数度衍卷四

数度衍卷四

桐城　方中通　撰筹算九筹通曰：「珠算、笔算皆有数而后乘，筹算无数而先乘也。故乘以筹为防，数尽九九，除亦因乘，故随时施用。所遇数更，而先乘之数亦变多寡，前后相合，自成。至若零筹无，又无用之用也。」

开方筹通曰：「筹有二，曰平方自乘之还原也，故用自乘之数，曰」

立方自乘，再乘之还原也，故用自乘再乘之数。

乘法术曰：有实有法，先将实数查筹，从左向右齐列。其两筹每格平行线斜方形合成一位，并为一数矣。次以筹之格为法数，如法数是五，即查第五格也。若法有二位，先查法尾所得数横列之，次查法首所得数进一位横列之，再用笔算加法得所求数。一位法式有五十九人，每人八两，问共若干？曰：四百七。

十二两　以五十九人为实八两为法先依实数查第五筹第九筹五左，九右并列，次依法八查第八格内，横数曰二，曰七○，曰四，去○不用，自左向右横视之，得四百七十二两也。得数尾与法尾数同，故知为两。二位法式有五十四人，每人六十四两，问共若干？曰：三千四百五十六两。以五十四人为实，六十四两为法。

依实查五四两筹齐列先依法尾四查第四格曰六曰一○曰二，自右向左，横列之次，依法首六，查第六格，曰四，曰二○，曰三，进一位，横列之，用笔算加法，得三千四百五十六两也。多位法者，视此，每查格一回，进一位，列数。通曰：「九格内，凡遇右尾有○者，必湏列之，以存位。其○在数中者，説详后式。」筹内斜方有○无数式，有五十四人，每人二十八两，问？

共若干曰一千五百一十二两　以五十四人，为实，查筹并列，二十八两为法。先查八格，曰二，曰三，○曰四，横列之。次查二格。曰：八，曰○，曰一进一，位列之加，得合问。通曰：「斜方之中，有数有○，则去○不用；若无数有○，则湏存之以定位。如八格去○，列三二格列○，存位是也。」筹内斜方倂数，进十式有八十七人，每人六两，问共若？

干曰五百二十二两以八十七人为实查筹并列六两为法，查六格，曰二，曰四，八曰四，其曰四。八者并为十二本位，存二以十进位作一。其曰四者，并所进之一为五，当自右向左列曰二二五矣。用零筹式，有六百零八人，每人三十四两，问共若干？曰：

二万零六百七十二两　以六百零八人为实查六筹零筹八筹并列，三十四两为法。先查四格，曰二，曰三，○，曰四，曰二，横列之。次查三格，曰四。曰：「二○，曰八，曰一，进一位，列之加，得合问。」通曰：「实数整几十者，列一零筹于右；整几百者，列二零筹于右，以定位也。」

除法术曰：有实，有法，有商。别列实数，以法数依号查筹，从左向右齐列于诸筹九格内。查横行数之等于实数或畧少于实数者，在第几格即是初商数。如在第一格，即一为初商也。次以查得之数减其实数，已尽则止，一商。如未尽，则有再商，即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者，在第几格即是再商数。又以查得之数减其存实，如前。又未尽，则更有三商。倘初商已除实，虽未尽而次位无实，则商有○位，即作○以当次商。再以存实于格内查之。若至余实数少于法数，是为不尽，法当命分之。一位商式，有三百二十五两，六十五人分之，问各若干？曰：五两。术别列三百二十五两为实，以六十五人为法。

查六五两筹左右齐列查九格内何格数与实相等一格，至四格皆少，五格内自左向右曰三二。

五适等即五为商数矣二位商式有三千三百二十五两，九十五人分之，问各若干曰三十五两术列三千三百二十五两为实，九十五人为法，列筹二筹，横数止三位，湏截实左三位，曰三三二，作三。百三十二于格内查之，至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五，畧少于实数，四格则多矣。用三爲初商，相减余四十七，再以余实四七及截外之五作四百七十五，查至五格四七【二五并七】五适等，用五爲次商。商当有○式有三十二万三千八百七十六两，五百三十八人分之，问各若干？曰六百零二两。术：列实，查筹。三筹横数止四位，截实左四位曰三二三八，作三千一一百三十八。查一至六格，自左向右曰三二二八作。

三千二百二十八畧少于实数七格则多矣用六爲初商相减余一十，以余实一○及截七六作。一千零七十六，此乃次位无实也。次商当作○，竟不除实，余实仍是一千零。七十六，查至二格一○七六▯等，用二爲三商。通曰：「次位、三位俱无实者，卽一连两商皆当作○也。实不尽，式有三千三百三十六两九十五人分之问各。」

若干曰三十五两余实一十一两列实查筹，二筹横数止，三位截实左。三位曰：三三三查至三格，自左向右。曰：二八五，畧少于实数，用三为初商，相减余四八，以余实四八及截外六作四八六，查至五格四七五，畧少于余实，用五为次商，相减尚余一十一，为不尽数也。

