御制数理精蕴下编卷二十一

御制数理精蕴下编卷二十一

面部十一圜内容各等边形圜外切各等边形圜内容各等边形设如圜径一尺二寸，求内容三等边形之每一边及面积几何？法以圜径一尺二寸为▯，半径六寸为勾，求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余，为圜内容三等边形之每一边。爰以三等边形之每一边为▯，每一边折半为勾，求得股九寸，或以圜径一尺二寸取其四分之三，亦得九寸，为圜内容三等边形之中垂线。乃以每一边之一尺零三分九厘二豪三丝有余与中垂线九寸相乘，得九十三寸五十三分零七厘有余，折半得四十六寸七十六分五十三厘有余，即圜内容三等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁三等边形，试自丁至乙作丁乙线，即圜内容六等边形之每一边，与丁戊半径等。甲乙全径，丁乙半径，与甲丁边遂成甲丁乙勾股形，故以甲乙全径为▯，丁乙半径为勾，求得甲丁股，即圜内容三等边形之每一边也。其甲己中垂线，即甲丁▯，己丁勾所求之股，又为圜径四分之三。既得一边，又得中垂线，即如三角形求面积法算之，而得圜内容三等边形之面积也。又法，以全圜三百六十度，三分之，每分得一百二十度，折半得六十度。乃以半径十万为一率，六十度之正▯八万六千六百零三为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽。倍之得一尺零三分九厘二豪三丝六忽，为圜内容三等边形之每一边。既得每一边之数，乃取圜径四分之三为中垂线，与每一边之数相乘，折半得四十六寸七十六分五十六厘有余，即圜内容三等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁三等边形，每一边之弧皆一百二十度。试将甲丙边折半于戊，自圜心己作己戊庚半径线，遂平分甲丙弧于庚，则甲庚弧为六十度。甲戊即六十度之正▯，甲丙即一百二十度之通▯。是故半径十万与六十度之正▯之比，即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比。既得半边，倍之即全边也。又用求圜内各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜内容三等边形之毎一边八六六○二五四○为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率一尺零三分九厘二豪三丝有余，即圜内容三等边形之每一边也。又用求圜内各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜内容三等边形之面积三二四七五九五三为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余，即圜内容三等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜内容三等边形之面积四一三四九六六七为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余，即圜内容三等边形之面积也。

设如圜径一尺二寸，求内容四等边形之每一边及面积几何？法以圜径一尺二寸折半得半径六寸，自乘得三十六寸，倍之得七十二寸，开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余，为圜内容四等边形之每一边。其半径自乘倍之所得七十二寸，即圜内容四等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙乙丁四等边形，试自圜心戊至丁角作戊丁半径线，遂成甲戊丁勾股形。因甲戊、戊丁皆同为半径，一为勾，一即为股，故止以半径自乘倍之，开方而得甲丁▯，即圜内容四等边形之每一边也。每一边自乘，是仍为半径自乘倍之之数，即圜内容四等边形之面积也。又法，以全圜三百六十度，四分之，每分得九十度，折半得四十五度。乃以半径十万为一率，四十五度之正▯七万零七百一十一为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率四寸二分四厘二豪六丝六忽。倍之得八寸四分八厘五豪三丝二忽，为圜内容四等边形之毎一边。既得每一边之数，即以毎一边自乘，得七十二寸，即圜内容四等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙乙丁四等边形，每一边之弧皆九十度。试将甲丙边折半于戊，自圜心己作己戊庚半径线，遂平分甲丙弧于庚，则甲庚弧为四十五度。甲戊即四十五度之正▯甲丙即九十度之通▯是故半径十万与四十五度之正▯之比，即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比。既得半边，倍之即全边也。又用求圜内各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜内容四等边形之毎一边七○七一○六七八为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率八寸四分八厘五豪二丝八忽有余，即圜内容四等边形之每一边也。又用求圜内各形之面积之定率比例，以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜内容四等边形之面积五○○○○○○○为二率，今所设之圜径一尺二寸，自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率七十二寸，即圜内容四等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜内容四等边形之面积六三六六一九七七为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率七十二寸，即圜内容四等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求内容五等边形之每一边及面积几何？法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率，用连比例三率，有首率求中率、末率，使中率、末率相加与首率等之法，求得中率三寸七分零八豪二丝有余，即圜内容十等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以所得中率与半径首率相减，余二寸二分九厘一豪八丝为末率，折半得一寸一分四厘五豪九丝为半末率，即以此半末率为勾，中率为▯，求得股三寸五分二厘六豪七丝一忽有余，倍之得七寸零五厘三豪四丝二忽有余，为圜内容五等边形之每一边。

