御制数理精蕴下编卷十一

御制数理精蕴下编卷十一

面部一平方带纵平方

平方平方者，等边四直角之面积也。以形而言，则为两矩所合；以积而言，则为自乗之数。因其有广无厚，故曰平方；因其纵横相等，故曰正方。葢方积面也，而其边则线也。有线求面，则相乗而得积；有面求线，则开方而得边。开之之法，略与归除同，但归除有法有实，而开方则有实而无法，故古人立为商除、廉隅之制以相求。每积二位，得边之一位，所谓一百一十定无疑，一千三十有零，余九千九百不离十一万方为一百推是也。其法先从一角而剖其幂，以自一至九自乗之数为方根，与所有之积相审量，其足减者而定之，是为初商。初商减尽无余，则方边止一位；若有余实，即初商方积外别成一磬折形，其附初商之两旁者谓之廉，两廉之角所合一小方谓之隅。廉有二，故倍初商为两廉之共长，是为廉法。视余积足廉法几倍，即是次商。隅即次商之自乗，故次商为隅法。合廉隅而以次商乗之，则得两廉一隅之共积。所谓初商方积外别成一磬折形者是也。故次商为初商所得方边之零。如次商数与初商余积相减，尚有不尽之实，则又成一磬折形，而仍为两廉一隅，但较前廉愈长而隅愈小耳。凡有几层廉隅，俱照初商之例逐层递析之，实尽而止。实不尽者，必非自乗之正数。递析之至于纎尘，终有奇零。若余实不足廉隅法之数者，则方边为空位。此开方之定法也。面形不一，而容积皆以方积为准，故平方为算诸面之本。诸面必通之方积而后可施其法也。设如正方面积三十六尺，开方，问每一边数几何？法列方积三十六尺，自末位起算，每方积二位，定方边一位。今积止有二位，则于六尺上作记，定单位，以自一至九自乗之方根数与之相审，知与六尺自乗之数恰合，乃以六尺书于方积六尺之上，而以六尺自乗之三十六尺书于方积原数之下，相减恰尽，即得开方之数为六尺也。如图甲乙丙丁正方形，每边皆六尺，其中函一尺小正方三十六，自边计之为六尺自乗之积，以积开之，则与六尺自乗方根之数相准，故商除之恰尽也。葢方积为二位，是以方边止一位，方积即六尺自乗之数，故无廉隅之可用次商，如有余积，则自成廉隅而用次商矣。设如正方面积一丈四十四尺，开方，问每一边数几何？法列方积一丈四十四尺，自末位起算，每方积二位定方边一位，故隔一位作记，即于四尺上定尺位，一丈上定丈位。其一丈为初商积，与一丈自乗之数相合，即定初商为一丈，书于方积一丈之上，而以一丈自乗之正方一丈书于初商积之下，相减恰尽。爰以方边末位积四十四尺续书于下【大凢以余积续书于下者，每取方积之二位以当方边之一位也】为次商廉隅之共积。

乃以初商之一丈作一十尺，倍之得二十尺为廉法，以除四十四尺，足二尺，即定次商为二尺，书于方积四尺之上，而以次商二尺为隅法，与廉法二十尺相加，共得二十二尺为廉隅共法，书于余积之左，以次商二尺乗之，得四十四尺，与次商廉隅共积相减恰尽。是开得一丈二尺为方面，每一边之数也。如图甲乙丙丁正方形，每边皆一丈二尺，其中函积一丈四十四尺，是为共积。其从一角所分甲庚己戊正方形，每边一丈，即初商数，其中函正方积一丈，即初商自乗数。所余庚己壬乙、戊己辛丁两长方为两廉，其各长十尺，即初商数，其各阔二尺，即次商数。廉有二，故倍初商为廉法。其己壬丙辛一小正方为隅，其边二尺，亦即次商数，故以次商为隅法。合两廉一隅成一磬折形，附于初商自乗方之两边，而成一总正方形。此廉隅之法所由生也。设如正方面积五百二十九尺，开方问毎一边数几何【此题正方面积之三位皆以尺命位，似与前题分丈尺者不同，然其取方积二位续书于下，其末位即命为单位立算，则与丈尺同也】法列方积五百二十九尺，自末位起算，每方积二位，定方边一位，故隔一位作记，乃于九尺上定单位，五百尺上定十位。其五百尺为初商积，以初商本位计之，则五百尺为初商积之单位，止与二自乗之数相准，即定初商为二，书于方积五百尺之上，而以二自乗之四书于初商积之下，相减余一百尺。爰以方边第二位积二十九尺续书于下，共一百二十九尺为次商廉隅之共积。乃以初商之二作二十尺倍之，得四十尺为廉法，以除一百二十九尺，足三尺，即定次商为三尺，书于方积九尺之上，而以次商三尺为隅法，与廉法四十尺相加，共得四十三尺为廉隅共法，书于余积之左，以次商三尺乗之，得一百二十九尺，与次商廉隅共积相减，恰尽。是开得二十三尺为方面，每一边之数也。如图甲乙丙丁正方形，每边皆二十三尺，其中函积五百二十九尺，是为共积。其从一角所分甲庚己戊正方形，每边二十尺，即初商数，其中函积四百尺，即初商自乗数，所余庚己壬乙、戊己辛丁两长方为两廉，其各长二十尺，即初商数，其各阔三尺，即次商数，其己壬丙辛一小正方为隅，其边三尺，亦即次商数，合两廉一隅成一磬折形，附于初商自乗方之两边，而成一总正方形也。设如正方面积五丈四十七尺五十六寸，开方，问每一边数几何？法列方积五丈四十七尺五十六寸，自末位起算，每方积二位定方边一位，故隔一位作记，即于六寸上定寸位，七尺上定尺位，五丈上定丈位。其五丈为初商积，与二丈自乗之数相准，即定初商为二丈，书于方积五丈之上，而以二丈自乗之四丈书于初商积之下，相减余一丈，即一百尺。

