御制数理精蕴下编卷三十四

御制数理精蕴下编卷三十四

末部四借根方比例【线类】

线类设如有一竹竿长一丈，欲分为大小两分，大分比小分多四尺，问大小分各几何？法借一根为小分，则大分即为一根多四尺，两数相加得二根多四尺，与一丈相等。二根既多四尺，乃减去所多四尺，余二根；又于一丈内亦减去四尺，余六尺，是为二根与六尺相等。二根既与六尺相等，则一根必与三尺相等。前既借一根为小分，则三尺即小分，再加四尺，得七尺，即大分也【此减法也，于一丈内减去大分所多之四尺，余六尺，折半得三尺，即小分之数。此法甚易，盖因借根比例之首，先设此以明其理，使人由浅以入深也】设如，有银三百四十三两，分给众匠。其为首一人所得之银与众匠人数相等，众匠每人得银六两。问共人数几何？法借一根为为首一人所得之银数，亦即为众匠之人数，以众匠之人数，一根与六两相乗，得六根为众匠之银数，相加得七根与三百四十三两相等，七根既与三百四十三两相等，则一根必与四十九两相等，即为首一人所得之银数，亦即众匠之人数，以四十九人与六两相乗，得二百九十四两，即众匠所得共银数，再加为首一人所得银数四十九两，得三百四十三两，以合原数也【此归除法也，以每匠得银六两，加一两得七两，以除共银三百四十三两，即得四十九两为为首一人所得银数，亦即众匠之人数，葢为首一人之银既与众匠人数等，若以为首一人之银分给众匠，每人必多得一两，故于每人之银数外加一两以除共银，即得也】设如，有绳二条，不言丈数，但知其长短之比例同于九与五，其相差之较与短绳除长绳所得之数相等，问二绳各长若干？法借九根为长绳之数，五根为短绳之数，两数相减，余四根。以五根除九根，得一八，即一丈八尺，是为四根与一丈八尺相等。四根既与一丈八尺相等，则一根必与四尺五寸相等。九因之，得四丈零五寸，即长绳数。五因之，得二丈二尺五寸，即短绳数。以二丈二尺五寸与四丈零五寸相减，余一丈八尺。以二丈二尺五寸除四丈零五寸，亦得一丈八尺也【此归除法】设如甲乙丙三人有银，不言数，但知甲乙共银九十两，乙丙共银四十五两，甲丙共银七十三两，问三人各银几何？法借一根为三人之总银数，以甲乙共银九十两计之，则丙为一根少九十两；以乙丙共银四十五两计之，则甲为一根少四十五两；以甲丙共银七十三两计之，则乙为一根少七十三两。三数相加得三根少二百零八两，而与所借之一根相等。三根少二百零八两与一根各加二百零八两，得三根与一根多二百零八两相等【三根少二百零八两内加二百零八两，则补足三根整数；一根上再加二百零八两，则为一根多二百零八两矣】三根与一根再各减一根，则余二根与二百零八两相等。

二根既与二百零八两相等，则一根必与一百零四两相等。即三人之总银数，总银一百零四两内减甲乙共银九十两，余一十四两为丙银数；减乙丙共银四十五两，余五十九两为甲银数；减甲丙共银七十三两，余三十一两为乙银数也【此加减法也。如以三数相加得二百零八两，折半得一百零四两，即总银数。总银数内减甲乙共银数，余为丙银数；总银数内减甲丙共银数，余为乙银数；总银数内减乙丙共银数，余为甲银数也】设如甲乙丙三人有银，不言数，但知甲乙共银数比丙银多六十八两，乙丙共银数比甲银多一百两，丙甲共银数比乙银多一百二十四两，问三人各银几何？法借二根为三人之总银数，以甲乙共银数比丙银多六十八两计之，则甲乙共银为一根多三十四两，丙银为一根少三十四两【二根既为三人之总银数平分之，则甲乙应得一根，丙应得一根，甲乙共银比丙所多六十八两平分之，则甲乙应得三十四两，丙应得三十四两，甲乙所得为多，丙所得为少，故甲乙为一根多三十四两，丙为一根少三十四两，共相差为六十八两，下仿此】以乙丙共银数比甲银多一百两计之，则乙丙共银为一根多五十两，甲银为一根少五十两；以丙甲共银数比乙银多一百二十四两计之，则丙甲共银为一根多六十二两，乙银为一根少六十二两。乃以丙银一根少三十四两，甲银一根少五十两，乙银一根少六十二两，三数相加得三根少一百四十六两，而与所借之二根相等。三根少一百四十六两与二根各加一百四十六两，得三根与二根多一百四十六两相等。三根与二根再各减二根，则余一根与一百四十六两相等。一根既与一百四十六两相等，则二根必与二百九十二两相等，即三人之总银数。前既以丙银为一根少三十四两，乃于一百四十六两内减三十四两，余一百一十二两，即丙银数；甲为一根少五十两，乃于一百四十六两内减五十两，余九十六两，即甲银数；乙为一根少六十二两，乃于一百四十六两内减六十二两，余八十四两，即乙银数也【此加减法也。如以甲乙比丙所多之六十八两与乙丙比甲所多之一百两相加，得一百六十八两，折半得八十四两，即乙银数；又以乙丙比甲所多之一百两与甲丙比乙所多之一百二十四两相加，得二百二十四两，折半得一百一十二两，即丙银数；再以乙丙数相加得一百九十六两，内减去乙丙比甲所多之一百两，余九十六两，即甲银数也】设如，有银分赏众人，不言银数，亦不言人数，但知第一人得银一两，又得余银之十分之一；第二人得银二两，又得余银之十分之一；第三人得银三两，又得余银之十分之一；以下分赏之数皆准此例，所得之银皆相等。

问人数及银数各几何？法借一根为第一人所得，余银之数则一两多一根为第一人所得总银数。又第一人得余银十分之一，则余银必为十根，减去一根仍余九根。再于九根内减去第二人所得之二两，为九根少二两。以九根少二两取其十分之一，得十分根之九少二钱，与第二人之二两相加，得二两【作二十钱】多十分根之九少二钱，为与第一人所得之一两【作一十钱】多一根相等。一两多一根与二两多十分根之九少二钱各加二钱，得一两二钱多一根与二两多十分根之九相等。多一根与多十分根之九各减十分根之九，余一两二钱多十分根之一与二两相等。一两二钱与二两又各减一两二钱，则余十分根之一与八钱相等。十分根之一既与八钱相等，则一根必与八两相等。即第一人所得余银之数，乃以十因之得八十两，又加第一人所得之一两，共八十一两，即原共银数。第一人得一两，又加余银八十两之十分之一八两，共为九两。第二人得二两，又加余银七十两之十分之一七两，亦共为九两。第三人得三两，又加余银六十两之十分之一六两，亦共为九两。第四人得银四两，又加余银五十两之十分之一五两，亦共为九两。第五人得银五两，又加余银四十两之十分之一四两，亦共为九两。第六人得银六两，又加余银三十两之十分之一三两，亦共为九两。第七人得银七两，又加余银二十两之十分之一二两，亦共为九两。第八人得银八两，又加余银十两之十分之一一两，亦共为九两。第九人得银九两，银尽无余。是共九人，每人得银九两，皆相等也【此加减法也，以分母十与分子一相减，余九即人数，以人数九自乗得八十一，即总银数也。葢惟人数与每人所得银数相等者，每人递加一两，又各加余银十分之一所得】始能相等，故以人数自乗，即得银数也】设如有人行路，共二千八百里，步行则日行七十里，坐船则日行九十里，乗马则日行一百里。但知步行之日数倍于坐船，坐船之日数倍于乗马。问步行及坐船、乗马之日数各若干？法借一根为乗马之日数，则坐船之日数为二根，步行之日数为四根。以一根与一百里相乗，得一百根，为乗马所行之里数。以二根与九十里相乗，得一百八十根，为坐船所行之里数。以四根与七十里相乗，得二百八十根，为步行所行之里数。三数相加，得五百六十根，是为五百六十根与二千八百里相等。五百六十根既与二千八百里相等，则一百根必与五百里相等。前既以一百根为乗马所行之里数，则与一百根相等之五百里，即乗马所行之里数。以乗马每日行一百里除之，得五日，与一根相等，即乗马所行之日数。倍之得十日，即坐船所行之日数。

