御制数理精蕴上编卷一

御制数理精蕴上编卷一

数理本原河图洛书周髀经解数理本原粤稽上古，河出图，洛出书，八卦是生，九畴是叙，数学亦于是乎肇焉。盖图书应天地之瑞，因圣人而始出；数学穷万物之理，自圣人而得明也。昔黄帝命▯首作算，九章之义已启。尧命羲和治厯，敬授人时，而岁功已成。周官以六艺教士，数居其一。周髀商高之説，可考也。秦汉而后，代不乏人，如洛下闳、张衡、刘焯、祖冲之之徒，各有著述。唐宋设明经算学科，其书颁在学宫，令博士弟子肄习。是知算数之学，实格物致知之要务也。故论其数，设为几何之分，而立相求之法，加减乘除，凡多寡轻重、贵贱盈朒，无遗数也。论其理，设为几何之形，而明所以立算之故，比例分合，凡方圆大小、逺近高深，无遗理也。溯其本原，加减实出于河图，乘除殆出于洛书。一奇一偶，对待相资，递加递减而繁衍不穷焉。奇偶各分，纵横相配，互乘互除而变通不滞焉。征其实用，测天地之高深，审日月之交会，察四时之节候，较昼夜之短长，以至协律度、同量衡、通食货、便营作，皆赖之以为统纪焉。今汇集成编，以类相从，提防线面体以为纲，分和较顺逆以为目。法无论巨细，惟择其善者，由浅以及深，执简以御繁，使理与数协，务有裨于天下国家，以传于亿万世云尔。

易·系辞》曰：天一，地二，天三，地四，天五，地六，天七，地八，天九，地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。朱子曰：河图以五生数统五成数，而同处其方，葢揭其全以示人，而道其常数之体也。考其数，始于一，中于五，终于十。阳奇，隂偶，而数之加减由是生焉。自一而二，自二而三，自三而四，自四而五，皆递加一以相生。自五复加一而成六，六加一而七，七加一而八，八加一而九，九加一而十。十则仍归于一，故至十而天地之数全矣。天数阳也，地数阴也，言天地，即所以言阴阳。

也五位相得而各有合，以五行之序而定位也。邵子曰：「天之阳在南而阴在北，地之阴在南而阳在北。故河图之数，一阳位于北，二阴位于南。其即五行质具于地之义而言之欤？」今以阴阳相生之数论之，一为阳，天一生水而位北；一加一为二为阴，地二生火而位南；二加一为三为阳，天三生木而位东；三加一为四为阴，地四生金而位西；四加一为五为阳，天五生土而位中。至五而五行之数已周，此生数之极也。自一至五则五，又为一体矣。于是以五为中数而复加一，则为六，六阴也。因五中数与一相加，故与一同位而属之水焉；六加一为七，以中数五计之，实加二，故与二同位而属之火焉；七加一为八，以中数五计之，实加三，故与三同位而属之木焉；八加一为九，以中数五计之，实加四，故与四同位而属之金焉；九加一为十，以中数五计之，复加五，故与五同位而属之土焉。至十而五行之数再周，天地之数已备，此成数之极也。以阴阳运行之序论之，以五生数统十成数，位居于中，而奇数则始于北一，次东三，次南七，次西九；偶数则始于南二，次西四，次北六，次东八。此数之阴与阴阳与阳，各从其类者也。以奇偶相得之数论之，一与六合，二与七合，三与八合，四与九合，五与十合。此又奇偶相得而各有合者也。邵子谓：「圆者河图之数，又曰厯纪之数，其肇于此。」然则所谓数者，即一阴一阳，一奇一偶，循环无间，表▯相维，百千万亿，总由此推之以成其变化。河图者，岂非天地自然生成之数也哉？

