数度衍卷二十

数度衍卷二十

桐城　方中通　撰借推盈朒【盈朒之一】借虚征实，差分备矣。更有子母杂互，隐奥难知者，则两借虚数以征之。盈者有余也，朒者不足也。

两不足法式设一数，以其半为用，内除三之一，又除四之一，尚余三百，其原总若干？曰：一千四百四十。术：先借二十四为通数，列左，上半为十二，于内去三之一为四，去四之一为三，余五，以比三百，不足二百九十五，列左下，又借九。

十六为通数列右上半为四十八于内去三之一为十六，去四之一为十二，余二十，以比三百不足二百八十，列右下。乃以左上乗右下得数注右，右上乗左下得数注左。两不足相减，余为法；两乗得数相减，余为实。以法除实，得原总一千四百四十，半为七百二十。于内去三之一为二百四十，去四之一为一百八十，余三百，合问。式二设一数乗三外加一十，又乗四外加二十，又乗五外加三十，又乘六外加四十，共得六千七百。其原数若干曰十三术先借二列左上乗三得六外加十得十六又乗四得六十四，外加二十得八十四，又乗五得四百二十，外加三十得四百五十，又乗六得二千七百，外加四十得二千七百四十，以比六千七百不足三千九百六十，列左下。又借三列右上，乗三得九，加十得十九，又乗四得七十六，加二十得九十六，又乗五得四百八十，加三十得五百一十，又乗六得三千○六十，加四十得三千一百，以比六千七百不足三千六百，列右下。左右上下互乗，两不足减余为法，两乗数减余为实，以法除得一十三。如例乗加合六千七百之数。式：三二人分银一百两，若均分则每人五十，然须甲还所得三之一，乙还所得五之一，方得均分，其不均之分各若干？曰：甲六十四两又七分两之二，乙三十五两又七分两之五。术：先借三十两为甲裒，列左上，借乙裒七。

十附列于甲裒内减三之一为一十存二十于乙裒内减五之一为十四，而以乙减归甲，十四并二十为三十四，以比五十不足十六，列左下。又借六十两为甲裒，列右上。借乙裒四十，附列于甲裒内。减三之一为二十，存四十于乙裒内。减五之一为八，而以乙减归甲，八并四十为四十八，以比五十不足二，列右下。两不足减余为法，两乗数减余为实，以法除得甲数，于一百内减甲数，余乙数。通曰：「乙减归甲，故与甲裒乗也。若甲减归乙，则与乙裒乗，而先求得乙数矣。」式四设一数，以其二之一加三之一，又加四之一，再加二十二，共得一百，其数若干？曰七十二。术：借十二列左上，而以二之一，曰六；三之一，曰四；四之一，曰三，并得十。

三加二十二得三十五以比一百不足六十五，列左下，又借六十列右上，而以二之一，曰三十三之一，曰二十四之一，曰十五，并得六十五，加二十二得八十七，以比一百不足十三，列右下，两不足减余为法，两乗数减余为实，以法除得七十二，以其二之一，曰三十六，加三之一，曰二十四，四之一，曰十八，再加二十二，合一百。式五二：商母银不知数。云：取乙十二两与甲，则乙有甲六之一；取甲十五两与乙，则甲有乙十之一。其母各若干？曰：乙母十七两又五十九之二，甲母十八两又五十九之十二。术：从乙起算，先借二十为乙裒，列左上。内减十二，余八，以当甲六之一，用六因求甲，得四十八。内减还乙十二，存三十六为甲裒。又于甲裒内捐十五与乙，甲剩二十一，乙裒二十并十五得三十五。以甲剩数较乙加数，是十之一否？甲二十一，则乙当二百一十。今乙只三十五，是不足一百七十五也。列左下，另借一百为乙裒列右上内减十二余八十八以当甲六之一用六因求甲，得五百二十八，内减还乙十二，存五百一十六，为甲裒。又于甲裒内捐十五与乙，甲剩五百○一，乙裒一百并十五，得一百一十五。以乙较甲，是十之一否？甲五百○一则乙当五千○一十，今乙只一百一十五，是不足四千八百九十五也。列右下两不足减余为法，两乗数减余为实，以法除得乙母，内捐十二与甲，余五两又五十九之二。六乘得三十两又五十九之十二，内减还十二，存甲母。内捐十五与乙，加乙母得三十二两又五十九之二，甲剩三两又五十九之十二，乃乙十之一也。式：六甲、乙、丙三人共博，甲赢乙二之一，乙赢丙三之一，丙又赢甲四之一，各剰银七百两，其各母若干？曰：甲母四百，乙母八百，丙母九百。术：先借一百为甲裒，列左上，内捐与丙四之一，曰二十五，存七十五，而总有七百，是。

