卷一百六 子部十六

译卷一百六 子部十六 ○天文算法类 三代以前的制作，大多不是后世所能赶上的，只有天文和算法却是越阐明越精密。容成创制历法，颛顼建立制度，而测定星辰运行、设置闰月等事情，多由帝尧时期加以叙述。在上古初期，这些方法已经逐渐修订得更加严密。自洛下闳以后、利玛窦以前，历法改革不止一次。泰西之学晚出，与前代规制颇有不同；各家争立门户，也像讲学一样。然而分设机构进行测验，都有实际证据，终究不能把北说成南、把黄昏移作清晨，所以攻击新法的人到了国初便逐渐停止了。圣祖仁皇帝所撰《御制数理精蕴》等书，精妙地契合天文原理，深入研究万物变化的根本，使中西两种方法权衡后归于一体，为后世亿万年树立规范。天下承受这种影响，接连推演发展；一时如梅文鼎等人，进行测量、撰写著作，也都有成书。因此谈论天文的人到了本朝，已经没有疑义。现在恭敬遵循圣祖的训示，考核校订各家著作，保存古法以追溯源流，依据新制以探究变化，古今方法的疏密优劣，已经清楚地具备了。至于占候验证、禨祥之说，大多是诡妄之说。郑国将再次发生火灾，裨灶预先妄言之类，旧史各自另列一类，现在也另归入术数家。只有算法和天文互为表里，《明史·艺文志》把算法列入小学类；那是古代所谓算法，并不是今天的算法。现在考察其实际内容，应当把它归入天文类。△《周髀算经》二卷、《音义》一卷（《永乐大典》本） 考察《隋书·经籍志·天文类》，开头列有《周髀》一卷，赵婴作注；另有一卷，是甄鸾重新阐述的。《唐书·艺文志》则把李淳风《释周髀》二卷，与赵婴、甄鸾的注一同列在天文类中。而历算类中又列有李淳风注《周髀算经》二卷，大概是同一部书重复著录。这部书中说，周髀长八尺，夏至这一天，日影长一尺六寸。“髀”就是大腿；在周地竖立八尺高的表，作为大腿，表影作为小腿，所以称为“周髀”。书的开头记载周公与商高问答，实际上是勾股学说的鼻祖，因此《御制数理精蕴》把它载在卷首并详细解释，称为成周六艺遗留下来的文章。荣方以下向陈子请问的内容，徐光启认为是千古以来最大的愚妄。现在详细考察其中的文字，只有论述南北日影差异、把大地看作平坦而遥远，又用平远之地来测量天空的部分，确实是主观臆说。然而这与正文已经完全不像，怀疑是后人传说而误混入正文，就像《夏小正》的经文和传文混杂在一起，在傅崧卿订正以前，使人无法阅读。正文中那些广大精微的内容，都足以保存古法的旨意，开启西法的源头。例如书中说，璇玑一个昼夜绕北极运行一周并超过一度；冬至夜半，璇玑从北极下方的子位升起；春分夜半，从北极左方的卯位升起；夏至夜半，从北极上方的午位升起；秋分夜半，从北极右方的酉位升起，这就是璇玑四方运行所达到的极点，永远不会改变。用七衡六间测量太阳运行的迟速，冬至太阳在外衡，夏至在内衡，春分、秋分在中衡；太阳位于各衡时是中气，位于各衡之间时是节气，这也永远不会改变。这是古代盖天学说遗留下来的方法。浑天说把星象绘制在球体外面，人从天外观察天空；盖天说把星象绘制在笠形体内，人从天内观察天空。笠形是半圆形的，像张开的伞盖，所以称为盖天。把地上、地下两个半圆体合在一起，就是天体的浑圆形状。这种方法失传已久，因此从汉代直到元、明，都以浑天说为主。明代万历年间，欧逻巴人进入中国，才另行创立新法，号称精密。然而他们所说的大地是圆的，正是《周髀》所谓大地像倒扣的盘子、四面低垂而下。他们所说的南北里数差异，正是《周髀》所说的北极左右两方：夏季有不融化的冰，草木有早晨生长、傍晚收获的情况；中衡左右两方，冬季有不凋死的草，五谷一年两熟。这些都是寒暑推移随南北不同而产生的现象。他们所说的春分到秋分，在极北之下常有日光；秋分到春分，在极北之下常无日光，这是昼夜长短随南北不同而产生的现象。他们所说的东西里数差异，正是《周髀》所说的：东方正午时，西方是半夜；西方正午时，东方是半夜。昼夜交替的位置如同四时相反，这是节气与朔日相合时，加时早晚随东西不同而产生的现象。又如李之藻依据西法制作《浑盖通宪》，把昼短规展开，使它大于赤道规，这与《周髀》把外衡展开使它大于中衡相同；《新法历书》记述第谷以前的西法，一年为三百六十五日四分日之一，每四年的小数余数合成一日，也就是《周髀》所谓三百六十五日有三年，三百六十六日有一年。西法出自《周髀》，这些都是明显的证据；只是后来不断测验、增补和修订，推演得越来越精密。《明史·历志》说，帝尧时有人居住在西方的昧谷，掌管历法的人及其子弟散入远方，于是传成西方学术，本来也是有缘由的。这部书的刻本脱漏、讹误很多，许多地方无法解释。现在依据《永乐大典》所载内容，详细加以校订，补足脱文一百四十七字，改正讹误一百一十三字，删去衍文十八字。旧本相传题为汉代赵君卿注。他的自序说“爽以暗蔽”，注文中又多次称“爽”，因此有人对此产生疑问。爽在此前没有听说过，大概就是君卿的名字。那么《隋书》《唐书》所说的赵婴，大概就是赵爽的讹误。注文引用《灵宪》《乾象》，那么注者应当在张衡、刘洪之后。旧本有李籍所作《音义》，另自成一卷，现在仍按旧本保留。书中共有五幅图，其中三幅已经失传，一幅有讹误，谨依据正文和注文加以补订。古代的九数之学，只有《九章》和《周髀》两部书流传得最早，讹误也尤其严重。然而追溯源流、穷究根本，能够得到它的端绪，确实是术数家的珍宝。△《新仪象法要》三卷（内府藏本）

译宋代苏颂撰写。苏颂字子容，南安人，后来迁居丹徒。庆历二年考中进士。官做到右仆射兼中书门下侍郎，屡次加封爵位，至赵郡公。事迹详见《宋史》本传。这部书是为重新修造浑仪而作，事情在元祐年间。但尤袤《遂初堂书目》称它为《绍圣仪象法要》。《宋艺文志》著录《仪象法要》一卷，也注说是在绍圣年间编成的，大概此书是在绍圣初年完成的。考察《宋史》本传说，当时另行制造浑仪，命苏颂主持。苏颂既精通音律和计算，又认为吏部令史韩公廉有巧妙的构思，便上奏起用他。按照古法，制造三层台：上层设置浑仪，中层设置浑象，下层设置司辰，三者用一套机械贯连。用水激动轮轴转动，不借助人力。到了时辰、刻数将临的时候，司辰就出来报告星辰运行所在的度数。占候观测和校验都不会差一个时辰一刻，白昼黑夜、阴晴明暗，都可以推知，这是此前从未有过的。叶梦得《石林燕语》也说，苏颂所修造的仪器精巧，远远超过前代；他所学的技术大略传给了冬官正袁惟几，但如今连苏氏子孙也不再传授这套方法了。考察本书中有官局生袁惟几的名字，与《燕语》记载相合，可知这说法可信，也知道宋代确实非常重视这部书。书的开头列有进呈奏状一篇。上卷从浑仪到水趺，共有十七幅图；中卷从浑象到冬至晓中星图，共有十八幅图；下卷从仪象台到浑仪圭表，共有二十五幅图；每幅图后面都有说明。这大概是当时奉诏编撰进呈的，所以列举玑衡的制度和观测方法、格式，十分详细。南宋以后，流传得很少。这一部书后来为明代钱曾收藏，书中有乾道壬辰九月九日吴兴施元之刻本在三衢坐啸斋刻成的两行字，大概是根据宋刻本影摹的。施元之字德初，官做到司谏，曾为苏轼诗作注并刊行于世。书末天运轮等四幅图，以及各条后面所附的“一本”之类文字，都是施元之根据别本补入的，校勘核对十分精细。钱曾所抄本尤其精工，他撰写《读书敏求记》并著录此书，自称图样的界线绘画，一丝一毫也没有差错，花了几个月才完成。纸张和墨迹精美绝伦，不亚于宋本，确实不是夸张的话。本朝的仪器精密，远远胜过千古以来的器物，苏颂所创造的仪器似乎没有什么值得重视的地方。但当时讲求仪器制造的用意，颇有值得用来参考的内容。况且这部秘密流传的书册，经历数百年而摹绘得仍像新的一样，本来就应当视为珍贵。△《六经天文编》二卷（直隶总督采进本） 宋代王应麟撰写。王应麟另有《郑氏周易注》，已经著录。这部书汇集六经中谈论天文的内容，把《易》《书》《诗》所记载的编为上卷，把《周礼》《礼记》《春秋》所记载的编为下卷。三代以前推算历法的书没有流传下来，评论者说古法疏略而今法精密。比如岁差、里差的辨析，都是圣人没有说过的。晋代虞喜才开始知道岁差。唐人制作《覆矩图》，才开始知道大地有东西南北的里差。然而《尧典》《豳风》《月令》《左传》《国语》所说的星辰，前后已经相差一个周天了。因此，岁差的规律可以根据这个例子推知。《周礼》记载土圭的测量方法：太阳在南面时日影短，太阳在北面时日影长；太阳在东面时日影偏晚，太阳在西面时日影偏早。这就是里差的规律，也可以由此看出。六经所记载的内容，没有不是推算历法的根本的，只是古文简略，不能像后世那样推演得详细精密罢了。这部编书虽然以天文为名，却不专门以星象为主，凡是阴阳、五行、风雨以及卦义，都汇集在其中。所采录的以先儒解释经义的说法为多，意义有不完备的地方，就旁涉史书和志书来加以说明，这也是推算历法的人应当考证的内容。《宋史·艺文志》作六卷，至正《四明续志》作二卷。现在这部书分为上下两编，所以二卷的说法是对的。本朝吉水人李振裕为补刻《玉海》所作的序中说，王应麟的著述超过三十种。已经刻印的有《玉海附词学指南》。另有《遗书》十三种，从《诗考》到《通鉴答问》共五十多卷，版片都已朽坏，李振裕全部加以补刻，这部书也在其中。这一版本前后都没有序跋，纸墨很旧，大概仍是至元六年王厚孙所刊刻的本子。△《原本革象新书》五卷（《永乐大典》本） 没有署撰写人的姓名。宋濂作序，称为赵缘督先生所著。赵先生是鄱阳人，隐居避世，故意不显露自己，所以不知道他的名和字。有人说名敬、字子恭；有人说是友钦，不能详细确定。王祎曾经刊定此书，序中称其名为友某，字子公，祖先在宋代有宗室属籍。考察《宋史·宗室世系表》，汉王房第十二世中，名字都以“友”字相联。书中说岁策加减法从至元辛巳年实行到现在，此人应当在郭守敬之后，时代也相合。但这些话出自传闻，不能确定。都卬《三馀赘笔》说，曾经见过一本杂书，称赵先生名友钦，字敬夫，是饶州德兴人。至于名敬、字子恭以及字子公的说法，都不对；但也没有说这些说法的依据是什么。只有他姓赵这一点，确实无疑。他的书自从王祎删削润色以后，世上流行的都是王祎本，赵氏原本于是失传。只有《永乐大典》所载的本子与王祎本互相校对，彼此有一些不同，由此知道姚广孝编纂《永乐大典》时，依据的仍是旧帙。王祎的序颇多讥评，认为原书繁杂冗长而且浅陋；但术数家以测算为主，不能拿文章写得好坏来要求它。

译王祎对于天文星气虽然也用心研究，但儒者兼通各学，终究比不上专门家的本业。因此，两个版本所记载的内容也各有长短。把它们一并著录保存，也足以作为参考。其中如“日至之景”一条，《周髀》说，夏至时太阳位于内衡，冬至时位于外衡；中国在内衡之下较近的地方，地平线与内衡在寅、戌相交，与外衡在辰、申相交，夏至和冬至日影长短以此为界限；寒暑之气，则因太阳有近日、远日的不同而不同。而这部书认为，太阳日影的长短是由于太阳运行的高低，寒暑之气是由于所积之气的多少。“天周岁终”一条说，天向左旋转，其枢纽叫赤极；太阳向右旋转，其枢纽叫黄极；恒星也向右旋转，以黄极为中心而形成岁差。而这部书认为，天体的情况无法知道；只根据恒星来说，若向左旋转，就从东向西，南北位置不移动；若向右旋转，就从西向东，依据出入来区分南北，二者截然不同；而这部书却说，这就像良马和劣马两匹马，劣马赶不上良马，跑完一周就又在一个地方相遇。“日道岁差”一条，岁差是由于恒星向右旋转造成的；考察冬至时太阳运行到某颗星的几度几分，是一件事；至于《授时历》制定的加减法，称为岁实消长，以及恒气冬至、定气冬至，又是另一件事，完全不同；而这部书却把它们合并为一件事。“天地正中”一条说，太阳在中天时形体显得大，出地、入地时形体也显得大，这是蒙气造成的；而这部书认为，这是因为天顶距离远而四周近。南北方向的度数必须测量北极出地高度，东西方向的度数必须测量月食时刻，除此之外没有别的方法；而这部书却想用北极来确定东西方向的偏正，用东西方向的日影来确定南北方向的偏正。“地域远近”一条说，地球浑圆，各处都有天顶；而这部书拘泥于旧说，认为阳城位于天顶正下方。《元史》又记载南北海昼夜刻数各有盈缩，而这部书认为南方昼夜长短没有多少差别。时刻是由赤道度数和日影在地平面上的移动决定的，所以早晚日影移动得慢，接近正午时移动得快；越往南，慢的就越慢，快的就越快。而这部书认为，偏西时早晨迟而晚上快，偏东时早晨快而晚上迟。“月体半明”一条说，太阳和月亮相对时必然接近交道，于是月亮进入暗虚；远离交道，地影就无法遮蔽它。而这部书认为，月亮隔着大地受光，就像磁石吸铁一样。这些论述都失于疏漏错乱。此外还有把月孛的“孛”当作彗孛的“孛”，认为地上之天多于地下之天，认为黄道每年都不经过旧路，认为月面斑驳是山河的影子，认为月食是因为受到太阳光后阳气极盛而反过来亢奋，认为太阳和月亮的圆径相差一倍，认为暗虚不是地影；有的拘泥于旧法，有的自创新解，在实际测验方面也多有违背和错误。但是，他深入思考、推究考察，其中也有不少是发明了前人没有发明的内容。对于今法来说虽然疏略，对于古法来说却已经算是精密。在元代以前谈论天文的各家中，他仍然是确实有心得的一家。因此，对于错误的地方，一并用今法加以考察、驳正，同时保留他的说法，以备一家之学。△《重修革象新书》二卷（浙江范懋柱家天一阁藏本） 这是明代王祎删定元代赵氏五卷本而成的书。王祎另有《大事记续编》，已经著录。这部书把赵氏原本五卷合并为二卷。前面有王祎自作的序，说原书内容繁杂冗长而且浅陋，反而像是没有弄清它旨意所在。因此替它重新编次，删去支离的内容，考证错误，整理次序，提取要领等等。现在拿它与原书校对，王祎润色的地方很多，删去的地方也不少。但是他在改定之处没有加以说明辨析，使读者无法寻找增删改动的痕迹，来探究得失的原因；而且其中错误的地方也没有完全删除。只是原书繁杂累赘的字句经过修饰后，文采显得很可观，这也说明王祎很善于删改润色。平心而论，原本的措辞虽然稍显重复，但详细丰富，足供考察；改本的文字虽然比较简略，却简洁直截，容易明白。两者各有长处，不能偏废。因此现在仿照《新唐书》《旧唐书》的体例，把两本一并著录。△《七政推步》七卷（浙江范懋柱家天一阁藏本） 明代南京钦天监监副贝琳编修辑录。这就是焦竑《国史经籍志》所载的玛沙伊赫回回历。考察《明史·历志》，回回历法是西域默德讷国王玛哈穆特所作，元代传入中国但没有实行。洪武初年，在元都得到这部书。洪武十五年，命翰林李翀、吴伯宗和回回大师玛沙伊赫等人翻译这部书。于是设置回回历科，隶属于钦天监。但贝琳的跋文又说，洪武十八年，远方夷人归化，进献土盘法，可以预先推算六曜干犯，名称叫经纬度。当时历官元统把土盘译成汉法计算，这部书才开始在中国流行，与史书所载很不相合。考察书中有“西域岁前积年至洪武甲子岁积若干算”的说法，甲子是洪武十七年；那时此书已经翻译流行，所以贝琳的说法不对。这部书开头解释计算时所用的数，接着讲太阳运行，再讲月亮运行，随后讲五星的推算方法，并记载太阴出入的时刻、凌犯五星和恒星的度数分数，末尾记载日食、月食的计算方法，其余都是已经编成的表格。它以隋开皇己未年作为历元，不使用闰月；把白羊、金牛等十二宫作为不动的月份，把一至十二月的大小月作为活动的月份，各自都有闰日。所推算的交食分寸和时刻，虽然有时也会有出入，但在西域的术数书中，与《九执历》《万年历》两部历书相比，确实精密得多。梅文鼎《勿菴历算书》记载说：回回历法刻在贝琳的书中，它编排表格时以太阴年为依据，却取距算时用太阳年，其中巧妙地隐藏着根数，即使他的子孙中有隶属钦天监的官员，也不能理解。但回回历就是西法旧有的法则，西方各国是在回回历基础上加以精密化的。这也是公允的评论。明代一朝一直与大统历参照使用，《明史》相当详细地叙述了它制定历法的大略。但这部是原书，讲得更加详细清楚。只是这种方法本来依靠土盘布算，又使用本国文字的书籍，明初译成汉文以后，传习的人很少。因此没有可供校勘的版本，错讹脱漏尤其严重。现在把两个版本互相校勘，著录下来，用来保存术数家的一种学说，也补充《明史》记载不足的地方。△《圣寿万年历》八卷，附《律历融通》四卷（浙江巡抚采进本）

