庄氏算学卷一

庄氏算学卷一

淮徐海道庄亨阳撰梅勿庵开方法一平方平方四边相等，今所求者其一边之数，西法谓之方根。方者，初商也。初商不尽，则倍初商之根为廉法除之，得两廉。又以次商为隅法，自乘得隅，以补两廉之空，而成正方形，是谓次商。又不尽，则合初商次商得数，倍之为防法除之，得次两廉。又以三商为隅法，自乘得隅，以补次两廉之空，而成正方形。自此而四商、五商，仿而加之，能事毕矣。凡减隅积，皆视其隅数为何等。隅数是单，则积止于单位；隅数是十，其积止于百位；百止于万位，千止于百万位，万止于亿位。每隅法大一位，则隅积大两位。所以初商减积止初防，次商减积止次防，三商、四商、五商，皆可以类推也【自单位作防起，每隔一位防之，有二防商数有十三防商数有百也】凡初商得一二三四皆书于防之上，一位商得五六七八九皆书于防之上两位，其故何也？五以上之廉倍之则十，故豫进一位以居次商，四以下虽倍之犹单数也，所以不同。大约所商单数必在亷法上一位，乃法上得零之理也。开方有实无，法廉法者，乃其法也。次商用归除，凡归除得数皆书于筹之第一位。今须看次商所减之数，其筹行内第一位是空与否？若不空，即以次商得数对余实首一位书之；若第一位是空，则以次商得数对余实上一位书之。虽不离筹之第一位，而所商之有空位、无空位出矣。立方审空位之法，亦然。

一立方平方则一方次合两廉一隅以成方面。立方则一方次有三平廉以辅于方之三面。又有三长廉以补三平廉之隙。又有小方隅以补三平廉之隙。推之三商、四商皆然。而方体成矣。三平廉长濶相同，皆如初商数。三长廉长如初商数，其两头髙与濶则如次商数。立方三位作防者，自乘再乘之积止于三位也。初商防在首位，则独商首位；防在次位，则合商两位；在三位，则合商三位也。凡初商得一数者，书于防上一位；得二三四五者，书于防上二位；得六七八九者，书于防上三位。其故何也？盖开方以廉为法，而平方只有二廉，其廉之积数只有进一位，故一进而足。立方则有三平廉，而其积数有进一位者，有进两位者，故必立三等也。要其豫为续商之地，使所得单数居于法上之一位，则同方单一，其廉法单三；若方单二，则廉法一十二变为十数进一位矣。故一用常法，二用进法也。方单五，其廉法七十五；若方单六，则廉法一百零八，又变百数进两位矣。故五用进法，而六以上用超进之法也。三平廉用自乘者，三平面积也。三长廉则未有积，故与平廉异也。次商数自乘以乘长廉者，每长廉之一数各分次商自乘之数也。

一平方带纵平方带纵者，长方面也。初商得平方与纵方，纵方之濶如平方之数，长则加所设纵之数。次商得廉纵一，廉二，隅一。盖倍廉不倍纵，一为带纵之廉，一为不带纵之廉也。用法与平方相似，但初商时必以初廉得数乘纵数为纵方积，然后合两积以减原实，为稍异耳。若应商十数，因无纵积，改商单九，是初商空也。则于初商位纪○，而纪其改商之数于○下，若次商者然。既为次商，则减积亦尽于第二防。初商得五至得九皆书于防上二位，不论纵之多寡。若得四以下，则视纵之多少而为之进退。法以纵折半加入初商【单从单十，从十百千各以类加】若满五以上，则亦进书于防之上两位【如初商三而纵有四，初商四而纵有四之类】若纵数少，虽加之而不满五，则仍书于防之上一位【如初商四而纵只有一，初商六而纵只有二之类】搃而言之，所商单数皆书于廉法之上一位，故初商得数有进退之法，乃豫为廉法之地，以居次商也。初商五以上，倍之则十，虽无纵加，廉法已进位矣。初商虽四以下，而以半纵加之，满五则其倍之加纵而为廉法也，亦满十而进位矣。防法进位，故初商亦必进，盖豫算所商单数已在廉法之上也。又初商若得单数，其廉法即为命分。凡商得单数，必在命分上一位。凡开方，皆然。

