御制数理精蕴下编卷三十二

御制数理精蕴下编卷三十二

末部二借根方比例【开诸乘方法，诸乘方表】

开诸乘方法借根方比例法中，开各乘方爲最要。其算线部、借根算面部、借平方算体部、借立方以及多乘方，虽各按其类，然有法属线类而仍须诸乘方算者，故诸乘方之法宜审也。葢诸乘方之形体不同，开法之难易迥别，总以廉法之多少而分。平方之廉最少，故最易；立方之廉较多，故较难。自三乘以至多乘，其廉愈多，则其法愈难。今自平方以至九乘方，俱専立一法。在平方、立方所省不多，而三乘方以后则甚爲简捷。至于诸乘方中，亦有可以用平方、立方之法代开者：如三乘方与平方自乘之数等，故可以平方两次开之；五乘方与平方自乘再乘之数等，亦与立方自乘之数等，故可以平方开之，继以立方开之；七乘方与平方两次自乘之数等，故可以平方三次开之；八乘方与立方自乘再乘之数等，故可以立方两次开之；九乘方与四乘方自乘之数等，故可以平方开之，继以四乘方开之。惟四乘方及六乘方与平方、立方之数皆不相合，故不可以平方、立方之法代开也。又诸乘方次商之数最难定。今自立方至九乘方，俱爲立根数两位之表。若根数两位者，以积数捡表即得，更爲便捷。至于十乘方以后，并可以此法御之，但其数繁衍而无所用，兹故不载焉。

平方设如，有平方积一万五千一百二十九尺，开平方，问每一根之数几何？法列方积一万五千一百二十九尺，自末位起算，每方积二位定方根一位，故隔一位作记，乃于九尺上定单位，一百尺上定十位，一万尺上定百位。其一万尺爲初商积，与一百自乘之数相合，即定初商爲一百尺，书于方积一万尺之上，而以初商一百尺自乘之一万尺，书于初商积之下，相减恰尽。爰以方根第二位积五千一百尺续书于后，爲次商廉隅之共积，而以初商之一百尺倍之，得二百尺爲次商廉法，以除次商积，足二十倍，即定次商爲二十尺，书于方积一百尺之上，合初商共一百二十尺，自乘得一万四千四百尺，与原积相减，余七百尺。爰以方根第三位积二十九尺续书于后，共七百二十九尺爲三商廉隅之共积，而以初商次商之一百二十尺倍之，得二百四十尺爲三商廉法，以除三商积，足三倍，即定三商爲三尺，书于方积九尺之上，合初商次商共一百二十三尺，自乘得一万五千一百二十九尺，与原积相减恰尽。是开得一百二十三尺爲平方每一根之数也。此法止用廉法除余积得次商，即并初商数自乘得数复与原积相减，与常法不同，然自三乘方以至多乘方则廉法条例甚繁，难于布算，用此法甚爲省便，在平方立方不觉其省【平方止省小隅一层，立方止省长廉小隅二层】而在多乘方所省实多，葢各设一例以备体也。

