御制数理精蕴下编卷十

御制数理精蕴下编卷十

线部八方程【和数类，较数类，和较兼用类，和较交变类，附法】

方程方者比也，程者式也。因设数齐其分，以比方之，定为已成之式，凡法皆如之，故曰方程。葢用互乗者，所以齐其分，使其首数皆同，减尽而余一法一实，以得一数也。法虽有三色、四色以至多色，不过累乗累减，亦归于一法一实而已。其二色者，设二行；三色者，设三行；有几色者，必设几行。若三色设二行，四色设三行，即不可算。若二色设三行，三色设四行，则其一行又可以不用。是故解方程者，又谓凡设数必成方而后可算也。然其要总在于分和、较和、数相比者，则互乗而相减；较数相比者，古人定为正负之名，以辨加减异同之号。正负异号则相加，正负同号则相减。其理与盈朒同。葢正者为主之数，负者虚比之数。其始也，任以首色为正，互乗众色与首色同类者皆正也，与首色异类者皆负也。其继也，以互乗所得之数视正负之同异而加减之。然加减之余又有正变为负、负变为正者，总之因彼此而分正负，由多少而成虚实。互乗之后，任以一层为主，凡异号相加者悉依本层，其号皆不变也。若同号相减者，本层多其号亦不变，本层少反减者，则正变为负，负变为正。葢此多则彼少，彼少则此多也。至于首色减尽，则第二色即为首色，故加减之后首色为负者悉变之，以便互乗加减始不淆也。今定为例：和数者不用正负之号，较数者则用正负之号；和较兼用者，和仍不用正负之号，而较则用之；和较交变者，则随其法而辨别之，以定其号焉。或有非方程之本法而可以方程算者，则又别为设问，以附其后。古人所谓以御错糅正负者，庶乎尽于此矣。

和数类设如马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两。问马牛各价几何？法以马四匹、牛六头共价四十八两，列于上；马三匹、牛五头共价三十八两，列于下。乃以上马四匹遍乗下马三匹、牛五头价银三十八两，得马十二匹、牛二十头价银一百五十二两；又以下马三匹遍乘上马四匹、牛六头价银四十八两，得马十二匹、牛十八头价银一百四十四两。两下相较，则马各十二匹，彼此减尽；牛二十头内减十八头，余二头；价银一百五十二两内减一百四十四两，余八两。爰以余牛二头除余银八两，得四两，卽牛每头之价。以牛五头乘之，得二十两，为牛五头之共价。于马牛共价三十八两内减去二十两，余十八两，为马三匹之共价。以马三匹除之，得六两，卽马每匹之价也。此法葢以首色二数遍乘各数，使其分数齐等，卽互乘齐分之理。故马四匹遍乘马三匹、牛五头价银三十八两，则为各増四倍；马三匹遍乘马四匹、牛六头价银四十八两，则为各増三倍。两下各色既俱各増倍分，则其比例皆同。是故马两下相平而减尽无余，牛两下相减余二头，价银两下相减余八两，是为相当之数。葢一百五十二两内减去一百四十四两，卽减去马十二匹、牛十八头之共价，而所余之八两为牛二头之价也。又如以牛数列于前，马数列于后，则先得马价法。以牛六头，马四匹，共价四十八两，列于上；牛五头，马三匹，共价三十八两，列于下。乃以下牛五头遍乘上牛六头，马四匹，价银四十八两，得牛三十头，马二十匹，价银二百四十两。又以上牛六头遍乘下牛五头，马三匹，价银三十八两，得牛三十头，马十八匹，价银二百二十八两。两下相较，则牛各三十头，彼此减尽；马二十匹内减十八匹，余二匹；价银二百四十两内减二百二十八两，余十二两。爰以余马二匹除余银十二两，得六两，卽马每匹之价。以马三匹乘之，得十八两，为马三匹之共价。于牛马共价三十八两内减去十八两，余二十两，为牛五头之共价。以牛五头除之，得四两，卽牛每头之价也。此法用互乘后，则牛两下相平而减尽无余；马两下相减，余二匹；价银两下相减，余十二两，卽为相当之数。葢二百四十两内减去二百二十八两，卽减去牛三十头，马十八匹之共价，而所余之十二两为马二匹之价也。大凡方程之法，各色俱可以更互相求者，皆如此类也。设如缎二疋，纱六疋，防八疋，共价八十四两；缎一疋，纱四疋，防七疋，共价六十两；缎三疋，纱五疋，防九疋，共价九十两。问缎、纱、防各价几何？法先以缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两列于上，缎一疋纱四疋防七疋共价六十两列于下。

乃以上缎二疋遍乘下缎一疋纱四疋防七疋价银六十两，得缎二疋纱八疋防十四疋价银一百二十两。又以下缎一疋遍乘上缎二疋纱六疋防八疋价银八十四两，仍得原数。两下相较，则缎各二疋彼此减尽，纱八疋内减六疋余二疋，防十四疋内减八疋余六疋，价银一百二十两内减八十四两余三十六两，卽为纱二疋防六疋价银三十六两也【缎既两下相平而减尽无余，则所余纱二疋防六疋价银三十六两即为相当之数。葢一百二十两内减去八十四两，即减去缎二疋纱六疋防八疋之共价，而所余三十六两为纱二疋防六疋之共价也】次以缎一疋纱四疋防七疋价银六十两列于上，缎三疋纱五疋防九疋价银九十两列于下。乃以下缎三疋遍乘上缎一疋纱四疋防七疋价银六十两，得缎三疋纱十二疋防二十一疋价银一百八十两。又以上缎一疋遍乘下缎三疋纱五疋防九疋价银九十两，仍得原数。两下相较，则缎各三疋彼此减尽，纱十二疋内减五疋余七疋，防二十一疋内减九疋余十二疋，价银一百八十两内减九十两余九十两，即为纱七疋防十二疋价银九十两也【缎既两下相平而减尽无余，则所余纱七疋防十二疋价银九十两即为相当之数。葢一百八十两内减九十两，即减缎三疋纱五疋防九疋之共价，而所余九十两为纱七疋防十二疋之共价也】于是将两次所得之余作二色方程算之，其纱二疋防六疋价银三十六两列于上，纱七疋防十二疋价银九十两列于下。以下纱七疋遍乗上纱二疋防六疋价银三十六两，得纱十四疋防四十二疋价银二百五十二两。以上纱二疋遍乗下纱七疋，防十二疋，价银九十两；得纱十四疋，防二十四疋，价银一百八十两。两下相较，则纱各十四疋，彼此减尽；防四十二疋内减二十四疋，余十八疋。价银二百五十二两内减一百八十两，余七十二两。爰以余防十八疋除余银七十二两，得四两，即防每疋之价。以防六疋乗之，得二十四两，为防六疋之共价。于纱防共价三十六两内减二十四两，余十二两，为纱二疋之共价。以纱二疋除之，得六两，即纱每疋之价也。以缎二疋，纱六疋，防八疋共价八十四两计之，则纱六疋共价三十六两，防八疋共价三十二两，纱防共价为六十八两。于共价八十四两内减六十八两，余十六两，为缎二疋之共价。以缎二疋除之，得八两，即缎每疋之价也。设如，有上中下三等人户纳粮，上等五户，中等十二户，下等三户，共纳粮一石二斗六升。又上等四户，二等二户，共纳粮五斗二升。又中等二十户，下等二十五户，共纳粮一石五斗。问上中下三等每户各纳粮几何？法先以上等五户，中等十二户，下等三。