又以中率与半末率相加，得四寸八分五厘四豪一丝有余，为自圜心至每一边之中垂线。乃以每一边折半之数与中垂线相乘，得一十七寸一十一分九十厘有余，五因之得八十五寸五十九分五十厘有余，即圜内容五等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊己五等边形，试自圜心庚至每角各作一半径线，即分五等边形为五三角形。又自乙至戊作乙戊线，即圜内容十等边形之每一边，庚乙、庚戊半径与乙戊边遂成庚乙戊三角形。又依乙戊线度截庚乙半径于辛，作戊辛线，则又成戊辛乙三角形与庚乙戊三角形为同式形。故庚乙为首率，乙戊、戊辛俱为中率，辛乙为末率，辛壬与壬乙俱为半末率。是以壬乙半末率为勾，乙戊中率为▯，求得戊壬股，倍之得戊丁，即圜内容五等边形之毎一边。又以庚辛中率与辛壬半末率相加得庚壬中垂线，用三角形求面积法算之，得庚丁戊一三角形面积，五倍之而得圜内容五等边形之总面积也。又法以全圜三百六十度，五分之，每分得七十二度，折半得三十六度。乃以半径十万为一率，三十六度之正▯五万八千七百七十九为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率三寸五分二厘六豪七丝四忽，倍之得七寸零五厘三豪四丝八忽，为圜内容五等边形之每一边。次以半径十万为一率，三十六度之余▯八万零九百零二为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率四寸八分五厘四豪一丝二忽，为自圜心至每一边之中垂线，与毎一边折半之数相乘，五因之得八十五寸五十九分六十厘有余，为圜内容五等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊己五等边形，每一边之弧皆七十二度。试将甲丙边折半于庚，自圜心辛作辛庚壬半径线，遂平分甲丙弧于壬，则甲壬弧为三十六度。甲庚即三十六度之正▯，甲丙即七十二度之通▯，辛庚即三十六度之余▯。是故半径十万与三十六度之正▯之比，即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比，既得半边倍之即全边。又半径十万与三十六度之余▯之比，即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也。又用求圜内各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜内容五等边形之每一边五八七七八五二五为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率七寸零五厘三豪四丝二忽有余，即圜内容五等边形之每一边也。又用求圜内各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜内容五等边形之面积五九四四一○三一为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率八十五寸五十九分五十厘有余，即圜内容五等边形之面积也。

又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜内容五等边形之面积七五六八二六七二为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率八十五寸五十九分五十厘有余，即圜内容五等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求内容六等边形之每一边及

面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸，即圜内容六等边形之每一边。爰以半径六寸为▯，毎一边折半得三寸为勾，求得股五寸一分九厘六豪一丝五忽有余，为自圜心至每一边之中垂线。乃以每一边折半之数与中垂线相乘，得一十五寸五十八分八十四厘有余，六因之得九十三寸五十三分零四厘有余，即圜内容六等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁乙戊己六等边形，其每一边皆六寸，与半径等。试自圜心庚至每角各作一半径线，即分六等边形为六三角形。以甲庚半径为▯，甲丙一边折半得甲辛为勾，求得股为庚辛中垂线。用三角形求面积法算之，得甲丙庚一三角形之面积，六倍之而得圜内容六等边形之总面积也。又法以全圜三百六十度六分之，每分得六十度，折半得三十度。乃以半径十万为一率，三十度之正▯五万为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率三寸，倍之得六寸，为圜内容六等边形之每一边。次以半径十万为一率，三十度之余▯八万六千六百零三为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽，为自圜心至每一边之中垂线，与每一边折半之数相乘，六因之得九十三寸五十三分一十二厘有余，为圜内容六等边形之面积也。如图甲乙，圜径一尺二寸，内容甲丙丁乙戊己六等边形，每一边之弧皆六十度。试将甲丙边折半于庚，自圜心辛作辛庚壬半径线，遂平分甲丙弧于壬，则甲壬弧为三十度。甲庚即三十度之正▯，甲丙即六十度之通▯，辛庚即三十度之余▯。是故半径十万与三十度之正▯之比，即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比，既得半边倍之即全边。又半径十万与三十度之余▯之比，即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也。又用求圜内各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜内容六等边形之每一边五○○○○○○○为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率六寸，即圜内容六等边形之每一边也。又用求圜内各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜内容六等边形之面积六四九五一九○五为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率九十三寸五十三分零七厘有余，即圜内容六等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜内容六等边形之面积八二六九九三三四为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率九十三寸五十三分零七厘有余，即圜内容六等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求内容七等边形之每一边及面积几何？