译明代朱载堉撰写。朱载堉另有《乐书》，已经著录。《明史·历志》说：明代的大统历实际上就是元代的授时历，沿用二百七十多年，从未改变历法。成化以后，日食月食常常推算不准，主张改历的人纷纷出现。像俞正己、冷守中这类不懂装懂、胡乱著作的人就不必说了；华湘、周濂、李之藻、邢云路等人，则颇有一些见解。郑世子朱载堉撰写《律历融通》，进呈《圣寿万年历》，他的学说本于南京都御史何瑭，深得授时历的旨意，又能补救它的不足。钦天监官员拘泥于旧说，主持此事的人又害怕改作，于是一起搁置，没有施行等等。指的就是这两部书。这部书在万历二十三年进呈，奏疏说，授时、大统两部历书，考察古代时节相差三日，推算当今则时刻相差九刻。这是因为授时历所减的分数过于严格，失之于先天；大统历不作减分，失之于后天。于是调和两家的说法，斟酌取其中数，制定新的法则，编成这部书。书中关于推算节气、朔闰、日影和漏刻、交道、五纬的方法，以及岁馀、日躔、漏刻、日食、月食、五纬等方面的论述，史书都详细采录了，大概认为其中的说法颇有可取之处。现在考察这部书，虽然它坚持自己的见解而争辩不休，不免有主持得过分的地方，它的测验也未必超过郭守敬等人的精密程度。然而史书记载，崇祯二年因为日食推算不准，严厉责备了监官。五官正戈丰年说，郭守敬在至元十八年制定历法，过了十八年到大德三年八月，已经到了应当发生日食而实际没有发生的情况；大德六年六月又发生了日食，却没有推算出来。当时郭守敬正任知院事，也只能对此无可奈何，何况那些拘拘谨守历法的人呢！如今如果仍沿用旧法，以后不可能没有差错，那么当时掌管历法的人已经有了公正的评论，朱载堉等人不断攻击它也就不奇怪了。何况这部书引证详明，博通古今，追溯本源，确实有足以供考证的地方。不能因为后来实际测量的方法更加精密，就把它一概废弃。朱载堉的数学，史书说本于何瑭，何瑭是他的舅父。但朱载堉进呈奏疏时却说本于许衡，大概是担心何瑭与自己处在同一时代，不能成为取信的依据，所以假托许衡来提高这部书的分量。△《古今律历考》七十二卷（浙江巡抚采进本） 明代邢云路撰写。邢云路字士登，安肃人。万历庚辰年考中进士，官做到陕西按察司副使。这部书对历法讲得详细，对律学讲得简略。七十二卷中谈论律学的不过六卷，也很少有新的发明。只有辨明黄钟三寸九分之说不正确的一条，颇为精确恰当。但它编排在历代日食之后、推算节气朔望之前，不知道是什么用意。《历法》六十六卷，则从六经以下一直到明代大统历，逐一进行考订。书中论述周代改正朔就是改月份，大体依据张以宁《春王正月考》。只是对于“惟元祀十有二月”，却指为建丑之月，认为商代虽然以丑月为正月，但纪数所用的月份仍以寅月为首，这与《春王正月考》的说法不同。然而同样是改正朔，谈周代时说改月，谈殷代时却说不改月，终究不如张以宁的说法妥当。六十五卷中有驳斥授时历八条、驳斥大统历七条。驳斥大统历时说，斗柄指向析木之次、太阳运行到娵訾之次，并不是天上星次分野的次序，而是月辰所临之名；大统历却把天星的次舍加作地盘上的月建，明显沿袭了赵缘督的错误。他又说，授时历所定至元辛巳年的黄道运行度数，郭守敬测定至今已经三百多年，冬至时太阳运行的位置已经退后五度，所以应当重新改定太阳运行的度数。但大统历仍采用原来的十二宫界限，没有符合岁差。他又说，大统历废除了授时历消长的方法，以至于中气和节气相差九刻。大概邢云路精于推算，创立了许多新方法；大统历是当时正在实行的历法，所以他尤其用力加以辨驳。大统历只是废除了授时历的消长这一项方法，其余大多承袭授时历，所以邢云路也连带谈到授时历。梅文鼎《勿菴历算书》记载说：从黄俞邰那里借来阅读邢观察的《古今律历考》，惊叹它的卷帙如此繁多。但仔细考察后，发现它对于古法很疏略；它所疏解的授时历法旨意，也有很多没有领会其中要点。梅文鼎又说：邢氏的书只知道有授时历，姑且援引经史来扩张自己的说法；古代历法的源流和得失，还没有弄清楚，更不用说西方的历法了。可见梅文鼎对于邢云路这部书，大概并不满意。然而推算历法的学问，大体都是在已经具备的方法上进一步推究尚未穷尽的奥妙；前人的智力所达到的极限，正是后人用心思考的起点，所以这种学术越阐发越精密，后来者往往超过前人。邢云路处在历学衰败的时代，独自奋起攻击其中的错误，他的见识高出常人一等。创始本来就很难做到精巧，也不必一定因为还不够精密就讥评它。△《乾坤体义》二卷（两江总督采进本） 明代利玛窦撰写。利玛窦是西洋人。万历年间，他航海到达广东，这是西方法传入中国的开始。利玛窦兼通中西文字，所以他所著的书都用汉字、汉语写成，不需要翻译解释。本书上卷全都讲天象，把人所居之地按寒、暖分为五带，与《周髀》的七衡说大致相同；把七政和恒星所在的天分为九重，与《楚辞·天问》相同；把水、火、土、气作为四种基本元素，则与佛经相同。（佛经所说的地、水、风、火，地就是土，风就是气。）至于用太阳、月亮和地球的影子三者来确定日食、月食，用七曜和地球本体的比例作为倍数，说明太阳、月亮和星辰出入时会有映射、蒙蔽等现象，这些都是前人没有阐发过的。他所举的各种譬喻虽然少见，也都曲折详尽而明白。下卷全都讲算术，讨论边线、面积、平圆、椭圆之间的相容和比较，也足以补充古代《方田》《少广》诸章所没有涉及的内容。虽然篇幅不多，但所说的都经过实际测量验证，所用的方法也都能够灵活变通，可以说是文辞简约而意义完备。因此，《御制数理精蕴》多采用其中的学说并加以运用。明朝末年历法混乱之后，郑世子载堉、邢云路等人虽然竭力争论其中的错误，但所学还不足以胜过旧法。自徐光启等人改用新法以后，历法才逐渐由疏略走向精密。到了本朝，又进一步推演阐发，才开始穷尽其中的精微。那么，这部书确实也可以说是后来宏大成就的起始基础。△《表度说》一卷（两江总督采进本）

译明万历甲寅年，西洋人熊三拔撰写。熊三拔另有《泰西水法》，已经著录。本书的主要内容是讲测量日影的方法起源于土圭，如今又创制了简便的方法，可以随意竖立表杆。凡是想明白表影意义的人，首先必须讨论太阳运行的道理，以及太阳直径相对于地球直径的比例。熊三拔另有一部专书论述这些方法，这里又举出其中的要略，分为五个题目。第一，太阳周行于天空，向上运行到天顶，向下运行到地平线，并且相对于地面都作平行运动，所以地体的影子也作平行运动。第二，地球处在天空的中央；如果地球不在天空中央，那么地球上的影子就不能随着太阳周转，而且运行迟速也不会相等。如今春分、秋分时，太阳有六个时辰在地平线以上为昼，六个时辰在地平线以下为夜，这不是处在正中又是什么呢。第三，地球小于太阳，从太阳上看地球，地球只呈现为一个点；如果地球不是一个点，那么从地面各处就不能看到天体的一半，必然上半部分总是较小、下半部分总是较大，并且还会被半个地球的厚度遮挡。第四，地球本来是圆体，所以一日十二辰交替互见：正对太阳的地方是午时，正背着太阳的地方是子时，在太阳以东三十度的地方是未时，在太阳以西三十度的地方是巳时；如果把地球看成方体，那么只有正对太阳下方的地方时刻准确，处在左边、右边的地方，时刻必然长短不均。第五，表杆的顶端相当于地心。凡是竖立表杆取得影子，必须在两个平面上求得两种影子：一种是立在表杆所在平面上、与地平面成直角所得到的影子，叫作直景，例如山岳、楼台、树木等在地平面上的影子；另一种是横表的影子，叫作倒景，例如向着太阳的一面墙，在墙面上横向竖立一根表杆，而表杆与地平面平行时所形成的影子。最后讲述表杆的形制、表度以及推算节气和时刻的方法，并绘制日晷的制作方法，都有图和说明，指示、证明十分确切。竖立表杆取得影子来知道时刻和节气，是历法中最容易、最明白的事情；然而如果不明白天地运行的规律，不熟悉三角计算，就不能得到准确的结果。当时，地球是圆的、地球很小的说法刚刚传入中国，突然听到这些说法而感到惊骇的人很多。因此，他先列举其中最容易、最明白的内容，用来说明这些说法是可信的。△《简平仪说》一卷（两江总督采进本） 明代西洋人熊三拔撰写。据卷首徐光启的序言，大概曾经参考、验证过利玛窦的学说。全书主旨是用投影的方法把浑圆体画成平圆，并用平圆测量浑圆体的数据。全书有名数十二项，使用方法十三项。仪器使用上、下两盘：天盘在下，用来表示赤道经纬，因此设有两极线、赤道线、节气线和时刻线；地盘在上，用来表示地平经纬，因此设有天顶、地平线、高度线和地平分度线。这些设置都假定人的眼睛从浑圆体外部向远处观看。正对大圆的图形是平圆，斜靠在其内部的是椭圆，处在圆心的表示为直线，与大圈平行且距离相等的小圈也都表示为直线。地盘挖空一半，以便能够合起来观看。两盘中间夹有枢纽，使它们可以旋转。使用时按照所在地北极高出地平线的高度，把两盘安定下来，那么赤道和地平两套经纬线便交错分明。凡是节气、时刻、高度、偏度，都可以相互取得相应数据。天盘使用方〔原文作“方<月反>”，字样疑误〕，上面设置两只耳表来测量日影。地盘中心系着垂线，用来观察度数和分度；竖立使用时，可以得到太阳的高度弧度。得到太阳高度弧后，当时的各种数据也都可以取得。这种仪器是把浑圆体描绘到平面上，就像从烛火取得影子一样，虽然说是借助形象，实际上却能得到真实数据。用弧三角以测量代替计算的方法，实际上就起源于此。如今再把它推广到测量方面，方法简便、使用快捷，也可以说是数学方面的利器了。△《天问略》一卷（两江总督采进本） 明万历乙卯年，西洋人阳玛诺撰写。本书对于天的层数，七政的位置，太阳节气，昼夜长短，日食月食的根本原因，地形的粗细，蒙气造成的映漾，曚影留下的光，都设置成问答形式，反复说明其意义。末尾记载曚影刻分表，并详细解释晦、朔、弦、望以及日食月食深浅的原因。也都附有图和说明，指示、证明详尽明白。它与熊三拔所著《表度说》前后相承，内容有浅有深、彼此联系，大概是互为表里的两部书。书前有阳玛诺的自序，抛开他的本来学术，却极力称颂天主的功德，并且提出所谓第十二重不动之天是诸圣所居的天堂，只有信奉天主的人才能升入其中，以此诱动愚昧的人。大概是想借助推测天象得到验证，来证明天主教堂所说并非虚妄，用意极为诡诈。然而，他考察验证天象，确实比古法好。现在把其中荒诞欺骗的说法放在一边，只取其精密而有根据的方法，删去原序，以免惑乱听闻。书中间杂涉及荒谬错误的地方，如果刊除，文意或许不能连贯，姑且保留原文，而像上面这样批驳它的邪说。△《新法算书》一百卷（编修陈昌齐家藏本） 这是明代大学士徐光启、太仆寺少卿李之藻、光禄卿李天经，以及西洋人龙华民、邓玉函、罗雅谷、汤若望等人修订的西洋新历。明朝自成化以后，历法越来越错误，而台官固守旧有见闻，朝廷也害怕改制，提出建议的人都被阻止而未能施行。万历年间，大西洋人龙华民、邓玉函等先后到达京城，都精心研究历法。五官正周子愚请求下令让他们参与订正、修改，礼部于是推举徐光启、李之藻负责此事，但各种事务因循拖延，没有来得及设局。到了崇祯二年，推算日食没有应验，礼部才开始上奏请求设局修改，命徐光启主持。当时，满城的平民魏文魁撰写《历元》《历测》二书，命他的儿子把书献给朝廷。

译徐光启撰写《学历小辨》来斥责其中的谬误，魏文魁的学说于是被驳倒。于是徐光启督促编成《历书》数十卷，分批上奏进呈。但徐光启病逝后，李天经代替他主持这件事，又把自己续作的《历书》和仪器进呈上去。全书分为十一部：法原、法数、法算、法器、会通，称为基本五目；日躔、恒星、月离、日月交会、五纬星、五星交会，称为节次六目。书的开头是修历缘起，都是当时有关奏疏以及考察、测量、辨析、论说的内容；书的末尾有《历法西传》《新法表异》两种，是汤若望进入本朝以后所作，附刻在书中一同刊行。其中有解释，有方法，有图，有考证，有表，有论述，全都探究深奥、寻求隐微，与天体运行严密吻合，足以穷尽欧逻巴历学的精髓。然而当时受到朝廷大臣门户之见的牵制，虽然下诏设立两局，多年测验已经明确知道新法精密，最终仍然不能施行。等到圣代兴起，才根据这部已经编成的书，用来供掌管历法的畴人使用。这难道不是上天保佑，凡是有所开启必定预先安排，只是人们不知道它为何如此却自然如此吗？越到我圣祖仁皇帝，天性更加聪明，天地乾坤都与之相合。《御制数理精蕴》《历象考成》等编纂之书，又进一步推演阐发幽微之处，穷究正常与变化的规律。例如把月离的二、三均数分列为两表，把日食月食改用黄平象限和白平象限，把方位用高度弧来确定上下左右，又增加借根方法解、对数法解；在点、线、面、体各部分的末尾，也都是本书没有达到的内容。旧有八线表把半径数定为十万，并把各线数按逐分列出；现在改把半径数定为千万，并把各线数按逐十秒列出，用来推算，尤其直接快捷。至于《钦定历象考成》后编，把太阳、月亮按本天看作椭圆，把日食月食中太阳、月亮两经的斜距作为白道，并以视行求取视距。推算运行的精密程度，可以垂示万年，徐光启等人又不是能够企及的。然而，授时历改变历法制度的根源，实际上就出自这部书，所以把它完整著录保存，希望讨论西法起源的人能够从这里得到考察依据。△《测量法义》一卷、《测量异同》一卷、《勾股义》一卷（两江总督采进本） 明代徐光启撰写。第一卷阐发利玛窦所翻译的内容，用来说明勾股测量的意义。首先制造器具，这种器具就是《周髀》所说的矩。其次讨论影子，影子有倒景、正景，就是《周髀》所说的仰矩、覆矩、卧矩。接着设置十五个问题，用来说明测量、远望高深广远的方法，也就是《周髀》所说的知高、知远、知深。第二卷取古法《九章》的勾股测量与新法相比较，考察它们的异同，用来说明古代的测量方法虽然具备，但其中的道理却隐藏不明。可是测量只是勾股学的一个方面，所以第三卷专门讲勾股的意义。序言引用《周髀》，是为了说明立法的来源；西方技术本于此处，也隐约可以看出。书中说李冶扩充勾股法，撰成《测圆海镜》，却已经不知道李冶著书的本意。又说想要说明其中的意义但没有空闲，这说明他还没有理解立天元一法，却错误地把这种说法当作修饰性的解释。古代所建立的立天元一法，就是西方的借根方法。当时西方人来到中国已经多年，但对于李冶的书仍然不能理解，由此可以断定，借根方法一定产生在李冶之后。三卷书的次序大致如此，但它们的主旨都是说明《几何原本》的用途。古代很少有人讲解其中的道理，即使有人讲，也都是随着题目分别解释。欧逻巴的学术中，早先有欧几里得，他根据三角、方圆推明各种数量的道理，撰成十三卷书，名为《几何原本》。（按：后来利玛窦的老师丁氏续作两卷，共十五卷。）从此以后，凡是学习算术的人，都必须先熟习这部书。例如解释某种方法的道理，遇到与《几何原本》相同的内容，只注明“见《几何原本》第几卷第几节”，不再重复列举其中的文字。只有《几何原本》不能涉及的内容，才开始加以解释；这是西学的规例。徐光启既然与利玛窦翻译了《几何原本》前六卷，又想让使用这部书的人依照它的规例行事，所以撰写本书作为示例。《测量法义》的序言说：“有了方法而把意义附系在方法之后，是从丁未年开始的，为什么要等到这个时候呢？当时《几何原本》的六卷刚刚完成，到这时才把其中的意义传授出来。”由此可以知道他撰写这部书的用意。△《浑盖通宪图说》二卷（两江总督采进本） 明代李之藻撰写。李之藻另有《頖宫礼乐疏》，已经著录。本书采用西洋简平仪的方法。浑天和盖天都建立在圆形之上，简平仪则把浑天绘制成平圆；浑天表示完整的形体，人的眼睛从外部回看盖天时，看到的是半个形体；人的眼睛从内部回看，而简平仪只停留在一个平面上，则是把人的眼睛固定在一个位置上直视所形成的图形。其方法是假定人的眼睛在南极或北极，用来观察黄道、赤道以及昼长、昼短的各条规线，再根据视线所经过的点，把它们归画在一个平圆上。其次按照各地北极高出地平线的高度来观察，取天顶和地平线的周界，也归画在前面的平圆内部。再按照赤道经纬度来观察，取七曜和恒星，也归画在前面的平圆内部。这种观察方法以赤道为中圈：赤道以内，越靠近眼睛，圆圈越大、直径越长；赤道以外，越远离眼睛，圆圈越小、直径越短。李之藻把昼短规作为最大圈，于是从南极观察，昼短规靠近眼睛，所以圆圈较大。他的意思是，中华所在的地方北极较高，凡是距离北极一百一十三度半以内的地方，都在这个大圈之内。卷首总论仪器的形体。上卷以下讲述规线的绘制、度数、分度、时刻以及制作和使用的方法。后卷的各种图，都以这些内容为根本。梅文鼎曾经撰写《订补》一卷，他说：浑盖仪器用盖天的方法代替浑天仪的用途，它的形制见于《元史》中紥玛鲁鼎所使用的仪器。我私下怀疑它是《周髀》遗留下来的技术，流传到了西方。然而，本书关于黄道分星的方法还缺少一半，所以这种仪器非常少，大概是因为无法得到它的制作方法。现在我来补完它所缺少的部分，订正它的错误，就可以依照此法制造，等等。另有《璇玑尺解》一卷，都足以和本书相辅相行。因为这些内容已经见于梅文鼎的书中，这里不再赘述。△《圜容较义》一卷（两江总督采进本）

