数度衍卷十八

数度衍卷十八

桐城　方中通　撰和较三率【差分之六】

和较三率差分法凡数分合，不离三率；而互和难测，则立较以测之。立中率以较之，而又互置较位以求之。式上酒每斗价二钱，中酒每斗价一钱二分。今杂和二酒，每斗价一钱五分，内各酒若干？曰：八分斗之三为上酒【三升七合五勺】八分斗之五为中酒【六升二合五勺】术：先立三率之程，立和价一钱五分为一十五，列上、列上中二价为二。

十为十二于右以上价二十与立十五较得五列，左与中价并，以中价十二与立十五，较得三列，左与上价并，此互对也。乃并两较，三五得八列，左下以并较为首率，以一斗为次率，以中较为上酒之三率，上较为中酒之三率。式二甲金一两，凖银十五两；乙金一两，准银十二两。今镕为一处使金一两准银十四两其甲乙金各若干，曰甲该三分两之二，乙该三分两之一。术立和金凖银于上，如法较之，以并较为首率，一两为次率，乙较为甲之三，率甲较为乙之三。率式：三玉率方寸重七两，石率方寸重六两。今有璞方三寸，重一百七十六两。问：玉石各若干？曰：玉九十八两，石七十八两术立重数于上以璞方三寸自乗，再乗得立方二十七寸，以通玉石。以玉率七乗二十七，得一百八十九两；以石率六乗二十七，得一百六十二两。二数列右，并较为首率，立方二十七寸为次率，石较为玉之三率，玉较为石之三率。求得玉一十四，以七乗得玉数；求得石一十三，以六乗得石数。式四银裹金方四寸共重九百○四两，每银方寸重十。

二两金方寸重十六两问各若干曰金五百四十四两银三百六十两术立共重于上以四寸自乗再乗得立方六十四寸以通金银以银十二乗立方得七百六十八以金十六乗立方得一千○二十四列如前以并较为首率立方为次率以两较互为各三率求得金三十四寸银三十寸各以方寸重乗之得各数　此与右式同式：五椒一斤，价四钱；丁香一斤，价三钱；桂皮一斤，价六钱；阿魏一斤，价一两；缩砂一斤，价八钱。今以银七钱买上五色共一斤，问各色若干？曰：椒十三分斤之一，丁十三分斤之三，桂十三分斤之一，魏十三分斤之四，砂十三分斤之四。术立七钱于上，此系多位者，先定互对有。

对者寻对而互列之如椒砂互丁魏互是也。若桂则无对，须借砂作对，而互又列其桂较之一于砂左砂傍，凡两数矣。凡相对互位者，务取一大于立数，一小于立数，如砂数大对椒数小也。以较积为首率，一斤为次率，各傍列较数为各三率，砂傍之椒三桂一，并四为砂之三率也。又术，取一大一小，杂互更位，如椒砂互椒，魏又互丁砂。

互桂砂又互丁魏互桂魏又互凡六互得较积二十八以为首率，一斤为次率，各傍列较为各三率，椒傍【一三】并四，丁傍【一三】并四，桂傍【一三】并四，魏傍【三四一】并八，砂傍【三四一】并八，求出四率即各数。

又术随意易位，亦以大数互小数，砂傍丁四，桂一并五。

四率【十三分，十三分，十三分，十三分，十三分斤之三，斤之一，斤之一，斤之三，斤之五】通曰：后二术求出之数与前不同，不可为凖，姑存其法耳。式六：緑縀每丈价四两，青缎每丈价六两，红缎每丈价十两。今有银四百八十两，买缎八十丈，问各若干？曰：緑三十二丈，青三十二丈，红一十六丈。术：先以八十丈除四百八十两，得每丈六两，为立价。依法列之，緑与红互青又与红互以较积为首率总丈为次率各傍列较、为各三率、红傍之緑二青○止、作二。通曰：「青价六，与立六等，故青较作○。而红傍之较数无并，仍作二也。凡价与立等者，皆作○。若价皆大于立，皆小于立，皆等于立，则不可较矣。」式七酒四等。甲酒每瓶二钱一分，乙酒每瓶二钱七分，丙酒三钱，丁酒四钱。今有酒共三百瓶，每瓶立价三钱三分。问各若干？曰：甲酒五十瓶，乙酒五十瓶，丙酒五十瓶，丁酒一百五十瓶。术：以三钱三分作三十三为立数。

