御制数理精蕴下编卷四

御制数理精蕴下编卷四

线部二按分递折比例【二八差分，三七差分，四六差分，递折差分，加倍减半差分】

按分递折比例差分之欵项虽多，而按分递折者皆为相连比例，故约之而归一类。如二八三七四六差分，俱以十分为总率，而按各分以分之者也。如递折差分，亦以十分为率，而按十分之几以递折之者也。如加倍减半差分，则以倍半为率，按一定之分而加减之者也。今细分其目如左。二八差分者，以总物平分，十分一得十分之二，一得十分之八。有三色者，则以二与八与三十二为衰数。葢八与三十二之比，即如二与八之比也。有四色者，则以二与八与三十二与一百二十八为衰数。葢三十二与一百二十八之比，亦如二与八之比也。至于五色以上者，皆以相连比例求各衰数，总不越乎二八之比例，故曰二八差分。三七差分者，以总物平分十分一，得十分之三，一得十分之七。有三色者，则以九与二十一及四十九为【与二以九为第一衰数者，因三与七非彼此度尽之数，七作三分必至竒零不尽，故以三因三得九为三分，则以三因七得二十一为七分。如二十一转为三分，则四十九又为七分矣】衰数葢九十一，即如三与七之比，而二十一与四十九亦如三与七之比也。有四色者，则以二十七与六十三及一百四十七与三百四十三为衰数【以三因九得二十七为三分，故以七因九得六十三为七分。若六十三转为三分，则一百四十七为七分；一百四十七转为三分，则三百四十三又为七分矣】葢二十七与六十三，六十三与一百四十七，一百四十七与三百四十三，皆如三与七之比也。五色以上者，皆以相连比例求各衰数，总不越乎三七之比例，故曰三七差分。四六差分者，以总物平分，十分一得十分之四，一得十分之六。有三色者，则以四与六与九为衰数。葢六与九之比，即如四与六之比也。有四色者，则以四与六与九与一三五为衰数。葢九与一三五之比，亦如四与六之比也。五色以上者，亦以相连比例求各衰数，总不越乎四六之比例，故曰四六差分。递折差分者，十分之中得其几分，即为几折。如得其六分，即为六折；得其四分，即为四折。若夫五折，则为十分之半，故载于倍半法中，而别为一类。加倍差分，其数自少而多，皆以倍而加；减半差分，则数自多而少，皆以半而减。因加减有定分，故立衰有定例。总以加倍减半之数为相连比例，设为借数，以求正数也。

二八差分设如、有银三千两，令二等人户二八纳之，问各该若干。法以二分、八分相并得十分为一率，银三千两为二率，二分为三率，推得四率六百两，为下等人户所纳之数。仍以二分、八分相并之十分为一率，银三千两为二率，以八分为三率，推得四率二千四百两，即为上等人户所纳之数也。此法两用四率者，正为明比例之理。葢二分、八分相并之十分与总银三千之比，即如二分之与六百之比，八分之与二千四百之比也。又捷法以二八所并之十分归除总银三千两，得每分三百两，以二分乘之，得六百，以八分乘之，得二千四百。葢每一分得三百，而二分得六百，八分得二千四百也。又或先得二分所纳之数，于总银内减之，即八分所纳之数，此又正法外之变法也。设如有人一千六百名，二分赏银，八分赏米，问赏银人若干，赏米人若干？法以二分、八分相并得十分为一率，人一千六百名为二率，二分为三率，推得四率三百二十名，为应赏银之人。如以八分为三率，推得四率一千二百八十名，即应赏米之人也。葢二分、八分相并之十分与总人一千六百之比，即如二分之与三百二十名之比，八分之与一千二百八十名之比也。又捷法，以二八所并之十分归除总人数一千六百名，得每分一百六十名。以二分乘之，得赏银人三百二十名；以八分乘之，得赏米人一千二百八十名。葢每一分得一百六十名，而二分得三百二十名，八分得一千二百八十名也。设如，有米五百八十八石，令甲、乙、丙三人，二八分之，问每人应得几何？法以二分为甲衰，八分为乙衰，三十二分为丙衰。相并得四十二分为一率，总米五百八十八石为二率。以甲二分为三率，推得四率二十八石，即甲分米数。以乙八分为三率，得四率一百一十二石，即乙分米数。以丙三十二分为三率，得四率四百四十八石，即丙分米数也。此法用二与八、八与三十二者，即二八相连比例分。葢总分数四十二分与总米五百八十八石之比，即二分与二十八石之比，八分与一百一十二石之比，即三十二分与四百四十八石之比也。又捷法，以总数四十二分归除总米五百八十八石，得每分一十四石。以二分乘之，得甲米二十八石。以八分乘之，得乙米一百一十二石。以三十二分乘之，得丙米四百四十八石也。设如，有铜五百二十斤，錬成精铜。每十分中，去渣二分，余精铜八分。问：精铜与渣各得若干？法以十分为一率，铜五百二十斤为二率，八分为三率，推得四率四百一十六斤，为精铜之数。如以二分为三率，推得四率一百零四斤，即铜渣之数也。葢十分与五百二十斤之比，即如八分之与四百一十六斤之比，二分之与一百零四斤之比也。

