御制数理精蕴下编卷四十

御制数理精蕴下编卷四十

末部十比例规解【分圆线，正▯线，正切线，正割线，尽日晷法假数尺，正▯假数尺，切线假数尺，割线假数尺】

分圆线【即圆内之通▯线】自甲枢心至乙丙两股之末，作甲乙、甲丙二线，依《几何原本》十二卷二十节之法分之，即为分圆线也。或用八线表三十分之正▯倍之即一度之通▯一度之正▯倍之即二度之通▯一度三十分之正▯倍之即三度之通▯至于九十度之正▯倍之即一百八十度之通▯以所得通▯之数，于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成分圆线也。设如甲乙半径六寸，丙乙弧二十九度，问丙乙通▯几何？法以比例尺分圆线六十度之两防，依半径六寸之度展开，勿令移动。次取分圆线二十九度两防相距之度，于分厘尺上量之，得三寸，即丙乙通▯之数也。葢圆之半径与六十度之通▯等，六十度之通▯既为六寸，则二十九度相距之三寸，即为二十九度之通▯可知矣。设如甲乙半径六寸，丙乙通▯三寸，问丙乙弧度几何？法以比例尺分圆线六十度之两防，依半径六寸之度展开，勿令移动。次取通▯三寸之度，于分圆线上寻至二十九度之两防，其相距之度恰合，即丙乙弧为二十九度也。葢圆之半径与六十度之通▯等，通▯六寸相当之度为六十度，则丙乙通▯三寸相当之二十九度，即为丙乙弧之度可知矣。设如丙乙弧三十一度，丙乙通▯一寸零三厘，问甲乙半径几何？法以比例尺分圆线，三十一度之两防，依通▯一寸零三厘之度展开，勿令移动。次取六十度两防相距之度，于分厘尺上量之，得二寸，即甲乙半径也。葢六十度之通▯与圆之半径等，三十一度之通▯为一寸零三厘，则六十度之通▯二寸，即为圆之半径可知矣。设如圆径六寸，内容五等边形，问每一边几何？法以比例尺分圆线六十度之两防，依半径三寸之度展开，勿令移动。次以圆周三百六十度用五归之，得七十二度，即五等边形每边相当之弧。乃取分圆线七十二度两防相距之度，于分厘尺上量之，得三寸五分有余，即圆内五等边形之一边也。葢圆内容五边形之每一边，即七十二度之通▯，而半径又即六十度之通▯。六十度之通▯为三寸，则七十二度之通▯三寸五分有余，即为圆内容五等边形之一边，可知矣。设如，有甲乙丙三角形，问乙角之度几何？法以乙角为心，任以一处为界，作丁戊弧，则乙丁、乙戊皆为圆之半径，丁己戊爲乙角之通▯。乃以比例尺分圆线六十度之两防，依乙丁半径之度展开，勿令移动。次取丁己戊通▯之度，于分圆线上寻至三十度之两防，其相距之度恰合，即乙角为三十度也。