爰以方边第二位积四十七尺续书于下，共一百四十七尺为次商廉隅之共积。乃以初商之二丈作二十尺，倍之得四十尺为廉法，以除一百四十七尺，足三尺，即定次商为三尺，书于方积七尺之上，而以次商三尺为隅法，与廉法四十尺相加，共得四十三尺为廉隅共法，书于余积之左，以次商三尺乗之，得一百二十九尺，与次商廉隅共积相减，余一十八尺，即一千八百寸。复以方边末位积五十六寸续书于下，共一千八百五十六寸为三商廉隅之共积。乃以初商次商之二丈三尺作二百三十寸，倍之得四百六十寸为廉法，以除一千八百五十六寸，足四寸，即定三商为四寸，书于方积六寸之上，而以三商四寸为隅法，与廉法四百六十寸相加，共得四百六十四寸为廉隅共法，书于余积之左，以三商四寸乗之，得一千八百五十六寸，与三商廉隅共积相减，恰尽。是开得二丈三尺四寸为方面，每一边之数也。设如正方面积四十五万九千六百八十四尺，开方，问每一边数几何【此题正方面积之六位，皆以尺命位，似与前题分丈尺寸三色者不同，然其每取方积二位，续书于下，其末位即命为单位立算，仍与丈尺寸同也】法列方积四十五万九千六百八十四尺，自末位起算，每方积二位定方边一位，故隔一位作记，乃于四尺上定单位，六百尺上定十位，五万尺上定百位。其四十五万尺为初商积，以初商本位计之，则五万尺为初商积之单位，而四十五万尺为四十五与六自乗之数相准，即定初商为六，书于方积五万尺之上，而以六自乗之三十六书于初商积之下，相减余九万尺。爰以方边第二位积九千六百尺续书于下，共九万九千六百尺为次商廉隅之共积，以次商本位计之，则六百尺为次商积之单位，而九万九千六百尺为九百九十六，而初商之六即为六十，故以初商之六作六十倍之得一百二十为廉法，以除九百九十六，足七倍，即定次商为七，书于方积六百尺之上，而以次商七为隅法与廉法一百二十相加，共得一百二十七为廉隅共法，书于余积之左，以次商七乗之得八百八十九，与次商廉隅共积相减，余一万零七百尺。复以方边末位积八十四尺续书于下，共一万零七百八十四尺为三商廉隅之共积，以三商本位计之，则积与边皆仍为本位，乃以初商次商之六百七十倍之得一千三百四十为廉法，以除一万零七百八十四，足八倍，即定三商为八，书于方积四尺之上，而以三商八为隅法与廉法一千三百四十相加，共得一千三百四十八为廉隅共法，书于余积之左，以三商八乗之得一万零七百八十四，与三商廉隅共积相减，恰尽。是开得六百七十八尺为方面，每一边之数也。设如正方面积三十五丈九十一尺六十寸四十九分，开方，问每一边数几何？

法列方积三十五丈九十一尺六十寸四十九分，自末位起算，每隔一位作记，即于九分上定分位，空寸上定寸位，一尺上定尺位，五丈上定丈位。其三十五丈为初商积，与五丈自乗之数相准，即定初商为五丈，书于方积五丈之上，而以五丈自乗之二十五丈书于初商积之下，相减余一十丈，即一千尺。爰以方边第二位积九十一尺续书于下，共一千零九十一尺为次商廉隅之共积。乃以初商五丈作五十尺倍之，得一百尺为廉法，以除一千零九十一尺，足九尺，即定次商为九尺，书于方积一丈之上，而以次商九尺为隅法，与廉法一百尺相加，共得一百零九尺为廉隅共法，书于余积之左，以次商九尺乗之，得九百八十一尺，与次商廉隅共积相减，余一百一十尺，即一万一千寸。复以方边第三位积六十寸续书于下，共一万一千零六十寸为三商廉隅之共积。乃以初商次商之五丈九尺作五百九十寸倍之，得一千一百八十寸为亷法，以除一万一千零六十寸，足九寸，即定三商为九寸，书于方积空寸之上，而以三商九寸为隅法，与廉法一千一百八十寸相加，共得一千一百八十九寸为廉隅共法，书于余积之左，以三商九寸乗之，得一万零七百零一寸，与三商廉隅共积相减，余三百五十九寸，即三万五千九百分。复以方边末位积四十九分续书于下，共三万五千九百四十九分为四商廉隅之共积。乃以初商次商三商之五丈九尺九寸作五千九百九十分倍之，得一万一千九百八十分为廉法，以除三万五千九百四十九分，足三分，即定四商为三分，书于方积九分之上，而以四商三分为隅法，与廉法一万一千九百八十分相加，共得一万一千九百八十三分为廉隅共法，书于余积之左，以四商三分乗之，得三万五千九百四十九分与四商廉隅共积相减，恰尽，是开得五丈九尺九寸三分，为方面，每一边之数也。设如正方面积五百八十五万六千四百尺，开方，问每一边数几何？法列方积五百八十五万六千四百尺，补二空位以足其分。自末空位起算，毎隔一位作记于空尺上。定单位四百尺上定十位，五万尺上定百位，五百万尺上定千位。其五百万尺为初商积，以初商本位计之，则五百万尺为初商积之单位，止与二自乗之数相准，即定初商为二，书于方积五百万尺之上，而以二自乗之四书于初商积之下，相减余一百万尺。爰以方边第二位积八十五万尺续书于下，共一百八十五万尺为次商廉隅之共积。以次商本位计之，则五万尺为次商积之单位，而一百八十五万尺为一百八十五，而初商之二即为二十，故以初商之二作二十倍之得四十为廉法，以除一百八十五，足四倍，即定次商为四，书于方积五万尺之上，而以次商四为隅法，与廉法四十相加，共得四十四为防隅共法，书于余积之左。