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率，用连比例四率，有一率求二率、三率、四率，使一率与四率相加与二率两倍再加一、三率等之法，求得二率二寸六分七厘零二丝五忽有余，为圜内容十四等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以半径六寸为底，仍以半径六寸与十四等边形之毎一边二寸六分七厘零二丝五忽有余为两腰，用三角形求中垂线法算之，得二寸六分零三豪三丝有余，倍之得五寸二分零六豪六丝有余，为圜内容七等边形之每一边。爰以半径六寸为▯，七等边形之每一边折半为勾，求得股五寸四分零五豪八丝一忽有余，为自圜心至每一边之中垂线。乃以每一边折半之数与中垂线相乘，得一十四寸零七分二十九厘有余，七因之得九十八寸五十一分零三厘有余，即圜内容七等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊己庚辛七等边形，试自圜心壬至毎角各作一半径线，即分七等边形为七三角形。又自戊至乙作戊乙线，即圜内容十四等边形之毎一边。壬乙、壬戊半径与戊乙边遂成壬戊乙三角形，故以壬乙半径为底，壬戊半径与戊乙十四等边形之每一边为两腰，求得戊癸垂线，倍之得戊己，即圜内容七等边形之每一边也。又壬戊为▯，戊癸为勾，求得股为壬癸中垂线，用三角形求面积法算之，得壬戊己一三角形之面积，七倍之而得圜内容七等边形之总面积也。又法，以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余，折半得二十五度四十二分五十一秒有余，乃以半径十万为一率，二十五度四十二分五十一秒有余之正▯四万三千三百八十八为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率二寸六分零三豪二丝八忽，倍之得五寸二分零六豪五丝六忽为圜内容七等边形之每一边，次以半径十万为一率，二十五度四十二分五十一秒有余之余▯九万零九十七为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率五寸四分零五豪八丝二忽为自圜心至每一边之中垂线，与每一边折半之数相乘，七因之得九十八寸五十分九十六厘有余，为圜内容七等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊己庚辛七等边形，每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余，试将甲丙边折半于壬，自圜心癸作癸壬子半径线，遂平分甲丙弧于子，则甲子弧为二十五度四十二分五十一秒有余，甲壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正▯，甲丙即五十一度二十五分四十二秒有余之通▯，癸壬即二十五度四十二分五十一秒有余之余▯。是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正▯之比，即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比，既得半边倍之即全边，又半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之余▯之比，即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也。

又用求圜内各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜内容七等边形之每一边四三三八八三七四为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率五寸二分零六豪六丝有余，即圜内容七等边形之每一边也。又用求圜内各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜内容七等边形之面积六八四一○二五四为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率九十八寸五十一分零七厘有余，即圜内容七等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜内容七等边形之面积八七一○二六四一为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率九十八寸五十一分零七厘有余，即圜内容七等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求内容八等边形之每一边及面积几何？法以圜径一尺二寸，求得圜内容四等边形之每一边为八寸四分八厘五毫二丝八忽有余，折半得四寸二分四厘二毫六丝四忽有余为股，又以四边之半四寸二分四厘二豪六丝四忽有余与半径六寸相减，余一寸七分五厘七毫三丝六忽有余为勾，求得▯四寸五分九厘二豪一丝九忽有余为圜内容八等边形之毎一边。爰以半径六寸为▯，八等边形之毎一边折半得二寸二分九厘六豪零九忽有余为勾，求得股五寸五分四厘三豪二丝八忽有余为自圜心至每一边之中垂线，乃以每一边折半之数与中垂线相乘，得一十二寸七十二分七十八厘有余，八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余，即圜内容八等边形之面积也。如图甲乙，圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形，先求得圜内容四等边形之毎一边为戊己，折半得戊壬，与癸壬等为股，以癸壬与癸乙半径相减，余壬乙为勾，求得戊乙▯为圜内容八等边形之每一边。试自圜心至每角各作一半径线，即分八等边形为八三角形，以癸乙半径为▯，戊乙折半得子乙为勾，求得股为癸子中垂线，用三角形求面积法算之，得癸戊乙一三角形之面积，八倍之而得圜内容八等边形之总面积也。又法以全圜三百六十度八分之，每分得四十五度，折半得二十二度三十分。乃以半径十万为一率，二十二度三十分之正▯三万八千二百六十八为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率二寸二分九厘六豪零八忽，倍之得四寸五分九厘二豪一丝六忽，为圜内容八等边形之每一边。次以半径十万为一率，二十二度三十分之余▯九万二千三百八十八为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率五寸五分四厘三豪二丝八忽，为自圜心至毎一边之中垂线，与毎一边折半之数相乘，八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余，为圜内容八等边形之面积也。

如图甲乙，圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形，毎一边之弧皆四十五度。试将甲丙边折半于壬，自圜心癸作癸壬子半径线，遂平分甲丙弧于子，则甲子弧为二十二度三十分，甲壬即二十二度三十分之正▯，甲丙即四十五度之通▯，癸壬即二十二度三十分之余▯。是故半径十万与二十二度三十分之正▯之比，即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比，既得半边倍之即全边。又半径十万与二十二度三十分之余▯之比，即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也。乂用求圜内各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜内容八等边形之毎一边三八二六八三四三为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率四寸五分九厘二豪二丝有余，即圜内容八等边形之每一边也。又用求圜内各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜内容八等边形之面积七○七一○六七八为二率，今所设之圜径一尺二寸，自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余，即圜内容八等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜内容八等边形之面积九○○三一六三一为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余，即圜内容八等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求内容九等边形之每一边及