正▯线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙、甲丙二线，用八线表正▯线，自一度至九十度之数【自八十度至九十度，正▯每度之较甚防，若尺小不能分，或隔一度而作一防，或隔五度而作一防】于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成正▯线也设如甲乙半径六寸，丙乙弧二十一度，问丙丁正▯几何？法以比例尺正▯线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动，次取正▯线二十一度两防相距之度于分厘尺上量之，得二寸一分五厘，即丙丁正▯之数也。葢圆之半径与九十度之正▯等，九十度之正▯既为六寸，则二十一度相距之二寸一分五厘即为二十一度之正▯，可知矣。若用分圆线，则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动，次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度，即取分圆线四十二度两防相距之度于分厘尺上量之，得四寸三分，为四十二度之通▯，折半得二寸一分五厘，即丙丁正▯之数也。葢正▯之弧为弧背之一半，正▯为通▯之一半，故求得倍弧之通▯折半即半弧之正▯，此分圆线与正▯线可以互相为用也。设如甲乙半径六寸，乙丁正▯三寸，问乙丙弧之度几何？法以比例尺正▯线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动，次取正▯三寸之度于正▯线上寻至三十度之两防，其相距之度恰合，即乙丙弧为三十度也。葢圆之半径与九十度之正▯等，正▯六寸相当之度为九十度，则正▯三寸相当之三十度为丙乙弧之度可知矣。若用分圆线，则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动，次以正▯三寸倍之得六寸于分圆线上寻之得六十度，折半得三十度，亦即乙丙弧之度也。设如甲乙弧三十二度，甲丙正▯一寸零六厘，问乙丁半径几何？法以比例尺正▯线三十二度之两防依正▯一寸零六厘之度展开，勿令移动。次取九十度两防相距之度于分厘尺上量之，得二寸，即乙丁半径也。盖九十度之正▯与圆之半径等，三十二度之正▯为一寸零六厘，则九十度之正▯二寸即为圆之半径，可知矣。若用分圆线，则以三十二度倍之得六十四度，以正▯一寸零六厘倍之得通▯二寸一分二厘。乃以分圆线六十四度之两防依通▯二寸一分二厘之度展开，勿令移动。次取分圆线六十度两防相距之度于分厘尺上量之，得二寸，即乙丁半径也。设如简平仪下盘作节气线，问其法若何？

法自甲圆心作乙丙径线又自甲平分作赤道线即为春分秋分线乃以比例尺正▯线九十度之两防依甲乙半径之度展开勿令移动次取二十三度半两防相距之度【二至黄赤道大距度】于赤道线左右丙乙径上。

作识如丁戊依识与赤道平行作线即为夏至冬至线【丁为夏至，戊为冬至】复以正▯线。

九十度之两防依甲戊二十三度半之正▯线度展开勿令移动而取十五度三十度四十五度六十度七十五度之各两防相距之度于赤道左右作识悉与赤道平行作线即成二十四节气线也葢赤道即春分秋分距二分十五度之线左为惊蛰寒露右为清明白露距二分三十度之线左为雨水霜降右为谷雨处暑距二分四十五度之线左为立春立冬右为立夏立秋距二分六十度之线左为大寒小雪右为小满大暑距二分七十五度之线左为小寒大雪右为芒种小暑距二分九十度之线左即冬至右即夏至也设如简平仪下盘欲作时刻线，问其法若何？