译明代李之藻撰写。这也是利玛窦传授给他的。书前有万历甲寅年李之藻的自序，称凡是有形体的东西，只有圆形最大；有形体所能容纳的东西，也只有圆形最多。浑圆体的形状难以命名，而平面图形容易分析。试取周长相同的图形互相比较，等边图形必定大于不等边图形，多边图形必定大于少边图形；边数最多的是圆形，边长最相等的也是圆形。把它分解开，便能看到分、秒而没有遗漏，这是从边数多方面看；把它连接起来，便完全没有棱角，这是从边长相等方面看。既不多边又不等边，就一定不能成为圆。只有边数多且边长相等，所以圆形的容纳量最大。过去跟随利公研究穷尽天体的道理，因而讨论圆形的容纳量，提出了一个道理。接着分为五界、十八题，借助平面来推求立体圆形，设置角形来验证浑圆体，等等。大概图形有完整的整体，把它看作一个面；从其中一个面出发，类推它的整体，所以说借助平面来测量立体圆形。面必定有界，界就是线、边；两条线相交必定形成角。分析圆形时各自成为角，合并角形时共同构成圆形，所以说设置角形来验证浑圆体。本书虽然阐明了圆形容纳量的道理，但各种面和各种立体之间比例的道理，也都由此显现出来；而且其中依次相生的内容符合《周髀》所说“圆出于方，方出于矩”的道理，也有很多足以发挥说明的地方。△《历体略》三卷（安徽巡抚采进本） 明代王英明撰写。王英明字子晦，开州人。万历丙午年举人。这部书成于万历壬子年。上卷分六篇，分别是《天体地形》《二曜》《五纬》《辰次》《刻漏极度》《杂说》。中卷分三篇，分别是《极宫》《象位》《天汉》。下卷则续录所见到的欧逻巴书籍，摘取其中的要旨，分为《天体地度》《度里之差》《纬曜》《经宿》《黄道宫界》《赤道纬躔》《气候刻漏》七篇。又附有《论日月交食》一篇。然而，他上、中两卷所讲的中法，也都与西法相符合。大概当时徐光启的《新法算书》虽然还没有刊出，但利玛窦已经先到中国，早已有传述其学说的人，所以王英明暗中采用了它。书中所论都是天文学的概略，不及后来梅文鼎、薛凤祚等人那样兼备测量和推步的方法。然而学习天文的人必须先懂得星象、纬度方面的知识和天体运行的原因，然后才能依据它的度数探究其中的精微。这部书的解说虽然浅近，但本来就是初学者入门的途径。卷首列有五幅图，据翁汉麐的序言，王英明原来只撰写了书而没有绘图；这一版本是顺治丙戌年，王英明的儿子懩任江南督粮道时，根据原本重新刊刻，并委托翁汉麐补绘的。懩的跋文说，书的编排和篇卷次序与前一刻本略有不同；考察书中内容，《步天歌》第一章下面有附注，称《步天歌》没有善本，此次依从先生订正，希望减少“鱼鲁”一类的讹误，等等。核对其中的文义，这也是翁汉麐的话。那么，这部书大概经过翁汉麐重新订定，并不是王英明的原本。《御定历象考成》四十二卷，是康熙五十二年圣祖仁皇帝《御定律历渊源》的第一部。考察推算天象和历法的技术，古代方法已经无从查考，现在能够考见的，只有从汉代太初术直到明代大统术这一段。自从利玛窦进入中国，观测验证逐渐精密，但争论也随之日益增多。整个明代，朝廷议论始终固守门户之见，最终也没有采用西法。本朝声教广布，极西诸国的人都经过多次翻译辗转而来。他们的技术越推究越精密，又与崇祯年间的《新法算书》图表不相符合。当时编写《新法算书》，欧罗巴人对自己的学术秘而不宣，所立的理论又深奥隐晦，难以理解。圣祖仁皇帝于是特命诸臣详细考察历法的根本原理，撰定此书，分为上、下两编。上编称为《揆天察纪》，下编称为《明时正度》。它汇集了中西两方面的共同之处，建立天地运行的原理而不相违背，其精微广大，实在不是管中窥天、以蠡测海的见识所能测度的。现在只就其中可以仰观考察的部分，与《新法算书》相互校验。例如黄道斜着交会于赤道，并从赤道内外穿出；两者相距的度数，就是二至时太阳距赤道的纬度。《新法算书》采用西人第谷测定的二十三度三十一分三十秒；如今多次测量夏至正午太阳高度，得到黄道与赤道的最大距离为二十三度二十九分三十秒，比第谷所测少了二分。这是因为黄道、赤道两道由远而近，它们古代较多、现在较少，正是逐渐移动变化的结果，不是巧妙计算所能完全掌握的，所以应当随时精密测量，以符合天体运行。时差的根源又有两个：一是由于太阳实际运行的速度，使时刻随之提前或推后，这是以高卑为加减的界限；二是由于赤道升度的变化，使时刻有所增减，这是以分至为加减的界限。《新法算书》把这两种因素合起来制成一表，称为“日差”。然而高卑每年都有运行的度分，所以宫度和引数必然不能相同；合制一表，时间久了必定不能使用。现在把它分成两表，分别进行两次加减，在法理上就更加精密了。《新法算书》推算日食的三种差数，以黄道平面象限为依据；然而三差都产生于太阴，而太阴的经纬度就是白道的经纬度，应当以白道平面象限为依据。太阴在这个位置时没有东西差，而南北差最大，并且与高下差相等。若在这个位置以东，差数使实际时刻偏早，应该有减差；若在这个位置以西，差数使实际时刻偏迟，应该有加差。其加减有时与黄道平面象限相同，有时与黄道平面象限相反，所以确定交角时，对其加减的用法还要反过来。

译历来的历算方法确定月食初亏、复圆的方位时，所说的东西南北，是以黄道的经纬为主，并不是指地平经度的东西南北。只有月球实际运行的度数在初宫或六宫，望日又正值子正时，黄道经纬的东西南北才与地平经度相合。否则，黄道的升降有斜有正，加时距午有远有近，两种经纬完全不同，推算出的东西南北必定与地平上的方位不相符合。现在实际指明它在月体上的上下左右，众人都能看见，比旧法更加贴切。《新法算书》又说，五星的古图以地球为中心，新图以太阳为中心；然而第谷推算平均运动时，只有火星以太阳为中心，若以地球为中心计算，所得数值也与此相同。由此可知，第谷只是虚设一种巧妙的计算方法，而五星所在的本天，实际上都以地球为中心。金星、水星以太阳为中心的，是它们的本轮，并不是本天；土星、木星、火星以太阳为中心的，是它们在次轮上运行时距太阳的轨迹，也不是本天。至于弧三角法，《新法算书》所载的图说相当繁杂，而且正弧法又遗漏了黄道、赤道相互求算的方法。现在把正弧法归纳为对边、对角和垂弧矢的三个比例，这样周天的经纬度都可以相互求算，而且掌握起来有了要领。这些都是订正《新法算书》的主要方面。其余与《新法算书》相同的地方，推算方法也同样精密，丝毫没有差错。的确，大圣人的制作，万世都没有能够超出它的范围。《御定仪象考成》三十二卷，是乾隆九年奉敕编撰的。乾隆十七年编成，皇帝撰写序文并颁行。卷首上下两卷是御制《玑衡抚辰仪》；第一卷至第十三卷，是恒星总表以及恒星黄道经纬度表；第十四卷至第二十五卷，是恒星赤道经纬度表；第二十六卷，是月、五星与恒星相距的黄道、赤道经纬度表；第二十七卷至第三十卷，是天汉经纬度表。考察玑衡的制度，马融、郑玄注释《尚书》时，都认为它是浑仪遗留下来的制度。唐、宋以后，玑衡的制度日益详细，但规环已经很多，彼此遮蔽、隐现不明的问题，势必无法避免。郭守敬把它拆分为简仪、仰仪，人们都称赞这样便利。康熙十三年，圣祖仁皇帝命监臣南怀仁重新制造六种仪器：赤道、黄道分为两件仪器，都不用地平圈；而地平仪、象限仪、纪限仪、天体仪等，则已经把地平经纬与黄道、赤道的错综关系全部具备了。又命监臣纪利安制造地平经纬仪，把地平仪、象限仪合为一件，使用更加便利。皇上亲临灵台，遍观各种仪器，认为浑天仪的制度最接近古制，而时度确实应当依从今法，于是改制新仪，赐名为“玑衡抚辰”。这实在是斟酌古制、参照今法，损益都达到了完善，仪器的制度总共有三重。最外层就是古代的六合仪，但不用地平圈。竖直设置的双环是子午圈，斜着设置的单环是天常赤道圈。南北两极都设置圆轴，轴的根部贯穿子午双环，中间空着，轴向内伸入，用来贯穿里面两重的环。又按照京师北极的高度，在向上五十度五分处设为天顶，在天顶悬挂垂线代替地平圈，因此不用地平圈。中间一层就是古代的三辰仪，但不用黄道圈。贯穿南北两极的双环是赤极经圈；连接在赤极经圈中央、与天常赤道平行运行的，是游旋赤道圈。又从经圈的南极作两条象限弧来承托它。测得日、月、星辰的赤道经纬度后，就可以推算黄道经纬度。而且黄道、赤道之间的纬度距离，古代较大、现在较小，即使时间久了有所差异，仪器也无需改制，所以不用黄道圈。再向内一层就是古代的四游仪；贯穿南北两极的双环是四游圈，固定在游圈两极上的叫直距，系在直距中央的叫窥衡。游圈中央设置直表以指示经度，同时在窥衡右旁设置直表以指示纬度，这一点古今相同。星辰沿黄道运行，每七十年相差一度，黄道、赤道的最大距离也每数十年相差一分。《灵台仪象志》中所列的各表，都是依据过去的分度；现在则逐时加以修订，得到岁差的真实数值。三垣、二十八宿以及各颗星，今昔数量不同的，都以乾隆九年甲子为历元。用实际测量加以验证，比旧数增加了一千六百一十四颗星，这也是古代从未听说过的。精密考察天体运行随时变化的情况，用来说明万年以后修订历法的原则，全部都没有超出这部书的范围。《御定历象考成后编》十卷，是乾隆二年奉敕编撰的。《新法算书》的推步方法和数值，都仍沿用西方史家第谷的旧法。它的图表有参差错乱之处，解说也隐晦难懂；圣祖仁皇帝的《历象考成》上、下两编，精研并阐明其中的精微，穷尽考察其中的原理和数值，确实已经达到了当时推步法的最高精度，也为万世指示了修订和完善历法的方法。但观测验证持续得越久，就越加精密，算术也随之不断变化，越来越巧妙。康熙年间，西洋的噶西尼、法兰德等人出现以后，又新制坠子表来确定时刻，用千里镜来测量远处的距离，以发挥第谷尚未阐明的理论，主要有三点。其中一点认为，太阳的地半径差旧定为三分，现在测得只有十秒。这是因为太阳天体的半径距离非常遥远，测量所涉及的只在秒的微小差异，又有蒙气混杂其中，最难确定。于是想到，日、月、星辰在天空中，只有恒星没有地半径差。如果把太阳和恒星相互比较，就可以得到准确数值；但太阳和恒星不能同时看见，所以测量太阳不如测量五星。土星、木星位于太阳之上，地半径差更加微小；金星、水星虽然有时位于太阳之下，但它们的运行环绕太阳，靠近太阳光，也都难以测量。只有火星既环绕太阳运行，也环绕地球运行，能够与太阳相冲。因此夜半时火星正对着子午线，在南、北两处测量，都拿它与恒星相比较。如果它与恒星的距离相等，就是没有地半径差；如果距离不相等，就是有地半径差。两处距离不相等的数值，就是两地地半径差的差值。而且火星冲太阳时，它距地球比太阳更近，所以太阳的地半径差按比例计算，必定比火星的地半径差更小。

译另一点是关于清蒙气差：旧法定为地平线上三十四分、仰角四十五度时只有五秒；现在测得地平线上只有三十二分，仰角四十五度时仍有五十九秒。其理论认为，蒙气环绕地球四周，日、月、星辰照耀在蒙气之外。人在地面上，被蒙气映照，必然会看见它的位置升高；而日、月、星辰的光线进入蒙气之中，必然因折射而使其位置降低。因此，光线和视线在蒙气之内时会合为一条；在蒙气之外时则分开成为两条。两线虽然分离的位置不同，但相合时有确定的地方；从地心经过这个相合处作直线延伸到圆周，这条线就是蒙气的割线。视线与割线形成一个角，光线与割线也形成一个角。两个角相减，就得到蒙气差角。还有一点认为，日、月、五星的本天，旧说是正圆，现在认为是椭圆：两端的直径长，两侧的直径短。这是因为太阳的运行有盈缩，是由于本天有高卑。春分到秋分运行在最高的半周，所以运行较慢，经过的日数较多；秋分到春分运行在最低的半周，所以运行较快，经过的日数较少。相关学说有两种：一种称为不同心天，一种称为本轮。但不同心天的两心差就是本轮的半径，所以二者名称虽然不同，道理却相同。第谷用本轮推算盈缩差，只有在中距时与实测相合，而在最高、最低点前后就有差异，因此采用均轮来调节。可是天体运行不可能没有分刻上的差异，自白尔以来，屡次增加精密测量。又因为用均轮推算最高、最低点前后仍逐渐出现微小差异，于是设定本天为椭圆，把椭圆面积均分为每天平行运行的度数。这样，高卑的道理既与旧说没有不同，而高卑前后的盈缩运行也都与实测相符合。根据这三点，第谷旧法的经纬度都有微小误差。雍正六年六月初一发生日食，用新法校验，细微之处都严密相合。因此世宗宪皇帝特别准许监臣戴进贤的请求，命人编修日躔、月离两表，续在《历象考成》之后；但只有表而没有说明，也没有推算的方法。吏部尚书顾琮担心时间久了会失传，奏请增修表解、图说，恭请皇帝裁定，使其流传永久。凡是新法与旧法不同的地方，这才揭示出其中的根本奥秘，阐发得毫无遗漏；而它的道理仍然与圣祖仁皇帝御制的上、下两编如同符契相合。这更加足以看出圣圣相承，前后所遵循的原则相同。《晓菴新法》六卷（山东巡抚采进本）。本朝王锡阐撰写。王锡阐字寅旭，号馀不，又号晓菴，又号天同一生，是吴江人。这部书前一卷讲述勾股、割圆等方法，后五卷都是推算七政交食、凌犯的方法。看他的自序，这部书大概成于明朝末年，所以以崇祯元年戊辰为历元，以南京应天府为里差的基准。他把周天分为三百八十四份，又把分弧作为逐限，以加减表示消长。他创立了新的名称，虽然颇有主观撰造的成分，但当时徐光启等人正在编修新法，众说纷纭，王锡阐却独自闭门著书，专心测量计算，务求精确符合天象，不屑于门户之争。钮琇《觚賸》称赞他精研推步之术，同时通晓中西学问。遇到天晴气清时，他就登上屋顶，躺在鸱吻旁边，仰头观察星象，整夜不睡，可见也是一位深思测验的人。梅文鼎《勿菴历书记》说：历来谈论交食的，只说食甚的分数，没有涉及食甚时边缘被食去多少；只有王寅旭把日、月的圆体分为三百六十度，讨论食甚时被食的边缘总共有多少度。现在推演起来，他的方法相当精确。梅文鼎又称，近代历学以吴江为最，其见识和理解还在青州之上，等等。（按：青州指薛凤祚；凤祚是益都人，益都是青州所属的县，所以这样称呼。） 这些话对王锡阐推重到了极点。到了康熙年间，《御制数理精蕴》也多采纳王锡阐的学说。这部书虽然有的地方疏略、有的地方精密，但其中正确的部分不能废弃。书中凡是法理尚未完备的地方，常常说另见补遗。然而这个版本只有六卷，实际上并没有所谓补遗，不知是不是有散佚的篇章。《中星谱》一卷（浙江巡抚采进本）。本朝胡亶撰写。胡亶号励斋，是仁和人。王晫《今世说》称他博览通晓群书，尤其精通天官家的学说；对于日月薄蚀、星辰运行度数的推算，没有丝毫遗漏。他在长安与监中西洋专家反复辩论，众人都叹服。他所著的《中星谱》《周天现界图》《步天歌》流传于世。现在能见到的只有这部书。书中订定的经星共有四十五颗，在二十八舍之外又增加大角、贯索、天市、帝座、织女、河鼓、天津、北落师门、土司空、天囷、五里、参左肩、参右足、天狼、南北河、轩辕、大星、太微、帝座等十七星，用来比较午中时刻的早晚，并编入各个时刻。先列京师，附列浙江，其余地方依照类别推算。书中所论昼夜长短、寒暑循环、各地形势不同，以及所引用经传中的记载，考定岁差，划分昏旦，都简明、详细而切实，与今天《仪象考成》中的中星部分颇为相互表里。看他的自序，此书撰成于康熙八年。这样说来，这部书成于钦定算书以前、明代徐光启《新法算书》以后。保存这些度数用来校验盈缩，对于恒星岁差的数值也并非没有帮助。《天经或问前集》四卷（福建巡抚采进本）。本朝游艺撰写。游艺字子六，是建宁人。这部书共有前、后两集，这里的是前集。凡是天地的形象、日月星辰的运行、薄蚀朒朓的原因，以及风云雷电、雨露霜雾、虹霓之类，都设置为问答，逐一推阐其中的原因，讲得相当明白；至于占验的方法，则全部摒弃不谈，尤其见识深刻。从前班固撰写《汉书·律历志》，说治理历法应当兼取专门世家的后裔、通晓经学的儒者和精通计算的人。正因为儒者明白古义，希望让他们互相参考，考究过去来认识未来，并不是要他们去谈论太极、阴阳之类。邵子的历理、历数之说，也只是说要知道事物如此的情形以及所以如此的原因。儒者误解了他的意思，于是认为历数之外另有历理。孙承泽《春明梦馀录》因此把元代授时历完全归功于许衡明白历理；书中所载崇祯十四年礼部议改历法的一篇奏疏，不能判定两家的谁是谁非，于是推究历法的根本，排除测量计算，这尤其属于遁词。

