御制数理精蕴卷二十二

御制数理精蕴卷二十二

面部十二各等边形更面形各等边形设如五等边形，每边一尺二寸，问面积防何？法以全圜三百六十度，五分之，每分得七十二度，折半得三十六度。爰以三十六度之正▯五万八千七百七十九为一率，半径十万为二率，今所设之五等边形之每边一尺二寸，折半得六寸为三率，求得四率一尺零二分零七豪七丝二忽有余，为五等边形外切圜之半径。或用求圜内容五等边形之一边之定率比例，以定率之圜内容五等边形之每边五八七七八五二五为一率，圜径一○○○○○○○○为二率，今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余，折半得一尺零二分零七豪八丝有余，为五等边形外切圜之半径。乃以此半径为▯，五等边形之每边折半为勾，求得股八寸二分五厘八豪二丝七忽有余，为五等边形之中心至每边正中之垂线。或以三十六度之正▯五万八千七百七十九为一率，三十六度之余▯八万零九百零二为二率，今所设之五等边形之每边之半六寸为三率，求得四率八寸二分五厘八豪二丝五忽有余，为五等边形之中心至每边正中之垂线。既得此垂线，乃与每边折半之数相乗，得四十九寸五十四分九十厘有余，五因之得二尺四十七寸七十四分五十厘有余，即五等边形之面积也。如图甲乙丙丁戊五等边形，试作一外切圜形，则每边之弧皆为七十二度。将甲乙边折半于己，自圜心庚作庚己辛半径线，遂平分甲乙弧于辛，则甲辛弧为三十六度。甲己即三十六度之正▯，庚己即三十六度之余▯。是故三十六度之正▯与半径十万之比，即如今所设之每边之半甲己与所得之半径甲庚之比。又三十六度之正▯与三十六度之余▯之比，即如今所设之每边之半甲己与所得之垂线庚己之比也【此即圜内容五等边形】之法而转用之也】又法以三十六度之正切七万二千六百五十四为一率，半径十万为二率，今所设之五等边形之每边之半六寸为三率，求得四率八寸二分五厘八豪三丝二忽有余，为五等边形内容圜之半径。或用求圜外切五等边形之一边之定率比例，以定率之圜外切五等边形之每边七二六五四二五二为一率，圜径一○○○○○○○○为二率，今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率一尺六寸五分一厘六豪五丝八忽有余，折半得八寸二分五厘八豪二丝九忽有余，为五等边形内容圜之半径，即五等边形之中心至每边正中之垂线。乃与每边折半之数相乗，五因之得二尺四十七寸七十四分八十七厘有余，为五等边形之面积也。如图甲乙丙丁戊五等边形，试作一内容圜形，自甲角过圜心己作甲己庚线，遂平分丙丁边于庚，则丙庚即三十六度之正切，故以三十六度之正切与半径十万之比，同于今所设之每边之半丙庚与所得之内容圜半径己庚之比也【此即圜外切五等边形之法而转用之也】又法用连比例三率有中率求末率之法，以每边一尺二寸为中率，求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余【中率求末率即如首率求中率也】乃以末率与中率相加，得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余，为首率，即五等边形两角相对之斜线。

乃以此斜线为▯，每边之半为勾，求得股一尺八寸四方六厘六豪零九忽有余，为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之和【即五等边形自一角至每边正中之垂线】复以此垂线为首率，每边之半为中率，求得末率一寸九分四厘九豪五丝二忽，为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之较。乃以此较数与先所得和数相加，得二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余，折半得一尺零二分零七豪八丝有余，为五等边形之分角线【即五等边形外切圜之半径】仍以此较数与先所得和数相减，得一尺六寸五分一厘六豪五丝七忽有余，折半得八寸二分五厘八豪二丝八忽有余，为五等边形中心至每边正中之垂线【即五等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗，五因之，得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余，即五等边形之面积也。如图甲乙丙丁戊五等边形，巳为五等边形之中心，试自甲角至丙丁二角作甲丙、甲丁二线，成甲丙丁三角形。又自丁角至乙角作丁乙线，截甲丙线于庚，则又成丁庚丙三角形。此两三角形为同式形，故甲丙线为首率【即理分中末线之全分】丙丁边为中率【即理分中末线之大分】而所截之甲庚一段与丙丁边等，亦为中率，庚丙一段即为末率【即理分中末线之小分】其比例为甲丙首率与丙丁中率之比，即同于丙丁中率与庚丙末率之比，故按连比例三率有中率求末率之法，求得庚丙末率与甲庚中率相加，即得甲丙首率。为两角相对斜线，爰用甲丙斜线为▯，丙辛每边之半为勾，求得用辛股为己辛中心至边之垂线，与甲己分角线之和，既得甲辛线。则用连比例有首率中率求末率之法，以甲辛为首率，丙辛为中率，求得辛壬末率，即己辛中心至边之垂线与甲己分角线之较。既得辛壬，与甲辛相加，折半得甲己，即分角线，又为五等边形外切圜之半径。以辛壬与甲辛相减，折半得己辛，即中心至每边之垂线，又为五等边形内容圜之半径。既得己辛垂线，与丙丁每边之半丙辛相乗，得己丙丁一三角形之面积，五倍之即五等边形之面积也。又既得五等边形两角相对之斜线与自一角至每边正中之垂线求面积捷法，以所得末率七寸四分一厘六豪四丝有余，加每边之半六寸，得一尺三寸四分一厘六豪四丝有余，与自一角至每边正中之垂线一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余相乗，得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余，即五等边形之面积也。如图甲乙丙丁戊五等边形，自甲角至丙丁二角作甲丙、甲丁二线，遂成甲丙丁、甲乙丙、甲戊丁三三角形。又自甲至己作甲己垂线，则甲己垂线与丙己每边之半相乗，即得甲丙丁三角形面积。又自乙角至甲丙线上作乙庚垂线，则乙庚垂线与甲丙斜线相乗，即得甲乙丙、甲戊丁两三角形之共面积。

