数度衍卷十四

数度衍卷十四

桐城　方中通撰开三乗方【少广之十一】

开三乗方法式积二千○一十五万一千一百二十一，问三乗方一面几何？曰：六十七。术：列实，从末位作防，隔三位一防，每一防为一商也。初商六十，自乗得三千六百，再乗得二十一万六千，为隅法。乗初商得一千二百九十六万，减实，余实七百一十九万一千一百二十一。以四乗隅法得八十六万四千，为方法。另以初商自乗得三千六百，以六乗之得二万一千六百，为上亷。又将初商以四乗之得二百四十，为下亷。次商七，自乗得四十九，以七乗之得三百四十三为隅法，另以次商乗上亷，得十五万一千二百，以七乗下亷，得一千六百八十，再以七乗之，得一万一千七百六十，乃并八十六万四千【方法】一十五万一千二百【丄亷乗数】一万一千七百六十【下亷乗数】三百四十三【隅法】共一百○二万七千三百○三为下法，乗次商得七百一十九万一千一百二十一，减实尽，得方六十七。又术，列实平方开之，四位商得一面四千四百八十九，又以此数为实平方开之，得一面六十七，亦合。通曰：「式内所云，以七乗之，非次商七也？与以四乗、以六乗同为应用之率，次商七，盖偶合耳。」通曰：三乗方形，虽系长立方，然亦大平方也。今以小平方边甲乙，自乗得甲丁，小平方形，再乗得丙戊长方形，此形内容甲丁。形者，十也。三乗得丙，己大平方，形此形内容，甲丁形者，百也。丙申邉与甲丁形幂等，故甲乙自乗得小平方，丙甲自乗得大平方。

三乗方带纵诸变一带纵方亷开三乗法式积一百○五亿七千六百○六万五千六百，纵方四百七十三万○六百四十，纵一亷五十一万一千九百○七，纵二亷一千四百○六。问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，以乗纵一亷，得五千一百一十九万○七百初，商自乗得一万，以乗纵二。亷得一千四百○六万，初商自乗。再乗得一百万为隅法，乃并纵一。亷乗数，纵二亷乗数，隅法及纵方。共七千○九十八万一千三百四。十为下法，乗初商，得七十亿○九。千八百一十三万四千，减实，余实。三十四亿七千七百九十三万一千六百，以二乗，纵一亷乗数，得一亿○二百三十八万一千四百；以三乗，纵二亷乗数，得四千二百一十八万；以四乗，隅法得四百万，并三数共得一亿四千八百五十六万一千四百，为方法。以初商自乗，得一万；以六乗之，得六万；又以初商三之，得三百，乗纵二亷，得四十二万一千八百，并六万及纵一亷，得九十九万三千七百○七，为上亷。初商四之，得四百，并纵二亷，得一千八百○六，为下亷。次商二十，以乗上亷，得一千九百八十七万四千一百四十；以次商自乗，得四百，乗下亷，得七十二万二千四百；又以次商自乗再乗，得八千，为隅法。乃并方法、上亷乗数、下亷乗数、隅法及纵方，共一亿七千三百八十九万六千五百八十，为下法。乗次商，得三十四亿七千七百九十三万一千六百，减实尽，得方一百二十。

