数度衍卷九

数度衍卷九

桐城　方中通　撰方圆【少】广【之一】

诸率通曰：「求积者，用径一围三；度天者，用径七周二十二。然径一则围三有余，径七则周二十二不足。今测以径十七周五十二，其率较细。大约四形之率，惟方率。」无差，他皆无凖。方斜七而强，角面七而弱。圆率从难推求，惟举成数而已。通曰：「方形剖周为四面，面与中径等，四面即四径也。圆以三为率，径求周，以径乘率；周求径，以率除周。方以四为率，径求周，以径乘率；周求径，以率除周。」通曰：「此勾股▯也，勾股皆五，各自乘并之为五十，开方则▯七有零。七自之惟四十九，较五十之开方则少一数矣。今」方斜以五七为率，方求斜，以斜七乘方，面以方五除之；斜求方，以方五乘内斜，以斜七除之。通曰：「此亦勾股▯也，中径为股，半」。面为勾，各自乘，并为四十八，二五。开方则七不足矣，今三角以六，七。为率，面求径，以径六乘面，以面七。除之，径求面。以面七乘径，以径六。

除之方内容圆圆内容方率説通曰：数始于一，圆径一则周三，方径一则周四。两周相乘得十二，故方圆相容之率皆十二也。丁乙矢七，己丁矢必五；卯丑隅七，午卯隅必五；子丑方周七，寅卯方周必五；甲乙圆周七，丙丁圆周必五；甲乙方圆径七，丙丁方圆径必五。七五并为十二，故曰皆十二也。推而求之，万重皆然，此方圆之分率也。径同，则圆周、圆积皆不及方；周同，则方径、方积皆不及圆；积同，则圆周不及方周，方径不及圆径。何也？径同，以一言之，圆径一，周三；方径一，周四。圆周不及方周四分之一矣。又以三言之，圆径三，积七；方径三，积九。圆积不及方积九分之二矣。周同，以十二言之，方周十二，积九；圆周十二，积十二。方积不及圆积十二分之三矣。又方周十二，径三；圆周十二，径四。方径不及圆径四分之一矣。积同，以一百六十九言之，圆积一百六十九，则周四十五；方积一百六十九，则周五十二。圆周不及方周五十二分之七矣。又方积一百六十九，则径十三；圆积一百六十九，则径十五。方径不及圆径十五分之二矣。此方圆之合率也。至其容之大小，悉较容，兹不具论。通曰：「石斋先生之天方图，九方九圆，外方积一万六千三百八十四，如率推之，庇羃尽得，余别録焉。」

方内容圆法方面求圆积庇积式，方面十四，问圆积、庇积各几何？曰：圆积一百四十七，庇积四十九。术：以方面十四自乘，得方积一百九十六，以七五乘之，得一万四千七百，降二位为圆积一百四十七；以二五乘方积，得四千九百，降二位为庇积四。

十九【法有二位故降二位】又术以方面折半为七又折半为三五自乘得十二二五为一庇积以四乘之得四十九以减方积得圆积【七五乘二五乘説见后】

圆内容方法圆径求方积，羃积式？圆径十四，问方积、羃积各几何？曰：方积一百，羃积四十七。术：以圆径十四乘方斜面率五，得七十；以方斜率七除之，得一十，为内方面。自乘得方积一百。用圆径求圆积【详后】得一百四十七；以减方积，余四十七，为羃积。

立方内容立圆法立方面，求立圆积、立庇积、式立方面十六问，立圆积、立庇积各几何？曰：立圆积二千三百○四，立庇积一千七百九十二。术通曰：以立方面十六自乘得二百五十六，再乘十六，得四千○九十六，为立方积。以十六除之，得二百五十六。以九乘之，得二千三百○四，为立圆积。二积相减，余一千七百九十二，为立庇积【九乘十六除説见后】