面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率，用连比例四率，有一率求二率三率四率，使一率与四率相加与二率三倍等之法，求得二率二寸零八厘三豪七丝七忽有余，为圜内容十八等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以半径六寸为底，仍以半径六寸与圜内容十八等边形之毎一边二寸零八厘三豪七丝七忽有余为两腰，用三角形求中垂线法算之，得二寸零五厘二豪一丝一忽有余，倍之得四寸一分零四豪二丝二忽有余，即圜内容九等边形之毎一边。爰以半径六寸为▯，九等边形之毎一边折半为勾，求得股五寸六分三厘八豪一丝五忽有余，为自圜心至毎一边之中垂线。乃以毎一边折半之数与中垂线相乘，得一十一寸五十七分零一厘有余，九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余，即圜内容九等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形，试自圜心子至每角各作一半径线，即分九等边形为九三角形。又自己至乙作己乙线，即圜内容十八等边形之毎一边，子乙、子己半径与己乙边遂成子己乙三角形，故以子乙半径为底，子己半径与己乙十八等边形之毎一边为两腰，求得己丑垂线，倍之得己庚为圜内容九等边形之每一边也。又子己为▯，己丑为勾，求得股为子丑中垂线，用三角形求面积法算之，得子己庚一三角形之面积，九倍之而得圜内容九等边形之总面积也。又法以全圜三百六十度九分之，每分得四十度，折半得二十度。乃以半径十万为一率，二十度之正▯三万四千二百零二为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率二寸零五厘二豪一丝二忽，倍之得四寸一分零四豪二丝四忽，为圜内容九等边形之每一边。次以半径十万为一率，二十度之余▯九万三千九百六十九为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率五寸六分三厘八豪一丝四忽，为自圜心至毎一边之中垂线，与毎一边折半之数相乘九因之，得一尺零四寸一十三分零九厘有余，为圜内容九等边形之面积也。如图甲乙，圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形，毎一边之弧皆四十度。试将甲丙边折半于子，自圜心丑作丑子寅半径线，遂平分甲丙弧于寅，则甲寅弧为二十度。甲子即二十度之正▯，甲丙即四十度之通▯，丑子即二十度之余▯。是故半径十万与二十度之正▯之比，即如所设之半径六寸与甲子之半边之比。既得半边倍之，即全边。又半径十万与二十度之余▯之比，即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也。又用求圜内各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜内容九等边形之毎一边三四二○二○一四为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率四寸一分零四豪二丝四忽有余，即圜内容九等边形之每一边也。

又用求圜内各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜内容九等边形之面积七二三一三六○六为二率，今所设之圜径一尺二寸，自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺零四寸一十三分一十五厘有余，即圜内容九等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜内容九等边形之面积九二○七二五四二为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺零四寸一十三分一十五厘有余，即圜内容九等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求内容十等边形之每一边及面积几何？法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率，用连比例三率，有首率求中率、末率，使中率、末率相加与首率等之法，求得中率三寸七分零八豪二丝有余，即圜内容十等边形之每一边【详见割圜卷中】爰以半径六寸为▯，十等边形之每一边折半得一寸八分五厘四豪一丝有余为勾，求得股五寸七分零六豪三丝三忽有余，为自圜心至每一边之中垂线。乃以每一边折半之数与中垂线相乘，得一十寸五十八分零一厘有余，十因之得一尺零五寸八十分一十厘有余，即圜内容十等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等边形，其子乙半径为首率，己乙每一边为中率，其毎一边皆三寸七分零八豪二丝有余。试自圜心子至每角各作一半径线，即分十等边形为十三角形。以子乙半径为▯，己乙折半得丑乙为勾，求得股为子丑中垂线。用三角形求面积法算之，得子己乙一三角形之面积，十倍之而得圜内容十等边形之总面积也。又法以全圜三百六十度，十分之毎分得三十六度，折半得十八度。乃以半径十万为一率，十八度之正▯三万零九百零二为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率一寸八分五厘四豪一丝二忽，倍之得三寸七分零八豪二丝四忽，为圜内容十等边形之毎一边。次以半径十万为一率，十八度之余▯九万五千一百零六为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率五寸七分零六豪三丝六忽，为自圜心至毎一边之中垂线，与每一边折半之数相乘，十因之得一尺零五寸八十分二十七厘有余，为圜内容十等边形之面积也。如图甲乙，圜径一尺二寸，内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等边形，每一边之弧皆三十六度。试将甲丙边折半于子，自圜心丑作丑子寅半径线，遂平分甲丙弧于寅，则甲寅弧为十八度。甲子即十八度之正▯，甲丙即三十六度之通▯，丑子即十八度之余▯。是故半径十万与十八度之正▯之比，即如所设之半径六寸与甲子之半边之比。