二带纵亷益积开三乗方法式实四百六十六万五千六百，纵方六十五万二千三百二十，益亷八千六百四十。问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，以乗益亷，得八十六万四千，并纵方得一百五十一万六千三百二十，为益积之法。乗初商得一亿五千一百六十三万二千，为益实。加入原积，共一亿，五千六百二十九万七千六百。为通，实乃以初商自乗，再乗得一。百万为隅，法乗初，商得一，亿减实。余五千六百二十九万七千六百。为次商之实，以二乗益亷乗数，得。一百七十二万八千，以四乗隅法。得四百万，为方法。以初商自乗，得一万。再以六乗之，得六万，为上亷。以初商四之，得四百，为下亷。次商二十，以乗益亷，得十七万二千八百。加入倍亷【即二乗益亷数】共一百九十万○八百。又并纵方，共二百二十五万三千一百二十，为益积之法。乗次商，得五千一百○六万二千四百，为益实。加入次实，共一亿○七百三十六万，为通实。乃以次商乗上亷，得一百二十万。又以次商自乗，得四百，以乗下亷，得十六万。又以次商自乗再乗，得八千，为隅法。乃并方法、上亷乗数、下亷乗数、隅法，共五百三十六万八千，为下法。乗次商，得一亿○七百三十六万，减实尽，得方一百二十。三带纵方亷减隅翻法，开三乗方法。式实四百六十六万五千六百，纵方六十五万二千三百二十，纵亷八千六百四十，问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，乗纵亷得八十六万四千，初商自乗再乗得一百万为隅法，并纵亷乗数、纵方共一百五十一万六千三百二十，以减隅法而隅法止一百万，不足减，反减，并数一百万余，五十一万六千三百二十为负积。乗初商得五千一百六十三万二千，加入原积，共五千六百二十九万七千六百，为次商之实。倍纵亷乗数得一百七十二万八千，以四乗隅法得四百万为方法。以初商自乗得一万，再以六乗之得六万为上亷。以初商四之得四百为下亷。次商二十，以乗纵亷得十七万二千八百，并入倍亷共一百九十万○八百。以次商乗上亷得一百二十万，又以次商自乗得四百，乗下亷得十六万，又以次商自乗再乗得八千为隅法。乃并方法、上亷乗数、下亷乗数、隅法共五百三十六万八千为通隅。以纵亷共数一百九十万○八百并纵方得二百五十五万三千一百二十，以减通隅，余二百八十一万四千八百八十为下法。乗次商得五千六百二十九万七千六百，减实尽得方一百二十。通曰：减法而后益实，益实而后减法，其余实一也。但开方诸法，惟此初商益实、次商减实耳。

四亷隅减纵开三乗方法式实八十五亿五千二百五十五万○四百，纵方五千三百四十五万三千四百四十，纵一亷十八万四千九百六十，纵二亷五百七十八，隅算二，问方几何？曰：一百三十六。术：列实，初商一百，乗纵一亷，得一千八百四十。

九万六千为益纵初商自乗得一万乗纵二亷得五百七十八万为益隅初商自乗再乗以隅算二乗之得二百万加益隅共七百七十八万为减纵以减纵方余四千五百六十七万三千四百四十加益纵共六千四百一十六万九千四百四十，为下法。乗初商，得六十四亿一千六百九十四万四千，减实，余二十一亿三千五百六十万○六千四百，为次商之实。以二乗益纵，得三千六百九十九万二千，为益纵方。以三乗益隅，得一千七百三十四万，为益隅之方。以三乗初商，得三百，再乗纵二亷，得十七万三千四百，为益隅之亷。以四乗隅法二百万，得八百万，为方法。以初商自乗，得一万，再以六乗之，得六万，又以隅算二乗之，得十二万，为上亷。以初商四之，得四百，又以隅算二乗之，得八百，为下亷。次商三十，以乗纵一亷，得五百五十四万八千八百，并入益纵方，共四千二百五十四万○八百，为益纵之亷。以次商乗益隅之亷，得五百二十万○二千，又以次商自乗，得九百，乗纵二亷，得五十二万○二百，为益隅之隅。乃并益隅之方，益隅之亷乗数，益隅之隅，共二千三百○六万二千二百，为次商益隅。以次商乗上亷，得三百六十万，以次商自乗，得九百，乗下亷，得七十二万，以次商自乗再乗，得二万七千，再以隅算二乗之，得五万四千，为正隅。乃并方法，上亷乗数，下亷乗数，正隅，共一千二百三十七万四千，为次商隅法。加次商益隅，共三千五百四十三万六千二百，为减纵。以减纵方，余一千八百○一万七千二百四十，加益纵之亷，共六千○五十五万八千○四十，为下法。乗次商，得十八亿一千六百七十四万一千二百，减实，余三亿一千八百八十六万五千二百，为三商之实。以二乗五百五十四万八千八百【次商乗纵一亷之数】得一千一百○九万七千六百，并入益纵方，共四千八百○八万九千六百，为再益纵方。以二乗益隅之亷乗数，得一千○四十万○四千，以三乗益隅之隅，得一百五十六万○六百，并此二乗数，得一千一百九十六万四千六百，再并前益隅之方，共二千九百三十万○四千六百，为再益隅之方，并初次两商，得一百三十，以三乗之，得三百九十，以乗纵二亷，得二十二万五千四百二十，为再益隅之亷，以二乗上亷乗数，得七百二十万，以三乗下亷乗数，得二百一十六万，以四乗正隅，得二十一万六千，并此三乗数，得九百五十七万六千，再并前方法，共一千七百五十七万六千，为再方法，并初次两商，得一百三十，自乗得一万六千九百，以六乗之，得十万○一千四百，以隅算二乗之，得二十万○二千八百，为再上亷，以初次两商四之，得五百二十，以隅算二乗之，得一千○四十，为再下亷，三商六，以乗纵一亷，得一百一十万○九千七百六十，并入再益纵方，共四千九百一十九万九千三百六十，为再益纵之亷，以三商乗再益隅之亷，得一百三十五万二千五百二十，以三商自乗得三十六，以乗纵二亷，得二万○八百○八，为再益隅之隅，乃并再益隅之方，再益隅之亷乗数，再益隅之隅，共三千○六十七万七千九百二十八，为三商益隅，以三商乗再上亷，得一百二十一万六千八百，以三商自乗得三十六，乗再下亷，得三万七千四百四十，以三商自乗再乗得二百一十六，再以隅算二乗之，得四百三十二，为再正隅，乃并再方法，再上亷乗数，再下亷乗数，再正隅，共一千八百八十三万○六百七十二，为三商隅法，加三商益隅，共四千九百五十万○八千六百，为减纵，以减纵方，余三百九十四万四千八百四十，加再益纵之亷，共五千三百一十四万四千二百，为下法，乗三商，得三亿一千八百八十六万五千二百，减实尽，得方一百二十五带纵负隅以二亷，隅益积开三乗方法。式实三百亿○六千七百五十六万，纵方一亿○二十二万五千二百，纵一亷三十四万六千八百，纵二亷五。