以坐船每日行九十里乗之，得九百里，为坐船所行之里数。再以坐船所行之十日倍之，得二十日，即步行之日数。以步行每日行七十里乗之，得一千四百里，为步行之里数。以乗马所行之五百里与坐船所行之九百里及步行之一千四百里相并，共得二千八百里，以合原数也【此递加比例法，用借衰互征法算之，亦可】设如一驴一马一车共驮载一千五百二十斤，马所驮之数倍于驴，仍多四十斤；车所载之数倍于马，驴共驮之数却少四十斤。问驴、马、车各驮载几何？法：借一根为驴所驮之数，则马为二根多四十斤，车为六根多四十斤【驴、马数相并得三根多四十斤，倍之为六根多八十斤，内减去少四十斤，则为六根多四十斤】三数相加得九根多八十斤，是为九根多八十斤与一千五百二十斤相等。多八十斤与一千五百二十斤各减去八十斤，则余九根与一千四百四十斤相等。九根既与一千四百四十斤相等，则一根必与一百六十斤相等，即驴所驮之数。倍之得三百二十斤，再加四十斤得三百六十斤，为马所驮之数。将马、驴所驮之数相加得五百二十斤，倍之得一千零四十斤，再减去四十斤得一千斤，即车所载之数。驴驮一百六十斤，马驮三百六十斤，车载一千斤。三数相加共一千五百二十斤，以合原数也【此按数加减比例法用借衰互征法算之，亦可】设如，有银三百八十五两，令十一人挨次递加三两分之，问每人各得若干？法借一根为第一人所得银数，以十一乗之，得十一根。又以第一人至第十一人递加三两计之，共得多一百六十五两，是为十一根多一百六十五两，与三百八十五两相等。十一根多一百六十五两与三百八十五两各减一百六十五两，则余十一根与二百二十两相等。十一根既与二百二十两相等，则一根必与二十两相等。即第一人所得银数递加三两，则知第二人得二十三两，第三人得二十六两，第四人得二十九两，第五人得三十二两，第六人得三十五两，第七人得三十八两，第八人得四十一两，第九人得四十四两，第十人得四十七两，第十一人得五十两。各数相加共得三百八十五两，以合原数也【此按数加减比例法】设如，有银四百七十四两，令十二人挨次递加分之，但知第一人得银一十二两，问每人各得若干？法借一根为每人递加之数，以第一人至第十二人递加一根计之，则得六十六根。再以十二两与十二人相乗，得一百四十四两，是为六十六根多一百四十四两，与四百七十四两相等。六十六根多一百四十四两，与四百七十四两各减去一百四十四两，则余六十六根与三百三十两相等。六十六根既与三百三十两相等，则一根必与五两相等，即每人递加之数。

以第一人所得十二两加五两，即第二人所得十七两，依此递加，则知第三人得二十二两，第四人得二十七两，第五人得三十二两，第六人得三十七两，第七人得四十二两，第八人得四十七两，第九人得五十二两，第十人得五十七两，第十一人得六十二两，第十二人得六十七两。各数相加共得四百七十四两，以合原数也【此按数加减比例法】设如一人借银营利，三次，每次得利之后，则还银二百四十两，复以余银作本，其每次所得利银皆与每次本银相等，至第三次还银后，则银尽无余，问原借银若干？法借一根为原借本银数，则第一次利银亦为一根，是本利共二根。除还银二百四十两，则初次余银即为二根少二百四十两。再以二根少二百四十两为第二次本银数，加第二次利银，则为四根少四百八十两。除还银二百四十两，则第二次余银即为四根少七百二十两。再以四根少七百二十两为第三次本银数，加第三次利银，则为八根少一千四百四十两。除还银二百四十两，则第三次余银当为八根少一千六百八十两。八根少一千六百八十两而银尽无余，即八根与一千六百八十两相等也。八根既与一千六百八十两相等，则一根必与二百一十两相等，即原借本银之数。因每次所得利银皆与本银相等，故以原借本银之数倍之得四百二十两，除还二百四十两，余一百八十两为第二次本银之数。又倍之得三百六十两，又除还二百四十两，余一百二十两为第三次本银之数。又倍之得二百四十两，再还二百四十两，则银恰尽无余也【此按分递折比例法用叠借互征法算之亦可】设如甲乙丙三人各作一器，则甲六日可完，乙八日可完，丙二十四日可完。今命三人同作，问得日几何？法借一千一百五十二根【三分母连乗之数】为三人同作完之日数，以甲六日计之，则甲每日得一百九十二根；以乙八日计之，则乙每日得一百四十四根；以丙二十四日计之，则丙每日得四十八根。三数相加，共得三百八十四根，与一日相等。三百八十四根既与一日相等，则一千一百五十二根必与三日相等，即三人同作完之日数也【此和数比例法】设如甲丙二商，不言本银若干，但知甲之本银四倍于丙，而甲本银内减去七十二两，则两人之银适等，问二人本银各几何？法借一根为丙本银数，则甲本银为四根。以甲本银减七十二两与丙银相等，计之，则于甲本银四根内减七十二两，是为甲四根少七十二两与丙一根相等。四根少七十二两与一根各加七十二两，得四根与一根多七十二两相等。四根与一根各减去一根，则余三根与七十二两相等。三根既与七十二两相等，则一根必与二十四两相等，即丙本银数。

再加七十二两得九十六两，即甲本银数也【此较数比例法】设如甲乙二人分银，其数相等。甲用过一百两，乙用过三十两，则乙之余银三倍于甲。问二人原各分银几何？法借一根为原分银之数，则甲之余银为一根少一百两，乙之余银为一根少三十两。乙之余银既三倍于甲，则将甲余银一根少一百两，三倍之为三根少三百两，即与乙之余银一根少三十两相等矣。三根少三百两与一根少三十两，各加三百两，则得三根与一根多二百七十两相等【甲三根少三百两，今加三百两则补足三根整数；乙一根少三十两，今加三百两以三十两补原少之数，则止多二百七十两】三根与一根各减去一根，则余二根与二百七十两相等。二根既与二百七十两相等，则一根必与一百三十五两相等。前既借一根为原分银之数，则此一百三十五两即原分银之数矣。甲用过一百两，余三十五两；乙用过三十两，余一百零五两。故乙之余银三倍于甲也【此较数比例法用叠借互征法算之，亦可】设如甲乙二人行路，两日行到，初日乙所行之路四倍于甲，次日甲所行之路三倍于乙，但知初日乙行二百四十里，甲行六十里，问次日二人各行若干？法借一根为次日乙所行之路，则甲次日所行之路为三根。以初日乙行二百四十里与一根相加，得一根多二百四十里，为乙两日所行之路。以初日甲行六十里与三根相加，得三根多六十里，为甲两日所行之路。是为乙一根多二百四十里与甲三根多六十里相等。一根与三根各减一根，多二百四十里与多六十里各减六十里，则余一百八十里与二根相等。一百八十里既与二根相等，则九十里必与一根相等，即次日乙所行之路。三因之得二百七十里，即次日甲所行之路。以乙次日所行九十里与初日所行二百四十里相加，得三百三十里。以甲次日所行二百七十里与初日所行六十里相加，亦得三百三十里。是两人同行俱到也【此较数比例法】设如，有甲乙二商，各有本银生理。但知乙本银比甲本银多六两。数年得利之后，甲本利共银比原银为十一倍，乙本利共银比原银为七倍。而两人之银适等，问二人原有本银各几何？法借一根为甲本银数，则乙本银为一根多六两。甲本利共银既比原银为十一倍，则以十一乗一根得十一根为甲本利共银数。乙本利共银既比原银为七倍，则以七乗一根多六两得七根多四十二两为乙本利共银数。是为甲十一根与乙七根多四十二两相等。十一根与七根各减七根，余四根与四十二两相等。四根既与四十二两相等，则一根必与十两零五钱相等，即甲原银之数。十一乗之得一百一十五两五钱，即甲本利共银之数。以六两与十两零五钱相加得一十六两五钱，即乙原银之数。

七因之亦得一百一十五两五钱，为乙本利共银之数也【此较数比例法用叠借互征法算之亦可】设如甲乙二人分银，其数相等。甲银外加三百两，乙银外加六十五两，则甲之共银三倍于乙。问二人原各分银若干？法借一根为原分银之数，则乙之共银为一根多六十五两，甲之共银为一根多三百两。甲之共银既三倍于乙，则将乙之共银一根多六十五两，三倍之为三根多一百九十五两，即与甲之共银一根多三百两相等矣。三根多一百九十五两与一根多三百两，各减一百九十五两，则余三根与一根多一百零五两相等。三根与一根再各减去一根，则余二根与一百零五两相等。二根既与一百零五两相等，则一根必与五十二两五钱相等。前既借一根为原分银之数，则此五十二两五钱即原分银之数矣。以五十二两五钱与六十五两相加，得一百一十七两五钱，为乙之共银数。以五十二两五钱与三百两相加，得三百五十二两五钱，为甲之共银数，即乙之共银之三倍也【四十六两则一金球比一银球之此较数】设如金【比】球十二【例】银球十八，其轻重适等。若【法】将银球【用】七换金【叠】球七则银球边多三百二【借】十。

