御制数理精蕴下编卷三

御制数理精蕴下编卷三

线部一正比例转比例合率比例正比例带分转比例带分比例凡物彼此相形，并之而用加，较之而用减，聚之而用乘，散之而用除。观之不过两率，然乘除之间，四率之理已黙寓其中。如因乘命法曰：「人几何？每人得物几何？求总物几何？」则是每一人得物几何与几何人共得物几何相比而成四率，乃自小而得大者也。如归除命法曰：「有物几何？命几何人分之，每人得物几何？」则是共人几何、共物几何与每一人得物几何相比而成四率，乃自大而得小者也。葢因命数以一人为法，故乘与除各省其率耳。是虽名为乘除，而实为相比之四率也。至于比例正法，则所该甚广大，而推歩七政天行，测量髙深广逺，小而量功命事，度大移小，无一非由比例而得。葢以两数为比例，用今有之数，即可以得未有之数也。比例之理虽分相连、相当二种，而相当比例之中，实又兼相连比例。相当比例，一率比二率，如三率比四率；而相连比例，首率比中率，若中率比末率者，即是中率为二率，而又为三率也。尽人皆知，线有线之比例，面有面之比例，体有体之比例，殊不知差分、盈朒、方程、借衰、疉借之类，正皆比例之属也。然此类中有合数之比例、分数之比例、均数之比例、借数之比例，非条分缕析，各项专论，则不备，故仍旧各自为类，而独于比例中最切者详明其理以列法焉。其法一名异乘同除【或名为准测，或名为顺单】以原有之两件相除，故为同除；以今有之一件乘之，故为异乘【如先乘而后除亦同】而今则质言之曰正比例，葢以原有之两件为一率、二率，以今有之一件为三率，而所求之一件则为四率也。一名为同乘异除【或名为变测，或名为互视，或名为逆单】以原有之两件相乘，故为同乘；以今有之一件除之，故为异除。而今则质言之曰转比例，葢以原有之两件为二率、三率，以今有之一件为一率而所求之一件则为四率也。然论其乘除之名虽异，究其比例之理则一而已。今以数明之：如原有之两数为二与四，今有之一数为八。以原有之二作一率，原有之四作二率，今有之八作三率，即得今所求之四率为十六。而一率二与二率四之比，即三率八与四率十六之比，为相当之比例也。如原有之两数为八与四，今有之一数为十六。以原有之八作二率，原有之四作三率，今有之十六作一率，即得今所求之四率为二。而一率十六与二率八之比，即三率四与四率二之比，或以一率十六与三率四之比，即同于二率八与四率二之比，皆为相当之比例也。总之乘除之名有异同，四率之列有更换，而既成比例之后，其理无不归于大同。由此引伸触类推而广之，有合几四率而为一四率者，则名为同乘同除【或名为重测，或名为顺较逆较】而今则质言之曰合率比例，葢其理亦不过合几乘而为一乘，合几除而为一除，各按四率参互错综，岂能岀于比例之外哉？凡此各种比例，俱设数例于后以明立法之根，加之解说以广用法之意。

