御制数理精蕴下编卷二十三

御制数理精蕴下编卷二十三

体部一立方

立方立方者，等边六面之体积也。以形而言，虽为六面十二边之所合；以积而言，则为自乗再乗之数。因其纵横与髙俱相等，故十二边皆如一线。得其一边，而十二边莫不相同。其积之也，自线而面，自面而体，次第相乗而后得其全积。其▯之也，必次第析之而后得其一边。是故古人立为方廉、长廉之制，每积三位而得边之一位。所谓一千商十定无疑，三万才为三十余，九十九万不离十，百万方为一百推是也。其法先从一角而剖其体，以自一至九自乗再乗之数为方根，与实相审量，其足减者而定之，是为初商。初商减尽无余，则方根止一位。若有余实，即初商方积外别成一缺角三面磬折体。其附初商之三面者，谓之方廉；其附初商之三边者，谓之长廉；其附初商之角者，谓之隅廉。有三故以三为廉法，隅惟一，而隅之三面即符于三长廉之端。合三方廉、三长廉、一隅，始合次商之数。故商除之法，以初商自乗三因为三方廉面积，视初商余实足方廉面积几倍，即定为次商。乃以次商乗三长廉为三长廉面积，又以次商自乗为小隅面积，共合三方廉、三长廉及一小隅面积，以次商数乗之为次商廉隅之共积。所谓初商方积外别成一缺角三面磬折体者是也。如次商外尚有不尽之实，则初商次商方积外仍为三方廉、三长廉、一小隅，又成一三面磬折体，但较前方廉愈大，长廉愈长，而隅愈小耳。凡有几层廉隅，俱照次商之例逓析之，实尽而止。如开至多位，实仍不尽者，必非自乗再乗之正数。此开立方之定法也。体形不一，而容积皆以立方为准，故立方为算诸体之本，诸体必通之立方而法乃可施也。设如正方体积一百二十五尺，开立方，问毎一边数几何？法列正方体积一百二十五尺，自末位起算，每方积三位，定方边一位。今积止有三位，则于五尺上作记，定单位，以自一至九自乗再乗之方根数与之相审，知与五尺自乗再乗之数恰合，乃以五尺书于方积五尺之上，而以五尺自乗再乗之一百二十五尺书于方积原数之下，相减恰尽，即得开方之数为五尺也。如图甲乙丙丁戊己正方体形，毎边皆五尺，其中函一尺小方体一百二十五，自边计之为五尺，自面计之则为五尺自乗之二十五尺，自通体计之则为五尺自乗再乗之一百二十五尺，以积开之则与五尺自乗再乗之数相准，故商除之恰尽也。盖方积为三位，是以方边止一位，方积即五尺自乗再乗之数，别无廉隅，故不用次商，如有余实则自成廉隅而用次商矣。设如正方体积一丈七百二十八尺，开立方，问每一边数几何？法列正方体积一丈七百二十八尺，自末位起算，每方积三位定方边一位，故隔二位作记，即于八尺上定尺位，一丈上定丈位。