法如前作径线及赤道二至线乃以比例尺正▯线九十度之两防依半径【即春秋分线之半】之度展开，勿令移。

动次取十五度三十度及四十五度六十度七十五度之各两防相距之度自圆心于赤道线上下作识即春秋分时之二十四时刻也又以比例尺正▯线九十度之两防依冬夏至线之半展开勿令移动取十五度三十度四十五度六十度七十五度之各两防相距之度自圆径与二至线相交之处于二至线上下作识即二至时之二十四时刻也乃用三防串圆之法将二至及二分之防连为一线即成时刻线矣葢中心横线为卯正酉正距中心十五度之线上为辰初酉初下为卯初戌初距中心三十度之线上为辰正申正下为寅正戌正距中心四十五度之线上为巳初申初下为寅初亥初距中心六十度之线上为巳正未正下为丑正亥正距中心七十五度之线上为午初未初下为丑初子初距中心九十度之线即圆周上为午正下为子正也正切线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙、甲丙二线，用八线表正切线自一度至四十五度之数于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成正切线也。至于四十五度以后，则与四十五度以前相为正余，葢四十五度之正切线与半径等，四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线，而半径与正切之比同于余切与半径之比，故切线止用四十五度即足九十度之用也。设如甲乙半径六寸，乙丙弧三十五度，问丁乙切线几何？法以比例尺，正切线四十五度之两防，依半径六寸之度展开，勿令移动。次取正切线三十五度两防相距之度，于分厘尺上量之，得四寸二分，即丁乙切线之数也。葢圆之半径与四十五度之切线等，四十五度之切线既为六寸，则三十五度相距之四寸二分，即为三十五度之切线，可知矣。设如甲乙半径六寸，乙丙弧五十八度，问丁乙切线几何？法以五十八度与九十度相减，余三十二度为余弧。乃以比例尺正切线三十二度之两防，依半径六寸之度展开，勿令移动。次取四十五度两防相距之度，于分厘尺上量之，得九寸六分，即丁乙切线之数也。葢圆之半径与四十五度之切线等，而三十二度之正切即为五十八度之余切。夫半径与正切之比，既同于余切与半径之比，故以三十二度相距之六寸当半径，而四十五度相距之九寸六分，即为五十八度之切线也。凡过四十五度者，皆仿此。设如甲乙半径六寸，丙乙切线四寸二分，问丁乙弧之度几何？法以比例尺正切线四十五度之两防，依半径六寸之度展开，勿令移动；次取切线四寸二分之度。于正切线上寻至三十五度之两防，其相距之度恰合，即丁乙弧为三十五度也。葢圆之半径与四十五度之切线等，切线六寸，相当之度为四十五度，则切线四寸二分，相当之三十五度，即为乙丁弧之度，可知矣。设如甲乙弧三十五度，丙乙切线一寸零五厘，问丁乙半径几何？法以比例尺正切线三十五度之两防，依切线一寸零五厘之度展开，勿令移动；次取正切线四十五度两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸五分，即丁乙半径也。葢四十五度之切线与圆之半径等，三十五度之切线为一寸。零五厘，则四十五度之切线，一寸五分，即为丁乙半径可知矣设如地平上立表髙四尺，日中影长三尺六寸零二厘，问日髙度几何？法以比例尺正切线四十五度之两防，依分厘尺四寸之度展开，勿令移动。次取分厘尺三寸六分零二豪之度，于正切线上寻至四十二度之两防，其相距之度恰合。乃以四十二度与九十度相减，得四十八度为日距地平之髙度也。盖地平上立表取影，以表为半径，则影为日距地平之余切线。如甲乙表髙为半径，乙丙影长为切线，求得乙丁弧为甲角之度，故与九十度相减得丙角，始为日距地平之度也。设如壁上立横表四尺，日中影长二尺四寸零三厘，问日髙度几何？法以比例尺正切线四十五度之两防，依分厘尺四寸之度展开，勿令移动。次取分厘尺二寸四分零三豪之度，于正切线上寻至三十一度之两防，其相距之度恰合，即日距地平之髙为三十一度也。葢壁上立横表取影，以表为半径，则影即日距地平之正切线。如甲乙横表为半径，甲丙影长为切线，求得甲丁弧为乙角之度，与乙丙戊角之度等，故即为日距地平之髙度也。

正割线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙、甲丙二线，用八线表正割线。自初度至七十度之数【初度割线即圆之半径，自一度至十度，其每度之较甚防，若尺小不能分，或隔五度作一防。自七十度以上渐与切线平行，其数甚大，尺上不能容，故止取七十度也】于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成正割线也。设如甲乙半径六寸，乙丙弧四十一度，问甲丁割线几何？法以比例尺，正割线初度之两防，依半径六寸之度展开，勿令移动。次取正割线四十一度两防相距之度，于分厘尺上量之，得七寸九分五厘，即甲丁割线之数也。葢初度尚无切线，故其割线即圆之半径。初度之割线既为六寸，则四十一度相距之七寸九分五厘，即为四十一度之割线，可知矣。设如甲乙半径六寸，甲丙割线一尺二寸，问丁乙弧之度几何？法以比例尺，正割线初度之两防，依半径六寸之度展开，勿令移动。次取割线一尺二寸之度，于正割线上寻至六十度之两防，其相距之度恰合，即丁乙弧为六十度也。葢初度之割线即圆之半径，割线六寸相当之度为初度，则割线一尺二寸相当之六十度，即为丁乙弧之度，可知矣。设如甲乙弧四十四度半，丙丁割线二寸一分零三豪，问丁乙半径几何？法以比例尺正割线四十四度半之两防，依割线二寸一分零三豪之度展开，勿令移动。次取初度两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸五分，即丁乙半径之数也。葢初度之割线即圆之半径，四十四度半之割线为二寸一分零三豪，则初度之割线一寸五分即为丁乙半径，可知矣。