以次商四乗之得一百七十六，与次商廉隅共积相减，余九万尺。复以方边第三位积六千四百尺续书于下，共九万六千四百尺为三商防隅之共积。以三商本位计之，则四百为三商积之单位，而九万六千四百尺为九百六十四，而初商之二即为二百，次商之四即为四十，故以初商次商之二四作二百四十倍之得四百八十为廉法，以除九百六十四，足二倍，即定三商为二，书于方积四百尺之上，而以三商二为隅法，与防法四百八十相加，共得四百八十二为廉隅共法，书于余积之左。以三商二乗之得九百六十四，与三商防隅共积相减，恰尽。是开得二千四百二十尺为方面，每一边之数也。此法方积之末有二空位，故所得方边之末亦补一空位。凢设数未至单位者，皆依此例补足位分，然后开之。设如正方面积八十二丈六十二尺八十一寸，开方，问每一边数几何？法列方积八十二丈六十二尺八十一寸，自末位起算，每隔一位作记于一寸上，定寸位于二尺上，定尺位于二丈上，定丈位。其八十二丈为初商积，与九丈自乗之数相准，即定初商为九丈，书于方积二丈之上，而以九丈自乗之八十一丈书于方积八十二丈之下，相减余一丈即一百尺。爰以方边第二位积六十二尺续书于下，共一百六十二尺为次商廉隅之共积。乃以初商九丈作九十尺倍之，得一百八十尺为防法，以除一百六十二尺，其数不足，是次商为空位也。乃书一空于方积二尺之上，以存次商之位。复以方边末位积八十一寸续书于下，共一百六十二尺八十一寸，即一万六千二百八十一寸为三商防隅之共积。仍以一百八十尺作一千八百寸为防法，以除一万六千二百八十一寸，足九寸，即定三商为九寸，书于方积一寸之上。而以三商九寸为隅法，与防法一千八百寸相加，共得一千八百零九寸为防隅共法，书于余积之左，而以三商九寸乗之，得一万六千二百八十一寸，与三商防隅共积相减，恰尽。是开得九丈零九寸为方面，每一边之数也。此法方积无空位，而商出之方边有空位，凡防法除余积而数不足者，皆依此例推之。设如正方面积六千四百一十一万二千零四十九尺，开方，问每一边数几何？法列方积六千四百一十一万二千零四十九尺，自末位起算，每隔一位作记于九尺上，定单位空百尺上定十位，一万尺上定百位，四百万尺上定千位，其六千四百万尺为初商积，以初商本位计之，则四百万为初商积之单位，而六千四百万为六千四与八自乗之数相合，即定初商为八，书于方积四百万尺之上，而以八自乗之六十四书于初商积之下，相减无余，爰以方边第二位积一十一万尺续书于下，为次商廉隅之共积，以次商本位计之，则一万尺为次商积之单位，而一十一万尺为一十一而初商之八即为八十，故以初商之八作八十倍之得一百六十为廉法，以除一十一，其数不足，是次商为空位，乃书一空于方积一万尺之上，以存次商之位，复以方边第三位积二千尺续书于下，共一十一万二千尺，为三商廉隅之共积，以三商本位计之，则空百尺为三商积之单位，而一十一万二千尺为一千一百二十尺，而初商之八即为八百，次商之空即为空十，故以初商次商之八空作八百倍之得一千六百为廉法，以除一千一百二十，其数仍不足，是三商之为空位，乃再书一空于方积空百尺之上，以存三商之位，复以方边末位积四十九尺续书于下，共一十一万二千零四十九尺，为四商廉隅之共积，以四商本位计之，则积与边皆仍为本位，乃以初商次商三商之八千倍之得一万六千为廉法，以除一十一万二千零四十九，足七倍，即定四商为七，书于方积九尺之上，而以四商七为隅法与防法一万六千相加，共得一万六千零七为防隅共法，书于余积之左，而以四商七乗之得一十一万二千零四十九，与余积相减恰尽，是开得八千零七尺为方面，每一边之数也，此法方积中虽有一空位，而商出之方边却有二空。

位凡开方遇此类者，皆依此例推之。设如，有积一万四千九百二十八尺，开方，问每一边数几何？法列积一万四千九百二十八尺，自末位起算，每隔一位作记于八尺上，定单位九百尺上定十位，一万尺上定百位。其一万尺为初商积，以初商本位计之，则一万尺为初商积之单位，止与一自乗之数相合，即定初商为一，书于方积一万尺之上，而以一自乗之一书于初商积之下，相减无余。爰以方边第二位积四千九百尺续书于下，为次商防隅之共积。以次商本位计之，则九百尺为次商积之单位，而四千九百尺为四十九，而初商之一即为一十，故以初商之一作一十倍之，得二十为廉法，以除四十九，足二倍，即定次商为二，书于方积九百尺之上，而以次商二为隅法，与防法二十相加，共得二十二为防隅共法，书于余积之左。以次商二乗之，得四十四，与次商廉隅共积相减，余五百尺。复以方边末位积二十八尺续书于下，共五百二十八尺为三商廉隅之共积。以三商本位计之，则积与边皆仍为本位，乃以初商次商之一百二十俱倍之，得二百四十为廉法，以除五百二十八，足二倍，即定三商为二，书于方积八尺之上，而以三商二为隅法，与廉法二百四十相加，共得二百四十二为防隅共法，书于余积之左。以三商二乗之，得四百八十四，与三商廉隅共积相减，余四十四尺不尽。是开得一百二十二尺为方面，每一边之数仍余四十四尺不尽也。如欲以余数再开，则得方边之寸数，乃増书两空于总积之后，复续书两空于四十四尺之后，为几十几寸之位。是则四十四尺作四千四百寸为四商廉隅之共积。爰以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸倍之，得二千四百四十寸为廉法，以除四千四百寸，足一倍，即定四商为一寸，书于余积空寸之上，而以四商一为隅法，与廉法二千四百四十寸相加，共得二千四百四十一寸为廉隅共法，书于余积之左，以四商一寸乗之，仍得二千四百四十一寸，与余积相减，余一千九百五十九寸，不尽。如再以余数开之，则得方边之分数。乃又续书两空于后，増空十空寸之后，复续书两空于五十九寸之后，为几十几分之位。是则一千九百五十九寸作一十九万五千九百分，为五商廉隅之共积。爰以初商次商三商四商之一百二十二尺一寸作一万二千二百一十分，倍之得二万四千四百二十分，为廉法，以除一十九万五千九百分，足八倍，即定五商为八分，书于余积空分之上。而以五商八为隅法，与防法二万四千四百二十分相加，共得二万四千四百二十八分为廉隅共法，书于余积之左。以五商八分乗之，得一十九万五千四百二十四分，与余积相减，仍余四百七十六分，不尽。

