步气朔第一

译求七十二候：分别取各中节的大余、小余，以其日辰起算，作为初候；加上候策，得到次候；再加候策，得到末候。各从己卯起算，除去起算日，即得所求的日辰。求六十四卦：分别取各中气的大余、小余，以其日辰起算，作为公卦用事日；加卦策，得到辟卦用事日；再加卦策，得到诸侯内卦用事日；加土王策，得到十二节开始时诸侯外卦用事日；再加土王策，得到大夫卦用事日；再加卦策，得到卿卦用事日。各从己卯起算，除去起算日，即得所求日辰。求五行用事：分别以四立节的大余、小余起算，即得春季木、夏季火、秋季金、冬季水开始用事的日期。以四季中气的大余、小余减去土王策，即得该季土开始用事的日期。各从己卯起算，除去起算日，即得所求日辰。七十二候及卦名与前一部历法相同。求中气距经朔的日数：取天正闰余，逐次加月闰，满日法折算为闰日，不满的为余数，即得该月中气距经朔的日数。因而求卦候时，分别依次累加或减去卦策、候策；中气前减，中气后加。分别得到该月卦、候距经朔的日数。求发敛加时：取所求的小余，乘二，满辰法相除为辰数；不满的乘五，满刻法相除为刻，不满的为分。辰数从子正起算，除去起算时刻，即分别得到加时所在的辰、刻及分。若为半辰数，就从子初起算。推算太阳运行。周天分：二亿一千三百一万八千一十七。岁差：七千九百三十七。周天度：三百六十五，约分二十五，秒七十二。象限：九十一，约分三十一，秒九。乘法：一百一十九。除法：一千八百一十一。秒法：一百。求每日盈缩分的先后数：取所求的盈缩分，乘以乘法，满除法相除，所得为该气的中平率；用它与后一个节气的中平率相减，所得为合差。取合差的一半，与该气的中平率相加或相减，得到初、末泛率。到后一个节气时加为初率、减为末率；分点以后减为初率、加为末率。又用乘法计算合差，按照除法除尽取一，得到日差；以半日差加上或减去初、末泛率，得到初、末定率。冬至以后减去初率、加上末率，春分以后加上初率、减去末率。用日差逐日累加或累减该节气的初定率，得到每天的盈缩分；冬至以后递减，春分以后递加。分别用每日盈缩分加减该气下的先后数。冬至以后，积盈为先，在缩时减去；夏至以后，积缩为后，在盈时减去。分点和至点以前的一个节气，没有后一个节气可供相减，都因用前一气的合差作为本气合差。其余依照前面的计算方法，求朏朒也如此。求经朔、弦、望所入的节气：取天正闰日及余数，若在气策以下，就用气策减去它，作为入大雪气；若在气策以上，就除去气策，再用气策减去余数，作为入小雪气；这就是天正十一月经朔所入的气日及余数。求弦、望及下一个朔所入的气，依次累加弦策，满气策就除去，即分别得到弦、望及下一个朔所入的气日及余数。求经朔、弦、望入气的朏朒定数：分别用所入气的小余乘该日的损益率，满日法相除；所得数用来增减该日下的朏朒积，分别得到定数。赤道宿度。斗宿：二十五度。牛宿：七度少。女宿：十一度少。虚宿：九度少，秒七十二。危宿：十五度半。室宿：十七度。壁宿：八度太。北方七宿：九十四度，秒七十二。。奎宿：十六度半。娄宿：十二度。胃宿：十五度。昴宿：十一度少。毕宿：十七度少。觜宿：半度。参宿：十度半。西方七宿：八十三度。井宿：三十三度少。鬼宿：二度半。柳宿：十三度太。星宿：六度太。张宿：十七度少。翼宿：十八度太。轸宿：十七度。南方七宿：一百九度少。角宿：十二度。亢宿：九度少。氐宿：十六度。房宿：五度太。心宿：六度少。尾宿：十九度少。箕宿：十度半。东方七宿：七十九度。考察各历法所列的赤道宿次，如果都立作整度，往往会失去真实的数值。现在依据宋朝浑仪校测的距度，分别定为太、半、少，作为常数，用来校验天道，最为精密接近实际。如果考察唐代，就使用唐代测得的数值；考察古代，就使用古代测得的数值；这样便分别得到各时代相应的宿度。求冬至赤道日度：用岁差乘所求积年，满周天分除去；余数用周天分减去，所得再满五千八百三十二相除为分，不满的退位折算为秒。分满百为度。从赤道虚宿七度之外起算并除去，直到余数不足一宿，即得所求年天正冬至加时太阳运行在赤道上的宿度及分秒。求春分、夏至、秋分的赤道日度：取天正冬至加时的赤道日度，依次累加象限，满赤道宿次就除去，即分别得到春分、夏至、秋分加时太阳所在的宿度及分秒。求四正以后赤道宿的积度：取四正的赤道宿全度，减去四正赤道日度及分，余数作为距四正后的度数；再依次累加赤道宿度，分别得到四正以后各宿的积度及分。求赤道宿积度所入的初限、末限：查看四正以后赤道宿的积度及分，在四十五度六十五分、秒五十四半以下的，作为入初限；在以上的，用象限减去它，余数作为入末限。求二十八宿黄道度：以四正以后赤道宿所入初限、末限的度及分，减去一百一度；余数乘以初限或末限的度及分，进位后满百为分，分满百为度。到后一个至点时从赤道宿积度中减去，分点以后则加上，得到该宿的黄道积度；再减去前一宿的黄道积度。属于四正的宿，先加象限，再减去前一宿的数值。这就是该宿的黄道度及分。分数取近似值，折算为太、半、少。黄道各宿的度数。斗宿：二十三度。牛宿：七度。女宿：十一度。虚宿：九度少七十二秒。危宿：十六度。室宿：十八度。壁宿：九度半。北方七宿共九十三度少七十二秒。。奎宿：十八度。娄宿：十二度太。胃宿：十五度半。昴宿：十一度。毕宿：十六度半。觜宿：半度。参宿：九度太。西方七宿共八十四度。井宿：三十度半。鬼宿：二度半。柳宿：十三度少。星宿：六度太。张宿：十七度太。翼宿：二十度。轸宿：十八度半。南方七宿共一百九度。角宿：十二度太。亢宿：九度太。氐宿：十六度少。房宿：五度太。心宿：六度。尾宿：十八度少。箕宿：九度半。东方七宿共七十八度少。

译以上黄道各宿的度数，是按照当今历法中岁差所在的位置推算确定的。向上考察古代，向下验证将来，都应根据岁差；岁差每移动一度，就依照算法推算出当时各宿度数的变化，然后才能推步七曜，知道它们所在的位置。如果直接求七曜所在的位置，就把所在的积度置于上面，减去以前的黄道宿积度，余数就是所在黄道宿的度数及分数。求天正冬至加时的黄道日度：用冬至加时的赤道日度、分、秒减去一百零一度，再用所得余数乘以冬至加时的赤道日度、分、秒，进位后，满一百为一分，分满一百为一度，这叫作黄赤道差；用它减去冬至赤道日度、分、秒，就是所求年份天正冬至加时的黄道日度、分、秒。求二十四节气加时的黄道日度：置所求年份冬至日躔的黄赤道差，用次年的黄赤道差减去它，再用余数乘以所求节气的序数，除以二十四，把所得数加上该节气的中积和约分；又根据该节气初日的先后数，先加后减；然后加上冬至加时的黄道日度，按各宿次序计算，即得到各节气加时太阳所躔黄道宿的度数、分、秒。如果该年冬至加时的赤道宿度为空，而分、秒在岁差以下，就加上前一宿的整度。至于求黄赤道差，仍依照上述算法计算。求二十四节气第一日晨前夜半的黄道日度：置日法，用该节气的小余减去它，所得余数另行放置；用该节气初日的盈缩分乘它，除以一万，所得数盈则加、缩则减于所置的副数；满日法为一度，不满的退位除为分、秒；将其加到该节气加时的黄道日度上，就得到该节气第一日晨前夜半的黄道日度、分、秒。以后每天加一度，并以每日盈缩分除以一百换算为分、秒，盈则加、缩则减，满一宿的度数就除去，即得到每天晨前夜半太阳所躔黄道宿的度数、分、秒。二十四节气初日晨前夜半的黄道日度，属于前一个节气，应从前一个节气开始摊算，才能分别得到所求数值。求每天午中的黄道日度：置一万分，用所入节气当天的盈缩分，盈则加、缩则减，并除以二，满一百为一分，不满为秒；将所得数加到该日晨前夜半的黄道日度上，就是该日午中太阳所躔黄道宿的度数及分数。求夏至加时的黄道日度：置天正冬至加时的黄道日度及分、秒，加上二至限及分、秒；满一宿的黄道度数就除去，剩余的就是夏至加时的黄道日度及分、秒。求每天午中黄道积度：用二至加时的黄道日度，计算到所求日午中的黄道日度，所得就是从二至以后算起的黄道积度及分数。求每天午中黄道积度所入的初限、末限：看二至后的黄道积度，在四十三度一十二分、秒八十七以下的为初限；超过此数的，用象限减去它，余数为入末限。积度满象限就除去，所得为二分后的黄道积度；在四十八度一十八分、秒二十二以下的为初限；超过此数的，用象限减去它，余数为入末限。求每天午中的赤道日度：取所求日午中黄道积度所入至后初限、分后末限的度数及分、秒，进三位，加二十万二千五十少，开平方后除之；所得数减去四百四十九度半。余数在初限的，直接加上二至赤道日度并按宿次计度；在末限的，用象限减去它，再加上二分赤道日度并按宿次计度，这就是每天午中的赤道日度。又取所求日午中黄道积度所入至后末限、分后初限的度数及分、秒，进三位，用三十万三千五十少减去它，开平方后除之；所得数用五百五十度半减去它。余数在初限的，直接加上二分赤道日度并按宿次计度；在末限的，用象限减去它，再加上二至赤道日度并按宿次计度，这也是每天午中的赤道日度。求太阳入宫的日期、时刻及分数：分别置入宫宿的度数、分、秒，用该日晨前夜半的日度减去它，余数乘以二十四，作为时实；以该日太阳运行的度数、分、秒作为法实，按法除之，所得为半时数；不满的进二位作为刻实，再乘以二十四，除以前面的法，所得为刻，不满的退位除为分。半时从子正起算，命数从一开始，便得到太阳入宫最初的正时、刻及分数。至于逐刻的日、时、分，旧历把它们均分到各日，是为了简略，未能详尽。现在只依照入宫的正式算法求取，才与天道相合。推算晷影和漏刻。二至限：一百八十二，分六十二，秒一十八。象限：九十一，分二十一，秒九。一象度：九十一，分二十一，秒四十三。冬至后初限、夏至后末限：六十二日，分二十。夏至后初限、冬至后末限：一百二十日，分四十二。以上各项分、秒的分母都同为一百。冬至岳台晷影常数：一丈二尺八寸三分。夏至岳台晷影常数：一尺五寸六分。昏明分：一百八十二少。昏明刻：二分三百六十四半。辰刻：八分二百四十三。半辰刻：四分一百二十一半。刻法：七百二十九。求午中入气：置所求日的大余及半法，用所入节气的大余、小余减去它们，所得就是该日午中入气的日数及余数。求午中中积：置该节气的中积，加上午中入气的日数及余数；余数以日法退位除为分、秒。这就是所求日午中的中积及分、秒。求午时正中的日期在冬至、夏至之后初限或末限中的位置：把午时正中的中积日及分数放入计算，作为进入冬至后的数；满二至限就减去，所得为进入夏至后的数。所得二至后数若在初限以下，就是入初限；若在初限以上，就再用二至限减去，余数就是入末限。求岳台午时正中的晷影定数：冬至后初限、夏至后末限，用百乘通日内的分数，再自乘作为实，置于一旁；用七百二十五除之，把所得加一十万六百一十七，再加上入限分数，折半作为法；以实除法，所得为分数，不足部分退位除作小分；分满十为一寸，寸满十为一尺。用此数减去冬至岳台晷影常数，即得所求午时正中晷影定数。夏至后初限、冬至后末限，则把百乘通日内的分数自乘作为实，置入限分数九倍后再折半，加一十九万八千七十五作为法。夏至前后若日期在半限以上，就减去半限，余数置于上，半限列于下；用上数减下数，所得乘上数并进二位，除以七十七，将所得加到法上作为定法，然后进行除法。

译以实除定法，所得为分数；不足部分退位除作小分。分满十为一寸，寸满十为一尺。用此数加上夏至岳台晷影常数，即得所求日午时正中的晷影定数。求每日太阳运行的累计度数：用午时正中入气后的余数乘以当天的盈缩分，除以日法。冬至后，盈数相加、缩数相减；夏至后，缩数相加、盈数相减。按照先加后减的顺序，作用于中积日、分、秒，遇到满数或不足时进退日期，即得所求太阳当日运行的度数、分、秒。求每日太阳在赤道内外的度数：置入所求日午时正中的太阳运行累计度数及分数。若未满二至限，在象限以下，就是冬至后的度数；在象限以上，就用二至限减去，作为夏至前的度数。若已满二至限，减去二至限，余数在象限以下，就是夏至后的度数；在象限以上，就用二至限减去，作为冬至前的度数。把前后两数相加置于上，象限列于下；用上数减下数，所得乘上数，冬至前后除以五百一十七，夏至前后除以四百，所得为度；不足部分退位除作分，加到二至前后的度数上。再用所得数减去象限，余数置于上，二至限列于下；用上数减下数，所得乘上数。度、分、秒都先用百乘通，然后再相乘。将计算退一位，以三十四万八千八百五十六除之，所得为秒；秒满百为分，分满百为度。这就是所求太阳黄道距赤道的内外度数和分数。冬至前后为外，夏至前后为内。求每日午时正中太阳距北极的度数：用每日午时正中黄道距赤道的内、外度数及分数，内减、外加一象限的度数及分数，即得每日午时正中太阳距北极的度数及分数。求每日的日出、日入分数，晨分、昏分以及半昼分：置所求日黄道距赤道的内外度数及分数，乘以三百六十三，进一位，再除以二百三十九。将所得加上或减去一千八百二十二的一半：赤道内减去，赤道外加上。所得就是所求每日的日出分数；用日法减去它，就是日入分数。用昏明分减去日出分数，得晨分；加上日入分数，得昏分；用日出分数减去半法，得半昼分。求每日昼夜刻数以及日出、日入的辰刻：置日出分数，乘二后进一位，满刻法为刻，不满为分，即得当日夜刻数；用百刻减去夜刻数，余数为昼刻数。把半夜刻数除以辰刻，所得为辰数；从子正起算，扣除命数之外，即得当日日出的辰刻；再加半个辰刻，就是从该时辰初刻起算的时刻。将昼刻数加上，满一个辰刻就进为一辰；从日出辰刻起算，扣除命数之外，即得日入的辰刻及分数。求每日各更、各点相差的刻数以及逐更逐点所对应的辰刻：置夜刻数，减去十五刻，除以五，得更差；再除以五，得点差。用昏明刻数加上日入辰刻，得初更辰刻；再逐次累加更差、点差，满辰刻及分数就减去，分别得到各更各点所对应的辰刻及分数。求每日距中度及每更差度：置所求日黄道距赤道的内、外度数及分数，乘以四千四百三十五，除以五千八百一十二，所得为度；不足部分退位除作分。内度加、外度减一百度七十二分七秒，所得为距中度。再用一百六十四度八十一分五十七秒减去距中度，余数乘四，退一位，即得每更差度。求昏时、晓时的五更以及攒点的中星：置距中度，加上当天午时正中的赤道日度，按宿次顺序推算，即为昏时所对应的星宿次序，并命名为初更中星。再加每更差度，推算得二更中星；逐次累加每更差度，满赤道宿度就减去，即得各更及攒点的中星。再加三十六度六十二分五十七秒，满赤道宿度就减去，即得晓时中星。求九服各地的晷影：分别在各地测量冬至、夏至的晷数，再将两数相减，余数为二至差数。如果某地在岳台以南，测得夏至晷影在表南，就把冬至、夏至两至晷数相加，作为二至差数。所求日期若在冬至后初限或夏至后末限，置岳台冬至晷影常数，用所求日岳台午时正中晷影定数减去它；余数乘该地二至差数，除以岳台二至差数一丈一尺二寸七分，所得再减该地冬至晷数，即得该地该日午中的晷影定数。所求日期若在夏至后初限或冬至后末限，置所求日岳台午时正中晷影定数，用岳台夏至晷影常数减去它；余数乘该地二至差数，除以岳台二至差数，所得加该地夏至晷数，即得该地该日午中的晷影定数。若该地夏至晷影在表南，就用所得数减去该地夏至晷数，余数就是该地该日午中的晷影定数，也在表南。若所得数多于该地夏至晷数，就减去夏至晷数，余数为该地该日午中的晷影定数，位置在表北。求九服各地的昼夜漏刻：分别在各地用下漏法测定当地冬至、夏至的夜刻数，只测得其中一个节至也可以，不一定非要同时测冬至和夏至。然后用五十刻减去这个数，余数就是至差刻。置所求日黄道距赤道的内外度数及分数，乘以至差刻，进一位，除以二百三十九，所得为刻；除不尽的部分，用刻法相乘，再除以八，所得为分。赤道内减、赤道外加五十刻，即得所求日夜刻数；用百刻减去夜刻数，余数为昼刻数。该日的日出、日入辰刻以及更点差刻、每更每点辰刻，都依照岳台法推求。推算月亮运行。转周分：二十万八百七十三分、九百九十秒。转周日：二十七日，余四千零四十三分、九百九十秒。朔差日：一日，余七千一百一十四分、九千零一十秒。望策：十四日，余五千五百七十九分。弦策：七日，余二千七百八十九分半。以上各项的秒母都是一万。七日：初数六千四百七十八，初约分八十九；末数八百一十二，末约分一十一。十四日：初数五千六百六十六，初约分七十八；末数一千六百二十四，末约分二十二。二十一日：初数四千八百五十四，初约分六十七；末数二千四百三十六，末约分三十三。二十八日：初数四千零四十三，初约分五十五。上弦：九十一度三十一分四十三秒。望：一百八十二度六十二分八十六秒。下弦：二百七十三度九十四分二十九秒。月球的平行度为十三度三十六分八十七太秒。

