御制数理精蕴下编卷三十三

御制数理精蕴下编卷三十三

末部三借根方比例【带纵平方，带纵立方，三乘方，四乘方，五乘方附】

带纵平方借根方比例开带纵平方，其以长方之积用长阔之较或和而求长阔之数，皆与常法同，但不立和纵较纵之名，惟有多根少根之号，而毎根之数或爲长方之阔，或爲长方之长，错综其名有十二种，推究其实，总不出和较之两端。如云一平方多防根与几真数等，或几根多一平方与几真数等，或一平方与几真数少几根等，或几根与几真数少一平方等，此四者根皆较纵，而其毎根之数皆长方之阔也。如云一平方少几根与几真数等，或一平方少几眞数与几根等，或一平方与几真数多几根等，或一平方与几根多几眞数等，此四者根亦皆较纵，而其每根之数则皆长方之长也。如云一平方多几真数与几根等，或几眞数多一平方与几根等，或几真数与几根少一平方等，或一平方与几根少几眞数等，此四者根皆和纵，而其毎根之数或爲长方之长，或爲长方之阔也。要之，所谓一平方者，即一正方，而多几根少几根，即变正方而爲长方，其眞数比平方多根者，其毎根爲阔，眞数比平方少根者，其每根爲长，二者皆较纵，惟眞数比根少平方者，则爲和纵也。至于开之之法，皆以眞数爲长方积，以根数爲纵【即以根数作眞数用，如三根即作三眞数，五根即作五真数之类，解见设如】依面部带纵平方法开之，有较纵者先求和，有和纵者先求较，其根爲长方之阔者，以和较相减，折半而得每根之数【用半和半较立法者，则相减即得根数，不用折半】其根爲长方之长者，以和较相加，折半而得每根之数也【用半和半较立法者，则相加即得根数，不用折半】俱详设如。设如有一平方多二根与二十四尺相等，问每一根之数几何？法以二十四尺爲长方积，二根爲纵多二尺，用带纵较数开平方法算之。将积数四因，加纵多自乘之数，得一百尺，开平方得十尺爲和，减较二尺，余八尺，折半得四尺爲一根之数，即长方之阔。加较二尺，得六尺，即长方之长也。如图，甲乙丙丁长方形，共积二十四尺，甲乙四尺爲一根，爲阔，甲丁六尺爲长，戊丁二尺爲纵多。甲乙己戊爲一平方，戊己丙丁爲二根。是甲乙丙丁二十四尺内，有甲乙己戊之一平方，又有戊己丙丁之二根，故云一平方多二根与二十四尺相等也。若以积计之，则积之多于平方者爲戊己丙丁之二根；若以边计之，则长多于阔者爲戊丁之二尺，故以二根即作二尺爲纵多也。此法错综其名，则爲四种：一平方多二根与二十四尺相等，一也；如二根多一平方，亦必与二十四尺相等，又一也。若于一平方多二根与二十四尺各减去二根，则爲一平方与二十四尺少二根相等，此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根，余甲乙己戊一平方，故爲一平方与二十四尺少二根相等也】又如一平方多二根与二十四尺各减去一平方，则爲二根与二十四尺少一平方相等，此又其一也【甲乙丙丁二十四尺内减去甲乙己戊一平方，余戊己丙丁二根，故爲二根与二十四尺少一平方相等也】此四者名虽不同，合而观之，总爲眞数比一正方多根数，故知其爲较纵，而每根之数爲阔也。

