句股引卷二
句股引▯卷二
海寜 陈訏 撰开方开方为句股积幂测量步算之源，其法取积实归除，使均齐方正，知每边得若干数。其用筹除实，视某格为某商若干等类，俱如前法。有平方大筹，立方大筹，置廉用散筹。
平方开面，立方开体，皆开除所积之实。平方则开平面所积之方，故大筹每格止一自乗。立方则开立体所积之方，故大筹每格其右边直行先平列一自乘数，其中左两行虽有斜格，而平行每格又以自乗之数与每格之一二三四五六七八九相乗。盖如围棋子，平方则四边十九，而三百六十一为十九个十九也。立方则十九个三百六十一也。又平方立方俱以第一次大筹除实之格为方根，后各依法加廉。其大筹所除之格，其实即隅积，其平行之数即隅数，且隅积即在平廉约法中并列并除，此天然之巧也。凡测算虽极逺极大，其所测中心止凭一防，其逺近多少相距亦止凭一防。从此防至彼防则有线，线即有所积之面，面即有所积之体。故平方开面，立方开体，皆因其所积之面与体以求其所距之线与所测之防，为句股三角之用也【此所测之防非开方防，定开位之防】
开平方法先防定开位，从末单位防起【如积实尾无单位者，于尾位置○防起】隔一位防，以至实首，一防一开，二防二开，开不尽者命分。一防者根必单，二防者根必十【俱以次増】先从左大数视平方筹相近之格除之，开数定则方根之十百千万亦定矣【立方同】凡初商除至前第一防，止次商除至前第二防，止如次商防位前原止二位，而筹格有三位，不得除至第二防后，便须置○于次商，为次商○，三商以下皆然。
初商法平方筹取近少，除实至前第一，防止在第几格，即为初商若干，此第一次除之商数，名为方根。防前无余者，从筹上一二三格之单位除；防前有余者，从筹上四五六七八九格之双位除。如实少于筹者，用退位法除。
次商法以初商所得数，倍之为廉，以所倍之廉数，列筹于平方筹左，取某格近少，除之为次商若干。
三商法以次商所得数倍之为廉，列筹于次商筹之右，平方筹之左，除实同前法【各商同此】每商置○定位三则【开方定位，依防逓加，不用顺寻逆寻法，立方同】
三商式如列实三防为三开【从末零位防起，每开一位】防前无余，该大筹单位除实三格内除九，为初商三，写三字在首，防积实之。
二 上三九次商应倍初商之三列六号筹为廉除○。实若取近少莫如三格。但次防位前实止有二位而筹有三位不得除。至次防位后便须置○。是为次商得○。写○于次防位积实上。隔○筹于平方筹左。三商既列六号筹○。筹于平方筹之左。便应统取近少除至末防位止。今四格恰除尽。为三商得四。写四于末防位积实之上。三商根必百，故初商之三为三百。
四商式防前无余，大筹单位除九，初商得三，书商数及置○，与三商俱同前法。四商倍三商之四，列八号筹于大筹之左，及前六号筹与○筹之右，四格除尽。
为四商四四商根必千，故初商之三为三千。
四商○○式初，商视平方筹，取三格除九，为初商，得三次商。倍方根，列六号筹于表左，应除至次防位止。但次防前实止一位，而法之一格两位下俱三位，便须置○隔○筹于前，列筹右，平方筹左，为次商得○。
三商应除至三防位止，但三防前止三位，取近少在三格法，有四位便须置○隔【○】筹于前列，筹右平方，筹左为三商得【○】四商，四格恰除尽为四商得四，四商根必千，故初商之三为三千。
加筹凡商除之后，如两廉必倍前商之数，如前商一，加二号筹；前商二，加四号筹之类，此易明。惟前商五倍之，加一十，则加一号○号两筹。葢五加一筹○筹，方是一十。若不▯○筹，则一为单数矣。若前商之廉是十数，又当为升筹。
升筹凡商除之后，如有加两筹者，当用升筹法。葢同位则升也。如平方三开，其初商二，是为二百，次商倍之为廉，是四百，应列四号筹矣。其次商六，是为六十三，商倍之为廉，是一百二十，似应再列一号、二号筹于前商四号筹之右。然从四号筹挨次而来，似乎四百一十二，而非倍六十之一百二十矣。故应将一百与四百并之为五百，连二十为五百二十，升作五二筹，列于平方筹左，而前商之四号筹去之。