又捷法，以十分归除总铜五百二十斤，得每分五十二斤。以八分乘之，得四百一十六斤。以二分乘之，得一百零四斤。葢每一分五十二斤，而二分得一百零四斤，八分得四百一十六斤也。又或先得精铜八分数，减总铜，余即铜渣二分数也。设如有田二千六百三十五亩以麦谷豆、麻四色递次二八分种问各田应得几何？法以二分为麻衰，八分为豆衰，三十二分为谷衰，一百二十八分为麦衰，并之得一百七十分为一率，总田二千六百三十五亩为二率，以麦一百二十八分为三率，得四率一千九百八十四亩，即麦田数。如以谷三十二分为三率，得四率四百九十六亩，即谷田数。如以豆八分或麻二分为三率，所得四率即豆一百二十四亩与麻三十一亩之田数也。又捷法，以总数一百七十分除总田数二千六百三十五亩，得每分一十五亩五分，乃以每色分数乘之，即得每色应种数也。设如，有银三千四百一十两，令五商递次二八分出，问各出几何？法以一商为二分，一商为八分，一商为三十二分，一商为一百二十八分，一商为五百一十二分，并之得六百八十二分为一率，总银三千四百一十两为二率，以五百一十二分为三率，得四率二千五百六十两，即五百一十二分应出之数。如以一百二十八分为三率，得四率六百四十两，即一百二十八分应出之数。如以三十二分为三率，得四率一百六十两，即三十二分应出之数。如以八分或二分为三率，所得四率四十两，即八分应出之数；一十两，即二分应出之数也。又捷法，以总数六百八十二分除总银三千四百一十两，得每分五两；再以每人分数乘之，即得每人应出银数也。设如，有粮二千六百五十五石九斗，令甲、乙、丙、丁、戊五等人户，照二八递减纳之。甲三十户，乙四十户，丙五十户，丁六十户，戊七十户。问：各户所纳几何？各等户共纳几何？法以五百一十二为甲一户分数，再以甲三十户乘之，得一万五千三百六十，为甲三十户共分数。以一百二十八为乙一户分数，再以乙四十户乘之，得五千一百二十，为乙四十户共分数。又以三十二为丙一户分数，再以丙五十户乘之，得一千六百，为丙五十户共分数。又以八为丁一户分数，再以丁六十户乘之，得四百八十，为丁六十户共分数。又以二为戊一户分数，再以戊七十户乘之，得一百四十，为戊七十户共分数。以所得五等共分数并之，得二万二千七百为总分数，为一率。总粮二千六百五十五石九斗为二率，以甲五百一十二分为三率，得甲一户纳五十九石九斗零四合。又以甲三十户乘之，得甲共纳一千七百九十七石一斗二升。以乙一百二十八分为三率，得乙一户纳十四石九斗七升六合。