【互】二两问金球银球各重几【征】何法【法】借一根为金。

球换银球之差数以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【算】七乗之　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】得七根为七金球换七银球之差数是为七根与三百二十二两相等七根既与三百二十二两相等，则一根【亦】必与【可】四十六两相等，即一金球一银球相换之差数。一金球一银球相换之差数，既为重必差二十三两一金【二】球比一【根】银。球既重二十三两，则十【与】二」金球比【十】十」二银球必重二百七十六两，如以银球【二根各】再加六个，即【减】与十二【去】金球等是银球六个与二百七十六两相等。也乃以六归之，得四【十】十六两，即一银。球之重数加二十三两得【八】六十九两，即一金球之重数。以四十六两与十八银球相乗得八百二十八两，以【个】六十九两与十二金球相乗【此较数比例法】亦得八百二十八两也。设如一人买縀十二疋，一人买防三十二疋，用银适等。但知缎每疋价比防每疋价多六。两问防缎价银各若干？法借一根为防价，则缎价为一根多六两。各以总数乗之，则防总价得三十二根，缎总价得十二根多七十二两。是为防价三十二根与缎价十二根多七十二两相等。三十十二根，则余二十根与七十二两相等。二十根既与七十二两相等，则一根必与三两六钱相等。即防每疋之价，加缎每疋比防每疋多六两，得九两六钱，即缎每疋之价。以九两六钱乗十二疋，得一百一十五两二钱，为缎总价。以三两六钱乗三十二疋，亦得一百一十五两二钱，为防总价。两数适等也【此较数比例法】设如甲乙二人共买缎一百疋，甲买三十八疋，止与银三百一十二两，乙买六十二疋，止与银六百两，而两人所欠之银适等，问缎价及欠银各若干？法借一根为缎每疋价银数，则甲三十八疋总银数为三十八根，又甲止与银三百一十二两，则甲所欠之银即为三十八根少三百一十二两；乙六十二疋总银数为六十二根，又乙止与银六百两，则乙所欠之银即为六十二根少六百两。是为甲三十八根少三百一十二两与乙六十二根少六百两相等。少三百一十二两与少六百两各加六百两，得三十八根多二百八十八两与六十二根相等【乙为六十二根少六百两，今加六百两则补足六十二根整数；甲为三十八根少三百一十二两，今加六百两以三百一十二两补原少之数，则止多二百八十八两也】又三十八根与六十二根各减去三十八根，则余二十四根与二百八十八两相等。二十四根既与二百八十八两相等，则一根必与十二两相等，即缎每疋之价银数。再以十二两乗三十八疋，得四百五十六两，即甲所买缎之总银数，内减甲与银三百一十二两，余一百四十四两为甲所欠银数。

又以十二两乗六十二疋，得七百四十四两，为乙所买缎之总银数，内减乙与银六百两，亦余一百四十四两为乙所欠银数也【此较数比例法】设如，有米分给大小二等工人，但知小工人数比大工人数为七倍，大工人给米一升二合，小工人给米八合，共给过米五石四斗四升，问人数、米数各几何？法借一根为大工人之数，则七根为小工人之数。以一根与一升二合相乗【作一十二合】得一十二根为大工人米数。以七根与八合相乗，得五十六根为小工人米数。两米数相加，得六十八根，与五石四斗四升相等。六十八根既与五石四斗四升相等，则十二根必与九斗六升相等。前既以十二根为大工人米数，则与十二根相等之九斗六升，即大工人之米数。爰以大工人每人所得一升二合除之，得八十人，与一根相等，即大工人之数。七因之，得五百六十，即小工人之数。以八合乗之，得四石四斗八升，即小工人之米数也【此和较比例法用叠借互征法算之亦可】设如，有银一百两，分给大小二等匠人，共一百名。大匠人每人给银一两五钱，小匠人每人给银五钱。问，大小匠人各若干？法借一根为大匠人，数则小匠人，为一百少一根，以一两五钱与一根相乗，得十五根为大匠人共银数。又以五钱与一百少一根相乗，得五十两【作五百钱】少五根，为小匠人共银数。两银数相加，得五十两【作五百钱】多十根【原少五根加十五根则反多十根也】与银一百两【作一千钱】相等。五十两与一百两各减去五十两，则余十根与五十两相等。十根既与五十两相等，则十五根必与七十五两【即七百五十钱】相等。前既以十五根为大匠人共银数，则与十五根相等之七十五两，即大匠人之共银数。爰以大匠人每人所得一两五钱除之，得五十人，与一根相等，即大匠人之数。于共一百人内减大匠人五十人，余五十人，即小匠人之数。以五钱乗之，得二十五两，即小匠人之共银数也【此和较比例法用方程法算之亦可】设如，有银一百两，分赏马步兵共一百名。马兵一人赏三两，步兵三人赏一两。问马、步兵各若干？法借一根为步兵所得银数，则马兵所得银数即为三根；相加得四根，为马步兵共得银数，是为四根与一百两相等。四根既与一百两相等，则一根必与二十五两相等。即步兵所得银数，于一百两内减之余七十五两，为马兵所得银数；以每人三两归之，得二十五，即马兵人数；于一百名内减之余七十五，即步兵人数也【此和较比例法】设如鸡▯同笼，但知共头三十六，共足一百，问鸡▯各若干？法借一根为▯数，则鸡为三十六少一根，以▯四足乗▯一根，得四根为▯之共足数，以鸡二足乗鸡三十六少一根，得七十二少二根为鸡之共足数，两数相加得七十二多二根与一百相等，七十二与一百各减七十二，则余二根与二十八相等，二根既与二十八相等，则一根必与十四相等，即▯数于共三十六内减▯十四，余二十二即鸡数，▯十四以四足乗之，得五十六为▯共足数，鸡二十二以二足乗之，得四十四为鸡共足数，相加得一百以合原数也【此和较比例法】设如有人行路，乗马，乗船，共六十三日。

乗马日行一百六十里，乗船日行一百四十四里。乗船所行之里数，比乗马所行之里数为十八倍。问乗马、乗船之日数各若干？法借一根为乗马之日数，则乗船之日数为六十三日少一根。以一根与一百六十里相乗，得一百六十根为乗马所行之里数。以六十三日少一根与一百四十四里相乗，得九千零七十二里少一百四十四根，为乗船所行之里数。乗船所行里数既为乗马所行里数之十八倍，则以十八乗乗马所行之里数一百六十根，得二千八百八十根，是为二千八百八十根与九千零七十二里少一百四十四根相等。二千八百八十根与少一百四十四根各加一百四十四根，得三千零二十四根与九千零七十二里相等。三千零二十四根既与九千零七十二里相等，则一百六十根必与四百八十里相等。前既以一百六十根为乗马所行之里数，则与一百六十根相等之四百八十里即乗马所行之里数。以乗马每日所行一百六十里除之，得三日与一根相等，即乗马所行之日数。以三日与六十三日相减，余六十日为乗船所行之日数。以乗船每日行一百四十四里乗之，得八千六百四十里，即乗船所行之里数为乗马所行之里数之十八倍也【此和较比例法用叠借互征法算之亦可】设如，有青缎、蓝缎二色，共七十疋。青缎每疋长四十七尺，蓝缎每疋长六十尺。其蓝缎总尺数比青缎总尺数多二十七尺。问青缎、蓝缎二色各若干？法借一根为青缎疋数，则蓝缎为七十疋少一根。各以尺数乗之，则青缎之总尺数得四十七根，蓝缎之总尺数得四千二百尺少六十根。于蓝缎总尺数内减去比青缎所多之二十七尺，得四千一百七十三尺少六十根。是为青缎四十七根与蓝缎四千一百七十三尺少六十根相等。四十七根与少六十根各加六十根，得一百零七根与四千一百七十三尺相等。一百零七根既与四千一百七十三尺相等，则四十七根必与一千八百三十三尺相等。前既以四十七根为青缎之总尺数，则与四十七根相等之一千八百三十三尺即青缎之总尺数。以每疋长四十七尺除之，得三十九疋与一根相等，即青缎之疋数。以三十九疋与七十疋相减，余三十一疋，即蓝缎之疋数。以三十一疋与六十尺相乗，得一千八百六十尺，即蓝缎之总尺数，比青缎多二十七尺也【此和较比例法】设如有人买绢防二色，共价银一百二十七两四钱。绢一尺价银七分，防一尺价银一钱四分。其绢之尺数比防之尺数为五倍。问绢防尺数各若干？法借一根为防之尺数，则绢之尺数为五根。以防价一钱四分【作一十四分】乗一根得一十四根为防共价。以绢价七分乗五根得三十五根为绢共价。两数相加共得四十九根，是为四十九根与一百二十七两四钱相等。