正比例设如，有银买米，每米一石，银八钱。今买米二百四十石，问共该银若干？法以米一石为一率，银八钱为二率，今买米二百四十石为三率，二三率相乘，一率除之，得四率一百九十二两，即共银数也。葢一石与二百四十石为加二百四十倍，而八钱与一百九十二两亦为加二百四十倍【见几何原本六卷第十五节】故一石与八钱之比，即同于二百四十石与一百九十二两之比也【此法一率是一，止用八钱乘二百四十石亦得，但为明正比例之理，故首设一、二易法，使人好推寻也】设如，有银买米，每银一两买米一石三斗，今有银三百二十两，问共买米若干？法以银一两为一率，米一石三斗为二率。今银三百二十两为三率，二三率相乘，一率除之，得四率四百一十六石，即共米数也。葢一两与一石三斗之比，即同于三百二十两与四百一十六石之比也。设如，有银赏人，每三人赏银一两八钱，今有二百四十人，问共该银若干？法以三人为一率，一两八钱为二率，今有二百四十人为三率，二、三率相乘，一率除之，得四率一百四十四两，即共银数也。葢三人与一两八钱之比，即同于二百四十人与一百四十四两之比也。设如，有谷换米，每谷一石四斗换米八斗四升，今有谷三十二石六斗八升，问换米若干？法以谷一石四斗为一率，米八斗四升为二率。今有谷三十二石六斗八升为三率，二、三率相乘，一率除之，得四率一十九石六斗零八合，即所换共米数也。葢谷一石四斗与米八斗四升之比，即同于谷三十二石六斗八升与米一十九石六斗零八合之比也。设如天上二度，当地面四百里。今七度，该里数若干？法以原有之二度为一率，四百里为二率，今有之七度为三率。二三率相乘，一率除之，得四率一千四百里，即七度之里数也。葢一率二与二率四之比为加一倍，而三率七与四率十四之比亦为加一倍。故二率得一率中之几分之几，则四率亦得三率中之几分之几，而为相当比例四率也。设如一星一日内行一度三十分，今问八刻内应行若干？法以原数，一日变作九十六刻为一率，一度三十分变作九十分【一度作六十分，加入三十分，共九十分】为二率，今星行八刻为三率，二三率相乘，一率除之，得四率七分半，即八刻内所行之数。葢九十六刻与九十分之比，即同于八刻与七分半之比也。然将日变为刻者，因每日九十六刻不以十进位，又今所有者为八刻，故以刻数与刻数相比也。度变为分者，因每度六十分亦不以十进位，而今八刻内所行者必为分，故以分数与分数相比也。设如验时仪算，炮声自烟起至闻声，计七秒得五里，今得十四秒，问里数若干？法以七秒为一率，五里为二率，今得十四秒为三率，二三率相乘，一率除之，得四率十里，即十四秒之里数也。葢七秒与五里之比，即同于十四秒与十里之比也。设如，有羊四百六十只，共卖银八十二两八钱，问每羊一只价银几何？法以羊四百六十只为一率，银八十二两八钱为二率，羊一只为三率，推得四率一钱八分，即每羊一只之价也【此法三率是一，止用羊四百六十只归除八十二两八钱，亦得，但列四率法中，不得不备其一体也】设如，有羊一羣，共二百四十只，又生羔七十二只，问加羊羣内十分之几？法以羊二百四十只为一率，十分为二率，今生羔七十二只为三率，推得四率三分，即为加羊羣内十分之三也。葢二百四十与十分之比，即同于七十二与三分之比。若将二百四十作十分，每分得二十四，将羊羔七十二作三分，每分亦得二十四，总而约之，故为十分之三也。设如，有田科粮，每三亩科粮八斗四升，今有四千六百三十五亩，问得粮若干？法以三亩为一率，八斗四升为二率，今有四千六百三十五亩为三率，推得四率一千二百九十七石八斗，即所得共粮数也。葢三亩与八斗四升之比，即同于四千六百三十五亩与一千二百九十七石八斗之比也。设如用古量法，豆、区、釜皆以四进。有八十豆当二十区，有二十区当釜，若干。法以八十豆为一率，二十区为二率，又为三率，推得四率，五釜，即二十区所当釜数也。此正比例中相连比例法也。葢因二十区与二十区相乘得四百区，而八十豆与五釜相乘亦得四百区。二十区既为二率，又为三率，故谓相连比例。是以八十豆与二十区之比，即同于二十区与五釜之比也。设如一商原有本银三千两一年得利银九百两今复将九百两为本，问一年得利若干？法以三千两为一率，九百两为二率，又为三率，推得四率二百七十两，即九百两所得之利也。此法以九百两为二率，又为三率，葢三千两与九百两之比为三与九之比例，而九百两与二百七十两之比亦为三与九之比例也。

转比例设如，有田一亩，原阔八歩，长三十歩，今阔要十二歩，问长得几何？法以今阔十二歩为一率，原长三十歩为二率，原阔八歩为三率。二、三率相乘，一率除之，得四率二十歩，即今阔十二歩之长也。此法以原有之两数相乘，以今有之一数除之，而得今所求之数者，因乘出两数相同故也。在正比例，原有之两件为一率、二率，今有之一件为三率，而今所求之一件为四率，俱以原有之一件与今有之一件相乘，其积相同。在转比例，则原有之两件为二率、三率，今有之一件为一率，而今所求之一件为四率，是原有之两件相乘，今有之两件相乘，其积相同，此两法异同之故也。