设如有一平方少四根与四十五尺相等，问每一根之数几何？法以四十五尺爲长方积，四根爲纵，多四尺，用带纵较数开平方法算之。将积数四因，加纵多自乘之数，得一百九十六尺，开平方得十四尺爲和，加较四尺得十八尺，折半得九尺爲一根之数，即长方之长。减较四尺得五尺，即长方之阔也。如图，甲乙丙丁长方形，共积四十五尺，甲乙九尺爲一根爲长，甲丁五尺爲阔。甲戊与甲乙等，丁戊四尺爲纵。甲乙己戊爲一平方，丁丙己戊爲四根。于甲乙己戊平方内减去丁丙己戊之四根，则余甲乙丙丁四十五尺，故云一平方少四根与四十五尺相等也。若以积计之，则积之少于平方者爲丁丙己戊之四根；若以边计之，则阔少于长者爲丁戊之四尺，故以四根作四尺爲纵多也。此法错综其名，亦爲四种：一平方少四根与四十五尺相等，一也；如一平方少四十五尺，亦必与四根相等，又一也；若于一平方少四根与四十五尺各加四根，则爲一平方与四十五尺多四根相等，此又其一也【甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成甲乙己戊一平方，故爲一平方与四十五尺多四根相等也】如一平方亦必与四根多四十五尺相等，此又其一也。此四者名虽不同，合而观之，总爲真数比一正方少根数，故知其爲较纵，而其每根之数爲长也。设如有一平方多三十六尺与十三根相等，问每一根之数几何？法以三十六尺爲长方积，十三根爲和，十三尺，用带纵和数开平方法算之。将积数四因与和自乘数相减，余二十五尺，开平方得五尺爲较，与和十三尺相减，余八尺，折半得四尺爲一根之数，即长方之阔。加较五尺得九尺，即长方之长也。如图，甲乙丙丁长方形共积三十六尺，甲乙四尺爲一根爲阔，甲丁九尺爲长，甲戊十三尺爲和。甲乙己戊爲十三根，丁丙己戊爲一平方。是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺，又有丁丙己戊一平方，故云一平方多三十六尺与十三根相等也。若以积计之，则积三十六尺与一平方相加，共得甲乙己戊之十三根。若以边计之，则长九尺与阔四尺相加得甲戊之十三尺，故将十三根作十三尺爲和也。此法错综其名，亦爲四种：一平方多三十六尺与十三根相等，一也；如三十六尺多一平方，亦必与十三根相等，又一也；若于一平方多三十六尺与十三根各减去三十六尺，则爲一平方与十三根少三十六尺相等，此又其一也【甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁三十六尺，余丁丙己戊一平方，故云一平方与十三根少三十六尺相等也】又如一平方多三十六尺与十三根各减去一平方，则爲三十六尺与十三根少一平方相等，此又其一也【甲乙己戊十三根内减去丁丙己戊一平方，余甲乙丙丁三十六尺，故爲三十六尺与十三根少一平方相等也】此四者名虽不同，合而观之，总爲眞数比根数少一正方，故知其爲和，而其毎根之数爲阔也。

设如有一平方多三十二尺与十二根相等，问每一根之数几何？法以三十二尺爲长方积，十二根爲和，十二尺。用带纵和数开平方法算之。将积数四因与和自乘数相减，余十六尺。开平方得四尺爲较。加和十二尺得十六尺，折半得八尺爲一根之数。即长方之长，减较四尺，余四尺即长方之阔也。如图甲乙丙丁长方形，共积三十二尺。甲乙八尺爲一根爲长，甲丁四尺爲阔。甲戊十二尺爲和，甲乙己戊爲十二根，丁丙己戊爲一平方。是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺，又有丁丙己戊一平方，故云一平方多三十二尺与十二根相等也。若以积计之，则积三十二尺与一平方相加，共得甲乙己戊十二根。若以边计之，则长八尺与阔四尺相加得甲戊之十二尺。故以十二根作十二尺爲和也。此法亦眞数比根数少一正方，故知其爲和，而其每根之数爲长也。

带纵立方【三乘方，四乘方，五乘方附】借根方比例开带纵立方与常法不同。常法先知各边之和或较，既开得一边之数，以和较加减之，即得各边之数。此法止有根方多少之号，而无和纵较纵之名，惟求每根之数，而不问余边。其立法之本意，葢欲借根方以求他数，既得一根之数，则所求之数已得，而方之形体有所不计。且其与根方相等之积数，或爲长方体扁方体形，或非长方体扁方体形【或于长方扁方之内少几数，或于长方扁方之外多几数，则不能成长方扁方体形也】皆不可知，故不可以带纵之常法求也【其积数或原爲几根几方之总数，而非一长方或一扁方之全数，则止可以逐方逐根计之。若作一长方或一扁方算，则其各边必有奇零不尽，而转与所设之根数不合矣】今类其法，分爲九种：如一立方多几根与几真数等，一也；一立方少几根与几眞数等，二也；一立方多几平方与几真数等，三也；一立方少几平方与几眞数等，四也；一立方多几平方多几根与几眞数等，五也；一立方少几平方少几根与几真数等，六也；一立方多几平方少几根与几眞数等，七也；一立方少几平方多几根与几真数等，八也；又几平方少一立方与几眞数等，九也。其开之之法，除第九种外，余俱依立方法定。初商，复视所带根方爲多号者，其商数须取略小于应得之数；所带根方数爲少号者，其商数须取略大于应得之数。俱以初商数自乘再乘爲立方积，以初商自乘数与几平方相乘爲所带平方之共积，以初商数与几根相乘爲所带根数之共积。多号者与立方积相加，少号者与立方积相减，然后与原积相减，不尽者爲次商积。次商之法，以初商自乘数三因之爲立方廉，以初商数倍之与几平方相乘爲所带平方之共廉。多号者与立方廉相加，少号者与立方廉相减，又加减所带之根数【多根者加，少根者减】爲次商廉法。以廉法除次商积，得次商，即合初商自乘再乘爲立方积，仍如所带几根几平方加减之，而后减原积，并与初商同。至于第九种之法，则将立方与真数俱用平方数除之，得一平方少几分立方之一，与几眞数等，依平方法定初商。其商数须取略大于应得之数，乃以初商数自乘爲平方积，又以初商数再乘爲立方积，以平方数除之，得数爲少几分立方之一，以减平方积，而后与原积相减，不尽者爲次商积。次商之法，以初商数倍之爲平方廉，又以初商自乘数三因之爲立方廉，以平方数除之，得数以减平方廉，余爲次商廉法。以廉法除次商积，得次商，其减积之法与初商同。以上九种如法开之，即得每根之数。也要之，所谓一立方者，即一正方体，而多平方多根，少平方少根，即变正方体而爲长方体、扁方体，或爲磬折长方体、扁方体，其积数中有立方则用再乘，有平方则用自乘，有根则用商数，多则相加，少则相减。