所赢乙二之一为六百二十五【七百内去七十五】而乙裒当为一千二百五十矣【两其六百】【二十五】附列内捐二之一，剰六百二十五，又赢丙三之一，共得七百，是所赢丙为七十五【七百内去六百二十五】而丙裒当为二百二十五矣【三其七十五】又附列内捐与乙三之一，剩一百五十，加入得甲四之一，曰二十五，共一百七十五，以比七百不足五百二十五，列左下。另借二百为甲裒，列右上。内捐与丙四之一，曰五十，存一百五十，而总有七百，是所赢乙二之一为五百五十【七百内去一百五十】而乙裒当为一千一百矣【两其五百五十】附列内捐二之一，剩五百五十，又赢丙三之一，共得七百，是所赢丙为一百五十【七百内去五百五十】而丙裒当为四百五十矣【三其一百五十】又附列内捐与乙三之一，存三百，加入得甲四之一，曰五十，共三百五十，以比七百不足三百五十，列右下。两不足减余为法，两乗数减余为实，以法除得四百为甲母。内减四之一，存三百，加乙二之一为七百，是所加四百，因知乙母八百也。以乙母减二之一，存四百，加丙三之一为七百，是所加三百，因知丙母九百也。以丙母减三之一，存六百，加甲四之一为七百。通曰：“不足数与乙裒乗，求得乙母；与丙裒乗，求得丙母。式七，甲、乙、丙三商共贩，得子银四百两。其分数，乙比甲多十二两，丙比乙多十六两。问各若干？曰：甲一百二十，乙一百三十二，丙一百四十八。术：先借一两为甲裒，列左上。乙该十三，丙该二十九，共四十三，比四百不足三。”百五十七列左下又借二两为甲裒列右上乙该十四丙该三十共四十六，比四百不足三百五十四，列右下，依法求得甲数加多，得乙丙数。式：八绫七尺，罗九尺，两共价等。其每尺价，罗少三十六文。其各尺价若干？曰：绫每尺一百六十二文，共一千一百三十四文；罗每尺一百二十六文，共与绫等。术：先借七十二为绫价，列左上；罗价当为三十六，列次。各以尺数乗之绫得五百○四，罗得三百二十四。以罗视绫不足一百八十，列左下。又借一百为绫价，列右上。罗当为六十四，列次。各以尺数乗之，绫得七百，罗得五百七十六。以罗视绫不足一百二十四，列右下。两不足减余为法，以不足数乗绫裒，得绫实。以法除，得绫每尺价。乗罗裒，得罗实。以法除，得罗每尺价。各以尺数乗，得各共价。式九鸡▯同笼，不知数，云九十六头，三百○八足，问各若？

干曰：鸡三十八，兔五十八。术以九十六头爲主，先借鸡四十八，列右上。▯该四十八【九十六内去四十八，存四十八】列次鸡二足乗得九十六足，免四足乗得一百九十二足，并得二百八十八足，比三百○八不足二十，列右下。又借鸡六十，列左上。▯该三十六【九十六内去六十，存三十六】列次鸡为一百二十足，▯为一百四十四足，并得二百六十四，比三百○八不足四十四，列左下。两不足减余为法，以下互乗上裒减余为鸡实，以法除得鸡数。以下互乗次裒减余为免实，以法除得▯数。又各乗得足数，合三百○八。又术倍九十六头为一百九十二，以减总足，余一百一十六，以二除得五十八为▯数。用四足乘得二百三十二足，以减总足，余七十六，以二除得三十八为鸡数【琇曰：鸡足半共足减共头余▯▯足分共足减共头倍余为鸡】

