，表示太阳在赤道以外；距极度较小，表示太阳在赤道以内。求每天的晨分、昏分以及日出、日入分和半昼分：置当天的消息定数，春分后加二千一百少，秋分后减三千三百八少，各自所得就是当天的晨分；用统法减去晨分，余数就是昏分。用昏明分加晨分，得到日出分；减去昏分，得到日入分；用日出分减半法，余数就是半昼分。求每天距中度：置当天晨分，进一位，乘十四，除以四千六百一十一为度；不足一度的退位折算为分，即为距子度。用半周天减去距子度，余数为距中度；再除以五，得到每更的差数。求每天夜半的定漏：置晨分，进一位，除以刻法，所得为刻数；不足一刻的为刻分，即为每天夜半定漏。求每天昼夜的刻数以及日出、日入的辰刻：置夜半定漏，乘二再加五刻，得到夜刻；用一百刻减去夜刻，得到昼刻。用昏明刻加夜半定漏，从子正起算，得出日出的辰刻；再加昼刻，依前法起算，即得日入辰刻。辰数依照发敛术求得。求更、点的辰刻：置当天夜半定漏，乘二后除以二十五，得到筹差；再除以二并进一位，得到更差。用昏明刻加日入辰刻，得到甲夜辰刻；然后逐次加筹差，满辰刻及分就除去，即得每更一筹所在的辰刻及分数。若使用司辰漏，就将夜半定漏乘二，减去待旦十刻，余数依照此法计算，即得宫内的更筹。求每天昏晓时的中星以及五更的中星：置距中度，加上当天昏后夜半的赤道日度，从所得度数起算，即得当天昏中所对的星宿，称为初更中星。再加每更差度，从所得度数起算，即为乙夜中星；逐更累加更差度，按前法除去并起算，即得五更及晓时的中星。若依司辰星漏，则将距子度乘二，减去待旦三十六度五十二分半，余数依此法求更点差度，即得宫内昏、晓、五更以及攒点的中星。求九服各地与岳台相距的差日：分别在各地树立表杆测候。若该地在岳台以北，测得冬至后某日的晷影与岳台冬至的晷影相同，就累计从冬至后到这一天的日数，作为距差日。若该地在岳台以南，测得夏至后某日的晷影与岳台晷影相同，就累计从夏至后到这一天的日数，作为距差日。求九服各地的晷影：若该地在岳台以北、处于冬至前后，就用冬至前后的日数减距差日，作为余日；再用余日减一千九百三十七又二分之一，得到泛差。依照前面的算法计算，并加上岳台冬至晷影常数，就是该地当天午中晷影定数。若冬至前后的日数多于距差日，就先减去距差日，余数依法计算，即得该地当天午中晷影定数。若该地在岳台以南、处于夏至前后，就用夏至前后的日数减距差日，作为余日；再除以三，用所得减四百八十五少，得到泛差。依照前面的算法计算，并从岳台夏至晷影常数中减去所得，即为该地当天午中晷影定数。若夏至前后的日数多于距差日，就先减去距差日，余数依法计算，即得该地当天午中晷影定数；这表示晷影在表杆南面。求九服各地的昼夜漏刻：分别在各地用下水漏测定二至的夜刻，二者相减，余数为二至差刻。置岳台的消息定数，用当地二至差刻乘它，再除以岳台二至差刻二十，所得为该地的消息定数。将消息定数乘二并进一位，满刻法折算为刻，不满为分；春分后、秋分前，加在当地二至夜刻上；秋分后、春分前，则从当地二至夜刻中减去。所得就是该地当天的夜刻；用一百刻减去它，余数就是昼刻。日出、日入的差刻以及五更中星，都依照岳台的算法求得。志第三十一　律历十一。《观天历》。推算日月交会。交终分：三十二万七千三百六十一，秒九千九百四十四。交终日：二十七日，余二千五百五十一，秒九千九百四十四。交中日：一十三日，余七千二百九十，秒九千九百七十二。朔差日：二日，余三千八百三十一，秒五十六。望策：一十四日，余九千二百零六，秒五千。后限日：一日，余一千九百一十五，秒五千二十八。前限日：一十二日，余五千三百七十五，秒四千九百四十四。以上各项的秒数，分母都相同，均为一万。交率：一百八十三。交数：二千三百三十一。交终度：三百六十三分七十六。交中度：一百八十一分八十八。交象度：九十分九十四。半交象度：四十五分四十七。阳历食限：四千九百，定法四百九十。阴历食限：七千九百，定法七百九十。求天正十一月经朔加时入交泛日：置天正十一月经朔加时的积分，用交终分和秒除去；余数满统法为日，不满为余秒，即得天正十一月经朔加时入交泛日和余秒。