是开得一百二十二尺一寸八分为方面，每一边之数也。此法原积本非自乗所得之数，虽递析之，终不能尽。凡开方遇此类者，皆依此例推之。设如有一方台，上面共铺方甎四千零九十六块，问每一边得甎几何？法列方甎四千零九十六块，为方积于六块上定单位，空百块上定十位。其四千块为初商积，以初商本位计之，则空百块为初商积之单位，而四千块为四十与六自乗之数相准，即定初商为六，书于方积空百块之上，而以六自乗之三十六书于初商积之下，相减余四百块。爰以余积九十六块续书于下，共四百九十六块为次商廉隅之共积。而以初商六作六十倍之，得一百二十为廉法，以除四百九十六，足四倍，即定次商为四，书于方积六块之上，而以次商四为隅法，与廉法一百二十相加，共得一百二十四为廉隅共法，书于余积之左，以次商四乗之，得四百九十六，与余积相减，恰尽。是开得六十四块为方台上面每一边之甎数也。设如，有三百六十一人，用船分载，其每船所载人数与共船数相等，问共船几何？法列三百六十一人为方积，于一人上定单位，三百人上定十位，其三百人为初商积。以初商本位计之，则三百为初商积之单位，止与一自乗之数相准，即定初商为一，书于方积三百之上，而以一自乗之一书于初商积之下，相减余二百。爰以余积六十一续书于下，共二百六十一为次商廉隅之共积。而以初商一作一十倍之，得二十为廉法，以除二百六十一，足九倍，即定次商为九，书于方积一人之上。而以次商九为隅法，与廉法二十相加，共得二十九为防隅共法，书于余积之左，以次商九乗之，得二百六十一，与余积相减，恰尽。是开得十九为共船数，而每船载十九人也。设如，有银七百八十四两，散给夫匠。其每人所得银数，与其人数相等。问共人数几何？法列七百八十四两为方积，于四两上定单位，七百两上定十位。其七百两为初商积，以初商本位计之，则七百为初商积之单位，止与二自乗之数相准，即定初商为二，书于方积七百之上，而以二自乗之四书于初商积之下，相减余三百。爰以余积八十四续书于下，共三百八十四为次商廉隅之共积。而以初商二作二十倍之，得四十为廉法，以除三百八十四，足八倍，即定次商为八，书于方积四两之上。而以次商八为隅法，与防法四十相加，共得四十八为防隅共法，书于余积之左。以次商八乗之，得三百八十四，与余积相减，恰尽。是开得二十八为共人数，而每人得银二十八两也。设如用船运粮六千五百六十一石，欲取一船别用，将此船米分载各船，每船领去一石，其本船尚余一石，问共船几何？

法列米六千五百六十一石为方积，于一石上定单位，五百石上定十位。其六千五百石为初商积，以初商本位计之，则五百石为初商积之单位，而六千五百为六十五与八自乗之数相准，即定初商为八，书于方积五百之上，而以八自乗之六十四书于初商积之下，相减余一百。爰以余积六十一续书于下，共一百六十一为次商廉隅之共积，而以初商八作八十倍之，得一百六十为廉法，以除一百六十一，足一倍，即定次商为一，书于方积一石之上，而以次商一为隅法，与廉法一百六十相加，共得一百六十一为廉隅共法，书于余积之左，以次商一乗之，仍得一百六十一，与余积相减，恰尽。是开得八十一为共船数，而每船载米八十一石也。此法葢因一船所载之米分与各船，毎船各领一石，即共去八十石，故本船尚余一石也。设如有钱一万五千六百二十五文，买瓜，每瓜一个与脚钱一文，因无现钱，将一瓜准作脚钱，问瓜数几何？法列钱一万五千六百二十五为方积，于五文上定单位，六百上定十位，一万上定百位。其一万为初商积，以初商本位计之，则一万为初商积之单位，止与一自乗之数相合，即定初商为一，书于方积一万之上，而以一自乗之一书于初商积之下，相减无余。爰以第二位积五千六百续书于下，为次商防隅之共积。以次商本位计之，则六百为次商积之单位，而五千六百为五十六，而初商之一即为一十，故以初商之一作一十倍之，得二十为廉法，以除五十六，足二倍，即定次商为二，书于方积六百之上，而以次商二为隅法，与防法二十相加，共得二十二为防隅共法，书于余积之左。以次商二乗之，得四十四，与次商廉隅共积相减，余一千二百。复以末位积二十五续书于下，共一千二百二十五为三商廉隅之共积。以三商本位计之，则积与边皆仍为本位，乃以初商次商之一百二十俱倍之，得二百四十为防法，以除一千二百二十五，足五倍，即定三商为五，书于方积五文之上，而以三商五为隅法，与防法二百四十相加，共得二百四十五为防隅共法，书于余积之左。以三商五乗之，得一千二百二十五，与余积相减，恰尽。是开得一百二十五为共瓜之数，亦即每瓜之价也。此法因每瓜应给脚钱一文，今以一瓜准之，即知一瓜之价与瓜之共数相等，故以开方法算之而得也。

