御制数理精蕴下编卷十九

御制数理精蕴下编卷十九

面部九各面形縂论直线形各面形总论面之爲形，成于方圜。直线所成，皆方之类；曲线所成，皆圜之类。立法则方爲圜之本度，圜者必以方而度，方者必以矩。所谓方有尽而圜无尽，是也。论理则圜又爲众界形之本，葢众界形或函圜，或函于圜，其边皆当弧线之度，故求众界形者，必以圜界爲宗也。因有方圜众界之各异，是以边线等者，面积不等。如众界形之毎一边与圜径俱设爲一○○○○，则方面积爲一○○○○○○○○，而圜面积爲七八五三九八一六三；等边形之面积爲四三三○一二七○五；等边形之面积爲一七二○四七七四一；六等边形之面积爲二五九八○七六二○；七等边形之面积爲三六三三九一二四○；八等边形之面积爲四八二八四二七一二；九等边形之面积爲六一八一八二四二○；十等边形之面积爲七六九四二○八八三。此各形之面积皆以方积比例者也。或以圜面积设爲一○○○○○○○○，则圜径得一一二八三小余七九一六。如圜径与众界形之毎一边俱设爲一一二八三小余七九一六，则圜面积爲一○○○○○○○○，而三等边形之面积爲五五一三二八八九；方面积爲一二七三二三九五；四五等边形之面积爲二一九○五七九八；六六等边形之面积爲三三○七九七三三；四七等边形之面积爲四六二六八四○九；八八等边形之面积爲六一四七七四四三；五九等边形之面积爲七八七○九四三○；二十等边形之面积爲九七九六五七○九九。此各形之面积皆以圜积比例者也。葢因各形之边线相等，面积不同，故皆定爲面与面之比例也。面积等者，边线不等。如众界形之面积与圜面积俱设爲一○○○○○○○○○○○○○○○○，则方边爲一○○○○○○○○，而圜径爲一一二八三七。九一六三等边形之毎边爲一五一九六七一三七五，等边形之毎边爲七六二三八七○五六，等边形之毎边爲六二○四○三二四七，等边形之毎边爲五二四五八一二六八，等边形之毎边爲四五五○八九八五九，等边形之毎边爲四○二一九九六三十，等边形之毎边爲三六○五一○五八，此各形之边线皆以方边比例者也。或以圜径设爲一○○○○○○○○，则圜面积爲七八五三九八一六三三九七四四八三。如圜面积与众界形之面积俱设爲七八五三九八一六三三九七四四八三，则圜径爲一○○○○○○○○，而二等边形之毎边爲一三四六七七三六九，四等边形【卽正方】之毎边爲八八六二二六九二，五等边形之毎边爲六七五六四七九三，六等边形之毎边爲五四九八一八○五，七等边形之毎边爲四六四八九八○三，八等边形之毎边爲四○三三一二八八，九等边形之毎边爲三五六四四○一，四十等边形之毎边爲三一九四九四一八，此各形之边线皆以圜径比例者也。葢因各形之面积相等，边线不同，故皆定爲线与线之比例也。然自众界形之中心分之，则又各成三角形，皆以勾股爲准则。故勾股三角形虽爲面，而不囿于面之中，却别立一章焉。要之，众界形边求积者归之勾股，积求边者归之正方，引而伸之，触类而长之，凡爲面形者，不能违是也。

直线形设如正方形，每边五十尺，问对角斜线几何？法以方边五十尺自乗得二千五百尺，倍之得五千尺，开方得七十尺七寸一分零六豪有余，即所求之对角斜线也。如图，甲乙丙丁正方形，其甲乙、乙丙、丙丁、丁甲每边皆五十尺，甲丙为所求对角斜线，甲乙为股，则乙丙为勾；乙丙为股，则甲乙为勾。因甲乙与乙丙相等，皆可互为勾股，故以一边自乗倍之开方得▯卽如各自乗相并开方而得▯也。又用定率比例法，以定率之方边一○○○○○○○爲一率，对角斜线一四一四二一三五为二率，今所设之方边五十尺为三率，求得四率七十尺七寸一分零六豪有余，卽所求之对角斜线也。葢定率设方边为一千万，其对角斜线为一千四百一十四万二千一百三十五，故定率之方边一千万与定率之对角斜线一千四百一十四万二千一百三十五之比，卽如今所设之方边五十尺与所求之对角斜线七十尺七寸一分零六豪有余之比也。若有对角斜线求方边，则以对角斜线自乗折半开方所得为正方形之每一边也。葢甲丙▯自乗之方与甲乙股、乙丙勾两正方相并之积等。今以甲丙▯自乗折半，则必与甲乙或乙丙自乗之一正方相等，故开方而得每一边也。或用定率比例法，以定率之对角斜线一四一四二一三五为一率，方边一○○○○○○○为二率，今所设之对角斜线为三率，求得四率卽方边也。设如正方形，每边二尺，今将其积倍之，问得方边几何？法以每边二尺自乗得四尺，倍之得八尺，开方得二尺八寸二分八厘四豪有余，卽所求之方边数也。如图，甲乙丙丁正方形，每边二尺，其面积四尺，倍之得八尺，卽如戊乙己庚正方形，其每边即甲乙丙丁方形之对角斜线。试于戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形，以乙为心，戊为界，作戊己弧与丁角相切，则丁乙与己乙皆为半径，其度相等。葢丁乙对角斜线自乗之方为甲乙边自乗之方之二倍，故戊乙己庚正方形卽为甲乙丙丁正方形之二倍，而戊甲丁丙己庚磬折形积，即与甲乙丙丁正方形积相等也。设如正方形，每边二尺，今将其积四倍之，问得方边几何？法以每边二尺，倍之得四尺，卽所求之方边数也。如图，甲乙丙丁正方形，每边二尺，其面积四尺，四倍之得一十六尺，卽如戊乙己庚正方形之面积，其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍，是故不用四倍其积开方，止以每边二尺倍之而卽得也。此法葢因两方面之比例，比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原本七卷第五节】故戊乙己庚正方面积一十六尺，与甲乙丙丁正方面积之四尺相比，为四分之一，而戊乙己庚正方边之四尺，与甲乙丙丁正方边之二尺之比，为二分之一。

