九章録要卷三

九章録要卷三

松江屠文漪撰方田法古九章一曰方田，以御田畴界域。今其书不▯，特据所见近世之书，芟其繁谬，补其缺遗，以意隶之云尔。方田长方田求积步。方田，谓正方四面等者，法以方自乗得积；长方，谓两长两广各等者，法以长乗广。方长带偏斜求积，似方与长方而稍偏斜者，长不等则并两长，半之；广不等则并两广，半之；然后以长乗广。如偏斜甚者，须裁令方正，分别算之，勿用此法。又有方长田，一边斜者，假如东长四十步，西长四十一步，南广三十步，北广三十九步，于法应得积一千三百九十七步四分步之一也。然此乃谓四面俱偏斜者耳，若止是西边一面偏斜，则从北广东头向西量之，尽三十步止，即向南直量之，其长亦当四十步，是田之大体本系长方，独北广西头盈九步，句九，股四十，则▯四十一，以斜▯为西长，并东长而半之，岂不谬乎？法当并两广半之，以长四十步乗之，得积一千三百八十步，斯不误矣。三广求积，三广谓中及两边广各不等者，法倍中广，并入边两广，以四除之，以中长乗之，其中长亦须于两三处量之，如有不等者，并而分之以为之长【并三则三分，四则四分】边长似斜▯之处，勿量也。按田形不可穷尽，善算者以意推之，法无预设，或赘为四广、五广之法，固已迂矣。且其法云四广并而四除之，五广并而五除之，尤甚谬误。四广须倍其中之两广，并边两广，以六除之；五广须倍其中之三广，并边两广，以八除之，乃合。又按广形亦有须辨者，如三广而中广近一边不居正中者是也，即须分别算之。句股求积法以句乗股，半之，或以半句乗股，或以半股乗句。按句股须量其▯，以互求法推之，与法合者是也。若▯太长或太短，即以三角算，三角法兼可施之勾股，勾股法不可施之三角。三角求积法以一面之长乗中广半之。假如三面长等者，是真三角也。率长七而中广六，不待量也。不然则量中广处须令如两句股乃合【三角率长七中广六则中广微强然所较甚微即依率算之可也】四角斜方求积，法以中长乗中广半之。假如中广两角未必相对，则中广直径不能与中长如十字矣。但各自量之，令如四句股者，仍并两句为一中广，以乗中长，如上法。以上诸形皆属方之类，故长广必直。即遇斜▯，其▯亦直。如有一处弯曲，若弧与睂之状者，别从圆之类求之，乃无失也。员田求积，法以周自乗，以十二除之；或以径自乗，复以三乗之，以四除之；或以周乗径，或以半周乗半径，以四除之。按：员物率周三而径一，然田员岂能中规？其小偏者，不妨以规员之法施之，但将周径并量，参互折中，亦可无误。若偏甚，则勿以员论也【员率周三径一则周微强，然所较甚微，亦依率算之】环田求积，环田谓于员内减员者，法并内外周，半之以径乗之，半环仿此【其径勿据一处，虑广狭不等】弧矢求积弧矢谓员田之半，若张弓者，法并▯长矢径，半之以矢径乗之，不及员之半者，法亦如之，过半者勿得用也。凡矢径半▯，是员之半，矢长则过，矢短则不及【不及员之半者，如纵破长员之半，若从而益之，有可以成员之理者也；过员之半者，如横截长员之半，无可以成员之理者也。弧矢之法，详见少广章，本与员法相防合，故惟有可员之理者，乃得用之】枣核长员求积，枣核谓两头尖，中广处员者，长员谓两头亦员者，法半中广并入中长，以半广乗之。按二者虽不全员，然是两弧合并，故其法即弧矢法而倍之也。此法亦可施之员田，但员法不可施之于此耳【旧法枣核乃四角斜方，右一条新增】横截长员求积，形似弧矢，而矢径半▯有余者，固不可用弧矢法，而可以弧矢法变通求之。葢横截长员之半，与纵破长员之半，其积正等。此之矢径，乃彼之半▯；此之▯长，乃彼之二矢也。法：四除▯，并入矢径，以半▯乗之【右一条新增】蛾睂、牛角求积。蛾睂谓两边之长相随而弯者，牛角则横截蛾睂之半也。睂有中广，无横广；角有一头横广，无中广。其实同耳。法并两长，半之以半广乗之。但牛角横广一头，须畧似方形。若太偏斜，则横广未足为准，恐据以下算，必浮于实积。此又不可不知。以上诸形，皆属员之类。若应员处乃直者，别从方之类求之。亩步互求，二百四十乗亩，得步二百四十，除步得亩。

九章録要卷三

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