又以乙四十户乘之，得乙共纳五百九十九石零四升。以丙三十二分为三率，得丙一户纳三石七斗四升四合。又以丙五十户乘之，得丙共纳一百八十七石二斗。以丁八分为三率，得丁一户纳九斗三升六合。又以丁六十户乘之，得丁共纳五十六石一斗六升。以戊二分为三率，得戊一户纳二斗三升四合。又以戊七十户乘之，得戊共纳十六石三斗八升也。又捷法，以总分数除总粮数，得每一分一斗一升七合，以各等一户分数乘之，得各等一户纳粮之数，以各等共户分数乘之，得各等共户纳粮之数。葢前法有各等户，而各等之中又有众户，故以定分数【二八、三十二、一百二十八、五百一十二之数】为各等分数，又以众户乘之为各等共户之分数。此捷法以总分数除总粮，是得各等每一户中之一分，故以每一户分数乘之，得每一户之数，以每一等共分数乘之，得每一等之全数也。

三七差分设如、有银五千两，令东西二县三七支销，问各该几何？法以七分为东县衰数，三分为西县衰数，并之得十分为一率，总银五千两为二率，以七分为三率，得四率三千五百两，即东县应支之数。如以三分为三率，得四率一千五百两，即西县应支之数也。葢三七比例，亦以总衰数与总银数之比，即若每县衰数与每县银数之比，故十分与五千之比，即若三分与一千五百之比，七分与三千五百之比也。又捷法，先以总衰十分除总银五千两，得每分五百两，以七分乘之，即东县之数，以三分乘之，即西县之数，或得东县数于总银内减之余，即西县数也。此法以总衰除总银，得每分五百两，以七乘之，即得七分，以三乘之，即得三分也。前法先乘而后除，后法先除而后乘，其理一也。设如，有田二千五百亩，令上等户七分种之，下等户三分种之，问各该几何？法以七分三分相并得十分为一率，二千五百亩为二率，上户七分为三率，得四率一千七百五十亩，即上户应种田数。如以三分为三率，得四率七百五十亩，即下户应种田数。葢十分与二千五百亩之比，即七分与一千七百五十亩之比，三分与七百五十亩之比也。又捷法，以三七相并之十分归除总田二千五百亩，得每分二百五十亩，以三分乘之得下户七百五十亩，以七分乘之得上户一千七百五十亩。葢一分为二百五十亩，而三分得七百五十亩，七分得一千七百五十亩也。设如以车运物，行十里二十刻，到今已行七里，问尚得几刻到？法以十里为一率，二十刻为二率，以七里与十里相减，余三里为三率，推得四率六刻，即运到刻数也。如以七里为三率，推得四率十四刻，与总二十刻相减，余六刻，亦即运到刻数也。葢十里与二十刻之比，即三里与六刻之比，七里与十四刻之比也。又捷法，以十里归除二十刻，得每里二刻，以三里乘之，得六刻，以七里乘之，得十四刻。葢每一里为二刻，则三里得六刻，七里得十四刻也。设如种树一千一百六十株，按松、柏、桃、栁四色递次三七分种，问各该几何？法以三百四十三分为松衰，一百四十七分为柏衰，六十三分为桃衰，二十七分为栁衰，并之得五百八十分为一率，一千一百六十株为二率，以三百四十三分为三率，得四率六百八十六株，即种松之数；以一百四十七分为三率，得四率二百九十四株，即种柏之数；以六十三分为三率，得四率一百二十六株，即种桃之数；以二十七分为三率，得四率五十四株，即种栁之数也。又捷法，以总衰数五百八十归除总树一千一百六十，得每分二株。以三百四十三分乘之，得种松之数；以一百四十七分乘之，得种柏之数；以六十三分乘之，得种桃之数；以二十七分乘之，得种栁之数也。