夫十六与八，八与四，四与二，皆为二分之一之连比例，而十六与四之比，其间隔八之一位，故为连比例隔一位相加之比例也。设如长方形，长十二尺，阔八尺。今将其积倍之，仍与原形为同式形，问得长阔各几何？法以阔八尺自乗得六十四尺，倍之得一百二十八尺，开方得一十一尺三寸一分三厘七豪有余，即所求之阔。旣得阔，乃以原阔八尺为一率，原长十二尺为二率，今所得阔一十一尺三寸一分三厘七豪有余为三率，求得四率一十六尺九寸七分零五豪有余，卽所求之长也。或以长十二尺自乗倍之开方，亦得一十六尺九寸七分零五豪有余为所求之长也。如图甲乙丙丁长方形，甲乙阔八尺，甲丁长十二尺，将其积倍之，即如戊己庚辛长方形。此两长方面积之比例，卽同于其相当二界各作一正方面积之比例【见几何原本七卷第七节】故依甲乙丙丁长方形之丁丙阔界作丁丙壬癸正方形，将其积倍之，卽如戊己庚辛长方形之辛庚阔界所作之辛庚子丑正方形。故开方得辛庚为所求之阔也。既得辛庚之阔，则以甲乙与甲丁之比，卽同于戊己与戊辛之比，得戊辛为所求之长也。若以原长自乗倍之开方，卽如以二长界各作一正方形互相为比例也。设如长方形，长十二尺，阔八尺。今将其积四倍之，仍与原形为同式形。问得长阔各几何？法以阔八尺，倍之得十六尺，卽所求之阔。又以原长十二尺，倍之得二十四尺，即所求之长也。如图，甲乙丙丁长方形，甲乙阔八尺，甲丁长十二尺，将其积四倍之，卽如戊己庚辛长方形，其每边得甲乙丙丁长方形每边之二倍。是故不用四倍其积开方，止以各边之数倍之而即得也。此法葢因两长方面之比例，既同于其相当二界各作一正方面之比例，而两正方面之比例比之二界之比例，为连比例隔一位相加之比例。故两长方面之比例较之两界之比例，亦为连比例隔一位相加之比例也。设如三角形面积三千尺，底阔八十尺，问中长几何？法以积三千尺倍之，得六千尺，用底阔八十尺除之，得七十五尺，卽所求之长也。如图，甲乙丙三角形，其积倍之，成丁乙丙戊长方形，乙丙为底阔，故以底阔除长方积，得甲己为中长也。设如两两等边无直角斜方形【一日象目形】小边皆二十五丈，大边皆三十九丈，对两小角斜线五十六丈，问面积防何？法以对角斜线分斜方形为两三角形算之。以对角斜线五十六丈为底，大边三十九丈，小边二十五丈为两腰，用三角形求中垂线法，求得中垂线十五丈。乃以对角斜线五十六丈与中垂线十五丈相乗，得八百四十丈，即斜方形之面积也。如图，甲乙丙丁斜方形，甲丁、乙丙二小边皆二十五丈，甲乙、丁丙二大边皆三十九丈，甲丙对两小角斜线五十六丈。

今以甲丙斜线分甲乙丙丁斜方形为甲乙丙、甲丁丙两三角形，俱以甲丙为底，甲丁与丁丙为两腰，求得丁戊或乙己皆为中垂线。故以甲丙斜线与丁戊垂线相乗，所得甲丙庚辛长方形比甲丁丙三角形积大一倍，而甲乙丙丁斜方形亦函两三角形积，故所得之甲丙庚辛长方形与甲乙丙丁斜方形之面积相等也。设如不等边两直角斜方形，直角之边长五十丈，上阔二十丈，下阔二十八丈，问面积几何？法以上阔二十丈，与下阔二十八丈相加，得四十八丈，折半得二十四丈，与长五十丈相乗，得一千二百丈，即斜方形之积面也。如图甲乙丙丁斜方形，以上阔甲丁与下阔乙丙相加，得乙戊，折半为乙己，与甲乙长相乗，遂成甲乙己庚长方形，其斜方外所多之丁庚辛勾股形，与斜方内所少之辛己丙勾股形之积等故所得之甲乙己庚长方形，即甲乙丙丁斜方形之面积也。又法，上阔下阔相并与，长相乗，得数折半，即斜方形之面积也。葢前法，上阔下阔相加，折半，而后与长相乗；此法则上阔下阔相加，卽与长相乗，而后折半，其理一也。设如梯形，长三十丈，上阔十二丈，下阔二十丈，问面积防何？法以上阔十二丈，与下阔二十丈相加得三十二丈，折半得十六丈，与长三十丈相乗得四百八十丈，即梯形之面积也。如图甲乙丙丁梯形，以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊，折半为乙己，与丁己长相乗，遂成庚乙己丁长方形。其梯形外所多之甲庚乙勾股形，与梯形内所少之丁己丙勾股形之面积等，故所得之庚乙己丁长方形卽甲乙丙丁梯形之面积也。又法，以上阔下阔相并与长相乗得数折半，即梯形之面积也。设如三角形，自尖至底中长二百尺，底阔一百五十尺，今欲自尖截长一百二十尺，问截阔防何法？以中长二百尺为一率，底阔一百五十尺为二率，截长一百二十尺为三率，求得四率九十尺，即所截之阔也。如图甲乙丙三角形，甲丁中长二百尺，乙丙底阔一百五十尺，甲戊为所截长一百二十尺，而甲丁与乙丙之比，即同于甲戊与己庚之比也。如以截阔求截长，则以底阔为一率，中长为二率，截阔为三率，所得四率即所截之长也。设如不等边两直角斜方形，长九十尺，上阔二十尺，下阔三十八尺，今欲截中阔二十七尺，问上下各截长防何？法以上阔二十尺与下阔三十八尺相减，余一十八尺为一率，长九十尺为二率，以上阔二十尺与所截中阔二十七尺相减，余七尺为三率，求得四率三十五尺，即上所截之长。以上所截之长三十五尺与总长九十尺相减，余五十五尺，即下所截之长也。如欲先得下所截之长，则仍以上阔二十尺与下阔三十八尺相减，余一十八尺为一率，长九十尺为二率，乃以所截中阔二十七尺与下阔三十八尺相减，余一十一尺为三率，求得四率五十五尺，即下所截之长也。