洛书之数，戴九，履一，左三，右七，二四为肩，八六为足，五居其中。朱子谓以五奇数统四偶数，而各居其所。葢主于阳以统阴，而肇其变数之用也。邵子曰：「数学虽多，乘除尽之矣。」夫洛书者，数之源也。乘除之所以生也。《易》説卦传曰：「参天两地而倚数。」三，天数也；二，地数也。天地相合，而万物育焉。一者，太极之体，其数不行，故数行于二。三起于三，以三参之，则三、九、七、一之数生焉。起于二，以二两之，则二、四、八、六之数生焉。其序列之位，则天居四正，取以阳统阴之义；地居四维。

取以阴从阳之义，其三九七一乘数则旋而左，除数则返而右也。其二四八六乘数则旋而右，除数则返而左也。二三相合而为五，五则无对居中者，立其体也。二五相合而为十，十仍归一，洛书不用者藏其用也。是故三始于东方发生之地而位于左，自东而南，三而三之是为九，故戴九。自南而西，九而三之为二十七，去成数余七，故右七。自西而北，七而三之为二十一，去成数余一，故履一。奇数左旋以三参之，即天道左行之説也。如转而右行，以三除之，仍复其原数焉。二立于西南，二阴始生之地而位于右肩。自西南而东南，二而二之是为四，位于左肩。自东南而东北，四而二之为八，位于左足。自东北而西北，八而二之为十六，去十余六，位于右足。偶数右旋以二两之，即地道右行之説也。如转而左行，以二除之，仍复其原数焉。此乘除之数见于运行者如此。若以对待者观之，一与九对，一为数之始，九为数之终，互乘互除其数不变也。二与八对，二八互乘俱得十六，二除十六得八，八除十六仍得二，此二与八之相倚也。三与七对，三七互乘皆二十一，三除二十一得七，七除二十一仍得三，此三与七之相倚也。四与六对，四六互乘皆二十四，四除二十四得六，六除二十四仍得四，此四与六之相倚也。至五为二三之合，天地之交，阴阳之会，位于洛书之中，以建人极，配上下而为三才，故斜直四围皆得十五，合之得四十有五，为九五之数。要之运行者其序也，对待者其位也，进退循环，纵横交错，总不外于乘除，故曰乘除之本原自洛书生也。

周髀经解数学之失传乆矣。汉晋以来，所存几如一线。其后祖冲之、郭守敬辈，殚心象数，立宻率消长之法，以为习算入门之规。然其法以有尽度无尽，止言天行，未及地体，是以测之有变更，度之多盈缩，葢有未尽之余蕴也。明万厯间，西洋人始入中土，其中一二习算数者，如利玛窦、穆尼阁等，着为《几何原本》《同文算指》诸书，大体虽具，实未阐明理数之精微。及我朝定鼎以来，远人慕化，至者渐多，有汤若望、南怀仁、安多、闵明我相继治理厯法，间明算学，而度数之理渐加详备。然询其所自，皆云本中土所流传。粤稽古圣，尧之钦明，舜之濬哲，厯象授时，闰余定岁，璿玑玉衡以齐七政，推歩之学，孰大于是？至于三代盛时，声教四讫，重译向风，则书籍流传于海外者，殆不一矣。周末，畴人子弟失官分散，嗣经秦火，中原之典章既多缺佚，而海外之支流反得眞传，此西学之所以有本也。古算书存者，独有《周髀》，周公商高问答其本文也，荣方、陈子以下所推衍也。而汉张衡、蔡邕以为术数虽存，考验天状多所违失。按荣方、陈子始言晷度，衡、邕所疑，或在于是。若《周髀》本文，辞简而意该，理精而用博，实言数者所不能外。其圆方矩度之规，推测分合之用，莫不与西法相为表里。然则商高一篇，诚成周六艺之遗文，而非后人所能假托也。旧注义多舛讹，今悉详正，弁于算书之首，以明数学之宗，使学者知中外本无二理焉尔。昔者，周公问于商高曰：「窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天厯度。」周天厯度者，分周天三百六十度，为推求厯日之用也。按《通鉴》载，包牺作甲厯，天干地支相配，六甲一转，天度一周，年以是纪而岁功成，月以是纪而朔望定，昼夜以是纪而时日分。《易大传》言包牺仰以观于天文，俯以察于地理。」其观察之时，必有度数以纪其法象，则厯度始于包牺无疑矣。夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度，请问数从安出？天之高明，地之博厚，非人力所能及。其厯度之数，不知从何而得也。