开平方法术曰：有积数【即实数】有商数，商有方法、有亷法、隅法。置积数，从末位下作防，向左隔一位作一防。有一防，知有一商也。视平方筹内自乘之数与实相等或畧少者，取以除实，但自左一防为始，防前无位则自乘止于零数，防前有位则自乘应有十数，而此乘数在筹内第几格，即用其格数为初商也。有二防者，以初商倍之，乃以倍数查筹，列于平方筹之左，再视诸筹横行内数与存实相等者，用以除实，而此数在几格，即用为次商也。实不尽者，以法命之，或实右加○，再开之，详少广章。通曰：「开方有实无法，故用方廉隅以代之。初商积与次商隅积皆自乘数也。次商亷积之数，处初商与隅积之问也。」

第一▯求初商之根为方法乙为方积也不尽，求二防之商，倍初商。根为廉，法甲、丙两长邉也。隅法丁。方一角也，此甲乙丙丁为平方二。商之形如三，商则加戊巳亷及庚。

隅也式有积三万二千○四十一，平方开之，问邉得若干？曰一百七十九别列积为实从末位一下作防向左隔一位○下作▯三下作防共得三防知商有三位也防左无实三作零数视方筹内自乘无三近少为一平行取一为方法为初商乃于实三内减去一格自乘之一存二以共次防实曰二二○，为余实，次倍初商根得二，为亷法【倍一为二】取二号筹，列方筹之左，于两筹横行内求二二○，无则用近少者一八九，在第七格，即七为次商，为隅法，乃以一八九减余实二二○余三一以共三防之实曰三一四一为次余实再倍初次两商之一，七得三、四【初商一作】【一十次商七共为十七倍为三十四】为次廉法，乃去次商所列之第二筹，又取三号、四号两筹，自左向右俱列方筹之左，于横行内求三一四一，在第九格，即九为三商，为次隅法，减实无余，即三次所商为平方邉，一百七十九也。

开立方法术曰：有积数，有商数。商有方法，有平廉法，长亷法，隅法。置积为实，从末位作防，向左隔二位作防，每一防有一商。视立方筹内再乘之数，有与实相等或近少者，用以除实也。但自左一防为始，防前无位则再乘止于零数，防前有一位则再乘应有十数，防前有二位则再乘应有百数，而此乘数在第几格，即用作初商也有二防者，以初商自乘而三倍之为平亷法，以初商三倍之为长亷法。却以平亷法数查筹列立方筹左，以长亷法数查筹列立方筹右。乃视左筹与方筹之横行内数，查其或等或少于余实者，取格数为约数，即以此为次商。以次商自乘之数与长亷法数相乘，进一位书于约数之下，以此二数并之除其余实，即得立方邉也。不尽者，依法命之，详少广章。其一，作六面方体，诸面线角皆相等。

此名方法体成甲乙丙丁形通曰：「此初商形也，凡边皆初商之。」

数其二作六面扁方体，其上下面各与方法等旁四面之髙，少于方法之髙。而四棱线皆等，此名平亷法，体成戊。

己庚辛形其三作六面长方体，其上下左右四面与平廉之旁面等，两端之四界线。皆与平廉之髙等，此名长廉法体成。

壬癸形其四，作六面小立方体，六面之广袤皆与长廉之两端等，此名隅法，体成子丑形。通曰：右三形皆次商形也。三、四商者，亦如此三形増之。通曰：初商方根，次商上加一平廉，左加一平廉，后加一平廉。故三倍初商之自乘为平廉法也。上与后之边齐，右加一长廉；上与左之边齐，前加一长廉；左与后之边。

齐下加一长廉，故三倍初商为长廉法也。上与左与后三角加隅法，而立方形成矣。式有积九百一十二万九千三百二十九，立方开之，问边得若干？曰：二百零九。术：别列积数为实，从末位九下。

作防向左隔二位作▯凡三防知商有三位也防前无实则实首九为零数视立方筹内再乘之数无九三格二七过实用二格八实之近少数也即取二为方法为初商九内减八存一以共次▯之实曰一一二九为余实将初商二自乘得四又三倍得十二为平廉法取一号二号两筹列方筹左又将初商二三倍得六为长廉法取六号筹列方筹右乃于立方与平廉共三筹内之横行数取其少于余实者为约数，视筹内无近少数，即第一格之一二○一，亦多于余实之一一二九，遇此则知商有○位矣。竟于初商下作○以当次商，而实数不动。复开第三防之实一一二九三二九，将初次两商之二○【此作二十】自乘之，得四○○【此作四百】又三倍之，得一二○○【此作一千二百】为次平廉法。乃取一号、二号、○号、○号之四筹列方筹左，而去次商所列之平廉两筹。又将初次两商之二○【此作二十】三倍之，得六○【此作六十】为次长廉法。取六号、○号两筹列方筹右，而去次商所列之长廉筹。

乃于立方与次平廉共五筹内之横行数取其少于余实者为约数至第九格曰一○八○七二九另列之向立方筹右平行取九格之自乗数八十一以乗次长廉六○【此作六十】得四八六○。【此八十一回，六十也】进一位，列约。余实之一，一二九三二九，恰尽乃以约数之格数九爲二商也。三次所商曰二，曰○，曰九，是爲立方根二百零九也。通曰：「长亷筹止用其号数，格内诸数皆无用，卽不列筹而止列数，亦可开方，宜入少广章。因有此二筹，故立式于此。」

数度衍巻四钦定四库全书