如图甲乙丙丁斜方形，甲乙为长九十尺，与丁戊等，乙丙为下阔三十八尺，甲丁为上阔二十尺，与乙戊等，己庚为所截中阔二十七尺。上阔与下阔相减，余戊丙十八尺，上阔与所截中阔相减，余辛庚七尺，而戊丙与丁戊之比，即同于辛庚与丁辛之比也。又甲乙丙丁斜方形，上阔与下阔相减，余戊丙十八尺，所截中阔与下阔相减，余壬丙十一尺，而戊丙与丁戊之比，又同于壬丙与庚壬之比也。如有所截上长或所截下长，求截阔，则以总长为一率，上下阔相减所余为二率，截长为三率，求得四率，有上截长则与上阔相加，有下截长则与下阔相减，所得即所截之阔也。设如梯形面积一千五百尺，下阔四十尺，中长五十尺，问上阔几何？法以积一千五百尺，倍之得三千尺，用长五十尺除之，得六十尺，为上下两阔相和之数，内减下阔四十尺，余二十尺，即上阔也。如图甲乙丙丁梯形，倍之成甲乙己戊斜方形，试将己角取直，作己辛线，则截斜方形一叚为己辛戊勾股形，如以己辛戊勾股形移补于甲庚乙，遂成庚乙己辛长方形，其积原与甲乙己戊斜方形等，今用庚乙中长除之，得乙己，即上下两阔相和之数，内减乙丙下阔，所余丙己与甲丁等，即上阔也。设如不等边两直角斜方形，积九千六百尺，长一百二十尺，上下两阔相差之较四十尺，问上阔下阔各防何法以积九千六百尺，倍之得一万九千二百尺，用长一百二十尺除之，得一百六十尺，为上下两阔相和之数，内减上下两阔相差之较四十尺，余一百二十尺，折半得六十尺，为上阔；加上下两阔相差之较四十尺，得一百尺，即下阔也。如图甲乙丙丁斜方形，其甲乙长一百二十尺，甲丁上阔与乙丙下阔相差戊丙四十尺，试将原积倍之，遂成甲乙己庚长方形，故以甲乙长除之，得乙己为上下阔相和之数，内减戊丙上下两阔相差之较，余数折半得乙戊，与甲丁等。为上阔加戊丙，较得乙丙为下阔也。设如梯形面积六千六百五十尺，长九十五尺，上下两阔相差之较二十尺，问上阔下阔各几何？法以积六千六百五十尺倍之，得一万三千三百尺，用长九十五尺除之，得一百四十尺，为上下两阔相和之数，内减上下两阔相差之较二十尺，余一百二十尺，折半得六十尺，为上阔，加上下两阔相差之较二十尺，得八十尺，为下阔也。如图甲乙丙丁梯形，甲戊长九十五尺，甲丁上阔与乙丙下阔相差，乙戊与己丙共二十尺，试将原积倍之，成甲乙庚辛斜方形，与壬乙庚癸长方形之积等，故以甲戊长除壬乙庚癸长方形，得乙庚为上下两阔相和之数，内减乙戊与己丙上下两阔相差之较，余折半得戊己与甲丁等，为上阔，加乙戊与己丙上下两阔相差之较，得乙丙为下阔也。

设如方环形，外周二百八十丈，内周一百二十丈，求面积几何？法以外周二百八十丈，四归之得七十丈，自乗得四千九百丈。又以内周一百二十丈，四归之得三十丈，自乗得九百丈。两自乗数相减，余四千丈，卽方环之面积也。如图，甲乙丙丁外周二百八十丈，四归之得甲乙之一边，自乗得甲乙丙丁大方积。戊己庚辛内周一百二十丈，四归之得戊己之一边，自乗得戊己庚辛小方积。两方积相减，所余即方环之面积也。又法以外周二百八十丈自乗得七万八千四百丈，内周一百二十丈自乗得一万四千四百丈，两数相减余六万四千丈，以十六除之得四千丈，即方环面积也。前法将内外周各四归之而得内外方边，故以内外方边各自乗相减而得方环面积，此法即以内外周各自乘，相减以十六除之，而得方环面积也。葢内外周为内外方边之四倍，内外周自乘之积必比内外方边自乘之积大十六倍【凡方边大一倍则面积大四倍，今方边大四倍故面积大十六倍，为隔一位相加之连比例也】是以两周各自乗相减之余积比两方边各自乘相减之余积亦大十六倍也。又有方环面积，求外方边至内方边之阔，则以外周二百八十丈与内周一百二十丈相加，得四百丈，折半得二百丈，以除方环面积四千丈，得二十丈，即外方边至内方边之阔也。如图，自方环内边作壬癸、子丑二线，则甲乙、癸壬、子丑、丙丁为外方边与阔相乘之二长方，壬戊、辛子、己癸、丑庚为内方边与阔相乘之二长方，引而长之，成寅夘、辰己一长方，其长即半外周与半内周之和，其阔即外方边至内方边之阔，故以外周与内周相并，折半除方环面积，而得外方边至内方边之阔也。又法以内方边三十丈与外方边七十丈相减，余四十丈，折半得二十丈，亦即外方边至内方边之阔也。如图，甲丁为外方边，减与戊辛内方边相等之壬子，余甲壬与子丁，折半得甲壬，即方环之阔也。设如方环面积四千尺，阔二十尺，求内外方边各几何？法以阔二十尺自乘得四百尺，四因之得一千六百尺，与环积四千尺相减，余二千四百尺，四归之得六百尺，以阔二十尺除之，得三十尺，即内方边。又以阔二十尺倍之，得四十尺，加内方边三十尺，得七十尺，即外方边也。如图，甲乙丙丁戊己庚辛方环形，内减甲寅、戊壬、辰乙、癸已、子辛、卯丁、庚丑、丙巳。阔自乘之四正方，余寅辰、巳戊、辛庚、巳卯、壬戊、辛子、巳癸、丑庚四长方，四归之得寅辰、已戊一长方，其阔即方环之阔，其长即方环内边之长，故以寅戊阔除之，得戊己为内方边也。又法，置环积四千尺，以阔二十尺除之，得二百尺，四归之，得五十尺，加阔二十尺，得七十尺，即外方边。

于五十尺内减阔二十尺，余三十尺，即内方边也。如图，甲乙丙丁戊己庚辛方环积，以阔除之，即得壬癸子丑为内周、外周相并折半之中数，以四归之，即得壬癸一边，与戊寅等，故加阔得外边，减阔得内边也。设如勾股形，股三十六尺，勾二十七尺。今从上叚截勾股形，积五十四尺。问截长阔各几何？法以股三十六尺为一率，勾二十七尺为二率，截积五十四尺，倍之得一百零八尺为三率，求得四率八十一尺，开方得九尺，即所截之阔。既得所截之阔，则以勾二十七尺为一率，股三十六尺为二率，所截之阔九尺为三率，求得四率十二尺，即所截之长也。此法一率与二率为线与线之比例，三率与四率为面与面之比例也。如图，甲乙丙勾股形，甲乙为股三十六尺，乙丙为勾二十七尺，甲丁戊勾股形为截积五十四尺。是故甲乙与乙丙之比，应同于甲丁与丁戊之比。然而无甲丁之数，故将截积倍之为甲丁与丁戊相乘之长方，则甲乙与乙丙之比，必同于甲丁与丁戊相乘之长方与丁戊自乘之正方之比【葢截积倍之成己甲丁戊长方形，丁戊自乘成庚丁戊辛正方形，此二形为二平行线内直角方形，其面之互相为比同于其底之互相为比，见几何原本八卷第七节】故开方而得丁戊为所截之阔。又乙丙与甲乙之比，即同于丁戊与甲丁之比，而得甲丁为所截之长也。若先求截长，则以勾二十七尺为一率，股三十六尺为二率，倍截积一百零八尺为三率，求得四率一百四十四尺，开方得十二尺为所截之长【葢乙丙与甲乙之比同于丁戊与甲丁之比，亦必同于丁戊与甲丁相乘之长方与甲丁自乘之正方之比【截积倍之成甲丁戊己长方形，甲丁自乘成甲丁庚辛正方形，此二形之面互相为比，亦同于其底之互相为比也】故开方而得甲丁为所截之长也。既得截长，则用比例四率求之，亦得所截之阔矣。又法，以勾二十七尺与股三十六尺相乘，折半得勾股积四百八十六尺为一率，所截之勾股形积五十四尺为二率，勾二十七尺自乘得七百二十九尺为三率，求得四率八十一尺，开方得九尺为所截之阔。若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺为三率，则得四率。一百四十四尺，开方得十二尺，为所截之长也。如图，甲乙丙勾股形，截甲丁戊勾股形，积五十四尺。此两勾股形为同式形，故甲乙丙勾股积与甲丁戊勾股积之比，同于乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形与丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比，亦必同于甲乙股自乗之癸子乙甲正方形与甲丁股自乗之丑寅丁甲正方形之比也。设如勾股形，股三十六尺，勾二十七尺。今从下叚截斜方形积四百三十二尺，问截长及上阔各几何？法以股三十六尺为一率，勾二十七尺为二率，截积四百三十二尺倍之，得八百六十四尺为三率，求得四率六百四十八尺。