带纵平方带纵平方者，两等边直角长方面积也有积数，因长比阔之较，或长与阔之和而得边，故曰带纵。葢正方之纵横皆同，故止有积即可得其边；若长方则纵横不等，知其积又必知其纵横相差之较，或纵横相并之和，始能得其边。故以长阔之较为问者，则皆较为带纵，加所开之数商除之而得阔；或四因积数加较自乗，平方开之，即长阔之和。和加较半之而得长，和减较半之而得阔；或半较自乗加原积而开平方，即得半和加半较而得长，减半较而得阔。如以长阔之和为问者，则用和为带纵，减去所开之数商除之而得阔；或四因积数减和自乗，平方开之，即长阔之较。较减和半之而得阔，较加和半之而得长；或半和自乗减原积而开平方，即得半较加半和而得长，减半和而得阔。夫用半较半和之法，与四因积数之法同出一理。葢四因积数加全较自乗，故开方而得全和；半较自乗加原积，故开方而得半和；四因积数减全和自乗，故开方而得全较；半和自乗减原积，故开方而得半较。此即面与线之比例，面加四倍而边加一倍，边得其半而积为四分之一也。法虽不一，要之皆使归于正方，以求其和较。是则虽曰带纵，仍不外乎平方之理也。设如，有长方面积八尺，纵多二尺，问长阔各几何？法列积，如开平方法，商之。积八尺止，可商二尺，乃以二尺书于原积八尺之上，而以所商二尺加纵多二尺，得四尺，以所商二尺乗之，得八尺，书于原积之下，相减恰尽，即知长方之阔得二尺，加入纵多二尺，得四尺，即为长方之长也。如图甲乙丙丁长方形容积八尺，其甲乙边长四尺，甲丁边阔二尺，其甲乙长比甲丁阔所多戊乙，即纵多之数。初商所得二尺，即甲戊己丁正方之每一边。葢因此法长阔两边俱止一位，而积亦止一位，故初商所得即为一边，而加入纵多即又一边，是以两边相乗而与原积相等也。又法，以积八尺，用四因之，得三十二尺，而以纵多二尺自乗，得四尺，加八，四因之数，得三十六尺，开方得六尺，即为长阔相和之数，乃以纵多二尺与长阔之和六尺相加，得八尺，折半得四尺，即长方之长，减纵多二尺，得二尺，即长方之阔也。如图，甲乙丙丁长方形，容积八尺，四因之，得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四长方形廻环相凑，成一空心正方式，再加入纵多二尺自乗之丑丙庚癸之一小正方形，即成甲戊辛子之一大正方形，其甲戊类每一边，即长阔之和，故开方得长阔之和，既得和，加纵多，是为倍长，故折半而得长，减纵多，则为倍阔，故折半而得阔，或得长而减纵多，亦得阔也。又法，先将纵多二尺，折半得一尺，为半较，自乗仍得一尺，与原积八尺相加得九尺，平方开之得三尺，为半和。

于半和减半较得二尺，为阔；于半和加半较得四尺，为长。如图甲乙丙丁长方形，甲乙为长，甲丁为阔，戊乙为纵多之较。将较折半于庚，而移庚乙丙辛置于丁己癸壬，再加己辛子癸半较自乗之方，则成甲庚子壬一正方形，故开方而得甲庚、甲壬之边皆为半和也。于甲壬之半和减丁壬之半较得甲丁之阔，于甲庚之半和加庚乙之半较得甲乙之长也。又图甲乙丙丁长方形容积八尺，将甲丁边引长作丁辛与丁丙等，则甲辛为长阔之和。又如甲乙边截甲丁于庚，则庚丁为长阔之较。甲辛和折半于己，而庚丁较亦折半于己，故以己为心，甲为界作一半圜，而引丙丁边至戊界，作一戊丁直线，戊巳辐线，则甲巳、戊己、巳辛皆为半和，而庚己、己丁皆为半较。且甲丁、戊丁、丁辛又为连比例之三线矣。其戊丁中率自乗之方与甲丁首率、丁辛末率相乗之长方等【见几何原本九卷第三节】则是戊丁自乗之方与原设甲乙丙丁长方之积等也。又戊丁巳为勾股形，其戊丁边自乗之方与己丁边自乗之方相并，而与戊巳自乗之方等【见几何原本九卷第四节】故与原设甲乙丙丁长方积等之戊丁自乗之方加以己丁半较自乗之数，开方而得戊巳为半和。于戊巳相等之己辛半和减己丁半较而得丁辛与丁丙等之阔，又与戊巳相等之甲巳半和加己丁半较而得甲丁之长也。设如，有长方，面积一千二百五十四尺，纵多五尺，问长阔各几何？法列积如开平方法商之，其一千二百为初商积，可商三十尺，乃以三十尺书于原积二十尺之上，而以初商三十尺加纵多五尺，得三十五尺，以初商三十尺乗之，得一千零五十尺，书于原积之下，相减余二百零四尺，为次商廉隅之共积，乃以初商三十尺倍之，得六十尺，加纵多五尺，得六十五尺，为廉法，以除二百零四尺，足三尺，则以三尺书于原积四尺之上，而以廉法六十五尺加隅法三尺，得六十八尺，为廉隅共法，以次商三尺乗之，得二百零四尺，书于余积之下，与余积相减，恰尽，即知长方之阔得三十三尺，加纵多五尺，得三十八尺，即为长方之长也。如图甲乙丙丁长方形容积一千二百五十四尺，其甲乙边长三十八尺，甲丁边阔三十三尺，其甲乙长比甲丁阔所多之甲辛，即纵多之数，其甲戊己庚长方形容积一千零五十尺，即初商所减之积，其辛壬与辛戊俱三十尺，即初商数，其甲戊三十五尺，即初商加纵多之数，其戊乙丑己、壬己子癸两长方为两方廉，庚壬癸丁小长方为纵廉，方廉有二，纵廉止一，故倍初商加纵多数为廉法，其己丑丙子为隅，其长阔皆与次商等，故以次商为隅法，合两方廉一纵廉一小隅，成一磬折形，环附初商长方之两傍，成一大长方，与平方之理无异，若次商仍减积不尽，则又为两方廉一纵廉一小隅，复成一磬折形，得三商、四商以至多商，皆依此法递析开之。