求下一个朔日及望日加时的入交泛日：置天正经朔加时入交泛日及余秒，求下一个朔日时，加朔差；求望日时，加望策，满交终日及余秒就除去，即得下一个朔日及望日加时的入交泛日和余秒。若减去经朔小余，余数就是夜半入交泛日。求定朔、定望夜半的入交泛日：置经朔、望夜半的入交泛日；若定朔、定望的大余有进退，也相应进退交日，否则就以经朔、经望作为定值，即得定朔、定望夜半入交泛日及余秒。求下一个朔日夜半的入交泛日：置定朔夜半入交泛日及余秒，大月加二日，小月加一日，其余都加九千四百七十八、秒五十六；求次日时逐日累加一日，满交终日及余秒就除去，即得下一个定朔以及每天夜半入交泛日及余秒。求朔、望加时的入交常日：置经朔、望的入交泛日及余秒，按照该朔、望进入盈缩限的朏朒定数，朏则减、朒则加，即得朔、望加时入交常日及余秒。

译求朔、望加时的入交定日：置该朔、望入转的朏朒定数，乘交率，除以交数，所得按朏减、朒加到入交常日及余秒上；满或不足时进退其日，即得朔、望加时入交定日及余秒。求月运行进入阴历或阳历：置该朔、望入交定日及余秒，在交中日以下的属于月行阳历；超过交中日就除去，余数属于月行阴历。求朔、望加时月运行进入阴历、阳历的积度：置月行入阴历、阳历的日数及余秒，用统法通日并纳入余数，除以九为分，分满一百为度，即得朔、望加时月行入阴历、阳历的积度及分数。求朔、望加时月距黄道的度数：置入阴历、阳历的积度及分数，在交象度以下为入少象；在交象度以上则反减交中度，余数为入老象。将所得列在上面，下面列交中度，二者相减后相乘并进一位，除以一百三十八，所得为泛差。再看入老象、少象的度数，在半交象度以下为初；超过则除去，余数为末。初数、末数都乘二并退一位，初数减去末数，再加泛差，满一百为度，即得朔、望加时月距黄道的度、分。求日、月食甚的定余：置定朔小余，在半统法以下时，用半统法减它，再相乘，除以三万六千九十为时差，以此减去；在半统法以上时，减去半统法，余数也用半统法减去后相乘，除以一万八千零四十五为时差，午前减去，午后加上；都用所得加、减定朔小余，得到日食食甚小余。再与半法相减，余数为午前或午后分。月食则以定望小余作为月食食甚小余。求日、月食甚的辰刻：分别置食甚小余，乘二，除以辰法为辰数；不足一辰的部分乘五，满刻法除之为刻，不满为分。以子正起算辰数，即得食甚的辰刻及分数。若加半辰，就从子初起算。求气差：置该朔盈、缩限的度数和分数，自乘并进二位；盈初、缩末除以一百九十七，盈末、缩初除以二百一十九，所得都用四千零一十减去，作为气泛差。用它乘午前、后分，除以半昼分，所得用来减泛差，即为定差。春分后，交初时减去，交中时加上；秋分后，交初时加上，交中时减去。若食发生在夜间，则反过来使用。求刻差：置该朔盈、缩限的度数和分数，与半周天相减后相乘并进二位，除以二百零九，所得为刻泛差。用它乘午前、后分，除以三千七百又二分之一，所得为定差。冬至后午前、夏至后午后，交初加、交中减；冬至后午后、夏至后午前，交初减、交中加。求日食进入食限时交前、交后的分数：置朔入交定日及余秒，分别加减气差、刻差、时差；若在交中日以下，就是不发生日食；超过交中日则除去，若余数在后限日以下，就是交后分；若在前限日以上，则反减交中日，余数就是交前分。求日食分数：置交前、交后分，在阳历食限以下的为阳历食定分；超过阳历食限，则用一万二千八百减去它，余数为阴历食定分。若不够减，表示不发生日食。分别除以定法，所得为大分；不足一大分的退位折算为小分。小分达到半分以上为半强，半分以下为半弱。大分以十为满限起算，即得日食的分数。求日食的泛用分：置日食定分，退二位列在上面；阳历在下面列九十八，阴历在下面列一百五十八。分别相减后相乘，阳历除以二百五十，阴历除以六百五十，各得日食泛用分。求月食进入食限时交前、交后的分数：置望日月运行进入阴历、阳历的日数及余秒；在后限以下的为交后分；在前限以上则反减交中日，余数为交前分。