既得半边倍之，即全边。又半径十万与十八度之余▯之比，即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也。又用求圜内各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜内容十等边形之每一边三○九○一六九九为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率三寸七分零八豪二丝有余，即圜内容十等边形之每一边也。又用求圜内各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜内容十等边形之面积七三四七三一五六为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺零五寸八十分一十三厘有余，即圜内容十等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜内容十等边形之面积九三五四八九二八为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺零五寸八十分一十三厘有余，即圜内容十等边形之面积也。

圜外切各等边形设如圜径一尺二寸，求外切三等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸为▯，半径六寸为勾，求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余，倍之得二尺零七分八厘四豪六丝有余，为圜外切三等边形之毎一边。爰以三等边形之每一边为▯，毎一边折半为勾，求得股一尺八寸，或以半径六寸三倍之得一尺八寸，为圜外切三等边形之中垂线。乃以每一边之二尺零七分八厘四豪六丝有余与中垂线一尺八寸相乘，得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余，折半得一尺八十七寸零六分一十四厘有余，即圜外切三等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊三等边形。试将丙丁边折半于己，自圜心庚作庚己半径线，则成丙巳庚三角形，其丙庚巳角为六十度，丙巳庚角为九十度，庚丙巳角为三十度。又自甲至己作甲己线，为圜内容六等边形之每一边，则又成甲己庚、甲己丙两三角形，其甲己庚三角形之甲己庚角为六十度，故甲己丙三角形之甲己丙角为三十度，而甲丙己角亦为三十度，则丙甲与甲己皆与半径等矣。故丙庚即全径为▯，庚己即半径为勾，求得丙己股，倍之得丙丁为圜外切三等边形之每一边也。又丙甲既与半径等，则丙乙中垂线为半径之三倍，用三角形求面积法算之，而得圜外切三等边形之面积也。又法，以全圜三百六十度，三分之，每分得一百二十度，折半得六十度。乃以半径十万为一率，六十度之正切一十七万三千二百零五为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率一尺零三分九厘二豪三丝。倍之，得二尺零七分八厘四豪六丝，为圜外切三等边形之毎一边也。既得三等边形之每一边，乃以半径三因之，与毎一边之数相乘，折半得一尺八十七寸零六分一十四厘，为圜外切三等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊三等边形，每一边之弧皆一百二十度。试将丙丁边折半于己，自圜心庚作庚己半径线，则甲己弧为六十度，丙己即六十度之正切，丙丁即六十度正切之倍。是故半径十万与六十度之正切之比，即如所设之半径六寸与丙己之半边之比。既得半边，倍之即全边也。又用求圜外各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜外切三等边形之每一边一七三二○五○八○为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率二尺零七分八厘四豪六丝，即圜外切三等边形之每一边也。又用求圜外各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜外切三等边形之面积一二九九○三八一○为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺八十七寸零六分一十四厘有余，即圜外切三等边形之面积也。

又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜外切三等边形之面积一六五三九八六六九为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺八十七寸零六分一十四厘有余，即圜外切三等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求外切四等边形之每一边及面积几何法因圜径一尺二寸，即外切四等边形之毎一边自乘得一尺四十四寸，即圜外切四等边形之面积，故他法皆不设，止存一题以备体焉。设如圜径一尺二寸，求外切五等边形之毎一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率，用连比例三率有首率求中率之法，求得中率三寸七分零八豪二丝有余，倍之得七寸四分一厘六豪四丝有余，为自圜心至外切五等边形各角之分角线。乃以分角线为▯圜之半径为股，求得勾四寸三分五厘九豪二丝四忽有余，倍之得八寸七分一厘八豪四丝八忽有余，为圜外切五等边形之每一边。爰以每一边之八寸七分一厘八豪四丝八忽有余与半径六寸相乘，得五十二寸三十一分零八厘有余，折半得二十六寸一十五分五十四厘有余，五因之得一尺三十寸七十七分七十二厘有余，即圜外切五等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚五等边形，以辛乙半径为首率【即理分中末线之全分】则自圜心至角之辛己分角线为倍中率【即倍理分中末线之大分】何以知之？试自丙角至戊己二角作丙戊、丙己两角相对斜线，成丙戊己三角形，复自戊角至庚角作戊庚两角相对斜线，截丙己斜线于壬，又成戊己壬三角形与丙戊己三角形为同式形【戊己壬三角形之戊角当巳庚边与戊巳边等，故戊己壬三角形之戊角与丙戊己三角形之丙角等，又同用一巳角，则其余一角亦必等，故为同式形】而丙戊为首率【即理分中末线之全分】戊己为中率【即理分中末线之大分】己壬为末率【即理分中末线之小分】丙壬亦与戊己等为中率。乃自壬至丙戊线作壬癸垂线，平分丙戊边于癸，遂成丙癸壬勾股形与辛乙己勾股形为同式形【辛乙己勾股形之辛角当乙己边为戊己边之半，故辛乙巳勾股之辛角与丙癸壬勾股之丙角等，癸角与乙角又同为直角，则其余一角亦必等，故为同式形】夫丙戊既为首率，丙壬既为中率，若以丙戊之半丙癸为首率，则丙壬之半丙子亦为中率，而丙壬即为倍中率。丙癸壬勾股形与辛乙巳勾股形既为同式形，则辛乙己勾股形之辛乙股与辛己▯之比，必同于丙癸壬勾股形之丙癸股与丙壬▯之比。是以辛乙半径为首率，则辛己分角线亦即为倍中率也。既得辛己分角线，乃以辛己分角线为▯，辛乙半径为股，求得乙己勾，倍之得戊己，即圜外切五等边形之毎一边也。