立方设如有立方积四千一百零六万三千六百二十五尺，开立方，问每一根之数几何？法列方积四千一百零六万三千六百二十五尺，自末位起算，每方积三位定方根一位，故隔二位作记，乃于五尺上定单位，三千尺上定十位，一百万尺上定百位。其四千一百万尺爲初商积，与三百自乘再乘之数相准，即定初商爲三百尺，书于方积一百万尺之上，而以三百尺自乘再乘之二千七百万尺，书于初商积之下，相减余一千四百万尺。爰以方根第二位余积六万三千尺续书于后，共一千四百零六万三千尺爲次商廉隅之共积，而以初商之三百尺自乘得九万尺，三因之得二十七万尺，爲次商廉法，以除次商积，足四十倍，即定次商爲四十尺，书于方积三千尺之上，合初商共三百四十尺，自乘再乘得三千九百三十万四千尺，与原积相减余一百七十五万九千尺。爰以方边第三位余积六百二十五尺续书于后，共一百七十五万九千六百二十五尺爲三商廉隅之共积，而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一万五千六百尺，三因之得三十四万六千八百尺，爲三商廉法，以除三商积，足五倍，即定三商爲五尺，书于方积五尺之上，合初商次商共三百四十五尺，自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺，与原积相减恰尽，是开得三百四十五尺爲立方每一根之数也。又用表开法，列积四千一百零六万三千六百二十五尺，自末位起算，隔二位作记，定位同前，乃截方根第二位以前积四一○六三爲初商，次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三九三○四【即初商次商自乘再乘之数】其所对初商根爲三，次商根爲四，即将三四书于初商次商之位，而以三九三○四书于初商次商积之下，相减余一七五九，乃以三九三○四格内三商廉法三四六除余积一七五九，足五倍，即定三商爲五，书于三商之位，合初商次商共三百四十五，自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺，与原积相减恰尽，即定立方根爲三百四十五尺也。

三乘方设如有三乘方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺，开三乘方，问每一根之数几何？法列方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺，自末位起算，每方积四位定方根一位，故隔三位作记，乃于一尺上定单位，七万尺上定十位，三亿尺上定百位。其一千零三十三亿尺爲初商积，与五百乘三次之数相准，即定初商爲五百尺，书于方积三亿尺之上，而以五百尺乘三次之六百二十五亿尺，书于初商积之下，相减余四百零八亿尺。爰以方根第二位积五千五百一十七万尺续书于后，共四百零八亿五千五百一十七万尺爲次商廉隅之共积，而以初商之五百尺乘二次得一亿二千五百万尺，四因之得五亿尺爲次商廉法，以除次商积足八十倍，因定次商爲八十尺，合初商共五百八十尺，乘三次得一千一百三十一亿六千四百九十六万尺，大于原积，是次商不可商八也，乃改商七爲七十尺，合初商共五百七十尺，乘三次得一千零五十五亿六千零一万尺，仍大于原积，是次商不可商七也，又改商六爲六十尺，合初商共五百六十尺，乘三次得九百八十三亿四千四百九十六万尺，小于原积可减也，乃定次商爲六十尺，书于方积七万尺之上，而以五百六十尺乘三次之九百八十三亿四千四百九十六尺，与原积相减余五十亿一千零二十一万尺。爰以方根第三位积七千一百二十一尺续书于后，共五十亿一千零二十一万七千一百二十一尺爲三商廉隅之共积，而以初商次商之五百六十尺乘二次得一亿七千五百六十一万六千尺，四因之得七亿零二百四十六万四千尺爲三商亷法，以除三商积足七倍，即定三商爲七尺，书于方积一尺之上，合初商次商共五百六十七尺，乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺，与原积相减恰尽，是开得五百六十七尺爲三乘方，每一根之数也。葢三乘方之本法有四：自乘再乘，廉六；自乘廉四；长廉一；小隅。既得初商，乃以初商自乘再乘，四因之，得四自乘再乘廉爲法，除余积得次商。以初商自乘与次商相乘，六因之，爲六自乘廉；以次商自乘与初商相乘，四因之，爲四长廉；以次商自乘再乘，爲一小隅。合四自乘再乘廉、六自乘廉、四长廉、一小隅，以次商乘之，爲次商廉隅之共积。今此法得次商之后，合初商乘三次，即得应减之积也。又法用开平方法两次开之。初以原积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开平方，得三十二万一千四百八十九尺。次以三十二万一千四百八十九尺复开平方，得五百六十七尺，即三乘方每一根之数也。又用表开法，列积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺，自末位起算，隔三位作记，定位同前。乃截方根第二位以前积一○三三五五一七爲初商次商之积，于表中取比此数相近略小之数爲九八三四四九六【即初商次商乘三次之数】其所对初商根爲五，次商根爲六，即将五六书于初商次商之位，而以九八三四四九六书于初商次商积之下，相减余五○一○二一。乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除余积五○一○二一，足七倍，即定三商爲七，书于三商之位。合初商次商共五百六十七，乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺，与原积相减恰尽，即定三乘方根爲五百六十七尺也。

