九章录要卷十
九章录要卷十
松江屠文漪撰方程法古九章八曰：方程，以御错揉；正负。二色方程例假如绫五匹纱八匹共价银二十四两，又绫七匹纱四匹共价二十二两八钱，问绫纱每匹价各防何？法依所问列左右二行，以绫五互乗绫七纱四及价，所得数各注于其下【绫得三十五，纱得二十，价得一百一十四】亦以绫七互乗绫五纱八及价注所得数如前【绫得三十五，纱得五十六，价得一百六十八】两绫数相对减尽，两纱数减余【三十六】为法，两价数减余【五十四】为实，以法除实，得纱每匹价一两五钱，乃就一行中以纱匹数乗价减共价余，以绫匹数除之，得绫每匹价二两四钱按右例，若以纱互乗，即先得绫价，于法皆通，以后各例仿此。又按例以绫互乗，则两绫所得数必相对减尽矣。立法之意，正欲使两绫数等，而后价数之不齐，由于纱数之不齐，显然可推也。然旣知此义，则以后凡同物相乘如绫之比者，直可省之，故槪不赘书，惟于右一条具文见义云。又如七钗九钿共重九两四钱，钗重钿轻，于中互换其一，则轻重适等，问钗钿各重防？何法依所问，钗钿互换其一，以六钗一钿，一钗八钿，左右对列而中分其总重之数，系之两行，如前求之，得一钗之重七钱，一钿之重五钱。二色方程兼正负例。假如卖米七石，买麦三石，米家得银九两六钱。又卖米三石，买麦九石，米家出银三两六钱。问米、麦每石价各防？何法？以米为正，麦为负；米家所得之价为正，米家所出之价为负。列左右两行如前。若以米互乘麦及价者【麦负九，得六十三；价负得二十五两二钱。麦负三，得九；价正得二十八两八钱】而麦数减余【五十四】为法，两价数相并【五十四】为实。以法除实，得麦每石价一两。乃以麦负九石乘价，减负价余，以米三石除之；或以麦负三石乘价，并正价，以米七石除之，得米每石价一两八钱。按负有背负之义，谓正之反也；亦有负欠之义，此例从米家卖米言之，故卖米为正，买麦为负。米家所得之价为正，所出之价为负。若从麦家言者，反是。其并减之法，此以两正及两负同名者相减，一正一负异名者相并。自互乗得数，及已得一物之价，而以其物数乗价，与原正负价幷减，求第二物之价，皆然。二色正负反用并减例。凡互乗所得数，固以两正两负同名相减，一正一负异名相并，为常法；而亦有反用之者。假如卖米五石，麦五石，得银一十四两；卖米四石，买麦七石，出银二两。问米麦每石价各防何？此若以米互乗麦与价【米系两正同名】则两米相乘所得数，自必相对减尽，不待乗而可知矣。两麦两价俱系正负异名，其乘得数固宜相并，如常法也【麦正得二十，麦负得三十五，并得五十五；价正得五十六，价负得一十，并得六十六】若以麦互乗米与价【麦系正负异名】则两麦相乘所得数乃须相并，殊非立法之意，故变通其法，反以两麦相减，而两米俱正同名，反相并【米五得三十五，米四得二十，并得五十五】两价正负异名，亦反相减【价正得九十八，价负得一十，减得八十八】此其义何也？
卖米买麦而出银，犹之买米卖麦而得银，然则正可变为负，负可变为正。今不变其正负之名，但变其并减之法，此法之变生乎常，而常变不殊其用者也。且非特此也，同名相减，取其数之齐者以相比例，而其余之不齐可得而推，故同减而异必并；异名相减，取其数之齐者以相偿补，而其余之不齐亦可得而推，故异减而同必并。此法之变反乎常，而常变各成其用者也。依法求之，得米每石价一两六钱，麦每石价一两二钱。自三色正负以上，凡互乘所得数，则两法并用。若已得一物之价，而以其物数乗价与原正负价相并减，求第二物之价者，只依常法，不在变通之例。按右所论，同减异并，异减同并，明其所以然之故，益见法之当然而不可易矣。乃旣经并减后所得之数，谓之正乎？谓之负乎？此在二色方程，但取其数为法实，以相除，犹不必深辨也。若三色以上而不分正负，后更与他数相并减，其道何由？故特剖而论之曰：凡并减虽两行相对，要以一行为主。如以正并者【为主之行系正也】得数仍为正；以负并者，得数仍为负也。以正减者，减而有余【为主之行有余也】则为正；减而不足，则为负。以负减者，减而有余，则为负；减而不足，则为正也。此一定之理，断不容混耳。更有为主之行无数，而借相对之行所有数，虚立于本行以为数者，或遇应借而不知借，或借而槩称为负，则非矣。夫数岂可借？盖实非借也。试思两正相减，而此少彼多，犹谓之负，则此无彼有，得不谓之负乎【两负相减亦然】又试思以正幷负，而此有正数，犹取彼负以益之，则此无正数，得不取彼负以实之乎【以负并正亦然】故借正为负，借负为正，凡以同名互乘相减者，固宜如是也。