一立方带纵凡立方带纵有三一：只带一纵，如云长多方若干，或高多方若干，是也。一带两纵而纵数相同，如云长不及方若干，髙不及方若干，是也。一带两纵而纵数不相同，如云长多濶若干，濶又多髙若干，是也。大约带一纵者，只有纵数而已；带两纵者，有纵数，又有纵方，故其术不同。立方带一纵者，长多于方，谓之横纵；髙多于方，谓之直纵。初商得立方，一方纵一，合成长立方形。次商平廉三内带纵者二，长廉三内带纵者一，小隅一，合七形而成一形。三商以上者，皆仿此。以积实列位作防，如立方法截首，一防为初商之实，视立方表中积数有小于初商实者，用其方根为初商得数，用其积数为初商积数。次以初商自乘，以乘纵数为纵积，合计立方积、纵积共数，以减原积而定初商，不及减者改商之，及减而止。次商则以初商得数自乘而三之，又以纵与初商相乘而两之，共为平廉法。或以初商三之，纵倍之，并其数以乘初商；或以初商加纵而倍之，并初商数以乘初商，竝同【所谓带纵防二，不带纵廉一也】又以初商三之，加入纵为长廉法【所谓带纵廉一，不带纵廉二也】乃以平廉法约第二防上余实，商除得数为次商。于是以次商乘平廉法为三平廉积，又以次商自乘以乘长廉为三长廉积。就以次商自乘再乘为隅积。合计平廉、长廉、隅积共若干，以减余实，不及减者改商之，及减而止。三商则以初商、次商所得数加纵而倍之，并商得数为法，仍与商得数相乘为平廉法。又以初商、次商所得数三之，加纵为长廉法，以除原实。如次商法，余仿此。列商得数依立方法得一书于防之上一位，得二三四五书于防之上两位，得六七八九书于防之上三位。若纵数多，廉法有进位，则宜用常法者改用进法，宜用进法者用超进之法，宜超进者更超一位书之。其法于次商时酌而定之。盖次商时有三平防、三长防，再加隅一为命分之法，法上一位单数也。从此单数逆寻而上，自单而十而百而千，至初商位止，有不合者改而书之。若与初商恰合，不必强改，此法甚妙。平方带纵亦可用之也。若宜商一十而改单九，或宜商一百而改九十，凡得数改退小一等数者，皆不用，▯上一防而以第二防论之，此尤要诀，不可忘【或于初商外作圈，而以所商小一等数书于圈下，亦可以上一防论也】立方带两纵，纵数相同者，如髙不及方若干，则方之横与直俱多于髙，是为两纵。初商有纵廉二，纵方一，并立方而四，盖两纵廉辅立方之两面，而纵方以补其隅，合为一短方形也。次商平廉三，内带一纵者二，带两纵者一，长廉三，内带纵者二，不带纵者一，小隅一共七形，合一短方形也。

用法：先以纵倍之为纵廉法，又以纵自乘为纵方法，乃如立方法列位作防，视表中求初商方数及立方积。次以初商得数乘纵方数为纵方积，又以初商自乘数乘纵廉数为纵廉积，合计纵方、纵廉、立方之积共若干数，以减原实而定初商，不及减改商之，及减而止。次商则以初商得数加纵倍之以乘初商得数【所谓带一纵之廉二也】又以初商加纵自乘得数【所谓带两纵之廉一也】并之共为平廉法。或以初商三之，加纵以初商加纵乘之，亦同。次以初商加纵倍之，并初商数共为长廉法【所谓带纵者二，不带纵者一也】或以初商三之，纵倍之，亦同。乃置余实列位，以廉法位酌定初商列法，而进退之，以平为法而除余实得数为次商【皆所以减首位是空与否而为之进若退】或合平廉、长廉两法以求次商，亦同。于是以次商乘平廉法为平廉积，又以次商自乗数乗长廉法为长廉积，又以次商自乗再乗为隅积，合计平廉、长廉、隅积共若干，以减余实而定次商。又法，以次商乗长廉法为长廉法，又以次商自乗为隅法，并长廉、平廉、隅法以与次商相乗为次商廉隅共积，以减余实，亦同。不及减者，改商之，及减而止。三商、四商仿此。立方带两纵纵数不相同者，如长多于濶，髙又多于长，初商有大廉纵一，小廉纵一，纵方一，并立方形而四。盖大廉纵以辅髙之一面，小廉纵以辅长之一面，而纵方以补两纵之阙也。次商平廉三，内带小纵者一，带大纵者亦一，兼带两纵者又一。长廉三，内带小纵者一，带大纵者一，不带纵者一。小隅共七形，合成不等方形也。用法以两纵相并为纵亷，以两纵相乗为纵方，乃如立方法列位作防，求初商之实。以立方表求得初商立方积，次以初商乗纵方数得纵方积，以初商自乗乗纵廉数得纵亷积，合计三积以减原实，皆如前法。次商则以初商长濶维乗得数而并之为平廉法，又以初商长濶髙并之为长廉法。乃置余实列位【以平廉酌定初商之位而进退之】遂以平廉为法求次商。以次商乗平廉为平廉积，以次商自乗数乗长廉为长廉积，以次商自乗再乗为隅积。合三积以减余实，不及则改，及则止，以待三商。余仿此。凡不能成一单数者，则以所商长濶髙维乗并之，如平廉，又以长濶髙并之，如长廉，又加单一，如隅为命，分母以所余之数为命分子。维乗之法，如初：商三十尺为濶，加纵五尺，共三十五尺为长；又加纵一尺，共三十六尺为髙。濶乗长得一千零五十尺，髙乗濶得一千零八十尺，长乗髙得一千二百六十尺。并三维乗数，共得三千三百九十尺，为平廉法。若合长亷加隅一，即为命分母也。若在次商后，则加次商得数；若在三商后，则加三商得数。

