御制数理精蕴下编卷十二

御制数理精蕴下编卷十二

面部二勾股【定勾股无零数法，勾股▯相求法附勾股求积，勾股形内求中垂线及容方圆等形，勾股▯和较相求法】

勾股周髀》曰：折矩以为勾，广三，股修四，径隅五。既方其外，半其一矩，环而共盘，得成三、四、五两矩共长二十有五，是为积矩。此言勾股正数之所以立法也。葢勾股得长方之半形，故其一角必成矩【所谓直角也】而后可谓勾股。如其一角不能成矩，则为三角形，而非勾股矣。因勾股一角必直，故立于圜界之正一半，而自直角所作垂线，遂成连比例三率。是以直角相对界所作方形之积，必与两傍二界所作两方形之积等【见几何原本九卷第四节】而勾股▯彼此相求之法于此生焉。其法所该有四：一、勾股▯三者知其二而得其一，或知其二而得其积；一、勾股形自其直角对▯界求垂线；一、勾股形内容方圆等形；一、勾股▯三者知其一，复知其余二者之较，或二者之和，而得其二，或知其两较，或两和，或一较一和，而得其三【勾股▯和较之法虽杂出多端，然皆不出勾股▯方积相求之理。较有勾股较、勾▯较、股▯较；和有勾股和、勾▯和、股▯和；和较相疉，则又有▯与勾股和相和，或名之曰▯和和；有▯与勾股和相较，或名之曰▯和较；有▯与勾股较相和，或名之曰▯较和；有▯与勾股较相较，或名之曰▯较较；又有勾与股▯和相和者，或名之曰勾和和；股与勾▯和相和者，或名之曰股和和，即▯和和也；勾与股▯和相较者，或名之曰勾和较；股与勾▯较相和者，或名之曰股较和，即▯较和也；股与勾▯和相较者，或名之曰股和较；勾与股▯较相和者，或名之曰勾较和，即▯较较也；勾与股▯较相较者，或名之曰勾较较；股与勾▯较相较者，或名之曰股较较，即▯和较也】此四者皆勾股之正法，理一定而数随之者也。至若勾三、股四、▯五之类，倍之至于亿兆，而总不越此一定之分者，名曰正勾股。槩以比例推之，则三者止。有其一，即可得其二，或有积而即得其三，界此为数一定而法随之者也。一一按类列题，发明如左。

定勾股▯无零数法设如用二、四、八连比例三率定勾股▯无零数，问各得几何？法以中率四命为四尺为股，首率二尺与末率八尺相减，余六尺，折半得三尺为勾，首率二尺与末率八尺相加得十尺，折半得五尺为▯也。如图，甲乙为首率二尺，丙乙为中率四尺，乙丁为末率八尺。今以甲乙与乙丁相和，共为甲丁十尺，而以丙乙立于甲丁线相和之乙处，乃以甲丁折半于戊，以戊为心，甲丙丁为界作半圜，复以丙至甲至丁作丙甲、丙丁二线，遂成甲丙丁勾股形。其丙角立于圜界之半，必为直角【见几何原本四卷第十四节】而丙乙为垂线，即将甲丙丁勾股形分为甲乙丙、丙乙丁两勾股形，而与原形为同式三勾股形矣【见几何原本九卷第一节】其甲乙与丙乙之比同于丙乙与乙丁之比，为连比例三率，故以中率丙乙为股，而首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减，余乙己，折半得乙戊为勾，又首率甲乙与末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊、戊丁二半径与丙戊等为▯也。此法原为定勾股▯三者俱无零数之法，所设之数必彼此可以度尽始可立为准则，否则勾股▯三者必有一不尽之数矣。设如，有四六可以度尽之两数，欲定勾股▯无零数，问各得几何？法以四尺为首，率六尺为中，率将中率六尺自乗，得三十六尺，用首率四尺除之，得九尺为末率。乃以中率六尺为股，首率四尺与末率九尺相减，余五尺，折半得二尺五寸为勾，首率四尺与末率九尺相加，得十三尺，折半得六尺五寸为▯也。如图，甲乙为首率四尺，丙乙为中率六尺，今以中率六尺自乗，用首率四尺除之，乃得乙丁末率九尺。爰以甲乙首率，乙丁末率相和，折半于戊，以戊为心，甲丙丁为界，作半圜。复自丙至甲至丁作二线，则成甲丙丁直角三角形。其丙乙中率，即为丙直角之垂线。故以中率丙乙为股，而首率甲乙与末率乙丁相减，余乙己，折半得乙戊为勾，而首率甲乙与末率乙丁相加，得甲丁，折半得甲戊，戊丁与丙戊等为▯也。设如有四六九连比例三率，以中率六倍之为股，定勾▯无零数问各得几何？法以首率四尺与末率九尺相减，余五尺为勾；首率四尺与末率九尺相加，得十三尺为▯也。如图，甲乙为首率四尺，丙乙为中率六尺，乙丁为末率九尺。爰以甲乙首率与乙丁末率相和，折半于戊，以戊为心，甲丙丁为界，作一全圜。复自丙至甲至丁作二线，则成甲丙丁直角三角形。其丙乙中率即为丙直角之垂线。今将中率丙乙倍之，即得丙庚为股。故以首率甲乙【与己丁等】与末率乙丁相减，余乙己与庚辛等为勾；又首率甲乙与末率乙丁相加，得甲丁全径与丙辛等为▯也。葢前二法用中率为股，故以首率末率相减折半为勾，首率末率相加折半为▯此法则倍中率为股，故以首率末率相减即为勾，首率末率相加即为▯而皆不用折半也。又图，甲乙为首率四尺，乙丙为末率九尺，甲丙为首率与末率相加之十三尺，丁丙为首率与末率相减所余之五尺。如依甲丙线度作甲戊己丙正方形，即为▯自乗之方；如依丁丙线度作丁庚辛丙正方形，即为勾自乗之方。今以乙丙末率亦作一正方形，将两边线引长至甲戊己丙正方形界，则成甲癸丑乙与丑壬己子二长方形，仍余癸戊壬丑一小正方形。又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引长至乙丑子丙正方形之丑子界，则又成乙丑寅丁一长方形，与前一长方形等，仍余庚寅子辛一小长方形。合前癸戊壬丑一小正方形，则亦与前一长方形等。是此四长方形皆为首率与末率相乗之长方，而与中率自乗之正方形相等矣【见算法原本二卷第三节】如以此四长方形共计之，则为甲戊己辛庚丁一磬折形。今甲戊己丙既为▯自乗之一正方，而丁庚辛丙又为勾自乗之一正方，则两方相减，所余之甲戊己辛庚丁磬折形之积，与股自乗之一正方等【见几何原本九卷第四节】甲戊己辛庚丁磬折形，既为四长方之共积，则四长方之共积亦必与股自乗之一正方等。首率末率相乗之四长方，既与股自乗之一正方等，则中率自乗之四正方亦必与股自乗之一正方等。是故中率自乗之四正方合之而为股自乗之一正方，则其每边必比中率各大一倍【见几何原本七卷第五节】故倍中率而为股者，必取首率末率之和而为▯，首率末率之较而为勾。葢首率末率相和自乗之一正方内减去首率末率相较自乗之一正方，甫能得中率加倍自乗之一正方积也。