又自圜心至各角作分角线，即分五等边形为五三角形，其辛乙中垂线即圜之半径。故以所得圜外切五等边形之每一边与半径相乘，折半得辛戊巳一三角形之面积，五倍之而得圜外切五等边形之总面积也。又法，以全圜三百六十度，五分之，每分得七十二度，折半得三十六度。乃以半径十万为一率，三十六度之正切七万二千六百五十四为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率四寸三分五厘九豪二丝四忽，倍之得八寸七分一厘八豪四丝八忽，为圜外切五等边形之毎一边。既得五等边形之毎一边，乃以半径与毎一边之数相乘，折半五因之，得一尺三十寸七十七分七十二厘，为圜外切五等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊巳庚五等边形，每一边之弧皆七十二度。试将丙丁边折半于辛，自圜心壬作壬辛半径线，又作壬丙分角线割圜界于甲，则甲辛弧为三十六度，丙辛即三十六度之正切，丙丁即三十六度正切之倍。是故半径十万与三十六度之正切之比，即如所设之半径六寸与丙辛之半边之比，既得半边倍之，即全边也。又用求圜外各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜外切五等边形之每一边七二六五四二五二为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率八寸七分一厘八豪五丝一忽有余，即圜外切五等边形之每一边也。又用求圜外各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜外切五等边形之面积九○八一七八一六为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺三十寸七十七分七十六厘有余，即圜外切五等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜外切五等边形之面积一一五六三二八三四为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺三十寸七十七分七十六厘，即圜外切五等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求外切六等边形之每一边及面积几何？法以圜径一尺二寸折半得半径六寸，自乘得三十六寸，三归四因得四十八寸，开方得六寸九分二厘八豪二丝有余，即圜外切六等边形之毎一边。乃以毎一边之六寸九分二厘八豪二丝有余与半径六寸相乘，得四十一寸五十六分九十二厘有余，折半得二十寸七十八分四十六厘有余，六因之得一尺二十四寸七十分七十六厘有余，即圜外切六等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊巳庚辛六等边形，试自圜心至各角作分角线，即分六等边形为六三角形。其壬乙半径即每一三角形之中垂线，而中垂线自乘之方为每边自乘之方之四分之三，故以半径自乘，三归四因开方，即得圜外切六等边形之每一边也。

既得毎一边与半径相乘，折半得壬戊己一三角形之面积，六倍之而得圜外切六等边形之总面积也。又法，以全圜三百六十度，六分之，毎分得六十度，折半得三十度。乃以半径十万为一率，三十度之正切五万七千七百三十五为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率三寸四分六厘四豪一丝，倍之得六寸九分二厘八豪二丝，为圜外切六等边形之毎一边。既得六等边形之毎一边，乃以半径与毎一边之数相乘，折半六因之，得一尺二十四寸七十分七十六厘，为圜外切六等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛六等边形，毎一边之弧皆六十度。试将丙丁边折半于壬，自圜心癸作癸壬半径线，又作癸丙分角线，割圜界于子，则子壬弧为三十度，丙壬即三十度之正切，丙丁即三十度正切之倍。是故半径十万与三十度之正切之比，即如所设之半径六寸与丙壬之半边之比，既得半边倍之，即全边也。又用求圜外各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜外切六等边形之每一边五七七三五○二七为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率六寸九分二厘八豪二丝有余，即圜外切六等边形之毎一边也。又用求圜外各形之面积之定率比例，以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜外切六等边形之面积八六六○二五四○为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺二十四寸七十分七十六厘有余，即圜外切六等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜外切六等边形之面积一一○二六五七八一为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺二十四寸七十分七十六厘有余，即圜外切六等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求外切七等边形之每一边及面积几何？法以圜径一尺二寸求得内容七等边形之每一边为五寸二分零六豪六丝有余，又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸四分零五豪八丝一忽有余，乃以中垂线之数为一率，每一边之数为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余，为圜外切七等边形之每一边。爰以每一边之五寸七分七厘八豪八丝九忽有余与半径六寸相乘，得三十四寸六十七分三十三厘有余，折半得一十七寸三十三分六十六厘有余，七因之得一尺二十一寸三十五分六十二厘有余，即圜外切七等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛壬七等边形，先求得圜内容七等边形之毎一边为癸子，又求得圜心至每一边之中垂线为丑寅，以丑寅与癸子之比，即同于丑乙与巳庚之比，为相当比例四率也。