隔筹每商必加倍数筹以为廉法，故前商既置○矣，亦须隔○筹于前列筹之右，以为后商之廉法，而取近少除实为后商。其前列筹固倍数也，而○不必倍者，葢置一○只应隔一○筹耳【立方每隔○○两筹与平方异】
命分见前筹算法，视末商筹之第一格为若干分，视所余不尽之实，命为若干分之若干分。如余积五十七，如末商两廉，列八号四号筹【连前商筹在内】视第一格八四一，命为八百四十一分之五百七十分。葢第一格是两廉每加一分之全数，故止视第一格而命其全数与现在不尽之分也。
求分杪凡有开不尽者，或不命分，欲知若干分杪，于余实下增两○位为○○，则多开一位，而分杪可得矣【平方隔一位，防是每开两位，故増○○】右皆开平方法，其平方带纵者，开方附左。
平方▯纵列积实，依开方商除法，每商除实，得商数，以乘纵数，除余实。其次商，倍初商数，除实，以次商数乗纵数，除余实。但倍商不倍纵，余商同法，合每商之数为阔【即正方】加纵数，即▯纵之长方。如纵数有比例可求者，先以比例分其积，而余积以平方开之，得阔，因以知其长。
开方得阔加纵式假如长田六百二十四步，阔不及长二步。
初商得二，除四百步又以商数二乗纵二步【二二如四】除四十步余一百八十四步，又倍初商，列四号筹，次商四格，除一百七十六步又以商数四乘纵二步【二四如八】共一百八十四步，除尽为次商四开得阔二十四步，加纵二步，为长二十六步。
比例分积式假如直田积四百五十步，长多阔一倍。法平分其积，得二百二十五步，平方开之，得阔一十五步，倍之得三十步，即长。假如长田积二百五十二步，长比阔多四分【分母】之三【分子】法以分子三加分母四共七为法，以分母四乗积为实，法除实得一百四十四步，开方得阔一十二步，又以阔一十二步七因四除之，得二十一步为长【长比阔多九步，较之十二步为四分之三】
开立方法从末单位防起，每防隔二位，视列实位，一防一开，二防二开，余同。凡一防者，方根必单；二防者，方根必十；以次而増。先从列实，左大位，视立方筹，取近少除之。防前无余，除一二格之单位；防前余一，除三四格之十位；防前余二，除五六七八九之百位。立方根单其积实必从单至几百止，如九之所积，其平面自乗得八十一，而立体则九与八十一相乗得七百二十九，故根单必积实至百位而单位防起，隔两位至百也。立方根十其积实必从几千至几万几十万止，如九十之所积，其平面自乗得八千一百，而立体则九十与八千一百相乗得七十二万九千，故根十其积实必从千位、万位至十万位止，而防亦隔两位也，余以类推。立方积实必得三位，故一防一开，二防二开，而开数定于此矣。一防者，根必单；二防者，根必十，方根定于此矣。初商除至左首防位止，次商除至次防位止，置○肇于此矣。若尾位列实止于十，则实右补一○；列实止于百，则实右补○○，以便从单位防起。若列实不至单位止，则防位一错，而开数方根置○俱因之以错矣。故列至单位，开方之异于筹除者在此。
初商法同平方，视列实用立方大筹，视单位、十位、百位，依法取近少除之，至前首防位止，在第几格为初商，若干为方根。
次商以初商方根自之【即自乗】又三倍自乗之实，得若干，列某号筹于立方筹之左，为平廉法。再以初商方根竟三倍之，列某号筹于立方筹之右，为长廉法。
视平廉筹及大筹，某格近少列，为平廉约数。将平廉约数在某格之隅数【即大筹两行平写之数】乗立方大筹右之长廉【如九格之八一为隅数，即将长廉筹八格一格所列之数依大小次并之】得若干数为长廉约法。并平廉长廉两约数若干，以减初商所余之实，至次防位止，为次商若干。如并两廉数浮于实，须退位改商。如位多于实，应置○，不得除。至次防位后。右立方有平廉三，长廉三，与平方异。
三商去前商左右列筹以初商、两商自之，又三倍之，为平廉，列筹于立方筹左。再以初次两商竟三倍之为长廉列筹于立方筹右，如前商法除至三防位止。