又法，以积一千二百五十四尺，用四因之，得五千零一十六尺，而以纵多五尺自乗，得二十五尺，加入四因之数，得五千零四十一尺，开方得七十一尺，即为长阔相和之数，乃以纵多五尺与长阔之和七十一尺相加，得七十六尺，折半得三十八尺，即长方之长，减纵多五尺，即长方之阔也。又法，先将纵多五尺，折半得二尺五寸，为半较，自乗得六尺二十五寸，与原积一千二百五十四尺相加，得一千二百六十尺二十五寸，开方得三十五尺五寸，为半和。于半和减半较，得三十三尺，为阔；于半和加半较，得三十八尺，为长也。设如，有长方面积一十八万一千四百六十丈，纵多八丈，问长阔各几何？法列积如开平方法商之，其一十八万丈为初商积，可商四百丈，乃以四百丈书于原积八万丈之上，而以初商四百丈加纵多八丈，得四百零八丈，以初商四百丈乗之，得一十六万三千二百丈，书于原积之下，相减余一万八千二百六十丈，为次商廉隅之共积，乃以初商四百丈倍之，得八百丈，加纵多八丈，得八百零八丈为防法，以除一万八千二百六十丈，足二十丈，则以二十丈书于原积四百丈之上，而以廉法八百零八丈加隅法二十丈，得八百二十八丈为廉隅共法，以次商二十丈乗之，得一万六千五百六十丈，书于余积之下，与余积相减，余一千七百丈，为三商廉隅之共积，乃以初商次商之二百四十丈俱倍之，得八百四十丈，加纵多八丈，得八百四十八丈为廉法，以除一千七百丈，足二丈，则以二丈书于原积空丈之上，而以廉法八百四十八丈加隅法二丈，得八百五十丈为廉隅共法，以三商二丈乗之，得一千七百丈，书于余积之下，与余积相减，恰尽，即知长方之阔得四百二十二丈，加纵多八丈，得四百三十丈，即为长方之长也。又法，以纵多八丈，折半得四丈，为半较，自乗得十六丈，与原积一十八万一千四百六十丈相加，得一十八万一千四百七十六丈，开方得四百二十六丈，为半和。于半和减半较，得四百二十二丈，为阔；于半和加半较，得四百三十丈，为长也。设如，有长方，面积四万五千二百九十六尺，纵多一百四十六尺，问长阔各几何？法列积如开平方法商之，其四万尺为初商积，可商二百尺，加纵多一百四十六尺，得三百四十六尺，以所商二百尺乗之，得六万九千二百尺，大于原积，是初商不可商二百尺也，乃改商一百尺，书于原积四万尺之上，而以所商一百尺加纵多一百四十六尺，得二百四十六尺，以初商一百尺乗之，得二万四千六百尺，书于原积之下，相减余二万零六百九十六尺，为次商廉隅之共积，乃以初商一百尺倍之，得二百尺，加纵多一百四十六尺，得三百四十六尺，为廉法，以除二万零六百九十六尺，足五十尺，则以五十尺书于原积二百尺之上，而以廉法三百四十六尺加隅法五十尺，得三百九十六尺，为廉隅共法，以次商五十尺乗之，得一万九千八百尺，书于余积之下，与余积相减，余八百九十六尺，为三商廉隅之共积，乃以初商次商之一百五十尺倍之，得三百尺，加纵多一百四十六尺，得四百四十六尺，为廉法，以除八百九十六尺，足二尺，则以二尺书于原积六尺之上，而以廉法四百四十六尺加隅法二尺，得四百四十八尺，为廉隅共法，以三商二尺乗之，得八百九十六尺，书于余积之下，与余积相减，恰尽，即知长方之阔得一百五十二尺，加纵多一百四十六尺，得二百九十八尺，即为长方之长也，此法原积初商应得二百尺，因加纵多相乗得数大于原积，故改商一百尺始合，凡开带纵方遇此类者，皆依此例推之。

又法，加纵多一百四十六尺，折半得七十三尺，为半较，自乗得五千三百二十九尺，与原积四万五千二百九十六尺相加，得五万零六百二十五尺，开方得二百二十五尺，为半和。于半和减半较，得一百五十二尺，为阔；于半和加半较，得二百九十八尺，为长也。设如，有长方，面积一万六千一百二十八尺，纵多七十二尺，问长阔各几何？法列积如开平方法，商之其一万为初商积，可商一百尺，加纵多七十二尺，得一百七十二尺，以初商一百尺乗之，得一万七千二百尺，大于原积，是初商不可商一百尺也，乃改商九十尺，书于原积一百尺之上，而以所商九十尺加纵多七十二尺，得一百六十二尺，以所商九十尺乗之，得一万四千五百八十尺，书于原积之下，相减余一千五百四十八尺，为次商廉隅之共积，乃以初商九十尺倍之，得一百八十尺，加纵多七十二尺，得二百五十二尺，为廉法，以除一千五百四十八尺，足六尺，则以六尺书于原积八尺之上，而以廉法二百五十二尺加隅法六尺，得二百五十八尺，为廉隅共法，以次商六尺乗之，得一千五百四十八尺，书于余积之下，与余积相减，恰尽，即知长方之阔为九十六尺，加纵多七十二尺，得一百六十八尺，即长方之长也，此法原积初商应得一百尺，因加纵多相乗得数大于原积，故改商九十尺，而原积一万尺之上应开百位者空其位而不计也，或纵多太大过于初商所得之数，则用四因积数之法，或用纵多折半之法，设例在后。设如，有长方面积三万四千五百六十九尺，纵多三千八百三十二尺，问长阔各几何？法列积如开平方法商之，其三万尺为初商积，应商一百尺，而纵多数为三千，转大如初商数。凡遇此类，则用四因积数加较，自乗开方法之，或用半较自乗加于原积开方之法，为明白简易也。故以纵多三千八百三十二尺折半，得一千九百一十六尺为半较，自乗得三百六十七万一千零五十六尺，与原积三万四千五百六十九尺相加，得三百七十万五千六百二十五尺，开方得一千九百二十五尺为半和，于半和减半较得九尺为阔，于半和加半较得三千八百四十一尺为长也。设如有月台一座，共用方甎一千九百二十块其长比阔多八块问长阔两面各用甎几何？法以长比阔多八块，折半得四块，为半较。自乗得十六块，与积数一千九百二十块相加，得一千九百三十六块。开方得四十四块，为半和。于半和四十四块减半较得四十块，为阔面甎数。于半和加半较得四十八块，为长面甎数也。设如，有银三百六十两赏人，其人数比每人所得银数为五分之二，问人数及每人所得银数各几何？法：先用比例分其总银数，以五分为一率，二分为二率，三百六十两为三率，得四率一百四十四两。