其一丈为初商积，与一丈自乗再乗之数相合，即定初商为一丈，书于方积一丈之上，而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下，相减恰尽。爰以方边末位余积七百二十八尺续书于下【大凡以余积续书于下者，每取方积之三位以当方边之一位也】为次商廉隅之共积。乃以初商之一丈作一十尺，自乗得一百尺，三因之得三百尺，为次商三方廉面积，以除方积七百二十八尺，足二尺，即定次商为二尺，书于方积八尺之上，而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺，三因之得六十尺，为次商三长廉面积。复以次商二尺自乗得四尺，为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得三百六十四尺，为廉隅共法，书于余积之左，以次商之二尺乗之得七百二十八尺，与余积相减恰尽。是开得一丈二尺为正方体积每一边之数也。如图甲乙丙丁正方体形，毎边皆一丈二尺，其中函积一丈七百二十八尺，是为共积。其先从一角所分戊乙庚己方体，每边一丈，即初商数，其中函积亦一丈，即初商自乗再乗之数。所余辛形、壬形、癸形三方体为三方廉，其每边一丈，即初商数，其厚二尺，即次商数。而子形、丑形、寅形三长方体为三长廉，其每边一丈，亦即初商数，其阔其厚皆二尺，亦即次商数。方廉有三，故三倍初商之自乗为廉法，以定次商。其卯形一小正方体为隅，其长与阔与厚皆同为二尺，亦即次商数，故以次商为隅法。合辛、壬、癸三方廉，子、丑、寅三长廉，夘一方隅，而成一磬折体形，附于初商自乗再乗之方体三面，而成一甲乙丙丁之总正方体积。此立方廉隅之法所由生也。三商以后皆仿此，逓析开之。又法列积一丈七百二十八尺，自末位起算，作记定位同前，乃截一丈为初商，积与一丈自乗再乗之数相合，则定初商为一丈，书于方积一丈之上，而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下，相减恰尽，乃以方边末位余积七百二十八尺续书于下，为次商廉隅之共积，而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺，三因之得三百尺，为次商三方廉面积，即以三方廉面积三百尺除方积七百二十八尺，足二尺，则定次商为二尺，书于方积八尺之上，合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺，与原积符合，相减恰尽，即定立方边为一丈二尺也。此法止用三方廉面积除立方体积得次商数，即并初商数自乗再乗得数与原积相减，虽为省去长廉小隅一层，然方边位数少者还为简易，至于方边位数过四位以上，则累次自乗再乗反比逓析之理为烦矣。设如正方体积一十四万八千八百七十七尺，开立方，问每一边数几何【此题正方体积之六位皆以尺命位，似与前题分丈尺者不同，然其取方积三位续书于下，其末位即命为单位立算，则与丈尺同也】法列正方体积一十四万八千八百七十七尺，自末位起算，每方积三位，定方边一位，故隔二位作记。

乃于七尺上定单位，八千尺上定十位。其一十四万八千尺为初商积，以初商本位计之，则八千尺为初商积之单位，而一十四万八千尺为一百四十八，止与五自乗再乗之数相准，即定初商为五，书于方积八千尺之上，而以五自乗再乗之一百二十五书于初商积之下，相减余二万三千尺。爰以方边第二位余积八百七十七尺续书于下，共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积。乃以初商之五作五十尺，自乗得二千五百尺，三因之得七千五百尺，为次商三方廉面积，以除方积二万三千八百七十七尺，足三尺，即定次商为三尺，书于方积七尺之上。而以初商之五十尺与次商之三尺相乗得一百五十尺，三因之得四百五十尺，为次商三长廉面积。复以次商三尺自乗得九尺，为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得七千九百五十九尺，为廉隅共法，书于余积之左，以次商之三尺乗之得二万三千八百七十七尺，与余积相减恰尽。是开得五十三尺，为正方体积每一边之数也。如图甲乙丙丁正方体形，每边五十三尺，其中函积一十四万八千八百七十七尺，是为共积。其从一角所分戊乙庚己方体，每边五十尺，即初商边数，其中函积一十二万五千尺，即初商自乗再乗之数。所余辛形、壬形、癸形三方体为三方廉，其每边五十尺，即初商数，其厚三尺，即次商数。而子形、丑形、寅形三长方体为三长廉，其每边五十尺，亦即初商数，其阔其厚皆三尺，亦即次商数。方廉有三，故三倍初商之自乗为廉法，以定次商。其邜形一小正方体为隅，其长与阔与厚皆同为三尺，亦即次商数，故以次商为隅法。合辛、壬、癸三方廉子丑寅三长廉卯一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积也。又法列积一十四万八千八百七十七尺，自末位起算作记定位同前，乃截一十四万八千尺为初商积，与五十自乗再乗之数相准则定初商五十尺，书于方积八千尺之上，而以五十自乗再乗之一十二万五千尺书于原积一十四万八千之下，相减余二万三千尺，乃合第二位积八百七十七尺共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积，而以初商五十尺自乗得二千五百尺，三因之得七千五百尺为次商三方廉面积，即以三方廉面积除方积二万三千八百七十七尺，足三尺，即定次商为三尺，书于方积七尺之上，合初商共得五十三尺，自乗再乗得一十四万八千八百七十七尺，与原积符合，相减恰尽，即定立方边为五十三尺也。此法亦止用三方廉面积除立方体积得次商数，即并初商数自乗再乗以减原积也。设如正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸，开立方，问每一边数几何？

