数学钥卷五下之下

数学钥卷五下之下

柘城杜知耕撰方程一则二色方程设稻三石，菽二石，共价银八两二钱四分。又稻四石，菽五石，共价银一十二两二钱。求二色价。法曰：列稻三石，菽二石，价八两二钱四分于右；列稻四石，菽五石价一十二两二钱于左先以右稻遍乗左行【菽得一十五石价得三十六两六钱】次以左稻遍乗右行【菽得八石】【价得三十二两九钱六分】以两价得数对减【余三两六钱四分】为实；以两菽得数相减【余七石】为法，除之，得五钱二分，为菽每石价。以右行菽二石因之【或用左行菽五石亦可】得一两零四分，为菽二石价，以减右共价，余七两二钱，为稻三石价，以稻三石归之，得二两四钱，为稻每石价。解曰：欲得稻菽二色价，须先求菽一色价。欲求菽一色价，须先减去稻数及稻价。欲减去稻数及稻价，必先齐两行稻数稻价而使之等。今左价一十二两二钱，为稻四石菽五石之共价。以右稻三石遍乗之，价得三十六两六钱，是三倍元价矣。既三倍元价，则必为三倍稻数十二石、三倍菽数十五石之共价。右价八两二钱四分，为稻三石菽二石之共价。以左稻四石遍乗之，价得三十二两九钱六分，是四倍元价矣。既四倍元价，则必为四倍稻数十二石、四倍菽数八石之共价。两行稻数既各十二石，是稻数齐矣。稻数齐而稻价因之亦齐矣。于稻十二石菽十五石价内，减去稻十二石菽八石之价，所余非菽七石之价而何？故以两菽对减之，七石除之得菽价。菽价既得，求稻价不须解矣。○如欲先得稻价，则列两菽数于两稻数之上，以右菽二石遍乗左行，以左菽五石遍乗右行，两价得数相减，余十六两八钱为实，两稻得数对减，余七石为法，除之得稻价。此与前法同。

前齐稻数故先得菽价此齐菽数故先得稻价也○前稻数齐以十二石后菽数齐以十石法中不曽明言，十二石十石，乃暗用数也。后仿此二则。

三色方程一法设稻五石，麦七石，菽四石，共价银二十六两六钱八分。又稻四石，麦二石，菽三石，共价银一十四两七钱六分。又稻七石，麦五石，菽七石，共价银二十九两四钱四分求三色价前法曰列稻五石麦七石菽四石价二十六两六钱八分于左列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分，于中列稻七石麦五石菽七石价二十九两四钱四分。于左先以中稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】以右稻五石遍乗中行【麦得一十石菽得一十五石价得七十三两八钱】两行对减，麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分。次以中稻四石遍乗左行【麦得二十石菽得二十八石价得一百一十七两七钱六分】以左稻七石遍乗中行【麦得一十四石菽得二十一石价得一百零三两三钱二分】两行对减，麦余六石菽余七石价余一十四两四钱四分。解曰：二色方程，减去一色，即得余一色之价。三色方程，必减去二色，方得一色之价。然无一算并减二色之法，故前法互乗对减，先减去一色也。后法曰：列余麦一十八石，余菽一石，余价三十二两九钱二分于右；列余麦六石，余菽七石，余价一十四两四钱四分于左。先以右麦一十八石遍乗左行【菽得一百二十六石，价得二百五十九两九钱二分】次以左麦六石遍乗右行【菽得六石，价得一百九十七两五钱二分】以两价得数对减【余六十二两四钱】为实，以两菽得数对减【余一百二十石】为法，除之得五钱二分。为菽价以左菽七石因之【得三两六钱四分】以减左价【余十两零八钱】以左麦六石除之得一两八钱为麦价取前图中行麦二石，因麦价【得三两六钱】菽三石，因菽价【得一两五钱六分】并两数【共五两一钱六分】减中价【余九两六钱】以中稻四石除之，得二两四钱为稻价。解曰：减去稻数，稻价，余麦菽二色，故用二色方程法，得菽价。

