数学钥卷一凡例

数学钥卷一凡例

柘城杜知耕撰凡例【计十四则】

一则数非图不明，图非手指不明。图用甲乙等字作志者，代指也。作志必用甲乙等字者，取其笔画省而不乱正文也。甲乙等字尽，则用子丑等字，又尽则用乾坤等字。如云甲乙丙丁方形，则指第一图戊巳庚辛方形。

则指第二图或错举二字谓第一图为甲丁或乙丙形谓第二图为戊辛或巳庚形又指第一图左下角曰甲角右下角曰乙角又或有两角相连如第三图两形相同一角如第四图，举一字不能别为某形某角，则连用三字，曰「寅癸丑角」，或「壬癸子角」，以中一字为所指之角，二则。四边皆等，四角中矩者，曰方形，如第一图。四角中矩，四边两两相等者，曰直形，如第二图。或四边等，或两边等，而四角俱不中矩者，曰象目形，如第三图。四边俱不等两角中矩两角不中矩者曰斜方形如第四图角不中矩两边相等者曰梯形如第五图边及角俱不等者曰，无法形，如第六图，三边形有一方角者【甲为方角】曰勾股形，如第七图，无方角者，曰三角形，如第八图，三则。形边之界曰线，线之纵者曰长，或曰高；衡者曰濶，或曰广。在下者或曰底，斜对两角者曰▯。

四则形之积，步积尺，曰积，曰容。方形之容，或曰羃。

五则线之作志处曰防六则两线相并曰和七则以此线比彼线，彼线之大于此线者，以此形比彼形，彼形之大于此形者，或曰较，或曰差。如甲丙线之大于甲乙线，为丙乙，则丙乙为两线之较线，或曰两线之差丁，己形之大于丁，戊形为庚，己形。则庚己为两形之较形，或曰两形之差八则甲乙线上，作甲丙方形，各边俱等于甲乙，曰甲乙线上。

方形其形之容即甲乙自乘之数丁戊衡线戊己纵线内作丁己直形己庚与丁戊等庚丁与戊己等曰：「丁戊偕戊己，两线矩内形，其形之容，即丁戊、戊己相乘之数。」

九则甲乙衡线上作丙丁纵线，而丙丁乙与丙丁甲两角俱方角则丙丁为甲乙线上之垂线。

十则两直线引至无穷，不相离，亦不相遇，曰平行线。平行线内任作几形，皆等高。如甲乙丙丁两线平行，两线内作戊己庚三角形，与辛壬直形两形。之高必相等，凡两形等高者，则曰同。

在平行线内十一则甲乙丙三形并为一形，形曲如磬，曰甲乙丙磬折形。

十二则方形并举四边曰方周十三则方形或圆形，外实中虚，曰环。其中虚处，曰虚形，或曰缺形。

十四则甲乙形以丙丁线分之，成甲丁、丙乙两形，或再以戊己线分之，成甲、庚、丙、己、戊、丁、庚、乙四形。谓甲丁等二形，或甲庚等四形曰分。

形谓甲乙元形曰全形数学钥巻一凡例钦定四库全书数学钥巻一目録柘城杜知耕撰方田上【直线类】

一则实积求亩二则直形求积三则方形求积四则勾股求积【二法】

五则三角形求积六则斜方形求积七则梯形求积【西法】八则，象目形求积【二法】

九则诸直线形求积十则积求方边【即开平方，二法】

十一则方边求斜▯十二则斜▯求方边十三则直积求长与濶【即带纵开平方】

十四则直形以长求濶十五则直形以濶求长十六则直形长濶求▯十七则直形濶▯求长十八则直形长▯求濶十九则直形长及▯濶差求濶二十则直形濶及▯长差求长二十一则，直形，▯及长濶，和求长濶差。二十二则，直形长及▯濶，和求濶。二十三则，直形濶及▯长，和求长。二十四则直形▯及长濶差，求长与濶。二十五则直形长▯和及濶▯和求长与濶。二十六则直形长▯差及濶▯差求长与濶。二十七则直形积及长濶和求长濶差。二十八则，直形积及长濶和，求▯。二十九则，两边等之三角形，求对角之垂线【増】三十则，有一方角之三角形，求对角之垂线【増】三十一则，不等边而无方角之三角形，求对角之垂线。

三十二则方周求积三十三则方环以周求积【増】三十四则，方环以积及濶求边。

三十五则直形依长截濶三十六则直形依濶截长三十七则直形截勾股三十八则直形截三角三十九则直形截斜方四十则直形截梯形四十一则，三角形，以截积、截濶求截长【勾股截积同】四十二则，三角形，以截积、截长求截濶。四十三则，三角形以截长求截濶。四十四则，三角形以截濶求截长。四十五则，三角形，以截积求截长。四十六则，三角形以截积求截濶。四十七则，斜方形以截积、截长求截濶【梯形截积同】四十八则，斜方形以截积、截濶求截长。四十九则，斜方形以截濶求截长。