乃以勾二十七尺自乗，得七百二十九尺，内减所得四率六百四十八尺，余八十一尺，开方得九尺，为所截之上阔。既得所截之上阔，则以勾二十七尺为一率，股三十六尺为二率，所截之上阔九尺与勾二十七尺相减，余一十八尺为三率，求得四率二十四尺，即所截之长也。此法亦系线与线为比，面与面为比也。如图甲乙丙勾股形，甲乙为股三十六尺，乙丙为勾二十七尺，丁乙丙戊斜方形为截积四百三十二尺。其甲乙与乙丙之比，应同于戊己【即丁乙】与己丙之比。然而无戊己之数，故将截积倍之，遂成戊己之长与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形。将此长方形为三率，所得四率即丁戊乙丙上下两阔之较【即己丙也】与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形也【葢截积倍之成庚丁乙辛长方形，己丙两阔之较与两阔之和相乘成壬己丙癸长方形，此二长方形同以两阔之和为长，故丁乙与己丙之比即如庚丁乙辛长方形与壬己丙癸长方形之比也】又己丙上下两阔之较与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之积，与丁戊乙丙上下两阔之数各自乗相减之余积等。试依乙丙度作子丑寅卯一大正方形，又依丁戊度作子辰巳午一小正方形，两正方形相减所余为辰丑寅卯午巳磬折形，引而长之，遂成辰丑申未长方形。其辰丑即上下两阔之较，其丑申即上下两阔之和，故所得四率长方形积与辰丑寅卯午巳磬折形之积等。今于乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内减辰丑寅卯午巳，磬折形所余，即丁戊自乘之子，辰巳午，小正方形，故开方而得丁戊，为所截之阔也。既得所截之阔，则以丁戊与乙丙相减，余巳丙，而乙丙与甲乙之比，卽同于己丙与戊己【卽丁乙】之比也。又法，以勾二十七尺与股三十六尺相乘，折半得勾股积四百八十六尺。内减从下叚所截之斜方积四百三十二尺，余五十四尺，即为从上段所截之勾股形积。依前法比例求之，所得亦同。设如三角形中，长二十尺，底阔一十五尺。今从上段截三角形，积五十四尺。问截长阔各几何？法以底阔一十五尺为一率，中长二十尺为二率，截积五十四尺，倍之得一百零八尺为三率，求得四率一百四十四尺，开方得一十二尺，即所截之长。既得所截之长，则以中长二十尺为一率，底阔十五尺为二率，所截之长十二尺为三率，求得四率九尺，卽所截之阔也。此法亦一率与二率为线与线之比例，三率与四率为面与面之比例也。如图，甲乙丙三角形，甲丁中长二十尺，乙丙底阔十五尺，甲戊己三角形为截积五十四尺。是故乙丙与甲丁之比，应同于戊己与甲庚之比。然而无戊己之数，故将截积倍之为戊己与甲庚相乘之长方。则乙丙与甲丁之比，必同于戊己与甲庚相乘之长方与甲庚自乘之正方之比，故开方而得甲庚为所截之长。

又甲丁与乙丙之比，同于甲庚与戊己之比，而得戊己为所截之阔也。若先求截阔，则以中长二十尺为一率，底阔一十五尺为二率，倍截积一百零八尺为三率，求得四率八十一尺，开方得九尺为所截之阔。葢甲丁与乙丙之比，同于甲庚与戊己之比，亦同于甲庚与戊己相乘之长方与戊己自乘之正方之比，故开方而得戊己为所截之阔也。既得截阔，则用比例四率求之，亦得所截之长矣。又法，以底阔十五尺与中长二十尺相乘，折半得三角积一百五十尺为一率，所截之三角积五十四尺为二率，以底阔十五尺自乘得二百二十五尺为三率，求得四率八十一尺，开方得九尺为所截之阔。若以中长二十尺自乘得四百尺为三率，则得四率一百四十四尺，开方得十二尺为所截之长也。如图，甲乙丙三角形截甲戊己三角形，积五十四尺。此两三角形为同式形，故甲乙丙三角形积与甲戊己三角形积之比，同于甲丁中长自乘之甲丁辛壬正方形与甲庚截长自乘之甲庚癸子正方形之比，亦同于乙丙底阔自乘之乙丙丑寅正方形与戊己截阔自乘之戊巳卯辰正方形之比也。设如三角形中，长二十尺，底阔十五尺。今从下段截梯形，积九十六尺。问截长及上阔各几何？法以中长二十尺为一率，底阔十五尺为二率，截积九十六尺，倍之得一百九十二尺为三率，求得四率一百四十四尺。乃以底阔十五尺自乘得二百二十五尺，内减所得四率一百四十四尺，余八十一尺，开方得九尺，为所截之上阔。既得所截之上阔，则以底阔十五尺为一率，中长二十尺为二率，所截之上阔九尺与底阔十五尺相减余六尺为三率，求得四率八尺，即所截下段之长也。如图甲乙丙三角形，甲丁为中长二十尺，乙丙为底阔十五尺，戊乙丙己梯形为截积九十六尺，戊己为所截之阔，庚丁【与戊辛己壬等】为所截之长，乙辛壬丙两叚为截阔与底阔之较。是故甲丁与乙丙之比，应同于庚丁与乙辛壬丙两段之比矣【葢甲丁与乙丁之比同于等庚丁之戊辛与乙辛之比，又甲丁与丁丙之比同于等庚丁之己壬与壬丙之比，合之则甲丁与乙丁丁丙两叚之比亦同于庚丁与乙辛壬丙两段之比也】但今无庚丁之数，故将截积倍之，遂成庚丁所截之长与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形。将此长方形为三率，所得四率即乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形也。又乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之积，与戊己乙丙上下两阔之数各自乘相减之余积等，故以所得四率长方形积与乙丙自乘方积相减，即余戊己自乘方积，开方而得戊己为所截之阔也。既得戊己截阔，则于乙丙底阔内减之余乙辛壬丙，而乙丙与甲丁之比，又同于乙辛壬丙两段与庚丁截长之比也。