九种之中无异术也。即推之多乘方，莫不皆然，总以其累乘之数爲主，而以所带根方之积数加减之，与立方无二理也。爰将立方九种之法各设一例，以明其理，而三乘、四乘、五乘之法，亦各设二例，以附其后焉。设如有一立方多八根与一千八百二十四尺相等，问毎一根之数几何？法列原积一千八百二十四尺。按立方法作记于四尺上。定单位一千尺上定十位。其一千尺爲初商积，与十尺自乘再乘之数相合，即定初商爲十尺，书于原积一千尺之上。而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积，又以初商十尺八因之，得八十尺爲多八根之共积，与一立方积相加，得一千零八十尺，书于原积之下，相减余七百四十四尺爲次商积。而以初商之十尺自乘之一百尺三因之，得三百尺爲一立方廉，加根数八，共三百零八尺爲次商廉法，以除次商积，足二倍，即定次商爲二尺，书于原积四尺之上。合初商共一十二尺，自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积，又以十二尺八因之，得九十六尺爲八根之共积，与立方积相加，共得一千八百二十四尺，书于原积之下，相减恰尽。是开得一十二尺爲每一根之数也。此法以积计之爲一正方体及八根之共数，以边计之则所得毎根之数即正方体之毎一边，因正方体之外多八根，故成一磬折体，而非正方体，亦非长方体也。设如有一立方少九根与一千六百二十尺相等，问毎一根之数几何？法列原积一千六百二十尺。按立方法作记于空尺上。定单位一千尺上定十位。其一千尺爲初商积，与十尺自乘再乘之数相合，即定初商爲十尺，书于原积一千尺之上。而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积。又以初商十尺九因之，得九十尺爲少九根之共积，与立方积相减，余九百一十尺，书于原积之下。相减余七百一十尺爲次商积。而以初商之十尺自乘之一百尺三因之，得三百尺爲一立方廉。内减去根数九，余二百九十一尺爲次商廉法，以除次商积，足二倍，即定次商爲二尺，书于原积空尺之上。合初商共十二尺，自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积。又以十二尺九因之，得一百零八尺爲少九根之共积，与立方积相减，余一千六百二十尺，书于原积之下。相减恰尽，是开得一十二尺爲毎一根之数也。此法以积计之爲一正方体少九根之数，以边计之则所得每根之数即正方体之每一边。因正方体内少九根之数，故成磬折体，而非正方体，亦非扁方体也。设如有一立方多四平方与二千三百零四尺相等，问每一根之数几何？法列原积二千三百零四尺。按立方法作记于四尺上，定单位二千尺上定十位。其二千尺爲初商积，与十尺自乘再乘之数相准，即定初商爲十尺，书于原积二千尺之上。

