御制数理精蕴下编卷三十一

御制数理精蕴下编卷三十一

末部一借根方比例【定位法，加法，减法，乘法，除法】

借根方比例借根方者，假借根数、方数，以求实数之法也。凡法必借根、借方，加减乘除，令与未知之数比例齐等，而本数以出。大意与借衰叠借略同，然借衰叠借之法，止可以御本部，而此法则线、面、体诸部皆可御之。其中有借根、借方之不同，葢因根者，方之边数，即所谓线；以根自乘，得平方；以根自乘再乘，得立方；以根累次乘，即得累次多乘方。故以线类爲问者，则借根数以比之；以面类爲问者，则借平方、长方以比之；以体类爲问者，则借立方或累次多乘方以比之。至于借数，又有一定之位与降位之法【定位、降位法俱详后】要之，此法设立虚数，依所问之比例乘除加减，务令根方之数与眞数相当适等，而所求之数以出。此亦借数之巧也。

定位法众数之经纬，尽归乘除；而乘除之条理，又取准于定位。况借数一法，又用根、方诸名，一经乘除，俱变爲几根、几方之号，而本数之比例由此而生。其定位与常法稍异，故变从简易，设表如左。

右表前行所列者，借数之名；后行所列者，定数之位。其借数者，即比例也。根与方数俱爲相连比例率。如根爲二，则平方爲四，立方爲八。以立方与平方之比，同于平方与根数之比，即爲八与四之比，同于四与二之比也。然必借方借根者，何也？葢以巳知未知之数，权约爲几根几方，以统御之，加减后余几根几方，即知眞数若干矣【如根爲二数，其平方即爲四，若余二平方，即知其真数有八；或余二根，即知其真数有四也】其定位者，即视根方所对之位也。乘法定位，以两数所对之位数相加，其加数所对之方，即乘出之方也。除法定位，以两数所对之位数相减，其减余数所对之方，即除出之方也【乘法以眞数乘根，仍得根，葢根对一，而眞数对○，无可加也。如以根乘根，即得平方，葢根对一，一与一相加得二，二所对之表爲平方，故定乘得之数爲平方也。如以根乘平方，即得立方，葢根对一，平方对二，一二相加得三，而三所对之表爲立方，故定乘得之数爲立方也。又如以平方乘平方，则二与二相加爲四，查所对之表得三乘方；以平方乘立方，则二与三相加爲五，查所对之表得四乘方；以立方乘立方，则三与三相加爲六，查所对之表得五乘方，余皆仿此。除法以真数除根，仍得根，葢根对一，而真数对○，无可减也。如以根除根，即得真数，葢根对一，一与一相减得○，而○所对之表爲眞数，故定除得之数爲真数也。如以根除平方，即得根，葢根对一，平方对二，一二相减余一，而一所对之表爲根，故定除得之数爲根数也。又如以平方除平方，则二与二减尽爲○，查所对之表得真数；以平方除立方，则二与三相减余一，查所对之表得根数；以立方除立方，则三与三相减得○，查所对之表亦得真数也，余皆仿此】

定多少与相同号式凡数有多者，用此号。一如一平方多二根，则如此列之。凡数有少者，用此号。一如一立方少二平方，则如此列之。凡数有相等者，用此号。一如二立方与十六相等，则如此列之。至于数之多少，不齐用号各异，加减乘除之后，有不变者，有以多变少，以少变多者，俱详于本法。

加法凡多与多加，得数仍爲多；少与少加，得数仍爲少。多与少加，少与多加，则反相减爲所得数。而多数大，则得数亦爲多；少数大，则得数亦爲少。其故何也？葢因多数大，少数小，以其所多补其所少，而其所多者尚有余也；少数大，多数小，以其所多补其所少，而其所少者仍不足也。多少之号定，而加法不淆矣。设如，有三平方多四根，与二平方多三根相加，问得几何？法以三平方与二平方相加得五平方，四根与三根相加得七根，是爲五平方多七根，即所求之数也。此多与多加得数，仍爲多也。如以数明之，以根爲二，则一平方爲四，上数三平方得十二，多四根得多八，是十二多八，共二十；下数二平方得八，多三根得多六，是八多六，共十四。上十二与下八相加得二十，即五平方之数；上多八与下多六相加得十四，即多七根之数。葢上数共二十，下数共十四，两数相加得三十四，即二十多十四也。设如有四立方少一平方与三立方少二平方相加，问得几何？法以四立方与三立方相加得七立方，一平方与二平方相加得三平方，是爲七立方少三平方，即所求之数也。此少与少加得数仍爲少也。如以数明之，以平方爲九，则一立方爲二十七。上数四立方得一百零八，少一平方得少九，是一百零八少九爲九十九。下数三立方得八十一，少二平方得少十八，是八十一少十八爲六十三。上一百零八与下八十一相加得一百八十九，即七立方之数。上少九与下少十八相加得二十七，即少三平方之数。葢上数九十九，下数六十三，两数相加得一百六十二，即一百八十九少二十七也。设如，有四平方多四根，与二平方少三根，相加，问得几何？法以四平方与二平方相加得六平方，四根与三根相加应得七根，今多少两数不同，故于多四根内反减去少三根，余一根，因多数大，故得数爲多，是爲六平方多一根，即所求之数也。此多少两数不同相加，所多数大，以其所多补足所少，而所多仍有余，葢以上数多四根补足下数少三根，仍多一根也。如以数明之，以根爲二，则一平方爲四，上数四平方得十六，多四根得多八，是十六多八共二十四；下数二平方得八，少三根得少六，是八少六爲二。上十六与下八相加得二十四，即六平方之数；上多八补足下少六，仍余二，即多一根之数。葢上数二十四，下数二，两数相加得二十六，即二十四多二也。设如，有二立方少三平方，与一立方多二平方相加，问得几何？法以二立方与一立方相加得三立方，三平方与二平方相加应得五平方。今多少两数不同，故于少三平方内反减去多二平方，余一平方。因少数大，故得数爲少，是爲三立方少一平方，即所求之数也。