又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘，折半得三角形积一百五十尺，内减从下段所截之梯形积九十六尺，余五十四尺，卽为从上段所截之三角形积，依前法比例求之，所得亦同。设如不等边两直角斜方形，长二十四尺，上阔十二尺，下阔二十尺。今从上段截积一百六十八尺，问截长阔各几何？法以长二十四尺为一率，下阔二十尺内减上阔十二尺，余八尺为二率，截积一百六十八尺，倍之得三百三十六尺为三率，求得四率一百一十二尺。乃以上阔十二尺自乘，得一百四十四尺，与所得四率一百一十二尺相加，得二百五十六尺，开方得十六尺，即所截之阔。既得所截之阔，则以上下两阔相减之较八尺为一率，长二十四尺为二率，截阔十六尺内减上阔十二尺，余四尺为三率，求得四率十二尺，即所截之长也。此法亦系一率与二率为线与线之比例，三率与四率为面与面之比例也。如图甲乙丙丁斜方形，甲乙长二十四尺，与丁戊等，甲丁为上阔十二尺，乙丙为下阔二十尺，甲己庚丁斜方形为截积一百六十八尺。是故丁戊与戊丙之比，应同于丁辛与辛庚之比，然而无丁辛。之数，故将截积倍之爲丁辛。截长与甲丁、己庚上中两阔之和相乘之长方形，为三率。所得四率，即辛庚上中两阔之较与甲丁、己庚上中两阔之和相乘之长方形也。又辛庚上中两阔之较与甲丁、己庚上中两阔之和相乘之积，与甲丁、己庚上中两阔之数各自乘相减之余积等。试依己庚度作壬癸子丑一大正方形，又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形。两正方形相减，所余为寅癸子丑辰卯磬折形。引而长之，遂成寅癸巳午长方形。其寅癸即上中两阔之较，其癸己即上中两阔之和。故所得四率长方形积与寅癸子丑辰卯磬折形之积等。今于甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子丑辰卯磬折形，即得巳庚自乘之壬癸子丑大正方形。故开方而得已庚为所截之阔也。既得所截之阔，则以己庚与甲丁相减，余辛庚，而戊丙与丁戊之比卽同于辛庚与丁辛之比也。又法，将斜方形增作勾股形算之。以上阔十二尺与下阔二十尺相减，余八尺为一率，长二十四尺为二率，上阔十二尺为三率，求得四率三十六尺，为斜方形上所增小勾股形之股。与斜方形之长二十四尺相加，得六十尺，为斜方形与所增小勾股形相并所成之大勾股形之股。乃以上阔十二尺为小勾，所得三十六尺为小股，相乘得四百三十二尺，折半得二百一十六尺，为斜方形上所增之小勾股形积。与截积一百六十八尺相加，得三百八十四尺，为所截之勾股形积。乃用勾股形从上段截勾股积法算之，而得所截之阔焉。如图甲乙丙丁斜方形，增作勾股形为壬乙丙其上阔甲丁与下阔乙丙相减，所余为戊丙。

以戊丙与丁戊之比，同于甲丁与壬甲之比，得壬甲为小勾股形之股。以壬甲与甲乙相加，得壬乙为大勾股形之股。又壬甲丁勾股形积与甲己庚丁斜方形截积相加，得壬己庚勾股形积，即壬乙丙大勾股形从上段截壬己庚勾股形积也。设如不等边两直角斜方形，长二十四尺，上阔十二尺，下阔二十尺。今从下段截积二百一十六尺，求截长阔各几何？法以长二十四尺为一率，下阔二十尺内减上阔十二尺，余八尺为二率，截积二百一十六尺，倍之得四百三十二尺为三率，求得四率一百四十四尺，乃以下阔二十尺自乘得四百尺，内减所得四率一百四十四尺，余二百五十六尺，开方得一十六尺，为所截之阔。既得所截之阔，则以上下两阔相减之较八尺为一率，长二十四尺为二率，下阔二十尺内减截阔十六尺，余四尺为三率，求得四率十二尺，即所截下段之长也。此与勾股形从下叚截斜方形积之理同。前法从上段截积所得四率为上阔与截阔各自乘相减之余积，上阔小而截阔大，故以上阔自乘与所得四率相加，开方而得截阔；此法从下段截积所得四率为下阔与截阔各自乘相减之余积，下阔大而截阔小，故以下阔自乘内减所得四率，开方而得截阔也。设如梯形，长十二丈，上阔五丈，下阔十一丈。今从上段截积二十四丈，问截长阔各几何？法以长十二丈为一率，上阔五丈与下阔十一丈相减，余六丈为二率，截积二十四丈倍之得四十八丈为三率，求得四率二十四丈，乃以上阔五丈自乘得二十五丈，与所得四率二十四丈相加得四十九丈，开方得七丈，即所截之阔。既得所截之阔，则以上下两阔相减之较六丈为一率，长十二丈为二率，截阔七丈内减上阔五丈余二丈为三率，求得四率四丈，即所截之长也。此法亦系一率与二率为线与线之比例，三率与四率为面与面之比例也。如图甲乙丙丁梯形，甲戊长十二丈，甲丁上阔五丈，戊己庚辛俱相等，乙丙下阔十一丈，乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈，甲壬癸丁小梯形为截积二十四丈。是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比，应同于甲庚截长与壬庚辛癸上中两阔之较之比，然无甲庚之数，故将截积倍之为甲庚截长与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形为三率，所得四率即壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形也。又壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之积，与甲丁壬癸上中两阔之数各自乘相减之余积等，故以所得四率长方形积与甲丁自乘方积相加即得壬癸自乗方积，开方而得壬癸为所截之阔也。既得壬癸截阔，则以上下两阔相减之乙戊己丙两叚与甲戊总长之比，卽同于上中两阔相减之壬庚辛癸两叚与甲庚截长之比矣。