四十九根既与一百二十七两四钱相等，则十四根必与三十六两四钱相等。前既以十四根为防共价，则与十四根相等之三十六两四钱即防之共价。以防每尺价一钱四分除之，得二百六十尺，与一根相等，即防之尺数。五因之得一千三百尺，即绢之尺数也【此和较比例法】设如甲有十成银一百二十四两，丙有三成银，不知数，但知将二色银镕于一处，则俱为五成银，问三成银几何？法借一根为丙银数，因二色银镕于一处俱为五成，故以五成与丙银三成相减，余二成为每两所少之数；以五成与甲银十成相减，余五成为每两所多之数。乃以每两所少二成乗丙银一根，得二根；以每两所多五成乗甲银一百二十四两，得六百二十成，是为二根与六百二十成相等【丙之所少即甲之所多，其数相等也】以丙银每两少二成除之，则得一根与三百一十两相等。前既借一根为丙银数，则与一根相等之三百一十两即丙之银数也【此和较比例法】设如，有银大小共九百二十四锭，重二百七十六两。大锭重三分两之一，小锭重七分两之二。问，大小锭各若干？法借一根为大锭，数则小锭为九百二十四锭少一根。因大锭重三分两之一，小锭重七分两之二，其分母不同，乃以两分母三与七相乗，得二十一为共母数。又以小锭分母七互乗大锭分子一，得七，即变三分之一为二十一分之七，为大锭之重数。又以大锭分母三互乗小锭分子二，得六，即变七分之二为二十一分之六，为小锭之重数。乃以一根与大锭分子七相乗，得七根为大锭之重数。以九百二十四锭少一根与小锭分子六相乗，得五千五百四十四少六根为小锭之重数。两数相加，得五千五百四十四多一根为共重数。又各重数既皆通为二十一分，则共重二百七十六两，亦以分母二十一通之，得五千七百九十六，是为五千五百四十四多一根与五千七百九十六相等。五千五百四十四与五千七百九十六各减五千五百四十四，则余一根与二百五十二相等，即大锭之共数与共九百二十四锭相减，余六百七十二为小锭之共数。以大锭重三分两之一与大锭共数相乗，得八十四两为大锭之共重数。以小锭重七分两之二与小锭共数相乗，得一百九十二两为小锭之共重数。相加得二百七十六两，以合原数也【此和较比例法】设如众人雇船，每人出银一两二钱，则少四两四钱；每人出银一两五钱，则多八两二钱。问人数及船价银各若干？法借一根为人数，以一根与一两五钱相乗，得十五根，则船价银为十五根少八两二钱。又以一根与一两二钱相乗，得十二根，则船价银又为十二根多四两四钱。此二数为相等，两边各加八两二钱，得十五根与十二根多十二两多钱相等。

两边再各减十二根，则余三根与十二两六钱相等。三根既与十二两六钱相等，则一根必与四两二钱相等。前既借一根为人数，则此四两二钱即为四十二人为雇船之人数。以每人出一两二钱乗之，得五十两零四钱，再加四两四钱，得五十四两八钱为船价。以每人出一两五钱乗之，得六十三两，减去八两二钱，亦为五十四两八钱。两数相同也【此盈朒法】设如，有银买缎二色。下号缎，每疋价银八两；上号缎，每疋价银十一两。若俱买下号者，则银多二百九十六两；若俱买上号者，则银多三十二两。问缎数及银数各若干？法借一根为缎数，以一根与十一两相乗，得十一根为上号缎共价，则共银为十一根多三十二两。又以一根与八两相乗，得八根为下号缎共价，则共银为八根多二百九十二两。此二数为相等，两边各减三十二两，得十一根与八根多二百六十四两相等。两边再各减八根，则余三根与二百六十四两相等。三根既与二百六十四两相等，则一根必与八十八两相等。前既借一根为缎数，则此八十八两即为八十八疋为缎之总数。以每疋八两乗之，得七百零四两为下号缎共价数，加多二百九十六两，得一千两为共有银数。以每疋十一两乗之，得九百六十八两为上号缎共价数，加多三十二两，亦得一千两，两数相同也【此盈朒法】设如，有井一口，不知其深；有绳一条，不知其长。但知取绳六分之一，比井深少三尺四寸；取绳四分之一，比井深适等。问井深及绳长各若干？法借二十四根为绳长数【两分母相乗之数】取其四分之一，得六根，则井深即为六根；又取其六分之一，得四根，则井深又为四根多三尺四寸。此二数为相等，两边各减四根，得二根与三尺四寸相等。二根既与三尺四寸相等，则一根必与一尺七寸相等，而二十四根必与四丈零八寸相等，即绳之长数也。取其六分之一，得六尺八寸，再加三尺四寸，共得一丈零二寸为井深；或取其四分之一，亦得一丈零二寸，两数相同也【此盈朒法】设如有人买房，用本银三分之二，则比房价多五十九两；用本银五分之二，则比房价少四十九两八钱。问本银、房价各若干？法借十五根为本银数【两分母相乗之数】以用本银三分之二比房价多五十九两计之，则房价为十根少五十九两；以用本银五分之二比房价少四十九两八钱计之，则房价又为六根多四十九两八钱。此二数为相等，两边各加五十九两，得十根与六根多一百零八两八钱相等；两边再各减去六根，则余四根与一百零八两八钱相等。四根既与一百零八两八钱相等，则一根必与二十七两二钱相等，而十五根必与四百零八两相等，即本银数。

取其三分之二得二百七十二两，减多五十九两，得二百一十三两为房价数；又将本银取其五分之二得一百六十三两二钱，加少四十九两八钱，亦得二百一十三两，两数相同也【此盈朒法】设如，有银分给二等人，其上等人比下等人多一倍，上等人比下等人每人多得四两，今欲与下等人每人三两，则银多七十三两；每人四两，则银少二十两。问人数及银数各若干？法借一根为下等人数，则上等人数为二根。以一根与四两相乗，得四根为下等人所得共银数。以二根与八两【下等每人四两，上等多四两，故每人八两】相乗，得十六根为上等人所得共银数。两数相加，得二十根为上下二等人所得共银数。则原银数即为二十根少二十两。又以一根与三两相乗，得三根为下等人所得共银数。以二根与七两相乗，得十四根为上等人所得共银数。两数相加，得十七根为上下二等人所得共银数。则原银数即为十七根多七十三两。此两数为相等，两边各加二十两，得二十根与十七根多九十三两相等。两边再各减十七根，则余三根与九十三两相等。三根既与九十三两相等，则一根必与三十一两相等。前既借一根为下等人数，则此三十一两即为三十一人为下等人数。倍之得六十二人，即上等人数。以下等三十一人用三两乗之，得九十三两。以上等六十二人用七两乗之，得四百三十四两。两数相加，共得五百二十七两。再加所多七十三两，得六百两为原银数。若以下等三十一人用四两乗之，得一百二十四两。以上等六十二人用八两乗之，得四百九十六两。两数相加，共得六百二十两。减去所少二十两，亦得六百两。两数相同也【此盈朒法】设如有人分银，不言人数，亦不言银数，但知毎四人分银十八两，则银少八两；每三人分银十一两，则银多十二两。问人数及银数各若干？法借十二根为人数，以四人分银十八两计之，则每人应得四两五钱。爰以四两五钱乗十二根，得五十四根为共分银之数，而原银即为五十四根少八两。以三人分银十一两计之，则每人应得三两又三分两之二。爰以三两又三分两之二乗十二根，得四十四根为共分银之数，而原银又为四十四根多十二两。此两数为相等，两边各加八两，得五十四根与四十四根多二十两相等。两边各减四十四根，得十根与二十两相等。十根既与二十两相等，则十二根必与二十四两相等。前既借十二根为人数，则此二十四两即为二十四人为共人数也。以三人为一率，十一两为二率，二十四人为三率，求得四率八十八两，加多十二两，共一百两为原银数。或以四人为一率，十八两为二率，二十四人为三率，求得四率一百零八两，减少八两，亦得一百两，两数相同也【此双套盈朒法】设如有一商人贩缎，不言每疋价银之数，亦不言每疋税银之数。