此多少两数不同相加，所少数大，以其所多补其所少，而所少仍不足。葢于上数少三平方内增入下数多二平方，仍少一平方也。如以数明之，以平方爲九，则一立方爲二十七。上数二立方得五十四，少三平方得少二十七，是五十四少二十七爲二十七。下数一立方得二十七，多二平方得多十八，是二十七多十八共四十五。上五十四与下二十七相加得八十一，即三立方之数。上少二十七内增入下多十八，仍少九，即少一平方之数。葢上数二十七，下数四十五，两数相加得七十二，即八十一少九也。设如，有二立方多三平方少四根，与一立方多二平方少三根相加，问得几何？法以二立方与一立方相加得三立方，三平方与二平方相加得五平方，四根与三根相加得七根，是爲三立方多五平方少七根，即所求之数也。此三位相加多少各自相同，故多与多加仍爲多少与少加仍爲少也。如以数明之，以根爲二，则一平方爲四，一立方爲八，上数二立方得十六，多三平方得多十二，少四根得少八，是十六多十二又少八爲二十。下数一立方得八，多二平方得多八，少三根得少六，是八多八又少六爲十。上十六与下八相加得二十四，即三立方之数；上多十二与下多八相加得二十，即多五平方之数；上少八与下少六相加得十四，即少七根之数。葢上数二十，下数十，两数相加得三十，即二十四多二十又少十四也。设如，有四立方多三平方少二根多五眞数，与五立方少一平方多三根少二眞数相加，问得几何？法以四立方与五立方相加，得九立方；多三平方与少一平方相减，余二平方，多数大故爲多；少二根与多三根相减，余一根，多数大故爲多；多五眞数与少二眞数相减，余三眞数，多数大故爲多。是爲九立方多二平方多一根多三眞数，即所求之数也。此四位相加，而多少各自不同，须各以所多补足所少，故相减所余爲所得数也。如以数明之，以根爲二，则一平方爲四，一立方爲八。上数四立方得三十二，多三平方得多十二，少二根得少四，又多眞数五，是三十二多十二少四又多五爲四十五；下数五立方得四十，少一平方得少四，多三根得多六，又少眞数二，是四十少四多六又少二爲四十。上三十二与下四十相加得七十二，即九立方之数；上多十二补足下少四，仍余八，即多二平方之数；上少四增入下多六，反多二，即多一根之数；上多五补足下少二，仍余三，即多三眞数。葢上数四十五，下数四十，两数相加得八十五，即七十二多八又多二又多三也。设如有一立方多三根与一平方少一根相加，问得几何？法以一立方与一平方相加，得一立方多一平方多三根与少一根相减，余二根多数大故爲多，是爲一立方多一平方多二根，即所求之数也。

此相加两数位分不同，须各按位列号补足位分，始不相淆。今上层无平方位，而下层却有平方位，故上层列一空平方位以补之，凡法皆当如此也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九，一立方爲二十七。上数一立方得二十七，多三根得多九，是二十七多九，共三十六。下数一平方得九，少一根得少三，是九少三爲六。上二十七与下无可加，仍得二十七，即一立方之数。下九与上空位亦无可加，仍得九，即一平方之数。上多九补足，下少三仍余六，即多二根之数。葢上数三十六，下数六，两数相加得四十二，即二十七多九又多六也。