作地平日晷法【以北极出地四十度为准】

法先作南北东西线相交于甲各成直角次作甲乙丙晷表取甲角五十度为赤道髙丙角四十度为北极高而乙角为直角次取晷表之甲乙度截南北线于丁为半径作圜用比例尺分圆线比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各分分圜界作识乃自丁圜心引出各界作线至东西线上即得午正前后各初正时刻或以甲乙为半径用比例尺正切线比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各切线自甲左右作以北极出地四十度为准识于东西线上亦即午正前后各初正时刻【甲为午正，距甲十五度前为午初，后为未初，距甲三十度前为巳正。后为未正，距甲四十五度；前为巳初，后为申初，距甲。六十度前为辰，正后为申正，距甲七十五度前为辰。初，后为酉初也】乃以晷表之丙为晷心至各防作线即时刻线也卯正酉正各距午正前后九十度故自丙晷心与东西线平行作线即卯正酉正线卯正以前酉正以后则日转在北影转在南故与辰初酉初反对作线即卯初戌初线也次按刻细分则自午正甲防每加三度四十五分而得一刻葢十五度当四刻而三度四十五分则当一刻也此法葢因北极为天之枢赤道为天之带太阳虽由黄道而行时刻皆以赤道而定故以晷表之甲乙指赤道丙乙指北极而东西线即为赤道线丙乙即为过极经圈甲乙即为半径午正太阳在正南则影在正北若偏东偏西若干度则其切线即其影之长故以甲乙为半径作圜而分圜界者即所以求切线至于用比例尺正切线者正以切线分时刻也地平日晷作节气线法法以甲乙丙晷表之甲角与丙乙平行作戊己线而以甲乙为半径用比例尺正切线比得二十三度三十分二十二度四十分二十度十二分十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切线自甲左右作识于戊己线上即得各节气日影界【春秋分为赤道】冬至距赤道南，夏至距赤道北，各二十三度三十分。小寒、大雪距赤道南，芒种、小暑距赤道北各二十二。度四十分，大寒、小雪距赤道南，小满、大暑距赤道北。各二十度十二分，立春、立冬距赤道南，立夏、立秋距。赤道北各十六度二十三分，雨水，霜降，距赤道南谷。雨、处暑距赤道北各十一度三十分，惊蛰、寒露距赤道南清明白露距赤道北各五度，五十五度】或以二十三度三十分之正切线甲戊为半径作圜将甲乙线引长平分为四象限用比例尺分圆线比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各圜界又以乙戊为半径作戊己弧而依所分甲戊小圜界各与甲乙平行作线截戊己弧界又自乙至戊己各弧界作线截戊甲己线亦即得各节气日影界【甲为春秋分距甲十五度，左为惊蛰、寒露，右为清明、白露。距甲三十度，左为雨水、霜降，右为谷雨、处暑。距甲四十五度左为立春，立冬右为立夏，立秋距甲六十度。