两盈法式设一数，以其半为用，内除三之一，又除四之一，尚余。

三百其原总几何曰一千四百四十术先借四千八百为通数列左上半为二千四百，三之一为八百，四之一为六百，皆于通数内减之，余一千，以比三百，盈七百，列左下。又借二千四百为通数，列右上半为一千二百，三之一为四百，四之一为三百，皆于右通数内减之，余五百，以比三百，盈二百，列右下。两盈相减，余为法，左右上下互乗，得数相减，余为实，以法除实，得原总。通曰：「与前一式同，但彼于半通数内减各分，此于通数内并半数而减之，两法皆可用也。」式：二三人共分银四十四两，乙多甲一倍外又多四两，丙兼甲乙之数外又多六两。问：各若干？曰：甲五两，乙十四两，丙二十五两。术：先借甲一十，列左上，乙倍得二十，加四共二十四丙兼甲乙又加六共四十并三数得七十四比四十四，盈三十，列左下。又借甲六，列右上。乙倍得十二，加四共十六。丙兼甲乙，又加六，共二十八。并三数得五十，比四十四盈六，列右下。两盈减余为法，两乗数减余为实。以法除得甲五两，倍为十，加四共十四两为乙数。兼甲乙得十九，又加六共二十五两为丙数。如左图，用各裒乗，便求得各数也。

又术通曰：乙多四，丙兼甲乙而多六，则必兼多乙之四矣。并三多为十四，于总银内减之，余三十为实。乙多甲一倍，是甲一停，乙二停也。丙兼甲乙，是甲乙共三停，丙亦三停也。三人共六停为法，除实得五两为甲一停之数，亦合。式三以一千剖为二，甲多于乙四十九两，问各几何？曰：甲五百二十四两五钱，乙四百七十五两五钱。术：先借。

六百为甲裒列左上乙四百附列较差二百比四十九盈一百五十一，列左下。另借五百五十为甲裒，列右上。乙四百五十，附列。较差一百，比四十九盈五十一，列。

右下两盈减余为法，两乗数减余为实，以法除得甲数，减总得乙数。又术通曰：以一千剖为二，得五百；以四十九剖为二，得二十四两五钱。五百外加二十四两五钱为甲数，五百内减二十四两五钱为乙数。又术通曰：于一千内减去四十九，余九百五十一，剖为二，得四百七十五两五钱为乙数，减总得甲。式：四罏二座，葢重一百五十斤。以葢加甲鑪，则多乙二倍；以葢加乙罏，则与甲等。问：各几何？曰：甲三百斤，乙一百五十斤。术：先借三十为甲裒，列左上。葢附列共一百。

八十又附列以三之一为乙裒得六十加葢共二百一十比甲裒盈一百八十列，左下又借九十为甲裒列，右上葢附列，共二百四十。又附列以三之一为乙裒，得八十，加葢共二百三十。比甲裒盈一百四十列，右下两盈减余为法，两乗数减余为实。以法除得甲鑪加葢得四百五十斤，其三之一得一百五十斤为乙鑪。式五，二人银不知数，减乙六两与甲，则甲多乙一倍；减甲三两与乙，则正等。问各几何？曰：甲三十两，乙二十四。

两术从乙起算先借十五为乙裒列左上内减六存九以当甲之半则甲该十八，内减所加六，得十二，为甲裒。内取三与乙，则甲剰九，以较乙裒十五，加三之十八，而乙盈九，列左下。另借二十为乙裒，列右上。内减六，存十四，倍得二十八，为甲。内减所加六，得二十二，为甲裒。内取三与乙，则甲剰十九，以较乙裒二十，加三之二十三，而乙盈四，列右下。两盈减余为法，两乗数减余为实，以法除得乙二十四，减六存十八，倍得三十六，减六得甲三十。内减三与乙，则与乙二十四加三正等。式六漏壶注水，有三孔：甲孔流水二时而尽，乙孔流水三时而尽，丙孔流水六时方尽。若三孔俱开，则几时水？