四乘方设如有四乘方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺，开四乘方，问每一根之数几何？法列方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺，自末位起算，每方积五位定方根一位，故隔四位作记，乃于五尺上定单位，九十万尺上定十位，空百亿尺上定百位。其二百六十二兆尺爲初商积，与七百乘四次之数相准，即定初商爲七百尺，书于方积空百亿尺之上，而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百亿尺，书于初商积之下，相减余九十三兆九千三百亿尺。爰以方根第二位余积三十五亿四千九百九十万尺续书于后，共九十三兆九千三百三十五亿四千九百九十万尺爲次商廉隅之共积，而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一亿尺，五因之得一兆二千零五亿尺爲次商廉法，以除次商积足七十倍，因定次商爲七十尺，合初商共七百七十尺，乘四次得二百七十兆六千七百八十四亿一千五百七十万尺，大于原积，是次商不可商七也，乃改商六爲六十尺，合初商共七百六十尺，乘四次得二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺，小于原积可减也，乃定次商爲六十尺，书于方积九十万尺之上，而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺与原积相减，余八兆四千五百一十亿一千二百三十万尺。爰以方根第三位余积七万八千一百二十五尺续书于后，共八兆四千五百一十亿一千二百三十七万八千一百二十五尺爲三商廉隅之共积，而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六亿二千一百七十六万尺，五因之得一兆六千六百八十一亿零八百八十万尺爲三商廉法，以除三商积足五倍，即定三商爲五尺，书于方积五尺之上，合初商次商共七百六十五尺，乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽，是开得七百六十五尺，爲四乘方每一根之数也。葢四乘方之本法，有五三乘廉，十自乘再乘廉，十自乘廉，五长廉，一小隅。既得初商，乃以初商乘三次，五因之，得五三乘廉爲法，除余积得次商。以初商自乘再乘，与次商相乘，十因之，爲十自乘再乘廉。以初商自乘，次商自乘两数相乘，十因之，爲十自乘廉。以次商自乘再乘，与初商相乘，五因之，爲五长廉。以次商数乘三次，爲一小隅。合五三乘廉，十自乘再乘廉，十自乘廉，五长廉，一小隅，以次商乘之，爲次商廉隅之共积。今此法得次商之后，合初商乘四次，即得应减之积也。又用表开法，列积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺，自末位起算，隔四位作记，定位同前。乃截方根第二位以前积二六二○○三五四九九爲初商次商之积，于表中取比此数相近略小之数爲二五三五五二五三七六【即初商次商乘四次之数】其所对初商根爲七，次商根爲六，即将七六书于初商次商之位，而以二五三五五二五三七六书于初商次商积之下，相减余八四五一○一二三。乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除余积八四五一○一二三，足五倍，即定三商爲五，书于三商之位。合初商次商共七百六十五乘四次，得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺，与原积相减恰尽，即定四乘方根爲七百六十五尺也。

