御制数理精蕴下编卷三十六

御制数理精蕴下编卷三十六

末部六借根方比例【体类】

体类设如，有扁方体，髙十八尺，若将体积加六倍，则髙与长阔皆相等，问长阔之各一边及体积几何？法，借一根为长阔之各一边数，以一根自乘，得一平方，为扁方体之面积，再以髙十八尺乘之，得十八平方，为扁方体之体积，又以一根与一平方相乘，得一立方，为扁方体积之六倍，乃以扁方体之体积十八平方六因之，得一百零八平方，是为一立方与一百零八平方相等，两边各降二位，得一根与一百零八尺相等，卽扁方体之长阔各一边数也，以一百零八尺自乘，得一万一千六百六十四尺，再以十八尺乘之，得二十万零九千九百五十二尺，为扁方体积六因之，得一百二十五万九千七百一十二尺，与毎边一百零八尺自乘再乘之立方积相等，此扁方体边线比例法也。葢两体之底面积旣同，则其体积之比例同于其髙之比例，今扁方体之长阔各一边旣与正方体之毎一边等，而正方体积为扁方体积之六倍，则其髙亦必为六倍，故以扁方体之髙数六因之，卽得长阔之各一边数也。设如有一长方体，髙三尺五寸，又有一正方体，其每一面积与长方体之底面积等，而长方体积为正方体积之五倍，问正方体之一边及体积各几何？法借一根为正方体毎边之数，以一根自乘得一平方，为正方体之面积，亦卽长方体之底面积，以一平方与髙三十五寸相乘得三十五平方，为长方体之体积，又以一根自乘再乘得一立方，为正方体之体积，长方体积旣为正方体之五倍，乃以一立方五因之得五立方，而与三十五平方为相等，两边各降二位，得五根与三十五寸相等，五根旣与三十五寸相等，则一根必与七寸相等，卽正方体之毎一边之数也，以七寸自乘再乘得三百四十三寸，卽正方体之体积，又以七寸自乘得四十九寸，再以三十五寸乘之得一千七百一十五寸，卽长方体之体积，为正方体积之五倍，此一长方体一正方体同底比例法也，葢两体之底面积旣同，则其体积之比例同于其髙之比例，今正方体之每一面积旣与长方体之底面积等，而长方体积为正方体积之五倍，则其髙亦必为五倍，故长方体之髙之五分之一卽正方体之毎一边之数也。设如有一正方面形，又有一正方体形，但知正方面毎边为正方体毎边之八倍，而正方面积与正方体积相等，问边线积数各若干？法借一根为正方体毎边之数，则正方面毎边之数为八根。以一根自乘再乘，得一立方为正方体积；以八根自乘，得六十四平方为正方面积。是为一立方与六十四平方相等。两边各降二位，得一根与六十四尺相等，卽正方体毎边之数。八因之得五百一十二尺，卽正方面毎边之数。以五百一十二尺自乘，得二十六万二千一百四十四尺为正方面积；以六十四尺自乘再乘，亦得二十六万二千一百四十四尺为正方体积。

两数相等也【此一平方一立方边数积数比例法】设如，有带两纵不同立方体，其髙与阔之比例同于四与六，阔与长之比例同于六与九，其髙与阔相乘之数为长数之四倍，问髙、阔、长各几何？法借四根为髙，数六根为阔，数九根为长。数以髙四根与阔六根相乘，得二十四平方，为长数之四倍。乃以长数九根四因之，得三十六根，是为二十四平方与三十六根相等。两边各降一位，得二十四根与三十六尺相等。二十四根旣与三十六尺相等，则四根必与六尺相等。卽髙数六根必与九尺相等，卽阔数九根必与一十三尺五寸相等。卽长数，以髙六尺与阔九尺相乘，得五十四尺，四归之，得一十三尺五寸，与长数相等也【此带两纵不同立方边线面积比例法】设如，有带两纵不同立方体，长二十四尺，髙与阔和五十二尺，其髙与阔相乘之积，与长自乘之积等，问髙阔各若干？法借一根为髙，数则阔数为五十二尺少一根，以髙一根与阔五十二尺少一根相乘，得五十二根少一平方。又以长二十四尺自乘，得五百七十六尺。此二数为相等，乃以五百七十六尺为长方积，以五十二根作五十二尺为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔十六尺为一根之数，卽立方之髙数。与髙阔和五十二尺相减，余三十六尺，卽立方之阔数。以髙十六尺与阔三十六尺相乘，得五百七十六尺，与长二十四尺自乘之数相等也【此带两纵不同立方边线与面积比例法】设如，有带两纵，不同立方体，髙十二寸，长比阔多十寸，其长与阔相乘之积，与髙自乘之积等，问长阔各若干？法借一根为阔，数则长数为一根多十寸，以阔一根与长一根多十寸相乘，得一平方多十根，以髙十二寸自乘，得一百四十四寸，此二数为相等，乃以一百四十四寸为长方积，以十根作十寸为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔八寸为一根之数，卽立方之阔数，加长比阔多十寸，得十八寸，卽立方之长数，以阔八寸与长十八寸相乘，得一百四十四寸，与髙十二寸自乘之数相等也【此带两纵不同立方边较与面积比例法】设如，有带两纵不同立方体，长比阔多四寸，阔比髙多二寸，其体积比髙自乘再乘之正方体多一百七十六寸，问长、阔、髙各几何？法借一根为髙，数则阔数为一根多二寸，长数为一根多六寸。以髙一根与阔一根多二寸相乘，得一平方多二根。再以长一根多六寸乘之，得一立方多八平方多十二根。内减髙数一根自乘再乘之一立方，余八平方多十二根，与一百七十六寸相等。八平方多十二根旣与一百七十六寸相等，则一平方多一根半必与二十二寸相等。乃以二十二寸为长方积，以一根半作一寸五分为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔四寸为一根之数，卽立方之髙数。