法列正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸，自末位起算，每方积三位，定方边一位，故隔二位作记，即于七寸上定寸位，空尺上定尺位，一丈上定丈位。其一丈为初商积，与一丈自乗再乗之数相合，即定初商为一丈，书于方积一丈之上，而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下，相减恰尽。爰以方边第二位余积八百六十尺续书于下，为次商廉隅之共积。乃以初商之一丈作一十尺，自乗得一百尺，三因之得三百尺，为次商三方廉面积，以除八百六十尺，足二尺，即定次商为二尺，书于方积空尺之上，而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺，三因之得六十尺，为次商三长廉面积。复以次商之二尺自乗得四尺，为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得三百六十四尺，为次商廉隅共法，书于余积之左，以次商之二尺乗之得七百二十八尺，与次商廉隅共积相减，余一百三十二尺，即一十三万二千寸。复以方边第三位余积八百六十七寸续书于下，共一十三万二千八百六十七寸，为三商廉隅之共积。乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸，自乗得一万四千四百寸，三因之得四万三千二百寸，为三商三方廉面积，以除一十三万二千八百六十七寸，足三寸，即定三商为三寸，书于方积七寸之上，而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸，三因之得一千零八十寸，为三商三长廉面积。复以三商之三寸自乗得九寸，为三商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得四万四千二百八十九寸，为三商廉隅共法，书于余积之左，以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸，与三商廉隅共积相减恰尽。是开得一丈二尺三寸，为正方体积每一边之数也。设如正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺，▯立方问每一边数几何？法列正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺，自末位起算，每方积三位，定方边一位，故隔二位作记，乃于六尺上定单位，八千尺上定十位，四百万尺上定百位。其九千四百万尺为初商积，以初商本位计之，则四百万尺为初商积之单位，而九千四百万尺为九十四，止与四自乗再乗之数相准，即定初商为四，书于方积四百万尺之上，而以四自乗再乗之六十四书于初商积之下，相减余三千万尺。爰以方边第二位余积八十一万八千尺续书于下，共三十零八十一万八千尺为次商廉隅之共积，以次商本位计之，则八千尺为次商积之单位，而三千零八十一万八千尺为三万零八百一十八，而初商之四即为四十，乃以初商之四十自乗得一千六百三，因之得四千八百为次商三方廉面积，以除三万零八百一十八足五倍，即定次商为五，书于方积八千尺之上，而以初商之四十与次商之五相乗得二百三，因之得六百为次商三长廉面积，复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得五千四百二十五为次商廉隅共法，书于余积之左，以次商之五乗之得二万七千一百二十五，与次商廉隅共积相减余三百六十九万三千尺。

复以方边末位余积八百一十六尺续书于下，共三百六十九万三千八百一十六尺为三商廉隅之共积，以三商本位计之，则积与边皆仍为本位，乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十万零二千五百，三因之得六十万零七千五百为三商三方廉面积，以除三百六十九万三千八百一十六尺足六倍，即定三商为六，书于方积六尺之上，而以初商次商之四百五十与三商之六相乗得二千七百，三因之得八千一百为三商三长廉面积，复以三商之六，自乗得三十六，为三商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得六十一万五千六百三十六，为三商廉隅共法。书于余积之左，以三商之六乗之，得三百六十九万三千八百一十六，与三商廉隅共积相减，恰尽。是▯得四百五十六尺，为正方体积，毎一边之数也。设如正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸，开立方，问每一边数几何？法列正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸，自末位起算，毎隔二位作记，即于七寸上定寸位，八尺上定尺位，七丈上定丈位。其三百四十七丈为初商积，与七丈自乗再乗之数相准，即定初商为七丈，书于方积七丈之上，而以七丈自乗再乗之三百四十三丈书于初商积之下，相减余四丈即四千尺。爰以方边第二位余积四百二十八尺续书于下，共四千四百二十八尺为次商廉隅之共积。乃以初商之七丈作七十尺自乗，得四千九百尺，三因之得一万四千七百尺为次商三方廉面积，以除方积四千四百二十八尺，其数不足，是次商为空位也。乃书一空于方积八尺之上，以存次商之位。复以方边末位余积九百二十七寸续书于下，共四千四百二十八尺九百二十七寸，即四百四十二万八千九百二十七寸为三商廉隅之共积。仍以次商三方廉面积一万四千七百尺作一百四十七万寸为廉法，以除四百四十二万八千九百二十七寸，足三寸，即定三商为三寸，书于方积七寸之上。又以初商之七丈为七百寸，与三商之三寸相乗，得二千一百寸，三因之得六千三百寸为三商三长廉面积。复以三商之三寸自乗，得九寸为三商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得一百四十七万六千三百零九寸为三商廉隅共法，书于余积之左，以三商之三寸乗之，得四百四十二万八千九百二十七寸，与三商廉隅共积相减恰尽。是开得七丈零三寸为正方体积毎一边之数也。此法商出之方边有空位，凡廉法除余积而数不足者，皆依此例推之。设如正方体积三千九百三十万四千尺，开立方，问每一边数几何？法列正方体积三千九百三十万四千尺，补三空位以足其分。自末空位起算，每隔二位作记，乃于空尺上定单位四千尺上定十位，九百万尺上定百位。

