御制数理精蕴下编卷六

御制数理精蕴下编卷六

线部四和数比例较数比例

和数比例比例之中有合率，而复有和数者，将几？比例之率合为一比例，故谓之合率。至于有总数，又有分数，以分数合而与总数相比，则谓之和数。其在九章，总名差分，而其实总不越比例之理，故今质名之曰和数比例。其立法，有以实数与实数比者，如合众人数与总物数之比，即若每人数与每物数之比是也。有以所立衰数与实数比者，如合众衰数与总物数之比，即若每人衰数与每物数之比是也。又或以加倍数成率者，其得数亦为加倍之数；或以两数相乗而成率者，其得数亦为两数相乗之数。要之，皆以比例而得，故于各条详加解説，以明其故焉。设如南北二商合本贸易，南出本银一百五十两，北出本银二百五十两，共得利银一千两。按各人所出本银之分分之，问二人各得利银几何？法以南出本银一百五十两与北出本银二百五十两相并得四百两为一率，利银一千两为二率，南出本银一百五十两为三率，推得四率三百七十五两，即南所分利银数。于共利一千两内减三百七十五两，余六百二十五两，即北所分利银数也。如以二人本银共四百两为一率，二人共利一千两为二率，北出本银二百五十两为三率，推得四率六百二十五两，即北所分利银数也。此法盖以二人共本比共利，即如每人各本比各利而为相当比例四率也。又捷法，以二人共出本银四百两归除二人共得利银一千两，得每一两之利为二两五钱，乃与各人本银数相乗，即得各人所分利银数。此又以每一两之利与各人所出本银之利相比而得也。设如赵、周、冯三人合伙生理，赵出本银一千两，周出本银八百两，冯出本银六百两，共得利银一千二百两，按各人所出本银之分分之，问三人各得利银几何？法以三人各出本银相并得二千四百两为一率，三人共得利银一千二百两为二率，三人所出本银数各为三率，推得各四率：赵五百两，周四百两，冯三百两，即为各人所得利银数也。若用捷法，则以三人所并本银二千四百两归除共得利银一千二百两，得每一两之利为五钱，按各人本银数乗之，即各人所得利银数也。设如甲乙丙三商共出本银一千五百二十两，得利银一百九十两。甲分一百二十两，乙分四十两，丙分三十两。问各人原本银若干？法以共利银一百九十两为一率，共本银一千五百二十两为二率，每分利银各为三率，推得各四率。甲本银为九百六十两，乙本银为三百二十两，丙本银为二百四十两。如用捷法，则以共利银一百九十两归除共本银一千五百二十两，得每一两利银之本银为八两，乃以八两乗各人利银分数，即得各人本银之数矣。设如甲、丙、戊三人合本贸易，共得利银三千二百二十两。

甲本银三千六百两，丙本银五百一十两，戊本银不知其数，但知该分利银四百八十两，问其本银若干？法以三人共得利银三千二百二十两，内减戊之利银四百八十两，余二千七百四十两为一率，甲丙二人本银相并得四千一百一十两为二率，戊利银四百八十两为三率，推得四率七百二十两，即戊之本银数也。此法于总利中减去戊利银，所余者即甲丙二人之利银，故以甲丙二人之共利银与甲丙二人之共本银相比，即若戊一人之利银与戊一人之本银相比也。设如甲乙丙三商共出本银一千五百二十两，今得本利共银一千七百一十两。甲分本利共银一千零八十两，乙分本利共银三百六十两，丙分本利共银二百七十两。问三人所分本利各若干？法：以三人所得本利共银一千七百一十两为一率，共出本银一千五百二十两为二率，各人所分本利共银各为三率，推得各四率。甲本银九百六十两，乙本银三百二十两，丙本银二百四十两，即为各人本银数。以各人本银减各人共银，甲得利银一百二十两，乙得利银四十两，丙得利银三十两，即各人利银数也。设如，有三人合本贸易。第一人出本银五百两，系七成；第二人出本银一千两，系八成；第三人出本银一千五百两，系九成。共得利银二千两，皆系十成。问：每人应得利银若干？法以各人所出本银数与各银成色相乗，第一人得三百五十两，第二人得八百两，第三人得一千三百五十两。三数相加共得二千五百两为一率，共得利银二千两为二率，毎人所得相乗之数【第一人三百五十两，第二人八百两，第三人一千三百五十两】各为三率，推得各四率。第一人得二百八十两，第二人得六百四十两，第三人得一千零八十两，即各人应得之利银数也。此法以各银成色乗各人银数者，是将各银成色俱变作十成银也。如第一人七成银五百两，变作十成银止得三百五十两；第二人八成银一千两，变作十成银止得八百两；第三人九成银一千五百两，变作十成银止得一千三百五十两。并之得十成银二千五百两，故以总十成银二千五百两与共利银二千两之比，即若毎人十成本银与每人应得利银之比也。设如甲、丙、戊三商合本贸易，其所出本银多寡不同时日亦不同。甲出本银六百两，系八个月；丙出本银四百五十两，系六个月；戊出本银五百两，系十个月。共得利银一千两，问各人应分利银几何？法以各人本银与各人月分相乗，甲得四千八百两，丙得二千七百两，戊得五千两。三数相并得一万二千五百两为一率，共利银一千两为二率，各人本银乗各人月分之数为三率，推得各四率：甲得三百八十四两，丙得二百一十六两，戊得四百两，即为各人应得之利银数也。