尽曰一时术借四时列左上以四时推甲当尽二壶乙当尽一壶又三分壶之一丙当尽三分壶之二，并之四时，共尽四壶。比原问一壶盈三，列左下。另借十时，列右上。推甲当尽五壶，乙当尽三壶又三分壶之一，丙当尽一壶又三分壶之二，并之十时，共尽十壶。比原问一壶盈九，列右下。两盈减余为法，两乗数减余为实，以法除得一时。甲尽半壶，乙尽三分壶之一，丙尽六分壶之一，正合一壶之数。通曰：「左裒推得四时尽四壶，亦已明矣。用合率差分法，亦可。」式七，黄金百斤，制鑪不用销毁。欲知匠和银若干？曰：和银十六斤，又三分斤之二。术：以三器贮水，等重。一投金鑪，溢水六十五斤；一投纯金，百斤溢水六十斤；一投纯银百斤溢水九十斤如法求之先借四十为和银数列左上存金六十附列以溢水裒推之，存金六十斤，该溢水三十六斤；和银四十斤，该溢水三十六斤。共溢水七十二斤，以比六十五斤，盈七，列左下。另借三十为和银数，存金七十，附列以溢水裒推之，存金七十斤，该溢水四十二斤；和银三十斤，该溢水二十七斤。共溢水六十九斤，以比六十五斤，盈四，列右下。两盈减余为法，两乗数减余为实，以法除得十六斤又三分斤之二为和银数。推得溢水十五斤，金只八十三斤又三分斤之一；推得溢水五十斤，共合投鑪溢水六十五斤之数。式：八调南北西三处兵，南兵四万，北兵为南及西二分之一，西兵为南及北三分之一。问：北、西各几何？曰：北三万二千，西二万四千。术：先借三万为北，裒列左上，推得南西共六万，去南四万，西仅二万，附列西为南北三之。

一则南北当为六万今得七万是盈一万也列左下又借二万四千为北裒列右上推得南西共四万八千去南四万，西仅八千，附列西为南北三之一，则南北当为二万四千，今得六万四千，是盈四万也。列右下，两盈减余为法，两乗数减余为实，以法除得北兵，推知西兵二万四千。式：九金九锭，银十一锭，等重互换，一锭则金轻十三两，问各若干？曰：金一锭重三十五两七钱五分，银一锭重二十。

九两二钱五分，金九锭，共重三百二十一两七钱五分；银十一锭，共重。正等术：金轻十三两，则金银较为六两五钱。先借十三两为金裒，列右上；银该六两五钱【去较数】列次。金九锭乗十三，得一百一十七两；银十一锭乗六五，得七十一两五钱。以金比银盈四十五两五钱，列右下。又借二十四两为金裒，列左上；银该十七两五钱【去较数】列次。金九锭乗二十四，得二百一十六两；银十一锭乗十七五，得一百九十二两五钱。以金比银盈二十三两五钱，列左下。两盈减余为法，上与下互乗减余为金实，以法除得金一锭数。次与下互乗减余为银实，以法除得银。

一锭数，各以锭数乗，得共重正等。又术，以较六两五钱乗金九锭，得五十八两五钱，为实；以金九锭，银十一锭相减，余二为法，除得银一锭数。又以较乗银十一锭，得七十一两五钱，为实；以法二除，得金一锭数。

通曰又术即合率差分法也一盈一不足法式物价九十六两，三人共买。甲出不知数，乙于甲内少二两，丙于甲乙二人外多四两。问各若干？曰：甲二十四两，乙二十二两，丙五十两。术：先借二十为甲数，列左上。

乙当十八丙当四十二并得八十较原价不足十六列左下又借三十为甲数，列右上乙，当二十八，丙当六十二，并得一百二十，较原价盈二十四，列右下盈不足，并得四十为法，左右上下互乗，并得九百六十为实，以法除得甲数，推知乙丙。式二物价二千七百两，三人共买，甲出不知数，乙倍甲，丙倍甲，乙问各若干？曰：甲三百两，乙六百两，丙一千八。

百两术先借二百为甲数列左上乙四百丙一千二百并得一千八百较原价不足九百，列左下。又借四百为甲数，列右上。乙八百，丙二千四百，并得三千六百，较原价盈九百，列右下。盈不足并为法，互乗并为实，以法除得甲数，推知乙丙。又术通曰：只拟甲出十两为率，甲十，乙二十，丙六十，并得九十为法。以甲十两乗原价，得二万七千为实，以法除得甲数。式三设一数，以其半为用，内除三之一，又除四之一，尚余三百，其原数几何？曰：一千四百四十。术：先借二千四百列左上半为一千二百内三之一去四百四之一去三百余五百比三百盈二百列左下又借九十六，列右上半为四十八，内三之一，去十六，四之一，去十二，余二十，比三百不足二百八十。列右下，盈不足并为法，互乗并为实，以法除得原数。式四甲乙不知数，取乙九与甲，则甲倍乙；取甲九与乙，则甲乙等。问各若干？曰：甲六十三，乙四十五。术：先借一。