五乘方设如有五乘方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺，开五乘方，问每一根之数几何？法列方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺。自末位起算，每方积六位，定方根一位，故隔五位作记。乃于五尺上定单位，五百万尺上定十位，八兆尺上定百位。其八十五京九千零六十八兆尺爲初商积，与九百乘五次之数相准，即定初商爲九百尺，书于方积八兆尺之上，而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺，书于初商积之下，相减余三十二京七千六百二十七兆尺。爰以方根第二位积三千零一十亿二千五百万尺续书于后，共三十二京七千六百二十七兆三千零一十亿二千五百万尺爲次商廉隅之共积。而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百亿尺，六因之得三千五百四十二兆九千四百亿尺爲次商廉法，以除次商积，足八十倍，因定次商爲八十尺。按法相乘大于原积，乃改商七十尺，书于方积五百万尺之上，合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九亿二千九百万尺，与原积相减余二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百万尺。爰以方根第三位积三十九万零六百二十五尺续书于后，共二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百三十九万零六百二十五尺爲三商廉隅之共积。而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十亿二千五百七十万尺，六因之得五千一百五十二兆四千零四十一亿五千四百二十万尺爲三商廉法，以除三商积，足五倍，即定三商爲五尺，书于方积五尺之上，合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺，与原积相减恰尽。是开得九百七十五尺爲五乘。方每一根之数也，葢五乘方之本法有六：四乘廉十五，三乘廉二十，自乘再乘廉十五，自乘廉六，长廉一，小隅。既得初商，乃以初商乘四次，六因之，得六四乘廉爲法，除余积得次商。以初商乘三次，与次商相乘，十五乘之，爲十五三乘廉。以初商自乘再乘，次商自乘两数相乘，二十乘之，爲二十自乘再乘廉。以初商自乘，次商自乘再乘两数相乘，十五乘之，爲十五自乘廉。以次商乘三次，与初商相乘，六因之，爲六长廉。以次商乘四次，爲一小隅。合六四乘廉，十五三乘廉，二十自乘再乘廉，十五自乘廉，六长廉，一小隅，以次商乘之，爲次商廉隅之共积。今此法得次商之后，合初商乘五次，即得应减之积也。又法，用开平方、开立方法开之。初以原积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺，开平方得九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺。又以九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺，开立方得九百七十五尺，即五乘方每一根之数也。又用表开法，列积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺。自末位起算，隔五位作记，定位同前。乃截方根第二位以前积八五九○六八三○一○二五爲初商，次商之积于表中取比此数相近略小之数爲八三二九七二○○四九二九【即初商次商乘五次之数】其所对初商根爲九，次商根爲七，即将九七书于初商次商之位，而以八三二九七二○○四九二九书于初商次商积之下，相减余二六○九六二九六○九六。乃以八三二九七二○○四九二九格内三商廉法五一五二四○四一五四除余积二六○九六二九六○九六，足五倍即定三商爲五，书于三商之位。合初商次商共九百七十五，乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺，与原积相减恰尽，即定五乘方根爲九百七十五尺也。

六乘方设如有六乘方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺，开六乘方，问每一根之数几何？法列方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺。自末位起算，每方积七位，定方根一位，故隔六位作记。乃于八尺上定单位，九千万尺上定十位，五百兆尺上定百位。其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺爲初商积，与八百乘六次之数相准，即定初商爲八百尺，书于方积五百兆尺之上，而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺，书于初商积之下，相减余一垓一千六百一十七京九千三百兆尺。爰以方根第二位积九十九兆二千五百二十三亿九千万尺续书于后，共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三亿九千万尺爲次商廉隅之共积，而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺，七因之得一百八十三京五千零八兆尺爲次商廉法，以除次商积足六十倍，因定次商爲六十尺。按法相乘大于原积，乃改商五十尺，书于方积九千万尺之上，合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二亿五千万尺，与原积相减余五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千万尺。爰以方根第三位积五百九十万零九百二十八尺续书于后，共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千五百九十万零九百二十八尺爲三商廉隅之共积，而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六亿二千五百万尺，七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三亿七千五百万尺爲三商廉法，以除三商积足二倍，即定三商爲二尺，书于方积八尺之上，合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺，与原积相减恰尽，是开得八百五十二尺，爲六乘方每一根之数也。葢六乘方之本法，有七五乘廉，二十一四乘廉，三十五三乘廉，三十五自乘再乘廉，二十一自乘廉，七长廉，一小隅。既得初商，即以初商乘五次，七因之，得七五乘廉爲法，除余积，得次商。以初商乘四次，与次商相乘，二十一乘之，爲二十一四乘廉。以初商乘三次，次商自乘，两数相乘，三十五乘之，爲三十五三乘廉。以初商自乘再乘，次商自乘再乘，两数相乘，三十五乘之，爲三十五自乘再乘廉。以初商自乘，次商乘三次，两数相乘，二十一乘之，爲二十一自乘廉。以次商乘四次，与初商相乘，七因之，爲七长廉。以次商乘五次，爲一小隅。合七五乘廉，二十一四乘廉，三十五三乘廉，三十五自乘再乘廉，二十一自乘廉，七长廉，一小隅，以次商乘之，爲次商廉隅之共积。今得次商之后，合初商乘六次，即得应减之积也。又用表开法，列积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺。自末位起算，隔六位作记，定位同前。乃截方根第二位以前积三二五八九四五九九二五二三九爲初商次商之积，于表中取比此数相近略小之数爲三二○五七七○八八二八一二五【即初商次商乘六次之数】其所对初商根爲八，次商根爲五，即将八五书于初商次商之位，而以三二○五七七○八八二八一二五书于初商次商积之下，相减余五三一七五一○九七一一四。乃以三二○五七七○八八二八一二五格内三商廉法二六四○○四六六○九三七除余积五三一七五一○九七一一四，足二倍，即定三商爲二，书于三商之位。合初商次商共八百五十二尺，乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺，与原积相减恰尽，即定六乘方根爲八百五十二尺也。