户　　　　　　　　　　　　　　　　　【上等四户下等二户纳】纳粮一石二斗【因无中等故作空位以存其分余仍对位列之】六升列于上粮五斗二升列于下乃以下层上等四户遍乗上层上等五户中等十二户下等三户纳粮一石二斗六升得上等二十户中等四十八户下等十二户纳粮五石零四升又以上层上等五户遍乗下层上等四户下等二户纳粮五斗二升得上等二十户下等十户纳粮二石六斗两下相较则上等各二十户彼此减尽中等四十八户无可减仍得四十八户下等十二户内减十户余二户纳粮五石零四升内减二石六斗余二石四斗四升即为中等四十八户下等二户共纳粮二石四斗四升也【上等既两下相平而减尽无余则所余中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升即为相当之数葢五石零四升内减二石六斗即减去上等二十户下等十户之共粮数而所余二石四斗四升为中等四十八户下等二户之共粮数也】既得中等四十八户下等二户之二色则中等二十户下等二十五户亦即为二色故即作二色方程算之其中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升列于上中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗列于下乃以上层中等四十八户遍乗下层中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗得中等九百六十户下等一千二百户纳粮七十二石又以下层中等二十户遍乘上层中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升得中等九百六十户下等四十户纳粮四十八石八斗两下相较则中等各九百六十户彼此减尽下等一千二百户内减四十户余一千一百六十户纳粮七十二石内减四十八石八斗余二十三石二斗爰以所余下等一千一百六十户，除余粮二十三石二斗，得二升，即下等每户纳粮之数。以下等二户乘之，得四升，为下等二户纳粮之共数。于中等下等共纳粮二石四斗四升内减四升，余二石四斗，为中等四十八户纳粮之共数。以中等四十八户除之，得五升，即中等每户纳粮之数。以上等四户、下等二户共纳粮五斗二升计之【因无中户，故省一次】则下等二户共纳粮四升，于五斗二升内减四升，余四斗八升，为上等四户纳粮之共数。以上等四户除之，得一斗二升，即上等每户纳粮之数也。设如，有银赏四等人，各不知数。只云：一等一人，二等二人，三等三人，四等四人，共赏银三十两。又一等二人，二等三人，三等四人，四等五人，共赏银四十四两。又一等四人，二等五人，三等七人，四等八人，共赏银七十七两。又一等六人，二等五人，三等四人，四等二人，共赏银六十六两。问：每等人各赏银几何？法先以一等一人，二等二人，三等三人，四等四人，共银三十两，列于上；一等二人，二等三人，三等四人，四等五人，共银四十四两，列于下。

乃以下一等二人遍乗上一等一人，二等二人，三等三人，四等四人，共银三十两，得一等二人，二等四人，三等六人，四等八人，共银六十两。又以上一等一人遍乗下一等二人，二等三人，三等四人，四等五人，共银四十四两，仍得原数。两下相较，则一等各二人，彼此减尽；二等两下相减，余一人；三等两下相减，余二人；四等两下相减，余三人；共银两下相减，余一十六两，即二等一人，三等二人，四等三人，共银十六两也【葢六十两内减四十四两，即减去一等二人，二等三人，三等四人，四等五人之共银数，故所余之十六两为二等一人，三等二人，四等三人之共银数也】次以一等二人，二等三人，三等四人，四等五人，共银四十四两，列于上；一等四人，二等五人，三等七人，四等八人，共银七十七两，列于下。乃以下一等四人遍乗上一等二人，二等三人，三等四人，四等五人，共银四十四两，得一等八人，二等十二人，三等十六人，四等二十人，共银一百七十六两。又以上一等二人遍乗下一等四人，二等五人，三等七人，四等八人，共银七十七两，得一等八人，二等十人，三等十四人，四等十六人，共银一百五十四两。两下相较，则一等各八人，彼此减尽；二等两下相减，余二人；三等两下相减，余二人；四等两下相减，余四人；共银两下相减，余二十二两，即二等二人，三等二人，四等四人，共银二十二两也【葢一百七十六两内减一百五十四两，即减去一等八人，二等十人，三等十四人，四等十六人之共银数，故所余之二十二两为二等二人，三等二人，四等四人之共银数也】次以一等四人，二等五人，三等七人，四等八人共银七十七两，列于上。一等六人，二等五人，三等四人，四等二人，共银六十六两，列于下。乃以下一等六人遍乘上一等四人，二等五人，三等七人，四等八人，共银七十七两，得一等二十四人，二等三十人，三等四十二人，四等四十八人，共银四百六十二两。又以上一等四人遍乘下一等六人，二等五人，三等四人，四等二人，共银六十六两，得一等二十四人，二等二十人，三等十六人，四等八人，共银二百六十四两。两下相较，则一等各二十四人，彼此减尽。二等两下相减，余十人。三等两下相减，余二十六人。四等两下相减，余四十人。共银两下相减，余一百九十八两，即二等十人，三等二十六人，四等四十人，共银一百九十八两也【葢四百六十二两内减二百六十四两，即减去一等二十四人，二等二十人，三等十六人，四等八人之共银数，故所余之一百九十八两为二等十人，三等二十六人，四等四十人之共银数也】于是将三次所得之余作三色方程算之。

先以二等一人，三等二人，四等三人，共银十六两，列于上。二等二人，三等二人，四等四人，共银二十二两，列于下。乃以下二等二人遍乗上二等一人，三等二人，四等三人，共银十六两，得二等二人，三等四人，四等六人，共银三十二两。又以上二等一人遍乗下二等二人，三等二人，四等四人，共银二十二两，仍得原数。两下相较，则二等各二人，彼此减尽。三等两下相减，余二人。四等两下相减，余二人。共银两下相减，余十两，即三等二人，四等二人，共银十两也【葢三十二两内减二十二两，即减去二等二人，三等二人，四等四人之共银数，故所余之十两为三等二人，四等二人之共银数也】次以二等二人，三等二人，四等四人，共银二十二两，列于上。二等十人，三等二十六人，四等四十人共银一百九十八两，列于下。乃以下二等十人遍乗上二等二人，三等二人，四等四人，共银二十二两。得二等二十人，三等二十人，四等四十人，共银二百二十两。又以上二等二人遍乗下二等十人，三等二十六人，四等四十人，共银一百九十八两。得二等二十人，三等五十二人，四等八十人，共银三百九十六两。两下相较，则二等各二十人，彼此减尽。三等两下相减，余三十二人。四等两下相减，余四十人。共银两下相减，余一百七十六两。即三等三十二人，四等四十人，共银一百七十六两也【葢三百九十六两内减二百二十两，即减去二等二十人，三等二十人，四等四十人之共银数，故所余之一百七十六两为三等三十二人，四等四十人之共银数也。此间两层相减，虽下层数多于上层，然俱系反减，故不用变号】于是又将两次所得之余作二色方程算之。其三等二人，四等二人，共银十两，列于上。三等三十二人，四等四十人，共银一百七十六两，列于下。乃以下三等三十二人遍乗上三等二人，四等二人，共银十两，得三等六十四人，四等六十四人，共银三百二十两。又以上三等二人遍乗下三等三十二人，四等四十人，共银一百七十六两，得三等六十四人，四等八十人，共银三百五十二两。两下相较，则三等各六十四人，彼此减尽。四等两下相减，余十六人。共银两下相减，余三十二两。即四等十六人之共银数。以四等十六人除之，得二两，即四等每一人所应得之数也。以四等二人因之，得四两，为四等二人之共银数。于三等二人，四等二人共银十两内减之余六两，为三等二人之共银数。以三等二人除之，得三两，即三等每一人所应得之数也。以二等一人，三等二人，四等三人共银十六两计之，则三等二人应得六两，四等三人应得六两，共十二两。