虽今阔比原　　　　　　　　　　　　　【得】阔多　　　　　　　　　　　　　　　　　【二百】而今长却比原长少故原【八歩】有之【三十歩】阔与长相乘四十歩而今有之阔【十二歩】与长【二十歩】相乘亦得二百四十歩其积既同是以转而比之自成比例葢今阔比原阔多三分之一今长比原长少三分之一其比例相同【见几何原本七卷第三节】故今阔十二歩与原阔八歩之比即同于原长三十歩与今长二十歩之比也若借正比例论之以原阔八歩为一率原长三十歩为二率今阔十二歩为三率二三率相乘一率除之得四率四十五歩则是今阔比原阔多今长亦比原长多所容积数亦多而与一亩之数不合矣故转以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率而得四率二十歩是为一率与三率之比同于二率与四率之比也设如，有地寛二十丈，长一百二十丈，今换地寛三十丈，问长得几何？法以今寛三十丈为一率，原长一百二十丈为二率，原寛二十丈为三率。二、三率相乘，一率除之，得八十丈，即今寛三十丈之长也。此法原有之寛与长相乘，得二千四百丈；今有之寛与长相乘，亦得二千四百丈。其积既同，故转而比之，自成比例。以今寛比原寛，以原长比今长，俱三与二之比例。是以今寛三十丈与原寛二十丈之比，即同于原长一百二十丈与今长八十丈之比也。设如佣工开渠，八人开之，二十日完。今加倍用十六人开之，问得几日完？法以今十六人为一率，原二十日为二率，原八人为三率。二、三率相乘，一率除之，得四率十日，即十六人完工之日也。此法因工少而用日多，故加人使工多而用日少。葢今十六人与原八人之比，即今之工加一倍；而原二十日与今十日之比，则今所得之日亦必减一倍。故一率十六人与三率八人之比，即同于二率二十日与四率十日之比也。设如，有地四百八十亩，八人耕之，十二日完。今用六人耕之，问得几日完？法以今六人为一率，原十二日为二率，原八人为三率，二三率相乘，一率除之，得四率十六日，即六人耕完之日也。此法人数、日数不同，而所耕之田则同为四百八十亩，而所用之工又同为九十六，故以八人论，一日八工，十二日则用九十六工；以六人论，一日六工，十六日亦用九十六工也。故转用四率，自成比例，以一率六人与三率八人之比，即同于二率十二日与四率十六日之比也。设如众军支米足用四年，则每人每月支米三斗。今欲将四年之米足用十二年，问每人每月应支几何？法以今欲用十二年为一率，原支米三斗为二率，足用四年为三率。二三率相乘，一率除之，得四率一斗，即足用十二年每人每月应支之数也。

此法支米多则足用年数少，今支米少则足用年数多。葢四年与十二年之比，在年为加三分之二，而三斗与一斗之比，在米又为减三分之二，其比例固同也。设如木星十二年一周天，每年行三十度，土星则二十八年一周天，问每年行几度？法以土星所行一周二十八年为一率，木星每年所行三十度为二率，木星所行一周十二年为三率。二三率相乘，一率除之，得四率，十二度五十一分二十五秒有余，即土星每年所行之度数也。葢木星周天比土星年数少，而行度却多；土星周天比木星年数多，而行度却少。多得少而少反得多，故转而比之，以二十八年与十二年之比，即同于三十度与十二度有余之比也。设如一人借人之绢，宽三尺，长二十四丈，今还绢，宽四尺，问长该若干？法以今绢宽四尺为一率，原绢长二十四丈为二率，原绢宽三尺为三率。二、三率相乘，一率除之，得四率十八丈，即为今所还宽四尺绢之长也。葢原绢宽三尺，长二十四丈，相乘得七百二十尺；今绢宽四尺，长十八丈，相乘亦得七百二十尺。因其积数相同，故今绢宽四尺与原绢宽三尺之比，即同于原绢长二十四丈与今绢长十八丈之比也。设如验时仪坠子，其绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝四刻，内来往共三千次。今造一坠，欲使来一秒往一秒，问绳长若干？法以四刻化三千六百秒为今坠子往来次数，自乘得一千二百九十六万次为一率，原坠绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝为二率，以原坠往来三千次自乘得九百万次为三率，二三率相乘，一率除之，得四率三尺一寸一分二厘，即今所求坠绳之长也。夫以四刻化秒者，葢以所求之坠子欲其来一秒往一秒也，故秒数即次数，四刻所化之秒即今坠子在四刻内往来之次数也。其比例以次数自乘者，因坠子往来之际已成平面形，故以往来之方数相比为面比面，而原坠与今坠之长数相比为线比线，务使其类相当而后可以相比也。是以今坠往来次数自乘与原坠往来次数自乘之比，即同于原坠长数与今坠长数之比也。然原坠于四刻内往来之次数少而坠却长，今坠于四刻内往来之次数多而坠却短，故以今坠之往来次数与原坠之往来次数为比，即同于原坠之长与今坠之长为比，所以为转比例也。设如，有正方池一面，每边十二丈。今欲作宽八丈之池，使其池面积数与方池等，问长得几何？法以今池宽八丈为一率，原池长十二丈为二率，原池宽十二丈为三率，推得四率十八丈，即今欲作池之长也。此转比例中相连比例法也。葢原池方面每边十二丈，其积一百四十四丈，即二率三率相乘之数。今所得四率长十八丈与一率宽八丈相乘，亦得一百四十四丈，两数相等，故以一率今池宽八丈与三率原池宽十二丈之比，即同于二率原池长十二丈与四率今池长十八丈之比也。