百为等数乙得甲九则甲原是一百○九列左上乙为九十一列次甲，若取乙九，则甲得一百一十八，而乙余八十二，比甲之半五十九【甲系倍乙】盈二十三。列左下又借五十为等数，乙得甲九，则甲原是五十九。列右上乙为四十一列次甲，若取乙九，则甲得六十八，而乙余三十二，比甲之半三十四，不足二。列右下盈不足并为法，上乗并为甲实，次乗并为乙实，以法各除得各数。式五携酒游山，四处每沽増一倍，俱饮六升，恰尽。问原携若干？曰五升六合二勺五抄。术：先借五升四合，列右上。倍得一斗○八合，减六升，余四升八合。又倍得九升六合，减六升，余三升六合。又倍得七升二合，减六升，余一升二合又倍得二升四合减六升不足三升六合列右下又借六升二合，列左上，倍得一斗二升四合，减六升，余六升四合；又倍得一斗二升八合，减六升，余六升八合；又倍得一斗三升六合，减六升，余七升六合；又倍得一斗五升二合，减六升，盈九升二合。列左下，盈不足并为法，互乗并为实，以法除得原携酒数，四次倍减适尽。式六贷糓不知数，每年加息一倍，又还糓五十石，至三年本息俱完，问原贷若干？曰：四十三石七斗五升。术先借四十三列左上倍得八十六减五十余三十六又倍得七十二减五十余二十二，又倍得四十四，比五十不足六，列左下。另借四十四，列右上，倍得八十八，减五十余三十八，又倍得七十六，减五十余二十六，又倍得五十二，比五十盈二，列右下。盈不足并为法，互乗并为实，以法除得原糓。式：七逐▯百只，每三人得四只，该几人？曰：七十五人。术：先借七十二，列左上，四乗三除，得九十六，不足四，列左下。又借九十，列右上，四乗三除，得一百二十，盈二十，列。

右下盈不足并为法互乗并为实以法除得人数又术通曰用三累法【见九章外法】以四只为一率，三人为二率，百只为三率，求之亦可。式八，三人共数六十。乙倍甲，外加四；丙兼甲乙，外加六。问各几何？曰：甲七又三之二，乙十九又三之一，丙三十。

三术先借六为甲倍之加四乙得十六兼甲乙加六丙得二十八，并得五十，俱列左比六十，不足一十，列左下。又借八为甲，乙得二十，丙得三十四，并得六十二，俱列右比六十，盈二，列右下。盈不足并为法，甲互乗并为实，以法除得甲数，推得乙丙。式九以三十数剖为二，甲加六十，乙加二十，而甲为乙三倍，其剖分各几何？曰：甲二十二又二之一，乙七又二。

之一术先借二十为甲列左上乙一十附列甲加六十得八十乙加二十得三十，以甲比乙，乙三十，甲当九十，今止八十，是不足一十也，列左下。又借二十四为甲，列右上，乙六附列。甲加得八十四，乙加得二十六，以甲比乙，乙二十六，甲当七十八，今却八十四，是盈六也，列右下。盈不足并为法，互乗并为实，以法除得甲数三之一，得乙。又术通曰：以三十剖为四分，每分得七五，甲得三分共二十二五，乙得一分即七五。式十二人分银百两，须甲捐三之一，乙捐四之一，平分捐数，方各得五十两。其未均数各几何？曰：甲五十二两又十七分两之十六，乙四十七两又十七分两之一。术先借六十为甲列左上乙四十附列减甲三之一为二十存四十减乙四之一，为一十，存三十，和两减之三十，均得十五。以甲得十五，合减存四十，得五十五，比五十盈五，列左下。又借二十四为甲，列右上，乙七十六，附列。减甲三之一，为八，存十六。减乙四之一，为十九，存五十七。和两减之二十七，均得十三五。以甲得十三五，合减存十六，得二十九五，比五十不足二十○五，列右下。并盈不足为法，并互乗为实，以法除得甲数，减总得乙。式：十一二鑪，一葢重百两。葢加甲鑪，则三倍于乙；葢加乙鑪，则二倍于甲。问各若干？曰：甲鑪八十两，乙鑪六十。