此法先以各人本银乗各人月分者，葢以各人所出本银按月分以加倍也。三人本银各有月分，则行利亦按月加倍也。设如乙、丙、丁三人合伙生理，乙出本银二百两，系八个月出本之，两月后又添本银四十两；丙出本银三百二十两，系六个月出本之，一月后又添本银八十两；丁出本银一百六十两，系十个月。共得利银三百六十两，问每人各该利银几何？法以乙本银二百两与八个月相乗得一千六百两，又以后添四十两与六个月相乗【因出本之两月后又添银故用六月】得二百四十两，此两数相加得一千八百四十两，为乙之衰数。以丙本银三百二十两与六个月相乗得一千九百二十两，又以后添八十两与五个月相乗【因出本之一月后又添银故用五月】得四百两，此两数相加得二千三百二十两，为丙之衰数。以丁本银一百六十两与十个月相乗得一千六百两，即丁之衰数。乃以三人衰数相加得五千七百六十两为一率，三百六十两为二率，各人衰数各为三率，推得各四率：乙得一百一十五两，丙得一百四十五两，丁得一百两，即各人应得之利银数也。此法因出银前后各不同，故以各人出银节次乗各人月分而得各人衰数，既得各人衰数，则相加而与总利银为比，即如各人衰数与各人利银相比也。设如甲乙丙三商合本贸易，共得利银一千两。甲本银三百两，系十个月。乙本银六百两，丙本银四百两，俱不知月分。其利银则甲分五百两，乙分三百两，丙分二百两。问乙丙二人出本银月分各几何？法：以甲之利银五百两为一率，甲之本银三百两与十个月相乗，得三千两为二率。乙之利银三百两为三率，推得四率一千八百两，为乙之本银六百两与月分相乗之数。以乙之本银六百两除之，得三个月，即乙出银之月分。如以丙之利银二百两为三率，则得四率一千二百两，为丙之本银四百两与月分相乗之数。以丙之本银四百两除之，得三个月，即丙出本银之月分也。设如乙、丙、丁三人合本贸易，共得利银三百八十两。丙得利银为乙三分之一，丁得利银为乙四分之一。乙之本银为八十两，收利十二个月。丙、丁二人本银不知数，但知丙收利银系八个月，丁收利银系四个月。问乙、丙、丁利银各若干？丙与丁本银各若干？法以十二分为乙之衰数【两分母相乗之数】取其三分之一，得四分为丙之衰数，又取其四分之一，得三分为丁之衰数。将三衰数相并，得一十九分为一率，共利三百八十两为二率，以各人衰数各为三率，推得各四率。乙之利银得二百四十两，丙之利银得八十两，丁之利银得六十两。三宗利银相并，共三百八十两，以合前数。又用乙利银二百四十两为一率，乙本银八十两与十二个月相乗，得九百六十两为二率，丙利银八十两为三率，推得四率三百二十两为丙本银八个月之共分，以八个月除之，得四十两，即丙之本银数。