译（按：奏疏称，尧、舜的历法，是把厘定政务、成就功绩作为钦天的内容；成周的历法，是以《无逸》《豳风》作为月令，并不像保章、挈壶那样只拘泥于时刻分秒的末节而已。历数起始于《河图》，五十五乘以十为五百五十，乘以五为二百七十五。从洪武元年戊申到现在壬午，大概已经二百七十五年了。这正是《河图》中的中候，应当修明礼乐，以德为先、刑罚为后，劝导百姓从事农桑，敦厚崇尚仁爱，这难道才是治理历法的根本事务吗？）天下没有脱离道理的数，也没有脱离数的道理。授时历比前代精密，正是因为经过多方面的实际测量，建立历法、推步计算而得到。假使只坐而空谈天地造化，就能使七政运行整齐，那么宋代诸儒谈论天道都说得凿凿有据，为什么三百年间历法十八次变更仍不能确定，反而一定要等到郭守敬一类的人出现呢？游艺撰写这部书，也完全阐明了历法的道理；虽然对推步计算还多有不熟悉之处，但反复考究阐释，确实有实际证据保存在这部书中。由此可以知道，数与理本来就是一回事，不是空谈天道的人所能达到的。《天步真原》一卷（浙江汪启淑家藏本）。这是国朝薛凤祚翻译的西洋穆尼阁法。薛凤祚著有《圣学心传》，已经著录。顺治年间，穆尼阁寄居江宁，喜欢同人谈论算术，却不招人加入耶苏会，在他们的教派中被称为笃实君子。薛凤祚起初跟随魏文魁学习，主持旧法；后来见到穆尼阁，才改学西学，把他的技术全部传承下来，于是将穆尼阁所讲译成这部书。书中专门推算日月交食，其中画有三幅弧三角图：一幅根据北极出地高度、太阳距赤道的度数和时刻，求高弧；一幅根据太阳距天顶的度数、正午黄道的位置以及黄道与子午圈相交的角度，求黄道高弧交角；一幅根据黄道高弧交角和高下差，求东西南北两种差。末尾画有一幅日食食分图。薛凤祚翻译此书时，新法刚开始实行，又由于中西文字需要辗转沟通，所以文辞和旨意不能完全通畅。梅文鼎曾经校订考证此书，说它的方法与崇祯《新法历书》有相同之处，也有不同之处。那些看似不同而实际相同的地方，布算图和对数表同《历书》大不相同，但所得数值没有两样。只有黄道春分二差的根数差异很大，若不通过观测考验，就无法判断谁是谁非。不过，此书成于《数理精蕴》修成以前，录存下来，仍然可以看出推步天体运行的方法由粗疏逐渐趋于精密的过程。△《天学会通》一卷（浙江汪启淑家藏本） 国朝薛凤祚撰写。这部书依据穆尼阁的《天步真原》写成，所说的都是推算交食的方法。考察推算交食，大致有两种方法：一种用积月、积日取得实际应用中的各项行度数，再依次按照平三角、弧三角等方法比例推算，得到食分、时刻和方位；一种使用立成表，按照年月日时的度数，逐次查取角度并加减，得到食分、时刻和方位。薛凤祚这部书大概采用表算的方法，十分简便精密。梅文鼎为此书作校订和注释，也称赞它把西洋六十分通分为百分，遵从授时历的方法，确实便于使用；只是仍然用对数列算，不如直接使用乘除作为正法。可惜他所校注的部分，没有机会同薛凤祚当面质证。△《历算全书》六十卷（浙江汪启淑家藏本） 国朝梅文鼎撰写。梅文鼎字定九，宣城人。他专心致志，喜好古学，尤其精通历算之学。康熙四十一年，大学士李光地曾把他的《历学疑问》进呈。适逢圣祖仁皇帝南巡，在德州召见他，亲笔书写“积学参微”四字赐给他；后来因他年老，遣送他回乡。随后下诏修撰《乐律历算》一书，命江南总督征召他的孙子梅成入宫侍奉。到《律吕正义》一书完成后，又驿传诏命让梅文鼎校勘。后来他年过九十，死于家中，特地下令织造曹頫为他料理丧事。直到今天，这件事还被传为考稽古学的极大荣耀。他所著的《历算》诸书，李光地曾刻印其中七种；其余多是晚年编纂，有的已经编成卷帙，有的只略具草稿。魏荔彤求得他的稿本，托付无锡杨作枚校正。杨作枚于是又附上自己的说法，并补充未完备之处，将它刊行出来，共二十九种，题名为《历算全书》。但编排次序杂乱，没有得到纲要。我谨慎地重新编排，把讲历法的放在前面，把讲算术的列在后面。第一种叫《历学疑问》，论述历学古今的疏密，以及中西两种方法和回回历的异同；这就是曾经蒙受圣祖仁皇帝亲自点定的书，谨慎地把它列在全书之首。第二种叫《历学疑问补》，也杂论历法的纲领。第三种叫《历学问答》，是同当时公卿大夫围绕历法往来问答的文字。第四种叫《弧三角举要》，是用浑象说明弧三角的形式。第五种叫《环中黍尺》，是用弧三角以测量代替计算的方法。第六种叫《岁周地度合考》，考察高卑岁实，以及西方国家的年月、地度、弧角和里差。第七种叫《平立定三差说》，推求七政迟速盈缩的原因。第八种叫《冬至考》，用统天、大明、授时三种方法考察春秋以来的冬至。第九种叫《诸方日轨》，按照北极高度二十度至四十二度各地的日轨，根据时节编成表格。第十种叫《五星纪要》，总论五星的运行度数。第十一种叫《火星本法》，专门论述火星运行的迟速。第十二种叫《七政细草》，记载推步日月五星的方法，以及恒星交宫过度的技术。第十三种叫《揆日候星纪要》，列出直隶、江南、河南、陕西四省的表景，以及三垣列宿的经纬度，制定为立成表。第十四种叫《二铭补注》，是对《仰仪铭》和《简仪铭》的解释。第十五种叫《历学骈枝》，是对大统历法所作的注释。第十六种叫《交会管见》，是把交食方位中所称的南北东西改为上下左右。

译第十七种叫《交食蒙求》，是推算交食数值的方法。第十八种叫《古算衍略》，第十九种叫《筹算》，第二十种叫《笔算》，第二十一种叫《度算释例》，都是推步计算的根源。第二十二种叫《方程论》。第二十三种叫《勾股阐微》。第二十四种叫《三角法举要》。第二十五种叫《解割圜之根》。第二十六种叫《方圆幂积》。第二十七种叫《几何补编》。第二十八种叫《少广拾遗》。第二十九种叫《堑堵测量》。这些书都用来推演阐明算法：有的补充《九章算术》尚未完备的地方，有的阐述当今方法所涉及的平面图形，有的论述中西方形体的变化，有的解释弧、矢、勾股八线之间的比例。历算之术，大概到这里就大为完备了。我国家修明律数，探究深奥隐微之理，汇集千古以来的大成。梅文鼎作为民间读书人，竟能深思细究，洞悉其中的源流。他所论述和撰写的内容，都足以沟通中西学说，折衷古今，自郭守敬以来，很少有人能同他相比。他受到圣天子特别而透彻的知遇，当然不是偶然的。△《大统历志》八卷、《附录》一卷（两淮盐政采进本） 国朝梅文鼎撰写。当初，元代郭守敬创制《授时历》，它的方法比古法精密。明初颁行的《大统历》，就是采用他的旧法。年代久了，误差逐渐产生，懂历法的人常常提出不同意见。到崇祯年间，徐光启推演发挥西法，分设机构进行测验，旧法的疏漏错误更加明显。钦天监正戈丰年无法再争辩，于是把过错推给郭守敬。孙承泽作《春明梦馀录》，又极力辨明郭守敬是历法中的圣人，只可惜不能完全采用他的办法。各方争论不止，始终没有定论。康熙丙午年，开设机构编修《明史》，史官因为梅文鼎精通算术，便向他询问明代历法得失的源流。梅文鼎于是依据《大统历》的旧法，详细推演并加以注释，辑成这部书，以求持平。将原书分为法原、立成、推步三部。法原部分有七目：一是勾股测量，二是弧矢割圆，三是黄赤道差，四是黄赤道内外，五是白道交周，六是日月五星平立定三差，七是里差漏刻。立成部分有四目：一是太阳盈缩，二是太阴迟疾，三是昼夜刻分，四是五星盈缩。推步部分有六目：一是气朔，二是日躔，三是月离，四是中星，五是交食，六是五星。法原用来取得数值，立成用来记载数值，推步用来说明方法，三者都剖析得清楚明白，具有条理。梅文鼎对于天象和纬度的运行，确实能够追究到它所以然的道理；这同那些世代承袭职业、拘守成法的历算家子弟，所见当然不同。历算家测算未来，应当采用新法；推求过去，则应当各自采用过去所用的本法。知道它为什么疏漏，然后才能得到精密的方法；知道它为什么错误，然后才能得到真实的结果；知道它为什么逐渐产生误差，然后才能穷究它最终的变化。那么，这部书虽然阐明的是郭守敬的历法，也仍然可以成为观测天象者借鉴前人经验的老师。这部书原来不分卷，现在按照所立的十七目，每一目定为一卷，以便查阅。△《勿菴历算书记》一卷（浙江吴玉墀家藏本） 国朝梅文鼎撰写。梅文鼎关于历算的诸书，仅刊行二十九种。这部书把他已经刊行和尚未刊行的著作合在一起，分别说明各书论述和撰写的意图。推步测验类的书共有六十二种，算术类的书共有二十六种。它虽然也属于目录解题一类，但对于各家的源流和得失，逐一标明纲要，使本末清楚，实在是算学诸书的总汇。例如《古今历法通考》一条说：不读耶律文正的《庚午元历》，就不知道授时历的五星；不读《统天历》，就不知道授时历岁实的消长；不考察王朴的《钦天历》，就不知道斜升正降的道理；不考察《宣明历》，就不知道气、刻、时三差；没有一行的《大衍历》，就不知道岁自为岁、天自为天；没有李淳风的《麟德历》，就不能使用定朔；没有何承天、祖冲之、刘焯诸历，就无法知道岁差；没有张子信，就无法知道交道内外和太阳运行的盈缩；没有姜岌，就不知道用月蚀来验证日躔；没有刘洪的《乾象历》，就不知道月亮运行的迟速。然而，如果不是洛下闳、谢姓等人首先开创端绪，即使有善于领悟的人，也没有从中产生这些智慧的条件。又说：西法大约有九家。第一家是唐代的《九执历》，第二家是元代紥玛鲁鼎的《万年历》，第三家是明代玛沙伊赫的《回回历》，第四家是陈壤、袁黄所撰述的《历法新书》，第五家是唐顺之、周述学所撰的《历宗通议》和《历宗中经》，这些都是旧西法。第六家是利玛窦的《天学初函》、汤若望的《崇祯历书》、南怀仁的《仪象志》和《永年历》；第七家是穆尼阁的《天步真原》和薛凤祚的《天学会通》；第八家是王锡阐的《晓菴新法》；第九家是揭暄的《写天新语》和方中通的《揭方问答》。这些都是新西法。不深入阅读这些书，也不能知道其中的道理。又如《周髀补注》一条说：考察其中所说的里差方法，这正是西方人学说的来源。《回回历补注》一条说：《回历》就是西法的旧有规则，泰西以《回历》为基础而加以精密化。这些著作都能把中西各种方法融会贯通，逐一掌握其中的要领，完全没有争论门户的偏见。因此，虽然其中有些是只议论而没有方法的著作，仍然把它们收入天文算术类，作为各种方法的纲领。△《中西经星同异考》一卷（安徽巡抚采进本）

译国朝梅文鼏撰写。梅文鼏字尔表，宣城人。他和兄长梅文鼎都精心研习历算之学，彼此商讨，多有发明；这部书就是他考订中西恒星名称和数目的著作。星经中最古的，莫过于巫咸、甘、石三家，但他们的学说已经失传。虽然残篇尚在，已经不能知道它的头绪。只有隋代丹玄子所作《步天歌》列出的星象，特别简略概括。因此自宋代以来，天官家大多把它作为准绳。到了明末，历法不再应验，而欧逻巴的方法开始流行。利玛窦撰写的《经天该》，其中的星名也同中国相同，但星座的位置有无、数目的多寡，往往同《步天歌》不相符合。梅文鼏于是根据南怀仁《仪象志》所载的星名，依照《步天歌》的次序，逐项列出，并把有无、多少的原因分别写在下面详加注释；其中古歌和西歌，也各自把原文载在后面，以便查验。南极各星是古代著作没有涉及的，于是又根据汤若望《历书》和《仪象志》加以考证，补作歌诀，附在书末。七政的运行，必定要凭借恒星来考验。但是天上的形象已经形成，天本身不会说话，人们随着自己的标记来给它命名，又根据自己所命名的星来进行测验；命名不一致，测验就会有许多分歧。梅文鼏这部书专门详细考察异同，互相参考、互相验证，使名称和实际不因参差不同而发生弊病。这也是贯通中西两种方法的要领。△《全史日至源流》三十二卷（湖南巡抚采进本） 国朝许伯政撰写。许伯政著有《易深》，已经著录。这部书遵循御制《历象考成》前编的方法，追溯考察《经史传注》中关于至、朔、气、闰的记载，核验其是否相合，纠正其中的错误。开头三卷都论述推步计算的方法。例如他说，天周应当采用三百六十度，日法应当采用九十六刻；宫次不是恒星固定不变的位置；岁实中的零数，积累很久才会显出增损，不应一概看作四分之一日。这些议论都很正确，只是他所说的岁实，认为每二百一十六年递减二十秒，以及太阳在高卑二日平行和实际运行恰好相等，按历法原理衡量，未免有所滞碍。至于后面的三十卷，编排长历，分代纪年，上起轩皇，下至明末。在四千年之间，把各项年代前后相连，使星躔和节候都一一按照谱系考察，也可以作为后人考核测验的资料。△《算学》八卷、《续》一卷（安徽巡抚采进本） 国朝江永撰写。江永著有《周礼疑义举要》，已经著录。这部书因梅文鼎《历算全书》而加以阐明和订正，并一概以《钦定历象考成》来折衷其中的异同。第一卷叫《历学补论》，都是根据梅文鼎的说法推演阐发其没有说到的地方。第二卷叫《岁实消长》。梅文鼎论岁实的消长，认为高冲接近冬至时岁余逐渐减少，经过冬至后又逐渐增加；江永则认为岁实本来没有消长，所谓消长的原因，是高冲时岁实稍有盈余，接近最高点时稍有不足；又因为小轮半径古代大、现在小，所以加减差也不同。第三卷叫《恒气注历》。梅文鼎论冬至加减，认为应当像西法那样使用定气，不使用恒气；但他所作的《疑问补》等书又说应当像旧法那样用恒气注历。江永则认为，冬至既然不用恒气，那么各节也都应当使用定气，不用恒气。因此，这两卷都逐条列出梅文鼎的说法，并在下面依据自己的见解加以辨析。第四卷叫《冬至权度》。《元史》记载六种历法的冬至，从晋献公以来共有四十九事。梅文鼎因此作《春秋冬至考》，删去晋献公一事，分别用各自的本法推求其中原因；江永则认为，算术虽然明白，却还没有得到折衷，于是又依据梅文鼎的方法，考证历法史志中的错误。第五卷叫《七政衍》。梅文鼎认为七政小轮的运动来自本天的运动，七政的运动又来自小轮的运动。江永则恭谨地考察《钦定历象考成》，指出五星有三个小轮，月亮还另有次均轮，并且还有负圈。梅文鼎的说法虽然精当，但对于各轮向左旋转、向右旋转，以及带动、自行和不动的差别，还不能详细剖析，于是分别绘图说明。第六卷叫《金水发微》。梅文鼎起初仍沿用旧法，认为金星、水星的伏见轮同岁轮相同；后来因门人刘允恭悟出金星、水星各自有岁轮，而伏见轮是它们围绕太阳运行的圆象，于是详细说明此理。后来杨学山对此颇为怀疑。江永认为梅文鼎的说法正确、杨学山的怀疑不正确，因而绘图说明。第七卷叫《中西合法拟草》。明代徐光启酌定新法，凡正朔、闰月之类，采用中法而不采用西法；定气、整度之类，采用西法而不采用中法。然而因为使用定气，就把每月中气的时刻作为太阳经过宫位的时刻，并系用中法十二宫的名称；西法十二宫的名称又用在表中。江永认为这样彼此错杂，整度一事也认为他的说法没有讲尽，所以撰写此论加以辨析，其中也多有推演梅文鼎说法的地方。第八卷叫《算賸》，推演三角的各种方法，求取其中简捷的要领。《续历学》一卷，叫《正弧三角疏义》，用来补充《算賸》中没有讲尽的地方。因此前八卷各有小序，只有这一卷没有小序。梅文鼎的历算学问，被推许为绝技；这部书又在已有内容的基础上，得到原来没有详尽说明的地方。随着事业不断增加，推演得越来越精密；对于观测验证，也可以说有很深的发明了。──以上“天文算法类”中推步这一属，共三十一部、四百二十九卷，都是文渊阁著录的。（案语：谈论天文的三家中，只有《周髀》有书传世；但周人不太讲究推步，所以常常错误地安排闰月，《左传》所记的事情可以考察。汉代以后，测算逐渐精密，但又往往得自神奇的领悟；它们的方法多见于史志，著作却很少流传。流传下来的只有宋、元以来几家而已。因此现在著录的书中，新法占多数。各家为天文而撰写的算术书收入这一类；专门讲数术的，则另立为算书一类。）