若以异名互乗，则亦当借正为正，借负为负，此皆自然之理，施之于算，无往不合者。其要则曰：同减异借，异减同借，两言而已。每见算家之书，于已经并减之数及应借之数处之茫然，莫能致辨，于是误在毫厘，失之千里。纵复强为牵合，究且于率难通，则方程之法，或防乎废矣。兹因论并减异同，而并畅其説，然后以三色四色方程着例于左，览者当如观火，而自五色以上，直可推之至于无穷也【右一条新订】三色方程例假如绫五匹纱三匹防五匹共价二十二两五钱，又绫四匹纱二匹防七匹共价二十一两，又绫八匹纱六匹防九匹共价三十九两，问三物每匹价各防何？法依所问列左右中三行，乃以左行中行绫互乘纱防及价，又以右行中行绫互乗纱防及价，所得数各注于其下。次以中行左行相减，且如左行为主【或以中行为主亦可】减得纱正八防负二十价负一十二，注左行之旁。又以中行右行相减，且如右行为主，减得纱正二防负一十五价负一十五，注右行之旁【图式具后，其左右中三行上中三层俱可互换耳】
两旁所注数，即是二色方程，再依二色法求之，得防。每匹价一两二钱，纱每匹一两五钱。二价旣得，绫价易见，每匹二两四钱【按：右例原数无正负，因相减而有正负也。若左例原数已兼正负，则别为一条。又按：方程章惟右一例不可用借徴法，余并可以借徴求之，而条缕多者，方程为便】三色方程兼正负例。假如绫五匹换纱三匹，绫家得银七两五钱。又绫四匹换纱二匹，防七匹，绫家出银一两八钱。又绫八匹换防九匹，绫家得银八两四钱。问三物每匹价各防？何法如前列左右中三行，其一物而三行俱有者，用以互乘余物及价，各注所得数，空者阙之【依后图以上乗下为便，故第一层三行俱实，而空位则在下诸层也】次以中行左行相并减，且如左行为主，借得纱正一十六，减得防正二十，并得价正四十八。又以中行右行相并减，且如右行为主，减得纱负二，借得防正三十五，并得价正三十九。注于两旁。
再以二色方程法求之【物价同前例，右一条新增】三色方程兼正负又例【前法止于三色而已，此法则四色、五色所从出也】假如依前例，绫正五，纱负三，价正七两五钱；绫正四，纱负二，防负七，价负一两八钱；绫正八，防负九，价正八两四钱。求各物价，法列三行如后图式【惟第一行第三层，第三行第二层可虗可实，余必如图】专以第三行为主，先以第三行纱互乗第一行绫、防及价，以第一行纱互乗第三行绫及价，各注所得数。乃以第三行与第一行相并减，借得防正二十一，减得绫负二，并得价正二十两零四钱。次以第三行借防互乗第二行绫及价，以第二行防互乗第三行绫及价【就第一行互乗相并减之数而乗之，非乗原数也】各注所得数。乃以第三行与第二行相并减，减得绫正一百五十为法，并得价正三百六十两为实，以法除实，得绫每匹价，以次求各价。
又如行程顾骡一匹、马一匹、共价钱七百。又顾马二匹、驴一匹、共价八百四十。又顾骡一匹、驴三匹、共价七百。问三物每匹顾値各防？何法列三行如前，以第三行与第一行互乗，乃相并减，借得马负一驴无，并减只用乗得之数价减尽不存。次与第二行互乗，第三行价已尽无乗阙之，乃相并减，并得驴正七为法，借得价正八百四十为实，以法除实，得驴每匹价一百二十，以次求各价：驴每匹三百四十，马每匹三百六十。
按此例，三物及价俱正，而云正负者，三物中缺其一，是乃所谓负也。算家就物强分正负，则谬之甚者。又如依前所问，更置其位，先求一骡之力。
又更置其位，先求一马之力【此例算家误甚，故反覆以明之】
【右一条三式俱新订】四色方程兼正负例【四色、五色以上皆与三色一法，聊着此以见例云】假如绫二匹，纱七匹，共价一十五两三钱。又纱匹，绢三匹，共价九两。又绢五匹，防五匹，共价一十一两。又防四匹，绫三匹，共价一十二两。问四物每匹价各防何？法列四行如后图式，乃依前法，以第四行为主，先与第一行互乘而并减之，次第二行，次第三行，最后减得防负一百五十五为法，价负一百八十六为实。以法除实，得防每匹价一两二钱，余价次第求之。绫每匹二两四钱，纱每匹一两五钱，绢每匹一两。
按：自三色方程以上，凡前诸行所有之物，为末行所无者，互乗后，即借其乘得之数；下层之价，亦然。如末行无价，与第一行互乘而借其数；或第一行亦无价，则待至二三行互乘后有数而借之也。若有数而减尽，即彼此俱无数，当于次行互乗后借之。其末行所有之物，为前诸行所无者，无可并减，末行只用互乗所得之数；下层之价，亦然【右一条新订】
九章录要卷十<子部,天文算法类,算书之属,九章录要》>钦定四库全书