两术先借五十为甲列左上加葢共一百五十附列以三之一为乙五十加葢得一百五十甲是五十乙加葢只该一百，今盈五十，列左下。又借一百一十为甲，列右上。加葢共二百一十，附列以三之一为乙，七十。加葢得一百七十，甲是一百一十，乙加葢当二百二十。今不足五十，列右下。并盈不足为法，并互乗为实，以法除得甲数，推得乙。式：十二甲匠做工，三十日完。加乙匠，则十八日完。若独用乙匠，须几日？曰：四十五日。术：须知甲之十八日，乃三十日内五分之三则知乙十八日为五分之二先借四十为乙列左上，以十八日完五之二，推之四十日当完九之八，不足九之一，列左下。又借六十为乙，列右上，以十八日完五之二，推之六十日当全完，又盈九之三，列右下。并盈不足为法，并互乗为实，以法除得乙日【用奇零法，见前】又术通曰：既知十八日为乙五分之二，则以十八折半得九，用五乗之，亦得乙日。式十三牛羊共百牵总价一百六十八两，每牛三头银十二两，羊四羫银一两五钱，问各若干？曰：牛三十六价。

一百四十四两羊六十四价二十四两术先以三归十二得牛一头，价四两，以四归一，两五钱得羊一羫，价三钱七分五厘，而皆化为厘算之，乃借六十为牛，列左上，羊四十，列次，以乗各价，牛乘四千厘，得二十四万，羊乘三百七十五厘，得一万五千，并得二十五万五千厘，比总价盈八千七百厘，列左下，又借三十为牛，列右上，羊七十，列次，以乗各价，牛得十二万，羊得二万六千二百五十，并得十四万六千二百五十厘，比总价不足二千一百七十五厘，列右下，并盈不足为法，并上互乗为牛实，次互乗为羊实，以法除得各数通曰：「盈本八万七千，不足本二万一千七百五十。今降一位，列下也。再降亦可。葢升则法实俱升，降则法实俱降也。」

叠求法式甲乙丙三数，甲加七十三则为乙丙数者二，乙加七十三则为甲丙数者三，丙加七十三则为甲乙数者四，问各几何？曰：甲七，乙十七，丙二十三。术：此因有三之二及四之三，当借奇数求甲，而又因乙丙之加牵连难析，则叠用前法以征之。且如借一【奇数】为甲，裒加七十三得七十四，当为兼乙丙而倍之之数，因折半三十七为乙丙数，而乙数另须借推。第一图，先借二为乙，列左上乙。

丙数三十七内减二余丙三十五列次乃以二加七十三得七十五，以较甲丙合数三十六【甲一丙三十五】三，其合数该一百○八，今只七十五，是不足三十三也，列左下。又借五为乙，列右上。乙丙数三十七内减五，余丙三十二。列次乃以五加七十三得七十八，以较甲丙合数三十三【甲一丙三十二】三，其合数该九十九，今只七十八，是不足二十一也，列右下。两不足减余为法，两互乗减余为实，以法除得一十又四之一为乙裒。另列初借甲裒一，列后第三图左上乙裒。列次乙丙共三十七内减乙，得丙二十六又四之三。列次再借三【奇数】为甲裒，加七十三得七十六，当为兼乙丙而倍之之数，因折半三十八为乙丙数，而乙数另须借推。第二图先借二为乙，列左上乙丙数三十八内减二，余丙三十六。七十四为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十七】乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一，当为兼甲丙共数者三，今甲丙共二十七又四之三，三其甲丙共数合八十三又四之一无差。丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三，当为兼甲乙共数者四，今甲乙共一十一又四之一，四其甲乙共数只该四十五，今却九十九又四之三是盈五十四又四之三也，列左下。右上甲裒三加七十三得七十六，为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十八】乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一，当为兼甲丙共数者三，今甲丙共二十八又二之一，三其甲丙共数合八十五又二之一无差。丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一，当为兼甲乙共数者四，今甲乙共一十五又二之一，四其甲乙共数只该六十二，今却九十八又二之一是盈三十六又二之一也，列右下。两盈减余为法，甲乗减余为甲实，乙乗减余为乙实，丙乗减余为丙，实以法除，得各数。甲七加七十三，得八十，为兼乙丙共数四十者二。乙十七加七十三，得九十，为兼甲丙共数三十者三。丙二十三加七十三，得九十六，为兼甲乙共数二十四者四。合问通曰：本章诸式多与差分同，两法皆可求者则同也。原带盈朒【盈朒之二】