其三千九百万尺为初商积，以初商本位计之，则九百万尺为初商积之单位，而三千九百为三十九止，与三自乗再乗之数相准，即定初商为三，书于方积九百万尺之上，而以三自乗再乗之二十七书于初商积之下，相减余一千二百万尺。爰以方边第二位余积三十万四千尺续书于下，共一千二百三十万四千尺为次商廉隅之共积。以次商本位计之，则四千尺为次商积之单位，而一千二百三十万四千尺为一万二千三百零四，而初商之三即为三十，乃以初商之三十自乗得九百三，因之得二千七百为次商三方廉面积，以除余积一万二千三百零四，足四倍，即定次商为四，书于方积四千尺之上。又以初商之三十与次商之四相乗得一百二十三，因之得三百六十为次商三长廉面积。复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得三千零七十六为次商廉隅共法，书于余积之左，以次商之四乗之得一万二千三百零四，与余积相减恰尽。是开得三百四十尺为正方体积每一边之数也。此法方积之末有三空位，故所得方边之末亦补一空位。凡设数未至单位者，皆依此例补足位分，然后开之。设如正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分，开立方，问每一边数几何？法列正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分，自末位起算，毎隔二位作记于四分上，定分位，空寸上定寸位，九尺上定尺位，一丈上定丈位。其一丈为初商积，与一丈自乗再乗之数相合，即定初商为一丈，书于方积一丈之上，而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下，相减恰尽。爰以方边第二位余积八百七十九尺续书于下，为次商廉隅之共积。乃以初商之一丈作一十尺，自乗得一百尺，三因之得三百尺，为次商三方廉面积，以除八百七十九尺，足二尺，即定次商为二尺，书于方积九尺之上，而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺，三因之得六十尺，为次商三长廉而积。复以次商之二尺自乗得四尺，为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得三百六十四尺，为次商廉隅共法，书于余积之左，以次商之二尺乗之得七百二十八尺，与余积相减，仍余一百五十一尺，即一十五万一千寸。又以方边第三位余积八十寸续书于下，共一十五万一千零八十寸，为三商廉隅之共积。乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸，自乗得一万四千四百寸，三因之得四万三千二百寸，为三商三方廉面积，以除一十五万一千零八十寸，足三寸，即定三商为三寸，书于方积空寸之上，而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸，三因之得一千零八十寸，为三商三长廉面积。