此法有四位，故以三因九得二十七为栁衰数；又递用七因三归，为桃柏松之衰数也。设如，有熟丝四百九十七两七钱，按绢、绫、缎递次三七分织，问各该丝几何？法以九分为绢，衰二十一分为绫，衰四十九分为缎，衰并之得七十九分为一率，丝四百九十七两七钱为二率。以缎四十九分为三率，得四率三百零八两七钱，即缎丝数。如以绫二十一分为三率，得四率一百三十二两三钱，即绫丝数。如以绢九分为三率，得四率五十六两七钱，即绢丝数也。又捷法，以总衰数七十九分除总丝四百九十七两七钱，得每分六两三钱。以缎四十九分乘之，得缎丝之数；以绫二十一分乘之，得绫丝之数；以绢九分乘之，得绢丝之数也。此法有三位，故以三因三得九为绢之衰数。又递用七因三归，为绫与缎之衰数。葢九与二十一，二十一与四十九，为相连比例三率，而九与二十一之比，即二十一与四十九之比也。设如编银八百二十八两二钱，令甲、乙、丙、丁、戊五等户三七徴纳，问各户所纳几何？法以八十一分为甲衰，一百八十九分为乙衰，四百四十一分为丙衰，一千零二十九分为丁衰，二千四百零一分为戊衰。并之得四千一百四十一分为一率，总银八百二十八两二钱为二率，以每人分数各为三率，得四率之一十六两二钱，即甲所纳银数；得四率之三十七两八钱，即乙所纳银数；得四率之八十八两二钱，即丙所纳银数；得四率之二百零五两八钱，即丁所纳银数；得四率之四百八十两二钱，即戊所纳银数也。又捷法，以总衰数四千一百四十一分归除总银八百二十八两二钱，得每分二钱。以甲、乙、丙、丁、戊各人分数乘之，即得各人所纳银数也。此法有五位，故以三因二十七得八十一分为甲之衰数。又递用七因三归，即得乙、丙、丁、戊各衰数矣。设如，有田一百三十八亩，每亩徴米二斗，今七分徴米，三分折丝，每米一石折丝一斤，问各该几何？法以七分为米衰，三分为丝衰，并之得十分为一率，又以徴米二斗乘田一百三十八亩，得总米二十七石六斗为二率，以米七分为三率，得四率一十九石三斗二升，即徴米七分之数，与总米相减，余八石二斗八升，为三分折丝之数。按米每石折丝一斤，则以八石二斗八升用十六两乘之，得一百三十二两四钱八分，为八斤四两四钱八分，即折丝三分之数也。此法以徴米二斗乘总田，是得总徴米数，而三七分之也。总米分去七分，即本色米数，余者折为丝，即三分丝数也。折丝之法，每石既为一斤，则八石二斗四升自得八斤四两四钱八分也。又捷法，以总衰十分归除，总米二十七石六斗，得每分二石七斗六升。以米七分乘之，得米数。