左为大寒、小雪，右为小满、大暑，距甲七十五度，左为小寒、大雪右为芒种、小暑】乃自乙至各防作线与午正时刻线相交其相交之防即午正各节气日影界也若求未初节气线则先以丙乙为半径作圜又依甲乙度截午正线于庚而以未初线与赤道相交之辛防至庚相距之度截圜界于壬作壬辛线乃与壬辛取直角作癸子十字线以壬辛为半径如前法比得二十三度三十分等距纬之各切线于辛左右作识于癸子线乃自壬至各防作线与未初时刻线相交其相交之防即未初各节气日影界也仿此类推则得各时刻之各节气日影界或用捷法另取一纸画甲乙丙表式将乙甲乙戊乙己类各节气线俱画长些如求未初节气线则以丙合于晷心丙而以甲乙春秋分线合于未初时刻线与赤道相交之辛防乃于各节气线与未初时刻线相交之处俱作防识之即得未初各节气之日影界余仿此乃将各时刻线与莭气线相交之防作线聫之即成节气线也葢春秋分日行赤道而晷表之甲乙指赤道故赤道线即为春秋分线春秋分时日在赤道则午正日影在甲春分以后秋分以前日在赤道北夏至而极北则影在南春分以前秋分以后日在赤道南冬至而极南则影在北故以甲乙为半径而取各距度之切线为各节气之影界且切线与半径成直角故先与甲乙取直角作十字线而后得其切线也【甲乙本直立之线与之取直角，则戊端应在晷面下。己端应在空中出，晷面上而其距午正线之逺近与平面斜线之度，同葢平与立之理一也】其以冬夏至之影界为半径作圜用分圆线求之者葢半径与冬夏至距纬正▯之比同于各节气距二分度之正▯与各节气距纬正▯之比故以甲戊为半径作圜为一率又以乙戊为半径作戊己弧则甲戊切线即变为冬夏至距纬之正▯为二率而用分圆线所分各圜界即得各节气距二分度之正▯为三率其自圜界作线截戊己弧即得各节气距纬之正▯为四率既得各节气之距纬度又自乙至各弧界作线截戊甲己线则戊甲己线仍为各节气距纬之切线故用正▯即如用切线也然虽得各节气之影界而犹不在午正线之上故自乙至各节气防作线交于午正线乃自乙表端照至各节气防所必经之处故为午正节气日影界也至于未初春秋分时则日影至辛乙辛为影线成乙甲辛勾股形甲乙为股【甲乙表直立，故为股】甲辛为勾，乙辛为▯故以甲乙度截午正线于庚而取庚辛之度即与乙辛影线之度等又乙辛线与丙乙为直角成丙乙辛立勾股形丙乙为勾乙辛影线为股丙辛时刻线为▯【葢丙乙为过极经圈乙辛为赤道影线经】圈与赤道无在而非直角，故乙辛与影线亦无在而非直角也】故以丙乙为半径作圜而取庚辛度截圜界于壬成丙壬辛平勾股形即与丙乙辛立勾股形相等【丙壬与丙乙等，壬辛与乙辛等，丙辛仍为▯线，故成。

相等勾股形】爰以壬辛影线为半径与壬辛作直角取各节气之切线为各节气日影界皆与午正取节气线之法同至其捷法乃以已成之勾股已分之切线转移用之尤为便捷也向南壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】

法先作直线及东西横线相交于甲各成直角次作甲乙丙晷表取甲角四十度丙角五十度而乙为直角乃依地平日晷作时刻线法求之即得各时刻线葢晷表之甲丙指天顶甲乙指赤道故丙甲乙角定为四十度则乙甲丁外角为五十度即赤道之髙度也丙乙指南极丙戊指地平故甲丙乙角定为五十度则乙丙戊外角为四十度乃南极入地之度即北极出地之度也甲乙既指赤道丙乙既指南极则丙乙即为过极经圈甲乙即为半径午正太阳在正南则影在正北若偏东偏西若干度则其切线即其影之长皆与地平日晷之法同至于作节气线之法亦与地平日晷同但赤道线以上为春分前秋分后至冬至之节气线赤道线以下为春分后秋分前至夏至之节气线葢春分以后秋分以前日行赤道北夏至而极北其度髙故其影在下也秋分以后春分以前日行赤道南冬至而极南其度卑故其影在上也向东壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】

法先安甲乙直表与壁面成直角【甲乙表不拘尺寸】次作甲丙垂线及甲丁横线各成直角次以甲为心作甲丙丁象限弧用比例尺分圆线比得赤道髙五十度之弧为丁戊自甲至戊作甲戊赤道线乃以甲乙表长为半径用比例尺正切线比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各切线于赤道线上作识按识作十字线即成时刻线也【甲防为卯正，距甲十五度，前为卯初，后为辰初，距甲三十度；为辰正，距甲四十五度；为巳初，距甲六十度为巳正，距甲七十五度为午初】葢时刻生于赤道春秋分时卯正日出正东与表对射故无影若向南若干度则其切线即其影之长至于午正则距卯正九十度切线与割线平行故无切线而日影即与壁面平行故亦无影也若于向西壁上画晷则以午初为未初巳正为未正巳初为申初辰正为申正辰初为酉初卯正为酉正卯初为戌初余俱与向东壁上画晷法同向东壁上立面日晷画节气线法。