立圆内容立方法立圆径，求立方积，立羃积式，立圆径十七，问立方积，立羃积各几何？曰：立方积一千七百。七十一，五六一，立羃积九百九十。一九九九，术通曰：「以立圆径十七。」用径求积法【详后】得二千七百六十三，五、六、零为立圆积。以圆径为立方，斜乘方斜面率五，得八十五。以方斜率七除之，得一十二一零。自乘得一百四十六四一，再乘一十二一，得一千七百七十一五六一为立方积。二积相减，余九百九十一九九九为立羃积。通曰：「凡方内容圆，圆内容方，必彼此相切，方可立算。」平方求积法【即开平方之还原也】径求积，式：径三十二，为积几何？曰：积一千○二十四。术：以径三十二自乘，得一千○二十四为积。周求积式，周一百二十八，为积几何？曰：积一千○二十四。术：以周一百二十八用四除之，得三十二为径，自乘得积。平圆求积法【即开平圆之还原也】径求积式，径六为积几何？曰：积二十七。术：径六自乘得三十六，以三乘之得一百○八，以四除之得二十七为积。又术：径六自乘得三十六，以七五乘之得二千七百，降二位得二十七，亦合【三乘四除説见后】周求积式，周十八，为积几何？曰：积二十七。术：周十八自乘，得三百二十四，以十二除之，得二十七为积【十二除説见后】周径求积式，径六，周十八，为积几何？曰：积二十七。术：径六与周十八相乘，得一百○八，以四除之，得二十七为积。通曰：「此与三乘四除同，径一周三，故也。」半周求积，式半周九为积，几何？曰：积二十七。术：九自乘得八十一，以三除之，得二十七【三除説见后】半径求积式，半径三，为积几何？曰：积二十七。术：三自乘得九，以三乘之，得二十七【三乘説见后】半周半径求积式，半周九，半径三，为积几何？曰：积二十七。术：九与三相乘，得二十七。通曰：方径自乘得方形，以此方形积均分作四股，圆形内得三股，四庇共得一股，故用七五乘。者，四分十之三也。用二五乘者，四分十之一也。通曰：「径用三乘得长方形，即周径相乘也。此内容圆形者三，而三圆形之庇积。」又成一圆形之积，以此一圆并三圆而为四，故三乘者用四除也。通曰：周自乘得大方形，此内有方形九，而容圆形者亦九。三圆形之庇积，成一圆形之积，则九圆形之庇积，必成三圆形之积矣。以此三圆并九圆而为十二，故用十二除也。通曰：「半周自乘，得全周自乘四分之一，故用三除。盖三除者，十二除四分之一。」也半径自乘与庇积等，三其庇积而成圆积，故用三乘也。立方求积法【即开立方之还原也】径求积式，径三十二，为积几何？曰：积三万二千七百六十八。术：径三十二，自乘得一千○二十四，又乘三十二，得三万二千七百六十八，为积。立圆求积法【即开立圆之还原也】径求积式，径四十八，为积几何？曰：积六万二千二百○八。术：径四十八，自乘得二千三百○四，再乘四十八，得十一万○五百九十二，以九乘之，得九十九万五千三百二十八，以十六除之，得六万二千二百○八，为积。周求积式，周一百四十四，为积几何？曰：积六万二千二百○八。术：周一百四十四，自乘得二万○七百三十六，再乘一百四十四，得二百九十八万五千九百八十四，以四十八除之，得六万二千二百○八，为积。通曰：「立圆径自乘，再乘，乃立圆外之立方积也。九回立方积，即十六回立圆积，故以九乘十六除也。立圆周自乘，再乘，乃二十七回立方积也，即四十八回立圆积，故以四十八除也。葢二十七者，三回九也；四十八者，三回十六也。而周求积之不用二十七乘者，周巳大于径三回，故不用三回九之二十七乘也。」

方环求积法外方内方，求环积。式外方甲乙二十，内方丙丁一十，为环积几何？曰：积三百。术：以甲乙二十自乘，得四百，为庚辛乙甲全积；以丙丁一十自乘，得一百为壬癸丁丙内积，二积相减，余三百为庚壬丙甲环积。又术，以甲乙二十并丙丁一十为三十，倍之得六十，为通环之长。以丙丁减甲乙，余一十，折半得五，即丁至巳为环濶。以濶乘长，得三百为环积。通曰：「并外方四面得八十，并内方四面得四十，又相并为一百二十，折半得六十，亦合环长。」