求月食分数：置交前、交后分，在三千七百以下为食既；超过三千七百，就反减一万一千七百，不够减的表示不发生月食。余数除以八百为大分；不足一大分的退位折算为小分。小分达到半分以上为半强，半分以下为半弱。大分以十为满限起算，即得月食的分数。求月食泛用分：置望日交前、交后的分数，自乘并退二位；交初时除以一千一百三十八，用一千二百零三减去所得；交中时除以一千二百六十四，用一千零八十三减去所得，分别得到月食泛用分。求日、月食定用分：置日、月食泛用分，乘一千三百三十七，再除以定朔、定望入转的算外转定分，所得就是日、月食定用分。求日、月食亏初、复满的小余：置日、月食食甚小余，用定用分减去它，所得为亏初；用定用分加上它，所得为复满，即分别得到所求的小余。若要求辰刻，依照食甚的算法推算。求月食的更筹法：置望日辰分，乘四并退一位，得到更法；再除以五，得到筹法。求月食进入哪一更哪一筹：置亏初、食甚、复满的小余，在晨分以下的加上晨分，在昏分以上的减去昏分；都用更法除之，得到更数；不尽的再用筹法除之，得到筹数。以初更起算更、筹数，分别得出所进入的更和筹。求日、月食甚所在的宿次：置朔、望当日晨前夜半黄道日度及分，用统法折算日、月食甚小余并加上；月食还要另加半周天，然后分别按宿次除去，即得日、月食甚所在的宿次。求月食既时内、外的刻分：置月食交前、交后的分数，用三千七百反减；若不够减，表示月食不既。退二位列在上面，下面列七十四；二者相减后相乘并进一位，除以三十七，所得乘定用分，再除以泛用分，所得为食既以内的分数；用定用分减去它，余数为食既以外的分数。求日、月食带食出入时所能看见的食分：分别用食甚小余与日出分、日入分相减，余数为带食差。带食差达到定用分以上，表示出入时不带食。用带食差乘所食的分数，满定用分除之；若月食已经食既，则用食既以内分减带食差，余数乘所食分，再除以食既以外分，所得用食既分减去；若不够减，表示带食既出入。用所得数减去所食的分数，余数就是带食出、入时所能看见的食分。

译求日食从哪里开始：太阳在阳历时，初亏从西南开始，食甚在正南，复圆在东南；太阳在阴历时，初亏从西北开始，食甚在正北，复圆在东北。食分达到八分以上的，都从正西开始，复圆于正东。这是以午地为依据而言，实际还应察看黄道的斜直才能确定。求月食从哪里开始：月亮在阳历时，初亏从东北开始，食甚在正北，复圆在西北；月亮在阴历时，初亏从东南开始，食甚在正南，复圆在西南。食分达到八分以上的，都从正东开始，复圆于正西。这是以午地为依据而言，实际还应察看黄道的斜直才能确定。推算五星。五星历策：一十五度，约分二十一，秒九十。木星周率：四百七十九万八千五百二十六，秒九十二。周日：三百九十八，余一万零五百八十六，秒九十二。岁差：一百一十六，秒七十二。伏见度：一十三又二分之一。木星盈缩历。火星周率：九百三十八万二千五百六十，秒七十六。周日：七百七十九，余一万一千一百九十，秒七十六。岁差：一百一十六，秒一十三。伏见度：一十八。火星盈缩历。土星周率：四百五十四万八千四百三十一，秒八十五。周日：三百七十八，余一千零九十一，秒八十五。岁差：一百一十六，秒三十。伏见度：一十六又二分之一。土星盈缩历。金星周率：七百零二万四千三百二十一，秒三十四。周日：五百八十三，余一万零八百三十一，秒三十四。岁差：一百一十六，秒六十九。伏见度：一十一又二分之一。金星盈缩历。水星周率：一百三十九万四千零二，秒七。周日：一百一十五，余一万零五百五十二，秒七。岁差：一百一十六，秒四十。夕见晨伏度：一十五。晨见夕伏度：二十一。水星盈缩历。求五星天正冬至后平合的中积和中星：取天正冬至气积分，分别用各星的周率除它，若有余数，就用周率减去余数；将所得余数满统法折算为度，不满的再退位折算为分秒，这就是平合中积。然后重新排列计算，得到平合中星。再分别用前一段的变日加平合中积，用前一段的变度加平合中星；对于经退行的星则相应减去，便得到五星各变的中积和中星。