五十则斜方形以截长求截濶五十一则，斜方形依小边截积，求截濶。五十二则，斜方形依大边截积，求截濶。

五十三则梯形截勾股五十四则梯形截斜方五十五则梯形截无法五边形【増】五十六则方环截外周【増】五十七则方环截内周数学钥巻一目録钦定四库全书数学钥巻一柘城杜知耕撰方田上【直线类】

一则实积求亩设田积二万九千五百二十步，求亩法曰：置积为实，以亩法二四除之，得一百二十三亩，即所求。解曰：五尺为步，二百四十步为亩。如自甲至乙濶一步【即五尺】余三边各与甲乙等，则甲丙方形为积，一步二百四十，倍之则为。一亩，故亩法用二四也。本巻及二巻。皆言求积之法，得积，以此法求之，即得亩数二则直形求积设直田，长十步，濶八步，求积法。曰：置长为实，以濶乘之，得八十步，即所求。解曰：直田长濶不等，求积之法，任取。一边为此一边之倍数【或以濶乘长或以长乘濶】如甲戊形之戊乙己甲各二步，则二。倍甲乙边八步之数，而甲戊形得积。一十六步，今丙、乙、丁、甲各十步，是十倍甲乙边八步之数，故得积八十步也。

三则方形求积设方田，方八步，求积法曰：置八步，自乘，得六十四步。

即所求解曰：「方田四边皆等，以此边为此边。」之倍数与，以他边为此边之倍数同。

故法用自乘也四则勾股求积设勾股田，股长十二步，勾濶八步，求积法曰：置股为实，以勾乘之【得九十六步】折半得四十八步，即所求。解曰：勾股形当等高等濶，直形之半，如甲乙丙勾股。

形另作丁己直形与之等高【谓丁庚与甲丙等】等濶【谓丁戊与甲乙等】以庚戊线分之则成丁、戊、庚、庚、己、戊两勾股形，皆与甲乙丙勾股形等。夫丁己一直形，当甲乙丙勾股形二，而甲乙丙勾股形不当丁己直形之半乎？法以勾乘股，所得者丁己直形积也，故半之得勾股积。又法置股为实，以半勾【四步】乘之，所得同前【半股为实，以勾乘之，亦得】解曰：丁己直形，再以壬辛线中分之，成丁壬、辛己两分形。法以半勾乘股，所得即分形积也。勾股既为丁己直形之半，而分形亦为丁己直形之半，故分形积即勾股积也。

五则三角形求积设三角田，中长一十二步，底濶八步，求积法同勾股田。解曰：甲乙丙三角形，依底线作甲丁直形，从角以丙。

己线分之则三角形内成甲己丙乙己丙两勾股形直形内成甲丙己丁两分形从前解推之甲己丙勾股形当甲丙分形之半乙己丙勾股形当己丁直形之半，两勾股形既当两分形之半，而三角全形不为甲丁全形之半乎？故求积之法与勾股同也。或两边等【如第一图】或三边等【如第二图】或三边俱不等【如第三图】法皆同。

六则斜方形求积设斜方田长一十五步上濶六步下濶十步求积法曰置长为实以两濶相并【共一十六步】折半【得八步】为法，乘之，得一百二十步，即所求。解曰：甲乙丁庚斜方形，减去辛丁直形，所余必甲庚辛勾股形。勾股形既为等高等濶直形之半【本巻四则】则己庚直形必与甲庚辛勾股形等。又己庚直形与辛丁直形并，亦必与甲庚辛勾股形与辛丁直形并等。法并两濶折半者，乙己之度也。以乙己乘丁乙所得，乃己丁直形也。而己丁直形即己庚辛丁两形并也，安得不与甲乙丁庚斜方形等乎？