又法，将梯形增作三角形算之。以上阔五丈与下阔十一丈相减，余六丈为一率，长十二丈为二率，上阔五丈为三率，求得四率十丈为梯形上所増小三角形之中长。与梯形之长十二丈相加，得二十二丈为梯形与所増小三角形相并所成之大三角形之中长。乃以上阔五丈为底，所得十丈为中长，相乗得五十丈，折半得二十五丈，为梯形上所増之小三角形积，与截积二十四丈相加，得四十九丈，为所截之三角形积，乃用三角形从上段截三角积法算之，而得所截之阔焉。如图，甲乙丙丁梯形，增作三角形为子乙丙，其上阔甲丁与下阔乙丙相减，所余为乙戊己丙，而乙戊己丙与甲戊之比，即同于甲丁与子丑之比，得子丑为小三角形之中长，以子丑与等甲戊之丑寅相加，得子寅为大三角形之中长，又子甲丁三角形积与甲壬癸丁斜方形截积相加，得子壬癸三角形积，即子乙丙大三角形从上段截子壬癸三角形积也。设如梯形长十二丈，上阔五丈，下阔十一丈。今自下叚截积七十二丈，问截长阔各几何？法以长十二丈为一率，上阔五丈与下阔十一丈相减，余六丈为二率，以截积七十二丈倍之，得一百四十四丈为三率，求得四率七十二丈，乃以下阔十一丈自乗，得一百二十一丈，内减所得四率七十二丈，余四十九丈，开方得七丈，即所截之阔。既得所截之阔，则以上下两阔相减之较六丈为一率，长十二丈为二率，截阔七丈与下阔十一丈相减，余四丈为三率，求得四率八丈，即所截之长也。如图甲乙丙丁梯形，甲戊长十二丈，甲丁上阔五丈，与戊己等，乙丙下阔十一丈，乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈，庚乙丙辛梯形为截积七十二丈。是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比，应同于庚壬截长与乙壬癸丙中下两阔之较之比，然无庚壬之数，故将截积倍之，为庚壬截长与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形为三率，所得四率卽乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形也。又乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之积，与庚辛乙丙中下两阔之数各自乗相减之余积等，故以所得四率长方形积与乙丙自乗方积相减，即余庚辛自乗方积，开方而得庚辛为所截之阔也。设如梯形长一百二十尺，上阔二十尺，下阔八十尺。今自一边截勾股积四百五十尺，问截长阔各几何？法以长一百二十尺为一率，上阔二十尺与下阔八十尺相减，余六十尺，折半得三十尺为二率，截积四百五十尺，倍之得九百尺为三率，求得四率二百二十五尺，开方得一十五尺为所截之阔。既得所截之阔，则以上下两阔相减折半之三十尺为一率，长一百二十尺为二率，截阔十五尺为三率，求得四率六十尺为所截之长也。

如图甲乙丙丁梯形，甲丁上阔二十尺与戊己等，乙丙下阔八十尺，甲戊长一百二十尺，乙戊为上下阔相减折半之三十尺，庚乙辛为所截勾股积四百五十尺，甲乙戊勾股形与庚乙辛勾股形为同式形，故立算与勾股形从上段截勾股积之法相同也。设如梯形长一百二十尺，上阔四十尺，下阔八十尺。今自一边截斜，方形积四千二百尺，问截上阔、下阔各几何？法以上阔四十尺与下阔八十尺相减，余四十尺，折半得二十尺，为所截斜方形上阔与下阔之较。又以截积四千二百尺倍之，得八千四百尺，以长一百二十尺余之，得七十尺，为所截斜方形上阔与下阔之和。内减上阔下阔之较二十尺，余五十尺，折半得二十五尺，为上阔。加较二十尺，得四十五尺，为下阔也。如图甲乙丙丁梯形，甲丁为上阔四十尺，与戊己等。乙丙为下阔八十尺。甲戊为长一百二十尺。甲乙辛庚为所截斜方形，积四千二百尺。倍之成壬癸辛庚长方形。乙戊为所截斜方形上下两阔之较。今以甲戊长除壬癸辛庚长方积，得癸辛为上下两阔之和。内减乙戊上下两阔之较，余癸乙与戊辛折半，得戊辛与甲庚等，即所截斜方形之上阔。加乙戊上下两阔之较，得乙辛，即所截斜方形之下阔也。设如三角形，小腰边二十丈，大腰边三十四丈，底边四十二丈，面积三百三十六丈。今欲平分面积一半，与原三角形为同式形，问所截三边各几何？法以原面积三百三十六丈为一率，原面积折半得一百六十八丈为二率，底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率，求得四率八百八十二丈，开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余，为所截之底边。乃以全底边四十二丈为一率，大腰边三十四丈为二率，所截之底边二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为三率，求得四率二十四丈零四寸一分六厘二豪有余，为所截之大腰边。仍以全底边四十二丈为一率，小腰边二十丈为二率，所截之底边二十九丈六尺九寸八分有余为三率，求得四率十四丈一尺四寸二分一厘三豪有余，即所截之小腰边也。如图，甲乙丙三角形平分面积一半，成丁戊丙三角形。此两三角形既为同式形，则甲乙丙三角形之面积与丁戊丙三角形之面积之比，同于各边各自乗之正方面积与所截各边各自乗之正方面积之比。故以甲乙丙三角形面积为一率，丁戊丙三角形面积为二率，乙丙底边自乗如乙己庚丙正方面为三率，所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面，故开方得戊丙也。既得戊丙，则乙丙与甲丙之比同于戊丙与丁丙之比，又乙丙与甲乙之比同于戊丙与丁戊之比，俱为相当比例四率也。若取原积三分之一或几分之几者，则将其积以其分数归之，比例并同。