勾股▯相求法【勾股求积附】设如，有股四尺，勾三尺，求▯几何？法以股四尺自乗得十六尺，勾三尺自乗得九尺，相加得二十五尺，开方得五尺，即为▯也。如图甲乙丙勾股形，其甲乙股所作丁戊乙甲正方形积，乙丙勾所作乙己庚丙正方形积，相并必与甲丙▯所作甲丙壬辛正方形积等。试自乙直角过甲丙▯作一乙癸子线，则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛、癸丙壬子二长方形，而甲乙丙勾股形分为甲乙癸、乙丙癸同式两勾股形矣。其甲癸与甲乙之比同于甲乙与甲丙之比，为连比例三率，故甲乙中率所作丁戊乙甲正方形与甲癸首率、甲丙末率相等之甲辛所作甲癸子辛长方形之积相等也。又癸丙与乙丙之比同于乙丙与甲丙之比，为连比例三率，故乙丙中率所作乙己庚丙正方形与癸丙首率、甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子长方形之积相等也。一正方所分之二长方既与二正方之积相等，则此二正方之积相合与彼一正方之积相等可知矣。设如，有勾五尺，▯十三尺，求股几何？法以勾五尺自乗得二十五尺，▯十三尺自乗得一百六十九尺，相减余一百四十四尺，开方得十二尺，即为股也。如图甲乙丙勾股形，自乙直角过甲丙▯作一乙癸子线，则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛、癸丙壬子二长方形。其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等，其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等。故甲丙▯所作甲丙壬辛正方形内减去与乙己庚丙正方形相等之癸丙壬子长方形，余甲癸子辛长方形，即与丁戊乙甲正方形之积相等，故开方而得甲乙为股也。设如，有股二十一尺，▯二十九尺，求勾几何？法以股二十一尺自乗得四百四十一尺，▯二十九尺自乗得八百四十一尺，相减余四百尺，开方得二十尺，即为勾也。如图甲乙丙勾股形，自乙直角过甲丙▯作一乙癸子线，则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛、癸丙壬子二长方形。其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等，其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等。故甲丙▯所作甲丙壬辛正方形内减去与丁戊乙甲正方形相等之甲癸子辛长方形，余癸丙壬子长方形即与乙己庚丙正方形之积相等，故开方而得乙丙为勾也。设如，有勾六尺，股八尺，求面积几何？法以勾六尺与股八尺相乗得四十八尺，折半得二十四尺为面积也。如图甲乙丙勾股形，其乙丙勾与甲乙股相乗则成甲乙丙丁长方形，其积比甲乙丙勾股形正大一倍，故折半得勾股积也。若有勾▯求面积，则用勾▯求股之法得股，与勾相乗折半得面积；或有股▯求面积，则用股▯求勾之法得勾，与股相乗折半得面积也。又法，将勾六尺，折半得三尺，与股八尺相乗，亦得二十四尺为面积也。如图，甲乙丙勾股形，将乙丙勾折半为乙丁，与甲乙股相乗，成甲乙丁戊长方形。其甲戊己小勾股形与己丁丙小勾股形之积等，如以甲戊己小勾股形移于己丁丙，适合甲乙丙勾股形积，故甲乙丁戊长方形积与甲乙丙勾股形积相等也。勾股形内求中垂线，及容方圆等形。设如有勾六尺股八尺▯十尺欲自直角对▯界作垂线问得几何法以▯十尺为一率勾六尺为二率股八尺为三率推得四率四尺八寸即为自直角对▯界所作垂线也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则将甲乙丙勾股形分为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙▯与甲乙勾之比同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙▯与甲丁勾之比而为相当比例四率也设如有勾六尺，股八尺，▯十尺，欲自直角对▯界作垂线，分▯为二▯，问所分二▯大小各几何？法以勾六尺自乗，得三十六尺，以▯十尺除之，得三尺六寸，为垂线所分之小界；以股八尺自乗，得六十四尺，以▯十尺除之，得六尺四寸，为垂线所分之大界也。如图，甲乙丙勾股形，作甲丁垂线，则分甲乙丙勾股形为甲丁乙、甲丁丙两勾股形，皆与原形为同式。故原甲乙丙勾股形之乙丙▯与甲乙勾之比，同于今所分甲丁乙勾股形之甲乙▯与乙丁勾之比，为连比例三率；而原甲乙丙勾股形之乙丙▯与甲丙股之比，又同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙▯与丙丁股之比，亦为连比例三率。是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾，又为今所分甲丁乙勾股形之▯者，为中率，自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙▯为首率除之，得末率乙丁，为甲丁垂线所分之小界；原甲乙丙勾股形之甲丙股，又为今所分甲丁丙勾股形之▯者，为中率，自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙▯为首率除之，得末率丁丙，为甲丁垂线所分之大界也。设如，有勾五尺，股十二尺，问内容方边几何？

法以勾五尺与股十二尺相加得十七尺为一率勾五尺为二率股十二尺为三率推得四率三尺五寸二分九厘有余为内容方边也如图甲乙丙勾股形甲乙为股十二尺乙丙为勾五尺试依乙丙勾数将甲乙股引长作甲戊线为勾股和十七尺自戊与乙丙勾平行作戊丁线又将甲丙▯引长作甲丁线则成甲戊丁同式勾股形复自丙角与甲戊线平行作丙壬线则成丙壬戊乙正方即为甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股与乙丙方边之比同于甲乙丙勾股形之甲乙股与己辛方边之比也设如，有方城一座，四正有门。自南门直行八里，有一塔。自西门直行至二里，切城角，亦望见塔。问城每面几何？法以西门外二里与南门外八里相乗得十六里，开方得四里，倍之得八里，即为城每一面之数也。如图，甲乙丙勾股形，乙己为西门外二里，甲丁为南门外八里，戊己与戊丁皆为城之每边之一半。而甲丁戊勾股形与戊己乙勾股形为同式，故乙己与己戊之比同于戊丁与丁甲之比，为相当比例四率。且己戊与戊丁皆为一体，故又为相连比例三率。是以乙己首率与甲丁末率相乗，开方而得戊丁或戊己，皆为中率，为城之每边之一半也。设如，有甲乙丙勾股形，内容丁己丙戊长方形。但知丁戊寛，为戊丙长四分之一。从甲至戊为四尺，从乙至己为九尺。问长方及勾股各几何？法以甲戊四尺与乙己九尺相乗得三十六尺，为内容长方之积。用四归之，得九尺，开方得三尺，为己丙，即长方之阔。以四因之，得十二尺，为戊丙，即长方之长。以戊丙十二尺加甲戊四尺，得十六尺，为股。以己丙三尺加乙己九尺，得十二尺，为勾也。葢丁己乙勾股形与甲戊丁勾股形，皆与甲乙丙勾股形为同式。故丁己乙勾股形之乙己勾与丁己股之比，即同于甲戊丁勾股形之丁戊勾与甲戊股之比。而乙己首率与甲戊四率相乗之数，必与丁己二率与丁戊三率相乗之数相等。是以乙己与甲戊相乗即为丁己丙戊长方形之积也。丁戊既为戊丙之四分之一，则以四归之，即成丁戊线所作之正方形积。故开方得丁戊之阔，又四因之而得戊丙之长也。既得丁戊，而丁戊与己丙等，故己丙与乙己相加得乙丙之勾，而戊丙与甲戊相加得甲丙之股也。设如，有勾八尺，股十五尺，▯十七尺，问内容圆径几？