而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积，又以初商十尺自乘之一百尺四因之，得四百尺爲多四平方之共积，与立方积相加得一千四百尺，书于原积之下，相减余九百零四尺爲次商积。而以初商之十尺自乘三因之，得三百尺爲一立方廉，又以初商之十尺倍之得二十尺，四因之得八十尺爲四平方廉，与一立方廉相加得三百八十尺爲次商廉法，以除次商积，足二倍，即定次商爲二尺，书于原积四尺之上。合初商共十二尺，自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方积，又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之，得五百七十六尺爲多四平方之共积，与立方积相加共得二千三百零四尺，书于原积之下，相减恰尽。是开得一十二尺爲每一根之数也。此法以积计之爲一正方体及四平方之共数，以边计之则所得每根之数即正方体之每一边，亦即平方之每一边。因正方体之外多四平方，故成长方体而非正方体也。设如有一立方少八平方与七千九百三十五尺相等，问每一根之数几何？法列原积七千九百三十五尺。按立方法作记于五尺上，定单位七千尺，上定十位。其七千尺爲初商积，与十尺自乘再乘之数相凖，应商十尺，而所带平方爲少号，故取略大之数爲二十尺，书于原积七千尺之上。而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积，又以初商二十尺自乘之四百尺八因之，得三千二百尺爲少八平方之共积，与立方积相减，余四千八百尺，书于原积之下，相减余三千一百三十五尺爲次商积。而以初商之二十尺自乘三因之，得一千二百尺爲一立方廉，又以初商之二十尺倍之得四十尺，八因之得三百二十尺爲八平方廉，与一立方廉相减，余八百八十尺爲次商廉法，以除次商积，足三倍，即定次商爲三尺，书于原积五尺之上。合初商共二十三尺，自乘再乘得一万二千一百六十七尺爲一立方积，又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之，得四千二百三十二尺爲少八平方之共积，与一立方积相减，余七千九百三十五尺，书于原积之下，相减恰尽。是开得二十三尺爲每一根之数也。此法以积计之爲一正方体少八平方之数，以边计之，则所得每根之数即正方体之每一边，亦即平方之每一边。因正方体之内少八平方，故成扁方体而非正方体也。设如有一立方多十三平方多三十根与二万七千一百四十四尺相等，问毎一根之数几何？法列原积二万七千一百四十四尺。按立方法作记于四尺上，定单位七千尺上，定十位。其二万七千尺爲初商积，与三十自乘再乘之数相合，应商三十尺。而所带平方与根皆爲多号，故取略小之数爲二十尺，书于原积七千尺之上。而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积，又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之，得五千二百尺爲多十三平方之共积。

又以初商之二十尺三十乘之，得六百尺爲多三十根之共积。三积【立方、平方与根之三数】相加得一万三千八百尺，书于原积之下，相减余一万三千三百四十四尺爲次商积。而以初商之二十尺自乘三因之，得一千二百尺爲一立方廉。又以初商之二十尺倍之得四十尺，以十三乘之得五百二十尺爲十三平方廉，与立方廉相加得一千七百二十尺。又加根数三十，共一千七百五十尺爲次商廉法，以除次商积，足七倍，因取略小之数爲六尺，书于原积四尺之上。合初商共二十六尺，自乘再乘得一万七千五百七十六尺爲一立方积。又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之，得八千七百八十八尺爲多十三平方之共积。又以二十六尺三十乘之，得七百八十尺爲多三十根之共积。三积相加共二万七千一百四十四尺，书于原积之下，相减恰尽。是开得二十六尺爲毎一根之数也。此法以积计之爲一正方体及十三平方与三十根之共数，以边计之则所得每根之数即正方体之每一边，亦即平方之每一边。因正方体之外多十三平方又多三十根，恰成长方体而非正方体，亦非磬折体也【将所多之十三平方内十平方附于正方体之一面，又以三平方加于正方体之又一面，即成磬折体而缺三十根之数。如以三十根补其缺，即成长方体，其寛即一根爲二十六尺，其长即一根多十尺，爲三十六尺，其高即一根多三尺，爲二十九尺也。此因所多之平方及根数适足长方体形，故爲长方体。若平方与根数不能补足者，仍爲磬折体也】设如有一立方少七平方少八根与七千零八十四尺相等，问每一根之数几何？法列原积七千零八十四尺，按立方法作记于四尺上，定单位七千尺，上定十位。其七千尺爲初商积，与十尺自乘再乘之数相凖，而所带平方与根皆爲少号，故取略大之数爲二十尺，书于原积七千尺之上。而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积，又以初商二十尺自乘之四百尺，七因之得二千八百尺，爲少七平方之共积。又以初商之二十尺，八因之得一百六十尺，爲少八根之共积。与少七平方共积相加得二千九百六十尺，以减立方积，余五千零四十尺，书于原积之下，相减余二千零四十四尺，爲次商积。而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺，爲一立方廉。又以初商之二十尺倍之得四十尺，七因之得二百八十尺，爲七平方廉，与立方廉相减余九百二十尺，又减去根数八，余九百一十二尺，爲次商廉法，以除次商积，足二倍，即定次商爲二尺，书于原积四尺之上。合初商共二十二尺，自乘再乘得一万零六百四十八尺，爲一立方积。又以二十二尺自乘之四百八十四尺，七因之得三千三百八十八尺，爲少七平方之共积。