圆环求积法外周内周求环积，式外周甲戊乙巳四十八，内周丙庚丁辛二十四，为环积几何？曰积一百四十四。术：以甲戊乙巳四十八自乘，得三千三百○四，以十二除之，得一百九十二，为甲乙、戊、己全积，以丙、庚、丁、辛二十四自乘，得五百七十六，以十二除之，得四十八，为丙、庚、丁、辛内积。二积相减，余一百四十四，为甲、丙、戊、庚环积。又术，以外周三折，得全径十六；以内周三折，得内径八。两径相减，余八，折半得四，即甲至丙为环濶。以三乘濶，得十二，减外周，余三十六，为通环之长。以濶乘长，得一百四十四，为环积。内周、外周求环径式【即环濶也】术以外周四十八减内周二十四，余二十四，以六除之，得四，为环径，即甲至丙。内周、环径求外周式：术以六乘环径四，得二十四，并内周二十四，得四十八，为外周。外周环径，求内周式术：以六乘环径，四得二十四，减外周四十八，余二十四为内周。通曰：「圆以六包一，故用六乘六除也【详外包】

四破合环法四破之一，求去内外角，成环式。欲于丑寅大直角，方形。

内成圆环外周切方边内周六问于甲丙小直角方形内去内角外角各几何曰内角去乙巳一外角去庚丁二术通曰先于甲丙形用方斜率法求得乙至丁为七乙至丙为五，乃以三除内周六，得二为内径，半之得一为半径。即甲丙形之内角乙巳一也，去之乙丙五，内减等乙巳之乙戊一，尚存戊丙四为环濶。又于乙丁斜七，减内角乙己一，又减等戊丙之己庚四，尚余庚丁二，是为外角应去者也。甲丙形为一破，加丑乙子、乙寅、乙三破而环成矣。故曰四破合环。

二破至九破率説通曰：「以前式四破之一为率，二破得率二分之四，益率。」

二分之二而成二破之一也三破得率三分之四益率三分之一而成三破之一也五破得率五分之四损率五分之一而成五破之一也六破得率六分之四损率六分之二而成六破之一也七破得率七分之四损率七分之三而成七破之一也八破得率八分之四损率八分之四而成，八破之一也。九破得率九分之四，损率九分之五，而成九破之一也。万亿皆然。葢四破得方圆四分之一，故以四破为率。二破者倍之，八破者半之。破愈多而分愈细也。至彼此互变，皆以率通。或五变六，或八变七。以所变之六七为法，分其应变之五八。一破多，益少损，无不适合。

合破成立圆法式欲成子丑立圆形为破几何术通曰：以圆周剖之，周大则剖多，周小则剖少。以剖后之一破腰无圆形而止。也如以子丑圆周剖为三十二破一。破如丙丁，甲乙形，甲乙平而不圆矣。又以丙丁甲乙剖为二，如丙甲乙甲。乙丁两形，而两形必等，则三十二其丙丁甲乙，形而成立圆六十四。其丙甲乙形，亦成立圆也。葢丙至丁，半周也，十六；其甲乙，亦半周也。

方内容弧矢六角八角法直方内容弧矢形式，方长十四，方阔七。问弧内积、二角余积各几何？曰：弧内积七十三五二，角余积二十四五。术：方长十四，即▯；方阔七，即矢。相并得二十一，折半得十○五，以矢七乘之，得七十三，五为弧内积，方长十四，方阔七，相乘得九十八，为全积，以减弧内积，余二十四五为二角积，折半得十二二五，为一角积。通曰：「以▯十四，折半得七，又折半得三。五乘矢七，得二十四五，亦合二角积。」直方内容六角形式，方长二十，方阔十八，六角面十问。六角内积，四角余积各几何？曰：六角内积二百七十四，角余积九十。术：以方长二十减六角半面五，余十五，以方阔十八乘之，得二百。七十为六角内积，以角外余长五，折半得二五，乘角外余阔九，得二十二五，为一角积，以四乘之，得九十为四角积。通曰：「以余长五，余阔九，相乘得四十五，倍之得九十，亦合四角积。」方内容八角，形式八角，面七。问：八角内积，四角余积各几何？曰：八角内积二百三十九，四角余积五十。术：以五乘八角面七，得三十五；以七除之，得五，为角外余方。倍之得十，为上下两余方。加八角面七，得十七，为大方面。自乘得二百八十九为全积，以角外余方五自乘，得二十五，倍之得五十，为四角积，以减全积，余二百三十九，为八角内积。通曰：以余方五自乘，得二十五，折半得十二，五为一角积。此式乃斜求方也。四隅角面即方斜，余方即方斜面，故用五乘七除。