何法以勾八尺与股十五尺相乗得一百二十尺，乃以勾八尺，股十五尺，▯十七尺三数相加共四十尺除之，得三尺为容圆半径，倍之得六尺为容圆全径也。如图甲乙丙勾股形内容丁圜形，试自圜中心至甲乙丙三角作丁甲、丁乙、丁丙三线，则分甲乙丙勾股形为甲丁乙、甲丁丙、乙丁丙三三角形。勾股▯三线皆为三角形之底边，而丁戊半径皆为其垂线矣。今勾股相乗所得之长方积，原比甲乙丙勾股形积大一倍，即如将所分三三角形各用垂线乗底边所得之三长方积合为一长方也。三长方之长虽不同，而阔则一，故各以长除积而得阔者，即如合勾股▯三边除勾股相乗之积而得半径也。又法以勾八尺与股十五尺相加得二十三尺，内减▯十七尺，余六尺，即为内容圆之全径也。如图，甲乙丙勾股形，自圜中心作丁甲、丁乙、丁丙三线，又作丁戊、丁己、丁庚三垂线，则丙戊与丙己等，甲戊与甲庚等，乙己与乙庚原等。甲乙股与乙丙勾相并，比甲丙▯所多者惟乙己、乙庚二▯。今于甲乙股、乙丙勾相并度内减去甲丙▯，即如甲乙股内减去与甲戊等之甲庚，乙丙勾内减去与丙戊等之丙己，所余者止乙庚与乙己，皆为圆之半径。二半径相合，非全径耶？

勾股▯和较相求法【上】勾股▯和较相求之法，错综变换，共有六十。旧算书所有者八，按旧法可以变通者三十有四，旧法所无，今创立者一十有八。依题比类，列目于前；按法循序，设问于后，以备人之观览焉。有勾有股，▯较求股，▯【第一旧有】有勾有股，▯和，求股，▯【第二旧有】有股有勾，▯较求勾，▯【第三旧有】有股有勾▯，和求勾▯【第四旧有】有▯有勾股较，求勾股【第五旧有】有▯有勾股和求勾股【第六旧有】有勾▯和有股▯和求勾股▯【第七旧有】有勾股和，有股▯和，求勾股▯【第八新立】有勾股和，有勾▯和，求勾股▯【第九新立】有勾▯较，有股▯较，求勾股▯【第十旧有】有勾股较，有勾▯较，求勾股▯【第十一，按旧法变通】有勾股较，有股▯较，求勾股▯【第十二，按旧法变通】有勾股和，有勾▯较，求勾股▯【第十四，新立】有勾股和，有股▯较，求勾股▯【第十五新立】

有勾▯和有股▯较求勾股▯【并见第十五新立】有勾▯和有勾股较求勾股▯【第十三按旧法变通】有股▯和有勾▯较求勾股▯【并见第十四新立】有股▯和有勾股较求勾股▯【并见第十三按旧法变通】有勾有勾股▯总和求股▯【第十八按旧法变通】有勾有▯与勾股和之较求股▯【第十六，按旧法变通】有勾有▯与勾股较之和求股▯【第十九，按旧法变通】有勾有▯与勾股较之较求股▯【第十七，按旧法变通】有股有勾股▯总和求勾▯【第二十二，按旧法变通】有股有▯与勾股和之较求勾▯【第二十，按旧法变通】有股有▯与勾股较之和求勾▯【第二十三，按旧法变通】有股有▯与勾股较之较求勾▯【第二十一，按旧法变通】有▯有勾股▯总和求勾股【第二十六，按旧法变通】有▯有▯与勾股和之较求勾股【第二十四，按旧法变通】有▯有▯与勾股较之和求勾股【第二十七，按旧法变通】有▯有▯与勾股较之较求勾股【第二十五，按旧法变通】有勾股和有勾股▯总和求勾股▯【并见第二十六，按旧法变通】有勾股和，有▯与勾股和之较，求勾股▯【并见第二十四，按旧法变通】有勾股和，有▯与勾股较之和，求勾股▯【第三十八新立】有勾股和，有▯与勾股较之较，求勾股▯【第三十七新立】有勾▯和、有勾股▯总和，求勾股▯【并见第二十二，按旧法变通】有勾▯和有▯与勾股和之较求勾股▯【第三十九新立】有勾▯和有▯与勾股较之和求勾股▯【第十四新立】有勾▯和有▯与勾股较之较求勾股▯【并见第二十一，按旧法变通】有股▯和有勾股▯总和求勾股▯【并见第十八，按旧法变通】有股▯和有▯与勾股和之较求勾股▯【第四十一新立】有股▯和有▯与勾股较之和求勾股▯【并见第十九，按旧法变通】有股▯和有▯与勾股较之较求勾股▯【第四十二新立】有勾股较，有勾股▯总和，求勾股▯【第三十四新立】有勾股较，有▯与勾股和之较，求勾股▯【第四十三新立】有勾股较，有▯与勾股较之和，求勾股▯【并见第二十七，按旧法变通】有勾股较，有▯与勾股较之较，求勾股▯【并见第二十五，按旧法变通】有勾▯较，有勾股▯总和，求勾股▯【第三十五，新立】有勾▯较，有▯与勾股和之较，求勾股▯【并见第二十，按旧法变通】有勾▯较，有▯与勾股较之和，求勾股▯【并见第二十三，按旧法变通】有勾▯较，有▯与勾股较之较，求勾股▯【第四十四新立】有股▯较，有勾股▯总和，求勾股▯【第三十六，新立】有股▯较，有▯与勾股和之较，求勾股▯【并见第十六，按旧法变通】有股▯，较有▯与勾股较之和，求勾股▯【第四十五新立】有股▯较，有▯与勾股较之较，求勾股▯【并见第十七，按旧法变通】有勾股▯，总和有▯与勾股和之较，求勾股▯【第三十三，按旧法变通】有勾股▯总和，有▯与勾股较之和，求勾股▯【第三十，按旧法变通】有勾股▯总和，有▯与勾股较之较，求勾股▯【第三十一，按旧法变通】有▯与勾股和之较，有▯与勾股较之和，求勾股▯【第二十九，按旧法变通】有▯与勾股和之较，有▯与勾股较之较，求勾股▯【第二十八，按旧法变通】有▯与勾股较之和，有▯与勾股较之较，求勾股▯【第三十二，按旧法变通】设如，有勾十五尺，股▯较五尺，求股▯各几何【第一】法以勾十五尺自乗，得二百二十五尺，以股▯较五尺除之，得四十五尺，为股▯和。