又以二十二尺八因之得一百七十六尺，爲少八根之共积。与少七平方共积相加得三千五百六十四尺，以减立方积，余七千零八十四尺，书于原积之下，相减恰尽。是开得二十二尺，爲每一根之数也。此法以积计之，爲一正方体少七平方又少八根之数，以边计之，则所得每根之数即正方体之毎一边，亦即平方之每一边。因正方体之内少七平方又少八根，故成磬折体而非正方体也。设如有一立方多一平方少二十根与三万三千一百五十二尺相等，问每一根之数几何？法列原积三万三千一百五十二尺。按立方法作记于二尺上。定单位三千尺上定十位。其三万三千尺爲初商积，与三十自乘再乘之数相准，即定初商爲三十尺，书于原积三千尺之上。而以初商三十尺自乘再乘之二万七千尺爲一立方积，又以初商三十尺自乘之九百尺爲多一平方积，又以初商之三十尺二十乘之得六百尺爲少二十根之共积。于立方积内加多一平方积得二万七千九百尺，又减去少二十根之共积，余二万七千三百尺，书于原积之下相减，余五千八百五十二尺爲次商积。而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺爲一立方廉，又以初商之三十尺倍之得六十尺爲一平方廉，与立方廉相加得二千七百六十尺，又减去根数二十余二千七百四十尺爲次商廉法，以除次商积，足二倍，即定次商爲二尺，书于原积二尺之上。合初商共三十二尺自乘再乘得三万二千七百六十八尺爲一立方积，又以三十二尺自乘之一千零二十四尺爲多一平方积，又以三十二尺二十乘之得六百四十尺爲少二十根之共积。于一立方积内加多一平方积得三万三千七百九十二尺，又减去少二十根之共积得三万三千一百五十二尺，书于原积之下相减恰尽。是开得三十二尺爲每一根之数也。此法以积计之爲一正方体多一平方复少二十根之数，以边计之则所得每根之数即正方体之每一边，亦即平方之每一边。因正方体之外多一平方又少二十根，故成磬折体而非正方体也。设如有一立方少三平方多二根与一万二千一百四十四尺相等，问每一根之数几何？法列原积一万二千一百四十四尺。按立方法作记于四尺上。定单位二千尺上。定十位。其一万二千尺爲初商积。与二十自乘再乘之数相凖。即定初商爲二十尺。书于原积二千尺之上。而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积。又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺爲少三平方之共积。又以初商之二十尺二因之得四十尺爲多二根之共积。于立方积内减去少三平方之共积。余六千八百尺。又加入多二根之共积。得六千八百四十尺。书于原积之下。相减余五千三百零四尺爲次商积。

而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉。又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺爲三平方廉。与立方廉相减余一千零八十尺。又加入根数二得一千零八十二尺爲次商廉法。以除次商积足四倍。即定次商爲四尺。书于原积四尺之上。合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积。又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺爲少三平方之共积。又以二十四尺二因之得四十八尺爲多二根之共积。于立方积内减去三平方之共积。余一万二千零九十六尺。又加入多二根之共积。得一万二千一百四十四尺。书于原积之下。相减恰尽。是开得二十四尺爲毎一根之数也。此法以积计之爲一正方体少三平方复多二根之数。以边计之则所得每根之数即正方体之每一边。亦即平方之每一边。因正方体之内少三平方又多二根。故成磬折体而非正方体也。设如，有四十平方少一立方，与五千六百二十五尺相等，问每一根之数几何？法以四十平方少一立方与五千六百二十五尺俱以四十除之，得一平方少四十分立方之一与一百四十尺六十二寸五十分相等。乃列一百四十尺六十二寸五十分爲归除所得之积，按平方法作记于空尺上，定单位一百尺上定十位。其一百尺爲初商积，与十尺自乘之数相合，即定初商爲十尺，书于所得积一百尺之上。而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积，再乘得一千尺爲一立方积，以四十除之得二十五尺爲少四十分立方之一之积，与一平方积相减，余七十五尺，书于所得积之下。相减余六十五尺六十二寸五十分爲次商积，而以初商之一十尺倍之得二十尺爲一平方廉，又以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉，以四十除之得七尺五寸爲四十分立方之一之廉，与平方廉相减余十二尺五寸爲次商廉法以除次商积，足五倍，即定次商爲五尺，书于所得积空尺之上。合初商共十五尺自乘得二百二十五尺爲一平方积，再乘得三千三百七十五尺爲一立方积，以四十除之得八十四尺三十七寸五十分爲四十分立方之一之积，与一平方积相减余一百四十尺六十二寸五十分，书于所得积之下。相减恰尽，乃以一平方积与四十相乘得九千尺爲四十平方积，内减去一立方积余五千六百二十五尺，与原积相合，是开得一十五尺爲每一根之数也。此法以积计之爲四十平方少一正方体之数，以边计之则所得每根之数即平方之每一边，亦即正方体之每一边。因四十平方内少十五平方之一正方体【每边爲十五尺，故十五平方爲一正方体也】余二十五平方爲长方体【其寛即一根爲十五尺，其高亦十五尺，其长爲二十五尺也】而非正方体也。