七乘方设如有七乘方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺，开七乘方，问每一根之数几何？法列方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺。自末位起算，每方积八位，定方根一位，故隔七位作记。乃于一尺上定单位，三亿尺上定十位，二京尺上定百位。其六百三十八垓五千一百三十二京尺爲初商积，与七百乘七次之数相准，即定初商爲七百尺，书于方积二京尺之上，而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺，书于初商积之下，相减余六十二垓零三百三十一京尺。爰以方根第二位积二百三十三兆九千三百八十三亿尺续书于后，共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三亿尺爲次商廉隅之共积。而以初商之七百尺乘六次，得八千二百三十五京四千三百兆尺，八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺爲次商廉法，以除次商积，足九倍止，可商九尺，是次商爲空位也。乃书一空于方积三亿尺之上，而以九尺书于方积一尺之上，合初商次商共七百零九尺，乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺，与原积相减恰尽，是开得七百零九尺爲七乘方每一根之数也。葢七乘方之本法，有八六乘廉，二十八五乘廉，五十六四乘廉，七十三乘廉，五十六自乘再乘廉，二十八自乘廉，八长廉，一小隅。既得初商，乃以初商乘六次，八因之得八六乘廉爲法，除余积得次商。以初商乘五次与次商相乘，二十八乘之爲二十八五乘廉。以初商乘四次，次商自乘两数相乘，五十六乘之爲五十六四乘廉。以初商乘三次，次商自乘再乘两数相乘，七十乘之爲七十三乘廉。以初商自乘再乘，次商乘三次两数相乘，五十六乘之爲五十六自乘，再乘廉，以初商自乘，次商乘四，次两数相乘，二十八乘之爲二十八自乘，廉以次商乘五，次与初商相乘，八因之爲八长廉，以次商乘六次爲一小隅，合八六乘廉，二十八五乘廉，五十六四乘廉，七十三乘廉，五十六自乘再乘廉，二十八自乘廉，八长廉，一小隅，以次商乘之爲次商廉隅之共积，今此法得次商之后，合初商乘七次即得应减之积也。又法用开平方法三次开之。初以原积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺，开平方得二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺。次以二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺，复开平方得五十万二千六百八十一尺。又以五十万二千六百八十一尺，复开平方得七百零九尺，即七乘方每一根之数也。又用表开法，列积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺。自末位起算，隔七位作记，定位同前。乃截方根第二位以前积六三八五一三二○二三三九三八三爲初商，次商之积于表中取比此数相近略小之数爲五七六四八○一○○○○○○○○【即初商次商乘七次之数】其所对初商根爲七，次商根爲○，即将七○书于初商次商之位，而以五七六四八○一○○○○○○○○书于初商次商积之下，相减余六二○三三一○二三三九三八三。乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除余积六二○三三一○二三三九三八三，足九倍，即定三商爲九，书于三商之位。合初商次商共七百零九尺，乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺，与原积相减恰尽，即定七乘方根爲七百零九尺也。