求五星入历：分别用各星的岁差乘所求的积年，满周天分就除去；余数用统法折算为度，不满的退位折算为分秒，用它减去平合中星，所得就是平合入历的度分秒。求各变入历时，分别累加前一段的限度，所得就是五星各变入历的度分秒。求五星各变盈缩的定差：分别取各星各变的入历度分秒，在半周天以下为盈，达到半周天以上则除去半周天，作为缩。用五星历策的度数除它，所得为策数，余数为入策度分秒。再用该策下的损益率乘它，满一历策折算为一分，分满百折算为一度，用所得数增减该策下的盈缩积度，这就是五星各段的盈缩定差。求五星平合及各变的定积：分别取各星各变的中积，盈则加上盈缩定差，缩则减去盈缩定差，得到该段的定积日及分。再加上天正冬至的大余和约分，满统法就除去；余数从甲子起算，除去起算日，即得定日的日辰及分。求五星各变所入的月日：分别取各星各变的定积，加上天正闰日及约分，满朔策及约分除之，商数为月数，余数为入月以来的日数。月份从天正十一月起算，除去起算月，即得该星该段所入月份距经朔的日数及分。再根据该经朔日与此日的日辰相距，便得所在的月日。求五星平合及各变加时的定星：分别取各星各变的中星，盈则加上盈缩定差，缩则减去；其中金星加减两倍，水星加减三倍，然后得到五星各段的定星。以天正冬至加时的黄道日度为起点顺次命宿，便得该星该段加时所在的宿度及分秒。五星都以留作为后段初日的定星，其余依照此法计算。求五星各变初日晨前夜半的定星：分别用该段初行率乘该段加时分，满百折算一次；顺行则从该日加时定星中减去，退行则加上，所得就是该星该段初日晨前夜半定星。按前面的起宿方法命宿，即得所求。求各变的日率和度率：分别以该段日辰至后段日辰的相距数作为该段日率；以该段夜半定星与后段夜半定星相减，所得作为该段度率。求各变的平行分：分别取该段度率，用该段日率除它，所得就是该段平行的度分秒。求各变的总差：分别用该段平行分减去后段平行分，所得为泛差。将它与前段泛差相加，乘四再退一位，作为总差。如果前段没有平行分可相减而求泛差，就用后段初日行分减该段平行分，所得为半总差，乘二为总差。如果后段没有平行分可相减而求泛差，就用前段末日行分减该段平行分，所得为半总差，乘二为总差。对于再行的情况，用本段平行分乘十四，再除以十五，所得为总差。其中金星依照顺行各段的方法求取。求初日、末日行分：分别取该段总差的一半，加上或减去该段平行分。后段行分较少的，加上为初日，减去为末日；后段行分较多的，减去为初日，加上为末日。退行时，前段减去为初日，加上为末日；后段加上为初日，减去为末日。这就是该星该段初日、末日的行分。求每日晨前夜半的星行宿次：取该段总差，减去日率一后相除，所得为日差。逐日对初日行分递加或递减；后段行分少的逐日减去，后段行分多的逐日加上。这就是每日的行度及分秒。然后顺行加、退行减该星该段初日晨前夜半定星，依次命宿，即得每日夜半星行所在的宿次。直接求某日宿次：取所求日，减一后除以二，用日差乘所得数，再与初日行分相加或相减；后段行分少的减去，后段行分多的加上。再乘以所求日，得到积度；顺行则加、退行则减该星该段初日夜半宿次，便是所求日夜半宿次。

译求五星合、见、伏的行差：木、火、土三星，用该段初日星的行分减太阳行分，作为行差。金、水二星顺行时，用该段初日太阳行分减星行分，作为行差。金、水二星退行时，用该段初日星行分与太阳行分相加，作为行差。其中水星夕伏、晨见时，直接以太阳行分作为行差。求五星定合、定见、定伏的泛用积：木、火、土三星，分别以平合、晨疾、夕伏的定积直接作为定合、定见、定伏的泛用积。金、水二星分别取该段盈缩定差，其中水星取两倍；用该段行差除之为日数，不满的退位折算为分。在平合夕见、晨伏时，盈则从定积中减去、缩则加上，作为定合、定见、定伏泛用积；在退合夕伏、晨见时，盈则加上、缩则减去，作为定合、定见、定伏泛用积。求五星定合的定积、定星：木、火、土三星，用平合行差除该日盈缩分，得到距合差日；再用盈缩分减去它，得到距合差度。按差日、差度，盈则减、缩则加该星定合泛用积，得到该星定合定积、定星。