设如原用金九两，系九成，今用八成金折还，当加几两？法以今金八成为一率，原金九两为二率，原金九成为三率，推得四率十两零一钱二分五厘。内减九两，余一两一钱二分五厘，即八成金当加之数也。此法二率、三率为体，虽不同而数则一，故亦为相连比例。葢以原金九两又系九成相乘，得十成金八两一钱。以今之八成与所得十两零一钱二分五厘相乘，亦得十成金八两一钱。是八成与九成之比，即同于九两与十两零一钱二分五厘之比也。

合率比例设如以夏布换棉布，但知每夏布三丈价银二钱，每棉布七丈价银七钱五分。今有夏布四十五丈，问换棉布若干？法以夏布三丈与棉布价银七钱五分相乘得二两二钱五分，为一率；夏布价银二钱与棉布七丈相乘得一两四钱，为二率；夏布四十五丈为三率，推得四率二十八丈，即夏布四十五丈所换之棉布数也。此法乃两比例合为一比例也。如分作两比例明之：每夏布三丈价银二钱，今夏布四十五丈则价银应得三两，此一比例也；棉布价银七钱五分得棉布七丈，今夏布四十五丈之价三两，则应得棉布二十八丈，此又一比例也。夫银三两原为夏布四十五丈之价，则夏布四十五丈所换之棉布二十八丈价银亦应三两，可知矣。葢两比例中，一以三丈作一率，一以七钱五分作一率，故三丈与七钱五分相乘得二两二钱五分而为一率，是合两一率而为一一率也。一以二钱作二率，一以七丈作二率，故二钱与七丈相乘得一两四钱而为二率，是合两二率而为一二率也。而后比例之三率即前比例之四率，如以两三率相乘为三率，则所得四率亦为两四率相乘之数，必须以前比例之四率除之，方得后比例之四率故即以夏布之四十五丈为三率，而得棉布之二十八丈为四率也。设如以芝麻换黄米，但知每芝麻三石换菉豆五石，每菉豆四石换黄米三石，今有芝麻五十四石，问换黄米若干？法以芝麻三石与菉豆四石相乘得十二石为一率，又以菉豆五石与黄米三石相乘得十五石为二率，芝麻五十四石为三率，推得四率六十七石五斗，即芝麻五十四石所换之黄米数也。此法亦两比例合为一比例也。如分作两比例明之，每芝麻三石换菉豆五石，则芝麻五十四石必换菉豆九十石，此一比例也。菉豆四石换黄米三石，则菉豆九十石必换黄米六十七石五斗，此又一比例也。夫菉豆九十石原为芝麻五十四石所换，则菉豆九十石所换之黄米即芝麻五十四石所换之黄米可知矣。葢以两比例之各一率相乘为一率，两比例之各二率相乘为二率者，即合两次乘除为一次乘除也。设如养兵七百名，每年额饷一万二千六百两，内有新着伍兵三百名，已应役七个月，问该饷银若干？法以原养兵七百名与十二个月相乘，得八千四百，为一率；额饷一万二千六百两为二率；新兵三百名与七个月相乘，得二千一百，为三率；推得四率三千一百五十两，即兵三百名七个月应得之饷银数也。此法亦两比例合为一比例也。如分作两比例明之：兵七百名得一万二千六百两，则兵三百名应得五千四百两【乃兵三百名十二个月应得之数】此一比例也；兵三百名十二个月应得五千四百两，则七个月应得三千一百五十两，此又一比例也。