译以上各项的分母，分和秒都同为一百。求天正十一月经朔的入转时刻：把天正十一月经朔加时的积分置于位上，用转周的分和秒除它；除后有余数的，满日法除之，所得为日数，不满日法的为余秒。以日数起算，命日而不计算外的一日，就是这一年天正十一月经朔加时的入转日和余秒。如果把朔差的日数和余秒加上，满转周的日数和余秒就去掉，便是下一朔加时的入转日。求上弦、望、下弦的入转时刻：分别以该月经朔加时的入转日和余秒为基数，逐次加上弦策，按照前面的方法去掉并起算，便得到上弦、望和下弦经日加时的入转日及余秒。求朔、弦、望的入转朏朒定数：把入转余数置于位上，用该日算外的损益率乘它，满日法除之；所得数按照损益关系，对该日下的朏朒积进行增减，得到定数。四七日以下的余数如果不超过初数，就用初率乘它，初数除之，再按照损益关系对朏朒数进行增减，得到定数。如果超过初数，就用余数减去初数，用所得余数乘末率，末数除之；用初率减去这个结果，再把余数加到朏朒数上，得到定数。十四日以下的余数如果达到或超过初数，就用初数减去余数，再乘末率，末数除之，所得就是朏朒定数。求朔、弦、望的定日：分别把经朔、弦、望的小余置于位上，按照入气、入转朏朒定数，朏数就减、朒数就加；满了就进一日，不足就退一日，以己卯日起算，命日而不计算外的一日，各自得到定日日辰和余数。定朔的干支名称与下一个朔的干支名称相同，便是大月；不同，便是小月；该月内没有中气的，就是闰月。凡是编注历书，要察看定朔的小余：秋分以后若在日法四分之三以上，就进一日；春分以后，定朔日出分的差值若与春分之日相同，就把它三分取一，用来减去四分之三；定朔小余达到这一数值以上的，也进一日；如果交食亏初在日落以前发生，定朔就不进一日。弦、望的定日小余如果不满日出分，就退一日；望日如果发生交食，亏初在日出以前，就把定望的小余进到满日出分，也进一日。又由于月亮沿九道运行有迟有疾，月份有三次大、两次小；太阳运行有盈有缩，累积增减后便有四次大、三次小，这是数理自然如此。若要大致遵循通常的仪法，就应察看加时的早晚，随着接近的情况进退，使其不超过三大两小。计算定朔、定弦、定望发生时太阳所在的度数：取定朔、定弦、定望的约余数，另复制一份，用它乘以当天的盈缩分，再除以一万；所得数，盈时加在副数上，缩时从副数中减去。满一百为一分，分满一百为一度，再加到当天半日的度数上，依次推算，即可得到各定朔、定弦、定望加时太阳运行所在的黄道宿次。求平交日辰：把交终的日数和余秒置于位上，用该月经朔加时的入交泛日及余秒减去它，余数就是平交在该月经朔加时以后所入的日数和余秒。把它加减在该月经朔的大余、小余上，大余以己卯起算，命日而不计算外的一日，就是平交的日辰和余秒。求下一次交会时，把交终的日数和余秒加上；大余满纪法就去掉，仍按前法起算，就是下一次平交的日辰和余秒。求平交的入转朏朒定数：把平交小余置于位上，加上该日夜半的入转余数，用它乘该日的损益率，满日法除之；所得数按照损益关系，对该日下的朏朒积进行增减，得到定数。求正交日辰：把平交小余置于位上，按照平交入转朏朒定数，朏数减、朒数加；满了进日，不足退日，便是正交的日辰和余秒。正交日辰与定朔日辰相距的日数，就是正交发生在该月的哪一天。求经朔加时的中积：分别把该月经朔加时入气的日数和余数，加上该气的中积及余数；日数按度数计算，余数用日法退位除，换算为分秒，便得到该月经朔加时的中积度数和分秒。求正交加时的黄道月度：把平交在经朔加时以后所入的日数和约余秒置于位上，以日法通日并纳入余数，进一位后除以五千四百五十三，所得为度数；不足的退位除，换算为分秒。把它加到该月经朔加时的中积上，再加上冬至加时的黄道日度，依次起算，便得到该月正交加时月亮在黄道上的宿度及分秒。若要求下一次交会，就加上交终的度数及分秒后起算，即得所求。求黄道宿的积度：把正交加时黄道宿的整度置于位上，减去正交加时月亮在黄道宿中的度数及分秒，余数就是距交会后的度数及分秒；再逐宿累加黄道宿度，便分别得到正交以后各宿的积度及分秒。求黄道宿积度所入的初限、末限：分别把黄道宿积度及分秒置于位上，满交象度及分就除去；在半交象以下的，属于初限；在半交象以上的，就用交象度减去它，余数就是所入的末限。入交积度和交象度，都见于交会术。月亮运行所交会的各道中，冬季进入阴历，夏季进入阳历，月亮沿青道运行。冬至、夏至以后，青道的半交点在春分所在的宿，位于黄道以东；立冬、立夏以后，青道的半交点在立春所在的宿，位于黄道东南方；到达与这些宿相冲的宿时也是如此。冬季进入阳历，夏季进入阴历，月亮沿白道运行。冬至、夏至以后，白道的半交点在秋分所在的宿，位于黄道以西；立冬、立夏以后，白道的半交点在立秋所在的宿，位于黄道西北方；到达与这些宿相冲的宿时也是如此。春季进入阳历，秋季进入阴历，月亮沿朱道运行。春分、秋分以后，朱道的半交点在夏至所在的宿，位于黄道以南；立春、立秋以后，朱道的半交点在立夏所在的宿，位于黄道西南方；到达与这些宿相冲的宿时也是如此。春季进入阴历，秋季进入阳历，月亮沿黑道运行。春分、秋分以后，黑道的半交点在冬至所在的宿，位于黄道以北；立春、立秋以后，黑道的半交点在立冬所在的宿，位于黄道东北方；到达与这些宿相冲的宿时也是如此。四时分离而形成八节，到了阴阳交会的地方，都同黄道相交，所以月亮的运行有九道。分别用月亮所进入的初限、末限度数和分数减去一百零一度，再用所得余数乘所入初限、末限的度数和分数，除以二并退一位作为分数；分满一百进为一度，依次起算，称为月道与黄道的泛差。太阳以赤道以内为阴、以赤道以外为阳；月亮以黄道以内为阴、以黄道以外为阳。因此，月亮正交时，进入夏至以后宿度以内的属于同名，进入冬至以后宿度以内的属于异名。属于同名的，置月道与黄道泛差，九乘之、八除之，所得为定差；半交以后、正交以前用定差减，正交以后、半交以前用定差加。这样加减，出入六度，正与黄道、赤道相交时同名的差数相同。若两者逐渐变得不同，就随着交会所在的位置而迁移变化，并无固定不变的规律。

译仍用正交度数与秋分度数的距离乘定差，满象限除之，所得就是月道与赤道的定差；前面应加的，这里改为减，前面应减的，这里改为加。属于异名的，置月道与黄道泛差，七乘之、八除之，所得为定差；半交以后、正交以前用定差加，正交以后、半交以前用定差减。这样加减，出入六度，正是黄道、赤道相交时异名的差数；若两者逐渐变得相同，就随着交会所在的位置而迁移变化，并无固定不变的规律。仍用正交度数与春分度数的距离乘定差，满象限除之，所得就是月亮运行轨道与赤道的定差；前面应加的，这里改为减，前面应减的，这里改为加。把这些数都加减在黄道宿积度上，便得到九道宿积度；再用前一宿的九道积度减去它，便得到该宿在九道中的度数和分数。分数按接近的数值约为太、半、少。论定春、夏、秋、冬四时，以四时太阳所在的宿度为准。求正交加时月亮所在的九道宿度：用正交加时黄道日度及分数减去一百零一度，所得余数乘正交度数及分数，除以二并退一位作为分数；分满一百进为一度，依次起算，称为月道与黄道的泛差。属于同名的，置月道与黄道泛差，九乘之、八除之，所得为定差，用来相加；仍用正交度数与秋分度数的距离乘定差，满象限除之，所得为月道与赤道的定差，用来相减。属于异名的，置月道与黄道泛差，七乘之、八除之，所得为定差，用来相减；仍用正交度数与春分度数的距离乘定差，满象限除之，所得为月道与赤道的定差，用来相加。把正交加时的黄道月度及分数置于位上，按上述两种定差进行加减，便得到正交加时月亮所在的九道宿度及分数。求定朔、弦、望加时月亮所在的黄道宿度：取定朔加时太阳在黄道上的宿次。凡是合朔加时，月亮正运行在太阳下面，与太阳同度，这就是加时月亮所处的宿次。分别把弦、望的度数及分秒，加到相应的弦、望加时太阳黄道宿度上；满一宿就除去一宿，按前法计数，便分别得到定朔、弦、望加时月亮所在的黄道宿度及分秒。求定朔、弦、望加时九道月度：分别把定朔、弦、望加时月亮离开黄道的宿度及分秒，加上前一宿正交点之后的黄道积度，得到定朔、弦、望加时正交点之后的黄道积度。按照前法求九道积度，再减去前一宿的九道积度，余数就是定朔、弦、望加时月亮所处九道宿度及分秒。合朔加时如果不在正交点，太阳就在黄道上，月亮就在九道上。月亮进入各宿的度数虽然有多少不同，但考察其南北两极，若符合绳墨准则，所以说月亮暗中运行在太阳下面，与太阳同度。求定朔午中入转：用经朔小余减去半法，所得余数用来加减经朔加时的入转数；经朔小余少于半法，就加上它；多于半法，就减去它。所得就是经朔午中入转。如果定朔大余有进退，也要相应加减转日；没有进退，就以经朔作为定朔。按日计数，计到次日之外，便得到所求结果。下个月也照此求取。求每日午中入转：以定朔午中入转的日数、余数和秒数为起点，每日累加一日；满一转的周日及余秒就除去，按前法计数，便得到每日午中入转的日数及余秒。求晨昏月度：取当天的晨分，乘当天算外的转定分，再除以日法，所得为晨转分；用转定分减去它，余数为昏转分。又用朔、弦、望的定小余乘转定分，除以日法，所得为加时分；用它减去晨、昏转分，所得为前数；如果不够减，就反过来相减，余数为后数。然后在加时月度上加前数、减后数，便是晨、昏时月亮所在的宿度及分秒。求朔、弦、望的晨昏定程：分别用本朔昏时的定月度减去上弦昏时的定月度，余数为朔后昏定程；用上弦昏时的定月度减去望昏时的定月度，余数为上弦后昏定程；用望晨时的定月度减去下弦晨时的定月度，余数为望后晨定程；用下弦晨时的定月度减去后朔晨时的定月度，余数为下弦后晨定程。求每日转定度：把每一段定程所相隔的日期内每日转定分累计起来，与晨昏定程相减，余数除以相隔的日数，所得为日差；定程大于累计数就加，定程小于累计数就减。把日差加到或减去每日转定分，便得到每日转定度及分秒。求每日晨昏月：以朔、弦、望时的晨昏月度为基础，加上每日转定度及分秒；满一宿就除去一宿，便是每日的晨昏月度。凡编注历书，朔日注昏月，望日后的第二天注晨月。以上求月度的方法，是为了穷究历算术的精微；如果只求简便快捷，就依照后面的算法直接求取。求经朔加时平行月：分别取该月经朔入气的日数及余秒，把余数按日法退除为分秒；加上该气的中积日及约分，按日计数为度，便是经朔加时平行月的积度及分秒。求所求日加时平行月：取所求日的大余及加时小余，减去该月经朔的大余、小余，余数为从经朔加时以后到所求日的日数及余数。用这个日数乘月平行度及分秒，列在上位；又用余数乘月平行度及分秒，满日法除为度，不满的退除为分秒。把两部分相加，用来加经朔加时平行月；满周天度及分秒就除去，便得到所求日加时平行月的积度及分秒。求所求日加时入转：用所求日加时入经朔加时后的日数及余数，加上经朔加时入转的日数及余秒；满一转的周日及余秒就除去，按日计数，计到次日之外，便得到所求结果。余数先按日法退除为分秒。求所求日加时定月：取所求日加时的入转分，用该日算外的加减差乘它，除以一百为分；分满一百进为度，再加减其下所列的迟疾度，得到迟疾定度。然后迟时减、疾时加于所求日加时平行月，便得到定月。分别加上天正冬至加时的黄道日度并按度计数，便得到所求日加时月亮离开黄道的宿度及分秒。入转若在第四日或第七日，就按求朏朒的方法计算。《志》第三十三，《律历》十三。○《纪元历》。推算交会。交终分：一十九万八千三百七十七，秒八百八十。交终日：二十七，余一千五百四十七，秒八百八十。交中日：一十三，余四千四百一十八，秒五千四百四十。朔差日：二，余二千三百二十，秒九千一百二十。望策：一十四，余五千五百七十九。以上各项的秒母都是一万。交率：三百二十四。交数：四千一百二十七。交终度：三百六十三，约分七十九，秒四十四。

译交中度：一百八十一，约分八十九，秒七十二。交象度：九十，约分九十四，秒八十六。半交象度：四十五，约分四十七，秒四十三。日食阳历限：三千四百，定法三百四十。阴历限：四千三百，定法四百三十。月食限：六千八百，定法四百四十。以上各项的分母、秒母都同为一百。推天正十一月经朔加时入交：取天正十一月经朔加时的积分，用交终分及秒除去；余数满日法为日数，不满的为余秒，即天正十一月经朔加时入交的总日数及余秒。求下一朔和望的入交：以天正十一月经朔加时入交的总日数及余秒为基础，求下一朔就加朔差，求望就加望策；满交终日及余秒就除去，便分别得到下一朔和望加时入交的总日数及余秒。如果减去经朔、望的小余，便分别得到朔、望夜半入交的总日数及余秒。求定朔、望夜半入交：以经朔、望夜半入交的总日数及余秒为基础，察看定朔、望的日辰是否有进退；有进退的，交日也随之进退；没有进退的，就以经值作为定值，分别得到所求结果。求下一定朔夜半入交：分别以定朔夜半入交的总日数及余秒为基础，大月加二日，小月加一日，其余都加五千七百四十二、秒九千一百二十，便是下一朔夜半入交。若求下一日，就逐日累加一日；满交终日及余秒都除去，便得到每日夜半入交的总日数及余秒。求定朔、望加时入交：取经朔、望加时入交的总日数及余秒，根据入气、入转的朏朒定数，朏则减、朒则加，便得到定朔、望加时入交的总日数及余秒。求定朔、望加时月亮运行入交的积度：取定朔、望加时入交的总日数及余秒，用日法通乘日数并纳入余数，进一位后除以五千四百五十三为度；不满的退除为分，便是定朔、望加时月亮运行入交的积度及分。每日夜半也照此求取。求定朔、望加时月亮运行入交的定积度：取定朔、望加时月亮运行入交的积度及分，根据定朔、望加时入转的迟疾度，迟则减、疾则加；满或不足时，就进退交终度及分。这就是定朔、望加时月亮运行入交的定积度及分。每日夜半也照此求取。求定朔、望加时月亮运行入阴历、阳历的积度：取定朔、望加时月亮运行入交的定积度及分，在交中度及分以下的，就是入阳历积度；在交中度及分以上的，除去交中度及分，余数就是入阴历积度。每日夜半也照此求取。求定朔、望加时月亮距黄道的度数：察看月亮进入阴历、阳历的积度及分，在交象度以下就是进入少象；在交象度以上，就用交中度减去它，余数就是进入老象。把所入老、少象的度数及分列在上面，把交象度列在下面，用上数减下数，余数乘上数，除以五百；所得数用来减所入老、少象的度数及分，余数再列在上面，把交中度列在下面，用上数减下数，余数乘上数，满一千三百七十五除之，所得为度，不满的退除为分，即为定朔、望加时月亮距黄道的度数及分。每日夜半也照此求取。求朔、望加时入交的常日：取该月经朔、望加时入交的总日数及余秒，根据该月入气的朏朒定数，朏则减、朒则加；满或不足时就进退其日，便得到朔、望加时入交的常日及余秒。接近交初点的叫交初，在二十六日、二十七日为交初；接近交中点的叫交中，在一十三日、一十四日为交中。求日食、月食食甚定数：把该朔、望入气和入转的朏朒定数按同名相加、异名相减，另行列置；用定朔、望加时入转算外的损益率乘它，除以日法。定朔、望若按算外在第四日、第七日，就察看其余数是否在初数以下：在初数以下，以初率乘之，除以初数；在初数以上，以末率乘之，除以末数。将所得数察看入转情况：应为朒的，依照其损益处理；应为朏的，就用益数减、损数加到前面另列的数上。再用朏减、朒加经朔、望小余，作为总余数；满或不足时，进退大余。日食时察看总余数：若在半法以下，就是中前。把半法列在下面，用上数减下数，余数乘上数，除以一万九百三十五，所得为差；用总余数减去此差，就是食甚定余；再用半法减它，就是午前分。若总余数在半法以上，就减去半法，作为中后；把半法列在下面，用上数减下数，余数乘上数，除以日法，所得为差；把此差加到总余数上，就是食甚定余；再减去半法，就是午后分。月食时察看总余数：若在半法以上，先减去半法；余数在一千八百二十二半以下就自乘，超过的则用半法减去它后自乘；除以三万，所得用来减总余数，就是食甚定余。若总余数不足半法，在日出分的三分之二以下，就把它列在上位；超过的，用日出分减去它，余数加倍，也列在上位。再把日出分乘四除三，列在下位；用上数减下数，余数乘上数，除以一万五千，所得加到总余数上，就是食甚定余。求日食、月食食甚的辰刻：把食甚定余加倍，用辰法除，所得为辰数；余数乘五，满刻法除为刻，不满的为分。以子正为起点按辰数计数，计到次位之外，便是食甚的辰刻及分。若加半辰，就从子初起算。求日食、月食食甚入气：把食甚的大余、小余及食定小余，加上定朔、望大余，用这些数与经朔、望的大余、小余相减。取该朔、望食甚的大余、小余，减去经朔、望的大余、小余；余数用来加减经朔、望入气的日数和余数，经朔、望数少就加，多就减。这就是日食、月食食甚入气的日数及余秒。分别取食甚入气的日数及余秒，加上该气的中积；余数按日法退除为分，便是日食、月食食甚的中积及分。求日食、月食食甚的日行积度：取食甚入气的余数，乘以所入气的盈缩分，除以日法；再加减该日的先后数，至前则加，分后则减。把先加后减的数加到或减去日食、月食食甚的中积，便是日食、月食食甚的日行积度及分。

译求气差：取日食食甚的日行积度及分，满二至限就除去；余数在象限以下为初限，在象限以上就用二至限减去它，余数为末限。两者都自乘并进二位，满三百四十三除之；所得用来减二千四百三十，余数为气差。再乘午前、午后分，除以半昼分，所得用来减气差，便是气差定数。在冬至后的末限、夏至后的初限，交初时减，交中时加。在夏至后的末限、冬至后的初限，交初时加，交中时减。除以半昼分；所得数若在气差以上，就用气差反减所得数，余数中原应加的改为减，原应减的改为加。求刻差：取日食食甚的日行积度及分，满二至限就除去；把余数列在上面，把二至限列在下面，用上数减下数，余数乘上数并进二位，满三百四十三除之，所得为刻差。再乘午前、午后分并加倍，除以半法，便是刻差定数。冬至后食甚在午前、夏至后食甚在午后时，交初加，交中减。冬至后食甚在午后、夏至后食甚在午前时，交初减，交中加。除以半法；所得若在刻差以上，就把刻差加倍，再用所得数减去它，余数就是刻差定数，并依照相应规则加减。求朔入交定日：取朔入交常日及余秒，分别加减气差、刻差的定数；交初加三千一百，交中减三千，便得到朔入交定日及余秒。求望入交定日：取望入转的朏朒定数，乘以交率，除以交数；所得数用朏减、朒加到入交常日的余数上，满或不足时进退其日，便得到望入交定日及余秒。求月亮进入阴历、阳历的情况：察看朔、望入交定日及余秒，在交中日及余秒以下为月在阳历；在交中日及余秒以上，则减去交中日，作为月在阴历。求进入食限的交前、交后分：察看朔、望时月亮运行所入的阴历、阳历；不足一日的为交后分，在一十三日前后者就用交中日反减，作为交前分。察看交前分、交后分，分别在食限以下的，便是进入食限。求日食分数：用交前分、交后分分别减去阴历、阳历食限，余数除以定法，所得为日食的大分；不尽的退除为小分。大分以十为满限计数，便得到日食分数。日食若达不到一大分，是因为运行势头稍微接近交道，日光受到轻微遮蔽，所以有时会食，有时不会食。求月食分数：察看望时交前分、交后分，在二千四百以下的就是食既；在二千四百以上的，用食限减去它，余数除以定法，所得为月食的大分；不尽的退除为小分。大分以十为满限计数，便得到月食分数。求日食泛用分：取交前分、交后分，各自相乘并退二位；阳历除以一百九十八，阴历除以三百一十七，所得分别用来减五百八十三，余数就是日食泛用分。求月食泛用分：取交前分、交后分各自相乘并退二位，除以七百四，所得用来减六百五十六，余数就是月食泛用分。求日食、月食定用分：取日食、月食泛用分，另列一份；用食甚加时入转算外的损益率乘它，除以日法。若算外在第四日、第七日，就依照食定余数求取。所得数，应为朒的依照其损益处理，应为朏的就用益数减、损数加到另列的数上，这就是日食、月食定用分。求月食既的内分、外分：取月食交前分、交后分，自相乘并退二位，除以二百四十九；所得用来减二百三十一，再用余数乘定用分，除以泛用分，便是月食既内分；用定用分减既内分，余数为既外分。求日食、月食亏初、复末、满的小余：取日食、月食食甚小余，分别减去定用分，便是亏初；分别加上定用分，便是复末、满。月食已经食既的，用既内分减去它，便是初既；加上既内分，便是生光。这样就分别得到所求的小余。若要求时刻，就依照食甚的方法计算。求月食更点法：取月食食甚所入日的晨分，加倍后减去七百二十九，余数乘五，为更法；再除以五，为点法。求月食所入的更、点：取亏初、食甚、复末的小余；在晨分以下就加晨分，在昏分以上就减去昏分。余数除以更法为更数，不满的再除以点法为点数。更数从初更起计，计到次位之外，便分别得到所入的更、点。求日食从哪里开始：太阳在阳历时，初亏起于西南，食甚在正南，复圆于东南；太阳在阴历时，初亏起于西北，食甚在正北，复圆于东北。日食达到八分以上的，都从正西开始，在正东复圆。这是以午地为基准来论述的。求月食从哪里开始：月亮在阳历时，初亏起于东北，食甚在正北，复圆于西北；月亮在阴历时，初亏起于东南，食甚在正南，复圆于西南。月食达到八分以上的，都从正东开始，在正西复圆。这也是以午地为基准来论述的。求日食、月食在日月出入时仍带食所能见到的分数：分别用食甚小余与日出分、日入分相减，余数为带食差；用它乘所食分数，满定用分除之。月食已经食既的，用既内分减带食差，余数进一位后除以既外分，所得用来减既分，便是月亮带食出入时所能见到的分数；不足以减的，就是带食既而出入。再用它减所食分数，便是日月出入时带食所能见到的分数。食甚在白天时，晨时是食分逐渐增加，昏时是食分已经减退；食甚在夜间时，晨时是食分已经减退，昏时是食分逐渐增加。求日食、月食食甚所在的宿次：取食甚时太阳运行的积度，月食还要加上半周天。加上天正冬至加时太阳的黄道日度并按度计数，便分别得到日、月食食甚所在的宿度及分。推算五星。木星周率：二百九十万七千八百七十九，秒六十四。周差：二十四万五千二百五十三，秒六十四。历率：二百六十六万二千六百三十六，秒二十二。周日：三百九十八，约分八十八，秒六十。历度：三百六十五，约分二十四，秒五十。历中度：一百八十五，约分六十二，秒二十五。历策度：一十五，约分二十一，秒八十五。伏见度：一十三。木星盈缩历。火星周率：五百六十八万五千六百八十七，秒六十四。周差：三十六万四百一十四，秒四十四。