减法凡多与多，减原数大于减数，则减余仍爲多少；与少减，原数大于减数，则减余仍爲少。若多与多减，减数大于原数，则反减而减余即变爲少。葢减数之所多，既大于原数之所多，则原数之所多内减尽与原数之所多相等之数，仍须于原数之整分内多减去所大之几何，则所余之整分内即少几何矣。若少与少减，减数大于原数，则反减而减余即变爲多。葢减数之所少，既大于原数之所少，则原数之所少内减尽与原数之所少相等之数，仍须于原数之整分内少减所大之几何，故所余之整分内即多几何矣。至于多与少减，少与多减，则反相加爲减余数，而原数多则减余仍爲多，原数少则减余仍爲少。其故何也？葢因原数多，减数少，则原数已多在彼，而减数又少于此，是所余益多也；原数少，减数多，则原数已少在彼，而减数又多于此，是所余益少也。多少之号明，而减法不淆矣。设如有四平方多五根内减二平方多二根问所余几何法以四平方减二平方，余二平方，五根减二根，余三根，是爲二平方多三根，即所求之数也。此多与多减，原数大于减数，故减余仍爲多也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九，上数四平方得三十六，多五根得多十五，是三十六多十五，共五十一下数二平方得十八，多二根得多六，是十八多六，共二十四，上三十六内减下十八，余十八，即二平方之数，上十五内减下六，余九，即三根之数，葢上数共五十一下数共二十四，两数相减，余二十七，即十八多九也。设如有四立方少三平方内减三立方少二平方，问所余几何？法以四立方减三立方，余一立方。三平方减二平方，余一平方。是爲一立方少一平方，即所求之数也。此少与少减，原数大于减数，故减余仍爲少也。如以数明之，以平方爲九，则一立方爲二十七。上数四立方得一百零八，少三平方得少二十七，是一百零八少二十七爲八十一。下数三立方得八十一，少二平方得少十八，是八十一少十八爲六十三。上一百零八内减下八十一，余二十七，即一立方之数。上二十七内减下十八，余九，即少一平方之数。葢上数八十一，下数六十三，两数相减余十八，即二十七少九也。设如，有七平方多三根，内减四平方多五根，问所余几何？法以七平方减四平方，余三平方。三根内不能减五根，乃于下数多五根内反减上数多三根，余二根，即变爲少，是爲三平方少二根，即所求之数也。此多与多减，减数大于原数，故反减而减余，即变爲少。葢原数多三根，减数多五根，是减数比原数大二根。如于原数三根内减去减数三根，则减数仍余二根，此二根必须于原数平方内减之。

原数既多减二根，则余数即少二根也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九。上数七平方得六十三，多三根得多九，是六十三多九，共七十二。下数四平方得三十六，多五根得多十五，是三十六多十五，共五十一。上六十三内减下三十六，余二十七，即三平方之数。下十五内反减上九，余六，即少二根之数。葢上数共七十二，下数共五十一，两数相减余二十一，即二十七少六也。设如有六平方少三根内减二平方少四根问所余几何法以六平方减二平方，余四平方。三根内不能减四根，乃于下数少四根内反减上数少三根，余一根，即变爲多，是爲四平方多一根，即所求之数也。此少与少减，减数大于原数，故反减而减余，即变爲多。葢原数少三根，减数少四根，是减数比原数大一根。如于原数三根内减去减数三根，则减数仍余一根。此一根系原数平方内所少减之一根，原数既少减一根，则余数即多一根也。如以数明之，以根爲四，则一平方爲十六。上数六平方得九十六，少三根得少十二，是九十六少十二爲八十四。下数二平方得三十二，少四根得少十六，是三十二少十六爲十六。上九十六内减下三十二，余六十四，即四平方之数。下十六反减上十二，余四，即多一根之数。葢上数八十四，下数十六，两数相减余六十八，即六十四多四也。设如，有三平方多四根，内减二平方少一根，问所余几何？法以三平方减二平方，余一平方四根减一根，应余三根。今多少两数不同，故反相加得五根。因原数多，故得数仍爲多，是爲一平方多五根，即所求之数也。此多少两数不同，相减原数多，减数少，原数已多而减数又少，则所余者愈多。葢原数多四根，减数少一根，是原数比减数已多五根，故减余即爲多五根也。如以数明之，以根爲四，则一平方爲十六。上数三平方得四十八，多四根得多十六，是四十八多十六共六十四。下数二平方得三十二，少一根得少四，是三十二少四爲二十八。上四十八内减下三十二，余十六，即一平方之数。上多十六加下少四得二十，即多五根之数。葢上数六十四，下数二十八，两数相减余三十六，即十六多二十也。设如有五平方少二根内减三平方多三根问所余几何法以五平方减三平方，余二平方。二根不能减三根，且多少两数不同，故反相加得五根。因原数少，故得数仍爲少，是爲二平方少五根，即所求之数也。此多少两数不同，相减原数少，减数多，原数已少，减数又多，则所余者愈少。葢原数少二根，减数多三根，是原数比减数已少五根，故减余即爲少五根也。如以数明之，以根爲五，则一平方爲二十五。上数五平方得一百二十五，少二根得少十，是一百二十五少十爲一百一十五。