加阔比髙多二寸，得六寸，卽立方之阔数。再加长比阔多四寸，得十寸，卽立方之长数。以长阔相乘，以髙再乘，得二百四十寸为立方体积。内减髙四寸自乘再乘之六十四寸，余一百七十六寸，以合原数也【此带两纵不同立方边较与积较比例法】设如一长方池，深二十尺，长阔和六十尺，其体积一万七千二百八十尺，问长阔各若干？法借一根为阔，数则长数为六十尺少一根，以阔一根与长六十尺少一根相乘，得六十根少一平方，以深二十尺再乘，得一千二百根少二十平方，与一万七千二百八十尺相等。一千二百根少二十平方旣与一万七千二百八十尺相等，则六十根少一平方必与八百六十四尺相等。乃以八百六十四尺为长方积，以六十根作六十尺为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔二十四尺为一根之数，卽池之阔数。与长阔和六十尺相减，余三十六尺，卽池之长数。以长阔相乘，以深再乘，得一万七千二百八十尺，以合原数也【此带两纵不同立方知一边与两边和相求法】设如一长方池，深三十尺，长比阔多十尺，其体积七万一千二百八十尺，问长阔各若干？法借一根为阔，数则长数为一根多十尺，以阔一根与长一根多十尺相乘，得一平方多十根，再以深三十尺乘之，得三十平方多三百根，与七万一千二百八十尺相等。三十平方多三百根旣与七万一千二百八十尺相等，则一平方多十根必与二千三百七十六尺相等。乃以二千三百七十六尺为长方积，以十根作十尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔四十四尺为一根之数，卽池之阔数。加长比阔多十尺，得五十四尺，卽池之长数也。以长阔相乘，以深再乘，得七万一千二百八十尺，以合原数也【此带两纵不同立方知一边与两边较相求法】设如，有带两纵不同立方体，长、阔、髙共五十八尺，长比阔多六尺，其对角斜线自乘之数为一千一百五十六尺，问长、阔、髙各几何？法借一根为阔，数则长数为一根多六尺，以长阔两数相加得二根多六尺，与长阔髙共五十八尺相减，余五十二尺少二根为髙数。以阔一根自乘得一平方，为阔自乘之数。以长一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺，为长自乘之数。以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方，为髙自乘之数。三自乘数相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方，与对角线自乘之一千一百五十六尺相等。两边各加一百九十六根，得二千七百四十尺多六平方与一千一百五十六尺多一百九十六根相等。两边各减一千一百五十六尺，得一千五百八十四尺多六平方与一百九十六根相等。一千五百八十四尺多六平方旣与一百九十六根相等，则二百六十四尺多一平方必与三十二根又六分根之四相等。

乃以二百六十四尺为长方积，以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得长十八尺为一根之数，卽立方之阔。加长比阔多六尺，得二十四尺卽立方之长。长阔相加得四十二尺，与长阔髙共五十八尺相减，余十六尺卽立方之髙也。以髙十六尺自乘得二百五十六尺，以阔十八尺自乘得三百二十四尺，以长二十四尺自乘得五百七十六尺，三自乘数相加得一千一百五十六尺，与对角斜线自乘之数相等也【此带两纵不同立方边线面积和较相求法】设如，有带两纵不同立方体，其长阔髙为相连比例三率，长为首率，阔为中率，髙为末率，共五十七寸，其六面积共二千零五十二寸，问长阔髙各几何？法借一根为长数，则阔髙之共数为五十七寸少一根。又以六面积共二千零五十二寸折半得一千零二十六寸，为三面积共数，以长阔髙共五十七寸除之，得一十八寸为阔数【因长为首率，阔为中率，髙为末率，故其三面积一为首率乘中率，一为末率乘中率，一为首率乘末率，而首率乘末率之数与中率自乘之数等，则此三而积相合卽为首率中率末率之共数乘中率之数矣，故以长阔髙之共数除之卽得中率为阔也】以阔一十八尺与阔髙之共数五十七寸少一根相减，余三十九寸少一根为髙数。乃以首率长一根与末率髙三十九寸少一根相乘，得三十九根少一平方，与中率阔十八寸自乘之三百二十四寸相等。乃以三百二十四寸为长方积，以三十九根作三十九寸为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得长二十七寸为一根之数，卽立方之长数，与髙长和三十九寸相减，余一十二寸，卽立方之髙数。以长二十七寸与阔十八寸之比，同于阔十八寸与髙十二寸之比，为相连比例三率也【此带两纵不同立方边线面积相和比例法】设如，有带两纵不同立方体，其髙与阔之比例同于一与二，阔与长之比例同于二与三。以髙自乘再乘之数，与阔自乘再乘之数相加，比原体积多一千零二十九寸。问长、阔、髙各几何？法借一根为髙，数则阔数为二根，长数为三根。以阔二根与长三根相乘，得六平方，再以髙一根乘之，得六立方为原体积。又以髙一根自乘再乘，得一立方；以阔二根自乘再乘，得八立方。相并得九立方，内减原体积六立方，余三立方，与一千零二十九寸相等。三立方旣与一千零二十九寸相等，则一立方必与三百四十三寸相等。乃以三百四十三寸开立方，得七寸为一根之数，卽立方之髙数。倍之得十四寸，卽立方之阔数；三因之得二十一寸，卽立方之长数。以长二十一寸与阔十四寸相乘，得二百九十四寸，再以髙七寸乘之，得二千零五十八寸为原体积。