与股▯较五尺相加，得五十尺，折半得二十五尺，为▯。于▯二十五尺内减股▯较五尺，余二十尺，为股也。如图，甲乙为勾十五尺，丁乙为股▯较五尺。试自甲至丁作甲丁线，则成甲乙丁勾股形。复以丁乙线引长，而以甲为直角作甲丙线，则又成丙甲丁勾股形。爰以丁丙线折半于戊，而以戊为心，甲为界，作丙甲丁半圜，则丁乙、甲乙、乙丙即为连比例三率。故以中率甲乙勾自乗，以首率丁乙股▯较除之，得末率乙丙为股▯和也。乙丙与丁乙相加，得丁丙全径，折半得丁戊、戊丙半径，俱与甲戊等，故甲戊为▯。于丁戊半径内减丁乙股▯较，余乙戊即为股也。又图，甲乙丙丁为▯自乗之正方积，甲庚己戊为股自乗之正方积，故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等。今将戊己辛丁移为辛壬癸丙，则成庚乙癸壬一长方形，其庚壬长即股▯和，其庚乙阔即股▯较。故将勾自乗之数，以股▯较除之，而得股▯和也。又法，以勾十五尺自乗，得二百二十五尺。又以股▯较五尺自乗，得二十五尺。相减余二百尺，折半得一百尺。以股▯较五尺除之，得二十尺，为股。加股▯较五尺，得二十五尺，为▯也。如图，甲乙丙丁为▯自乗之正方积，甲庚己戊为股自乗之正方积。故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等。而已壬丙辛即股▯较自乗之正方积也。于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛股▯较自乗之正方积，余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形，折半即余戊己辛丁一长方形。其戊己长即股，其己辛阔即股▯较。故以股▯较除折半之积而得股也。设如，有勾二十八尺，股▯和九十八尺，求股▯各几何【第二】法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺，以股▯和九十八尺除之，得八尺为股▯较，与股▯和九十八尺相加，得一百零六尺，折半得五十三尺为▯，于股▯和九十八尺内减▯五十三尺，余四十五尺为股也。如图，甲乙为勾二十八尺，乙丙为股▯和九十八尺，试自甲至丙作甲丙线，则成甲乙丙勾股形。复以乙丙线引长，而以甲为直角作甲丁线，则又成丙甲丁勾股形。爰以丁丙线折半于戊，而以戊为心作丙甲丁半圜，则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率。故以中率甲乙勾自乗，以首率乙丙股▯和除之，得末率丁乙为股▯较也。丁乙与乙丙相加得丁丙全径，折半得丁戊、戊丙半径，俱与甲戊等，故甲戊为▯，于乙丙股▯和内减戊丙半径，或于丁戊半径内减丁乙股▯较，余乙戊即为股也。又图，甲乙丙丁为▯自乗之正方积，甲庚己戊为股自乗之正方积，故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等。今将戊己辛丁移为辛壬癸丙，则成庚乙癸壬一长方形，其庚壬长即股▯和，其庚乙阔即股▯较，故勾自乗之数以股▯和除之而得股▯较也。

又法，以勾二十八尺自乗，得七百八十四尺。又以股▯和九十八尺自乗，得九千六百零四尺。两数相加，得一万零三百八十八尺。折半，得五千一百九十四尺。以股▯和九十八尺除之，得五十三尺，为▯。于股▯和九十八尺内减▯五十三尺，余四十五尺，为股也。如图，甲乙丙丁为股▯和自乗之正方积。内戊己丙庚为▯自乗之正方积。甲辛戊壬为股自乗之正方积。辛乙己戊与壬戊庚丁为股▯相乗之二长方积。勾自乗之正方积，则与癸子辛甲壬丑磬折形相等。如加甲辛戊壬股自乗之正方积，则成癸子戊丑正方形，为一勾方一股方相和之积，而与戊己丙庚一▯方之积相等。今以勾自乗之磬折形之积加于股▯和自乗之正方积内，即如将癸寅壬丑长方形移补于子夘乙辛，遂成寅卯丙丁一大长方形。折半，则余壬己丙丁一长方形，其阔即▯，其长即股▯和，故以股▯和除折半之积而得▯也。设如，有股三十二尺，勾▯较十六尺，求勾▯各几何【第三】法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺，以勾▯较十六尺除之，得六十四尺为勾。▯和与勾▯较十六尺相加得八十尺，折半得四十尺为▯。于▯四十尺内减勾▯较十六尺，余二十四尺为勾也。如图，甲乙为股三十二尺，丁乙为勾▯较十六尺。试自甲至丁作甲丁线，则成甲乙丁勾股形。复以丁乙线引长，而以甲为直角作甲丙线，则又成丙甲丁勾股形。爰以丁丙线折半于戊，而以戊为心，甲为界作丙甲丁半圜，则丁乙、甲乙、乙丙即为连比例三率。故以中率甲乙股自乗，以首率丁乙勾▯较除之，得末率乙丙为勾▯和也。丁乙与乙丙相加为丁丙全径，折半得丁戊、戊丙半径，俱与甲戊等，故甲戊为▯。于丁戊半径内减丁乙勾▯较，余乙戊即为勾也。又图，甲乙丙丁为▯自乗之正方积，甲庚己戊为勾自乗之正方积，故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等。今将戊己辛丁移为辛壬癸丙，则成庚乙癸壬一长方形，其庚壬长即勾▯和，其庚乙阔即勾▯较。故将股自乗之数以勾▯较除之，而得勾▯和也。又法，以股三十二尺自乗得一千零二十四尺，又以勾▯较十六尺自乗得二百五十六尺，相减余七百六十八尺，折半得三百八十四尺，以勾▯较十六尺除之，得二十四尺为勾。加勾▯较十六尺得四十尺为▯也。如图，甲乙丙丁为▯自乗之正方积，甲庚己戊为勾自乗之正方积，故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等，而以壬丙辛即勾▯较自乗之正方积也。于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛勾▯较自乗之正方积，余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形，折半即余戊己辛丁一长方形，其戊己长即勾，其己辛阔即勾▯较。