百七十八隅算二问方几何曰二百五十五术列实初商二百乗纵一亷得六千九百三十六万为益纵初商自乗得四万以乗纵二亷得二千三百一十二万为益隅初商自乗再乗得八百万，以隅算二乗之，得一千六百万，为正隅，并入益隅，共三千九百一十二万。又以初商乗之，得七十八亿二千四百万，为益实。加入原积，得三百七十八亿九千一百五十六万，为通实。以益纵加入纵方，共一亿六千九百五十八万五千二百，为下法。乗初商，得三百三十九亿一千七百○四万。减实，余三十九亿七千四百五十二万，为次商之实。以二乗益纵，得一亿三千八百七十二万，为益纵方。以三乗益隅，得六千九百三十六万，为益隅之方。以三乗初商，得六百乗纵二亷，得三十四万六千八百，为益隅之亷。以四乗正隅，得六千四百万，为方法。以初商自乗，得四万，又以六乗之，得二十四万，又以隅算二乗之，得四十八万，为上亷。以初商四之，得八百，以隅算二乗之，得一千六百，为下亷。次商五十，以乗纵一亷，得一千七百三十四万，为益纵亷。并入益纵方，共一亿五千六百○六万，为益纵。以次商乗益隅之亷，得一千七百三十四万。以次商自乗，得二千五百乗纵二亷，得一百四十四万五千，为益隅之隅。乃并益隅之方、益隅之亷乗数、益隅之隅，共八千八百一十四万五千，为益隅。以次商乗上亷，得二千四百万。以次商自乗，得二千五百乗下亷，得四百万。以次商自乗再乗，得十二万五千。以隅算二乗之，得二十五万，为隅法。乃并方法、上下亷各乗数、隅法，共九千二百二十五万，为正隅。加益隅，共一亿八千○三十九万五千。以次商乗之，得九十亿○一千九百七十五万，为益实。加入余实，共一百二十九亿九千四百二十七万，为通实。以益纵方一亿五千六百○六万并纵方，得二亿五千六百二十八万五千二百，为下法。乗次商，得一百二十八亿一千四百二十六万。减实，余一亿八千○一万，为三商之实。以二乗益纵亷，得三千四百六十八万，并入益纵方，得一亿七千三百四十万，为再益纵方以二乗益隅之亷乗数得三千四百六十八万以三乗益隅之隅得四百三十三万五千以前益隅之方合此二数共一亿○八百三十七万五千为再益隅方。并初次两商，得二百五十，而三之，得七百五十，乗纵二亷，得四十三万三千五百，为再益隅之亷。以二乗上亷乗数，得四千八百万。以三乗下亷乗数，得一千二百万。以四乗隅法，得一百万。并此三数及前方法，共一亿二千五百万，为方法。并初次两商自乗，得六万二千五百，而六之，得三十七万五千，又以隅算二乗之，得七十五万，为上亷。