但知贩缎八十疋，纳税用缎四疋，则多银二两；贩缎三百一十疋，纳税用缎十四疋，则少银六两五钱。问每疋价银及税银几何？法借一根为缎一疋之价银数，以纳税用缎四疋多银二两计之，则缎八十疋之税银数为四根少银二两；以纳税用缎十四疋少银六两五钱计之，则缎三百一十疋之税银数为十四根多银六两五钱。此两缎数不相等，故难用比例，须用互乗法。以八十疋与三百一十疋相乗，得二万四千八百疋为共缎数。乃以三百一十疋乗四根少银二两，得一千二百四十根少银六百二十两，为二万四千八百疋之税银数。又以八十疋乗十四根多银六两五钱，得一千一百二十根多五百二十两，亦为二万四千八百疋之税银数。此两缎数既为相等，故乗出之税银数亦为相等。两边各加六百二十两，得一千二百四十根与一千一百二十根多一千一百四十两相等。两边再各减一千一百二十根，则余一百二十根与一千一百四十两相等。一百二十根既与一千一百四十两相等，则一根必与九两五钱相等，即缎一疋之价银数。以缎四疋与银九两五钱相乗，得三十八两，减去多二两，余三十六两，即缎八十疋之税银数。以八十疋除三十六两，得四钱五分，即缎一疋之税银数。以四钱五分与缎三百一十疋相乗，得一百三十九两五钱，即缎三百一十疋之税银数。又以缎十四疋与九两五钱相乗，得一百三十三两，再加少六两五钱，亦得一百三十九两五钱。两数相同也【此双套盈朒法】设如，有银一千二百零九两，令甲、乙二人分之。取甲四分之一，与乙三分之一，相加即与甲银等。问：二人各得几何？法借十二根【两分母相乗数】为甲银数，则乙银为一千二百零九两少十二根。取甲银四分之一为三根，取乙银三分之一为四百零三两少四根。相加得四百零三两少一根，是为十二根与四百零三两少一根相等。十二根与少一根各加一根，得十三根与四百零三两相等。十三根既与四百零三两相等，则十二根必与三百七十二两相等。即甲银数于总银内减甲银数，余八百三十七两，即乙银数。取甲银四分之一得九十三两，取乙银三分之一得二百七十九两。相加得三百七十二两，与甲银等也【此借衰互征法用方程法算之，亦可】设如，有银一千两，令甲、乙、丙三人分之。乙所得之数，倍于甲，仍多三十两；丙所得之数，倍于乙。问：每人各得若干？法借一根为甲，银数则乙为二根多三十两，丙为四根多六十两。三数相并，共得七根多九十两，而与一千两相等。九十两与一千两各减九十两，余七根与九百一十两相等。七根既与九百一十两相等，则一根必与一百三十两相等。即甲所得银数，倍之，再加三十两，得二百九十两，为乙所得银数。

又倍之，得五百八十两，为丙所得银数也【此借衰互征法，用方程法算之，亦可】设如甲乙丙三人分银六千两，乙得甲三分之一，丙得乙二分之一，问三人各得几何？法借一根为甲，银数则乙银为三分根之一，丙银为六分根之一，三数相加得六分根之九【以甲一根为六分，则乙为六分根之二，丙为六分根之一，共得六分根之九，即一根半】与六千两相等，各以六乗之，得九根与三万六千两相等，九根既与三万六千两相等，则一根必与四千两相等，即甲银数三分之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数，又二分之得六百六十六两又三分两之二为丙银数也又法，借一根为丙银数，则乙银为二根，甲银为六根，相加得九根，与六千两相等。九根既与六千两相等，则一根必与六百六十六两又三分两之二相等。即丙银数倍之，得一千三百三十三两又三分两之一，为乙银数；三因之，得四千两，即甲银数也【此借衰互征法】设如，有金银锡铜四色，不言重数，但知共数五分之二为铜数，金银锡共数七分之四为锡数，金银共数八分之五为银数，金重三千零二十四两，问四色各重若干？法借二百八十根为共数【用三分母连乗之数取其可以度尽也】取其五分之二，得一百一十二根为铜数，与二百八十根相减，余一百六十八根为金银锡之共数，取其七分之四，得九十六根为锡数，与一百六十八根相减，余七十二根为金银之共数，又取其八分之五，得四十五根为银数，与七十二根相减，余二十七根为金数。是为二十七根与三千零二十四两相等。二十七根既与三千零二十四两相等，则一根必与一百一十二两相等，四十五根必与五千零四十两相等，即银数九十六根必与一万零七百五十二两相等，即锡数一百一十二根必与一万二千五百四十四两相等，即铜数。四数相加，共得三万一千三百六十两。以所借共重二百八十根与每一根之一百一十二两相乗，亦得三万一千三百六十两，为四色之共数也【此借衰互征法】设如，有银三百五十六两，分与三等人。一等五人，二等四人，三等三人。一等所得倍于二等，内少二两。二等所得倍于三等，又多四两。问三等人每人各得几何？法借一根为三等一人所得银数，则二等一人所得银数为二根多四两，一等一人所得银数为四根多六两。以各等共人数因之，则三等所得共银数为三根，二等所得共银数为八根多十六两，一等所得共银数为二十根多三十两。三数相加共得三十一根多四十六两，为与三百五十六两相等。三十一根多四十六两与三百五十六两各减去四十六两，则余三十一根与三百一十两相等。三十一根既与三百一十两相等，则一根必与十两相等。

即三等一人所得银数倍之加四两，得二十四两，即二等一人所得银数。又倍之减二两，得四十六两，即一等一人所得银数。三等三人共得三十两，二等四人共得九十六两，一等五人共得二百三十两。三数相加共得三百五十六两，以合原数也【此借衰互征法】设如甲丙二人共有米三百八十四石，甲纳官八分之一，丙纳官六分之一，共纳五十四石。问二人原米及纳官米各若干？法借一根为甲纳米数，则丙纳米为五十四石少一根。将甲纳米一根八因之，得八根为甲原米数。丙纳米五十四石少一根六因之，得三百二十四石少六根为丙原米数。相加得三百二十四石多二根为甲丙共米数。是为三百二十四石多二根与三百八十四石相等。三百二十四石与三百八十四石各减去三百二十四石，余二根与六十石相等。二根既与六十石相等，则一根必与三十石相等。即甲所纳米数八因之，得二百四十石为甲原米数。以甲原米数与三百八十四石相减，余一百四十四石为丙原米数。六归之，得二十四石，即丙所纳米数也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如甲乙二人，不言本银若干，但知以乙本银三分之一与甲本银相加，再加六十两，共得一千两；以甲本银五分之一与乙本银相加，亦得一千两。问二人本银各几何？法借十五根【两分母相乗数】为乙本银数，以乙三分之一与甲本银相加，又加六十两，共得一千两计之，则甲本银应得九百四十两少五根，取其五分之一，则为一百八十八两少一根。以甲本银五分之一一百八十八两少一根与乙本银十五根相加，得一百八十八两多十四根，与一千两相等。一边一百八十八两，一边一千两，各减去一百八十八两，则得十四根与八百一十二两相等。十四根既与八百一十二两相等，则一根必与五十八两相等。前既借十五根为乙本银数，乃以十五乗之，得八百七十两，即乙本银数。取其三分之一，得二百九十两，与一千两相减，又减六十两，余六百五十两，即甲本银数也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如甲乙二商，不言本银若干，但知各得利银九十两。其甲之本利共银三倍于乙之本银，乙之本利共银二倍于甲之本银。问每人本银几何？法借三根为甲之本银数，加利银九十两，得三根多九十两，为甲之本利共银数。甲之本利共银既三倍于乙之本银，则乙之本银数即为一根多三十两。再加利银九十两，得一根多一百二十两，为乙之本利共银数，亦为甲之本银之二倍也。乃以甲之本银三根倍之，得六根，与乙之一根多一百二十两相等。六根与一根各减去一根，则余五根与一百二十两相等。五根既与一百二十两相等，则三根必与七十二两相等，即甲之本银数加利银九十两，得一百六十二两，三归之得五十四两，为乙之本银数。