故以勾▯较除折半之积，而得勾也。设如，有股八尺，勾▯和十六尺，求勾▯各几何【第四】法以股八尺自乗，得六十四尺，以勾▯和十六尺除之，得四尺，为勾▯较，与勾▯和十六尺相加，得二十尺，折半得十尺，为▯。于勾▯和十六尺内减▯十尺，余六尺，为勾也。如图，甲乙为股八尺，乙丙为勾▯和十六尺，试自甲至丙作甲丙线，则成甲乙丙勾股形。复以乙丙线引长，而以甲为直角作甲丁线，则又成丙甲丁勾股形。爰以丁丙线折半于戊，而以戊为心，甲为界，作丙甲丁半圜，则乙丙甲、乙丁乙即为连比例三率。故将中率甲乙股自乗，以首率乙丙勾▯和除之，得末率丁乙为勾▯较也。丁乙与乙丙相加为丁丙全径，折半得丁戊、戊丙半径，俱与甲戊等，故甲戊为▯。于乙丙勾▯和内减戊丙半径，或丁戊半径内减丁乙勾▯较，余乙戊即为勾也。又图，甲乙丙丁为▯自乗之正方积，甲庚己戊为勾自乗之正方积，故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等。今将戊己辛丁移为辛壬癸丙，则成庚乙癸壬一长方形，其庚壬长即勾▯和，其庚乙阔即勾▯较，故股自乗之数以勾▯和除之而得勾▯较也。又以法股八尺自乗得六十四尺，又以勾▯和十六尺自乗得二百五十六尺，相加得三百二十尺，折半得一百六十尺，以勾▯和十六尺除之，得十尺为▯，于勾▯和十六尺内减▯十尺，余六尺为勾也。如图，甲乙丙丁为勾▯和自乗之正方积，内戊己丙庚为▯自乗之正方积，甲辛戊壬为勾自乗之正方积，辛乙己戊与壬戊庚丁为勾▯相乗之二长方积，股自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑之磬折形相等。如加甲辛戊壬勾自乗之正方积，则成癸子戊丑正方形，为一勾方一股方相和之积，而与戊己丙庚一▯方之积相等。今以股自乗之磬折形之积加于勾▯和自乗之正方积内，即如将癸寅壬丑长方形移补于子卯乙辛，遂成寅卯丙丁一大长方形，折半则余壬己丙丁一长方形，其阔即▯，其长即勾▯和，故以勾▯和除折半之积而得▯也。设如，有▯三十四尺，勾股较十四尺，求勾股各几何【第五】法以▯三十四尺自乗得一千一百五十六尺，又以勾股较自乗得一百九十六尺，相减余九百六十尺，折半得四百八十尺，为勾股相乗之一长方形积。乃以勾股较十四尺为长阔较，用带纵较数开方法算之，得阔十六尺为勾，得长三十尺为股也。如图，甲乙丙丁为▯自乗之正方积，戊己庚辛为勾股较自乗之正方积，相减余甲戊乙类四勾股形，为二长方形积，折半余一长方形积，其阔即勾，其长即股，其长阔较即勾股较，故以带纵较数开方法算之，而得阔为勾，得长为股也。又法以▯三十四尺自乗得一千一百五十六尺，倍之得二千三百一十二尺。

又以勾股较十四尺自乗得一百九十六尺，相减余二千一百一十六尺，开方得四十六尺为勾股和。于勾股和四十六尺内减勾股较十四尺，余三十二尺，折半得十六尺为勾。于勾十六尺加勾股较十四尺，得三十尺为股也。如图，甲乙丙丁为勾股和自乗之正方，内容甲戊己类八勾股积，与壬癸子丑一勾股较积。戊己庚辛为▯自乗之正方，内容戊癸己类四勾股积，与壬癸子丑一勾股较积。倍之则为八勾股积二勾股较积，即如甲乙丙丁一大正方形，仍余壬癸子丑一小正方形。今减所余壬癸子丑一小正方形【即一勾股较积】仍余八勾股积一勾股较积，为甲乙丙丁正方形，即勾股和自乗之方，故开方而得勾股和也。设如，有▯三十九尺，勾股和五十一尺，求勾股各几何【第六】法以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺，又以▯三十九尺自乗得一千五百二十一尺，相减余一千零八十尺，折半得五百四十尺，为勾股相乗之一长方形积，乃以勾股和五十一尺为长阔和，用带纵和数开方法算之，得阔十五尺为勾，得长三十六尺为股也。如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方积，戊己庚辛为▯自乗之正方积，相减余甲戊己类四勾股形为二长方形积，折半余一长方形积，其阔即勾，其长即股，其长阔和即勾股和，故以带纵和数开方法算之，而得阔为勾，得长为股也。又法以▯三十九尺自乗得一千五百二十一尺，倍之得三千零四十二尺，又以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺，相减余四百四十一尺，开方得二十一尺为勾股较，于勾股和五十一尺内减勾股较二十一尺，余三十尺，折半得十五尺为勾，于勾十五尺加勾股较二十一尺，得三十六尺为股也。如图戊己庚辛为▯自乗之正方内容，戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之，则为八勾股积二勾股较积，即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形，又甲乙丙丁为勾股和自乘之正方内容，甲戊巳类八勾股积，壬癸子丑一勾股较积，今以所倍之一大正方形又余一小正方形内减甲乙丙丁正方形，即余壬癸子丑一小正方形为勾股较积，故开方而得勾股较也。设如有勾▯和二十四尺，股▯和二十七尺，求勾股▯各几何【第七】法以勾▯和二十四尺与股▯和二十七尺相乗得六百四十八尺，倍之得一千二百九十六尺，开方得三十六尺，为勾股▯总和。于总和三十六尺内减勾▯和二十四尺，余十二尺为股。于总和三十六尺内减股▯和二十七尺，余九尺为勾。于股▯和二十七尺内减股十二尺，或勾▯和二十四尺内减勾九尺，余十五尺为▯也。如图，甲乙线为勾▯和，甲丁线为股▯和，相乗得甲乙丙丁长方形。内戊己庚丁为▯自乗之正方，辛乙壬己为勾股相乗之长方，甲辛巳戊为股▯相乘之长方，己壬丙庚为勾▯相乗之长方。

倍之即为癸子丑寅一大正方，其每一边即勾股▯之总和。其卯辰己寅为▯自乗之正方，即如前图之戊己庚丁。然其午未申辰为股自乘之正方，其酉子戌未为勾自乗之正方，两方相合又与前图戊己庚丁▯自乗之正方相等。其艮酉未午与未戌干申为勾股相乗之二长方，每一形即如前图之辛乙壬己。然其亥午辰卯与辰申坎巳为股▯相乗之二长方，每一形即如前图之甲辛己戊。然其癸艮午亥与申干丑坎为勾▯相乗之二长方，每一形即如前图之己壬丙庚。然因癸子丑寅正方比甲乙丙丁长方每一形俱多一倍，故甲乙勾▯和甲丁股▯和相乗所成之甲乙丙丁长方倍之而与癸子丑寅正方等，开方得癸子类之每一边皆为勾股▯之总和也。设如，有勾股和二十一尺，股▯和二十七尺，求勾、股、▯各几何【第八】法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺，又以股▯和二十七尺自乗得七百二十九尺，两数相减余二百八十八尺，乃以勾股和二十一尺与勾▯和二十七尺相减余六尺为勾▯较【葢股与勾和，股与▯和，皆为一股所和，故相减即勾▯较也】自乗得三十六尺，与两和自乗相减之余二百八十八尺相加得三百二十四尺，开方得十八尺为股与勾▯较之和，内减勾▯较六尺余十二尺为股，于勾股和二十一尺内减股十二尺余九尺为勾，加勾▯较六尺得十五尺为▯也。如图，甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方，内戊乙庚己为股自乘之一正方，辛己壬丁为勾自乘之一正方，甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乗之二长方，又癸子丑寅为股▯和自乗之一大正方，内卯子巳辰为股自乗之一正方，午辰未寅为▯自乗之一正方，癸卯辰午与辰巳丑未为股▯相乗之二长方。今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅股▯和自乗之方相减，则于癸子丑寅股▯和自乗之方内去卯子己辰股自乗之一正方，酉辰戌干勾自乗之一正方，又去申卯辰酉与辰巳亥戌勾股相乗之二长方，所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为勾▯较与股相乗之二长方，又午酉干戌未寅一磬折形为▯自乗之一正方内减勾自乗之一正方所余之股自乗之一正方。如以此磬折形积作一股自乗之一正方，再加癸申酉午与戌亥丑未之勾▯较与股相乗之二长方，则惟缺午艮未震为勾▯较自乗之一小正方。今以勾▯较自乗之数加于两和自乗相减之余，甫成癸坎丑震一正方，故开方而得癸坎类之每一边为股与勾▯较相和之数也。设如，有勾股和二十一尺，勾▯和二十四尺，求勾、股、▯各几何【第九】法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺，又以勾▯和二十四尺自乗得五百七十六尺，两数相减余一百三十五尺，乃以勾股和二十一尺与勾▯和二十四尺相减余三尺为股▯较【葢勾与股和勾与▯和皆为一勾所和，故相减即股▯较也】自乗得九尺，与两和自乗相减之余一百三十五尺相加得一百四十四尺，开方得十二尺为勾与股▯较之和，内减股▯较三尺余九尺为勾，于勾股和二十一尺内减勾九尺余十二尺为股，加股▯较三尺得十五尺为▯也。