并初次两商而四之，得一千，以隅算二乗之，得二千，为下亷。三商五，以乗纵一亷，得一百七十三万四千，为再益纵亷。并再益纵方，得一亿七千五百一十三万四千，为益纵方。以三商乗再益隅之亷，得二百一十六万七千五百。以三商自乗，得二十五，乗纵二亷，得一万四千四百五十，为再益隅之隅。乃并再益隅方、再益隅亷乗数、再益隅之隅，共一亿一千○五十五万六千九百五十，为益隅。以三商乗上亷，得三百七十五万。以三商自乗，得二十五，乗下亷，得五万。以三商自乗再乗，得一百二十五。以隅算二乗之，得二百五十，为隅法。乃并本叚方法、上下亷乗数、隅法，共一亿二千八百八十万○二百五十，为正隅。加本叚益隅，共二亿三千九百三十五万七千二百。以三商乗之，得十一亿九千六百七十八万六千，为益实。加入余实，得十三亿七千六百七十九万六千，为通实。以本叚益纵方并纵方，得二亿七千五百三十五万九千二百，为下法。乗三商，得十三亿七千六百七十九万六千，减实尽，得方二百五十五。通曰：「此以纵一亷益，纵纵二亷益隅也。」六带纵，负隅以二，亷减纵，开三乗方法。式实五十亿○一千三百五十万○四千，纵方四千七百万○一千六百，纵一亷四千四百八十，纵二亷六百四十，隅算二。问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，乗纵一亷得四十四万八千，为益纵之法。初商自乗得一万，乗纵二亷得六百四十万，为减纵之法。初商自乗再乗得一百万，乗隅算得二百万，为隅法。以减纵之法减纵方，余四千○六十万○一千六百，加益纵之法得四千一百○四万九千六百，并隅法共四千三百○四万九千六百，为下法。乗初商得四十三亿○四百九十六万，减实余七亿○八百五十四万四千，为次商之实。以二乗益纵之法得八十九万六千，为益纵之亷。以三乗减纵之法得一千九百二十万，为减纵之方。以三乗初商得三百乗纵二亷得十九万二千为减纵之亷，以四乗隅法得八百万为方法，以初商自乗得一万而六之得六万，又乗隅算得十二万为上亷，以初商四之得四百乗隅算得八百为下亷。次商二十以乗纵一亷得八万九千六百，并益纵之亷得九十八万五千六百为益纵之法，以次商乗减纵之亷得三百八十四万，以次商自乗得四百乗纵二亷得二十五万六千，以并减纵之方减纵之亷乗数共二千三百二十九万六千为减纵之法，以次商乗上亷得二百四十万，以次商自乗得四百乘下亷得三十二万，以次商自乗再乗得八千乗隅算得一万六千，并方法上下亷乗数共一千○七十三万六千为隅法。以本叚减纵之法减纵方余二千三百七十万○五千六百，加本叚益纵之法得二千四百六十九万一千二百，并本叚隅法共三千五百四十二万七千二百为下法。