以乙本银五十四两加利银九十两，共一百四十四两，为甲之本银之二倍也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如甲、丙二人有银，不言其数，但知甲银加九两为丙银之三倍，丙银加七两为甲银之二倍，问二人各银若干？法借六根【三倍二倍相乗数】为甲银数，加九两为六根多九两，甲银加九两既为丙银之三倍，则以三归之，得二根多三两为丙银数，加七两为二根多十两，丙银加七两既为甲银之二倍，则以二归之，得一根多五两仍为甲银数，先借六根与今所得一根多五两既同为甲银数，则其数必等，六根与一根各减一根，余五根与五两相等，五根既与五两相等，则六根必与六两相等，即甲银数加九两得一十五两，三归之得五两，即丙银数加七两得一十二两，即甲银六两之二倍也【此叠借互征法用方程法算之亦可】设如甲、丙二人，有银不言其数，但知将丙银与甲二两，则甲银为丙银之二倍；若将甲银与丙三两，则丙银为甲银之三倍。问二人各银若干？法借六根【二倍三倍相乗数】为甲原银数，加丙与甲二两，得六根多二两。以丙银与甲二两，则甲银为丙银之二倍。计之，则以六根多二两半之，得三根多一两，为丙余银数。丙先以二两与甲，则丙之原银必为三根多三两。加甲与丙二两，得三根多六两。以甲银与丙三两，则丙银为甲银之三倍。计之，则以三根多六两三归之，得一根多二两，为甲余银数。甲先以三两与丙，则甲之原银必为一根多五两。夫先借六根与今所得一根多五两，既同为甲原银数，则其数必等。六根与一根各减一根，余五根与五两相等。五根既与五两相等，则六根必与六两相等。即甲原银之数，加丙与甲二两，得八两，半之得四两，为丙余银之数。丙余银既为四两，则原银必为六两。加甲与丙三两，得九两，三归之得三两，即甲余银之数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】设如甲乙二人共银一千二百四十两，于甲银内加乙银四分之一，乙银内加甲银五分之一，其数相等。问二人原银各几何？法借二十根【两分母相乗数】为甲原银数，则一千二百四十两少二十根为乙原银数，甲原银五分之一为四根，乙原银四分之一为三百一十两少五根，将甲原银五分之一四根与乙原银一千二百四十两少二十根相加，得一千二百四十两少十六根【原少二十根加入四根止少十六根】将乙原银四分之一三百一十两少五根与甲原银二十根相加，得三百一十两多十五根【原二十根补乙少五根余十五根】此二数为相等，少十六根与多十五根各加十六根，则得一千二百四十两与三百一十两多三十一根相等，再一千二百四十两与三百一十两各减三百一十两，则余九百三十两与三十一根相等，九百三十两既与三十一根相等，则六百两必与二十根相等，前既借二十根为甲原银数，则此六百两即甲原银之数，以六百两与一千二百四十两相减，余六百四十两即乙原银之数，若甲银内加乙原银四分之一一百六十两，乙银内加甲原银五分之一一百二十两，则俱为七百六十两也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如甲原有银五十两，乙原有银八十两。

乙用过之银比甲用过之银爲三分之一，甲所余之银比乙所余之银亦爲三分之一。问二人用银及余银各若干？法借一根爲乙用。过银数则甲用过之银爲三根而乙所余之银爲八十两少一根。甲所余之银爲五十两少三根。甲余银既比乙余银爲三分之一。则以甲余银五十两少三根三因之爲一百五十两少九根。是爲乙余银八十两少一根与甲余银一百五十两少九根相等。少一根与少九根各加九根得八十两多八根与一百五十两相等。再八十两与一百五十两各减八十两余八根与七十两相等。八根既与七十两相等。则一根必与八两七钱五分相等。即乙用过银数三因之得二十六两二钱五分。即甲用过银数。以甲用过银数与甲原有银数相减余二十三两七钱五分爲甲所余银数。三因之得七十一两二钱五分。即乙所余银数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】设如甲、乙、丙三人有银，不言数，但知甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等，乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等。若以乙银五分之二与丙银相较，则丙银多一百一十四两。问三人各银几何？法借五根爲乙银数，则丙银数爲二根多一百一十四两。于乙银数五根内减去丙银数二根多一百一十四两，余三根少一百一十四两，爲乙银比丙银所多之数，与甲银五分之一相等。五因之得一十五根少五百七十两，爲甲银数。又于甲银数一十五根少五百七十两内减去乙银数五根，余十根少五百七十两，爲甲银比乙银所多之数，与丙银四分之一相等。四因之得四十根少二千二百八十两，亦爲丙银数。此四十根少二千二百八十两与二根多一百一十四两，既同爲丙银数，是爲相等。乃于二根多一百一十四两与四十根少二千二百八十两各加二千二百八十两，得二根多二千三百九十四两与四十根相等。二根与四十根再各减二根，则余三十八根与二千三百九十四两相等。三十八根既与二千三百九十四两相等，则一根必与六十三两相等，而五根必与三百一十五两相等。即乙银数丙银数既爲二根多一百一十四两，乃以六十三两倍之得一百二十六两【即二根之数，亦即乙五分之二之数】加一百一十四两，共得二百四十两，即丙银数。甲银比乙银所多之数既爲丙银四分之一，乃以丙银数四归之得六十两，与乙银三百一十五两相加得三百七十五两，即甲银数也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如甲、乙、丙三人有银，但知甲银七十两，乙银三十四两，而丙银不知数。如以丙银与甲银相减，又以丙银与乙银相减，其甲银之余则三倍于乙，问丙银若干？法借一根爲丙，银数则甲丙相减之余爲七十两少一根，乙丙相减之余爲三十四两少一根。

甲之余银既三倍于乙，则以乙丙相减之余三十四两少一根，三因之得一百零二两少三根，是爲七十两少一根与一百零二两少三根相等。少一根与少三根各加三根，得七十两多二根与一百零二两相等。七十两与一百零二两各减七十两，则余二根与三十二两相等。二根既与三十二两相等，则一根必与十六两相等。即丙银数与甲银七十两相减余五十四两，与乙银三十四两相减余十八两，是甲余银爲乙余银之三倍也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如甲、乙、丙三人，各有银，不言数，但知将乙银十两与甲，则甲乙二人之银相等；若将丙银十四两与乙，则乙丙二人之银相等；若将甲银十八两与丙，则丙银比甲银爲五倍。问三人各银若干？法借一根爲甲原银数，则乙之原银必爲一根多二十两【以十两与甲则皆爲一根多十两，其数相等】丙之原银必爲一根多四十八两【乙之原银既爲一根多二十两，再加十四两俱爲一根多三十四两，其数相等】又甲之原银既爲一根，以十八两与丙计之，则爲一根少十八两；丙之原银既爲一根多四十八两，今再加十八两，则爲一根多六十六两。此丙之一根多六十六两，比甲之一根少十八两，既爲五倍，则以甲之一根少十八两五因之，得五根少九十两，而与丙之一根多六十六两爲相等。少九十两与多六十六两各加九十两，得五根与一根多一百五十六两相等。五根与一根各减一根，则余四根与一百五十六两相等。四根既与一百五十六两相等，则一根必与三十九两相等，即甲原银之数。甲原银既爲三十九两，则乙原银必爲五十九两；以十两与甲则皆得四十九两。乙原银既爲五十九两，则丙原银必爲八十七两；以十四两与乙则皆得七十三两。丙原银既爲八十七两，甲原银既爲三十九两，甲以十八两与丙，则丙爲一百零五两，而甲爲二十一两，是丙银比甲银爲五倍也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如甲乙丙三人有银，但知甲银二万五千两，乙得甲丙共银二分之一，丙得甲乙共银八分之一，问乙丙二人各银几何？法借二根爲丙，银数则甲乙共银数爲十六根，乙银数爲十六根少二万五千两，甲丙共银数爲二根多二万五千两，半之又得乙银数爲一根多一万二千五百两，十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两既同爲乙银数，则爲相等，十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两各加二万五千两，得十六根与一根多三万七千五百两相等，十六根与一根各减一根，则余十五根与三万七千五百两相等，十五根既与三万七千五百两相等，则二根必与五千两相等，即丙银数与甲银二万五千两相加得三万两，半之得一万五千两，即乙银数也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如一商贸易，不言本银若干，但知第一次所得利银比本银爲四分之一，用去银二十两；第二次所得利银比第二次本银爲五分之二，用去银十四两；第三次所得利银比第三次本银爲三分之一，用去银十五两。