然无乙庚之数，今试自丁角至乙角作丁乙斜线，截甲丙斜线于辛，则甲辛与丁辛等，俱为中率；乙辛与辛丙等，俱为末率。又成乙辛庚勾股形与甲丙己勾股形为同式形【丁辛丙三角形之辛角原与丙角等，而与乙辛庚勾股形之辛角为对角，其度亦等；庚角与己角又同为直角，其余一角亦必等，所以为同式形】故甲丙为一率，甲己为二率，乙辛为三率，乙庚为四率。凡二率三率相乗与一率四率相乗之数等。今以甲己垂线与乙辛末率相乗，必与乙庚垂线与甲丙斜线相乗之积等，是即甲乙丙、甲戊丁两三角形之共积矣。故以乙辛末率与丙己每边之半相加，而与甲己垂线相乗，即得甲乙丙丁戊五等边形之面积也。

又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率二尺四十七寸七十四分八十七厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而五等边形之每一边一○○○○所得之五等边形面积为一七二○四七七四一故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯己午正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁己庚正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊五等边形面积二尺四十七寸七十四分八十七厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之五等边形之每边七六二三八七○五为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺五寸七分四厘零三忽有余为与五等边形面积相等之正方形每边之数自乗得二尺四十七寸七十四分八十五厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每边为七六二三八七○五正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边七六二三八七○五与己午未申正方形之午未一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方形之庚辛一边一尺五寸七分四厘零三忽有余之比既得庚辛一边自乗得己庚辛壬正方面积即与甲乙丙丁戊五等边形之面积为相等也如有五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘，求每边之数？则用边线相等，面积不同之定率比例，以定率之五等边形之面积一七二○四七七四一为一率，正方形之面积一○○○○○○○○为二率，今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘为三率，求得四率一尺四十四寸，开方得一尺二寸，即五等边形之每一边也。此法葢因五等边形之每边与正方形之每边相等，五等边形之面积与正方形之面积不同，故先定为面与面之比例，既得面积，而后开方得线也。又法，用面积相等，边线不同之定率比例，以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率，五等边形之每边七六二三八七○五为二率，今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘，开方得一尺五寸七分四厘零三忽有余，为三率，求得四率一尺二寸，即五等边形之每一边也。此法葢因五等边形之面积与正方形之面积相等，五等边形之每边与正方形之每边不同，故以五等边形之面积先开方，既得方边，而后为线与线之比例也。设如六等边形，每边一尺二寸，问面积几何？法因六等边形之每边与分角线【即六等边形外切圜之半径】相等，故即以每边一尺二寸为▯，每边之半六寸为勾，求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余，为六等边形中心至每边正中之垂线【即六等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗，六因之，得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余，即六等边形之面积也。如图，甲乙丙丁戊己六等边形，庚为六等边形之中心，其庚丙分角线与丙丁类每边等，故以庚丙为▯，每边之半丙辛为勾，求得庚辛股，即六等边形中心至每边正中之垂线。既得垂线与丙丁之半丙辛相乗，得庚丙丁一三角形面积，六倍之，即六等边形之面积也。又法用边线相等面积不同之定率比例，以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率，六等边形面积二五九八○七六二○为二率，今所设之六等边形之每边一尺二寸，自乗得一尺四十四寸为三率，求得四率三尺七十四寸一十二分二十九厘有余，即六等边形之面积也。葢六等边形之每一边为一○○○○，则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○，而六等边形之每一边一○○○○所得之六等边形面积为二五九八○七六二○，故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边一○○○○，自乗之寅卯午未正方面积一○○○○○○○○，与子丑寅卯辰己六等边形面积二五九八○七六二○之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每一边一尺二寸，自乗之丙丁庚辛正方面积一尺四十四寸，与今所得之甲乙丙丁戊己六等边形面积三尺七十四寸一十二分二十九厘有余之比也。