七则梯形求积设梯田，长一十五步，上濶六步，下濶十步，求积法同斜方田。解曰：甲乙丙丁梯形，减去戊丁直形，余甲丙戊乙丁。

己两勾股形必与辛丙己庚两分形等今戊丁直形与两分形并则与全梯形等矣，故并两濶，折半乘长，得积也。

八则象目形求积设象目田，濶八步，正长一十二步，求积法曰：置正长为实以濶乘之得九十六步即所求解曰几何原本云甲乙丙丁象目形甲戊为正长自乙作乙己线，与甲戊平行，次于丁丙线引长之至戊，成甲乙己戊、甲乙丁丙两形，在平行线内【等高即在平行线内】而同底【等濶即同底】则两形必相等，何也？甲戊乙己两线既平行，则戊己必与甲乙等，而丙丁元等于甲乙，则丙丁与戊己必亦等，丙丁既与甲乙等，则甲丙乙丁两线必平行而亦相等，因显甲丙戊乙丁己两三角形亦等于两形内，每减一己丙庚三角形，所余甲庚己戊庚乙丙丁两无法四边形亦等，次于两无法形，每加一甲庚乙三角形，则成甲乙丙丁、甲乙戊己两形，安得不等？法以濶乘正长，得甲己直形之积，即甲乙丙丁象目形之积。又法：甲乙丙丁象目田，自甲量至丁，得一十六步；自丙量至戊，得六步。两数相乘，亦得九十六步，与前同。解曰：象目田，以甲丁线分之，则成相。等之两三角形，甲丁即底，丙戊即中。长也，故以底乘长，得全积也【三角法以底乘长折半得积，今不折，故得两形之共积】

九则诸直线形求积第一图可作三三角形第二图可作一斜方形一三角形第三图，可作一三角形，而减一小三角形。第四图，可作一方形，而减一勾股形。第五图，可作一直形，一勾股形。第六图，可作两三角形。其余千形万状，凡属直线边者，皆依方直、三角、勾股裁之。

十则积求方边【即开平方】设方田积三万六千一百步，求方边法曰：置积于中为实，初商一百步于实左，亦置一百步于实右为方法，左右对呼除实一万步【余二万六千一百步】倍方法【得二百步】为亷法次商九十步于左初商之次【共一百九十步】亦置九十步于右亷法之次为隅法【共二百九十步】以左次商与亷法对呼除实。一万八千步【余八千一百步】又以左。

次商与隅法对呼除实八千一百步，恰尽于左，得一百九十步，即所求方边之数。解曰：初商与方法对呼，所除者己辛方形也【即大方积】次商与亷法对呼，所除者甲壬、壬丁两直形也【即两亷】必倍方法为亷法者，以亷有二也。次商与隅法对呼，所除者庚戊方形也【即隅方】四形恰尽实积，则初次两商。

之数为方田边无疑矣又设方田积七万一千八百二十四步求方边法曰置积于中为实初商二百步于左亦置二百步于右为方法左右对呼除实四万步【余三万一千八】百二十四步】倍方法【得四百步】为亷法。次商六十步于左，初商之次亦置六十步于亷法之次，为隅法。先以次商与亷法对呼，除实二万四千步。再以次商与隅法对呼，除实三千六百步【余实四千二百二十四步】又倍次商【得一百二十步】并右亷法【共五百二十步】复为亷法。三商八步于左，初商次商之次【共二百六十八步】亦置八步于右亷法之次，复为隅法。先以三商与亷法对呼，除实四千一百六十步。再以三商与隅法对呼，除实六十四步，恰尽。于左初、次、三三商共得二百六十八步，即所求方边之数。解曰：此与前条无异，但前二位，此三位耳。初商、次商不能尽，故三商之。如三商又不尽，则四商、五商，仿此。十一则。

方边求斜▯设方田，方五十步，求▯法曰：置方数，自乘【得二千五百步】倍之【得五千步】平方开之【本巻十则】得七十步零。

七分有竒即所求解曰：甲乙丙丁，方形作甲丁丙乙，▯。线次作己、庚、辛、壬方形，令方边与甲。丁方形之▯线等，则庚壬方形必倍大于甲丁方形。何也？甲丁形内，丁戊丙、丙戊甲、甲戊乙、乙戊丁三角形四，是四三角形，当一甲丁方形也。形外，丁丙己、乙丁壬、甲乙辛、丙甲庚三角形亦四，各与甲丁形内四三角形等，是形外四三角形又当一甲丁方形矣。因知斜▯自乘之方形【即庚壬方形】倍大于方边自乘之方形【即甲丁方形】法置方边自乘，即甲丁方积也，倍之，即庚壬方积也，平方开之，得庚壬方形之边，即得甲丁方形之▯也。

十二则斜▯求方边设方田▯长七十步零七分有竒，求方边法曰：置▯自乘【得五千步】折半【得二千五百步】平方开之，得五十步，即所求。解曰：置▯自乘，求庚壬方积也【图同上则】折半即甲丁方积也，故平方开之，得甲乙。