下数三平方得七十五，多三根得多十五，是七十五多十五共九十。上一百二十五内减下七十五，余五十，即二平方之数。上少十加下多十五，得二十五，即少五根之数。葢上数一百一十五，下数九十，两数相减余二十五，即五十少二十五也。设如，有四立方多六平方，内减二立方多三平方多三根，问所余几何？法以四立方减二立方，余二立方六平方减三平方，再减三根，余三平方少三根，是爲二立方多三平方少三根，即所求之数也。此相减两数位分不同，须各按位列号补足位分，始不相淆。今上层无根位，而下层却有根位，故上层作一空根位以补之，是原根位无数，而减数多三根，故所余即少三根也。如以数明之，以根爲二，则一平方爲四，一立方爲八。上数四立方得三十二，多六平方得多二十四，是三十二多二十四，共五十六。下数二立方得十六，多三平方得多十二，多三根得多六，是十六多十二又多六爲三十四。上三十二内减下十六，余十六，即二立方之数。上二十四内减下十二，余十二，即三平方之数。下六无可减，仍爲六，即少三根之数。葢上数五十六，下数三十四，两数相减余二十二，即十六多十二又少六也。设如，有五立方多四平方多三根少八眞数，内减四立方多二平方多二根少九眞数，问所余几何？法以五立方减四立方，余一立方；四平方减二平方，余二平方；多与多减，原数大故爲多；多三根减二根，余一根；多与多减，原数大故爲多；八眞数不能减九眞数，乃于下数少九内反减上数少八，余一，即变爲多，是爲一立方多二平方多一根多一眞数，即所求之数也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九，一立方爲二十七；上数五立方得一百三十五，多四平方得多三十六，多三根得多九，又少眞数八，是一百三十五多三十六又多九又少八爲一百七十二；下数四立方得一百零八，多二平方得多十八，多二根得多六，又少眞数九，是一百零八多十八又多六又少九爲一百二十三；上一百三十五内减下一百零八，余二十七，即一立方之数；上三十六内减下十八，余十八，即多二平方之数；上九内减下六，余三，即多一根之数；下九反减上八，余一，即多一眞数。葢上数一百七十二，下数一百二十三，两数相减余四十九，即二十七多十八又多三又多一也。设如，有二立方多三根，内减一平方少一根，问所余几何？法以二立方减一平方，余二立方少一平方三根减一根，应余二根。今多少两数不同，故反相加得四根。因原数多，故得数仍爲多，是爲二立方少一平方多四根，即所求之数也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九，一立方爲二十七。

上数二立方得五十四，多三根得多九，是五十四多九共六十三。下数一平方得九，少一根得少三，是九少三爲六。上五十四无可减，仍爲五十四，即二立方之数。下九无可减，仍爲九，即少一平方之数。上多九与下少三相加得十二，即多四根之数。葢上数六十三，下数六，两数相减余五十七，即五十四少九又多十二也。

乘法凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘与常法同其书乘出之数以类相从【如乘出之数爲根俱书于根之下乘出之数爲平方俱书于平方之下皆依定位表例】其定多少之号则临期互有转移葢法实俱止一位者其乘出之数爲多不必言矣法实不止一位俱系多者【如几平方多几根或几根多几眞数又或几平方多几根又多几眞数之类】其乘出之数亦俱爲多葢以多乘多则多者益多也法实两数俱系少者其爲首一位已系整数爲多【如几平方少几根或几根少几眞数或几平方少几根又少几眞数之类】故乘出之数则有多少之分如爲首一位相乘系多与多乘其乘出之数爲多而次位爲少者与首位乘是爲少与多乘或首位与次位爲少者乘是爲多与少乘则其乘出之数俱爲少葢少与多乘多与少乘则少者益少而得数固少也【如防平方少几根与几眞数相乘以眞数乘平方即爲多与多乘以眞数乘根即爲多与少乘也】至于少与少乘其乘出之数反变爲多【如几立方少几平方与几根少几眞数相乘以眞数乘平方即爲少与少乘也】其故何也葢法实首位爲多次位以后爲少则乘出之数首位内少次位之数必多末位之数须于乘出首位数中减去次位之数加入末位之数始与实数相合【除首位上下两整数相乘以后次位皆系少与少乘爲多而次位对首位乘必爲少与多乘或多与少乘则此两数俱爲少合之爲首位数内少次位之数而多末位之数葢因次位所少数内有两分末位之数首位数内减去次位之全数即如多减去一末位之数倘能于次位数中先减去末位数然后再于首位数中减之始与实数相合今次位数中既不能先减去末位数故转于首位数中减去次位数，反加入一末位数也】所谓减者，即少数；所谓加者，即多数。多少之分既定，则依加法相加，即爲所得之数也。设如，有三根多二眞数，以三眞数乘之，问得几何？法以三眞数乘二眞数，得多六眞数【以多与多乘，故爲多也。又几以眞数乘根方之数，其位皆不变，如以眞数乘眞数，仍得眞数，以眞数乘根，仍得根。葢定位表中眞数之位爲○，于根方之位无所加也】以三眞数乘三根，得多九根，是爲九根多六眞数，即所求之数也。如以数明之，以根爲四，则上数三根得十二，多二眞数共得十四，以下眞数三乘之，所得三十六，即九根之数，所得多六，即多六眞数。葢以下数三与上数十四相乘，得四十二，即三十六多六也。设如，有四根多二眞数，以二根多三眞数乘之，问得几何？法以多三眞数乘多二眞数得多六眞数，以多三眞数乘四根得多十二根，又以二根乘多二眞数得多四根，以二根乘四根得八平方【以根与根乘即得平方，葢根所对之位爲一，以一加一爲二，即平方所对之位，故得数定爲平方】相加得八平方多一十六根又多六眞数，即所求之数也。