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形之每边六二○四○三二四为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为与六等边形面积相等之正方形每边之数自乗得三尺七十四寸一十二分二十六厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每边为六二○四○三二四正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边六二○四○三二四与午未申酉正方形之未申一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一边一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余之比既得辛壬一边自乗得庚辛壬癸正方面积即与甲乙丙丁戊己六等边形之面积为相等也如有六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘，求每边之数？则用边线相等，面积不同之定率比例以定率之六等边形之面积二五九八○七六二○为一率，正方形之面积一○○○○○○○○为二率，今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘为三率，求得四率一尺四十四寸，开方得一尺二寸，即六等边形之每一边也。此法葢因六等边形之每边与正方形之每边相等，六等边形之面积与正方形之面积不同，故先定为面与面之比例，既得面积，而后开方得线也。又法，用面积相等、边线不同之定率比例，以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率，六等边形之每边六二○四○三二四为二率，今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘，开方得一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余，为三率，求得四率一尺二寸，即六等边形之每一边也。此法葢因六等边形之面积与正方形之面积相等，六等边形之每边与正方形之每边不同，故以六等边形之面积先开方，既得方边，而后为线与线之比例也。设如七等边形，每边一尺二寸，问面积几何？法以全圜三百六十度七分之，每分得五十一度二十五分四十二秒有余，折半得二十五度四十二分五十一秒有余。爰以二十五度四十二分五十一秒有余之正▯四万三千三百八十八为一率，半径十万为二率，今所设之七等边形之每边一尺二寸，折半得六寸为三率，求得四率一尺三寸八分二厘八豪七丝有余，为七等边形外切圜之半径。或用求圜内容七等边形之一边之定率比例，以定率之圜内容七等边形之每边四三三八八三七四为一率，圜径一○○○○○○○○为二率，今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率二尺七寸六分五厘七豪一丝七忽有余，折半得一尺三寸八分二厘八豪五丝八忽有余，为七率边形外切圜之半径。

乃以此半径为▯，七等边形之每边折半为勾，求得股一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余，为七等边形之中心至每边正中之垂线。或以二十五度四十二分五十一秒有余之正▯四万三千三百八十八为一率，二十五度四十二分五十一秒有余之余▯九万零九十七为二率，今所设之七等边形之每边之半六寸为三率，求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余，为七等边形之中心至每边正中之垂线。既得此垂线，乃与每边折半之数相乗，得七十四寸七十五分五十五厘有余，七因之得五尺二十三寸二十八分八十五厘有余，即七等边形之面积也。如图甲乙丙丁戊己庚七等边形，试作一外切圜形，则每边之弧皆为五十一度二十五分四十二秒有余。将甲乙边折半于辛，自圜心壬作壬辛癸半径线，遂平分甲乙弧于癸，则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余，甲辛即二十五度四十二分五十一秒有余之正▯，壬辛即二十五度四十二分五十一秒有余之余▯，是故二十五度四十二分五十一秒有余之正▯与半径十万之比，即如今所设之每边之半甲辛与所得之半径甲壬之比。又二十五度四十二分五十一秒有余之正▯与二十五度四十二分五十一秒有余之余▯之比，即如今所设之每边之半甲辛与所得之垂线壬辛之比也【此即圜内容七等边形之法而转用之也】又法，以二十五度四十二分五十一秒有余之正切四万八千一百五十七为一率，半径十万为二率，今所设之七等边形之每边之半六寸为三率，求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝四忽有余，为七等边形内容圜之半径。或用求圜外切七等边形之一边之定率比例，以定率之圜外切七等边形之每边四八一五七四六二为一率，圜径一○○○○○○○○为二率，今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率二尺四寸九分一厘八豪二丝五忽有余，折半得一尺二寸四分五厘九豪一丝二忽有余，为七等边形内容圜之半径，即七等边形之中心至每边正中之垂线。乃与每边折半之数相乗，七因之得五尺二十三寸二十八分三十厘有余，即七等边形之面积也。如图，甲乙丙丁戊己庚七等边形，试作一内容圜形，自甲角过圜心辛作甲辛壬线，遂平分丁戊边于壬，则丁壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正切。故以二十五度四十二分五十一秒有余之正切与半径十万之比，同于今所设之每边之半丁壬与所得之内容圜半径辛壬之比也【此即圜外切七等边形之法而转用之也】又法，用边线相等面积不同之定率比例，以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率，七等边形面积三六三三九一二四○为二率，今所设之七等边形之每边一尺二寸，自乗得一尺四十四寸为三率，求得四率五尺二十三寸二十八分三十三厘有余，即七等边形之面积也。