以丝三分乘之，得折丝之米数。既得折丝之米数，而丝之斤两亦得矣。

四六差分设如，有金四千两，令上下二等金户六四倾销，问各该几何？法以六分为上等衰数，四分为下等衰数，并之得十分为一率，共金四千两为二率，以六分为三率，得四率二千四百两，即上等金户倾销之数。如以四分为三率，得四率一千六百两，即下等金户倾销之数。此法以四分、六分相并之十分与共金四千两之比，即如六分与二千四百两之比，四分与一千六百两之比也。又捷法，以总衰十分归除，共金四千两，得每分四百两。以六分乘之，得二千四百两，为上等金户倾销之数。以四分乘之，得一千六百两，为下等金户倾销之数。如先得上等六分金数，于共金数内减之，其余即下等四分金数也。设如、有水田三百亩，令上下二户四六分灌，问各灌若干？法以四分、六分相并得十分为一率，三百亩为二率，六分为三率，推得四率一百八十亩，即上户所灌之田。以四分为三率，推得四率一百二十亩，即下户所灌之田也。葢四六相并之十分与三百亩之比，即六分与一百八十亩之比，四分与一百二十亩之比也。又捷法以相并之十分归除总田三百亩，得每分三十亩，以六分乘之，即上户田数，以四分乘之，即下户田数。葢每一分得三十亩，而六分得一百八十亩，四分得一百二十亩也。如或先得六分田数，减总田余，即四分田数也。设如，有丝二百五十斤，换米，每丝一斤换米一石，今已换过六分，尚余丝四分，问已换未换各若干？法以四分、六分相并，得十分为一率，将二百五十斤丝变作二百五十石米为二率【每丝一斤换米一石故也】以六分为三率，推得四率一百五十石为已换之米数，以四分为三率，推得四率一百石为未换之米数。葢四六相并之十分与二百五十石之比，即六分与一百五十石之比，四分与一百石之比也。又捷法，以相并之十分归除总米二百五十石，得每分二十五石，以六分乘之，得已换之一百五十石，以四分乘之，得未换之一百石。葢每一分得二十五石，而四分得一百石，六分得一百五十石也。设如，有丝一千五百五十八斤，令甲、乙、丙三家四六分织，问各该几何？法以四为甲衰数，六为乙衰数，九为丙衰数，并之得十九为一率，总丝一千五百五十八斤为二率，以甲四分为三率，即得甲丝三百二十八斤；以乙六分为三率，即得乙丝四百九十二斤；以丙九分为三率，即得丙丝七百三十八斤。此法以总衰十九分与总丝一千五百五十八斤之比，即甲四分与三百二十八斤之比，乙六分与四百九十二斤之比，丙九分与七百三十八斤之比也。又捷法，以总衰数十九分除总丝一千五百五十八斤，得每分八十二斤，以甲四分乘之，得甲丝三百二十八斤；以乙六分乘之，得乙丝四百九十二斤；以丙九分乘之，得丙丝七百三十八斤也。

设如，有田九百七十五亩，令甲、乙、丙、丁四人四六分种，问每人各得几何？法以四分为甲衰，六分为乙衰，九分为丙衰，一十三分半为丁衰，并之得三十二分半为一率，总田九百七十五亩为二率，以甲四分为三率，即得甲田一百二十亩；以乙六分为三率，即得乙田一百八十亩；以丙九分、丁一十三分半各为三率，即得二百七十亩为丙田，得四百零五亩为丁田也。葢三十二分半与九百七十五亩之比，即甲四分与一百二十亩之比，乙六分与一百八十亩之比，亦即丙九分与二百七十亩之比，丁十三分半与四百零五亩之比也。又捷法，以总衰数三十二分半归除总田九百七十五亩，得每分三十亩，以甲、乙、丙、丁各衰数乘之，即得每人田数也。设如，有粮一千二百六十六石，令甲、乙、丙、丁、戊五舟，按六分、四分递次运载，问各该几何？法以四分为戊衰，六分为丁衰，九分为丙衰，一十三分半为乙衰，二十分二五为甲衰，并之得五十二分七五为一率，总粮一千二百六十六石为二率，以甲二十分二五为三率，得甲运四百八十六石；以乙一十三分半为三率，得乙运三百二十四石；以丙九分为三率，得丙运二百一十六石；以丁六分为三率，得丁运一百四十四石；以戊四分为三率，得戊运九十六石。此法总衰数与总粮之比，即各人分数与各人粮数之比也。葢六与九，九与一三五，一三五与二○二五，皆同为四六之比例也。又捷法，以总衰五十二分七五归除总粮一千二百六十六石，得每分二十四石，以甲、乙、丙、丁、戊各舟衰数乘之，即得各舟运粮之数也。设如，有米三百八十五石五斗二升，令上等人户六分，下等人户四分，交纳。上等二十六户，下等四十户。问各等每户各该几何？法以六为上等衰数，以上户二十六户乘之，得一百五十六，为上等二十六户共衰数。以四为下等衰数，以下户四十乘之，得一百六十，为下等四十户共衰数。并之得三百一十六，为一率。总米三百八十五石五斗二升，为二率。以上等六分为三率，得四率七石三斗二升，为上等一户米数。以上等共分数一百五十六为三率，得一百九十石三斗二升，为上等二十六户共米数。如以下等四分为三率，得四率四石八斗八升，为下等一户米数。以下等共分数一百六十为三率，得一百九十五石二斗，即下等四十户共米数也。又捷法，以总衰三百一十六分归除总米三百八十五石五斗二升，得每分一石二斗二升。以六分乘之，得上等一户米数。以上等共分数乘之，得上等共米数。以四分乘之，得下等一户米数。以下等共分数乘之，得下等共米数也。