今以两比例之各一率相乘为一率，两比例之各三率相乘为三率者，亦如两比例之各一率、二率相乘合为一，一率、二率也。设如原有鹅八只，换鸡二十只。又鸡三十只，换鸭九十只。又鸭六十只，换羊二只。今有羊五只，问换鹅几何？法以所换羊二只与所换鸭九十只相乘得一百八十只，再以所换鸡二十只乘之得三千六百只，为一率。又以原鸭六十只与原鸡三十只相乘得一千八百只，又以原鹅八只乘之得一万四千四百只，为二率。今羊五只为三率，推得四率二十只，即羊五只所换之鹅数也。此法乃三比例合为一比例也。如分作三比例明之：羊二只换鸭六十只，则羊五只必换鸭一百五十只，此一比例也。鸭九十只换鸡三十只，则鸭一百五十只必换鸡五十只，此二比例也。鸡二十只换鹅八只，则鸡五十只必换鹅二十只，此三比例也。夫鸡五十只原为鸭一百五十只之所换，而鸭一百五十只又原为羊五只之所换，则鸡五十只所换之鹅二十只即为羊五只之所换，可知矣。今以三比例之各一率连乘之为一率，又以三比例之各二率连乘之为二率者，正合三比例为一比例也。设如原有菽三斗，换黍二斗；又黍四斗，换稷三斗；又稷五斗，换稻四斗；又稻六斗，换麦五斗。今有麦七斗，问换菽几何？法以所换麦五斗与所换稻四斗相乘得二石，复以所换稷三斗乘之得六石，再以所换黍二斗乘之得一十二石，为一率。又以原有稻六斗与原有稷五斗相乘得三石，复以原有黍四斗乘之得一十二石，再以原有菽三斗乘之得三十六石，为二率。今有麦七斗为三率，推得四率二石一斗，即麦七斗所换之菽数也。此合四比例为一比例也。如分作四比例明之：麦五斗换稻六斗，则麦七斗必换稻八斗四升，此一比例也。稻四斗换稷五斗，则稻八斗四升必换稷一石零五升，此二比例也。稷三斗换黍四斗，则稷一石零五升必换黍一石四斗，此三比例也。黍二斗换菽三斗，则黍一石四斗必换菽二石一斗，此四比例也。夫黍一石四斗原为稷一石零五升之所换，而稷一石零五升又为稻八斗四升之所换，而稻八斗四升又为麦七斗之所换，则黍一石四斗所换之菽二石一斗即为麦七斗之所换，可知矣。今以四比例之各一率连乘之为一率，又以四比例之各二率连乘之为二率者，正合四比例为一比例也。设如原有工人一百，开河四十丈，二十日工完。今有工人一千，开河八十丈，问得日数几何？法以今有工人一千与原开河四十丈相乘得四万丈为一率，二十日为二率，以原有工人一百与今开河八十丈相乘得八千丈为三率，推得四率四日，即一千人开河八十丈之日数也。此法以原有今有两数互乘以比例者，所以齐其分也。

试将两首位一千工与一百工互乘得十万工，然后互乘丈数，原有一边得四万丈，今有一边得八千丈。是原一百工开四十丈，则十万工开四万丈，其比例相同；今一千工开八十丈，则十万工开八千丈，其比例亦同也。因两工数相同，故以四万丈与二十日之比，即同于八千丈与四日之比。葢原有十万工开河四万丈，二十日可完；今亦有十万工开河八千丈，则四日可完，为比例四率也。然此法实系两比例合为一比例也。如分作两比例明之，则先以人工为比例，原一百工开二十日，今一千工即应开二日，为今一千工开河四十丈之日数，此一转比例也。次用丈数为比例，原四十丈应开二日，今八十丈则应开四日，为今一千工开河八十丈之日数，此一正比例也。法以两比例之一率相乘为一率，两比例之三率相乘为三率者，正合两比例为一比例也。设如原有书一百篇，六人写之，十日完；每篇三百字。今有书二百篇，八人写之，十二日完。问每篇得字若干？法以今有二百篇与原有六人相乘得一千二百，又以原有十日乘之得一万二千为一率；每篇三百字为二率；以原有一百篇与今有八人相乘得八百，又以今有十二日乘之得九千六百为三率。推得四率二百四十字，即今八人写十二日每篇之字数也。试将两首位一百篇与二百篇互乘得二万篇，然后互乘人工与日，原有一边得一万二千工，今有一边得九千六百工。葢原有二万篇用一万二千工，每篇三百字；今亦有二万篇用九千六百工，其每篇必二百四十字，为比例四率也。然此法实系三比例合为一比例也。如分作三比例明之，则先以篇数为比例，原一百篇每篇三百字，今匀为二百篇，则每篇只应一百五十字，此一转比例也。然人数不同，故次以人数为比例，原六人写之每篇应一百五十字，今八人写之则每篇应二百字，此一正比例也。然日数又不同，故次以日数为比例，原写十日每篇应二百字，今写十二日则每篇应二百四十字，此又一正比例也。法以三比例之各一率连乘之为一率，三比例之各三率连乘之为三率者，正合三比例为一比例也。设如原雇人写书，每篇六百字，八人写二十日，得一百二十篇。今写书，每篇四百五十字，却用十二人写三十日，问得篇数几何？法以今有四百五十字与原有八人相乘得三千六百，又以原有二十日乘之得七万二千，为一率；一百二十篇为二率；以原有六百字与今有十二人相乘得七千二百，又以今有三十日乘之得二十一万六千，为三率。推得四率三百六十篇，即今十二人写三十日之篇数也。试将两首位六百字与四百五十字互乘得二十七万字，然后互乘人工与日，原有一边得七万二千工，今有一边得二十一万六千工。