于共银十六两内减之，余四两，即二等每一人所应得之数也。再以一等一人，二等二人，三等三人，四等四人，共银三十两计之，则二等二人应得八两，三等三人应得九两，四等四人应得八两，共二十五两。于共银三十两内减之，余五两，即一等每一人所应得之数也。

较数类设如砚七方比笔三枝价多四百八十文，又砚三方比笔九枝价少一百八十文，问砚笔价各若干？法以砚七为正，笔三为负，价多四百八十文为正【多为砚比笔之所多，与砚同类故亦为正】列于上；又以砚三为正，笔九为负，价少一百八十文为负【少为砚比笔之所少，即为笔比砚之所多，与笔同类故亦为负】列于下。乃以下砚三遍乘上砚七、笔三、价多四百八十文，得砚二十一为正，笔九为负，价多一千四百四十文为正；又以上砚七遍乗下砚三、笔九、价少一百八十文，得砚二十一为正，笔六十三为负，价少一千二百六十文为负。两下相较，则砚各二十一彼此减尽，笔九枝与六十三枝两层皆负，故相减余五十四枝，价多一千四百四十文与少一千二百六十文，一正一负故相加得二千七百文，乃笔五十四枝之共价，以减余笔五十四除之，得五十文，即笔每一枝之价。以三因之得一百五十文，为笔三枝之共价，与砚多四百八十文相加得六百三十文，为砚七方之共价，以砚七除之得九十文，即砚每一方之价也。此法用互乗，则上层为砚二十一方比笔九枝价多一千四百四十文，下层为砚二十一方比笔六十三枝价少一千二百六十文。夫砚既皆二十一方，则其共价必相等，然比笔九枝之价则多，比笔六十三枝之价则少，是多与少相加之二千七百文，即笔九枝与笔六十三枝相差之五十四枝之价也。笔五十四枝共价为二千七百文，则笔一枝价五十文，而笔三枝价为一百五十文矣。砚七方比笔三枝价既多四百八十文，则于一百五十文加四百八十文共六百三十文，即砚七方之共价，故以砚七除之得九十文，为砚每一方之价也。设如，有甲丙二马羣，各不知数只。云甲三羣比丙二羣多一千五百三十匹，甲二羣与丙七羣相等。问甲丙每羣马数各几何？法以甲三羣为正，丙二羣为负，多一千五百三十匹为正，列于上。又以甲二羣为正，丙七羣为负，相等作一空位【相等无数可列，故作一○以存其位】列于下。乃以下甲二羣遍乗上甲三羣，丙二羣，多一千五百三十匹，得甲六羣仍为正，丙四羣仍为负，多三千零六十匹亦仍为正。又以上甲三羣遍乗下甲二羣，丙七羣，得甲六羣仍为正，丙二十一羣为负，相等无可乘，亦仍为空位。两下相较，则甲各六羣彼此减尽，丙四羣与丙二十一羣两层皆负，故相减余十七羣，多三千零六十匹与相等无可加减，仍得三千零六十匹。乃丙十七羣之共数，以减余丙十七羣除之，得一百八十匹为丙每羣之数。七因之，得一千二百六十匹为丙七羣之共数。甲二羣既与丙七羣相等，则一千二百六十匹亦即为甲二羣之共数，以甲二羣除之，得六百三十匹，即甲每羣之数也。

此法用互乗，则上层为甲六羣比丙四羣多三千零六十匹，下层为甲六羣与丙二十一羣相等。甲六羣既与丙二十一羣相等，则丙二十一羣比丙四羣多三千零六十匹。两下各减丙四羣，则为丙十七羣共马三千零六十匹矣。丙十七羣既为共马三千零六十匹，则丙一羣得马一百八十匹，而丙七羣为马一千二百六十匹。甲二羣既与丙七羣相等，则一千二百六十匹用甲二羣除之，得六百三十匹，即甲每羣之数也。设如有钱买桃、苹果、梨三色，各不知价，只云桃三个比苹果二个、梨二个价多二十四文，桃二个、梨三个比苹果五个价少十二文，桃四个、苹果三个比梨八个价多一百零八文，问桃、苹果、梨各价几何？法先以桃三为正，苹果二、梨二为负，价多二十四文为正，列于上；又以桃二为正，苹果五为负，梨三为正，价少十二文为负，列于下。乃以下桃二遍乗上桃三、苹果二、梨二价多工十四文，得桃六仍为正，苹果四为负，梨四为负，价多四十八文为正【负即桃六比苹果四、梨四价多四十八文，比原数加二】又以上桃三遍乗下桃二、苹果五、梨三价少十二文，得桃六仍为正，苹果十【倍】五为负，梨九为正，价少三十六文为【即桃六、梨九比苹果十五价少三十六文，比原数加三倍】于是任以上层为主，两下相较，则桃各六彼此减尽，苹果两层皆负，故相减余十一，本层少反减故变负为正，且为首一色减尽，其次一色即转而为首，故亦变负为正，梨一正一负故相加得十三，仍依本层为负，多四十八文与少三十六文相加得八十四文，仍依本层为正，即为苹果十一比梨十三价多三十四文也【葢桃彼此减尽，苹果上层少四，下层少十五，是下层比上层所少为十一，即上层比下层多十一也；梨上层少四，下层多九，下之所多即上之所少，是上层比下层少十三也；钱上层多四十八文，下层少三十六文，下之所少即上之所多，是上层比下层多八十四文也；苹果多十一，梨少十三，钱即多八十四文，故为苹果十一比梨十三价多八十四文也】复以桃二为正，苹果五为负，梨三为正，价少十二文为负，列于上；又以桃四、苹果三为正，梨八为负，价多一百零八文为正，列于下。乃以上桃二遍乗下桃四、苹果三、梨八价多一百零八文，得桃八仍为正苹果六，亦仍为正梨十六，为负价多二百一十六文为正【即桃八苹果六比梨十六价多二百一十六文比原数加二倍】又以下桃四遍乗上桃二苹果五梨三，价少十二文得桃八仍为正，苹果二十为负，梨十二为正，价少四十八文为负【即桃八梨十二比苹果二十价少四十八文比原数加四倍】于是仍以上层为主，两下相较，则桃各八彼此减尽，苹果一正一负，故相加得二十六仍依本层为正，梨一正一负，故相加得二十八仍依本层为负，多二百一十六文与少四十八文相加得二百六十四文，亦仍依本层为正，即为苹果二十六比梨二十八价多二百六十四文也【葢桃彼此减尽苹果上层多六下层少二十下之所少即上之所多是上层比下层多二十六也梨上层少十六下层多十二下之所多即上之所少是上层比下层少二十八也钱上层多二百一十六文下层少四十八文下之所少即上之所多是上层比下层多二百六十四文也苹果多二十六梨少二十八钱即多二百六十四文十之共价故为苹果二十六比梨二十八价多二百六】爰将两次所得之余作二色方程算之，其苹果十一为正，梨十三为负，价多八十四文为正列于上；苹果二十六为正，梨二十八为负，价多二百六十四文为正列于下。