商高曰数之法出于圆方万物之象，不出圆方；万象之数，不离圆方。河图者，方之象也；洛书者，圆之象也。太极者，圆之体奇也；四象者，方之体偶也。奇数，天也；偶数，地也。有天地，而万物于是乎生；有圆方，而万象于是乎定；有奇偶，而万数于是乎立矣。

圆出于方以数而论，出于圆方；以圆方而论，则圆出于方。葢方易度而圆难测方有尽而圆无尽故推圆者以方度之以有尽而度无尽也是以圆周内▯外切屡求勾股为无数多边形以切近圆界将合而为一而圆周始得故曰圆出于方也方出于矩孟子曰：「不以规矩，不能成方圆。夫规，所以成圆；而」

矩所以成方也故凡方形必出于二矩相合如矩之二股均者合之即为正方矩之二股一大一小者合之则为长方葢因矩之为形其角直其线正所以能成方体，此又直内方外之理，故曰方出于矩也。

矩出于九九八十一度圆方者，递归于矩，而矩之形，总不外乎二数相乘。九九者，数之终；而一一乃数之始。言九九而不及他数者，以九九之内，他数俱该也。是以一一为一二二为四三三为九四四为一十六五五为二十五六六为三十六七七为四十九八八为六十四九九为八十一乃矩之二股均平所成之正方也一二为二一三为三，一四为四，一五为五，一六为六，一七为七，一八为八，一九为九。形虽未方，而其理犹存也。二三为六，二四为八，二五一十二，六一十二，二七一十四，二八一十六，二九一十八，三四一十二，三五一十五，三六一十八，三七二十一，三八二十四，三九二十七，四五二十四，六二十四，四七二十八，四八三十二，四九三十六，五六三十五，七三十五，五八四十五，九四十五，六七四十二，六八四十八，六九五十四，七八五十六，七九六十三，八九七十二。乃矩之一股，小一股大所成之长方也。至于一百之类，虽为正方，乃十之相乘，十则仍归于一也。又如八十四、九十六之类，乃六七四十二、六八四十八之倍，不得自立为数之本。又或十一、十三、十七、十九之类，十一为二五一十之奇，十三为二六一十二之奇，十七为四四一十六之奇，不得成正方，亦不得成长方，故不入九九之数也。是以九九之数为方之本，而方之形必合以矩，故曰「矩出于九九八十一也」。故折矩以为勾，广三，股修四，径隅五。前言：圆方之形，此言勾股生成之正数也。以二矩，合之既为方形今以一矩折之则为一方之两边是以折矩之横者为勾之广折矩之纵者为股之长于勾股之末以科▯连之是为径隅径直也隅角也言自两角相对直连之也，勾之广必三，股之修必四，而径隅始得五。此乃自然生成之正分也。《易》曰：「参天两地而倚数。」天数一，参之则为三；地数二，两之则为四。三、二合之则为五。此又勾三、股四、▯五之正义也。

既方其外半其一矩此言勾股之面积也。勾股以▯连之，不得为方形，必再合一矩，乃为一长方。所谓方其外者，言▯之外复加一矩以成方也。勾三，股四，相乘得一十有二，即为两矩合成之数。半之得六，乃勾股之面积。所谓半其一矩者也。

环而共盘得成三四五此言勾股▯相和之数也。环而共盘者，环绕盘旋于勾股▯之周围，得成三、四、五，共之为一十有二，乃三数相和之总数也。

两矩共长二十有五是为积矩此言勾股相求之法也。两矩者，勾与股也。其所以相求者，以勾股▯各面积，彼此加减以立法也。勾三，自乘为九；股四，自乘为一十有六。合而计之，为二十有五。是勾股各自乘之积相并，而与▯自乘之积等故曰积矩也▯之自乘积内减勾自乘之积得股自乘之积▯之自乘积内减股自乘之积得勾自乘之积故为勾股▯相求之法也故禹之所以治天下者，此数之所由生也。言禹之平成之功，昭垂万古。揆厥所以奏绩者，必借勾股以审高下，始得顺水之性，而告厥成功也。然则禹之所以治水者，非此勾股之数所由生乎？周公曰：「大哉言数！请问用矩之道。」