译第一百七卷　子部十七 ○天文算法类二 △《九章算术》九卷（《永乐大典》本） 谨慎考察：《九章算术》大概是《周礼》中保氏所传下来的旧法，但不知道是谁传下来的。《永乐大典》引用《古今事通》说：王孝《通言》称，周公制定礼制时有“九章”之名，它的道理深奥而微妙，形式隐秘而简约。张苍删补其中残缺的部分，校订各条目，和古代的算法颇为不同，等等。现在考察这部书，里面有“长安上林”的名称。上林苑是在汉武帝时才有的，张苍生活在汉初，怎么会预先记载它呢？由此可知，编述这部书的人应当在西汉中期以后。旧本有注，题名为刘徽所作。考察《晋书》，称魏景元四年刘徽注《九章》，但注中提到晋武库的铜斛，可见刘徽进入晋朝以后又有所增删。又有注释，题名为李淳风所作。考察《唐书》，称李淳风等奉诏为《九章算术》作注，列为《算经十书》之首；国子监设置算学生三十人，学习《九章》和《海岛算经》，一共限定三年，大概就是在这个时候编成的。北宋以来，这种算法很少流传，除沈括《梦溪笔谈》外，士大夫很少有人留意，这部书于是几乎散佚。到了南宋庆元年间，鲍澣之才从杨忠辅家得到此书的抄本，于是传抄后收入秘阁，但流传并不广。到了明代又散失了。因此二三百年来，研究算术的人没有谁能够看到它的全本。只有分散记载在《永乐大典》中的内容，按照类别搜集编纂，尚且保留了九篇。考察鲍澣之后序，称唐代以来流传的旧图，到宋代已经亡佚；又称《盈不足》《方程》等篇都缺少李淳风的注文。现在校对它所说的情况，件件都相合，可知这就是庆元年间的旧本。它在唐代显著，在宋代隐没，在明代亡佚，而幸运地遇到圣代彰明典章的盛世，今天又得以恢复完整。它的隐没和显现，仿佛其中自有某种默默存在的天数，并不是偶然的。谨慎地编排纂辑成书，并考订其中的讹误和异文，各自在下方附上按语。书中注文指示图形和表目，如“朱实”“青实”“黄实”之类，都是针对图中所列内容而言；图既然已经不存，这些注文就很难骤然理解。现在推求其注文的意思，为它补绘图形，使全书完备。算术没有比九数更古老的，九数也没有比这部书更古老的。即使新法屡次更改，推演得越来越精密，但追溯源流、探究根本，终究百般变化而不离其宗旨。把它辑录下来流传后世，本来就是古今算学的冠冕。△《孙子算经》三卷（《永乐大典》本） 考察《隋书·经籍志》，有《孙子算经》二卷，没有注明作者姓名，也没有注明时代。《唐书·艺文志》称李淳风为甄鸾的《孙子算经》作注，三卷。在“孙子”上冠以“甄鸾”，大概是因为李淳风像注《周髀算经》那样，依据甄鸾的注文又加以辨析论述。《隋书》论述审度时引用《孙子算术》，说蚕吐出的丝以“忽”为单位，十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分；本书却作十忽为一丝，十丝为一毫。《隋书》论述嘉量时引用《孙子算术》，说六粟为一圭，十圭为一秒，十秒为一撮，十撮为一勺，十勺为一合；本书却作十圭为一撮，十撮为一秒，十秒为一勺。考察夏侯阳《算经》引用田曹、仓曹的地方，也和本书相同；而《隋书》所引用的内容，又往往与史传相合。大概古书的传本并不一致，校订它们的儒者各有依据和证据，所以彼此参差、互相出现，也没有妨碍。唐代的选举制度中，算学方面学习《孙子》《五曹》，共同限定一年；它在后来各类算术书中尤其接近古法，只是不知道孙子究竟是什么地方的人。朱彝尊《曝书亭集·五曹算经跋》说，传说这种算法出自孙武，但孙子另有《算经》；考察古书的人保存这种说法即可。又有《孙子算经》跋文说，开头讲度量的起源，与兵法中“地生度，度生量，量生数”的文字相合；其次讲乘除的方法，设置数字作为例题；十三篇中所说的“廓地、分利、委积、远输、贵贱、兵役、分数”，同《九章》中的“方田、粟米、差分、商功、均输、盈不足”等项目，往往相互符合，而关键在于所得的计算结果多，结果多自然就能取胜。由此可知，这部书不是伪托的，等等。综合两篇跋文来看，朱彝尊的意思大概是认为它确实出自孙武。现在考察书中设置的问题，有说长安与洛阳相距九百里；又说佛书二十九章，每章六十三字，这都是后汉明帝以后人的说法。孙武是春秋末年人，怎么会有这样的说法呢？旧本已经散佚很久。现在根据《永乐大典》所载的内容搜集编次，仍编为三卷。至于甄鸾、李淳风两家的注文，就无法再考察了；这正是姚广孝等人割裂、删削的过错。△《术数记遗》一卷（两江总督采进本） 旧题称为汉代徐岳撰写，北周甄鸾作注。徐岳是东莱人。《晋书·律历志》所说吴国中书令阚泽从东莱徐岳那里接受《乾象法》，指的就是他。《隋书·经籍志》详细列出徐岳和甄鸾所撰的《九章算经》《七曜术算》等书名，却唯独没有这部书的名称，直到《唐艺文志》才开始著录。书中称，在泰山见到刘会稽，此人博学多识、文才广博，精通各种数术；我于是向他求学，并问道：“数术有穷尽吗？” 刘会稽说：“我曾经游历天目山中，见到一位隐士如此说，等等。”大体上是在说他的传授如何神秘。然而考察《后汉志》的注文引用袁山松的书说：刘洪是泰山蒙阴人。延熹年间以校尉身份应太史征召，授官郎中。后来任会稽东部都尉。奉征回朝还没有到达时，兼领丹阳太守，死于任上。这样看来，刘洪在担任会稽官职以后从未居住在家乡，不可能说在泰山见到他。而且刘洪在会稽担任的是东部都尉，他担任太守实际上是在丹阳；注文却说他是会稽太守，错乱得非常严重。又因为旧本都题为汉代徐岳撰写，据《晋书》记载，徐岳在魏黄初年间曾与太史丞韩诩辩论日食、月食五件事，那么徐岳已经在魏朝任职，不能把他系属于汉代。考察古事尤其显得疏漏荒谬。至于“天门金虎”等说法，是道家荒诞不经的言论，也属于隐僻不合经典的内容。注文所说的算式和数位，按正文核对，大多互不相应。唐代的选举制度中，算学除学习《九章》《五曹》以外，还兼习这部书。这一定是当时搜求古代算术，好事之人因而伪托成书，再把作者姓名嫁接到徐岳名下罢了。但它流传已久，学者有时会把它当作古本而产生疑问，所以仍然记录保存，同时详细斥责它的伪妄，以消除后人的疑惑。△《海岛算经》一卷（《永乐大典》本）

译晋代刘徽撰写，唐代李淳风等奉诏作注。据刘徽《九章算术序》说，刘徽探究九数，发现其中有“重差”之名；凡是要测量极高之物、极深之处，同时还要知道它们距离的人，必定要使用重差法，于是创制重差法并作注解，以探究古人的意思，附在勾股法之下。测量高度使用重表，测量深度使用重矩，测量孤立之物使用三望；既有距离又要从旁边求取的使用四望。由此看来，刘徽的书本来名为《重差》，起初没有《海岛》这个名称，也只是附在勾股法之下，并不是另外成书。因此《隋志》著录《九章算术》增加为十卷，下文说由刘徽撰写，大概是把《九章》九卷与这部书合起来成为十卷。《隋志》《唐志》又都有刘徽《九章重差图》一卷，大概是因为这部书也另有单行本，所以分别著录；同一部书出现两次。到了《唐志》又兼列刘向《九章重差》一卷，于是把刘徽讹写成刘向，同一部书便出现了三次。现在详细考证，确定这是刘徽的书。至于《海岛》这个名称，古代本来没有见到，不过是后人因为卷首以《海岛》的图表设问，才改用这个名称；但唐代选举志称算学生学习《九章》《海岛》共限定三年，考试《九章》三道题、《海岛》一道题，可见改题为《海岛》一事在唐初已经如此了。这部书世上没有传本，只零散见于《永乐大典》中。现在把它搜集整理，仍编为一卷。篇幅虽然不多，但古代算法完整保存，本来应当同《九章算术》一起加以表彰，以显示算术家的源流所从来。△《五曹算经》五卷（《永乐大典》本） 考察《隋书·经籍志》，有《九章六曹算经》一卷，却没有《五曹算经》的书名，其中“六曹”各篇的题目也没有流传下来。《唐书·艺文志》才开始有甄鸾《五曹算经》五卷、韩延《五曹算经》五卷、李淳风注《五曹》《孙子》等算经二十卷，以及鲁靖新编《五曹时要术》三卷。甄鸾、韩延二家，都是为这部书作注的人，至于作者是谁却不知道。考察《汉书·梅福传》，梅福上书说：“我听说齐桓公时，有人凭借九九之术求见。”颜师古注说，九九算术，就像今天的《九章》《五曹》之类。大概算学虽然种类很多，但不超出乘法和除法两类；而乘除又不超出一至九，所以把九的运算称为“九九”。颜师古只是拿当时已有的《九章》《五曹》等书来解释它，并不是说梅福当时已经有这些书。朱彝尊《曝书亭集》有《五曹算经跋》说，传说这种方法出自孙武；但朱彝尊只是说“相传”，没有引用证据，更加不足以凭信。看《唐书·选举志》称《孙子》《五曹》共同限定一年，既然说共同限定，就明显说明《五曹》不是出自《孙子》。姑且以甄鸾的注文为断，那么这部书确实在北齐以前就已经存在。元、明以来，长期没有刻本，藏书家传抄时讹误错乱，几乎无法通读。现在散见于《永乐大典》中的内容，甄鸾、韩延、李淳风三家的注文虽然也散失了，但经文却逐条完整。谨慎地参照互校，使它恢复旧貌，于是成为绝无仅有的善本。考察夏侯阳《算经》，引用“田曹”“仓曹”的地方有两处，引用“金曹”的地方有一处，但这部书都没有这些文字。然而这部书首尾完整，文理贯通，不像有所亡佚。怀疑《隋志》所说的《九章六曹》，其篇目也同夏侯阳所引用的“田曹”“仓曹”“金曹”等名称相同，另自成一书，而不是这部书的文字。因此不敢据此补入，以免混淆它的真貌。△《夏侯阳算经》三卷（《永乐大典》本） 考察《隋书·经籍志》，有夏侯阳《算经》二卷；《唐艺文志》列夏侯阳《算经》一卷；而《直斋书录解题》记载元丰年间国子监刻本，却说是三卷。大概传本之间有分有合，所以卷数各不相同，但都没有说夏侯阳是哪一代的人。考察《唐志》记载此书由甄鸾作注，那么夏侯阳应当在甄鸾以前。但这个本子所载夏侯阳自序又说，《五曹》《孙子》的著述日益增多，甄鸾、刘徽为它们作了详细解释。书中又称宋元嘉二年徐受重新铸造铜斛，到梁大同元年甄鸾加以校订，这样看来又似乎是在甄鸾之后。书中辨析度量衡说，京城各司和各州都分别发给标准的称、尺，以及五尺度、斗、升、合等样式，全部用铜制成。仓库令所规定的各种量器，由所在官府制造，大的容量五斛，中等三斛，小的一斛，以铁包边，校验平正并加盖印记，然后发给使用。又《课租庸调章》称，赋役令论述步数不等；“章”又称杂令、由令之类，也都是依据隋代制度来说的，这尤其令人无法解释。怀疑传授这种学问的人又有所窜改增益，并不全是夏侯阳原来的意思。《唐书·选举志》列举的十种算经中，这部书是其中之一。大概当时曾把它列入法令，供人学习和考核。现在传本早已散佚，只有《永乐大典》中还保存着。可是各条文字被割裂开来，分别附在《九章算术》的各类之下，几乎像整理乱丝一样，骤然无法找到它的头绪。幸好原序还被载录在目录中，仍然可以据此寻求、推定它的编次，贯通各条文字。现在搜集编排，仍依照元丰年间国子监刻本，分为三卷。它的十二门，也依从原来的篇目。这部书的方法注重切合实际应用，即使《九章》的古法不是官府和民间事务所必需，也略去不载。在各种算经中，它最为简要，而且对于考证古今制度的异同尤其有帮助，等等。△《五经算术》二卷（《永乐大典》本）

译北周甄鸾撰写，唐代李淳风作注。甄鸾精通步算，仕于北周，官至司隶校尉、汉中郡守。他曾为《周髀》等算经作注，却没有听说他有这部书。《隋书·经籍志》有《五经算术》一卷、《五经算术录遗》一卷，都没有注明撰写人的姓名。《唐艺文志》则有李淳风注《五经算术》二卷，也没有说这部书是谁撰写的。现在考察这部书，把《尚书》《孝经》《诗》《易》《论语》《三礼》《春秋》中那些需要用算术才能说明的内容列出，而推算的方法上都加有“甄鸾案”三字，因此这部书应当就是甄鸾所撰。又考察李淳风在贞观初年奉诏与算学博士梁述、助教王真儒等刊定算经，确立为学官教材。《唐选举志》和《百官志》都把《五经算》列为十部算经之一，同《周髀》共同限定一年学习；考试士人时各提出一条作为问题。这部书注文的开头全都有“臣淳风等谨案”字样。这样看来，唐代算科所学的《五经算》就是这部书。这部书世上没有传本，只零散见于《永乐大典》中；虽然割裂而失去次序，但还算是一部完整的书。根据李淳风的注文，在《尚书》中推定闰月的条文处，他自己说明了注释的体例，由此可知全书就是从这里开始的。又如《论语》中“千乘之国”的内容，以及《周官》中关于盖弓宇曲的内容，都使用开方术；前者解释得详细，后者解释得简略。按照这种义例，根据各经所叙述的内容推求，原来的编次还可以考见。谨依照《唐艺文志》所载的卷数，分为上、下二卷，其中采录经书史籍的材料，多是唐代以前的旧本。例如引用司马彪《志序论》说，十二律各自统领一个月，属于哪个月的律，就各自以哪个月为宫。如今的《后汉志》把“统”误作“终”，把“月”误作“日”。“革木之声”如今的志书误作“草木”。“阳下生阴，阴下生阳，始于黄钟，终于仲吕”，如今的志书脱漏了“始于黄钟”四字。“律为寸，于准为尺；律为分，于准为寸”，下文承接“准寸”说，不满一的十倍所得为分，如今的志书脱漏了“律为分，于准为寸”两句。《礼记义疏》引用志书时也有同样的脱误。又两次引用“上生不得过黄钟之浊，下生不得及黄钟之清”，并申明说：这样，上生不得超过九寸，下生不得减于四寸五分；这同蔡邕《月令章句》所说黄钟少宫管长四寸五分相合。而且足以证明中央土律中的黄钟之宫，就是黄钟清律，不能把它同仲冬月律中最长的黄钟浊律混为一谈。《吕氏春秋》先制定黄钟之宫，接着制定十二筒，也同样是黄钟有清律的证明。如今的志书写成“上生不得过黄钟之清浊，下生不得及黄钟之数”，实际上是因为“清”字误衍在上文，后人又改窜了下文；按照律法推究，便完全无法解释了。可见这部书不仅是算学家不可废弃的著作，实际上还足以阐明经书史籍、考核订正疑义，对于考证之学尤其有功。△《张邱建算经》三卷（吏部侍郎王杰家藏本） 原本没有题明撰写人和时代。《唐志》记载张邱建《算经》一卷，由甄鸾作注，那么它应当在甄鸾以前。书首张邱建自序提到夏侯阳、孙子的算法，那么它应当在夏侯阳以后。《隋志》记载这部书为二卷；《唐志》除载一卷、甄鸾注外，另有李淳风注张邱建《算经》三卷。郑樵《通志·艺文略》载张邱建《算经》二卷，又载三卷本、李淳风注。《宋艺文志》《中兴书目》也都作三卷，那么分为三卷应当始于李淳风。这个本子是毛晋汲古阁影抄的宋刻本，称从太仓王氏那里得到。卷首题为“汉中郡守、前司隶甄鸾注经，朝议大夫、行太史令、上轻车都尉李淳风等奉敕注释，算学博士刘孝孙撰细草”。大概仍是北宋时秘书监赵彦若等校定刊行的本子。其中称“术曰”的，是甄鸾所作的注；称“草曰”的，是刘孝孙所增补的内容。细字夹注中称“臣淳风等谨案”的，不过十多处。大概有疑问才加以解释，并不是逐节都作注。这部书的体例全都设置问答，通过相互校验来申明道理，共一百条。文字简约深奥而古朴，很像《九章》，与近世的术数不同。但条理精密，确实能够深入探究古人的思想，所以唐代颁行它作为算学教材，专门学习。现在详细加以校勘：上卷从乘除之数开始，到第十二问是勾股测望，第十三问是勾股和较，第十四问是重勾股颠倒测望，第十五问是卧勾股左右进退测望。这四问都借助图形来说明，旧本中没有，现今特意按照文义补入。从第十六问以下，都是以差分、和较、均输交杂列题，间或附有方圆幂积。到了中卷第六问，才进入商功，后面又涉及贵贱、差分、倍半、衰分、方田等术。只有弧矢一问原本不完整，不能用其他术法增补，姑且保留它的缺漏。下卷第一问失去了题目，另外细草部分又脱落了二十多个字，因为后文还有依据，谨慎地补足了它。至于鹿垣、仓这三条，也分别绘制了图，附在原题左边，使学习者能够考察了解其中的始末。△《缉古算经》一卷（吏部侍郎王杰家藏本）