复以乙利银二百四十两为一率，乙本银九百六十两为二率，丁利银六十两为三率，推得四率二百四十两为丁本银四个月之共分，以四个月除之，得六十两，即丁之本银数也。设如甲、丙、戊三家，每日派一人当差，论各家田数定日之多少。甲田八十亩，丙田六十亩，戊田五十二亩。问各人一年内连闰月应该当差之日几何？法以甲、丙、戊三家田数【甲八十，丙六十，戊五十二】相并，得一百九十二亩为一率，一年连闰月作三百八十四日为二率，各家田数各为三率，推得各四率：甲当差一百六十日，丙当差一百二十日，戊当差一百零四日。并之得三百八十四日，合一年连闰月之数也。设如二人居住相隔一千四百里，同日起身，一人日行八十里，一人日行六十里。问途中几日相防？法以八十里与六十里相并，得一百四十里为一率，一日为二率，一千四百里为三率，推得四率十日，即相防之日也。此法以八十里、六十里相并为一率者，毎一日之内两人共行一百四十里也。一百四十里行一日，则一千四百里行十日矣。盖日行八十里者，十日行八百里；日行六十里者，十日行六百里，并之以合原数也。设如，有银四百八十六两，籴米、麦、豆三色，其石数相等。米每石价银一两二钱，麦每石价银九钱，豆每石价银六钱。问石数若干？法以米价一两二钱，麦价九钱，豆价六钱，相并共得二两七钱，为一率；一石为二率；总银四百八十六两为三率，推得四率一百八十石，即各色之石数也。此法盖因三色之石数既相等，故三色每石之共价与每一石之比，即同于三分之共价四百八十六两与每一分之一百八十石之比也。设如，有银一千二百两，买绫绢二色。绢一分，绫二分。绫每疋价银三两六钱，绢每疋价银二两四钱。问绫绢与价银各几何？法以绫价三两六钱，二因之【绫二分故用二因】得七两二钱，与绢价二两四钱相加，共得九两六钱为一率，绢一疋为二率，总银一千二百两为三率，推得四率一百二十五疋为绢数，倍之得二百五十疋为绫数。以绢每疋价银二两四钱，与绢一百二十五疋相乗，得三百两为共绢价。以绫每疋价银三两六钱，与绫二百五十疋相乗，得九百两为共绫价也。此法盖因绢为一分，绫为二分，故将绫价二因之，与绢价相加，即绫二疋绢一疋之共价。以绫二疋绢一疋之共价，与绢一疋之比，即同于绫二分绢一分之共价一千二百两，与绢一分一百二十五疋之比也。设如，有银三百三十六两，买罗八十疋，绢一百二十疋。罗每疋价比绢每疋价加一倍，问罗价、绢价各几何？法以罗八十疋，倍之得一百六十疋，与绢一百二十疋相加，得二百八十疋，为一率；绢一疋，为二率；总银三百三十六两，为三率。

推得四率一两二钱，即绢毎一疋之价。倍之得二两四钱，即罗每一疋之价也。此法盖因罗价比绢价加一倍，故将罗疋数倍之，与绢疋数相加，为罗二倍绢一倍之共数；而以罗二倍绢一倍之共数与绢一疋之比，即同于罗二倍绢一倍之共价三百三十六两与绢一疋之价一两二钱之比也。设如，有银七百八十五两，令甲、乙、丙、丁四人分之。乙得甲银十分之七，丙得乙银十四分之三，丁得丙银十二分之九。问各分银几何？法以一千六百八十分【三分母连乗之数】为甲衰数，取甲十分之七，得一千一百七十六分为乙衰数，取乙十四分之三，得二百五十二分为丙衰数，取丙十二分之九，得一百八十九分为丁衰数。乃以四人衰数相并，得三千二百九十七分为一率，总银七百八十五两爲二率，以甲衰一千六百八十分为三率，得四率四百两，即甲所分之银数；以乙衰一千一百七十六分为三率，得四率二百八十两，即乙所分之银数；以丙衰二百五十二分为三率，得四率六十两，即丙所分之银数；以丁衰一百八十九分为三率，得四率四十五两，即丁所分之银数。四人所得银数并之，得七百八十五两，以合原数也。此法因各分母不同，恐难度尽，故以分母连乗为甲衰数，次各按分取其衰数，乃并各衰数为共衰数，以共衰数与总银数之比，即同于各人衰数与各银数之比也。设如东西中三村共纳粮一千零三十六石，东村一百二十戸，每戸该纳七分，西村八十戸，每戸该纳五分，中村六十戸，每戸该纳四分，问各村纳粮若干，每戸纳粮若干。法以七分与东村一百二十戸相乗，得八百四十分，为东村衰数；以五分与西村八十戸相乗，得四百分，为西村衰数；以四分与中村六十戸相乗，得二百四十分，为中村衰数。乃以三村衰数相并，得一千四百八十分，为一率；共纳粮一千零三十六石，为二率；各村衰数各为三率，推得各四率：东村共该纳粮五百八十八石，西村共该纳粮二百八十石，中村共该纳粮一百六十八石。再以各村戸数归除各村所纳粮数，则东村每戸该纳粮四石九斗，西村每戸该纳粮三石五斗，中村每戸该纳粮二石八斗。如以三村共衰分数归除共纳粮数，得每一分所纳粮数，而以各村分数乗之，即得各村共纳粮数；以各戸分数乗之，即得各村每戸所纳之粮数也。设如乙、丙、丁三人共纳地租银十一两五钱，乙田长一百二十丈，寛四十丈；丙田长二百丈，寛六十丈；丁田长八十丈，寛二十丈。问每人该租银若干？法：以乙田长一百二十丈与寛四十丈相乗，得四千八百丈；丙田长二百丈与寛六十丈相乗，得一万二千丈；丁田长八十丈与寛二十丈相乗，得一千六百丈。