译历率：二百六十六万二千六百四十七，秒二十。周日：七百七十九，约分九十二，秒九十七。历度：三百六十五，约分二十四，秒六十五。历中度：一百八十二，约分六十二，秒三十二半。历策度：二十五，约分二十一，秒八十六。伏见度：一十九。火星盈缩历。土星周率：二百七十五万六千二百八十八，秒七十八。周差：九万三千六百六十二，秒七十八。历率：二百六十六万九千九百二十五，秒九十。周日：三百七十八，约分九，秒一十七。历度：三百六十六，约分二十四，秒四十九。历中度：一百八十三，约分一十二，秒二十四半。历策度：一十五，约分二十六，秒二。伏见度：一十七。土星盈缩历。金星周率：四百二十五万六千六百五十一，秒四十三半。合日：二百九十一，约分九十五，秒一十四。历率：二百六十六万二千六百九十六，秒一十六。周日：五百八十三，约分九十，秒二十八。历度：三百六十五，约分二十五，秒三十二。历中度：一百八十二，约分六十二，秒六十六。历策度：一十五，约分二十一，秒八十九。伏见度：一十半。金星盈缩历。【原文“HT5」SS〗”疑为OCR乱码，水星周率：八十四万四千七百三十八，秒五。合日：五十七，约分九十三，秒八十一。历率：二百六十六万二千七百九十四，秒九十五。周日：一百一十五，约分八十七，秒六十二。历度：365度，约分26，秒68。历中度：182度，约分63，秒34。历策度：15度，约分21，秒94.5。晨伏夕见：14日。夕伏晨见：19日。水星盈缩历。推算五星在天正冬至后的平合，以及各段的中积、中星：先放置气积分，分别用该星的周率除它，所得为周数。除不尽的，作为前一合。用周率减去所得数，余数满日法折算为日，不满的退位除算为分、秒，这就是该星在天正冬至后的平合中积；以此标定为平合中星，再把各段的常日、常度逐段累加，便得到各段的中积和中星。遇到退行的各段，则用常度减去退行度数，即为该段中星。求木、火、土三星平合及各段入历：放置该星的周数，求出冬至后的合日后，都加一数再置入。用周差乘它，满该星历率就除去；余数满日法折算为度，不满的退位除算为分、秒，这就是该星平合入历的度、分、秒。再按该段限度依次累加，便得到各段入历。求金、水二星平合及各段入历：放置气积分，分别用该星历率除去；余数满日法折算为度，不满的退位除算为分、秒，再加到平合中星上，就是该星在天正冬至后的平合入历度、分、秒；再按该星各段限度依次累加，便得到各段入历。求五星平合及各段的盈缩定差：分别放置该星该段的入历度、分；若低于历中，便属盈；若高于历中，就减去历中，余数属缩。用该星历策除它，所得为策数；除不尽的，作为入策度、分。以策数起算，算外，以该策的损益率相乘，按历策除之，作为分；分满百进为度。用它损益相应的盈缩积，就是该星该段的盈缩定差。求五星平合及各段的定积：分别放置该星该段的中积，盈则加上盈缩定差，缩则减去盈缩定差，即得该段定积日、分；再加天正冬至大余及约分，即为定日、分。用六十除去盈纪法，不尽的从己卯起算，算外，便得到日辰。求五星平合及各段所在的月日：分别放置该段定积，加上天正闰日及约分，满朔策及约分除之，所得为月数；余数为入月以来的日数及分。以天正十一月起算月数，算外，就是该星该段进入该月后距经朔的日数及分；再以日辰相距推得定朔的月、日。求五星平合及各段加时的定星：分别放置该段中星，以盈加、缩减该段盈缩定差；金星将其加倍，水星乘三，之后才可以进行加减。这就得到五星各段的定星；加上天正冬至加时黄道日度并依次起算，就是该星该段加时所在的宿度及分、秒。五星都以前留作为前段初日的定星，后留作为后段初日的定星，其余依照此法计算。求五星各段初日晨前夜半的定星：分别用该段初行率乘该段加时分，除以百约简，再按顺行减、退行加的规则，用它修正当日加时定星，即为该段初日晨前夜半定星；按前法加以起算，就得到所求结果。求各段的日率、度率：分别以该段日辰到后段日辰的距离作为该段日率；以前段夜半定星与后段夜半定星相减，作为该段度率及分、秒。求各段的平行度：分别放置该段度率及分、秒，用该段日率除之，就是该段平行度及分、秒。求各段总差：分别以该段平行分减后段平行分，余数为泛差；再加上前段泛差，乘四后退一位，作为总差。若前段没有可相减的平行分而无法求泛差，就用后段初日行分减该段平行分，余数为半总差，乘二便是总差。若后段没有可相减的平行分而无法求泛差，就用前段末日行分减该段平行分，余数为半总差，乘二便是总差。晨迟的末段，考察该段没有平行分时，就用前面初段末日行分减晨迟末段平行分，作为半总差；若是退行，各自放置本段平行分，乘十四再除以十五，作为总差。金星在这里按照顺行各段的方法代入计算，即得所求。夕迟的初段，考察前段没有平行分时，就用后面末段初日行分减夕迟初段平行分，作为半总差。

译求各段初日、末日的行分：分别将该段总差折半，与该段平行分相加或相减。后段平行分较多的，减去它作为初日行分，加上它作为末日行分；后段平行分较少的，加上它作为初日行分，减去它作为末日行分。若属于退行，前段减去它为初日，加上它为末日；后段加上它为初日，减去它为末日。分别得到该星该段初日、末日的行度及分、秒。若前后两段的平行分都多或都少，就取平均填写；本段总差不足大分的，也取平均填写。求每日晨前夜半的星行宿次：放置该段总差，减去日率一后除之，所得为日差；逐日损益初日行分。后行分较少，就递减；后行分较多，就递增。得到每日的行度及分、秒；然后按顺行加、退行减的规则，从该段初日晨前夜半的宿次起算，即为每日晨前夜半星行所在的宿次。直接求某日宿次：放置所求日数，减一后折半，用日差相乘，再与初日行分相加或相减；后行分较少则减，较多则加。再乘以所求日数，作为积度；然后按顺行加、退行减的规则，从该段初日宿次起算，即得到所求日的宿次。求五星平合及见、伏所入的节气：放置定积，用气策及约分除之，所得为气数；余数为入气以来的日数及分、秒。以天正冬至起算气数，算外，即得五星平合及见、伏所入的气日及分、秒。定积满岁周日及分，就除去整周，余数是在下一年冬至之后。求五星合、见、伏的行差：木、火、土三星，用该段初日星行分减太阳行分，余数为行差。金、水二星顺行时，用该段初日太阳行分减星行分，余数为行差。金、水二星退行时，用该段初日星行分与太阳行分相加，作为行差。求五星定合及见、伏的泛积：木、火、土三星，分别取平合、晨疾、夕伏的定积，直接作为定合、定见、定伏的泛积。金、水二星分别放置该段盈缩定差，其中水星加倍；用该段行差除之为日，不满的退位除算为分、秒。处于平合、夕疾、晨伏时，就盈减、缩加定积，作为定合、定见、定伏泛积；处于退合、夕伏、晨见时，就盈加、缩减定积，作为定合、定见、定伏泛积。求五星定合的定积、定星：木、火、土三星，用平合行差除该日先后数，作为距合差日；用先后数减去它，作为距合差度；将差日、差度按后加先减的规则处理，再加到该星定合泛积上，便是该星定合日的定积、定星。金、水二星顺合时，用平合行差除该日先后数，作为距合差日；用先后数加上它，作为距合差度；将差日、差度按先加后减的规则处理，再加到该星定合泛积上，便是该星定合日的定积、定星。金、水二星退合时，用退合行差除该日先后数，作为距合差日；用先后数减去它，作为距合差度；差日按先减后加、差度按先加后减的规则，再修定合泛积，便是该星重新确定的合积、星位。各自加冬至大余及约分到定积上，满纪法就除去，从己卯起算，算外，即得定合日辰；再以冬至加时黄道日度加定星，按宿次除去整周，即得定合所在宿次。求木、火、土三星定见、定伏的定积日：分别放置该星定见、定伏的泛积；晨见加、夕见减象限日及分、秒。若在二至限以内，就将其自乘；若超过二至限，则用岁周减它，余数也自乘。除以百约简为分，再乘该星伏见度，除以十五，得到差；用该差除以该段行差，所得为日，不满的退位除算为分、秒。见则加到泛积，伏则从泛积中减去，作为定积；按前法起算，即得日辰。求金、水二星定见、定伏的定日：夕见、晨伏时，用行差除该日先后数，所得为日；按先加后减的规则处理泛用积，作为常用积。晨见、夕伏时，用行差除该日先后数，所得为日；按先减后加的规则处理泛用积，作为常用积。常用积在二至限以内，属于冬至后；超过二至限就除去，余数属于夏至后。二至后日数及分在象限以内的自乘；超过象限的，用二至限减它，余数也自乘；按规定除算，所得为分。冬至后晨、夏至后夕，以十八为除数；冬至后夕、夏至后晨，以七十五为除数。用伏见度相乘，再除以十五，作为差；满行差除算为日，不满的退位除算为分、秒；将所得按规定加减常用积，作为定用积；按前法起算，即得到定见、定伏的日辰。冬至后，晨见、夕伏加上它，夕见、晨伏减去它；夏至后，晨见、夕伏减去它，夕见、晨伏加上它。水星在大暑气初日至立冬气九日三十五分以内出现夕疾时，不会被看见；在大寒气初日至立夏气九日三十五分以内处于晨留时，春季不会晨见，秋季不会夕见。熙宁六年六月，提举司天监陈绎说：“浑仪的尺度与《法要》不相合，南北二极和赤道四分不均匀，规、环左右相距的度数不相称，游仪沉重滞涩，难以运转，黄道遮蔽了横箫，游规破裂，黄道与天体不相合，天枢内的极星看不见。天文院的浑仪，其尺度以及二极、赤道四分也各不均匀；黄道、天常环、月道遮蔽横箫，月道又与天体不相合，天常环彼此妨碍而难以转动，天枢内的极星也看不见。这些都应当依据旧制修整。新制浑仪应改用古尺，均匀分配辰度，使规、环轻便灵活；黄道、赤道、天常环都改为侧置，使北边正对天度；省去月道，使它不遮蔽横箫；把天枢增为二度半，以容纳极星；规、环、二极各设置环枢，以便游动运转。”诏令依照新式制造，放在司天监测验，以比较疏密。七年六月，司天监把新制浑仪、浮漏呈送到迎阳门，皇帝召辅臣观看，多次询问同提举官沈括，沈括详细回答了改制的理由。不久又说：“依照诏令，召集监官比较新旧器物的疏密，但没有可供比较的器物。”诏令把它安置在翰林天文院。七月，任命沈括为右正言，并对司天秋官正皇甫愈等人分别给予奖赏。当初，沈括上奏《浑仪》《浮漏》《景表》三议，见《天文志》。朝廷采用他的意见，下令改造法物和历书。到这时，浑仪、浮漏制成，所以赏赐他们。

译元丰五年正月，翰林学士王安礼说：“详定浑仪官欧阳发所上浑仪、浮漏木样，详细说明了新器的优点和旧器的缺失。臣等私下考察司天监的浮漏，疏漏错误，不能使用，请依新式改造。至道、皇祐年间的浑仪、景表也各有差错，请依法上奏修正。”朝廷听从了。元祐四年三月，翰林学士许将等说：“前些时候奉诏，元祐浑天仪象所制造水运浑仪的木样；如果试验观测天象没有差错，就另造铜器。如今校验结果都与天象相合。”诏令用铜制造，仍以“元祐浑天仪象”为名。许将等又说：“以前所说的浑天仪，外形是圆的，可以遍布星度；内部有玑、有衡，可以仰观天象。如今所建浑仪象分为两件器物：浑仪用来测量天度的实际数值，浑象则安置在密室中，自行模拟天体运行，再与浑仪相参合。如果合为一件器物，使浑象成为浑仪，以同一器物校正天度，就能兼得浑天仪和浑天象的功用。请再制造浑天仪。”朝廷听从了。七年四月，诏令尚书左丞苏颂撰写《浑天仪象铭》。六月，元祐浑天仪象制成，诏令三省、枢密院官员检阅。绍圣元年十月，诏令礼部、秘书省前往详定制造浑天仪象所，令新旧浑仪的集局官员共同测验，把其中精密而可用的上报。宣和六年七月，宰臣王黼说：臣在崇宁元年偶然在京师遇到一位方外之士，他自称姓王，面交给我一卷素书，详细讲述玑衡的制造方法。我曾请求命应奉司制造小样加以验证，过了两个月，璇玑才制成。它圆得像弹丸，具备三百六十五度又四分之一度，设置南北二极、昆仑山以及黄、赤二道，列出二十四气、七十二候、六十四卦、十干、十二支、昼夜百刻，列出二十八宿以及内外三垣和周天星辰。日月沿黄道运行，天体每天向左旋转一周，太阳向右运行一度；冬至时太阳向南越出赤道二十四度，夏至时向北进入赤道二十四度；春分、秋分时黄道、赤道相交，太阳从卯方出来、从酉方进入。月亮每天运行十三度多，在西方开始显明，形状像钩子，下方环形；到西方出现半圆，到了望日便圆满；既望以后，西方亏缺下环，东方出现半圆，到了晦日便隐没。哪颗星刚出现，哪颗星已经运行到中天，哪颗星将要没入，或在左或在右，或快或慢，全都与天象吻合，没有丝毫差错。玉衡竖立在屏风外，握住枢斗；注水冲动轮子，下面有四十三个机轮，钩键交错相持，依次运转，不借助人力。运行最快的每天走二千九百二十八齿，最慢的五天走一齿，快慢相差如此之大，却都由同一部机关发动，其精密程度几乎可以和造物者相比。其余部分全都依照唐代一行的制度。然而，一行旧制的机关都用铜铁制造，稍有涩滞就不能自行运转；现在改制，改用坚硬的木材、美玉一类的材料。旧制在外面连接两轮，用来系联日月，但两轮遮挡了星度，仰视时不能清楚辨认星辰运行的位置；现在的制度把日月都附在黄道上，像蚂蚁在磨盘上爬行。旧制虽能显示合朔望，但月体总是圆的，不能辨别上弦、下弦；现在用机关使它转动，使圆缺隐现完全符合天象。旧制只有记录时刻的辰钟、鼓，昼夜长短以及日出日落、更筹的刻度都不能辨明；现在制成司辰寿星，运转十二时轮，到了相应时刻，就用手指示；又制成烛龙，用铜荷承托，时刻一到便吐珠振荷，循环自行运转。这些制度都超出了唐代一行的旧制。从器物本身来看，能够完整模拟天体的，是璇玑；用水斗使它运转的，是玉衡。古人有的说玑衡就是浑天仪，有的说有玑而无衡的叫浑天象，有的说浑仪的窥望筒就是衡，都不对。更有甚者，根本不知道玑衡是什么器物。只有郑康成认为运转的叫玑，保持端正的叫衡；按现在的制度考察，他的说法最为接近。另外，月亮晦明圆缺的道理，自古以来没有人说明白，只有扬雄说：“月亮还没有到望日，就在西方承载魄；到了望日以后，魄终于转到东方，难道是追随太阳吗？”京房说：“月亮有形体却没有光，受到太阳照射才发光。”这才知道月亮本来没有光，是借太阳才有光。本朝沈括用弹丸比作月亮，在一半涂上粉末来象征照向太阳的光，正面、侧面观察它，才完全显示出月亮圆缺的形状。现在的制度与这三种说法完全相合。应当命有关部门按照这种样式设局制造，在明堂或合台里面选择地址筑台陈列，用来测验天象。另造三件器物，一件收入御府，一件放在钟鼓院，一件供皇帝车驾出行时使用。还应把这些内容撰成书，用来昭示万世。” 诏令以“讨论制造玑衡所”为名，命王黼总领，内侍梁师成任副职。志第三十四 律历十四。中原失守以后，礼乐沦亡。高宗时，胡铨撰写《审律论》，说：臣听说司马迁曾说：“六律是万事的根本，对于兵器尤其重要；可以望见敌情而知吉凶，听到声音而判断胜负，这是历代君王都不改变的原则。”臣曾十分赞赏司马迁所说的律对于兵器尤其重要，同时又深深惋惜后世谈论兵事的人只讲战斗、击刺和奇谋，这正是律学因此湮没、学者从未谈及它的原因。律、度、量、衡，古已有之：其源头在司马迁，开始流传于班固；刘昭承接其流派，孟康、京房、钱乐之这些人却搅浑其泥、助长其波澜。司马迁说：“黄钟的实数是八十一，以九为法；实数如同法数，得到长度一寸，于是黄钟就是九寸。黄钟的实数是十七万七千一百四十七，以一万九千六百八十三为法；实数如同法数，也得到长度一寸，黄钟也就是九寸。这样说来，十七万七千一百四十七与所谓八十一，虽然数量不同，实质却相同；一万九千六百八十三与所谓九，虽然数量不同，法则却相同。又说，丑为二，寅为八，卯为十六，辰为六十四。丑与卯属于阴律，寅与辰属于阳律。产生阴律的数都为二，这就是所谓下生，即把实数加倍；产生阳律的数都为四，这就是所谓上生，即把实数乘四。”司马迁的话涉及数百字，可以说很简约，而后世谈论律的人都以此为祖，这不正是源出于司马迁吗？