又以髙七寸自乘再乘，得三百四十三寸；阔十四寸自乘再乘，得二千七百四十四寸。相并得三千零八十七寸，与原体积相减，余一千零二十九寸，以合原数也【此带两纵不同立方边线体积比例法】设如，有甲、乙、丙三正方体甲方边与乙方边之比例同于二与三，乙方积比甲方积多一百五十二寸，丙方积比乙方积多七百八十四寸，问三正方体之边数各若干？法借二根为甲方毎边之数，则乙方毎边之数为三根。以二根自乘再乘，得八立方，为甲方之体积。以三根自乘再乘，得二十七立方，为乙方之体积。两体积相减，余一十九立方，与一百五十二寸相等。十九立方旣与一百五十二寸相等，则一立方必与八寸相等。乃以八寸开立方，得二寸，为一根之数。倍之，得四寸，卽甲方毎边之数。三因之，得六寸，卽乙方毎边之数。自乘再乘，得二百一十六寸，加七百八十四寸，得一千寸。开立方，得十寸，卽丙方毎边之数也【此三正方体边线体积比例法】设如，有带两纵不同立方体，髙比阔为五分之一，阔比长亦为五分之一，体积六十一万四千一百二十五尺，问髙、阔、长各几何？法借一根为髙，数则阔数为五根，长数为二十五根。以阔五根与长二十五根相乘，得一百二十五平方。再以髙一根乘之，得一百二十五立方，与六十一万四千一百二十五尺相等。一百二十五立方旣与六十一万四千一百二十五尺相等，则一立方必与四千九百一十三尺相等。乃以四千九百一十三尺开立方，得十七尺为一根之数，卽立方之髙。以五乘之，得八十五尺，卽立方之阔。以二十五乘之，得四百二十五尺，卽立方之长也。乃以长阔相乘，得三万六千一百二十五尺，再以髙乘之，得六十一万四千一百二十五尺，以合原数也【此带分比例开立方法】设如有一大长方体，其阔三倍于髙，其长三倍于阔。又有一小长方体，比大长方体髙为二分之一，阔为三分之二，长为九分之七。小长方体积二万三千六百二十五寸，问大小二长方体之长阔髙各几何？法借一根为大长方体之髙，则大长方体之阔为三根，大长方体之长为九根。小长方体之髙为半根，小长方体之阔为二根，小长方体之长为七根。乃以长七根与阔二根相乘，得一十四平方，再以髙半根乘之，得七立方，为小长方体积，与二万三千六百二十五寸相等。七立方旣与二万三千六百二十五寸相等，则一立方必与三千三百七十五寸相等。乃以三千三百七十五寸开立方，得十五寸，为一根之数，卽大长方体之髙。三因之得四十五寸，卽大长方体之阔。又以三因之得一百三十五寸，卽大长方体之长。以大长方体之髙折半，得七寸五分，卽小长方体之髙。

以大长方体之阔三归二因，得三十寸，卽小长方体之阔。以大长方体之长九归七因，得一百零五寸，卽小长方体之长。以小长方体之长阔相乘，再以髙乘之，得二万三千六百二十五寸，以合原数也【此带分比例开立方法】设如有人买马三次，第二次比第一次多一倍，第三次比第二次多一倍，以第三次马数四分之一与第二次马数之一半相乘，又与第一次马数三分之一相乘，得六千五百六十一匹，问三次所买马数各若干？法借三根为第一次买马之数【第一次分母数】则第二次买马之数为六根，第三次买马之数为十二根。以第三次四分之一三根与第二次之一半三根相乘，得九平方，又与第一次三分之一一根相乘，得九立方，与六千五百六十一匹相等。九立方旣与六千五百六十一匹相等，则一立方必与七百二十九匹相等。乃以七百二十九匹开立方，得九匹为一根之数。三因之，得二十七匹为第一次买马之数，倍之得五十四匹为第二次买马之数，又倍之得一百零八匹为第三次买马之数。以第三次四分之一二十七匹与第二次一半二十七匹相乘，得七百二十九匹，再以第一次三分之一九匹乘之，得六千五百六十一匹，以合原数也【此带分比例开立方法】设如，有马、牛、羊各不知数，但知牛数比马数多四，羊数与马、牛相乘之数等。马毎匹之价与牛数等，牛毎头之价与马数等，羊毎只之价比马毎匹价少十两，而羊之共价为一百九十二两。问马、牛、羊及价银各若干？法借一根为马，数则牛数为一根多四，以马数一根与牛数一根多四相乘，得一平方多四根为羊数。马价与牛数等，为一根多四两，则羊价为一根少六两。以羊数一平方多四根与羊价一根少六两相乘，得一立方少二平方少二十四根为羊之共价，与一百九十二两相等。乃以一百九十二两为磬折扁方体积，用带纵开立方法算之，得八为一根之数，卽马数，亦卽牛毎头之价为八两也。加牛比马多四，得十二为牛数，亦卽马毎匹之价为十二两也。以马数八与牛数十二相乘，得九十六为羊数。以羊数九十六归除羊共价一百九十二两，得二两为羊毎只价，比马一匹之价少十两也【此磬折扁方体求边法】设如，有马骡运重，其共马数比马毎匹所防之数多二十，骡毎匹所防之数比共马数多三十，其共骡数与马所防之共数等，但知骡共防一千一百万斤，问马数、骡数及所防之斤数各若干？法借一根为共马数，则马毎匹所防之斤数为一根少二十斤，骡毎匹所防之数为一根多三十斤。以共马数一根与马毎匹防一根少二十斤相乘，得一平方少二十根，为马所防之共数，亦卽共骡数。再以骡毎匹防一根多三十斤乘之，得一立方多十平方少六百根，为骡所防之共数，与一千一百万斤相等。