三数相并，共得一万八千四百丈，为一率；共地租银十一两五钱，为二率；各田长寛相乗之数各为三率，推得各四率。乙该银三两，丙该银七两五钱，丁该银一两，并之为十一两五钱，以合原数也。设如孙、郑、褚三家买货，共载一船，逺近船价不同。孙家货物九十五担，每担船价六分；郑家货物八十五担，每担船价四分；褚家货物五十六担，每担船价二分五厘。因中途拨浅，共贴银二两五钱二分，欲照船价分派，问各该若干？法以孙货九十五担与每担六分相乗，得五两七钱。以郑货八十五担与每担四分相乗，得三两四钱。以褚货五十六担与每担二分五厘相乗，得一两四钱。乃以三家船价相并，共得一十两五钱为一率，共贴银二两五钱二分为二率，一两为三率，推得四率二钱四分，即为每一两应贴之数。复以各家船价银乗之，所得一两三钱六分八厘，即孙应出之数；所得八钱一分六厘，即郑应出之数；所得三钱三分六厘，即褚应出之数也。设如甲、丙、戊三县共纳米四千石，论县之大小，米之贵贱，运之逺近，分之。甲县有三千三百六十戸，每米一石价银八钱，运至六十里；丙县有一千二百戸，每米一石价银一两，运至三十里；戊县有二千四百戸，每米一石价银六钱，运至八十里。问：每县该米若干？法以甲县米价八钱与六十里相乗得四百八十，用此数归除甲县三千三百六十戸得七，为甲县之衰数。又以丙县米价一两与三十里相乗得三百，用此数归除丙县一千二百戸得四，为丙县之衰数。以戊县米价六钱与八十里相乗得四百八十，用此数归除戊县二千四百戸得五，为戊县之衰数。乃以此三衰数相并得一十六，为一率；总米四千石为二率；各县衰数各为三率，推得各四率：甲县为一千七百五十石，丙县为一千石，戊县为一千二百五十石。三数相并共四千石，以合原数也。设如甲乙丙丁戊五处共输粟二千石，以田地之多寡，道里之逺近，粟价之贵贱，均输之。甲田一万三千零六十亩，粟每石价银二两，自输本处；乙田一万二千三百一十二亩，粟每石价银一两，至输所二百里；丙田七千一百八十二亩，粟每石价银一两二钱，至输所一百五十里；丁田一万三千三百三十八亩，粟毎石价银一两七钱，至输所二百五十里；戊田五千一百三十亩，粟每石价银一两三钱，至输所一百五十里。每石每里车价四厘，问各处所输若干？法以甲粟毎石价二两归除甲田一万三千零六十亩得六百五十三为甲衰数，次以乙输所二百里与每石车价四厘相乗得八钱，并入乙粟毎石价一两共一两八钱，归除乙田一万二千三百一十二亩得六百八十四为乙衰数，次以丙输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱，并入丙粟每石价一两二钱共一两八钱，归除丙田七千一百八十二亩得三百九十九为丙衰数，次又以丁输所二百五十里与每石车价四厘相乗得一两，并入丁粟每石价一两七钱共二两七钱，归除丁田一万三千三百三十八亩得四百九十四为丁衰数，次又以戊输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱，并入戊粟每石价一两三钱共一两九钱，归除戊田五千一百三十亩得二百七十为戊衰数，乃合五衰数共二千五百为一率，共粟二千石为二率，五处各衰数各为三率，推得各四率，甲为五百二十二石四斗，乙为五百四十七石二斗，丙为三百一十九石二斗，丁为三百九十五石二斗，戊爲二百一十六石，五数相并共二千石，以合原数也，此法盖因地亩以定粟数，故粟可以均，然粟之价既有贵贱，而道里又有逺近，故取粟价以除地亩，正所以均其贵贱，而取车价并入粟价以除地亩，又所以均其逺近也。