乃以上苹果十一遍乘下苹果二十六梨二十八价多二百六十四文得苹果二百八十六为正，梨三百零八为负，价多二千九百零四文为正【十四文也即苹果二百八十六比梨三百零八价多二千九百零四文比原数】又以下苹果二十六遍乗上苹果十一梨十三价多八十四文得苹果二百八十六为正，梨三百三十八为负，价多二千一百八十四文为正【加十一倍即苹果二百八十六比梨三百三十八价多二千一百八十四文，比原数加】两下相较，则苹果各二百八十六，彼此减尽，梨两层皆负，故相减余三十两，多数相同，故亦【二十六倍】相减余七百二十文，乃梨三【葢苹果皆二百八十六，则其共价必相等，然比梨三百三十八之价则多二千一百八十四文，比梨三百零八之价则多二千九百零四文，是两多相差之七百二十文，即梨相差三十之共价也】以梨三十除之，得二十四文，即梨每个之价，以梨十三乗之，得三百一十二文，为梨十三之共价，苹果十一既比梨十三价多八十四文，则于三百一十二文加八十四文，得三百九十六文，为苹果十一之共价，以十一除之，得三十六文，即苹果每个之价，以桃三比苹果二、梨二价多二十四文计之，则梨二价四十八文，苹果二价七十二文，共价一百二十文，加桃三多二十四文，共一百四十四文，即为桃三之共价，以三除之，得四十八文，即桃每个之价也设如，有银买铜、锡、铅、铁，各不知价。只云：铜三斤比锡二斤、铅二斤、铁四斤价多一钱。又铜二斤、铅一斤比锡二斤、铁二斤价多二钱。又铜一斤、锡二斤与铅三斤、铁八斤价相等。又铜五斤、铁三十斤比锡四斤、铅二十四斤价少二钱。问铜、锡、铅、铁各价几何？法先以铜三斤为正，锡二斤，铅二斤，铁四斤，俱为负，价多一钱为正，列于上。又铜二斤为正，锡二斤为负，铅一斤为正，铁二斤为负，价多二钱为正，列于下。乃以下铜二斤遍乗上铜三斤，锡二斤，铅二斤，铁四斤，价多一钱，得铜六斤为正，锡四斤，铅四斤，铁八斤，俱为负，价多二钱为正。又以上铜三斤遍乗下铜二斤，锡二斤，铅一斤，铁二斤，价多二钱，得铜六斤为正，锡六斤为负，铅三斤为正，铁六斤为负，价多六钱为正。于是以上层为主，两下相较，则铜各六斤，彼此减尽，锡两层皆负，故相减余二斤，本层少，乃变负为正，铅一正一负，故相加得七斤，仍依本层为负，铁两层皆负，故亦相减余二斤，仍依本层为负，价两层皆正，故亦相减余四钱，本层少，乃变正为负，即锡二斤比铅七斤，铁二斤价少四钱也【葢铜彼此减尽，锡上层少四斤，下层少六斤，是下层比上层所少为二斤，即上层比下层多二斤也。

铅上层少四斤，下层多三斤，下之所多，即上之所少，是上层比下层少七斤也。铁上层少八斤，下层少六斤，是上层比下层所少为二斤也。价上层多二钱，下层多六钱，是下层比上层所多为四钱，即上层比下层少四钱也。锡多二斤，铅少七斤，铁少二斤，价即少四钱，故为锡二斤比铅七斤，铁二斤价少四钱也】次以铜二斤为正，锡二斤为负，铅一斤为正，铁二斤为负，价多二钱为正，列于上。又铜一斤，锡二斤为正，铅三斤，铁八斤为负，相等作一空位列于下。乃以下铜一斤遍乗上铜二斤，锡二斤，铅一斤，铁二斤，价多二钱，仍得原数。又以上铜二斤遍乗下铜一斤，锡二斤，铅三斤，铁八斤，得铜二斤，锡四斤，仍为正，铅六斤，铁十六斤，仍为负，相等无可乗，仍为空位。于是以上层为主，两下相较，则铜各二斤，彼此减尽，锡一正一负，故相加得六斤，仍依本层为负，铅一正，一负，故亦相加得七斤。仍依本层为正，铁两层皆负，故相减余十四斤。本层少，乃变负为正，价多二钱，与相等，无可加减，仍得二钱为正。即铅七斤，铁十四斤，比锡六斤价多二钱也【铁十四斤价少二钱也。次葢铜彼此减尽，锡上层少二斤，下层多四斤，下之所多即上之所少，是上层比下层少六斤也。铅上层多一斤，下层少六斤，下之所少即上之所多，是上层比下层多七斤也。铁上层少二斤，下层少十六斤，是下层比上层所少为十四斤，即上层比下层多十四斤也。铅多七斤，铁多十四斤，锡少六斤，而价即多二钱，故为铅七斤，铁十四】因首色铜数减尽，则锡即转而为首，应为正。今锡六斤为负，则重列三色之际不能一体，须俱变其号然后为顺。故将锡六斤变负为正，而以铅七斤，铁十四斤价多二钱，俱变正为负。葢原铅七斤，铁十四斤比锡六斤价多二钱。今变为锡【斤比锡六斤价多二钱也】六斤比铅七【若以下层为主则相加应依下层为正即不用变】斤，以铜一斤锡二斤为正，铅三斤铁八斤为负，相等，作一空位列于上，又铜五斤为正，锡四斤铅二十四斤为负，铁三十斤为正，价少二钱为负，列于下，乃以下铜五斤遍乗上铜一斤锡二斤铅三斤铁八斤，得铜五斤锡十斤为正，铅十五斤铁四十斤为负，相等，无可乗，仍为空位，又以上铜一斤遍乗下铜五斤锡四斤铅二十四斤铁三十斤价少二钱，仍得原数，于是以上层为主，两下相较，则铜各五斤，彼此减尽，锡一正一负，故相加得十四斤，仍依本层为正，铅两层皆负，故相减余九斤，本层少，乃变负为正，铁一正一负，故相加得七十斤，仍依本层为负，价少二钱与相等，无可加减，仍得二钱，本层无数，乃变负为正，即锡十【四斤铅九斤比铁七十斤价多二钱也葢铜彼此减尽锡上层多十斤下层少四斤下之所少即上之所多是上层比下层多十四斤也铅上层少十五斤下层少二十四斤是下层比上层所少为九斤即上层比下层多九斤也铁上层少四十斤下层多三十斤下之所多即上之所少是上层比下层少七十斤也价下层少二钱即上层多二钱也锡多十四斤铅多九斤铁少七十斤价即多二钱故为锡十四斤铅九斤比铁七十斤价多二钱也】爰将三次所得之余作三色方程算之，先以锡二斤为正，铅七斤铁二斤价少四钱俱为负，列于上，又锡六斤为正，铅七斤铁十四斤价少二钱俱为负，列于下，乃以下锡六斤遍乗上锡二斤铅七斤铁二斤价少四钱，得锡十二斤为正，铅四十二斤铁十二斤价少二两四钱俱为负，又以上锡二斤遍乗下锡六斤铅七斤铁十四斤价少二钱得锡十二斤为正铅十四斤铁二十八斤价少四钱俱为负于是以上层为主两下相较则锡各十二斤彼此减尽铅两层皆负故相减余二十八斤仍依本层为负铁两层皆负故亦相减余十六斤本层少乃变负为正价两层皆负故亦相减余二两仍依本层为负即铁十六斤比铅二十八斤价少二两也【葢锡彼此减尽铅上层少四十二斤下层少十四斤是上层比下层所少为二十八斤也铁上层少十二斤下层少二十八斤是下层比上层所少为十六斤即上层比下层多十六斤也价上层少二两四钱下层少四钱是上层比下层所少为二两也铁多十六斤铅少二十八斤价即少二两故为铁十六斤比铅二十八斤价少二两也】次以锡六斤为正铅七斤铁十四斤价少二钱俱为负列于上又锡十四斤铅九斤为正铁七十斤为负价多二钱为正列于下乃以下锡十四斤遍乗上锡六斤铅七斤铁十四斤价少二钱得锡八十四斤为正铅九十八斤铁一百九十六斤价少二两八钱俱为负又以上锡六斤遍乗下锡十四斤铅九斤铁七十斤价多二钱得锡八十四斤铅五十四斤为正铁四百二十斤为负价多一两二钱为正于是以上层为主两下相较则锡各八十四斤彼此减尽铅一正一负故相加得一百五十二斤仍依本层为负铁两层皆负故相减余二百二十四斤本层少乃变负为正价一正一负故相加得四两仍依本层为负即铁二百二十四斤比铅一百五十二斤价少四两也【葢锡彼此减尽铅上层少九十八斤下层多五十四斤下之所多即上之所少是上层比下层少一百五十二斤也铁上层少一百九十六斤下层少四百二十斤是下层比上层所少为二百二十四斤即上层比下层多二百二十四斤也。