八乘方设如有八乘方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺，开八乘方，问每一根之数几何？法列方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺。自末位起算，每方积九位定方根一位，故隔八位作记。乃于二尺上定单位，四十亿尺上定十位，五百京尺上定百位。其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商积，与四百乘八次之数相准，即定初商爲四百尺，书于方积五百京尺之上，而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺，书于初商积之下，相减余一千六百二十二垓九千一百京尺。爰以方根第二位积八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺续书于后，共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺爲次商廉隅之共积。而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺，九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法，以除次商积足二十倍，即定次商爲二十尺，书于方积四十亿尺之上。合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十亿尺，与原积相减余一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十亿尺。爰以方根第三位积九亿五千二百八十二万七千二百九十二尺续书于后，共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺爲三商廉隅之共积。而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六亿尺，九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四亿尺爲三商廉法，以除三商积足二倍，即定三商爲二尺书。于方积二尺之上，合初商次商共四百二十二尺，乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺，与原积相减恰尽，是开得四百二十二尺爲八乘方每一根之数也。葢八乘方之本法，有九七乘廉，三十六六乘廉，八十四五乘廉，一百二十六四乘廉，一百二十六三乘廉，八十四自乘再乘廉，三十六自乘廉，九长廉，一小隅。既得初商，乃以初商乘七次，九因之，得九七乘廉爲法，除余积得次商。以初商乘六次，与次商相乘，三十六乘之，爲三十六六乘廉。以初商乘五次，次商自乘，两数相乘，八十四乘之，爲八十四五乘廉。以初商乘四次，次商自乘再乘，两数相乘，一百二十六乘之，爲一百二十六四乘廉。以初商乘三次，次商乘三次，两数相乘，一百二十六乘之，爲一百二十六三乘廉。以初商自乘再乘，次商乘四次，两数相乘，八十四乘之，爲八十四自乘再乘廉。以初商自乘，次商乘五次，两数相乘，三十六乘之，爲三十六自乘廉。以次商乘六次，与初商相乘，九因之，爲九长廉。以次商乘七次，爲一小隅。合九七乘廉，三十六六乘廉，八十四五乘廉，一百二十六四乘廉，一百二十六三乘廉，八十四自乘再乘廉，三十六自乘廉，九长廉，一小隅，以次商乘之，爲次商廉隅之共积。今此法得次商之后，合初商乘八次，即得应减之积也。又法用开立方法两次，开之初，以原积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开立方，得七千五百一十五万一千四百四十八尺，次以七千五百一十五万一千四百四十八尺复开立方，得四百二十二尺，即八乘方每一根之数也。又用表开法，列积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺。自末位起算，隔八位作记，定位同前。乃截方根第二位以前积四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之积，于表中取比此数相近畧小之数爲四○六六七一三八三八四九四七二【即初商次商乘八次之数】其所对初商根爲四，次商根爲二，即将四二书于初商次商之位，而以四○六六七一三八三八四九四七二书于初商次商积之下，相减余一七七六四四六五三三五九七二。乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除余积一七七六四四六五三三五九七二，足二倍，即定三商爲二，书于三商之位。合初商次商共四百二十二尺，乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺，与原积相减恰尽，即定八乘方根爲四百二十二尺也。