设如，有五百平方少一立方，与二十七万四千一百七十六尺相等，问每一根之数几何？法以五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺俱以五百除之，得一平方少五百分立方之一与五百四十八尺三十五寸二十分相等。乃列五百四十八尺三十五寸二十分爲归除所得之积。按平方法作记于八尺上，定单位五百尺上定十位。其五百尺爲初商积，与二十自乘之数相准，即定初商爲二十尺，书于所得积五百尺之上。而以初商二十尺自乘之四百尺爲一平方积，再乘得八千尺爲一立方积，以五百除之，得十六尺爲少五百分立方之一之积，与平方积相减，余三百八十四尺，书于所得积之下。相减余一百六十四尺三十五寸二十分爲次商积，而以初商之二十尺倍之得四十尺爲一平方廉，又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉，以五百除之，得二尺四寸爲五百分立方之一之廉，与平方廉相减，得三十七尺六寸爲次商廉法以除次商积，足四倍，即定次商爲四尺，书于所得积八尺之上。合初商共二十四尺，自乘得五百七十六尺爲一平方积，再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积，以五百除之，得二十七尺六十四寸八十分爲少五百分立方之一之积，与平方积相减，余五百四十八尺三十五寸二十分，书于所得积之下。相减恰尽。乃以一平方积与五百相乘，得二十八万八千尺爲五百平方积，内减去一立方积，余二十七万四千一百七十六尺，与原积相合，是开得二十四尺爲每一根之数也。此法以积计之爲五百平方少一正方体，以边计之则所得每根之数即平方之每一边，亦即正方体之每一边。因五百平方内少二十四平方之一正方体【每边爲二十四尺，故二十四平方即一正方体也】余四百七十六平方爲长方体【其寛即一根爲二十四尺，其高亦爲二十四尺，其长爲四百七十六尺也】而非正方体也设如有一三乘方多二平方与二万一千零二十四尺相等，问每一根之数几何？法列原积二万一千零二十四尺，按三乘方法作记于四尺上，定单位二万尺，上定十位。其二万尺爲初商积，与十尺乘三次之数相准，即定初商爲十尺，书于原积二万尺之上，而以初商十尺乘三次之一万尺爲一三乘方积，又以初商十尺自乘之一百尺，二因之得二百尺爲多二平方之共积，与三乘方积相加得一万零二百尺，书于原积之下，相减余一万零八百二十四尺爲次商积。而以初商之十尺再乘四因之得四千尺爲三乘方廉，又以初商之十尺倍之得二十尺，二因之得四十尺爲多二平方之廉，与三乘方廉相加得四千零四十尺爲次商廉法，以除次商积，足二倍，即定次商爲二尺，书于原积四尺之上。