葢七等边形之每一边为一○○○○，则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○，而七等边形之每一边一○○○○所得之七等边形面积为三六三三九一二四○，故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边一○○○○自乗之卯辰未申正方面积一○○○○○○○○，与子丑寅卯辰己午七等边形面积三六三三九一二四○之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊巳庚七等边形之每一边一尺二寸自乗之丁戊辛壬正方面积一尺四十四寸，与今所得之甲乙丙丁戊己庚七等边形面积五尺二十三寸二十八分三十三厘有余之比也。又法，用面积相等、边线不同之定率比例，以定率之七等边形之每边五二四五八一二六为一率，正方形之每边一○○○○○○○○为二率，今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余，为与七等边形面积相等之正方形每边之数。自乗得五尺二十三寸二十八分三十厘有余，即七等边形之面积也。葢七等边形之每边为五二四五八一二六，正方形之每边为一○○○○○○○○，则两面积相等，故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边五二四五八一二六与未申酉戌正方形之申酉一边一○○○○○○○○之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚七等边形之丁戊一边一尺二寸与今所得之辛壬癸干正方形之壬癸一边二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余之比。既得壬癸一边自乗得辛壬癸干正方面积，即与甲乙丙丁戊己庚七等边形之面积为相等也。如有七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘，求每边之数？则用边线相等，面积不同之定率比例，以定率之七等边形之面积三六三三九一二四○为一率，正方形之面积一○○○○○○○○为二率，今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘为三率，求得四率一尺四十四寸，开方得一尺二寸，即七等边形之每一边也。此法葢因七等边形之每边与正方形之每边相等，七等边形之面积与正方形之面积不同，故先定为面与面之比例，既得面积，而后开方得线也。又法，用面积相等、边线不同之定率比例，以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率，七等边形之每边五二四五八一二六为二率，今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘，开方得二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余，为三率，求得四率一尺二寸，即七等边形之每一边也。此法葢因七等边形之面积与正方形之面积相等，七等边形之每边与正方形之每边不同，故以七等边形之面积先开方，既得方边，而后为线与线之比例也。设如八等边形，每边一尺二寸，问面积几何？法以全圜三百六十度，八分之，每分得四十五度，折半得二十二度三十分。

爰以二十二度三十分之正▯三万八千二百六十八为一率，半径十万为二率，今所设之八等边形之每边一尺二寸，折半得六寸为三率，求得四率一尺五寸六分七厘八豪八丝九忽有余，为八等边形外切圜之半径。或用求圜内容八等边形之一边之定率比例，以定率之圜内容八等边形之每边三八二六八三四三为一率，圜径一○○○○○○○○为二率，今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率三尺一寸三分五厘七豪五丝一忽有余，折半得一尺五寸六分七厘八豪七丝五忽有余，为八等边形之切圜之半径。乃以此半径为▯，八等边形之每边折半为勾，求得股一尺四寸四分八厘五豪二丝七忽有余，为八等边形之中心至每边正中之垂线。或以二十二度三十分之正▯三万八千二百六十八为一率，二十二度三十分之余▯九万二千三百八十八为二率，今所设之八等边形之每边之半六寸为三率，求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝一忽有余，为八等边形之中心至每边正中之垂线。既得此垂线，乃与每边折半之数相乗，得八十六寸九十一分二十四厘有余，八因之得六尺九十五寸二十九分九十二厘有余，即八等边形之面积也。如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形，试作一外切圜形，则每边之弧皆为四十五度。将甲乙边折半于壬，自圜心癸作癸壬子半径线，遂平分甲乙弧于子，则甲子弧为二十二度三十分。甲壬即二十二度三十分之正▯，癸壬即二十二度三十分之余▯。是故二十二度三十分之正▯与半径十万之比，即如今所设之每边之半甲壬与所得之半径甲癸之比。又二十二度三十分之正▯与二十二度三十分之余▯之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之垂线癸壬之比也【此即圜内容八等边形之法而转用之也】又法以二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝有余为八等边形内容圜之半径或用求圜外切八等边形之一边之定率比例以定率之圜外切八等边形之每边四一四二一三五六为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺八寸九分七厘零五丝六忽有余折半得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余为八等边形内容圜之半径即八等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四厘有余为八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一内容圜形自圜心壬作壬癸中心至每边正中之垂线遂平分丁戊边于癸则丁癸即二十二度三十分之正切故以二十二度三十分之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁癸与所得之内容圜半径壬癸之比也【此即圜外切八等边形之法而转用之也】又法，以每边一尺二寸自乗，得一尺四十四寸，折半得七十二寸，开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余，与每边之半六寸相加，得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余，为自中心至每边正中之垂线。