四商【以下皆同】去前，商筹依法列平，廉长廉筹除至末，防位止为四商若干。如尚有余实，依命分法。右前法俱前商之后，即将前各商数自之，又三倍之为平廉，列筹视某格与余实近少，列为平廉约数，再以前各商竟三倍之为长廉，列筹【俱依前法分列大筹左右】视平廉约数在某格之隅数，取以乗长廉，得若干数为长廉约数，其万千百十各依位数附于平廉之本位，并之而除余实，其隅数即在大筹之除格，其廉积即在散筹之每格，仍是于全数中除两廉应除之余实，而隅数亦不烦再乗再除也。梅定九先生筹算仍依古法，先以前商三倍之为廉法，以前商数自之，又三倍之为方法，以方法除余积得次商，既得次商，用其数以乗方法为三平廉积，又次商自乗以乗廉法为三长廉积，再以次商为隅法，以隅法自乗再乗得小立方形为隅积，三共并之除余积。不知既列筹除，则筹之每格即乗有廉之全积，何必多此一乗？且大筹在初商为方根，在每商即为隅积，今用筹倂除，何必又自乘再乗耶？
立方筹右行隅数定位二开，次商三格以上是单位，四格以下是十位三开，三商，三格以上是单位，四格以下是十位次商三格以上是百位，四格以下是千位。四开，四商三格以上是单位，四格以下是十位三商三格以上是百位，四格以下是千位。次商三格以上是万位，四格以下是十万位。右隅数以末商三格以上是单四格以下，是十起层累逓加。
法式二开商式假如积实六千八百五十九两防两开两防根必十防前无余从单位防俱隔二位【连本位共三位】
初商列立方大筹，视第四格之六四，虽系近少，然防前无余，必从单位除，寜可在第一格除一，盖第二格虽亦单位，然八浮于六，不可除实，故除一格之一为近少，除去一千，为初商一【两防根必十，此初商一为方根一十】次商，以方根一十自之，又三倍自乗之实，得三百。列三号筹于立方筹左，为平廉筹。又以方根竟三倍之，得三十。列三号筹于立方筹右，为长廉筹。前商余实五八五九，视平廉筹之九格三四二九相近，列为平廉约数。其九格之隅数八一乗长廉之三十，得二千四百三十，为长廉约数。并两廉约数，共五千八百五十九，除实尽，在第九格，为次商九。次商在九格，除尽即次商。隅数九亦在除内。葢隅在长平两廉相凑之角，故次商之隅即同次商之商数。其在大筹之第几格者，为隅之边数；而在第几格之自乗者，为隅之实数。今与大筹并列同除，故隅亦在其中也。三平廉贴于前，商方形之正面、侧面及或上或下，而后成四方平等之方。故次商先以方根自乗者，乗平廉一面之全数也。三倍之，则所贴方根三面之平廉全数也。但全数与方根等方，而全数之积多于现在之余积，故于此三平廉全数中，视某格与余实近少而为平廉约数。然此三平廉者，与方根阔狭厚薄相等，今三面贴凑，止能悉照方根之方，而不能凑合成方根外加廉之方。故又有长廉三，一纵二横，补于平廉不能合缝之际，始得凑合成方法。以方根又三倍之者，成三个长廉之全数也。再以平廉之隅数乗长廉，则为现在平廉贴身应得之数，为长廉约数，并之除余实，而隅亦在所除之中。而此四面之方凑合无缺矣。葢平廉以方根为准，长廉以平廉为准，而隅数与平廉、长廉又互相为准。数藏大筹巧，在与大筹并列同除法精密矣。
初商次商退位除式假如积实一万九千六百八十三。
初商二十，积实两防两，开方根必十防前余一位，应从立方筹之十位除实。但筹之三格、四格俱大于积实，应退在第二格之八，除八千【筹格退位】余一一六八三。此退位不用，三四格除实，而退至二格者，筹数浮于实数，用退位除，恰除至防位止，故取二格之八为近少也。此初商止，退筹格不退商位。次商七，先以方根二十自之，得四百，又三倍之，得一千二百，取一号、二号筹列立方筹左为平廉，以方根二十竟三倍之，得六十，取六号筹列立方筹右为长廉。虽九格一万一千五百二十九相近，然再加长廉便浮于实，故不取九格【凡平廉筹格与除至防位之实位数相当者，则万千十百之数亦必相符，今防位前实系一万一千六百八十三，平廉九格恰五位，便是一万一千五百二十九矣。盖二开次商得九，以九乗平廉法得廉约数一万○八百，加隅约数七百二十九，共数如前，以此推算即得实数，然不如即视位数更为简防，故比防位少一位则其数必小，多一位便须置○也】八格之一○五一二虽更相近，然若以八格之隅数六十四乗长廉之六十，得三千八百四十，并平廉八格之一○五一二为一万四千三百五十二，亦浮于现在之余实，故又应退格取七格之八千七百四十三单为平廉约数，取七格之四九隅数乗长廉之六十，得二千九百四十为长廉约数，俱系千数可并进而除首位、次位之一一矣。于是并两廉约数共一万一千六百八十三单除尽为次商七。【此退格约廉因筹数虽浮筹位不多于余实故止退格而不改商也】自乗再乗还原。