译唐代王孝通撰写。书中的职衔署名为通直郎、太史丞。他的生平始末不详。只有《旧唐书·律历志》“戊寅历”条下记有“武德九年校历人、算历博士臣王孝通”的题名，大概就是此人。这部书又名《缉古算术》，《唐书·艺文志》和《崇文总目》都说是李淳风作注。现在考察此本，卷首实际题为“孝通撰并注”，那么《唐志》和《总目》的记载就是错误的。又《宋志》作一卷，《唐志》和郑樵《艺文略》都作四卷，王应麟《玉海》说如今三卷已经亡佚。考察《孝通原表》，说有二十术；核对书中条目，彼此相同，并没有缺失，不知王应麟根据什么这样说。书中的大旨是：《九章·商功篇》有在平地上计算工程役力、承受长度的术法，但对于上宽下窄、前高后低等情况却缺漏不论，世人多不能通晓其中的道理。因此在平地术法的基础上，继续推演狭斜的法则。凡推算朔日夜半时月亮所在位置的，是一术；推算仰观台以及羡道的高度、宽度、长度的，是一术；推算筑堤时分配工程，以及上下宽度和高、长度各不相同的，是一术；推算筑龙尾堤的，是一术；推算开凿河道时分配工程，以及斜直长度、上部宽度、深度和河岸上部宽度各不相同的，是一术；推算四郡输送粮食时窖的上下宽度、长度，以及其余各郡另行出入和窖深、窖宽的，是一术；推算亭仓上下方形和高度的，是一术；推算刍、薨和圆囤的，各是一术；推算方仓与圆窖相互对应的，有五术；推算勾股各边和面积相互求解的，有六术；合计正好是二十术。其中常常根据人口和户数、道路里程、大小远近，以及材料物品的轻重、工程所需的日数，交互运用乘除、进退和参伍等方法，从而得到计算法则。全书并不很按深浅排列次序，所以读者有时不能一下子通晓。但到篇末以后，能够由源头推究到末流，端绪都足以寻求，确实把细微之处思考到了极点，把事物的道理曲折详尽地阐明了。唐代设立明算学，规定学习此书以三年为期限，也可见它的术法精妙，不是短时间内能够穷尽其义理的。这部书世间很少流传，此本是宋元丰七年秘书监赵彦若等校定刊行的旧本，常熟毛扆从章邱李氏处得到后，摹写流传下来的。现在详细加以勘正，其中文字间有脱落缺失之处，不敢妄自补写。谨摘取其中的义理，另行增绘图说，附在原文左边，以便阅读。△《数学九章》十八卷（《永乐大典》本） 宋代秦九韶撰写。秦九韶的生平始末不详。只有根据原序，他自称籍贯为鲁郡。然而原序题为淳祐七年，此时鲁郡已经很久归入元朝。秦九韶大概署的是祖籍，实际究竟是哪里人，尚不清楚。这部书分为九类：一是大衍，以用奇零数求总数，作为九类的纲领；二是天时，用来推算节气、朔日、日影以及五星的伏见；三是田域，用来推算方形、圆形的面积和体积；四是测望，用来推算高度、深度、宽度和距离；五是赋役，用来均分租税和劳役；六是钱谷，用来权衡轻重和出入；七是营建，用来估量土木工程；八是军旅，用来确定行军布阵；九是市易，用来处理交易。虽然以《九章》为名，但与古代《九章》的门类和条目大不相同，大概古人只是设置术法，秦九韶则分别说明它们的用途。宋代诸儒崇尚空谈而轻视实用。数学虽然是圣门六艺之一，也被他们鄙弃而不谈；即使有人谈数学，也不过是推演《河图》《洛书》的奇偶，与人事没有关系。所以乐律屡次争论而不能决断，历法也不断变更却越来越错误，难道不是因为算术不明，只凭主观臆断的缘故吗？数百年间，只有沈括专心研究此事，但除《梦溪笔谈》外，还没有形成专门著作。秦九韶处在宋朝末年，独自崛起，阐明了已经失传的高深学问。其中大衍类中阐发蓍卦，想用新术改变《周易》揲蓍的方法，实在违背古义。古历中的会稽题本来就有错误，而且还特意设置问题来说明大衍的道理，起初并不考虑历法前后经过的多少，更不是实际依据。天时类中用缀术推算星宿，本来不是方程法，术文却称为方程；又在演算草稿中多设一个数来凑合方程的行列，越发牵强。书中所载都是平气、平朔，凡是日影的长短、五星运行的迟速，都只是设置数值进行加减，不过得到大概情况；与今天确定节气、确定朔日并用三角形推算的方法相比，也还不够精密。然而自秦汉以来，成法代代相传，却从来没有人说明它制定法则的意义。只有这部书的大衍术中所载“立天元一”法，能够举出并说明立法的意义。它的用途虽然只有一端，但用零数推求总数，足以穷尽奇偶、和较等变化，极其精妙。如果真正领会它的意义并加以运用，凡是其他术法不能求得的，都能随着所用之处而无不贯通。后来元代郭守敬把它用于弧矢，李冶把它用于勾股方圆，欧逻巴新法改称为“借根方”，用于《九章》八线；它们的源头实际上都由秦九韶开创，也可以说他对算术是有功劳的。至于田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易七类，都是扩充古法，取实际事务设置题目。虽然条目繁多，曲折反复，难免优劣并存，但精确的地方居多。现在就依据《永乐大典》所载的内容，对错误之处加以订正，对疏漏之处加以辨析，对颠倒之处重新排列次序，并在下方分别加上按语。希望使得失都不被掩盖，让算学家有所考察。△《测圆海镜》十二卷（编修李潢家藏本） 元代李冶撰写。李冶字镜斋，栾城人。金朝末年考中进士，入元后任翰林学士。事迹详见《元史》本传。这部书以勾股容圆为题，从圆心向圆外取纵横线，得到大小十五种图形，而且都没有奇零数。接着列出数百条辨识杂记，以穷尽其中的道理；又设置一百七十道题，以尽量说明它的用途。探究深奥隐微之处，交错综合运用各种方法，即使学习过这种方法的人，也不能一下子理解。但它的演算草稿大多讲“立天元一”。考察“立天元一”法，见于宋代秦九韶《九章大衍数》中；此后《授时草》《四元玉鉴》等书也屡次出现，而这部书讲得尤其详细，对数学关系极大。然而自元代以来，历算家都拘守现成的法式，只知学习而不加考察。

译到了明代，竟然没有懂得这种方法的人了。所以唐顺之写给顾应祥的信中说到“立天元一”，完全不知道是什么意思。顾应祥把这部书推演成《分类释术》，在自序中也说“立天元一”没有可以下手的办法；这样看来，书虽然还在，但它的传承已经断绝了。明万历年间，利玛窦与徐光启、李之藻等人把它译入《同文算指》等书，对古代《九章》都有辨析订正，唯独对“立天元一”法缺漏不谈。徐光启在《勾股义序》中引用这部书，又说想说明它的意义却没有来得及。由此可知，这部书已经被利玛窦看到，但他仍未能理解其中的道理。到了本朝，教化深厚而兴盛，海陆交通往来的人才纷纷会聚，欧逻巴人开始把借根方法进呈，圣祖仁皇帝命蒙养斋诸臣学习它。梅瑴成于是悟出这就是古代的“立天元一”法，在《赤水遗珍》中作了详细解释。书中还记载西方名称“阿尔热巴拉”（按：原本作“阿尔热巴达”，谨依据西洋借根法改正），即汉语所说的东来法。由此知道，这就是李冶的遗书流入西域，又辗转传回中原。现在用它来校验西法，件件吻合；梅瑴成所说的话，确实可信而且有证据。特意抄录保存下来，作为算法的秘钥；同时也用来说明中法和西法能够互相发明，不必抱有划分疆域的偏见。△《测圆海镜分类释术》十卷（浙江范懋柱家天一阁藏本） 明代顾应祥撰写。顾应祥还有《人代纪要》，已经著录。李冶《测圆海镜》所设置的一百七十道题，都有演算草稿和计算方法。（按：前几十道题中有些很容易的，或许没有草稿，后面的都有草稿。）草稿使用“立天元一”作为未知数，配合题目中的已知数进行推算；专门运用题中数值推演，最后都归结为带纵的各种乘方。顾应祥从唐顺之那里得到李冶的书，对“立天元一”一语相互推求，却不能理解，于是删去详细草稿，只专门演述算法，改成这部书，自称便于初学者学习。他却不知道“立天元一”的妙处，正能使各种原本无法求出的术法得到解法；如果没有那些草稿，即使李冶已有的内容也有不能求得其法的地方。只是在加减开方的数值上沾沾自喜，可以说是沿着枝叶而失去了根本。唐顺之写给顾应祥的信说：这部书对形而下的数值讲得太详细，而形而上的义理有些简略，使读者仍不免觉得数值可以陈述而义理难以理解，似乎有把鸳鸯枕给人却不传授金针的疑虑。我认为，希望您在关键之处提纲挈领地指出一两个作法的源头，使后世学习数学的人，认识大的能够得到义理，认识小的能够掌握数值，那么这部书就会更加精彩了。他对顾应祥的不足之处批评得确实正确。只是所谓作法的源头，就是“立天元一”这句话；顾应祥既然删去了它，又拿什么来提纲挈领呢？不过《九章》中只有少广类的各种乘方数目十分繁杂，所以带纵立方的方法，古代已经看不到有人说明其中的和数。李冶所用的有三乘方、四乘方，甚至五乘方，而且还兼有加减各种乘方的廉隅；他没有详细说明计算公式，初学者确实难以据此求得数值。李冶虽然专门阐明“立天元一”这一术法，但得到顾应祥所演述的各种乘方公式，也可以说是求取“立天元一”法的一种帮助。△《益古演段》三卷（《永乐大典》本） 元代李冶撰写。根据至元壬午年砚坚的序文，称李冶的《测圆海镜》已经刻板刊行，他的亲友、省掾李师徵又让弟弟李师珪请李冶编写这部书并刊行。因此本书成于《测圆海镜》之后。所谓《益古演段》，大概是当时某氏的算书（按：李冶的序只说近世有某人，说明李冶已经不知道作者的姓名），用方圆的周、径、幂、积和较相互求解，制定各种方法，名为《益古集》。李冶认为其中的深意仍然隐藏而没有阐发，于是替它增补、调整条目，厘定图式，演成六十四道题，以阐明其中的奥义，所以沿用了原来的书名。其中有草稿、条段、图和义理。草稿就是古代“立天元一”法；条段就是方田、少广等方法；图就是绘出加减开方的道理；义理则随着图来解释。大概《测圆海镜》以“立天元一”法为根本，这部书就设置问答，用来向初学者说明这种方法的意义。所列各种方法，文字都很浅显。因为这种方法虽然是各种方法的根本，但神妙变化，难以窥测，学习者突然想要通晓它，茫然没有可以进入的门径。只有借助方圆幂积来说明，道理才比较容易看懂。所以李冶在方圆相互求解的各题中，都用这种方法推演作为草稿，使学习者容易入门。自序说，当今从事算学的人未必有刘徽、李淳风那样的功力，却心胸狭窄、见识局促，不肯明白地把方法传示给别人，只是一味隐晦、互相错杂，所以故意弄得混沌昏暗，唯恐学习者窥见其大概等等。这可以看出他著书的宗旨。至于条段、图、义理彼此触类旁通、杂列说明，则又是因为必须先熟习各种方法，然后才能通晓这种方法，所以取来互相发明。这部书在世间没有流传本。顾应祥、唐顺之等人看到《测圆海镜》却不理解“立天元一”法，于是说李冶把其中的关键秘藏起来以显示奇异；这样看来，到明代中叶时，它已经散失了。现在查考《永乐大典》，还保存着全编。特意著录保存，使它重新流传于世，作为算学家的准则。砚坚序文称三卷，现在大致按照篇页分为三卷，文字没有增删。只有传抄错误的地方，都依据本法推求，全部加以校正。△《弧矢算术》一卷（浙江范懋柱家天一阁藏本） 明代顾应祥撰写。弧矢的方法始于元代郭守敬《授时历草》。其中有由弧背求矢的草稿，设立“天元一”作为矢，等等。反复推求，直到得到三乘方的积数和廉隅纵数为止，却没有记载开方的计算公式。大概当时的历算家还熟悉开各种乘方的方法，所以不再赘述；或者另有专书，因此没有重复演算吧？弧矢相互求解，以及弧容直阔等方法，都是用勾股法来处理的。明代唐顺之认为这是推算太阳运行和月亮位置的源头，于是作《弧矢论》给顾应祥看。顾应祥便推演成这部书，命名为《弧矢术》。顾应祥不明白“立天元一”法，所以搁置不论。只是补充了开带纵三乘方的公式，并详细说明各种弧矢相互求解的方法，与《测圆海镜》《分类释术》的著作大致相同；它对初学者用来讲习的价值，也大体相当。△《同文算指前编》二卷、《通编》八卷（两江总督采进本）

译明代李之藻推演西方人利玛窦所译的书。前编上、下二卷，讲述笔算定位、加减乘除的公式，以及约分、通分的方法。通编八卷，用西方方法论述《九章》。卷一称为三率准测，就是古代的异乘同除；称为变测，就是古代的同乘异除；称为重测，就是古代的同乘同除。卷二、卷三称为合类差分、和较三率、洪衰互徵，就是古代的差分，又称衰分。卷四称为叠借互徵，就是古代的盈朒。卷五称为杂和较乘，就是古代的方程。卷六称为测量三率，就是古代的勾股；又有开平方、奇零开平方，就是古代的少广。卷七称为积较和开平方。卷八称为带纵诸变开平方。又有开立方、广诸乘方、奇零诸乘方，都属于古代的少广。按：《九章》是《周礼》遗留下来的法则，各种方法的用途各不相同，是后世谈论数学的人不能改变的。西法只有开方（就是古代的少广）和勾股各有专门方法，其余都用三率法处理。至于方田、粟米、差分、商功、均输五章，本来可以用三率法处理。至于用盈朒来处理隐杂交互的情况，用方程来处理错杂的正负数，三率法就不能处理了。可见中法、西法本来各有所长，谁也不能完全掩盖谁的长处。这部书想用西法替代《九章》，所以比较两者的长短，各有增补。它论述三率比例，比中土流传的方田、粟米、差分等术法确实更加详细。至于盈朒、方程两术，则都仍然采用旧法。少广讲得简略而不完备，而且方法与数值有许多出入之处。梅文鼎《方程馀论》说：《几何原本》讲勾股三角已经完备。《同文算指》在盈朒、方程方面采用古人的方法加以传述，并不是利玛窦传来的方法。又说：各种书的错误都沿袭下来而没有人察觉；这一定不是懂得却不用，也不是能够谈论却不详尽，也可以看出来了。这确实是正确的论断。然而中土算书自元代以来散失尤其严重，一直没有人能够起而搜集整理。只有利玛窦不怕烦琐，日积月累，取各种方法汇集订正，编成此书，也可以作为算学家考察古法的资料。△《几何原本》六卷（两江总督采进本） 西洋人欧几里得撰写。由利玛窦翻译，徐光启亲自记录译文。欧几里得不详是什么时代的人。据利玛窦序文说，他是中古时代的博学之士。原书共十三卷，有五百多道题；利玛窦的老师丁氏为它作了集解，后来又续补二卷，共十五卷。如今只刊行六卷，徐光启在自序中说，翻译并接受这部书时，认为这六卷是其中最重要的部分，于是刊刻流传。书中每卷都有“界说”“公论”和“设题”。“界说”是先解释所使用的名目；“公论”是列举不可怀疑的道理；“设题”则根据所要说明的道理，按次序设题，先易后难，由浅入深，由简到繁，推演到再也无法增加为止，这样构成一卷。每道题都有“法”“解”“论”“系”四项：“法”说明题目的用法，“解”阐述题意，“论”则阐明其中所以然的道理，“系”又有旁通的内容。第一卷论三角形，第二卷论线，第三卷论圆，第四卷论圆内和圆外的形体，第五、六卷都论比例。对于三角、方圆、边、线、面积、体积以及比例变化相互生成的道理，没有不曲折详尽地揭示出来的，细微之处也全都显露无遗。徐光启序中称它穷尽了方圆平直的情理，发挥了规矩准绳的全部作用，并不是虚夸的话。又考察此书，它是欧逻巴的数学专著，而且利玛窦序中说，前人创作、后人述作，世代不断，到了欧几里得才写成此书；大概也是汇集各家成就而成，所以从头到尾毫无瑕疵。再加上徐光启反复推演阐发，文字句意尤其明白。以此书作为西方数学的冠冕，并不过分。△《御定数理精蕴》五十三卷，是康熙五十二年圣祖仁皇帝《御定律历渊源》的第二部。上编五卷，名为“立纲明体”，分为五类：数理本源、河图、洛书、《周髀经解》《几何原本》《算法原本》。下编四十卷，名为“分条致用”，也分为五类：首部、线部、面部、里部、末部。另有表八卷，分为四类：八线表、对数阐微表、对数表、八线对数表。全书贯通中西数学的异同，并辨别订正古今方法的长短。例如旧传方程把二色分为一法，三色分为一法，四色、五色以上又分为一法，头绪纷乱；所设的假如只能施用于本例，不能移用于其他地方。至于正负加减法，以及实并分母的各种例子，大多都是错误的。现在把它们约括为和数、较数、和较兼用、和较加变四例：和数不分正负，较数任取一色为正，便取相应的一色为负；都以异名相加，同名相减，确实足以纠正旧法的错误。又如割圆术，古代以“径一围三”作为周径的比率；宋代祖冲之用圆内容六边形起算，元代赵友钦用圆内容四边形起算，都反复求取勾股，得到直径为一时，周长为三点一四一五九六二五。泰西方法所得的比率也相同。古今周率之精密，没有超过这个数的。可是旧传的弧矢等方法，周径都使用古率；至于弧、弦、弦背相互求算的各种方法，立法极其粗疏错误。现在则用六宗、三要、二简等方法，求得一象限以内的弦、矢、割、切、正、余六线，立成一表，确实把勾股和弧矢变化推演到了极致。又《几何原本》只讲到测面，七卷以下，徐光启、李之藻之后便没有人翻译了。