价上层少二两八钱，下层多一两二钱。下之所多，即上之所少，是上层比下层少四两也。铁多二百二十四斤，铅少一百五十二斤，价即少四两，故为铁二百二十四斤比铅一百五十二斤价少四两也】爰将两次所得之余作二色方程算之，其所余铅两首色俱为负，是为同号，可以互乗减尽，故不变其号。即将铅二十八斤为负，铁十六斤为正，价少二两为负，列于上。又铅一百五十二斤为负，铁二百二十四斤为正，价少四两为负，列于下。乃以下铅一百五十二斤遍乗上铅二十八斤，铁十六斤，价少二两，得铅四千二百五十六斤为负，铁二千四百三十二斤为正，价少三百零四两为负。又以上铅二十八斤遍乗下铅一百五十二斤，铁二百二十四斤，价少四两，得铅四千二百五十六斤为负，铁六千二百七十二斤为正，价少一百一十二两为负。两下相较，则铅各四千二百五十六斤，彼此减尽。铁两层皆正，故亦相减，余三千八百四十斤。价两层皆负，故亦相减，余一百九十二两，即铁三千八百四十斤之共价。以铁三千八百四十斤除之，得五分，即铁每一斤之价也。以铁十六斤乗之，得八钱，为铁十六斤之共价。铁十六斤既比铅二十八斤价少二两，则加二两得二两八钱，为铅二十八斤之共价。以铅二十八斤除之，得一钱，即铅每一斤之价也。以锡六斤比铅七斤，铁十四斤价少二钱计之，则铅七斤价七钱，铁十四斤价亦七钱，共一两四钱。锡六斤既比铅七斤，铁十四斤价少二钱，则减二钱，余一两二钱，为锡六斤之共价。以锡六斤除之，得二钱，即锡每一斤之价也。再以铜三斤比锡二斤，铅二斤，铁四斤价多一钱计之，则锡二斤价四钱，铅二斤价二钱，铁四斤价二钱，共八钱。铜三斤既比锡二斤，铅二斤，铁四斤价多一钱，则加一钱，共九钱，为铜三斤之共价。以铜三斤除之，得三钱，即铜每一斤之价也。

和较兼用类设如，有大小二石，不知其重。只云：二大石比七小石少三十斤，三大石二小石共三百三十斤。问：大小石各重几何？法以大石二为正，小石七为负，少三十斤为负，列于上；大石三，小石二，共重三百三十斤，列于下。乃以上大石二，遍乗下大石三，小石二，重三百三十斤，得大石六，小石四，共重六百六十斤。又以下大石三，遍乗上大石二，小石七，少三十斤，得大石六，仍为正，小石二十一，仍为负，少九十斤，亦仍为负。两下相较，则大石各六，彼此减尽，小石四加小石二十一，得小石二十五，六百六十斤加九十斤，得七百五十斤，乃小石二十五之共数。以小石二十五除之，得三十斤，即一小石之重数。以二因之，得六十斤，为二小石之共数。于大小石共重三百三十斤内减之，余二百七十斤，为三大石之共数。以三除之，得九十斤，即一大石之重数也。此法葢因三大石二小石共重三百三十斤为和数，皆一类为正，故不用正负之号，遇正则为同类相减，遇负则为异类相加。相加之后仍为和数者，以其依本层之号故，亦不用正号。葢六大石四小石共重六百六十斤，而六大石比二十一小石少九十斤，则加九十斤，即六大石与二十一小石等矣。故小石二十五共重七百五十斤，以二十五除之而得一小石之重数也。既得小石之重数，则于和数共重三百三十斤内减二小石重六十斤，余为三大石之共数。若于较数七小石之共重二百一十斤内减少三十斤，所余即为二大石之共数。既得三大石或二大石之共数，乃以大石数除之，即得一大石之重数矣。设如，有米，用牛、马、骡三色载之，各不知数。只云：牛二、马三、骡四，共载八石；马三、骡三，与牛三所载相等；牛四、马一，比骡八所载多三石。问各载几何？法：先以牛二、马三、骡四共米八石，列于上。次以牛三为正，马三、骡三为负，相等作一空位列于下【题言：马三、骡三比牛三，则马、骡应为正，牛应为负。因列法以牛为首，故以牛为正，马、骡为负。即牛三比马三、骡三相等，其理一也】乃以上牛二遍乘下牛三、马三、骡三，得牛六，仍为正，马六、骡六，仍为负。又以下牛三遍乗上牛二、马三、骡四共载八石，得牛六、马九、骡十二，共载二十四石。于是以下层为主，两下相较【若以上层为主，则相加数皆为负，况首色减尽，二色即转而为首，即变负为正，故不若以下层为主而皆为正也】则牛各六，彼此减尽，马九加马六得马十五【因依本层为和数，故不用号】骡十二加骡六得骡十八，二十四石无可加减，仍为二十四石，即马十五、骡十八共载二十四石也【葢牛六、马九、骡十二共载二十四石，而牛六与马六、骡六相等，则将本层牛六变为马六、骡六矣，故为马十五、骡十八共载二十四石也】次以牛三为正，马三、骡三为负，相等作一空位列于上；牛四、马一为正，骡八为负，多三石为正，列于下。