次商置○式 三商加○筹式假如积实一亿二千九百五十五万四千二百一十六。
三防三开防前余二位初，商防前，余二位，视立方，大筹百位，除实第五格之一二五，近少，除之，得初商五百。次商以方根五百自之得二十五万，又三倍之得七十五万，为平廉。列七号五号筹于立方筹左，以方根竟三倍之得一千五百，为长廉。列一号五号筹于立方筹右。若取平廉筹相近，莫如第六格之四五二一六相近。然次商应除至次防位止，今筹位多实位少。若依筹位，即平廉巳除至防位后，何况更有长廉。是必变商之大位为小位，则有后商防前之实应除而不患除至防位之后。故应商数置○为次商○【前二商式是退格并亷，此处次商是退位再商，故有置○不置○之别】三商因前平廉筹巳备，三廉实数尚未商除，而前商之○又无实数可三倍，故不去前筹，不将前商自之又三倍之，止于立方筹左，前平廉筹右加○○两筹。盖立方毎防隔二位，今加○○筹，则前商变为后商，变次商之十为三商之单矣。故平廉筹仍照前七十五万而七五列筹之第六格之四百五十万相近，又立方大筹六格之二百一十六单，共四五○○二十六列为平廉约数。再以隅数之三六，在三开次商为三千六百者，今为三开三商之三十六【见前隅数定位】以之乗三倍方根之一千五百，为五万四千，列为长廉约数，并之共四百五十五万四千二百一十六，除余实尽，为三商六。
右共开方得五百○六自乘再乘还原五开三商列筹不隔○ 商数置○式四商隔○筹式 又商数置○式五商又隔○筹式假如积实一万七千三百一十八亿【即万万】九千○百九十一万六千七百二十九。【按他书十万曰亿，算学书万万曰亿，后同】五开列实如左。
五防五开五防根必万防前无余从单位初商，防前无余，从立方筹单位一格，除实一万亿，为初商方根一万。次商，以初商一万自之，得一亿，又三倍之，得三亿，列三号筹于立方筹左为平廉。以方根一万，竟三倍之，得三万。列三号筹于立方筹右，为长廉。视第二格之六○八，近少为平，廉约数。以此三号筹二格之隅数四乗长廉之四得一二为长廉约数【按隅数五开次商三格以上是百万位】并之除七千二百八十亿为次商二千。三商，以前初商除一万亿次，商除七千二百八十亿，余实三八九○九一六七二九。去前所列筹，以初次两商【共一万二千】自之得一四四，又三倍之得四三二，列筹于立方筹左，为平廉。【凡乗大数，各存○余位，则从单位逆推乗数，定位不紊】
上图如两商一十二万自之得一亿四千四百○○万再以初次两商一万二千，竟三倍之，得三万六千，列立方筹右，为长廉法。如法列两廉约数，取近少，莫如九格【三八九五二九】但三商应除至三防位止，今筹格六位，而第三防前连防位亦止四位，法实不符，应商除退位，不但变大数商为小数商，又有后商防前之实可合筹格之多位，应本商置○为三商○百。四商立方，凡前商置○，则后商应隔○○两筹，以当每防之隔，二位列于平方筹左，前商平廉四三二号筹之右为平廉。再如法列长廉筹，取两廉约数并除余实。又莫如九格【三八八○七二九】但五开四商应除至第四防，止今第四防之前止七位而筹格有八，故又应置○为四商○十。五商，依立方法，后商应去前商之廉筹，另依商法置平长两廉筹，约数除实。今前三四两商俱未除实，俱退商数置有○○。今五商仍存前商廉筹及○○筹，再加○○筹，以当每防之隔二位列于立方筹左，廉筹及○○筹之右，为五商之平廉。仍用九格之三八八八○○○七二九为平廉约数【此约数首位三系十亿位】再以九格之隅数八十一【五开五商次格以下是十位】乗长廉之三万六千，得二百九十一万六千，为长廉约数，并之，除余实，至五开尾防位止，为五商九。