乃以此垂线与每边之半相乗，八因之，得六尺九十五寸二十九分三十四厘，为八等边形之面积也。如图，甲乙丙丁戊己庚辛八等边形，壬为八等边形之中心。试将辛甲乙丙丁戊己庚四边俱引长相交，遂成癸子丑寅正方形。其四角丙子丁类勾股相等之四勾股形之▯，即八等边形之每一边。故以丙丁一边自乗折半开方，得丙子或子丁。于丙子内再加乙丙边之半卯丙，得卯子，与壬辰等，即八等边形自中心至每边正中之垂线。既得垂线与每边之半相乗八因之，即得八等边形之面积也。又法用边线相等面积不同之定率比例，以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率，八等边形面积四八二八四二七一二为二率，今所设之八等边形之每边一尺二寸，自乗得一尺四十四寸为三率，求得四率六尺九十五寸二十九分三十五厘有余，即八等边形之面积也。葢八等边形之每一边为一○○○○，则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○，而八等边形之每一边一○○○○所得之八等边形面积为四八二八四二七一二，故以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一边一○○○○，自乗之卯辰申酉正方面积一○○○○○○○○，与子丑寅卯辰巳午未八等边形面积四八二八四二七一二之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之每一边一尺二寸，自乗之丁戊壬癸正方面积一尺四十四寸，与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形面积六尺九十五寸二十九分三十五厘有余之比也。又法用面积相等边线不同之定率比例，以定率之八等边形之每边四五五○八九八五为一率，正方形之每边一○○○○○○○○为二率，今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余，为与八等边形面积相等之正方形每边之数，自乗得六尺九十五寸二十九分三十五厘有余，即八等边形之面积也。葢八等边形之每边为四五五○八九八五，正方形之每边为一○○○○○○○○，则两面积相等，故以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一边四五五○八九八五，与申酉戌亥正方形之酉戌一边一○○○○○○○○之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之丁戊一边一尺二寸，与今所得之癸干一边二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余之比，既得癸干一边自乗，得壬癸干坎正方面积，即与甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之面积为相等也。如有八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘，求每边之数？则用边线相等，面积不同之定率比例以定率之八等边形之面积四八二八四二七一二为一率，正方形之面积一○○○○○○○○为二率，今所设之八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘为三率，求得四率一尺四十四寸，开方得一尺二寸，即八等边形之每一边也。

此法葢因八等边形之每边与正方形之每边相等，八等边形之面积与正方形之面积不同，故先定为面与面之比例，既得面积，而后开方得线也。又法，用面积相等，边线不同之定率比例，以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率，八等边形之每边四五五○八九八五为二率，今所设之八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘，开方得二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余，为三率，求得四率一尺二寸，即八等边形之每一边也。此法葢因八等边形之面积与正方形之面积相等，八等边形之每边与正方形之每边不同，故以八等边形之面积先开方，既得方边，而后为线与线之比例也。设如九等边形，每边一尺二寸，问面积几何？法以全圜三百六十度，九分之，每分得四十度，折半得二十度。爰以二十度之正▯三万四千二百零二为一率，半径十万为二率，今所设之九等边形之每边一尺二寸，折半得六寸为三率，求得四率一尺七寸五分四厘二豪八丝三忽有余，为九等边形外切圜之半径。或用求圜内容九等边形之一边之定率比例，以定率之圜内容九等边形之每边三、四二○、二○、一四为一率，圜径一○○○、○○○、○○为二率，今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率三尺五寸零八厘五豪六丝五忽有余，折半得一尺七寸五分四厘二豪八丝二忽有余，为九等边形外切圜之半径。乃以此半径为▯，九等边形之每边折半为勾，求得股一尺六寸四分八厘四豪八丝六忽有余，为九等边形之中心至每边正中之垂线。或以二十度之正▯三万四千二百零二为一率，二十度之余▯九万三千九百六十九为二率，今所设之九等边形之每边之半六寸为三率，求得四率一尺六寸四分八厘四豪八丝二忽有余，为九等边形之中心至每边正中之垂线。既得此垂线，乃与每边折半之数相乗，得九十八寸九十分八十九厘有余，九因之得八尺九十寸一十八分零一厘有余，即九等边形之面积也。如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形，试作一外切圜形，则每边之弧皆为四十度。将甲乙边折半于癸，自圜心子作子癸丑半径线，遂平分甲乙弧于丑，则甲丑弧为二十度。甲癸即二十度之正▯，子癸即二十度之余▯。是故二十度之正▯与半径十万之比，即如今所设之每边之半甲癸与所得之半径甲子之比。又二十度之正▯与二十度之余▯之比，即如今所设之每边之半甲癸与所得之垂线子癸之比也【此即圜内容九等边形之法而转用之也】