乃以上牛三遍乗下牛四、马一、骡八、多三石，得牛十二为正，马三亦为正，骡二十四为负，多九石为正。又以下牛四遍乗上牛三、马三、骡三，得牛十二为正，马十二为负，骡十二为负。于是以上层为主，两下相较，则牛各十二，彼此减尽，马一正一负，故相加得十五，仍依本层为正；骡两层皆负，故相减余十二，仍依本层为负。九石无可加减，仍为九石，依本层为正，即马十五比骡十二所载多九石也【葢牛彼此减尽，马上层多三，下层少十二，是上层比下层多十五】也骡上层少二十四，下层少十二，是上层比下层所少为十二也。马多十五，骡少十二，而米即多九石，故为马十五比骡十二所载多九石也】爰将两次所得之余如和较，兼用二色方程法算之，其马十五，骡十八，共米二十四石，列于上；又马十五为正，骡十二为负，多米九石为正，列于下。因首色皆为十五，两数齐同，即不用互乘，两下相较，则马各十五，彼此减尽，骡十八加骡十二得三十，米二十四石减九石余十五石，乃骡三十共载之数，以三十除之得五斗，即为每一骡所载之数。以骡十二乗之得六石，为骡十二共载之数，加马十五之多九石得十五石，即为马十五共载之数，以马十五除之得一石，为每一马所载之数。以牛三与马三、骡三相等计之，则马三应载三石，骡三应载一石五斗，共四石五斗，以牛三除之得一石五斗，即为每一牛所载之数也。设如，有银买绫、罗、绢三色，各不知价，只云绫一疋，罗二疋，绢四疋，共价七两四钱。又绫二疋，绢八疋，比罗四疋多六两八钱。又绫三疋，比罗六疋，绢七疋，少一两二钱。问各价几何？法先以绫一、罗二、绢四，共银七两四钱，列于上【和数皆为正，不用号】又绫二为正，罗四为负，绢八为正，多六两八钱为正，列于下。乃以下绫二遍乗上绫一、罗二、绢四，共银七两四钱，得绫二、罗四、绢八，共银十四两八钱。又以上绫一遍乗下绫二、罗四、绢八，多六两八钱，仍得原数。于是以上层为主，两下相较，则绫各二，彼此减尽；罗一正一负，故相加得罗八，依本层为正；绢两层皆正，故相减恰尽；价两层皆正，亦相减，余八两，乃罗八疋之共价【葢绫彼此减尽，绢亦减尽，惟罗上层多四疋，下层少四疋，是上层比下层多八疋，而价即多八两，故为罗八疋之共价也】以罗八除之，得一两，即为罗每一疋之价也。次以绫二为正，罗四为负，绢八为正，多六两八钱为正，列于上。又绫三为正，罗六为负，绢七为负，少一两二钱为负，列于下。乃以下绫三遍乗上绫二、罗四、绢八，多六两八钱，得绫六为正，罗十二为负，绢二十四为正，多二十两四钱为正。

又以上绫二遍乗下绫三、罗六、绢七，少一两二钱，得绫六为正，罗十二为负，绢十四为负，少二两四钱为负。于是以上层为主，两下相较，则绫各六，彼此减尽；罗两层皆负，亦减尽；绢一正一负，故相加得三十八；银一正一负，故相加得二十二两八钱，乃绢三十八疋之共价【葢绫彼此减尽，罗亦减尽，绢上层多二十四疋，下层少十四疋，是上层比下层多三十八疋也；银上层多二十两四钱，下层少二两四钱，是上层比下层多二十二两八钱也。绢多而银亦多，故为绢之共价也】以绢三十八除之，得六钱，即绢每一疋之价也。以绫一、罗二、绢四共价七两四钱计之，则罗二疋应价二两，绢四疋应价二两四钱，共四两四钱，于共价七两四钱内减之，余三两，即绫每一疋之价也。此法互乗相减之后，即得一。法一，实故省重列二色。若物与价俱各减尽者，则此层必为彼层之几倍与少一层者同，是为少一行，不可算也。

和较交变类设如，有琴、瑟、筝三种乐器，各不知价，但知琴一张，瑟三张，筝三张，共价九十两；又琴一张，瑟二张，筝五张，共价八十八两；又琴三张，瑟八张，筝五张，共价二百二十两。问琴、瑟、筝每张各价几何？法先以琴一、瑟三、筝三，共银九十两，列于上；又琴一、瑟二、筝五，共银八十八两，列于下【因和数皆为正，故不用号】因首色皆为一，故省互乗，即以上层为主，两下相较，则琴各一，彼此减尽；瑟两下相减，余一，本层多，仍为正；筝两下相减，余二，本层少，变正为负。银九十两减八十八两，余二两，本层多，亦仍为正。即瑟一比筝二价多二两也【葢两层琴各一张，其价必相等，但上层多瑟一张，下层多筝二张，则上层多银二两，即瑟一比筝二所多之价也】次以琴一、瑟二、筝五，共银八十八两，列于上；又琴三、瑟八、筝五，共银二百二十两，列于下。乃以下琴三遍乗上琴一、瑟二、筝五，共银八十八两，得琴三、瑟六、筝十五，共银二百六十四两；又以上琴一遍乗下琴三、瑟八、筝五，共银二百二十两，仍得原数。于是以上层为主，两下相较，则琴各三，彼此减尽；瑟两下相减，余二，本层少，变正为负；筝两下相减，余十，本层多，仍为正。银二百六十四两减二百二十两，余四十四两，本层多，亦仍为正。即筝十比瑟二价多四十四两也【葢两层琴各三张，其价必相等，但上层多筝十张，下层多瑟二张，则丄层多银四十四两，即筝十张比瑟二张所多之价也】因首色减尽，则瑟转而为首，应为正，今瑟为负，重列二色之际不能一体，须俱变其号然后为顺，故将瑟二变负为正，而以筝十与价多四十四两俱变正为负。葢原筝十比瑟二多四十四两，今变为瑟二比筝十少四十四两也【若以下层为主，则本层多即得瑟二为正，不用变号】爰将两次所得之余如较数二色方程算之，其瑟一为正，筝二为负，多二两为正，列于上；瑟二为正，筝十为负，少四十四两为负，列于下。乃以下瑟二遍乗上瑟一、筝二多二两，得瑟二仍为正，筝四为负，多四两为正；又以上瑟一遍乘下瑟二筝十少四十四两，仍得原数。两下相较，则瑟各二，彼此减尽，筝两层皆负，故相减余六，多四两，与少四十四两相加得四十八两，即筝六张之共价也【葢瑟皆为二张，则其共价必相等，然比筝四张之价则多，比筝十张之价则少，是多少相加之四十八两，即筝十与筝四相差六张之价也】乃以筝六除银四十八两，得八两为筝毎张之价，以筝十因之，得八十两为筝十张之共价。瑟二张既比筝十张少四十四两，则于八十两内减四十四两，余三十六两，即为瑟二张之共价，以瑟二除之，得十八两为瑟毎张之价。