设如买米八十四石，每米一石价一两四钱七分，运价一钱三分。今欲抽米作运价与之，问正米与运价米各几何？法以每石米价一两四钱七分与每石运价一钱三分相加得一两六钱为一率，总米八十四石为二率，每石米价一两四钱七分为三率，推得四率七十七石一斗七升五合，即正米数。如先求运价米数，则仍以一两六钱为一率，总米八十四石为二率，每石运价一钱三分为三率，推得四率六石八斗二升五合，即运价米数也。既得正米数与运价相乗，得十两零三分二厘七豪五丝为共运价；而以运费米数与米价相乗，亦得十两零三分二厘七豪五丝，其数适相当也。此法盖因八十四石为正米与运价米之总数，今抽米作运费，故以米价与运价相并，亦为米价与运价之总数，以总价与总米之比，即同于米价与正米之比；又以总价与总米之比，即同于运价与运米之比也。此法即和数差分之变体，旧算书名为《就物抽分》，因其以总米内抽运价，故为抽分，然要以米价运价之和与总米为比例，故附于和数比例之后。设如，有丝四十三斤十二两，每织绢一疋用丝一斤，与织工丝四两。问织绢丝与织工丝各几何？法：以织绢丝一斤通为十六两，与织工丝四两相加，得二十两为一率；总丝四十三斤十二两通为七百两为二率；织工丝四两为三率，得四率一百四十两，收为八斤十二两，即织工丝与总丝相减，余三十五斤，即织绢丝也。此亦就物抽分法也。以毎疋织绢丝及织工丝之共数与总丝之比，即同于每疋织工丝与总织工丝之比也。

较数比例比例之中有和数，而复有较数者，以数相合而为比例，故谓之和数。若夫因数之相较而成比例，则谓之较数。在九章谓之匿价差分，其立法盖以每一物与较数之比，即若共物与共较之比；或以共物之较与每一物价之较为比，即若共物与每一物价之比也。又或有以实数相比者，或有以各物分数相比者，虽未有一定之规，然而总不越以彼此相差之较数为比例，故今质名之曰较数比例焉。设如有钱买绫罗二色，绫七尺，罗九尺，两价相等。但知绫每尺比罗每尺价多三十六文，问二色毎尺价钱几何？法以绫一尺为一率，绫比罗每尺价多三十六文为二率，绫七尺为三率，推得四率二百五十二文，即绫七尺共多之数。又以绫七尺与罗九尺相减，余罗二尺为一率，绫七尺共多二百五十二文为二率，罗一尺为三率，推得四率一百二十六文，即罗一尺之价。加多三十六文，得一百六十二文，即绫一尺之价。以一百二十六文乗罗九尺，得一千一百三十四文；以一百六十二文乗绫七尺，亦得一千一百三十四文，两价相等也。此法盖因绫一尺多三十六文，则绫七尺共多二百五十二文也。夫绫价多二百五十二文，罗多二尺而其价相等，则二百五十二文即罗二尺之价。罗二尺价二百五十二文，则罗一尺价一百二十六文也。既得罗价，则绫价亦可推矣。又法以绫七尺与罗九尺相减，余二尺为一率，绫比罗每尺价多三十六文为二率，绫七尺为三率，推得四率一百二十六文，即罗毎一尺之价。加多三十六文，得一百六十二文，即绫每一尺之价。如以罗九尺为三率，推得四率一百六十二文，即绫每一尺之价。减多三十六文，余一百二十六文，即罗每一尺之价也。此法共绫与共罗之较为二尺，绫每尺与罗每尺之较为三十六文。凡共物之较与共价之较相比，即同于共物与共价之比；而共物之较与每一物价之较相比，亦必同于共物与每一物价之比。故以绫共少二尺与罗每尺价少三十六文之比，即同于绫共七尺与罗每尺价一百二十六文之比也。又以罗共多二尺与绫每尺多三十六文之比，亦即同于罗共九尺与绫毎尺价一百六十二文之比也。设如，有银买驼马二色，马十匹，驼六匹，两价相等。但知驼每匹比马每匹价多八两，问二色每匹价银若干？法以驼一匹为一率，驼比马每匹价多八两为二率，驼六匹为三率，推得四率四十八两，即驼六匹共多之数。又以马十匹与驼六匹相减，余马四匹为一率，驼六匹共多四十八两为二率，马一匹为三率，推得四率十二两，即马一匹之价。加多八两得二十两，即驼一匹之价。以二十两乗驼六匹，得一百二十两；以十二两乗马十匹，亦得一百二十两，两价相等也。