开方得十二为人数，以人数除共银数三百六十两，得三十两为每人所得之银数也。此法以人数为阔，其每人所得银数为长，成一长方形。人数既居银数之五分之二，是阔为二分，长为五分也。今将其共银分作五分，而取其二分，即人数与所得银数相等，而成正方形矣，故开方而得人数也。设如，有长方，面积八尺，长阔相和六尺，问长阔各几何？法列积如开平方法，商之积八尺，止可商二尺，乃以二尺书于原积八尺之上，而以所商二尺与和数六尺相减，余四尺，以所商二尺乗之，得八尺，书于原积之下，相减恰尽，即知长方之阔得二尺，与和六尺相减，得四尺，即为长方之长也。如图甲乙丙丁长方形容积八尺，其甲乙边长四尺，甲丁边阔二尺，其甲丁与甲乙相并得六尺，即长阔之和。初商所得二尺，即甲戊己丁正方之每一边，葢两边俱止一位，故以初商所得为一边，于长阔和内减去初商所余，即又一边，是以两边相乗而与原积相等也。此法比较数为问者，在加减之异，其以较数为问者，以所商之数与较数相加，此以和数为问者，则以所商之数与和数相减也。又法，以积八尺，用四因之，得三十二尺；而以和数六尺自乗，得三十六尺，减去四因之数，余四尺，开方得二尺，即为长阔相较之数。乃以较数二尺与和数六尺相加，得八尺，折半得四尺，即长方之长；减较二尺，得二尺，即长方之阔也。如图甲乙丙丁长方形，容积八尺，四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四长方形廻环相凑，成一空心正方式。较之和数六尺自乗之甲戊辛子正方形，所少者止正中之一小正方形，故相减即余丑丙庚癸之一小正方形。其丑丙类每一边，即长阔之较，故开方得长阔之较。既得较，加于和数，是为倍长，故折半而得长；长减较而得阔也。此法比较数为问者，亦在加减之异。其以较为问者，用较自乗与四因数相加，开方而得和；此以和为问者，用和自乗与四因数相减，开方而得较也。又法，先将和数六尺折半，得三尺为半和，自乗得九尺，与原积八尺相减，得一尺，平方开之，仍得一尺为半较，于半和减半较，得二尺为阔，于半和加半较，得四尺为长，如图甲乙丙丁长方形，甲乙为阔，甲丁为长，甲壬为长阔和【丁壬与丁丙阔等】折半为甲庚半和，将甲乙丙丁长方内之庚辛丙丁移于乙丑癸己，则成甲丑癸己辛庚一磬折形，与甲庚半和自乗之甲丑子庚正方形相减，余己癸子辛一小正方形，即半较自乗之方，故开方而得半较也，故甲丑之半和减乙丑之半较，得甲乙之阔，于甲庚之半和加庚丁之半较，得甲丁之长也。又图甲乙丙丁长方形容积八尺，甲壬为长阔之和，甲庚、己庚、庚壬皆半和，甲丁长减等甲乙阔之甲戊，余戊丁为长阔之较，其庚丁则为半较，而甲丁、己丁、丁壬又为连比例之三线，故己丁中率自乗之方与甲丁首率、丁壬末率相乗之长方等【见几何原本九卷第三节】则是己丁自乗之方与原设甲乙丙丁长方之积等也。

又己庚丁为勾股形，其己丁边自乗之方与丁庚边自乗之方相并，而与己庚自乗之方等【见几何原本九卷第四节】故于己庚半和自乗方内减去与原设甲乙丙丁长方积相等之己丁自乗之数，开方而得庚丁为半较，于己庚相等之庚壬半和内减庚丁半较，而得丁壬与丁丙等之阔，又于己庚相等之甲庚半和加庚丁半较，而得甲丁之长也。设如，有长方，面积八百六十四尺，长阔相和六十尺，问长阔各几何？法列积如开平方法商之，其八百尺为初商积，可商二十尺，乃以二十尺书于原积八百尺之上，而以初商二十尺与和数六十尺相减，得四十尺，以初商二十尺乗之，得八百尺，书于原积之下，相减余六十四尺，为次商廉隅之共积，乃以初商二十尺倍之，得四十尺，与和数六十尺相减，余二十尺为廉法，以除六十四尺，足三尺，因廉法内尚要减去商数为法，故取大数为四尺，则以四尺书于原积四尺之上，而以廉法二十尺与次商四尺相减，得十六尺，以次商四尺乗之，得六十四尺，书于余积之下，与余积相减，恰尽，即知长方之阔得二十四尺，与和六十尺相减，余三十六尺，即为长方之长也。如图甲乙丙丁长方形容积八百六十四尺，其甲乙边阔二十四尺，甲丁边长三十六尺，甲戊为长阔和六十尺，其丁戊与甲乙等，甲子二十尺为初商数，与辛戊等，甲辛四十尺，则和内减去初商之数，两数相乗成甲子己辛长方形，即初商所减之积也。丁戊既与甲乙等，辛戊又与甲子等，则丁辛与子乙等，丁庚己辛小长方积与庚丑壬丙长方积等，是则次商廉隅之共积即子乙壬丑之积也。次于甲戊和内减倍初商数四十尺，如寅戊，余甲寅二十尺，与子癸等，为廉法，子乙者为次商数也。子乙与丑癸等，则于子癸廉法内减丑癸，余子丑与次商子乙相乗，得子乙壬丑小长方，即次商所减之积，故减原积恰尽也。以初商甲子二十尺合次商子乙四尺，得甲乙二十四尺为阔，于甲戊长阔和六十尺内减与甲乙相等之丁戊阔二十四尺，得甲丁三十六尺为长也。三商以后皆仿此递析开之。又法，以积八百六十四尺，用四因之，得三千四百五十六尺，而以和六十尺自乗，得三千六百尺，减去四因之数，余一百四十四尺，开方得一十二尺，即为长阔之较，乃以较十二尺与和六十尺相加，得七十二尺，折半得三十六尺，即长方之长，减较十二尺，得二十四尺，即长方之阔也。又法，先将和数六十尺折半，得三十尺为半和，自乗得九百尺，与原积八百六十四尺相减，得三十六尺，开方得六尺为半较，于半和减半较，得二十四尺为阔，于半和加半较，得三十六尺为长也。设如有长方面积一万九千三百一十二尺，长阔相和二百七十八尺，问长阔各几何？