又法，以乙丙边四十二丈自乗，折半开方，即得戊丙边；甲丙边自乗，折半开方，即得丁丙边；甲乙边自乗，折半开方，即得丁戊边。此即面与面比，线与线比之理也。又法设全积为一尺，半积为五十寸，乃以五十寸开方得七寸零七厘一豪零六忽，而以各边之数乗之，即得各边所截之数。葢全积为一尺，其全边亦为一尺；半积为五十寸，其截边为七寸零七厘一豪零六忽。今以一尺与全边之比，即同于七寸零七厘一豪零六忽与截边之比。又因一尺为一率，故省一率之除，止用乗而即得也。若取几分之一者，皆仿此类推之。设如大小两正方面积共四百一十尺，大正方边比小正方边多六尺，问两正方边及面积各几何？法以两正方面积共四百一十尺倍之，得八百二十尺，又以多六尺自乗，得三十六尺，与倍共积八百二十尺相减，余七百八十四尺，开方得二十八尺，为大小两正方边之和，加大正方比小正方每边所多六尺，得三十四尺，折半得十七尺，为大正方之边，内减六尺，余十一尺，为小正方之边，以大正方边十七尺自乗，得二百八十九尺，为大正方之面积，以小正方边十一尺自乗，得一百二十一尺，为小正方之面积也。如图，甲乙丙丁一大正方形，丁戊己庚一小正方形，戊丙为两正方边之较，试以两正方之共积倍之，则得甲辛壬庚一正方形，仍余癸子丙戊两正方边之较自乗之一正方形，葢癸丑壬己正方形与甲乙丙丁正方形等，乙辛丑子正方形与丁戊己庚正方形等，其中叠一癸子丙戊正方形，即戊丙较自乗之积，故以戊丙较自乗与所倍共积相减，即得甲辛壬庚正方形，开方得甲庚为两正方边之和，加较折半得丁丙为大正方边，内减戊丙较得丁戊为小正方边，既得方边，则各自乗即得各面积矣。又法，以两正方边之较六尺自乗，得三十六尺，与两正方共积四百一十尺相减余三百七十四尺，折半得一百八十七尺，为长方积。以两正方边之较六尺为长阔之较，用带纵较数开方法算之，得阔十一尺，为小正方之边，加较六尺，得十七尺，为大正方之边也。如图，甲乙丙丁一大正方形，丁戊己庚一小正方形，戊丙为两正方边之较。以戊丙边较自乗，得辛壬丙戊一正方形，与共积相减，余甲乙壬辛己庚磬折形。如以癸乙壬辛长方形移于庚己子丑，即戊甲癸子丑一长方形，折半得丁戊子丑一长方形。庚丑与戊丙等，即长阔之较，故用带纵较数开方法算之，得丁戊阔，即小方边，加庚丑较，得丁丑与丁丙等，即大方边也。设如大小两正方面积共六百一十七尺，大小两正方边共三十五尺，问大小两正方边及面积各几何？法以两正方面积共六百一十七尺，倍之得一千二百三十四尺。

又以两正方边共三十五尺，自乗得一千二百二十五尺，与倍共积一千二百三十四尺相减，余九尺，开方得三尺，为大小两正方边之较。与共边三十五尺相加，得三十八尺，折半得十九尺，为大正方之边。内减两正方边之较三尺，余十六尺，为小正方之边。以大正方边十九尺自乗，得三百六十一尺，为大正方之面积。以小正方边十六尺自乗，得二百五十六尺，为小正方之面积也。如图，甲乙丙丁一大正方形，丁戊己庚一小正方形。甲庚为两正方边之和，戊丙为两正方边之较。试以两正方之共积倍之，则得甲辛壬庚正方形，而多癸子丙戊较自乗之一正方形。故以甲庚共边自乗，得甲辛壬庚正方形，与倍共积相减，卽余癸子丙戊一小正方形。开方得戊丙，即两正方边之较。与两正方边之和相加，折半得丁丙，为大正方边。内减戊丙较，得丁戊，为小正方边。旣得方边，则各自乗卽得各面积矣。又法，以两正方边之和三十五尺自乗，得一千二百二十五尺，内减两正方共积六百一十七尺，余六百零八尺，折半得三百零四尺，为长方积。以两正方边之和三十五尺为长阔和，用带纵和数开方法算之，得阔十六尺，为小正方之边，与共积三十五尺相减，余十九尺，为大正方之边也。如图，甲乙丙丁一大正方形，戊己庚辛一小正方形，以共边自乗，得壬癸子丑一正方形，内减与甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形，又减与戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形，余壬寅辰午与辰卯子己二长方形，折半得壬寅辰午一长方形，其壬午长与甲乙大方边等，壬寅阔与戊己小方边等，两正方之共边卽长阔之和，故用带纵和数开方法算之，得阔为小方边，得长为大方边也。设如大小两正方形，大正方边比小正方边多七尺，大正方积比小正方积多三百四十三尺，问大小两正方边各几何？法以大正方积比小正方积所多三百四十三尺，用大正方边比小正方边所多七尺除之，得四十九尺为大小两正方边之和，加两正方边之较七尺，得五十六尺，折半得二十八尺为大正方之边，与共边四十九尺相减，余二十一尺为小正方之边也。如图，甲乙丙丁一大正方形，戊己庚辛一小正方形。试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形，则壬乙丙丁子癸磬折形，即大正方比小正方所多之积。引而长之成壬乙丑寅一长方形，其壬乙阔即两正方边之较，乙丑长卽两正方边之和，故以壬乙两正方边之较除之，得乙丑两正方边之和，以乙丑与丁乙相加，折半得乙丙为大正方形之边，将乙丙与乙丑共边相减，余丙丑与子癸等卽戊己为小正方形之边也。设如大小两正方形共边三十一尺，大正方积比小正方积多一百五十五尺，问大小两正方边各几何？

法以大正方积比小正方积所多一百五十五尺，用共边三十一尺除之，得五尺，为大小两正方边之较，与共边三十一尺相加，得三十六尺，折半得十八尺，为大正方之边，与共边三十一尺相减，余十三尺，为小正方之边也。如图，甲乙丙丁一大正方形，戊己庚辛一小正方。形试于甲乙丙丁大正方形内，作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形，则壬乙丙丁子癸磬折形，即大正方比小正方所多之积。引而长之，成壬乙丑寅长方形，其乙丑长，即两正方边之和；其壬乙阔，即两正方边之较。故以乙丑两正方边之和除之，得壬乙与乙丑相加折半，得乙丙为大正方形之边；以乙丙与乙丑相减，余丙丑与子癸等，即戊己为小正方形之边也。设如大小两正方形共积一百三十尺，大正方积比小正方积多三十二尺，问大小两正方边各几何？法以大正方积比小正方积所多三十二尺与共积一百三十尺相减，余九十八尺，折半得四十九尺，为小正方之积，开方得七尺，为小正方之边。又以小正方积四十九尺与大正方积比小正方积多三十二尺相加，得八十一尺，为大正方之积，开方得九尺，为大正方之边也。如图，《甲乙丙丁》一大正方形，《戊己庚辛》一小正方形，试于《甲乙丙丁》大正方形内作与《戊己庚辛》相等之《壬癸丙子》小正方形，则《甲乙癸壬子丁》磬折形，即大正方比小正方所多之积，以此磬折形积与两正方形之共积相减，余《壬癸丙子》与《戊己庚辛》两小正方形折半，得《戊己庚辛》一小正方形，故开方得《戊己》为小方边。又以《戊己庚辛》相等之《壬癸丙子》小正方形积与《甲乙癸壬子丁》磬折形积相加，即得《甲乙丙丁》大正方形，故开方得《甲乙》为大方边也。设如不等三正方形共积三百八十一尺，大方边比次方边多三尺，次方边比小方边多三尺，问三方边各几何？法以大方边比次方边所多三尺，与次方边比小方边所多三尺相加，得六尺，为大方边比小方边所多之较，自乗得二十六尺。又以次方边比小方边所多三尺自乗得九尺，两数相并得四十五尺，与共积三百八十一尺相减，余三百三十六尺。三因之得一千零八尺，为长方积。以大方边比小方边多六尺，倍之得十二尺。又以次方边比小方边多三尺，倍之得六尺，两数相并得十八尺，为长阔之较。用带纵较数开方法算之，得阔二十四尺，三归之得八尺，为小正方形之边。加次方边比小方边多三尺，得十一尺，为次正方形之边。又加大方边比次方边多三尺，得十四尺，为大正方形之边也。如图，甲乙丙丁一大正方形，戊己庚辛一次正方形，壬癸子丑一小正方形。试于甲乙丙丁大正方形内作与壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形，则辰己即大正方边比小正方边所多之较，又于戊己庚辛次正方形内作与壬癸子丑相等之午己未申小正方形，则申酉即次正方边比小正方边所多之较。