如图，甲乙爲四根，乙丙爲多二眞数，甲丁爲二根，丁戊爲多三眞数，以甲丙四根多二眞数与甲戊二根多三眞数相乘，成甲戊己丙长方形，其甲丁庚乙长方形即八平方，其乙庚辛丙与丁戊壬庚二长方形即所多十六根，其庚壬己辛长方形即所多六眞数也。如以数明之，以根爲四，则一平方爲十六，上数四根得十六，多二眞数共得十八，下数二根得八，多三真数共得十一，相乘所得一百二十八，即八平方之数，所得多六十四，即多十六根之数，所得多六，即多六眞数，葢以下数十一与上数十八相乘得一百九十八，即一百二十八多六十四又多六也。设如，有二平方多三根，以二根多四眞数乘之，问得几何？法因上层无眞数位，故列一空位以补之。以多四眞数乘空眞数，仍爲空。以多四眞数乘多三根，得多十二根。以多四眞数乘二平方，得多八平方。以二根乘空眞数，仍爲空。以二根乘多三根，得多六平方。以二根乘二平方，得四立方【以根乘平方即得立方，葢根所对之位爲一，平方所对之位爲二，以一加二得三，即立方所对之位也】相加得四立方多十四平方又多十二根，即所求之数也。此相乘两数位分不同，须各按位列号补足位分，始不相淆。凡法皆当如此。如图，甲乙丙丁爲二平方，丁丙戊己爲多三根，庚辛爲二根，戊庚爲多四眞数。以甲乙戊己二平方多三根与戊辛二根多四眞数相乘，成乙己辛癸扁方体。其丙己庚子十二根，即四真数乘三根之数。其甲乙丙丁子丑八平方，即四眞数乘二平方之数。其子寅庚辛壬卯六平方，即二根乘三根之数。其丑子卯癸四立方，即二根乘二平方之数也。如以数明之，以根爲五，则一平方爲二十五，一立方爲一百二十五。上数二平方得五十，多三根得多十五，共得六十五。下数二根得一十，多四眞数共得十四。相乘所得五百，即四立方之数。所得多三百五十，即多十四平方之数。所得多六十，即多十二根之数。葢以下数十四与上数六十五相乘得九百一十，即五百多三百五十又多六十也。设如，有二根少四眞数，以一根多三眞数乘之，问得几何？法以多三眞数乘少四眞数得少十二眞数【多与少乘故爲少】以多三眞数乘二根得多六根【凡爲首一位皆爲多而数前无号者亦即爲多，今以多三眞数与多二根相乘故其得数仍爲多】又以一根乘少四眞数得少四根【以多与少乘故爲少】以一根乘二根得二平方，相加得二平方多二根少十二眞数，即所求之数也。如图，甲乙爲二根，丙乙爲少四眞数，甲丁爲一根，丁戊爲多三真数。以甲乙二根少四眞数与甲戊一根多三眞数相乘，成甲戊己乙长方形，其庚壬己辛长方形即多三眞数乘少四眞数之十二眞数，丁戊己辛长方形即多三眞数乘二根之六根，丙庚辛乙长方形即一根乘少四眞数之四根，甲丁辛乙长方形即一根乘二根之二平方，合之爲甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根，又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二眞数。