以琴一瑟三筝三共银九十两计之，则瑟三价五十四两，筝三价二十四两，共七十八两，于共银九十两内减之余十二两，即琴毎一张之价也。设如，有古量斛、庾、釜三种，盛米各数不同。只云：三斛二釜比二庾多一石零八升；又二斛比三庾五釜少六石；又一斛一庾比二釜多一石三斗二升。问：斛、庾、釡各盛米若干？法先以斛三为正，庾二为负，釜二为正，多一石零八升为正，列于上。又斛二为正，庾三，釜五为负，少六石亦为负，列于下。乃以下斛二遍乗上斛三，庾二，釜二，多一石零八升，得斛六仍为正，庾四为负，釜四为正，多二石一斗六升亦为正。又以上斛三遍乗下斛二，庾三，釜五，少六石，得斛六仍为正，庾九，釜十五俱为负，少十八石亦为负。于是以上层为主，两下相较，则斛各六，彼此减尽，庾两层皆负，故相减余五本层少，乃变负为正，釡一正一负，故相加得十九，仍依本层为正，多二石一斗六升，与少十八石相加得二十石一斗六升，仍依本层为正，即五庾十九釡共二十石一斗六升也【斗四升也葢斛彼此减尽庾上层少四下层少九是下层比上层所少为五即上层比下层多五也釜上层多四下层少十五是上层比下层多十九也米上层多二石一斗六升下层少十八石是上层比下层多二十石一斗六升也庾釜多则米亦多故为五庾十九釜共二十石一】次以斛二为正，庾三，釡五与少六石俱为负，列于上。又斛一，庾一为正，釜二为负，多一石三斗二升为正，列于下。乃以上斛二遍乗下斛一，庾一，釡二，多一石三斗二升，得斛二，庾二为正，釡四为负，多二石六斗四升为正。又以下斛一遍乗上斛二，庾三，釜五，少六石，仍得原数。于是以上层为主，两下相较，则斛各二，彼此减尽，庾一正一负，故相加得五，仍依本层为正，釜两层皆负，故相减余一，本层少，乃变负为正，多二石六斗四升与少六石相加得八石六斗四升，仍依本层【斗六升也】为正，即五庾一釜共八石六【葢斛彼此减尽庾上层多二下层少三是上层比下层多五也釜上层少四下层少五是下层比上层所少为一即上层比下层多一也米上层多二石六斗四升下层少六石，是上层比下层多八石六斗四升也。庾釜多而米亦多，故为五庾一釡，共八石六斗四升也】爰以两次所得之余如和数二色方程算之，其庾五釜十九，共二十石一斗六升，列于上；庾五釡一，共八石六斗四升，列于下【变为和数，故不用号】夫首数皆为五，则省互乗，两下相较，庾各五，彼此减尽；釡十九减一，余十八；米二十石一斗六升减八石六斗四升，余十一石五斗二升，即为釜十八所盛之共数。以十八除之，得六斗四升，为毎一釜所盛之数。

于八石六斗四升内减之，余八石，为庾五所盛之共数。以五除之，得一石六斗，为毎一庾所盛之数。以斛三釡二比庾二多一石零八升计之，则庾二应三石二斗，加多一石零八升，得四石二斗八升，即为斛三釜二之共数。减釡二之一石二斗八升，余三石，为斛三所盛之共数。以三除之，得一石，为每一斛所盛之数也。设如用船、车、驼运粮，各不知数。只云：三船比七车一驼少三十三石；六斗二车比一船十二驼少二十一石；六斗八驼比一船三车少二十一石六斗。问船、车、驼各载几何？法先以船三为正，车七，驼一，与少三十三石六斗，俱为负，列于上。又船一改为正，车二改为负，驼十二亦改为正，少二十一石六斗改为多二十一石六斗，亦为正，列于下【葢二车比一船十二驼少二十一石六斗，即一船十二驼比二车多二十一石六斗也】乃以上船三遍乗下船一，车二，驼十二，多二十一石六斗，得船三为正，车六为负，驼三十六为正，多六十四石八斗为正。又以下船一遍乗上船三，车七，驼一，少三十三石六斗，仍得原数。于是以上层为主，两下相较，则船各三，彼此减尽，车两层皆负，故相减余一，本层少，乃变负为正，驼一正一负，故相加得三十七，仍依本层为正，多六十四石八斗与少三十三石六斗相加得九十八石四斗，亦依本层为正，即车一，驼三十七，共载九十八石四斗也【葢船彼此减尽，车上层少六，下层少七，是下层比上层所少为一，即上层比下层多一也。驼上层多三十六，下层少一，是上层比下层多三十七也。粮上层多六十四石八斗，下层少三十三石六斗，是上层比下层多九十八石四斗也。车多驼多则粮亦多，故九十八石四斗为车一驼三十七之共数也】次以船一为正，车二为负，驼十二为正，多二十一石六斗为正，列于上。又船一，车三俱改为正，驼八改为负，少二十一石六斗改为多二十一石六斗为正，列于下【葢八驼比一船三车少二十一石六斗，即一船三车比八驼多二十一石六斗也】首数皆一，故省互乘。即以上层为主，两下相较，则船各一，彼此减尽，车一正一负，故相加得五，仍依本层为负，驼一正一负，故亦相加得二十，仍依本层为正，粮两层皆正，相减恰尽，即为驼二十与车五相等。今车应转为首色为正，故重列之际须俱变其号，以车变负为正，驼变正为负，即为车五与驼二十相等也【葢两下相较船数相等上层少车二下层多车三上之所少即下之所多是下层多车五上层多驼十二下层少驼八下之所少即上之所多是上层多驼二十今既两下粮数相等则为车五与驼二十相等矣】爰以两次所得之余如和较兼用二色方程算之其车一驼三十七共粮九十八石四斗列于上【因为和数故不用号】又车五为正驼二十为负列于下【粮两下相等故无数可列仍作空以存其位】乃以下车五遍乗上车一驼三十七共粮九十八石四斗得车五驼一百八十五共粮四百九十二石又以上车一遍乗下车五驼二十仍得原数两下相较则车各五彼此减尽驼一百八十五加驼二十得二百零五粮止一层无数可加减仍得四百九十二石即驼二百零五所载之共数也以驼二百零五除之得二石四斗为每一驼所载之数以二十乗之得四十八石为驼二十所载之共数车五既与之相等即以车五除之得九石六斗即为每一车所载之数以三船比七车一驼少三十三石六斗计之则一驼应二石四斗七车应六十七石二斗共六十九石六斗减三船少三十三石六斗余三十六石为三船所载之共数以三除之得十二石为毎一船所载之数也设如，有钱买瓜、桃、榴、梨四色。

只云：瓜二、桃四，共价一百五十六文；瓜一、梨八，共价一百二十六文；桃二、榴七，共价一百六十文；榴四、梨七，共价一百四十八文。问瓜、桃、榴、梨各价几何？法先以【四共价一百五十六文列于上】瓜二桃【因题有四色而此行无榴梨乃各作空位以存其分余俱照式对位列之】又以瓜一梨八共价一百二十六文列于下【因为和数故不用号】乃以上瓜二遍乗下瓜一梨八共价一百二十六文，得瓜二梨十六共价二百五十二文。又以下瓜一遍乘上瓜二桃四共价一百五十六文，仍得原数。于是以下层为主，两下相较，则瓜各二，彼此减尽，桃四无可减，仍为四，依本层为正，榴仍为空位，梨十六无可减，仍为十六，本层无数，乃变正为负。价二百五十二文内减一百五十六文，余九十六文，本层少，乃变正为负，即为桃四比梨十六价少九十六文也【葢瓜皆为二则其共价必相等然上层有梨十六则共价二百五十二文下层有桃四则共价一百五十六文其相差之九十六文即桃四比梨十六所少之价也】至是瓜既已减尽，但余三色，即变四色为三色，而以桃为首对位列之，是以桃四为正【此行无榴数故仍作空位以存其分余俱对位列之】梨十六为负，少九十六文为负，列于上，桃二榴七共价一百六十文列于下【因为和数故不用号】乃以上桃四遍乗下桃二榴七共价一百六十文，得桃八榴二十八共价六百四十文。又以下桃二遍乗上桃四梨十六少九十六文，得桃八仍为正，梨三十二仍为负，少一百九十二文为负。于是以上层为主，两下相较，则桃各八，彼此减尽，榴二十八无可减，仍为二十八，依本层为正，梨三十二无可加，仍为三十二，本层无数，乃变负为正。六百四十文与少一百九十二文相加，得八百三十二文，仍依本层为正，即榴二十八梨三十二共价八百三十二文也【葢桃彼此减尽上层多榴二十八下层少梨三十二即上层多梨三十二故多与少相差之八百三十二文，即榴二十八、梨三十二之共价也】至是桃又减尽，但余二色，即变三色为二色，而以榴为首对位列之，是以榴二十八、梨三十二共价八百三十二文列于上，榴四、梨七共价一百四十八文列于下，乃以上榴二十八遍乗下榴四、梨七共价一百四十八文，得榴一百一十二、梨一百九十六共价四千一百四十四文，又以下榴四遍乗上榴二十八、梨三十二共价八百三十二文，得榴一百一十二、梨一百二十八共价三千三百二十八文，两下相较，则榴各一百一十二，彼此减尽，梨两下相减余六十八，价两下相减余八百一十六文，即梨六十八之共价也，以梨六十八除之，得十二文为梨每个之价，以七因之，得八十四文为梨七之共价，于榴梨共价一百四十八文内减之余六十四文为榴四之共价，以四除之，得十六文即榴毎个之价，以桃二、榴七共价一百六十文计之，则榴七应价一百一十二文，于桃榴共价一百六十文内减之余四十八文为桃二之共价，以二除之，得二十四文为桃每个之价，再以瓜二、桃四共价一百五十六文计之，则桃四应价九十六文，于桃瓜共价一百五十六文内减之余六十文为瓜二之共价，以二除之，得三十文即瓜毎个之价也