译班固说：黄钟的实数是八百一十分。这大概就是司马迁的意思。然而，他说林钟的实数是五百四十，却又写成六百四十；如果把林钟、太蔟的实数按其长度自乘，那么声音虽然存在，却只稍微类似于黄钟的宫声。这样看来，魏国柴玉制定律，结果与黄钟的商声、徵声不合，这种错误的苗头就在这里了。又从子的一分开始，到亥的十七万七千一百四十七分结束，大概是司马迁的方法。班固也说，太极元气包含三者而合为一，开始在子时发动，在丑时乘三，历经十二辰的数目，得到黄钟的实数，用来说明阴阳合德、化生万物。他的说法大概是有依据的。然而，他说蕤宾三分损一，下生大吕，却不说明所谓浊律加倍的变化是什么。蕤宾与大吕相比，蕤宾是清律、大吕是浊律；如今又减去一半来产生大吕，那么大吕的声音反而比蕤宾清，这就是不知道大吕有浊律加倍的变化。这样看来，萧衍的论说到了夹钟而把长度裁为三寸七分，其错误的苗头也在这里。这不正是律学滥觞于班固吗？刘昭说：把林钟的实数推到十一万八千零九十八，把太蔟的实数推到十五万七千四百六十四；乘二再除以三，是下生的实数；乘四再除以三，是上生的实数。这是司马迁、班固的意思，刘昭说得更详细了。然而，他把蕤宾说成上生大吕，而大吕却是下生夷则，这是为什么呢？大概刘昭的说法是：阳生阴叫下生，阴生阳叫上生。现在把蕤宾作为上生大吕，就是阳生阴，却说成上生；把大吕作为下生夷则，就是阴生阳，却说成下生。他的蒙蔽也是由于不知道大吕有浊律加倍的变化，因此与司马迁、班固相比，离根本更远了。这不正是刘昭承接了前人的流变吗？至于孟康、京房、钱乐之这些人，情况就更加不同了。班固把八十一分作为黄钟的实数，由此确定十二律的周径，再量定其长度以容纳这个实数，从来没有说过径三围九。孟康等人被八十一分的实数迷惑，以一寸为九十分，又没有察觉方形与圆形的差别，于是兴起了径三围九的说法。律管的形状是圆的，如果按径三围九来计算，就会削去方形四边的作用，连九分的数目都不足；用它来容纳黍粒，怎么能达到一千二百粒呢？所以所谓围九，指的是方形的分数。怎么知道呢？知道龠是方形的，就知道黄钟的分数也是方形的。班固虽然没有明说，但他论述洛下闳制定历法的方法时说：“律管容纳一龠，积八十一寸，这就是一日的分数。”八十一寸其实就是八百一十分；把一千二百粒黍放入龠中，摇动也不会松动，自己就满了，这与黄钟所容纳的数量没有不同。龠的制度是方一寸、深八分。一龠既然是方形，黄钟的分数怎么会不是方形呢？把围九的方形分数制成圆形，直径就不止三分了。因此，径三围九的说法是孟康造成的。然而，由律产生吕，数到十二就停止了；京房把它演为六十，钱乐之扩展为三百六十，这就与黄帝的说法相违背了。钱乐之大概采用《淮南子》的方法：一律产生五音，十二律产生六十音，再乘六，所以成为三百六十音，以对应一年的日数。他说黄钟、太蔟、姑洗、林钟、南吕产生三十四音，大吕、夹钟、中吕、蕤宾、夷则、无射产生二十七音，应钟产生二十八音，开始于包育，结束于安运。从黄钟到壮进，共一百五十，便三分损一而下生；从依行到亿兆，共二百零九，便三分益一而上生；只有安运作为终点而不再产生新的律。他的说法与黄帝的法则大相违背。自司马迁、班固以后，到这里众说纷纭，没有一个适合作为主张；直到五代王朴以后，讨论才稍稍确定，沈括、蒋之奇的论述才是正确的。这不正是搅浑泥水、扬起波澜吗？唉！律，本来以实数为根本、以法则为末端。陛下在上面整治实数，有司正在下面制定法则，以协调天地中和之声；这样看来，前面几个人的说法还有可以考察之处，臣哪里敢轻率议论呢！淳熙年间，建安平民蔡元定撰写《律吕新书》，朱熹称赞他见识超然高远，发挥独到见解，披寻剔抉，互相参照考究，推究根源，编排条理，概括关键，阐明探究精微之处。他的论说虽然多是近世未曾讲明的内容，但实际上没有一个字不以古人的成法为依据。这部书有《律吕本原》《律吕证辨》两部分。《本原》包括：《黄钟》第一，《黄钟之实》第二，《黄钟生十二律》第三，《十二律之实》第四，《变律》第五，《律生五声图》第六，《变声》第七，《八十四声图》第八，《六十调图》第九，《候气》第十，《审度》第十一，《嘉量》第十二，《谨权量》第十三。《证辨》包括：《造律》第一，《律长短围径之数》第二，《黄钟之实》第三，《三分损益上下相生》第四，《和声》第五。权臣既诬陷蔡元定为伪学之徒，又把他贬谪到舂陵，最终死在那里；虽然他的书还在，终究成了空言，唉，实在可惜！” 很久以后，宜春人欧阳之秀又撰写《律通》，他的自序说：自从经书中不再见到律吕的度数，解释经书的人反而援引《汉志》作为依据，大概是从《管子》《吕氏春秋》开始，流传扩展于《淮南子》和司马迁的书，又受到刘歆、京房学说的推波助澜。班固《汉志》的内容，全部出自刘歆；《司马彪志》的内容，全部出自京房。后世协调音律的人，大都执守这些说法，把它们当作确定不变的法则。历代合乐，并不是没有人，但始终不能得到天地阴阳的和声，所以不能追复上古盛时，大体是被三分损益的说法束缚了。律当然不能舍弃损益来求取；正因为有损有益，才有上生、下生的区别。但如果专门把三分作为损益的法则，就错了，难免声音与数目不能相合，不能符合天然形成的规律。

译我曾经根据损益以及上下生的含义，去除专用三分法的弊端，于是采用多种分法来求取。从黄钟开始，向下生的有十个，向上生的只有一个。这些数有时减少、有时增加，出于自然，与旧法本来就不相同。如果说相生的方法必须一下生一上生，既上生后又下生，那么这种方法的穷尽之处，就在蕤宾、大吕之间显现出来。黄钟以下依次相生，到姑洗时下生应钟，而应钟上生蕤宾，这是法则。现在却说蕤宾生大吕，又继续上生，这就是《班志》所记载的把说法改为蕤宾下生大吕，以致大吕的长度采用加倍的法则。律相生而采用加倍法，尚且有道理；唯独专用三分作为损益法，就会使律管长短不合天地自然的数目。产生律的分法，大概不止三分损益这一种；从四分开始推算，直到有二十分的法则。把律管分为三份来产生律，是生律的极限数，不过是求取徵声的一种方法罢了。如果采用三分损益，一次下生、一次上生，那么声律几乎没有穷尽，怎么会到十二就停止呢？十二律的产生，十律都是下生，只有一律是上生。正因为下生已经达到损的极限，之后才改为上生而增加；上生之后律就穷尽了，这就是穷上反下、穷下反上的道理。一根琴弦之内具备十二律，全都采用下生的方法，最后以一上生法结束。如果把七弦的松紧变化作为旋宫之法，那么应钟一均的律，除宫声以外，还会多用加倍法产生一律。这是天地间声音自然而然的规律，不能拘泥于一种方法而不知道变通。因此，正律只到十二而已。我私下认为，十二律的度数本应载在《周礼》的《冬官》中，就像《考工记》记载凫氏制造钟、磬氏制造磬一样，各有专门职掌。然而《冬官》一篇既已亡佚，世人就无法考察其度数的详细情况；而三分损益的说法散见于书籍传记，恐怕有的是亲眼见到却没有认识其全貌，有的是口头传授却没有弄清其中错误，有的是凭耳朵判断却不能探究真实，于是便把它写成定论。人人都以为这个法则已经完美，哪里知道用三分损益产生的律，只得到了声音的近似而不是真实的声调。若不是师旷那样聪敏的耳朵，声音就无法校齐；这种近似的声音足以迷惑人的听觉，所以人们不再追究其法尚未完善之处。这就是蔡邕认为耳听判断更加明白，却也不能完全相信这种法则的原因。后世制造乐器、制定音乐的人，不知道律法本来就有不完善之处，却总是忧虑声音高低不协调，以至于寻找古代遗失的器物来求取标准，这也是不知道根本。声音凭数目传达，数目凭声音确定，二者都有自然的法则。管径宽的，声音必定粗厉；管径窄的，声音必定沉闷；音调高的，数目必定短；音调低的，数目必定长。宽窄属于数目，尚未听到声音，就已经知道它有粗厉、沉闷的区别；高低属于声音，尚未看到数目，就已经知道它有长短的差异。所以得不到自然的声音，就无法考察数目；得不到自然的数目，就无法谈论声音。如今制定律的人不知道这个道理，反而先拘泥于秬黍纵横的排列、古尺长短、斛斗大小、钟磬高低来谋求，这哪里足以得到和谐的声音呢！邵雍说：“世人所见的，只是汉代的律历罢了。”这样看来，三分损益法还不完善，也已经隐约可见了。近世蔡元定特意撰写一部书，可以说是用心研究了；但他的说法也有可用和不可用之处。可用的部分，大多是他自己推求所得，并且又有古籍可以证明，凡是载在我的书中的都可以看见；不可用的部分，都是由于他熟习三分上下生的说法，却没有考察声音与乐器的近似程度。难道他曾经考察过，只是没有可以替代旧法的方法吗？这就是《律通》创作的原因。律管之所以有长短，不止三分损益这一种方法；从四分开始，一直推到二十分的法则。管的宽窄，必定受一千二百黍这一确定数目的限制；由于容纳黍粒有方分、圆分的差异，与黍粒的形体不相合，于是还要辨别空龠中实积、隙积的道理。旋宫相还的方法，可以推知它是一阴一阳相继的规律，而不是一上生一下生的说法。唉！读到我的书，如果能知道这些数目出于自然而然的规律，就会知道从西汉以前直到今天，上下将近二千年，凡史书、传记所记载的三分损益这一固定说法，都可以删去。如果这种说法真的可用，那么历代的律早就能协调、音乐早就能和谐了，何承天、刘焯等人也不会改动它的法则。因此，京房的六十律不足以协调音乐，更何况钱乐之把它扩展为三百六十律这种非法，只是徒然增加数量而没有用处吗？这说明那些数目并非出于自然、无所谓增减，只是想牵强附会到一年的日数罢了。古代圣人之所以制定律制而止于十二，是因为这符合自然的理数。如果不依据自然的理数，而采用“三分损益”的方法不断推演，那么声律恐怕就不只是三百六十种了，更何况京房所说的六十种呢！况且，京房的律制，我认为是他自己创制的，却假称是从焦延寿那里接受来的，用来欺骗世人、推销自己的学说。假使他的律法确实好，何必说是从别人那里接受来的？律法如果不好，即使是焦延寿传授的，又有什么益处呢？所谓好与不好，也不过要看这种方法是否可用罢了。从前魏汉津曾创用指尺来制定律制，不过是暗中窃取了京房过去的智谋：对上用来取得君主的信任，对下用来压制众人的议论；这种方法即使能让它施行一日，难道能让一世都采用它吗？如今创作《律通》，其中数目的损益可以相互生成，总计以一百四十四作为体；有时加以变化，又可以得到二百一十六作为用，乾坤之策都具备了。世上不用它就罢了，一旦采用，声音必定和谐；也仍然依据古代黄钟九寸的法则来考察，只是根据人的声音略加修订罢了。有人问：律既然止于十二，为什么还要推演出一百四十四律？”我回答说：“十二是正声，一百四十四是变声。如果不制定一百四十四律，怎么能显示十二宫七声的长短有确定的数目，以及宫、商、角、徵、羽清浊有确定的分限呢？它的要旨只在于和谐。因此有正声就有变声，通晓其中的变化，才可以谈论律。”

译《律通》分上、下两篇：《十二律名数》第一，《黄钟起数》第二，《生律分正法》第三，《生律分变法》第四，《正变生律分起算法》第五，《十二宫百四十四律数》第六，《律数傍通法》第七，《律数傍通别法》第八；《九分为寸法辨》第九、第十，《五十九律会同》第十一，《空围龠实辨》第十二，《十二律分阴阳图说》第十三，《阳声阴声配乾坤图》第十四，《五声配五行之序》第十五，《七声配五行之序》第十六，《七声分类》第十七，《十二宫七声倡和》第十八，《六十调图说》第十九，《辨三律声法》第二十。真德秀、赵以夫都极力称赞它。舒州桐城县丞李如篪撰写《乐书》，评论司马光、范镇所论的律，说：范镇得到蜀人房庶所说的尺法。房庶说：“我曾得到古本《汉书》，其中说：‘度数起于黄钟的长度。取子谷所产的中等秬黍，一粒黍的宽度作为起点，累计一千二百粒黍的宽度，以九十分来度量，黄钟的长度，其中一份就是一分。’现在的文字脱去了‘之起积一千二百黍’八个字，所以前代把黍粒累积起来制造尺，纵向放置就太长，横向放置就太短。现在的新尺横放不能容纳一千二百粒黍，于是把管的空径增大了四厘六毫，因此乐声太高，都是儒者误把一粒黍当作一分造成的，这种方法不对。不如把一千二百粒黍填入管中，随着管的长短截取，把它制成黄钟九寸管的九十分；管长的一份就是一分，再取三分来量空径，数目相合，律就正确了。”范镇极力称赞这个说法，认为先儒的用意都没有达到这个程度。他的意思是，制定律的办法，必须用一千二百粒黍填满黄钟九寸管的九十分，管长的一份就是一分，即度数由律产生。司马光则依据《汉书》正文：“度数起于黄钟的长度。取子谷所产的中等秬黍，一粒黍的宽度，以九十分度量；黄钟的长度，其中一份就是一分。” 原文根本没有“之起积一千二百黍”八个字。他的意思是，制定律的办法，必须把一粒黍的宽度定为一分，九十分便得到黄钟的长度，即律由度数产生。《尚书》说：“统一音律、长度、容量和重量。”先说音律，后说长度、容量和重量，这说明长度起源于音律，确实如此。那么，蔡镇的说法是对的，司马光的说法是不对的。不过，蔡庶关于把一千二百粒黍子的宽度作为标准的说法却不对；如果一定按他的说法，那么音律就不是起源于长度，而是起源于容量了。司马光的说法虽然不是先王制定音律的根本依据，但后世制定音律，如果不先确定分寸，也无法制定音律。而且他的办法本来依据《汉书·律历志》的文字，所以也不能说司马光的说法完全错误。所以我曾经论述过：律管，是用来表达节气之气的管子。测验节气之气的方法是：一年十二个月，每月设置一根律管，埋在地下。节气之气到来时有深浅不同，律管埋入地下的长度也有长短不同。十二个月的气到来时，各自检验相应月份的律管，气到则管中的灰飞出。如果律管的长短与节气之气到来的深浅不相应，就不能验证。上古圣人制定十二根律管，用来测候十二辰的气，十二辰的声音也由此产生。把十二根律管相比较，黄钟管最长，应钟管最短；以林钟管和黄钟管相比，短黄钟管的三分之一；以太簇管和林钟管相比，长林钟管的三分之一；其余律管有的长、有的短，也都在三分之一这个数上下变化。它们暗中与声音和节气之气自然相应，就是这样。当时哪里见过所谓“三分损益”的方法呢？又哪里见过把一千二百粒黍子装满黄钟管所得的容量，以及把一粒黍子的宽度定为一分的说法呢？古代圣人制定了音律以后，想依据音律制定长度、容量、重量的标准，于是选取中等大小的黑黍，装满黄钟管；倒入龠中计数，得到黍子一千二百粒，便据此制定容量标准；以一粒黍子的宽度来量，得到黄钟管长度的九十分之一，便据此制定长度标准。再以一龠黍子的重量加倍，由此产生重量标准。距离古代已经很远了，先王制定音律的根本和起始方法虽然失传，但仍有“一千二百粒黍子是一个龠的容量”和“一粒黍子的宽度为一分”这些说法可以考察。推求它的容量，再测量它的分寸，音律就可以制定出来。先王以音律为根本来制定长度、容量和重量，是从源头产生支流；后人依据长度、容量和重量来制定音律，则是沿着支流追溯源头。司马光与蔡镇反复争论，前后三十年也没有定论，大致争论的是以音律制定长度，还是以长度制定音律，两种说法不同。蔡镇极力驳斥司马光以长度制定音律的说法，却不知道后世如果舍弃长度的数值，怎么能像古代圣人那样暗合声音和节气之气的验证，自然而然地制定音律呢？至于蔡庶在《汉书·律历志》中增加八个字，说原文有脱漏，以及其他纷杂的议论，都是穿凿附会、故意求新求奇；即使蔡镇极力支持，也不是对律法真正恰当、确有补益的论说。例如《篪书》称为《乐本》，称为《乐章》。沙随的程迥撰写《三器图议》，说：“器物本体有长有短，所以可以制定长度；容纳的东西有多有少，所以可以制定容量；物体有轻有重，所以可以制定权衡。这些器物，都以上党羊头山所产的黑黍为标准。用它们测量幽深隐微的情状，通达精微的道理。推算日月星辰的运行，就不会失去尺度；通晓八音的变化，就可以召来和谐。用来辨别上下，就有品级；用来区分尊卑，就有礼节。凡是朝廷施行政务、百姓日常生活，没有片刻不依赖它们。古人以长度确定容量，以容量确定权衡，三者一定相互参照、彼此吻合，然后才能求得黄钟之律，八音五声也随之相应。皇祐年间，阮逸、胡瑗用累积黍粒的方法制定尺，结果比周尺大，只是想使它与容量相合；但最终和重量仍不相合，于是说一黍之重为二两，已经相当于官称的一两，反而怀疑史书有误。等到韩琦、丁度详细审定，知道阮逸、胡瑗的错误，却也不能把三种器具相互参照考核。”