今以丁戊己辛之多六根少十二眞数补丙庚辛乙之少四根，仍多二根而少十二眞数也。如以数明之，以根爲六，则一平方爲三十六，上数二根得十二，少四眞数则余八，下数一根得六，多三眞数共得九，相乘所得七十二，即二平方之数，所得多十二即多二根之数，所得少十二即少十二眞数之数。葢以下数九与上数八相乘得七十二，即七十二多十二又少十二也。设如有一根少一眞数，以一根少二眞数乘之，问得几何？法以少二眞数乘少一眞数得多二眞数【少与少乘故爲多】以少二眞数乘一根得少二根【一根爲首且无号故爲多，今以少二眞数与多一根相乘故其得数亦爲少也】又以一根乘少一眞数得少一根【多与少乘故爲少】以一根乘一根得一平方，相加得一平方少三根多二眞数，即所求之数也。如图，甲乙爲一根，丙乙爲少一眞数，甲丁亦爲一根，戊丁爲少二眞数。以甲乙一根少一眞数与甲丁一根少二眞数相乘，成甲乙己丁正方形。其庚壬己辛小长方形，即少二眞数乘少一眞数之二眞数；其戊壬己丁，即二眞数乘一根之二根；其丙乙己辛，即一根乘少一眞数之一根；其甲乙己丁爲一根乘一根之一平方。合之爲甲乙己丁一平方，而少丙乙己辛之一根，又少戊壬己丁之二根，而多庚壬己辛之二眞数，实得甲丙庚戊之一长方形。葢甲乙己丁之一正方内减戊壬己丁之二根，又减丙乙己辛之一根，是重减去庚壬己辛之二眞数，则甲丙庚戊长方内必缺二眞数。故将少二眞数乘少一眞数所得之二眞数，即预定爲多号以补重减之分，然后得甲丙庚戊之一长方爲所得之实数。也是则少与少乘之爲多者，非于整数之外有盈分而爲多，实因所少之数有过分而爲多也。如以数明之，以根爲六，则一平方爲三十六，上数一根爲六，少一眞数则余五，下数一根爲六，少二眞数则余四。相乘所得三十六，即一平方之数，所得少十八，即少三根之数，所得多二，即多二眞数之数。葢以下数四与上数五相乘得二十，即三十六少十八多二也。设如，有二立方少二平方少一根，以二平方少二根乘之，问得几何？法因上下两层皆无眞数位，故各列一空位以补之。以空眞数乘上层各位，仍得各空位。以少二根乘空眞数，仍得空根。以少二根乘少一根，得多二平方。以少二根乘少二平方，得多四立方。以少二根乘二立方，得少四三乘方。又以二平方乘空眞数，仍得空平方。以二平方乘少一根，得少二立方。以二平方乘少二平方，得少四三乘方。以二平方乘二立方，得四四乘方。相加共得四四乘方，少八三乘方，多二立方，又多二平方，即所求之数也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九，一立方爲二十七，一三乘方爲八十一，一四乘方爲二百四十三。

上数二立方得五十四，少二平方得少十八，少一根得少三，是五十四少十八又少三爲三十三。下数二平方得十八，少二根得少六，是十八少六爲十二。相乘所得九百七十二，即四四乘方之数，所得少六百四十八，即少八三乘方之数，所得多五十四，即多二立方之数，所得多十八，即多二平方之数。葢以下数十二与上数三十三相乘得三百九十六，即九百七十二内少六百四十八又多五十四复多十八也。设如，有三平方少二根多二眞数，与一平方多二根少三眞数相乘，问得几何？法以少三眞数乘多二眞数得少六眞数，以少三眞数乘少二根得多六根，以少三眞数乘三平方得少九平方。又以多二根乘多二眞数得多四根，以多二根乘少二根得少四平方，以多二根乘三平方得多六立方。又以一平方乘多二眞数得多二平方，以一平方乘少二根得少二立方，以一平方乘三平方得三三乘方。相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六眞数，即所求之数也。如以数明之，以根爲四，则一平方爲十六，一立方爲六十四，一三乘方爲二百五十六。上数三平方得四十八，少二根得少八，多二眞数共得四十二。下数一平方得十六，多二根得多八，少三眞数共得二十一。相乘所得七百六十八，即三三乘方之数。所得多二百五十六，即多四立方之数。所得少一百七十六，即少十一平方之数。所得多四十，即多十根之数。所得少六，即少六眞数之数。葢以下数二十一与上数四十二相乘得八百八十二，即七百六十八多二百五十六又少一百七十六，仍多四十复少六也。

除法凡除法，按位列数，必以眞数爲单位。法尾未至眞数者，须补○以存其位【如法尾爲根，则补一○以存眞数位；法尾爲平方，则补二○以存眞数位；法尾爲立方，则补三○以存眞数位】将得数首位纪于眞数之上【如眞数之位爲○者，则纪于○位之上】眞数所对实中之位，即得数首位之数【如眞数对实中根位，即定得数首位爲根；如眞数对实中平方位，即定得数首位爲平方；如眞数对实中立方位，即定得数首位爲立方；余俱仿此】其归除递减，皆与常法同。至于定号，亦与乘法同，俱详设如于左。设如，有十二立方多九平方多六根，以三眞数除之，问得几何？法以三眞数除十二立方得四立方，以四立方乘三眞数得十二立方，与实相减恰尽，余多九平方，多六根。复以三眞数除多九平方，得多三平方，以多三平方乘三眞数，得多九平方，与实相减恰尽，余多六根。又以三眞数除多六根，得多二根，以多二根乘三眞数，得多六根，与实相减恰尽无余。是爲四立方多三平方多二根，即所求之数也。此法葢因眞数除立方多平方与多根，故得数之位仍从实数之位，且眞数之位下对实中立方之位，故定得数首位亦爲立方。又因实数皆爲多，故得数亦皆爲多也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九，一立方爲二十七。实数十二立方得三百二十四，多九平方得多八十一，多六根得多十八。是三百二十四多八十一又多十八，共爲四百二十三。以眞数三除之，所得一百零八，即四立方之数，所得多二十七，即多三平方之数，所得多六，即多二根之数。葢以四百二十三以三除之，得一百四十一，即一百零八多二十七又多六也。设如，有十二立方多八平方多六根，以二根除之，问得几何？法因法尾未至眞数位，故设一空眞数位以补之。以二根除十二立方得六平方，以六平方乘二根得十二立方，与实相减恰尽，余多八平方，多六根。复以二根除多八平方，得多四根，以多四根乘二根，得多八平方，与实相减恰尽，余多六根。复以二根除多六根，得多三眞数，以多三眞数乘二根，得多六根，与实相减恰尽无余。是爲六平方多四根多三眞数，即所求之数也。此法葢因根数除立方多平方与多根，故根除立方得平方，根除多平方得多根，根除多根而得多眞数。且眞数之位下对实中平方之位，故定得数首位亦爲平方。又因实数皆爲多，故得数亦皆爲多也。如以数明之，以根爲二，则一平方爲四，一立方爲八，实数十二立方得九十六，多八平方得多三十二，多六根得多十二，是九十六多三十二又多十二，共爲一百四十。法数二根爲四，除之所得二十四，即六平方之数，所得多八即多四根之数，所得多三即多三眞数之数。