法列积如开平方法商之，其一万尺为初商积，可商一百尺，乃以一百尺书于原积一万尺之上，而以初商一百尺与和数二百七十八尺相减，得一百七十八尺，以初商一百尺乗之，得一万七千八百尺，书于原积之下，相减余一千五百一十二尺，为次商廉隅之共积，乃以初商一百尺倍之，得二百尺，与和数相减，得七十八尺为廉法，以除一千五百一十二尺，止足一十尺，因廉法内尚要减去商数为法，故取大数为三十尺，则以三十尺书于原积三百尺之上，而以廉法七十八尺与次商三十尺相减，得四十八尺，以次商三十尺乗之，得一千四百四十尺，书与余积之下，与余积相减，余七十二尺，为三商廉隅之共积，乃以初商次商之一百三十尺倍之，得二百六十尺，与和数二百七十八尺相减，余十八尺为廉法，以除七十二尺，止足四尺，亦因取大于足除之数，故定为六尺，则以六尺书于原积二尺之上，而以廉法十八尺与三商六尺相减，得十二尺，以三商六尺乗之，得七十二尺，书于余积之下，与余积相减，恰尽，即知长方之阔得一百三十六尺，与和二百七十八尺相减，余一百四十二尺，即为长方之长也，此法次商、三商皆取大于足除之数，反覆商除，始能相符，不若四因积数减和自乗开方之法，或半和自乗减原积开方之法为整齐也，法以一万九千三百一十二尺用四因之，得七万七千二百四十八尺，而以和二百七十八尺自乗，得七万七千二百八十四尺，减去四因之数，余三十六尺，开方得六尺，即为长阔之较，乃以较六尺与和二百七十八尺相加，得二百八十四尺，折半得一百四十二尺，即长方之长，减较六尺，得一百三十六尺，即长方之阔也。设如，有长方面积六万九千三百六十尺，长阔相和七百八十二尺，问长阔各几何？法列积如开平方法商之，其六万为初商积，可除二百尺，而以二百尺与和数七百八十二尺相减，得五百八十二尺，以初商二百尺乗之，得十一万六千四百尺，大于积数，乃改商一百尺，书于原积六万尺之上，而以所商一百尺与和数七百八十二尺相减，得六百八十二尺，以初商一百尺乗之，得六万八千二百尺，书于原积之下，相减余一千一百六十尺，为次商廉隅之共积，乃以初商一百尺倍之，得二百尺，与和数七百八十二尺相减，得五百八十二尺，为廉法，以除一千一百六十尺，止足二尺，爰书空位于原积三百尺之上，而以二尺书于原积空尺之上，而以廉法五百八十二尺与三商二尺相减，得五百八十尺，以三商二尺乗之，得一千一百六十尺，书于原积之下，与余积相减，恰尽，即知长方之阔得一百零二尺，与和七百八十二尺相减，余六百八十尺，即为长方之长也。

此法初商应商二百尺，因减纵相乗得数转大于原积，故改商一百尺，凡遇此类，不若用四因积数之法与半和自乗之法算之。法以和数七百八十二尺折半，得三百九十一尺，自乗得一十五万二千八百八十一尺，与原积六万九千三百六十尺相减，余八万三千五百二十一尺，开方得二百八十九尺，为半较，于半和减半较，得一百零二尺，为阔，于半和加半较，得六百八十尺，为长也。设如有钱四千七百六十文，买果树，不知数，但知树之共数与每株之价相加得一百七十四，问树数及价各几何？法以共数一百七十四，折半得八十七为半和，自乗得七千五百六十九，与共钱四千七百六十文相减，余二千八百零九，开方得五十三为半较，于半和减半较，余三十四为树数，于半和加半较，得一百四十为树价也。此法以树数为阔，树价为长，成一长方形，其树数与树价相加，即如长阔之和，故以半和自乗减积，开方得半较，既得半较，以减半和为树数，加半和为树价也。设如有法书一卷，共一千一百五十九字，其行数与每行字数相加共八十，问行数及字数各几何？法以和数八十折半，得四十为半和，自乗得一千六百，与共字一千一百五十九相减，余四百四十一，开方得二十一为半较，于半和加半较，得六十一为行数，于半和减半较，余十九为每行字数也。设如，有五百八十八人，用船均载，其船数与每船所载人数相加，比船数多四分之三，问船数与每船所载人数各几何？法先用比例分其积，以三分为一率，一分为二率，五百八十八人为三率，得四率一百九十六人。用开平方法开之，得十四为船数，以三因之，得四十二为每船所载之人数也。此以船数为阔，每船所载人数为长，成一长方形，船数与人数相加，即如长阔之和。和数既比船数多四分之三，则是和数为四分，每船所载人数为三分，船数为一分。即阔为一分，长为三分也。故将共人数三分之而取其一，则人数与船数同为一分，而成正方形矣。故平方开之即得船数，每船所载人数既为船数之三倍，故三因之为所载人数也。

御制数理精蕴下编卷十一<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书