右五商共一万二千○○九【末商平廉，三八八八○○○七二九长廉，二九一六。】并之，三八九○九一六七二九】右五开式末商九是单数，凡立方积不过至十位、百位止，今何以能除至三十八亿九千○百万各位之多？葢三商○，四商○，虽两商无除，而○无定位，列实未除之三八九○万，即皆前商平廉之所应有之数，改商而未尝改廉，但因筹数位多，实数位少，故知三四商之皆应置○，而前商未除之平廉，其约数仍在，至五商则但以五商之隅数乗前商原有之长廉，以为长廉约数，葢隅因亷为升降，而亷依方限不因商为升降，特借五商之九同格幷除非，单九能除至十亿位也。
立方带纵方为阔，加纵为长，法与开方无异。先视某格与方根近少为商数，乗纵数，再乗得纵积，并入方积，以减原实为初商。次商以下，更加纵积，纵廉积除余实为次商【余商同】并两商数得阔，因阔以知长。【用防，定开位，悉依立方，纵积除至防后】如初，商视立方大筹，某格近少之格数，取为方根，依定位列于原实之下。又以方根之数，因纵数若干，即以因得之数，再乗方根数，得若干，为纵积，依定位列方根之下，并减原实，为初商若干。【按方根悉如开方法，但未即除实。如并纵积多于原实，应退位或改商或退格。在方根不可除至防后，其并纵积则除至防位之后。葢纵在立方之外，积非立方之积，不可以每防之位为定也】如次商列平廉长廉法悉如立方，先取平廉约数，依定位列余实之下，再取长廉约数，列平廉约数之下，次以次商之商数【有两廉约数在某格，即某格是商数】因纵数得若干，再以商数乗之为次商纵积，依定位列两廉约数之下，又以纵数倍之为纵廉法，乗初商数得若干，以乗得之数与次商数乗之得若干为纵廉积，依位列于约数之下，共并之减原实为次商若干。右▯纵方两开者，次商之平廉必列至次防位止；如有三开者，则加纵积、纵廉积除至次防位之后【与开方不同】止。两开者，即并积亦必次防位止。若并积之位浮于余实，应退格改商以除实；若平廉各格多于防前之实，或应退格，或应置○，同前开方置○法。三商以下，列廉法悉如前。其纵廉法，应乗上初商，次商，再以乗得之数乗末商，为纵廉积，并除实【四商以下同】如积实九万七千二百○十○尺，但云阔不及长三尺。
初商近少在四格，即方根四十，阔不及长三尺，即三为纵法，乗初商之四十，得一百二十【此纵靣】再以初商四十乗一百二十，得纵积四千八百【此纵体】先以方根积六万四千照位列实下，又以纵积四千八百列方根积之千位下，并之得六万八千八百，减原实为初商四十余实二万八千四百。不先除方根者，恐加纵积多于原实，故先并后除。次商以方根四十自乗得一千六百尺，又三倍之得四千八百为平廉，列大筹左。再以方根四十竟三倍之得一百二十为长廉，列大筹右。取平廉第五格【二四一二五】为近少，为平廉约数。以五格之隅数【二五】乗长廉之一百二十，得三千【两开次商四格以下隅数是十】为长廉约数，列于平廉下之千位。以纵法三尺乗次商五，得一十五。再以五乗一十五，得七十五，为次商纵积。照定位列于两廉之下。又以纵法之三竟三，倍之得六，为纵廉法。乗次商四十，得二百四十。再以二百四十乗次商五，得一千二百，为纵廉积。照定位列于纵积之下。并之，共除余实二万八千四百，尽为次商五，右共开方四十五尺，加长三尺，为长四十八尺。如积实二百万○○○○○○尺，但云阔不及长三尺。
三防三开 初商是百防前无余初商一【在大筹单位除实】以三为纵法乗商数一百，得三百【此纵靣】又以商数一百乗三百，得三万【此纵体】合方根积共一百○三万，减积实为初商阔之一百。按此初商除方根，并除长三尺之纵，但止除方根等形之纵，未除次商后加纵廉积之纵。
次商依立方法平廉三万长廉三百取近少【三格九二七以相近因▯纵有纵积应加故退格约廉】二格之六○八相近为平廉约数以第二格隅数四【三开次商三格以上是百位】乗长廉，得一十二万，为长廉约数。以纵法三尺乗次商二十【取平廉长廉约数俱在二格即是二十】得纵面六十。又以商数二十乗纵面六十，得纵积一千二百。以纵法三尺，倍之得六，为纵廉【次商方根加廉，则所▯之纵亦应加廉。但次商之纵是小于方根加廉之纵，而非短于方根之纵。止纵旁两边有廉，而纵顶无廉，故法止倍之】乗初商一百，得六百，即以六百乗次商二十，得纵廉积一万二千。