一盈一不足法式买物，每人出五两，盈六两；每人出三两，不足四两。人数、物价各若干？曰：五人，物价十九两。术：左列五之六【即五两盈六两】右列三之四【即三两不足四两】两子并为人实母子互乗，并为物实，两母减余为法，以法除人实，得人数，以法除物实，得物价。再以五人乗五，减六，或以五人乗三，加四，皆同物价。若用借裒，先借四人，列左上乗五，得。

二十减六存十四又以四乗三得十二加四得十六两数相较不足二列左下另借七人，列右上，乗五，得三十五，减六，存二十九。又以七乗三，得二十一，加四，得二十五。两数相较，盈四，列右下。并盈不足为法，并互乗为实，以法除，得五人。式：二分糓，每人五石，盈三十石；每人六石，不足四十石。人糓各若干？曰：七十人，糓三百八十石。术：五之三十，列左；六之四十，列右。两子并为人实，母子互乗，并为糓实。两母减余为法，除人实得人数，除糓实得糓数。再以人数乘五石加盈三十或以人数乗六石减不足，四十皆同糓数，前式系出率，故减盈増不足；此式系入率，故増盈减不足也。若用借裒，先借三十人，列左上，乗五得一百五十，加三十，共一百八十，又以三十乗六得一百八十减四十存一百四十两数相较盈四十列左下另借一百人列右上，乗五得五百，加三十，共五百三十。又以一百乗六得六百，减四十，存五百六十。两数相较，不足三十，列右下。盈不足，并为法，互乗，并为实。以法除，得人数。式三新绢作帐折六幅长旧六寸折七幅短旧四寸新绢旧帐幅各几何？曰：绢长四丈二尺，旧帐幅长六尺四寸。术：先以幅数乗盈不足，以六列左上，乗盈六寸得三。

尺六寸列下以七列右上乗不足四寸得二尺八寸列下，两子并为旧实，母子互乗，并为新实，两母减余为法，得旧帐幅长，除新实得绢长。

式四田一坵截半另佃截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原濶步各若干曰截积之步五十五原濶步八术左列六之七右列八之九并子为濶实并母子互乗为截实两母减余为法各以法除得数两盈法式：买物，每人出三两五钱，盈六两；每人出三两三钱，盈二两八钱。人数、物价各若干？曰：十六人，物价五十两。术：两出率，左右列，两盈各列其下。两子减，余为人实母子。

互乗减余为物实两母减余为法各以法除得数式二井不知深，将绳折作三股，入井汲水，余绳四尺，折。

作四股入井汲水余绳一尺井深绳长各几何曰：井深八尺，绳长三丈六尺。术：左三股，右四股。列上以三乗四尺，得十二为左子；以四乗一尺，得四为右子。俱列下，两子减余为井实，母子互乗，减余为绳实。两母减余为法，各以法除得数。

两不足法式：买物，每人出银五两，不足四两，每人出银五两四钱，不足二两，人数物价各若干？曰：五人，物价二十九两。术：

左列五十之四十【升两为十】右列五十四之二十两，子减余为人，实母子互乗，减余为物，实两母减余为法，各以法除得数。

一适足一盈法式：买物，每人出二两五钱，盈六两；每人出二两三钱，适足。人数、物价各若干？曰：三十人，物价六十九两。术：以二十五列左上盈六十列下以二十三列右上无下数即以盈数为人实左子乗右母为物，实两母减余为法，各以法除得数，或不乗物实，以人数乗适足之母，亦得物价。式二，以米换布，换九疋，适足换七疋，米多四斗，米数布。价各若干，曰共米一石八斗，每疋。值米二斗，术左列九，适足右列七。盈四，以盈数为米，实两母减余为。法：除得二斗为每疋换米数，乃以适足之母九乗之，得共米。

一适足一不足法式买物，每人出七两，不足十四两；每人出九两，适足。人数、物价各若干？曰：七人，物价六十三两。术：左列七，不足。

十四右列九适足以不足为人实左子乗右母为物实两母减余为法，各以法除得数，或以人数乗适足之母，亦得物价。

叠数盈朒法式买物，每八人共出七两，盈四两五钱；每九人共出六两，不足三两。人数、物价各若干？曰：三十六人，物价二十七两。术：分三层，以八人列左上，九人列右上。两上相乗。