复以三商之三寸自乗得九寸，为三商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得四万四千二百八十九寸，为三商廉隅共法，书于余积之左，以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸，与余积相减，仍余一万八千二百一十三寸，即一千八百二十一万三千分。又以方边第四位余积九百零四分续书于下，共一千八百二十一万三千九百零四分，为四商廉隅之共积。乃以初商、次商、三商之一百二十三寸，作一千二百三十分，自乗得一百五十一万二千九百分，三因之得四百五十三万八千七百分，为四商三方廉面积，以除一千八百二十一万三千九百零四分，足四分，即定四商为四分，书于方积四分之上。而以初商、次商、三商之一千二百三十分与四商之四分相乗，得四千九百二十分，三因之得一万四千七百六十分，为四商三长廉面积。复以四商之四分自乗，得一十六分，为四商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得四百五十五万三千四百七十六分，为四商廉隅共法，书于余积之左。以四商之四分乗之，得一千八百二十一万三千九百零四分，与余积相减，恰尽。是开得一丈二尺三寸四分为正方体积，每一边之数也。设如正方体积，八十亿六千零一十五万零一百二十五尺，开立方，问毎一边数几何？法列正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺，自末位起算，每隔二位作记于五尺上，定单位空千尺上定十位，空百万尺上定百位，八十亿尺上定千位。其八十亿尺为初商积，以初商本位计之，则八十亿尺为初商积之单位，而八十亿尺为八止与二自乗再乗之数相合，即定初商为二，书于方积八十亿尺之上，而以二自乗再乗之八书于初商积之下，相减恰尽。爰以方边第二位余积六千万尺续书于下，为次商廉隅之共积。以次商本位计之，则空百万尺为次商之单位，而六千万尺为六十，而初商之二即为二十，故以初商之二十自乗得四百，三因之得一千二百，为次商三方廉面积，以除六十，其数不足，是次商为空位，乃书一空于方积空百万尺之上，以存次商之位。复以方边第三位余积一十五万尺续书于下，共六千零一十五万尺，为三商廉隅之共积。以三商本位计之，则空千尺为三商之单位，而六千零一十五万尺为六万零一百五十，而初商之二即为二百，次商之空即为空十，故以初商次商之二空作二百自乗得四万，三因之得十二万，为三商三方廉面积，以除六万零一百五十，其数仍不足，是三商亦为空位，乃再书一空于方积空千尺之上，以存三商之位。复以方边末位余积一百二十五尺续书于下，共六千零一十五万零一百二十五尺，为四商廉隅之共积。

以四商本位计之，则积与边皆仍为本位，乃以初商次商三商之二千空百空十自乗得四百万尺，三因之得一千二百万尺，为四商三方廉面积，以除六千零一十五万零一百二十五尺，足五尺，即定四商为五尺，书于方积五尺之上，而以初商之二千尺与四商之五尺相乗得一万尺，三因之得三万尺，为四商三长廉面积，复以四商之五尺自乗得二十五尺，为四商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得一千二百零三万零二十五尺，为四商廉隅共法，书于余积之左，以四商之五尺乗之，得六千零一十五万零一百二十五尺，与余积相减，恰尽，是开得二千零五尺，为正方体积每一边之数也。此法商出之方边有二空位，凡开立方遇此类者，皆依此例推之。设如正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺，开立方，问每一边数几何？法列正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺，自末位起算，每隔二位作记于二尺上，定单位六千尺上定十位，四百万尺上定百位，三十亿尺上定千位。其三十亿尺为初商积，以初商本位计之，则三十亿尺为初商积之单位，而三十亿尺为三止与一自乗再乗之数相准，即定初商为一，书于方积三十亿尺之上，而以一自乗再乗之一书于初商积之下，相减余二十亿尺。爰以方边第二位余积二亿九千四百万尺续书于下，共二十二亿九千四百万尺为次商廉隅之共积。以次商本位计之，则四百万尺为次商积之单位，而二十二亿九千四百万尺为二千二百九十四，而初商之一即为一十，乃以初商之一十自乗得一百，三因之得三百为次商三方廉面积，以除二千二百九十四足七倍，因定次商为七，而以初商之一十与次商之七相乗得七十三，因之得二百一十为次商三长廉面积。复以次商之七自乗得四十九为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得五百五十九为次商廉隅共法，以次商之七乗之得三千九百一十三，大于次商廉隅之共积，是次商不可商七也，乃改商六，而以初商之一十与次商之六相乗得六十三，因之得一百八十为次商三长廉面积。复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得五百一十六为次商廉隅共法，以次商之六乗之得三千零九十六，仍大于次商廉隅之共积，是次商不可商六也，又改商五，而以初商之一十与次商之五相乗得五十三，因之得一百五十为次商三长廉面积。复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得四百七十五为次商廉隅共法，以次商之五乗之得二千三百七十五，仍大于次商廉隅之共积，是次商又不可商五也，乃改商四，而以初商之一十与次商之四相乗，得四十三，因之得一百二十为次商三长廉面积，复以次商之四自乗，得一十六为次商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积，共得四百三十六为次商廉隅共法，以次商之四乗之，得一千七百四十四，是小于次商廉隅之共积，可减也，乃以次商之四书于方积四百万尺之上，而以次商乗廉隅共法之一千七百四十四与次商廉隅之共积相减，余五亿五千万尺，复以方边第三位余积六十四万六千尺续书于下，共五亿五千零六十四万六千尺为三商廉隅之共积，以三商本位计之，则六千尺为三商积之单位，而五亿五千零六十四万六千尺为五十五万零六百四十六，而初商次商之一十四即为一百四十，乃以初商之一百四十自乗，得一万九千六百，三因之得五万八千八百为三商三方廉面积，以除五十五万零六百四十六足九倍，因定三商为九，而以初商次商之一百四十与三商之九相乗，得一千二百六十三，因之得三千七百八十为三商三长廉面积，复以三商之九自乗，得八十一为三商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积，共得六万二千六百六十一为三商廉隅共法，以三商之九乗之，得五十六万三千九百四十九，大于三商廉隅之共积，是三商不可商九也，乃改商八，而以初商次商之一百四十与三商之八相乗，得一千一百二十三，因之得三千三百六十为三商三长廉面积，复以三商之八自乗，得六十四为三商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积，共得六万二千二百二十四为三商廉隅共法，以三商之八乗之，得四十九万七千七百九十二，是小于三商廉隅之共积，可减也，乃以三商之八，书于方积六千尺之上，而以三商乗廉隅共法之四十九万七千七百九十二，与三商廉隅之共积相减，余五千二百八十五万四千尺。