葢原有一边二十七万字用七万二千工得一百二十篇，今一边亦二十七万字用二十一万六千工则得三百六十篇，为比例四率也。然此法亦系三比例合为一比例也。如分作三比例明之，则先以字数为比例，原每篇六百字为一百二十篇，今每篇四百五十字则必匀为一百六十篇，此一转比例也。然人数不同，故次以人数为比例，原八人写之应得一百六十篇，今十二人写之则应得二百四十篇，此一正比例也。然日数又不同，故次以日数为比例，原写二十日应得二百四十篇，今写三十日则应得三百六十篇，此又一正比例也。法以三比例之各一率连乘之为一率，三比例之各三率连乘之为三率者，正合三比例为一比例也。设如海船内原有甜水二万零一百六十斤，每人每日用二斤，足用四个月。今又添四千零三十二斤，合前数共二万四千一百九十二斤，欲用六个月，问每日每人应用几何？法以原有二万零一百六十斤与今六个月相乘得一十二万零九百六十个月为一率，每人每日用水二斤，通为三十二两为二率，以今有二万四千一百九十二斤与原四个月相乘得九万六千七百六十八个月为三率，推得四率二十五两六钱，即今每人每日应用之数也。试将两首位数互乘得四亿八千七百七十一万零七百斤，然后互乘月数，原有一边得九万六千七百六十八个月，今有一边得一十二万零九百六十个月。葢原有水四亿八千七百七十一万零七百斤，足用九万六千七百六十八个月，每人得三十二两，今有水亦四亿八千七百七十一万零七百斤，欲用十三万零九百六十个月，则每人得二十五两六钱，为转比例四率也。然此法亦系两比例合为一比例也。如分作两比例明之，则先以水数为比例，原有水二万零一百六十斤，每人每日用三十二两，今水二万四千一百九十二斤，则每人每日应用三十八两四钱，此一正比例也。然月数不同，故次以月数为比例，原用四个月，每日应用三十八两四钱，今欲用六个月，则每日应用二十五两六钱，此一转比例也。法以两一率相乘为一率，两三率相乘为三率者，正合两比例为一比例也。设如原有米八万石，用车二十四辆，日行四十里，二十日运完。今有米十万石，用车三十辆，日行六十里，问运完日数几何？法以原有八万石与今用车三十辆相乘得二百四十万辆，又以今行六十里乘之得一亿四千四百万里，为一率；二十日为二率。以今有十万石与原用车二十四辆相乘亦得二百四十万辆，又以原行四十里乘之得九千六百万里，为三率。推得四率十三日又三分日之一，即今米十万石运完之日数也。试将两首位数互乘得八十亿石，然后互乘车数里数：原有一边得九千六百万里，今有一边得一亿四千四百万里。