乃以一千一百万斤为磬折长方体积，用带纵开立方法算之，得二百二十为一根之数，卽共马数。减二十余，二百斤为马毎匹所防之数。以共马二百二十匹与马毎匹所防之二百斤相乘，得四万四千斤，为马所防之共数，亦卽共骡数。以共骡四万四千匹归除一千一百万斤，得二百五十斤，为骡毎匹所防之数，比共马数二百二十多三十也【此磬折长方体求边法】设如，有大小二正方体，边数共二尺六寸，体积共五千零九十六寸，问二正方体边数体积各几何？法借一根为小方毎边之数，则大方毎边之数为二十六寸少一根。以一根自乘再乘，得一立方，为小方之体积。以二十六寸少一根自乘再乘，得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方少一立方，为大方之体积。两体积相加，得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方，与五千零九十六寸相等。两边各加二千零二十八根，得一万七千五百七十六寸多七十八平方，与五千零九十六寸多二千零二十八根相等。两边各减五千零九十六寸，得一万二千四百八十寸多七十八平方，与二千零二十八根相等。一万二千四百八十寸多七十八平方，旣与二千零二十八根相等，则一百六十寸多一平方，必与二十六根相等。乃以一百六十寸为长方积，以二十六根作二十六寸为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔十寸，为一根之数，卽小方毎边之数。与共边二十六寸相减，余一十六寸，卽大方毎边之数。以十寸自乘再乘，得一千寸，卽小方之体积。以十六寸自乘再乘，得四千零九十六寸，卽大方之体积。两体积相加，共五千零九十六寸，以合原数也【此二正方体有边和积和求边法】设如，有大小二正方体，大方边比小方边多四尺，大方积比小方积多一千二百一十六尺，问二正方体边数、体积各几何？法借一根为小方，毎边之数，则大方毎边之数为一根多四尺。以一根自乘，再乘，得一立方，为小方之体积。以一根多四尺自乘，再乘，得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺，为大方之体积。两体积相减，得十二平方多四十八根多六十四尺，与一千二百一十六尺相等。两边各减六十四尺，得十二平方多四十八根，与一千一百五十二尺相等。十二平方多四十八根旣与一千一百五十二尺相等，则一平方多四根必与九十六尺相等。乃以九十六尺为长方积，以四根作四尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔八尺，为一根之数，卽小方每边之数。加四尺得一十二尺，卽大方毎边之数。以八尺自乘，再乘，得五百一十二尺，卽小方之体积。以一十二尺自乘，再乘，得一千七百二十八尺，卽大方之体积。

两体积相减，余一千二百一十六尺，以合原数也【此二正方体有边较积较求边法】设如，有大小二正方体，大方边比小方边多二尺，体积共一千零七十二尺，问二正方体边数、体积各几何？法借一根为小方，毎边之数，则大方毎边之数为一根多二尺。以一根自乘，再乘得一立方，为小方之体积。以一根多二尺自乘，再乘得一立方多六平方多十二根多八尺，为大方之体积。两体积相加得二立方多六平方多十二根多八尺，与一千零七十二尺相等。两边各减去八尺，得二立方多六平方多十二根，与一千零六十四尺相等。二立方多六平方多十二根旣与一千零六十四尺相等，则一立方多三平方多六根必与五百三十二尺相等。乃以五百三十二尺为磬折长方体积，用带纵开立方法算之，得七尺为一根之数，卽小方毎边之数。加二尺得九尺，卽大方每边之数。以七尺自乘，再乘得三百四十三尺，卽小方之体积。以九尺自乘，再乘得七百二十九尺，卽大方之体积。两体积相加得一千零七十二尺，以合原数也【此二正方体有边较积和求边法】设如，有大小二正方体，边数共十四尺，大方比积小方积多二百九十六尺，问二正方体之边数、体积各几何？法借一根为小方，每边之数，则大方每边之数为十四尺少一根。以一根自乘再乘，得一立方，为小方之体积。以十四尺少一根自乘再乘，得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少一立方，为大方之体积。两体积相减，得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少二立方，与二百九十六尺相等。两边各加二立方，又加五百八十八根，得二立方多五百八十八根多二百九十六尺，与二千七百四十四尺多四十二平方相等。两边各减去二百九十六尺，又各减去四十二平方，得二立方少四十二平方多五百八十八根，与二千四百四十八尺相等。二立方少四十二平方多五百八十八根旣与二千四百四十八尺相等，则一立方少二十一平方多二百九十四根，必与一千二百二十四尺相等。乃以一千二百二十四尺为磬折扁方体积，用带纵开立方法算之，得六尺为一根之数，卽小方毎边之数，与共边数十四尺相减，余八尺，卽大方每边之数。以六尺自乘再乘，得二百一十六尺，为小方之体积。以八尺自乘再乘，得五百一十二尺，为大方之体积。两体积相减，余二百九十六尺，以合原数也【此二正方体有边和积较求边法】设如勾股积二百四十尺，股▯较四尺，问勾股▯各几何？法借一根为股数，则▯为一根多四尺。以一根自乘，得一平方，为股自乘之数。以一根多四尺自乘，得一平方多八根多十六尺，为▯自乘之数。内减去股自乘之一平方，余八根多十六尺，为勾自乘之数。

凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率。乃以首率勾自乘之八根多十六尺与末率股自乘之一平方相乘，得八立方多十六平方。又以勾股积二百四十尺倍之，得四百八十尺为中率，自乘得二十三万零四百尺，是为八立方多十六平方与二十三万零四百尺相等。八立方多十六平方旣与二十三万零四百尺相等，则一立方多二平方必与二万八千八百尺相等。乃以二万八千八百尺为长方体积，用带纵开立方法算之，得三十尺为一根之数，卽股数。加股▯较四尺，得三十四尺，卽▯数。又以股三十尺除倍积四百八十尺，得十六尺，卽勾数也【此有勾股积有股▯较求勾股▯法】设如勾股积二百四十尺，勾▯和五十尺，问勾股▯各几何？法借一根为勾数，则▯为五十尺少一根。以一根自乘，得一平方，为勾自乘之数。以五十尺少一根自乘，得二千五百尺少一百根多一平方，为▯自乘之数。内减去勾自乘之一平方，余二千五百尺少一百根，为股自乘之数。凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率，则以首率勾自乘之一平方与末率股自乘之二千五百尺少一百根相乘，得二千五百平方少一百立方。又以勾股积二百四十尺倍之，得四百八十尺为中率，自乘得二十三万零四百尺，是为二千五百平方少一百立方与二十三万零四百尺相等。二千五百平方少一百立方旣与二十三万零四百尺相等，则一平方少二十五分立方之一必与九十二尺一十六寸相等。乃以九十二尺一十六寸为扁方体积，用带纵开立方法算之，得一十六尺为一根之数，卽勾数。与勾▯和五十尺相减，余三十四尺，卽▯数。又以勾十六尺除倍积四百八十尺，得三十尺，卽股数也【此有勾股积，有勾▯和，求勾股▯法】设如，有数十万为一率，作相连比例四率，使一率与四率相加，与二率三倍等，问二率、三率、四率各几何？法借一根为二率，以二率一根自乘，得一平方，以一率十万除之，得十万分平方之一为三率。又以二率一根与三率十万分平方之一相乘，得十万分立方之一，以一率十万除之，得一百亿分立方之一为四率。将四率俱以百亿乘之，则一率为一千兆，二率为一百亿根，三率为一十万平方，四率为一立方【因四率为百亿分立方之一，以百亿乘之则得一整立方，故将余三率俱以百亿乘之，其比例始相当也】乃以一率与四率相加，得一千兆多一立方。又以二率三倍之，得三百亿根，是为三百亿根与一千兆多一立方相等。两边各减去一立方，得三百亿根少一立方与一千兆相等。乃以一千兆为实，以三百亿根为法，用割圜内新增益实归除法算之，得三万四千七百二十九为一根之数，卽相连比例之第二率也。