如图，甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方，内戊乙庚己为勾自乗之一正方，辛已壬丁为股自乗之一正方，甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乘之二长方。又癸子丑寅为勾▯和自乗之一大正方，内卯子巳辰为勾自乗之一正方，午辰未寅为▯自乗之一正方，癸卯辰午与辰己丑未为勾▯相乗之二长方。今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅勾▯和自乗之方相减，则于癸子丑寅勾▯和自乗之方内去卯子己辰勾自乘之一正方，酉辰戌干股自乘之一正方，又去申卯辰酉与辰己亥戌勾股相乗之二长方，所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为股▯较与勾相乗之二长方。又午酉干戌未寅一磬折形为▯自乗之一正方内减股自乗之一正方所余之勾自乗之一正方，如以此磬折形积作一勾自乗之一正方，再加癸申酉午与戌亥丑未之股▯较与勾相乗之二长方，则惟缺午艮未震为股▯较自乗之一小正方。今以股▯较自乗之数加于两和自乗相减之余，甫成癸坎丑震一正方，故开方而得癸坎类之每一边为勾与股▯较相和之数也。设如，有勾▯较九尺，股▯较二尺，求勾、股、▯各几何【第十】法以勾▯较九尺与股▯较二尺相乗得十八尺，倍之得三十六尺，开方得六尺，为▯。比勾股和相差之较，加股▯较二尺，得八尺，为勾。加勾▯较九尺，得十五尺，为股。于勾数加勾▯较九尺，得十七尺，为▯。或于股数加股▯较二尺，亦得十七尺，为▯也。如图，甲乙丙丁为▯自乗之一正方，戊己丙庚为股自乗之一正方。二方相减，所余甲乙己戊庚丁磬折形，即与勾自乗之一正方等。而乙己与庚丁皆为股▯较。试作甲壬癸辛一正方，为勾自乗之方，则壬乙与辛丁皆为股▯较。其壬丑与乙己等，辛子与丁庚等，亦皆为股▯较。以壬乙之勾▯较与壬丑之股▯较相乗，则成壬乙己丑之一长方形。以辛丁之勾▯较与辛子之股▯较相乗，则成辛子庚丁之一长方形。此两长方形必与戊丑癸子一正方形相等。何也？葢甲乙己戊庚丁与勾自乗之一正方相等之磬折形内，减甲壬丑戊子辛一小磬折形，则余壬乙己丑与辛子庚丁二长方形。若于甲壬癸辛勾自乗之一正方内，减甲壬丑戊子辛磬折形，则余戊丑癸子一小正方形。夫甲乙己戊庚丁磬折形既与甲壬癸辛之勾自乗之一正方相等，今同减去甲壬丑戊子辛磬折形，则彼所余之二长方必与此所余之一正方相等，可知矣。故勾▯较与股▯较相乗，倍之开方而得▯。比勾股和相差之较，加股▯较得勾，加勾▯较而得股也【葢图以乙丙为▯，己丙为股，故乙己为股▯较。若以壬癸勾与己丙股相和，则壬癸勾之壬丑一▯即为股▯较，而勾股和比▯所多者惟丑癸一▯，故丑癸为▯比勾股和相差之较也】设如，有勾股较三十四尺，勾▯较三十六尺，求勾、股、▯各几何【第十一】法以勾股较三十四尺与勾▯较三十六尺相减，余二尺为股▯较。

即如前法，以股▯较二尺与勾▯较三十六尺相乗，得七十二尺，倍之得一百四十四尺，开方得十二尺为▯。比勾股和相差之较，加股▯较二尺，得十四尺为勾。加勾▯较三十六尺，得四十八尺为股。于勾数加勾▯较三十六尺，得五十尺为▯。或于股数加股▯较二尺，亦得五十尺为▯也。如图，甲乙为勾，甲丙为股，甲丁为▯，乙丙为勾股较，乙丁为勾▯较，而丙丁为股▯较。今以乙丁勾▯较减乙丙勾股较，所余丙丁即为股▯较。既得股▯较，则如勾▯较、股▯较求勾股▯之法算之，即得各数矣。设如，有勾股较十四尺，股▯较二尺，求勾、股、▯各几何【第二十】法以勾股较十四尺与股▯较二尺相加得十六尺为勾▯较，即如前法，以勾▯较十六尺与股▯较二尺相乗得三十二尺，倍之得六十四尺，开方得八尺为▯。比勾股和相差之较，加股▯较二尺得十尺为勾，加勾▯较十六尺得二十四尺为股。于勾数加勾▯较十六尺得二十六尺为▯，或于股数加股▯较二尺亦得二十六尺为▯也。如图，甲乙为勾，甲丙为股，甲丁为▯，乙丙为勾股较，丙丁为股▯较，而乙丁为勾▯较。今以乙丙勾股较与丙丁股▯较相加，则得乙丁之勾▯较。既得勾▯较，则如勾▯较股▯较求勾股▯之法算之，即得各数矣。设如，有勾▯和二十四尺，勾股较三尺，求勾、股、▯各几何【第十三】法以勾▯和二十四尺加勾股较三尺得二十七尺为股▯和，用勾▯和股▯和求勾股▯之法算之。以勾▯和二十四尺与股▯和二十七尺相乗，得六百四十八尺，倍之得一千二百九十六尺，开方得三十六尺，为勾股▯总和。内减勾▯和二十四尺，余十二尺为股；减勾股较三尺，余九尺为勾。于勾▯和二十四尺内减勾九尺，余十五尺为▯也。如图，甲丙为股，乙丙为勾，丙丁为▯，乙丁为勾▯和，甲乙为勾股较，而甲丁为股▯和。故甲乙勾股较与乙丁勾▯和相加，得甲丁为股▯和也。若夫股▯和勾股较求勾股▯者，则于股▯和内减勾股较，即勾▯和，亦用勾▯和股▯和求勾股▯之法算之。如甲丙为股，乙丙为勾，丙丁为▯，则甲丁为股▯和，甲乙为勾股较，而乙丁为勾▯和。故于甲丁股▯和内减甲乙勾股较，余乙丁为勾▯和也。设如，有勾股和二十三尺，勾▯较九尺，求勾、股、▯各几何【第十四】法以勾股和二十三尺加勾▯较九尺得三十二尺为股▯和，用勾股和股▯和求勾股▯之法算之。以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺，又以股▯和三十二尺自乗得一千零二十四尺，两数相减余四百五十九尺。乃以勾▯较九尺自乗得八十一尺，与两和自乗相减之余四百九十五尺相加得五百七十六尺，开方得二十四尺为股与勾▯较之和。