合计所余利银共八十两，问原本银及每次所得利银各几何？法借十二根爲原本，银数则第一次利银爲三根，本利相加得十五根，内减用去银二十两，得十五根少二十两，爲第二次本银数，取其五分之二，得六根少八两，爲第二次利银数，本利相加得二十一根少二十八两，又减用去银十四两，得二十一根少四十二两，爲第三次本银数，取其三分之一，得七根少十四两，爲第三次利银数，以第三次本利相加得二十八根少五十六两，又减用去银十五两，则爲二十八根少七十一两，而原借十二根与所余利银八十两，遂爲十二根多八十两，是爲二十八根少七十一两与十二根多八十两相等，少七十一两与多八十两各加七十一两，得二十八根与十二根多一百五十一两相等，二十八根与十二根各减十二根，得十六根与一百五十一两相等，十六根既与一百五十一两相等，则十二根必与一百一十三两二钱五分相等，即原本银数，四归之得二十八两三钱一分二厘五毫，即第一次所得利银数，本利相加减用去二十两，得一百二十一两五钱六分二厘五毫，即第二次本银数，取其五分之二，得四十八两六钱一，二分五厘，即第二次所得利银数，本利。一，相加又减，用去十四两，得一百五十六两一钱八分七厘五毫，即第三次本银数。三归之，得五十二两零六分二厘五毫，即第三次所得利银数。本利相加，又减用去十五两，得一百九十三两二钱五分，即原本银与三次所余共利银相加之数。盖原本银一百一十三两二钱五分，又加所余共利银八十两，即一百九十三两二钱五分，两数相等也【此叠借互征法】设如有人贸易四次，第一次所得利银比原本银爲九分之一，用去银比原本银爲十二分之一；第二次所得利银比原本银爲六分之一，用去银比原本银爲九分之四；第三次所得利银比原本银爲四分之一，用去银比原本银爲二分之一；第四次所得利银比原本银爲三分之一，用去银比原本银爲三分之二。合四次利银已用尽，仍用本银六百两，问本利银各若干？法借三十六根爲本银数【借三十六者，以九与十二与六皆系用三可以度尽之数，独四与九不能度尽，故借四九相乘之数，则各分母皆可以度尽也】则第一次利银爲四根，第二次利银爲六根，第三次利银爲九根，第四次利银爲十二根。四数相加，共得三十一根，爲四次利银之共数。第一次用去爲三根，第二次用去爲十六根，第三次用去爲十八根，第四次用去爲二十四根。四数相加，共得六十一根，爲四次用去银之共数。以四次利银皆用尽，仍用本银六百两计之，则四次利银之共数三十一根，仍如本银六百两，乃与四次用去银之共数六十一根相等也。

三十一根与六十一根各减去三十一根，则余三十根与六百两相等。三十根既与六百两相等，则一根必与二十两相等，而三十六根必与七百二十两相等，即本银数。三十一根又与六百二十两相等，即利银数。六十一根又与一千二百二十两相等，即用去银数也【此叠借互征法】设如甲、乙、丙、丁四人同出银作生理，内甲、丙、丁三人所出银不言数，但知乙出银五两。若将甲所出银二分之一与乙，又将乙所出银五分之一与丙，又将丙所出银七分之一与丁，又将丁所出银九分之一与甲，则四人所出之银皆相等。问四人各出银若干？法借二根爲甲，出银数则甲将一根【二分之一】与乙，乙将一两【五分之一】与丙。是甲爲一根，乙爲一根，多四两。今以甲与乙相较，则数不相等，盖因甲尚当得丁银九分之一也。甲因未得丁银九分之一，故比乙银少四两。是四两即丁银之九分之一也。九分之一既爲四两，则三十六两即爲丁原银数。丁既以四两与甲，则丁所余止三十二两。以丁三十二两与乙一根多四两相较，其数又不相等，盖因丁尚当得丙银七分之一也。丁因未得丙银七分之一，故比乙银差一根少二十八两【于乙一根多四两内减去三十二两，即余一根少二十八两也】是一根少二十八两，即丙银之七分之一也。七分之一既爲一根少二十八两，则七根少一百九十六两即爲丙原银数。丙既以一根少二十八两与丁，则丙所余爲六根少一百六十八两，再加乙所与之一两，则丙得六根少一百六十七两矣。夫四人既按分各与之，则乙爲一根多四两，甲余一根又得丁四两，亦爲一根多四两。丁余三十二两，又得丙一根少二十八两，亦爲一根多四两。其数皆相等，则丙之六根少一百六十七两亦必与一根多四两爲相等矣。少一百六十七两与多四两各加一百六十七两，得六根与一根多一百七十一两相等。六根与一根各减一根，则余五根与一百七十一两相等。五根既与一百七十一两相等，则一根必与三十四两二钱相等，而二根必与六十八两四钱相等，即甲所出银数。又七根必与二百三十九两四钱相等，内减去一百九十六两【丙原爲七根少一百九十六两】余四十三两四钱爲丙所出银数。乃于丁所出银内减九分之一【余三十二两】加丙银之七分之一【六两二钱】得三十八两二钱。于丙所出银内减七分之一【余三十七两二钱】加乙银之五分之一【一两】亦得银三十八两二钱。于乙所出银内减五分之一【余四两】加甲银之二分之一【三十四两二钱】亦得银三十八两二钱。于甲所出银内减二分之一【余三十四两二钱】加丁银之九分之一【四两】亦得银三十八两二钱也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如甲乙丙丁戊五人各出银，不言数，但知甲乙共银二百四十两，丙银爲甲银三分之一，丁银爲乙银四分之一，戊银七十二两，与丙丁共数相等，问五人各银若干？

法借十二根爲甲，银数则乙银爲二百四十两，少十二根；丙银爲四根，丁银爲六十两，少三根。以丙丁二数相加，得六十两多一根，而与戊银七十二两相等。七十二两与六十两各减六十两，得十二两与一根相等。十二两既与一根相等，则十二根必与一百四十四两相等。即甲银数，甲乙共银二百四十两内减甲银数，余九十六两，即乙银数。将甲银数三归之，得四十八两，即丙银数；将乙银数四归之，得二十四两，即丁银数也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如，有银六百两，令甲、乙、丙、丁、戊、己六人分之。甲、乙共得二百两，丙、丁共得二百两，戊、己共得二百两。丙所得银比甲所得银爲四分之一，戊所得银比丁所得银爲三分之一，乙所得银比己所得银爲二分之一。问六人各分银几何？法借十二根爲甲所得银数，则乙所得银爲二百两少十二根，丙所得银爲三根，丁所得银爲二百两少三根，戊所得银爲六十六两又三分两之二少一根【戊比丁爲三分之一，以三除丁数即是】己所得银爲四百两少二十四根【乙比己爲二分之一，以二乗乙数即是】以戊己两数相加，得四百六十六两又三分两之二少二十五根，是爲二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根相等。二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根各加二十五根，得二百两多二十五根与四百六十六两又三分两之二相等。二百两与四百六十六两又三分两之二各减二百两，则余二十五根与二百六十六两又三分两之二相等。二十五根既与二百六十六两又三分两之二相等，则一根必与十两又三分两之二相等，三根必与三十二两相等，即丙所得银数四因之得一百二十八两爲甲所得银数。甲乙共得二百两内减甲所得银数，余七十二两爲乙所得银数。丙丁共得二百两内减丙所得银数，余一百六十八两爲丁所得银数。乙所得银七十二两二因之得一百四十四两爲己所得银数。丁所得银一百六十八两三归之得五十六两爲戊所得银数也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如，有驼一羣，七十二个；马一羣，不知数；牛一羣，与驼马相并之数等；羊一羣，与驼马相乗之数等。又爲牛数之六十倍。问马、牛、羊各几何？法借一根爲马数，则一根多七十二爲牛数，以驼数七十二与马数一根相乗，得七十二根爲羊数。再以牛数一根多七十二与六十相乗，得六十根多四千三百二十，亦爲羊数。此两数既同爲羊数，则爲相等。七十二根与六十根各减六十根，则余十二根与四千三百二十相等。十二根既与四千三百二十相等，则一根必与三百六十相等。即马一羣之数与驼数相加得四百三十二，即牛一羣之数。

再与六十相乗，得二万五千九百二十，即羊一羣之数。以驼七十二与马三百六十相乘，亦得二万五千九百二十，爲相等也【此叠借互征法，用方程法算之亦可】设如，有大小二石，不知重数。有铜条一根，重十二两，均分十二分。以绳系于第五分之上，一头五分，一头七分。将大石挂于铜条之端，离提系五分，而以小石作砣称之，离提系六分，始平。又将小石挂于铜条之端，离提系五分，而以大石作砣称之，离提系四分，始平。问二石各重若干？法先以五分加一倍与十二分相减，余二分，折半得一分，与五分相加爲六分。乃以五分爲一率，六分爲二率，余二分之重二两爲三率，求得四率二两四钱，即五分之端加二两四钱始与七分相平也。今大石离提系五分，小石离提系六分而平，是大石重六分，小石重五分而大石多二两四钱，则小石爲大石六分之五而少二两也【铜条五分之端应加二两四钱而平，今大石在五分之一头，是大石多二两四钱也。将二两四钱以大石之六分除之，每分得四钱，是大石比小石每分多四钱。以小石五分计之，则大石比小石多二两，故小石爲大石之六分之五而少二两也】又小石离提系五分，大石离提系四分而平，是小石重四分，大石重五分而小石多二两四钱，则小石爲大石五分之四而多二两四钱也【铜条五分之端应加二两四钱而平，今小石在五分之一头，是小石多二两四钱也。将二两四钱以小石之四分除之，每分得六钱，是小石比大石每分多六钱。以小石四分计之，则小石比大石多二两四钱，故小石爲大石之五分之四而多二两四钱也】乃借三十根【六分五分相乗之数】爲大石之重数，以小石爲大石六分之五而少二两计之，则小石之重爲二十五根少二两；以小石爲大石五分之四而多二两四钱计之，则小石之重又爲二十四根多二两四钱。此两数爲相等，两边各加二两，得二十五根与二十四根多四两四钱相等；两边再各减去二十四根，余一根与四两四钱相等。一根既与四两四钱相等，则三十根必与一百三十二两相等，即大石之重数。六归之得二十二两，五因之得一百一十两，减去二两得一百零八两，即小石之重数。或以大石之重数五归之得二十六两四钱，四因之得一百零五两六。钱加二两四钱，亦得一百零八两，爲小石之重数也【此叠借互征法，用方程法算之，亦可】设如，有银买马牛，二色马四匹，牛八头，共价五十六两；又马三匹，牛五头，共价三十八两。问马牛各价若干？法借一根爲牛一头之价，则前牛八头之共价爲八根，前马四匹之共价爲五十六两少八根，而后牛五头之共价爲五根。乃以前马四匹爲一率，共价五十六两少八根爲二率，后马三匹爲三率，求得四率四十二两少六根，爲后马三匹之共价。