方内容小圆法式余积二千四百圆边离方边十，问方面圆径各几何？曰：方面六十，圆径四十。术：以离边十自乘得一百，以三乘得三百，加余积二千四百得二千七百为实，以六乘离边十。得六十，为从方，用带从开平方法除之，得三十【详十二卷】倍之，得六十，为方面，以方面减两离边，二十余，四十为圆径。

圆内容小方法式余积七十二，离边三，问圆径、方面各几何？曰：圆径十二，方面六。术：以离边三自乘，得九；以四乘之，得三十六；倍余积，得一百四十四；相并得一百八十为实；以离边三乘八，得二十四，为纵方，用带纵开平方法除之，得六【详十二卷】为半径，倍之得十二，为圆径，以圆径自乘，得一百四十四，以三乘，得四百三十二，以四除，得一百○八，以减余积七十二，余三十六，平方开之，得六，为方面又式圆径九歩七分五厘，离边三歩，问内方积、上下大弧积、左右两直方积、左右两小弧积各几何？曰：内方积十四歩○六厘二毫五丝，大弧积各十八歩，直方积各九歩八分四厘三毫七丝五忽，小弧积各七分七厘三毫四丝。三忽七微五纎，术以圆径折半，得四歩八分七厘五毫，自乘得二十三歩七分六厘五毫，以半径减离边，余一歩八分七厘五毫，自乘得三歩五分一厘五毫，两自乘相减，余二十歩○二分五厘，平方开之，得四歩五分，倍之得九歩，为大弧▯，用弧矢法【详后】得弧积十八歩，以圆径减两离边余，内方面三歩七分五厘，自乘得十四歩○六厘二毫五丝，为内方积，以大弧▯九歩减内方面三歩七分五厘，余五歩二分五厘，折半得二歩六分二厘五毫，为直方濶，与内方面【即直长方】相乘，将九歩八分四厘三毫七丝五忽为直方积，内方面即小弧▯，以圆径减大弧▯九歩，余七分五厘，折半得三分七厘五毫，为小弧矢，用弧矢法得小弧积七分七厘三毫四丝，三忽七微五纎，以大弧积倍之得三十六歩，以直方积倍之得十九歩六分八厘七毫五丝，以小弧积倍之得一歩五分四厘六毫八丝七忽五微，以诸倍数与内方积十四歩○六厘二毫五丝相并，得七十一歩二分九厘六毫八丝七忽五微，为全圆之积圆内容锭形法式圆径十四，问锭内积，两榄余积各几何？曰：锭内积一。百两，榄余积四十八术，以五乘圆。径十四，得七十，以七除之，得十，卽圆内容方，边自乘得一百，即容方。积即锭内积也，以圆径十四减容。方边十余四，即榄腰濶，折半得二。加容方边十，得十二，乘腰濶四，得四十八，即两榄积。又术，以锭长十四【即圆径】自乘，得一百九十六，折半得九十八，加二得一百，为锭积。通曰：圆内容锭与圆内容方等者，何也？葢截方两腰之半，补上下而成锭；截锭上下之等，半腰者，补两腰而成方也。故圆径即锭长，锭斜即圆径。戊己、丙丁、甲乙皆等也。丙丁、甲乙皆方斜也。丙乙、甲丁皆容方边也。故用五乘七除此斜求方耳。以圆径求积，得一百四十七。今两积合为一百四十八，而多一者，葢榄长即容方边，自乘百内多一也。锭长自乘而加二者，葢百内少二，斜求积之差也。