十三则直积求长与濶【即带纵开平方】设直田积九百七十二步，长濶差九步，求长与濶。法曰：置积四因之【得三千八百八十八步】又长濶。差自乘【得八十一步】两数并【共三千九百六十九步】平方开之，得六十三步，加长濶差【共七十二步】折半得三十六步，即长；以长濶差减长余二十七步即濶解曰：一线任两分之，两分线矩内形四，及两分线之较线上方形一，并与元线上方形等。如图：甲乙线两分于丙，丙子、庚癸、己壬、辛丑四线各与乙丙等，庚子、己癸、辛壬、丙丑四线各与甲丙等，则丙庚、庚己、己辛、辛丙四形必两分线矩内形也。辛丑既等于丙乙，壬辛又等于甲丙，则丑壬必两分线之较线。壬癸、癸子、子丑又各等于丑壬，则癸丑形必较线上方形矣。甲乙元线上方形不与五形并等乎？直田积即两分线矩内形也。四因之者，矩内形四也。长濶差自乘，即较线上方形也。五形并等于元线上方形，故平方开之得甲乙元线，即长濶相和之度也【开方所得之六十三步】长濶和增一，长濶差即两长，两长折半，非一长而何？以长濶差减长，非濶而何？

十四则直形以长求濶设直田积九百七十二步，长三十六。步求濶法曰：置积为实，以长除之，得。

二十七步即所求解曰：濶为长之倍数，故以长除积得。

濶【本巻二则】

十五则直形以濶求长设直田积九百七十二步，濶二十七步，求长。法曰：置积为实，以濶除之，得三十六步，即所求。解曰：「长亦为濶之倍数，故以濶除实，得长【本巻二则】十六则。

直形长濶求▯设直田濶二十七步，长三十六步，求。▯法曰：长濶各自乘【长得一千二百九十六步，濶得七百二十九步】两数并【共二千零二十五步】平方开之。

得四十五步即所求解曰：此即勾股求▯【六巻一则】

十七则直形濶▯求长设直田濶二十七步，▯四十五步，求长法曰：▯濶各自乘【▯得二千零二十五步，濶得七百二十九步】两数相减【余一千二百九十六】平方开之得三十六步，即所求。解曰：「此即勾▯求股【六巻二则】

十八则直形长▯求濶设直田长三十六步，▯四十五步，求濶。法曰：▯长各自乘【▯得二千零二十五步，长得一千二百九十六步】两数相减【余七百二十九步】平方开之，得二十七步，即所求。解曰：「此即股▯求勾【六巻三则】

十九则直形长及▯濶差求濶设直田长三十六步，▯濶差一十八步，求濶。法曰：长与▯濶差各自乘【长得一千二百九十六步，▯濶差得三百二十四步】两数相减【余九百七十二步】折半【得四百八十六步】以▯濶差为法除之，得二十七步，即所求。解曰：此即股与勾▯较，求勾【六巻十四则】

二十则直形濶及▯长差求长设直田濶二十七步，▯长差九步，求长法曰：置濶自乘【得七百二十九步】以▯长差为法除之【得八十一步】减▯长差【余七十二步】折半得三十六步，即所求。解曰：此即勾与股，▯较求股【六巻十五则】

二十一则直形▯及长濶和求长濶差设直田长濶和六十三步，▯四十五步，求长濶差。法曰：置▯自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶和自乘【得三千九百六十九步】两数相减【余八十一步】平方开之，得九步，即长濶差。以减长濶和【余五十四步】折半得二十七步，即濶。加长濶差得三十六步，即长。解曰：此即▯与勾股和，求勾股较【六巻七则】

二十二则直形长及▯濶和求濶设直田▯濶和七十二步，长三十六步，求濶法曰：置长自乘【得一千二百九十六步】以▯濶和为法除之，得一十八步，即▯濶差，以减▯濶和【余五十四步】折半得二十七步，即所求。解曰：此即股与勾▯和，求勾▯较【六巻十八则】

二十三则直形濶及▯长和求长设直田▯长和八十一步，濶二十七步，求长法曰：置濶自乘【得七百二十九步】以▯长和为法除之，得九步，即▯长差，以减▯长和【余七十二步】折半得三十六步，即所求。解曰：此即勾与股▯和求股▯较【六巻十九则】

二十四则直形▯及长濶差求长与濶设直田长濶差九步，▯四十五步，求长与濶。法曰：置▯自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶差自乘【得八十一步】两数相减【余三千九百六十九步】平方开之得六十三步，即长濶和。加长濶差【共七十二步】折半得三十六步，即长；减长濶差，余二十七步，即濶。解曰：此即▯与勾股较，求勾股和【六巻十则】

二十五则直形长▯和，及濶▯和，求长与濶。设直田长▯和八十一步，濶▯和七十二步，求长与濶。法曰：置长▯和，以濶▯和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一万一千六百六十四步】平方开之，得一百零八步，与长▯和相减，余二十七步，即濶；与濶▯和相减，余三十六步，即长。解曰：此即勾▯和、股▯和，求勾与股【六巻十三则】

二十六则直形长▯差，及濶▯差，求长与濶。设直田长▯差九步，濶▯差一十八步，求长与濶。法曰：置长▯差，以濶▯差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方开之，得一十八步，加濶▯差，得三十六步，即长；加长▯差，得二十七步，即濶。解曰：此勾▯较，股▯较，求勾与股【六巻二十则】