译在此以前，蔡镇上呈密封奏章说：“音乐，是和谐之气；发出和谐之气的，是声音。声音产生于无形，所以古人用有形的事物传下这种方法，使后人能够参考。有形的事物是什么？就是黑黍、律管、尺、龠、鬴、斛、算术、权衡、钟、磬。这十项必须相互吻合而不相违背，然后才算正确。”程迥说：“用黍粒确定三种器具，那么十项就没有不包括的。三者之中，尺是根本。所谓周尺，先儒考察它的制度，彼此吻合的说法不止一种。到宋祁取《隋书》所载大业年间历代十五等尺，独以周尺为根本来考察各尺。韩琦在嘉祐年间用累黍法制成两种尺，其中一种也接近周尺。司马光把它旧有的实物刻在石上。如果以此确定尺，再以此相互校定权衡和容量，使各种器具相合，就像提着衣襟抖动衣服一样；由此得到的顺理结果，多得数不清。” 程迥博学而喜爱古事，朱熹对他十分尊敬。后来江陵府学教授、庐陵人彭应龙，在注释《汉书·律历志》以后，设置问答，撰成《钟律辨疑》三卷，内容极其精密，阐发了古人没有说过的道理。宋代历法在东都一共八次改制，分别称为《应天》《乾元》《仪天》《崇天》《明天》《奉元》《观天》《纪元》。星历家离散后，《纪元历》失传。绍兴二年，高宗重新购得此历；六月甲午日，他对辅臣说：“历官推算不精确，如今历法已经差了一日，近来得到《纪元历》，从明年起应当改正，使时令和月份协调、正日，这并不是小事。”这一年，开始商议制造浑仪。十一月，工部说：《浑仪法要》应当以子午线为标准，如今想要测定北极枢纽的位置，需要会同差局官二人。于是下诏派李继宗等充任测验、定正宫的官员，等浑仪制造完毕进呈之日，再让共同参详、说明制度的官员丁师仁、李公谨入殿安设。绍兴三年正月壬戌日，进呈浑仪木制模型。壬申日，太史局令丁师仁等说，他们略知东都的浑仪共有四座：在测验浑仪刻漏所的称为至道仪，在翰林天文局的称为皇祐仪，在太史局天文院的称为熙宁仪，在合台的称为元祐仪。每座大约用铜二万余斤，如今如果减半制造，也要用一万余斤。而且元祐年间制造时，曾由两府官员提举此事。当时都司核实后，确定需要用铜八千四百斤。皇帝下诏让工部置办材料，临安府雇用工匠，仍命工部的长官和副长官负责提举。五年，日官说，正月初一早晨将发生日食九分半，亏始在辰正。常州平民陈得一说，应当食八分半，亏始在巳初。后来验证，果然符合他的说法。侍御史张致远说：“今年正月初一的日食，太史局所定的时间和程度没有应验；陈得一曾经对臣说过，所言都有根据。大概是负责计算制历的人不能通晓交食进退、盈亏、迟速的奥妙和区别，所以造成朔日的确定有错误。凡是确定朔日时，小余超过七千五百分的，就应当进一日。绍兴四年十二月的小余是七千六百八十，太史局没有进一日，所以十一月成为小尽；今年五月的小余是七千一百八十，少三百二十分，却反而进朔，所以四月成为大尽。建炎三年确定十一月三十日甲戌为腊日。《阴阳书》说：腊，就是接续的意思，旧年接新年，应在十二月接近大寒前后的戌日确定；如果接近大寒的戌日在正月十一日，就应使用距离大寒较远的戌日来定腊日，以免超过十二月。比如宣和五年十二月二十七日丙午是大寒，四天以后是庚戌，虽然接近大寒，但因为已经在六年正月一日，所以当时以十九日戊戌为腊日。陈得一曾预先说今年元旦会发生日食，结果一点也没有差错。” 希望下诏让陈得一改造新历，委派官员专门负责此事；并把他的著作全部取来，与太史局的著作相互校勘，补足遗漏。选择历算方面略通晓的子弟，传授推演和编撰历法的要领，这样或许能使日官不废职，历法不失传。”二月丙子，诏令秘书少监朱震到秘书省监督陈得一改造新历。八月，历法完成，朱震请求赐名为《统元历》，皇帝同意了。诏令翰林学士孙近撰写序文，规定从六年开始颁行；提升朱震一个品秩，赐陈得一“通微处士”称号，授予他的一个儿子官职。道士裴伯寿等人也分别受到赏赐。陈得一等人上推甲子年，确定十一月甲子朔日夜半的冬至，太阳运行从虚宿中央开始，以此作为历元。他们撰成《历经》七卷、《历议》二卷、《立成》四卷、《考古春秋日食》一卷、《七曜细行》二卷、《气朔入行草》一卷。皇帝下诏交给太史局，副本收藏在秘府。绍兴九年，史官重新修撰神宗正史，寻找《奉元历》没有找到，皇帝下诏让陈得一、裴伯寿到朝廷补充修订。十四年，太史局请求制造浑仪，工部员外郎谢伋说：“臣曾经询问浑仪的制度，太史官之间的议论各不相同，铸造的工艺如今也还欠缺。臣愚见，应当先询问、访求制度，广泛求取通晓天文历数之学的人，参照订正是非，这才符合古制。”苏颂的儿子奉诏到朝廷，请求访求并考察其父遗留下来的书籍，以考核制度。宰相秦桧说：“在朝廷的臣子中，很少有人能通晓这些。”高宗说：“这是典章制度上的缺失，朕已经在宫中制造了一件，虽然形式较小，却可以用来窥测；白天以日影的度数为准，夜间以北极星为准。不久就会送出，只是应当把尺寸扩大罢了。”于是命秦桧负责提举。当时内侍邵谔善于构思，专门命他主持此事，经过多年才制成。《统元历》颁行已久，但有关官员不善于使用它，暗中采用《纪元历》的方法推算，却仍以《统元历》的名义行用。乾道二年，日官用《纪元历》推算三年丁亥年十一月甲子朔，准备颁行；裴伯寿到礼部陈述，按照《统元历》的方法应当提前定为乙丑朔，于是依照《统元历》的方法加以订正。

译光州士人刘孝荣说：“《统元历》推算日月交食比实际天象早六刻，推算火星差了两度。我曾经自己编制历法，预计半年可以完成，希望改造新历。”礼部说：“《统元历》的方法已经使用十五年，《纪元历》的方法经过六十年验证，日月交食有先天分数的差异，五星运行的细数也有二三度的不同。负责计算制历的官员拘泥于依照旧有经法，导致朔日有进退、节气日期有误，按时势来说应当改造历法。”裴伯寿说：“制造历法必须先立表测量日影、测验节气之气，这样才可能精密。”太史局判局吴泽偏袒刘孝荣，又说铜表难以制成、木表容易损坏，想借此阻止此事。于是诏令礼部尚书周执羔提领改造新历，周执羔也认为测量日影、验证节气需要经历多年。刘孝荣于是采用《万分历》，把万分作为三万分来制定日法，命名为《七曜细行历》，上呈朝廷。三年，周执羔将历法上呈，孝宗说：“日月有盈缩，必须随时修改。”周执羔回答：“舜协调时令、月份而端正日期，正是因为历法积久不能没有误差，所以要加以协调和订正。”孝宗问：“现在的历法和古代历法相比怎么样？”回答说：“尧时冬至，太阳在牵牛宿；如今冬至，太阳在斗宿一度。” 刘孝荣自称《七曜细行历》精密，并预先确定这一年四月戊辰朔将发生一分的日食；日官说会食二分，裴伯寿也不同意他的说法。后来日光明亮，实际上没有发生日食。刘孝荣又确定八月庚戌望将发生六分半的月食，等候观测，结果只达到五分。又确定戊子年二月丁未望将发生九分以上的月食，月亮出地平线后，光芒又恢复圆满。裴伯寿说：“这次应当是全食，恢复圆满在戌正三刻。” 侍御史单时说：“近几年太史局认为《统元历》稍有误差，改用《纪元历》；《纪元历》逐渐产生更大误差。最近刘孝荣建议改历，四月初一的日食没有应验，日官又同时采用《统元历》和《纪元历》来确定晦朔，两个历法的差异一年比一年严重，这不是用来说明天道、端正人事的方法。四月初一没有日食，虽然原来的推算有误，但说有一分日食，仍然较为接近；八月十五的月食实际为五分，新历推算为六分，也算较为接近。听说打算以明年二月十五的月食作为验证，但那一夜或许阴天、昏暗、刮风下雨。希望命令日官和刘孝荣分别推定七政运行度数，等到可以验证时，用浑象测量，考察哪一种说法较为接近且屡次应验，就采用哪一种来制定历法，以免误差过大。”皇帝下诏同意。十一月，诏令国子司业、权礼部侍郎程大昌和监察御史张敦实监督太史局验证。孝宗当时致力于了解历法的疏密，诏令太史局用高宗颁下的小浑仪测验所制历法。四年二月十四日丁未望，月食后开始生光并恢复圆满，正如裴伯寿所说。单时等人又说：“去年奉诏，在十二月癸卯、乙巳两夜监测月亮和太白星，新历较为接近。今年二月十四日望的月食，臣与程大昌等用浑仪确定月亮恢复圆满的时间，结果旧历较接近，新历较疏远。如果立即认为旧历正确，那么去年测验的四件事都是新历较接近，而这次确定的月食又是新历稍有误差；由此可知天道难以测定。儒者没有人肯专心研究，全都交给星官和历法家，而他们的说法又不够精密。希望命令李继宗、刘孝荣等重新确定三月初一前后七政运行度数的异同，仍命臣等前往查看测验，共同制定历法。”三月，诏令单时与程大昌一同验证。太史局只采用《纪元历》和新历进行测验，从未参照《统元历》。臣等先向太史局判局李继宗、天文官刘孝荣等询问《统元历》《纪元历》和新历的异同，于三月初九日夜、十一日早晨、十四日夜、二十日早晨到太史局，召三种历法的官员登台，使用铜仪和窥管对照测量月亮、木星、火星、土星在黄道和赤道上的晨昏位置及运行度数，参照他们的供词，监督测验。初九日黄昏的度数是：旧历推算月亮在黄道张宿十二度八十七分、赤道张宿十度；新历推算月亮在黄道张宿十四度四十分、赤道张宿十五度多。臣等验证，月亮实际在赤道张宿十五度半。现在考察，新历稍微精密，旧历都较疏。十一日早晨的度数是：木星在黄道室宿十五度七分、赤道室宿十三度少；土星在黄道虚宿七度三分、赤道虚宿七度强。新历推算木星在黄道室宿十五度四十四分、赤道室宿十四度少弱；土星在黄道虚宿六度二十一分、赤道虚宿六度少弱。臣等验证，五更三点时土星在赤道虚宿六度弱；五更五点时木星在赤道室宿十四度。现在考察，新历稍微精密，旧历都较疏。十二日，都省命令确定《统元历》《纪元历》和新历的疏密。《统元历》推算黄昏时月亮在黄道氐宿初度九十四分、赤道氐宿三度少；《纪元历》推算在黄道氐宿初度八十三分、赤道氐宿二度多；新历推算在黄道亢宿八度七十一分、赤道亢宿九度少弱。三历官使用浑仪从南方数起，测得月亮向北距离角宿距星二十一度少弱。新旧历官都说黄昏时亢宿尚未出现，只能用窥管测定角宿距星的位置；又依据历书考察东方七宿，角宿占十二度，亢宿占九度少。既然亢宿尚未出现，就应减去角宿十二度，那么月亮此时就在赤道亢宿九度少弱。现在考察，新历完全精密，《纪元历》《统元历》都较疏。二十日早晨的度数是：《统元历》推算月亮在黄道斗宿十一度九十一分、赤道斗宿十二度少；火星在黄道危宿七度九十一分、赤道危宿七度少；土星在黄道虚宿八度八十二分、赤道虚宿八度太强。《纪元历》推算月亮在黄道斗宿十一度四十分、赤道斗宿十一度半；火星在黄道危宿六度、赤道危宿六度多；土星在黄道虚宿七度三十九分、赤道虚宿七度半弱。新历推算月亮在黄道斗宿十度六十一分、赤道斗宿十度少；火星在黄道危宿七度二十分、赤道危宿六度；土星在黄道虚宿六度五十三分、赤道虚宿六度半。三种

译历官验证，月亮在赤道斗宿十度，火星在赤道危宿六度强，土星在赤道虚宿六度半。现在考察月亮，《纪元历》较疏；火星，新历和《纪元历》都完全精密，《统元历》较疏；土星，新历完全精密，《纪元历》和《统元历》较疏。又诏令单时与尚书礼部员外郎李焘一同进行测验。单时等人说：“先考察《统元历》《纪元历》和新历的异同，召三种历法的官员登台，使用铜仪和窥管对照测量月亮、土星、火星、木星在早晨的位置及运行度数，参照他们所供述的数值，监督验证。二十四日早晨的度数是：《统元历》推算月亮在黄道危宿十一度九十分、赤道危宿九度；木星在黄道室宿十八度一十五分、赤道壁宿初度少；火星在黄道危宿十度七十分、赤道危宿十度；土星在黄道虚宿八度九十五分、赤道虚宿九度。《纪元历》推算月亮在赤道危宿十度五十三分、赤道危宿八度半；木星在黄道室宿十七度六十八分、赤道室宿十四度少；火星在黄道危宿九度八十四分、赤道危宿九度；土星停留在黄道虚宿七度四十分、赤道虚宿七度半。新历推算月亮在黄道危宿十三度五分、赤道危宿十二度；木星在黄道室宿十八度一十分、赤道室宿十六度半强；火星在黄道危宿十度八分、赤道危宿九度；土星在黄道虚宿六度六十分，刚开始停留，赤道虚宿六度半强，刚开始停留。三历官验证，月亮在赤道危宿十度，木星在赤道室宿十六度多，火星在赤道危宿九度半，土星在赤道虚宿六度半弱。现在考察，月亮方面，《统元历》精密，《纪元历》和新历都较疏；木星方面，新历稍精密，《纪元历》和《统元历》都较疏；火星方面，《纪元历》和新历都稍精密，《统元历》较疏；土星方面，新历稍精密，《纪元历》和《统元历》都较疏。二十七日早晨的度数是：《统元历》推算木星在黄道壁宿初度四十六分、赤道壁宿初度太强；火星在黄道危宿十二度九十二分、赤道危宿十二度强；土星停留在黄道虚宿八度九十八分、赤道虚宿九度。《纪元历》推算木星在黄道壁宿初度二十五分、赤道壁宿初度分空；火星在黄道危宿十二度九十七分、赤道危宿十一度；土星停留在黄道虚宿七度四十八分、赤道虚宿七度半。新历推算木星在黄道壁宿初度四十四分、赤道壁宿初度少强；火星在黄道危宿十二度二十二分、赤道危宿十一度半；土星停留在黄道虚宿六度六十分、赤道虚宿六度半强。三历官验证，木星在赤道壁宿初度少，火星在赤道危宿十一度，土星在赤道虚宿六度半。现在观察木星，新历稍精密，《纪元历》《统元历》都较疏；火星，《纪元历》完全精密，《统元历》和新历都较疏；土星，新历稍精密，《纪元历》《统元历》都较疏。” 由此朝廷才知道三种历法的差异，于是诏令太史局参照新旧历法施行。礼部说：“新旧历官彼此说法不同，实际参照很困难；新历比旧历稍微精密。”皇帝下诏采用新历，命名为《乾道历》，在己丑年颁行。刘孝荣有《考春秋日食》一卷、《汉魏周隋日月交食》一卷、《唐日月交食》一卷、《宋朝日月交食》一卷、《气朔入行》一卷、《强弱日法格数》一卷。志第三十五　律历十五 乾道四年，礼部员外郎李焘说：“《统元历》施行已经很久，与天象不合，当然应当如此；《大衍历》号称最精密，使用它也不过三十多年，后世想长期施行也很困难。历法还没有出现误差，就无法知道它的缺点；没有经过验证，也无法知道它正确。仁宗使用《崇天历》，从天圣年间到皇祐四年十一月发生日食时，两个历法都没有应验，于是诏令参照唐代八种历法和宋代四种历法重新确定，结果都认为《景福历》最精密，便想改造历法。但刘羲叟说：‘《崇天历》颁行超过三十年，误差很少，怎么能偶然因为天象变化，就轻率地议论改动？’他又说：‘古代圣人制定历象的本意，只在于恭敬地授予民众时令；即使预先考察日月交会，也不必与时辰完全吻合，或许会有迟速变化，未必只是历法有误。’于是听从刘羲叟的意见，重新使用《崇天历》。刘羲叟的历学在宋代首屈一指，欧阳修、司马光等人都遵照使用它。《崇天历》恢复使用后又过了十三年，到治平二年，才开始改用《明天历》，历官周琮等人都得到升迁。又过了三年，验证熙宁三年七月的月食没有应验，于是诏令恢复使用《崇天历》，并夺回周琮等人先前升迁的官职。” 熙宁八年，开始改用《奉元历》，沈括实际上主持了这项议论。第二年正月发生月食，立即没有应验，皇帝下诏询问因修历而获得恩赏的人的姓名，沈括详细上奏辨解，因此《奉元历》没有被废弃。有见识的人认为沈括是在强词辩解，不承认他在历法方面有很深造诣。后来才知道刘羲叟的话是正确的。希望申明告诫历官，更加用心深思，不要拘执于当前认为正确的说法；多多招募有才能的人，反复研究讨论，重新制定精密的数值，补充修订新历。”因为李焘曾奉诏监督测验，遇到新历推算月亮、荧惑星有误差，担心历书完成后误差可能更多，反而受到有才能者的讥笑，于是诏令各道访求通晓历法的人。过了很久，福州平民阮兴祖上言说新历有差错，荆大声没有把此事报告礼部，却补授阮兴祖为太史局学生。起初，新历完成时，荆大声和刘孝荣共同制定。到这时，荆大声才另创一法，把月亮在九道中的运行变化转换为赤道度数，与刘孝荣在后续问题上产生分歧。秘书少监、崇政殿说书兼权刑部侍郎汪大猷等人说：“奉诏在御史台监督召集局官，参照计算明年月亮的宿度，并把注释写成奏牍供御览，务求符合实际。如今荆大声等人推算明年正月至月末九道月亮变换为赤道度数的运行情况，限在十二月十五日以前完成稿本；到了正月之内，臣等召历官登台，使用浑仪监督验证其疏密。”皇帝同意了。