递折差分设如，有熟稻七百九十九亩六分八厘，令三人以十分之六收割，问每人得几何？法以一百为第一人分数，六十为第二人分数，三十六为第三人分数。三分数相并得一百九十六分为一率，总稻七百九十九亩六分八厘为二率。第一人分数一百为三率，得四率四百零八亩，即第一人收割田数。如以第二人分数六十为三率，得四率二百四十四亩八分，即第二人收割田数。如以第三人分数三十六为三率，得四率一百四十六亩八分八厘，即第三人收割田数。葢十分之六如彼得十分，此得六分也。第二人得第一人十分之六，第三人又得第二人十分之六，故一百与六十之比，即六十与三十六之比，递次比例皆十分之六也。其得数四百零八亩与二百四十四亩八分之比，即二百四十四亩八分与一百四十六亩八分八厘之比，亦皆为十分之六也。又捷法，以总分一百九十六除总田七百九十九亩六分八厘，得每一分四亩零八厘。以一百分乘之，得第一人四百零八亩。以六十分乘之，得第二人二百四十四亩八分。以三十六分乘之，得第三人一百四十六亩八分八厘也。设如，有银一千二百六十六两五钱，令四商以十分之七递次贩货出卖，问每人该银几何？法以一千为第一人分数，七百为第二人分数，四百九十为第三人分数，三百四十三为第四人分数。相并得二千五百三十三分为一率，总银一千二百六十六两五钱为二率。以一千分为三率，得四率五百两，即第一人银数。以七百分为三率，得四率三百五十两，即第二人银数。以四百九十分为三率，得四率二百四十五两，即第三人银数。以三百四十三分为三率，得四率一百七十一两五钱，即第四人银数。葢十分之七递折而下，第二人得第一人十分之七，则第三人亦得第二人十分之七，而第四人又得第三人之十分之七。其先立衰数一千分、七百分、四百九十分、三百四十三分，皆十与七之比例也。又捷法，以总分二千五百三十三除总银一千二百六十六两五钱，得每一分五钱。以一千分乘之，得第一人五百两；以七百分乘之，得第二人三百五十两；以四百九十分乘之，得第三人二百四十五两；以三百四十三分乘之，得第四人一百七十一两五钱也。设如生铜入炉镕化三次，每一次去渣十分之二，净得上好熟铜二百四十八两，问原铜几何？法即以十分之八为分数【十分之中去渣二分得净铜八分故以十分之八为比例】以八分为一率十分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率三百一十两为第三次入炉铜数。又以八分为一率十分为二率三百一十两为三率得四率三百八十七两五钱为第二次入炉铜数。再以八分为一率十分为二率三百八十七两五钱为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也。