复以方边末位余积二百七十二尺，续书于下，共五千二百八十五万四千二百七十二尺，为四商廉隅之共积。以四商本位计之，则积与边皆仍为本位。乃以初商次商三商之一千四百八十尺，自乗得二百一十九万零四百，三因之得六百五十七万一千二百，为四商三方廉面积，以除五千二百八十五万四千二百七十二，足八倍，即定四商为八，书于方积二尺之上。而以初商次商三商之一千四百八十，与四商之八相乗，得一万一千八百四十三，因之得三万五千五百二十，为四商三长廉面积。复以四商之八自乗，得六十四，为四商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得六百六十万六千七百八十四，为四商廉隅共法。以四商之八乗之，得五千二百八十五万四千二百七十二，与余积相减，恰尽。是开得一千四百八十八尺，为正方体积，毎一边之数也。此法盖因方边之第三位、第四位二数太大，故次商廉隅之共积，以次商之三方廉除，得次商之边，继而以次商之边与次商廉隅共法相乗，大于原积甚多，改商三次所乗之数，始与次商廉隅之共积相准，而后次商之数可定。凡开立方遇此类者，皆依此例推之。如或廉隅共法与商出之数相乗得数，大于廉隅共积几一倍者，则改商必审其与廉隅共积相近小数，始可为准也。设如，有积一万四千七百三十四尺，开立方，问每一边数几何？法列积一万四千七百三十四尺，自末位起算，隔二位作记于四尺上，定单位四千尺上，定十位。其一万四千尺为初商积，以初商本位计之，则四千尺为初商积之单位，而一万四千为一十四止，与二自乗再乗之数相准，即定初商为二，书于方积四千尺之上，而以二自乗再乗之八，书于初商积之下，相减余六千尺。爰以方边第二位余积七百三十四尺，续书于下，共六千七百三十四尺，为次商廉隅之共积。以次商本位计之，则边与积皆仍为本位，而初商之二则为二十尺。乃以初商之二十尺自乗得四百尺，三因之得一千二百尺，为次商三方廉面积，以除方积六千七百三十四尺，足五尺。乃以初商之二十尺与次商之五尺相乗得一百尺，三因之得三百尺，为次商三长廉面积。复以次商之五尺自乗得二十五尺，为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积，共一千五百二十五尺，为次商廉隅共法。以次商之五尺乗之，得七千六百二十五尺，大于次商廉隅之共积，是次商不可商五尺也。乃改商四尺，书于方积四尺之上，而以初商之二十尺与次商之四尺相乗得八十尺，三因之得二百四十尺，为次商三长廉面积。复以次商之四尺自乗得一十六尺，为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得一千四百五十六尺，为次商廉隅共法，书于余积之左。