法以乙表端至卯初防相距之度为半径用比例尺正切线比得二十三度三十分二十二度四十分二十度十二分十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切线于卯初线左右作识即得各节气日影界【春秋分为赤道，冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分，小寒、大雪距赤道南芒种小暑距赤道北各二十二度四十分大寒。小雪距赤道南，小满、大暑距赤道北，各二十度十二。分立春、立冬距赤道南，立夏、立秋距赤道北各十六。度二十三分，雨水，霜降，距赤道南；谷雨，处暑，距赤道。北各十一度三十分，惊蛰、寒露距赤道南，清明白露。距赤道北各五度五十五分】又以乙表端至卯正防相距之度【即甲乙表长】为半径比得各节气距纬度之切线于卯正线左右作识即为卯正各节气日影界凡各时刻节气俱以乙表端至各时刻防相距之度为半径比得各节气距纬度之切线于各时刻线左右作识即得各时刻各节气之日影界将各防作线聨之即成节气线也葢春秋分时日在赤道故其影界即在赤道线之上其自表端至各时刻防相距之度即春秋分各时刻之影线也若春分以后秋分以前日在赤道北夏至而极北则影在南春分以前秋分以后日在赤道南冬至而极南则影在北故以表端至各时刻防相距之度为半径而取各节气距纬度之切线即为各时刻各节气之日影界聨之即成节气线也向西壁法同假数尺法按分厘尺二百分之度，作甲丁乙丙二平行线，又作甲乙丁丙二线，令成直角，乃取假数表内自一至一百所对之假数，于分厘尺上取其度【如二之假数为○三○一则为三寸零一厘】截甲丁乙丙二边，依所截防作线，与甲乙边平行，又将甲乙丁丙二边各平分为十分，作线与甲丁平行，自一十以上，又依分厘尺法，于各平行线之间悉作斜线，则斜线与直线相交之处，即其间零数之度，如一○至一一之斜线，其与第一直线相交之处，即一○一也，故假数虽止于一百，而可以当一千之用，若尺止长一尺，则如上图截去自一至九之数，从一十起至一百止，葢十之假数为一，而百之假数为二，今既截去一尺，则假数即减去首位之一，取其零数作寸分厘豪，用时则以十为单，总之假数尺虽始于一十，终于一百，小之则可以为单为零，大之则可以为千为万，皆因假数之首位虽递加一数，而其后之零数皆同，故可以进退为用，惟在比例分明，加减详审，则其用自无穷也。设如，有十二人，每人给银四两五钱，问共银几何？法以假数尺之四分五厘【即从一十至四十五之度】与一十二分相加，得五十四分，即五十四两为共银数也。葢一人与四两五钱之比，同于一十二人与五十四两之比，而真数以乘得者，假数以加得之，故以四分五厘当四两五钱，以十二分当十二人，两线相加，即得五十四两为共银数也。