乗次商得七亿○八百五十四万四千，减实尽得方一百二十。通曰：「如以减纵之法，减纵方，而纵方数少，不足减，则以益纵之法，并纵方，然后减之。以其余数，并隅法，不更加益纵之法矣。」七带纵方亷，以二亷减纵，开三乗方法。式实一十九亿五千五百一十一万九千六百八十，纵方二千二百四十七万二千六百四十，纵一亷一十万○六千九百二十九，纵二亷六百五十四。问方几何？曰：七十二。术：列实，初商七十，乗纵一亷得七百四十八万五千○三十，为益纵之实。初商自乗得四千九百，乗纵二亷得三百二十万○四千六百，为减纵初商。自乗再乗得三十四万三千为隅法，以减纵减纵方，余一千九百二十六万八千○四十，加益纵之实，得二千六百七十五万三千○七十，并隅法共二千七百○九万六千○七十为下法，乗初商得一十八亿九千六百七十二万四千九百，减实余五千八百三十九万四千七百八十为次商之实，以二乗益纵之实，得一千四百九十七万○六十为益纵之亷，以三乗减纵得九百六十一万三千八百为减纵之方，以三乗初商得二百一十，乗纵二亷得十三万七千三百四十为起下减亷，以四乗隅法得一百三十七万二千为方法，以初商自乗得四千九百，而六之得二万九千四百为上亷，以初商四之得二百八十为下亷，次商二以乗纵一亷得二十一万三千八百五十八，并益纵之亷得一千五百一十八万三千九百一十八为益纵之实，以次商乗起下减亷得二十七万四千六百八十为减纵之亷，以次商自乗得四，乗纵二亷得二千六百一十六，以并减纵之方减纵之亷共九百八十九万一千○九十六为减纵之实，以次商乗上亷得五万八千八百，以次商自乗得四，乗下亷得一千一百二十，以次商自乗再乗得八为正隅，以并方法上下亷乗数共一百四十三万一千九百二十八为隅法，以本叚减纵之实减纵方余一千二百五十八万一千五百四十四，加本叚益纵之实共二千七百七十六万五千四百六十二，并本叚隅法共二千九百一十九万七千三百九十为下法，乗次商得五千八百三十九万四千七百八十，减实尽，得方七十二广诸乗方【少广之十二】

开诸乗方説凡积数若千，以平面开之，适得自乗之数者，为开平方。其立方乃开平再乘积也。三乘方，长立方也【如以二自乗起者，得两立方；以三自乗起者，得三立方之类。但以平方一边之数为凖】四乗方，平靣立方也【如长立方得两方数，则进作四立方；如长立方得三方数，则进作九立方】五乗方，大立方也【如系二自乗起者，有四立方，则进并十六方为大方；如系五自乗起者，有二十五立方，则进并一百二十五立方之类】自此推之，六乗方视三乘形，七乘方视四乗形，八乗方视五乘形，余乘仿此可至无穷。今立捷法，由平面至诸乗，总一条理，先以诸乗原委布图，乗母为原乗出之，子为开。

初商寻原图凡开方列位，以防分叚者，平方每二位，防作一叚；再乗方每三位一叚，三乗方每四位一叚，仿此推之，至九乗则十位一叚。矣，皆自尾小数起，而先以最大数。之首叚捡上图以寻其原，即以原。

数开之如平方开者，首▯数系四十九平。行，横查知七是原数。用七自乗，可。开若首叚数系六十四者，即知八。是原数用八自乗可开，若系六十。三者不及，六十四一数，仍以七开。之如再乗方开者，首▯系二十七，查知其原系三，即以三自乗，再乘开之。若首叚系六十四者，即知四是原数，用四自乘再乗开之。若系六十三，仍以三开之。如三乗方者，首▯系八十一，即知三是原数，用三自乗，再乗三乗开之。通曰：「商还原而如其积，积还原而如其商也。」

如四乗方者，首叚系一千○二十四，即知四是原数。如五乗方者，首▯系一万五千六百二十五，即知五是原数。

如六乘方者，首叚系二十七万九千九百三十六，即知六是原数。如七乗方者，首叚系五百七十六万四千八百○一，即知七是原数。虽千万乗方，其原皆可得也。原数即初商也。

次商用通率图右图已得首位方法，余实倍方为亷平方者，一倍，再乗方者，再倍，三乗方者，三倍，四乗以上皆以本乗之数仿此倍之，别立通率。凡平方只一率为二○，立方有二率为三○○为三○，三乗方有三率为四○○○为六○○为四○【一○为十両○为百】自此以上诸乗仿此渐加，而皆如后图所推，乃以方法之数乘之，以乗出之数较余实，约得几何母之几何，而即以其母为亷法也。以首行所列之二为平方，三为立方，四为三乗方，至十七则十六乗方也他乗仿此首行之数自一顺列二行之数承首行上格二数积之如首行三格是三二行三格亦是三相并得六故二行之四格为六也又如首行四格是四二行四格是六相并得一十故二行之五格为一○也三行以至九行皆然三乗之四系廻用四乗之五五乗之六与一五皆廻用六乗廻用二位七乗廻用三位如前平方一乗者，用一率曰二，乃加一○为二○，与方法相乗。立方再乗者，用两率曰三，曰三，乃以右小数加一○为三○，左大数加两○为三○○，而以三百乗方法。其三乗方者，用三率曰四，曰六，止两数，则又廻用右方之四为一率，以补之曰四六四。先以末位四加一○为四○，次以六加两○为六○○，再以首位四加三○为四○○○，乃以四千乗方法。四乗方者，廻用首行之五补足四率曰五，曰一十，曰一十，曰五，然后加○如右图。五乗方者，廻用首行之六及二行之一十五补足五率也。通曰：凡补一位者，止廻用首行之数；补二位者，则兼用二行之数；补三位者，则兼用三行之数也。其加○之法，每一位加一○，毋论其数之原有○无○，与夫原数之为零为几十几也。