葢一百四十以四除之得三十五，即二十四多八又多三也。设如，有四三乘方，多八立方，又多八平方，以四平方除之，问得几何？法以四平方除四三乘方，得一平方。以一平方乘四平方，得四三乘方，与实相减，恰尽，余多八立方，多八平方。复以四平方除多八立方，得多二根。以多二根乘四平方，得多八立方，与实相减，恰尽，余多八平方。又以四平方除多八平方，得多二眞数。以多二眞数乘四平方，得多八平方，与实相减，恰尽无余。是爲一平方，多二根，又多二眞数，即所求之数也。此法葢因平方除三乘方，多立方与多平方，故平方除三乘方得平方，平方除多立方得多根，平方除多平方得多眞数。且眞数之位下对实中平方之位，故定得数首位亦爲平方。又因实数皆爲多，故得数亦皆爲多也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九。一立方爲二十七，一三乘方爲八十一，实数四三乘方得三百二十四，多八立方得多二百一十六，多八平方得多七十二，是三百二十四多二百一十六又多七十二，共爲六百一十二。法数四平方爲三十六，除之所得之九，即一平方之数，所得多六，即多二根之数，所得多二，即多二眞数之数。葢六百一十二以三十六除之得十七，即九多六又多二。也设如，有四立方多八平方多七根多二眞数，以二平方多三根多二眞数除之，问得几何？法，以二平方多三根多二眞数除四立方多八平方多七根，得二根。以二根乘多二眞数，得多四根。以二根乘多三根，得多六平方。以二根乘二平方，得四立方，与实相减，余多二平方多三根多二眞数。复以二平方多三根多二眞数除二平方多三根多二眞数，得多一眞数。以多一眞数乘多二眞数，得多二眞数。以多一眞数乘多三根，得多三根。以多一眞数乘二平方，得多二平方，与实相减，恰尽无余，是爲二根多一眞数，即所求之数也。此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根多眞数，故以平方除立方得根，以平方除多平方得多眞数，且眞数之位下对实中根位，故定得数首位爲根。又因实数皆爲多，故得数亦皆爲多也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九，一立方爲二十七。实数四立方得一百零八，多八平方得多七十二，多七根得多二十一，多二眞数即多二，是爲一百零八多七十二又多二十一又多二，共爲二百零三。法数二平方得十八，多三根得多九，多二眞数即多二，是爲十八多九又多二，共爲二十九，除之所得之六即二根之数，所得多一即多一眞数。葢二百零三以二十九除之得七，即六多一也。设如，有六平方少一根，少十五。眞数以三根少五眞数除之，问得几何？法以三根少五眞数除六平方少一根得二根，以二根乘少五眞数得少十根，以二根乘三根得六平方，与实相减，平方恰尽，根之减数大于原数，转减之余多九根少十五眞数，复以三根少五眞数除多九根少十五眞数，得多三眞数【减余之九根爲多故除得之三眞数亦爲多也】以多三眞数与少五眞数相乘得少十五眞数，以多三眞数与三根相乘得多九根，与实相减恰尽无余，是爲二根多三眞数，即所求之数也。