译五年，国子司业兼权礼部侍郎程大昌、侍御史单时、秘书丞唐孚、秘书郎李木说：“都省下令，灵台郎兼历算官盖尧臣、皇甫继明、宋允恭等人说：‘如今重新编造《乾道新历》，朝廷多次委派官员确定、验证，发现推算日月交食接近天道，五星运行度数也确实符合各自的躔次，只有九道月亮的运行有时还不够精密。访求能够精通历法的人来补订新历，半年以来没有人响应诏令，只有荆大声另创一法，与刘孝荣的《乾道历》一起确定、验证正月内九道月亮的运行度数。现在这两种方法都还不能比天道更精密，《乾道历》关于月亮的一种方法与各历法比较，也都不够完善。如今取其精微之处，编成一种方法，先推算到正月内九道月亮正对赤道的宿度，希望委派官员与刘孝荣、荆大声验证。如果确实精密，就把修订后的九道经法交给定验官，再召集刘孝荣、荆大声等人一同登台，推算明年九道月亮正对赤道的宿度，逐项确定月份并验证，采用其中较好的方法。’程大昌等依据荆大声、刘孝荣所提供的正月内月亮九道宿度，已经到太史局完成上旬、中旬的测验；又取荆大声、刘孝荣、盖尧臣三家所提供的正月下旬月亮宿度，参照查看并测验其疏密；盖尧臣、皇甫继明、宋允恭请求分别列出今年月亮的九道宿度。想按照每个人的请求，限定一个月内，各自列明今年月亮从九道变换到黄道、正对赤道时所在宿的某一度数，依照历法写成稿本，送到御史台，由测验官随时查看验证，然后判断各家的疏密。裴伯寿上书说：刘孝荣自己陈述，预先确定丁亥年四月初一的日食、八月十五的月食，都没有应验。他又确定去年二月十五夜二更五点会发生九分以上的月食，月亮出地后又恢复圆满。臣曾经向宰相说，这个月食应当在月亮全食后出地；《纪元历》也推算为全食后出地，开始生光在戌初二刻，恢复圆满在戌正三刻。那天晚上，月亮出地时有微云，到了黄昏时看见月亮已经完全被食，到了戌初三刻果然开始生光，由此可知是月亮全食后才出地；恢复圆满在戌正三刻，当时是二更二点，臣所说最终得到验证。刘孝荣说现行历法推算交食比实际天象早六刻，而这次确定月亮恢复圆满却比实际天象晚四刻，新历的错误实在太严重。第一项叫推算节气和朔日。刘孝荣先前说节气差一天，观察日影后才知道自己的错误，这是不懂得验证节气之气的人。臣验证节气之气，即使相差一二刻也能知道。《纪元历》的节气，自崇宁年间开始测验，到现在六十多年，不能没有小的误差；如果不经过测验，怎么知道它的错误呢？凡是日月相合形成朔日，都以交食作为验证；如今交食已经有误差，朔日也就不能相合了。第二项叫推算节气收发，只说卦气和物候而已。第三项叫推算太阳运行的宿度。新历竟然采用《纪元历》二十八宿的赤道度数，到了分宫时，却突然减去《纪元历》过宫三十多刻，完全没有道理和依据。而且把赤道宿度转换为黄道宿度时，娄宿、胃宿突然比《纪元历》减少半度。按历法术数，娄宿、胃宿合计应为二十八度，娄宿应为十二度多；如今新历把娄宿定为十二度半，竟抛弃了四分之一度。室宿、轸宿又虚收而增加很多，少数宿度发生变换，分宫既然错误，所以乾道己丑年太阳过宫的度数出现误差。第四项叫推算日影和漏刻。新历与前代史书不合。唐开元十二年在全国测量日影，安南测得夏至正午日影在表南三寸三分，新历计算却在表北七寸；铁勒测得冬至正午日影长一丈九尺二寸六分，新历计算日影长一丈四尺九寸九分，竟相差四尺二寸七分。新历的错误大致就是这样。第五项叫推算月亮的运行。各历法关于月亮运行迟速以及朏、朒的极限数值本来相同，新历却使朏的极限数值比朒的极限数值少四百九十三分，使疾的极限数值比迟的极限数值少二十分，不符合历法。第六项叫推算日月交会。新历妄自设置阳准、阴准等差别，大概是想勉强符合过去的交食；其中又有不相合的地方，便迁就所谓天道，所以预先确定丁亥、戊子两年的日食月食，马上就显出了差错。第七项叫推算五星。用浑仪测验新历所定的星度，与天象不相合。大概是刘孝荣和共同编历的人都不能探究根源、了解头绪，于是先编造历法，后来才进行测验，前后次序颠倒，因而产生许多差错。应当先立表验证节气之气，用窥管观测七政，然后制定历法，怎么能拾取一些零碎旧说，越过并接续旧历，就当作新的方法呢？新历源自五代民间的《万分历》，其中朔余数值过大，通晓历法的人往往鄙视它。如今刘孝荣把万分历的数值乘以三，改作三万分作为日法，是为了掩盖“万分”这个名称。三万分历其实就是万分历。因为朔余过大，刘孝荣于是减少其中的分数，却又增加设置秒，这种做法不合历法格式。从上古直到宋代的各历法，朔余都没有秒；而且刘孝荣不知道王处讷在万分历上增加二分，制定《应天历》的日法，朔余为五千三百零七，自然不需要秒，并且废除了王朴采用秒的历法。臣自从参与制定《统元历》以后，潜心研究又有三十多年，考察各家历法，得失都很清楚。如果确实授予臣演算编撰的职务，臣应当与太史官立表验证节气之气，观测七政，运算并制定历法，必定远胜前代历法。皇帝下诏把这篇奏书送给监督测验的官员详细审查，再上达尚书省。当时谈论天文的人都以自己的技术相互争高低，彼此诋毁。谏议大夫单时、秘书少监汪大猷、国子司业权礼部侍郎程大昌、秘书丞唐孚、秘书郎李木说：“《乾道新历》由荆大声、刘孝荣共同主持制定同一套方法，从最初测验直到暂时施行，两人没有不同意见。后来因为新历不够精密，诏令访求通晓历法的人，刘孝荣却控告阮兴祖是因为荆大声才补为局生，从此争论纷纷不止。荆大声以判局提点历书为官名，却说不应当责成他制定历法、起算数值，不知道起历授时究竟凭借什么。并且正月内五个夜晚，拿来比较刘孝荣所定的五天，全部有差错；荆大声所定的五天中，有三天准确，两天稍疏。后来裴伯寿进呈奏状献上方法，单时等将请求把他的历书送上台测验，务求得到最恰当的结果；但荆大声等人正居其官位，竟然粉饰言辞、逃避事务，使测验不能精密。况且荆大声、刘孝荣共同制定新法，如今仍反复争论。如果不让他们各自详细陈述见解，日后历法完成，荆大声妄加动摇，就会使此前的功劳全部废弃。请命令刘孝荣、荆大声、盖尧臣、裴伯寿各自列明乾道五年五月以后直到年终，月亮和五星逐日正对赤道的躔度，上交御史台，让测验官参考。” 皇帝下诏同意。

译六年，日官说：“近来奉诏暂时使用《乾道历》推算，如今今年的历书要颁行天下，明年将用哪一种历法推算？”皇帝下诏也暂时使用《乾道历》一年。秋季，成都研究历法的进士贾复自行上言，皇帝诏令征求推明荧惑星和月亮两项的人，他由转运使资助送到临安，希望制成新历后返回蜀地，并进呈《历法九议》。孝宗嘉许他的志向，让他住在京学，赐给廪禄。太史局李继宗等人说：“十二月十五日的月食，大分为七、小分为九十三。贾复、刘大中等人对于亏始和食甚所在的夜间时刻，各有不同。”诏令礼部侍郎郑闻监督李继宗等人测验。当夜月食八分。秘书省说，灵台郎宋允恭、国学生林永叔、草泽祝斌、黄梦得、吴时举、陈彦健等人分别推算日食的时刻和分数，彼此不同。于是诏令谏议大夫姚宪监督李继宗等人测验五月初一的日食。姚宪上奏说时刻和分数都有差错，李继宗、吴泽、荆大声分别受到削职、降官等处分。” 太史局春官正、判太史局吴泽等人说：“乾道十年颁赐的历日中，已经把十二月定为小尽，并在乾道十一年正月初一注明：癸未朔，直到乾道十一年正月初一。《崇天历》《统元历》计算为甲申朔，《纪元历》《乾道历》计算为癸未朔。如今《乾道历》正朔的小余，大约还不到进位限额四十二分，这是一个疑朔。进一步考察日月运行来确定月份朔日的大小，据此推算，应当是甲申朔。如今历官没有加以精细研究，直接把癸未写作正朔，臣私下担心有误，请再次推算。”于是让李继宗监督验证，大家都认为这一年正月初一应当用甲申。又因为今年五月初一有日食，本局官员和学生观测到天象，日食四分半：亏始在西北，午时五刻半；食甚在正北，未初二刻；复满在东北，申初一刻。后来又命林永叔等五人分别说明五月初一日食的分数以及亏始、食甚、复满的时刻，结果全都不同。与现行《乾道历》相比较，五月初一的天象日食被多算了二分少强，亏始时刻少算了四刻半，食甚少算了三刻，复满少算了二刻以上。又考察《乾道历》与《崇天历》《纪元历》《统元历》相比，日食亏始的时刻较为接近；与《乾道历》自身比较，日食亏始的时刻则有所不足。李继宗等参考来年十二月应为大尽，以及十一年正月初一应当用甲申朔；但太史局丞、同判太史局荆大声说，《乾道历》所定时刻的小余还差四十二分才达到进位限额，确定今年五月初一日食亏始在午时一刻。如今测验五月初一日食亏始在午时五刻半，《乾道历》所定时刻少了四百五十分；如果依据天象时刻预先确定乾道十二年正月初一，就已经超过甲申日四百五十分。荆大声现在又重新指定乾道十一年正月初一应为甲申朔，十年十二月应为大尽，请依照太史局详细审定的结果施行。”五月，诏令历官详细审定。淳熙元年，礼部说：“今年颁赐历书，暂且采用《乾道新历》推算；明年还想暂时采用《乾道历》。”诏令同意。十一月，诏令太史局春官正吴泽推算太阳交食，结果与实际不同，命秘书省下令责罚他，并处罚制定历法的人。淳熙三年，判太史局李继宗等上奏：“命令在局中集中通晓历法、能够通算的人重新编造新历。现在已编成新历七卷、《推算备草》二卷。拿它同《纪元》《统元》《乾道》诸历校验，新历最为精密，希望赐给它历名。”于是诏令命名为《淳熙历》。淳熙四年颁行，并命礼部、秘书省详细审议后上报。淳熙四年正月，太史局说：“淳熙三年九月十五日，发生月食。用《纪元》《统元》《乾道》三种历法推算，初亏在攒点九刻，食分达到二分和三分以上；用新历推算，初亏在明刻以内，食分为空大分，只在小分百分之二十七。那天夜里，观测月体明亮，虽然有云却没有遮蔽，直到天亮也没有看见亏食。因此可以看出，《纪元》《统元》《乾道》三历不如新历精密。现在应预先推算淳熙五年历，只是旧历疏漏粗略，而新历尚未施行，请赐给新历名称，交付有关部门推步计算。” 礼部查验得知，孟邦杰、李继宗等所规定的五星运行度数，各有不同。李继宗说：六月癸酉日，木星在氐宿三度一十九分。孟邦杰说：夜昏时测量，木星在氐宿三度半；“半”是五十分。虽然看见月体，但西南方有云遮蔽。李继宗说：这个月戊寅日，木星在氐宿三度四十一分。孟邦杰说：四面都有云，虽有时从云间露出月体，但能够测到的木星在氐宿三度太；“太”是七十五分。李继宗说：庚辰日，土星在毕宿三度二十四分，金星在参宿五度六十五分，火星在井宿七度二十七分。孟邦杰说：五更五点以后测得，土星进入毕宿二度半；“半”是五十分。金星进入参宿六度半，火星进入井宿八度多三分。李继宗说：七月辛丑日，月亮在角宿初度七十一分，木星在氐宿五度七十六分。孟邦杰说：测得夜昏时月亮进入轸宿十六度太；“太”是七十五分；木星进入氐宿六度少；“少”是二十五分。宋孝宗说：“自古以来历法没有不发生误差的，何况近世这种学问失传了，即使到民间去寻求，也很难找到这样的人。” 诏令暂时施行并颁用《淳熙历》一年。

译淳熙五年，金国派使者来朝贺会庆节，妄称他们国家历法九月庚寅为晦日，实际应是己丑晦日。接伴使、检详丘辨明了这一点，使者无言可答，于是朝廷更加重视历法之事。李继宗、吴泽说：“今年九月是大尽，有三十日。二十八日早晨观测，月亮已离开东方浊高六十多度，这说明月亮向东运行，尚未到达太阳所在的位置。然而月亮一昼夜向东运行十三度多；按月亮的运行度数计算，再减去二十九日早晨月亮运行的十三度多，月亮仍有四十六度以上没有运行到太阳的位置，所以九月为大尽是明确的。金国把九月定为小尽，本不应看见月体；现在既然看见了月体，就不是晦日。请在九月三十日、十月一日派官员查验。”诏令派礼部郎官吕祖谦前往。吕祖谦说：“本朝十月为小尽，初一日辛卯为朔日，夜昏时月亮运行到尾宿七度七十分。月亮一昼夜平均运行十三度三十一分，到初八日上弦时，月亮共运行九十一度多。按历法，从朔日到上弦，月亮平均运行九十一度三十一分，应当在室宿一度太。” 金国十月为大尽，初一日庚寅为朔日，夜昏时月亮约在心宿初度三十一分。月亮一昼夜也平均运行十三度三十一分，从朔日到本朝初八日，也就是金国初九日，月亮已经运行一百零四度六十二分，比本朝十月初八日上弦时的月亮多运行了一昼夜的度数。现在测得月亮在室宿二度，计算运行了九十二度多，这才知道本朝十月初八日上弦，比金国历法更符合天道。”诏令吕祖谦再次测验。这天夜里，孟邦杰用浑天仪等器物测验，月亮在室宿四度；本月初八日上弦夜里测得月亮在室宿二度。按历法，月亮平均运行十三度多，运行较慢时为十二度。现在测得的月亮与初八日夜相比又向东运行了十二度，确实符合天道。淳熙十年十月，诏令说：甲辰年历书上的字有错误，命礼部重新印造，颁赐给安南国。李继宗、吴泽以及荆大声分别受到削职、降官等处罚。淳熙十二年九月，成忠郎杨忠辅说：“《淳熙历》简陋，和天道不相符合。今年三月十五日的月食发生在三更二点，而历法记在二更二点；实际亏食四分，而历法记为将近五分。四月二十三日，按历法水星应当在当晚伏没，但水星正与太白金星一起运行在东井之间，黄昏出现时，距离浊高仍有十五度多。七月十五日前，土星已经伏没，而历法还记载为可见。八月还未到上弦，金星已经越过氐宿，而历法仍记在亢宿。这类错误很多，朔日发生误差已经八年了。守着这样疏漏破旧的历法而不能革除旧弊，难道可以吗？我对《易》略微窥见大衍之旨，创立日法，编撰推演新历；不敢直接进言，实在是害怕太史局因循过错、掩饰非是。依靠刻漏，水的增减、快慢会有变化；依靠浑仪，度数又有宽窄、斜正的差异。所幸今年九月的交食发生在白天，而《淳熙历》推定应在夜间；用昼夜来辨验，就不必争论而可以判定。谨用忠辅新历推算：淳熙十二年九月望日，定在乙未日，月亮交食大分四、小分八十五；晨度带入渐进大分一、小分七；初亏在东北方，卯正一刻一十一分，是日出以前。” “食甚在正北方，辰初一刻一十分；复满在西北方，辰正初刻，也就是日出以后。当天日出在卯正二刻以后，和初亏相距不到一刻。按地形来说，临安在岳台以南，秋分以后白昼的刻数比岳台长，太阳应当先于历法所定时间升起，所以知道月亮开始亏食时，日光已经很强，必然看不见月食。用《淳熙历》推算，九月十五日夜间月食大分五、小分二十六；带入渐进大分三、小分四十七；初亏在东北方，卯初三刻，即攒点九刻以后；食甚在正北方，卯正三刻以后；复满在西北方，辰正初刻以后，也都发生在白天。”礼部于是考察其中的异同。宋孝宗说：“日月运行有疏有密，所以历法久而久之不可能没有误差；大体说来，月亮运行快时，通常是历法推算赶不上实际，不会超过实际。可以派台官和礼部官员共同查验。”诏令派礼部侍郎颜师鲁前往。当夜戌正二刻，阴云遮蔽月亮，无法辨明是否亏食。颜师鲁请求诏令精通历学的人与太史局共同制定历法。宋孝宗说：“历法久了必然有误差，我听说来年有两次月食，可以等到那时查验吗？” 淳熙十三年，右谏议大夫蒋继周说，应当试用民间懂星象历法的人，选拔提领官来主管此事，以重视这一事务，像祖宗时期的制度一样。宋孝宗说：“朝廷士大夫很少有懂星象历法的，不必专门设置提领官。”于是诏令各州、军将当地通晓天文历算的人列名上报。八月，平民皇甫继明等陈述：“今年九月望日，按《淳熙历》推算应在十七日，实际说明历法已经破旧失误。太史局却把望日记在十六日下面，徇私迁就，以掩盖错误。请制定新历。”杨忠辅又请求，与历官刘孝荣及皇甫继明等各自详细陈述意见，共同采用历法，确定今年八月十六日月亮亏食的发生时刻早晚、是否带出、所见食分及各阶段、开始生光和复满的方向、时辰刻数、更点，分别查验，以符合天象，折中历法的疏密。又请在今年八月二十九日查验月亮是否在东方出现；如果看见月亮余光，那么这一天就不应当作为晦日。又在今年九月十六日查验月亮是否尚未圆满；如果看见月体向东的一面光线仍然微薄，那么这一天就不应当作为望日。知道晦日、望日的误差，朔日的误差也就明白了。必须使节气与朔日之间毫无分毫误差，才可以推演编造新历。此事交给礼部议论，各自陈述预先的判断，确定月亮亏食的分数、方向和时刻，进行查验并折中裁定。诏令颜师鲁、蒋继周监督此事。后来刘孝荣差一点，皇甫继明等差二点，杨忠辅差三点，于是停止派遣他们。淳熙十四年，国学进士、会稽人石万上书说：

译“《淳熙历》确定历元不正确，节气和朔日多有误差，不能与天象相合。按淳熙十四年的历法，清明、夏至、处暑、立秋四个节气，以及正月望日、二月和十二月下弦、六月和八月上弦、十月朔日，都差一天。至于卦候、盈、虚、没、灭、五行用事，也都随着节气和朔日的误差而错。南渡以来，浑仪只是草创，已不合制度；没有圭表来测量日影长短，没有机漏来确定交食发生的时刻。即使想考察纠正这些误差，太史局官员还像去年测验月亮亏食那样：自一更一点月亮复光一分以后，有时一点复光二分，有时一点复光三分以上，有时一点复光三分以下，使更点忽快忽慢，随着日影任意操弄，肆意欺骗蒙蔽。如果依照晋泰始、隋开皇、唐开元年间考订历法的旧例，把《淳熙历》和我所造的历法分别向上推演到千百世以前，用来寻求交食，以及岁、月、日、星辰在经史中明确记载的现象，考察是否相合；然后再向下推演，以确定节气和朔日，那么与上古不合的就是误差，与上古相合的就不是误差，这很容易看出来。” “然而它的错误不只是这些。冬至时太阳运行到最南，黄道偏出赤道二十四度，白昼最短，所以是四十刻；黑夜最长，所以是六十刻。夏至时太阳运行到最北，黄道进入赤道二十四度，白昼最长，所以是六十刻；黑夜最短，所以是四十刻。春分、秋分时，黄道、赤道相平，昼夜相等，所以各为五十刻。这是中原地区古今不变的法则。到了王普重新确定刻漏，又有南北地域不同、冬夏昼夜长短相差三刻的情况。现在《淳熙历》全都不是这样：冬至白昼四十刻、最短，黑夜六十刻、最长，却定在大雪前两日，误差超过一个节气；冬至以后，白昼本应逐渐变长，黑夜逐渐变短，但现在已经过了小寒，白昼仍是四十刻，黑夜仍是六十刻，误差七日有余；夏至白昼六十刻、最长，黑夜四十刻、最短，却定在芒种前一日，误差也超过一个节气；夏至以后，白昼本应逐渐变短，黑夜逐渐变长，但现在已经过了小暑，白昼仍是六十刻，黑夜仍是四十刻，误差也有七日有余；至于昼夜各为五十刻，也不在春分、秋分之日。” “至于太阳的出入，人们据此把它作为昼夜；昼夜有长短，而且逐渐变化，不可能突然变快或变慢，突然变快或变慢就是异常。如今太阳出入每增减一刻，近的相隔五日，远的相隔三四十日，而且一会儿快、一会儿慢，没有一次符合太阳运行的正常度数。请考察并订正《淳熙历》法的误差，使它对上不违背天时，对下不背离人事。” 把这件事送交秘书省、礼部详细审议。皇甫继明、史元寔、皇甫迨、庞元亨等说：“石万所撰《五星再聚历》，采用一万三千五百作为日法，只不过窃取唐末《崇元》旧历而委婉地改了名称罢了。《淳熙历》制定的历法疏漏错误，丙午年定望在十七日，太史局知道这样不对，于是把望日记在十六日下面，以掩盖错误。我们曾请求与太史局官员当面对辨，设置机构更改历法，至今仍未施行。现在考察《淳熙历经》，它对将来的推算又有误差。戊申年十一月下弦在二十四日，太史局官员一定会等到颁历时，又擅自改到二十三日。历法本身不足以凭信，必定要靠迁就来掩饰；而朔、望、上弦、下弦是历法的纲纪，只要其中有一项失误，那么五星的盈缩、日月的交会，以及黄昏和黎明时的中星、昼夜的晷刻，都无法校正。浑仪、景表、壶漏等器具，我们私家都没有，所以历书的编成还需要等待。自本朝以来，必定要设置专局，历法才能编成。请依照改造大历的旧例，设置机构更改历法，以消除太史局的弊病。”事情上报后，宰相王淮奏请免送后省看详。宋孝宗说：“让秘书省各司共同审察，也可以免得再有意见不同的争论。” 六月，给事中兼修玉牒官王信也谈到更改历法之事，认为历法深奥，如果不详细加以测验，就无法看出它是疏漏还是精密。请命皇甫继明和石万各自编造来年一整年的历书，取其中没有误差的采用。诏令同意。十二月，他们进呈所造历书。王淮等奏说：“石万等的历日与淳熙十五年历相差两个朔月；《淳熙历》把十一月下弦定在二十四日，恐怕历法有误。”宋孝宗说：“朔日怎么可以有误差？朔日一错，所造成的错误就多了。”于是命吏部侍郎章森、秘书丞宋伯嘉参详确定后上报。淳熙十五年，礼部说：“石万等所造历法与《淳熙历》的法则不同，应当以该年六月二日、十月晦日月亮本不应出现却出现的现象作为验证，同时议论《淳熙历》把下弦定在十一月二十四日不合适，请在这一天派官员监督。”诏令礼部侍郎尤袤与章森监督。六月二日，章森奏说：“这天夜里月光明亮，到一更二点才进入浊。”十月晦日，尤袤奏说：“天亮以前月亮出现在东方。”宋孝宗问：“各家的历法哪一家疏漏少、精密？”周必大等奏说：“三人都确定为二十九日早晨，月体还留有一分；只有杨忠辅、石万认为既然还有月体，就不应当是小尽。”宋孝宗说：“十一月合朔在申时，所以二十九日还留有月体。” 淳熙十六年，承节郎赵涣说：“历象的大法以及《淳熙历》，今年冬至和十二月望日的月食都比天象晚一个时辰，请派官员测验。”诏令礼部侍郎李巘、秘书省邓驲等前往查看。李巘等请求像乾道年间的旧例一样，用太史局浑仪测验，并派秘书省提举一人专门监督。诏令派秘书丞黄艾、校书郎王叔简负责。绍熙元年八月，诏令太史局重新编造新历并颁行。绍熙二年正月，进呈《立成》二卷、《绍熙二年七曜细行历》一卷，赐名《会元》，诏令李巘为它作序。