又法以二十度之正切三万六千三百九十七为一率半径十万为二率今所设之九等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺六寸四分八厘四豪八丝七忽有余为九等边形内容圜之半径或用求圜外切九等边形之一边之定率比例以定率之圜外切九等边形之每边三六三九七○二四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺二寸九分六厘九豪七丝二忽有余折半得一尺六寸四分八厘四豪八丝六忽有余为九等边形内容圜之半径即九等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗九因之得八尺九十寸一十八分一十九厘有余为九等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形试作一内容圜形自甲角过圜心癸作甲癸子线遂平分戊巳边于子则戊子即二十度之正切故以二十度之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半戊子与所得之内容圜半径癸子之比也【此即圜外切九等边形之法而转用之也】又法用边线相等面积不同之定率比例，以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率，九等边形面积六一八一八二四二○为二率，今所设之九等边形之每边一尺二寸，自乗得一尺四十四寸为三率，求得四率八尺九十寸一十八分二十六厘有余，即九等边形之面积也。葢九等边形之每一边为一○○○○，则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○，而九等边形之每一边一○○○○所得之九等边形面积为六一八一八二四二○，故以子丑寅卯辰巳午未申九等边形之辰已一边一○○○○，自乗之辰已酉戌正方面积一○○○○○○○○，与子丑寅卯辰巳午未申九等边形面积六一八一八二四二○之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之每一边一尺二寸，自乗之戊己癸干正方面积一尺四十四寸，与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形面积八尺九十寸一十八分二十六厘有余之比也。

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之九等边形之每边四○二一九九六三为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余为与九等边形面积相等之正方形每边之数自乗得八尺九十寸一十八分二十一厘有余即九等边形之面积也葢九等边形之每边为四○二一九九六三正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未申九等边形之辰巳一边四○二一九九六三与酉戌亥金正方形之戌亥一边一○○○○○○○○之比即同于今所设甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之戊已一边一尺二寸与今所得之癸干坎艮正方形之干坎一边二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余之比既得干坎一边自乗得癸干坎艮正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之面积为相等也如有九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘，求每边之数？则用边线相等，面积不同之定率比例以定率之九等边形之面积六一八一八二四二○为一率，正方形之面积一○○○○○○○○为二率，今所设之九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘为三率，求得四率一尺四十四寸，开方得一尺二寸，即九等边形之每一边也。此法葢因九等边形之每边与正方形之每边相等，九等边形之面积与正方形之面积不同，故先定为面与面之比例，既得面积而后开方得线也。又法用面积相等，边线不同之定率比例，以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率，九等边形之每边四○二一九九六三为二率，今所设之九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘开方得二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余为三率，求得四率一尺二寸，即九等边形之每一边也。此法葢因九等边形之面积与正方形之面积相等，九等边形之每边与正方形之每边不同，故以九等边形之面积先开方，既得方边，而后为线与线之比例也。