葢原有米八十亿石，用车二百四十万辆，行九千六百万里，得二十日运完；今有米亦八十亿石，亦用车二百四十万辆，行一亿四千四百万里，故十三日又三分日之一运完，为转比例四率也。然此法亦系三比例合为一比例也。如分作三比例明之，则先以米数为比例：原米八万石运二十日，今米十万石，则应运二十五日，此一正比例也。然车数不同，故次以车数为比例：原车二十四辆应运二十五日，今车三十辆，则应运二十日，此一转比例也。然日行里数又不同，故次以里数为比例：原行四十里应运二十日，今行六十里，则应运十三日又三分日之一，此又一转比例也。法以三比例之各一率连乘之为一率，三比例之各三率连乘之为三率者，正合三比例为一比例也。设如原有麦子一万二千石，车十二辆，每车载三石，日行八十里，四十日运完。今有麦三万石，车十六辆，每车载四石，日行六十里，问运完日数几何？法以原有麦子一万二千石与今车十六辆相乘，得一十九万二千辆，又以今每车载麦四石乘之，得七十六万八千石，又以今行六十里乘之，得四千六百零八万里为一率，四十日为二率。以今有麦子三万石与原有车十二辆相乘，得三十六万辆，又以原每车载麦三石乘之，得一百零八万石，又以原行八十里乘之，得八千六百四十万里为三率，推得四率七十五日，即今麦三万石运完之日数也。试将两首位数互乘，得三亿六千万石，然后互乘车数、石数、里数。原有一边得八千六百四十万里，今有一边得四千六百零八万里。葢原有麦三亿六千万石，用车三十六万辆，载一百零八万石，行八千六百四十万里，得四十日运完。今有麦亦三亿六千万石，用车一十九万二千辆，载七十六万八千石，行四千六百零八万里，得七十五日运完，为转比例四率也。然此法系四比例合为一比例也。如分作四比例明之，则先以麦数为比例，原麦一万二千石运四十日，今麦三万石，则应运一百日，此一正比例也。然车数不同，故次以车数为比例，原车十二辆应运一百日，今车十六辆，则应运七十五日，此一转比例也。然每车所载石数不同，故次以石数为比例，原每车载三石应运七十五日，今每车载四石，则应运五十六日二五【即四分日之一】此又一转比例也。然日行里数又不同，故次以里数为比例，原日行八十里应运五十六日二五，今日行六十里则应运七十五日，此又一转比例也。法以四比例之各一率连乘之为一率，四比例之各三率连乘之为三率者，正合四比例为一比例也。

正比例带分设如，有银买米，每米一石价银八钱四分，今买米三分石之二，问该银若干？法以米一石用分母三通为三分，为一率；银八钱四分，为二率；分子二分，为三率。二、三率相乘，一率除之，得四率五钱六分，即银数也。葢米一石通为三分，以三分与八钱四分之比，即同于二分与五钱六分之比，皆为三分之二之比例也。设如有人行路，行过五分之二，系八十里，问总里数几何？法以分子二分为一率，分母五分为二率，行过八十里为三率，二三率相乘，一率除之，得四率二百里，即总里数也。葢总里数之五分之二为八十里，以二分与五分之比，即同于八十里与二百里之比，皆为五分之二之比例也。设如，有银买米，每米三分石之二，价银七分两之五。今买米四分石之三，问该银若干？法以三分石之二为一率，七分两之五为二率，四分石之三为三率。用通分乘法，以二率分母七与三率分母四相乘，得二十八为乘出之分母。又以二率分子五与三率分子三相乘，得一十五为乘出之分子，是为二十八分之十五为二率三率相乘之数。以一率三分石之二除之，因分母除不尽，乃用通分互乘代除之法除之。以乘出之分母二十八与一率之分子二相乘，得五十六为除出之分母。又以一率之分母三与乘出之分子十五相乘，得四十五为除出之分子，即得四率五十六分两之四十五为所求之数也。如求真数，则变零分为两，以分母五十六为一率，一两为二率，分子四十五为三率，推得四率八钱余二不尽，命为五十六分钱之二，约为二十八分钱之一，即所求之真数也。设如，有银买蜡，每银二两六钱买蜡十斤零五分斤之二，又七两零二分两之一，今有银九钱，问买蜡几何？法以银二两六钱为一率，以蜡十斤通为一百六十两，又五分斤之二通为六两四钱，又七两零二分两之一通为七两五钱，共得一百七十三两九钱为二率。今有银九钱为三率，推得四率六十两零一钱九分，收为三斤零十二两一钱九分，即所求之蜡数也。此法虽有零分，而分两实可相通，故各相通以为比例四率也。设如，有银买羽绒，每三分丈之一，价银四分两之三。今欲买八分丈之七，问该银若干？法以原羽绒三分丈之一为一率，原银四分两之三为二率，今羽绒八分丈之七为三率，用通分乘法。以二率分母四与三率分母八相乘，得三十二为乘出之分母；又以二率分子三与三率分子七相乘，得二十一为乘出之分子，是为三十二分之二十一为二率三率相乘之数。乃以一率三分丈之一除之，因分母除不尽，乃用通分互乘代除之法除之。以乘出之分母三十二与一率之分子一相乘，仍得三十二为除出之分母；又以一率之分母三与乘出之分子二十一相乘，得六十三为除出之分子，即得四率三十二分两之六十三为所求之数也。满分母三十二分收为一两，余三十一【六十三分内减去三十二分，仍余三十一】为一两又三十二分两之三十一。如求真数，则以分母三十二为一率，一两为二率，分子三十一为三率，推得四率九钱六分八厘七豪五丝，与整数一两相加，得一两九钱六分八厘七豪五丝，即真数也。设如，有银买缎，每缎二疋，共价八两，又五分两之四，今欲买三十六疋，问共价若干？法以二疋为一率，共价八两，用分母五通为四十分，加分子四，得四十四分，为二率。今买三十六疋为三率，推得四率七百九十二分，以每分母五分收为一两，得一百五十八两又五分两之二【以五分为一率，一两为二率，七百九十二分为三率，推得四率一百五十八两余二分，即命为五分两之二】即所求之数也。如以五分两之二收为四钱【五分为一两，则二分为四钱】则得一百五十八两四钱，即缎三十六疋之共价也。如以子母分变为真数求之，二疋共价八两又五分两之四，则五分为一两，四分为八钱，是二疋共价为八两八钱，即以二疋为一率，八两八钱为二率，三十六疋为三率，亦得四率一百五十八两四钱，为缎三十六疋之共价也。