译绍熙四年，平民王孝礼说：“今年十一月冬至，按日影测量，圭表应在十九日壬午；《会元历》所注却在二十日癸未，相差一天。《崇天历》把癸未日冬至发生的时刻定在酉初七十六分，《纪元历》定在丑初一刻六十七分，《统元历》定在丑初二刻二分，《会元历》定在丑初一刻二百四十分。到现在已经八十七年了，始终在丑初一刻，不但没有减少反而增加。《崇天历》确实是在天圣二年编造的，《纪元历》是在崇宁五年编造的，计算已有八十二年。当时测量日影、验证节气，像冬至比天象迟到，于是减少六十七刻半，才与天道相合。此后陈得一编造《统元历》，刘孝荣编造《乾道》《淳熙》《会元》三历，却从未测量日影。如果不立表测影，就无法知道误差。请派官员命太史局用铜表与我一同测验。”朝廷虽然同意了，但没有来得及改制。”}], 庆元四年，《会元历》的占候推算多有差错，日官和民间人士的意见也互有异同。诏令礼部侍郎胡纮充任提领官，正字冯履充任参定官，命监杨忠辅制造新历。右谏议大夫兼侍讲姚愈说：“太史局的文籍散失，测验用的器具又不完备，怎么能不逐渐变得疏漏简略呢！汉元凤年间，谈论历法的有十家，长期争议而不能决定；考察经籍，验证帝王记录，然后是非才完全显明。唐元和年间，认为《太初历》违背天道越来越远，朔日、晦日的推算失实，于是让治历者加以修订；由于没有文字记载可以验证，各种议论纷纷而起，过了三年才确定下来。这没有别的原因，是因为没有儒者总揽其纲领，所以才到了这种地步。《周官》所说的冯相氏、保章氏掌管记录日月星辰的运行，而冢宰实际上总领此事。汉初，历官仍然属于宰相的属官。熙宁年间，司马光、沈括都曾提举司天监，所以当时历法和推算清楚精审，法度严密。请下令让儒臣长期兼任提举，使他们专心负责此事。” 庆元五年，监察御史张岩弹劾冯履倡说邪僻之辞，冯履被罢免。诏令各地把通晓历算者列名上报。杨忠辅的历法完成后，宰臣京镗进呈朝廷，赐名为《统天》，颁行天下。全书包括《历经》三卷、《八历冬至考》一卷、《三历交食考》三卷、《晷景考》一卷、《考古今交食细草》八卷、《盈缩分损益率立成》二卷、《日出入晨昏分立成》一卷、《岳台日出入昼夜刻》一卷、《赤道内外去极度》一卷、《临安午中晷景常数》一卷、《禁漏街鼓更点辰刻》一卷、《禁漏五更攒点昏晓中星》一卷、《将来十年气朔》二卷、《己未庚申二年细行》二卷，共三十二卷。庆元五年七月初一辛卯日，《统天历》推算有日食，但因云阴而没有看见。庆元六年六月初一乙酉日，推算有日食，实际却没有应验。嘉泰二年五月初一甲辰日发生日食，诏令太史局官员与民间人士在朝廷会集验证。太阳在午初一刻开始亏缺，到未初刻恢复圆满。《统天历》比实际天象提前一辰半，于是罢免杨忠辅，诏令各地通晓历法的人应召入朝，修订治理历法。开禧三年，大理评事鲍澣之说：“历法，是天地的大纲纪，是圣人用来观察天象、辨明时令，依据数理制定法则，以便先于民众安排事务并告知后世的。自黄帝以来直到秦、汉，六种历法都保存着，它们的法则简易，出自同一套方法。历法施行久了，逐渐与天道不相符合，于是《太初历》和《三统历》的方法相继改制；推步计算的方法越来越疏略，因此刘洪、祖冲之删减斗分、追求月行规律之后，推测方法才开始更加详密。到了李淳风、一行以后，统合节气和朔望而使之相合，效法乾坤运行来拟定数理，演算方法才开始更加完备。所以后世论述历法，逐渐变得精密，并不是超过古人太多，而是因为长期积累习用和考验，所得结果更加审慎。试以近代历法来说：从唐代《麟德历》《开元历》直到五代所制定的历法，再到本朝初年的《应天历》以及《绍熙历》《会元历》，前后更换了十二部书，无不推求上元开辟，把它作为推演纪年的起点，使节气和朔望同元，日月五星会合于初度。从这里推步计算，以此作为历法的根本，从未敢擅自截断推算，而在其中设置加减数。只有石晋天福年间，马重绩另造《调元历》，不再推求古代上元甲子七曜会合的时刻，而把它施用于当时；五年便发生差错，终于不能使用，有识之士都责怪他。” 如今朝廷自庆元三年以来测验节气时刻和日影，发现旧历比天象晚了十一刻，于是改造新历，赐名《统天》。新历进呈不久，推算日食就已经不应验了，这一点还可以说。但这部历书推演纪年的起点始于唐尧在位二百多年之后，并不是开辟之初；节气、朔望和五星都设置了虚加、虚减之数；节气和朔望的积算，又有泛积、定积等繁琐方法。用外算加上朔余，用距算减去转率，完全没有强弱之法，把旧有的方程法全部废弃。其余差错和疏漏，更无法一一说尽。以这样的办法制定历法，只是民间的小历，而不是朝廷颁布正朔、授予民众时令的历书。汉人认为历元不正确，所以盗贼接连不断；这种说法虽然迂曲荒诞，但历法纲纪得不到治理，确实是国家的重大事务。希望诏令有关部门选任演算撰修历法的官员，招募通晓历法的人，设置机构共同讨论，重新制定新历，使众人集中智慧、合议商定，调理日法，追随并迎合天道，这样才可以施行长远。” 鲍澣之又说：“当杨忠辅推演制定《统天历》时，我常常参与讨论历法事务。如今看到《统天历》差错很多，我也私下制定了一部新历。如果确实要改订新历，请允许我把它进呈，和太史局、民间人士等所制定的历法相互参考。”七月，鲍澣之又说：“《统天历》推算明年的闰月有差错，希望把各人进呈的历法交给秘书省考察参考，颁布施行。”

译秘书监兼国史院编修官、实录院检讨官曾渐说：“改订历法，是重大事务。古代主持历法事务的人，无不是精通道术、深究历理的人，如太史公、洛下闳、刘歆、张衡、杜预、刘焯、李淳风、一行、王朴等，然而仍然经过很久也不能完全没有差错。其余的人不过是相互承袭前人的说法，依照大概的规则进行乘除，舍弃短处而取其长处，使疏略的变得精密罢了，并没有卓越而独到的见解。一时偶然推算正确，随即又会出现差错。宋朝的弊病在于屡次改换历法。《统天历》刚开始颁行时，推算日食就已经没有应验；因循到如今，连置闰也差了一个月，它确实应当改订，这是毫无疑问的。然而朝廷把一代的大典交给专门官署负责，必得其人确实能够著述立论，驳倒现行历法的错误，使众多人的意见信服，这样才可以看出成效。考察乾道、淳熙、庆元三次改历，都出自刘孝荣一人之手，后来便被杨忠辅超过。时间久了，杨忠辅的历法也不应验，所以刘孝荣至今仍安然任职。绍熙以来，王孝礼多次自行陈述其才能，每次预测验证，有时应验，有时不应验；李孝节、陈伯祥本来都是杨忠辅的门徒；赵达是卜筮一类的人；石如愚进献他父亲的历书，却不接受测验日影，只确定月食的分数，他的方法最为疏略；” 陈光则连交食也不加以论定，更没有什么依据。这几个人中，不知道谁可以委托，所以鲍澣之屡次提出请求。如今如果下诏开设机构，不过是把这几个人召集起来，调和会通他们的说法，使他们不再争执。明年置闰的差错，关系极为重大。今年八月就应当向外国颁布历书，而在两三个月之间仓促成书、结案推赏，讨论又没有完成，必然会招致诋毁。如今刘孝荣、王孝礼、李孝节、陈伯祥所拟定的改历方案，以及鲍澣之进献的历法，都已经成书，希望把各部历法相互参考，选择其中最接近天道而且最精密的颁行，这样或许明年置闰就不会有差错。请按照先朝的旧例，搜访天下精通历书的人，采用沈括所议的方法，用浑仪、浮漏、圭表进行测验，每天记录，积累三年或五年，把前后结果相互比较，这样或许可以流传永久。” 曾渐又说：“庆元三年以后，节气时刻和日影与旧历相比已有差异；到庆元四年新历尚未完成时，本应颁布庆元五年历，于是派官员测算日影、节气、朔望以及加时辰刻，并附在《会元历》中颁赐。如今如果颁布明年的节气和朔望，既有去年十月以后到今年正月以前所测的日影，已经显示出天道冬至加时的分数；明年置闰与《统天历》相比也已经不同，加上各人进呈的历法都可以参考。请迅速下达给本省，召集判局官在本省考察参考，让鲍澣之复核，采用最接近天道的历法推算节气、朔望并颁行。”于是诏令曾渐充任提领官，鲍澣之充任参定官；民间精通算术而能造历的人、曾经进献历法的人以及制定《统天历》的人，都予以征召，于是《开禧》新历的议论开始确定。诏令暂时把戊辰年的历法附在《统天历》之后颁布。不久，婺州布衣阮泰发进献《浑仪十论》，并且说《统天历》和《开禧历》都有差错。朝廷命令他制造木制浑仪，赐给文书后罢免遣送他离开。嘉定三年，邹淮说历书有差错，应当改造。试任太子詹事兼同修国史、实录院同修撰兼秘书监戴溪等人说，请询问曾渐、鲍澣之制定历法的旧例。诏令戴溪充任提领官，鲍澣之充任参定官，邹淮负责推演撰修，王孝礼、刘孝荣提督推算官生十四人，日法采用三万五千四百。嘉定四年春，历法完成，还没有来得及颁行，戴溪等人离开朝廷，历法也随之搁置。韩侂胄主持国政时，有人说改历不是当务之急，从此再也没有人敢说历法有差错，于是《开禧历》附在《统天历》之后流行了四十五年。嘉泰元年，中奉大夫、守秘书监俞丰等人请求改造新历。监察御史施康年弹劾太史局官员吴泽、荆大声、周端友因循缄默、尸位素餐，说他们报告灾异不及时，诏令各降一级官职。臣僚们说：“颁布历法，是用来引导百姓安排生产生活的。近来历书在一日之内同时列出吉事和凶事，并且兼用各种异端说法，像土鬼、暗金兀之类，只是在凶神上面加注，尚且还可以；可是开头却标出九良的名称，末尾又列出九曜吉凶的办法、勘定婚期嫁娶的办法，至于《周公出行》《一百二十岁宫宿图》，凡是民间粗鄙庸俗的说法，无所不有。这难道是端正风俗、向四夷显示正道的办法吗？希望删去这些不合经典的说法。”朝廷采纳了他们的意见。嘉泰二年五月初一，发生日食，太史局认为是在午正时刻；平民赵大猷说是在午初三刻，半日食去三分。诏令著作郎张嗣古监督观察、测量验证，结果证明赵大猷所说正确，历官于是被治罪。嘉定四年，秘书省著作郎兼权尚左郎丁端祖请求考试司天监的学生。嘉定十三年，监察御史罗相说：“太史局推算七月初一会发生日食，到时却没有日食。希望命令他们同民间人士制定的新历精心加以讨论。”于是吴泽等人各降一官。淳祐四年，兼任崇政殿说书的韩祥请求召用隐居山林的布衣来制定新历。朝廷听从了。淳祐五年，因算造历法的成永祥推算原定日食发生在未初三刻，而实际发生在未正四刻；原先推算日食亏缺八分，实际只有六分，所以降成永祥一官。淳祐八年，朝奉大夫、太府少卿兼尚书左司郎中兼敕令所删修官尹涣说：“历法，是用来统摄天地、与造化相配的；自古以来，都是选择圣明智慧的人主管此事。后世把本应缓办的事急于办理，把本应急办的事拖延，只把有利于国家的事务看作钱谷财赋，把巩固边防的事务只看作筹划甲兵；至于天文、历数，则一概交给太史局，任其荒疏错谬，安然把欺骗当作常事，朝廷士大夫也没有人能够诘问他们。请召四方通晓历算的人到都城来，让历官向他们学习。”

译淳祐十一年，殿中侍御史陈垓说：“历法，是天地的大纲纪，是国家的重大事务。如今淳祐十年冬天颁布的淳祐十一年历，称说成永祥等人依照《开禧》新历推算，辛亥年十二月十七日立春在酉正一刻；现在颁布的历书却说相师尧等人依照《淳祐》新历推算，到壬子年立春在申正三刻。拿前一种历法来核对，竟然相差六刻，用这样的历法颁行天下，难道不被四方耻笑吗！况且许时正在演算撰修新历，准备革除旧历的弊病。又考察日食亏缺的分数，《开禧》旧历只差一二刻，而李德卿的新历差六刻二分有余；它与如今颁行的前后两部历书所记载的立春节气时刻分数也同样相差六刻。由此看来，旧历差得少，不能仓促废弃；新历差得多，不能轻易采用。如果一下子废除旧历而采用新历，不知凭借的是什么。请相互参考推算后再颁行。” 淳祐十二年，秘书省说：“太府寺丞张湜和李德卿共同计算制定历书，与谭玉后来进呈的历书颇有抵牾，秘书省官员参照订正两部历法的得失、疏密，报告如下。第一，谭玉指责李德卿窃取《崇天历》的日法，按三分之一使用。考察《崇天历》，它以一万五百九十为日法；李德卿以三千五百三十为日法，谭玉所说是对的。第二，谭玉指责积年数一亿二千二十六万七千六百四十六，不合历法。如今考察李德卿的算法，他所用积年数在一亿以上。第三，谭玉指责壬子年六月、癸丑年二月、六月、九月以及丙辰年七月置闰，都差一天。如今秘书省检阅林光世按照两家的历法分别推算。第四，李德卿的历法与谭玉的历法推算壬子年立春、立夏以下十五个节气的时刻都相同；雨水、惊蛰以下九个节气则各差一刻。第五，李德卿推算壬子年二月乙卯朔发生日食，日食带出后已经退去，所见大分为八；谭玉推算日食，带出后已经退去，所见大分为七。日辰位于壁宿的度数相同。第六，李德卿的历法把斗分定为三百六十五日二十四分二十八秒，谭玉的历法把斗分定为三百六十五日二十四分二十九秒，两部历法的斗分只相差一秒。” 只有二十八秒这一算法，起源于齐代祖冲之，而李德卿采用了它。假如祖冲之的算法可以长久适用，历代为什么还要不断增加它呢？谭玉既然指出它的错误，又多出一秒，怎么能断定一定符合天道呢！请允许他们商议推算，综合众家所长而合为一法，然后赐名颁行。”淳祐十二年，历法完成，赐名《会天》，宝祐元年开始施行，史书没有记载它的具体算法。咸淳六年十一月三十日是冬至，冬至以后置闰十一月。历法既已颁布，浙西安抚司准备差遣臧元震说：历法以章法为重要，章法又以章岁为重要。历数大概起于冬至，卦气起于《中孚》卦；十九年称为一章，一章之中必定设置七个闰月，第七个闰月必须在冬至以前，章岁中的冬至和朔日必须在同一天。所以《前汉书·律历志》说：“朔日早晨遇到冬至，叫作章月。”《后汉书·律历志》说：“冬至和朔日在同一天，称为章月。”“把积累的日数凑成闰月，闰七次而终结；这一年数为十九年，称作章。”《唐书·历志》说：“天数终于九，地数终于十，合并天地两个终数来记录闰余。”章法不能废弃，就是这样。如今颁布的庚午年历，却把前一个十一月三十日定为冬至，又把冬至以后定为闰十一月，不知道这样做的原因。大概庚午年的闰月不同于通常各年的闰月，庚午年的冬至也不同于通常各年的冬至。因为从淳祐壬子年数到咸淳庚午年，正好十九年，这就是章岁；其中的十一月就是章月。按照十九年设置七个闰月推算，闰月应当在冬至以前，不应当在冬至以后。按照冬至和朔日在同一天来论定，冬至应当在十一月初一，不应当在十一月三十日。如今把冬至定在前一个十一月三十日，就是章岁中的冬至和朔日不在同一天。如果把闰月放在冬至以后，那么十九年之内就只有六个闰月，还少了一个闰月。而且一章计算六千八百四十日，其中增加七个闰月，除去小月，累计应为六千九百四十日或六千九百三十九日，大约只会相差一天。如今从淳祐十一年辛亥章岁十一月初一日、章月冬至以后开始计算，十九年到咸淳六年庚午章岁十一月初一日，应当是冬至，这样正好管辖六千八百四十日。如今算造历法的官员把闰月放在十一月三十日冬至以后，那么这一章只有六个闰月；再加上六个闰月、除去小月以外，实际累计只有六千九百十二日，比前后章岁应有的日数实际少了二十八日。历法的差错，没有比这更严重的了。何况天正冬至是历法的开端，必须从冬至以后积累三年的余分，才可以设置第一个闰月。现在庚午年章岁丙寅日申初三刻为冬至，距离第二天丁卯只有四分之一日，而且还没有到正日，怎么能突然就有余分呢？没有余分，怎么能突然就有闰月呢？这样一来，后一章的开端就无法推算，其中的错误也就可以看出来了。现在想要改正它，有一种简便易行的办法。历法有平朔、经朔、定朔之分。一大一小，是平朔；两大两小，是经朔；三大三小，是定朔。如今既然采用定朔的说法，就应当把前一个十一月大改作闰十月小，把闰十一月小改作十一月大，这样丙寅日的冬至就可以作为十一月初一，把闰十一月初一的丁卯日作为十一月初二日，或许可以逐日推移到下一日设置闰月，十一月二十九日丁未才作为大尽日。这样，冬至既然在十一月初一，冬至和朔日就是同一天了；闰月既然在冬至节气以前，就是十九年置七闰了。这正是古人所说的“晦日与节气没有固定关系，随着时令的消长而变化”，上合于历法推算的开端，下可以在终了时收归余数，说的正是这种情况。历法运行久了，没有不发生差错的；既然发生差错，就没有不改正的。后汉元和初年历法发生差错，也是十九年不能置七闰，历法虽然已经颁行，也还是改正了它。如今为什么偏偏吝惜改正呢！元震认为某人是儒者，难道是想和历官争个高下吗？既然知道它有错误，怎么能默不作声而不说呢！于是朝廷把这件事交给有关官署，派官员和元震一起同太史局辨明订正。太史局理屈词穷，元震升转一级官职，判太史局邓宗文、谭玉等人各按情节轻重降官。于是重新编造历法；用了六年，历法编成，下诏让试礼部尚书冯梦得为它作序。七年，颁布施行，这就是《成天历》。