大平方内容小平圆求积圆法式大方面四十二，小圆径十四。问积圆积空成圆共积圆各几何？曰：积圆九，积空成圆三，共积圆十二。术通曰：以小圆径十四除大方面四十二，得三，自乘得九，即为积圆九也。用前方内容圆法，毎一小圆得内积一百四十七为圆实，得庇积四十九为庇实。以积圆九乘庇实，得四百四十一。为隅空，以圆实除隅空，得三，即为积空成圆三也。加积圆九，得十二，即为共积圆十二也。

大立方内容小立圆求积圆法式大方面四十二，小圆径十四，问积圆积空成圆共积圆各几何？曰：积圆二十七，积空成圆二十一，共积圆四十八。术通曰：以小圆径十四除大方面四十二，得三，自乘得九，再乘三。得二十七，即为积圆二十七也。用前立圆求积法，毎一小立圆得内积一千五百四十三。五为圆实，以大方面自乘得一千七百六十四，再乘得七万四千○八十八，为全方实。以积圆二十七乘圆实，得四万一千六百七十四五为全圆实。以全圆实减全方实，余三万二千四百一十三五为隅空。以圆实除隅空，得二十一，即为积空成圆二十一也。加积圆二十七，得四十八，即为共积圆四十八也。通曰：前式三分益一也，圆居方四分之三，庇居方四分之一，则庇必居圆三分之一矣。遇三加一九，故加三也。此式九分益七也，立圆居立方十六分之九，立庇居立方十六分之七，则立庇必居立圆九分之七矣。遇九加七二十七，故加二十一也。

大平圆内容小平圆求积法式大圆径十二，容积圆七，小圆径四，问积空成圆共积圆各几何？曰：积空成圆二，共积圆九。术通曰：以大圆径十二，用前平圆求积法，得全积一百○八，为全圆实；以小圆径四，亦如法得内积十二，以乘积圆七，得八十四，为小圆实。二实相减，余二十四，为隅空。以内积十二除隅空，得二，即为积空，成圆二也。加积圆七，得九，即为共积圆九也。

大立圆内容小立圆求积圆法式：大立圆径十二，容积立圆十五，小立圆径四，问积空成立圆共积立圆各几何？曰：积空成立圆十二，共积立圆二十七。术通曰：以大立圆径十二，用前立圆求积法，得全积九百七。十二为全立圆实，以小立圆径四，亦如法得内积三十六，以乘积圆十五，得五百四十为小立圆实，二实相减，余四百三十二为隅空，以内积三十六除隅空，得十二，即为积空，成立圆十二，加积立圆十五，得二十七，即为共积立圆二十七也【按：大立圆径十二，小立圆径四，必不能容十五，设题未合】通曰：此二式不可为率，隅空不等故耳。近边则空多，近中则空寡。若不论小形而论大小形之积实，则凡大形内容小形者，先求大形之全积为实，次求小形之内积为法，以法除实，皆得其积若干小形之数也。

弧矢▯【少广之二】

弧矢解弧矢状类勾股，勾股得直方之半，故倍其积以股除之，即得勾。弧背曲，倍积则长一▯与一矢，以矢乘积，倍之，适得一▯一矢之数，因未知矢，故以积自乘为实，约一度乘积以为上廉，两度乘径以为下廉，并之为法，而后可以得矢也。用三乘者何也？积本平方，以倍积自乘，是两度平方矣，故用三乘方法开之。上廉下廉俱用四乘者何也？倍积则乘出之数为积者四，故也。如不倍积，廉不用四乘，以一二五为隅法，亦通。减径者何也？径乃圆之全径，矢乃截处之勾，矢本减径而得，故亦减径以求矢也。或不减径，作添积三乘方法，亦通。五为负隅者何也？凡平圆之积得平方四分之三，在内者七五，在外者二五，不拘圆之大小，毎方一尺虚隅二寸五分，其矢得四，其虚隅得一，合而为五，亦升实就法之意也。