金、水二星顺合时，用平合行差除该日盈缩分，得到距合差日；用盈缩分加上它，得到距合差度；按差日、差度，盈则加、缩则减该星定合泛用积，得到该星定合定积、定星。金、水二星退合时，用平合行差除该日盈缩分，得到距合差日；以盈缩分减去所得分，作为距合差度；按差日盈减缩加，按差度盈加缩减，再定其合泛用积，得到该星再定合定积、定星。都加上天正冬至大余及约分与定积相加，满统法除去，从甲子起算，除去起算日，即得定合日辰。以天正冬至加时黄道日度加定星，按宿次除去周天，即得定合所在宿次。求五星定见、定伏的定积：木、火、土三星，以泛用积中晨加、夕减一象；在半周天以下就自乘，以上则用一周天减去它，所得也自乘，再除以七十五。所得数乘该星的伏见度，再除以十五为差；用该段行差除之为日数，不满的退位折算为分。见则加、伏则减泛用积，得到该星定见、定伏定积。金、水二星用行差除该日盈缩分为日数。在夕见、晨伏时，盈则加、缩则减泛用积，作为常用积；夕伏、晨见时，盈则减、缩则加泛用积，作为常用积。若常用积在半周天以下，便是冬至后；在以上则除去半周天，余数为夏至后。分别在一象以下自乘，以上则用一周天减去，所得也自乘。冬至后晨、夏至后夕，用十八除；冬至后夕、夏至后晨，用七十五除。所得数乘该星伏见度，再除以十五为差；用该段行差除之为日数，不满的退位折算为分。冬至后晨见、夕伏，夏至后夕见、晨伏时，加到常用积上，作为该星定见、定伏定积；冬至后夕见、晨伏，夏至后晨见、夕伏时，从常用积中减去，作为该星定见、定伏定积。按前面的起宿方法命宿，即得定见、定伏的日辰。《宋史·志》第三十二：《律历》十二。○《纪元历》。崇宁年间的《纪元历》。推演上元上章执徐之年，到元符三年庚辰，积年为二千八百六十一万三千四百六十算；到崇宁五年丙戌，积年为二千八百六十一万三千四百六十六算。推算节气和朔日第一。日法：七千二百九十。期实：二百六十六万二千六百二十六。朔实：二十一万五千二百七十八。岁周：三百六十五日，余一千七百七十六。气策：一十五，余一千五百九十二太。朔策：二十九，余三千八百六十八。望策：一十四，余五千五百七十九。弦策：七，余二千七百八十九半。中盈分：三千一百八十五半。朔虚分：三千四百二十二。没限：五千六百九十七少。旬周：四十三万七千四百。纪法：六十。求天正冬至：取上元到所求年的积年，乘以期实，得到天正冬至气积分；满旬周除去，余数满日法相除为大余，不满的为小余。大余从己卯起算，除去起算日，即得所求年天正冬至的日辰及余数。求下一个节气：取天正冬至的大余、小余，加上气策；将四分之一称为少，四分之二称为半，四分之三称为太。若达到秒母，就进位到小余；小余满日法进位到大余；大余满纪法就除去。按前面的起算方法除去起算日，即得下一个节气的日辰及余数。求天正经朔：取天正冬至气积分，用朔实除去，余数为天正闰余；用它从气积分中减去，余数就是天正十一月经朔加时积分。满旬周除去，余数满日法相除为大余，不满的为小余。大余从己卯起算，除去起算日，即得所求年天正十一月经朔的日辰及余数。求弦、望及下一个朔的经日：取天正经朔的大余、小余，依次累加弦策，按前面的起算方法除去起算日，即分别得到弦、望及下一个朔的经日辰及余数。求没日：取有没的常气小余；凡常气小余达到没限的，就是有没之气。将它乘六十，用四十四万三千七百七十一减去所得数；余数满六千三百七十一相除为日数，不满的为余数。从该气初日的日辰起算，除去起算日，即为气内没日的日辰。求灭日：取有灭的经朔小余；凡经朔小余不满朔虚分的，就是有灭之朔。将它乘三十，满朔虚分相除为日数，不满的为余数。从该月经朔日的日辰起算，除去起算日，即为月内灭日的日辰。推算发敛。候策：五，余五百三十，秒五十五。卦策：六，余六百三十七，秒六。土王策：三，余三百一十八，秒三十三。岁闰：七万九千二百九十。月闰：六千六百七半。闰限：二十万八千六百七十半。辰法：一千二百一十五。半辰法：六百七半。刻法：七百二十九。秒法：六十。