九章录要卷九
九章录要卷九
松江屠文漪撰盈朒法古九章七曰：「盈朒，亦曰盈不足以御隐襍互见。」盈不足例。假如众人分帛，每人六匹，盈七匹；每人八匹，不足九匹。问人数、帛数各防？何法？以盈不足数相并为人实，以分数互乗盈不足数相幷为帛实。乃以分数相减之较为法，除人实得人数八，除帛实得帛数五十五。按盈不足数及分数互乗盈不足数俱相并，若遇两盈两不足即相减，惟以分数相减之较为法则，诸例皆同，都不用并也。又按右例，若止求人数，以乗分数，而以盈不足数加减算之，亦得帛数，即不用互乗之法可也。以下诸例仿此。又如田形长方，欲于中截分一段，截长七歩，不足七歩；截长九歩，盈十一歩。问原阔歩及所截积歩各防？何法？以盈不足数相幷为原阔之实，以截长数互乗盈不足数相幷为截积之实，俱以截长之较为法，除之，得原阔歩九，截积歩七十。又如绢一匹作帐，折成六幅，比旧帐长六寸；折成七幅，比旧帐短四寸。问旧帐幅、新绢各长防？何法？先以幅数各乗长短数，以为盈不足数【六幅共盈三十六寸，七幅共朒二十八寸，不以六寸、四寸为盈朒数也】然后以盈不足数相并为旧帐幅实，以幅数互乗盈不足数相并为新绢实，俱以幅数之较为法除之，得旧帐幅长六尺四寸，新绢长四丈二尺。又如井不知深【谓水面以上至井口非谓水深也】将绳折作三股入井汲水，余绳四尺；折作四股入井，余绳一尺。问井深绳长各防何？法先以股数各乗余绳数以为两盈数【与上帐幅例同】然后以两盈数相减为井实，以股数互乗两盈数相减为绳实，俱以股数之较为法除之，得井深八尺，绳长三丈六尺。又如官米不知其数，甲乙二等户并输，乙户所输当甲户十之八，令甲等八户、乙等五戸输之，不足三石；令甲等六户、乙等八戸输之，不足一石。问二等户输米则例及官米总数各防何？法先以甲乙二等衰各乗户数，依问所列并之以为输数【此兼用衰分之法，甲衰十乗八户，乙衰八乗五户，并得一百二十；甲衰十乗六户，乙衰八乗八户，并得一百二十四为输数，不以原户数为输数也】然后以两不足数相减为则例之实，以输数互乗两不足数相减为总米之实，乃以输数之较为法，除则例实，以二等衰各乗之，得二等戸输米则例，甲每户五石，乙每户四石【按以法除则例之实，当得则例之数，而此条乃不同者，前旣以甲户乗衰作十数，乙户乗衰作八数，则此除得之数仅得甲户十之一，乙户八之一，故须以二等衰各乗之，而后二等则例皆得也】又以输数之较为法，除总米实，得官米总六十三石。按右三条，其法不异于前两条，但中间复带细数，须相乗者，故微有不同耳。
若带分盈朒，虽亦大略相类，而自为一法，别起例于后。又如长方田中欲截分一段，截长三十八歩，不足二十五歩；截长四十歩，适足。问原阔歩及所截积歩各防何？法以不足数为原阔之实，以适足之截长数乗不足数为截积之实，俱以截长之较为法除之，得原阔十二歩半，截积五百歩【一盈一适足者仿此】带分盈不足例假如将银买物，用银三分之二，盈三两；用五分之三，不足一两。问银数物价各防何？法先以分子互乗分母以为用银数【分子二乗分母五，则以十为用数，不以二为用数；分子三乗分母三，则以九为用数，不以三为用数】然后以盈不足数相并，以两分母相乗之数乗之为银实【分子旣互乗分母以为用数，则盈不足亦必累乗两分母以为银实也】以用银数互乗盈不足数相并为物价实，俱以用银数之较为法除之，得总银六十两，物价三十七两。又如众人买物，每六人共出银九两，盈三两；每四人共出银七两，盈六两。问人数、物价各防？何法如前，先以银率互乗人率，以为出银数；然后以两盈数相减，以两人率相乗之数乗之，为人实；以出银数互乗两盈数相减，为物价实。俱以出银数之较为法，除之，得人数一十二，物价两数一十五。按右例似与带分有别，而实则同也。六人共银九两，即是六分之九，零分法原有子数多于母数者也。所用算术旣无少异，宜附带分之条，或别立名目，重出一条，徒滋学者之惑，殆未深知其理之一耳。又按第一例旣以用银数互乗盈不足得数，若再以用银数与乗得之数又互换而乗之【前用银数十互乗不足一两，仍得十用银数九互乗盈三两，得二十七，今再以用银数十互乗二十七，得二百七十，用银数九互乗十，得九十也】相并，以两分子相乗之数除之以为银实【第二例亦然，此姑就第一例言之】于算亦通，而叠用互乗数目纷纭，非法之良，宜从芟削者也【右二条新订】又如将银买米，用银三分之一买十石，不足三两；用九分之四买十二石，不足二两。问银数及米每石价各防？何法？先以分子互乗分母及石数，以为用银数；以两不足数互乗石数，以为两不足数。然后以两不足数相减，以两分母相乗之数乗之，为银实；以用银数互乗两不足数相减，以两石数相乗之数除之，为米价实。俱以用银数之较为法除之，得总银三十六两，米每石价一两五钱。按右例于带分之外，更有石数不齐，须用乗除，故其法颇繁，宜依所问，列左右二行，左分子一乗，右分母又乗右石数，得一百零八为左用银数，左不足三乗右石数，得三十六为左不足数，右亦如之，然后再用互乗，庻无淆乱之患。按用银数互乗两不足得数，即以为米价实【不用两石数相乗之数除也】以用银数之较为法除之，却再以十石除之，则得十二石之总价，以十二石除之，则得十石之总价。
又按用银数旣互乗两不足得数再与乗得数互换乗之相减以两石数相乗之数除之又以两分子相乗之数除之以为银实其法亦通然知之则可用之则迂矣【右一条新増】又如谷不知数，取三分之一卖，银八两，不足一石；取九分之四卖，银十两，适足。问总谷防何？每银一两直谷防何？法如前，先以分子互乗分母及两数以为出谷数，以适足之两数乗不足数以为不足数，然后以不足数以两分母相乗之数乗之为谷实，以适足之出谷数乗不足数，以两两数相乗之数除之为银直实，俱以出谷数之较为法除之，得总谷四十五石，每银一两之直谷二石。按右例旣得总谷石数，但取适足银数，以原母乘之，原子除之，即得总谷所直之银，而银一两所直之谷可知矣。此法最捷【右一条新订】又按，此章诸例，皆可以借征法求之。别着一条于第十二篇中，余可反隅而得也。
九章录要卷九
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