译《新法算书》中往往有杂引的地方，读者不能完全明白。而且其中关于理分中末线，只说明了求作的方法，却不知道它的用途。现在则求出了各等面体，以及求各等面体内容、外切体的体积；直到十二等面体和二十等面体，都以理分中末线作为比例，足以补充测量全部意义和测算体积各种比率的简略。至于末部的借根方法，就是古代所说的“立天元一”之术，唐宋各位算家都使用过。到了明代失传，所以顾应祥、唐顺之对于元代李冶《测圆海镜》中所设的天元一，都茫然不能理解。现在详细说明它加减乘除的规则，于是根以及平方以下各种乘方的开法都能够求出，与古书所说的带纵立方、三乘方等各种变化归于同一条理。而且线、面、体始终贯通一体，凡是本法不能求出的，都可以借根求得，极其精妙。至于其他方面，如对数表用假数求真数，比例规解以测量代替计算，都是西法与中法迥然不同的地方，也都加以疏通证明，绘图制表，灿然完备。实在是自古以来从未有过的书。即使是专门名家，也未必能窥见其高深的万分之一。△《几何论约》七卷（内府藏本） 国朝杜知耕撰写。杜知耕字临甫，号伯瞿，柘城人。这部书取利玛窦和徐光启所译的《几何原本》再次删削，所以名为《论约》。徐光启在《几何原本》开头列出几条杂议，说此书有“四不必”：不必怀疑，不必猜测，不必试验，不必改动；有“四不可得”：想脱离它不可能，想驳倒它不可能，想删减它不可能，想把前后次序重新调换也不可能。杜知耕却删削其中的文字，似乎违反了徐光启的告诫。然而读古人的书，往往各有自己的领会；在自己独自契合的时候，不一定要让人人都明白，也不一定要让著书的人本人都照录下来。《几何原本》共有十五卷，徐光启取其中六卷。欧几里得以绝世的技艺传授本国世代相传的秘法，难道果真有九卷冗余，必须等徐光启来取舍吗？不过是各人取自己想取的部分罢了。杜知耕取自己想取的部分，没有什么可奇怪的。梅文鼎精通数学、造诣高深，而他所著《几何摘要》在这方面也有所取舍，并且称杜知耕这部书足以相互印证。这样看来，此书删去繁冗、举出要旨，一定不是任意为之。△《数学钥》六卷（内府藏本） 国朝杜知耕撰写。此书列出古代方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈朒、方程、勾股九章，仍然把当今线、面、体三部的方法分别归入其中，载有图解，并摘取要语作为注释，体例与方中通所撰《数度衍》采用今法来会通《九章》相同。而且每章设置例题，一定在章首标明总则；每道问答有旁通内容的，一定把相关方法附在条目下面；所引用的文字，一定注明出处，搜集编纂尤其详尽。梅文鼎《勿菴历算书》记载说：近代作者如李长茂的《算海详说》，也有所发明，但不能完备地说明《九章》；只有方位伯的《数度衍》，在《九章》之外搜罗得非常丰富。杜端伯的《数学钥》用图和注释说明《九章》，相当切中要害，可以作为算家学习的程式。他的说法确实不是虚妄的。世间流传有两个版本，其中一个被妄人窜改扰乱，已经严重失去原貌。这个版本还应当是当日初刻的本子。现在据此校正，以恢复杜知耕的旧本。△《数度衍》二十四卷、附录一卷（两江总督采进本） 国朝方中通撰写。方中通字位伯，桐城人，是明代检讨方以智的儿子。方以智博览群书，并且精通数学。方中通继承家学，写成此书，内容有数原律衍、几何约、珠算、笔算、筹算、尺算等方法。又分条列出古代《九章》的名目，引用《御制数理精蕴》，推演阐发其中的意义。他的《几何约》以明代徐光启译本为依据；珠算仿照程大位《算法统宗》；笔算、筹算、尺算则取自《同文算指》和《新法算书》。只有数原律衍不清楚出自哪里，大概是汇集各家的长处，加以增删润色，编成一部书。关于他的尺算方法，梅文鼎说这是三尺交加取数，所以只能用来平分一条线。他所说的比例规解的本法，可惜只见他的弟弟中履说方中通在豫章得到旧法，却不知道这种方法究竟怎样，最终没能同方中通深入讨论。中履又说见过嘉兴陈荩谟的《尺算用法》一卷，也只是平分一条线，难道方中通依据的方法与陈荩谟的是同出一源吗？大概已经无法考证了。△《勾股引蒙》五卷（浙江巡抚采进本） 国朝陈訏撰写。陈訏字言扬，海宁人，由贡生出任淳安县教论。这部书成于康熙六十一年壬寅。开头记载加减乘除的方法，杂引各书。例如加法采用《同文算指》，数位从左向右排列；减法采用梅文鼎《笔算》，数位从上向下排列，把横式改为直式；乘法采用程大位《算法统宗》的铺地锦法，画格作为界限；除法采用梅文鼎《筹算》，数位直写，到了定位时又采用西人横写的格式。大概因为兼采各家方法，所以各例并不统一。至于开带纵平方，只列较数而不列和数；开带纵立方，只列带一纵，不列带两纵相同和带两纵不同的情况，都是不完备的地方。他所论述的勾股各法说，勾股和的平方减去弦积，所得的积再减去弦积，就是股弦较；却不知道应该用勾股和的平方减去两倍弦积，所得才是勾股较的平方，不能作为股弦较。又说勾股相乘，以勾股较除它，也能得到容方。却不知道既然采用勾股容方的本法，已经用勾股和去除勾积股相乘之积，那么对于这个勾股相乘之积，用勾股和和勾股较分别相除，都能得到容方，是没有这种道理的。

译又说勾股相乘之积相当于四个容方，斜弦以内相当于两个容方；却不知道勾股形以内以弦为边界，只能容纳一个方形。试拿勾三股四时的容方积来比较，尚且不到勾股积的四分之一；而且股越长，容方就越小，更不用说其他情况了。又说勾股弦的长度总是容圆周长的两倍；却不知道平圆的面积除以半周得到半径，勾股相乘之积除以总和得到半径，根本既然不同，就不能牵强混为一谈。像这样的地方，也有很多不相合之处。他的三角法完全抄录梅文鼎《平三角举要》，略加解释。所使用的八线小表，因为余线可以通过正弦、正切、正割三线加减得到，所以没有全部列出。它的半径只取十万，也只是《测量全义》所载泰西旧表的数值，没有什么发明。然而其中算法精微，骤然之间不容易找到入门途径。这部书由浅入深，循着步骤启发说明，对于初学者也不能说没有功效。从它题名为《引蒙》来看，其宗旨就可以知道了。把它的学说收录保存下来，也足以作为入门的桥梁。原本没有划分卷数，现在大致按类别编排：算法为一卷，开方为一卷，勾股为一卷，三角为一卷，正、余、弦、切、割表为一卷。△《勾股矩测解原》二卷（浙江汪启淑家藏本） 国朝黄百家撰写。黄百家有《体独私抄》，已经著录。这部书讲勾股测望，并且详细绘制矩度的形制，大体与熊三拔《矩度表说》相同；但这部书专门阐明一个道理，论说尤其详细。考察勾股测望，自古就有。它的方法有时使用方矩，有时竖立矩表，有时使用重矩，把绳子引入表中，用来测量高、深、广、远。对于不能直接到达的地方，总是用近处小的对象与远处大的对象相互比准。世间流传的刘徽《海岛算经》，就是这种方法。到了本朝《御制割圜八线表》刊行，又有了完备的仪器制作，才开始有三角形测量。因为测量使用三角度，测定高低俯仰非常方便；与步算、查表相比，数字更精密而功夫更省。虽然它的道理与勾股没有不同，但在直接、快捷、简便方面，就不能相提并论了。不过必须仪器和表格同时完备，这种方法才能施行；如果缺少其中一个，即使精通此术的人也无从下手，所以勾股的方法也不能废弃。这部书虽然只具备古法，也足以作为测量的资料。△《少广补遗》一卷（两江总督采进本） 国朝陈世仁撰写。陈世仁是海宁人，康熙乙未年进士。这部书以一面尖堆，以及方底、三角底、六角底、尖堆、各半堆等题，分为十二种方法，另外还有抽奇、抽偶等项目。大概说的是堆垛的方法。考察堆垛，这是少广中的一种方法，与尖锥体、台体相似，但实际上不同。尖堆体、台体外部平整而内部充实；堆垛则是许多物体堆积而成，表面高低不平，内部有很多空隙。因此把两种方法相比，繁简就大不相同。古代《少广》中只有根据边数、层数求积数的方法，也没有人解释其中的原因。至于由积数求边数、层数的方法，则还不完备。而且这种方法用途很少，所以算家通常略写而不详述。陈世仁看到了这一点，专门选取堆垛的各种形状，反复相互求算，各自制定一种方法。虽然图说不完备，不能使学习者看出立法的意图，但它对于《少广》遗留下来的方法触类旁通、加以引申，确实对数学有所帮助，不能因为它只涉及一个方面就轻视它。△《庄氏算学》八卷（福建巡抚采进本） 国朝庄亨阳撰写。庄亨阳字元仲，南靖人，康熙戊戌年进士，官至淮徐海道。这部书是他由部曹出任、主管河防时，对高深测量的适用方法随事推究，设置问答以穷尽其中变化，后来把它写成书。其后人取他的残稿，汇辑成编。书中大旨都遵循《御制数理精蕴》，并参照《几何原本》《梅氏全书》，分条摘录，各自加以剖析，颇为明白。末卷为七政步法，也以《新法算书》为依据，节取其中要旨。至于推步的方法，条目广泛完备，像星辰一样逐条罗列，没有一项不各有头绪。谨按，《御制数理精蕴》的线、面、体三部，共三十多卷；《几何原本》五卷；《梅氏全书》的卷帙也非常浩大。学习数学的人如果不是出自专门研究，不能一下子看出门径。如今庄亨阳撮取精要，另加汇集，简略而不遗漏，概括而不枝蔓，可以作为入门的津梁。虽然不能有很大的发明，但用来给初学者启蒙，确实很有帮助。△《九章录要》十二卷（浙江巡抚采进本） 国朝屠文漪撰写。屠文漪字莼洲，松江人。这部书依据古代《九章》的方法，参用当今方法，与杜知耕所著《数学钥》的体例相似，但彼此在详略疏密方面各有不同。杜知耕详于方田，屠文漪则详于勾股；杜知耕论少广，完备地涉及形体，屠文漪推演少广，则深入研究廉隅的区别；杜知耕参用西法，常常在设问之后附写其中的道理，屠文漪则采录梅文鼎诸书，推演阐发以尽其功用。大体上都是汇集古今方法来成书，只是取舍各不相同。合起来看，也可以互相发明。这部书有“借徵”一条，专门说明借衰叠征的方法，是杜知耕没有涉及的。考察书中所载，虽然还没有达到极其精密的程度，但在借数的巧妙方法上，确实已经掌握了大要。以上是“天文算法类”中属于算书的部分，共二十五部、二百十卷，都是文渊阁著录的。（按：数学是六艺之一，是各种技艺取法和裁定的依据。天下最精微的技艺，如《律吕推步》，都靠它来穷究精微奥妙之处。而测量的方法尤其可以从中取得帮助。因此天文没有不以算书为根本的。算书虽然不讲天文，它的方法也通用于天文。二者总是彼此相通，大概是流派虽有分别而根源相同。现在不把算书列入小学，而排在天文之后，是因为算术的作用重大，所以按照所重视的次序排列；不与天文合为一类，则是因为它的用途广泛，又不限于天文一事。） ○天文算法类存目 △《星经》二卷（两江总督采进本） 没有记载撰写人的姓名。晁公武《读书志》载有《甘石星经》一卷，注说是汉代甘公、石申所撰。

译书中按次序列出日、月、五星、三垣、二十八宿恒星的图象和位置，并有占验口诀，用来预测吉凶。《隋书·经籍志》记载，石氏《星簿经赞》一卷，《星经》二卷，甘氏《四七法》一卷。这部书的卷数虽然与《隋志》相合，但其中多次列举隋、唐的州名，必定不是秦、汉时期的书。所载星象如今也残缺不全，不足以用来备考验证。△《步天歌》七卷（两江总督采进本） 陈振孙《书录解题》说：《步天歌》一卷，作者不详，是歌咏二十八宿的作品。书后附有《三垣颂》《五星凌犯赋》。有人说是唐代王希明所撰，王希明自号丹元子。郑樵《通志·天文略》却说，隋代有个丹元子，是隐士一类的人，不知姓名，作了《步天歌》；王希明汇编汉、晋两代的志书来为它作注释，《唐书》误以为是王希明所撰。考察郑樵《天文略》全都采用了这首歌，所以对它推重得过分。然而丹元子是隋代人这一说法，其他书中没有见到，不知郑樵依据什么。假如确实是隋代所作，李淳风不应不知道此人，《隋书·经籍志》也不应完全不著录，到《唐书》才说是王希明所撰。姑且把疑问传留下来，对不知道的地方存而不论也就可以了。这部书把紫微、太微、天市分为上、中、下三垣宫，又把四方的星分属于二十八宿，每句都是七字，条理详明，历代都把它传作佳本。本朝御制以及钦定《天文仪象》等书，都采用了它，又有专门刊刻的官本。考察度数、绘制图形，测验星辰运行，都一一相合。这个版本的图和度数制作不精，句子多有增删，所注的占验语句也不知道出自谁手，不能算善本。《唐志》和《文献通考》都说是 一卷，但这个版本却有七卷，显然是后人窜改扰乱的结果。郑樵也说世上有几个版本，讹误多得无法胜数，这个版本或许就是其中之一。△《青罗历》（无卷数，浙江范懋柱家天一阁藏本） 没有署撰作者姓名。考察陈振孙《直斋书录解题》说，《青罗立成历》一卷，是司天监朱凤所奏进的书。按照书中所说，以贞元十年甲戌作为历元，到乾宁丁巳为止，那么作者应是唐末人。它似乎就是这部书，但考察其年代，并不完全相合，卷数也多少不同，恐怕无法确考。书中把一年十二个月列为固定表格，用节气记载太阳、太阴所行的宿次；又按照年经月纬纵横设置表格，分别规定各年的数值，作为五星运行一周后重新开始的周期。考察太阳和月亮运行于天空有一定的常度，也有差分，所以月份有大小，闰月有固定的周期。如果一概以节气和太阳为限制，假如连续遇到十五日的节气，还可以勉强迁就；但把太阴规定为三十日一周，就必然无法相合。至于五星运行的度数，各有迟速，它们周行一周的数值有盈缩，不可能完全一致，拘泥于固定数值，也和刻舟求剑相似。太阳、月亮和五星称为七曜，“曜”是光耀的意思。月孛、罗、计、紫炁虽然有运行的宿次，实际上却没有形体。这部书创立十一曜的名称，已经不妥。至于论说月孛的一条，竟有“披金甲”和“背上插箭”之类的话，仿佛亲眼看见了它的形状，大概是抄袭道家符箓等书，却不知道荒唐得太厉害。△《官历刻漏图》二卷（《永乐大典》本） 宋代王普撰写。自序说，官历中的漏刻以岳台为标准。九服各地冬至、夏至的昼夜刻数有时与岳台不同，那么二十四节气前后更换箭刻的日期也都会有些差异。另有蔡知方的序，说刻漏图以邵阳刊本最为详备，建阳林氏又加以刻定，把小分移到四刻之前，比过去更加精密。又有钮兰居士的序，说林君推演四刻余分，使各个时刻的先后均匀，制作小漏的款识，比王普的书更加完备。这样看来，这部书又是林氏重新修订的，不是王普的旧本。不过，这种方法在《宋史》中已经大略具备，此书虽然稍微详细，归根究底并没有大的不同。王普字伯照，籍贯不详。官至左朝散大夫、行太常博士。林氏的姓名都已失传，他所处的朝代也无法考定。△《星象考》一卷（编修程晋芳家藏本） 原本题为宋代邹淮撰。后面有魏了翁的跋语，说邹淮以进士身份提领造历所，推演计算历书，他所撰写的内容就是如此。考察陈振孙《书录解题》，其中记载《天文考异》二十五卷，为昭武布衣邹淮所撰。大概是沿袭《景祐新书》的旧说，邹淮后来进入太史局。现在这部书只有四页，似乎是从《天文考异》中抄录出来的，却另题了这个书名。又《书录解题》既说邹淮是昭武布衣，魏了翁的跋语却又说他是进士，两说互相矛盾，大概是书商伪托的。△《天文精义赋》四卷（浙江范懋柱家天一阁藏本） 旧题为管勾天文岳熙载撰，并附有集注，但没有注明时代。考察注文中多次引用《宋史·天文志》，应当是元末人。考察元代太史院有管勾二员，秩为从九品；而《历志》记载郭守敬《会南北日官考》论说历法时，有岳铉的姓名，或许就是岳熙载家族的子孙。这部书都是论述推测、占验的方法，并用韵语排比成篇。开头讲天体，其次讲分野，再次讲太阳、太阴，然后概括讲七政，直到恒星，最后附论凌抵、斗食之说。大体上只是摘取史书传记，不能有所发明。钱曾《读书敏求记》记载，岳熙载还有《天文占书类要注》四卷，现在没有见到。△《天心复要》三卷（浙江范懋柱家天一阁藏本）