内加后牛五头之共价五根，得四十二两少一根，爲后马三匹牛五头之共价。与后共价三十八两相等，四十二两少一根与三十八两各加一根，得四十二两与三十八两多一根相等。四十二两与三十八两多一根再各减去三十八两，则余四两与一根相等。即牛一头之价八因之得三十二两，爲前牛八头之共价。于前共价五十六两内减之，余二十四两，爲前马四匹之共价。四归之得六两，爲马一匹之价。又以后马三匹因之得十八两，爲后马三匹之共价。于后共价三十八两内减之，余二十两，爲后牛五头之共价。五归之亦得四两，爲牛一头之价也【此二色和数方程法】设如，有钱买桃梨。二色桃四个，比梨八个少钱十二文。桃九个，比梨六个多钱二十一文。问桃梨多价若干？法借一根爲桃一个之价，则前桃四个之共价爲四根，前梨八个之共价爲十二文多四根，而后桃九个之共价爲九根，乃以前梨八个爲一率，共价十二文多四根爲二率，后梨六个爲三率，求得四率九文多三根，爲后梨六个之共价，加后桃比梨多钱二十一文，得三十文多三根，与后桃九个之共价九根相等【九桃比六梨多二十一文，故以二十一文与六梨之价相加，即与九桃之价等也】三十文多三根与九根各减去三根，则余三十文与六根相等，三十文既与六根相等，则五文必与一根相等，即桃一个之价，四因之得二十文，爲前桃四个之共价，加入桃比梨少钱十二文，得三十二文，爲前梨八个之共价，八归之得四文，爲梨一个之价，又以后梨六个因之得二十四文，爲后梨六个之共价，加入桃比梨多钱二十一文，得四十五文，爲后桃九个之共价，九归之亦得五文，爲桃一个之价也【此二色较数方程法】设如，有银买缎、纱、防三色。初次买缎二疋，纱六疋，防八疋，共价八十四两。二次买缎一疋，纱四疋，防七疋，共价六十两。三次买缎三疋，纱五疋，防九疋，共价九十两。问缎、纱、防每疋各价若干？法借一根爲防，每疋之价则初次防之共价爲八根，二次防之共价爲七根，三次防之共价爲九根。而初次缎之共价爲八十四两少八根，仍少纱六疋。乃以初次缎二疋爲一率，缎价八十四两少八根，仍少纱六疋爲二率，二次缎一疋爲三率，求得四率四十二两少四根，仍少纱三疋，爲二次缎价。加入二次防价七根纱四疋，得四十二两多三根，仍多纱一疋，爲二次缎一疋纱四疋防七疋之共价，与二次共价六十两相等。四十二两多三根多纱一疋与六十两各减去四十二两，余三根多纱一疋与十八两相等。三根多纱一疋与十八两再各减去三根，余纱一疋与十八两少三根相等，即纱一疋之价爲十八两少三根也。

又以二次缎一疋爲一率，缎价四十二两少四根，仍少纱三疋爲二率，三次缎三疋爲三率，求得四率一百二十六两少十二根，仍少纱九疋，爲三次缎价。加入三次防价九根纱五疋，得一百二十六两少三根，仍少纱四疋，爲三次缎三疋纱五疋防九疋之共价，与三次共价九十两相等。一百二十六两少三根少纱四疋与九十两各加纱四疋，得一百二十六两少三根与九十两多纱四疋相等。一百二十六两少三根与九十两多纱四疋再各减去九十两，余三十六两少三根与纱四疋相等，即纱四疋之价爲三十六两少三根也。前所得纱一疋之价爲十八两少三根，今又得纱四疋之价爲三十六两少三根。此二分虽同而疋数不一，故又以纱一疋爲一率，前所得之纱一疋之价十八两少三根爲二率，今纱四疋爲三率，求得四率七十二两少十二根，爲纱四疋之价。乃与后所得纱四疋之价三十六两少三根相等。三十六两少三根与七十二两少十二根各加十二根，得三十六两多九根与七十二两相等。三十六两多九根与七十二两，再各减去三十六两，余九根与三十六两相等。九根既与三十六两相等，则一根必与四两相等，即防一疋之价也。纱一疋之价既爲十八两，少三根，则于十八两内减去三根之共数十二两，余六两，即纱一疋之价。初次纱六疋，以纱价六两乘之，得三十六两。初次防八疋，以防价四两乘之，得三十二两。两数相加得六十八两，与初次共银八十四两相减，余十六两爲缎二疋之价。二归之得八两，即缎一疋之价也。其二次缎之共价爲八两，纱之共价爲二十四两，防之共价爲二十八两，相加共得六十两。三次缎之共价爲二十四两，纱之共价爲三十两，防之共价爲三十六两，相加共得九十两，皆合原数也【此三色和数方程法】设如甲乙丙三人各有银买铜铁锡三色，甲买铜二斤，铁二斤，锡一斤，共银九钱；乙买铜三斤，比铁六斤，锡二斤之价多二钱；丙买铜二斤，铁四斤，与锡四斤之价相等。问铜铁锡每斤各价若干？法借一根爲锡，每斤之价，则甲锡之价即爲一根，乙锡之价爲二根，丙锡之价爲四根。而甲铜之共价爲九钱少一根，仍少铁二斤。乃以甲铜二斤爲一率，铜价九钱少一根仍少铁二斤爲二率，乙铜三斤爲三率，求得四率一两三钱五分少一根半仍少铁三斤，爲乙铜三斤之价。内减比锡二斤铁六斤所多之二钱，余一两一钱五分少一根半仍少铁三斤，与乙锡二斤之共价二根多铁六斤相等。一两一钱五分少一根半少铁三斤，与二根多铁六斤各加铁三斤，得一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤相等。一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤，再各减去二根，余一两一钱五分少三根半与铁九斤相等，即铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半也。

又以甲铜二斤之共价九钱少一根仍少铁二斤，即爲丙铜二斤之共价【丙铜与甲铜俱爲二斤，故其共价相等，省一四率也】加铁四斤得九钱少一根多铁二斤，与丙锡四斤之共价四根相等。九钱少一根多铁二斤，与四根各加一根，得九钱多铁二斤与五根相等。九钱多铁二斤与五根，再各减去九钱，余铁二斤与五根少九钱相等，即铁二斤之价爲五根少九钱也。前所得铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半，今又得铁二斤之价爲五根少九钱，此二分虽同而斤数不一，故又以铁二斤爲一率，今所得之铁二斤之价五根少九钱爲二率，前所得之铁九斤爲三率，求得四率二十二根半少四两零五分，爲铁九斤之价，乃与前所得铁九斤之价一两一钱五分少三根半相等。二十二根半少四两零五分与一两一钱五分少三根半，各加四两零五分，得二十二根半与五两二钱少三根半相等。二十二根半与五两二钱少三根半，再各加三根半，得二十六根与五两二钱相等二十六根，既与五两二钱相等，则一根必与二钱相等，即锡每斤之价也。铁二斤之价，既爲五根少九钱，则以五根之共数一两内减去九钱，余一钱爲铁二斤之共价，半之，得五分，即铁。每斤之价，于甲共银九钱内，减去铁二。斤之价一钱，又减去锡一斤之价二钱。余六钱，爲铜二斤之共价，半之，得三钱。爲铜每斤之价也，其乙铜三斤之共价。爲九钱，乙铁六斤之共价爲三钱，乙锡。二斤之共价爲四钱，是铜三斤比锡二。斤铁六斤之价，多二钱也。丙铜二斤之共价爲六钱，丙铁四斤之共价爲二钱。丙锡四斤之共价爲八钱，是铜二斤，铁。四斤与锡四斤之价等也【此三色和较兼用方程法】

御制数理精蕴下编卷三十四<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书