此法盖因驼一匹多八两，则驼六匹共多四十八两也。夫驼价多四十八两，马多四匹而其价相等，则四十八两即马四匹之价。马四匹价四十八两，则马一匹价十二两也。又法，以驼六匹与马十匹相减，余四匹为一率；驼比马每匹价多八两为二率；驼六匹为三率，推得四率十二两，即马每匹之价。加多八两，得二十两，即驼毎匹之价。如以马十匹为三率，推得四率二十两，即驼每匹之价；减多八两，余十二两，即马每匹之价也。盖驼共少四匹与马每匹价少八两之比，即同于驼共六匹与马每匹价十二两之比；又马共多四匹与驼每匹价多八两之比，即同于马共十匹与驼每匹价二十两之比也。设如，有稻一十八石，稷二十二石，两价相等。如交换五石，则两边俱差银一两六钱。问每石价与共价各若干？法以交换五石为一率，相差一两六钱为二率，稻一十八石为三率，推得四率五两七钱六分，即稻一十八石共多之数。又以稻一十八石与稷二十二石相减，余稷四石为一率，稻一十八石共多五两七钱六分为二率，稷一石为三率，推得四率一两四钱四分，即稷一石之价。以稷二十二石乗之，得三十一两六钱八分，即稷之共价，亦即稻之共价。以稻十八石除之，得一两七钱六分，即稻一石之价也。如交换五石，则一为稻十三石，稷五石，稻十三石价二十二两八钱八分，稷五石价七两二钱，相加得三十两零八分，比共价三十一两六钱八分少一两六钱；一为稷十七石，稻五石，稷十七石价二十四两四钱八分，稻五石价八两八钱，相加得三十三两二钱八分，比共价三十一两六钱八分则多一两六钱，是两边俱差一两六钱也。此法盖因稻五石多一两六钱，则稻十八石共多五两七钱六分也。夫稻多五两七钱六分，稷多四石，而其价相等，则五两七钱六分即稷四石之共价。稷四石价五两七钱六分，则稷一石价必一两四钱四分，而稷二十二石价必三十一两六钱八分，与稻十八石之价相等，故以十八除之，得稻每一石之价也。设如，有金球八，银球十二，两重相等。今移换三，则银球边多六十两。问金球、银球各重几何？法以移换之，三为一率，多六十两，折半得三十两【即三金球比三银球所多之数】为二率，金球八为三率，推得四率八十两，即金球八共多之数。又以金球八与银球十二相减，余银球四为一率，共多八十两为二率，银球一为三率，推得四率二十两，即银球一之重数。以十二乗之，得二百四十两，即银球十二之共重数，亦即金球八之共重数。以金球八除之，得三十两，即金球一之重数也。此法盖因移换三而差六十两，即三金球比三银球多三十两，三银球比三金球少三十两，其总差为六十两，故折半为三金球多于三银球之重数也。

三金球多三十两，则八金球共多八十两。夫金球多八十两，银球多四而其重相等，则八十两即四银球之重数。四银球重八十两，则一银球重二十两，而十二银球必重二百四十两，与八金球之重相等，故以八除之，即得金球之重数也。设如甲乙丙三人合本为商，共得利银四百两，乙比甲多分十二两，丙比乙又多分十六两，问各分利银几何？法以共利银四百两，内减乙比甲多十二两，又减丙比甲多二十八两【丙比乙多十六两，则比甲多二十八两】余三百六十两。乃以甲乙丙共三人为一率，三百六十两为二率，甲一人为三率，推得四率一百二十两，即甲应得利银数。加十二两得一百三十二两，为乙应得利银数。又加十六两得一百四十八两，为丙应得利银数也。此法减去乙丙共多于甲之数，所余者即三人均分之数，故以三人与三百六十两之比，即同于甲一人与一百二十两之比也。设如，有银七百四十两，共买马驴一百匹，马八十匹，驴二十匹。其马每匹价比驴每匹价多三两，问马驴每匹价各得几何？法以马驴共一百匹为一率，马每匹多三两，与马八十匹相乗，得二百四十两，于总银内减之，余五百两为二率，驴一匹为三率，推得四率五两，即驴一匹之价，加马每匹多三两，得八两，即马一匹之价，以马价八两乗马八十匹，得马共价六百四十两，以驴价五两乗驴二十匹，得驴共价一百两也。此法盖因马每匹多三两，则马八十匹共多二百四十两，于总银内减去马共多之价，则马价皆同于驴价矣，故以总数一百匹与银五百两之比，即同于驴一匹与银五两之比也。设如，有银二千九百九十六两二钱，买上等田一百六十亩，中等田三百亩，下等田四百六十亩。其上等田比中等田，每亩价多四钱七分；中等田比下等田，每亩价多一两三钱五分。问三等田每亩价银几何？法以上中下三等田数相并得九百二十亩为一率，将中等田三百亩用中等比下等每亩多一两三钱五分乗之，得四百零五两为中等比下等共多之数。又以上等田一百六十亩用上等比下等每亩多一两八钱二分乗之【上等比中等每亩多四钱七分，中等比下等每亩多一两三钱五分，共为一两八钱二分】得二百九十一两二钱为上等比下等共多之数。爰并两数共六百九十六两二钱，与总银二千九百九十六两二钱相减，余二千三百两为二率，下等田一亩为三率，推得四率二两五钱，即下等田每一亩之价。加多一两三钱五分，得三两八钱五分，即中等田每一亩之价。再加多四钱七分，得四两三钱二分，即上等田每一亩之价也。此法盖因中等田比下等田每亩多一两三钱五分，则三百亩共多四百零五两；上等田比下等田毎亩多一两八钱二分，则一百六十亩共多二百九十一两二钱。