二十七则直形积及长濶和求长濶差设直田长濶和六十三步，积九百七十二步，求长濶差。法曰：置长濶和，自乘【得三千九百六十九步】另置积四因之【得三千八百八十八步】两数相减【余八十一步】平方开之，得九步，即所求。解曰：长濶和自乘之方积，当直田积四长濶差自乘之方积一，故以长濶和自乘减去四直田积，余以平方开之，得长濶差也【本巻十三则】

二十八则直形积及长濶和求▯设直田积九百七十二步，长濶和六十三步，求▯。法曰：置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积倍之【得一千九百四十四步】两数相减【余二千零二十五步】平方开之，得四十五步，即所求。解曰：甲戊，形长濶，和自乘之方也，庚。辛形，▯自乘之方也。甲戊形内，勾股。八及长濶差自乘之方，一庚辛形内。勾股四及长濶差自乘之方一，每二。勾股当一直形【如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙】【两勾股形】是长濶和上方形大于▯上方形之较为二直田积也，故法以长濶和自乘，减去二直田积，平方开之，即得▯度也。

二十九则两边等之三角形，求对角之垂线。设三角田，底濶六步，两余边各五步。求中长法曰：置底折半【得三自步】乘【得九】。步】余边亦自乘【得二十五步】两数相减【余一十六步】平方开之，得四步，即所求。解曰：丙乙作▯，乙丁作勾，以所求之丙丁作股，此即勾▯求股法也【六巻二则】甲乙边折半，即得勾者，以乙丙、丙甲两边等也。设两边不等，此法不行矣，则有下法在。

三十则有一方角之三角形，求对角之垂线。设不等边三角田，有一方角【丙为方角，即勾股田】底濶十步，乙丙边六步，甲丙边八步，求中长。法曰：置乙丙边自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度，以下仍勾▯求股法】又自乘。【得一十二步九分六厘】与丙乙边自乘之数相。减【余二十三步零四厘】平方开之，得四步八分。

即所求解曰：此勾股求对角垂线法也【六巻二十五则】因有方角，故用之。若无方角，此法。又穷矣，更有一法，不问等边方角与否，皆可求，如下则。

三十一则不等边而无方角之三角形，求对角之垂线。设三角田，底濶一十五步，乙丙边八。步甲丙边十步，求中长法曰：置乙丙。甲丙两边各自乘【乙丙得六十四步，甲丙得一百步】两数相减【余三十六步】为实，以底除之【得二步四分】以减底【余一十二步六分】折半【得六步三分】【即乙丁之度以下勾▯求股法】又自乘【得三十九步六分九厘】另置乙丙自乘【得六十四步】两数相减【余二十四步三分一厘】平方开之，得四步九分三厘有竒，即所求。解曰：甲乙丙三角形，丁为对角防，另作庚辛为乙丙。

边上方壬癸为甲丙边上方壬癸大于庚辛之较为夘子丑磬折形若移丑于寅则成夘子寅直形又作辰巳为丁乙上方午未为甲丁上方午未大于辰巳之较，为申酉戌磬折形。若移戌于亥，则成申酉亥直形。申酉亥与夘子寅两直形必相等，何也？甲乙丙三角形，以丙丁线分之，则成丁乙丙、丁甲丙两勾股形。既皆勾股形，则丙乙▯上方形必与丙丁股、乙丁勾上两方形并等。甲丙▯上方形必与丙丁股、甲丁勾上两方形并等【六巻一则】从此推之，则甲丙上方形大于丙乙上方形之容，必与丙丁、甲丁上两方形大于丙丁、乙丁上两方形之容等。试减去同用之丙丁上方形，则甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形，与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣。法以乙丙、甲丙上两方形相减，余即夘子寅直形之容，亦即申酉亥直形之容也。夫申酉亥直形，以甲乙底为长【以甲丁、乙丁两线并为长，即以甲乙全线为长】以甲丁、乙丁之较线甲己为濶者也。故以甲乙底除之，得甲己。甲己既为甲丁、乙丁之较线，于甲乙线减去甲己，则己丁、乙丁两线等矣。故折半得乙丁，余仍勾▯求股法【六巻二则】同前则三十二则方周求积设方田周，二百步，求积法曰：置周自乘【得四万步】以方法十六除之，得二千五百步，即所求。

解曰假如一步以四面计之则周四步四步自乘得一十六步是周自乘之十六步止，得实积一步，故以十六为方法也。然此法止可施于方田，至于直田则不可用。如下图，直田长六十步，濶四十步，周亦得二百步，实积止得二千四百步。如以前法求之，则多积百步矣。

三十三则方环以周求积设方环田，外周二百八十步，内周一百二十步，求积法曰：二周各自乘【外周得七万八千四百步，内周得一万四千四百步】两数相减【余六万四千步】以方法十六除之，得四千。