译德祐以后，陆秀夫等人拥立益王，逃到海上，命礼部侍郎邓光荐和蜀人杨某等人编制历法，赐名为《本天历》，现在已经失传。志第三十六　律历十六。○绍兴《统元历》、乾道《淳熙历》、会元历。推演上元甲子到绍兴五年乙卯，共积九千四百二十五万一千五百九十一年。《乾道》历从上元甲子到乾道三年丁亥，共积九千一百六十四万五千八百二十三年。《淳熙》历从上元甲子到淳熙三年丙申，共积五千二百四十二万一千九百七十二年。《会元》历从上元甲子到绍熙三年辛亥，共积二千五百四十九万四千七百六十七年。推算节气和朔望。元法：六千九百三十。《乾道》为三万。《淳熙》为五千六百四十。《会元》统率为三万八千七百。岁周：二百五十三万一千一百三十八；岁周日：三百六十五日，余一千六百八十八。《乾道》期实一千九十五万七千三百零八，岁周为三百六十五日，余七千三百零八。《淳熙》岁实二百零五万九千九百七十四，岁周日为三百六十五日，余一千三百七十四。《会元》气率一千四百一十三万四千九百二十二。气策：十五日，余一千五百一十四，秒十五。《乾道》余六千五百五十四半。《淳熙》余一千二百二十二，秒二十五。《会元》余八千四百五十五半。朔实：二十万四千六百四十七。《乾道》为八十八万五千九百一十七，秒七十六。《淳熙》为一十六万六千五百五十二，秒五十六。《会元》朔率一百一十四万二千八百三十四。岁闰：七万五千三百七十四。《乾道》为三十二万六千二百九十四，秒八十八；另有闰限八十五万八千七百二十六，秒五十二，月闰二万七千一百九十一，秒二十四。《会元》为四十二万九百二十四；另有闰限七十二万一千九百一十。《乾道》另有没限二万二千四百四十五半。《淳熙》为四千四百零七，秒七十五。《会元》为三万二百四十四半。朔策：二十九日，余三万六千七十七。《乾道》余一万五千九百一十七，秒七十六。《淳熙》余三千九百九十二，秒五十六。《会元》余二万五百三十四，约分五十三，秒五。望策：十四日，余五千三百三半。《乾道》余一万二千九百五十八，秒八十八。《淳熙》余四千三百一十六，秒二十八。《会元》余二万九千六百一十七。弦策：七日，余二千六百五十一太。《乾道》余一万一千四百七十九，秒四十四。《淳熙》余二千一百五十八，秒一十四。《会元》余一万四千八百八半。中盈分：三千三百二十八，秒三十。《乾道》为一万三千一百九。《淳熙》为二千四百六十四，秒五十。《会元》为一万六千九百一十一。朔虚分：三千二百五十三。《乾道》为一万四千八十二，秒二十四。《淳熙》为二千六百四十七，秒四十四。《会元》为一万八千一百六十六。旬周：四十一万五千八百。《乾道》为一百八十万。《淳熙》为三十三万八千四百，秒一。《会元》为二百三十二万二千。纪法：六十。三种历法相同。推算天正冬至：取距所求年份的积年，用岁周相乘，得到气积分；用旬周除它，除不尽的数再用总法约除，所得为大余，不足总法的为小余。以大余从甲子起算，算外，即得到所求年份天正冬至的日辰及余数。将小余用总法退除，得到约分，以一百为分母。求下一个节气：取冬至的大余、小余，加上气策及余、秒；秒满秒法进为一小余，小余满总法进为一大余，大余满纪法除去，以甲子起算，算外，即得到下一个节气的日辰及余、秒。求天正经朔：取天正冬至气积分，用朔实除它，除不尽的为闰余；用闰余减去冬至气积分，所得为天正十一月经朔加时的朔积分；用旬周除它，不足旬周的再用总法约除，所得为大余，不足总法的为小余。以甲子起算，算外，即得到所求年份天正十一月经朔加时的朔积分。再用旬周除它，不足旬周的，再用总法约除，所得为大余，不足总法的为小余。以大余从甲子起算，算外，即得到所求天正十一月经朔的日辰及余数。求弦、望以及下一个经朔日：取天正十一月经朔的大余、小余，加上弦策，得到上弦；依次累加，并按前法除去、起算，就分别得到弦、望以及下个月经朔的日期和余数。求没日：取有没节气的小余，乘以一百八十，并加上秒，用一百二十六万五千五百六十九减去它，所得再除以一万八千一百六十九，得到日数，不足的为余数。以该节气的初日为起点，算外，即得到没日的干支。二十四节气中，小余为五千四百一十五、秒一百六十五。求灭日：取有灭经朔的小余，乘以三十，满朔虚分除为日数，不足的为余数。以经朔初日为起点，算外，即得到该月灭日的日辰。经朔小余不满朔虚分的，就是有灭之朔。推算发敛。候策：五日，余五百零四，秒一百二十五。《乾道》余二千一百八十四，秒二十五。《淳熙》余四百一十，秒七十五。《会元》余二千八百一十二，秒五十。卦策：六日，余六百零五，秒一百一十四。《乾道》余二千六百二十一，秒二十四。《淳熙》余四百九十二，秒九十。《会元》余三千三百八十二，秒二十。土王策：三日，余三百零二，秒一百四十七。《乾道》余二千三百一十，秒二十七。《淳熙》余二百四十六，秒四十五。《会元》一千六百九十一，秒一十。

译辰法：五百七十七半。《乾道》为二千五百。《淳熙》为四百七十。《会元》为三千二百二十五。半辰法：二百八十八太。《乾道》为一千二百五十。《淳熙》为二百三十五。《会元》为一千六百一十二半。刻法：六百九十三。《乾道》为三百。《淳熙》为五百六十四。《会元》为三百八十七。秒法：一百八十。《乾道》为三十。《淳熙》和《会元》相同，均为一百。《淳熙》另有月闰五千一百一十一，秒九十四。求六十四卦、五行用事日、二十四节气、七十二候。四种历法都与前一历法相同，这里不记载。求发敛距经朔日的日期：取天正闰余，依次加上中盈分和朔虚分，得到每个月的闰余；满总法除为闰日，不足的为小余，于是分别得到该月中气距经朔日的日辰。若要推求卦候，就依次按卦策、候策、土王策累加或减去；中气以前减去，中气以后加上。分别得到该月卦、候距经朔日的日辰。求发敛的加时：取所求的小余，用辰法除，得到辰数；不足的进一位，再用刻法除，得到刻数，不足的为刻分。以辰数从子正起算，算外，分别得到加时所在的辰、刻及分。加上辰、刻，就从子初起算。推算太阳运行。周天分：二百五十三万一千二百二十六，秒八十七。《乾道》分一千九十五万七千七百一十七，秒五。岁差：八十八，秒八十七。《乾道》四百零九，秒五。《淳熙》一万一千五百一十三。《会元》轨差五百二十五，秒一十三。周天度：三百六十五度，约分二十五，秒六十四。三种历法相同。乘法：五十五。《乾道》为八十七。《淳熙》为一百一十九。《会元》为一百一十九。除法：八百三十七。《乾道》为一千三百二十四。《淳熙》为一千八百一十二。《会元》为一千八百一十一。秒法：一百。三种历法相同。《乾道》另有象限九十一度、分三十一、秒九，《淳熙》和《会元》相同。《淳熙》另有乾实三亿九百万七千六百一十三，半周天一百八十二度、分二十五、秒七十二。《会元》半周天度相同，分六十二、秒八十六。表略。求每月盈缩分、朔弦望入气朏朒定数、赤道宿度、冬至赤道日度、赤道宿积度入初末限、二十八宿黄道度、天正冬至加时黄道日度、二十四气加时黄道日度、二十四气初日晨前夜半黄道日躔宿次、晨前夜半黄道日躔宿次，以及太阳入宫的日时刻和分数。方法与前一历法相同，这里不记载。推算月亮运行。转周分：一十九万零九百五十三，秒二千五百六十三。《乾道》八十二万六千六百三十七，秒七千三百九十五。《淳熙》一十五万五千四百零七，秒九千七百四十。《会元》转率一百六万六千三百六十一，秒七千三百一十。转周日：二十七日，余三千八百四十三，秒二千五百六十三。《乾道》余一万六千六百三十七，秒七千三百九十五。《淳熙》余三千一百二十七，秒九千七百四。《会元》余三万一千四百六十一，秒七千三百一十。朔差日：一日，余六千七百六十三，秒七千四百三十七。《乾道》余二万九千二百八十，秒二百零五。《淳熙》余五千五百四十，秒五千八百六十。《会元》余三万七千七百七十二，秒二千六百一十。望策：十四日，余五千三百三，秒五千。弦策：七日，余二千六百五十一，秒七千五百。《乾道》余一万一千四百七十九，秒四千四百。《淳熙》余二千一百五十八，秒一千四百。《会元》一万四千八百八，秒五十。七日：初数六千一百五十八，约分八十九；末数七百七十二，约分一十一。十四日：初数五千三百八十七，约分七十八；末数一千五百四十三，约分二十二。二十一日：初数四千六百一十五，约分六十七；末数二千三百一十五，约分三十三。二十八日：初数三千八百四十三，约分五十五；末数为空。以上各项的秒法分母为一万。以下各项的秒法分母为一百。上弦：九十一度三十一分，秒四十一。三种历法相同。望：一百八十二度六十二分，秒八十二。三种历法的秒数为八十六。下弦：二百七十三度九十四分，秒二十三。三种历法的秒数为二十九。平行分：一十三度三十六分，秒八十七半。推算天正十一月经朔入转、经弦、望以及下一个朔日入转。方法与前一历法相同，这里不记载。表略。

译《乾道》另有：七日初数二万六千六百五十九，初约八十九；末数三千三百四十一，末约一千一；十四日初数二万二千三百一十九，初约七十八；末数六千六百八十一，末约二十三；二十一日初数一万九千九百九十八，初约六十七；末数一万零二十二，末约三十三；二十八日初数一万六千六百三十七，初约五十五；末数为空，末约为空。《淳熙》：七日初数五千一十一，末数六百二十，初约八十九，末约一千二；十四日初数四千三百八十三，末数一千二百五十七，初约七十八，末约二十二；二十一日初数三千七百五十五，末数一千八百八十五，初约六十七，末约三十三；二十八日初数三千一百二十七，初约五十五。《会元》：七日初数三万四千三百九十，安约八十九，末数四千三百一十，末约一十一；十四日初数三万八千，初约七十八，末数八千六百二十，末约二十一。二十一日初数二万五千七百七十二，初约六十七；末数一万二千九百二十九，末约三十三；二十八日初数二万一千零四，初约五十五；末数一百六十一。求朔、弦、望入转的朏朒定数：求定朔、定弦、定望日以及朔、弦、望加时时所在的度数；推算月亮运行的九道；求九道宿度、月行九道平交入气、平定入转、朏朒定数、正交入气、正交加时黄道日度、正交加时月离九道宿度、定朔弦望月所在宿度、定朔夜半入转、次朔夜半入转、月亮晨昏度、朔弦望晨昏定程、转定度、晨昏月、天正十一月经朔加时平行月、天正十一月定朔日晨前夜半平行月、次朔夜半平行月、定弦望夜半平行月、天正定朔夜半入转、弦望及后朔定日夜半入转、定朔弦望夜半月度。方法与前一历法相同，这里不记载。推算晷漏。二至限：一百八十二度，六十三分。《乾道》分数相同，秒十八。《淳熙》和《会元》相同。象限：九十一度，三十一分。三种历法相同，秒九。消息法：一万二千二百一十一。辰法：五百七十七半，折合八刻二百三十一分。《乾道》余一百。《淳熙》余一百八十八。《会元》余一百二十九。昏明刻：三百四十六半。《乾道》余一百五十。《淳熙》余二百八十二。昏明余数：一百七十三少。《乾道》昏明分七百五十。《淳熙》昏明分一百四十一。《会元》九百六十七半。冬至岳台的日影长度：一丈二尺八寸三分。夏至岳台的日影长度：一尺五寸六分。冬至后的初限、夏至后的末限：六十二日，分为空。夏至后的初限、冬至后的末限：一百二十日六十二分。求每日的消息定数：黄道距北极的度数以及赤道内、外的度数，晨昏太阳出入的分数及半昼分，每日距中度，夜半的定漏，昼夜的刻数以及日出入的辰刻，更筹的辰刻，昏明度，五更攒点中星，九服距差日，九服晷景，以及九服所在的昼夜漏刻。方法与前一历法相同，这里不记载。推算交会。交终分：一十八万八千五百八十，秒六千四百五十七。《乾道》八十一万六千三百六十六，秒六千三十四。《淳熙》交实一十五万三千四百七十六，秒九千五百四十六。《会元》交率一百零五万三千一百一十二，秒二千一百四十。交终日：二十七日，余一千四百七十，秒六千四百五十七。《乾道》余六千三百六十六，秒六千三十四。《淳熙》余一千一百九十六，秒九千五百四十二。《会元》余八千二百一十三，秒二千一百四十。交中日：一十三日，余四千二百，秒三千二百二十八半。《乾道》余一万八千一百八十三，秒三十七。《淳熙》余三千四百一十八，秒四千七百七十一半。《会元》余二万三千四百五十六，秒六千零七十。朔差：二日，余二千二百零六，秒三千五百四十三。《乾道》余九千五百五十一，秒一千五百六十六。《淳熙》余一千七百九十五，秒六千零五十七。《会元》余一万二千三百二十，秒七千八百六十。后限：一日，余一千一百一十三，秒一千七百七十一半。《乾道》余四千七百七十五，秒五千七百八十三。前限：十二日，余三千零九十七，秒一千四百五十。《乾道》余一万三千四百零九，秒七千二百三十四。望策：十四日，余五千三百三，秒五十。《乾道》余二万二千九百五十八，秒八千八百。《淳熙》余四千三百一十六，秒二千八百。《会元》余二万九千六百三十七。交率：四十二。《乾道》为八十。《淳熙》为六十一。《会元》为五百零七。交数：五百三十五。《乾道》为一千零一十九。《淳熙》为七百七十七。交终度：三百六十三度七十六分。《乾道》分七十九，秒四十。《淳熙》相同。《会元》分相同，秒四十四。交象度：九十度九十四分。《乾道》分相同，秒八十五。《淳熙》相同。《会元》分相同，秒八十六。半交象度：一百八十一度八十八分。《乾道》为四十五度，分四十七，秒四十二半。《淳熙》相同。《会元》秒四十二。阳历食限：二千七百四十五。《乾道》为一万四千四百。《淳熙》为二千六百三十。《会元》为一万八千。

译阳历定法：二百七十四半。《乾道》为一千四百四十。《淳熙》为二百六十三。阴历食限：四千五百八十五。《乾道》为一万八千。《淳熙》为三千二百四十。《会元》为二万二千五百。阴历定法：四百五十八半。《乾道》为三百二十四。《乾道》另有月食限二万九千一百，《淳熙》为五千四百六十，《会元》为三万六千。《乾道》的月食定法为一千八百，《淳熙》为三百五十六。《乾道》月食既限一万一千一百。《淳熙》月食既限一千九百。推算天正十一月加时入交泛日：求下一个朔日和望日入交泛日、定朔定望夜半交泛、下一个朔日夜半入交泛日、朔望加时入交常日、朔望加时入交定日、月亮运行的阴阳历、朔望加时入阴阳历积度、朔望加时月亮距黄道的度数、食甚定余、日食月食食甚入气、日月食食甚中积、气差、刻差、日食是否进入食限、日食食分、日食泛用分、月食是否进入食限、月食食分、月食泛用分、日月食定用分、日月食亏初复满小余、月食既内外分、日月食发生的方位、月食所在更点的定法、月食入更点、日月带食出入时所见分数，以及日月食食甚所在宿次。方法与前一历法相同，这里不记载。推算五星。五星会策：十五度，二十一分，秒九十。木星终率：二百七十六万四千二百三十八，秒三十二。《乾道》一千一百九十六万六千五百八十一，秒五十五。《淳熙》周实二百二十四万九千七百一十五，秒六十五。《会元》周率一千五百四十三万六千八百三十四，秒九十八。终日：三百九十八日，约分八十八，秒七十九。《乾道》分八十八，秒六十。《淳熙》约分八十八，秒五十七。《会元》分八十八，秒四十六。岁差：六十七，秒九十八。《乾道》周差一百万八千八百六十四，秒五十。《淳熙》一十八万九千七百四十一，秒六十五。伏见度：一十三。《乾道》历率一千九十五万七千二百四十九，秒九。《淳熙》二百零五万九千九百八十一，秒一十。《会元》一千四百一十三万五千四百五十六，秒九。《乾道》历中度一百八十三，分六十三，秒二十四。《淳熙》相同。《会元》秒八十六。《乾道》历策度一十五，分二十一，秒八十五。《淳熙》相同。《会元》秒九十。表略。志第三十七。表略。志第三十八　地理一。○京城、京畿路、京东路、京西路。唐朝衰落以后，五代相继兴起，五十多年间，先后更换了八个姓氏的王朝，天下分裂，没有谁能够统一。宋太祖接受后周的禅让，起初有州一百一十一、县六百三十八、户九十六万七千三百五十三。建隆四年，攻取荆南，得到州、府三处：江陵府、归州、峡州。有县一十七、户一十四万二千三百。平定湖南，得到州一十五、监一：潭、衡、邵、郴、道、永、全、岳、澧、朗、蒋、辰、锦、溪、叙州，桂阳监。有县一百九十八、户五十三万四千三十九。乾德三年，平定蜀地，得到州、府四十六：益、彭、眉、嘉、邛、蜀、绵、汉、资、简、梓、黎、雅、陵、戎、泸、维、茂、昌、荣、果、阆、渠、合、龙、普、利、兴、文、巴、剑、蓬、壁、夔、忠、万、集、开、渝、涪、黔、施、达、洋州，兴元府。有县二百一十四、户一十七万二百六十三。开宝四年，平定广南，得到州六十：广、韶、潮、循、封、端、英、连、雄、龚、惠、康、恩、春、泷、勤、新、高、潘、雷、罗、辨、桂、贺、昭、梧、蒙、恭、象、富、融、宜、柳、严、思唐、邕、澄、贵、蛮、横、宾、钦、浔、容、牢、白、廉、党、绣、郁林、藤、窦、义、禺、顺、琼、崖、儋、万安、振州。有县一百零八、户六十五万五千六十五。太平兴国八年，平定江南，得到州一十九、军三：升、宣、歙、池、洪、润、常、鄂、筠、饶、信、虔、吉、袁、抚、江、汀、建、剑州，江阴军、雄远军、建昌军。有县一百八、户六十五万五千六十五。合计宋太祖末年，共有州二百九十七、县一千八十六、户三百九万五百零四。太宗太平兴国三年，陈洪进献出土地，得到州二：漳州、泉州；县十四、户一十五万一千九百七十八。钱俶。入朝，得到州十三、军一：杭、苏、越、湖、衢、婺、台、明、温、秀、睦、福、处州，衣锦军。有县八十六、户五十五万六百八十。四年，平定太原，得到州十、军一：并、汾、岚、宪、忻、代、辽、沁、隆、石州，宝兴军。有县四十个，户三万五千二百二十。太平兴国七年，李继捧来朝，因而得到夏、银、绥、宥四州。雍熙元年，又把四州授给李继捧；从此以后，这些地方不再归职方掌管。有县八个。雍熙年间，全国呈上闰年地图，州、府、军、监几乎达到四百个。到这时，全国已经统一，疆域和行政区划几乎恢复到汉、唐旧日的规模；尚未纳入职方掌管的，只有燕、云十六州而已。