于总银内减去两等共多之数，则上等田价、中等田价皆同于下等田价矣。故以三等田共九百二十亩与银二千三百两之比，即同于下等田每一亩与银二两五钱之比也。设如二人行路，疾徐不等，疾行者日行九十五里，徐行者日行七十五里。今令徐行者先行八日，问疾行者追及之日数几何？法以徐行七十五里与疾行九十五里相减，余二十里为一率，一日为二率，徐行七十五里与先行八日相乗，得六百里为三率，推得四率三十日，即追及之日数也。此法盖因徐行者先行八日，以日行七十五里计之，则已多行六百里，今疾行者日行九十五里，则比徐行者每日多行二十里，多二十里为一日追行之数，多六百里则为三十日追行之数，可知矣。设如二人自乡上城，一人步行，一人骑马。使步行者先行三十七里，骑马者追至一百五十四里，尚不及二十三里。问追及之里数几何？法以不及二十三里与先行三十七里相减，余一十四里为一率；追至一百五十四里为二率；不及二十三里为三率，推得四率二百五十三里，即追及之里数也。此法盖因步行者已先行三十七里，今骑马者追之，止不及二十三里，是已追过十四里也。追过十四里必须一百五十四里，今尚不及二十三里，则必须二百五十三里方能追及也。设如一人行路，步行则三十日可到，骑行则二十日可到，今行二十六日到，问步行、骑行日数各几何？法以三十日与二十日相减，余十日为一率，步行三十日为二率，今行二十六日与骑行二十日相较多六日为三率，推得四率十八日为步行之日数，与共二十六日相减，余八日，即骑行之日数也。如以十日为一率，骑行二十日为二率，今行二十六日与步行三十日相较少四日为三率，推得四率八日，即骑行之日数也。此法盖因步行三十日可到，骑行二十日可到，则步行比骑行迟十日，即骑行比步行早十日也。步行比骑行迟十日，而步行为三十日，今步行比骑行迟六日，则步行为十八日可知矣。骑行比步行早十日，而骑行为二十日，今骑行比步行早四日，则骑行为八日可知矣。设如，有上下二等酒。上等酒每斤价银五分，下等酒每斤价银三分。今以二等酒相合一处，共重一百二十斤，每斤价银三分六厘。问二等酒各几何？法以上等酒价银五分内减下等酒价银三分，余二分为一率；二等酒共一百二十斤为二率；二等酒相合毎斤价银三分六厘与下等酒价银三分相较，得多六厘为三率。推得四率三十六斤为上等酒数。于二等酒共一百二十斤内减三十六斤，余八十四斤，即下等酒数也。如以二等酒相合毎斤价银三分六厘与上等酒价银五分相较，得少一分四厘为三率，则得四率八十四斤，即下等酒数也。

此法上等酒价五分，下等酒价三分，是上等比下等多二分，即下等比上等少二分也。若二等酒相合价比下等酒价多二分，则一百二十斤皆上等酒矣。因二等酒相合价比下等价多六厘，故知上等酒有三十六斤也。又二等酒相合价比上等酒价少二分，则一百二十斤皆下等酒矣。因二等酒相合价比上等价少一分四厘，故知下等酒有八十四斤也。设如，有布三百一十疋，每疋长四十尺，但知每疋扣运费二尺，共扣去一十六疋，复找囘钱六百文，问布毎疋价钱几何？法以毎疋扣运费二尺，与总布三百一十疋相乗，得六百二十尺。又以每疋长四十尺，与共扣布一十六疋相乗，得六百四十尺。两数相减，余二十尺为一率，找囘钱六百文为二率，每疋长四十尺为三率，推得四率一千二百文，即每一疋之价也。此法盖以每疋扣运费二尺计之，则总布三百一十疋当扣六百二十尺。今乃抽去十六疋，则扣去六百四十尺，是多扣去二十尺也。多扣去二十尺而找回钱六百文，是六百钱即二十尺之价。二十尺价六百文，则四十尺【一疋之数】价必一千二百文也。设如，有银一千零八两，买线一分，丝二分，绵三分，共重三百六十斤，俱不言价，但知绵二两当线一两之价，线一两当丝一两六钱之价，问三色各重若干，三色每斤价银若干。法以线一分、丝二分、绵三分相并得六分为一率，共重三百六十斤为二率，线一分为三率，推得四率六十斤，即线一分之重数。二因之得一百二十斤，即丝二分之重数。三因之得一百八十斤，即绵三分之重数。既得各色之重数，即以线重六十斤为线之衰分，绵二两当线一两之价，即将绵一百八十斤二归之，得九十斤为绵之衰分。丝一两六钱当线一两之价，即将丝一百二十斤用一六除之，得七十五斤为丝之衰分。并三衰分共二百二十五斤为一率，总银一千零八两为二率，线一斤为三率，推得四率四两四钱八分，即线每斤之价。二归之得二两二钱四分，即绵每斤之价。一六除之得二两八钱，即丝每斤之价也。此法先求各色之重数，以共分与共重数之比，即同于线一分与线重数之比，又以各分数因之，即得各重数也。次求各色之价数，既以线重六十斤为线衰分，则丝价与绵价必俱变为与线相当之数，而后可以为比例。盖绵二两当线一两之价，则绵一百八十斤必当线九十斤之价，故以九十为绵之衰分。丝一两六钱当线一两之价，则丝一百二十斤必当线七十五斤之价，故以七十五为丝之衰分。既得各衰分并之，与总银相比，即同于线每斤与每斤之价相比也。既得线每斤之价，以二除之得绵每斤之价者，绵价居线价二分之一也。既得线每斤之价，又以一六除之得丝每斤之价者，丝价居线价十六分之十也。