又自圜心至各角作分角线，即分七等边形为七三角形，其丑乙中垂线即圜之半径，故以所得圜外切七等边形之每一边与半径相乘，折半得丑己庚一三角形之面积，七倍之而得圜外切七等边形之总面积也。又法，以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余，折半得二十五度四十二分五十一秒有余，乃以半径十万为一率，二十五度四十二分五十一秒之正切四万八千一百五十七为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率二寸八分八厘九毫四丝二忽有余，倍之得五寸七分七厘八毫八丝四忽有余，为圜外切七等边形之每一边。既得七等边形之每一边，乃以半径与每一边之数相乘，折半七因之得一尺二十一寸三十五分五十六厘有余，为圜外切七等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛壬七等边形，每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余，试将丙丁边折半于癸，自圜心子作子癸半径线，又作子丙分角线，割圜界于甲，则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余，丙癸即二十五度四十二分五十一秒有余之正切，丙丁即二十五度四十二分五十一秒有余之正切之倍，是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正切之比，即如所设之半径六寸与丙癸之半边之比，既得半边，倍之即全边也。又用求圜外各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜外切七等边形之毎一边四八一五七四六二为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余，即圜外切七等边形之每一边也。又用求圜外各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜外切七等边形之面积八四二七五五五八为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余，即圜外切七等边形之面积也。又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜外切七等边形之面积一○七三○二九七四为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余，即圜外切七等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求外切八等边形之毎一边及

面积几何法以圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸，倍之得二尺八十八寸，开方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽有余，内减圜径一尺二寸，余四寸九分七厘零五丝六忽有余，即圜外切八等边形之毎一边。乃以每一边之四寸九分七厘零五丝六忽有余与半径六寸相乘，得二十九寸八十二分三十三厘有余，折半得一十四寸九十一分一十六厘有余，八因之得一尺一十九寸二十九分二十八厘有余，即圜外切八等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形。试依甲乙圜径度作子丑寅夘正方形，又作子寅对角斜线，于子寅对角斜线内减与甲乙圜径相等之辰己，余子辰巳寅两段，即与圜外切八等边形之丙丁一边相等也。何则，丙子丁勾股形，因子寅斜线平分为子辰丙、子辰丁两勾股形，与原形为同式形【子辰丙勾股形之辰角与丙子丁勾股形之子角同为直角，又同用一丙角，其余一角必等，故为同式形】丙子既与子丁等，子辰必与丙辰等，而为丙丁之一半，则子辰巳寅两段亦必与丙丁一边等。故以圜径自乘倍之开方而得对角斜线，于斜线内减圜径，即圜外切八等边形之毎一边也。又自圜心至各角作分角线，即分八等边形为八三角形，其午乙中垂线即圜之半径，故以所得圜外切八等边形之每一边与半径相乘，折半得午己庚一三角形之面积，八倍之而得圜外切八等边形之总面积也。又法，以全圜三百六十度八分之，每分得四十五度，折半得二十二度三十分。乃以半径十万为一率，二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率二寸四分八厘五豪二丝六忽，倍之得四寸九分七厘零五丝二忽，为圜外切八等边形之毎一边。既得八等边形之每一边，乃以半径与每一边之数相乘，折半八因之，得一尺一十九寸二十九分二十四厘有余，为圜外切八等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形，每一边之弧皆四十五度。试将丙丁边折半于子，自圜心五作丑子半径线，又作丑丙分角线割圜界于寅，则寅子弧为二十二度三十分，丙子即二十二度三十分之正切，丙丁即二十二度三十分之正切之倍。是故半径十万与二十二度三十分之正切之比，即如所设之半径六寸与丙子之半边之比，既得半边倍之，即全边也。又用求圜外各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜外切八等边形之毎一边四一四二一三五六为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率四寸九分七厘零五丝六忽有余，即圜外切八等边形之毎一边也。又用求圜外各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜外切八等边形之面积八二八四二七一二为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺一十九寸二十九分三十五厘有余，即圜外切八等边形之面积也。