内减勾▯较九尺余十五尺为股，于勾股和二十三尺内减股十五尺余八尺为勾，加勾▯较九尺得十七尺为▯也。如图，甲丙为▯，乙丙为勾，丙丁为股，乙丁为勾股和，甲乙为勾▯较，而甲丁为股▯和，故甲乙勾▯较与乙丁勾股和相加得甲丁为股▯和也。若夫股▯和勾▯较求勾股▯者，则于股▯和内减勾▯较即勾股和，亦用勾股和股▯和求勾股▯之法算之。如甲丙为▯，乙丙为勾，丙丁为股，则甲丁为股▯和，甲乙为勾▯较，而乙丁为勾股和，故于甲丁股▯和内减甲乙勾▯较余乙丁为勾股和也。设如，有勾股和十七尺，股▯较一尺，求勾、股、▯各几何【第十五】法以勾股和十七尺加股▯较一尺得十八尺为勾▯和，用勾股和勾▯和求勾股▯之法算之。以勾股和十七尺自乗得二百八十九尺，又以勾▯和十八尺自乗得三百二十四尺，两数相减余三十五尺。乃以股▯较一尺自乗仍得一尺，与两和自乗相减之余三十五尺相加得三十六尺，开方得六尺为勾。与股▯较之和内减股▯较一尺余五尺为勾，于勾股和十七尺内减勾五尺余十二尺为股，加股▯较一尺得十三尺为▯也。如图，甲乙为勾，乙丙为股，乙丁为▯，甲丙为勾股和，丙丁为股▯较，而甲丁为勾▯和，故甲丙勾股和与丙丁股▯较相加得甲丁为勾▯和也。若夫勾▯和股▯较求勾股▯者，则于勾▯和内减股▯较即勾股和，亦用勾股和勾▯和求勾股▯之法算之。如甲乙为勾，乙丙为股，乙丁为▯，则甲丁为勾▯和，丙丁为股▯较，而甲丙为勾股和，故于甲丁勾▯和内减丙丁股▯较余甲丙为勾股和也。设如，有勾八尺，▯与勾股和之较六尺，求股、▯各几何【第十六】法以勾八尺内减▯与勾股和之较六尺余二尺为股▯较。用有勾有股▯较求股▯法算之。如甲乙为勾，乙丙为股，甲丙为勾股和，丁丙为▯，甲丁为▯与勾股和之较，丁乙为股▯较。故甲乙勾内减甲丁▯与勾股和之较，余丁乙为股▯较也。若有股▯较与▯与勾股和之较求勾股▯者，则以股▯较与▯与勾股和之较相加即勾。亦用有勾有股▯较求股▯法算之。设如，有勾八尺，▯与勾股较之，较十尺，求股、▯各几何【第十七】法以勾八尺与▯与勾股较之较十尺相减余二尺为股▯较，用有勾有股▯较求股▯法算之。如甲乙为股，丙乙为勾，甲丁为▯，甲丙为勾股较，乙丁为股▯较，丙丁为▯与勾股较之较。故丙丁（▯与勾股较之较）内减丙丁勾，余乙丁为股▯较也。若有股▯较与▯与勾股较之较求勾股▯者，则以股▯较与▯与勾股较之较相减，余即勾。亦用有勾有股▯较求股▯法算之。设如，有勾八尺，勾股▯总和四十尺，求股、▯各几何【第十八】法以勾八尺与勾股▯总和四十尺相减，余三十二尺为股▯和。

用有勾有股▯和求股▯法算之。如甲乙为勾，乙丙为股，丙丁为▯，甲丁为勾股▯总和。故甲丁勾股▯总和内减甲乙勾，余乙丁为股▯和也。若有股▯和与勾股▯总和求勾股▯者，则以股▯和与勾股▯总和相减，余即勾。亦用有勾有股▯和求股▯法算之。设如，有勾八尺，▯与勾股较之和二十四尺，求股、▯各几何【第十九】法以勾八尺与▯与勾股较之和二十四尺相加得三十二尺为股▯和，用有勾有股▯和求股▯法算之。如甲乙为勾，甲丙为股，乙丙为勾股较，丙丁为▯，甲丁为股▯和，乙丁为▯与勾股较之和。故以甲乙勾与乙丁▯与勾股较之和相加得甲丁为股▯和也。若有股▯和与▯与勾股较之和求勾股▯者，则于股▯和内减▯与勾股较之和，余即勾，亦用有勾有股▯和求股▯法算之。设如，有股十五尺，▯与勾股和之较六尺，求勾，▯各几何【第二十】法以股十五尺内减▯与勾股和之较六尺，余九尺为勾▯较。用有股有勾▯较求勾▯法算之，如甲乙为股，乙丙为勾，甲丙为勾股和，丁丙为▯，甲丁为▯与勾股和之较，丁乙为勾▯较。故甲乙股内减甲丁▯与勾股和之较，余丁乙即勾▯较也。若有勾▯较与▯与勾股和之较求勾股▯者，则以勾▯较与▯与勾股和之较相加，即股。亦用有股有勾▯较求勾▯法算之。设如，有股十五尺，▯与勾股较之，较十尺，求勾，▯各几何【第二十一】法以股十五尺与▯与勾股较之较十尺相加得二十五尺为勾▯和，用有股有勾▯和求勾▯法算之。如甲乙为股，甲丙为勾，丙丁为▯，甲丁为勾▯和，丙乙为勾股较，乙丁为▯与勾股较之较。故以甲乙股与乙丁▯与勾股较之较相加得甲丁为勾▯和也。若有勾▯和与▯与勾股较之较求勾股▯者，则于勾▯和内减▯与勾股较之较，余即股，亦用有股有勾▯和求勾▯法算之。设如，有股十五尺，勾股▯总和四十尺，求勾▯各几何【第二十二】法以股十五尺与勾股▯总和四十尺相减，余二十五尺为勾▯和。用有股有勾▯和求勾▯法算之。如甲乙为股，乙丙为勾，丙丁为▯，甲丁为勾股▯总和。故甲丁勾股▯总和内减甲乙股，余乙丁为勾▯和也。若有勾▯和与勾股▯总和求勾股▯者，则以勾股和与勾股▯总和相减，余即股。亦用有股有勾▯和求勾▯法算之。设如，有股十五尺，▯与勾股较之和二十四尺，求勾、▯各几何【第二十三】法以股十五尺与▯与勾股较之和二十四尺相减，余九尺为勾▯较。用有股有勾▯较求勾▯法算之：如甲乙为股，丙乙为勾，丙丁为▯，甲丙为勾股较，乙丁为勾▯较，甲丁为▯与勾股较之和。故甲丁（▯）与勾股较之和内减甲乙（股），余乙丁为勾▯较也。