以二率自乘，一率除之，得一万二千零六十一为相连比例之第三率。又以二率与三率相乘，一率除之，得四千一百八十七为相连比例之第四率。乃以一率与四率相加，得一十万零四千一百八十七，与二率之三倍相等也【此卽求圜内容十八边法】设如，有数十万为一率，作相连比例四率，使一率与四率相加，与二率两倍再加一、三率之数等，问二率、三率、四率各几何？法借一根为二率，以二率一根自乘，得一平方，以一率十万除之，得十万分平方之一，为三率。以二率一根与三率十万分平方之一相乘，得十万分立方之一，以一率十万除之，得一百亿分立方之一，为四率。将四率俱以百亿乘之，则一率为一千兆，二率为一百亿根，三率为一十万平方，四率为一立方。乃以一率与四率相加，得一千兆多一立方。又以二率倍之，得二百亿根加一，三率得二百亿根多十万平方，是为二百亿根多十万平方与一千兆多一立方相等。两边各减去一立方，得二百亿根多十万平方少一立方与一千兆相等。乃以一千兆为实，以二百亿根为法，用割圜内益实兼减实归除法算之，得四万四千五百零四为一根之数，卽相连比例之第二率也。以二率自乘，一率除之，得一万九千八百零六为相连比例之第三率。又以二率与三率相乘，一率除之，得八千八百一十四为相连比例之第四率。乃以一率与四率相加，得一十万零八千八百一十四，与二率两倍加一三率之数相等也【此卽求圜内容十四边法】设如，有大小二正方，面大方毎边为小方毎边之二倍，若以两面积相乘，得五万八千五百六十四尺，问二方边、面积各几何？法借一根为小方，毎边之数则大方毎边数为二根。以一根自乘得一平方，为小方之面积。以二根自乘得四平方，为大方之面积。以一平方与四平方相乘得四三乘方，为两方面积相乘之数，与五万八千五百六十四尺相等。四三乘方旣与五万八千五百六十四尺相等，则一三乘方必与一万四千六百四十一尺相等。乃以一万四千六百四十一尺为三乘方积，用开三乘方法算之，得十一尺为一根之数，卽小方每边之数。倍之得二十二尺，卽大方每边之数。以十一尺自乘得一百二十一尺，卽小方之面积。以二十二尺自乘得四百八十四尺，卽大方之面积。两面积相乘得五万八千五百六十四尺，以合原数也【此开三乘方法】设如，有解钱粮船，不言数，但知每船所载银鞘之数，比船数加一倍，每鞘内银数与共鞘数等，其共银数为五百三十四万五千三百四十四两，问船数、鞘数各若干？法借一根为船，数则每船所载鞘数为二根，以一根与二根相乘，得二平方，为共鞘数，亦为每鞘内银数，自乘得四三乘方，与五百三十四万五千三百四十四两相等。

四三乘方旣与五百三十四万五千三百四十四两相等，则一三乘方必与一百三十三万六千三百三十六两相等。乃以一百三十三万六千三百三十六两为三乘方积，用开三乘方法算之，得三十四为一根之数，卽船数，倍之得六十八，卽每船之鞘数。以船数三十四与每船所载鞘数六十八相乘，得二千三百一十二，为共鞘数，亦卽每鞘内之银数，自乘得五百三十四万五千三百四十四两，以合原数也【此开三乘方法】设如有一正方，又有一长方，二方面积共二十三万六千一百九十六尺。长方之长比正方面积多二十四尺，长方之阔比正方面积少二十尺。问二方边面积各几何？法借一根为正方，每边之数自乘得一平方，为正方之面积。则长方之长为一平方多二十四尺，长方之阔为一平方少二十尺。长阔相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺，为长方面积。加正方面积之一平方，得一三乘方多五平方少四百八十尺，为二方之共面积，与二十三万六千一百九十六尺相等。两边各加四百八十尺，得一三乘方多五平方，与二十三万六千六百七十六尺相等。乃以二十三万六千六百七十六尺为带纵三乘方积，用带纵开三乘方法算之，得二十二为一根之数，卽正方每边之数。自乘得四百八十四尺，为正方面积。加二十四尺，得五百零八尺，为长方之长。减二十尺，得四百六十四尺，为长方之阔。长阔相乘得二十三万五千七百一十二尺，为长方面积。两面积相加得二十三万六千一百九十六尺，以合原数也【此带纵开三乘方法】设如有一长方，其面积五百二十七丈，又有大小二正方，其面积共一千二百五十丈，大正方边与长方之长等，小正方边与长方之阔等，问长方之长阔各几何？法借一根为大方，每边之数自乘得一平方，为大方之面积。则小方之面积为一千二百五十丈少一平方。此大方面积与长方面积及小方面积为相连比例三率。乃以首率大方面积一平方与末率小方面积一千二百五十丈少一平方相乘，得一千二百五十平方少一三乘方。又以长方面积五百二十七丈为中率，自乘得二十七万七千七百二十九丈。此两数为相等，乃以二十七万七千七百二十九丈为带纵三乘方积，用带纵开三乘方法算之，得三十一为一根之数，卽大方每边之数，亦卽长方之长。以长三十一丈除长方面积五百二十七丈，得十七丈，卽长方之阔，亦卽小正方每边之数。乃以三十一丈自乗得九百六十一丈为大方面积，以十七丈自乘得二百八十九丈为小方面积。两面积相加得一千二百五十丈，以合原数也【此带纵开三乘方法】设如有一方台，俱系正方石砌成，其用石之块数与每一石之面积等，其共石之体积为五十三万七千八百二十四寸，问用石之块数及每一石之边数若干？