以次商之四尺乗之，得五千八百二十四尺，与余积相减，仍余九百一十尺。是开得二十四尺为方体每一边之数，仍余九百一十尺不尽也。如欲以余数再开，则得方边之寸数，乃増三空于总积之后，复续书三空于九百一十尺之后，为几百几十几寸之位。是则九百一十尺作九十一万寸，为三商廉隅之共积。爰以初商次商之二十四尺作二百四十寸，自乗得五万七千六百寸，三因之，得一十七万二千八百寸，为三商三方廉面积，以除余积九十一万寸，足五寸，即定三商为五寸，书于余积空寸之上，而以初商次商之二百四十寸与三商之五寸相乗，得一千二百寸，三因之，得三千六百寸，为三商三长廉面积，复以三商之五寸自乗，得二十五寸，为三商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得一十七万六千四百二十五寸，为三商廉隅共法，书于余积之左，以三商之五寸乗之，得八十八万二千一百二十五寸，与余积相减，仍余二万七千八百七十五寸不尽，如再以余数开之，则得方边之分数，乃又续书三空于原积空寸之后，复续书三空于二万七千八百七十五寸之后，为几百几十几分之位，是则二万七千八百七十五寸作二千七百八十七万五千分，为四商廉隅之共积，爰以初商次商三商之二十四尺五寸作二千四百五十分，自乗得六百万零二千五百分，三因之，得一千八百万零七千五百分，为四商三方廉面积，以除余积二千七百八十七万五千分，足一分，即定四商为一分，书于余积空分之上，而以初商次商三商之二千四百五十分与四商之一分相乗，仍得二千四百五十分，三因之，得七千三百五十分，为四商三长廉面积，复以四商之一分自乗，仍得一分为四商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得一千八百零一万四千八百五十一分，为四商廉隅共法，书于余积之左，以四商之一分乗之，仍得一千八百零一万四千八百五十一分，与余积相减，仍余九百八十六万零一百四十九分不尽，是开得二十四尺五寸一分为方体每一边之数也，此法原积本非自乗再乗所得之数，虽逓析之，终不能尽，凡开立方遇此类者，皆以此例推之。设如，有方亭几座，用方甎铺地，共用一千七百二十八块。其所铺之座数与毎座毎行之甎数相等，问亭之座数几何？法列方甎一千七百二十八块为立方积，用开立方法开之。于八块上定单位，一千块上定十位。其一千块为初商积，以初商本位计之，则一千为初商积之单位，与一自乗再乗之数相合，即定初商为一，书于方积一千之上，而以一自乗再乗之一书于初商积之下，相减恰尽。爰以第二位余积七百二十八块续书于下，为次商廉隅之共积，而以初商之一作一十，自乗得一百，三因之得三百，为次商三方廉面积，以除七百二十八，足二倍，即定次商为二，书于方积八块之上。