诸式一乗方式【即平方】术，实六百七十六万五千二百○一，初商二为方法，以求亷法，立二○为通率，列中位列，方法于左位，以相乗得四十，以较余实之首二七，约得六之一【二▯二七六作二百七十六，是二百七十内有六回四十也】乃立六为亷法，列于右位，自乗得三十六为隅法，附列，乃以亷法六乗四十得二百四十，并隅法三十六，共二百七十六，尽第二叚，余实五二○一，并亷入方为二。十六列左乗通率二十得五百二十，以较余实得一。又以一为亷法，列右自乗，仍是一为隅法，共五二一。而实不足减，乃作五千二百○一尽。第四叚商得二六○一也。又式术：若已得亷法而以乗通率反浮余实，或亷法相合而隅法又浮余实者，皆减其亷法以乗之。如实二百八十九，初商一除实，余实一百八十九。次商以方法乗通率得二○，以较余实，可用九除实一百八十，而隅法八十一，则浮原积是九，不可用矣。减一数用八，仍不足除，乃用七为亷法乗得一四，除实一百四十，尚余四十九，足除隅法，故商得一十七也。再乘方式【即立方】术，实二十三万八千三百二十八，寻原母六，自乘再乘得二一六，除实余二万二千三百二十。八以六为方法，求亷法，用二率，曰三。十曰：「三百自下而上，叠位以方六对。」三○，以方六自乘，得三六，对三○○。各列于左，初乗以三，六乗三○○，得。一万○八百，以视余实，约得二之一，乃立二为亷，以对三○○。复以亷二自乗，得四，又以二四相乗，得八为隅，皆列右。以亷二乗一万○八百，得二万一千六百，再乗以六乗三○，得一百八十，又以四乗之，得七百二十，并初乗数及隅八，共二万二千三百二十八，减实尽，商得六十二也。又式，术若初商方法只系一数者，通率无乗，须并诸率除之。如实一千三百三十一，初商以一为方法，除浄首实一千，次并中位两通率一除可净，即以一为亷法，对通率三百亷。自乗仍得一对通率三十，再乗仍得一为隅，附列共并得三百三十一【两率一隅】除实尽，商得一十一也。通曰：「凡以一为方法者，皆可以诸位通率并之，以求也。三乘方式，术实一千四百七十七万六千三百三十。」六寻原母六，自乗再乗三乗得一。二九六除实，余一百八十一万六。千三百三十六，以六为方法，求亷。用通率三位，曰四十，曰六百，曰四。千，方六，自乗得三六，再乗得二一。六自下而上对列，初乗以二百一十六，乗四千，得八十六万四千，较余实约二之一，以二为亷，自乗得四，再乗得八，三乗得十六，自上而下对列，乃以二乗八十六万四千，得一百七十二万八千，再乘以三十六，乗六百，得二万一千六百，以四乗得八万六千四百，三乗以六，乗四十，得二百四十，以八乗得一千九百二十，乃并三数及隅十六，共合余实，商得六十二。四乗方式，术实九亿一千六百一十三万二千八百三十二，寻原母六，自乗至四乗得七七七六，除实余一亿三千八百五十三万二千八百三十二，求亷用四位通率，曰五十，曰一千，曰一万，曰五万，以方法六自乗得三十六，再乗得二百一十六，三乗得一千二百九十六，自下而上对列，初乘以一千二百九十六乗五万得六。