译明代鲍泰撰写。鲍泰是徽州人。这部书写于成化年间，专门谈历法，但对于从汉代以来所规定的岁实、朔策中小余数值有的疏、有的密，以及增减的原因，茫然不能理解。只是主张四分法，把一年三百六十五日三时这个整数分为二十四节气，每一节气得十五日二时五刻。又参用奇门术，以五日为一周期，满甲子六十日为一候，三候为一气。这样比气策少二时五刻，每年便有一候三时的差数。奇门术于是设置超神、接气、置闰，恰好二十年闰二十一候，鲍泰便把它命名为“一致”。四致共八十年，称为“一序”；三序共二百四十年，称为“一限”；三限共七百二十年，称为“一合”；十九合共一万三千六百八十年，称为“一会”。又按照旧法十九年七闰月为一章的整数，八十章共一千五百二十年，称为“一乘”；三乘共四千五百六十年，称为“一运”；三运共一万三千六百年，称为“一会”。这是最为疏略的数值，推步家自汉代张衡以后早已弃而不用，鲍泰只是粗略涉猎到这些内容，便自以为获得了独门秘传，纷纷创立名目，推衍成这部书。他又附会邵子“冬至子之半”“天心无改移”两句话，把它们作为书名的依据，实在浅陋，没有什么值得谈的。△《太阳太阴通轨》（无卷数，浙江鲍士恭家藏本） 明代戈永龄撰写。戈永龄是宛平人，正德年间任钦天监保章正。这部书取用元代辑成的《大统历》七政交食通轨，按照它的方法重新推演。原本没有题卷数，只分为三册，大概是详细的草稿。考察《明史》，记载《大统历》就是元代的《授时历》，当时测验已经有很多差错，即使得到全书，也仍然不够使用。这个版本篇帙残缺，只保存了推算数法，更不能据此作为确定的标准了。△《象纬汇编》二卷（浙江范懋柱家天一阁藏本） 明代韩万锺撰写。韩万锺是蕲州人。这部书成于嘉靖壬辰年。它摘取丹元子的《步天歌》，逐段分别解释，并为它绘图；又把马氏《通考》中记载的彗、孛、客、流、陵犯等类分列在各星之下，把三垣、二十八宿合为三十一条，五纬附在后面。他的自序说，这只是为了方便学者考查，并没有创作。大体上与《天元玉历》相同。大概是当时没有看到官本，所以又编纂了这部书。△《戊申立春考证》一卷（两江总督采进本） 明代邢云路撰写。邢云路有《古今律历考》，已经著录。万历三十六年戊申，钦天监推算十二月二十一日己卯子正立春，邢云路立表推算，认为应当在二十日戊寅亥初。由于元统《大统历》轻率地改动郭守敬的《授时法》，测验全都有差错，于是详细考证，写成这部书。大概是他任兰州官时所作。陶珽《续说郛》也收载了此书，但题作《立春考证》，删去了“戊申”二字，已经错误；又因为邢云路字士登，便误把“邢云”当作地名，删去这两个字，只题为“路士登撰”，更加足以引人发笑了。△《星历释义》二卷（浙江鲍士恭家藏本） 明代林祖述撰写。林祖述字道卿，是鄞县人，万历丙戌年进士，官至广西提学佥事。这部书上卷讲七曜、二十八宿、十干、十二支、年岁载祀以及朔、弦、望、晦、盈、虚、闰余等条目；下卷讲二十四气、七十二候以及岁时令节等条目，都是杂引经史和前代儒者的论说来解释，所以名为《释义》。不过，其中多是抄录撮取旧文，对于授时的要旨并没有切合之处。△《折衷历法》十三卷（直隶总督采进本） 明代朱仲福撰写。朱仲福是灵寿人。当初，元代郭守敬编作《授时历》。明洪武年间因袭这部书编成《大统历》，却删去了上考下求岁实消长的方法。因此，嘉靖年间把《大统历》和《授时历》相互比较，考察古代时节相差三日，推算当今时刻相差九刻。何瑭、邢云路、郑世子载堉等人纷纷加以驳诘，始终没有定论。朱仲福这部书成于万历二十二年，以万历九年作为历元，在两历优劣之间折中，认为这是一种灵活的方法。然而大体上都是勉强牵合，并不能与天行严密相合。而且《授时历》规定的岁实，其小余为二千四百二十五分，已经不够精密。根据史书所载考察，丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻；又规定戊寅年冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯年冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰年冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛巳年冬至在己未日夜半后六刻。一年的小余是二十四刻二十五分，积累四年正好是九十七刻，没有多余也没有不足；可是从丁丑到辛巳四年之间，已经多出半刻。它的积算不精确，由此大致就可以看出来。朱仲福推算太阳运行的方法，规定太阳平行一度，运行一周为三百六十五度二十五会，仍然是后汉时期四分法最粗疏的数率。这名义上说是折中《授时历》和《大统历》两种方法，实际上比这两种方法更加错误。△《纬谭》一卷（福建巡抚采进本） 明代魏濬撰写。魏濬有《易义古象通》，已经著录。这部书开头题作《拙存斋笔录》，但子目却称《纬谭》，大概是他的札记之一。开头论述太一三式的源流，其次讲括元，再次讲太阳、斗建、阴阳、南北，然后讲干支纳卦、干支内藏、五行十二变、六合取义。所有内容都援引材料加以考证，并用自己的意见作判断。书中极力诋毁利玛窦的天文理论，认为荒唐；末尾又附记万历、天启年间推步方面的错误，共十三件。然而看他根据朔方、交趾北极出地的高度来论说中国所占土地的大小，就知道他只懂度数而不懂里数。又说交趾二月初三日天还没有黑而新月已经位于天心，以及夜间观察北极在子分，那么交趾这个国家就应当处在正中。实际上，他并不是深知历法的人。△《宣夜经》（无卷数，江苏巡抚采进本）

译明代柯仲炯撰写。柯仲炯的生平始末不详。这部书前面有崇祯元年的自序，说宣夜之学本出于帝尧，是羲和传授的；后来失传，因此作此书来恢复旧说。他还一再斥责丹元子、李淳风、僧一行等人改动古法，但这些说法完全没有根据。又分列中宫宣夜、南宫宣夜、东宫宣夜、北宫宣夜、西宫宣夜等名称，尤其荒诞。至于每颗星的下面，必定引用经文来解释，例如把河鼓称为牵牛，就引用“执牛耳”来证明；鸡二星，则引用“春官鸡入夜呼旦”来证明。这些也都像是割裂经传，用来助成无稽之谈。△《九圜史图》一卷、附《六匌曼》一卷（浙江汪启淑家藏本） 明代赵宧光撰写。赵宧光有《说文长笺》，已经著录。他还著有《图志谱考辨说》六部，这部书就是六部之一。其中的图称为“三仪”，指日、月、星；称为“须镾”，指四大州；称为“六合平”，就是把四州的土地平铺开来观看；称为“六匌转”，就是从地球的两面观看四州的土地。又有“北极出地”，从句陈大星与北极五星之间作标记，以此作为北辰；有“合朔远近”，说衡岳、和林、铁勒、北海等地的时刻不同；有“春秋昼夜”，说太阳在南、在北时，早晚并不相同。只有北极一图与浑天仪相合，其余都只是搜集陈旧的书籍，参杂佛教的说法。至于《六匌曼》，只是泛泛论说天地的广大，荒诞不合经典，更加没有可以验证的地方。△《盖载图宪》一卷（编修励守谦家藏本） 明代许胥臣撰写。许胥臣有《禹贡广览》，已经著录。这部书以天图为“盖”，以地图为“载”，大意是认为天文应当凭借图而不应只凭借书。书中所收图共十七幅：第一幅称“全仪”，是子午、地平、黄道、赤道由此划分；有“日出日入远近”，是南海、北海、应天、顺天、岳台、平阳各地的异同；有“紫微垣见界诸星”；有“黄赤道见界诸星”；有二十六宿占度；有“赤道北见界诸星”；有“赤道南见界诸星”；有“黄道北见界诸星”；有“黄道南见界诸星”；又仿照《尧典》的四仲中星，附列万历年间四仲的中星。其余各图则分别按照星垣次序绘制，并把《步天歌》分列缀附在图下。最后绘制地舆全图，都是按照度数计算宫位。不过，它的天图都出自汤若望；既然已有崇祯《新法历书》，也没有必要再重复收载。它的地图粗略划分疆界，多处不合实际，也没有什么可取之处。△《天官翼》（无卷数，浙江巡抚采进本） 明代董说撰写。董说有《易发》，已经著录。这部编著以章、蔀、纪元、元、会、运、世建立论说，认为历数出自卦爻，颇为讥评汉代太初历和三统历的错误。书中列出恒星过宫、年干入卦两张表，按星次依次排比，推到帝尧甲子年，恰好张、心、昴、虚四宿位于四仲之中，与《尧典》中所说的中星相合，于是据此作为上溯古代、下推后世的证据。然而天体运行，年岁累积便不断产生差差，开始只是秒分，逐渐移动到度数；这种迁移流变的原因极其细微。算家测验星辰运行，随时修改，尚且常有过疏或过密的忧虑，不能与天体运行相应。董说写这部书，不讲推步盈缩的方法，只凭长历逐年推算，恐怕难免像刻舟求剑。△《天经或问后集》（无卷数，福建巡抚采进本） 国朝游艺撰写。游艺有《天经或问前集》，已经著录。这部编著又阐发天象，用来补充前集尚未完备的地方。开头叙述前人的历法和七政运行度数，末尾列举杂气、杂象以及超出正常运行范围的神怪变化，一一加以辨正，用道理作出裁断。虽然其中的说法有些可取之处，但凭臆断的地方很多，不能据此作为典要，不如他的前集严谨。△《璇玑遗述》七卷（两江总督采进本） 清代揭暄撰写。揭暄字子宣，江西广昌人。这部书又名《写天新语》，论述天地的宏大形态、七曜的运行旋转，同时采用欧逻巴的学说，杂以理气之说。康熙己巳年，揭暄曾把草稿寄给梅文鼎。梅文鼎抄录其中精要编成一卷，称赞它深明西方学术，而且还有另外的领悟。梅文鼎又说，揭暄认为七政的小轮都出于自然，也像盘中水一样运行旋转，四周因为运行迅疾而形成漩涡，于是形成留逆这一现象，这是古今未曾阐发的。现在考察这部全书，大体上与游艺的《天经或问》相互表里。不过游艺的书切实平正，文辞和义理简明；揭暄则立论新奇，很是显得庞杂。他考察历法的变化、潮汐，辨析分野，辨析天气、地气所生发的现象，方以智曾说他在《易》的道理上有所发明。然而，他论述太阳、月亮向东运行，如同槽中的滚丸，而月亮的本质不变；又说天空坚实、大地空虚，过去用蛋白、蛋黄作比喻只是得到形似，而他却比作饼中有饼。这些说法很是自相矛盾。至于他说五星有向西运行的时候，日月有盈缩的程度，虽然设置了多种比喻，似乎说得成理，但用实际占验来衡量，大多属于牵强附会，都不足以作为经典和准则。△《秦氏七政全书》（无卷数，江苏巡抚采进本） 清代秦文渊撰写。秦文渊的爵位、籍贯和生平不详。全书共八册。第一册论述天体运行、地体以及经纬交错的宏大形态，还论述七政交食推算的大要，题为《经天要略》，并略附勾股、开方、重测等方法。第二册讲岁差以及各表的使用方法，题为《七政诸表说》。第三册以下全部采用已经算出的数值，分条排列，统称《二百恒年表》。考察《二百恒年表》，本来是前明徐光启等人编集的，载在《新法历书》中；秦文渊不过采集其中的方法，参照加入自己的意见，于是据此作为推步的谱式。当时历法刚开始变化，测验还很粗疏，所以他的见解只能达到这种程度。现在《御制历象考成》对于《新法历书》中详细而有根据的内容，都已经引入；其中数值经实际测量有分秒不合的，也都已经校定纠正。秦文渊这部书只是西法的糟粕，用天体运行来衡量，有许多违背和错误，本来就没有必要收入著录。△《历算丛书》六十二卷（安徽巡抚采进本）

译清代梅瑴成重新编定他祖父梅文鼎的著作。梅瑴成是宣城人，康熙乙未年进士，官至左都御史。梅文鼎起初撰写历算书，各自分为一部。后来魏荔彤嘱托杨作枚校刊，杨作枚于是把它们合编为一书，命名为《历算全书》，并附上自己的学说和辨论文字，题为《订补》。梅瑴成认为前书校勘编次不妥，名为《全书》也不符合实际，于是重新编次，合为六十卷，改题为《丛书》，并把梅瑴成所作《赤水遗珍》《操缦卮言》二卷附在后面。考察它的编例，与《历算全书》进行辨证的共有五点：第一，把《岁周地度合考》编作杂著；第二，认为《火星本法》应汇编为一卷，这很不合理；第三，认为《五星纪要》原名《管见》，现在仍沿用旧名；第四，《筹算》七卷原本单独流行，现在把它与笔算合并收入《丛书》；第五，认为既然历法、算术并称，历法的事情更为重要，但如果不懂算术，就无法读历书，所以书名仍把“历”排在“算”之前，而编排各书时却把“历”放在“算”之后；对于其中字句的讹误，也详细加以校驳。序文中又说，杨作枚编次不善，所以他的书不能流传。这就是梅瑴成重刊此书的大概情况。虽然编次不同于梅文鼎原书，但书的内容实际上没有增减。而且两种刻本已经同时流传于世，都已著录，颇嫌重复，所以仍然著录较早的刻本；至于这个本子，则附存其书目。△《万青楼图编》十六卷（国子监助教张羲年家藏本） 清代邵昂霄撰写。邵昂霄字丽寰，余姚人，拔贡生。乾隆元年被荐举为博学鸿词。此书专门论述天文、算数之术，分为十四类：天体、仪象、官度、二<日翟>、五纬、云气、煇气、经星、历案、历理、历数、测景、测时、定时。各类都引用汉、晋以来天官家的说法以及欧逻巴的学说，并分别附加自己的见解，在推测的方法上颇有所得。他所制定的量天景尺和漏碗等方法，都是独自构想制造的，也相当精密。只是关于祲祥占验，杂乱引用史书和志书中的旧文，内容庞杂而没有要领，这是他的短处。△《八线测表图说》一卷（两江总督采进本） 清代余熙撰写。余熙字晋斋，桐城人。这部编著谨遵《御制数理精蕴》，把勾股、和较、割圆、八线、六宗、三要等方法概括编成图说，以便初学者研究。全书大旨在于讲得浅显易懂、便于入门，并没有另外创立新的解释。──以上“天文算法类”中推步一属，共二十三部，一百二十七卷，其中六部没有卷数，都附入《存目》。△《算法统宗》十七卷（内府藏本） 明代程大位撰写。程大位字汝思，徽州人。珠算这个名称最早见于甄鸾《周髀注》，可见北齐时已经有珠算；但当时所说的内容与今天很不相同。梅文鼎认为珠算起于元末明初，却不知道宋人的《三珠戏语》中已经有算盘珠的说法，那么这种方法在宋代就已经盛行了。这部书专门为珠算而作，其中的方法都适合民间使用，所以在世俗间广泛流行。只是作者不擅长作文，文辞多有枝蔓，未免有内容杂乱、未经删削之讥。△《勾股述》二卷（浙江吴玉墀家藏本） 清代陈訏撰写。陈訏有《勾股引蒙》，已经著录。因为其中关于和较的方法还不完备，所以又撰写此书来概括说明。书前有黄宗羲的序，很称许它。然而，和较这一方法，经过李冶、顾应祥、唐顺之、李之藻等人相继阐释并写成著作，直到现在几乎没有遗漏的内容。学者如果能够遵守已有的方法，触类旁通、引申发挥，自然可以得到贯通的认识；如果不追溯本源，只凭道听途说来装饰内心，自以为有所创获，那么距离真理就会越来越远。比如本书“较求股弦”一条，附论说勾积中除去较积后所剩的部分，必定等于股积的一半，却不知道股积可以容纳勾积，而勾积必定不能容纳股积，不应强行把它们等同为一半。又如“和求股弦”一条，附论说勾弦和积必定是股积的四倍，却不知道勾弦和积中包含一个股积、两个勾积、两个勾乘弦积，也不能强行说成四倍。他的意思不过是把勾、股、弦的数相互参合而得出；假如遇到勾股的修长、宽广不相等的情况，那么不但道理上难以贯通，即使在数字上也绝不可能完全相合。△《隐山鄙事》四卷（浙江巡抚采进本） 清代李子金撰写。李子金是柘城人，“隐山”是他的号。他与梅文鼎、游艺、揭暄、王寅旭等人互相以算术相比较。然而考察他的著作，梅文鼎论说醇正而学识广博，游艺义理明白而文辞通达，揭暄和王寅旭虽然各自坚持自己的见解，也颇有新意；李子金这部编著只是采录《几何原本》和《几何要法》二书，稍微参入自己的见解，没有大的发明，不能与诸家抗衡。△《围径真旨》（无卷数，安徽巡抚采进本） 清代顾长发撰写。顾长发字君源，江苏人。这部编著认为圆周、圆径自古没有确定的比例，有位高捷的人剪纸拼成面积，补合方形和圆形，从而窥见大概，却没有得到圆周的数值。顾长发因此认为直径为一时圆周为三一二五，把它称为“智术”。他又说，甄鸾、刘徽、祖冲之、邢云路、汤若望等人所确定的圆周与直径的数值，都还没有精密符合。他却完全不知道，圆形出于方形，方形出于矩法，这一说法传自《周髀》。古人直径为一、周长为三的方法固然粗疏，但到了刘徽、祖冲之等人所推求的数值已经接近精密；汤若望所确定的圆周与直径比例，是采用内弦、外切，反复用勾股法求算，逐渐接近圆周，合成为一条线，与《周髀》所传“圆出于方”的意义暗相符合。他所确定的直径为一、周长为三一四一五九六二五，自小数点后第六位起，又都与刘徽、祖冲之的精密比例相合，因此《御制数理精蕴》采用了这个数值。如今顾长发认为它仍然粗疏，未免强行提出异议，不足为据。──以上“天文算法类”中算书一属，共四部，二十三卷，其中一部没有卷数，都附入《存目》。