形每边一尺二寸问面积几何法以全圜三百六十度，十分之，每分得三十六度，折半得十八度。爰以十八度之正▯三万零九百零二为一率，半径十万为二率，今所设之十等边形之每边一尺二寸，折半得六寸为三率，求得四率一尺九寸四分一厘六豪二丝一忽有余，为十等边形外切圜之半径。或用求圜内容十等边形之一边之定率比例，以定率之圜内容十等边形之每边三○九○一六九九为一率，圜径一○○○○○○○○为二率，今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率，求得四率三尺八寸八分三厘二豪八丝一忽有余，折半得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余，为十等边形外切圜之半径。乃以此半径为▯，十等边形之每边折半为勾，求得股一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余，为十等边形之中心至每边正中之垂线。或以十八度之正▯三万零九百零二为一率，十八度之余▯九万五千一百零六为二率，今所设之十等边形之每边之半六寸为三率，求得四率一尺八寸四分六厘五豪九丝八忽有余，为十等边形之中心至每边正中之垂线。既得此垂线，乃与每边折半之数相乗，得一尺一十寸七十九分五十八厘有余，十因之得一十一尺零七寸九十五分八十厘有余，即十等边形之面积也。如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形，试作一外切圜形，则每边之弧皆为三十六度。将甲乙边折半于子，自圜心丑作丑子寅半径线，遂平分甲乙弧于寅，则甲寅弧为十八度。甲子即十八度之正▯，丑子即十八度之余▯。是故十八度之正▯与半径十万之比，即如今所设之每边之半甲子与所得之半径甲丑之比。又十八度之正▯与十八度之余▯之比，即如今所设之每边之半甲子与所得之垂线丑子之比也【此即圜内容十等边形之法而转用之也】又法以十八度之正切三万二千四百九十二为一率半径十万为二率今所设之十等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺八寸四分六厘六豪零八忽有余为十等边形内容圜之半径或用求圜外切十等边形之一边之定率比例以定率之圜外切十等边形之每边三二四九一九七○为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺六寸九分三厘二豪二丝有余折半得一尺八寸四分六厘六豪一丝有余为十等边形内容圜之半径即十等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分六十厘有余为十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形试作一内容圜形自中心子至每边之正中作子丑垂线遂平分戊巳边于丑则戊丑即十八度之正切故以十八度之正切与半径十万之比同于今所设之毎边之半戊丑与所得之内容圜半径子丑之比也【此即圜外切十等边形之法而转用之也】又法用连比例三率有中率求末率之法，以每边一尺二寸为中率，求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余【中率求末率即如首率求中率也】乃以末率与中率相加，得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为首率，即十等边形之分角线【即十等边形外切圜之半径】乃以分角线为▯，每边之半为勾，求得股一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余，为十等边形自中心至每边正中之垂线【即十等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗，十因之，得一十一尺零七寸九十六分五十四厘有余，即十等边形之面积也。如图，甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形，子为十等边形之中心。试自中心子至戊巳二角作子戊、子巳二线，成子戊已三角形。又自已角至丙角作巳丙线，截子戊线于丑，则又成巳丑戊三角形与子戊巳三角形为同式形。故子戊线为首率【即理分中末线之全分】戊已边为中率【即理分中末线之大分】而所截之子丑一段与戊巳边等，亦为中率，丑戊一段即为末率【即理分中末线之小分】其比例为子戊首率与戊巳中率之比，即同于戊已中率与丑戊末率之比。故按连比例三率有中率求末率之法，求得丑戊末率与子丑中率相加，即得子戊首率为分角线，又为十等边形外切圜之半径。以子戊为▯，戊巳边之半戊寅为勾，求得子寅股，即十等边形中心子至每边正中之垂线，又为十等边形内容圜之半径。既得子寅垂线与戊已边之半戊寅相乗，得子戊巳一三角形之面积，十因之，即十等边形之面积也。又法用边线相等面积不同之定率比例，以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率，十等边形面积七六九四二○八八三为二率，今所设之十等边形之每边一尺二寸，自乗得一尺四十四寸为三率，求得四率一十一尺零七寸九十六分六十厘有余，即十等边形之面积也。葢十等边形之每一边为一○○○○，则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○，而十等边形之每一边一○○○○所得之十等边形面积为七六九四二○八八三，故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等边形之辰巳一边一○○○○，自乗之辰巳戌亥正方面积一○○○○○○○○，与子丑寅卯辰已午未申酉十等边形面积七六九四二○八八三之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之每一边一尺二寸，自乗之戊己干坎正方面积一尺四十四寸，与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形面积一十一尺零七寸九十六分六十厘有余之比也。

又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之十等边形之每边三六○五一○五八为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余为十等边形面积相等之正方形每边之数自乗得一十一尺零七寸九十六分五十七厘有余即十等边形之面积也葢十等边形之每边为三六○五一○五八正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等边形之辰巳一边三六○五一○五八与戌亥金木正方形之亥金一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之戊巳一边一尺二寸与今所得之干坎艮震正方形之坎艮一边三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余之比既得坎艮一边自乗得干坎艮震正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之面积为相等也如有十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘，求每边之数？则用边线相等，面积不同之定率比例，以定率之十等边形之面积七六九四二○八八三为一率，正方形之面积一○○○○○○○○为二率，今所设之十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘为三率，求得四率一尺四十四寸，开方得一尺二寸，即十等边形之每一边也。此法葢因十等边形之每边与正方形之每边相等，十等边形之面积与正方形之面积不同，故先定为面与面之比例，既得面积，而后开方得线也。又法，用面积相等，边线不同之定率比例，以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率，十等边形之每边三六○五一○五八为二率，今所设之十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘，开方得三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余，为三率，求得四率一尺二寸，即十等边形之每一边也。此法葢因十等边形之面积与正方形之面积相等，十等边形之每边与正方形之每边不同，故以十等边形之面【积先开方，既得方边，而后为线】