此法因八折三次而转求原数故以八分为一率十分为二率转求三次而始得也。又法以八分自乘再乘得五百一十二分为一率十分自乘再乘得一千分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也。前法以三次三率各求四率故必乘除三次此法则以一率二率俱各自乘再乘止以第三次熟铜数为三率即得第一次生铜数是合三次乘除而为一次乘除也。设如，有丝三百六十九斤，令甲、乙、丙、丁四人照十分之八折分，问各得几何？法以一千为甲分数，八百为乙分数，六百四十为丙分数，五百一十二为丁分数。相并得二千九百五十二分为一率，总丝三百六十九斤为二率，以每人分数各为三率，所得各四率：一百二十五斤为甲数，一百斤为乙数，八十斤为丙数，六十四斤为丁数。葢十分之八递折而下，乙得甲十分之八，丙得乙亦十分之八，而丁得丙亦十分之八。其先立衰数，一千分，八百分，六百四十分，五百一十二分，皆十与八之比例也。如捷法先除后乘，须用通分，不然则斤数有竒零矣。设如，有绢四百七十丈一尺八寸四分，令三等人户照十分之六出之上等户二十五，中等户三十，下等户四十八，问每户该出几何？法以一百为上等分数，用二十五乘之，得二千五百，为上等户共分数。以六十为中等分数，用三十乘之，得一千八百，为中等户共分数。以三十六为下等分数，用四十八乘之，得一千七百二十八，为下等户共分数。并之，共六千零二十八分，为一率。绢四百七十丈一尺八寸四分，为二率。以三等各分数各为三率，所得各四率。上等每户出七丈八尺，中等每户出四丈六尺八寸，下等每户出二丈八尺零八分。又以各等户数乘各等每户绢数，得上等二十五户共出绢一百九十五丈，中等三十户共出绢一百四十丈零四尺，下等四十八户共出绢一百三十四丈七尺八寸四分也。又捷法，以总分数六千零二十八分除总绢四百七十丈一尺八寸四分，得每一分为七寸八分，以各等分数乘之，得各等每一户绢数，再以各等户数乘之，即得各等众户共出绢数也。设如，有官粮一百六十八石四斗八升八合，令四等人户以十分之七，依次递折交纳。一等二十二户，二等三十六户，三等四十二户，四等四十八户。问：每等每户各纳几何？法以一千为一等分数，用二十二户乘之，得二万二千，即一等户共分数。以七百为二等分数，用三十六户乘之，得二万五千二百，即二等户共分数。以四百九十为三等分数，用四十二户乘之，得二万零五百八十，为三等户共分数。以三百四十三为四等分数，用四十八户乘之，得一万六千四百六十四，为四等户共分数。

并之，共八万四千二百四十四分，为一率。总粮一百六十八石四斗八升八合，为二率。以一千分为三率，得四率，一等每户二石，以共户数乘之，得共纳四十四石。以七百分为三率，得四率，二等每户一石四斗，以共户数乘之，得共纳五十石零四斗。以四百九十分为三率，得四率，三等每户九斗八升，以共户数乘之，得共纳四十一石一斗六升。以三百四十三分为三率，得四率，四等每户六斗八升六合，以共户数乘之，得共纳三十二石九斗二升八合也。又捷法，以总分数八万四千二百四十四除总粮一百六十八石四斗八升八合，得每一分为二合，以各等分数乘之，得各等每一户粮数，再以各等户数乘之，即得各等众户共纳粮数也。