并之平廉约数六十○万八千长廉约数一十二万纵积一千二百纵廉积一万二千共七十四万一千二百，减余积，仍余二十二万八千八百○十○单。
为次商二十三商平廉三千二百，长廉三百六十。依开方法置筹，取第五格近少二十一万六千一百二十五为平廉约数。以第五格隅数二十五乗长廉三百六十，得九千为长廉约数。以纵法三尺乗商数五，得一十五；又以商数五乗一十五，得七十五，为纵积。以纵廉六【纵法三尺倍之得六】乗初次两商之一百二十得七百二十，又以七百二十乗三商五得三千六百，为纵廉积。依法并之，共二十二万八千八百○○，除实尽为三商五。右共开方一百二十五尺，加纵三尺，为一百二十八尺。按立方，▯纵初商未开之前，其所开之方未有定数，而纵长三尺则有定数。然虽有定数，而如三开者，其方阔必等于每开立方之边，或匾纵，或长纵，故每商必先依开方法开本身立方之方，再以纵之三尺乗商数，得纵之面，更以商数乗纵之面而得纵之积。在初商无廉，故止并方根积与纵积除实，为初商若干也。至于次商，则方根有廉，而所立之方其形更大于方根。今▯纵方，则其长虽定于三尺，而其方之大小应与次商之方相等。但立方之廉有三，而此▯纵方则纵首无廉，止应两旁有廉，故廉止于二。但此两廉亦止如方根之方，其合缝之处亦如立方平廉之不能凑合，必有一长廉焉。于是以纵法乗次商而得▯纵长廉之面，又以次商商数乗纵面而得▯纵长廉之积，此所谓纵积也，其实乃▯纵之长廉积也。于是▯纵之两平廉，以纵法倍之，即以乗初商之数，为▯纵平廉之面，以此▯纵平廉之面乗次商商数而得▯纵平廉之积。于是所▯之纵，其纵则定于三尺，而其方之形与次商之方等矣。葢其法与开立方同，而立方则先有平廉后有长廉，今开所▯之纵乃先有长廉后有平廉，此为异耳。至三商与次商同，惟纵廉积以纵法乗初商、次商之商数，而以乗得之数再乗三商之商数，葢必连初商、次商再乗三商，方是三商▯纵之平廉。其廉比初商、次商较薄，而其方之形则初商、次商后之三商，其阔狭与三商有廉之方相等，其理一也。
附立方减纵法假如立方积五千七百七十六尺，但云长不及阔三尺。
防前无余除单格初商除一格之单位，因二格之八浮于列实，故止除一格之一为商数。以三尺为纵法，乗商数一十【两防根必十】得三十。再以三十乗商数一十，得纵积三百。以初商方根积一千减去纵积三百，余七百。以减原实为初商一十。
余实五千○七十六尺次商依开立方法列平廉长廉筹近少取三号筹【次商以初商自之又三倍之】之九格三千四百二十九为平廉约数，以隅乗长廉得二千四百三十尺为长廉约数，合之为五千八百五十九【其数稍浮于实者立方积也，后以纵积等减之乃成匾方形，故凡减纵之末商必约数浮于实以待后减】为立方两廉约数。次以纵法三尺乗次商九得二十七尺为纵面，又以次商九乗纵面之二十七得二百四十三尺为立方减纵之长廉积，今名纵积。次以纵法三尺，倍之得六尺，为纵廉。以乗初商一十，得六十。即以六十乗次商九，得五百四十尺，为立方减纵之两平廉积，今名纵廉积。合纵积，纵廉积，共七百八十三尺，以减立方之两廉约数，余廉积五千○七十六尺，减余实尽，为次商九【此余廉积，即前立方两廉不浮之约数，葢既先于前所稍浮之立方廉约中除纵廉等积，则所余者乃方根应有各廉之真数，因本商未除，故末后除之而合也】右共开得阔一十九尺，减长不及阔三尺，为十六尺长。以上▯纵方开法，初商方根积必至首防位止，次商平廉、长廉共约数必至次防位止，不得除至防位之后，惟减纵每商之廉，其约数应稍浮于列实，以待后减纵廉等积。
句股引▯卷二<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙》>钦定四库全书