【与线】

【之比】

更面形设如正方形，每边一尺二寸，今欲作与正方形积相等之圜面积，问径几何？

法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率圜径一一二八三七九一六为二率今所设之正方形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺三寸五分四厘零五丝四忽有余即所求之圜径也葢正方形之每边为一○○○○○○○○圜径为一一二八三七九一六则两面积相等故以子丑寅卯正方形之每边一○○○○○○○○与辰巳圜径一一二八三七九一六之比即同于今所设之甲乙丙丁正方形之每边一尺二寸与今所得之戊巳圜径一尺三寸五分四厘零五丝四忽有余之比而两面积亦为相等也设如正方形面积一尺四十四寸，今欲作与正方边。

相等之圜径问积几何法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率圜面积七八五三九八一六为二率今所设之正方面积一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十三寸零九分七十三厘有余即所求之圜面积也葢正方面积为一○○○○○○○○圜面积为七八五三九八一六则正方形之每边与圜径相等故以子丑寅卯正方面积一○○○○○○○○与辰巳圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲乙丙丁正方面积一尺四十四寸与今所得之戊巳圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余之比而正方形之每边与圜径亦为相等也设如圜径一尺二寸，今欲作与圜面积相等之三等。

边形问每一边几何法用面积相等边线不同之定率比例以定率之圜径一一二八三七九一六为一率三等边形之每边一五一九六七一三七为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率一尺六寸一分六厘一豪二丝八忽有余即三等边形之每一边也葢圜径为一一二八三七九一六三等边形之每边为一五一九六七一三七则两面积相等故以子丑圜径一一二八三七九一六与寅卯辰三等边形之每边一五一九六七一三七之比即同于今所设之甲乙圜径一尺二寸与今所得之丙丁戊三等边形之毎边一尺六寸一分六厘一豪二丝八忽有余之比而两面积亦为相等也设如圜面积一尺四十四寸，今欲作与圜径相等之五等边形，问积几何？

法用边线相等面积不同之定率比例以定率之圜面积七八五三九八一六为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之圜面积一尺四十四寸为三率求得四率三尺一十五寸四十四分三十五厘有余即五等边形之面积也葢圜面积为七八五三九八一六五等边形面积为一七二○四七七四一则圜径与五等边形之每边相等故以子丑圜面积七八五三九八一六与寅卯辰巳午五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙圜面积一尺四十四寸与今所得之丙丁戊己庚五等边形面积三尺一十五寸四十四分三十五厘有余之比而圜径与五等边形之每边亦为相等也设如六等边形，每边一尺二寸，今欲作与六等边形面积相等之七等边形，问每一边几何？

法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形每边六二○四○三二四为一率七等边形之每边五二四五八一二六为二率今所设之六等边形每边一尺二寸为三率求得四率一尺零一分四厘六豪五丝八忽有余即七等边形之每一边也葢六等边形每边为六二○四○三二四七等边形毎边为五二四五八一二六则两面积相等故以子丑寅卯辰巳六等边形之每边六二○四○三二四与午未申酉戌亥金七等边形之每边五二四五八一二六之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸干坎艮七等边形之每边一尺零一分四厘六豪五丝八忽有余之比而两面积亦为相等也设如五等边形，面积一尺四十四寸，今欲作与五等边形每边相等之八等边形，问积几何？

法用边线相等面积不同之定率比例以定率之五等边形面积一七二○四七七四一为一率八等边形面积四八二八四二七一二为二率今所设之五等边形面积一尺四十四寸为三率求得四率四尺零四寸一十二分八十二厘有余即八等边形之面积也葢五等边形面积为一七二○四七七四一八等边形面积为四八二八四二七一二则五等边形之每边与八等边形之每边相等故以子丑寅卯辰五等边形之面积一七二○四七七四一与巳午未申酉戌亥金八等边形之面积四八二八四二七一二之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之面积一尺四十四寸与今所得之己庚辛壬癸干坎。艮八等边形之面积，四尺零四寸一十。二分八十二厘有余之比，而五等边形。之每边与八等边形之每边亦为相等。

也