千四百八十万以较余实约得二之一以二为亷自乗得四再乗得八三乗得十六自上而下对列又四乗得三十二为隅乃以二乗六千四百八十万得一亿二千九百六十万次乗二百一十六乗一万，得二百一十六万，以四乗，得八百六十四万；三乘三十六，乗一千，得三万六千，以八乗，得二十八万八千；四乗六，乘五十，得三百，以十六乗，得四千八百。乃并四次乘数及隅，共合余实，商六十二。五乗方式，术实五百六十八亿○二十三万五千五。

百八十四寻原母六以其五乗数除实余一百○一亿四千四百二十三万五千五百八十四求亷用五位通率曰六十曰一千五百曰二万曰一十五万曰六十万以方六自乗再乗三乘四乘自下而上对列，初乘左首位，乘中首位，得四十六亿六千五百六十万，以较余实，约得二之一，以二为亷，自乗，再乗，三乗，四乗，自上而下对列，又五乗，得六十四为隅，乃以右首位乗所得较数，得九十三亿三千一百二十万，次乗左次位，乗中次位，又以右次位乗之，得七亿七千七百六十万，三乗左三位，乗中三位，又以右三位乗之，得三千四百五十六万，四乗左四位，乗中四位，又以右四位乗之，得八十六万四千，五乗左末位，乗中末位，又以右末位乗之，得一万一千五百二十，并五次乗数及隅，共合余实，商得六十二。六乗方式，术实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八寻，原母六，以其六乗数除实，余七千二百二十二亿五千四百六十万○六千二百○八，求亷。用六位通率曰七十，曰二千一百，曰三万五千，曰三十五万，曰二百一十万，曰七百万。以方六自乗，再乗，三乗，四乗，五乗，自下而上对列。初乗左首位乘中首位，得三千二百六十五亿九千二百万，以较余实，约得二之一，以二为廉，自乘，再乘，三乘，四乘，五乗，自上而下对列，又六乗得一百二十八为隅乃以右首位乗所得较数得六千五百三十一亿八千四百万次乗左次位乗中次位又乗右次位得六百五十三亿一千八百四十万三乗左三位乗中三位又乗右三位得三十六亿二千八百八十万，四乘左四位，乗中四位，又乗右四位，得一亿二千○九十六万。五乗左五位，乗中五位，又乗右五位，得二百四十一万九千二百。六乘左六位，乗中六位，又乗右六位，得二十六万八千八百。并六次乗数及隅，共合余实，商得六十二。七乗方式，术实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一寻，原母一，除实一兆，余实求亷，用七位通率曰八十，曰二千八百，曰五万六千，曰七十万，曰五百六十万，曰二千八百万，曰八千万，方法一数无乗，当并通率诸位以较余。

实而惟首次两数同为大数其余小数不足为多寡且从省只并首次两率开之并得一亿○八百万以较余实约可用三然自乗之九乗中次位其数浮当减用二为亷自乗再乗三乗四乗五乗六乗自上而下对列又七乗得二百五十六为隅初乗右首位乗中首位得一亿六千万次乗右二位乗中二位得一亿一千二百万三乗右三位乗中三位得四千四百八十万四乘右四位乗中四位得一千一百二十万五乘右五位乗中五位得一百七十九万二千六乘右六位乗中六位得一十七万九千二百七乗右七位乗中末位得一万○三百六十八乃并七次乗数及隅共三亿二千九百九十八万一千六百九十六以除余实尚余实二千九百五十一万五千六百○二亿六千三百五十七万二千一百六十一【乗得三亿，从三兆除。

起】再商自首至尾以一叚开之乃并亷入方共一十二自乗再乗三乗四乗五乗六乗自下而上对列于左初乗左首位乗中首位得二千八百六十六万五千四百四十六亿四千万以较余实只可用一以一为亷无乗隅亦是一次乘左次位，乗中次位，得八十三万六千○七十五亿五千二百万。三乗左三位，乗中三位，得一万三千九百三十四亿五千九百二十万。四乗左四位，乗中四位，得一百四十五亿一千五百二十万。五乘左五位，乗中五位，得九千六百七十六万八千。六乘左六位，乗中六位，得四十万○三千二百。七乗左末位，乗中末位，得九百六十。乃并七次乗数及隅，共合余实，商得一百二十一。寻原之法，平方可求立方之原，兼平方立方可求多乗之原。若三乗方者，以平方开之，得数又平方开之，即得原矣。五乗方者，以平方开之，得数又立方开之，或先开立而后开平，即得原矣。六乗方者，作四乗方开二次，即得其原。七乗方者，作平方开三次，即得其原。八乗方者，作立方开二次，即得其原。九乗方者，先开平而后开四乗，或先开四乗而后开平，即得其原。若十乗方者，作四乗方开三次，即得其原矣。