步即所求解曰：此方内减方法也。○如知环濶则用梯田法，置两周相并，折半以濶。

乘之即得环积三十四则方环以积及濶求边设方环田，积四千步，濶二十步，求内外边法曰：置濶自乘【得四百步】以四因之【得一千六百步】以减环积【余二千四百步】余积以四归之【得六百步】以濶除之，得三十步。即内边倍濶【得四十步】加之，得七十步，即外边解曰：法以环濶自乘者，求环之隅方。也【即甲等】以四因之者，环之隅有四也【即甲乙丙丁四方形】以减环积，所余必四直形也【即戊己庚辛四直形】四归之者，取四直形之一也，以濶除之，即得内边者，其直形以环之濶为濶，以内边之度为长也，加两濶，即得外边者，外边大于内边之较为两濶也○或四因环濶除积，得五十步【即直方两形并之共长】加濶得外边，减濶得内边。

三十五则直形依长截濶设直田长八十五步，依元长截积二千七百二十步。求截濶法曰：置积为实，以元长除之。

得三十二步即所求解曰：「即以长求濶法【本巻十四则】

三十六则直形依濶截长设直田濶六十四步，依元濶截积二千七百二十步，求截长。法曰：置积为实，以元濶除之，得四十二步五分，即所求。解曰：「即以濶求长法【本巻十五则】

三十七则直形截勾股设直田长八十五步，依元长截积一千三百六十步，成勾股形。法曰：置积倍之【得二千七百二十步】以元长除之，得三十二步，即所求。解曰：勾股形，当等高、等濶直形之半。法倍勾股积，即乙丙直形积也。乙丙直形既倍勾股积，则必与勾股等高。等濶矣，故求乙丙直形之濶，即勾股。

之濶也三十八则直形截三角设直田濶六十四步，依元濶截积一千三百六十步，成三角形，求长法曰：置积倍之【得二千七百二十步】以元濶除。

之得四十二步五分即所求解曰：三角形，亦当等高、等濶直形之。半法倍三角积，即甲乙直形积也。甲乙直形既倍三角积，则必与三角形。等高，等濶矣。故求甲乙直形之长，即三角形之长也。三十九则。

直形截斜方设直田长八十五步，依元长截积二千七百二十步，成斜方形，两濶相差五步，求两濶。法曰：置积为实，以元长除之【得三十二步】另置相差五步折。半【得二步五分】并三十二步，得三十四步。五分，即大边减三十二步，得二十九。

步五分即小边解曰：以元长除积者，求甲乙直形之濶也。甲乙直形之濶，为斜方两濶之中度【谓小于大边二步五分，大于小边亦二步五分】故置差折半，增减之，即得两濶。

四十则直形截梯形设直田濶六十步，依元濶截积三千七百八十步，成梯形，两濶相差一十二步，求长法曰：置积为实，倍元濶【得一百二十步】减相差一十二步【余一百零八步】折半【得五十四步】为法除之得七十步即所求解曰：「倍濶减差折半者，求甲乙直形。」之濶也，甲乙直形濶为梯形，两边之中度【谓小于大边六步，大于小边亦六步】则直形之容。必与梯形等，故求直形之长，即得梯形之长。

四十一则三角形以截积、截濶求截长【勾股截积同】设三角田，依角截积一千三百六十。步截濶六十四步求截长法曰置积倍之【得二千七百二十步】以濶除之，得四十二。

步五分即所求解曰：此与直田截三角同【本巻三十八则】

四十二则三角形以截积截长求截濶设三角田，依角截积一千三百六十步，截长四十二步五分，求截濶法。曰：置积倍之【得二千七百二十步】以长除之，得六十四步，即所求。解曰：此与直田截勾股同【本巻三十七则】

四十三则三角形以截长求截濶设三角田，元长二百步，濶一百五十步，自角截长一百五十步，求截濶法。曰：置截长为实，以元濶乘之【得二万二千五百步】以元长除之，得一百一十二步五分，即所求。解曰：凡三角形，任以一线分之，分线若与底线平行，则分形之比例必各与全形等。谓丙丁与丁戊若丙甲与甲乙，丁戊与丙庚若甲乙与丙己，又丁戊与甲乙若丙丁与甲丙，丙庚与丙己也【泰西几何原本】甲乙丙即元形，丁戊丙即截形也。则截长与截濶之比例必若元长与元濶矣。截濶与元濶之比例亦必若截长与元长矣【谓截长大于截濶几分之几？则元长亦大于元濶几分之？几截濶小于元濶几分之几，则截长。