三则三色方程二法设稻五石，麦七石，菽四石，共价银二十六两六钱八。

分又稻四石麦二石菽三石共价银一十四两七钱六分又麦五石菽七石共价银一十二两六钱四分求三色价前法曰列稻五石麦七石菽四石价二十六两六钱八分于右列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于左先以右稻五石遍乗左行【麦得十石菽得一十五石价得七十三两八钱】次以左稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分解曰：麦五石，菽七石，价十二两六钱四分。不与两行并列，何也？葢前法元为减去稻价稻数，取麦菽二色。今此率本无稻数稻价，故直与余麦、余菽、余价并列为后法也。后法曰：列麦五石，菽七石，价一十二两六钱四分。于右列，余麦一十八石，余菽一石，余价三十二两九钱。

二分于左先以右麦五石遍乗左行【菽得五石价得一百六十四两六钱】次以左麦一十八。

石遍乗右行【菽得一百】【二十六石价得二百二十七两五钱二分】以两价得数相减【余六十二两九钱二分】为实，以两菽得数对减【余一百二十一石】为法，除之，得五钱二分为菽价【求麦价稻价同前】

四则正负同异加减一法设麦七石，稷五石，共价银一十六两二钱五分。今以麦二石増银二两二钱四分，换稷八石。求二色价。法曰：列正麦七石，正稷五石，正价一十六两二钱五分于右。列负麦二石，正稷八石，正价二两二钱四分于左先以右正麦七石遍乗左行【稷得五十六石价得一十五两六钱八分】次以左负麦二石遍乗右行【稷得十石，价得三十】【二两五钱】两价得数同名相加【共四十八两一钱八分】为实；两稷得数同名相加【共六十六石】为法，除之，得七钱三分，为稷价【求麦价同一则】解曰：左行价二两二钱四分，増二石麦价，方与稷八石之价等。麦二石乃倒欠之数，故谓之负。余皆谓之正者，所以别于负也。左右两麦相乘，各得一十四石，为正负之齐数。以负麦遍乗右行价，得三十二两五钱，为麦一十四石稷十石之共价。以正麦遍乗左行价，得一十五两六钱八分，尚欠一十四石麦价，不足稷五十六石之价。若将右行麦一十四石之价移于左行，则右银必为稷十石之价，左银必为稷五十六石之价，故并之为稷六十六石之价。○以正加正，以负加负，谓之同名相加。以正减正，以负减负，谓之同名相减。以正加负，以负加正，谓之异名相加。以正减负，以负减正，谓之异名相减。

五则正负同异加减二法设稻四石，黍七石，共价银一十五两五钱五分。今以黍三石増银九两四钱五分，换稻五石。求二色价。法曰：列正稻四石，正黍七石，正价一十五两五钱五分于右。列正稻五石，负黍三石，正价九两四钱五分于左。先以右正稻四石遍乗左行【黍得一十二石，价得三十七两八钱】次以左正稻五石遍乗右行【黍得三十五石价得七十七两七钱五分】两价得数同名相减【余三十九两九钱五分】为实两黍得数异名相加【共四十七石】为法除之，得八钱五分，为黍价【求稻价同一则】解曰：以右稻遍乗左行价，得三十七两八钱，尚欠一十二石黍价，不足稻二十石之价。以左稻遍乗右行价，得七十七两七钱五分，为稻二十石、黍三十五石之共价。若以稻二十石全价减之，必余黍三十五石之价。今以左行尚欠一十二石黍价，不足稻二十石之价减之，故余四十七石黍价也。

六则正负同异加减三法设麦五石，稷八石，共价银一十四两八钱四分。又麦四石，黍二石，共价银八两九钱。又黍五石，稷三石，共价银六两四钱四分。求三色价。前法曰：列麦五石，黍空稷八石价一十四两八钱四分于右列麦四石黍二石稷空，价八两九钱。于左先以右麦五石遍乗左行【黍得十石，价得四十四两五钱】次以左麦四石遍乗右行【稷得三十二石，价得五十九两三钱六分】两行对减，右行黍空，取左黍十石为本位负数，左行稷空，右稷无减，仍得三十二石，价余一十四两八钱六分。解曰：以右麦遍乗左行价，得四十四两五钱，为麦二十石、黍十石之共价；以左麦遍乗右行价，得五十九两三钱六分，为麦二十石、稷三十二石之共价。两价对减，必余右稷三十二石与左黍十石两价相差之数。于右立负黍十石者，谓余价一十四两八钱六分，再増黍十石之价，方足稷三十二石之价，犹以黍十石増银一十四两八钱六分换稷三十二石也。或问：右行黍空，左行稷空，不立负于左，而必立负于右者，何也？葢前法原于多内减少，以取二色之价，今右稷三十二石价多于左黍十石价，若于左立负稷，亦须立负价矣，是以立负于右而不立于左也。后法曰：列正黍五石，正稷三石，正价六两四钱四分。