法借一根为每一石之边数，自乘得一平方，为每一石之面积，亦卽所用石之块数，再乘得一立方，为每一石之体积，与所用石之块数一平方相乘，得一四乘方，为共石之体积，与五十三万七千八百二十四寸相等。乃以五十三万七千八百二十四寸为四乘方积，用开四乘方法算之，得一十四寸为一根之数，卽每一石之边数，自乘得一百九十六寸，为每一石之面积，亦卽所用石之块数，再乘得二千七百四十四寸，为每一石之体积，与所用石之块数相乘，得五十三万七千八百二十四寸，以合原数也【此开四乘方法】设如，有二十四正方体，又有一扁方体，共积八百二十九万四千四百寸。扁方体之髙与正方体之边数等，扁方体之长与阔俱与正方体之面积等。问正方体、扁方体之边数各若干？法借一根为正方体每边之数，亦卽扁方体之髙数。以一根自乘，得一平方，为正方体之面积，亦卽扁方体之长与阔。再乘得一立方，为正方体之积。以二十四乘之，得二十四立方，为二十四正方体之共积。又以扁方体之长阔一平方自乘，得一三乘方。再以髙一根乘之，得一四乘方，为扁方体之积。两积数相加，得一四乘方多二十四立方，与共体积八百二十九万四千四百寸相等。乃以八百二十九万四千四百寸为带纵四乘方积，用带纵开四乘方法算之，得二十四寸为一根之数，卽正方体之每边，亦卽扁方体之髙。自乘得五百七十六寸，为正方体之面积，亦卽扁方体之长与阔。再乘得一万三千八百二十四寸，为一正方体之积。以二十四乘之，得三十三万一千七百七十六寸，为二十四正方体之共积。又以扁方体之长阔五百七十六寸自乘，再以髙二十四寸乘之，得七百九十六万二千六百二十四寸，为一扁方体积。两积相加，得八百二十九万四千四百寸，以合原数也【此带纵开四乘方法】设如，有商人贸易，第一次之银数比原本银加一倍，第二次之银数与第一次银自乘再乘之数等，第三次之银数与第一次银自乘又乘第二次银之数等，将第三次之银数与第二次之银数相加，得三万三千二百八十两，问原本银数及每次银数各若干？法借一根为原本银数，则第一次之银数为二根，自乘再乘得八立方，为第二次之银数。以第一次自乘之四平方与第二次之八立方相乘，得三十二四乘方，为第三次之银数。与第二次之银数八立方相加，得三十二四乘方多八立方，与三万三千二百八十两相等。三十二四乘方多八立方旣与三万三千二百八十两相等，则一四乘方多四分立方之一，必与一千零四十两相等。乃以一千零四十两为带纵四乘方积，用带纵开四乘方法算之，得四两为一根之数，卽原本银数也。

倍之得八两，为第一次之银数。自乘再乘得五百一十二两，为第二次之银数。又以第一次银数八两自乘之六十四两，与第二次之银数五百一十二两相乘，得三万二千七百六十八两，为第三次之银数。与第二次之银数相加，得三万三千二百八十两，以合原数也【此带纵开四乘方法】设如有一小长方体，阔为髙之二倍，长为髙之三倍。又有一大长方体，其每边之比例与小长方体同，其髙数与小长方体长阔相乘之数等，体积八万二千九百四十四尺。问二长方体长阔髙各几何？法借一根为小长方体之髙，则阔为二根，长为三根。长阔相乘得六平方，为大长方体之髙。倍之得十二平方，为大长方体之阔。三因之得十八平方，为大长方体之长。长阔相乘再以髙乘之，得一千二百九十六五乘方，为大长方体积，与八万二千九百四十四尺相等。一千二百九十六五乘方旣与八万二千九百四十四尺相等，则一五乘方必与六十四尺相等。乃以六十四尺为五乘方积，用开五乘方法算之，得二尺为一根之数，卽小长方体之髙。倍之得四尺，卽小长方体之阔。三因之得六尺，卽小长方体之长。长阔相乘得二十四尺，卽大长方体之髙。倍之得四十八尺，卽大长方体之阔。三因之得七十二尺，卽大长方体之长。长阔相乘再以髙乘之，得八万二千九百四十四尺，以合原数也【此开五乘方法】设如，有大小二正方体，大方体积比小方体积多一千七百四十四寸，以小方边与大方边相乘得一百四十寸，问二正方体之边数、体积各几何？法，借一根为小方体每边之数，以一根除一百四十寸，得一根之一百四十寸为大方体每边之数，以一根自乘再乘，得一立方为小方体积数，以一根之一百四十寸自乘再乘，得一立方之二百七十四万四千寸为大方体积，内减小方体积一立方，余一立方之二百七十四万四千寸少一立方，与一千七百四十四寸相等，两边各以立方乘之，得一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸少一五乘方相等，两边各加一五乘方，得一五乘方多一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸相等，乃以二百七十四万四千寸为带纵五乘方积，用带纵开五乘方法算之，得十寸为一根之数，卽小方体每边之数，以十寸除一百四十寸，得一十四寸，卽大方体每边之数，以小方体每边十寸自乘再乘，得一千寸为小方体积，以大方体每边十四寸自乘再乘，得二千七百四十四寸为大方体积，两体积相减，余一千七百四十四寸，以合原数也【此带纵开五乘方法】设如，有大小二正方体，共积四千一百二十三寸。以小方边与大方边相乘，得四十八寸。问：二正方体之边数、体积各几何？法借一根为小方体每边之数，以一根除四十八寸，得一根之四十八寸为大方体每边之数，以一根自乘再乘，得一立方为小方体积，以一根之四十八寸自乘再乘，得一立方之一十一万零五百九十二寸为大方体积，两体积相加，得一立方多一立方之一十一万零五百九十二寸，与四千一百二十三寸相等，两边各以立方乘之，得四千一百二十三立方与一五乘方多一十一万零五百九十二寸相等，两边各减一五乘方，得四千一百二十三立方少一五乘方与一十一万零五百九十二寸相等，乃以一十一万零五百九十二寸为带纵五乘方积，用带纵开五乘方法算之，得三寸为一根之数，卽小方体每边之数，以三寸除四十八寸，得十六寸为大方体每边之数，以小方体每边三寸自乘再乘，得二十七寸为小方体积数，以大方体每边十六寸自乘再乘，得四千零九十六寸为大方体积数，两体积相加，得四千一百二十三寸，以合原数也【此带纵开五乘方法】设如有一长方体积二千一百八十七尺，其髙数自乘与阔等，阔数自乘与长数等，问髙、阔、长各若干？