合初商共十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积，又以十二尺自乘之一百四十四尺，二因之得二百八十八尺爲多二平方之共积，与三乘方积相加得二万一千零二十四尺，书于原积之下，相减恰尽。是开得一十二尺爲每一根之数也。又法用带纵平方及平方两次开之。将原积二万一千零二十四尺爲长方积，以多二平方作二尺爲纵，多折半得一尺爲半较，自乘仍得一尺，与积相加得二万一千零二十五尺，开平方得一百四十五尺爲半和，内减半较一尺【凡多平方者即减半较，如少平方者则加半较】余一百四十四尺爲正方积，复开平方得十二尺，即每一根之数也。葢三乘方多平方与方根自乘爲阔，加多平方数爲长，所作之长方积等，故用带纵较数开平方法开之，得数复开平方，即得每一根之数也。设如有一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺相等，问每一根之数几何？法以一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺俱以一千除之，得一平方少一千分三乘方之一与一百二十三尺二十六寸四十分相等。乃列一百二十三尺二十六寸四十分爲归除所得之积。按平方法作记于三尺上，定单位一百尺上定十位。其一百尺爲初商积，与十尺自乘之数相合，即定初商爲十尺，书于所得积一百尺之上。而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方积，又以初商之十尺乘三次得一万尺爲一三乘方积，以一千除之得一十尺爲千分三乘方之一之积，与一平方积相减，余九十尺，书于所得积之下。相减余三十三尺二十六寸四十分爲次商积，而以初商之十尺倍之得二十尺爲一平方廉，又以初商之十尺自乘再乘四因之得四千尺爲一三乘方廉，以一千除之得四尺爲千分三乘方之一之廉，与平方廉相减，余一十六尺爲次商廉法以除次商积，足二倍，即定次商爲二尺，书于所得积三尺之上。合初商共十二尺，自乘得一百四十四尺爲一平方积，又以十二尺乘三次得二万零七百三十六尺爲一三乘方积，以一千除之得二十尺零七十三寸六十分，与一平方积相减，余一百二十三尺二十六寸四十分，书于所得积之下。相减恰尽。乃以一平方积与一千相乘得一十四万四千尺爲一千平方积，内减去一三乘方积，余一十二万三千二百六十四尺，与原积相合，是开得一十二尺爲每一根之数也。又法用带纵平方及平方两次开之。将原积一十二万三千二百六十四尺爲长方积，以一千平方作一千尺爲和，折半得五百尺爲半和，自乘得二十五万尺，与积相减，余十二万六千七百三十六尺，开平方得三百五十六尺爲半较，与半和相减，余一百四十四尺爲正方积，复开平方得一十二尺，即每一根之数也。

葢平方少三乘方与方根自乘爲阔，与平方数相减爲长，所作之长方积等，故用带纵和数开平方法开之，得数复开平方，即得每一根之数也。设如有一四乘方多二立方与七百九十九万零二百七十二尺相等，问每一根之数几何？法列原积七百九十九万零二百七十二尺，按四乘方法作记于二尺上，定单位九十万尺，上定十位。其七百九十万尺爲初商积，与二十乘四次之数相准，即定初商爲二十尺，书于原积九十万尺之上。而以初商二十尺乘四次之三百二十万尺爲一四乘方积，又以初商二十尺自乘再乘之八千尺，二因之得一万六千尺，爲多二立方之共积，与四乘方积相加得三百二十一万六千尺，书于原积之下，相减余四百七十七万四千二百七十二尺，爲次商积。而以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺，爲一四乘方廉。又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺，又二因之得二千四百尺，爲多二立方之廉，与四乘方廉相加得八十万零二千四百尺，爲次商廉法，以除次商积，足五倍，因取略小之数爲四尺，书于原积二尺之上。合初商共二十四尺，乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺，爲一四乘方积。又以二十四尺自乘再乘之一万三千八百二十四尺，二因之得二万七千六百四十八尺，爲多二立方之共积，与四乘方积相加得七百九十九万零二百七十二尺，书于原积之下，相减恰尽。是开得二十四尺爲每一根之数也。葢四乘方多立方之数不与平方立方之数相合，故不能以平方立方之法开也。设如，有二千立方少一四乘方，与一千九百六十八万五千三百七十六尺相等，问每一根之数几何？法以二千立方少一四乘方，与一千九百六十八万五千三百七十六尺，俱以二千除之，得一立方少二千分四乘方之一，与九千八百四十二尺六百八十八寸相等。乃列九千八百四十二尺六百八十八寸爲归除所得之积，按立方法作记于二尺上，定单位九千尺上定十位。其九千尺爲初商积，与二十自乘再乘之数相准，即定初商爲二十尺，书于所得积九千尺之上。而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方积，又以初商之二十尺乘四次得三百二十万尺爲一四乘方积，以二千除之得一千六百尺爲二千分四乘方之一之积，与一立方积相减，余六千四百尺，书于所得积之下。相减余三千四百四十二尺六百八十八寸爲次商积，而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉，又以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺爲一四乘方廉，以二千除之得四百尺爲二千分四乘方之一之廉，与立方廉相减余八百尺爲次商廉。法以除次商积，足四倍，即定次商爲四尺，书于所得积二尺之上。