而以初商之一十与次商之二相乗得二十三，因之得六十，为次商三长廉面积。复以次商之二自乗得四，为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得三百六十四，书于余积之左，以次商之二乗之得七百二十八，与余积相减恰尽。是得所铺亭数为一十二座也。此法因所铺之亭数与每行甎数相等，是每行甎一十二块，其亭亦一十二座。虽非立方形，而法则立方法也，故用立方开之。设如，有方仓一座，共盛粮八百七十八石八斗，问仓髙几何？法以每石定法二尺五百寸乗八百七十八石八斗得二千一百九十七尺为立方积，用开立方法开之。其二千尺为初商积，以初商本位计之，则二千尺为初商积之单位，止与一自乗再乗之数相准，即定初商为一，书于方积二千之上，而以一自乗再乗之一书于初商积之下，相减余一千尺。爰以第二位余积一百九十七尺续书于下，共一千一百九十七尺为次商廉隅之共积，而以初商之一作一十自乗得一百，三因之得三百为次商三方廉面积，以除一千一百九十七尺，足三倍，即定次商为三，书于方积七尺之上，而以初商之一十与次商之三相乗得三十三，因之得九十为次商三长廉面积，复以次商之三自乗得九为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得三百九十九为次商廉隅共法，书于余积之左，以次商之三乗之得一千一百九十七尺，与余积相减恰尽。是开得方仓之高为一十三尺也。此法因粮是石法，所问乃仓之尺数，故先将石变为尺而开立方，即得仓之髙也。设如，有方石一块，重一二万六千六百二十两，问每边尺寸几何？法以石之定率，每寸重二两五钱，除二万六千六百二十两，得一万零六百四十八寸为立方积。用开立方法开之，其一万寸为初商积，以初商本位计之，则空千位为初商积之单位，而一万尺为一十与二自乗再乗之数相准，即定初商为二，书于空千寸之上，而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减，余二千寸。爰以第二位余积六百四十八寸续书于下，共二千六百四十八寸为次商廉隅之共积，而以初商之二作二十自乗得四百三，因之得一千二百为次商三方廉面积，以除二千六百四十八寸足二倍，即定次商为二，书于方积八寸之上，而以初商之二十与次商之二相乗得四十三，因之得一百二十为次商三长廉面积，复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得一千三百二十四为次商廉隅共法，书于余积之左，以次商之二乗之得二千六百四十八寸，与余积相减恰尽。是开得二十二寸为正方石毎一边之数也。此法因石是两数所问，乃石之寸数，故先将石之两数变为寸而开立方，即得石之寸数也。

设如，有水银一万六千三百四十四两六钱八分，欲作一方匣盛之，问匣高几何？法先以水银定率，毎寸重一十二两二钱八分，除一万六千三百四十四两六钱八分，得一千三百三十一寸为立方积，用开立方法开之。其一千寸为初商积，以初商本位计之，则一千为初商积之单位，与一自乗再乗之数相合，即定初商为一，书于一千寸之上，而以一自乗再乗之一书于方积一千寸之下，相减恰尽。爰以第二位余积三百三十一寸续书于下，为次商廉隅之共积，而以初商之一作一十，自乗得一百，三因之得三百，为次商三方廉面积，以除三百三十一寸，足一倍，即定次商为一，书于方积一寸之上，而以初商之一十与次商之一相乗得一十三，因之得三十，为次商三长廉面积，复以次商之一自乗，仍得一为一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得三百三十一，为次商廉隅共法，书于余积之左，以次商之一乗之，仍得三百三十一，与余积相减恰尽。是开得一十一寸为方匣之高也。设如，有方池一区，其深与方相等，容水四千零九十六尺，问深几何？法列四千零九十六尺为立方积，用开立方法开之。其四千尺为初商积，以初商本位计之，则四千为初商积之单位，与一自乗再乗之数相准，即定初商为一，书于四千尺之上，而以一自乗再乗之一书于方积四千尺之下，相减余三千尺。爰以第二位余积九十六尺续书于下，共三千零九十六尺为次商廉隅之共积。而以初商之一作一十，自乗得一百，三因之得三百，为次商三方廉面积，以除三千零九十六尺，可得十尺。若商十尺，则合于初商之数，再合方廉长廉小隅面积必大于次商廉隅之共积，可知故商九尺、八尺、七尺皆仍大于次商廉隅之共积，乃改商六尺，书于方积六尺之上，而以初商之一十与次商之六相乗得六十三，因之得一百八十，为次商三长廉面积。复以次商之六自乗得三十六，为次商一小隅面积，合三方廉三长，廉一小隅，面积共得五百一十。六为次，商廉隅共法书于余积之左以。次商之六乗之得三千零九十六与余。积相减，恰尽，是开得一十六尺，为池之深也，此法因池之深与方相等，其所容。水数即正方体积，故立方开之，得一边。

之数即池之深也御制数理精蕴下编卷二十三<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书