于右列余负黍十石余正稷三十二石余正价一十四两八钱六分于左先以右正黍五石遍乗左行【稷得一百六十石，价得七十四两三钱】次以左负黍十石遍乗右行【稷得三十石，价得六十四两四钱】两价得数同名相加【共一百三十八两七钱】为实，两稷得数同名相加【共一百九十石】为法，除之得七两三钱为稷价【求麦价黍价同二则】

解曰后法同四则七则正负同异加减四法设麦四石，黍五石，价银一十一两四钱五分。又麦五石，稷二石，价银一十两零四钱六分。又黍四石，稷七石价银八两五钱一分求三色价前法曰列麦四石黍五石，稷空，价一十一两四钱五分，于右列；麦五石，黍空，稷二石，价一十两零四钱六分，于左。先以右麦四石遍乗左行【稷得八石，价得四十一两八钱四分】次以左麦五石遍乗右行【黍得二十五石，价得五十七两二钱五分】两行对减，左行黍空，右黍无减，仍得二十五石；右行稷空，取左稷八石为本位，负数价余一十五两四钱一分。解曰：右价得五十七两二钱五分，为麦二十石、黍二十五石之共价；左价得四十一两八钱四分，为麦二十石、稷八石之共价。两价对减，余一十五两四钱一分，即二十五石黍价多于八石稷价之数。是以余银并八石稷价，方足黍二十五石之价，故立负稷八石也。余同前则。后法曰：列正黍四石，正稷七石，正价八两五钱一分。

于右列余正黍二十五石余负稷八石余正价一十五两四钱一分于左先以右正黍四石遍乗左行【稷得三十二石价得六十一两六钱四分】次以左正黍二十五石遍乗右行【稷得一百七十五石价得二百一十二两七钱五分】两价得数同名相减【余一百五十一两一钱一分】为实；两稷得数异名相加【共二百零七石】为法除之，得七钱三分，为稷价【求黍价麦价同二则】解曰：后法同五则。

八则正负同异加减五法设以稷七石，増银四两零七分，换麦二石，粟九石。又以麦三石，换稷四石，粟四石，适平。又以麦一石，稷一石，増银四两九钱一分，换粟一十二石。求三色价。前法曰：列正麦二石，负稷七石，正粟九石，正价四两零七分于右。列负麦三石，正稷四石，正粟四石，价空于中。列负麦一石，负稷一石，正粟一十二石，正价四两九钱一分于左先以右正麦二石遍乗中行【稷得八石粟得八石价空】以中负麦三石遍乗右行【稷得二十一石，粟得二十七石，价得一十二两二钱一分】两稷得数异名相减，余一十三石；两粟得数同名相加，共三十五石。中价空无加，仍得一十二两二钱一分。解曰：右价得一十二两二钱一分，是尚欠稷二十一石，价不足麦六石，粟二十七石之价。中价空，是稷八石，粟八石，适等于麦六石之价。若减右麦六石，即以稷粟各八石补之，其价不须増减，必相均平矣。然右稷乃倒欠之数，不可相加，故减之。减倒欠，犹之加正数也。次以左负麦一石，遍乗中行【稷仍得四石，粟仍得四石，价空】以中负麦三石，遍乗左行【稷得三石，粟得三十六石，价得一十四两七钱三分】两稷得数异名相加，共七石，两粟得数同名相减，余三十二石，中价空无减，仍得一十四两七钱三分。解曰：左价得一十四两七钱三分，是尚欠麦稷各三石，价不足粟三十六石之价中，价空是麦三石，适等于稷粟各四石之价。若减左负麦三石，复减正稷、正粟各四石，其价不须増减，必相均平。然左非正稷，乃倒欠之数，不可相减，故加之。加倒欠犹之减正数也。后法曰：列余负稷一十三石，余正粟三十五石，余正价一十二两二钱一分于右，列余负稷七石，余正粟三十二石余正价一十四两七钱三分于左先以右负稷一十三石遍乗左行【粟得四百一十六石，价得】