此法葢因根少眞数除平方少根少眞数，故以根除平方得根，以根除多根【根原爲少而减余数变爲多】得多眞数，且眞数之位下对实中根位，故定得数首位爲根，又因实数原爲少而次位余实之数变爲多，故定得数次位爲多也。如以数明之，以根爲五，则一平方爲二十五，实数六平方得一百五十少一根得少五，少十五真数即少十五，是爲一百五十少五又少十五共爲一百三十，法数三根得十五少五眞数即少五，是爲十五少五共爲一十，除之所得之一十即二根之数，所得之多三即多三眞数之数，葢一百三十以十除之得十三，即十多三也。设如，有九立方少十二平方少五根多六眞数，以三平方少二根少三眞数除之，问得几何？法以三平方少二根少三眞数除九立方少十二平方少五根得三根，以三根乘少三眞数得少九根，以三根乘少二根得少六平方，以三根乘三平方得九立方，与实相减，立方恰尽。原少十二平方减少六平方余少六平方，原少五根不能减九根，转减之余多四根又多六眞数。复以三平方少二根少三眞数除少六平方多四根多六眞数，得少二眞数。以少二眞数乘少三眞数得多六眞数，以少二眞数乘少二根得多四根，以少二眞数乘三平方得少六平方，与实相减恰尽无余。是爲三根少二眞数，即所求之数也。此法葢因平方少根少眞数除立方少平方少根与多眞数，故以平方除立方得根，以平方除少平方得少眞数，且眞数之位下对实中根位，故定得数首位爲根。又实数之号虽有少有多不同，而次位余实之首数爲少，故定得数次位爲少也。如以数明之，以根爲七，则一平方爲四十九，一立方爲三百四十三。实数九立方得三千零八十七，少十二平方得少五百八十八，少五根得少三十五，多六眞数即多六，是爲三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六，共爲二千四百七十。法数三平方得一百四十七，少二根得少十四，少三眞数即少三，是爲一百四十七少十四又少三，共爲一百三十。除之所得之二十一即三根之数，所得之少二即少二眞数之数。葢二千四百七十以一百三十除之得十九，即二十一少二也。设如有八立方多八平方多二根少四眞数以二平方多三根多二眞数除之，问得几何？法以二平方多三根多二眞数除八立方多八平方多二根得四根，以四根乘多二眞数得多八根以四根乘多三根得多十二平方，以四根乘二平方得八立方，与实相减，立方恰尽，平方与根之减数俱大于原数，故皆转减，之余少四平方少六根又少四眞数，复以二平方多三根多二眞数除少四平方少六根少四眞数得少二眞数，以少二眞数乘多二眞数得少四眞数，以少二眞数乘多三根得少六根，以少二眞数乘二平方得少四平方，与实相减恰尽无余，是爲四根少二眞数，即所求之数也。

此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根与少眞数，故以平方除立方得根，以平方除少平方【平方原爲多而减余数变爲少】得少眞数，且眞数之位下对实中根位，故定得数首位爲根，又实数之号虽有多有少不同，而次位余实皆变爲少，故定得数次位爲少也。如以数明之，以根爲三，则一平方爲九，一立方爲二十七，实数八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四眞数，即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四，共爲二百九十，法数二平方得十八多三根得多九多二眞数，即多二是十八多九又多二，共爲二十九，除之所得十二，即四根之数，所得少二，即少二眞数之数，葢二百九十以二十九除之得十，即十二少二也。设如，有四三乘方少二立方少四平方多五根少二眞数，以二平方少二根多一眞数除之，问得几何？法以二平方少二根多一眞数除四三乘方少二立方少四平方，得二平方。以二平方乘多一眞数，得多二平方。以二平方乘少二根，得少四立方。以二平方乘二平方，得四三乘方，与实相减，三乘方恰尽。原少二立方不能减少四立方，转减之余多二立方。原少四平方减多二平方，故相加爲少六平方，仍多五根。复以二平方少二根多一眞数除多二立方少六平方多五根，得多一根。以多一根乘多一眞数，得多一根。以多一根乘少二根，得少二平方。以多一根乘二平方，得多二立方，与实相减，立方恰尽。原少六平方减少二平方，余少四平方。原多五根减多一根，余多四根，仍少二眞数。又以二平方少二根多一眞数除少四平方多四根少二眞数，得少二眞数。以少二眞数乘多一眞数，得少二眞数。以少二眞数乘少二根，得多四根。以少二眞数乘二平方，得少四平方，与实相减，恰尽无余。是爲二平方多一根少二眞数，即所求之数也。此法葢因平方少根多眞数除三乘方少立方又少平方，仍多根与少眞数，故以平方除三乘方得平方，以平方除多立方【立方原爲少而减余数变爲多】得多根，以平方除少平方得少眞数，且眞数之位下对实中平方之位，故定得数首位爲平方。又实数之号虽有多有少不同，而次位余实之首数变爲多，三位余实之首数仍爲少，故定得数之次位爲多，三位爲少也。如以数明之，以根爲六，则一平方爲三十六，一立方爲二百一十六，一三乘方爲一千二百九十六，实数四三乘方得五千一百八十四，少二立方得少四百三十二，少四平方得少一百四十四，多五根得多三十，少二眞数即少二，是五千。一百八十四，少四百三十二，又少一百四十四，仍多三十，复少二，共爲四千六百三十六。法数二平方得七十二，少二根得少十二，多一眞数即多一，是七十二少十二，又多一，共爲六十一。

除之所得七十二，即二平方之数，所得多六，即多一根之数，所得少二，即少二眞数之数。葢四千六百三十六以六十一除之，得七十六，即七十二多六少二也。

御制数理精蕴下编卷三十一

钦定四库全书