九乘方设如有九乘方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺，开九乘方，问每一根之数几何？法列方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺。自末位起算，每方积十位定方根一位，故隔九位作记。乃于四尺上定单位，二百亿尺上定十位，六垓尺上定百位。其八穰七千四百零六垓尺爲初商积，与三百乘九次之数相准，即定初商爲三百尺，书于方积六垓尺之上，而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺，书于初商积之下，相减余二穰八千三百五十七垓尺。爰以方根第二位积九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺续书于后，共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺爲次商廉隅之共积。而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺，又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺爲次商廉法，以除次商积足十倍，即定次商爲一十尺，书于方积二百亿尺之上，合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百亿尺，与原积相减余五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百亿尺。爰以方根第三位积九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺续书于后，共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺爲三商廉隅之共积。而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十亿尺，十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百亿尺爲三商廉法，以除三商积足二倍，即定三商爲二尺，书于方积四尺之上，合初商次商共三百一十。二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺，与原积相减恰尽，是开得三百一十二尺爲九乘方每一根之数也。葢九乘方之本法，有十八乘廉，四十五七乘廉，一百二十六乘廉，二百一十五乘廉，二百五十二四乘廉，二百一十三乘廉，一百二十自乘再乘廉，四十五自乘廉，十长廉，一小隅。既得初商，乃以初商乘八次，十因之，得十八乘廉爲法，除余积得次商。以初商乘七次，与次商相乘，四十五乘之，爲四十五七乘廉。以初商乘六次，次商自乘，两数相乘，一百二十乘之，爲一百二十六乘廉。以初商乘五次，次商自乘再乘，两数相乘，二百一十乘之，爲二百一十五乘廉。以初商乘四次，次商乘三次，两数相乘，二百五十二乘之，爲二百五十二四乘廉。以初商乘三次，次商乘四次，两数相乘，二百一十乘之，爲二百一十三乘廉。以初商自乘再乘，次商乗五次，两数相乘，一百二十乘之，爲一百二十自乘再乘廉。以初商自乘，次商乘六次，两数相乘，四十五乘之，爲四十五自乘廉。以次商乘七次，与初商相乘，十因之，爲十长廉。以次商乘八次，爲一小隅。合十八乘廉，四十五七乘廉，一百二十六乘廉，二百一十五乘廉，二百五十二四乘廉，二百一十三乘廉，一百二十自乘再乘廉，四十五自乘廉，十长廉，一小隅，以次商乘之，爲次商廉隅之共积。今此法得次商之后，合初商乘九次，即得应减之积也。又法用开平方，开四乘方法，开之初，以原积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开平方，得二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺，又以二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺，开四乘方，得三百一十二尺，即九乘方，每一根之数也。又用表开法，列积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺。自末位起算，隔九位作记，定位同前。乃截方根第二位以前，积八七四○六九四四七八○一四三二爲初商，次商之积于表中取比此数相近畧小之数爲八一九六二八二八六九八○八○一【即初商次商乘九次之数】其所对初商根爲三，次商根爲一，即将三一书于初商次商之位，而以八一九六二八二八六九八○八○一书于初商次商积之下，相减余五四四四一一六○八二○六三一。乃以八一九六二八二八六九八○八○一格内三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除余积五四四四一一六○八二○六三一，足二倍，即定三商爲二，书于三商之位。合初商次商共三百一十二尺，乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺，与原积相减恰尽，即定九乘方根爲三百一十二尺也。

诸乘方表凡表上横行所列自一至九之数为初商根，右直行所列自○至九之数为次商根，其中每格所列细数二层，上层为初商次商积【如立方表第一行第三格上层一七二八，即方根一二自乘再乘之数，余仿此】下层为三商亷法【如立方表第一行第三格下层四三，即三商亷法，乃以初商次商两根一二自乘，三因截去末一位之数，葢方根既有三位，则初商为百，次商为十，以一百二十自乘，三因得四三二○○为亷法除实至三商本位止，今防法止用次商余积求三商，不加三商本位之积，其初商仍作十用，以十二自乘，三因得四三二，仍比次商余积多一位，故截去末一位，止用四三为亷法除实，则法实尾位均齐，定位始无误，余仿此】用表之法具见设如立方表。

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