其四色惟丁四十【四钱】大于立，其甲二十一【二钱一分】乙二十七【二钱七分】丙三十【三钱】皆小于立，则此三小数皆与丁相互矣。依法列之，丁傍之，甲十二，乙六，丙三，并为二十一，以较积为首率，总瓶为次率，各较为各三率。式八银四百两买药四百斤，内丁香每斤价六钱，椒每斤价七钱，桂九钱，苏合一两一钱，辰砂一两二钱，阿魏一两六钱，问各若干？曰：丁八十七斤又二之一，椒一百斤，桂二十五斤，合五十斤，砂五十斤，魏八十七斤又二。

之一术先以四百斤除四百两，每斤得一两，作一十为立数，列之丁魏互丁合互椒砂互椒魏互桂砂互首率较积次率总药三率七【丁】八【椒】二【桂】四【合】四【砂】七【魏】又术，以丁互合又互砂又互魏，以椒互合又互砂又互魏，以桂互合又互砂又互魏，以上三位徧互，下三位也又术以丁互合椒互砂桂互魏又术以丁互魏椒互砂桂互合又术以丁互砂椒互合桂互魏式九金铸一器，重三百两，俱九六成色。今有九九成色及九一成色二等金，约每用若干？曰：九九成色金用一百八十七两五钱，九一成色金用一百一十二两五钱。

术立九六为中价依法互之并较为首率共重为次率，各较为各三率。式：十米麦共五百石，共价四百○五两七钱。米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘。问各若干？曰：米三百二十石，共价二百七十五两二钱；麦一百八十石，共价一百三十两○五钱。术：立共价，以米、麦每石各价各。

乗五百石米得四百三十两麦得三百六十二两五钱，依法互之，以并较为首率，总石为次率，各较为各三率，求得米麦各数，各以每石价乗之，得各共价。式十一银二十八两二钱，买铜锡铁共重三百斤。其价，铜一斤银一钱五分，锡一斤银九分，铁一斤银四分。问各若干？曰：铜九十六斤又七之三，锡九十六斤又七之斤又七之一术，以共重除总银，得九分四厘，作九十四为立数，互之以并较，为首率，共重为次率，各较为各三率。

式十二银九十三两买绫罗纱绢共一百六十疋每疋价绫九银罗七钱纱五钱绢三钱问各若干曰三十六疋又四之一为绫与罗同数四十三疋又四之三为纱与绢同数术先以总疋除总银得五钱八分一厘二毫五丝作五万八千一百二十五为立数他皆以钱作万列之罗绢互罗纱又互绫纱互绫绢又互并较为首率总疋为次率各较为各三率通曰：「右二式以贵贱差分法推之，亦可。」通曰：中率者，两差之中较也。三四五六，及多差之中较也。得乎中率，而以多较少，以少较多，故又须互用，而数始出。非互则无所用较矣。借裒互徴【差分之七按同文算指裒作衰】