圆径截积求▯矢法式圆径十三，截积三十二，问矢、▯各几何？曰：矢四，▯十二。术：倍截积三十二，得六十四，自乘得四千零九十六，为实；以四乘截积三十二，得一百二十八，为上廉；以四乘圆径十三，得五十二为下廉，以五为负隅，用开三乘方法除之【详十四卷】得四为矢，倍截积得六十四，以矢除之得十六，减矢余十二为▯。弧积离径求矢▯，弧背圆径，半径法。式弧积一百二十八，离径五。问矢、▯、背、圆径、半径各几何？曰：矢八，▯二十四，弧背二十九零，圆径二十六，半径十三。术：以弧积一百二十八为实，倍弧积得二百五十六，平方开之得十六为法。以法除实得八为矢，以矢加法十六得二十四为▯，以矢自乘得六十四，以▯二十四除之，得二六零，为半▯与背之差，倍之得五零，加▯二十四，得二十九零，为弧背。以▯折半得十二，自乘得一百四十四，为实，以矢八为法除，得十八，加矢得二十六，为圆径，折半得十三，为半径，即离径五与矢八相并也。▯矢求弧积式术，▯矢相并得三十二，折半得十六，以矢乘之得一百二十八，为弧积。又术，▯矢相乘得一百九十二，矢自乘得六十四，相并得二百五十六，半之为弧积。矢、弧积求▯式术，倍弧积得二百五十六，以矢八除之，得三十二，减矢，余二十四为▯。▯弧积求矢式术，倍弧积得二百五十六，以▯二十四为纵，方用带纵开平方法除之【详十二卷】得八为矢。▯圆径求离径矢式术，以圆径折半得十三，自乘得一百六十九，以▯折半得十二，自乘得一百四十四，两自乘相减余二十五，平方开之得五为离径，以半径十三减离径五，余八为矢。矢圆径求▯式，术以圆径二十六减矢八，余十八，以矢乘之，得一百四十四，平方开之，得十二，倍之得二十四，为▯。▯离径求圆径式。术以▯折半得十二，自乘得一百四十四，以离径五自乘得二十五，相并得一百六十九，平方开之得十三，倍之得二十六为圆径。圆径离径求▯式术，以圆径折半，得十三，自乘得一百六十九，以离径五自乘得二十五，相减余一百四十四，平方开之得十二，倍之得二十四为▯。

弧矢内股▯求勾法式圆径十，矢一，为勾几何？弧▯几何？曰：勾三，弧▯六。以圆径十折半为五，自乘得二十五为▯羃。以半径五减矢一，余四为股，自乘得十六为股羃。二羃相减，余九，平方开之，得三为勾。倍勾得六为弧▯。又术以圆径自乘得一百，为大▯羃。以圆径减倍矢二，余八，自乘得六十四，为大股羃。二羃相减，余三十六，为大勾羃。平方开之，得六，为弧▯。半之得三，为勾。通曰：「弧矢与勾股相通，不惟此也。如勾与股▯较，求股▯是矣。▯半径也，股离径也，勾半弧▯也。」

弧矢内勾▯求股法式圆径十，弧▯六，为股几何？弧矢几何？曰：股四，弧矢一。术：以圆径十折半得五为▯，以弧▯六折半得三为勾。▯自乘得二十五，勾自乘得九，相减余十六，平方开之得四为股。以股减半径五，余一为矢。

圆径直方濶求两弧矢积法式圆径七十四，直方濶二十四，为两弧积各几何？直方积几何？曰：弧积各一千一百八十七五，直方积一千七百三十二。术：以圆径七十四自乘，得五千四百七十六，以三乘。之以四除之，得四千一百○七，为全积。以圆径减方濶二十四，余五十，折半得二十五，为矢。用前径矢求弧▯法，得▯七十。又用▯矢求弧积法，得弧积一千一百八十七，五倍之得二千三百七十五，为两弧积。以减全积，余一千七百三十二，为直方积。通曰：「矢得径十之一者，▯必六倍于矢；矢得径十之二者，▯必四倍于矢；矢得径十之三者，▯必三倍于矢；矢得径十之四者，▯必倍于矢，而又八分矢之三也；矢得径十之五者，▯必倍于矢也。」弧矢者，半圆所生也。

数度衍巻九钦定四库全书