竒零诸乗开方法式术，凡开方诸法，以寻原为第一义。即竒零中有母数、子数俱有原可用者，如平方九之四，则以三之二为原，以三自乗得九，以二自乗得四也。如再乗立方【七二】之八，亦以三之二为原，以三自乗再乗得二十七，以二自乗再乗得八也。又如三乗方所得【一八】之【六一】亦以三之二为原，以三自乗再乗三乗得八十一，以二自乗再乗三乗得一十六也。有二数并列，子母不同而亦有原数可用者，如四之二与九之八并列，依对乗法，两母乗得三十六，两子乗得一十六，是为【六三】之【六一】其平方之原为九之四，以四九三十六，四四一十六，可用四为纽数者也。有以全数带竒零而亦有原可寻者，如有全数二又【七二】之【○一】依化法化得【七二】之【四六】寻其立方之原为三之四，以三再乗为二十七，四再乗为六十四，归整得一又三之一也。凡有原可寻，则可开；无原可寻，则不可开。必命分之母与得分之子各有原则可开，若一有原一无原，则不可开也。寻原之术，数之多者约之以至于寡，如【五四】之【○二】约之为九之四，其开平方之原即是三之二也。如【一八】之【四二】约之为【七二】之八，其开立方之原即是三之二也。他一有原一无原者，如九之六，九有原，六无原；又如【○二】之【一二】则命分数与得分数俱无原，皆不可开矣。然数穷则变，变则通，不可开者又立法以开之，如无原有数之最相近者可借以为原，即以本数析之，又析而相近之原可得也。析之之法，多取进位平方，或析一为十为百立方，或析一为百为千，数弥多者求弥宻，其原亦弥近也。弥近之数或稍多于所求，或稍约于所求，而皆可以为原者也。如以五数为开平方，是为无原而任借【○一】为之原。以一十自乗得一百，以五乗得虽【○一】不为之原，乃其原之最近者，有两数，其一为以【二二】为原【二十二自乗得四百八十四也】此近而朒者；其一为以【三二】为原【二十三自乗得五百二十九也】此近而盈者。何也？试以所借【○一】为命分之母，以【二二】为得分之子，以【○一】之【二二】自乗【此系整二又带零一十之二】所得之内除四百为四整数，余【四八】为之【四八】夫以四零之【四八】视二零【○一】之二，犹五百与二十二之比例也。试以所借【○一】为母，以【三二】为子，以【○一】之【三二】自乗【此系整二又零一十之三】得之。内除五百为五整数，余【九二】为之【九二】夫以五零之【九二】视二零【○一】之三，犹五百与二十三之比例也。故五可以借一十也。如以九数为开立方，亦为无原而任借【○一】为之原，以九乗得，虽九千不以一十为原，而其近原者亦有两数：一为以【○二】为原，此近而朒者；一为以【一二】为原，此近而盈者。何也？试以【○一】为母【○一】之【○二】系整二数自乗再乗即得【○一】之八，试以【○一】为母【○一】之【一二】系整二数零一十之一，自乗再乗即得九零之也【母一十自乗再乗得一千，子整二化二十并入一为二十一，自乘再乗得九千二百六十一，以九千归整得整九，余为一千之二百六十一也】故【○一】可以为九借也。如以【○四】数为四乗方，亦为无原任借【○一】自乘至四乗得一十万，以一十乗之得四百万，用前法推衍其原之近者，一为【○二】一为【一二】何也？以【○一】为【○二】之母，则【○一】之【○二】系整二数，自乗至四乗为【○一】之【二三】以视【○四】近而朒；以【○一】为【一二】之母，则【○一】之【一二】系整二数零一十之一，自乗再乗【化整数并子法如前，母四乗得一十万，子自乗再乗得九千二百六十一】三乗四乗得整四十数零一十万之八万四千二百○一【二十一以三乘得一十九万四千四百八十一，以四乗得四百○八万四千二百○一，内以四百万还原得整四十数，其零为八四二○一也】以视【○四】近而盈，故【○一】可以为四十借也。

数度衍卷十四

钦定四库全书