借裒互徴差分法数有隠伏，非裒分可得者，则别借虚数以类徴之。或合率增减，或母子射覆，借彼徴此，借虚徴实，亦三率法而触类长之也。式三人共买一宅，用价二千七百两，其出数，乙视甲加倍，丙视甲乙共数又加倍，问各若干？曰：甲三百，乙六百，丙一千八百。术：随意立一数为甲裒，但用小数，而以乙丙照裒加之，如甲裒作一则乙必二，丙必六也。如甲裒作六则乙必十二，丙必三十六也。今以甲裒作六，乙裒十二，丙裒三十六，并得五十四为首率，各裒为各次率，总价为三率。如用甲次裒求得甲数，倍之得乙数，并甲乙数又倍之得丙数。通曰：「此即加倍法也。三率法中，二、三两率本可相换，故此以各较为次率，总价为三率也。」式二贮绢不知数，但云其三之一，其四之一，其五之一，并得四千七百疋，其实若干？曰：六千疋。术：防一通数而测之。如用六十以通各分，三之一为二十四，之一为十五，五之一为十二，并三数得四十七，为首率。以通数六十为次率，四千七百为三率。式三廐马不知数，但云加一倍，又加二之一，又加三之一，又加四之一，又加，一共得一百一十二匹，其实若干？曰三十六匹。术：先于共匹内减末加之一，只以一百一十一匹算之。用通数十二，加一倍得二十四，又加二之一得六，加三之一得四，加四之一得三，共加得三十七，为首率。以通数为次率，以一百一十一为三率，求出四率，三十六外加前裒，合一百一十二。式四牧羊不知数，但云加一倍，又加二之一，又加四之一，外加一共得一百，其实若干？曰三十六。术于一百内去一只，作九十九，用通数十二，依裒加得三十三，为首率；通数为次率，九十九为三率，求出三十六，如前裒加之，合一百。此与右式同。式五：银五千两买甲、乙、丙三宅，乙比甲多三倍，丙又比乙多四倍，问各价若干？曰：甲宅二百，乙宅八百，丙宅四千。术：随意立一通数，如立甲裒三十，乙裒为一百二十，丙裒为六百，并得七百五十为首率，以甲裒三十为次率，以五千为三率，求出二百如前，加得八百，又加得四千。此与一式同。式六入园摘瓜，摘过三分之二，又五分之一，尚剰三十六，问此园原瓜若干？曰：二百七十。术：先立通数，如借三百为通数，内减三之二去二百，又减五之一去六十，存四十为首率，以通数为次率，以尚剰三十六为三率，须察借立通数内减去两次尚剰之数，或等或多于三十六方可，若少于三十六则不可用也。又须知三之二、五之一并之未满原数，方可推测，若三之一、五之三则浮于原数，便为虚设，不必算矣。式七二分之一，三分之一，四分之一，五分之一，六分之一，共并得五百二十二，其原数若干？

曰三百六十。术：借六十为通数，依裒剖之。二之一为三十三，之一为二十四，之一为十五，五之一为十二，六之一为一十，并得八十七为首率。以六十为次率，以五百二十二为三率，求出三百六十为原数。二之一乃一百八，十三之一乃一百二，十四之一乃九十五之一乃七十二，六之一乃六十，并之合五百二十二之数。式八仓粟不知数，但云外加二之一，又三之一，又四之一，又加一百石，便成三百石，问原粟若干？曰九十六石。术：先于三百内减去一百，存二百石，乃借二十四为通数，外加二之一得十二，又加三之一得八，又加四之一得六，并得五十为首率，以通数为次率，以二百为三率，求出四率九十六，外加前裒合三百。通曰：「此与三式相同，但彼四率在一百一十二之外，故不并通数而止，并加数为首率；此四率在三百之内，故连并通数及加数为首率也。」式：九大小水碓五副，共舂米五十石。每舂一时，甲七斗，乙五斗，丙四斗，丁三斗，戊一斗。今五碓齐舂，须几时可完？各舂若干？曰：二十五时，甲十七石五斗，乙十二石五斗，丙十石，丁七石五斗，戊二石五斗。术：随意立一时数，如借四时以计各碓所舂。甲七乗四，得二石八斗；乙五乗四，得二石；丙四乗四，得一石六斗；丁三乗四，得一石二斗；戊一乗四，得四斗。并得八石，为首率。四时为次率，五十石为三乗。求出二十五时，各以每时斗数乗之，得各舂数。式十为商，三次俱获倍息。每次归还三百两，三次母子▯尽。问原贷若干？曰：二百六十二两五钱。术：借一数为母，加三次倍息。初一次，二次四，共七，并母一，得八，为首率。内减母一，余七，为次率。三百两为三率。又术：以三百两折半，得一百五十两，又加三百，得四百五十两；又折半，得二百二十五两，又加三百，得五百二十五两；又折半，即得。通曰：「子母差和求法，有此式。然用借裒为正法也。式十一，商贩四次，俱获倍息。每次费九十六两，四次子母俱尽。问原母若干？曰：九十两。术：借一数为母，加四次倍息，曰一，曰二，曰四，曰八，并得十五。再并母一，得十六，为首率。十五为次率，九十六为三率。」式十二为商，初次所获比母银多三之二，以并入母银，再徃获五之四，三次徃又获四之三，计所获并母银共四百两，问原母若干？曰六两又三分两之二。术亦借数递乗各母以推之，如借一十为通数，乗三得三十，以三十乗五得一百五十，以一百五十乗四得六百，为首率；以通数为次率，以四百为三率，求出六两又三分两之二，以三乗之得二十，又以五乗二十得一百，又以四乗一百得四百两合数。