若有勾▯较与▯与勾股较之和求勾股▯者，则以勾▯较与▯与勾股较之和相减，余即股。亦用有股有勾▯较求勾▯法算之。设如，有▯十七尺，▯与勾股和之较六尺，求勾股各几何【第二十四】法以▯十七尺与▯与勾股和之较六尺相加得二十三尺为勾股和，用有▯有勾股和求勾股法算之。如甲乙为▯，甲丙为勾，丙丁为股，甲丁为勾股和，乙丁为▯与勾股和之较。故甲乙▯与乙丁▯与勾股和之较相加得甲丁为勾股和也。若有勾股和与▯与勾股和之较求勾股▯者，则于勾股和内减▯与勾股和之较，余即▯，亦用有▯有勾股和求勾股法算之。设如，有▯十七尺，▯与勾股较之，较十尺，求勾股各几何【第二十五】法以▯十七尺内减▯与勾股较之较十尺，余七尺为勾股较。用有▯有勾股较求勾股法算之。如甲乙为▯，丙丁为股，乙丁为勾，丙乙为勾股较，甲丙为▯与勾股较之较。故甲乙▯内减甲丙▯与勾股较之较，余丙乙为勾股较也。若有勾股较与▯与勾股较之较，求勾股▯者，则以勾股较与▯与勾股较之较相加，即▯。亦用有▯有勾股较求勾股法算之。设如，有▯十七尺，勾股▯总和四十尺，求勾股各几何【第二十六】法以▯十七尺与勾股▯总和四十尺相减，余二十三尺为勾股和。用有▯有勾股和求勾股法算之。如甲乙为▯，乙丙为勾，丙丁为股，甲丁为勾股▯总和。故甲丁勾股▯总和内减甲乙▯，余乙丁为勾股和也。若有勾股和与勾股▯总和求勾股▯者，则以勾股和与勾股▯总和相减，余即▯。亦用有▯有勾股和求勾股法算之。设如，有▯十七尺，▯与勾股较之和二十四尺，求勾股各几何【第二十七】法以▯十七尺与▯与勾股较之和二十四尺相减，余七尺为勾股较。用有▯有勾股较求勾股法算之。如甲乙为▯，乙丙为股，丁丙为勾，乙丁为勾股较，甲丁为▯与勾股较之和。故甲丁▯与勾股较之和内减甲乙▯，余乙丁为勾股较也。若有勾股较与▯与勾股较之和求勾股▯者，则于▯与勾股较之和内减勾股较，余即▯。亦用有▯有勾股较求勾股法算之。设如，有▯与勾股和之较六尺，▯与勾股较之较十尺，求勾股▯各几何【第二十八】法以▯与勾股和之较六尺，与▯与勾股较之较十尺相加，得十六尺，折半得八尺，为勾。于勾八尺内减▯与勾股和之较六尺，余二尺为股▯较。用有勾有股▯较求股▯法算之。如甲乙为股，戊乙、乙丙皆为勾，甲丙为勾股和，甲戊为勾股较，甲丁为▯，丁丙即▯与勾股和之较，戊丁即▯与勾股较之较。故丁丙（▯与勾股和之较）与戊丁（▯与勾股较之较）相加，得戊丙为二勾之共数，是以折半得勾也。既得勾，则于勾内减▯与勾股和之较，即股▯较矣。

设如，有▯与勾股和之较六尺，▯与勾股较之和二十四尺，求勾股▯各几何【第二十九】法以▯与勾股和之较六尺，与▯与勾股较之和二十四尺相加，得三十尺，折半得十五尺，为股。于股十五尺内减▯与勾股和之较六尺，余九尺为勾▯较。用有股有勾▯较，求勾▯法算之。如甲乙、乙丙皆为股，丁乙为勾，丁丙为勾股和，甲丁为勾股较，丁戊为▯，戊丙即▯与勾股和之较，甲戊即▯与勾股较之和。故戊丙（▯与勾股和之较）与甲戊（▯与勾股较之和）相加，得甲丙为二股之共数，是以折半得股也。既得股，则于股内减▯与勾股和之较，即勾▯较矣。设如，有勾股▯总和四十尺，▯与勾股较之和二十四尺，求勾股▯各几何【第三十】法以勾股▯总和四十尺内减▯与勾股较之和二十四尺，余十六尺，折半得八尺为勾。于勾股▯总和四十尺内减勾八尺，余三十二尺为股▯和。用有勾有股▯和求股▯法算之：如甲乙为▯，乙丙为股，丙丁为勾，乙戊为勾股较，甲丁为勾股▯总和，甲戊为▯与勾股较之和。故甲丁勾股▯总和内减甲戊▯与勾股较之和，余戊丁即二勾之共数，是以折半得勾也。既得勾，则于勾股▯总和内减勾，即股▯和矣。设如，有勾股▯总和四十尺，▯与勾股较之较十尺，求勾股▯各几何【第三十一】法以勾股▯总和四十尺内减▯与勾股较之较十尺，余三十尺，折半得十五尺为股。于勾股▯总和四十尺内减股十五尺，余二十五尺为勾▯和。用有股有勾▯和求勾▯法算之。如甲乙为▯，乙丙为勾，丙丁为股，戊乙为勾股较，甲丁为勾股▯总和，甲戊为▯与勾股较之较。故甲丁勾股▯总和内减甲戊▯与勾股较之较，余戊丁即二股之共数，是以折半得股也。既得股，则于勾股▯总和内减股，即勾▯和矣。设如，有▯与勾股较之和二十四尺，▯与勾股较之较十尺，求勾股▯各几何【第三十二】法以▯与勾股较之和二十四尺，与▯与勾股较之较十尺相加得三十四尺，折半得十七尺为▯。于▯与勾股较之和二十四尺内减▯十七尺，余七尺为勾股较。用有▯有勾股较求勾股法算之。如甲乙、乙丙皆为▯，乙丁为勾股较，甲丁为▯与勾股较之和，丁丙为▯与勾股较之较。故甲丁▯与勾股较之和与丁丙▯与勾股较之较相加得甲丙为二▯之共数，是以折半得▯也。既得▯，则于▯与勾股较之和内减▯，即勾股较矣。设如，有勾股▯总和四十尺，▯与勾股和之较六尺，求勾股▯各几何【第三十三】法以勾股▯总和四十尺内减▯与勾股和之较六尺，余三十四尺，折半得十七尺为▯于勾股▯总和四十尺内减▯十七尺，余二十三尺为勾股和。用有▯有勾股和求勾股法算之：如甲乙为勾股和，乙丙为▯甲丙为勾股▯总和，甲丁为▯与勾股和之较。

故甲丙勾股▯总和内减甲丁▯与勾股和之较，余丁丙即二▯之共数，是以折半得▯也。既得▯则于勾股▯总和内减▯即勾股和矣。

御制数理精蕴下编卷十二<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书