转比例带分设如一案，长九尺，宽一尺六寸。今欲将原长减三分之一，其面积仍与原案等，问宽几何？法以原长九尺，用分母三归之，得每分三尺。于原长九尺内减去一分之三尺，余六尺为今长，为一率；原宽一尺六寸为二率；原长九尺为三率。二三率相乘，一率除之，得四率二尺四寸，即今所求之宽也。此法因分母三可以度尽原长，故变今长为真数，与他率为比例也。设如营造原每日用五十六人，为一月又九分月之三，可以完工。今每日用六十四人，问完工之日得几何？法以今用六十四人为一率，以分母九通一月为九分，加入分子三，共为九分月之十二为二率，原用五十六人为三率，推得四率九分月之十【月余一分半】分半满，分母九分收为一【十分半内减去九分余一分半】约为六分月之一，即得一月又六分月之一为今用六十四人完工之日也。葢六十四人与一月又九分月之三之比，即同于五十六人与一月又六分月之一之比也。设如原有一门帘，用绫一丈二尺，其绫宽一尺五寸，今欲作一新帘，其绫比原绫宽七分尺之三，问应用长数几何？法以原宽一尺五寸，用分母七通为十分半，加入分子三，得今宽一十三分半为一率，原长一丈二尺为二率，原宽十分半为三率，推得四率九尺又一百三十五分尺之四十五，约为三分尺之一，即得九尺又三分尺之一为今应用之长数也。葢今宽十三分半与原宽十分半之比，即同于原长一丈二尺与今长九尺又三分尺之一之比也。设如城守兵一营，其粮可支一年又七分年之二，今汰去三分之一，问应支年数几何？法先以年分母七通一年为七分，加入分子二，得七分年之九。又以兵分子一减分母三得二，为三分之二，为现存兵数【汰去三分之一则存者为三分之二】因两分母不同，故用互乘以齐之。以两分母三七相乘得二十一为共母分，即原兵分以年分母七互乘兵分子二得十四为今存兵分，以兵分母三互乘年分子九得二十七为原年分。即以所通今存兵十四分为一率，原年数二十七分为二率，原兵二十一分为三率，推得四率二十一分年之四十分半。满分母二十一分，收为一年余十九分半【四十分半内减二十一分余十九分半】约为七分年之六分半，即得一年又七分年之六分半为今应支之年数也。葢今存兵比原兵少三分之一，则支粮年数必多三分之一，故今存兵十四分与原兵二十一分之比，即同于原年数二十七分与今年数四十分半之比也。

御制数理精蕴下编卷三

钦定四库全书