【一百九十一两四钱九分】次以左负稷七石遍乗右行【粟得二百四十五石价得八十五两四钱七分】两价得数同名相减【余一百零六而零二分】为实两粟得数同名相减【余一百七十一石】为法除之得六钱二分为粟价【求麦价稷价同二则】解曰：「两稷皆负两粟，两价皆正，左右相等，故法同二色方程。」

九则四色方程设稻一石，麦五石，黍三石，稷七石，共价银一十九两零六分。又稻八石，麦四石，黍七石，稷六石，共价银三十六两七钱三分。又稻三石，麦二石，黍五石，稷七石，共价银二十两零一钱六分。又稻四石，麦二石，黍六石，稷四石，共价银二十一两二钱二分。求四色价前。

法曰：列稻一石，麦五石，黍三石，稷七石，价一十九两零六分。于右列稻八石，麦四石，黍七石，稷六石，价三十六两七钱三分。于次右列稻三石，麦二石，黍五石，稷七石，价二十两零一钱六分。于次左列稻四石，麦二石，黍六石，稷四石，价二十一两二钱二分。于左先以右稻一石遍乗次右行【仍得元数】以次右稻八石遍乗右行【麦得四十石，黍得二十四石，稷得五十六石，价得一百五十二两四钱八分】两行对减，麦余三十六石，黍余一十七石，稷余五十石，价余一百一十五两七钱五分。次以次右稻八石遍乗次左行【麦得十六石，黍得四十石，稷得五十六石，价得一百六十一两二钱八分】以次左稻三石遍乗次右行【麦得十二石，黍得二十一石，稷得十八石，价得一百一十两零一钱九分】两行对减，麦余四石，黍余一十九石，稷余三十八石，价余五十一两零九分。末以次左稻三石遍乗左行【麦得六石，黍得一十八石，稷得一十二石，价得六十三两六钱六分】以左稻四石遍乗次左行【麦得八石，黍得二十石，稷得二十八石，价得八十两零六钱四分】两行对减，麦余二石，黍余二石，稷余一十六石，价余一十六两九钱八分。解曰：前法减稻一色，余麦、黍、稷三色。次法曰：列余麦三十六石，余黍一十七石，余稷五十石，余价一百一十五两七钱五分于右；列余麦四石，余黍一十九石，余稷三十八石，余价五十一两零九分于中；列余麦二石，余黍二石，余稷一十六石，余价一十六两九钱八分于左。先以右麦三十六石遍乗中行【黍得六百八十四石，稷得一千三百六十八石，价得一千八百三十九两二钱四分】以中麦四石遍乗右行【黍得六十八石，稷得二百石，价得四百六十三两】两行对减，黍余六百一十六石，稷余一千一百六十八石，价余一千三百七十六两二钱四分。次以中麦四石遍乗左行【黍得八石稷得六十四石价得六十七两九钱二分】以左麦二石遍乗中行【黍得三十八石稷得七十六石】【价得一百零二两一钱八分】两行对减，黍余三十石，稷余一十二石，价余三十四两二钱六分。觧曰：「次法减麦一色，余黍稷二色。」后法曰：列余黍六百一十六石，余稷一千一百六十八石，余价一千三百七十六两二钱四分于右；列余黍三十石，余稷一十二石，余价三十四两二。

钱六分于左以右黍六百一十六石遍乗左行【稷得七千三百九十二石，价得二万一千一百零四。

两一钱六分】以左黍三十石遍乗右行【稷得三万五千零四十石，价得四万一千二百八十七两二钱】两价得数对减【余二万零一百八十三两零四分】为实；两稷得数对减【余二万七千六百四十八石】为法，除之，得七钱三分，为稷价【求黍麦稻价同二则】解曰：后法同二色方程，五色、六色以上仿此。○按方程之要，在加减；加减之闗键，在首位【谓第一横行】首位同名，则异名相加，同名相减；首位异名，则同名相加，异名相减。然大略如是，亦有不尽然者。有应减者无可减而反加之，有应加者无可加而反减之，变化无穷【数学钥卷五下之下】

亦存乎人之自悟耳<子部,天文算法类,算书之属,数学钥》>钦定四库全书