附法设如，有石二块，大小不等，不知重数。只有铜条一根，重十二两，均分十二分。以绳系于第五分之上，一头五分，一头七分。将大石挂于铜条一头，离提系五分，而以小石作砣称之，离提系得六分始平。又将小石挂在铜条一头，离提系五分，而以大石作砣称之，离提系得四分始平。问：大小二石各重几何？法先以五分加一倍与十二分相较，余二分，折半得一分，与五分相加为六分。乃以五分为一率，六分为二率，余二分作二两为三率，得四率二两四钱，即五分之端加二两四钱始与七分相平也。爰将二两四钱以大石离提系五分因之，得十二两为五大石比六小石所多之数【大石离提系五分，小石离提系六分而平，是大石重六分，小石重五分也。若五大石，六小石则各得三十分，其重始等。然五分之一端应加二两四钱，是大石重六分尚多二两四钱也。若五大石则多十二两矣，故为五大石比六小石多十二两也】又将二两四钱以小石离提系五分因之，亦得十二两为四大石比五小石所少之数【小石离提系五分，大石离提系四分而平，是小石重四分，大石重五分也。若五小石，四大石则各得二十分，其重始等。然五分之一端应加二两四钱，是小石重四分尚多二两四钱也。若五小石则多十二两矣，故为五小石比四大石多十二两，因以大石为首，故变为四大石比五小石少十二两也】因作较数方程法算之，以大石五为正，小石六为负，重多十二两为正，列于上。又大石四为正，小石五为负，重少十二两为负，列于下。乃以上大石五遍乗下大石四，小石五少十二两，得大石二十，小石二十五少六十两。又以下大石四遍乗上大石五，小石六多十二两，得大石二十，小石二十四多四十八两。两下相较，则大石各二十，彼此减尽，小石两层皆负，故相减余一重少六十两与多四十八两相加得一百零八两，即为一小石之重数。以小石六因之，得六百四十八两为六小石之共重数。加五大石所多十二两，得六百六十两为五大石之共重数。以五归之，得一百三十二两，即为一大石之重数也。此本叠借互征之法而以方程。算之，稍为简易焉。设如，有银一千六百四十两，兄弟二人分之，各不知数，只云兄之四分之一，弟之六分之一，共三百五十两，问兄弟各分银几何？法以一千六百四十两为兄四分弟六分之共银数，以三百五十两为兄一分弟一分之共银数。如和数方程法算之：以兄四分弟六分共银一千六百四十两列于上，兄一分弟一分共银三百五十两列于下。乃以下兄一分遍乗上兄四分弟六分共银一千六百四十两，仍得原数。又以上兄四分遍乗下兄一分弟一分共银三百五十两，得兄四分弟四分共银一千四百两。

两下相较，则兄各四分彼此减尽，弟两下相减余二分银两下相减余二百四十两，即弟二分之共银数。以弟二分除之，得一百二十两为弟一分之银数。以弟六分乗之，得七百二十两，即弟所分之共银数。于共银一千六百四十两内减之，余九百二十两，即兄所分之共银数也【此法用叠借互征算之亦可】设如甲乙二人分果，不知其数，只云甲予乙九枚，则乙与甲等；乙予甲九枚，则一甲与二乙等。问甲乙分果各几何？法将甲予乙九枚，以二因之，得一十八枚，为一甲比一乙所多之数【与二乙相等也，葢甲予乙九枚，则甲与乙等，若甲不予乙，则甲多九枚，乙少九枚，是甲比】又将乙予甲九枚，以三因之，得二十七枚，为一甲比二乙所少之数【乙多十八枚也，葢乙予甲九枚，则一甲与二乙等，若乙不予甲，则乙多九枚，二乙必多十八枚，甲少九枚，是一甲比二乙】因作较数方程法算之，以甲一为正，乙一为负，多十八枚为正，列于上；又甲一为正，乙二为负，少二十七枚为负，列于下。因甲首色皆为一，故不用互乗，两下相较，则甲各一，彼此减尽；乙两层皆负，故相减，余一，果一正一负，故相加得四十五枚，即为乙之果数。如甲多十八枚，得六十三枚，即为甲之果数也。若甲与乙九枚，则甲余五十四，乙亦得五十四，是甲与乙相等；若乙与甲九枚，则乙余三十【少二十七枚也】六甲得七十二，是一甲【此法用叠借互征算之亦可】设如，有田二千六百五十亩，令上、中、下三等农夫分耕。上等四十人，中等五十人，下等七十人。上等比中等毎人多七亩，中等比下等毎人多五亩。问：上、中、下三等毎人各耕几何？法以二千六百五十亩为和，以多七亩，多五亩为较，如和较兼用三色方程法算之。先以上等四十人，中等五十人，下等七十人共田二千六百五十亩列于上【因为和数故不用号】又上等一人为正，中等一人为负，多七亩为正列于下【无下等则作空以存其位】乃以下上等一人遍乗上，上等四十人，中等五十人，下等七十人共田二千六百五十亩，仍得原数。又以上上等四十人遍乗下，上等一人，中等一人，多七亩得上等四十人为正，中等四十人为负，多二百八十亩为正。于是以上层为主，两下相较，则上等各四十人彼此减尽，中等五十人加四十人得九十人，下等无可加减，仍得七十人，田二千六百五十亩减二百八十亩，余二千三百七十亩，即中等九十人，下等七十人共田二千三百七十亩也【因依本层故仍为和数】次以中等九十人，下等七十人共田二千三百七十亩列于上【因为和数故不用号】又中等一人为正，下等一人为负，多五亩为正列于下。

乃以下中等一人遍乗上，中等九十人，下等七十人共田二千三百七十亩，仍得原数。又以上中等九十人遍乗下，中等一人，下等一人，多五亩得中等九十人为正，下等九十人为负，多四百五十亩为正。两下相较，则中等各九十人彼此减尽，下等七十人加九十人得一百六十人，田二千三百七十亩减四百五十亩，余一千九百二十亩，即下等一百六十人之共数也。以下等一百六十人除之，得十二亩为下等每人所耕之数，加五亩得十七亩为中等毎人所耕之数，又加七亩得二十四亩为上等每人所耕之数也【此法本和数比例以方程算之亦可】

御制数理精蕴下编卷十<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书