用筹法开方用筹，防法、廉隅二形也。故有二法。今借开方大筹为隅法，列于亷法筹下，而共商之，则隅亷合为一法，而用加防矣。存前法者，所以着其理；用防法者，所以善其事。既得初商，即倍根数为廉法。以亷法数用筹【如商根为四，则用八；商根为六，则用十二】以列于立方筹之上，为廉隅共法。合视共法筹某行内有与次商之实同者，或畧少者，减实以得次商，以本行内方根命之。既得次商，则合初商次商，倍之以其数用筹，列平方筹，以求三商、四商以下，仿此。隅者，小平方也，故可以平方筹为法。廉之数每大于隅一位，今以平方筹为隅，列于廉下，则隅之进位与廉之本位两半圆合成一数，故亷隅可合为一法也。何以知亷大于隅一位也？曰：有次商，则初商是十数矣，平方之廉法是初商倍数，故大于隅一位。若次商之实小于廉隅共法之第一行，则知次商是空位也【不能成一数故空】则于廉法筹下，平方筹上加一空位筹为廉隅共法，以求三商。既得三商，则合初商三商数倍之，去空位筹，以倍数用筹列于平方筹之上，以求四商。如初商得四，次商得空，则用空位筹列于八筹之下。及三商既得九，则倍四○九而为八一八之数，空位筹可不用矣。若两空位，则加两空筹；三空位，则加三空筹，余仿此。凡余实必在商数下一位起，倘空位则可作圏补之。又凡亷隅共法，筹第一行数即命分母也，盖能满此数即成一单数矣。若立方，则以初商数自乗而三之为平廉法。以平亷法用筹列于立方筹之上，为平廉小隅共法。别以初商数三之，而比共法尾位进一位为长亷法。以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长廉法筹下加一空筹，以合进一位之数】视共法筹内有小于实者，为平廉小隅共积，用其根数为次商。次以次商自乗数【即平方筹之积数】与长廉法相乗【以平方筹之数寻长廉筹之行，取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商搃积，以减次商实，乃如法以求三商，余仿此。隅者，小立方也。故可以立方筹为法，平廉之数每大于隅二位。今以立方筹为隅法，列于平廉下，则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数。故平防小隅可合为一法。长防之两头皆如次商自乗之数，故可以平方乗之。又长防之数每大于隅一位，故于下加一空筹以进其位，便加积也。何以知平防大于隅二位，而长亷只大一位也？盖平防者，初商自乗之积也。初商于次商为十数，十乗十则成百数矣。隅积者，次商本位也。故平防与隅如百与单，相去二位也。若长防，则是初商之三倍，位同初商。初商与次商如十与单，故长亷与小隅亦如十与单，相去一位也。若次商之实小于平廉小隅共法之第一行，或仅如共法之第一行而无长廉积，则次商是空位也。法于初商下作空位圈以为次商，而于平防筹下立方筹上加两空位筹为三商，平亷小隅之共法以求三商。其长防法下又加一空位筹，并原有一空位筹共两空位筹为三商长防法，或长防不必加空筹，但于得数下加两圜。若商数有两空位者，平防下小隅上加四空位筹，长防积下加三圈。盖有空位则所求者三商也。初商与三商如百与单，而平防者初商之自乗，百乗百成万，故平防与三商之隅如万与单，大四位也。此加两空筹之理【平防原大二位，加二空筹则大四位矣】初，商与三商既如百与单，则长防与隅亦如百与单，大两位也。此又加一空筹之理也。命分还原法，如原实八步，开得方二步，除实四步，不尽，命为方二步，又五分步之四。然在两亷可得五之四，在隅则得二十五分步之十六而已。实不及五之四也，故通分法还原，以分母五通二步，得一十分，又纳分子四，共一十四分，自乗得一百九十六为实，以命分五自乘得二十五为法，除之，只得七步，又二十五分步之二十一，以较原实少二十五之四矣。故必另置分母五，以分子四减之余一，以转乗分子四得四，即隅差也。加隅差入方积中，然后以分母自乗除之，则合原积矣。若立方积一十七步，开得立方每面二步，除八步余九步，如法命为立方二步又十九分步之九，在平防可得十九分步之九，在长防与隅则不满也。法以分母十九通二步为三十八分，又纳分子九分，共四十七分为立方全数。以全数自乗再乗，得一十○万三千八百二十三分为通积。另置分母十九自乗，得三百六十一，内减分子九自乗八十一，余二百八十分，以分子九乗之，得二千五百二十分为隅差。又置分母十九内减得分九，余十分，转乗分子九得九十分，以乗命分母十九得一千七百一十分为长亷每步虚数。又以长防法六步乗之，得一万○二百六十分为长防差。合二差共一万二千七百八十分，以加入通积，共得一十一万六千六百○三分为实。以分母十九自乗再乗，得六千八百五十九分为法，以除实得一十七步，合原积。

庄氏算学卷一

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