法：借一根为髙，自乘得一平方为阔，以阔自乘得一三乘方为长，长阔相乘得一五乘方，再以髙乘之得一六乘方为长方体积，与二千一百八十七尺相等。乃以二千一百八十七尺为六乘方积，用开六乘方法算之，得三尺为一根之数，卽长方之髙。自乘得九尺，卽长方之阔。以阔自乘得八十一尺，为长方之长。乃以长阔相乘，再以髙乘之，得二千一百八十七尺，以合原数也【此开六乘方法】设如甲丙正方花园二所，园中各有正方水池一面。甲池每边为丙池每边之三倍。甲园每边与甲池之面积等，丙园每边与丙池之面积等。若以两园之面积相乘，得五百三十万八千四百一十六尺。问园池每边各若干？法借一根为丙池每边之数，则甲池每边之数为三根。以一根自乘得一平方，为丙池之面积，卽丙园每边之数自乘得一三乘方，为丙园之面积。以三根自乘得九平方，为甲池之面积，卽甲园每边之数自乘得八十一三乘方，为甲园之面积。两园之面积相乘得八十一七乘方，与五百三十万八千四百一十六尺相等。八十一七乘方旣与五百三十万八千四百一十六尺相等，则一七乘方必与六万五千五百三十六尺相等。乃以六万五千五百三十六尺为七乘方积，用开七乘方法算之，得四尺为一根之数，卽丙池每边之数。三因之得十二尺，卽甲池每边之数。以甲池每边十二尺自乘得一百四十四尺，为甲池之面积，卽甲园每边之数。以丙池每边四尺自乘得一十六尺，为丙池之面积，卽丙园每边之数。以甲园每边一百四十四尺自乘得二万零七百三十六尺，卽甲园之面积。以丙园每边十六尺自乘得二百五十六尺，卽丙园之面积。乃以两园面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺，以合原数也【此开七乘方法】设如，有甲、乙、丙三长方体。甲方之髙为阔二分之一，乙方之髙与阔为甲方之二倍，丙方之髙与阔为甲方之三倍，俱不知长。甲方体积与面积自乘之数等，乙方之体积与髙阔相并乘甲方面积之数等，丙方之体积与乙方体积自乘再乘之数等。今但知丙方体积八十八万四千七百三十六丈，问三方髙、阔、长各若干？法借一根为甲方之髙，则甲方之阔为二根，乙方之髙亦为二根，乙方之阔为四根，丙方之髙为三根，丙方之阔为六根。以甲方髙一根与阔二根相乘，得二平方，卽甲方之面积，自乘得四，三乘方卽甲方之体积。乙方髙二根与阔四根相并，得六根，与甲方面积二平方相乘，得十二立方，卽乙方之体积，自乘再乘得一千七百二十八，八乘方卽丙方之体积，与八十八万四千七百三十六丈相等。一千七百二十八八乘方旣与八十八万四千七百三十六丈相等，则一八乘方必与五百一十二丈相等。

乃以五百一十二丈为八乘方积，用开八乘方法算之，得二丈为一根之数，卽甲方之髙，倍之得四丈，卽甲方之阔，髙阔相乘得八丈，卽甲方之面积，自乘得六十四丈，卽甲方之体积。又将甲方髙二丈倍之得四丈，卽乙方之髙，将甲方阔四丈倍之得八丈，卽乙方之阔，髙阔相并得一十二丈，与甲方面积八丈相乘得九十六丈，卽乙方之体积。又以髙四丈阔八丈相乘得三十二丈，以除体积九十六丈，得三丈，卽乙方之长。又将甲方髙二丈三因之得六丈，卽丙方之髙，将甲方阔四丈三因之得一十二丈，卽丙方之阔，以乙方体积九十六丈自乘再乘得八十八万四千七百三十六丈，卽丙方之体积。又髙六丈阔十二丈相乘得七十二丈，以除体积八十八万四千七百三十六丈，得一万二千二百八十八丈，卽丙方之长也【此开八乘方法】设如，有客船不言数，但云每船之人数与船数等，每人之本银数与船数自乘再乘之数等，其共银自乘之数为六千零四十六万六千一百七十六两，问船数、人数各若干？法借一根为船，数亦为每船之人数。以一根自乘，得一平方，为共人数。再乘得一立方，为每人本银数。与一平方相乘，得一四乘方，为共银数。以一四乘方自乘，得一九乘方，为本银自乘之数，与六千零四十六万六千一百七十六两相等。乃以六千零四十六万六千一百七十六为九乘方积，用开九乘方法算之，得六为一根之数，卽船数，亦卽每船之人数。自乘得三十六，为共人数。再乘得二百一十六，为每人之银数。以三十六人乘之，得七千七百七十六两，为共银数。自乘得六千零四十六万六千一百七十六两，以合原数也【此开九乘方法】

御制数理精蕴下编卷三十六<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书