得七十二为通数，共出七两，列左中；共出六两，列右中。上中互乗，减余为法。盈四两五钱，列左下；不足三两，列右下。以下与两乗数，再互乗，并为物实。两下并得七十五，又乗通数为人实。各以法除，得数。通曰：「下层并之数，皆以千降百也。」式：二买物，每六人出九两，盈三两；每四人出七两，盈六两。人、数、物价各若干？曰：十二人，物价十五两。术：六人列左上，四人列右上，相乗得二十四为通数。九两列左中。

七两列右中上中互乗减余为法，盈三两列左下，盈六两列右下，以下与两乗数再互乗减余为物实，两下相减余三，又乗通数为人实，各以法除得数。其叠数两不足者，仿此。式：三买物，每三人出五两，不足十两；五人出九两，适足。人数、物价各若干？曰：七十五人，物价一百三十五两。术：三。

人列左上，五人列右上，乗得通数，五两列左中，九两列右中，上中互乗，减余为法，不足十两列左下，以左下乗右乗数为物实，以左下乗通数为人实，各以法除得数。其叠数之盈适足者，仿此。

母子盈朒法式银不知数，买物用三分之二，盈三两；用五分之三，不足一两。银数物价各若干？曰：总银六十两，物价三十七。

两术上层左列五之三，右列三之二，母子互乗，右得一十，再乗不足一两，得一十；左得九，再乗盈三两，得二十七。乃以右乗之一十列左中，左乗之九列右中；以右再乗之一十列左下，左再乗之二十七列右下。上层两子乗得通数，中层左右相减余为法，下层左右相并为物实。中下互乗并数，又以通数除之为银实，各以法除得数。式：二银不知数，买物取六分之四，盈二两；取四分之三，盈三两五钱。银数、物价各若干？曰：总银十八两，物价十两。术：上层左列四之三，右列六之四，母子互乗，右得十六，再乗盈三两五钱，得五十六；左得十八，再乗盈二两，得三。

十六，乃以右乗之十六，列左中；左乗之十八，列右中。以右再乗之五十六，列左下；左再乗之三十六，列右下。上层两子乗得通数，中层左右减余为法，下层左右减余为物。实中下互乗减余，又以通数除之为银。实各以法除，得数。式三派银不言数，但知甲乙二等户。乙户所办当甲戸十之八。令甲八户乙五戸纳之，不足五两。令甲六戸乙八戸纳之，不足三两。其派银数及各戸则例若干？曰：甲一戸办五两，乙一戸办四两。派银六十五两。术：以甲裒一十【乙当甲十之八，故以一十为甲裒】乗八户得八十。乙裒八乗五户得四十并得一百二十列左上又以甲裒一十乗六户得六十，乙裒八乗八户得六十四，并得一百二十四，列右上。其不足五两，列左三两，列右两母。

减余为法，两互乗，减余为银实，两子减余为则例实，以法除银实，得派银，以法除则例实，得五钱。甲裒一十乗五钱，得甲一户数；乙裒八乗五钱，得乙一戸数。

式四钱不知数买物取二分之一盈四文取七分之三适足钱数物价各若干曰钱五十六文物价二十四文术七之三列左二之一列右母子互乗左子乗得六，另列右右子乗得七，另列左，而以六乗盈四得二十四，列右下为物实。又以二十四乗适足之母七得一百六十八为钱实，两另列之母减余一为法，除物实得物价，原子相乗得三为法，除钱实得钱数。式五粜麦不知数，但云取三分之一粜银八两适足，若取八分之三粜银十两不足二石，总麦及每银一两粜麦若干？曰总麦四十八石，银一两粜二石。术：左列三之一，右列八之三，互乗之，左得八，再乗十两得八十，另列右；右得九，再乗八两得七十二，另列左。乃以适足之银八乗不足之麦二得十六石，列右下为银实。又以右下乗左上，得一千一百五十二。以原子相乗，得三，除之得三百八十四，为麦实。另列两母减余得八为法，除麦实得总麦，除银实得麦二石，乃价银一两之所粜也。

数度衍卷二十<子部,天文算法类,算书之属,数度衍》>钦定四库全书