设如李、王二人合本生理，不知二人本银之数，但知李本银比王本银多一倍零八两，共得利银二十二两，李分十六两，王分六两，问二人各出本银若干？

法以王利银六两加一倍【因李本银比王本银多一倍故加一倍也】得十二两与李利银十六两相减余四两为一率所零八两为二率王之利银六两为三率推得四率十二两即王之本银数加一倍又加八两共三十二两为李之本银数也盖李之本银比王之本银多一倍又多八两李之利银比王之利银多一倍又多四两是四两即为八两所得之利银数利银四两知本银为八两则王之利银六两即知其本银为十二两也设如买缎一千疋，不言出银之数，但知每疋卖价七两二钱，则比原出银少十分之一，问原出银若干？法以分母十与分子一相减，余九分为一率，以七两二钱与一千疋相乗，得七千二百两为二率，十分为三率，推得四率八千两，即原出银之数也。此法盖因每疋卖价七两二钱比原出银少十分之一，则今卖价止得原出银十分之九，故以九分与今卖价之比，即同于十分与原出银之比也。设如甲、丙、丁三人合本贸易，丙之本银为甲本银五分之四，丁之本银为甲本银三分之二，丙之本银比丁之本银多十两，问三人本银各若干？法以十五分为甲之衰数【两分母相乗之数】取甲五分之四，得十二分为丙之衰数，取甲三分之二，得十分为丁之衰数。乃以丁十分与丙十二分相减，余二分为一率，多十两为二率，甲十五分为三率，推得四率七十五两为甲本银数。如以丙十二分为三率，则得四率六十两为丙本银数；如以丁十分为三率，则得四率五十两为丁本银数。以丁银与丙银相减，余十两，即丙多于丁之数也。设如，有银赏三等人，一等八人，二等六人，三等九人。二等每人所得为一等每人三分之二，三等每人所得为二等每人四分之一。二等比三等共多得三百两，问每等每人各得几何？法以十二分为一等，每人之衰数【两分母相乗之数】取十二分中之三分之二，得八分为二等，每人之衰数，又取八分中之四分之一，得二分为三等，每人之衰数。乃以一等十二分与一等八人相乗，得九十六分为一等八人共衰数；二等八分与二等六人相乗，得四十八分为二等六人共衰数；三等二分与三等九人相乗，得十八分为三等九人共衰数。乃以三等共衰十八分与二等共衰四十八分相减，余三十分为一率，二等比三等共多得三百两为二率，一等每人衰数十二分为三率，推得四率一百二十两为一等每人所得之数。以一等八人乗之，得九百六十两，即一等八人所得之共数。如以二等每人衰数八分为三率，则得四率八十两为二等每人所得之数，以二等六人乗之，得四百八十两，即二等六人所得之共数。如以三等每人衰数二分为三率，则得四率二十两为三等每人所得之数，以三等九人乗之，得一百八十两，即三等九人所得之共数。以二等共得四百八十两与三等共得一百八十两相减，余三百两，即二等共多于三等之银数也。设如，有田一百二十亩。一人一日耕四亩，一人一日种六亩。欲令二人同日完工，问耕者该先起工几何？法以四亩与六亩相乗，得二十四亩，以四亩互乗，一日得四日，以六亩互乗一。日得六日，乃以二十四亩为一率，四日。六日相减，余二日，为二率，一百二十亩。为三率推得四率，十日即是耕者该先。起工十日也。此法盖因四亩与六亩不同故用互乗以齐其分，一得二十四亩。耕六日，一得二十四亩；种四日，欲令同。日完工则耕者当先起工二日，然则田二十四亩，当先起工二日。今田一百二。

十亩则当先起工十日也御制数理精蕴下编卷六<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书