以辰己自乗，得辰己丁戌一正方形；以申酉自乗，得申酉辛亥一正形形。以所得两正方形之共积与三正方形之共积相减，则余寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四长方形。又试将此所余三小正方形及四长方形之积共作壬癸干坎一长方形，加三倍，卽成艮癸干震一大长方形。其艮癸阔为壬癸小方边之三倍，与癸巽等。巽干卽长阔之较，而巽离乃辰己与甲寅相并之数，为大方边比小方边所多之较之二倍；离干乃申酉与戊午相并之数，为次方边比小方边所多之较之二倍。故以大方边与小方边之较倍之，得巽离；又以次方边与小方边之较亦倍之，得离干。巽离与离干相并得巽干，为长阔之较。用带纵较数开方法算之，得艮癸阔三归之，得壬癸为小正方形之边，加次方边比小方边所多之较，卽得次正方形之边；又加大方边比次方边所多之较，卽得大正方形之边也。设如甲乙丙丁不等边无直角四边形，甲乙边十尺，甲丁边十七尺，丁丙边二十八尺，乙丙边三十五尺，自丁角至乙角斜线二十一尺，问面积几何？法以丁乙斜线分为甲乙丁、丁乙丙两三角形算之。先用甲乙丁三角形，求得甲戊埀线八尺，与乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺，为甲乙丁三角形之面积。又用丁乙丙三角形，求得丁己垂线一十六尺八寸，与乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺，为丁乙丙三角形之面积。以两三角形之面积相并，得三百七十八尺，卽甲乙丙丁四边形之面积也。凡无法多边形，皆任以两角作对角斜线分为几三角形算之。旧术四不等边形分为两段，一为勾股形，一为斜方形，葢必有二平行线然后可算。若此法非二平行线者，则必分为丁己丙与丁甲庚二勾股形，甲乙己庚一斜方，然后可算，不如分为两三角形算之为简防而密合也。设如甲乙丙三角形，面积三百八十四尺，乙丙底边二十二尺，今自甲角将原积平分为二，问每分底边几何？法以乙丙底边三十二尺折半得十六尺，卽每分底边之数也。葢自甲至乙丙线上作甲戊垂线，则甲丁乙、甲丁丙两三角形同以甲戊为髙，即为二平行线。【积为】内同底两三角形，其面积【见几何原本三卷第十节】必等，故甲丁乙、甲丁丙两三角形相等，而各得甲乙丙三角形积之一半也。如分三分或四分者，仿此类推。设如甲乙丙丁二平行线无直角四边形，甲乙边八丈，丙丁边十二丈，面积一百六十丈。今将原积分为四分，问每分截边几何？法以甲乙八丈与丙丁十二丈相加得二十丈，四归之得五丈，即每分所截之边。乃自甲量至戊得五丈，自戊至丙作戊丙线，成甲戊丙三角形，为第一分。又从丙量至己得五丈，自戊至己作戊己线，成丙戊己三角形，为第二分。

又从己量至庚得五丈，自戊至庚作戊庚线，成己戊庚三角形，为第三分。又自庚至丁余二丈，自戊至乙余三丈，庚丁与戊乙相并亦得五丈，成戊庚丁乙斜方形，即为第四分也。葢甲乙与丙丁二线既为平行，自乙至辛作乙辛垂线，则三三角形与一斜方形同以乙辛为高，其边线既等，则所得各形之面积亦必相等，而各为四边形面积之四分之一也。设如甲乙丙丁戊不等边无直角五边形面积一十九丈九十八尺，甲乙边二丈五尺，乙丙边三丈九尺，丙丁边六丈，丁戊边一丈五尺，甲戊边四丈一尺。自甲角至丙角斜线五丈六尺，自甲角至丁角斜线五丈二尺。今自甲角将面积平分为三分，问截各边几何？法以面积十九丈九十八尺三分之，每分得六丈六十六尺。乃以甲丙、甲丁二斜线分为甲乙丙、甲丙丁、甲丁戊三三角形算之。用三角形求面积法，求得甲乙丙三角形面积四丈二十尺，甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺，甲丁戊三角形面积二丈三十四尺。因甲乙丙、甲丁戊两三角形面积俱不足一分所应得之数，而甲丙丁三角形面积又过一分所应得之数，故先以甲乙丙三角形面积四丈二十尺与每分所应得六丈六十六尺相减，余二丈四十六尺，卽第一分应得甲乙丙三角形面积外又截甲丙丁三角形以补之之数。乃以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率，所应截之二丈四十六尺为二率，丙丁边六丈为三率，求得四率一丈零九寸八分有余，为甲丙丁三角形补甲乙丙三角形分数之边，如丙己。乃自甲至己作甲己线，成甲乙丙己不等边四边形为第一分。又以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率，每分所应得六丈六十六尺为二率，丙丁边六丈为三率，求得四率二丈九尺七寸三分有余，为甲丙丁三角形内应得一分之边，如己庚。又自甲至庚作甲庚线，成甲己庚三角形为第二分，余甲庚丁戊不等边四边形即第三分。此三分之面积俱为相等也。葢两形同髙者，其面积之比例同于其底边之比例，故以甲丙丁三角形面积与甲丙己三角形截积之比同于丙丁与丙己之比，而得甲丙己三角形面积为二丈四十六尺，与甲乙丙三角形面积四丈二十尺相加得六丈六十六尺。又甲丙丁三角形面积与甲己庚三角形面积之比同于丙丁与己庚之比，而得甲己庚三角形面积六丈六十六尺，则所余甲庚丁戊四边形面积亦必为六丈六十六尺。若以甲丁戊三角形面积二丈三十四尺与每分六丈六十六尺相减，余四丈三十二尺，卽甲庚丁三角形面积。乃以甲丙丁三角形面积与甲庚丁三角形面积之比，同于丙丁与庚丁之比，而得庚丁一丈九尺二寸八分有余。与丙己、己庚相加，得六丈，以合丙丁原数也。

御制数理精蕴下编卷十九<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书