商高曰平矩以正绳此言用矩立法，必以正且直也。平矩以正绳，有两义：平置其矩，使矩之角直，以此直角之一股，或横或平【横以度远，平以度高】复自一股引绳以度其分，则此分为我所知，故以所知推所不知。此绳引长时，必使与直角对正，不论其分之几何，引之亦必令直，方能得测度之准，故为平矩以正绳。又平者，均平整齐之谓。用矩之道，矩之角正【即直角之説也】然后二股得直，以之测高测远，乃得度其大小之分。此矩既正，而所测之度亦正矣。孟子曰：规矩准绳，以为方圆平直。绳者，即准之之意。规矩所以度圆方，而准绳所以考平直，故准之以平，绳之以直，始得立法之精微，故曰平矩以正绳也。

偃矩以望高此用矩测高之法也。偃者，仰也。仰矩方可测高。矩之一股植立在前，一股定平在下，然后比例推之。葢平股与立股之比，即所知之远与所测之高之比也。故仰测之而得高。

覆矩以测深此用矩测深之法也。覆者，俯也。俯矩方可测深。矩之一股立者在前，一股平者在上。平股与立股之比，即所知之远与所测之深之比也。故俯测之而得深。

卧矩以知远此用矩测远之法也。卧者平也，平矩方可测逺。以矩之一股为横向，内一股为纵向前，是以横与纵之比，即所知之度与所求之远之比也。故平测之而得远。

环矩以为圆此用矩为圆之法也。以矩之一端为枢，一端旋转为圆，则成一圜环。矩者，即旋规之説也。

合矩以为方此用矩为方之法也。矩，二股也。两矩相合，乃成一方。即前“方出于矩”之説也。

方属地圆属天天圆地方前言：用矩以测高、深、广、远，复用矩以为圆、方。此以圆方属之天地者，非以形体言，葢以阴阳动静之理言也。《乐记》云：「着不息者天也，着不动者地也。」不息故运而不积，圆之象也；不动故静而有常，方之理也。且圆之数无尽，而方之数有尽。天不可阶而升，测天者恒于地上度之，是仍以方度圆也。凡数之不尽者，必奇；数之可尽者，必偶。是以阳为奇，阴为偶。此方圆之理数，所以属乎天地也。

方数为典以方出圆典则也，言圆之数奇零不尽，不可为则，故惟方数可为典则。以方出圆者，以方之形度圆之分，从方数中生出圆数，即前“圆出于方”之説也。如圆径求积，则以径自乘之为正方形，而以方率、圆率比例推之，即得圆积，是皆以方出圆之理也。笠以写天，天青黑，地黄赤。天数之为笠也，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。此即仪象，以表天地之形色也。笠形圆，故以象天写象也。青黑，天之色；黄赤，地之色。天数之为笠形，则以青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。葢取天包地之象也。是故知地者智，知天者圣。智出于勾，勾出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。天地之高深广远，非圣智不能知。然圣智非由理之自然，亦不能无所凭藉而知也。故明勾股之数，即可以知地而为智；知地之数，即可因地以知天而为圣矣。故曰：智出于勾也。然勾股之形，又赖矩以成。故矩为勾股之本，而天地之高深广远，皆赖矩以测。况万物之大小巨细，岂能外于矩之度分乎？故矩之于数，其裁制万物，惟其所为而无不可也。

周公曰善哉以周公之圣，而与之曰：“善哉！”则其得数之本，立法之妙，可谓至矣。至是，而《周髀》之义尽矣。

御制数理精蕴上编卷一

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