设如，有米四百八十石，每石价银七钱五分，问共价银几何？法以假数尺之七分五厘【即自一十至七十五之度】与四十八分相加，过于一百分之度，乃以其过于一百分之余度，自假数尺十分以上量之，得三十六分，即三百六十两为共价银数也。葢以四十八分当四百八十石，是以单当十则相加过于一百分，即为过于一千分矣。而以其过于一千分之余度，自十分以上量之，是以十分当千分，则三十六分即为三千六百分。既以七分五厘当七钱五分，故三千六百分即为三百六十两也。设如，有银五百一十二两，令三十二人分之，问每人几何？法以假数尺之五十一分二厘内减去三十二分，以其余度自假数尺十分以上量之，得十六分，即十六两为每人之银数也。葢三十二人与五百一十二两之比，同于一人与十六两之比，而真数以除得者，假数以减得之。故以五十一分二厘当五百一十二两，以三十二分当三十二人，相减用其余度自十分以上量之，是以十分当一分，故十六分即为一分六厘。既以五十一分二厘当五百一十二两，则一分六厘即为十六两也。设如，有米四十二石，令六十人分之，问每人几何？法以假数尺之四十二分内，减去六分【即自一十至六十之度】不足于一十之分，乃以其不足于一十之度，自假数尺一百以下减之，余七十分，即七斗为每人之米数也。葢以四十二分当四十二石，以六分当六十人，而以相减不足于一十之分，自一百以下减之，是以百分当十分，则所余之七十分即为七分矣。且以六分当六十人，是所减之数以单当十，则减余之数即以十为单，而单即为零，故所余之七分即为七厘。既以四十二分当四十二石，故七厘即为七斗也。设如每银二两五钱兑钱四千七百五十文，今有银八两，问兑钱几何？法以假数尺之二十五分与四十七分五厘相减，余度与八十分相加，过于一百分，乃以其过于一百分之余度，自假数尺十分以上量之，得十五分二厘，即一万五千二百为共钱数也。葢二两五钱与四千七百五十文之比，同于八两与一万五千二百文之比，故以二两五钱为一率，四千七百五十为二率，八两为三率，得一万五千二百为四率。本宜以二率与三率相加，内减去一率而得四率，今先于二率内减去一率，以其余度与三率相加而得四率，其理同也。又四率既过于一百分，而以其过于一百分之余度，自十分上量之，是以十分当百分，故十五分二厘即为一百五十二分。既以四十七分半当四千七百五十，则一百五十二分即为一万五千二百也。设如，有银六两，买米五石。今有银四两八钱，问买米几何？法以假数尺之六十分内减去五十分，余度与四十八分相减，得四十分，即四石为米数也。

葢六两与五石之比，同于四两八钱与四石之比，故以六两为一率，五石为二率，四两八钱为三率，得四石为四率。本宜以二率与三率相加，内减去一率而得四率，今先于一率内减去二率，以其余度与三率相减而得四率，其理同也。总之，二率大于一率者，则四率亦大于三率，故以二率多于一率之分与三率相加而得四率；若二率小于一率者，则四率亦小于三率，故以二率小于一率之分与三率相减而得四率。用虽不同，而理实一也。

正▯假数尺法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至九十度之正▯假数减去首位之八于分厘尺上取其度【如一度之正▯假数为八二四一八减去首位之八余二四一八即为二寸四分一厘八豪】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数如自一度至二度之斜线其与第一直线相交之处即一度五分其与第二直线相交之处即一度十分葢一度有六十分故直线分为十二每一直线当五分若于直线之间酌量取之则五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至九十度止葢九十度之正▯假数首位为一○一度之正▯假数首位为八相减余二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺则假数首位须再减去一数故从六度起六度之正▯假数首位为九减去首位之九取其零数作寸分厘豪至九十度则恰得一尺之分也设如甲乙丙三角形，甲角四十四度三十分，丙角五十三度，乙丙边五尺三寸七分，问甲乙边几何？法以正▯假数尺之四十四度三十分与五十三度相减，用其余度与假数尺之五十三分七厘相加，得六丁一分一厘，即六尺一寸一分为甲乙边也。葢甲角正▯与丙角正▯之比同于乙丙边与甲乙边之比，故以四十四度三十分之正▯为一率，五十三度之正▯为二率，假数尺之五十三分七厘当乙丙边为三率，得六十一分一厘当甲乙边为四率。本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率，今先于二率内减去一率，以其余度与三率相加而得四率，其理同也。设如甲乙丙三角形，甲乙边六尺一寸一分，甲丙边七尺五寸九分，乙角八十二度三十分，问丙角几何？法以假数尺之六十一分一厘与七十五分九厘相减，用其余度与正▯假数尺之八十二度三十分相减，得五十三度为丙角度也。葢甲丙边与甲乙边之比，同于乙角正▯与丙角正▯之比，故以七十五分九厘当甲丙边为一率，六十一分一厘当甲乙边为二率，八十二度三十分之正▯为三率，得乙角五十三度为四率。本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率，今先于一率内减去二率，余度与三率相减而得四率，其理同也。