亦小于元长几分之几】法以元濶乘截长以元长除之者，借元长及元濶之比例，因截长以求截濶也【求比例用异乘同除法，详三巻五则】

四十四则三角形以截濶求截长设三角田，元长二百步，濶一百五十步，截濶一百一十二步五分，求截长法曰：置截濶为实，以元长乘之【得二万二千五百步】以元濶除之，得一百五十步，即所求。解曰：此借元濶、元长之比例，因截濶以求截长也。四十五则三角形以截积求截长设三角田，元长二百步，濶一百五十步，自角截积八千四百三十七步五分，求截长法曰：置积倍之【得一万六千八百七十五步】为实，以元长乘之【得三百三十七万五千步】以元濶除之【得二万二千五百步】平方开之，得一百五十步，即所求。

解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等濶之直形辛壬为截长丙庚线上方形丁壬、辛壬两形之高，必相等。两形既等高，则其比例必若丁戊与辛戊【几何原本云：凡两形等高，形与形之比例若线与线】辛戊与截长丙庚等，而丁戊即截濶，是丁壬与辛壬之比例若截濶与截长也。分形之比例元与全形等【本巻四十三则】则丁壬与辛壬之比例又若元濶与元长矣。法倍截积者，求丁壬直形也。以元长乘元濶除之者，借元长、元濶之比例，因丁壬直形以求辛壬方形也。辛壬为截长丙庚上方形，故平方开之得截长也。

四十六则三角形以截积求截濶设三角田，元长二百步，濶一百五十步，自角截积八千四百三十七步五分，求截濶法曰：置截积倍之【得一万六千八百七十五步】为实，以元濶乘之【得二百五十三万一千二百五十步】以元长除之【得一万二千六百五十六步二分五厘】平方开之得一百一十二步五分即所求解曰：甲乙丙即元形，丁戊丙即截形。丁壬为截形等高等濶之直形，丁辛为截濶。丁戊上方形，丁壬、丁辛两形之濶必相等。两形既等濶，则其比例必若戊壬与戊辛。戊辛与截濶等，戊壬与截长等。是丁壬与丁辛之比例若截长与截濶，亦若元长与元濶矣。法倍截积者，求丁壬直形也。以元濶乘元长除之者，借元长元濶之比例，因丁壬直形以求丁辛方形也。丁辛为截濶，丁戊上方形，故平方开之得截濶也。○以上皆自角截积法。若自底截积，则以截积减元积，余积亦以上法求之，得濶即截濶，得长减元长，余为截长。四十七则。斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】

设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步依小边截积八百二十二步五分截长三十五步求截濶法曰置积为实以截长除之【得二十三步五分】倍之【得四十七步】减小。

边元濶余二十七步即所求解曰：以截长除积者，求甲丙直形之濶，甲乙也。甲乙为小边及截濶之中度，倍之则与小边及截濶并等矣，故减小边即得截濶也。

四十八则斜方形以截积截濶求截长设斜方田，元长九十步，大边濶三十八步，小边濶二十步。依小边截积八百二十二步五分，截濶二十七步。求截长法曰：置积为实，以截濶与小边元濶并【得四十七步】折半【得二十三步五分】为法，除之，得三十五步，即所求。解曰：以截濶与小边相并折半者，求两濶之中度甲乙也【同前图】故以除积得截长。

四十九则斜方形以截濶求截长设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步截濶二十七步求截长法曰置小边元濶与截濶相减【余七】【步】为实，以元长乘之【得六百三十步】另以两元濶相减【余一十八步】除之，得三十五步，即所求。解曰：小边与截濶相减，所余必庚己两元濶相减，所余必甲戊；庚己与截长之比例，若甲戊与元长也。与三角形同【本巻四十三则】

五十则斜方形以截长求截濶设斜方田，元长九十步，大边濶三十八步，小边濶二十步。自小边截长三十五步，求截濶。法曰：置截长为实，以两元濶相减【余一十八步】乘之【得六百三十步】以元长除之【得七步】并小边元濶得二十七步，即所求。解曰：七步即己庚之度也【图同前】故加小边元濶，得截濶，余同前解。

五十一则斜方形依小边截积求截濶设斜方田，元长九十步，大边濶三十八步，小边濶二十步，自小边截积八百二十二步五分，求截濶法。曰：置积为实，以两元濶相减【余一十八步】乘之【得一万四千八百零五步】以元长除之【得一百六十四步五分】倍之【得三百二十九步】另以小边元濶自乘【得四百步】两数并【共七百二十九步】平方开之，得二十七步，即所求。解曰：甲乙丙丁全形，己辛丙丁截形。丙丁与甲乙为两元濶，辛己为截濶，丙戊为元长，丙庚为截长，庚己。