合初商共二十四尺，自乘再乘得一万三千八百二十四尺爲一立方积，又以二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺爲一四乘方积，以二千除之得三千九百八十一尺三百一十二寸，与一立方积相减，余九千八百四十二尺六百八十八寸，书于所得积之下，相减恰尽。乃以一立方积与二千相乘得二千七百六十四万八千尺爲二千立方积，内减去一四乘方积，余一千九百六十八万五千三百七十六尺，与原积相合，是开得二十四尺爲每一根之数也。葢立方少四乘方之数，亦不与平方立方。之数相合，故不能以平方、立方之法开也。设如有一五乘方多四立方与一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺相等，问每一根之数几何？法列原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺，按五乘方法作记于六尺上，定单位三百万尺，上定十位。其一亿一千三百万尺爲初商积，与二十乘五次之数相准，即定初商爲二十尺，书于原积三百万尺之上。而以初商二十尺乘五次之六千四百万尺爲一五乘方积，又以初商二十尺自乘再乘之八千尺，四因之得三万二千尺，爲多四立方之共积，与五乘方积相加得六千四百零三万二千尺，书于原积之下，相减余四千九百三十九万零四百九十六尺，爲次商积。而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十万尺，爲一五乘方廉。又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺，又四因之得四千八百尺，爲四立方之廉，与五乘方廉相加得一千九百二十万零四千八百尺，爲次商廉法，以除次商积，足二倍，即定次商爲二尺，书于原积六尺之上。合初商共二十二尺，乘五次得一亿一千三百三十七万九千九百零四尺，爲一五乘方积。又以二十二尺自乘再乘之一万零六百四十八尺，四因之得四万二千五百九十二尺，爲多四立方之共积，与五乘方积相加得一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺，书于原积之下，相减恰尽。是开得二十二尺爲每一根之数也。又法用带纵平方及立方开之。将原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺爲长方积，以多四立方作四尺爲纵，多折半得二尺，自乘得四尺，与积相加得一亿一千三百四十二万二千五百尺，开平方得一万零六百五十尺爲半和，内减半较二尺【因立方爲多号故减半较，若立方爲少号即加半较】得一万零六百四十八尺爲立方积，开立方得二十二尺，即每一根之数也。葢五乘方多立方与方根自乘再乘爲阔，加多立方数爲长，所作之长方积等，故用带纵较数开平方法开之，得数复开立方，即得每一根之数也。设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺相等，问每一根之数几何？

法以一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺俱以一万除之，得一立方少一万分五乘方之一与一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等。乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分爲归除所得之积，按立方法作记于三尺上，定单位一千尺上定十位。其一千尺爲初商积，与十尺自乘再乘之数相合，即定初商爲十尺，书于所得积一千尺之上。而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积，又以初商十尺乘五次得一百万尺爲一五乘方积，以一万除之得一百尺爲一万分五乘方之一之积，与立方积相减，余九百尺，书于所得积之下。相减余二百五十三尺八百四十三寸九百分爲次商积，而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉，又以初商之十尺乘四次六因之得六十万尺爲一五乘方廉，以一万除之得六十尺爲一万分五乘方之一之廉，与立方廉相减余二百四十尺爲次商廉法以除次商积，足一倍，即定次商爲一尺，书于所得积三尺之上。合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺爲一立方积，又以十一尺乘五次得一百七十七万一千五百六十一尺爲一五乘方积，以一万除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分爲一万分五乘方之一之积，与立方积相减余一千一百五十三尺八百四十三寸九百分，书于所得积之下，相减恰尽。乃以一立方积与一万相乘得一千三百三十一万尺爲一万立方积，内减去一五乘方积，余一千一百五十三万八千四百三十九尺，与原积相合，是开得一十一尺爲每一根之数也。又法用带纵平方及立方开之。将原积一千一百五十三万八千四百三十九尺爲长方积，以一万立方作一万尺爲和，折半得五千尺爲半和，自乘得二千五百万尺，与积相减，余一千三百四十六万一千五百六十一尺，开平方得三千六百六十九尺爲半较，与半和相减，余一千三百三十一尺爲立方积，开立方得一十一尺，即每一根之数也。葢立方少五乘方与方根自乘再乘爲阔，与立方数相减爲长，所作之长方积等，故用带纵和数开平方法开之，得数复开立方，即得每一根之数也。

御制数理精蕴下编卷三十三<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书