又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜外切八等边形之面积一○五四七八六一七为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺一十九寸二十九分三十五厘有余，即圜外切八等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求外切九等边形之毎一边及面积几何？法以圜径一尺二寸求得内容九等边形之毎一边为四寸一分零四豪二丝二忽有余，又求得自圜心至毎一边之中垂线为五寸六分三厘八豪一丝五忽有余，乃以中垂线之数为一率，毎一边之数为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率四寸三分六厘七豪六丝二忽有余，为圜外切九等边形之毎一边。爰以毎一边之四寸三分六厘七豪六丝二忽有余与半径六寸相乘，得二十六寸二十分五十七厘有余，折半得一十三寸一十分二十八厘有余，九因之得一尺一十七寸九十二分五十七厘有余，即圜外切九等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等边形，先求得圜内容九等边形之每一边为丑寅，又求得圜心至每一边之中垂线为夘辰，以卯辰与丑寅之比，即同于卯乙与庚辛之比，为相当比例四率也。又自圜心至各角作分角线，即分九等边形为九三角形，其卯乙中垂线即圜之半径，故以所得圜外切九等边形之毎一边与半径相乘，折半得卯庚辛一三角形之面积，九倍之而得圜外切九等边形之总面积也。又法，以全圜三百六十度，九分之，毎分得四十度，折半得二十度。乃以半径十万为一率，二十度之正切三万六千三百九十七为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率二寸一分八厘三豪八丝二忽。倍之得四寸三分六厘七豪六丝四忽，为圜外切九等边形之每一边。既得九等边形之毎一边，乃以半径与毎一边之数相乘，折半九因之，得一尺一十七寸九十二分六十二厘有余，为圜外切九等边形之面积也。如图，甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等边形，每一边之弧皆四十度。试将丙丁边折半于丑，自圜心寅作寅丑半径线，又作寅丙分角线割圜界于甲，则甲丑弧为二十度。丙丑即二十度之正切，丙丁即二十度之正切之倍。是故半径十万与二十度之正切之比，即如所设之半径六寸与丙丑之半边之比。既得半边，倍之即全边也。又用求圜外各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜外切九等边形之每一边三六三九七○二四为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率四寸三分六厘七豪六丝四忽有余，即圜外切九等边形之每一边也。又用求圜外各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率，圜外切九等边形之面积八一八九三三○三为二率，今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率，求得四率一尺一十七寸九十二分六十三厘有余，即圜外切九等边形之面积也。

又用圜面积之定率比例，以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率，圜外切九等边形之面积一○四二六九七九一为二率，今所设之圜径一尺二寸，求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率，求得四率一尺一十七寸九十二分六十五厘有余，即圜外切九等边形之面积也。设如圜径一尺二寸，求外切十等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸求得内容十等边形之毎一边为三寸七分零八豪二丝有余，又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸七分零六豪三丝三忽有余，乃以中垂线之数为一率，每一边之数为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率三寸八分九厘九豪零三忽有余，为圜外切十等边形之毎一边。爰以毎一边之三寸八分九厘九豪零三忽有余与半径六寸相乘，得二十三寸三十九分四十一厘有余，折半得一十一寸六十九分七十厘有余，十因之得一尺一十六寸九十七分一十二厘有余，即圜外切十等边形之面积也。如图甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛壬癸子丑十等边形，先求得圜内容十等边形之毎一边为寅卯，又求得圜心至每一边之中垂线为辰巳，以辰巳与寅卯之比，即同于辰乙与庚辛之比，为相当比例四率也。又自圜心至各角作分角线，即分十等边形为十三角形，其辰乙中垂线即圜之半径，故以所得圜外切十等边形之每一边与半径相乘，折半得辰庚辛一三角形之面积，十倍之而得圜外切十等边形之总面积也。又法以全圜三百六十度，十分之每分得三十六度，折半得十八度，乃以半径十万为一率，十八度之正切三万二千四百九十二为二率，今所设之半径六寸为三率，求得四率一寸九分四厘九豪五丝二忽，倍之得三寸八分九厘九豪零四忽，为圜外切十等边形之每一边。既得十等边形之毎一边，乃以半径与毎一边之数相乘，折半，十因之得一尺一十六寸九十七分一十二厘，为圜外切十等边形之面积也。如图甲乙圜径一尺二寸，外切丙丁戊巳庚辛壬癸子丑十等边形，毎一边之弧皆三十六度，试将丙丁边折半于寅，自圜心卯作卯寅半径线，又作卯丙分角线割圜界于辰，则辰寅弧为十八度。丙寅即十八度之正切，丙丁即十八度之正切之倍。是故半径十万与十八度之正切之比，即如所设之半径六寸与丙寅之半边之比。既得半边，倍之即全边也。又用求圜外各形之一边之定率比例，以定率之圜径一○○○○○○○○为一率，圜外切十等边形之每一边三二四九一九七○为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率三寸八分九厘九豪零三忽有余，即圜外切十等边形之每一边也。乂用求圜外各形之面积之定率，比例以定率之圜径自乘之正方，面积一○○○○○○○○为一率，圜外切十等。

边形之面积，八一二二九九二四为二。率今所设之圜径一尺二寸，自乘得一。尺四十四寸为三率，求得四率一尺一。十六寸九十七分一十厘有余，即圜外。

切十等边形之面积也又用圜面积之定率比例，以定率之圜。面积一○○○○○○○○为一率圜。外切十等边形之面积，一○三四二五。一五二，为二率。今所设之圜，径一尺二。寸求得圜面积一尺一十三寸零九分。七十三厘有余，为三率，求得四率一尺。一十六寸九十七分一十厘有余，即圜。

外切十等边形之面积也御制数理精蕴下编卷二十一<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书