加倍减半差分设如一人读书，日加一倍，三日共读三千四百六十五字，问每日所读几何？法以一为第一日分数，二为第二日分数，四为第三日分数，并之得七分为一率，总字三千四百六十五为二率，一分为三率，得四率四百九十五字，即第一日所读之数，倍之得九百九十字，即第二日所读之数，又倍之得一千九百八十字，即第三日所读之数也。葢加倍者，是第二日增于第一日一倍，第三日又增于第二日一倍，倍数多者由此递加，如二与四，四与八，八与十六之类，皆为加一倍之比例也。设如一人织绢，日加一倍，至第四日织成六丈七尺五寸，问每日织几何？法以一为第一日分数，二为第二日分数，四为第三日分数，八为第四日分数，并之得十五分为一率，总绢六丈七尺五寸为二率，一分为三率，得四率四尺五寸，即第一日之数，倍之得九尺为第二日之数，又倍之得一丈八尺为第三日之数，又倍之得三丈六尺为第四日之数，四数相加共得六丈七尺五寸，以合原数也。设如一人借银为商，三次，每次得利银比本银加一倍，每次还人二百两，三次之后本利还尽，问原本银若干？法以一为本，银分数二为第一次，本利共分四为第二次，本利共分八为第三次。本利共分，即以八分为一率，原本银一分为二率。又以一为第三次还银分，二为第二次还银分，四为第一次还银分，并之得七分，与每次还人二百两相乘得一千四百两为三率，得四率一百七十五两，即原本银数也。葢每次得利银比本银加一倍，则原本银为一分，第一次必得二分，第二次必得四分，至第三次必得八分，此以未还人计也。然每次还人二百两，三次之后本利还尽。若第三次不还，则得二百两者一分；第二次不还，则至第三次必得二百两者二分；第一次不还，则至第三次必得二百两者四分【以第一次之一分，第二次加倍得二分，第三次加倍得四分】是第三次应得二百两者七分，而为一千四百两矣。故以八分与一分之比，同于一千四百两与一百七十五两之比也。又法，以二百两用三次还银，共分七乘之，得一千四百两，折半三次，亦得本银之数。葢折半三次，即以八除也。设如一人卖酒，每日比原数加一倍，一日卖一斤，六日卖尽，问原酒若干？法以一为原酒，分数按六日加倍，六次得六十四分为一率，原酒一分为二率。又以一为第六次卖酒，分二为第五次卖酒，分四为第四次卖酒，分八为第三次卖酒，分十六为第二次卖酒，分三十二为第一次卖酒，分并之得六十三分，与每斤十六两相乘，得一千零八两为三率，得四率十五两七钱五分，即原酒数也。又法，以每斤十六两，用六次卖酒，共分六十三，乘之得一千零八两，折半六次，亦得原酒之数。葢折半六次，即以六十四除也。设如，有田一千二百亩，分与甲、乙、丙、丁四人种之，自上以下，递减一半，问各该若干？法以八为甲，分四为乙，分二为丙，分一为丁，分并之得十五分，为一率；田一千二百亩，为二率；以甲八分为三率，得四率六百四十亩，即甲田数。以乙四分为三率，得四率三百二十亩，即乙田数。以丙二分为三率，得四率一百六十亩，即丙田数。以丁一分为三率，得四率八十亩，即丁田数。如以甲田六百四十亩折半，即乙田数；以乙田三百二十亩折半，即丙田数；以丙田一百六十亩折半，即丁田数也。设如，有银一万八千零八十八两，令甲、乙、丙三人减半分之，问各该几何？法以四为甲分数，二为乙分数，一为丙分数，并之得七分为一率，总银一万八千零八十八两为二率，以甲四分为三率，得四率一万零三百三十六两，即甲所得银数。以乙二分为三率，得四率五千一百六十八两，即乙所得银数。以丙一分为三率，得四率二千五百八十四两，即丙所得银数也。葢减半者，即自上而下折半减之也。如四折半为二，二折半为一，是也。今以甲银一万零三百三十六两折半，即得乙银五千一百六十八两，将乙银再折半，即得丙银二千五百八十四两也。设如，有银三千一百六十两，分与三等人。第一等人二十名，第二等人二十四名，第三等人三十名。第二等比一等之银减一倍，第三等比二等之银减一倍。问：各等每人分银几何？法以四为一等分数，二为二等分数，一为三等分数。以一分乘三等三十名，仍得三十分；以二分乘二等二十四名，得四十八分；以四分乘一等二十名，得八十分。三数相并，共得一百五十八分为一率，总银三千一百六十两为二率，四分为三率，得四率八十两为第一等每人所得银数。减半得四十两为二等每人所得银数，又减半得二十两为三等每人所得银数。以各等人数乘各等每人所得银数，即各等共人所得共银数，并之以合原银数也。

御制数理精蕴下编卷四<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书