切线假数尺法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线，又作甲乙丁丙二线，令成直角。乃取八线对数表内自一度至四十五度之切线假数，减去首位之八，于分厘尺上取其度，截甲丁乙丙二边，依所截防作线与甲乙边平行。又将甲乙丁丙二边各平分为十二分，作线与甲丁平行。又依分厘尺法，于各平行线之间悉作斜线，则斜线与直线相交之处，即其间之分数，皆与正▯假数尺同。至于四十五度以后，则与四十五度以前相为正余。葢四十五度之正切线与半径等，四十五度以前之正切线，即四十五度以后之余切线，而半径与正切之比，同于余切与半径之比，故切线尺止用四十五度正余相对，即足八十九度之用。若尺小止用一百分，则截去自一度至五度之数，从六度起至四十五度止，其余度则至八十四度止，亦与正▯假数尺同也。设如甲乙丙直角三角形，甲丙边四尺三寸六分，乙丙边四尺二寸九分，问甲角几何？法以假数尺之四十三分六厘与四十二分九厘相减，用其余度与切线假数尺之四十五度相减，得四十四度三十分，为甲角度也。葢甲丙边与乙丙边之比，同于半径与甲角切线之比，故以四十三分六厘当甲丙边为一率，四十二分九厘当乙丙边为二率，四十五度之切线当半径为三率，得甲角四十四度三十分为四率也。因二率小于一率，故于一率内减去二率，余数于三率内减之，即得四率也。设如甲乙丙直角三角形，甲角五十三度，甲丙边三十二尺三寸，问乙丙边几何？法以切线假数尺之五十三度与半径相减，用其余度与假数尺之三十二分三厘相加，得四十二分九厘，即四十二尺九寸，为乙丙边也。盖半径与甲角正切线之比，同于甲丙边与乙丙边之比；而甲角余切线与半径之比，亦同于甲丙边与乙丙边之比。故以五十三度之余切线为一率，四十五度之切线当半径为二率，三十二分三厘当甲丙边为三率，得四十二分九厘当乙丙边为四率。因五十三度切线自四十五度起，是已减去半径矣，故以二率与三率相加，即得四率，不必更减一率也。

割线假数尺法按分厘尺，二百分之度，作甲丁、乙丙二平行线。又作甲乙、丁丙二线，令成直角。乃取八线对数表内，自一度至八十九度之割线假数，减去首位之一，于分厘尺上取其度，截甲丁、乙丙二边。依所截防作线，与甲乙边平行。又将甲乙、丁丙二边各平分为十二分，作线与甲丁平行。又依分厘尺法，于各平行线之间悉作斜线。则斜线与直线相交之处，即其间之分数，皆与正▯假数尺同。若尺小，止用一百分，则截去自八十五度至八十九度之数，从○度起至八十四度止。葢○度之割线即半径，其假数为一○。今从○度起，即减去半径之数，至八十四度以后，则假数甚大，一尺之内不能容，故止八十四度止也。设如甲乙丙直角三角形，甲角四十五度三十分，甲丙边四十二尺九寸，问甲乙边几何？法以割线假数尺之四十五度三十分与假数尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘，即六十一尺一寸为甲乙边也。葢半径与甲角割线之比，同于甲丙边与甲乙边之比，故以半径为一率，四十五度三十分之割线为二率，四十二分九厘当甲丙边为三率，得六十一分一厘当甲乙边为四率。因割线先巳减去半径之数，故二率与三率相加即得四率，不必更减半径也。设如甲乙丙直角三角形，甲丙边四十二尺九寸，甲乙边五十三尺七寸，问甲角几何？法以假数尺之四十二分九厘与五十三分七厘相减，用其余度自割线假数尺○度以上量之，得三十七度为甲角度也。葢甲丙边与甲乙边之比，同于半径与甲角割线之比，故以四十二分九厘当甲丙边为一率，五十三分七厘当甲乙边为二率，半径为三率，得三十七度当甲角为四率。因○度之割线即半径，故以一率二率相减之余度自○度以上量之，即如与半径相加也。

御制数理精蕴下编卷四十<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书