式十三防酒，郊游三次，俱饮酒一斗九升，每饮添酒辄倍，余酒至三次酒尽，问原防若干？曰一斗六升六合二勺五抄。术：借一数为原酒，加三次倍率，曰一，曰二，曰四，并得八为首率，减原借一，存七为次率，以一斗九升为三率。又术：并三次倍率一、二、四为七，以乗一斗九升，得一石三斗三升，减半三次，即得。式十四载米赈济，每次散米一千五百石，亦每次籴增俱倍，余米五赈恰尽，问原载米若干？曰：一千四百五十三石一斗二升五合。术：借一数为原米，加五次倍率，曰一，曰二，曰四，曰八，曰十六，并得三十二为首率，止并五次率得三十一为次率，以一千五百为三率。通曰：「以次率乗三率，得四万六千五百石，减半，五次亦合。」式十五立一虚数，以乗四得数，又乗三得数，又乗六得数，外加一十，共八百。前所立虚数若干，曰一十又三十六之三十五。术于八百内除去所加一十，余七百九十。借一十为通数，以乗各裒。以一十乗四得四十，又以四十乗三得一百二十，又以一百二十乗六得七百二十，为首乗。以通数为次率，以七百九十为三率，求出一十又三十六之三十五。以乗四得四十三又九之八，以乗三得一百三十一又三之二，以乗六得七百九十，加一十，合数。式十六，老人不知年，但云加二之一，又减四之一，得九十九嵗，问实年若干？曰：八十八。术：借八十为通数，依裒加减，加二之一为四十，并八十得一百二十，又减四之一为三十，于一百二十内减之余九十为首率，以通数为次率，以九十九为三率。式十七，逺望一塔，上露出二丈四尺，下遮不见，云尚有三分之一，又五分之二，其共高若干？曰：九十尺。术：借立三十为通数，于三十内减去三之一，余二十；又于三十内减去五之二，为一十二。乃于余二十内减一十二，余八，为首率。通数为次率，二十四尺为三率，求出九十尺为塔高。内减三之一，为三十尺，又减五之二，为三十六尺，余二十四尺，合上露之数。式：十八旗竿一根，其三之一是白色，五之一是黑色，九之二是青色，外尚余十二尺红色，其竿长若干？曰：四十九尺又十一分尺之一。术：借四十五为通数，减三之一为十五，减五之一为九，减九之二为一十，俱于通数内减去，余十一为首率，通数为次率，红十二尺为三率，求出四十九尺又十一分尺之一。其白三之一乃十六尺又十一之四也，黑五之一乃九尺又十一之九也，青九之二乃十尺十一之十也。式：十九白布三十疋，青布四十疋，共价六百六十两。其青布每疋比白布价多一倍，问各疋价若干？曰：白价六两，青价十二两。术：借四两为白价，倍得八两为青价。

以四乗白布三十，得一百二十；以八乗青布四十，得三百二十。并得四百四十为首率，通数四两为次率，共价为三率，求出六两为白疋价，倍得十二两为青疋价。通曰：以八两为次率，求出青疋价。盖二位之借裒，皆通数也。

数度衍巻十八钦定四库全书