为小边与截濶之较线甲戊为两元濶之较线癸辛为截濶上方形子辛为小边上方形【庚辛与丙丁等】癸辛之大于子辛。者为丑寅两亷与夘一隅，夘隅即较线庚己上方形也。截形以丙庚线分之，必成庚丁一直形，己丙庚一勾股形。若以截长丙庚除直形，必得辛庚线；再以较线己庚乘之，必成一亷【两亷俱以小边为长，以较线为濶】若以截长丙庚除勾股，必得庚壬线，庚壬者庚己之半也；再以庚己乘之，必成半隅。然直形与勾股两形，实一截形之分也。若以己庚乘截积，以丙庚除之，亦必得一亷半隅也。又全形之比例与截形等【本巻四十九则】丙戊之与甲戊，必若丙庚之与己庚。故置截积以元长丙戊除之，以两边较线甲戊乘之，亦得一亷半隅与前同。倍之则成两亷一隅。夫小边上方形之小于截濶上方形者，此两亷一隅也。并之则成截濶上方形矣，故平方开之得截濶。

五十二则斜方形依大边截积求截濶设斜方田，元长九十步，大边濶三十八步，小边濶二十步，自大边截积一千七百八十七步五分，求截濶法曰：置积为实，以两元濶相减【余一十八步】乘之【得三万二千一百七十五步】以元长除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大边元濶自乘【得一千四百四十四步】两数相减【余七百二十九步】平方开之，得二十七步，即所求。

解曰既自大边截积则元形之大边亦即截形之大边而截濶为小边小边上方形之小于大边上方形者，两亷一隅也。故于大边上方形内，减去两亷一隅，平方开之，即得截濶。○若并求长得濶，用本巻四十八则法求之。

五十三则梯形截勾股设梯田，元长一百二十步，大边濶八十步，小边濶二十步，自一角截勾股，积三百四十八步四分八厘，求。截濶法曰：置积倍之【得六百九十六】步九分六厘】以两元濶相减【余六十步】折半【得三十步】乘之【得二万零九百零八步八分】以元长除之【得一百七十四步二分四】【厘】平方开之，得一十三步二分，即所求。解曰：甲乙丙丁梯形，减去甲戊丙丁斜方，所余必戊丁乙勾股形。截积亦勾股形，则是勾股截勾股也。故法同勾股【本巻四十六则】○若求长，则倍截积，以截濶除之，即得【本巻三十八则】

五十四则梯形截斜方设梯田，元长一百二十步，大边濶八十步，小边濶二十步，截斜方积三千六百步，求截濶法曰：置积为实。以元长除之【得三十步】另以两元濶相减【余六十步】四归之【得一十五步】两数并得四十五步，即所求。

解曰元长除截积得己戊甲庚为大边，大于小边之半，甲己又为甲庚之半，则甲己为大边，大于小边四分之一矣。故四归两濶之较，并己戊得截濶。

五十五则梯形截无法五边形设梯田，元长一百二十步，大边濶八十步，小边濶二十步，截五边形【即甲戊己丁丙】积五千六百五十一步五分二厘，求截濶法曰：先求梯田全积【本巻七则】减去截积【余三百四十八步四分八厘】以梯田截勾股。法求之【本巻五十三则】得濶【一十三步二分】以减大边元濶，余六十六步。

八分即所求解曰：一十三步二分者，乙己戊余形之濶乙戊也。大边元濶甲乙，减去乙戊，余甲戊，即截濶五十六则方环截外周设方环田，外方七十步，自外截积二千四百步，求截。环内方法曰：置元方自乘【得四千九百步】减去截积【余二千五百步】平方开之，得五十步。

即所求解曰余环外方即截环内方五十七则方环截内周设方环田，内方三十步，自内截积一千六百步，求截环外方法。曰：置内方自乘【得九百步】与截积并【得二千五百步】平方开之，得五十步，即所求。解曰：内方自乘者，补环内虚形，以便开方也。

数学钥巻一<子部,天文算法类,算书之属,数学钥》>钦定四库全书数学钥巻二凡例柘城杜知耕撰凡例一则圆必中规，不中规者，不得为圆。形形界曲线曰周【如甲乙丙】丁线】过心直线曰径【如丁丙线】

二则一率自乘之数等于两率相乘之数，则此率为两率之中率。如甲与乙之比例，犹乙与丙，则乙为甲丙之中率。

三则设内外两形，内形或以角，或以边抵外形之界，而不交。曰：「相切如丙，为甲乙之内切形，甲乙。」

为丙之外切形四则曲线直线相杂曰杂线形五则割甲乙丙丁圆之一分为甲乙丙弧矢形，甲乙丙曲线。曰：「背甲乙衡线，曰▯；丙丁纵线，曰矢。」丙己曰：全径。丁己曰：余径。丁戊曰：离。

径丙戊曰半径六则设甲乙直线，以线为径，作甲乙丙丁圆形。曰：甲乙线上。

圆形数学钥巻二凡例钦定四库全书